第二章推理与证明综合检测

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人教A版选修2-2第二章推理与证明综合测试题

2．B
【分析】
否定原命题的结论可得解.
【详解】
反证法证明命题时，要假设结论不成立．故用反证法证明命题“设实数、、满足，则、、中至少有一个数不小于 ”时的假设是“ 、、都小于 ”．
故选：B．
【点睛】
本题考查了反证法的概念，属基础题．
3．B
【分析】
通过阅读可以知道说法的正确性,通过计算可以知道说法的正确性.
A．甲付的税钱最多B．乙、丙两人付的税钱超过甲
C．乙应出的税钱约为 D．丙付的税钱最少
4．观察下列数的规律：，则第9个数是（）
A．21B．22C．33D．34
5．数列的前n项和，而，通过计算猜想 ( )
A． B． C． D．
6．n个连续自然数按规律排成下
根据规律，从2018到2020，箭头的方向依次为( )
16．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．如果函数与的“新驻点”分别为、，那么和的大小关系是________．
三、解答题
17．已式，并用数学归纳法给出证明.
18．（1）用综合法证明：对于任意，，有；
（2）用分析法证明：对于任意时，有 .
3．《九章算术衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱 ,乙持钱 ,丙持钱 ,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（）
【详解】
，
第7个数为，第8个数为，第9个数为 .
故选：D
【点睛】
本题考查数与式中的归纳推理，属于基础题.

[精品]新人教A版选修2-2高中数学第二章推理与证明综合检测和答案

第二章推理与证明综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半；所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半．以上推理运用的推理规则是( ) A ．三段论推理 B ．假言推理 C ．关系推理 D ．完全归纳推理 [答案] D[解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt 三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)B.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ∈N *，n ≥2)C.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(n －1)(n ∈N *)D.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *，n ≥2)[答案] B[解析] 记数列为{a n }，由已知观察规律：a 2比a 1多2，a 3比a 2多3，a 4比a 3多4，…，可知当n ≥2时，a n 比a n －1多n ，可得递推关系⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)．3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误 [答案] C[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C. 4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4 [答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.5．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 都成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12[答案] C[解析] 类比题目所给运算的形式，得到不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1的简化形式，再求其恒成立时a 的取值范围．(x －a )⊗(x ＋a )<1⇔(x －a )(1－x －a )<1 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0 不等式恒成立的充要条件是 Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0 即4a 2－4a －3<0 解得－12<a <32.故应选C.6．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[答案] D[解析] 项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，故应选D. 7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0 [答案] D[解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.解法2：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a 、b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，选D.8．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 、b 大小不定 [答案] B[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，因为c ＋1>c >0，c >c －1>0，所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b .9．若凸k 边形的内角和为f (k )，则凸(k ＋1)边形的内角和f (k ＋1)(k ≥3且k ∈N *)等于( )A ．f (k )＋π2B ．f (k )＋πC ．f (k )＋32πD ．f (k )＋2π [答案] B[解析] 由凸k 边形到凸(k ＋1)边形，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.10．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．有一个内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角是30°的等腰三角形 [答案] C[解析] ∵sin A a ＝cos B b ＝cos C c，由正弦定理得，sin A a ＝sin B b ＝sin C c ，∴sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin Cc，∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴∠B ＝∠C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形．11．若a ＞0，b ＞0，则p ＝(ab )a ＋b2与q ＝a b ·b a 的大小关系是( ) A ．p ≥q B ．p ≤q C ．p ＞q D ．p ＜q [答案] A若a ＞b ，则a b ＞1，a －b ＞0，∴pq ＞1；若0＜a ＜b ，则0＜a b ＜1，a －b ＜0，∴pq ＞1；若a ＝b ，则pq＝1，∴p ≥q .12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2011＝( )A.1 B ．2 C ．4 D ．5 [答案] C[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2011＝x 3＝4，故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①式的式子：______________________________，你所写的式子可用语言叙述为__________________________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数．14．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n(n ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n)>n2时，f (2k ＋1)－f (2k )＝________.[答案] 12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1[解析] f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋1f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12kf (2k ＋1)－f (2k)＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1.15．观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34；②si n 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________．[答案] sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.可以证明此结论是正确的，证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12sin(30°＋2α)－12＝34－12si n(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34. 16．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集F ＝{a ＋b 2|a ，b ∈Q }也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ③④[解析] 考查阅读理解、分析等学习能力．①整数a ＝2，b ＝4，ab不是整数；②如将有理数集Q ，添上元素2，得到数集M ，则取a ＝3，b ＝2，a ＋b ∉M ；③由数域P 的定义知，若a ∈P ，b ∈P (P 中至少含有两个元素)，则有a ＋b ∈P ，从而a ＋2b ，a ＋3b ，…，a ＋nb ∈P ，∴P 中必含有无穷多个元素，∴③对．④设x 是一个非完全平方正整数(x >1)，a ，b ∈Q ，则由数域定义知，F ＝{a ＋b x |a 、b ∈Q }必是数域，这样的数域F 有无穷多个．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，及b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1，即a 2＋b 2＋c 2≥13.18．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋2，……[证明] 2cos π4＝2·22＝ 22cos π8＝21＋cosπ42＝2·1＋222＝2＋ 2 2cos π16＝21＋cosπ82＝21＋122＋22＝2＋2＋ 2…19．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ·a n －1＝2·a n －1－1.(1)求a 2、a 3、a 4；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并写出数列{a n }的一个通项公式．[解析] (1)由a n ·a n －1＝2·a n －1－1得a n ＝2－1a n －1，代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得 a 2＝2－13＝53，a 3＝2－35＝75，a 4＝2－57＝97.(2)证明：由a n ·a n －1＝2·a n －1－1变形，得 (a n －1)·(a n －1－1)＝－(a n －1)＋(a n －1－1)，即1a n －1－1a n －1－1＝1，所以{1a n －1}是等差数列．由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1，变形得a n －1＝22n －1，所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的一个通项公式．20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负根．[解析] (1)证法1：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，且a x 1>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴f (x 2)－f (x 1)＝x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f ′(x )＝a xln a ＋x ＋1－(x －2)(x ＋1)2＝a x ln a ＋3(x ＋1)2∵a >1，∴ln a >0，∴a xln a ＋3(x ＋1)2>0，f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立，即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0则a x 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．解法2：设x 0<0(x 0≠－1)①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，a x 0<1，∴f (x 0)<－1.②若x 0<－1则x 0－2x 0＋1>0，a x 0>0， ∴f (x 0)>0.综上，x <0(x ≠－1)时，f (x )<－1或f (x )>0，即方程f (x )＝0无负根．21．(本题满分12分)我们知道，在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形 ∵c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，∴c ＞a, c ＞b ，由c 是△ABC 的最大边，所以要证△ABC 是锐角三角形，只需证角C 为锐角，即证cos C ＞0.∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴要证cos C ＞0，只要证a 2＋b 2＞c 2，① 注意到条件：a n ＋b n ＝c n ，于是将①等价变形为：(a 2＋b 2)c n －2＞c n .② ∵c ＞a ，c ＞b ，n ＞2，∴c n －2＞a n －2，c n －2＞b n －2，即c n －2－a n －2＞0，c n －2－b n －2＞0，从而(a 2＋b 2)c n －2－c n ＝(a 2＋b 2)c n －2－a n －b n ＝a 2(c n －2－a n －2)＋b 2(c n －2－b n －2)＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C ＞0，C 是锐角，△ABC 为锐角三角形．22．(本题满分14分)(2010·安徽理，20)设数列a 1，a 2，…a n ，…中的每一项都不为0.证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ＋，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1. [分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性．[证明] 先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n－1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N ＋都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d .假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＝k －1a 1a k，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1② 将①代入②，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k . 将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后，得a k ＋1＝a 1＋kd . 由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ，都有a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以{a n }是公差为d 的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有1 a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＝na1a n＋1，①1 a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＋1a n＋1a n＋2＝n＋1a1a n＋1.②②－①得1a n＋1a n＋2＝n＋1a1a n＋2－na1a n＋1，在上式两端同乘a1a n＋1a n＋2，得a1＝(n＋1)a n＋1－na n＋2.③同理可得a1＝na n－(n－1)a n＋1(n≥2)④③－④得2na n＋1＝n(a n＋2＋a n)即a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意n∈N*均成立．所以{a n}是等差数列．。

高中数学选修2-2：第2章推理与证明章末综合测评含答案

章末综合测评(二)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面四个推理不是合情推理的是()A．由圆的性质类比推出球的有关性质B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．【答案】 C2．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是() A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案【解析】根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.【答案】 C3．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选B.4．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( )A ．完全正确B ．推理形式不正确C ．不正确，两个“自然数”概念不一致D ．不正确，两个“整数”概念不一致【解析】大前提“凡是自然数都是整数”正确．小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确．【答案】 A5．用数学归纳法证明“5n －2n 能被3整除”的第二步中，当n ＝k ＋1时，为了使用假设，应将5k ＋1－2k ＋1变形为( )A ．(5k －2k )＋4×5k －2kB ．5(5k －2k )＋3×2kC ．(5－2)(5k －2k )D ．2(5k －2k )－3×5k【解析】 5k ＋1－2k ＋1＝5k ·5－2k ·2＝5k ·5－2k ·5＋2k ·5－2k ·2＝5(5k －2k )＋3·2k . 【答案】 B6．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n ＝________时等式成立．( )A ．k ＋1B ．k ＋2C ．2k ＋2D ．2(k ＋2)【解析】根据数学归纳法的步骤可知，n ＝k (k ≥2且k 为偶数)的下一个偶数为n ＝k ＋2，故选B.7．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123 D．199【解析】利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．【答案】 C8．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c ＝0，求证：b2－ac<3a”最终的索因应是() 【导学号：05410056】A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0【解析】因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以3c<a＋b＋c<3a，即a>0，c<0.要证明b2－ac<3a，只需证明b2－ac<3a2，只需证明(－a－c)2－ac<3a2，只需证明2a2－ac－c2>0，只需证明2a＋c>0(a>0，c<0，则a－c>0)，只需证明a ＋c＋(－b－c)>0，即证明a－b>0，这显然成立，故选A.【答案】 A9．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有() A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－nB．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－nC．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－nD ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 21－n 【解析】令n ＝10时，验证即知选B. 【答案】 B10．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a 2 016－5＝( )图1A ．2 018×2 014B ．2 018×2 013C ．1 010×2 012D ．1 011×2 013【解析】 a n －5表示第n 个梯形有n －1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n ＋2个．∴a n －5＝(n －1)(n ＋6)2，∴a 2 016－5＝2 015×2 0222＝2 013×1 011. 【答案】 D11．在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图2中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝( )图2A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 009【解析】依题意a 1＝1，a 2＝1；a 3＝－1，a 4＝2；a 5＝2，a 6＝3；…，归纳可得a 1＋a 3＝1－1＝0，a 5＋a 7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a 2 015＋a 2 017＝0，a 2＝1，a 4＝2，a 6＝3，…，进而可归纳得a 2 016＝12×2 016＝1 008，a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝1 008.故选C.【答案】 C 12．记集合T＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104|a i ∈T ，i ＝1，2，3，4，将M 中的元素按从大到小排列，则第2 016个数是( )A.710＋9102＋8103＋4104B.510＋5102＋7103＋2104 C.510＋5102＋7103＋3104 D.710＋9102＋9103＋1104【解析】因为a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104＝1104(a 1×103＋a 2×102＋a 3×101＋a 4)，括号内表示的10进制数，其最大值为9 999，从大到小排列，第2 016个数为9 999－2 016＋1＝7 984，所以a 1＝7，a 2＝9，a 3＝8，a 4＝4. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为__________．【解析】圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.【答案】经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1 14．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是________ .【导学号：05410057】【解析】依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个“整数对”，注意到10×(10＋1)2＜60＜11×(11＋1)2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．【答案】 (5,7)15．当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，你能得到的结论是__________．【解析】根据题意，由于当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，左边第二个因式可知为a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n ，那么对应的表达式为(a －b )·(a n ＋a n －1b＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋1.【答案】 (a －b )(a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋116．如图3，如果一个凸多面体是n (n ∈N ＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f (n )对异面直线，则f (4)＝________，f (n )＝__________.(答案用数字或n 的解析式表示)图3【解析】所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n ＋n ＋n (n －3)2＝n (n ＋1)2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f (4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f (n )＝n (n －2)＋n (n －3)2·(n －2)＝n (n －1)(n －2)2.【答案】 n (n ＋1)2 12 n (n －1)(n －2)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.【证明】 (1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ， ∴lg a ＋b2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2.(2)要证6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)观察以下各等式： sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34， sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34， sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．【解】猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°) ＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α2＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.19．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N ＋)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解】 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0， ∵p ，q ，r ∈N ＋，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．20．(本小题满分12分)点P 为斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos ∠DFE .扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．【解】(1)因为PM⊥BB1，PN⊥BB1，又PM∩PN＝P，所以BB1⊥平面PMN，所以BB1⊥MN.又CC1∥BB1，所以CC1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cos α.其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角．证明如下：因为CC1⊥平面PMN，所以上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，因为PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos∠MNP，所以PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，所以S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cos α.21．(本小题满分12分)如图4，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5.求证：图4(1)直线P A∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.【证明】 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A . 又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .22．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a n n －a n(n ≥2)． (1)求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明；(2)设b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1，求证：对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n 3.【解】 (1)容易求得：a 3＝17，a 4＝110.故可以猜想a n ＝13n －2，n ∈N ＋. 下面利用数学归纳法加以证明：①显然当n ＝1,2,3,4时，结论成立，②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N ＋)时，结论也成立，即a k ＝13k －2.那么当n ＝k ＋1时，由题设与归纳假设可知：a k ＋1＝(k －1)a k k －a k ＝(k －1)×13k －2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1＝k －1(3k ＋1)(k －1) ＝13k ＋1＝13(k ＋1)－2. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上，对任意n ∈N ＋，a n ＝13n －2成立． (2)b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1 ＝13n －2·13n ＋113n －2＋13n ＋1 ＝13n ＋1＋3n －2 ＝13(3n ＋1－3n －2)，所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝13[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n ＋1－3n －2)] ＝13(3n ＋1－1)，所以只需要证明13(3n ＋1－1)<n3⇔3n ＋1<3n ＋1⇔3n ＋1<3n ＋23n＋1⇔0<23n(显然成立)，所以对任意的n∈N＋，都有b1＋b2＋…＋b n<n 3.。

高中数学第二章推理与证明综合检测新人教A版选修12

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学第二章推理与证明综合检测新人教A 版选修1-2(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·日照高二检测)有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误【解析】该推理的形式不符合三段论推理模式，故结论错误．【答案】 C2．下列推理过程是类比推理的是( )A ．人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为12B ．科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C ．通过检测溶液的pH 值得出溶液的酸碱性D ．数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数【解析】 A 为归纳推理，C ，D 均为演绎推理．故选B. 【答案】 B3．求证：3＋7＜2 5.证明：因为3＋7和25都是正数，所以为了证明3＋7＜25，只需证明(3＋7)2＜(25)2，展开得10＋221＜20，即21＜5，只需证明21＜25. 因为21＜25成立，所以不等式3＋7＜25成立．上述证明过程应用了( ) A ．综合法 B ．分析法C ．综合法、分析法配合使用D ．间接证法【解析】结合证明特征可知，上述证明过程用了分析法，其属于直接证明法．【答案】 B4．如图1所示为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排，那么第36颗珠子的颜色是( )—○ ○ ○ ● ● ○ ○ ○ ● ● ○ ○ ○ ● ●—图1A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大【解析】每3个白珠和2个黑珠看作一组，前7组共有35颗珠子，因此第36颗珠子应为白色珠．【答案】 A5．(2012·江西高考)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为( )A．76 B．80C．86 D．92【解析】由题意知|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，则可归纳出等式右端值与不同整数解的个数成倍数关系，且解的个数为等式值的4倍，则|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.【答案】 B6．下面所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，α所表示的数是( )11 2 11 3 3 11 4 α 4 11 5 10 10 5 1图2A．2 B．4C．6 D．8【解析】由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故α＝3＋3＝6.【答案】 C7．(2013·大连高二检测)由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①由“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②由“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③由“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ④由“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b |”．以上结论正确的是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．②④【解析】因为向量运算满足交换律、乘法分配律，向量没有除法，不能约分，所以①②正确，③错误．又因为|a·b|＝|a|·|b |·|cos〈a ，b 〉|，所以④错误．【答案】 B8．如图3所示，4个小动物换座位，开始时鼠，猴，兔，猫分别坐1,2,3,4号座位，如果第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 012次互换座位后，小兔所坐的座位号是( )图3A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】由题意得第4次互换座位后，4个小动物又回到了原座位，即每经过4次互换座位后，小动物回到原座位，所以第2 012次互换座位后的结果与最初的位置相同，故小兔坐在第3号座位上．【答案】 C9．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( ) A ．三个内角中至少有一个钝角 B ．三个内角中至少有两个钝角 C ．三个内角都不是钝角D ．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角【解析】 “至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．【答案】 B10．(2013·唐山高二检测)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列式子：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x2＋4x 2≥3，…类比有x ＋a xn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a 的值为( )A ．n nB ．nC ．n ＋1D ．n －1【解析】由观察可得：x ＋ax n ＝＋ax n ≥(n ＋1)·n ＋1x n ·x n ·…x n ·a x n ＝(n ＋1)·n ＋1an n ＝n ＋1，则a ＝n n .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．(2013·苏州高二检测)对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题“__________________________”，这个类比命题的真假性是____________．【解析】边类比半平面，角类比二面角可得．【答案】如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补假命题12．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f x，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝________.【解析】 ∵f (x ＋2)＝1f x，∴f (x ＋4)＝1fx ＋2＝f (x )， ∴f (5)＝f (1＋4)＝f (1)＝－5， ∴f (f (5))＝f (－5)＝f (3)＝1f 1＝－15. 【答案】－1513．(2013·马鞍山高二检测)观察以下不等式 1＋122＜32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， ……可归纳出对大于1的正整数n 成立的一个不等式1＋122＋132＋…＋1n 2＜f (n )，则不等式右端f (n )的表达式应为________(n ＞1，n ∈N )．【解析】由所给不等式可知，分子为3,5,7，…；分母为2,3,4，… 寻找规律可知f (n )＝2n －1n.【答案】2n －1n14．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．将命题类比到三棱锥中，得到一个类似的命题为__________________________________.【答案】在三棱锥A －BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13·(AB →＋AC →＋AD →)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知a ，b 是正有理数，a ，b 是无理数，证明：a ＋b 必为无理数．【证明】假设a ＋b 为有理数，记p ＝a ＋b ，因为a ，b 是正有理数，所以p ＞0.将a ＝p －b 两边平方，得a ＝p 2＋b －2p b ，所以b ＝p 2＋b －a2p.因为a ，b ，p 均为有理数，所以b 必为有理数，这与已知条件矛盾，故假设错误．所以a ＋b 必为无理数．16．(本小题满分12分)如图4，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点．图4求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面PAD .【证明】 (1)在△PAD 中，因为E 、F 分别为AP 、AD 的中点，所以EF ∥PD . 又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF ∥平面PCD .(2)连接BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD .因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BF ⊥平面PAD . 又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD .17．(本小题满分12分)(2013·广东高考)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：a 2＝4a 1＋5； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12. 【解】 (1)证明：由4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，得4S 1＝a 22－4－1，即4a 1＝a 22－4－1，所以a 22＝4a 1＋5. 因为a n >0，所以a 2＝4a 1＋5. (2)因为4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，① 所以当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1， ②由①－②得4a n ＝a 2n ＋1－a 2n －4，即a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2(n ≥2)．因为a n >0，所以a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)．因为a 2，a 5，a 14成等比数列，所以a 25＝a 2a 14，即(a 2＋3×2)2＝a 2(a 2＋12×2)，解得a 2＝3.又由(1)知a 2＝4a 1＋5，所以a 1＝1，所以a 2－a 1＝2. 综上知a n ＋1－a n ＝2(n ∈N *)，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列．所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (3)证明：由(2)知1a n a n ＋1＝12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1)＝12－14n ＋2<12. 18．(本小题满分14分)(2013·宁波高二检测)已知△ABC 的三边a 、b 、c 的倒数成等差数列，试分别用分析法和综合法证明∠B 为锐角．【证明】法一(分析法) 要证明∠B 为锐角，只需证cos B ＞0，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，所以只需证明a 2＋c 2－b 2＞0，即a 2＋c 2＞b 2. 因为a 2＋c 2≥2ac ，所以只需证明2ac ＞b 2. 由已知2b ＝1a ＋1c，即2ac ＝b (a ＋c )，所以只需证明b (a ＋c )＞b 2，即只需证明a ＋c ＞b .而a ＋c ＞b 显然成立，所以∠B 为锐角．法二(综合法) 由题意：2b ＝1a ＋1c ＝a ＋cac，则b ＝2aca ＋c，∴b (a ＋c )＝2ac . ∵a ＋c ＞b ， ∴b (a ＋c )＝2ac ＞b 2.∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac＞0.又∵0＜∠B ＜π，∴0＜∠B ＜π2，即∠B 为锐角．。

数学：第二章《推理与证明》测试(2)(新人教A版选修1-2)

高中新课标选修（1-2）推理与证明测试题一选择题（5×12=60分）1. 如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色的（）A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大 2．“所有9的倍数（M ）都是3的倍数（P ），某奇数（S ）是9的倍数（M ），故某奇数（S ）是3的倍数（P ）.”上述推理是（）A ．小前提错B ．结论错C ．正确的D ．大前提错 3．F （n ）是一个关于自然数n 的命题，若F （k ）（k ∈N ＋）真，则F （k ＋1）真，现已知F （7）不真，则有：①F （8）不真；②F （8）真；③F （6）不真；④F （6）真；⑤F （5）不真；⑥F （5）真.其中真命题是（）A ．③⑤B ．①②C ．④⑥D ．③④ 4.下面叙述正确的是（）A ．综合法、分析法是直接证明的方法B ．综合法是直接证法、分析法是间接证法C ．综合法、分析法所用语气都是肯定的D ．综合法、分析法所用语气都是假定的 5．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（）① 各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；② 各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③ 各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。

A ．①B ．①②C ．①②③D ．③6．（05·春季上海，15）若a ，b ，c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对x ∈R ，有ax 2＋bx ＋c ＞0”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件7．（04·全国Ⅳ，理12）设f （x ）（x ∈R ）为奇函数，f （1）＝12 ，f （x ＋2）＝f （x ）＋f（2），f （5）＝（）A ．0B ．1C ．52D ．58．设S （n ）＝1n ＋1n ＋1 ＋1n ＋2 ＋1n ＋3 ＋…＋1n2 ，则（）A ．S （n ）共有n 项，当n ＝2时，S （2）＝12 ＋13B ．S （n ）共有n ＋1项，当n ＝2时，S （2）＝12＋13＋14C ．S （n ）共有n 2－n 项，当n ＝2时，S （2）＝12＋13＋14D ．S （n ）共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，S （2）＝12＋13＋149．在R 上定义运算⊙：x ⊙y ＝x2－y ，若关于x 的不等式（x －a ）⊙（x ＋1－a ）＞0的解集是集合｛x ｜－2≤x ≤2，x ∈R ｝的子集，则实数a 的取值范围是（） A ．－2≤a ≤2 B ．－1≤a ≤1 C ．－2≤a ≤1 D ．1≤a ≤210．已知f （x ）为偶函数，且f （2＋x ）＝f （2－x ），当－2≤x ≤0时，f （x ）＝2x，若n ∈N *，a n ＝f （n ），则a 2006＝（）A ．2006B ．4C ．14D ．－411．函数f （x ）在［－1，1］上满足f （－x ）＝－f （x ）是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（）A ．f （sin α）＞f （sin β）B ． f （c o s α）＞f （sin β）C ．f （c o s α）＜f （c o s β）D ．f （sin α）＜f （sin β）12．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。

人教新课标版数学高二选修2-2检测第2章《推理与证明》综合检测

综合检测(二)第二章推理与证明(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·开封高二检测)根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是()A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案【解析】根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.【答案】 C2．下面四个推理不是合情推理的是()A．由圆的性质类比推出球的有关性质B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】A是类比推理，B、D是归纳推理，C不是合情推理．【答案】 C3．设n为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(6)>52，f(8)>3，f(10)>72，观察上述结果，可推测出一般结论为()A．f(2n)＝n＋22B．f(2n)>n＋22C ．f (2n )≥n ＋22 D ．f (n )>n2【解析】观察所给不等式，不等式左边是f (2n )，右边是n ＋22，故选C. 【答案】 C4．(2013·厦门高二检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A.2nn ＋1B.3n －1n ＋1 C.2n ＋1n ＋2D.2nn ＋2【解析】由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2， ∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3， ∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110， S 4＝85.由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64， S 4＝85可以猜想S n ＝2n n ＋1.【答案】 A5．(2013·广州高二检测)已知x ＞0，由不等式x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，…，可以推出结论：x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝( )A．2n B．3nC．n2D．n n【解析】可以推出结论(x＞0)：即x＋n nx n≥n＋1(n∈N*)，所以a＝n n.【答案】 D6．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝n(2n2＋1)3时，从n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是()A．(k－1)2＋2k2B．(k＋1)2＋k2C．(k＋1)2D.13(k＋1)[2(k＋1)2＋1]【解析】n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2…＋22＋12，n ＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，∴从n＝k到n＝k＋1，左边应添加的式子为(k＋1)2＋k2.【答案】 B7．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有() A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－nB．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－nC．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－nD．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b21－n【解析】令n＝10时，验证即知选B.【答案】 B8．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n>1324的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边的变化情况为()A．增加12(k＋1)B．增加12k＋1＋12(k＋1)C．增加12k＋1＋12(k＋1)，减少1k＋1D．增加12(k＋1)，减少1k＋1【解析】当n＝k时，不等式的左边＝1k＋1＋1k＋2＋…＋1k＋k，当n＝k＋1时，不等式的左边＝1k＋2＋1k＋3＋…＋1(k＋1)＋(k＋1)，所以1k＋2＋1k＋3＋…＋1(k＋1)＋(k＋1)－(1k＋1＋1k＋2＋…＋1k＋k)＝12k＋1＋12(k＋1)－1k＋1，所以由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边增加12k＋1＋12(k＋1)，减少1k＋1.【答案】 C9．(2013·黄山高二检测)将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a2 012－5＝()图1A．2018×2012 B．2018×2011C．1009×2012 D．1009×2011【解析】a n－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n＋2个．∴a n－5＝(n－1)(n＋6)2，∴a2 012＝2 011×2 0182＝1 009×2 011.【答案】 D10．(2012·江西高考)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．199【解析】利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)11．已知x，y∈R，且x＋y<2，则x，y中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．【解析】“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x，y都大于1”．【答案】x，y都大于112．设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，________，________，T16T12成等比数列．【解析】由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．即T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．【答案】 T 8T 4 T 12T 813．(2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.【解析】由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1n 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－2n ，于是N (n ，24)＝11n 2－10n .故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.【答案】 1 00014．(2013·中山高二检测)在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比AE EB ＝ACBC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图2所示)，面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．图2【解析】 CE 平分角ACB ，而面CDE 平分二面角A －CD －B .∴AC BC 可类比成S△ACDS△BCD，故结论为AEEB＝S△ACDS△BCD.【答案】AEEB＝S△ACDS△BCD三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)用综合法或分析法证明：(1)如果a，b>0，则lg a＋b2≥lg a＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.【证明】(1)当a，b>0时，有a＋b2≥ab，∴lga＋b2≥lg ab，∴lg a＋b2≥12lg ab＝lg a＋lg b2.(2)要证6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立．16．(本小题满分12分)(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【解】法一(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝3 4.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin2α－32sin αcos α－12sin2α＝3 4sin 2α＋34cos2α＝34.法二(1)同法一．(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝3 4.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos(60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝1 2－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin2α＝1 2－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.17．(本小题满分12分)等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1＋2，S3＝9＋3 2.(1)求数列{a n}的通项a n与前n项和S n；(2)设b n＝S nn(n∈N*)，求证：数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解】 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0， ∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴(p ＋r 2)2＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列． 18．(本小题满分14分)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)．求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n ·[f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．【证明】当n ＝2时，左边＝f (1)＝1，右边＝2(1＋12－1)＝1，左边＝右边，等式成立．假设n ＝k 时，结论成立，即 f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]，那么，当n ＝k ＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k) ＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)[f(k＋1)－1]－kk＋1＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时结论仍然成立．∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．。

高中数学第二章推理与证明章末综合检测二含解析新人教A版选修

高中数学第二章推理与证明章末综合检测二含解析新人教A版选修章末综合检测（二）（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.根据偶函数定义可推得“函数f（x）＝x2在R上是偶函数”的推理过程是（）A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理D.非以上答案解析：选C.根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理.2.余弦函数是偶函数，f（x）＝cos（x＋1）是余弦函数，因此f（x）＝cos（x＋1）是偶函数，以上推理（）A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确解析：选C.f（x）＝cos（x＋1）不是余弦函数，所以小前提错误.3.如图所示，黑、白两种颜色的正六边形地板砖按图中所示的规律拼成若干个图案，则第n个图案中白色地板砖的块数是（）A.4n＋2B.4n－2C.2n＋4D.3n＋3解析：选A.由题图可知，当n＝1时，a1＝6；当n＝2时，a2＝10；当n＝3时，a3＝14.由此推测，第n个图案中白色地板砖的块数是a n＝4n＋2.4.设a，b，c，d都是非零实数，则四个数：－ab，ac，bd，cd（）A.都是正数B.都是负数C.两正两负D.一正三负或一负三正解析：选D.因为a，b，c，d都是非零实数，所以a，b，c，d中一定有2个符号相同或3个符号相同或4个符号相同，再根据同号为正，异号得负，可以判断：－ab，ac，bd，cd一定是一正三负或一负三正.5.若a >0，b >0，则有（）A.b 2a >2b －a B.b 2a <2b －a C.b 2a≥2b －a D.b 2a≤2b －a 解析：选C.因为b 2a －（2b －a ）＝b 2－2ab ＋a 2a ＝（b －a ）2a ≥0，所以b 2a≥2b －a .6.已知f （x ＋1）＝2f （x ）f （x ）＋2，f （1）＝1（x ∈N *），猜想f （x ）的表达式为（）A.f （x ）＝42x＋2B.f （x ）＝2x ＋1C.f （x ）＝1x ＋1D.f （x ）＝22x ＋1解析：选B.f （2）＝22＋1，f （3）＝23＋1，f （4）＝24＋1，猜想f （x ）＝2x ＋1.7.观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝（）A.28B.76C.123D.199解析：选C.利用归纳法：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝3＋1＝4，a 4＋b 4＝4＋3＝7，a 5＋b 5＝7＋4＝11，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123.规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和.8.在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb＝1表示在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间，在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为m ，n ，c （mnc ≠0）的平面方程为（）A.x m ＋y n ＋z c＝1 B.x mn ＋y nc ＋zmc＝1 C.xy mn ＋yz nc ＋zxcm＝1 D.mx ＋ny ＋cz ＝1解析：选A.类比到空间应选A.另外也可将点（m ，0，0）代入验证. 9.若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是（）A.等边三角形B.有一个内角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一个内角是30°的等腰三角形解析：选C.因为sin A a ＝cos B b ＝cos Cc，由正弦定理得， sin A a ＝sin B b ＝sin Cc，所以sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin C c.所以sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，所以∠B ＝∠C ＝45°，所以△ABC 是等腰直角三角形.10.已知点A （x 1，x 21），B （x 2，x 22）是函数y ＝x 2图象上任意不同的两点，依据图象知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论x 21＋x 222>⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222成立，运用类比方法可知，若点A （x 1，sin x 1），B （x 2，sin x 2）是函数y ＝sin x （x ∈（0，π））图象上不同的两点，则类似地有结论（）A.sin x 1＋sin x 22>sin x 1＋x 22B.sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22C.sin x 1＋sin x 22≥sin x 1＋x 22D.sin x 1＋sin x 22≤sin x 1＋x 22解析：选 B.画出y ＝x 2的图象，由已知得AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 21＋x 222恒在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222的上方，画出y ＝sin x ，x ∈（0，π）的图象可得A ，B 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，sin x 1＋sin x 22恒在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，sin x 1＋x 22的下方，故B 正确.11.△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则（） A.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C.△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D.△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：选D.因为三角形内角的正弦值是正值，所以△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A 1B 1C 1是锐角三角形.假设△A 2B 2C 2也是锐角三角形，并设cos A 1＝sin A 2，则cos A 1＝cos （90°－∠A 2），所以∠A 1＝90°－∠A 2.同理设cos B 1＝sin B 2，cos C 1＝sin C 2，则有∠B 1＝90°－∠B 2，∠C 1＝90°－∠C 2. 又∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＝180°，所以（90°－∠A 2）＋（90°－∠B 2）＋（90°－∠C 2）＝180°，即∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＝90°. 这与三角形内角和等于180°矛盾，所以原假设不成立.若△A 2B 2C 2是直角三角形，不妨设A 2＝π2，则sin A 2＝1＝cos A 1，而A 1在（0，π）内无解.故选D.12.如图是网络工作者经常用来解释网络动作的蛇形模型；数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；…，以此类推，则按网络运作顺序第n 行第1个数（如第2行第1个数为2，第3行第1个数为4，…）是（）A.n 2－n ＋12 B.n 2＋n ＋12 C.n 2＋n ＋22D.n 2－n ＋22解析：选D.由题意分析可知，第n 行总共有n 个数字，n ∈N *，所以第n 行中最小的数字为1＋（1＋2＋…＋n －1）＝1＋n （n －1）2＝n 2－n ＋22，最大的数字为n 2－n ＋22＋n －1＝n 2＋n2，而第n 行中第一个出现的数字是行中最小的，即n 2－n ＋22.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为Ｗ.解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”.答案：x ，y 都大于114.观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，则第100项为Ｗ. 解析：设n ∈N *，则数字n 共有n 个，所以n （n ＋1）2≤100，即n （n ＋1）≤200.又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.答案：1415.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 .解析：为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A ，B ，C .从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A 或B ，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C ，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B ，此时丙所拿的卡片为A .答案：1和316.在正三角形中，设它的内切圆的半径为r ，容易求得正三角形的周长C （r ）＝63r ，面积S （r ）＝33r 2，发现S ′（r ）＝C （r ）.这是平面几何中的一个重要发现，请用类比推理的方法猜测对空间正四面体存在的类似结论为 .解析：设正四面体的棱长为a ，内切球的半径为r ，利用等积变形易求得正四面体的高h ＝4r .由棱长a ，高h 和底面三角形外接圆的半径构成直角三角形，得a 2＝（4r ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2，解得a ＝26r .于是正四面体的表面积S （r ）＝4×12×（26r ）2×sin 60°＝243r 2，体积V （r ）＝13×12×（26r ）2×sin 60°×4r ＝83r 3，所以V ′（r ）＝243r 2＝S （r ）.答案：V ′（r ）＝S （r ），S （r ）为正四面体的表面积，V （r ）为体积三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知：A ，B 都是锐角，且A ＋B ≠90°，（1＋tan A ）（1＋tan B ）＝2.求证：A ＋B ＝45°.证明：因为（1＋tan A ）（1＋tan B ）＝2，展开化简为tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B . 因为A ＋B ≠90°，tan （A ＋B ）＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝1.又因为A ，B 都是锐角，所以0°<A ＋B <180°. 所以A ＋B ＝45°.18.（本小题满分12分）已知a >0，b >0，2c >a ＋b ，求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab . 证明：要证c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab ，只需证－c 2－ab <a －c <c 2－ab ，即证|a －c |<c 2－ab ，只需证（a －c ）2<()c 2－ab 2，只需证a 2－2ac ＋c 2<c 2－ab ，即证2ac >a 2＋ab ，因为a >0，所以只需证2c >a ＋b . 因为2c >a ＋b 成立. 所以原不等式成立.19.（本小题满分12分）已知三个正数a ，b ，c ，若a 2，b 2，c 2成公比不为1的等比数列，求证：a ，b ，c 不成等差数列.证明：假设a ，b ，c 构成等差数列，则有2b ＝a ＋c ，即4b 2＝a 2＋c 2＋2ac ，又a 2，b 2，c 2成公比不为1的等比数列，且a ，b ，c 为正数，所以b 4＝a 2c 2且a ，b ，c 互不相等，即b 2＝ac ，因此4ac ＝a 2＋c 2＋2ac ，所以（a －c ）2＝0，从而a ＝c ＝b ，这与a ，b ，c 互不相等矛盾.故a ，b ，c 不成等差数列.20.（本小题满分12分）已知在四棱锥 P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点.（1）证明：PF ⊥DF ；（2）判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD . 解：（1）证明：连接AF ，则AF ＝2，DF ＝2，又AD ＝2，所以DF 2＋AF 2＝AD 2，所以DF ⊥AF ，又PA ⊥平面ABCD ，所以DF ⊥PA ，又PA ∩AF ＝A ，所以⎭⎪⎬⎪⎫DF ⊥平面PAF PF ⊂平面PAF ⇒DF ⊥PF .（2）过点E 作EH ∥FD ，交AD 于点H ，则EH ∥平面PFD ，且有AH ＝14AD ，再过点H 作HG ∥DP 交PA 于点G ，则HG ∥平面PFD 且AG ＝14AP .所以平面EHG ∥平面PFD ，所以EG ∥平面PFD .从而线段AP 上满足AG ＝14AP 的点G 即为所求.21.（本小题满分12分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）具有性质：若M ，N 是椭圆上关于原点对称的两个点，点P 为椭圆上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM ·k PN 是与点P 的位置无关的定值.试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）写出类似的性质，并加以证明.解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM ·k PN 是与点P 的位置无关的定值.证明如下：设M （m ，n ），则N （－m ，－n ），且m 2a 2－n 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）.又设点P （x ，y ），则k PM ＝y －n x －m ，k PN ＝y ＋nx ＋m，所以k PM ·k PN ＝y 2－n 2x 2－m 2.①将y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a 2－1代入①，可得k PM ·k PN ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a 2－n 2b 2－1x 2－m 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a 2－m 2a 2x 2－m 2＝b2a2（定值）.22.（本小题满分12分）已知f （x ）＝bx ＋1（ax ＋1）2（x ≠－1a ，a >0），且f （1）＝log 162，f （－2）＝1.（1）求函数f （x ）的表达式；（2）已知数列{x n }的项满足x n ＝（1－f （1））（1－f （2））…·（1－f （n ）），试求x 1，x 2，x 3，x 4.解：（1）把f （1）＝log 162＝14，f （－2）＝1，代入函数表达式得 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1（a ＋1）2＝14，－2b ＋1（1－2a ）2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋4＝a 2＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2－4a ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.（舍去a ＝－13<0），所以f （x ）＝1（x ＋1）2（x ≠－1）.（2）x 1＝1－f （1）＝1－14＝34，x 2＝（1－f （1））（1－f （2））＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝23， x 3＝23（1－f （3））＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116＝58， x 4＝58×⎝⎛⎭⎪⎫1－125＝35.。

第二章_推理与证明_综合检测_(人教A版选修2-2)

第二章推理与证明综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，按此规律，则第100项为( )A ．10B ．14C ．13D ．100[答案] B[解析] 设n ∈N *，则数字n 共有n 个，所以n (n ＋1)2≤100即n (n ＋1)≤200，又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.2．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误[答案] C[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C.3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4[答案] D[解析]当n＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋3＋4，故应选D.4．(2012·福建南安高二期末)下列说法正确的是()A．“a<b”是“am2<bm2”的充要条件B．命题“∀x∈R，x3－x2－1≤0”的否定是“∃x∈R，x3－x2－1≤0”C．“若a，b都是奇数，则a＋b是偶数”的逆否命题是“若a＋b 不是偶数，则a，b不都是奇数”D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题[答案] C[解析]A中“a<b”是“am2<bm2”的必要不充分条件，故A错；B中“∀x∈R，x3－x2－1≤0”的否定是“∃x∈R，x3－x2－1>0”，故B错；C正确；D中p∧q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故D错．5．已知各项均不为零的数列{a n}，定义向量c n＝(a n，a n＋1)，b n＝(n，n＋1)，n∈N*.下列命题中真命题是()A．若∀n∈N*总有c n∥b n成立，则数列{a n}是等差数列B．若∀n∈N*总有c n∥b n成立，则数列{a n}是等比数列C．若∀n∈N*总有c n⊥b n成立，则数列{a n}是等差数列D．若∀n∈N*总有c n⊥b n成立，则数列{a n}是等比数列[答案] A[解析] ∵对∀n ∈N *总有c n ∥b n ，则存在实数λ≠0，使c n ＝λb n ，∴a n ＝λn ，∴{a n }是等差数列．6．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( ) A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13 D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14 [答案] D[解析] 项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，故应选D.7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( )A ．大于0B ．小于0C ．不小于0D ．不大于0[答案] D[解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0. 解法2：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a 、b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，选D.8．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是()A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a、b大小不定[答案] B[解析]a＝c＋1－c＝1c＋1＋c，b＝c－c－1＝1c＋c－1，因为c＋1>c>0，c>c－1>0，所以c＋1＋c>c＋c－1>0，所以a<b.9．定义一种运算“*”；对于自然数n满足以下运算性质：()(i)1]B.n＋1C．n－1 D．n2[答案] A[解析]令a n＝n*1，则由(ii)得，a n＋1＝a n＋1，由(i)得，a1＝1，∴{a n}是首项a1＝1，公差为1的等差数列，∴a n＝n，即n*1＝n，故选A.10．(2013·济宁梁山一中高二期中)已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为( )A.13B.43 C ．2D.83 [答案] B[解析] 由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2，设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x ，由x 2＋2x ＝0得x ＝0或－2.故所求面积S ＝－⎠⎛0－2(x 2＋2x )dx ＝ ⎪⎪⎪－(13x 3＋x 2)0－2＝43. 11．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c[答案] A[解析] 令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2011＝( )C ．4D ．5[答案] C[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2011＝x 3＝4，故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．(2013·泰州二中高二期中)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1 2，则它们的面积比为1 2，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长比为1 2，则它们的体积的比为________． [答案] 1 8[解析] 类比“面积的比为边长比的平方”可得，“体积比为棱长比的立方”．14．(2013·安阳中学高二期末)设函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 7x ＋8，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x 15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.[答案] x (2n －1)x ＋2n[解析] 观察f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )，f 4(x )的表达式可见，f n (x )的分子为x ，分母中x 的系数比常数项小1，常数项依次为2,4,8,16……2n .故f n (x )＝x (2n －1)x ＋2n. 15．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：______________________________________________________.[答案] 在四面体A －BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13(AB →＋AC→＋AD →) 16．(2013·四川理，15)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点．在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点．现有下列命题：①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)[答案] ①④[解析] 对于①，如图：C到A、B、C的距离和为|AB|，假设另存在“中位点”D，则|DA|＋|DC|＋|DB|>|AB|.故①正确．对于②，如图，过B作BE⊥AC，则|EB|＋|EA|＋|EC|＝|EB|＋|AC|<|DA|＋|DB|＋|DC|＝|DB|＋|AC|.故②不正确．对于③.如图，取AB的中点E.取CD的中点F，“中位点”为M，则|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|＝2|ME|＋2|MF|＝2(|ME|＋|MF|)∴M在线段EF上即2(|ME|＋|MF|)＝2|EF|.即中位点不是唯一的．故③不正确．对于④，如图，假设O不是唯一“中位点”．不妨设E是“中位点”．显然|EA|＋|EC|＋|EB|＋|ED|≥|AC|＋|BD|＝|OA|＋|OC|＋|OB|＋|OD|，∴E不是“中位点”，矛盾，故④正确．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知：a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1.求证：a2＋b2＋c2≥ eq \f(1,3) .[证明]由a2＋b2≥2ab，及b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1，即a2＋b2＋c2≥ eq \f(1,3) .????．本题满分????分??设n∈N＋，用归纳推理猜想的值．[解析]记f(n)＝ eq \r(111…\o(1,\s\do14(2n个1))－222…\o(2,\s\do14(2n个2)) ) ，则f(1)＝ eq \r(11－2) ＝3，f(2)＝ eq \r(1111－22) ＝ eq \r(1089) ＝33，f(3)＝ eq \r(111111－222) ＝ eq \r(110889) ＝333.猜想f(n)＝333… eq \o(3,\s\do14(n个)) .[点评]f(n)＝333… eq \o(3,\s\do14(n个)) 可证明如下：∵111… eq \o(1,\s\do14(2n个)) ＝ eq \f(1,9) (102n－1)，222… eq \o(2,\s\do14(n个2)) ＝ eq \f(2,9) (10n－1)，令10n＝x>1，则f(n)＝ eq \r(\f(1,9) x2－1 －\f(2,9) x－1 ) ＝ eq \r(\f(1,9) x2－2x＋1 ) ＝ eq \f(1,3) (x－1)＝ eq \f(1,3) (10n－1)，即f(n)＝33… eq \o(3,\s\do14(n个)) .19．(本题满分12分)(2013·华池一中高二期中)在圆x2＋y2＝r2(r>0)中，AB为直径，C为圆上异于A，B的任意一点，则有kAC·kBC＝－1Ю你胭用类毜的方糵得퇺椭圆 ɡq ÜfĨx2Ȭa2) 缋聥q \f(y2, 2© ＝1(a>r>0Ҩ中有什䩈样皅结论？并加仧证渎．[解枘U 〈类比得到结莺是：在椭眆错误!＋＝1(a >b -0)中，A ，B 分刻是業圆长轴㚄右端点，炸C (x ，y 是椭圎业丌同于，B 的任意一炙，则k AC ·k BC ＝）错误!＝䀱d 错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!再证充分性缎证 1：(数学归纳法-设所述的等式对帀切n ∈n ＋都成立．首先，圬等式1a 1a 2＋错误! …）错误!＝错误!Ｌ①错误！未定义书签。

高中数学第二章推理与证明综合检测苏教版选修22

第2章推理与证明(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把正确的答案填在题中横线上) 1．下面几种推理是合情推理的序号的是________． ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°.【解析】 ①是类比推理；②是归纳推理；③不属于合情推理；④是归纳推理．【答案】 ①②④2．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a 2＞0，那么这个演绎推理错在________(填“大前提”，“小前提”或“推理过程”)．【解析】 a ＝0时，a 2＝0，因此大前提错误．【答案】大前提3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n （2n 2＋1）3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是________．【解析】由等式的特征，左边应添加(k ＋1)2＋k 2. 【答案】 (k ＋1)2＋k 24．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________．图1【解析】由图形可知，着色三角形的个数依次为：1，3，9，27，…，故a n ＝3n －1.【答案】 3n －15．已知a ＞0，b ＞0，m ＝lga ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m 与n 的大小关系为________．【解析】 ∵(a ＋b)2＝a ＋b ＋2ab ＞a ＋b ＞0， ∴a ＋b ＞a ＋b ＞0，则a ＋b 2＞a ＋b2.∴lga ＋b 2＞lg a ＋b2，则m ＞n. 【答案】 m ＞n6．已知圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)的面积为S ＝πr 2，由此类比椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积最有可能是________．【解析】将圆看作椭圆的极端情况，即a ＝b 情形． ∴类比S 圆＝πr 2，得椭圆面积S ＝πab. 【答案】 πab7．已知结论“若a 1，a 2∈{正实数}，且a 1＋a 2＝1，则1a 1＋1a 2≥4”，请猜想若a 1，a 2，…，a n ∈{正实数}，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥________．【解析】左边是2项，右边为22，猜想：左边是n 项，右边为n 2. 【答案】 n 2图28．现有一个关于平面图形的命题：如图2，在一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个正方形的某个顶点在另一个正方形的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24，类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个正方体的某个顶点在另一个正方体的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．【解析】正方形类比到正方体，重叠面积类比到重叠体积，则S ＝a 24，类比得V ＝(a 2)3＝a 38.【答案】 a 389．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左到右的第三个数是________．【解析】前n －1行共有正整数1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n 2－n2个，∴第n 行第3个数是n 2－n 2＋3＝n 2－n ＋62.【答案】 n 2－n ＋6210．(2013·南京高二检测)已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }是各项均为正数的等比数列，且公比q ＞1，若a 1＝b 1，a 2 013＝b 2 013，则a 1 007与b 1 007的大小关系是________．【解析】由2a 1 007＝a 1＋a 2 013，得a 1 007＝a 1＋a 2 0132.又b 21 007＝b 1·b2 013，得b 1 007＝b 1·b 2 013， ∵a 1＝b 1＞0，a 2 013＝b 2 013＞0，且a 1≠a 2 013， ∴a 1 007＞b 1 007. 【答案】 a 1 007＞b 1 00711．一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其“三段论”的形式为：大前提：一切奇数都不能被2整除．小前提：________．结论：所以2100＋1不能被2整除．【答案】 2100＋1是奇数12．求证：1＋5＜23的证明如下：因为1＋5和23都是正数，所以为了证明1＋5＜23，只需证明(1＋5)2＜(23)2，展开得6＋25＜12，即5＜3，只需证明5＜9.因为5＜9成立．所以不等式1＋5＜23成立．上述证明过程应用的方法是________．【答案】分析法13．用反证法证明命题“a，b ∈N *，ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”，则假设的内容是________．【解析】 “a、b 中至少有一个能被5整除”的否定为“a ，b 都不能被5整除”．【答案】 a ，b 都不能被5整除14．(2013·徐州高二检测)在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比AE EB＝AC BC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中(如图3所示)，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．图3【解析】 CE 平分角ACB ，而面CDE 平分二面角A —CD —B. ∴AC BC 可类比成S △ACD S △BCD ，故结论为AE EB ＝S △ACD S △BCD . 【答案】AE EB ＝S △ACDS △BCD二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)观察：(1)sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；(2)sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．【解】观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想： sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos （60°＋2α）2＋sin α(32cos α－12sin α) ＝1－cos 2α2＋12[1＋(12cos 2α－32sin 2α)]＋34sin 2α－12sin 2α ＝1－14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α－12×1－cos 2α2＝34. 16．(本小题满分14分)已知0<a<1，求证：1a ＋41－a ≥9.【证明】 ∵0<a<1，∴1－a>0.欲证1a ＋41－a ≥9成立，只需证明1－a ＋4a≥9a(1－a)．整理移项9a 2－6a ＋1≥0. 即证明(3a －1)2≥0.∵a ∈(0，1)，∴(3a －1)2≥0显然成立．故1a ＋41－a≥9成立． 17．(本小题满分14分)(2013·无锡高二检测)已知函数f(x)＝log 2(x ＋2)，a ，b ，c ，是两两不相等的正数，且a ，b ，c 成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．【解】 f(a)＋f(c)＞2f(b)，证明如下： ∵a ，b ，c 是不相等的正数， ∴a ＋c ＞2ac ，∵b 2＝ac ，∴ac ＋2(a ＋c)＞b 2＋4b ，即ac ＋2(a ＋c)＋4＞b 2＋4b ＋4，从而(a ＋2)(c ＋2)＞(b ＋2)2， ∵f(x)＝log 2x 是增函数，∴log 2(a ＋2)(c ＋2)＞log 2(b ＋2)2，即log 2(a ＋2)＋log 2(c ＋2)＞2log 2(b ＋2) 故f(a)＋f(c)＞2f(b)．18．(本小题满分16分)如图4甲，在三角形ABC 中，AB ⊥AC ，若AD⊥BC，则AB 2＝BD·BC；若类比该命题，如图乙，三棱锥A —BCD 中，AD ⊥面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有什么结论？命题是否是真命题？图4【解】命题是：三棱锥A —BCD 中，AD⊥面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有S 2△ABC ＝S △BCM ·S △BCD ，是一个真命题．证明如下：在图乙中，连结DM ，并延长交BC 于E ，连结AE ，则有DE⊥BC，AE ⊥BC. 因为AD⊥面ABC ，所以AD⊥AE.因为AM⊥DE，所以AE 2＝EM·ED. 于是S 2△ABC ＝(12BC ·AE)2＝(12BC ·EM )·(12BC ·ED) ＝S △BCM ·S △BCD .19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝(x －a)2(x －b)(a ，b ∈R ，a ＜b)． (1)当a ＝1，b ＝2时，求曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)设x 1，x 2是f(x)的两个极值点，x 3是f(x)的一个零点，且x 3≠x 1，x 3≠x 2.证明：存在实数x 4，使得x 1，x 2，x 3，x 4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x 4.【解】 (1)当a ＝1，b ＝2时，f(x)＝(x －1)2(x －2)． ∴f ′(x)＝(x －1)(3x －5)，则f′(2)＝1. 又f(2)＝(2－1)2(2－2)＝0.∴f(x)在点(2，0)处的切线方程为y ＝x －2. (2)因为f′(x)＝3(x －a)(x －a ＋2b 3)，由于a ＜b ，故a ＜a ＋2b 3，所以f(x)的两个极值点为x ＝a ，x ＝a ＋2b 3.不妨设x 1＝a ，x 2＝a ＋2b3，因为x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f(x)的零点．故x 3＝b.又因为a ＋2b 3－a ＝2(b －a ＋2b 3)，故可令x 4＝12(a ＋a ＋2b 3)＝2a ＋b3，此时，a ，2a ＋b 3，a ＋2b3，b 依次成等差数列，所以存在实数x 4满足题意，且x 4＝2a ＋b3.20．(本小题满分16分)已知f(n)＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g(n)＝32－12n 2，n ∈N *.(1)当n ＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系； (2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．【解】 (1)当n ＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；当n ＝2时，f(2)＝98，g(2)＝118，所以f(2)＜g(2)；当n ＝3时，f(3)＝251216，g(3)＝312216，所以f(3)＜g(3)．(2)由(1)，猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明： ①当n ＝1，2，3时，不等式显然成立． ②假设当n ＝k(k≥3)时不等式成立，即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3＜32－12k 2，那么，当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝f(k)＋1（k ＋1）3＜32－12k 2＋1（k ＋1）3，因为12（k ＋1）2＋1（k ＋1）3－12k 2＝k ＋32（k ＋1）3－12k 2＝－3k －12（k ＋1）3k 2＜0，∴－12k 2＋1（k ＋1）3＜－12（k ＋1）2，因此32－12k 2＋1（k ＋1）3＜32－12（k ＋1）2，∴f(k ＋1)＜32－12（k ＋1）2，∴当n ＝k ＋1时成立．由①②可知，对一切n∈N *，都有f(n)≤g(n)成立．。

高中数学第二章推理与证明单元综合测试新人教版选修22

【名师一号】高中数学第二章推理与证明单元综合测试新人教版选修2-2(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合标题问题要求的)1．若实数a ，b 满足b >a >0，且a ＋b ＝1，则下列四个数最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2ab C.12 D ．a答案 A2．下面用“三段论”形式写出的演练推理：因为指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数，y ＝(12)x 是指数函数，所以y ＝(12)x在(0，＋∞)上是增函数．该结论显然是错误的，其原因是( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．以上都可能解析大前提是：指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数，这是错误的．答案 A3．设a ，b ，c 都是非零实数，则关于a ，bc ，ac ，－b 四个数，有以下说法： ①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．则说法中正确的个数有( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析可用反证法推出①，②不正确，因此③正确．答案 B4．下面使用类比推理正确的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )·c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )·c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )·c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)” D ．“(ab )n＝a n b n”类比推出“(a ＋b )n＝a n＋b n” 解析由类比出的结果应正确知选C. 答案 C5．在证明命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos2θ”的过程：cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)(cos 2θ－sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ中应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．分析法和综合法综合使用D ．间接证法答案 B6．已知f (x )＝sin(x ＋1)π3－3cos(x ＋1)π3，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2021)＝( )A ．2 3 B. 3 C ．－ 3D ．0解析 ∵f (x )＝2[12sin(x ＋1)π3－32cos(x ＋1)π3]＝2sin π3x ，∴周期T ＝6，且f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝2(32＋32＋0－32－32＋0)＝0，∴f (2021)＝f (6×335＋1)＝f (1)＝2sin π3＝ 3.答案 B7．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，且n >1)，由n ＝k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数为( )A ．2k－1 B ．2k＋1 C ．2k －1D ．2k解析当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，所以增加的项数为(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k ＋1－2k ＝2k.答案 D8．若数列{a n }是等比数列，则数列{a n ＋a n ＋1}( ) A ．必然是等比数列 B ．必然是等差数列C ．可能是等比数列也可能是等差数列D ．必然不是等比数列解析设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＋a n ＋1＝a n (1＋q )．∴当q ≠－1时，{a n ＋a n ＋1}必然是等比数列；当q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，此时为等差数列．答案 C9．如果a ，b 为非零实数，则不等式1a >1b成立的充要条件是( )A ．a >b 且ab <0B ．a <b 且ab >0C ．a >b ，ab <0或ab >0D ．a 2b －ab 2<0解析 ∵ab ≠0，∴1a >1b ⇔1a －1b >0⇔b －a ab>0⇔(b －a )ab >0⇔ab 2－a 2b >0⇔a 2b －ab 2<0.答案 D10．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，按照“三段论”推理出一个结论，则这个结论是( )A ．平行四边形的对角线相等B ．正方形的对角线相等C ．正方形是平行四边形D ．以上都不是解析大前提②，小前提③，结论①. 答案 B 11．观察下表：1 2 3 4……第一行 2 3 4 5……第二行 3 4 5 6……第三行 4 5 6 7……第四行 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮第一列第二列第三列第四列按照数表所反映的规律，第n 行第n 列交叉点上的数应为( ) A ．2n －1 B ．2n ＋1 C ．n 2－1D ．n 2解析观察数表可知，第n 行第n 列交叉点上的数依次为1,3,5,7，…，2n －1. 答案 A12．对于任意的两个实数对(a ，b )和(c ，d )，规定：(a ，b )＝(c ，d )当且仅当a ＝c ，b ＝d ；运算“⊗”为：(a ，b )⊗(c ，d )＝(ac －bd ，bc ＋ad )；运算“⊕”为：(a ，b )⊕(c ，d )＝(a ＋c ，b ＋d )．设p ，q ∈R ，若(1,2)⊗(p ，q )＝(5,0)，则(1,2)⊕(p ，q )等于( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－4)解析由(1,2)⊗(p ，q )＝(5,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧p －2q ＝5，2p ＋q ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2.所以(1,2)⊕(p ，q )＝(1,2)⊕(1，－2)＝(2,0)．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知a >0，b >0，m ＝lga ＋b2，n ＝lga ＋b2，则m ，n 的大小关系是________．解析 ab >0⇒ab >0⇒a ＋b ＋2ab >a ＋b ⇒(a ＋b )2>(a ＋b )2⇒a ＋b >a ＋b ⇒a ＋b2>a ＋b2⇒lga ＋b2>lga ＋b2.答案 m >n14．在正三角形中，设它的内切圆的半径为r ，容易求得正三角形的周长C (r )＝63r ，面积S (r )＝33r 2，发现S ′(r )＝C (r )．这是平面几何中的一个重要发现．请用类比推理的方式猜测对空间正四面体存在的类似结论为________．解析设正四面体的棱长为a ，内切球的半径为r ，利用等积变形易求得正四面体的高h ＝4r .由棱长a ，高h 和底面三角形外接圆的半径构成直角三角形，得a 2＝(4r )2＋⎝⎛⎭⎪⎫33a 2，解得a ＝26r .于是正四面体的概况积S (r )＝4×12×(26r )2×sin60°＝243r 2，体积V (r )＝13×12×(26r )2×sin 60°×4r ＝83r 3，所以V ′(r )＝243r 2＝S (r )．答案 V ′(r )＝S (r ) 15．观察下列等式： 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 …照此规律，第n 个等式为________________．解析分n 为奇数、偶数两种情况．第n 个等式的左边为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2.当n 为偶数时，分组求和(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－[3＋7＋…＋(2n －1)]＝－n n ＋12.当n 为奇数时，(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＋n 2＝－n n －12＋n 2＝n n ＋12.综上，第n 个等式：12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝－1n ＋12n (n ＋1)．答案 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝－1n ＋12n (n ＋1)16．对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以获得命题：“_________________________________________”．答案如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知0<a <1，求证：1a ＋41－a ≥9.证法1 (分析法) ∵0<a <1，∴1－a >0， ∴要证1a ＋41－a ≥9，只需证1－a ＋4a ≥9a (1－a )，即证1＋3a ≥9a (1－a )，即证9a 2－6a ＋1≥0，即证(3a －1)2≥0，上式显然成立． ∴原命题成立．证法2 (综合法) ∵(3a －1)2≥0，即9a 2－6a ＋1≥0， ∴1＋3a ≥9a (1－a )． ∵0<a <1， ∴1＋3aa 1－a ≥9，即1－a ＋4aa 1－a≥9，即1a ＋41－a≥9.证法3 (反证法) 假设1a ＋41－a <9，即1a ＋41－a －9<0，即1－a ＋4a －9a 1－aa 1－a<0，即9a 2－6a ＋1a 1－a <0，即3a －12a 1－a<0，而0<a <1，∴a (1－a )>0，∴(3a －1)2<0，与(3a －1)2≥0相矛盾， ∴原命题成立．18．(12分)下列推理是否正确？若不正确，指犯错误之处． (1) 求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.(2) 已知2和3都是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(3) 已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．证明：假设方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，解得－2<m <－12，而关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0的判别式Δ＝4(m 2－4)，∵－2<m <－12，∴14<m 2<4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．解 (1) 犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形． (2) 使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和纷歧定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有效到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．19．(12分)已知数列{a n }和{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n . 求证：数列{c n }不是等比数列．证明假设{c n }是等比数列，则c 1，c 2，c 3成等比数列．设{a n }，{b n }的公比分别为p和q ，且p ≠q ，则a 2＝a 1p ，a 3＝a 1p 2，b 2＝b 1q ，b 3＝b 1q 2.∵c 1，c 2，c 3成等比数列，∴c 22＝c 1·c 3，即(a 2＋b 2)2＝(a 1＋b 1)(a 3＋b 3)． ∴(a 1p ＋b 1q )2＝(a 1＋b 1)(a 1p 2＋b 1q 2)． ∴2a 1b 1pq ＝a 1b 1p 2＋a 1b 1q 2. ∴2pq ＝p 2＋q 2，∴(p －q )2＝0. ∴p ＝q 与已知p ≠q 矛盾． ∴数列{c n }不是等比数列． 20．(12分)证明：若a >0，则 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明 ∵a >0，要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a ＋2，只需证(a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a＋2)2，即证a 2＋1a2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋4＋22(a ＋1a)，即证a 2＋1a 2≥22(a ＋1a)，即证a 2＋1a 2≥12(a 2＋1a 2＋2)，即证a 2＋1a2≥2，即证(a －1a)2≥0，该不等式显然成立． ∴a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.21．(12分)如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．解(1)证明：∵P，Q分别为AE，AB的中点，∴PQ∥EB，又DC∥EB.∴PQ∥DC，而PQ⊄平面ACD，DC⊂平面ACD，∴PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，∵Q为AB的中点，且AC＝BC，∴CQ⊥AB.∵DC⊥平面ABC，EB∥DC，∴EB⊥平面ABC. ∴CQ⊥EB，故CQ⊥平面ABE.由(1)知，PQ∥DC，又PQ＝12EB＝DC，∴四边形CQPD为平行四边形．∴DP⊥平面ABE.故∠DAP为AD与平面ABE所成角．在Rt△DAP中，AD＝5，DP＝1，∴sin∠DAP＝55.因此AD 与平面ABE 所成角的正弦值为55. 22．(12分)已知f (x )＝bx ＋1ax ＋12(x ≠－1a，a >0)，且f (1)＝log 162，f (－2)＝1.(1)求函数f (x )的表达式；(2)已知数列{x n }的项满足x n ＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (n ))，试求x 1，x 2，x 3，x 4； (3)猜想{x n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解 (1) 把f (1)＝log 162＝14，f (－2)＝1，代入函数表达式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＋12＝14，－2b ＋11－2a2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋4＝a 2＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2－4a ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，(舍去a ＝－13<0)，∴f (x )＝1x ＋12(x ≠－1)．(2) x 1＝1－f (1)＝1－14＝34，x 2＝(1－f (1))(1－f (2))＝34×(1－19)＝23， x 3＝23(1－f (3))＝23×(1－116)＝58， x 4＝58×(1－125)＝35.(3) 由(2)知，x 1＝34，x 2＝23＝46，x 3＝58，x 4＝35＝610，…，由此可以猜想x n ＝n ＋22n ＋2.证明：①当n ＝1时，∵x 1＝34，而1＋221＋1＝34，∴猜想成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，x n ＝n ＋22n ＋1成立，即x k ＝k ＋22k ＋1，则n ＝k ＋1时， x k ＋1＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (k ))·(1－f (k ＋1)) ＝x k ·(1－f (k ＋1))＝k＋22k＋1·[1－1k＋1＋12]＝k＋22k＋1·k＋1k＋3k＋22＝12·k＋3k＋2＝k＋1＋22[k＋1＋1].∴当n＝k＋1时，猜想也成立，按照①②可知，对一切n∈N*，猜想x n＝n＋22n＋1都成立．。

高中苏教选修(1-2)第2章推理与证明综合测试(1)

高中苏教选修（1-2）第2章推理与证明综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法中正确的个数是（） ①归纳推理是从一般到特殊的推理； ②归纳推理是从特殊到一般的推理； ③类比推理是从特殊到特殊的推理； ④类比推理是从特殊到一般的推理； ⑤归纳推理与类比推理都属于合情推理．Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：C2．设凸(3)k k ≥边形的内角和为()f k ，则凸1k +边形的内角和(1)()()f k f k +=+ （）Ａ．π2 Ｂ．π Ｃ．3π2Ｄ．2π答案：B3．类比平面正三角形“三边相等，三内角相等”的性质，在正四面体的下列性质中，你认为最恰当的是（）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．Ａ．① Ｂ．①② Ｃ．② Ｄ．③答案：C4．若方程224250x y x y k +-++=表示圆，则k 的取值范围是（）Ａ．1k >Ｂ．1k < Ｃ．1k ≥ Ｄ．1k ≤答案：B5．设A ，B ，C ，D 是空间中不同的点，在下列命题中，不正确的是（）Ａ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面Ｂ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线Ｃ．若A B A C =，D B D C =，则A D B C = Ｄ．若A B A C =，D B D C =，则A D B C ⊥ 答案：C 6．图1为一串黑白相间排列的珠子，按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是（）Ａ．白色Ｂ．黑色Ｃ．白色可能性大Ｄ．黑色可能性大答案：A7．下列关于演绎推理的说法中正确的是（）Ａ．演绎推理是由一般到一般的推理过程Ｂ．演绎推理是由特殊到一般的推理过程Ｃ．演绎推理得出的结论具有或然性，不一定正确Ｄ．演绎推理具有由抽象到具体的思维特点答案：D8．已知a b ∈R ，，且a b ≠，2a b +=，则（）Ａ．212aab <<Ｂ．2212a b ab +<<Ｃ．2212a b ab +<< Ｄ．2212a b ab +<<答案： B9．在R 上定义运算⊙：x ⊙y 2x y=-，若关于x 的不等式()(1)0x a x a -+-> 的解集是集合{}|22x x x -∈R ≤≤，的子集，则实数a 的取值范围是（）Ａ．22a -≤≤ Ｂ．11a -≤≤ Ｃ．21a -≤≤Ｄ．12a ≤≤答案：C10．把数列{}21n +依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…，循环分为：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第104个括号内各数之和为（）Ａ．12036 Ｂ．2048 Ｃ．2060 Ｄ．2072答案：D11．（1）已知332p q +=，求证：2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥；（2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证：方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程至少有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（）Ａ．（1）与（2）的假设都错误Ｂ．（1）与（2）的假设都正确Ｃ．（1）的假设正确；（2）的假设错误Ｄ．（1）的假设错误；（2）的假设正确答案：D12．若0a b c ，，≥且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是（）Ａ．Ｂ．3 Ｃ．2答案：A二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．根据下列图形及相应的点数，写出点数构成的一个通项公式．答案：21n a n n =-+14．用反证法证明命题“a b ∈N ，，a b 可被5整除，那么a 、b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是．答案：a b ，都不能被5整除15．如图2，四棱锥S A B C D -中，为了推出A B B C ⊥，还需从下述条件中选出一些条件： ① SB ⊥面ABCD ；②SC ⊥CD ；③CD ∥AB ；④CD ∥面SAB ；⑤BC ⊥CD ；⑥CD ⊥面SBC ；⑦AB ⊥面SBC ；⑧SB ⊥CD ．比如选⑦，有⑦⇒AB ⊥BC ，又如选③、⑤有⎫⇒⎬⎭①⑤AB ⊥BC ．现要求推理至少用到两条定理，推理形式表述为．答案：AB BC ⎫⇒⇒⊥⎬⎭③⑦⑥或AB BC ⎫⎫⇒⎬⎪⇒⊥⎬⎭⎪⇒⎭①⑥②④③（答案不惟一）16．若三角形内切圆半径为r ，三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积为1()2S r a b c =++；根据类比的思想，若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为1234S S S S ，，，，则四面体的体积为．答案：12341()3R S S S S +++三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题14分)定义一种运算“*”，对于任何非零自然数n 满足以下运算性质： ①111*=；②(1)13(1)n n +*=*．试求1n *关于n 的代数式．解：因为1n *是关于非零自然数n 的代数式，所以可设1n a n =*，则有1111a =*=，1(1)1n a n +=+*，又(1)13(1)n n +*=*，所以13n n a a +=即13n na a +=，因此这是一个以1为首项，以3为公比的等比数列，可以求得13n n a -=．因为，113n n -*=．18．(本小题14分)已知a 、b 、c 是实数，函数2()f x ax bx c =++，当11x -≤≤时，()1f x ≤，用演绎推理证明1c ≤．并且写出演绎推理的三段论．证明：由已知当11x -≤≤时，有()1f x ≤，因为0[11]∈-，，所以(0)1f ≤，而(0)f c =，即1c ≤．证明采用了演绎推理法，三段论为：ⅰ大前提：当11x -≤≤时，有()1f x ≤； ⅱ小前提：当11x -≤≤； ⅲ结论：(0)1f ≤．19．(本小题15分)已知2()f x x px q =++，若(1)(3)2(2)2f f f +-=，求证：(1)f ，(2)f ，(3)f 中至少有一个大于12．证明：假设(1)f ，(2)f ，(3)f 都不大于12，由于(1)(2)(3)f f f ，，不全相等，则(1)2(2)(3)2f f f ++<，而(1)(3)2(2)(1)2(2)(3)2f f f f f f +-++<≤，即(1)(3)2(2)2f f f +-<，这与题设(1)(3)2(2)2f f f +-=相矛盾．所以假设(1)f ，(2)f ，(3)f 都不大于12是错误的．因此(1)f ，(2)f ，(3)f 中至少有一个大于12．20．(本小题15分)已知221a b +=，221x y +=，求证：1ax by +≤ (分别用综合法和分析法来证)．证法一：用综合法．222ax a x + ≤，222by b y +≤， 22222()()()ax by a b x y ∴++++≤．又221a b += ，221x y +=，2()2ax by ∴+≤，1ax by ∴+≤．证法二：用分析法．要证1ax by +≤成立，只需证1()0ax by --≥，只需证2220ax by --≥．又221a b += ，221x y +=，只需证2222220a b x y ax by +++--≥，即要证22()()0a x b y -+-≥，显然成立．1ax by ∴+≤成立．21．(本小题16分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．π2cos4=π2cos8=π2cos16=，…．证明：π2cos242=⨯=π2cos8===π2cos16===……1π2cos2n n +=个根号。

高中数学(人教B版,选修22)第二章推理与证明+课件+同步测试+本章整合+综合素质检测(13份)2

第二章 2.2 第2课时一、选择题1．设a 、b 、c 都是正数，则三个数a ＋1b 、b ＋1c 、c ＋1a ( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2[答案] C[解析] a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＝a ＋1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ≥2＋2＋2＝6.故选C.2．异面直线在同一个平面的射影不可能是( ) A ．两条平行直线 B ．两条相交直线 C ．一点与一直线 D ．同一条直线 [答案] D[解析] 举反例的方法如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中A 1A 与B 1C 1是两条异面直线，它们在平面ABCD 内的射影分别是点A 和直线BC ，故排除C ； BA 1与B 1C 1是两条异面直线，它们在平面ABCD 内的射影分别是直线AB 和BC ，故排除B ； BA 1与C 1D 1是两条异面直线，它们在平面ABCD 内的射影分别是直线AB 和CD ，故排除A.故选D.3．已知x 、y ∈R ，且x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( ) A ．最小值34，而无最大值B ．最小值1，而无最大值C ．最小值12和最大值1D ．最大值1和最小值34[答案] D[解析] 设x ＝cos α，y ＝sin α，则(1－xy )(1＋xy ) ＝(1－sin αcos α)(1＋sin αcos α)＝1－sin 2αcos 2α ＝1－14sin 22α∈[34，1]．4．(2014·微山一中高二期中)用反证法证明命题“如果a >b >0，那么a 2>b 2”时，假设的内容应是( )A ．a 2＝b 2B ．a 2<b 2C ．a 2≤b 2D ．a 2<b 2，且a 2＝b 2[答案] C5．(2013·浙江余姚中学高二期中)用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是( )A ．假设a 、b 、c 都是偶数B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数D ．假设a 、b 、c 至多有两个是偶数 [答案] B[解析] “至少有一个”的对立面是“一个都没有”． 6．“M 不是N 的子集”的充分必要条件是( ) A ．若x ∈M 则x ∉N B ．若x ∈N 则x ∈MC ．存在x 1∈M ⇒x 1∈N ，又存在x 2∈M ⇒x 2∉ND ．存在x 0∈M ⇒x 0∉N [答案] D[解析] 按定义，若M 是N 的子集，则集合M 的任一个元素都是集合N 的元素．所以，要使M 不是N 的子集，只需存在x 0∈M 但x 0∉N .选D.7．设a 、b 、c ∈R ＋，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是“P 、Q 、R 同时大于零”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 首先若P 、Q 、R 同时大于零，则必有PQR >0成立．其次，若PQR >0，且P 、Q 、R 不都大于0，则必有两个为负，不妨设P <0，Q <0，即a ＋b －c <0，b ＋c －a <0，∴b <0与b ∈R ＋矛盾，故P 、Q 、R 都大于0.故选C.8．(2013·华池一中高二期中)用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a 、b 、c 都是奇数B ．a 、b 、c 都是偶数C ．a 、b 、c 中至少有两个偶数D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数或都是奇数 [答案] D[解析] “自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”即a 、b 、c 中有两奇一偶，故其反面应为都是奇数或两偶一奇或都是偶数，故选D.二、填空题9．设f (x )＝x 2＋ax ＋b ，求证：|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中至少有一个不小于12.用反证法证明此题时应假设____________________．[答案] |f (1)|、|f (2)|、|f (3)|都小于1210．完成反证法证题的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列．求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：反设p 为奇数，则________均为奇数．①因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________________________________ ② ＝________________________________③ ＝0.[答案] ①a 1－1，a 2－2，...，a 7－7 ②(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) ③(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋3＋ (7)11．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于________． [答案] 13[解析] 假设a 、b 、c 都小于13，则a ＋b ＋c <1.故a 、b 、c 中至少有一个数不小于13.三、解答题12．设a ，b ，c 均为奇数，求证：方程ax 2＋bx ＋c ＝0无整数根．[证明] 假设方程有整数根x ＝x 0，x 0∈Z ，则ax 20＋bx 0＋c ＝0，c ＝－(ax 20＋bx 0)．①若x 0为偶数，则ax 20与bx 0均为偶数，所以ax 20＋bx 0为偶数，从而c 为偶数，与题设矛盾． ②若x 0为奇数，则ax 20、bx 0均为奇数，所以ax 20＋bx 0为偶数，从而c 为偶数，与题设矛盾．综上所述，方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有整数根.一、选择题1．实数a ，b ，c 不全为0的含义是( ) A ．a ，b ，c 均不为0 B ．a ，b ，c 中至多有一个为0 C ．a ，b ，c 中至少有一个为0 D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0 [答案] D[解析] “不全为0”即“至少有一个不为0”．2．(2014·山东理，4)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 [答案] A[解析] 本题考查命题的非的写法．至少有一个实根的否定为：没有实根．反证法的假设为原命题的否定． 3．已知x >0，y >0，x ＋y ≤4，则有( ) A.1x ＋y ≤14 B ．1x ＋1y ≥1C.xy ≥2 D ．1xy≥1[答案] B[解析] 由x >0，y >0，x ＋y ≤4得1x ＋y ≥14，A 错；x ＋y ≥2xy ，∴xy ≤2，C 错；xy ≤4，∴1xy ≥14，D 错．4．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为：a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a >b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个[答案] A[解析] 假设存在序号和数值均相等的两项，即存在n ∈N *，使得a n ＝b n ，但若a >b ，n ∈N *，恒有a ·n >b ·n ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立．∴不存在n ∈N *，使得a n ＝b n .故应选A.二、填空题5．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________． [答案] 存在一个三角形，其外角至多有一个钝角6．用反证法证明命题“如果AB ∥CD ，AB ∥EF ，那么CD ∥EF ”，证明的第一个步骤是________． [答案] 假设CD 与EF 不平行7．用反证法证明命题：“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a 、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为__________________．[答案] 假设a 、b 都不能被5整除三、解答题8．若x >0，y >0，且x ＋y >2，求证1＋x y <2和1＋yx <2中至少有一个成立．[解析] 假设都不成立，即有1＋x y ≥2且1＋yx≥2. ∵x >0，y >0，∴1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ， ∴2＋(x ＋y )≥2(x ＋y )，∴x ＋y ≤2，这与已知条件x ＋y >2矛盾． ∴假设不成立，原命题成立，即1＋x y <2和1＋yx<2中至少有一个成立．9．求证：当x 2＋bx ＋c 2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc ≠0. [证明] 假设bc ＝0.(1)若b ＝0，c ＝0，方程变为x 2＝0；则x 1＝x 2＝0是方程x 2＋bx ＋c 2＝0的两根，这与方程有两个不相等的实数根矛盾．(2)若b ＝0，c ≠0，方程变为x 2＋c 2＝0；但c ≠0，此时方程无解，与x 2＋bx ＋c 2＝0有两个不相等的非零实数根矛盾．(3)若b ≠0，c ＝0，方程变为x 2＋bx ＝0，方程的根为x 1＝0，x 2＝－b ，这与方程有两个非零实根矛盾．综上所述，可知bc ≠0.10．已知：非零实数a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a 、1b 、1c 不可能成等差数列．[解析] 假设1a ，1b ，1c 成等差数列．则2b ＝1a ＋1c .∴2ac ＝bc ＋ab① 又a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c②∴把②代入①得2ac ＝b (a ＋c )＝b ·2b ∴b 2＝ac .③由②平方4b 2＝(a ＋c )2. 把③代入4ac ＝(a ＋c )2， ∴(a －c )2＝0.∴a ＝c . 代入②得b ＝a ，∴a ＝b ＝c . ∴公差为0，这与已知矛盾． ∴1a ，1b ，1c 不可能成等差数列．。

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第二章:推理与证明综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半；所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半．以上推理运用的推理规则是( )A ．三段论推理B ．假言推理C ．关系推理D ．完全归纳推理 [答案] D[解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt 三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)B.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ∈N *，n ≥2)C.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(n －1)(n ∈N *)D.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *，n ≥2) [答案] B[解析] 记数列为{a n }，由已知观察规律：a 2比a 1多2，a 3比a 2多3，a 4比a 3多4，…，可知当n ≥2时，a n 比a n －1多n ，可得递推关系⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)．3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误 [答案] C[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C.4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4 [答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.5．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 都成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12[答案] C[解析] 类比题目所给运算的形式，得到不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1的简化形式，再求其恒成立时a 的取值范围．(x －a )⊗(x ＋a )<1⇔(x －a )(1－x －a )<1 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0 不等式恒成立的充要条件是 Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0 即4a 2－4a －3<0 解得－12<a <32.故应选C.6．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[答案] D[解析] 项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，故应选D. 7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( )A ．大于0B ．小于0C ．不小于0D ．不大于0 [答案] D[解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.解法2：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a 、b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，选D.8．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 、b 大小不定 [答案] B[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，因为c ＋1>c >0，c >c －1>0，所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b .9．若凸k 边形的内角和为f (k )，则凸(k ＋1)边形的内角和f (k ＋1)(k ≥3且k ∈N *)等于( ) A ．f (k )＋π2 B ．f (k )＋π C ．f (k )＋32π D ．f (k )＋2π[答案] B[解析] 由凸k 边形到凸(k ＋1)边形，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 10．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．有一个内角是30°的直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．有一个内角是30°的等腰三角形 [答案] C[解析] ∵sin A a ＝cos B b ＝cos Cc ，由正弦定理得，sin A a ＝sin B b ＝sin C c ，∴sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin Cc ， ∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴∠B ＝∠C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形．二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．将正确答案填在题中横线上) 11．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①式的式子：______________________________，你所写的式子可用语言叙述为__________________________．[答案] ⎝⎛⎭⎫43πR 3′＝4πR 2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数．12．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n )>n2时，f (2k ＋1)－f (2k )＝________.[答案]12k＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 [解析] f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋1f (2k)＝1＋12＋13＋ (12)f (2k ＋1)－f (2k)＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1.13．观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________．[答案] sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34可以证明此结论是正确的，证明如下： sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α) ＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12sin(30°＋2α)－12＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34. 14．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2011＝( )[答案] 4[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2011＝x 3＝4，故应为415．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集F ＝{a ＋b 2|a ，b ∈Q }也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) [答案] ③④[解析] 考查阅读理解、分析等学习能力． ①整数a ＝2，b ＝4，ab不是整数；②如将有理数集Q ，添上元素2，得到数集M ，则取a ＝3，b ＝2，a ＋b ∉M ； ③由数域P 的定义知，若a ∈P ，b ∈P (P 中至少含有两个元素)，则有a ＋b ∈P ，从而a ＋2b ，a ＋3b ，…，a ＋nb ∈P ，∴P 中必含有无穷多个元素，∴③对．④设x 是一个非完全平方正整数(x >1)，a ，b ∈Q ，则由数域定义知，F ＝{a ＋b x |a 、b ∈Q }必是数域，这样的数域F 有无穷多个．三、解答题(本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本题满分12分)已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13[证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，及b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1，即a 2＋b 2＋c 2≥13.17．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋2，……[证明] 2cos π4＝2·22＝ 22cos π8＝21＋cosπ42＝2·1＋222＝2＋ 2 2cos π16＝21＋cosπ82 ＝21＋122＋22＝2＋2＋ 2…18．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ·a n －1＝2·a n －1－1. (1)求a 2、a 3、a 4； (2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎫1a n －1是等差数列，并写出数列{a n }的一个通项公式． [解析] (1)由a n ·a n －1＝2·a n －1－1得 a n ＝2－1a n －1，代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得 a 2＝2－13＝53，a 3＝2－35＝75，a 4＝2－57＝97(2)证明：由a n ·a n －1＝2·a n －1－1变形，得 (a n －1)·(a n －1－1)＝－(a n －1)＋(a n －1－1)，即1a n －1－1a n －1－1＝1，所以{1a n －1}是等差数列．由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1，变形得a n －1＝22n －1，所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的一个通项公式．19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负根．[解析] (1)证法1：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，且a x 1>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)＝x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f ′(x )＝a xln a ＋x ＋1－(x －2)(x ＋1)2＝a xln a ＋3(x ＋1)2∵a >1，∴ln a >0，∴a x ln a ＋3(x ＋1)2>0， f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立，即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0 则a x 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．解法2：设x 0<0(x 0≠－1)①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，a x 0<1，∴f (x 0)<－1.②若x 0<－1则x 0－2x 0＋1>0，a x 0>0，∴f (x 0)>0.综上，x <0(x ≠－1)时，f (x )<－1或f (x )>0，即方程f (x )＝0无负根．20．(本题满分12分)我们知道，在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若c n＝a n＋b n(n ＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形 ∵c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，∴c ＞a, c ＞b ，由c 是△ABC 的最大边，所以要证△ABC 是锐角三角形，只需证角C 为锐角，即证cos C ＞0.∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴要证cos C ＞0，只要证a 2＋b 2＞c 2，① 注意到条件：a n ＋b n ＝c n ，于是将①等价变形为：(a 2＋b 2)c n －2＞c n .② ∵c ＞a ，c ＞b ，n ＞2，∴cn －2＞an －2，cn －2＞bn －2，即c n －2－a n －2＞0，c n －2－b n －2＞0，从而(a 2＋b 2)c n －2－c n ＝(a 2＋b 2)c n －2－a n －b n ＝a 2(c n －2－a n －2)＋b 2(c n －2－b n －2)＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C ＞0，C 是锐角，△ABC 为锐角三角形．21．(本题满分14分)(2010·安徽理，20)设数列a 1，a 2，…a n ，…中的每一项都不为0. 证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ＋，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1. [分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性． [证明] 先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a n ＋1＝1d a n ＋1－a 1a 1a n ＋1 ＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N ＋都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d .假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＝k －1a 1a k，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1② 将①代入②，得 k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k . 将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后，得a k ＋1＝a 1＋kd .由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ，都有a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以{a n }是公差为d 的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋1.② ②－①得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－na 1a n ＋1，在上式两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2.③ 同理可得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1(n ≥2)④ ③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n ) 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，由证法1知a 3－a 2＝a 2－a 1，故上式对任意n ∈N *均成立．所以{a n }是等差数列．。

第二章 推理与证明综合检测

人教A版选修2-2第二章推理与证明综合测试题

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