第六章 曲线

曲线的拟合
逼近：通过建立数学模型，要求构造的曲线在某种意义下最为接
近给定的数据点(但未必通过这些点) ，称为对这些数据点进行 逼近，所构造的曲线称为逼近曲线。
在计算数学中，逼近通常指用一些性质较好的函数近似表
示一些性质不好的函数。在计算机图形学中，逼近继承了这方
面的含义，因此插值和拟合都可以视为逼近。
7. 20世纪80年代后期，美国德皮格尔（Piegl）和蒂 勒（Tiller）将有理B样条发展成非均匀有理B样 条（NURBS）方法，并已经成为当前自由曲线和 曲面描述的最广为流行的技术。
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曲线曲面
表示曲线和曲面的基本方法有两种：参数法和非参数法。
（1）非参数法
— 显式表示
对于一条平面曲线，显式的非参数方程的一般式为：y=f(x) 。 在此方程中，每一个x值只对应一个y值， 所以显式方程不能表 示封闭或多值的曲线
4. 1972年，德布尔（de Boor）给出了B样条的标准计算 方法。
5. 1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gordon）和里森
费尔德（Roesemfeld）将B样条理论用于形状描述，提
出了B样条曲线、曲面。
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6. 1975年，美国锡拉丘兹（Syracise）大学的佛斯普 里尔（Versprill）在其博士论文中提出了有理B样 条的方法。
y=g(t)
矢量表示是：p(t)[x(t) y(t)]
则参数曲线的切矢量或导函数是： p'(t)[x'(t) y'(t)]
注：通常我们没有必要取研究t从－ 到＋的整条曲线，而往往 只对其中的某一部分感兴趣。如以角度为参数，且相对x轴逆 时针方向变化，到第一象限内的单位圆弧的参数表达式为：
p () [ x y ] [ co s] i sn 0 2
第六章 曲线与曲面
➢曲线和曲面是计算机图形学中研究的重要 内容，在实际工作中有广泛的应用。
➢本章将基于实际应用对曲线和曲面的需求， 介绍曲线和曲面的常用表示形式及其理论 基础。
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第六章 曲线与曲面
曲线、曲面参数表示的基础知识 常用的参数曲线的生成 常用的参数曲面的生成 习题
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y
et3
ft2
gth
其中有8个系数可用来控制此曲线的形状。
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（2）易于变换。对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须 对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换；而对参数表示的 曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换（如平移、比例、 旋转），从而节省计算工作量。
（3）便于处理斜率为无限大的问题，不会因此而中断计算。 （4）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，
而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间中的曲线、曲 面扩展到高维空间去。
（5）曲线的边界容易确定。规格化的参数变量 t[0 1] ，使其
相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义其边界。
（6）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。
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常用术语
1) 插值、拟合、逼近和光顺
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➢线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2 的值，用一个线形函数：y=ax+b，近似代替， 称为线性插值函数。
➢抛物线插值:已知在三个互异点 x1,x2,x3 的函数值
为y1, y2, y3 ，要求构造一个函数(x)a2 xbx c
使抛物线( x)在结点 xi(i1,2,3)处与 x i 在 f (x) 处的值相等
2. 1964年美国麻省理工学院（MIT）的孔斯（Coons） 用封闭曲线的四条边界定义一块曲面，同年，舍恩伯格 （Scjpemberg）提出了参数样条曲线、曲面的形式。
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3. 1971年法国的雷诺（Renault）汽车公司的贝赛尔 （Bezier）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的 方法。同期，法国雪铁龙（Citroen）汽车公司的德卡 斯特里奥（de Castel jau）也独立地研究出与Bezier类 似的方法。
求导很方便，不会出现计算上的困难
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参数方程比显式、隐式方程有更多的优越性
（1）表示能力强。有更大的自由度来控制曲线、曲 面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为：
ya3xb2xcx d
其中只有4个系数可用来控制此曲线的形状。而二维 三次曲线的参数表达式为：
xat3 bt2 ctd
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y y f (x) y (x)
y1 o x1
y2 x2 x (a)
y
y f (x)
y (x)
y1 y2 o x1 x2
(b)
y3 x3 x
图线3.1性.4 插线性值插和值抛和抛物物线插值插值
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拟合：构造一条曲线使之在某种意义下完全通过给定的数据点， 所构造的曲线为拟合曲线。
插值：给定一组有序的数据点Pi(i=0，1，2，， n)，通过建立数学模型构造一条曲线，使其顺序通 过数据点, 所构造的曲线称为插值曲线。
换句话说就是寻找一个函数，使得该函数在给定的 数据点处的函数值等于给定的值，这种函数逼近问 题称为插值问题。找到的这个函数称为插值函数， 给定的点称为插值节点（或型值点）
— 隐式表示
隐式非参数方程一般式为：f(x，y)=0 或者 Ax²+Bxy+cy²+Dx+Ey+F=0。如二阶隐式方程表示一个圆锥曲线。 此种表示方程的根很难求ຫໍສະໝຸດ 11.12.2020h
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（2）参数法
在平面曲线的参数表示中，曲线上每一点的坐标均要表示成一 个参数式。笛卡儿坐标的参数式是（设t为参数）
x=f(t)
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曲线曲面
在工程上，曲线曲面的应用十分广泛。如根据实 验、观测或数值计算获得的数据来绘制出一条光滑 的曲线，以描述事物的各种规律。在汽车、飞机、 船舶的等产品的外形设计中，要用到大量的曲线和 曲面来描述其几何形状。
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近二十年来，曲线与曲面研究的状况
1. 1963年美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森 （Ferguson）将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，并 用三次参数曲面构造组合曲线，用四个角点的位置矢量 及其两个方向的切矢量定义三次曲面。