五节对坐标的曲面积分PPT课件

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人大微积分课件10-5对坐标的曲面积分

x,
y,
z)dxdy

lim
0
i 1
R( i
,i
,
i
)( Si
)
xy
取上侧, cos 0, (Si )xy ( )xy ,
又 i z(i ,i )
n

lim
0
i 1
R(i ,i , i )(Si )xy
n

lim
0
i 1
R( i

四、计算法
设积分曲面Σ 是由
方程z z( x, y)所给
z
出的曲面上侧,Σ 在

xoy面上的投影区域
为Dxy ,函数 z z( x, y)在Dxy 上具
有一阶连续偏导数,
o
Dxy
被积函数R( x, y, z)在 x
Σ 上连续.
z f (x, y)
y (s)xy
n

R(
第i 小块曲面的面积),
在si 上任取一点
(i ,i , i ),z SiFra bibliotek ni
vi
(i ,i , i )
则该点流速为
vi
.

法向量为 ni .

o
y
x
vi v(i ,i , i )

P(i ,i , i )i Q(i ,i , i ) j R(i ,i , i )k ,
Dxy
2

2
d
2 (r 2 cos2 1 r 2 )rdr
8.
0
0
2
二、概念的引入
实例: 流向曲面一侧的流量.
(1) 流速场为常向量 v ,有向平面区域 A,求单位

对坐标的曲面积分PPT共38页

对坐标的曲面积分
1、纪律是管理关系的形式。——阿法纳西耶夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响，而是让儿童练习良好道德行为，克服懒惰、轻率、不守纪律、颓废等不良行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养成儿童自觉的纪律性，这是儿童道德教育最富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非

105对坐标曲面积分34262 22页PPT文档

解: 利用对称性.
y
原式 3 (zx)dxdy
x
的顶部 1 :z a 2(x a 2 ,y a 2 )取上侧
的底部 2 :z a 2 (x a 2 ,y a 2 )取下侧
3 3 D 1 xy((za 2x)xd )dxd xdy y 2 D (xzy( xa 2) dx x)ddyxdy
n

lim
0
i

1
P (i,i,i) ( S i)y z Q (i,i, i) (S i)zx R (i,i,i) S ( i) x y
2. 定义. 设为光滑的有向曲面, 在上定义了一个
向量场 A ( P ( x , y , z ) Q ( , x , y , z ) R ( x , ,y , z )若) 对, 的任
引例中, 流过有向曲面的流体的流量为
P d y d z Q d zd x R d x d y
若记正侧的单位法向量为 n (co ,cso ,cso )
令 d S n d S ( y d z d , d z d x , d x d y )
A ( P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) )
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
P d y d z Q d zd x R d x d y
3. 性质
AndS AdS
k
(1) 若 i , 且i 之间无公共内点, 则
i 1
k
AdS

i1
i
AdS
(2) 用ˉ 表示的反向曲面, 则
方向余弦 co s cos

(同济大学)高等数学课件D105对坐标曲面积分

R(x,y,z)dxdyDxyR(x,y,z(x, y))dxdy
•若
则有
P(x,y,z)dydzD yzP(x(y,
z)
,yz,)d ydz
(前正后负)
•若
则有
Q(x,y,z)dzdxD zxQ(x,y(z,x),z)dzdx (右正左负)
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例1. 计算 ( x y ) d y d z ( y z ) d z d x ( z x ) d x d y
例6. 计算曲面积分 (z2x)dydzzdxdy,其中
旋转抛物面
介于平面 z= 0
z
2
及 z = 2 之间部分的下侧.
解: 利用两类曲面积分的联系, 有
oy
(z2x)dydz
(z2 x)cosdS

(z2
x)
cos cos
d
xd
y
x
cos x
1x2y2
cos 1
1x2y2
∴ 原式 = (z2x)(x) zdxdy
R(x,y,z)dxdyDxy
R(x,y,z(x,
n
y))
dxd
y
证:
R(x,y,z)dxdy
lim
0
i
1
∵ 取上侧, (Si)xy (i)xy
iz(i,i)
n
lim
0
i1
R(i,i,
)(i )xy
D xyR (x,y,z(x),d y )xdy
机动目录上页下页返回结束
说明: 如果积分曲面取下侧, 则
曲面的方向用法向量的方向余弦刻画
n
lim 0 i 1
P c o Q s c o R s co d S s

教学课件第五节对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)

进阶习题2
求对坐标的曲面积分∫∫(x^2 + y^2)dydz z^2dxdz，其中Σ为曲面z = x^2 + y^2在第
一卦限的部分。
综合习题
综合习题1
求对坐标的曲面积分∫∫(x^2 + y^2)dydz z^2dxdz，其中Σ为曲面z = x^2 + y^2在第一卦限的部分，并给出其几何意义。
03
第二类曲面积分的几何意义
几何意义的解释
1 2
3
曲面积分
第二类曲面积分是针对曲面侧的正向或负向的积分，其几何意义表现为对曲面侧的“净流量”或“净通量”的度量。
净流量
当积分号前的函数表示某种物理量（如力、速度、密度等）时，第二类曲面积分的几何意义可以解释为通过被积分的曲面侧的净流量，即流入与流出的差值。
第二类曲面积分的计算方法概述
计算步骤
计算第二类曲面积分需要确定定向曲面、选择适当的坐标系、计算面积分范围、选择合适的方向场，并利用微元法或高斯公式等工具进行计算。
注意事项
在计算过程中，需要注意坐标系的选取要便于计算和简化问题，同时要准确理解和应用方向场的定义和性质。
02
第二类曲面积分的计算公式
净通量
在某些物理或工程问题中，第二类曲面积分的几何意义可以解释为通过被积分的曲面侧的净通量，即流入与流出的通量之差。
几何意义的应用场景
流体动力学
在流体动力学中，第二类曲面积分的几何意义可以用来描述流体通过某一曲面的流量或通量。
电磁学
在电磁学中，第二类曲面积分的几何意义可以用来描述电场或磁场通过某一曲面的通量或流量。
公式推导与理解
公式推导
通过引入向量场、定向曲面等概念，利用散度定理和微积分基本定理推导得出第二类曲面积分的计算公式。

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P
dx
dy dz
Q
R
P d y d z 称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分; Q d z d x 称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分; R d x d y 称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分.
引例中, 流过有向曲面的流体的流量为
Pdy d z Qd z d x Rdx dy
2 (z
Dx y
x) ( a
2
d
xdy x) d
x
d
y
3a d x d y 3a3 Dx y
例2. 计算曲面积分 xyz d x d y, 其中为球面 x2
y2 z2 1 外侧在第一和第五卦限部分.
思考: 下述解法是否正确:
z
2
根据对称性 xyz d x d y 0
其中是以原点为中心, 边长为 a 的正立方
z
体的整个表面的外侧.
解: 利用对称性.
y
原式 3 (z x) d x d y
x
的顶部
1 : z
a 2
(
x
a 2
,
y
a 2
)
取上侧
的底部
2
:z
a 2
(
x
a 2
,
y
a 2
)
取下侧
3 3
1 Dx
(
y
z (
a 2
x) d x)
x d
d x
y d
y
i1
P(i
,i
,
i
)(Si
)
yz
Q(i ,i , i )(Si )zx
R(i ,i , i )(Si )xy
2. 定义. 设为光滑的有向曲面, 在上定义了一个
向量场 A (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), 若对的任
意分割和在局部面元上任意取点, 下列极限都存在
n
lim
0
P(i ,i , i )(Si ) yz
i 1
Q(i ,i , i )(Si
)zx
R(i ,i
,
i
)(Si
)xy
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积
分, 或第二型曲面积分. 记作
Pdy d z Qd z d x Rdx dy
P, Q, R 叫做被积函数; 叫做积分曲面.
解: 把分为上下两部分
1 : z 1 x2 y2
o Dx y x
1y
1
2 : z 1 x2 y2
(x,
y)
Dxy
:
x x
2
0
y2 ,y
( i ) xy
Dxy R(x, y, z(x,y)) d x d y
说明: 如果积分曲面取下侧, 则
R(x, y, z) d x d y Dxy R(x, y, z(x, y))d x d y
• 若 : x x( y, z) , ( y, z) Dyz , 则有
P(x,
y, z)d
(S )xy
( )xy , ( )xy ,
0,
当cos 0时当cos 0时当cos 0时
类似可规定 (S ) yz , (S )zx
二、第二型（对坐标的）曲面积分的概念与性质 1. 引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
v (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))
3. 性质
A nd S A d S
k
(1) 若 i , 且 i 之间无公共内点, 则
i1
k
A d S i1 i A d S
(2) 用ˉ 表示的反向曲面, 则
A d S A d S
三、第二型（对坐标的）曲面积分的计算法
定理: 设光滑曲面 : z z(x, y) , (x, y) Dxy 取上侧, R(x, y, z)是上的连续函数, 则
第11.5节
第十一章
第二型（对坐标的）曲面积分
一、有向曲面及曲面元素的投影
二、第二型（对坐标的）曲面积分的概念与性质
三、第二型（对坐标的）曲面积分的计算法
四、两类曲面积分的联系
一、有向曲面及曲面元素的投影
双侧曲面 • 曲面分类
单侧曲面
曲面分内侧和外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和右侧
ydz
Dyz
P(x(y, z)
,
y, z) d y d z
(前正后负)
• 若 : y y(z, x) , (z, x) Dzx , 则有
Q(x, y, z) d z d x Dzx Q (x, y(z, x) , z )d z d x (右正左负)
例1. 计算 (x y) d y d z ( y z) d z d x (z x) d x d y
曲面分上侧和下侧
• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向
表示 :
方向余弦 cos
cos
cos 封闭曲面
侧的规定 > 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧外侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧内侧
• 设为有向曲面, 其面元 S 在 xoy 面上的投影记为
(S )xy , (S )xy 的面积为( )xy 0, 则规定
求单位时间流过有向曲面的流量 .
分析: 若是面积为S 的平面,
n
v
法向量: n (cos , cos , cos )
流速为常向量: v 则流量
S
S v cos
S vn
对一般的有向曲面 , 对稳定流动的不可压缩流体的
速度场 v (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))
R(x,
y, z)d x dyFra bibliotekD xy
R(x,
n
y,
z(x,
y))
dxd
y
证:
R(x, y, z) d x d y
lim 0 i1
R(i ,i , i )(Si )xy
∵ 取上侧, (Si )xy ( i )xy
i z(i , i )
n
lim
0
i1
R(i ,i ,
z(i , i ))
用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
ni vi
n
进行分析可得
lim 0 i1
vi
ni Si
设 ni (cosi , cos i , cos i ) , 则
n
lim
0
i1
P(i
,i
,
i
)
cos
i Q(i ,i , i R(i ,i , i )
) cos
cos
i
i Si
n
lim
0
若记正侧的单位法向量为 n ( cos , cos , cos )
令 d S n d S (d yd z, d zd x, d x d y)
A (P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) )
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
P d y d z Q d z d x R d x d y