北师大版高中数学选修2-3二项分布
北师大版选修2—3《二项分布课件》
第一投，我要努力！
Ohhhh，进球拉！！！
第二投，动作要注意！！
又进了，不愧 是姚明啊 ！！
第三投，厉害了啊！！
第三次登场了！
这都进了！！ 太离谱了！
第四投，大灌蓝哦！！
……
姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为0.8， 假设他每次命中率相同，请问他4投3中的概率是 多少？
n投k中呢？
姚明罚球一次，命中的概率是0.8
问题1：他在练习罚球时，投篮4次，全部投中的 概率是多少？
问题2：他在练习罚球时，投篮4次，全部没有投中 的概率是多少？
问题3：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中1次的 概率是多少？
问题4：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中2次的 概率是多少？
姚明罚球一次，命中的概率是0.8
问题1：他在练习罚球时，投篮4次，全部投中的 概率是多少？
分析：令Ai “ 第i次投中” （i 1，2，3，4） 用X 表示4次投篮中投中的次数
P( X 4) P( A1 A2 A3 A4 )
P( A1 )P( A2 )P( A3 )P( A4 ) 0.84
问题2：他在练习罚球时，投篮4次，全部没有投中 的概率是多少？
分析： P(X 0) P(A1 A2 A3 A4 )
P(A1)P(A2 )P(A3 )P(A4 )
（1 0.8）4
问题3：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中1次的 概率是多少？
分析：共有以下4种情况：
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 每种情况的概率都为：0.81 （1 0.8）3 P( X 1) 4 0.81 （1 0.8）3
1.二项分布
高中数学 二项分布(第二课时)参考教案 北师大版选修2-3
2.4二项分布（第二课时）教学目标：了解n 次独立重复试验的模型及二项分布的简单应用教学重点：了解n 次独立重复试验的模型及二项分布的简单应用教学过程一、复习引入：1. 已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率，记作(|)P A B .2. 对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为 (|)P AB P A B P B （）＝（）3. 事件B 发生与否对事件A 发生的概率没有影响，即 (|)()P A B P A =. 称A 与B 独立 4 独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验5．独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(．它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项二、讲解新课：例1．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次∴从低层到顶层停不少于3次的概率 3364455549999991111111()()()()()()()2222222P C C C C =++++ 3459990129999999911()()2()()22C C C C C C C ⎡⎤=+++=-++⎣⎦+ 991233(246)()2256=-=设从低层到顶层停k 次，则其概率为k9999111C ()()()222k k k C -=， ∴当4k =或5k =时，9k C 最大，即991()2k C 最大， 答：从低层到顶层停不少于3次的概率为233256，停4次或5次概率最大． 例2．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率． 解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12． 记事件A =“甲打完3局才能取胜”，记事件B =“甲打完4局才能取胜”，记事件C =“甲打完5局才能取胜”．①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜∴甲打完3局取胜的概率为33311()()28P A C ==． ②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负∴甲打完4局才能取胜的概率为2231113()()22216P B C =⨯⨯⨯=． ③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负∴甲打完5局才能取胜的概率为22241113()()()22216P C C =⨯⨯⨯=． (2)事件D ＝“按比赛规则甲获胜”，则D A B C =++，又因为事件A 、B 、C 彼此互斥， 故1331()()()()()816162P D P A B C P A P B P C =++=++=++=． 答：按比赛规则甲获胜的概率为12． 例3．一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg 20.3010=） 解：记事件A ＝“种一粒种子，发芽”，则()0.8P A =，()10.80.2P A =-=，（1）设每穴至少种n 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．∵每穴种n 粒相当于n 次独立重复试验，记事件B ＝“每穴至少有一粒发芽”，则00()(0)0.8(10.8)0.2n n n n P B P C ==-=． ∴()1()10.2n P B P B =-=-．由题意，令()98%P B >，所以0.20.02n<，两边取常用对数得， lg0.2lg0.02n <．即(lg 21)lg 22n -<-， ∴lg 22 1.6990 2.43lg 210.6990n ->=≈-，且n N ∈，所以取3n ≥． 答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．（2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为2230.80.20.384P C =⨯⨯==，答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384课堂小节：本节课学习了n 次独立重复试验的模型及二项分布的简单应用 课堂练习：课后作业：。
高中数学第二章概率2.4二项分布课件北师大版选修2_3
(3)记“乙恰好射击 5 次后被中止射击”为事件 A3 , “乙第 i 次射击 未击中”为事件 Di (i=1,2,3,4,5), 则 P(Di )= . 由于各事件相互独立, 故 P(A3 )=P(D5 )· P(D4 )· P(������3 )· (1-P(D1 )P(D2 )) =4 × 4 × 4 × 1- 4 × 4 = 1 024 , 即乙恰好射击 5 次后, 被中止射击的概率为
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析(1)从对立事件的角度考虑比较容易解决;(2)甲射击4次击中 目标2次,乙射击4次击中目标3次,两者均为独立重复试验,而这两个 事件又为相互独立事件,故可用相互独立事件同时发生的概率公式 求解;(3)依题意后3次射击情形必为:击中、未击中、未击中的分布, 而前2次的射击不能为两次都未击中,而这些情形都是相互独立的, 故可用相互独立事件同时发生的概率公式求解.
分布.
【做一做】 某一批花生种子, 如果每 1 播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是( A.
12 125
4 粒发芽的概率为5, 那么 96 125
) D.
2
B.
16 125
C.
48 125
2 4 解析:本题考查独立重复试验、 二项分布.P(X=2)=C3 5
× =
1 5
48 . 125
答案:C
k n-k P (X=k )=C������ p (1 -p ) (k=0,1,2,…, n).这里各个符号的意义要弄清. ������
4. 因为在 n 次独立重复试验中某个事件恰好发生 k 次的概率 k n-k P (X=k )=C������ ������ p q 恰好是二项展开式
0 p0 qn +C 1 p1 qn-1 +…+C ������ pkqn-k+…+C ������ pn q0 中的第 k+1 项( 这 (q+p)n =C������ ������ ������ ������ 里 k 可取 0,1,2, …, n 中的各个值), 所以称这样的随机变量 X 服从二项
北师大版高中数学选修2-3课件2.4二项分布
学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固
题型一
题型二
题型三
解:在相互独立的重复射击中,击中目标的次数 X 服从二项分 布,X~B(n,p).
由已知得 n=4,p=0.8,P(X=k)=C4������ ·0.8k·0.24-k,k=0,1,2,3,4.
学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固
例如:社会福利组织定期发行某种奖券,每张奖券 1 元,中奖率为 p,某人 购买 1 张奖券,如果没有中奖,下次再继续购买 1 张,直到中奖为止,求此人购 买次数 X 的分布列.
购买奖券次数 X 的可能取值为全体正整数,事件“X=k”表示“此人购买 k 张奖券,前 k-1 张都没有中奖,而第 k 张中奖”,由于各期中奖与否是相互独 立的,因此 P(X=k)=(1-p)k-1p(k=1,2,3,4,…),分布列为
学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固Fra bibliotek题型一
题型二
题型三
(2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的对立事件为“5 次预报都不准确或
只有 1 次准确”,其概率为 P(X=0)+P(X=1)=C50×0.25+C51×0.8×0.24=0.006 72. ∴5 次预报中至少有 2 次准确的概率为 1-0.006 72≈0.99. (3)由题意可知,第 1,2,4,5 次中恰有 1 次准确, ∴所求概率为 P=C41×0.8×0.23×0.8=0.020 48≈0.02,即恰有 2 次准确,且其
学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固
北师大版选修2-3第二章第二单元2.4第三课时二项分布教案
四、教学过程
教 学 环 师生活动
设计意图
节
复复 习习 巩回 固顾 ， 学 习 奠 基
教师 PPT 展示条件概率、相互独立事件积的概 率公式
师生共同回顾
教师强调定义公式，带 领学生一起回顾，为下面内 容的学习打下扎实基础，力 图将教学建立在学生的“最 近发展区”上。
教师导入：本节课，为了每个人都有可能被提
数 学
Ck n
pk
(1
p)nk
,(k
0,1,2,n)
化
认
识
师
生共同公式的适用条件、结构特征以及与二项式展 开式的关系。
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
请同学们阅读 P49 思考交流 2,并回答问题。
有助学生更深刻理解二项分 布。
思考题通过几种分布的类比，
加深学生对二项分布的理解。 请大家自己取若干个二项分布的例子，同学之间先相
二、教学重点、难点 重点：独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。 难点：二项分布模型的构建。
三、教学方法与手段 教学方法：诱思探究教学法 学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。 教学手段：多媒体辅助教学
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
课堂小结：
主要引导学生发现规
1）知识小结:
律、得出结论，让学生经历
独立重复试验
由量变到质变、知识升华的
二项分布
过程，体验成功的喜悦，激
（2）能力总结:
活潜在的学习热情。
① 分清实验类型；
(北师大版)数学选修2-3课件：第2章-二项分布ppt课件
北师大版数学【选修2-3】练习：2.4 二项分布(含答案)
第二章 §4一、选择题1．设随机变量ξ服从二项分布B (6，12)，则P (ξ＝3)等于( )A.516 B.316 C.58 D.38[答案] A[解析] P (ξ＝3)＝C 36(12)3·(12)3＝516. 2．一名学生通过英语听力测试的概率为13，她模拟测试3次，至少有1次通过测试的概率为( )A.49 B.2027 C.1927 D.827[答案] C[解析] 模拟测试3次相当于做了3次独立重复试验，“测试通过”即试验成功，则模拟测试3次通过测试的次数X ～B (3，13)，故所求概率为1－P (X ＝0)＝1－C 03(13)0(1－13)3＝1927. 3．位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A ．(12)5B ．C 25(12)5C ．C 35(12)3D ．C 25C 35(12)5 [答案] B[解析] 质点P 移动五次后位于点(2,3)，即质点向上移动了2次，向右移动了3次，将质点移动5次视为做了5次独立重复试验，“向上移动”视为试验成功，设5次移动中向上移动的次数为X ，则X ～B (5，12)，所以P (X ＝2)＝C 25(12)2(12)3＝C 25(12)5. 二、填空题4．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．[答案] 0.947 7[解析] 4人服用新药相当于做了4次独立重复试验，设服用新药的4个病人中被治愈的人数为X ，则X ～B (4,0.9)，所求概率为P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34×0.93×0.11＋C 44×0.94×0.10＝0.291 6＋0.656 1＝0.947 7.5．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (3，p )，若P (ξ≥1)＝34，则P (η≥1)＝________.[答案] 78[解析] 由P (ξ≥1)＝1－p (ξ＝0)＝1－(1－p )2＝34得p ＝12，则P (η≥1)＝1－P (η＝0)＝1－(1－p )3＝78.三、解答题6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．该射手射击了5次，求：(1)其中只在第一，三，五次3次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率；(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率．[分析] 本题要注意恰有k 次和指定的某k 次发生的差异，具体说(1)是相互独立事件概率模型，其公式为p k (1－p )n －k ；(2)是恰有3次发生，其公式为C k n p k (1－p )n －k；(3)也是相互独立事件概率模型，但要考虑多种情况．[解析] (1)该射手射击了5次，其中只在第一，三，五次3次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也即在第二，四次没有击中目标，所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求概率为p ＝35×(1－35)×35×(1－35)×35＝1083 125.(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标的概率情况不确定，根据排列组合知识，5次当中选3次，共有C 35种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求概率为p ＝C 35×(35)3×(1－35)2＝216625. (3)该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，将3次连续击中目标看成一个整体，另外两次没有击中目标，产生3个空隙，所以共有C 13种情况，故所求概率为P ＝C 13×(35)3×(1－35)2＝3243 125.一、选择题1．在4次独立重复试验中事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为( )A.13B.25C.56 D ．以上全不对[答案] A[解析] 设事件A 在1次试验中出现的概率为p .由二项分布的概率公式得1－C 04p 0(1－p )4＝6581，所以(1－p )4＝1681，解得p ＝13.2．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，那么k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 依题意有C k 5×(12)k ×(12)5－k ＝C k ＋15×(12)k ＋1×(12)5－(k ＋1)，所以C k 5＝C k ＋15. 故有k ＋(k ＋1)＝5.∴k ＝2.3．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子个数为X ，则P (X ≤2)等于( ) A ．C 210(16)2×(56)8 B ．C 110(16)×(59)9＋(56)10 C ．C 110(16)×(56)9＋C 210(16)2×(56)8 D ．以上均不对 [答案] D[解析] 由题意，X ～B (10，16)，∴P (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝(56)10＋C 110×16×(56)9＋C 210×(16)2×(56)8. ∴A ，B ，C 三选项均不对．4．如果X ～B (15，14)，则使P (X ＝k )最大的k 值是( )A ．3B ．4C ．4或5D ．3或4[答案] D[解析] P (X ＝k )＝C k 15(34)15－k (14)k，然后把选择项代入验证． 5．(2013·河南安阳中学高二期中)若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)等于( )A ．C 810×0.88×0.22B ．C 810×0.82×0.28C ．0.88×0.22D ．0.82×0.28[答案] A[解析] ∵X ～B (10,0.8)，∴P (X ＝k )＝C k 100.8k (1－0.8)10－k ，∴P (X ＝8)＝C 8100.88·0.22，故选A.二、填空题6．设每门高射炮击中飞机的概率为0.6，今有一飞机来犯，则至少需要________门高射炮射击，才能以99%的概率击中它．[答案] 6[解析] 设需要n 门高射炮才可达到目的，用A 表示“命中飞机”这一事件，由题意得，没有命中飞机的概率为1－0.6＝0.4，故由对立事件的概率分式得P (A )＝1－0.4n .由题意得1－0.4n ≥0.99，∴n ≥5.02.故应取6.7．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是________．[答案]1132[解析] 依题意得所求的概率为C 46(12)6＋C 56(12)6＋C 66·(12)6＝1132. 三、解答题8．(2014·西安市质检)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2分钟．(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列．[解析] (1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为P (A )＝(1－13)×(1－13)×13＝427.(2)由题意，可得ξ可以取的值为0,2,4,6,8(单位：分钟)，事件“ξ＝2k ”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”(k ＝0,1,2,3,4)， ∴P (ξ＝2k )＝C k 4(13)k (23)4－k(k ＝0,1,2,3,4)， ∴即ξ的分布列是9.(2014·则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立．(1)求某应聘人员被录用的概率；(2)若4人应聘，设X 为被录用的人数，试求随机变量X 的分布列．[解析] 设“两位专家都同意通过”为事件A ，“只有一位专家同意通过”为事件B ，“通过复审”为事件C .(1)设“某应聘人员被录用”为事件D ，则D ＝A ＋BC ， ∵P (A )＝12×12＝14，P (B )＝2×12×(1－12)＝12，P (C )＝310，∴P (D )＝P (A ＋BC )＝P (A )＋P (B )P (C )＝25.(2)根据题意，X ＝0,1,2,3,4，A i 表示“应聘的4人中恰有i 人被录用”(i ＝0,1,2,3,4)， ∵P (A 0)＝C 04×(35)4＝81625， P (A 1)＝C 14×25×(35)3＝216625， P (A 2)＝C 24×(25)2×(35)2＝216625， P (A 3)＝C 34×(25)3×35＝96625， P (A 4)＝C 44×(25)4×(35)0＝16625. ∴X 的分布列为10.5局内谁先赢3局就算胜出，并停止比赛)．(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率； (2)求按比赛规则甲获胜的概率．[分析] 甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12.[解析] 记事件A 为“甲打完3局才能取胜”，记事件B 为“甲打完4局才能取胜”，记事件C 为“甲打完5局才能取胜”．(1)①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜． ∴甲打完3局取胜的概率为P (A )＝C 33(12)3＝18. ②甲打完4局取才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负，∴甲打完4局才能取胜的概率为P (B )＝C 23×(12)2×12×12＝316. ③甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负，∴甲打完5局才能取胜的概率为P (C )＝C 24×(12)2×(12)2×12＝316. (2)设事件D 为“按比赛规则甲获胜”，则D ＝A ∪B ∪C .又∵事件A 、B 、C 彼此互斥，故P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝18＋316＋316＝12. 因此按比赛规则甲获胜的概率为12.。
2020北师大版高中数学选修2-3 教师课件：第二章 二项分布
P
64 729
64 243
80 243
160 729
20 243
4 243
1 729
(2)由题意知， η＝k(k＝0,1,2，…，5)表示前 k 个路口没有遇上红灯，但在第(k＋1)个路
口遇上红灯，则其概率为 P(η＝k)＝(23)k·13，η＝6 表示路上没有遇上红灯，其概率为 P(η
＝6)＝(23)6.
解析：(1)由独立重复试验的条件，小明、小华各自投掷骰子时可看作在相同条 件下，且每次间互不影响，故小明、小华分别投掷的 n 次和 m 次可看作 n 次独 立重复试验和 m 次独立重复试验． (2)就全过程考查，不是在相同条件下进行的试验，故不能看作 m＋n 次独立重复 试验．
探究二 求独立重复试验的概率
P(X＝2)＝C27×0.752×0.255≈0.011 54， P(X＝3)＝C37×0.753×0.254≈0.057 68， P(X＝4)＝C47×0.754×0.253≈0.173 03， P(X＝5)＝C57×0.755×0.252≈0.311 46， P(X＝6)＝C67×0.756×0.251≈0.311 46， P(X＝7)＝C77×0.757×0.250≈0.133 48. 其分布列为：
[双基自测] 1．对独立重复试验有以下说法：
①每次试验之间是相互独立的；
②每次试验只有两个相互对立的结果；
③每次试验中事件 A 发生的概率相等；
④各次试验中，各个事件是互斥的．
其中正确的是( C )
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①②④
解析：各次试验中，各个事件是相互独立的，所以④不正确．
2．已知 η～B(6，13)，则 P(η＝4)等于( B )
二项分布 教案(北师大版选修2-3)
2.2.3独立重复试验与二项分布学习目标：1.理解事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率的意义，并会计算其概率。
2．理解二项分布的意义，并会求出服从二项分布的随机变量的分布列。
学习重点与难点：1．事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率的意义，计算其概率。
2．二项分布的意义，求服从二项分布的随机变量的分布列。
教学过程设计一、回顾与引入条件概率、相互独立二、试验的相互独立性若在同样条件下，将试验E重复进行n次，若各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n次试验是相互独立的。
例在同样条件下，抛掷一均匀硬币n次，易见每次投掷的结果，即不管出现“正面”或“反面”，均不会影响其它各次投掷结果，即此为n次重复且相互独立试验。
例从一批灯泡中，任取n只作寿命试验，而每只灯泡的寿命结果不会影响其它灯泡的寿命结果，故此亦为n次重复且相互独立试验。
三、二项分布进行一系列试验,如果1.在每次试验中只有两种可能的结果,而且是互相对立的;2.每次实验是独立的,与其它各次试验结果无关;3.结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验.在n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式，在此给出一般性的推导：已知是某随机试验中可能出现的事件，且，现在把这个试验独立地重复进行次，要求事件恰好发生次的概率．首先，在次试验的总结果中，有些试验结果是，有些试验结果是，所以总结果是几个与几个的一种搭配．要求总结果中事件恰好发生次，就是个与个的一种搭配．而合乎这个要求的搭配，又因与出现的先后次序不同而可能有许多种．在次试验的总结果中，含个以及个的搭配的种数，相当于从个号码中任取个号码的不同取法的种数种，而所有这些引起的搭配显然都是等可能的，并且均是互斥的．”如果随机变量有概率函数(2.1)其中，，则称服从参数为，的二项分布。
公式（2．1）称为二项分布公式或贝努里公式。
2.4二项分布(一)线上课程课件-北师大版高中数学选修2-3
pX k Cnk pk (1 p)nk (k 0,1,2 , n)
3.二项分布简计为X~B(n,p).
课后作业:课本第51页练习1，2 答案：1.一批产品的次品率为p=0.12，从中任取5件，∴取得各次 品数X~B(5,0.12)， ∴恰好取到0件次品的概率：P(X 0) C50 (1 0.12)5 0.527732
p( X
0)
C40
(
1 4
)
4
p( X
1)
C41
(
3 4
)1
(
1 4
)3
p( X
2)
C42
(
3 4
)2
(
1 4
)2
p( X
3)
C43
(
3 4
)3
(
1 4
)1
p( X
4)
C44
(
3 4
)
4
则X的分布列如下
X
0
1
2
3
4
p
1
327278125664
128
64
256
思考交流
在上面的问题中，如果将一次射击看成做了一次实验， 思考以下问题：
（1）掷n枚相同的骰子，X为出现“1”点的骰子数；
X ~ B（n, 1) 6
（2）n个新生婴儿，X为男婴的个数； X ~ B（n, 1)
2
（3）某产品的次品率为p，X为n个产品中的次品数； X ~ B（n, p)
（4）女性患色盲的概率为0.25%，X为任取n X ~ B（n,0.25%)
个女人中患色盲的人数.
1.一共进行了多少次试验？每次试验有几种结果？
北师大版高中数学选修2-3《二项分布》第一课时教案-新版
2.4二项分布（第一课时）教学目标：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布教学重点：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布教学过程一、复习引入：1. 已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率，记作(|)P A B .2. 对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为(|)P AB P A B P B （）＝（） 3. 事件B 发生与否对事件A 发生的概率没有影响，即 (|)()P A B P A =. 称A 与B 独立二、讲解新课： 1 独立重复试验的定义： 指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验2．独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(．它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项例1．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率 解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件A ．预报5次相当于5次独立重复试验，根据n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率4454455(4)0.8(10.8)0.80.41P C -=⨯⨯-=≈ 答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即4454555555555(4)(5)(4)0.8(10.8)0.8(10.8)P P P P C C --=+==⨯⨯-+⨯⨯- 450.80.80.4100.328=+≈+≈答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74． 例2．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字） 解：记事件A ＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验 1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率55513(0)(1)()44P =-=， 1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率145511(1)(1)44P C =⨯⨯-， 所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为[]551(0)(1)P P P =-+≈ 答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为0.37．点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法例3．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n 次记事件A ＝“射击一次，击中目标”，则()0.25P A =．∵射击n 次相当于n 次独立重复试验，∴事件A 至少发生1次的概率为1(0)10.75n n P P =-=-．由题意，令10.750.75n -≥，∴31()44n ≤，∴1lg4 4.823lg 4n ≥≈， ∴n 至少取5．答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次课堂小节：本节课学习了n次独立重复试验的模型及二项分布课堂练习：课后作业：。
数学北师大版高中选修2-3北师大版数学选修2-3 第二章 独立重复试验与二项分布
例 3 ：某射手有 5 发子弹，射击一次命中的概率为 思考 2 解:
0.9,如果命中了就停止射击，否则一直射击到子弹
用完，求耗用子弹数 的分布列. 解： 的所有取值为：1、2、3、4、5
P( 1) 0.9
2
P( 2) .1 0.9
3
P( 3) 0.1 0.9 P( 4) 0.1 0.9
（1）甲恰好击中目标2次的概率；
1 2 标的概率为 ，乙每次击中目标的概率为 ，求： 2 3
（2）乙至少击中目标2次的概率；
（3）乙恰好比甲多击中目标2次的概率； （4）甲、乙两人共击中5次的概率。
练：甲、乙两个篮球远动员投篮命中率分别为0.7和0.6，每
人投篮3次，求：
（1）二人进球数相同的概率； （2）甲比乙进球多的概率。
“ 5”表示前四次都没射中 P( 5) 0.14
故所求分布列为:
1
0.9
2
3
4
5
0.14
P
2 3 0.1 0.9 0.1 0.90.1 0.9
当堂检测：
1．每次试验的成功率为 p(0 p 1) ，重复进行 10 次试验， 其中前 7 次都未成功后 3 次都成功的概率为（C） 3 3 3 3 (A) C10 p (1 p)7 (B) C10 p (1 p)3 (C) p3 (1 p)7 (D) p7 (1 p)3
2、二项分布：
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的 次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为
P ( X k ) C p (1 p )
k n k
nk
高中数学北师大版选修2-3第二章《二项分布》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学北师大版选修2-3第二章《二项分布》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1、知识与技能:
(1)理解n次独立重复试验的模型;理解二项分布的概念。
(2)能利用n次独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题。
2、过程与方法:在具体问题的解决过程中,领会二项分布需要满足的条件,培养运用概率模型解决实际问题的能力。
3、情感态度与价值观:在利用二项分布解决简单的实际问题过程中深化对某些随机现象的认识,进一步体会数学在日常生活中的广泛应用。
2学情分析
本节课是在学生学习了离散型随机变量的分布列、,互斥事件、相互独立事件、超几何分布的基础上学习的,学生对本节课内容的理解没有多大困难。
3重点难点
教学重点:理解n次独立重复试验的模型;理解二项分布的概念。
教学难点:理解二项分布,利用二项分布解决简单的实际问题。
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】二项分布（一）
1、若A、B是互斥事件,则 P(A+B)=?
2、若A、B是相互独立事件,则 P(AB)=?
3、求离散型随机变量的分布列的方法步骤?
4、超几何分布。
高中数学北师大版选修2-3教学案第二章 4 二项分布 Word版含解析
§二项分布某篮球运动员进行了次投篮，假设每次投中的概率都为，且各次投中与否是相互独立的，用表示这次投篮投中的次数，思考下列问题．问题：如果将一次投篮看成做了一次试验，那么一共进行了多少次试验？每次试验有几个可能的结果？提示：次，每次试验只有两个相对立的结果投中(成功)，未投中(失败)．问题：＝表示何意义？求其概率．提示：＝表示次都没投中，只有＝种情况，(＝)＝.问题：＝呢？提示：＝表示次中有次投中，有＝种情况，每种情况发生的可能性为·.从而(＝)＝·.二项分布进行次试验，如果满足以下条件：()每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；()每次试验“成功”的概率均为，“失败”的概率均为－；()各次试验是相互独立的．用表示这次试验中成功的次数，则(＝)＝(－)－(＝，…，)．若一个随机变量的分布列如上所述，称服从参数为，的二项分布，简记为～(，)．．(＝)＝·(－)－.这里为试验次数，为每次试验中成功的概率，为次试验中成功的次数．．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其一是对立性，即一次试验中，事件发生与否，二者必居其一；其二是重复性，即试验重复地进行了次；其三是各次试验相互独立．[例]到岁的概率为，试问个投保人中：()全部活到岁的概率；()有个活到岁的概率；()有个活到岁的概率．[思路点拨]每人能否活到岁是相互独立的，利用二项分布公式可求．[精解详析]设个投保人中活到岁的人数为，则～()，故(＝)＝·(－)－(＝)．()(＝)＝··(－)＝；即全部活到岁的概率为.()(＝)＝··(－)＝.即有个活到岁的概率为.()(＝)＝··(－)＝.即有个活到岁的概率为.[一点通]要判断次试验中发生的次数是否服从二项分布，关键是看试验是否为独立重复试验，独立重复试验的特点为：()每次试验是在相同的条件下进行的；()每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验是相互独立的；()基本事件的概率可知，且每次试验保持不变；()每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生．．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，出现“个正面，个反面”的概率是( )解析：由题意，出现正面的次数～，∴出现个正面个反面的概率为(＝)＝××＝.答案：．甲每次投资获利的概率是＝，对他进行的次相互独立的投资，计算：()有次获利的概率；()次都获利的概率．解：用表示甲在次投资中获利的次数，则服从二项分布()，且()(＝)＝(－)≈，他次获利的概率约等于.()(＝)＝≈.他次都获利的概率约等于.。
北师大版高中数学选修2-3第5讲：二项分布(教师版)
北师大版高中数学 二项分布__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解n 次独立重复试验的模型.3.熟练掌握二项分布及其公式.4.能利用二项分布解决简单的实际问题.1.条件概率(1)条件概率的定义：一般地，若有两个事件A 和B ，在已知事件B 发生的条件下考虑事件A 发生的概率，则称此概率为B 已发生的条件下A 的条件概率，记为P (A |B ).(2)条件概率的公式：P (A |B )=(),()P AB P B P (B )>0(有时P (AB )也记作P (A B )，表示事件A 、B 同时发生的概率).2.两个事件的相互独立性(1)相互独立事件的概率乘法公式，对于等可能性事件的情形可以一般地给予证明.设甲试验共有1N 种等可能的不同结果，其中属于A 发生的结果有1m 种，乙试验共有2N 种等可能的不同结果，其中属于B 发生的结果有2m 种.由于事件A 与B 相互独立，这里的种数11,N m 与22,N m 之间互相没有影响.那么，甲、乙两试验的结果搭配在一起，总共有12N N ⋅种不同的搭配，显然，这些搭配都是具有等可能性的.现在考察属于事件AB 的试验结果.显然，凡属于A 的任何一种甲试验的结果同属于B 的任何一种乙试验的结果的搭配，都表示A 与B 同时发生，即属于事件AB ，这种结果总共有1m ⋅2m 种，因此得12121212(),m m m m P AB N N N N ⋅==⋅⋅所以P (AB )=P (A )·P (B ).(2)一般地，可以证明，事件A 与B (不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算： P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).特别地，当事件A 与B 互斥时，P(AB)=0，于是上式变为P(A+B)=P(A)+P(B).(3)如果事件A 与B 相互独立，则事件A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立.3.n 次独立重复试验一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中P (A )=p >0，我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验.4.二项分布若随机变量X 的分布列为P (X =k )=,kkn kn C p q-其中0<p <1，p +q =1，k =0，1，2，…，n ，则称X服从参数为n ，p 的二项分布，记作X ~B (n ，p ).5.二项分布公式在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k (0≤k ≤n )次的概率为(),k k n kn n P k C p q-=k =0，1，2，…，n ，它恰好是()np q +的二项展开式中的第k +1项.其中每次试验事件A 发生的概率为p (0<p <1)，即P (A )=p ，P (A )=1-p =q .类型一.条件概率例1：抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过3，则出现的点数是奇数的概率为________.[答案]23[解析] 令点数不超过3为事件A ，点数为奇数为事件B ，则P (AB )=1.3又P (A )31,62==所以123(|).132P B A ==练习1：从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张.已知第1次抽到A ，求第2次也抽到A 的概率.[答案]117[解析] 设第1次抽到A 为事件M ，第2次抽到A 为事件N ，两次都抽到A 为事件MN ，从52张扑克牌中不放回地抽2张的事件总数为252A =2652，由分步计数原理，事件M 的总数为11451451204,A A =⨯=故P (M )204.2652=事件M N 的总数为2412,A =故P (M N )12.2652=由条件概率公式，得12()122652(|)204()2042652P M N P N M P M ===1.17= 类型二.两个事件的相互独立性例2：制造一种零件，甲机床的正品率是0.96，乙机床的正品率是0.95，从它们制造的产品中各任抽一件.(1)两件都是正品的概率是多少？(2)恰有一件正品的概率是多少？[解析] 分别用A ，B 表示从甲、乙机床的产品中抽得正品.由题意知A ，B 是相互独立事件. (1)P (A B )=P (A )·P (B )=0.96×0.95=0.912；(2)()()P AB P A B +=(1-0.96)×0.95+0.96×(1-0.95)=0.086.练习1：袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，用B 表示“第二次摸得白球”，则A 与B 是( )A.互斥事件B.相互独立事件C.对立事件D.不相互独立事件 若上题中的“不放回”改为“有放回”，则A 与B 是( ) [答案] Ｄ，Ｂ[解析] 由题意知P (A )=35，P (B )=35，用AB 表示第一次摸得白球且第二次也摸得白球.则P (AB )323,5410⨯==⨯而P (A )·P (B )≠P (AB )，故A 与B ，是不相互独立事件；若改为有故回地摸球，则P (A )=35，P (B )=3,5P (AB )33.55⨯=⨯故P (A )·P (B )=P (AB )，所以A 与B 是相互独立事件 类型三.n 个事件相互独立例3：有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，从中各抽取一件进行检验. (1)求恰有一件不合格的概率；(2)求至少有两件不合格的概率(结果都精确到0.001).[解析] 设从三种产品中各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C .(1)P (A )=0.90，P (B )=P (C )=0.95，则()0.10,P A =()()0.05.P B P C == 因为事件A 、B 、C 相互独立，所以恰有一件不合格的概率为()()()P A B C P A B C P A B C ++=2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95≈0.176.(2)至少有两件不合格的概率为P =0.90×0.05×0.05+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.05×0.05=0.012. 故至少有两件不合格的概率为0.012.练习1：甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6，计算： (1)两人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率； (3)至少有一人投中的概率.[解析] (1)设事件A 为“甲投篮一次，投中”，事件B 为“乙投篮一次，投中”，则事件A B 为“两人各投篮一次，都投中”.由题意知，事件A 与B 相互独立，则所求概率为 P (A B )=P (A )·P (B )=0.6×0.6=0.36.(2)所求概率为：()()()()()()P A P A B P A P B P A B P B +=⋅+⋅=0.6×(1-0.6)+(1-0.6)×0.6=0.48.(3)事件“两人各投篮一次，至少有一人投中”的对立事件“两人各投篮一次，均未投中”的概率是()()P A B P A =⋅()P B =(1-0.6)×(1-0.6)=0.16.因此,至少有一人投中的概率为：()1()P A B P AB =-=1-0.16=0.84.类型四.n 次独立重复试验及二项分布例4：某一种玉米种子，如果每一粒发芽的，概率为0.9.播下五粒种子，则其中恰有两粒末发芽的概率约是( )A.0.07B.0.27C.0.30D.0.33[答案] A[解析] 相当于做5次独立重复试验.3355(3)0.9P C =⨯⨯20.10.07290.07.=≈练习1：某射击手每次射击击中目标的概率是0.8，现在连续射击4次，求击中目标次数X 的概率分布表.[解析] 本题是一个独立重复试验问题，其击中目标的次数X 的概率分布属二项分布，可直接由二项分布公式得出.在独立重复射击中，击中目标的次数X 服从二项分布X ～B (n ，p ). 由已知，n =4，p =0.8，P (X =k )40.80.2,k k kn C -=⋅⋅k =0，1，2，3，4，所以P (X =0)=0440.80.20.0016,C ⋅⋅=P (X =1)=11340.80.20.0256,C ⋅⋅=P (X =2)=22240.80.20.1536,C ⋅⋅= P (X =3)=33140.80.20.4096,C ⋅⋅=P (X =4)=444080.20.4096.C ⋅⋅= 所以，X类型五. 独立重复试验和二项分布的应用例5：某排球队参加比赛，每场比赛取胜的概率均为80%，计算： (1)5场比赛中恰有4场胜出的概率； (2)5场比赛中至少有4场胜出的概率.[解析] (1)记“比赛1场，结果胜出”为事件A ，比赛5场相当于做5次独立重复试验，根据n 次独立重复试验中事件发生k 次的概率公式，5场比赛中恰有4场胜出的概率，5(4)P =4450.8C ⋅54(10.8)0.41.-⨯-≈即5场比赛中恰有4场胜出的概率约为0.41.(2)5场比赛中至少有4场胜出的概率，就是5场比赛中恰有4场胜出的概率与5场比赛都胜出的概率的和，即5(4)P P =44545555555(5)0.8(10.8)0.8(10.8)P C C --+=⋅⨯-+⋅⨯-≈0.74.即5场比赛中至少有4场胜出的概率约为0.74.练习1：某人射击5次，每次中靶的概率均为0.9.求他至少有2次中靶的概率.[解析] 在5次射击中恰好有2次中靶的概率为2250.9C ⨯30.1;⨯在5次射击中恰好有3次中靶的概率为33250.901;C ⨯⨯ 在5次射击中恰好有4次中靶的概率为4450.90.1;C ⨯⨯ 在5次射击中5次均中靶的概率为5550.9.C ⨯至少有2次中靶的概率为22333550.90.10.9C C ⨯⨯+⨯⨯24455550.10.90.10.9C C +⨯⨯+⨯=0.0081+0.0729+0.32805+0.59049=0.99954.1.甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( )A.34B.23C.45D.710[答案] A2.面几种概率是条件概率的是( )A.甲、乙两人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率B.甲、乙两人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投篮一次投中的条件下乙投篮一次命中的概率C.有10件产品其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是2,5则小明在一次上学中遇到红灯的概率[答案] B3.下列说法正确的是( ) A.P (A |B )=P (B |A ) B.0<P (B |A )<1 C.P (AB )=P (A )·P (B |A ) D.P (A B |A )=P (B ) [答案] C4.独立重复试验应满足的条件是： ①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生与不发生两种结果； ③每次试验中发生的机会是均等的；④每次试验发生的事件是互斥的.其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④ [答案] C5.某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次试验中A 发生k 次的概率为( ) A.1kp -B.(1)k n kp p--C.(1)kp -D.(1)k k n kn C p p--[答案] D6.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A.13B.12C.23D.34[答案] C7.从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为( )A.929B.1029C.1929D.2029[答案] D8.篮球运动员在三分线投球的命中率是1,2他投球10次，恰好投进3个球的概率为________.(用数值作答)[答案] 15128_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.（2014新课标全国卷Ⅱ）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45[答案] A2.设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)等于( ) A.516 B.316 C.58 D.38[答案] A3.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．[答案] 354.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．[答案] 0.725.设随机变量X ～B 1(6,),2则P (X =3)为( ) A.516B.316C.58D.716[答案] A6.某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率是( )A.0.18B.0.28C.0.37D.0.48[答案] A7.把10枚骰子全部投出，记出现6点的骰子个数为,ξ则P (ξ≤2)等于( )A.2281015()()66C ⨯B.1910228101015515()()()()()66666C C ⨯++⨯ C.1922810101515()()()()6666C C ⨯+⨯D.以上都不对[答案] B8.有5粒种子，每粒种子发芽的概率均是98%，在这5粒种子中恰有4粒发芽的概率是( ) A.40.980.02⨯B.40.980.02⨯C.4450.980.02C ⨯⨯ D.4450.980.02C ⨯⨯[答案] C能力提升1.设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥2)的值为( )A.3281B.1127 C.6581 D.1681[答案] B2.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A.57C ⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫235B.27C ⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫135C.57C ⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫135D.37C ⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫235[答案] B3.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为________.(精确到0.01)[答案] 0.944.三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为111,534、、 假设他们破译密码彼此是独立的，则此密码被破译的概率为( )A.35B.25C.160D.不能确定[答案] A5.某射手每次击中目标的概率是23，各次射击互不影响，若规定：其若连续两次射击不中，则停止射击，则其恰好在射击完第5次后停止射击的概率为________．[答案]162436.（2015安徽卷节选）已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；[解析] P=112325A A A =3107.（2014山东卷节选）乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部分，如图1-4所示，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；[解析] 记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)， 则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16；记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”． 由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性， P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)·P (B 1)＋P (A 0)P (B 3)＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310， 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.8.（2014四川卷节选）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列 （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ [解析] (1).所以的分布列为(2)玩一盘游戏，没出现音乐的概率为P 1=8，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为1-(8)3=511512.200-12X X 1331(200),(10),(20),(100)8888P X P X P X P X =-=======X。
高中数学(北师大版)选修2-3教案：第2章 考点聚焦：二项分布及其应用
二项分布及其应用考点聚焦独立事件的概率、n 次独立重复试验的概率及二项分布是高考考查的重点内容，对这部分知识的考查常与其他知识结合在一起，有一定的综合性。
试题以中档题为主，有小题，也有大题。
考点一、条件概率问题例1 甲袋中有2个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，现在随机地从甲袋中取出一球放入乙袋，然后从乙袋中随机地取出一球，问从乙袋中取出的是白球的概率是多少？分析：由于不知从甲袋中取出又放入乙袋中的球是白球还是红球，为此，分别计算从甲袋中取出的是白球或红球的条件概率。
解析：设A 表示“从甲袋中移入乙袋中的球是白球”的事件，B 表示“最后从乙袋中取出的是白球”的事件。
∴2()6P A =，4()6P A =， 2()4P B A =，1()4P B A =。
()()()()()P B P A P B A P A P B A =+2241164643=⨯+⨯=。
评注：在计算()()()()()P B P A P B A P A P B A =+时，有的同学只计算()()P A P B A ，而丢掉了()()P A P B A 。
练习：掷两枚均匀的骰子，已知点数不同，求至少有一个是6的概率。
答案：13提示：在“点数不同”（事件A ）的条件下，总的基本事件个数为116530C C =个，“而至少一个是6”（事件B ）的事件的个数为15210C ⨯=个。
由题意得101()303P B A ==。
考点二、相互独立事件同时发生的概率问题例2 某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710。
（1）求恰有一名同学当选的概率； （2）求至多两人当选的概率。
分析：直接计算符合条件的事件个数较繁时，可间接地先计算对立事件的个数，求得对立事件的个数，再求出符合条件的事件的概率。
解析：（1）设甲、乙、丙当选的事件分别为A 、B 和C ，则4()5P A =，3()5P B =，7()10P C =。
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-3 二项分布》
超几何分布与二项分布数学组冯媛媛【教学目标】1了解超几何分布与二项分布的概率模型2掌握超几何分布与二项分布的概率模型的区别【教学重点】超几何分布与二项分布的应用【教学难点】超几何分布与二项分布的概率模型的区别【课前预习根底导学】超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，假设N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X= 那么,N,n上述超几何分布记作X~Hn，M，N。
二项分布：二项分布应满足独立重复试验：①每一次试验中只有两种结果〔要么发生，要么不发生〕②任何一次试验中发生的概率P都一样③每次试验间是相互独立的互不影响的n次独立重复试验中发生次的概率是上述二项分布记作【典题剖析领悟新知】超几何分布与二项分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：〔1〕有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；〔2〕不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列；解：〔1〕有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，那么〔2〕不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有：辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个那么总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．【合作探究一】某人参加一次英语考试，在备选题的10道试题中能答出其中的4道题，规定每次考试从备选题中随机抽取3题进行测试，求答对题数的分布列及数学期望？解：由题意得，，，服从参数为,,的超几何分布故的分布列点评：这是一道超几何分布的题目，学生在做的时候容易把它看到是二项分布问题，把事件发生的概率看做是。
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-3 二项分布》1
课题：?二项分布?授课教师：广西崇左市广西民族师范学院附属中学黄如意一、教材的地位和作用本节内容是北师大版选修2-3第二章概率的第四节?二项分布?的第1课时，通过前面的学习，学生已经学习掌握了有关概率和统计的根底知识：条件概率、相互独立事件概率的求法以及分布列有关内容。
二项分布是继超几何分布后的又一应用广泛的概率模型，可以说本节内容是对前面所学知识的综合应用，对加深前面知识的理解起到了一定的作用。
本节课是从实际入手，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程，会对今后数学及相关学科的学习产生深远的影响二、教学目标次独立重复试验及二项分布模型，会判断一个具体问题是否服从二项分布，培养学生的自主学习能力、数学建摸能力，并能解决相应的实际问题。
2通过问题导学、自主探究、相互交流，从具体事例中归纳出数学概念，使学生充分体会知识的发现过程，并渗透由特殊到一般，由具体到抽象的数学思想方法三、教学重点、难点重点：独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布的简单运用。
难点：二项分布的理解和应用四、教学方法与手段教学方法：问题导学、启发式法，自主探究式学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。
教学手段：多媒体辅助教学五、教学过程〔一〕创设情境，导入新课师：常言道“三个臭皮匠赛过诸葛亮〞，事实是否如大家流传的那样呢？如果把它转变成这么一道数学：诸葛亮解出题目的概率为,三个臭皮匠各自独立解出的概率是，臭皮匠中至少有一人解出题目即胜出比赛，诸葛亮和臭皮匠团队哪个胜出的可能性大？通过学生熟悉的常识导入课堂可以活泼课堂气氛，使学生的热情被充分地调动，从而也引起学生的无意注意，在不知不觉中进入教师设计的教学情景中，通过问题中的陌生的概率模型，从而引出课题为了顺利的完本钱节课的任务，先回忆一下与本节课有关的知识：1、相互独立事件的概念是什么？〔事件B的发生，不影响事件A发生的概率，即PAB=PAPB〕2、假设两个事件相互独立，那么可以得出哪些事件也相互独立？〔A与B独立，那么与B,与，与也相互独立〕对这些知识的复习可为下面例子的分析观察指引了方向，也为学生在探究二项分布时的概率计算奠定了根底〔二〕提出问题，探究新知分析下面的试验，思考以下问题试验一：某人射击1次，击中目标的概率是，他射击10次;试验二：生产一种零件，出现次品的概率是,生产这种零件4件试验三:在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是思考--问题：以上三个试验有什么共同点？学生答复这个问题的同时，可以初步体验独立重复试验模型，为定义的提出作好铺垫引起学生的好奇,激发学习和探究知识的兴趣为了让学生更深的体会例子中共同特点，我还通过以下问题串引导学生去思考：问题1：这三个试验中分别做了多少次试验？它们不止做一次试验，那如何归纳它们的特点〔它们都做了屡次试验〕问题2：每个试验的每次试验中，试验的结果有几种？分别是什么？问题3：每个试验中的各个试验结果相互独立吗？从哪里可以看出？〔学生举例：试验一中，每次击中的概率都一样，说明每次结果互不影响〕全班同学一起整理所得的结论，从中得出主要特点：〔1重复做同一试验，每次试验的结果只有两种：即试验的成功和失败；2各次试验结果相互独立我们把具有这样特点的试验叫做n次独立重复试验。
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P( A1 )P( A2 )P( A3 )P( A4 ) 0.84
问题2：他在练习罚球时，投篮4次，全部没有投中 的概率是多3 A4 )
P(A1)P(A2 )P(A3 )P(A4 )
用X 表示这n次试验中成功的次数，则
x P( X k ) Cnk p（k 1 p）nk (k 0,1, 2, n)
若一个随机变量X的分布列如上所述，则称 服从
参数为n,p的二项分布。简记为x～(n,p)
试验成功的概率
实验失败的概率
P( X k ) Cnk pk (1 p)nk
Ohhhh，进球拉！！！
第三次登场了！
第四投，大灌蓝哦！！
……
姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为0.8， 假设他每次命中率相同，请问他4投3中的概率是 多少？
n投k中呢？
姚明罚球一次，命中的概率是0.8
问题1：他在练习罚球时，投篮4次，全部投中的 概率是多少？
问题2：他在练习罚球时，投篮4次，全部没有投中 的概率是多少？
（1 0.8）4
问题3：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中1次的 概率是多少？
分析：共有以下4种情况：
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 每种情况的概率都为：0.81 （1 0.8）3 P( X 1) 4 0.81 （1 0.8）3
连续投篮n次，恰好投中k次的概率为
P( X k ) Cnk 0.8（k 1 0.8）nk (k 0,1, 2, n)
思考：
在上面的投篮中，如果将一次投篮看成做了一次实验
1.一共进行了几次实验？每次实验有几个可能的结果？
4次试验
2个可能结果：投中和没投中
2.如果将每次实验的两个可能的结果分别称为“ 成功” （投中）和“ 失败” （没投中），那么，每次实验成
=C140.8（1 1 0.8）3
问题4：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中2次的 概率是多少？
分析：包含C24种情况 每种情况的概率都为：0.82 （1 0.8）2
P( X 2) C420.8（2 1 0.8）2
恰好投中三次呢？
P( X 3) C430.8（3 1 0.8）1
又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥， 故 P(D) P( A B C) P( A) P(B) P(C)
运用n次独立重复试验模型解题
例3 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比
赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜 出并停止比赛）． ⑴试求甲打完5局才能取胜的概率． ⑵按比赛规则甲获胜的概率．
解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为
1 ，乙获胜的概率为1 ．
2
2
⑴甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验，
且甲第 5 局比赛取胜，前 4 局恰好 2 胜 2 负 ∴甲打完 5 局才能取胜
的概率
P1
C
2 4
( 1 )2 2
( 1 )2 2
1 2
3 16
.
(2) 记事件 A “甲打完 3 局才能取胜”，
记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜”，
记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜”．
事件 D ＝“按比赛规则甲获胜”，则 D A B C ，
问题3：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中1次的 概率是多少？
问题4：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中2次的 概率是多少？
姚明罚球一次，命中的概率是0.8
问题1：他在练习罚球时，投篮4次，全部投中的 概率是多少？
分析：令Ai “ 第i次投中” （i 1，2，3，4） 用X 表示4次投篮中投中的次数
P( X 0) （1 0.8）4 C400.8（0 1 0.8）4
P( X 1) C410.8（1 1 0.8）3
P( X 2) C420.8（2 1 0.8）2 P( X 3) C430.8（3 1 0.8）1
P( X 4) 0.84 C440.8（4 1 0.8）0
（其中k= 0，1，2，···，n ）
试验成功的次数
实验总次数
与二项式定理有联系吗？
例1.
下列随机变量X 服从二项分布吗？如果服从二项分布， 其参数各是什么？
（1）掷n枚相同的骰子，X为出现“ 1” 点的骰子数；
X服从二项分布 其参数n n，p 1 6
（2）n个新生儿，X为男婴的个数（假定生男生女是等可能的）；
X服从二项分布 其参数n n，p 1 2
（3）某产品的次品率为p，X 为n个产品中的次品数；
（4）女性患色盲的概率为0.25%，X为任取n个女人 中患色盲的人数.
例2. 某射击运动员进行了4次射击，假设每次射击击中目标
的概率都为 3，且各次击中目标与否是相互独立的.用 4
X 表示这4次射击中击中目标的次数，求X的分布列.
功的概率是多少？它们相同吗？
每次实验成功的概率都是相同的，都为0.8 3.各次实验是否相互独立？
每次实验都是相互独立的
抽象概括：
（1）每次实验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“ 成功” 和“ 失败” ；
（2）每次实验“ 成功” 的概率均为p，“ 失败” 的概率 均为1-p；
（3）各次实验是相互独立的.
解 X服从参数为n 4，p 3的二项分布
4 则它的分布列为
即
P(X
k)
C（4k
3 4
）（k
1 4
）4
k
(k 0,1, 2, 3，4)
Xk 0 1 2 3 4
P( X k) 1 12 54 108 81
256 256 256 256 256
目标被击中的 概率是多少？
运用n次独立重复试验模型解题
例2某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作， 且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9.求发 生险情时，下列事件的概率:
(1)3台都没有报警 (2)恰有1台报警
(3)恰有2台报警 (4)3台都报警
(5)至少有2台报警 (6)至少有1台报警
变式练习
甲投篮的命中率为0.8 ,乙投篮的命中率为0.7 , 每人各投篮3次，每人恰好都投中2次的概率是多 少？