2021年高中数学《..1双曲线及其标准方程》教案 新人教A版选修11
高中数学 2.2.1 双曲线及其标准方程教案 新人教A版选修11 (2)(1)
2．2.1 双曲线及其标准方程(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)理解双曲线的定义并能独立推导标准方程．(2)会利用双曲线的定义标准方程解决简单的问题．2．过程与方法通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力．3．情感、态度与价值观通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题．●重点、难点重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程．难点：双曲线标准方程的推导．由于双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，所以本节课用“启发探究”式的教学方式，重点突出以下两点：①以类比思维作为教学的主线；②以自主探究作为学生的学习方式，并结合多媒体辅助教学，进而实现重点、难点的突破．(教师用书独具)●教学建议在教法上，宜采用探究性教学法和启发式教学法．让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题．以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习．通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“观察——猜想——证明——应用”的过程，发现新的知识，把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识．又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高学生动手动脑的能力和增强研究探索的综合素质．●教学流程给出拉链试验，引出问题：移动笔尖画出的曲线满足什么条件？⇒引导学生结合试验分析，得出曲线满足的条件，给出双曲线定义并探究特殊情形.⇒通过引导学生类比椭圆标准方程得出的方法，推导双曲线的标准方程.⇒通过例1及其变式训练，使学生理解双曲线的标准方程，对比与椭圆方程的异同.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用待定系数法求双曲线的标准方程.⇒对比椭圆与双曲线定义的异同，完成例3及其变式训练，从而掌握双曲线定义的应用问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第29页)课标解读1.了解双曲线的定义及焦距的概念．(重点) 2．了解双曲线的几何图形、标准方程．(难点)双曲线的定义取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？【提示】如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．【问题导思】双曲线定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？【提示】双曲线的一支.双曲线的标准方程【问题导思】1．能否用推导椭圆标准方程的方法推出双曲线的方程？怎样推导？【提示】能．(1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系．(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任一点，且双曲线的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，可得x＋c2＋y2－x－c2＋y2＝±2a.(4)化简：移项，平方后可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为x2 a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．2．双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？【提示】双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴：当x2系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距 |F 1F 2|＝2c ，c 2＝a 2＋b 2(对应学生用书第29页)双曲线标准方程的理解(2013·泰安高二检测)方程x 24－k ＋y 2k －1＝1表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①曲线C 不可能是圆；②若1＜k ＜4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则k ＜1或k ＞4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜52.其中正确命题的序号是________． 【思路探究】 方程x 24－k ＋y 2k －1＝1表示什么曲线？此时k 的取值范围是多少？ 【自主解答】 当4－k ＝k －1＞0时，即k ＝52时，曲线C 是圆，∴命题①是假命题．对于②，当1＜k ＜4且k ≠52时，曲线C 是椭圆，则②是假命题．根据双曲线和椭圆定义及其标准方程，③④是真命题． 【答案】 ③④1．双曲线焦点在x 轴上⇔标准方程中x 2项的系数为正；双曲线焦点在y 轴上⇔标准方程中y 2项的系数为正．2．在曲线方程x 2m ＋y 2n＝1中，若m ＝n ＞0，则曲线表示一个圆；若m ＞0，n ＞0，且m ≠n ，则曲线表示一个椭圆；若mn ＜0，则曲线表示双曲线．若k ∈R ，则“k ＞3”是“方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的充要条件是(k －3)(k ＋3)＞0，即k ＜－3或k ＞3；当k ＞3时，一定有(k －3)(k ＋3)＞0，但反之不成立．∴k ＞3是方程表示双曲线的充分不必要条件．【答案】 A求双曲线的标准方程已知双曲线上两点P 1、P 2的坐标分别为(3，－42)、(94，5)，求双曲线的标准方程．【思路探究】 (1)当双曲线的焦点位置不确定时，应怎样求双曲线的方程？ (2)已知双曲线上两点的坐标，可将双曲线的方程设为怎样的形式，以便于计算？ 【自主解答】 法一 若双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－32b 2＝1，8116a 2－25b 2＝1，该方程组无解；若双曲线的焦点在y 轴上，设其方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得a 2＝16，b 2＝9.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1. 法二 设所求双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)． 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得m ＝－19，n ＝116.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.1．求双曲线标准方程一般有两种方法：一是定义法，二是待定系数法． 2．用待定系数法求双曲线标准方程的步骤：(1)定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x 轴上； (2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0))；(3)定值：根据题目的条件确定相关的系数的方程，解出系数，代入所设方程．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝5，c ＝3，焦点在y 轴上；(2)双曲线过P 1(－2，325)和P 2(437，4)两点．【解】 (1)由a ＝5，c ＝3得b 2＝c 2－a 2＝4. ∴所求双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.(2)因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为P 1、P 2在双曲线上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋45n4＝1，169×7m ＋16n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19.所以所求双曲线的方程为－x 216＋y 29＝1，即y 29－x 216＝1.双曲线定义的应用如图2－2－1所示，已知双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M在双曲线上．图2－2－1(1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积；(2)若∠F 1MF 2＝120°，△F 1MF 2的面积是多少？若∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积又是多少？【思路探究】 (1)求三角形的面积该联想到哪些方法？ (2)如何运用双曲线的定义解决问题？ 【自主解答】 (1)由双曲线方程知，a ＝2，b ＝3，c ＝13，设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2(r 1＞r 2)．由双曲线定义知，有r 1－r 2＝2a ＝4，两边平方得r 21＋r 22－2r 1·r 2＝16，即|F 1F 2|2－4S △F 1MF 2＝16， 也即52－16＝4S △F 1MF 2， 求得S △F 1MF 2＝9. (2)若∠F 1MF 2＝120°，在△MF 1F 2中，由余弦定理得， |F 1F 2|2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 120°，|F 1F 2|2＝(r 1－r 2)2＋3r 1r 2＝(2c )2，r 1r 2＝12， 求得S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin 120°＝3 3.同理可求得若∠F 1MF 2＝60°，S △F 1MF 2＝9 3.双曲线的定义是用双曲线上任意一点到两焦点的距离来描述的．定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a ＜|F 1F 2|，包含|PF 1|－|PF 2|＝2a 和|PF 1|－|PF 2|＝－2a ，即要看到点离定点的距离的“远”与“近”．涉及双曲线上点到焦点的距离问题，或符合双曲线定义的轨迹问题可用双曲线的定义求解．常见题目类型为：(1)双曲线的焦点三角形问题； (2)判断点的轨迹或求轨迹方程．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解】如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件，得 |MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |. ∵|MA |＝|MB |，∴|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， ∴|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2.这表明动点M 与两定点C 2，C 1的距离的差是常数2. 根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支， 则2a ＝2，a ＝1，c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝8.因此所求动点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ＜0)．(对应学生用书第31页)记不清a 、b 、c 的关系致误双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则k ＝A ．1B ．－1 C.79 D ．－79【错解】 将双曲线化为标准方程为x 21k－y 28k＝1，∵焦点在y 轴上，且c ＝3，∴a 2＝－8k，b 2＝－1k ，∴－8k －(－1k )＝－7k ＝32，∴k ＝－79.【答案】 D【错因分析】 双曲线中a 、b 、c 的关系不是a 2－b 2＝c 2.【防范措施】 要区别椭圆与双曲线中a 、b 、c 的关系．在椭圆中a 2－b 2＝c 2，在双曲线中a 2＋b 2＝c 2，二者一定不要混淆．【正解】 将双曲线化为标准方程为x 21k －y 28k＝1，∵焦点在y 轴上，且c ＝3，∴a 2＝－8k，b 2＝－1k.∴－8k －1k＝9，∴k ＝－1.【答案】 B1．理解双曲线的定义应特别注意以下两点： (1)距离的差要加绝对值，否则表示双曲线的一支． (2)距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线．2．求双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两个过程．“定位”指确定焦点在哪个坐标轴上，“定量”是指确定a 2，b 2的大小.(对应学生用书第31页)1．到两定点F 1(－3,0)、F 2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线D ．两条射线【解析】 由题意|F 1F 2|＝|||MF 1|－|MF 2|＝6. ∴点M 的轨迹是两条射线． 【答案】 D2．双曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1的焦距为( )A ．16B ．8C ．4D ．234 【解析】 ∵25－k ＞9－k 且25－k ＞0,9－k ＜0，即a 2＝25－k ，b 2＝k －9， ∴c 2＝16，c ＝4. 焦距为2c ＝8. 【答案】 B3．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D.()3，0【解析】 将双曲线方程化为标准形式x 2－y 212＝1，所以a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62， ∴右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0. 【答案】 C4．双曲线的一个焦点为(0，－6)，且经过点(－5,6)，求此双曲线的标准方程． 【解】 由题意知c ＝6，且焦点在y 轴上，另一焦点为(0,6)，所以由双曲线的定义有： 2a ＝|－5－02＋6＋62－－5－02＋6－62|＝8，∴a ＝4，∴b 2＝62－42＝20，∴双曲线的标准方程为y 216－x 220＝1.一、选择题1．(2013·台州高二检测)设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1C.x 29－y 216＝1(x ≤－3)D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 【解析】 由题意动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，b ＝4，故应选D.【答案】 D2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1【解析】 由于a ＞0,0＜a 2＜4且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1. 【答案】 D3．(2013·泰安高二检测)已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为左焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m【解析】 根据双曲线的定义：|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，而三角形的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝(|AF 1|－|AF 2|)＋(|BF 1|－|BF 2|)＋2|AB |＝4a ＋2m .【答案】 B4．已知平面内有一线段AB ，其长度为4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，O 为AB 中点，则|PO |的最小值是( )A ．1 B.32C ．2D ．4【解析】 ∵|PA |－|PB |＝3＜|AB |＝4， ∴点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的一支上， 其中2a ＝3,2c ＝4， ∴|PO |min ＝a ＝32.【答案】 B5．(2013·临沂高二检测)已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝1 【解析】 由双曲线定义||MF 1|－|MF 2||＝2a ，两边平方得：|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|＝4a 2，因为MF 1→·MF 2→＝0，故△MF 1F 2为直角三角形，有|MF 1|2＋|MF 2|2＝(2c )2＝40，而|MF 1|·|MF 2|＝2，∴40－2×2＝4a 2，∴a 2＝9，∴b 2＝1，所以双曲线的方程为x 29－y 2＝1.【答案】 A 二、填空题6．设m 为常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.【解析】 由题意c ＝5，且m ＋9＝25，∴m ＝16. 【答案】 167．(2013·莱芜高二检测)若方程x 2k ＋2－y 25－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．【解析】 方程表示双曲线需满足(5－k )(k ＋2)＞0，解得：－2＜k ＜5，即k 的取值范围为(－2,5)．【答案】 (－2,5)8．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为______．【解析】 设右焦点为F ′，由题意知F ′(4,0)，根据双曲线的定义，|PF |－|PF ′|＝4，∴|PF |＋|PA |＝4＋|PF ′|＋|PA |，∴要使|PF |＋|PA |最小，只需|PF ′|＋|PA |最小即可，即需满足P 、F ′、A 三点共线，最小值为4＋|F ′A |＝4＋9＋16＝9.【答案】 9 三、解答题9．求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点，并且经过点(2，－3)的双曲线的标准方程．【解】 由x 29＋y 24＝1知焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)．依题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∴a 2＋b 2＝5，①又点(2，－3)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴4a 2－3b2＝1.②联立①②得a 2＝2，b 2＝3， 因此所求双曲线的方程为x 22－y 23＝1.10．(2013·杭州高二检测)已知A (－7,0)，B (7,0)，C (2，－12)，椭圆过A 、B 两点且以C 为其一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程．【解】 设椭圆的另一个焦点为P (x ，y )， 则由题意知|AC |＋|AP |＝|BC |＋|BP |， ∴|BP |－|AP |＝|AC |－|BC | ＝2＜|AB |＝14，所以点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，且c ＝7，a ＝1， ∴b 2＝c 2－a 2＝48.∴所求的轨迹方程为x 2－y 248＝1.11．A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 的正东，相距6 km ，C 在B 的北偏西30°方向上，相距4 km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4秒后，B 、C 才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒1 km)．A 若炮击P 地，求炮击的方位角．【解】 以AB 的中点为原点，BA 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)．∵|PB |－|PA |＝4，∴点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是x 24－y 25＝1(x ≥2)．①又∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上，该直线的方程为x －3y ＋7＝0.②将②代入①得11x 2－56x －256＝0，得x ＝8或x ＝－3211(舍)．于是可得P (8,53)．设α为PA 所在直线的倾斜角，又k PA ＝tan α＝3，∴α＝60°，故点P 在点A 的北偏东30°方向上，即A 炮击P 地的方位角是北偏东30°.(教师用书独具)已知B (－5,0)，C (5,0)是△ABC 的两个顶点，且sin B －sin C ＝35sin A ，求顶点A 的轨迹方程．【解】 ∵sin B －sin C ＝35sin A ，∴由正弦定理得|AC |－|AB |＝35|BC |＝35×10＝6.又∵|AC |＞|AB |,6＜|BC |，∴点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线的左支(且除去左顶点)， 由2a ＝6,2c ＝10，得a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16， ∴顶点A 的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ＜－3)．已知定点A (3,0)和定圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程．【解】 设动圆半径为r ，圆心为P (x ，y )，定圆C 的圆心为C (－3,0)，半径为4， 由平面几何知识有|PC |＝r ＋4，|PA |＝r ， ∴|PC |－|PA |＝4，∴动点P 的轨迹为双曲线右支．c ＝3，a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝5，∴圆心P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ＞0)．。
人教A版高中数学选修1-1第二章《双曲线及其标准方程》教学设计
人教A版高中数学选修1-1第二章《双曲线及其标准方程》教学设计
一、教学目标
1、知识与技能目标：了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，并能初步应用。
2、过程与方法目标：本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程有一个比较深刻的认识。
3、情感、态度与价值观目标：在类比研究过程中激发学生的求知欲，培养他们浓厚的学习兴趣、培养学生认真参与积极交流的主题意识，锻炼学生善于发现问题的规律和解决问题的态度。
通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。
二、重点
双曲线的定义及其标准方程和简单应用。
三、难点
对双曲线定义的理解，推导双曲线的标准方程。
四、教学方法
从学生的认知规律出发，让学生自主学习，运用探究性教学法、启发式教学法等充分调动学生的积极性，通过教师的组织，让学生对双曲线及其标准方程加以理解与记忆。
五、教学过程。
高中数学人教A版() 选择性必修1第三章3.2.1《双曲线及其标准方程》（）教案
§3.2.1双曲线及其标准方程一．教学目标1．知识与能力目标：掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用；2．过程与方法目标：体会推导双曲线标准方程的方法、初步会按特定条件求双曲线的标准方程；3．情感态度价值观目标：培养发散思维的能力，感受曲线的美二．教学重难点重点：双曲线标准方程及其简单应用难点：双曲线标准方程的推导及双曲线方程的求解三．教学过程（一）复习旧知1.椭圆的定义2.椭圆的标准方程3.椭圆的标准方程中a,b,c的关系问题:平面内与两定点F1、F2的距离的差是常数的点的轨迹是什么?（二）双曲线的定义计算机模拟双曲线定义: 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.两个定点F1、F2——双曲线的焦点.双曲线定义的符号表述：P={M | | |MF1| - |MF2| | = 2a ( 0<2a< 2c)}问题1：|MF1|-|MF2|=2a表示双曲线的哪一支？|MF2|-|MF1|=2a表示双曲线的哪一支？问题2：（1）若2a=2c,则轨迹是什么？（2）若2a>2c,则轨迹是什么？（3）若2a=0,则轨迹是什么？（三）双曲线的标准方程的推导类比椭圆，找到推导双曲线方程的方法求曲线方程的步骤：2.设点:3.列式:4.化简:双曲线的标准方程:焦点在 x 轴上焦点在y轴上呢？问题：如何判断焦点在哪个轴上？（看符号）牛刀小试求下列双曲线的a2,b2,并写出焦点坐标。
22(3) 25x-9=-225y22(4) -2=1x y例1.已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差绝对值等于6，求双曲线的标准方程.练习1：（1）a=4，b=3 ,焦点在x轴上的双曲线的标准方程是_______________.（2）焦点为（0, -6）,（0，6）,经过点（2，-5）的双曲线的标准方程是 _______________.四.课堂小结五.作业课本 P121 1P127 7。
人教版高中数学双曲线教案
人教版高中数学双曲线教案
教学目标：
1. 了解双曲线的定义和性质。
2. 掌握双曲线的标准方程和图像。
3. 能够利用双曲线方程解决实际问题。
教学重点：
1. 双曲线的定义。
2. 双曲线的标准方程和图像。
3. 利用双曲线求解实际问题。
教学难点：
1. 确定双曲线的焦点和渐近线。
2. 利用双曲线方程解决实际问题。
教学准备：
1. 教师准备双曲线的相关知识讲解。
2. 准备多媒体教学资料，用于展示双曲线的图像。
3. 准备练习题，用于学生巩固练习。
教学过程：
一、引入：
教师通过举例引入双曲线的概念，并讲解双曲线的定义和性质。
二、概念讲解：
1. 讲解双曲线的标准方程和图像。
2. 解释双曲线的焦点和渐近线的概念。
三、例题演练：
1. 讲解双曲线的方程与图像的对应关系。
2. 解答一些实际问题，让学生应用双曲线方程进行求解。
四、课堂练习：
教师出示多个双曲线练习题，让学生在课堂上进行解答。
五、总结：
教师总结本节课的重点内容，强调学生需要重点掌握的知识点。
六、作业布置：
布置相关的练习题作业，要求学生在家中完成，并在下节课上进行讲解和批改。
教学反思：
通过本节课的教学，发现学生在理解双曲线的概念和性质上存在一定的困难，需要进一步加强讲解和练习。
在下节课上会结合学生的实际情况进行有针对性的教学。
高中数学 221《双曲线及其标准方程》同步课件 新人教A版选修11
[解析] 由双曲线的对称性，可设点P在第一象限， 由双曲线的方程，知a＝3，b＝4，∴c＝5. 由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝6. 上 式 两 边 平 方 ， 得 |PF1|2 ＋ |PF2|2 ＝ 36 ＋ 2|PF1|·|PF2| ＝ 36＋64＝100， 由余弦定理，得
[点评] 在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双 曲线的定义等是经常使用的知识点．另外，还经常结合 |PF1|－|PF2|＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的 联系，请同学们多加注意．
3．类比椭圆标准方程的推导方法，建立适当坐标系， 推导出双曲线的标准方程，但要注意在椭圆标准方程推导 中，是令b2＝a2－c2，而在双曲线标准方程的推导过程中， 是令b2＝c2－a2.
1．当用双曲线的定义来求解双曲线的标准方程时，可 直接求出a、b，写出对应的方程，而无须由距离公式写出 推导过程．
(不合题意舍去)．
当双曲线的焦点在 y 轴上时， 设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．
∵P1、P2 在双曲线上，∴(4a3222－a25()432－b27b4)22＝＝11
a12＝19 解得
b12＝116
，即 a2＝9，b2＝16.
∴所求双曲线方程为y92－1x62 ＝1.
解法二：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲 线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，因 P1、P2 在双曲线上，所 以有
中，由正弦定理，得
S△F1PF2
＝
1 2
|PF1|·|PF2|·sinθ＝1－sincoθsθ·b2＝b2·cotθ2.
[例4] 设声速是am/s.在相距10am的A、B两个哨所， 听到一炮弹爆炸声的时间相差6s，且B处的声强是A处声强 的4倍，试确定炮弹爆炸点P的位置，即确定P点到AB中点 M的距离及∠PMB的大小．(注：声强与距离的平方成反比)
(完整版)双曲线及其标准方程教学设计方案
三、学习者特征分析高一学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，但在数学的数形结合能力方面尚需进一步培养.通过前面的学习，学生已经掌握了椭圆的定义和基本性质.多数学生对数学学习有一定的兴趣，因此能够积极主动参与自主学习，合作探究，讨论交流，但由于学生各方面能力发展不够均衡，仍有小部分学生这方面能力需要加强.教学中我采用模拟图像、制作科学小视频、自主学习、合作探究、讨论交流，分组展示、质疑的教法和学法，尽可能的增加学生的课堂参与程度，真正做到学生是课堂的主人，教师是课堂的组织者、设计者、引导者。
课前教师注意教学活动的设计，备好各层次学生可能出现的问题，课堂上认真关注学生的活动，将时间、空间还给学生，注重师生交往的有效化，做好适时引导点拨。
另外，课上采用多媒体辅助教学，增强课堂直观性，增加课堂容量。
四、教学过程探究点1 双曲线的定义 问题1：椭圆的定义？：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.；问题2：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？ 即“平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于非零常数的点的轨迹 ”是什么？ 看图分析动点M 满足的条件： ①如图(A)，a F F MF MF 2221==-②如图(B)，a F F MF MF 2112==-即a MF MF 221-=-由①②可得：a MF MF 221=-（非零常数）上面两条曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支. 双曲线定义平面内与两个定点21F F ，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于21F F )的点的轨迹叫做双曲线.① 两个定点21F F ，——双曲线的焦点; ②c F F 221=——双曲线的焦距.a MF MF 221=-（022>>a c ）【举一反三】1.定义中为什么要强调差的绝对值？（若不加绝对值，则曲线为双曲线的一支）2.定义中的常数a 2可否为0，c a 22=,c a 22>？【说明】不能，若为0，曲线就是F1F2的垂直平分线了； 若为c a 22=,曲线应为两条射线； 若为c a 22>,这样的曲线不存在. 探究点2 双曲线的标准方程 1.建系.如图建立直角坐标系xOy ，使x 轴经过两焦点21F F ，，y 轴为线段21F F 的垂直平分线.2.设点.设()y x M ,为双曲线上任意一点,双曲线的焦距为)0(2>c c ,则)0(),0(21，，c F c F -，又设点M 与21F F ，的距离的差的绝对值等于常数a 2. 3.列式由定义可知，双曲线就是集合：{}a MF MF M P 2|21=-= 即()()a y c x y c x 22222±=+--++4.化简代数式化简得：()()22222222ac a y a x a c -=--两边同除以()222a c a -得：122222=--a c y a x 由双曲线的定义知，022>>a c ,即a c >,故022>-a c , 令222a c b -=，其中0>b ，代入上式得：()0,012222>>=-b a by a x上面方程是双曲线的方程,我们把它叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在x 轴上，焦点分别是)0(),0(21，，c F c F -的双曲线，这里()0,012222>>=-b a bx a y 222b a c +=.【想一想】焦点在y 轴上的双曲线的标准方程应该是什么？我们应该如何求解？【提升总结】1.椭圆与双曲线的定义比较2.当焦点不确定时，椭圆的方程可设为),0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+双曲线方程可设为)0(122<=+mn ny mx 。
学高中数学圆锥曲线与方程双曲线及其标准方程教学用书教案新人教A版选修
２．３双曲线２．３．１双曲线及其标准方程学习目标核心素养１．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．（重点）２．掌握双曲线的标准方程及其求法．（重点）３．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．（难点）１．通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养．２．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养．１．双曲线的定义把平面内与两个定点F１，F２距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F１F２|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．思考：（１）双曲线定义中，将“小于|F１F２|”改为“等于|F１F２|”或“大于|F１F２|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？（２）双曲线的定义中，F１、F２分别为双曲线的左、右焦点，若|MF１|—|MF２|＝２a（常数），且２a<|F１F２|，则点M的轨迹是什么？[提示] （１）当距离之差的绝对值等于|F１F２|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F１，F２，当距离之差的绝对值大于|F１F２|时，动点的轨迹不存在．（２）点M在双曲线的右支上．２．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）焦点F１（—c,0），F２（c,0）F１（0，—c），F２（0，c）a，b，c的关系c２＝a２＋b２１．动点P到点M（１,0）的距离与点N（３,0）的距离之差为２，则点P的轨迹是（）Ａ．双曲线Ｂ．双曲线的一支Ｃ．两条射线Ｄ．一条射线D[由已知|PM|—|PN|＝２＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP．]２．双曲线错误!—x２＝１的焦点坐标是（）Ａ．（±错误!，0）Ｂ．（0，±错误!）Ｃ．（0，±２）Ｄ．（±２,0）C[根据题意，双曲线的方程为错误!—x２＝１，其焦点在y轴上，且c＝错误!＝２；则其焦点坐标为（0，±２）．]３．椭圆错误!＋错误!＝１与双曲线错误!—错误!＝１有相同的焦点，则k应满足的条件是（）Ａ．k>３Ｂ．２<k<３Ｃ．k＝２Ｄ．0<k<２C[双曲线错误!—错误!＝１的焦点坐标为（±错误!，0），椭圆的焦点坐标为（±错误!，0），由椭圆错误!＋错误!＝１与双曲线错误!—错误!＝１有相同的焦点，可得３＋k＝9—k２，因为k>0，所以解得k＝２．]４．与双曲线错误!—错误!＝１具有相同焦点的双曲线方程是________（只写出一个即可）．错误!—错误!＝１[与错误!—错误!＝１具有相同焦点的双曲线方程为错误!—错误!＝１（—8＜k ＜１0）．]双曲线的定义及应用１２（１）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于１6，求点M到另一个焦点的距离；（２）若点P是双曲线上的一点，且∠F１PF２＝60°，求△F１PF２的面积．思路探究：（１）直接利用定义求解．（２）在△F１PF２中利用余弦定理求|PF１|·|PF２|．[解] （１）设|MF１|＝１6，根据双曲线的定义知||MF２|—１6|＝6，即|MF２|—１6＝±6．解得|MF|＝１0或|MF２|＝２２．２（２）由错误!—错误!＝１，得a＝３，b＝４，c＝５．由定义和余弦定理得|PF１|—|PF２|＝±6，|F１F２|２＝|PF１|２＋|PF２|２—２|PF１||PF２|cos 60°，∴１0２＝（|PF１|—|PF２|）２＋|PF１|·|PF２|，∴|PF１|·|PF２|＝6４，∴S错误!＝错误!|PF１|·|PF２|·sin ∠F１PF２＝错误!×6４×错误!＝１6错误!．PF１F２面积的方法１１根据双曲线的定义求出||PF１|—|PF２||＝２a；２利用余弦定理表示出|PF１|、|PF２|、|F１F２|之间满足的关系式；３通过配方，整体的思想求出|PF１|·|PF２|的值；４利用公式S错误!＝错误!×|PF１||PF|·sin∠F１PF２求得面积.２２利用公式S错误!＝错误!×|F１F２|×|y P|求得面积.错误!１．（１）已知定点F１（—２,0），F２（２,0），在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是（）Ａ．|PF１|—|PF２|＝±３Ｂ．|PF１|—|PF２|＝±４Ｃ．|PF１|—|PF２|＝±５Ｄ．|PF１|２—|PF２|２＝±４A[|F１F２|＝４，根据双曲线的定义知选Ａ．]（２）已知定点A的坐标为（１,４），点F是双曲线错误!—错误!＝１的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．9 [由双曲线的方程可知a＝２，设右焦点为F１，则F１（４,0）．|PF|—|PF１|＝２a＝４，即|PF|＝|PF|＋４，所以|PF|＋|PA|＝|PF１|＋|PA|＋４≥|AF１|＋４，当且仅当A，P，F１三点共线时取等号，此时|AF １|＝错误!＝错误!＝５，所以|PF|＋|PA|≥|AF１|＋４＝9，即|PF|＋|PA|的最小值为9．]１求双曲线的标准方程（１）a＝４，经过点A错误!；（２）与双曲线错误!—错误!＝１有相同的焦点，且经过点（３错误!，２）；（３）过点P错误!，Q错误!且焦点在坐标轴上．思路探究：（１）结合a的值设出标准方程的两种形式，将点A的坐标代入求解．（２）因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c２＝１6＋４＝２0，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．（３）双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解．[解] （１）当焦点在x轴上时，设所求标准方程为错误!—错误!＝１（b>0），把点A的坐标代入，得b２＝—错误!×错误!<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为错误!—错误!＝１（b>0），把A点的坐标代入，得b２＝9．故所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．（２）法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１（a>0，b>0），∴c２＝１6＋４＝２0，即a２＋b２＝２0．１∵双曲线经过点（３错误!，２），∴错误!—错误!＝１．２由１２得a２＝１２，b２＝8，∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．法二：设所求双曲线的方程为错误!—错误!＝１（—４<λ<１6）．∵双曲线过点（３错误!，２），∴错误!—错误!＝１，解得λ＝４或λ＝—１４（舍去）．∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．（３）设双曲线的方程为Ax２＋By２＝１，AB<0．∵点P，Q在双曲线上，∴错误!解得错误!∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．１．求双曲线标准方程的步骤（１）确定双曲线的类型，并设出标准方程；（２）求出a２，b２的值．２．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax２＋By２＝１（AB<0）来求解．错误!２．求以椭圆错误!＋错误!＝１的短轴的两个端点为焦点，且过点A（４，—５）的双曲线的标准方程．[解] 由题意，知双曲线的两焦点为F１（0，—３），F２（0,３）．设双曲线方程为错误!—错误!＝１（a>0，b>0），将点A（４，—５）代入双曲线方程，得错误!—错误!＝１．又a２＋b２＝9，解得a２＝５，b２＝４，所以双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．与双曲线有关的轨迹问题[１．到两定点F１，F２的距离之差是常数（小于|F１F２|）的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？[提示] 一支．２．求以两定点F１，F２为焦点的双曲线方程时，应如何建系？[提示] 以直线F１F２和线段F１F２的垂直平分线分别为x轴和y轴建系．【例３】如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝４错误!，且三个内角A，B，C满足２sin A＋sin C ＝２sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．思路探究：[解] 以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A （—２错误!，0），B（２错误!，0）．由正弦定理，得sin A＝错误!，sin B＝错误!，sin C＝错误!（R 为△ABC的外接圆半径）．∵２sin A＋sin C＝２sin B，∴２|BC|＋|AB|＝２|AC|，即|AC|—|BC|＝错误!＝２错误!<|AB|．由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支（除去与x轴的交点）．由题意，设所求轨迹方程为错误!—错误!＝１（x>a），∵a＝错误!，c＝２错误!，∴b２＝c２—a２＝6．即所求轨迹方程为错误!—错误!＝１（x>错误!）．求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法１列出等量关系，化简得到方程.２寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.提醒：１双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.２检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.错误!３．如图所示，已知定圆F１：x２＋y２＋１0x＋２４＝0，定圆F２：x２＋y２—１0x＋9＝0，动圆M 与定圆F１，F２都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解] 圆F１：（x＋５）２＋y２＝１，圆心F１（—５,0），半径r１＝１．圆F２：（x—５）２＋y２＝４２，圆心F２（５,0），半径r２＝４．设动圆M的半径为R，则有|MF１|＝R＋１，|MF２|＝R＋４，∴|MF２|—|MF１|＝３<１0＝|F１F２|．∴点M的轨迹是以F１，F２为焦点的双曲线的左支，且a＝错误!，c＝５，于是b２＝c２—a２＝错误!．∴动圆圆心M的轨迹方程为错误!—错误!＝１错误!．１．双曲线定义中||PF１|—|PF２||＝２a（２a＜|F１F２|）不要漏了绝对值符号，当２a＝|F１F２|时表示两条射线．２．在双曲线的标准方程中，a＞b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a２＝b ２＋c２，在双曲线中c２＝a２＋b２．３．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx２＋ny２＝１（mn ＜0）的形式求解．１．已知双曲线的一个焦点F１（0,５），且过点（0,４），则该双曲线的标准方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１B[由已知得，c＝５，a＝４，所以b＝３．所以双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．]２．若k∈R，方程错误!＋错误!＝１表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是（）Ａ．—３<k<—２Ｂ．k<—３Ｃ．k<—３或k>—２Ｄ．k>—２A[由题意可知错误!解得—３<k<—２，选择Ａ．]３．设m是常数，若点F（0,５）是双曲线错误!—错误!＝１的一个焦点，则m＝________．１6 [由点F（0,５）可知该双曲线错误!—错误!＝１的焦点落在y轴上，所以m＞0，且m＋9＝５２，解得m＝１6．]４．已知双曲线与椭圆错误!＋错误!＝１有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为４，求双曲线方程．[解] 因为椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为（0，—３），（0,３），A点的坐标为（错误!，４）或（—错误!，４），设双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１（a>0，b>0），所以错误!解得错误!所以所求的双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．。
高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程课件 新人教A版选修11[1]
![高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程课件 新人教A版选修11[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/fa6a5ca2be23482fb5da4caf.png)
F1（0, -c）、F2（ 0, c ）
特 （1）方程的右边(yòu bian)是1，方程的左边是平方差
的形式；
（2）双曲线的焦点所在的坐标轴与方程左边正项的分
征
子相对应。
第七页，共13页。
例1 已知双曲线两个焦点的坐标为F1(-5,0)F2(5,0)，双曲线上 一点P到F1 、F2的距离(jùlí)的差的绝对值等于6，求双曲线的 标准方程。
y F1 o
M（x，y） F2 x
（2）写出点M的集合(jíhé)；
P=｛M F1M - F2M = 2a｝
（3）列出方程；
∵ F1M (x c)2 y2 , F2M (x c)2 y2
∴ (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
（4）整理化简； (c2-a2)x2-b2y2=a2(c2-a2)
设||F1M|-|F2M||=2a, |F1F2|=2c,动点为M，则: M (1)当o＜2a＜2c时，动点M的轨迹是什么?
双曲线
F1
F2
(2)当o＜2a=2c时，动点M的轨迹是什么?
两条射线(shèxiàn)
(3)当2a=0时，动点M的轨迹是什么?
线段F1F2的垂直平分线
(4)当2a＞2c＞0时，动点M的轨迹是什么?
（1）若a=62，5b=3，焦点在x轴上； （2）若a= ，过点A（2，-5），
焦点在y轴上；
答（案(d3á）àn):3(若x16)2 －a=9y62 ，= c1 =10，焦点在坐标轴上。
(2)
y2 － x2 20 16
=
1
(3)
36 y = x 64 = 36 x 2 － y2
1或
第十一页，共13页。
令 c2-a2=b2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021年高中数学《2.2.1双曲线及其标准方程》教案2 新人教A版选修
1-1
教学过程一、新课导入：
1. 提问：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)
2. 在椭圆的标准方程中，有何关系，若，则写出符合条件的椭圆方程。
二、讲授新课：
1. 双曲线的定义：
①提问：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的
差”，那么点的轨迹会怎样？
如图2-23，定点是两个按钉，MN是一个细套管，
两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出一条曲线；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支．
②定义：平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫
做双曲线。
两定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
③（理科）类比椭圆标准方程的建立过程推导出双曲线的标谁方程。
（文科）简单讲解推导给出标准方程。
标准方程：
22
222
22
1,(0,0,)
x y
a b c a b
a b
-=>>=+（焦点在轴）
思考：若焦点在轴，标准方程又如何？
④例1、分析：由双曲线的标准方程知，只要求出即可得方程；
练习：1、已知双曲线的两焦点为，双曲线上任意点到的距离的差的绝对值等于，求此双曲线的标准方程。
2、双曲线的两焦点分别为，①若②若。