第二章非线性方程(组)的迭代解法(11)

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迭代法求非线性方程的根讲解

迭代法求非线性方程的根讲解
迭代法求非线性方程的根
迭代法是求解非线性方程近似根的一 种方法,这种方法的关键是确定迭代函数 (x),简单迭代法 用直接的方法从原方程 中隐含的求出x,从而确定迭代函数(x), 这种迭代法收敛速度较慢,迭代次数多, 因此常用于理论中,Newton迭代法采用另一 种迭代格式, 具有较快的收敛速度,由牛顿 迭代法可以得到很多其他迭代格式。
( p ) ( )
p!
用条件(*),则有 ( x
k
) (x )
*
( xk x * ) p
*
注意到 ( xk ) xk 1, ( x * )
( p) ( ) * p * x x ( x x ) 由上式得 k 1 k x p!
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ek 1 ( p ) ( x*) 因此对迭代误差有: p 。这表明迭代过程 p! ek
1
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迭代法
• • • • • • • 一、简单迭代法的概念与结论 二、 Newton迭代法的基本思想 三、牛顿法的几何意义 四、牛顿迭代法的步骤 五、例题 六、其他注意的事项
2
一、简单迭代法的概念与结论
• 简单迭代法又称逐次迭代法,基本思想是构造不动点方程,以求 得近似根。即由方程f(x)=0变换为x=(x), 然后建立迭代格式, •
x0 均收敛。证毕。 R
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二. Newton迭代法的基本思想
• 设X K 是f(x)=0的一个近似根,把f(x)在 X K 处作泰勒展开
的邻近连续,并且 / ( x* ) ( x* ) ( p1) ( x* ) 0 (*) ( p ) ( x * ) 0
则该迭代过程在点 x * 邻近是P阶收敛的。

《非线性方程迭代》课件

《非线性方程迭代》课件

数值计算中的迭代法
在数值计算中,迭代法是一种重要的计算方法 。通过迭代法可以解决许多复杂的数学问题, 例如求解矩阵的逆、求解积分等。
迭代法在数值计算中具有广泛的应Fra bibliotek,可以处 理大规模的计算问题,提高计算效率和精度。
在数值计算中应用迭代法时,需要注意选择合 适的迭代公式和初始值,以确保迭代过程收敛 ,并提高计算结果的精度和稳定性。
步长调整策略
常用的步长调整策略包括基于误差的步长调整、基于残差的步长调 整等,可以根据具体问题选择合适的调整策略。
自适应步长效果
自适应步长控制可以有效避免因步长过大或过小而引起的迭代不收 敛或求解精度低的问题。
多重网格技术
多重网格技术
通过在不同层次的网格上迭代求解,降低计算复杂度,提高求解 效率。
详细描述
优化问题通常涉及到寻找函数的最大值或最 小值,而迭代法是一种常用的求解方法。通 过不断迭代和逼近函数的最优解,可以找到 函数的局部最小值或全局最小值。这种方法 适用于各种类型的优化问题,如线性规划、
非线性规划、整数规划等。
案例二:求解优化问题的迭代法
01
算法步骤
02
1. 选取初始点$x_0$。
收敛条件
迭代公式是否收敛取决于初始值的选择、迭代公式的选择以及非线性方程的性质。收敛条件的研究是确保迭代算 法有效性的关键。
收敛速度
不同的迭代公式有不同的收敛速度,收敛速度的快慢直接影响到算法的效率和精度。
迭代公式的误差分析
误差来源
误差主要来源于迭代公式的近似性和 数值计算的舍入误差。
误差控制
通过对迭代公式的改进和数值计算方 法的优化,可以减小误差,提高迭代 算法的精度。
THANKS

【文献综述】非线性方程组的迭代解法

【文献综述】非线性方程组的迭代解法

文献综述信息与计算科学非线性方程组的迭代解法一、国内外状况 近年来,国内外专家学者非线性方程组的迭代解法的研究兴趣与日俱增,他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展(科学、物理、生产、农业等),取得了一系列研究成果。

这些研究,既丰富了非线性方程组的内容,又进一步完善了非线性方程组的研究体系,同时也给出了一些新的研究方法,促进了数值计算教学研究工作的开展,推动了课程教学改革的深入进行。

非线性问题是数值分析中一种研究并解决数值计算问题的近似解的数学方法之一。

数值是各高校信息与计算科学专业的一门核心基础课程。

它既有数学专业课理论上的抽象性和严谨性,又有解决实际问题的实用性。

80年代以前,数值分析课程只在计算数学专业和计算机专业开设,限于计算机的发展,课程的重心在数学方法理论分析方面,是一门理论性较强的课程。

近年来,随着计算机技术的迅速发展,以及计算机的普及和应用,数值分析课程也在国内外各大高校得到了迅速的推广。

特别是Mathworks公司对Matlab软件的研发,给数值分析课程注入了新的活力。

利用Matlab 所含的数值分析计算工具箱,可以进行数值计算方法的程序设计,同时利用图形图像处理功能,可以对数值分析的近似解及误差进行可视化分析,特别是对非线性问题的求解,利用软件计算求解的方法简单多了。

二、进展情况经过多年的不断研究探索,非线性问题的理论性质得到了更多的认证,我们通过对理论的学习,将它融入其他知识体系中比如:动力学,农业学等等。

非线性问题在经过人们不断的探索努力下发现了很多定理定义,比如不动点迭代法,牛顿法,拟牛顿法,以及各种迭代法。

并且对于各种迭代法的收敛性质和收敛速度进行了深入的研究,从而了解了迭代法的构造、几何解释、并对它的收敛性(全部收敛和局部收敛)、收敛阶、误差估计等。

由于迭代法的计算步骤比较多,计算量大且复杂,很多学者对迭代法的加速方法进行了研究。

而对非线性方程组的迭代解法也初步有了研究的进展。

数值分析--非线性方程的迭代解法

数值分析--非线性方程的迭代解法

非线性方程的迭代解法1.迭代函数对收敛性的影响实验目的:初步认识非线性问题的迭代法及其收敛性,认识迭代函数对收敛性的影响,知道当迭代函数满足什麽条件时,迭代法收敛。

实验内容:用迭代法求方程 012)(3=--=x x x f 的根。

方案一: 化012)(3=--=x x x f 为等价方程 )(213x x x φ=+= 方案二: 化012)(3=--=x x x f 为等价方程 )(123x x x φ=-= 实验要求:分别对方案一、方案二取初值00=x ,迭代10次,观察其计算值,并加以分析。

实验程序:实验结果:2. 初值的选取对迭代法的影响实验目的:通过具体的数值实验,体会选取不同的初值对同一迭代法的影响。

实验内容:用牛顿迭代法求方程 013=--x x 在x =1.5附近的根。

实验要求:对牛顿迭代公式 131231----=+k k k k k x x x x x ,分别取00=x ,5.10=x 迭代10次,观察比较其计算值,并分析原因。

实验程序:实验结果:3.收敛性与收敛速度的比较实验目的:通过用不同迭代法解同一非线性方程,比较各种方法的收敛性与收敛速度。

实验内容:求解非线性方程 0232=-+-x e x x 的根,准确到106-。

实验要求:(1) 用你自己设计的一种线性收敛的迭代法求方程的根,然后用斯蒂芬森加速迭代计算。

输出迭代初值、各次迭代值及迭代次数。

(2) 用牛顿迭代法求方程的根,输出迭代初值、各次迭代值及迭代次数,并与(1)的结果比较。

实验程序:1.普通迭代,选用初值0.52. 斯蒂芬森加速迭代3.牛顿迭代法实验结果:。

Newton迭代法求解非线性方程

Newton迭代法求解非线性方程

Newton迭代法求解非线性方程一、 Newton 迭代法概述构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。

因此,如果能将非线性方程f (x )=0用线性方程去代替,那么,求近似根问题就很容易解决,而且十分方便。

牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。

设k x 是方程f (x )=0的一个近似根,把如果)(x f 在k x 处作一阶Taylor 展开,即:)x x )(x ('f )x (f )x (f k k k -+≈ (1-1)于是我们得到如下近似方程:0)x x )(x ('f )x (f k k k =-+ (1-2)设0)('≠k x f ,则方程的解为:x ̅=x k +f (x k )f (x k )́(1-3)取x ~作为原方程的新近似根1+k x ,即令: )x ('f )x (f x x k k k 1k -=+, k=0,1,2,…(1-4)上式称为牛顿迭代格式。

用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法,简称牛顿法。

牛顿法具有明显的几何意义。

方程:)x x )(x ('f )x (f y k k k -+= (1-5)是曲线)x (f y =上点))x (f ,x (k k 处的切线方程。

迭代格式(1-4)就是用切线式(1-5)的零点来代替曲线的零点。

正因为如此,牛顿法也称为切线法。

牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的,而对于重根是一阶局部收敛的。

一般来说,牛顿法对初值0x 的要求较高,初值足够靠近*x 时才能保证收敛。

若要保证初值在较大范围内收敛,则需对)x (f 加一些条件。

如果所加的条件不满足,而导致牛顿法不收敛时,则需对牛顿法作一些改时,即可以采用下面的迭代格式:)x ('f )x (f x x k k k 1k λ-=+,⋯=,2,1,0k (1-6)上式中,10<λ<,称为下山因子。

各类非线性方程的解法

各类非线性方程的解法

各类非线性方程的解法非线性方程是一类数学方程,其中包含了一个或多个非线性项。

求解非线性方程是数学研究中的重要问题之一,它在科学、工程和经济等领域具有广泛的应用。

本文将介绍几种常见的非线性方程的解法。

1. 试-and-错误法试-and-错误法是求解非线性方程的最简单方法之一。

它基于逐步尝试的思路,通过不断试验不同的数值来逼近方程的解。

这种方法的缺点在于需要反复试验,效率较低,但对于简单的方程或近似解的求解是有效的。

2. 迭代法迭代法是一种常用的数值计算方法,可以用来求解非线性方程的近似解。

它的基本思想是通过迭代计算逐步逼近方程的解。

不同的迭代方法包括牛顿迭代法、弦截法和割线法等。

这些方法都是基于线性近似的原理,通过不断迭代计算来逼近解。

迭代法的优点是可以得到较为精确的解,适用于多种类型的非线性方程。

3. 数值优化方法数值优化方法是一种求解非线性方程的高级方法,它将问题转化为优化问题,并通过优化算法来寻找方程的最优解。

常用的数值优化方法包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。

这些方法通过不断迭代调整变量的取值,以最小化目标函数,从而求解非线性方程。

数值优化方法的优点是可以处理复杂的非线性方程,并且具有较高的求解精度。

4. 特殊非线性方程的解法对于特殊的非线性方程,还可以使用特定的解法进行求解。

例如,对于二次方程可以使用公式法直接求解,对于三次方程可以使用卡尔达诺法等。

这些特殊解法适用于特定类型的非线性方程,并且具有快速和精确的求解能力。

综上所述,非线性方程的解法有试-and-错误法、迭代法、数值优化方法和特殊非线性方程的解法等。

根据具体的方程类型和求解要求,选择合适的方法进行求解,可以得到满意的结果。

非线性方程组的迭代解法

非线性方程组的迭代解法
T T
则 方 程 组 可 表 示 为 F () x
( 4 . 2 . 2 )
n n n 其 中 , F : D RR 是 定 义 在 区 域上 D R 的 向 量
值 函 数 。
* * * 若 存 在使 xD ,F () x , 则 称 x 是 方 程 组 ( 4 . 2 . 1 ) 或
T i i h θ
h
n n 成 立 , 与 存 在 矩 阵 A ( x ), R 使 ( 4 . 2 . 4 ) 式 成 立 是 等 价 的 , T T T T 并 且 A ( x ) l ( x ) , l ( x ) ,, l ( x ) , 即 1 2 n f ( x ) ( i 1 , 2 , , n ) 在 x 处 可 微 是 F ( x ) 在 x 处 可 微 的 充 分 必 i
F ( x h ) F ( x ) A ( x ) h l i m 0 ( 4 . 2 . 4 ) h θ h
成 立 , 则 称 Fx 在 处 可 微 , 矩 阵 A ( x ) 称 为 Fx 在 处 的 导 数
记 为 F ( x ) A ( x ) ; 若 D 是 开 区 域 且 FD 在 内 每 一 点 都 可 微 , 则 称 FD 在 内 可 微 。
充 分 条 件 。
定理1证明 证 明 : 记 l ( x ) l ( x ) , l ( x ) , , l ( x ) , 取 h e ( 实 数 12 n j

j
T

0 , e 是 n 维 基 本 单 位 向 量 ) ,( 由 于 4 . 2 . 3 ) 成 立 , 故 有 j
定理1
说明:
f f f f (x ) , , , x x x 1 2 n

非线性方程迭代法的一般理论

非线性方程迭代法的一般理论

提出了一系列加速迭代法收敛的 技术,如松弛法、外推法等,有 效提高了计算效率。
未来发展趋势预测
1 2
高性能计算的应用
随着计算机性能的不断提高,未来迭代法将更加 注重并行化和优化,以适应大规模计算的需求。
智能化算法的发展
结合人工智能和机器学习技术,未来迭代法有望 实现自适应参数调整和智能化求解。
3
跨学科交叉融合
04
针对某些特殊类型的非线性方程,可能需要设计专门的迭代法以提高 求解效率。
05
迭代法在实际问题中应用
工程领域应用举例
结构优化
在结构工程中,迭代法被用于求解复杂的结构优化问题,通过不断迭代计算,找到满足设 计要求的最优结构形状和材料分布。
流体动力学
迭代法在流体动力学中用于求解非线性偏微分方程,如Navier-Stokes方程,以描述流体 的运动状态。
不同类型非线性方程求解示例
多项式型非线性方程
如$x^3 - x - 1 = 0$,可以采用牛顿迭代法 等进行求解。
指数型非线性方程
如$e^x - x - 2 = 0$,可以尝试使用割线法 或二分法进行求解。
对数型非线性方程
如$log(x) + x - 3 = 0$,可以考虑使用牛顿 迭代法或幂级数法进行求解。
参数调整方法
固定参数法
在迭代过程中保持参数不变。这种方法简单易行,但可能 不适用于所有问题。
自适应参数法
根据迭代过程中的信息(如残差、梯度等)动态调整参数。这种 方法可以适应不同问题的特性,但需要设计合适的自适应策略。
参数优化法
将参数作为优化变量,通过求解一个优化问题来确定最佳参数。 这种方法可以得到较好的参数选择,但计算成本可能较高。

计算方法 11 迭代法-非线性方程

计算方法 11 迭代法-非线性方程
* lim x x 即: k k
计算方法(2016/2017 第一学期)
西南科技大学
制造科学与工程学院
7
迭代法定理一
证明:最后证明两个误差估计式
xk 1 xk ( x * xk ) ( x * x k 1 ) xk x * x * xk 1 xk x * ( x * ) ( xk ) xk x * L x * xk (1 L ) x * xk
2 (1) xn1 xn xn 2 1 2 (2) xn1 xn ( xn 2) 4 1 2 (3) xn1 xn 2 xn
计算方法(2016/2017 第一学期)
西南科技大学
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例题
解:将方程等价处理可与 x 2 2 0 等价方程:
xk 1 ( xk ) (k 0,1,) (1)
xk x *,则称迭代 确定的数列 xk 有极限 lim k
* x 式 (1) 收敛;这表明 是方程 x ( x) 的根。
计算方法(2016/2017 第一学期)
西南科技大学
制造科学与工程学院
1
迭代法几何含义
* * ( a ) a ( b ) b x a x ①若 或 ,可取 或 b。
a ( x ) b (a ) >a 及 (b) >b ,确定 f ( x) ( x) x
②显然 f ( x) 在 a, b 上连续,且满足
f (a ) (a ) a 0 f (b ) (b ) b 0
西南科技大学
制造科学与工程学院

非线性方程组数值解法课件

非线性方程组数值解法课件
非线性方程组数值 解法课件
目 录
• 非线性方程组概述 • 迭代法求解非线性方程组 • 牛顿法求解非线性方程组 • 拟牛顿法求解非线性方程组 • 非线性方程组数值解法的应用
01
非线性方程组概述
非线性方程组的定义与分类
定义
非线性方程组是由多个非线性方 程组成的数学模型,描述了多个 变量之间的关系。
在工程问题中的应用
航空航天工程
土木工程
非线性方程组数值解法用于设计和优 化飞行器、卫星和火箭的结构和性能。
在建筑设计、桥梁和高层建筑的结构 分析中,非线性方程组数值解法用于 模拟结构的承载能力和稳定性。
机械工程
在机械设计中,非线性方程组数值解 法用于分析复杂机械系统的动力学特 性和稳定性。
在金融问题中的应用
拟牛顿法的收敛性分析主要基于Hessian 矩阵的条件数和近似矩阵的误差界。在适 当的条件下,拟牛顿法能够保证全局收敛 性和局部超线性收敛性。
拟牛顿法的实现
总结词
拟牛顿法的具体实现可以通过不同的算法实 现,如DFP算法和BFGS算法等。
详细描述
DFP算法(Davidon-Fletcher-Powell)和 BFGS算法(Broyden-Fletcher-GoldfarbShanno)是两种常见的拟牛顿算法。它们 的主要区别在于近似矩阵的更新方式。DFP 算法采用三对角化方法更新近似矩阵,而 BFGS算法采用迭代更新的方式。在实际应 用中,BFGS算法通常比DFP算法更受欢迎, 因为它在大多数情况下都能提供更好的收敛 效果。
05
非线性方程组数值解法的 应用
在物理问题中的应用
量子力学方程
非线性方程组数值解法在 量子力学中用于描述微观 粒子的行为和相互作用。

非线性方程(组)的解法

非线性方程(组)的解法

lnim(bn
an )
lim
n
2n1
(b
a)
0
lim
n
an
lim
n
bn
x

x
cn
1 2
(an
bn
)为
x 的近似解。
7
二分法
迭代终止准则
an - bn

x - cn
bn an 2
2
8
2.2一般迭代法
2.2.1 迭代法及收敛性
对于 f (x) 0 有时可以写成 x (x) 形式 如: x3 x 1 0 x 3 x 1
12
例题
例2.2.1 试用迭代法求方程 f (x) x3 x 1 0
在区间(1,2)内的实根。 解:由 x 3 x 1建立迭代关系
xk1 3 xk 1 k=0,1,2,3…… 计算结果如下:
13
例题
精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
2
14
例题 但如果由x x3 1建立迭代公式
xk1 xk3 1 k 1,2,...
仍取 x0 1.5,则有 x1 2.375 ,x2 12.39 显 然结果越来越大,{xk }是发散序列
15
2.3 Newton迭代法
设x*是方程f (x) = 0的根, 又x0 为x* 附近的一个值,
将f (x) 在x0 附近做泰勒展式:
f (x)
二分法
用二分法(将区间对平分)求解。

a1
a, b1
b, c1
1 2
(a1
b1 )
若 f (a1) f (c1) 0,则[a1, c1] 为有根区间,否 则 [c1,b1]为有根区间

非线性方程迭代解法yjs讲解课件

非线性方程迭代解法yjs讲解课件
提高稳定性
通过改进算法或者采用适当的数值方法,减少误差累积,提高结果 的稳定性。
加速收 敛
研究更有效的迭代算法,提高求解速度和精度。
改进初始值选择
通过改进初始值选择策略,提高算法的收敛性和求解质量。
05 非线性方程迭代解法的 应用实例
一元非线性方程的求解
迭代法求解
对于一元非线性方程,可以使用迭代 法进行求解。迭代法的基本思想是通 过不断逼近方程的解,逐步修正解的 近似值。常用的迭代法有牛顿迭代法、 二分法等。
改进收敛性
研究更有效的迭代算法,提高收敛速度和精度,减少迭代次数。
混合算法
结合多种算法的优点,开发出更高效、更稳定的迭代算法。
应用领域的拓展
科学计算
将非线性方程迭代解法应用于更广泛的科学计算领域, 如流体动力学、材料科学等。
工程领域
在工程领域中,解决复杂的非线性问题,如结构优化、 控制系统等。
金融领域
收敛速度的估计
分析迭代公式的收敛速度,了解迭代过程需要多少次迭代才能达 到满意的精度。
不收敛情况的处理
当迭代公式不收敛时,需要采取适当的策略进行调整,如改变初 值或迭代函数。
迭代公式的误差估计
01
02
03
误差来源分析
分析迭代过程中产生的误 差来源,如舍入误差、截 断误差等。
误差传播规律
研究误差在迭代过程中的 传播规律,了解误差随迭 代次数的变化情况。
迭代解法的历史与发展
早期发展
迭代解法最早可追溯到牛顿迭代法, 随着计算机技术的发展,迭代解法逐 渐成为数值计算领域的重要分支。
现代发展
随着优化算法、并行计算等技术的进 步,迭代解法在理论和应用方面都取 得了长足的进展,广泛应用于科学计 算、工程技术和金融等领域。

迭代法解非线性方程

迭代法解非线性方程

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求解非线性方程的迭代法
构造 f (x) = 0 的一个等价方程:x 从某个近似根 x0 出发,计算
( x)
xk 1 ( xk )
得到一个迭代序列
k = 0, 1, 2, ... ... 迭代公式
xk k 0

f (x) = 0 f (x) 的零点
xk 1 f ( xk ) xk , k 1,2, f ' ( xk )
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求解非线性方程的迭代法
2. 牛顿迭代公式
f ( xk ) xk 1 xk , k 1,2, f ' ( xk )
称上式为方程f(x)=0的牛顿迭代公式, 简称 牛顿法。 牛顿法具有明显的几何意义, y f ( xk ) f ' ( xk )( x xk ) 是曲线在点(xk, f(xk))处的切线方程。 xk+1就是切线与x轴交点的横坐标, 所以牛顿法就是用切线与x轴交点的横坐标 近似代替曲线与x轴交点的横坐标。 因此牛顿法也称切线法。
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求解非线性方程的迭代法
2. 弦截法的迭代公式
ba x1 a f (a ), f (b) f (a ) xk a xk 1 a f ( x ) f (a ) f (a ), k xk b x b f (b ), k 1 f ( xk ) f ( b ) f ( a ) f ( xk ) 0 f ( a ) f ( xk ) 0
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求解非线性方程的迭代法
3.弦截法的Matlab编程实现 function root=chord_cut(f,a,b,e)

非线性方程与非线性方程组的迭代解法课件

非线性方程与非线性方程组的迭代解法课件
迭代解法的收敛性
迭代解法是否能够收敛到方程的解是关键问题,收敛性的判定需要满足一定的条 件。
收敛速度
迭代解法的收敛速度是指迭代过程逼近解的速度,收敛速度越快,求解效率越高 。
迭代解法的误差估计与收敛性判定
误差估计
在迭代过程中,我们需要对每次迭代的误差进行估计,以便 了解近似解的精度。
收敛性判定
为了确保迭代过程能够收敛到方程的解,我们需要根据一定 的收敛性判定准则来判断迭代过程是否可以终止。
三角函数求解
对于涉及三角函数的非线性方程,如 (sin x = a),可以通过迭代法求解,例如初始值 (x_0 = a),迭代 公式 (x_{n+1} = x_n + frac{a - sin x_n}{1 - cos x_n})。
非线性方程组求解实例
牛顿迭代法
对于非线性方程组 (f_1(x) = 0, f_2(x) = 0) 等,可以使用牛顿迭代法求解,通过迭代公式 (x_{n+1} = x_n - J^{1} cdot f(x_n)) 逐步逼近方程组的解。
适用于求解具有简单形式和已知导数的非线性方程。
弦截法
总结词
详细描述
公式
应用场景
一简单且易于实现的迭代方 法
弦截法基于线性方程组的求解 方法,通过不断修正近似解来 逼近非线性方程的解。在每次 迭代中,使用当前近似值和方 程的函数值来计算下一个近似 值。
$x_{n+1} = x_n - f(x_n) cdot frac{f(x_0) - f(x_n)}{f(x_0) 2f(x_n) + f(x_1)}$
适用于求解形式简单且导数不 易求得的非线性方程。
抛物线法
总结词

数值分析课件 非线性方程的迭代解法方程求根

数值分析课件 非线性方程的迭代解法方程求根

k
解: 改写为以下两种等价方程 0
方法1 1.5
方法2 1.5
(1)x x3 1, (2)x 3 x 1 1 2.375 1.35721
建立迭代公式:(1)xk 1

x
3 k
1;
2
(2)xk 1 3 xk 1
3
4
各步迭代结果如下:
5
12.39
1.33086 1.32588 1.32494 1.32476
定义:迭代公式 xk+1= g(xk) (k= 0,1, …) 被称为求
解方程 f(x)=0 的简单迭代法(不动点迭代法), 其中g(x)称为迭代函数。
注:上述迭代法是一种逐次逼近法,其基本思想是 将隐式方程归结为一组显示的计算公式,就是说, 迭代过程是一个逐步显示化过程。
例:
求方程 f (x) x3 x 1 0 在x0 1.5 附近的根。
求 g(x) 不动点的过程
找s,使得s = g(s).
从一个初值 x0 出发,计算
x1= g(x0), x2= g(x1), … , xk+1= g(xk), …

{
xk
}
收敛,即存在实数
s
使得
lim
k
xk

s且
g(x)
连续,
则由
lim
k
xk
1
lim g k
xk
可知 s=g(s), 即 s是 g 的不动点, 它也是 f 的零点.
二分法求根思想
找有根区间序列(ak , bk); 用(ak , bk)的中点近似根.
二分法:
设一元非线性函数 f (x) 在 (a, b) 内只有一个 零点s , 用二分法求f (x)=0实根的过程如下:

数学建模基础入门:非线性方程和迭代

数学建模基础入门:非线性方程和迭代
end
三、数值解法:图解法和迭代法 1 图解法 适用于求一元或二元方程(组)低精度解或 找迭代初值 例1 解方程 sin(x) = 0.1x 解 -1 sinx 1, 得| x |<10, 作出sin(x), 0.1x 在[-10,10]范围内的图, 可看出根的大致位置 »fplot('sin',[-10,10]);hold on; »fplot('0.1*x',[-10,10]) ;grid; zoom
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解 设xk为第k个月的欠款数, a为月还款数, r为月利率。 xk+1 = (1+r) xk- a 那么 xk = (1+r) xk-1- a = (1+r)2 xk-2 – (1+r)a – a =…… = (1+r)k x0 – a[1+(1+r)+……+(1+r)k-1] = (1+r)k x0 – a[(1+r)k-1]/r 根据 a=0.1436, x0=25.2, x360=0 得到 25.2(1+r)360 – 0.1436[(1+r)360-1]/r=0
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对于Logistic模型 解得有两个不动点0和1-1/a 当0a<1, 在[0,1]内有一个不动点0,且由 |g’(0)| =a<1, 可知它是稳定的, 说明资源匮 乏时,昆虫趋于消亡; 当a>1, 不动点0不再稳定; 当1<a3,由|g’ (1-1/a)| =|2-a|<1可知 不动 点1 - a -1稳定,说明资源适当时,昆虫稳定 于一定数量。
end
二、数学理论复习:非线性方程(组)
一元非线性方程的一般形式为 f (x) = 0 若对于数有f () = 0, 则称为方程的解或 根,也称为函数f (x)的零点

非线性方程组的迭代解法【开题报告】

非线性方程组的迭代解法【开题报告】

毕业论文开题报告信息与计算科学非线性方程组的迭代解法一、选题的背景和意义=的系数矩阵具有两非线性问题是近代数学研究的主流之一,随着计算问题的日益复杂化Ax b个明显的特点:大型化和稀疏化。

大型化指系数矩阵阶数可达上万甚至更高,稀疏性指A的零元素占绝大多数对这样的A作直接三角分解,稀疏性会遭到破坏,零元素被大量填入变为非零元素,因此迫切需要新的数值方法,适用于大型稀疏线性方程,以节省储存空间和计算时间,即提高计算效=是数值计算的重要任务,但是率,迭代法在这样的背景下得到关注和发展,求解线性方程组Ax b大多数科学和实际问题本质上是非线性的,能做线性化的毕竟有限,对这些非线性问题是各种解决方案,常常归纳为求解一个非线性方程组,而与线性方程相比非线性方程组的求解要困难和复杂的多,计算量也大的多,现有的理论研究还比较薄弱。

而对于非线性方程,一般都用迭代法求解。

二、国内外研究现状、发展动态近年来,国内外专家学者非线性方程组的迭代解法的研究兴趣与日俱增,他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展(科学、物理、生产、农业等),取得了一系列研究成果。

这些研究,既丰富了非线性方程组的内容,又进一步完善了非线性方程组的研究体系,同时也给出了一些新的研究方法,促进了数值计算教学研究工作的开展,推动了课程教学改革的深入进行。

三、研究的主要内容,拟解决的主要问题(阐述的主要观点)非线性的迭代法是解非线性方程组的基本途径,是数值计算中非线性方程组求根的重要工具,也是研究非线性方程组整体性质和具体分布的重要工具。

就因为这样,很多专家学者对非线性方程组的迭代法进行研究。

在前人研究的基础上,本文首先介绍非线性方程组迭代法的产生背景以及国内外状况,然后从数值计算的定义及理论定理出发来研究非线性方程组的迭代法的一些相关的结论,包括非线性方程组的基于不动点原理的迭代法、newton迭代法及其收敛性、非线性方程组的迭代法及其收敛性、最小二乘法、迭代法的收敛加速性等,进一步讨论非线性方程组迭代解法的收敛性质以及其他一些相关定理,以便我们更好、更清楚的看到非线性方程组和迭代法之间的联系,以及收敛和加速。

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1.3639
1.3659
1.3649
1.3654
2020/10/11
方法3
方法4
1.5000
1.5000
0.8165
1.3484
2.9969
1.3674
0-2.9412i 1.3650
不收敛
1.3653
J. G. Liu
6次
1.3652
1.3652
*收敛与否,以及收敛快
15次
慢,取决于迭代函数
*精度控制的表达式??
方法1:x (x) x x3 4x2 10; 方法2:4x2 10 x3 x (x) 1 10 x3 ;
2 方法3:x3 4x2 10 x2 10 4x;
x
x (x) 10 4x
x
方法4:x2 (x 4) 10 x (x) 10 /(x 4);
取初值x0 1.5, 104, 用以上四种方法算,结果如下:
算法停止的条件
2020/10/11
什么时候停止?
a
xa1 x*
xb2 b
baε

f (xk1)
其中 ε,为容许误差!
J. G. Liu
x
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North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2020/10/11
J. G. Liu
Numerical Analysis
2020/10/11
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内容:
◆ 二分法 ◆ 一般迭代法 ◆ 迭代法的加速 ◆ 牛顿迭代法 ◆ 非线性方程组的牛顿迭代法*
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North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
则a
ab
x, fa f ;
为所求根,结束!
否则,转(2);
2
例1 计算f (x) x3 4x2 10 0在[1,2]内的实根。
取 109, 106,可得 x* 1.36523, 共计算21次!
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关于二分法的讨论
2020/10/11
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(1) 二分法只能求有根区间中的奇数重的实根;
事实上,
设x *为f(x)的m重根,即f(x)(x x*)m(x)((x)连续且(x*) 0)。 不妨设(x*) 0,由(x)的连续性,则δ 0,当x x * δ时,(x) 0。
f(bn ) 0,即x*[an,bn];
12(bn1
an1)
1 2n
b0
a0
有根区间

xn
an bn , 则 2
xn
x*
12(bn
an
)
1 2n1
(b
a);
lim
n
xn
x *.
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综合上述,得到如下算法,
(1) 输入,,计算fa f (a), fb f (b);
(2) 计算x a b , f f (x);
2
(3) 若 f ,则x为所求根,结束!
否则 若f fa 0,则b x, fb f ;
注:
其中 , 为
精度控制参数!
(4)

若f
ba
fa ,则x
0,
(1)
(3) 讨论xn的收敛性 及收敛速度(收敛阶) 。
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例2 用一般迭代法计算 f (x) x3 4x2 10在[1,2]的实根。
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方法1
方法2
1.5000
1.5000
-0.8750
1.2870
6.7324
1.4025
1.3455 -69.7200
1.3752 1.0275e+8
不收敛
1.3601
1.3678
1、二分法
2020/10/11
J. G. Liu
设 f (x) 在区间 [a,b] 上连续且有 f (a) f (b) 0 ,则 f (x)
在区间 [a,b] 内有解,不妨设解唯一!
算法构造原理:
找[a,b][a0,b0][a1,b1] [an,bn] ,满足 :
(1)
(2)
f (an )
bn an
(2)解的性态。即孤立解的区域,解的重数,光滑性。
关于解的存在性及其性态,不是数值分析所讨论的问题。
我们总认为:
通常求其精确
f (x)在一个确定的区域 Rn内有唯一解x *, 解是困难的
我们的任务是用数值方法求满足一定精度要求的近似解!
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1.3651
1.3653 1.3652 1.3652
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(二) 大范围收敛定理
设(x) C1[a, b],
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(1) x [a,b],(x) [a,b], 即 (x) 是自映射;
当n充分大以后,[an,bn](x * δ,x* δ),于是当m为偶数时, x [an,bn],f(x) 0,不变号了!(??)
(2) 二分法线性收敛; (3) 二分法可用来细化有根区间,这是它的一大优点!
故二分法可以用来确定迭代法的迭代初值!
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2、一般迭代法
2020/10/11
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(一) 构造方法
(1) f(x) 0 x (x),(x)称为迭代函数。
(2) 在解的邻域内选定初值
x0
U
(
δ
x*),构造迭代格式
xn1 (xn ) (n 0,1,2, )
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第二章 非线性方程(组)求根方法
问题:f : Rn Rn的非线性函数,求x Rn使f (x) 0。
若Байду номын сангаасn=1, 称为非线性方程求根问题;
n>1,称为非线性方程组求解问题。 理论问题:
(1)解的存在性。即有解还是无解,有多少解。
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