初中数学专题训练--整式方程--关于利用合并和移项求解方程

关于利用合并和移项求解方程的典型例题一
例 用适当的数或整式填空，使变形后的方程的解不变，并说明利用了解一元一次方程的哪一步骤．
（1）若253=+x ，则____3=x
（2）若3
14=
-x ，则____=x （3）若6113121=++x x x ，则611____= 分析：此题利用“移项”“合并同类项”“系数化为1”这三个步骤来完成． 解：（1）2－5（或－3），利用了移项这一步骤．
（2）)4(31-÷（或12
1-），利用了系数化为1这一步骤． （3）x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
++31211（或x 611），利用了合并同类项这一步骤． 说明：①严格按照解一元一次方程的步骤解答．
②熟练后，可按照括号内的数或整式填写．
关于移项的典型例题二
例 解下列方程：
（1）875=-x （2）5463+=+x x （3）2828-=-x x
（4）454436+=-
y y （5）x x +=-572
（6）31278+=+y y y 解：（1）移项，得785+=x
合并，得155=x
系数化为1，得3=x （2）移项，得
6543-=-x x
合并，得
1-=-x
1=x
（3）移项，得
8282--=--x x
合并，得
1010-=-x
系数化为1，得
1=x
（4）移项，得4
34546+=-y y
合并，得22=y
系数化为1，得1=y
（5）移项，得
752+=-x x 合并，得122
=-x 系数化为1，得24-=x
（6）合并，得
33=y
系数化为1，得
1=y
说明：（1）“合并”的依据是分配律，即相同字母不变，将相同字母前的系数相加，这一过程中要注意字母系数的符号，在这个过程中要充分体会其作用；（2）“移项”的依据是等式的性质1，体会应用等式性质1的过程，注意“移项”时要改变此项原来的符号．总之，解方程的过程就是将方程变形为a x =的过程，在解方程的过程中注意体会这种化归的数学思想．
关于利用合并和移项求解方程的典型例题三
例 已知五个连续整数中三个奇数的和比两个偶数的和多15，求这五个连续整数． 分析：一般常见的是设最大或最小的整数为x ，但此题设中间的整数为x ，简便多了． 解：设中间的整数为x ，则这五个连续整数从小到大为2,1,,1,2++--x x x x x ，其中2,,2+-x x x 为奇数，1,1+-x x 为偶数，则根据题意，得15)1()1()2()2(+++-=+++-x x x x x ，化简后1523+=x x ，移项得15=x ． 所以，这五个连续整数为13，14，15，16，17．
关于利用合并和移项求解方程的典型例题四
例 某种商品的市场需求量D （千件）和单价P （元/件）服从需求关系：03
1731
=-+P D ． （1）单价为4元时，市场需求量是多少？
（2）若出售一件商品要在原单价4元的基础上加收税金1元，那么市场需求量又是多少？
（3）商品原单价4元的，若出售一件商品可得政府的政策性补贴3
1元，于是销售商将
货价降低3
1元，那么市场需求量又是多少？ （4）若这种商品的进价是3元，则以上三种情况，销售商各获利多少元？
分析：（1）、（2）、（3）中只要将单价代入，通过解一元一次方程即可，（4）利用利润＝销售总额－进货总额计算．
解：（1）当4=P 时，03
17431=-+D ，移项化简后 3
531=D ，系数化为1，得5=D （千件）． （2）当514=+=P 时，03
17531=-+D 移项化简后， 3
231=D ，系数化为1，得2=D （千件）． （3）当311314=-=P 时 031731131=-+D ，移项化简后，23
1=D ，系数化为1，得6=D （千件）．
（4）在（1）中销售总额＝4×5 000＝20 000（元）
进货总额＝3×5 000＝15 000（元）
利润＝20 000－15 000＝5 000（元）
在（2）中销售总额＝4×2 000＝8 000（元）
进货总额＝3×2 000＝6 000（元）
利润＝8 000－6 000＝2 000（元）
在（3）中销售总额＝4×6 000＝24 000（元）．
进货总额＝3×6 000＝18 000（元）
利润＝24 000－18 000＝6 000（元）
所以，分别获利5 000元，2 000元，6 000元．
说明：①注意（2）（3）的销售价分别为5元，3
11元． ②计算（2）中获利时，将税金不能考虑在内．
③计算（3）中获利时，将政策性补贴考虑在内．
关于利用合并和移项求解方程的典型例题五
例 甲、乙两站间的距离是360千米，一列慢车从甲站开出，平均每小时行驶48千米，一列快车从乙站开出，平均每小时行驶72千米．
（1）若两车同时开出，相向而行，多少小时两车相遇？
（2）若快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时后两车相遇？
解：（1）设两车行驶了x 小时相遇，那么慢车行驶了48x 千米，快车行驶了72x 千米，得
3607248=+x x
合并，得
360120=x
系数化为1，得
3=x
答：两车行驶3小时后相遇．
（2）设慢车行驶了x 小时相遇，那么慢车行驶了48x 千米，而快车先行驶了12
572⨯千米，又行驶了72x 千米，得 3607212
57248=+⨯
+x x 移项，得 303607248-=+x x
合并，得
330120=x
系数化为1，得
4
32=x 答：慢车行驶了2小时45分后两车相遇．
说明：在这个有关相遇的问题中所用到的相等关系是；慢车行程＋快车行程＝两站距离．准确的表示相关的量，统一单位后列方程，即构建方程解决实际问题．这是数学中的建模思想，在解题中注意体会．
关于利用合并和移项求解方程的典型例题六
例 邮票不仅是邮资的一种体现方式，它还是一部小百科全书，融入了很多领域的知识，介绍了很多具有纪念意义的事件，具有收藏价值．小明很喜欢集邮，在他收集的邮票中有关植物的邮票共有181枚，其中花卉邮票的数量比树木邮票的数量的2倍少2枚，请你计算一下小明的花卉邮票和树木邮票各有多少枚？
解：设树木邮票x 枚，那么花卉邮票)22(-x 枚，则
18122=-+x x
移项，得
21812+=+x x
合并，得
1833=x
系数化为1，得
61=x
所以
12022=-x
答：小明的花卉邮票有120枚，树木邮票有61枚．
说明：本题的解题过程中，用到的相等关系是：总量=各分量之和，所以要注意找准表示各分量的式子，建立正确的数学模型．
关于利用合并和移项求解方程的典型例题七
例 游泳是同学们喜爱的一项体育运动．红日游泳馆的票价是每人次30元．现推出每月60元优惠卡政策，当月凭卡购买门票的价格是18元，你知道哪种购票方式比较划算吗？ 解：设每月游泳x 次，则不购买优惠卡要花去30x 元，用优惠卡要花去)1860(x +元．如果两种购票方式花去的钱一样，则
x x 186030+=
移项，得
601830=-x x
合并，得
6012=x
系数化为1，得
5=x
由上可知，如果一个月内能游泳5次的话，两种购票方式花费一样，如果多于5次的话，应购买优惠卡，如果少于5次的话，则不要购买优惠卡．
说明：这个问题是生活中常见的有关决策性的问题，往往先找到两种方式中，花费相同的次数，即“表示同一个量的两个不同的式子相等”作为相等关系，列方程求解，然后根据这个标准进一步判断，确定购票方案．
关于利用合并和移项求解方程的选择题
1．对于方程5332+=+x x ，下列移项错误的是（ ）
A ．3532-=-x x
B ．x x 2353-=-
C ．3532-=--x x
D ．3532-=+x x
2．与方程x x 312=-的解相同的方程是（ ）
A ．x -=-1
B ．132=-x x
C ．132=+x x
D ．123=-x x
3．在下列方程的变形中，正确的是（ ）
A ．由128=+x 得812+=x
B ．由x x 375=+得735=-x x
C ．由x +=35得35-=x
D ．由54=-x 得45-=x
4．将方程x x 532=-变形，正确的是（ ）
A ．352=-x x
B ．x x 253+=-
C ．325=-x x
D ．x x 235=-
5．甲数的5倍加4是乙数，设甲数为x ，则乙数与甲数的差可以表示为（ ）
A ．45+x
B ．4
C ．44+x
D ．44--x
6．三个连续自然数的和是27，则设其中的一个自然数是x ，下列方程错误的是（ ）
A ．2721=++++x x x
B ．2711=+++-x x x
C ．2712=+-+-x x x
D ．227-=++x x x
7．三角形三边长之比为2：2：3，最长边为15，则周长为（ ）
A ．35
B ．20
C ．15
D ．10
8．三个连续奇数的和是15，它们的积是（ ）
A ．15
B ．21
C ．105
D ．315
9．若2-=x 是方程m mx +=-156的解，则m 的值为（ ）
A ．3
B ．－3
C ．7
D ．－7
10．黄豆发芽后，其自身的重量可以增加7倍，那么要得到黄豆芽240千克，需要黄豆的千克数是（ ）
A ．30
B ．7
234
C ．35
D ．40 11．（湖南怀化，2001）方程412+=-x x 的解是（ ）
A ．2=x
B ．3=x
C ．4=x
D ．5=x
12．（湖北荆州，2001）如果0=x 是关于x 的方程423=-m x 的根，则m 的值是（ ）
A ．34
B ．－34
C ．2
D ．－2 13．（福州市，2002）陈华以8折的优惠价钱买了一双鞋子，节省了20元，那么他买鞋子时实际用了（ ）
A ．60元
B ．80元
C ．100元
D ．150元
14．（广西，2001）足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队打14场负5场共得19分，那么这个队胜了（ ）．
A ．3场
B ．4场
C ．5场
D ．6场
15．（湖北荆州，2003）小宁买了20本练习本，店主给他八折优惠（即以标价的80％出售），结果便宜了1.60元，则每本练习本的标价是（ ）．
A ．0.20元
B ．0.40元
C ．0.60元
D ．0.80元
16．（2002年大庆市中考题）如果代数式23-x 与
21互为倒数，那x 的值是（ ） A ．0 B ．32 C ．－32 D ．3
4
参考答案：
1． D 2．B 3．C 4．A 5．C 6．D 7．A 8．C
9．D 1 0．A 11．D 12．D 13．B
14．C （设这个队胜了x 场，则19)514(13=--⋅+x x ．解得5=x
15．B （设每本练习本的标价是x 元，则60.120%8020-=⋅x x ，解得40.0=x ）
16．D ．由题意223=-x ，易解3
4=x 关于利用合并和移项求解方程的选择题
1．对于方程5332+=+x x ，下列移项错误的是（ ）
A ．3532-=-x x
B ．x x 2353-=-
C ．3532-=--x x
D ．3532-=+x x
2．与方程x x 312=-的解相同的方程是（ ）
A ．x -=-1
B ．132=-x x
C ．132=+x x
D ．123=-x x
3．在下列方程的变形中，正确的是（ ）
A ．由128=+x 得812+=x
B ．由x x 375=+得735=-x x
C ．由x +=35得35-=x
D ．由54=-x 得45-=x
4．将方程x x 532=-变形，正确的是（ ）
A ．352=-x x
B ．x x 253+=-
C ．325=-x x
D ．x x 235=-
5．甲数的5倍加4是乙数，设甲数为x ，则乙数与甲数的差可以表示为（ ）
A ．45+x
B ．4
C ．44+x
D ．44--x
6．三个连续自然数的和是27，则设其中的一个自然数是x ，下列方程错误的是（ ）
A ．2721=++++x x x
B ．2711=+++-x x x
C ．2712=+-+-x x x
D ．227-=++x x x
7．三角形三边长之比为2：2：3，最长边为15，则周长为（ ）
A ．35
B ．20
C ．15
D ．10
8．三个连续奇数的和是15，它们的积是（ ）
A ．15
B ．21
C ．105
D ．315
9．若2-=x 是方程m mx +=-156的解，则m 的值为（ ）
A ．3
B ．－3
C ．7
D ．－7
10．黄豆发芽后，其自身的重量可以增加7倍，那么要得到黄豆芽240千克，需要黄豆的千克数是（ ）
A ．30
B ．7
234
C ．35
D ．40 11．（湖南怀化，2001）方程412+=-x x 的解是（ ）
A ．2=x
B ．3=x
C ．4=x
D ．5=x
12．（湖北荆州，2001）如果0=x 是关于x 的方程423=-m x 的根，则m 的值是（ ）
A ．34
B ．－3
4 C ．2 D ．－2 13．（福州市，2002）陈华以8折的优惠价钱买了一双鞋子，节省了20元，那么他买鞋子时实际用了（ ）
A ．60元
B ．80元
C ．100元
D ．150元
14．（广西，2001）足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队打14场负5场共得19分，那么这个队胜了（ ）．
A ．3场
B ．4场
C ．5场
D ．6场
15．（湖北荆州，2003）小宁买了20本练习本，店主给他八折优惠（即以标价的80％出售），结果便宜了1.60元，则每本练习本的标价是（ ）．
A ．0.20元
B ．0.40元
C ．0.60元
D ．0.80元
16．（2002年大庆市中考题）如果代数式23-x 与
21互为倒数，那x 的值是（ ） A ．0 B ．32 C ．－32 D ．3
4
参考答案：
1． D 2．B 3．C 4．A 5．C 6．D 7．A 8．C
9．D 1 0．A 11．D 12．D 13．B
14．C （设这个队胜了x 场，则19)514(13=--⋅+x x ．解得5=x
15．B （设每本练习本的标价是x 元，则60.120%8020-=⋅x x ，解得40.0=x ）
16．D ．由题关于利用合并和移项求解方程的解答题
1．解下列一元一次方程：
（1）21632=++x x （2）y y 3942-=-
（3）32685+=-+a a a （4）45.15.03=--m m m
（5）
322
1+=-x x （6）x x 45.15.35+-=+ （7）x -=3 （8）1413+=+x x
（9）132-=x （10）3
443=-x （11）2131-=-x （12）x x 3
265543-=- （13）454436+=-y y （14）132-=x x 2．有若干本连环画册分给小朋友，每人8本，则余14本；每人9本，则少3本，问共有几个小朋友分这批连环画册？
3．一长方体的长、宽、高之比为5：4：3，长比高长4cm ，那么这个长方体的体积是多少？ 不行
4．三个连续偶数的和比其中最大的一个大10，求这三个偶数．
5．A 、B 两地相距1000千米，甲、乙两列火车分别从A 、B 两地同时出发相向而行，两车在途中相遇．甲车在相遇后15小时到达B 地，乙车在相遇后3
26小时到达A 地．若乙车的速度是甲车速度的1.5倍，分别求两车的速度．
6．某工厂接受一批生产新型机器的任务，完成总任务的14％后，又生产了58台，还剩下200台没完成，问共需要生产多少台新型机器才能完成任务？
7．某种商品的进价是400元，标价为600元，打折销售时的利润率为5％，那么此商品是按几折销售的？
8．中草药是我国医学界在药物方面的重大成就．某种中草药含有甲、乙、丙、丁四种草药成分．这四种成分的重量之比是外0.7：1：2：4.7．现在要配制这种中草药2100克，四种草药分别需要多少克？
9．某同学在A 、B 两家超市发现他看中的复读机的单价相同，书包单价也相同．复读机和书包单价之和是452元，且复读机的单价比书包单价的4倍少8元．
（1）求该同学看中的复读机和书包的单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，A 超市所有商品打8折销售，B 超市全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用）．但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买省钱？
10．为了预防常见传染病的发生，保障学校师生的健康，学校准备印制宣传手册．现有两家公司可以印制手册，甲公司提出：每册收材料费5元，另收设计费1500元；乙公司提出：每册收材料费8元，不收设计费．如果学校派你去联系这批宣传授册的印制事宜，你会选择哪家公司，说明理由．
11．篮球赛的组织者要出售球票，需要付给售票处12％的酬金，如果组织者要在扣除酬金后，每张球票净得12元，如果按精确到0.1元的要求，你能否计算出球票定在多少钱比较合适．
12．小春从家到学校，如果每分钟走100米，就会迟到3分钟；如果每分钟走150米，就会早到3分钟，请你分析说明小者每分钟走多少米才能按时到校？
13．（2002年重庆市中考题）有位顾客到商店购鞋，仅知道自己的旧尺码为43码，而不知道自己的新鞋号，他记得自己旧尺码加上一个数后折半计算为新鞋号，由于他儿子的新旧尺码都是整数，因而他知道儿子穿鞋的旧尺码为40码，新鞋号是25号，现在请你帮这位顾客计算一下他的新鞋号．
14．足球表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑、白皮块数目比为3：5，一个足球表面一共有32个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少个？
15．作研究过日历吗？如果仔细研究你会发现，日历中存在着很多数学问题．做做下面的游戏：
（1）准备好一份某个月的日历，任意圈出一列上的四个数字，并计算出它们的和，然后把你得到的和告诉你的同伴，看看他能否知道你圈出的是哪几个数字；
（2）用正方形在你准备的日历上圈出2×2的一组数据，并且计算出它们的和，再让你的同伴猜猜是哪些数据．
参考答案：
1．（1）3=x （2）513=y （3）3
5=a （4）4=m （5）10-=x （6）5-=x
（7）3-=x （8）0=x （9）23-=x （10）916-=x （11）65=x （12）521-=x （13）1=y （14）5
2=x 2．设共有x 个小朋友分这批连环画册，则173
9148=-=+x x x 3．设每份为x ，则24
35==-x x x ，即长为5×2＝10，宽为4×2＝8，高为3×2＝6，体积是10×8×6＝480（cm 3）
4．设中间的偶数为x ，则610
222=++=+++-x x x x x ，所以三个偶数为4，6，8．
5．设甲车的速度是x 千米/时，则401000326
5.115==⨯+x x x ；所以乙车的速度
是605.1=x 千米/时． 6．设共需生产x 台机器才能完成任务，则30020058%14==++x x
x 7．设按x 折销售，则7%)51(40010600=+=⨯x x
8．设需甲、乙、丙、丁四种草药分别是0.7x 、x 、2x 、4.7x ，则25021007.427.0==+++x x x x x ，需甲、乙、丙、丁四种草药分别是175克、250克、500克、1175克．
9．（1）设书包的单价是x 元，则9245284==-+x x x ，则书包92元，随身听36084=-x 元．
（2）在超市A 购买随身听与书包各一件需花费现金：6.361%80452=⨯元400<元，所以可以在超市A 购买．在超市B 可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计花费362元＜400元，所以可以在超市B 购买，但361.6＜362，所以在超市A 购买更省钱．
10．设印刷x 册时，两家公司收费相同，则500815005==+x x
x ；则印刷500册以上选择甲公司，印刷500册以下应选择乙公司．
11．设球票应定在x 元，则6.1312%12≈=-x x x ．
12．设小春按时到校需x 分钟，则1515031501003100=⨯-=⨯+x x x ，则家与学校距离180********=⨯+x （米），小春速度为120151800=÷（米/分）
13．解法一：由旧尺码加上一个数折半为新鞋号，可得新鞋号的2倍减去旧尺码等于这个常数，所以，设他的新鞋号为x 号，则这个常数为432-x ，由儿子的新、旧鞋码，得这个常数为2×25－40，
所以40252432-⨯=-x ，易得5.26=x 号．
解法二：设这个常数为x ，则由儿子的新旧鞋码得
初中数学
精品设计 252
40=+x ，解得10=x ． 所以，他的新鞋号5.262
1043=+=（号）． 14．设黑色皮块有3x 个，则白色皮块有5x 个，根据题意，得3253=+x x ，解得4=x （个），则123=x 个，205=x 个
所以，黑色皮块有12个，白色皮块有20个．
15．略
意223=-x ，易解34
=x。