轴承-转子系统不平衡周期响应的稳定性和分岔

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轴承-转子系统稳定性实验研究

ＧｉｄｎＷＡＮＧＹｏｇ１ｎｚＦＵＷｅ．ｏｇ，ｎ．ａｇＡＮＧＢ，ＨＡＯＧｕｎＬＵＺａ．ｈｎｚＨＵｉｏＺａｇ，ＩｈｎｓｅｇＡＮＧｅ．ｕＷｎｈ
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（１哈尔滨工业大学航天学院，尔滨１００；哈５０１２哈尔滨工业大学能源科学与＿学院，尔滨１００）ａｍ哈５０１
摘要：究了圆轴承非线性油膜力支承下转子系统动力学特性及稳定性，研以及不平衡量及轴承参数对稳定性影响
规律。结果显示，当增大转子不平衡量、小轴承长径比、适减降低润滑油黏度、减小轴承间隙会提高转子一轴承系统稳定性。对圆轴承支承下转子一轴承系统动力学特性进行了实验研究，出了系统油膜失稳规律，给验证了理论分析结果，同时验证了提出的模型正确。研究结果为油膜失稳故障预测及防范提供参考。

非线性转子-轴承系统动力学分叉及稳定性分析

非线性转子-轴承系统动力学分叉及稳定性分析
非线性转子-轴承系统动力学分叉及稳定性分析
应用精度高、速度快的非线性油膜力数据库方法及非线性动力系统的稳定性和分叉理论对转子-轴承系统进行了分析.数值计算得到了转子-轴承系统发生倍周期分叉时的分叉点及分叉图.揭示了不平衡转子-轴承系统从同步周期运动分叉发生一系列倍周期运动、最后导致混沌运动的过程.采用Floquet理论对转子-轴承系统周期运动的稳定性进行了分析,并给出了某些转速下的轴心轨迹和Poincare映射图.结果表明:系统在特定参数范围内存在1-T周期运动、2-T倍周期运动、K-T周期解及混沌运动;当系统发生倍周期分叉时至少有一个Floquet乘子经过点(-1,0)穿出单位圆.该分析方法为进一步对多自由度非线性转子-轴承系统的动力学特性进行研究打下了基础.
作者：陈照波焦映厚陈明夏松波黄文虎作者单位：陈照波,焦映厚,陈明(哈尔滨工业大学机电工程学院,黑龙江,哈尔滨,150001) 夏松波(哈尔滨工业大学能源科学与工程学院,黑龙江哈尔滨,150001)
黄文虎(哈尔滨工业大学航天学院,黑龙江,哈尔滨,150001)
刊名：哈尔滨工业大学学报 ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY 年，卷(期)：2002 34(5) 分类号：O322 TH133 关键词：非线性动力学转子稳定性分叉。

滚动轴承-转子系统的分岔分析与多吸引子共存

ｏｆｃｏｅｘｉｓｔｉｎｇａｔｔｒａｃｔｏｒｉｓａｎａｌｙｚｅｄꎬ ａｎｄｔｈｅｅｖｏｌｕｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｏｆｉｔｓａｔｔｒａｃｔｉｏｎｒｅｇｉｏｎｗｉｔｈｔｈｅｓｙｓｔｅｍｐａｒａｍｅｔｅｒｓｗａｓｒｅｖｅａｌｅｄ. Ｔｈｅ
ｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｗｈｅｎＨｏｐｆｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎꎬ ｊｕｍｐｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎａｎｄｄｏｕｂｌｉｎｇｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｏｃｃｕｒｉｎｔｈｅｓｙｓｔｅｍｗｉｔｈｔｈｅｃｈａｎｇｅｏｆｒｏｔａｔｉｎｇ
动力学ꎮ
第４４卷第３期
５５５
安慧宁等: 滚动轴承－转子系统的分岔分析与多吸引子共存
等 [７] 研究了滚动轴承平衡转子系统在不同轴承内的
间隙量、不同转速下系统的稳定性及其分岔特性和混
沌ꎮ 陈恩利等 [８] 建立了含滚动轴承支撑松动故障的
动力学模型ꎬ研究了系统分岔和混沌运动等复杂动力
学现象及变化规律ꎮ 吕运等 [９] 建立了滚动轴承￣转
ｒｅｓｅａｒｃｈｒｅｓｕｌｔｓｃａｎｐｒｏｖｉｄｅｇｕｉｄａｎｃｅｆｏｒｔｈｅｏｐｅｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍａｔｄｉｆｆｅｒｅｎｔｓｐｅｅｄｓꎬ ａｎｄｐｒｏｖｉｄｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｂａｓｉｓｆｏｒｔｈｅ
ｓｍｏｏｔｈｏｐｅｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｒｏｌｌｉｎｇｂｅａｒｉｎｇｒｏｔｏｒｓｙｓｔｅｍ.
性的研究得到人们极大的关注 [１] ꎮ 近年来ꎬ对于滚动
轴承系统的动力学特性研究已有很多成果ꎮ ＴｉｗａｒｉＭ
等 [２] 研究了不平衡力、轴承游隙、ＶＣ振动和非线性
Ｈｅｒｔｚ接触力对Ｊｅｆｆｃｏｔｔ转子非线性动力学特性的影

转子-轴承系统的非稳态分

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稳态分岔
稳定性分析表明，式（#）对应的质量平衡系统经
稳态油膜力模型进行计算。令转子的起始角速度为 %% ，角加速度 &，则转动角度和角速度为
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产生低频涡动，通过计算可求得 ;)<= 分岔而失稳，失稳转速 #: 及涡动频率。对于质量不平衡的转子
其中
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（转轴直径）， 9 $ !%% 456； , $ &! 7 7 33， - $ &1 3 :! ・ 33， 3 。 $ $ % 7 !7 33， " $ % 7 %"8" 9*
［&］运动状态不再定性变化，振幅也几乎不再变化）为
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转子—轴承系统非线性振动及分岔特性研究

转子—轴承系统非线性振动及分岔特性研究转子-轴承系统非线性振动及分岔特性研究摘要：转子-轴承系统是工业中非常常见且重要的机械系统之一。

在该系统中，转子通过轴承得到支撑并旋转，以实现机械设备的正常运转。

然而，由于传动链的非线性、摩擦、失衡等因素的存在，转子-轴承系统常常会出现非线性振动。

本文通过理论分析和数值模拟的方法研究了转子-轴承系统的非线性振动机理及其分岔特性。

一、引言转子-轴承系统广泛应用于工业生产中的各个领域，如船舶、飞机、机床等。

然而，由于系统自身的非线性特性，该系统常常会发生非线性振动，给机械设备的正常运行带来不利影响。

因此，研究转子-轴承系统的非线性振动特性对系统的安全运行和性能提升具有重要意义。

二、转子-轴承系统的非线性振动机理转子-轴承系统的非线性振动主要由以下因素引起：轴承的摩擦力、传动链的非线性特性、转子的失衡等。

其中，轴承的摩擦力是主要因素之一。

当转子在摩擦力的作用下旋转时，摩擦力会导致转子-轴承系统产生非线性振动。

同时，传动链的非线性特性也会对系统的振动特性产生显著影响。

另外，转子的失衡也是导致系统振动非线性的重要因素之一。

三、转子-轴承系统的数值模拟为了研究转子-轴承系统的非线性振动特性，本文利用数值模拟的方法对系统进行仿真分析。

首先，建立了转子-轴承系统的数学模型，并将其转化为一组非线性常微分方程。

然后，利用数值求解方法求解该方程组，得到系统的时间-位移响应曲线和频谱图。

通过对比不同参数条件下的模拟结果，研究了转子-轴承系统的非线性振动特性及其分岔现象。

四、转子-轴承系统的非线性振动分岔特性研究表明，转子-轴承系统在一定条件下会产生分岔现象。

分岔是指系统的振动模态在某些特定参数下发生突变的现象。

在转子-轴承系统中，通过改变参数，如失衡量、摩擦力大小等，我们发现系统的振动模态会发生突变，从而产生新的振动模态。

这一现象说明了转子-轴承系统具有丰富的非线性振动特性和动力学行为。

单自由度主动磁悬浮轴承-转子系统输入时滞稳定性研究

第50 卷第 6 期2023年6 月Vol.50，No.6Jun. 2023湖南大学学报（自然科学版）Journal of Hunan University（Natural Sciences）单自由度主动磁悬浮轴承-转子系统输入时滞稳定性研究金超武†，马彦超，周瑾，徐园平，叶周铖（南京航空航天大学机电学院，江苏南京 210016）摘要：为了研究控制器的输入时滞对主动磁悬浮轴承-转子系统稳定性与动态性能的影响，建立具有输入时滞的主动磁悬浮轴承-转子系统等效模型，并通过分析系统内Hopf分岔的存在性条件得到主动磁悬浮轴承-转子系统失稳时临界时滞的近似值. 利用MATLAB/Simu⁃link仿真分析控制参数对系统稳定性的影响，进一步验证Hopf分岔的存在性，从系统幅频特性和相频特性的角度探究输入时滞对闭环系统抑制外部干扰能力的影响规律，对仿真内容进行实验验证. 结果表明，输入时滞的增加导致系统发生Hopf分岔，并使闭环系统的幅频响应曲线峰化现象加剧，降低系统的稳定性. 对于PID控制器来说，增大比例增益、减小微分增益将放大输入时滞对系统稳定性的影响.关键词：输入时滞；主动磁悬浮轴承-转子；稳定性；Hopf分岔中图分类号：TH133.3 文献标志码：AResearch on Input Time Delay Stability of Single Degree of Freedom ActiveMagnetic Bearing-rotor SystemJIN Chaowu†，MA Yanchao，ZHOU Jin，XU Yuanping，YE Zhoucheng（College of Mechanical and Electrical Engineering， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016，China）Abstract：To study the influence of the input time delay of the controller on the stability and dynamic performance of the active magnetic bearing-rotor system， an equivalent model of the active magnetic bearing-rotor control system with input time delay is established，and the approximate value for the critical delay of the active magnetic bearing-rotor system is obtained by analyzing the existing conditions of Hopf bifurcation in the system. The influence of control parameters on system stability is analyzed by MATLAB/Simulink simulation， and the existence of Hopf bifurcation is further verified. The influence of input time delay on the ability of closed-loop systems to suppress external interference is explored from the perspective of system amplitude-frequency characteristics and phase frequency characteristics. Finally，experimental verification is carried out on the simulation content. The results show that the increase of the input time delay will leads to the Hopf bifurcation of the system. The peaking phenomenon of the amplitude-frequency response curve of the closed-loop system is aggravated， and the stability of∗收稿日期：2022-08-29基金项目：国家自然科学基金资助项目（51875275，52275059）， National Natural Science Foundation of China（51875275，52275059）；江苏省重点研发计划项目（BE2019122）， Key Research and Development Plan of Jiangsu Province（BE2019122）；江苏省第十六批“六大人才高峰”高层次人才项目（JNHB-041）， The 16th Batch of “Six Talent Peaks” High-level Talent Projects in Jiangsu Province（JNHB-041）作者简介：金超武（1980—），男，湖南长沙人，南京航空航天大学副教授，博士† 通信联系人，E-mail：******************.cn文章编号：1674-2974（2023）06-0127-10DOI：10.16339/ki.hdxbzkb.2023177湖南大学学报（自然科学版）2023 年the system is reduced. For PID controller， increasing the proportional gain and decreasing the differential gain can amplify the influence of input delay on system stability.Key words：input time delay；active magnetic bearing-rotor；stability；Hopf bifurcation主动磁悬浮轴承（Active Magnetic Bearing，AMB）利用可控电磁力将转子悬浮在设定的工作位置，因其具有无机械接触、高转速、低功耗、可在线检测以及可主动控制等优点而得以在压缩机、膨胀机等高速旋转机械中广泛应用［1］. 当用于控制与驱动AMB的电子设备对环境比较敏感，需将相关电子设备与磁悬浮轴承本体进行分离时（例如深海钻井平台、风力发电等应用场所），由于控制系统与执行单元的分布设置，控制回路中的时滞量进一步增加，这将导致系统内的时滞问题更加凸显［2］，严重时甚至导致系统失稳. 在主动磁悬浮轴承-转子系统中，控制器内控制算法运算执行、信号在功率放大器电路中的传导转换等因素的存在，使得输入磁悬浮轴承的控制电流内存在一定的时滞，该时滞称为控制器输入时滞［3］（后文简称输入时滞）. 在输入时滞的影响下，主动磁悬浮轴承-转子系统将表现出复杂的动力学行为，如周期、拟周期以及混沌等形式［4］，并且随着转速的提高以及对系统动力学行为的研究要求越来越精细，有关时滞对系统影响的研究显得愈发迫切.近30年来，针对主动磁悬浮轴承-转子系统中的时滞问题，众多学者对此进行了许多突破性的研究，为研究系统时滞问题采用各类数值分析方法，提供强有力的分析工具. 为了分析时滞系统的动力学特性，Ruan等［5］利用特征值法对Hopf分岔的分岔方向、振幅以及周期等方面进行了研究，并概括了切实可行的计算公式. 在此基础上，Wang等［6］对特征方程的一些临界情况，例如零点为单根或双根等进行了讨论，并研究了在上述情况下不动点的稳定性和零解附近的动力学问题. 利用所得的基本定理，可以很好地判断该类磁悬浮轴承系统Hopf分岔的存在性以及平衡点的渐近稳定性.Xu等［7］将具有时滞的主动磁悬浮轴承-转子系统作为研究对象，对系统的稳定性和分岔存在情况进行了研究，并进行了动力学方面的分析. 王珍［8］研究了一类具时滞的磁悬浮系统模型，对系统平衡点的稳定性和Hopf分岔等进行了分析，并研究了系统时滞量、比例增益以及微分增益等参数对系统动力学性质的影响规律. Su 等［9］对基于PD控制的AMB系统的时滞问题进行了研究，讨论了系统时滞对磁悬浮轴承系统的影响，推导了引起系统不稳定的最大延迟时间的显式公式和数值解，并给出了单自由度AMB系统时滞效应的数值模拟结果. 郑凯等［10-11］对AMB系统进行了时滞动力学建模，发现即使是控制反馈回路中的微小时滞也会对高速转子系统的稳定性产生重大影响. Li等［12］利用数值方法研究了速度反馈控制回路的时滞对单自由度AMB系统强迫振动的影响，验证了时滞增加将使稳定周期运动的幅度增大，系统可能会出现失控现象.上述研究表明，时滞将影响主动磁悬浮轴承-转子系统的性能及稳定性. 但是，当前对于主动磁悬浮轴承-转子系统的时滞研究主要存在两大局限性：①大多是从单一角度研究时滞对主动磁悬浮轴承-转子系统的影响，未从多角度进行体系化的研究；②大多集中在理论研究层面，试验研究匮乏.针对上述局限性，本文对基于PID控制的主动磁悬浮轴承-转子系统的输入时滞问题开展研究，从控制器参数、Hopf分岔以及闭环系统幅频、相频特性等多个角度研究输入时滞对系统稳定性的影响，并进行了相关仿真与实验. 通过对输入时滞系统稳定性进行多角度的分析，为实际工程应用中的控制器参数调试提供指导，降低输入时滞对系统稳定性的影响.1 理论分析1.1 主动磁悬浮轴承-转子系统临界时滞图1为具有输入时滞的AMB-转子系统等效模型，主要包含控制器、功率放大器、电磁铁-转子以及位移传感器等.将输入时滞引入系统后，该系统的运动微分方程可表示为：()()()t-+=tiktxktxm x ix&&（1）式中：m为转子质量；x（t）为转子位移；τ为输入时滞；ix为控制电流；k x、k i分别表示AMB的位移刚度和电流刚度. i x（t）可进一步表示为：128第 6 期金超武等：单自由度主动磁悬浮轴承-转子系统输入时滞稳定性研究i x (t )=-k s k a éëêêùûúúk P x (t )+k I ∫0tx (t )d t +k D d x (t )d t （2）式中：k s 为位移传感器增益；k a 为功率放大器增益；k P 、k I 以及k D 分别表示PID 控制器的比例增益、积分增益以及微分增益. 联立式（1）和式（2）进行拉普拉斯变换，得到系统特征方程为：ms 2=k x -k i k s k a ()k P +k I1s+k D s e -τs （3）当τ值较小时，基于等价无穷小原理，将式（3）中的e -τs替换为1-τs 后，可进一步得：()m -k i k sk ak Dτs 3+()k i k sk ak D-k ik sk ak Pτs 2+()-k x+k ik sk ak P-k ik sk ak Iτs +k i k sk ak I=0 （4）由劳斯方程可知，系统稳定的充要条件是其特征方程的全部系数及劳斯表的第一列元素均为正数. 因此可以得到不等式组：ìíîïïïïïïïïïïïïïm -k i k s k a k D τ>0k i k s k a k D -k i k s k a k P τ>0-k x +k i k s k a k P -k i k s k a k I τ>0k i k s k a k I >0()k i k s k a k D -k i k s k a k P τ× ()-k x +k i k s k a k P -k i k s k a k Iτ- k i k s k a k I (m -k i k s k a k D τ)>0（5）对式（5）求解得：ìíïïïïïïïïïïïïïïïτ1<m k i k s k a k D τ2<k D k P τ3<-k x +k i k s k a k P k i k s k a k I τ4<k i k s k a k P -k x 2k i k k k -（6）值得注意的是，由于在式（4）中采用了近似替换，本节后续推导得到的临界时滞为近似值. 基于式（6）可知，系统临界时滞的近似值τ临=min （τ1， τ2， τ3， τ4）.1.2 Hopf 分岔时滞常使系统出现各种形式的分岔及混沌运动，而Hopf 分岔点是系统由定常状态通向复杂动力学状态的门槛，所以Hopf 分岔的研究最为广泛. Hopf 分岔是指参数在变化过程中经过分岔值τ0时，系统由定点稳定性突变产生极限环的现象，也是一种重要的动态分岔现象，如图2所示. 初始状态稳定的系统在发生Hopf 分岔时，其特征值的实部由负经分岔值（特征值实部为0）变为正，系统平衡点的稳定性将发生变化. Hopf 分岔发生时处于稳定与失稳之间的临界稳定状态，此时系统的稳定运行将无法得到保证. Hopf 分岔是时滞在恶化系统稳定性时所表现出来的重要的动力学特征，同时亦是众多学者对于时滞问题的研究重点. 因此，在研究时滞系统的稳定性时，有必要对Hopf 分岔进行研究.Hopf 分岔存在时要满足两个重要的条件：一是系统在特定参数下存在一对共轭纯虚根；二是满足横截条件，即根轨迹穿越虚轴时速度不为0，换言之，根轨迹在穿越虚轴时特征值实部的导数不为0［13］.1.2.1 Hopf 分岔的存在性分析假设系统特征方程存在一对共轭纯虚根，记为s =i ω（ω=±α，α>0），将其代入式（3），得-i ()mω3=i ()k x ω- k ik sk a[]i ()k Pω+kI-k D ω2e i τω（7）联立欧拉公式e i x =cos x +i sin x ，并分离实部、虚部后得到方程组：ìíîïï()r -dω2cos (τω)+pωsin (τω)=0pωcos (τω)()r -dω2sin (τω)=ω3-qω （8）式中：图2 Hopf 分岔过程Fig.2 Hopf bifurcation process图1 具有输入时滞的AMB-转子系统等效模型Fig.1 Equivalent model of AMB-rotor control system withinput time delay129湖南大学学报（自然科学版）2023 年d =k i k s k a k D m ；p =k i k s k a k P m ；q =-k x m ；r =k i k s k a kI m.将式（8）中两式的两边同时平方再相加，得()r -dω22+p 2ω2=ω2()ω2-q2（9）由于sin 2(τω)+cos 2(τω)=1，与式（8）联立，并令 t =ω2（t >0），得Z (t )=t 3+at 2+bt +c =0（10）式中：a =-2q -d 2；b =q 2-p 2+2dr ；c =-r 2.因此，系统特征方程存在一对共轭纯虚根等价于式（10），存在正实根.由于lim t →0+Z (t )=c <0lim t →+∞Z (t )=+∞>0（11）由零点存在性定理可知，式（10）至少存在一个正实根t 0，相应地系统特征方程至少存在一对共轭纯虚根s =±i t 0，此时系统内的输入时滞记为τ0.1.2.2 横截条件的满足性分析要证明该系统满足横截条件，即根轨迹穿越虚轴时速度不为0，只要考虑根轨迹在穿越虚轴时特征值实部的导数不为0，即证明|Re ()d s /d ττ=τ0≠0.本节讨论|Re ()d s /d ττ=τ0≠0的成立条件.()d s d τ-1=()3s 2+q -τ()ds 2+ps +r e -τss ()ds 2+ps +r e-τs+()2ds +p e -τss ()ds 2+ps +r e-τs（12）联立式（3）和式（12）得：()d s d τ-1=3s 2+qs 2()s 2+q+2ds +ps ()ds 2+ps +r-τs（13）将τ=τ0，s =i ω代入式（13），并求实部，得Re ()d s d τ-1 |||τ=τ0s =i ω=-3ω2+q ω2()-ω2+q +-p 2ω2+2dω2()r -dω2ω2[]p 2ω2+()r -dω22（14）假设Re （d s /d τ）|τ=τ0≠0，联立式（9）和式（14），得Re()d s d τ-1||||τ=τ0s =i ω=3ω4-4qω2+q 2+2dr ω2()ω2-q2-2d 2ω2+p 2ω2()ω2-q2=3ω4+2aω2+b ω2()ω2-q2=H'(t )|t =ω2ω2()ω2-q2≠0（15）由于式（15）中分母不能为0，在后续仿真中只须证明H'(t )|t =ω2≠0成立，即可证明系统满足Re （d s /d τ）|τ=τ0≠0的横截条件.2 仿真分析2.1 Hopf 分岔存在性数值仿真结合1.1节和1.2.1节的分析可知，系统特征方程存在一对共轭纯虚根. 表1为AMB-转子系统主要参数. PID 控制器的k P =2.2、k I =1、k D =0.001 5，通过对式（6）~式（15）进行计算，得τ临、τ0、ω的理论近似值分别为0.681 ms 、0.646 ms 、592 rad/s. 由此得到Hopf分岔对应频率为：|f ≈94 Hz ，Z'(t )t =ω2≈2.59×1011≠0（16）在某一确定参数τ下，系统特征值存在一对共轭纯虚根且满足横截条件. 因此，系统将发生Hopf分岔.本节以前文中理论分析为指导，对Hopf 分岔的存在性进行数值仿真，Hopf 分岔后极限环幅值随输入时滞的变化曲线如图3所示. 从图3中可以看出，τ0为0.643~0.644 ms ，与理论计算值0.646 ms 非常接近；Hopf 分岔发生后，极限环的幅值随着输入时滞的增加而增大. 为了清晰地呈现出Hopf 分岔过程，本节分别对τ=0.610 ms （τ<τ0）、τ=0.644 ms （τ0<τ<τ临）以及τ=0.700 ms （τ>τ临）3种状态下各自对应的系统相轨迹进行分析.图4为τ=0.610 ms 时Hopf 分岔前系统相轨迹. 由图4可知，当τ<τ0时，系统最终将收敛至一点，此时系统是稳定的，即1.2节提到的“定点稳定性”. 图5为τ=0.644 ms 时Hopf 分岔时系统的响应. 由图5（a ）~图5（d ）可知，在τ>τ0且τ<τ临时，系统发生了Hopf 分表1 AMB-转子系统主要参数Tab.1 Main parameters of AMB-rotor system参数转子质量/kg 电流刚度k i /（N·A -1）位移刚度k x /（N·m -1）功放增益系数k a /（N·V -1）位移传感器增益k s /（V·m -1）单边气隙δ0/mm 比例增益k P 积分增益k I微分增益k D数值2.06739.181.09×1050.44820 0000.42.210.001 5130第 6 期金超武等：单自由度主动磁悬浮轴承-转子系统输入时滞稳定性研究岔，最终获得了稳定的周期解，并产生了极限环. 当系统初始时刻位于极限环内部时，相轨迹将由内向外逐渐接近极限环；反之，相轨迹将由外向内逐渐接近极限环. 由图5（e ）可知，当系统发生Hopf 分岔时，频谱主要包含极限环运行频率对应谱线，即94 Hz 的主频谱线，该频率与理论计算值几乎一致. 此外，频谱图中还包含主频的倍频谱线，此处主要为主频的 3倍频谱线.仿真结果表明，当τ>τ临≈0.681 ms 时，系统相轨迹将发散失稳，但是在τ接近τ临时系统的发散趋势缓慢. 为了清晰地呈现相轨迹发散失稳的过程，τ=0.700 ms 时极限环破裂后系统相轨迹，如图6所示. 结合图5（a ）~图5（d ）和图6可以看出，随着输入时滞的进一步增加，极限环发生破裂，相轨迹发散失稳.2.2 控制参数对时滞系统稳定性的仿真分析由式（6）中的τ3、τ4可知，k I 主要位于分母，而k x位于分子且其量级较大，弱化了k I 对系统临界时滞的影响. 因此，本节在满足相关控制参数均可保证实际系统在无时滞干扰下稳定运行的这一条件下，主要分析PID 控制器中比例增益及微分增益对时滞系统稳定性的影响，详细研究了如何通过调整控制参数，提高系统稳定裕度，使系统在工程应用中远离临界稳定区域.2.2.1 比例增益对时滞系统稳定性的仿真分析PID 控制器的k I =1、k D =0.001 5、k P 分别取2.0、2.2以及2.4，输入时滞τ从0变化到0.700 ms ，变化步图3 Hopf 分岔后极限环幅值随输入时滞的变化曲线Fig.3 Limit ring amplitude curve with input time delay afterHopf bifurcation图4 τ=0.610 ms 时Hopf 分岔前系统相轨迹Fig.4 System trajectory before Hopf bifurcation at τ=0.610 ms（a ）极限环内时域图（b ）极限环内相轨迹图（c ）极限环外时域图（d ）极限环外相轨迹图（e ）频谱图图5 τ=0.644 ms 时Hopf 分岔时系统的响应Fig.5 Response of system whenHopf bifurcation at τ=0.644 ms图6 τ=0.700 ms 时极限环破裂后系统相轨迹Fig.6 System trajectory after limit ring rupture at τ=0.700 ms131湖南大学学报（自然科学版）2023 年长为0.02，对式（3）求解得到系统的特征根，并绘制出不同k P 下系统随τ变化的根轨迹如图7所示.由图7可以看出，系统特征值由一实根和一对共轭复根组成，当k P 一定时，随着τ的增加，该实根保持不变，而共轭复根发生变化. 随着k P 的增加，由共轭复根组成的两组特征根逐渐从左半平面靠近虚轴，并最终越过虚轴进入右半平面，导致系统失稳. 为了更直观地说明k P 变化对时滞系统稳定性的影响，对τ=0.644 ms 、k P 分别取2.0、2.2及2.4时系统相轨迹的变化情况进行分析，如图8所示.从图8中可以看出，随着k P 的增加，系统的相轨迹由内向外逐渐从定点稳定变为稳定周期运动，最后变为发散失稳，更加形象地说明了k P 的增加将放大输入时滞对系统稳定性的影响，对时滞系统的稳定性具有阻碍作用. 此外，将系统不出现正实部特征根时对应的输入时滞（即临界时滞）定义为该系统的稳定裕度. 为了准确地分析系统的稳定裕度，将输入时滞τ调整为0~1.5 ms ，k P 为1.0~2.5，求解得到不同k P 下系统稳定裕度的变化情况，如图9所示. 从图9中可以看出，随着k P 的增加，系统的稳定域逐渐收窄. 结合式（5）分析可知，随着k P 增大，系统的稳定裕度将由不等式τ2决定，此时k P 与系统稳定裕度呈反比关系，这表明k P 的增加将放大输入时滞对系统稳定性的影响，对时滞系统稳定性起阻碍作用.2.2.2 微分增益对时滞系统稳定性的仿真分析为分析k D 对系统稳定性的影响，PID 控制器中k P =2.2、k I =1、k D 分别取0.001 0、0.001 5以及0.002 0，τ从0变化到0.700 ms ，变化步长为0.02，对式（3）求解得到系统的特征根，并绘制出不同k D 下系统随τ变化的根轨迹，如图10所示.从图10中可以看出，当k D 一定时，随着τ的增加，该实根保持不变，而共轭复根发生变化. 随着k D 的增加，由共轭复根组成的两组特征根逐渐从右半图7 不同k P 下系统随τ变化的根轨迹图Fig.7 Root locus diagram of system over τ at different kP（a ）k P =2.0 （b ）k P =2.2（c ）k P =2.4图8 τ=0.644 ms 时不同k P 下系统的相轨迹对比Fig.8 Phase trajectory comparison of systems under different k Pat τ=0.644 ms图9 k P 对时滞系统稳定性的影响Fig.9 Effect of k Pon stability of time-delay system图10 不同k D 下系统随τ变化的根轨迹图Fig.10 Root locus diagram of system over τ at different k D132第 6 期金超武等：单自由度主动磁悬浮轴承-转子系统输入时滞稳定性研究平面靠近虚轴，并最终越过虚轴完全进入左半平面，系统由不稳定状态变为稳定状态. 为了更直观地说明k D 变化对时滞系统稳定性的影响，对τ=0.644 ms 、k D 分别取0.001 0、0.001 5及0.002 0时系统相轨迹的变化情况进行了分析，如图11所示.从图11中可以看出，随着k D 的增加，系统的相轨迹由外向内逐渐从发散失稳变为稳定周期运动，最后变为定点稳定，更加形象地说明了k D 的增加有利于提高时滞系统的稳定性.为了准确地分析系统的稳定裕度，将输入时滞τ调整为0~1.5 ms ，k D 为0.001~0.002，求解得到不同k D 下系统稳定裕度的变化情况，如图12所示. 从图12中可以看出，随着k D 的增加，时滞系统的稳定域呈线性增加趋势. 结合式（5）分析可知，由于k D 值较小，系统的稳定裕度由不等式τ2决定，即k D /k P ，k D 位于分子，因此，k D 与系统的稳定裕度呈线性关系，这也表明适当增加k D 将弱化输入时滞对于系统稳定性的影响.2.3 输入时滞对闭环系统幅频、相频特性的影响主动磁悬浮轴承-转子系统是开环不稳定系统，且系统的工作环境复杂，外部存在较多的多源信号干扰. 考虑到系统的频率响应可以显示出该动态系统诸如谐振、相移等许多重要性质和特点，因此本节分别对不同输入时滞下的主动磁悬浮轴承-转子闭环系统进行扫频仿真，旨在探究输入时滞对系统幅频特性和相频特性的影响，进而确定输入时滞对闭环系统抑制外部干扰能力的影响规律. 主动磁悬浮轴承-转子闭环系统的扫频示意图如图13所示，通过在闭环系统的输入端叠加正弦扫频信号，即激振信号，使闭环系统内各环节均叠加有与该激振信号同频的信号；而后同时采集输入端的激振信号以及输出端的位移响应信号；最后将采集的信号利用离线快速傅里叶变换处理得到整个主动磁悬浮轴承-转子闭环系统在相应频率下的幅频特性和相频特性. 该闭环系统幅频和相频响应随输入时滞变化的曲面图分别如图14和图15所示.从图14可以看出，随着输入时滞的增加，系统谐振频率的峰值显著增大，系统幅频响应曲线的峰化现象加剧，使系统稳定周期运动的幅度增大，反映出系统对外部干扰的反应愈发强烈，同时表明系统的稳定性在此过程中明显恶化. 从图15可以看出，随着输入时滞的增加，相频响应曲线逐渐靠近并最终穿越-180°平面，且穿越该平面时对应的频率以形如幂函数（其指数小于0）的形式逐渐减小，系统变得愈发不稳定. 综合上述两点可以看出，随着输入时滞的增加，闭环系统抑制外部干扰的能力减弱，即系统稳定性下降.（a ）k D =0.002 0 （b ）k D =0.001 5（c ）k D =0.001 0图11 τ=0.644 ms 时不同k D 下系统的相轨迹对比Fig.11 Phase trajectory comparison of systems under differentk D at τ=0.644 ms图13 闭环系统的扫频示意图Fig.13 Sweep frequency diagram of closed loop system图12 k D 对时滞系统稳定性的影响Fig.12 Effect of k D on stability of time-delay system133湖南大学学报（自然科学版）2023 年3 实验研究3.1 实验设备介绍本实验基于磁悬浮轴承-转子实验台进行，其中主要包含控制器、上位机、变频器、功率放大器、传感器板、电源开关、磁悬浮轴承-转子系统、示波器.AMB-转子系统实验平台如图16所示. 基于数字信号处理和控制工程（digital Signal Processing and Con⁃trol Engineering ， dSPACE ）进行控制算法的实现以及信号在线分析，其采样频率设置为20 kHz ，利用PID 控制器使转子稳定悬浮. 为了模拟压缩机等磁悬浮旋转机械在远程运行时产生的传输延时，在该实验台的控制回路中人为增加一延时环节作为外部输入时滞.后文所提时滞均指人为增加的外部输入时滞.3.2 Hopf 分岔存在性实验研究图17为τ=0.75 ms 时Hopf 分岔前系统相轨迹图. 从图17中可以看出，系统相轨迹最终将收敛至一点，此时系统是稳定的，即1.2节提到的“定点稳定性”，与仿真趋势（图4）保持一致.图18和图19分别为τ=0.76 ms 时Hopf 分岔系统相轨迹图和频谱图. 从图18中可以看出，此时系统发生了Hopf 分岔，最终获得了稳定的周期解，结合理论和仿真分析可知，此时系统出现了极限环，与仿真趋势［图5（a ）~图5（d ）］保持一致. 从图19中可以看出，当系统发生Hopf 分岔时，其频谱主要包含极限环运行频率对应谱线，即101 Hz 的主频谱线，以及主频的倍频谱线，此处主要为主频的2倍频谱线和3倍频谱线，与仿真［图5（e ）］基本保持一致.图20展示了τ=0.77 ms 时极限环破裂后系统相轨迹. 结合图18和图20可以看出，随着输入时滞的进一步增加，极限环破裂，相轨迹发散失稳，与仿真趋势（图6）保持一致. 需要指出的是，理论求得的 τ0≈ 0.637 ms 、τ临≈0.682 ms 与实际系统的0.75 ms≤ τ0<0.76 ms 、0.76 ms<τ临≤0.77 ms 虽然在量级上相同、数值上相近，但仍存在一定的误差，分析原因主要图14 闭环系统幅频响应随输入时滞变化的曲面图Fig.14 Surface diagram of amplitude-frequency response ofclosed-loop system varies with input time delay图15 闭环系统相频响应随输入时滞变化的曲面图Fig.15 Surface diagram of frequency response of closed loopsystem varies with input time delay图16 AMB-转子系统实验平台Fig.16 AMB-rotor system test platform图17 τ=0.75 ms 时Hopf 分岔前系统相轨迹图Fig.17 System trajectory before Hopf bifurcation at τ=0.75 ms图18 τ=0.76 ms 时Hopf 分岔系统相轨迹图Fig.18 System phase trajectory diagram whenHopf bifurcation at τ=0.76 ms134第 6 期金超武等：单自由度主动磁悬浮轴承-转子系统输入时滞稳定性研究有：①由于在理论及仿真中为简化系统建模，忽略了电磁力的非线性等因素，导致所建模型与实际系统存在一定误差；②在求解系统临界时滞τ临时，采用了近似替换，即计算求得的τ临为近似值；③实验过程中包含环境因素在内的实验误差干扰.3.3 控制参数对时滞系统稳定性的影响3.3.1 比例增益对时滞系统稳定性的影响在磁悬浮轴承-转子实验台中，PID 控制器的k I =1、k D =0.001 5. 为了验证理论及仿真分析的正确性以及更直观的说明k P 变化对系统稳定性的影响，对τ=0.76 ms ，k P 分别取2.0、2.2及2.4时系统相轨迹的变化情况进行了分析，如图21所示.从图21中可以看出，随着k P 的增加，系统的相轨迹由内向外逐渐从定点稳定变为稳定周期运动，最后变为发散失稳，与仿真趋势（图8）保持一致. 与仿真不同的是，由于实验台中存在保护轴承，系统的相轨迹不会无限发散，而是被保护轴承限制在一相对空间内，此时转子与保护轴承已发生碰撞.3.3.2 微分增益对时滞系统稳定性的影响在主动磁悬浮轴承-转子实验台中，PID 控制器的k P =2.2，k I =1. 为了验证理论及仿真分析的正确性以及更直观地说明k D 变化对系统稳定性的影响，对τ=0.76 ms ，k D 分别取0.001 0、0.001 5及0.002 0时系统相轨迹的变化情况进行了分析，如图22所示.从图22中可以看出，随着k D 的增加，系统的相轨迹由外向内逐渐从发散失稳变为稳定周期运动，最后变为定点稳定，更加形象地说明了k D 的增加将弱化输入时滞对于系统稳定性的影响，有利于提高系统的稳定性，与仿真趋势（图11）保持一致.图19 τ=0.76 ms 时Hopf 分岔系统频谱图Fig.19 System spectrum diagram when Hopf bifurcationat τ=0.76 ms图20 τ=0.77 ms 时极限环破裂后系统相轨迹Fig.20 System phase trajectory after limit cycle ruptureat τ=0.77 ms（a ）k P =2.0 （b ）k P =2.2（c ）k P =2.4图21 τ=0.76 ms 时不同k P 下系统的相轨迹对比Fig.21 Phase trajectory comparison of the systems underdifferent k Pat τ=0.76 ms（a ） k D =0.002 0 （b ） k D =0.001 5（c ）k D =0.001 0图22 τ=0.76 ms 时不同k D 下系统的相轨迹对比Fig.22 Phase trajectory comparison of the systems underdifferent k D at τ=0.76 ms135湖南大学学报（自然科学版）2023 年4 结论本文以PID控制的单自由度主动磁悬浮轴承-转子系统为研究对象，研究了输入时滞对系统稳定性的影响. 在理论层面，推导了系统失稳临界时滞的近似值，对系统内Hopf分岔的发生条件及存在性进行了分析；在仿真方面，分析了控制参数k P、k D对时滞系统稳定性的影响，验证了Hopf分岔的存在性，并通过探究输入时滞对闭环系统幅频和相频特性影响的角度来反映输入时滞对系统稳定性的影响；最后针对仿真内容进行了相应的实验研究.结果表明：1）k P较大时，其与系统稳定裕度呈反比关系，k P 的增加将放大输入时滞对系统稳定性的影响，对系统的稳定性起阻碍作用；系统的稳定域随k D的增加呈线性增加趋势，适当增加k D将弱化输入时滞对系统稳定性的影响.因此，在解决实际工程应用面临的时滞问题时，应当通过适当减小k P值或增大k D值的方式来提高系统的稳定性.2）当系统输入时滞小于τ0时，未发生Hopf分岔，系统表现为“定点稳定性”；而当输入时滞大于τ0且小于τ临时，系统发生Hopf分岔，最终获得稳定的周期解，并产生极限环，此时系统的频谱主要为极限环运行频率（主频）对应谱线以及主频的倍频谱线；随着输入时滞的进一步增加，极限环破裂，系统最终发散失稳.3）随着输入时滞的增加，闭环系统幅频响应曲线的峰化现象加剧，系统谐振频率的峰值显著增大；相频响应曲线逐渐靠近并最终穿越-180°平面，且穿越该平面时对应的频率以形如幂函数（其指数小于0）的形式逐渐减小. 这表明在输入时滞影响下，系统对外部干扰的反应强烈，抑制外部干扰的能力减弱，系统的稳定性下降.参考文献［1］YOO S J，KIM S，CHO K H，et al．Data-driven self-sensing technique for active 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A review on active magnetic bearing system limitations，risks of failure and control technologies［J］.International Journal of Engineering & Technology， 2018， 7（4）：6615-6620.［3］YOON S Y，LIN Z L. Truncated predictor feedback control for exponentially unstable linear systems with time-varying inputdelay［J］. Systems & Control Letters， 2013， 62（10）：837-844.［4］GHAZAVI M R，SUN Q. Bifurcation onset delay in magnetic bearing systems by time varying stiffness［J］. Mechanical Systemsand Signal Processing， 2017， 90： 97-109.［5］RUAN S G，WEI J J. On the zeros of transcendental functions with applications to stability of delay differential equations withtwo delays［J］. Dynamics of Continuous Discrete & ImpulsiveSystems， 2003， 10（6）： 863-874.［6］WANG H B，JIANG W H. Multiple stabilities analysis in a magnetic bearing system with time delays［J］. Chaos，Solitons &Fractals， 2006， 27（3）： 789-799.［7］XU X Y，JIANG W H. 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Stability analysis of high-speed magnetic bearing-rotor system with delayed feedback［C］//The 13th Session of the 15th China Association for Science andTechnology Annual Conference： Proceedings of the Symposium onAeroengine Design，Manufacturing and Application Technology.Guiyang：China Association for Science and Technology，2013：552-558. （in Chinese）［11］郑凯. 磁悬浮轴承系统的时滞动力学建模与控制研究［J］. 航空发动机， 2014， 40（1）： 32-38.ZHEN K. Modeling and control of magnetic bearing-rotor systemwith delayed feedback［J］. Aeroengine， 2014， 40（1）： 32-38. （inChinese）［12］LI H G，LIU H，YU L. Effect of time delay in velocity feedback loop on the dynamic behaviors of magnetic bearing system［C］//2007 International Conference on Mechatronics and Automation.Harbin：IEEE，2007：2911-2916．［13］史筱红. 磁悬浮时滞反馈控制的稳定性及Hopf分岔研究［J］.黑龙江科技信息， 2014（9）： 60-62.SHI X H．Study on stability and Hopf bifurcation of magneticlevitation delay feedback control［J］．Heilongjiang Science andTechnology Information，2014（9）：60-62．（in Chinese）136。

滚动轴承支承的柔性转子系统的非线性动力学分析

Ｑ：ｆ（）
Ｌ０
，
６＜０ｏ
≥ 『ｌ，一６０＿， … Ｎ（：２）
根据式（）２，同时考虑轴承的阻尼，可得轴承的非线性力在，Ｙ方向的分力
ｙ
＝一ｃｂｘ一
Ｎ
图１轴承一子模型图转
ＦｉＡｄｌｄａｒｍｆｔｅｇ１ｍｏｅｉｇａｏｈ
ｐｏｅｏｏｔｉｙｔｍ ’ ｘｓｏｂｔＰｉｃｒｐｎｉｏｉｐｅｈｌａａｃｆｔｅｒｌｉｇｂａｎｓｗａｌｙｄｔｂａｎｓｓｅＳａｉｒｉ，ｏｎａ６ｍａｓａｄｔｍｅｄｍａｎｍａｓｗｈｎｔｅｃｅｒｎｅｏｏｌｎｅｒｇｓｈｉ
ｉｉｆｒｎｅｉｎ．ｈｎｌｔｃｒｓｌｈｗｈｔｔｒｒｌｎｙｏｏｌｅｒｐｅｏｎｎｔｅｓｓｅｗｈｎｔｅｃｅｒｎｄｆｅｔｒｇｏｓＴｅａａｙｉｅｕｔｓｏｔａｈｅｅａｅｐｅｔｆｎｎｉａｈｎｍｅａｏｈｙｔｍｅｈｌａ－ｅｓｎａｃｓｓｌ．ｈｎｔｂｅｒｇｏｓｗｉｅｗｉｅｓｔｅｉｃｅｓｎｇｏｅｃｅｒｎｅｏｈａｌｂａｎｓｎｅｉｍａ１Ｔｅｉｓａｌｅｉｎｌｂｄｒａｈｎｒａｉｆｔｌａａｃｆｔｅｂｌｅｒｇ．ｌｈｉＫｅｗｏｄ：ａｌｂａｉｇ；ｏｌｎａｙａｃｈｒｃｅｓｉｓａｉｉｂｆｒａｉｎ；ｌａａｃｙｒｓｂｌｅｒｎｎｎｉｅｒｄｎｍｉｓｃａａｔｒｔｉｃ；ｔｂｌｙ；ｉｕｃｔｏｃｅｎｅｔｒ

流体动压轴承-转子动力系统的分岔和混沌

ＢｉｕｃｔｏｎｆｒａｉｎａｄＣｈａｓｏｄｒｄｎａｉａｉｇＲｏｏｏｆＨｙｏｙｍｃＢｅｒｎ－ｔｒ
ＤｙａｉａｙｔｍｎｍｃｌＳｓｅ
ＬａｊｎＺａｇＹｎｆｎＪｎｎＦｎｉｗｕＹｎｕｈｎｏｇａｇｉｇＭｉａｇａｇＹｎｕｇ
２．ＳｈｏｆＥｌｃｒｃａｄＩｏｍａｉｎ，ｒｈｓｅｎＰｌｔｃｎｃｌＵｎｖｒｉｙ， ’ ｎＳａｎ０２，ｉａ；ｃｏｌｏｅｔｉｎｎｆｒｔｏＮｏｔｗｅｔｒｏｙｅｈｉａｉｅｓｔＸｉａｈａｘｉ１０７Ｃｈｎ７
ＱｉｏＷｅｉｏｎＬＹａｇＳｈｑａｇａｄｇｉＱｉｎｉｉｎ
（．ｃｏｌｆａｈｎｒａｄＰｅｉｏｓｕｅｔｎｉｅｒｇＸ ’ ｎＵｉｅｓｙｏＴｃｎｌｇ，ｉａｈａｘ７０４，ｈａ１ＳｈｏｏｃｉｅｎｒｃｉＩｔｍｎＥｇｎｅｉ，ｉａｎｖｒｔｆｅｈｏｏｙＸ ’ ｎＳａｎｉ０８Ｃｉ；Ｍｙｓｎｎｒｎｉ１ｎ
维普资讯
２００７年１月
润滑与密封
ＬＵＢＲＩＣＡＴＩＯＮＥＮＧＩＮＥＥｏｌ３．１
第３２卷第ｌ期
流体动压轴承一子动力系统的分岔和混沌转
３ＳｈｏｏｅｅｏｍｎｃｔｎＥｇｎｅｎ，ｉＦｒｅＥｇｅｒｇＵｉｒｔ，ｉａｈａｘ７０７，ｈｎ）．ｃｏｌｆｌｍｕｉｉｎｉｅｒｇＡｒｏｃｎｉｅｉｎｖｓｙＸ ’ｎＳａｎｉ０７ＣｉａＴｃａｏｉｎｎｅｉ１

弹性基础-轴承-转子系统临界转速与稳定性分析

基础（弹性）-轴承-转子系统临界转速与稳定性分析 ——理论研究
13721378 赵利锋
目录
1. 概述
2.临界转速分析 3.稳定性分析
4.总结
1.概述
研究的必要性
随着旋转机械向高转速、大跨度、柔性轻结构方向发展，主要由滚动轴承支承与转子两部分组成机床主轴的转速越来越高。滑动轴承支撑的转子系统由于油膜与转子相互作用引起的非线性失稳问题日益突出，同时，气体轴承和电磁轴承支撑的转子系统也需要通过合理的设置，使其工作转速与临界转速分布合理，来提高其可靠性。转子系统的动力学性能将影响转子的速度与精度。这就需要更深入研究轴承—转子系统的动力学，以便提高系统的动态性能以保证足够的工作精度和稳定性。
2.
原因： a. 转速高时，轴承的内部将出现热效应及乏油现象，使轴承滚动体与套圈沟道之间形成的油膜厚度很小，油膜阻尼很小； b. 在高速轴承-转子系统中，转子的外载荷和变形一般较小，所以转子的变形阻尼也很小。
3.
由于滚动体与滚道接触的非线性特性以及滚动体在高速情况下受离心力及陀螺力矩的影响，轴承的动刚度与外载荷及工作转速呈非线性关系，因而，轴承—转子系统的动态特性与外载荷及转速也相应表现为非线性关系。
弹性支承滑动轴承转子系统稳定性
弹性支承—滑动轴承—转子系统力学模型 • 轴承和固定机架之间加上弹性支承和阻尼
• 计算模型如图
式中，Pe、Pϕ为油膜反力
• 取表所示系统参数时，运用Pioncare映射法得出系统的运动分岔图弹性支撑滑动轴承转子系统参数 K D ϒ
315
2.0
0.3
0.1
1
• 计算结果显示系统为周期运动，通过加入弹性支承，可以有效地抑制或改变分岔行为，提高系统的运动稳定性。

流体动压滑动轴承-转子系统非线性动力特性及稳定性

流体动压滑动轴承-转子系统非线性动力特性及稳定性流体动压滑动轴承的转子系统具有非线性的动力特性和稳定性，这是由于流体动压效应引起的。

在转子系统中，流体动压滑动轴承是一种常用的支撑装置，通过润滑油膜的形成和变形，可以有效减小摩擦和磨损，提高运动的稳定性和运行的可靠性。

在流体动压滑动轴承中，转子的运动会引起油膜的动压效应。

当转子开始旋转时，油膜中的液体分子会受到离心力的作用而产生压力差异，从而形成一个向中间凸起的压力分布。

这种压力分布会产生一个向外的力，从而支撑和稳定转子的运动。

然而，流体动压滑动轴承的转子系统是一个非线性的系统。

这是因为转子在运动过程中，油膜的形变会随着运动速度和载荷的变化而改变。

当运动速度和载荷较小时，油膜的形变相对较小，系统的动力特性和稳定性较好；而当运动速度和载荷较大时，油膜的形变较大，系统的动力特性和稳定性则会变差。

这种非线性现象对于流体动压滑动轴承的设计和应用具有重要的影响。

为了提高系统的稳定性，需要在设计中考虑非线性特性的影响，并通过合理的参数选择和控制策略进行优化。

此外，还需要进行实验和仿真分析，以验证和研究非线性动力特性的具体机理和规律。

综上所述，流体动压滑动轴承的转子系统具有非线性的动力特性和稳定性，这要求在设计和应用中充分考虑非线性效应，并进行相应的优化和控制。

这将有助于提高流体动压滑动轴承的性能和可靠性，推动其在各个领域的广泛应用。

除了非线性的动力特性和稳定性，流体动压滑动轴承的转子系统还存在着其他值得关注的问题。

首先是振动问题。

由于非线性动力特性的存在，转子系统可能会发生振动现象。

这些振动不仅可能导致系统的噪音和震动，还会影响转子的运行和使用寿命。

因此，需要通过合适的控制方法和设计优化来降低系统的振动水平，提高系统的稳定性和运行平稳性。

其次是温度问题。

在高速旋转的转子系统中，摩擦和涡流损耗会产生大量的热量。

如果无法及时有效地散热，会导致系统温度升高，进而影响润滑油膜的性能和稳定性。

双跨松动转子-轴承系统周期运动稳定性

摘要建立了带有支承松动故障的具有三轴承支承双跨弹性转子一轴承系统非线性动力学模型，利用求解非线
性非自治系统周期解的延拓打靶法和Ｆｏｕｔｌｅ理论，ｑ研究了系统周期运动的稳定性及失稳规律。双跨松动转子一轴承系统响应存在着周期运动、拟周期运动和混沌运动等复杂的运动现象，系统以鞍结分岔形式失稳。在不同的转速下，系统会出现鞍结分岔和Ｈｐ分岔等不同的分岔形式；ｏｆ在高转速区，动端轴颈的运动轨迹呈现出特有的形状。研究结果为有效松识别转子一轴承系统的基础松动故障提供了一定的参考。关键词：转子一轴承系统，基础松动，定性，稳分岔，沌混
论，系统的周期运动稳定性进行了分析，究结果为对研
［］（＝ｉ一。—（ｏ＋ｓ）ｎｙ０２＇Ｏｉ去。ｓｃｘｓｎ）０ｓｃＯ
（）１
无量纲非线性油膜力最终可以表示为
二： ± ± ：３：２（２：：
承在线性和非线性轴承上的转子系统进行了分析。
构的滑动轴承支承，０、０、，０为轴瓦几何中心，００、为转子几何中心，、为转子质心，、、转００ｍ。ｍ，ｍ为子在轴承处集中质量，ｍ为在圆盘处的等效集中质ｍ、量。圆盘与轴承之间为无质量弹性轴，和为弹性轴刚度。Ｆ，别为滑动轴承作用在转轴上的非线Ｆ分
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振第２第８期６卷
动与

旋转机械转子轴承系统的稳定性

旋转机械转子轴承系统的稳定性一、转子轴承系统的稳定性转子轴承系统的稳定性是指转子在受到某种扰动后能否随时间的推移而恢复原来状态的能力，也就是说扰动响应能否随时间增加而消失。

如果响应随时间增加而消失，则转子系统是稳定的，若响应随时间增加不消失，则转子系统就失稳了。

造成机组失稳的情况很多，如动压轴承失稳、密封失稳、动静摩擦失稳等，而失稳又具有突发性,往往带来严重危害。

因此，设备故障诊断人员应对所诊断的机组的稳定性能做到心中有数,一旦发现失稳症兆，应及时采取措施防止其发展。

ﻫ图１-9 衰减自由振动比较典型的失稳是油膜涡动。

在瓦隙较大的情况下,转子常会因不平衡等原因而偏离其转动中心，致使油膜合力与载荷不能平衡,引起油膜涡动。

机组的稳定性在很大程度上决定于滑动轴承的刚度和阻尼。

当具有正阻尼时系统具有抑制作用,涡动逐步减弱；反之当具有负阻尼时,系统本身具有激振作用，油膜涡动就会发展为油膜振荡；在系统具有的阻尼为零时,则处于稳定临界状态。

ﻫ在工程实践中,常常采用对数衰减率来判断系统的稳定性。

对数衰减值是转子做衰减自由振动时,相邻振幅之比的对数值，如图１-9所示：ﻫ（1－19）ﻫ式中,；c为阻尼系数;m为系统质量；ωd为衰减自由振动的频率。

ﻫδ大的系统,对于激励的响应会较快地使之衰减，系统稳定，如δ＜0，说明系统有负阻尼,系统会自激。

二、多盘转子图１-10 多盘转子常见振型实际应用中,转子上可能装配有多个叶轮，这就与前面介绍的单盘转子有所不同,称为多盘转子。

在此仅介绍多盘转子的振型问题。

一个弹性体可以看成是由无数多个质点组成的,各质点之间采用弹性连接,只要满足连续性条件，各质点的微小位移都是可能的,因此一个弹性体有无限多个自由度,而每个质点都有可能产生共振形成共振峰。

就转子而言，转子结构的每个共振峰均伴随着一个振动模态形式,称之为振型。

当激振频率与模态之一吻合时,结构的振动形式会形成驻波。

激振频率不同驻波形式也不同，如图1-10所示分别为一阶、二阶、三阶驻波，其中振值为零的部位称为节点。

Rotor计算转子-轴承系统非线性动力学响应与稳定性的开题报告

应用Samcef/Rotor计算转子-轴承系统非线性动力学响应与稳定性的开题报告
一、选题背景
转子-轴承系统是机械工程领域经常遇到的复杂动力学问题，在高速运转的情况下，不仅转子自身的振动会产生非线性动力学响应，同时还会受到轴承支撑力的影响。

因此，对转子-轴承系统非线性动力学响应及稳定性的分析具有重要的理论和应用价值。

二、研究目的
本研究旨在应用Samcef/Rotor软件对转子-轴承系统进行非线性动力学响应与稳定性分析，探讨振动特性、稳定性及故障诊断。

三、研究内容
（1）建立转子-轴承系统的有限元模型；
（2）采用Samcef/Rotor软件对转子-轴承系统进行非线性动力学响应分析，探究其动力学行为；
（3）对转子不同运行状态下的振动响应、稳定性进行研究；
（4）探讨故障扰动对转子-轴承系统的影响；
（5）调整模型参数，研究不同参数对转子-轴承系统的影响。

四、研究意义
本研究可以为机械工程领域中的转子-轴承系统设计及稳定性优化提供参考。

同时，研究结果可以为故障诊断提供依据，提高转子-轴承系统的可靠性和运行效率。

五、研究方法
采用Samcef/Rotor软件进行有限元分析，建立转子-轴承系统非线性动力学响应分析模型。

通过对转子-轴承系统的运行状态、振动响应、稳定性进行分析，研究故障诊断及优化方案。

六、预期结果
通过对转子-轴承系统的非线性动力学响应和稳定性分析，得出振动特性、稳定边界和故障诊断结果，提出优化方案。

预计将为转子-轴承系统稳定性分析提供新的研究思路和技术手段。

滑动轴承-转子系统不平衡-不对中-碰摩耦合故障动力学建模及响应信号分解

滑动轴承-转子系统不平衡-不对中-碰摩耦合故障动力学建模及响应信号分解肖汉;周建中;肖剑;夏鑫;张炜博;付文龙【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2013(032)023【摘要】建立了非线性油膜力影响下不平衡-不对中-碰摩耦合故障的滑动轴承-转子系统动力学模型.模型中充分考虑了滑动轴承-转子系统中非线性油膜力的影响,并在此基础上建立了不平衡、不对中和碰摩故障耦合作用下的系统动力学模型,利用有限元分析方法获得系统振动响应.同时,在转子试验台上模拟耦合故障,获取实测信号与模型仿真响应进行对比分析.针对耦合故障振动响应中频率混叠的问题,提出一种微分耦合经验模态分解对系统响应进行分解,为各耦合故障征兆的获取提供基础.仿真与实验结果证明了耦合故障模型的准确性以及微分耦合经验模态分解的有效性.【总页数】7页(P159-165)【作者】肖汉;周建中;肖剑;夏鑫;张炜博;付文龙【作者单位】华中科技大学水电与数字化工程学院,武汉430074;华中科技大学水电与数字化工程学院,武汉430074;华中科技大学水电与数字化工程学院,武汉430074;华中科技大学水电与数字化工程学院,武汉430074;华中科技大学水电与数字化工程学院,武汉430074;华中科技大学水电与数字化工程学院,武汉430074【正文语种】中文【中图分类】TH113.1【相关文献】1.不平衡-碰摩-松动耦合故障的转子动力学建模与盲分离研究 [J], 曲秀秀;陈果;乔保栋2.含不平衡-碰摩-基础松动耦合故障的转子-滚动轴承系统非线性动力响应分析 [J], 陈果3.不平衡-碰摩-不对中故障耦合作用下柔性转子-滚动轴承系统动力学分析与实验[J], 张俊红;马梁;马文朋;何振鹏;张桂昌4.转子-滚动轴承-机匣耦合系统的不平衡-碰摩耦合故障非线性动力学响应分析 [J], 陈果5.转子-滑动轴承系统不对中-碰摩耦合故障分析 [J], 刘杨;李炎臻;石拓;马辉;闻邦椿因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

转子-轴承系统的非稳态分岔

转子-轴承系统的非稳态分岔
转子-轴承系统的非稳态分岔
通过构造非稳态分岔图,研究了转子-轴承系统在转速以一定角加速度升降时的非稳态运动.研究显示,稳态过程中产生倍周期分岔或概周期分岔的系统,相应地也将经历非稳态倍周期或概周期分岔,并且在运动形式转换时存在渗透和跳跃现象.研究揭示了渗透量与加速度的关系,并通过数值模拟,描述了运动转换的过程.
作者：丁千陈予恕曹树谦郎作贵作者单位：天津大学力学系,天津,300072 刊名：振动工程学报ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF VIBRATION ENGINEERING 年，卷(期)：2003 16(2) 分类号：O322 TH113.1 关键词：非稳态振动分岔渗透跳跃。

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计算分析。数值结果表明，系统主要发生倍周期分岔和准周期分岔，有各种周期解共存、具跳跃现象，随着转速的不
断增加，统周期解将发生倒分岔和再分岔。系
关键词流体润滑
中图分类号
轴承～子系统转
非线性
分岔稳定性
轴承一子系统不平衡周期响应的稳定性和分岔转
李旗吕延军戴融刘恒。虞烈。黑棣
（西安理工大学机械与精密仪器工程学院西安，１０８（陕西省科学技术委员会科学技术馆７Ｏ４）西安，１０６７００）
衡周期响应及其分岔形式。
本文针对径向滑动轴承支承的转子系统具有的
／
／一
局部非线性特征，Ｎｅｏ — ｐｓｎ方法和ｗｉ将ｗｔｎＲａｈｏｌ — ｓｎ法相结合，ｏ一形成了一种求解转子系统不平衡周期响应的迭代方法。该方法使得非线性响应的迭代
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第２８卷第３期
２００８年９月
振动、试与诊断测
Ｊｕｎｌｏｂａｉｎ．ｅｓｒｍｅｔ＆ＤｉｇｏｉｏｒａｆＶｉｒｔｏＭａｕｅｎａｎｓｓ
Ｖｏ．８Ｎｏ．３１２Ｓｅ．２８ｐ００
国家重点基础研究发展计划资助项目（号：０７Ｂ０７５２０ＣＯ７６；家自然科学基金Ｏ７Ｂ７７０）国编５６５６；西省教育厅科学技术研究计划资助项目（号：７Ｋ３Ｏ；西省自然科学基金资助项目（号：０３００）陕编ＯＪ４）陕编
分别为非线性油膜力径向和切向分量；，分别
子系统具有局部非线性的特点。文献［ —］１２研究了对
称刚性转子的运动轨迹及其稳定性。文献［—］用３４运
Ｎｅｏｗｔｎ打靶法对转子的径向轨迹及系统的稳定性进行了研究。献Ｅ－出了一种求解非线性动力系文ｓ１给统周期解的推广打靶法，以轴承一子非线性动力系转
二＋Ｉｌ
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求解仅在非线性自由度上进行，高了计算效率，提节
约了计算量，运用Ｆｏｕｔ定性理论Ｄｏ并ｌｑｅ稳ｑ］研究了系统周期响应的稳定性和分岔形式。
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图２滑动轴承计算坐标
线性动力行为。文献［—］用结合预估一正机理７８运校
的Ｐｉｃｒ一ｗｔｎＦｏｕｔｏｎａ￣Ｎｅｏ — ｌｑｅ方法，别计算并分析分了电磁轴承、圆滑动轴承支承的转子系统的不平椭
—
图１滑动轴承一称单圆盘柔性转子系统示意图对
Ｔｌ．Ｔｌ．Ｈｌ７２Ｈｌ３１
引言
轴承一转子系统的非线性来自轴承油膜力，由于
油膜力仅作用在转子的某些节点位置，因此轴承一转
１滑动轴承一称柔性转子系统运动对
方程
图１为滑动轴承一称单圆盘柔性转子系统的对示意图。２为滑动轴承的计算坐标。２中：ｒ图图厂，
２ＯＥ２３。Ｏ７Ｏ）
收稿日期：０７０ — ８修改稿收到日期：０７０ —２２０ —３０；２０～７１。
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１２９
振
动、测
试
与
诊
断
第２卷８
力加速度；为转子角速度。０３
（西安交通大学机械电子及信息系统研究所西安，１０９。７０４）
摘要研究了轴承一子系统的非线性动力响应及分岔，立了滑动轴承支承的对称单圆盘柔性转子系统的运动转建微分方程，对转子系统具有的局部非线性特征，Ｎｅｏ — ａｈｏ针将ｗｔｎＲｐｓｎ方法和Ｗｉｏ一相结合，成了一种求解ｌｎ０法ｓ形转子系统不平衡周期响应的迭代方法。运用该方法使得非线性响应的迭代求解仅在非线性自由度上进行，运用并Ｆｏｕｔ定性理论分析了转子系统周期响应的稳定性和分岔形式。以转速作为分岔参数，轴承一子系统进行ｌｑｅ稳对转
为非线性油膜力在，方向的分量；轴承偏位为
角；轴承几何中心；轴颈几何中心；为重Ｏ为Ｏ为ｇ
统为例说明了方法的有效性。文献［］Ｎｅｍａｋ６将ｗｒ法与预估一校正机理相结合，快速求解转子系统的非