二元函数的极限与连续
求二元函数极限的几种方法二元函数极限定理
1 / 151.二元函数极限概念分析定义1 设函数f 在2D R ⊂上有定义,0P 是D 的聚点,A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<,则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限,记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限又称为二重极限．２.二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=．例１ 求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→.解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即()()221,1,21limy x y x +→=31.2 / 152．2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3 求00x y →→解: 00x y →→00x y →→=0x y →→=001.4x y →→==-例4 ()()22220,0,321)31)(21(lim yx y x y x +-++→．解:原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →=+()(22,0,0limx y →=+11022=+=．2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数．在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y→,有sin(,)(,)u x y u x y;2(,)1cos(,)2u x yu x y-;[]ln1(,)(,)u x y u x y+；tan(,)(,)u x y u x y;arcsin(,)(,)u x y u x y；arctan(,)(,)u x y u x y(,)1u x yn;(,)1(,)u x ye u x y-；同一元函数一样,等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例５求xy→→解: 当x→,0y→时，有0x y+→11()2x y+，所以1()2lim1.2xyxyx yx y→→→→+=+=这个例子也可以用恒等变形法计算,如:1.2xyxyxy→→→→→→===3 / 154 / 152.4 利用两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广．例6 求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+．解: 先把已知极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→,所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例７ 求 0sin()limx y axy x →→极限.解: 因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →,所以 sin()1xy xy→,再利用极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1＝a ．这个例子也可以用等价无穷小代换计算,如: 当 0x →,y a →时，0xy → ,sin()xy xy ．5 / 15所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===２.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8 求0011)sin cos x y y x y →→解: 因为00)0x y y →→= 是无穷小量, 11sin cos 1x y ≤ 是有界量 ，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解 原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦ 是有界量，又 32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，所以 ， 22232(3)(2)lim0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- ． 虽然这个方法计算实际问题上不那么多用,但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .２.６利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算,6 / 15从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。
二元函数的极限与连续课件
极限的局部保号性质
局部保号性质是指如果一个函数在某一点的邻域内保持一定的符号，那么这个函 数在这一点附近的极限也保持相同的符号。具体来说，如果存在一个正数r和实 数a，使得对于所有满足|x - a| < r的x，有f(x, y) > 0，那么lim f(x, y) >= 0。
二元函数的极限与连续课件
目 录
• 二元函数的基本概念 • 二元函数的连续性 • 二元函数的极限性质 • 二元函数连续与极限的关系 • 二元函数连续性的应用
01
二元函数的基本概念
二元函数的定义
总结词
二元函数是定义在二维平面上的数学函数，通常表示为z = f(x, y)。
详细描述
二元函数是数学中一个重要的概念，它表示一个变量z与两个 变量x和y之间的依赖关系。这种关系通常用z = f(x, y)来表示 ，其中f是函数符号，x和y是自变量，z是因变量。
连续函数与极限的关系
要点一
总结词
连续函数在某点的极限值和在某区间的极限值都存在，且 等于该点的函数值或该区间内所有点的函数值的平均值。
要点二
详细描述
对于连续函数，其在某点的极限值和在某区间的极限值都 存在，并且这两个极限值之间有一定的关系。具体来说， 连续函数在某点的极限值等于该点的函数值，而其在某区 间的极限值等于该区间内所有点的函数值的平均值。这一 性质是判断一个函数是否连续的重要依据。
解释
这个定义描述了函数在某一点附近的局部行为，即当自变量靠近这一点时，函 数的值应该接近于该点的函数值。
二元函数在某点的连续性
判断方法
检查该点的四邻域内的函数值，即检查$f(x,y)$在点$(a,b)$处的极限值是否等于该点的 函数值。
二元函数的极限与连续
则三者相等． （证明从略）
15-8
9.2.2 二元函数的连续性
定义 9.2.2 设二元函数 z f (x, y) 的定义域为D ，(x0, y0 ) 为 D 的聚点，
且 (x0, y0 ) D ，如果
lim
xx0
f
(x, y)
f
(x0, y0),
y y0
（9.2.1）
就称二元函数 f (x, y) 在 点 (x0, y0 ) 处连续，点 (x0, y0 ) 称为二元函数
y0
证 0 ， 由于
x(x2 3x2
y2) y2
0
|
x
|
| x2 3x2
y2 | y2
|
x
|
பைடு நூலகம்
x2 y2 ，
所以取 ，当 (x, y) U (O, ) 即 0 x2 y2 时，有
x2 y2 x 3x2 y2
0
，
故由定义 9.2.1 知，
lim
x0
x(x2 3x2
y2) y2
例 9.2.3 求lim sin(xy) ． x0 xy
y0
解 sin(xy) 的定义域为 D {(x, y) | xy 0} ，点(0,0)为 D 的聚点． xy
当 (x, y) D 时， xy 0 ，记u xy ，因此u 0 且u 0 ，所以
lim sin(xy) lim sin u 1．
f (x, y)的连续点，否则点(x0, y0 ) 称为二元函数 f (x, y) 的间断点．
下面从增量的角度来定义二元函数的连续性．
15-9
记 x x x0, y y y0 ，则有 x x0 x, y y0 y ，且x x0, y y0
二元函数的极限与连续5页word文档
§2.3 二元函数的极限与连续定义设二元函数在点的某邻域内有意义, 若存在常数A,,当（即）时，都有则称A是函数当点趋于点时的极限,记作或或或。
必须注意这个极限值与点趋于点的方式无关,即不论P 以什么方向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向。
只要P与充分接近, 就能使与A 接近到预先任意指定的程度。
注意：点P趋于点点方式可有无穷多种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。
图8-7同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限存在,但不相等, 则可以判定在该点极限不存在。
这是判断多元函数极限不存在的重要方法之一。
一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。
例如若有, 其中求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理来计算。
例4 求。
解由于而,根据夹逼定理知 ,所以例5求（a≠0)。
解。
例6求。
解由于且,所以根据夹逼定理知. 例7 研究函数在点处极限是否存在。
解当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于（0，0）的极限，有,。
很显然，对于不同的k值，可得到不同的极限值,所以极限不存在,但。
注意：的区别, 前面两个求极限方式的本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的极限,我们称为求二重极限。
例8 设函数。
它关于原点的两个累次极限都不存在,因为对任何,当时,的第二项不存在极限；同理对任何时,的第一项也不存在极限,但是, 由于, 因此由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。
由例8可知,二重极限存在,但二个累次极限不存在。
我们有下面的结果:定理1若累次极限和二重极限都存在,则三者相等（证明略）。
推论若存在但不相等,则二重极限不存在。
定义设在点的某邻域内有意义,且,则称函数在点处连续,记上式称为函数(值)的全增量。
二元函数的极限与连续
应用举例
极限与连续在工程中的应用
探索极限和连续在工程领域中的实际应用，如电路 学中的重要性，如边际效益 和最优化问题。
总结与要点
掌握二元函数极限的定义和计算方法
深入理解极限的性质和连续性的概念
应用极限和连续性解决实际问题
了解极限和连续在不同领域的应用
二元函数的极限与连续
本节将介绍二元函数的极限和连续的概念，以及如何计算和判断二元函数的 极限和连续性。还将探讨极限和连续在工程和经济学中的应用。
函数的极限概念
1 一元函数的极限
了解一元函数的极限概念是理解二元函数极限的基础。
2 二元函数的极限
探索如何定义和计算二元函数的极限，包括极限的性质。
函数的连续性
1 一元函数的连续性概念
学习一元函数连续性的定义和特征，为后续 探讨二元函数连续性做准备。
2 二元函数的连续性概念
了解二元函数连续性的定义和特点，以及与 一元函数连续性的比较。
判断二元函数的连续性
1 连续的充分条件
学习如何判断二元函数连续的充分条件，以 便在实际问题中应用。
2 不连续的充分条件
了解导致二元函数不连续的充分条件，帮助 识别和解决连续性问题。
二元函数的极限与连续
定义 3：设函数z f ( x, y)在 N ( p0, ) 内有 (x, y)
f (x0, y0 ) ，则称函数 z
f (x, y) 在
y y0
点 p0 (x0 , y0 ) 处连续。
定义 4：如果函数z f ( x, y)在区域 D 上每一点
都连续，则称它在区域 D 上连续。
f (x, y) A
x x0
y y0
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说明：
（1）定义中 PP0的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 limf (x, y); xx0 yy0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
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例1
求
lim x0
sin( xy ) x
y2
解
lim x0
sin( xy ) x
y2
lim lim
sinx(y)
y =1×2=2.
xy0 xy
y2
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例2 求
lim x 0
1 x y
y1
解
lim x 0
1 1 1 x y 01
y1
lim 例3
求
x0
(x
y)sinx2
1
y2
y0
lim 1
解 x0 (xy)sinx2 y2 0
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例6 讨论函数
f(x,y)x2xyy2, x2y2 0
0,
x2y2 0
在P(x,y)趋向于(0,0)时极限是否存在.
解 取 ykx
lim
x0
x
2
高数第九章
x 0 0 6 2 f (0 x , 0) f (0, 0) lim x 0 0, f x (0, 0) lim x 0 x 0 x x 03 y 0 6 2 f (0, 0 y ) f (0, 0) 0 y lim f y (0, 0) y 0 lim 0. y0 y y (4) lim f ( x , y )不存在, f ( x , y )在o(0,0)处不可微.
lim f ( x , y ) lim f ( x , y ), lim f ( x , y )不存在.
x0 y0 x0 y x3
x 0 y0
16
x3 y ,( x , y ) (0, 0) 6 2 例2 : 设 f ( x , y ) x y 0, ( x , y ) (0, 0) (3)求 f x (0, 0), f y (0, 0); (4)问f ( x , y )在点o(0, 0)处是否可微？
y y0
f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y 0 ) 利用定义 f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x
5
●求抽象的复合函数的偏导数-----链式法则 z z f (u, v ), u (t ), v (t ) 同路相乘， dz 异路相加. f1 ( t ) f 2 ( t ). u v dt 单路全导, t t 叉路偏导. z f ( x, y, v ), v ( x, y ) z z f f v z f f v x y v f 2 f 3 v f 3 v y , . f1 ,, x y y v y x x v x
4
二、多元函数微分法
二元函数极限存在和连续的关系
二元函数极限存在与连续的重要关系
二元函数极限是数学分析中的基本概念之一。
在计算二元函数极限时，往往需要先判断函数值在极限点处是否存在。
如果函数值在极限点处存在，并且极限值等于函数值，那么函数在此点处连续。
进一步地，若一个二元函数在某个点处连续，那么在这个点的一个领域内，其函数值和极限值的距离可以尽量小地变小，也就是说，这个领域内函数值和极限值十分接近。
这个概念叫做“函数的ε-δ连续性”。
换言之，二元函数极限的存在与连续是密不可分的，有了二元函数极限存在，才能推导出连续的性质。
在实际中，我们可以通过计算二元函数化简，利用极限的四则运算法则计算极限，进而判断函数值在极限点处是否存在，然后验算连续性。
总之，对于任何一道二元函数极限的计算题，正确判断函数值是否存在于极限点，判断函数是否连续，都是非常关键的。
只有确保二元函数极限存在，函数连续才能够更好地发挥其重要作用。
10.2 二元函数的极限与连续
一、教学目标：通过本节内容的学习，达到以下教学目标与要求：一级目标：熟练掌握二元函数的极限的概念二级目标：掌握二元函数的连续性的概念二、教学内容和重、难点：1. 二元函数的极限2. 二元函数的连续性重点：二元函数的极限难点：二元函数的连续性三、教学方法和教具使用：讲授法。
四、教学过程：10.2 二元函数的极限与连续一、二元函数的极限定义2 设二元函数()f P 的定义域为点集D ，0P 是D 的聚点. 如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式00PP δ<<的一切点P D ∈，都有()f P A ε-<成立，则称A 为二元函数()f P 当0P P →时的极限，记作()0lim .P P f P A →=若点0P 的坐标为()00,x y ，则也可以记为()()()00,,lim ,x y x y f x y A →=，或()00lim ,.x x y y f x y A →→=例1 设()()22221,sin ,f x y x y x y=++求证 ()()(),0,0lim ,0.x y f x y →=证 易知点()0,0为(),f x y 的定义域D 的一个聚点，()()2222221,0sin.f x y x y x y x y-=+≤++ 0ε∀>，取δ=，则当0δ<时，有(),0.f x y ε-<故()()(),0,0lim ,0.x y f x y →=例2 设()242,,x y f x y x y =+证明极限()()(),0,0lim ,x y f x y →不存在. 证 显然，当点(),P x y 沿x 轴趋于点()0,0时，()00lim ,0lim 00;x x f x →→== 当(),P x y 沿抛物线2y x =趋近于点()0,0时，()2222242004201lim lim .2x x y x x y x x x y x x →→=→⋅==++ 而102≠，从而极限()()(),0,0lim ,x y f x y →不存在. 二、二元函数的连续性定义3 设二元函数()f P 的定义域为D ，0P 是D 的聚点且0P D ∈. 如果 ()()00lim P P f P f P →=，则称二元函数()f P 在点0P 处连续.设D 为开区域或闭区域. 如果函数()f P 在D 上各点处都连续，就称()f P 在D 上连续.由不同变量的一元初等函数经过有限次四则运算和复合所得到的函数，称为多元初等函数.（P185）多元初等函数在其定义域内是连续的.例8 求()(),0,0lim x y →解()()()(()(()(,0,0,0,0,0,0,0,011lim lim lim 1lim .2x y x y x y x y xy →→→→+-====定理1 有界闭区域上的连续函数必有最大值和最小值.定理2 有界闭区域上的连续函数可以取得最大值和最小值之间的任何函数值.作业 P187：3.（2）习题选解3.求下列极限（2）00sin lim .x y xyx →→解 00000000sin sin sin lim lim lim lim 100.x x x x y y y y xy xy xy y y x xy xy →→→→→→→→⎛⎫=⋅=⋅=⋅= ⎪⎝⎭。
高等数学第二节 二元函数的极限与连续1
成立，所以 lim f (x, y) 0 ． x0 y0
必须注意：
(1) 二重极限存在，是指P以任何方式趋于P0时，函数都无 限接近于A;
(2) 如果当P以两种不同方式趋于P0时，函数趋于不同的值， 则函数的极限不存在．
例2
函数f(x，y)
x 2
xy y2
,
x2
y2
,(x2
y2
0)
求证 lim f (x, y) 0 ．
x0
y0
证
因为
|(x2y2)sin
x2
1
y2
0|
|x2y2|·|sin
x2
1
y2
| x2y2，
可见，对任给e >0，取d e ， 则当
时，总有
0 (x 0)2 ( y 0)2 d |(x2y2)sin 1 0|<e
1 xy 1 1
1 2
．
二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f (P)上去．
２．函数的间断点：
若函数f(x，y)在点P0(x0，y0)不连续，则P0 称为函数f(x，y)的 间断点．
注：间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点．
例７
f(x，y)
x
2
xy y2
,
x2
y2
0,
0 , x2 y2 0.
成立，则称常数A为函数f (x，y)当x x0，y y0时的极限，记为
lim f (x, y) A， 或 f (x，y )A (r0) ，
xx0 y y0
这里r |P P0|．
z A
M0
第一节 多元函数的概念二元函数的极限和连续性
ρ →0
lim ∆ z = 0 ,
④
内各点都连续， 如果函数 z = f (x , y) 在区域 D 内各点都连续， 内连续. 则称函数 z = f (x , y) 在区域 D 内连续
2. 有界闭区域上连续函数的性质 . 1° 最大值最小值定理 在有界闭区域上连续的 二元函数在该区域上一定能取得到最大值和最小值. 二元函数在该区域上一定能取得到最大值和最小值 2° 介值定理 在有界闭区域上连续的二元函数 必能取得介于它的两个不同函数值之间的任何值至 少一次． 少一次．
x → x0 y → y0
lim f ( x , y ) = f ( x0 , y0 ) ,
p → p0
①
或
lim f ( P ) = f ( P0 ) ,
处连续. 则称函数 z = f(x, y) 在点 P0(x0, y0) 处连续
若令 x = x 0 + ∆ x , y = y0 + ∆ y , 则当 x → x0 时,
xy 2 2 , x + y ≠0, 2 2 x +y g( x , y ) = 0 , x2 + y2 = 0
0 ) 当 ( x , y ) → ( 0 , 时极限是否存在 .
解 当 ( x, y ) 沿 y 轴趋向于原点， 轴趋向于原点， 即当 y = 0 而 x → 0 时, 有 lim g( x , y ) = lim g ( x ,0) = lim 0 = 0 ,
x →0 y →0
三、二元函数的连续性
1. 二元函数的连续定义 定义 3 设函数 z = f(x , y) 在点 P0(x0 , y0) 的 一个邻域内有定义， 一个邻域内有定义， 如果当点 P(x , y) 趋向于点 P0(x0 , y0) 时，函数 z = f(x , y) 的极限存在， 且等 极限存在， 于它在点 P0 处的函数值，即 处的函数值，
应用数学第八章第八章第一节 二元函数-PPT精选文档
第八章 二元函数微分
第一节 二元函数
一、二元函数的概念及几何意义
z z f x , y ,x , y D M= 一元函数的自变量只有一个，其定义域是一个或几个区间. 二元函数有两个自变量，其定义域通常为平面区域.
由一条或几条光滑曲线所围成的具有连通性（如果一块部分 平面内任意两点均可用完全属于此部分平面的折线段连接起来， 这样的部分平面称为具有连通性）的部分平面，称为平面区域， 简称区域.二元函数的定义域通常为平面区域.
第八章 二元函数微分
第一节 二元函数
一、二元函数的概念及几何意义
1．二元函数的定义 引例1 矩形面积 s 与长 x，宽 y 有下列依赖关系
s = xy (x> 0, y > 0)
其中长 x和宽 y是两个独立的变量，在它们变化范围内，当 x ,y 的值取定后，矩形面积 s有一个确定的值与之对应. 引例 2 一定量的理想气体的压强 p，体积 v 和绝对温度 t之 间具有关系
第八章 二元函数微分
第一节 二元函数
一、二元函数的概念及几何意义
rt p v
其中 r 为常数.这里，当 v，t 在集合｛（v，t） v＞０，t＞t0｝ 内任取一对值（v，t）时，p 的对应值就随之确定. 引例3 在医学上，研究机体对某种药物的反应时，某种反 2 2 x ( a x ) t e1 应w 与药量 x (单位)和时间 t (小时)之间的关系为 w
第八章 二元函数微分
第一节 二元函数
一、二元函数的概念及几何意义
围成区域的曲线称为区域的边界. 包括边界在内的区域称为闭域. 不包括边界在内的区域称为开域. 如果区域延伸到无穷远处，则称为无界区域，否则称为 有界区域.
二元函数极限的连续性与间断性分析
二元函数极限的连续性与间断性分析在数学中，函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值的趋近情况。
而对于二元函数，也可以进行极限的研究。
本文将重点讨论二元函数的极限的连续性与间断性。
一、极限的连续性1.1 连续性的定义在介绍极限的连续性之前，我们先回顾一下函数连续的概念。
对于函数f(x)，若其在某一点x₀的附近，当自变量x趋近于x₀时，函数值f(x)也趋近于f(x₀)，则称函数f(x)在点x₀处连续。
1.2 二元函数的连续性定义对于二元函数f(x, y)，若其在某一点P(x₀, y₀)的某邻域内，当自变量(x, y)趋近于P时，函数值f(x, y)也趋近于f(x₀, y₀)，则称函数f(x, y)在点P处连续。
1.3 连续函数的性质连续函数具有以下性质：- 连续函数在定义域的任意一点都连续。
- 两个连续函数的和、差、积以及商（除去分母为零的点）仍然是连续函数。
- 连续函数的复合函数也是连续函数。
二、极限的间断性2.1 第一类间断点对于二元函数，第一类间断点是指函数在该点处的极限存在，但函数值与极限值不相等的点。
可以继续分为左极限和右极限不等的间断点和左、右极限均等的间断点。
2.2 第二类间断点第二类间断点是指函数在该点处的极限不存在的点。
也可以分为左极限和右极限均不存在的间断点和只有左或右极限不存在的间断点。
2.3 间断点的分类对于二元函数，间断点可以进一步分类为：- 可去间断点：函数在该点的极限存在，但函数值与极限值不相等。
这种间断点可以通过修改函数在该点的定义，让函数在这个点处连续。
- 跳跃间断点：函数在该点的左右极限存在，但左右极限值不相等。
- 无穷间断点：函数在该点的极限不存在。
三、举例分析假设有一个二元函数f(x, y)=xy/(x^2+y^2)，我们来分析它的连续性与间断性。
3.1 连续性分析任意取P(x₀, y₀)，对于该点处的函数值f(x₀, y₀)，我们需要证明当(x, y)趋近于P时，函数f(x, y)的极限也趋近于f(x₀, y₀)。
二元函数求极限的连续性理论应用
二元函数求极限的连续性理论应用在数学中，二元函数是指以两个自变量为输入、将其映射到一个数域的实函数。
在分析数学中，研究二元函数的性质与极限是一个重要的课题。
本文将探讨二元函数求极限的连续性理论应用。
一、二元函数的极限定义在讨论二元函数的极限时，我们首先需要明确其极限的定义。
设有二元函数 f(x,y)，当 (x,y) 趋近于某一点 (x₀, y₀) 时，如果对于任意给定的正实数ε，总存在另一正实数δ，使得当满足条件0 < √((x - x₀)² + (y - y₀)²) < δ 时，都有 |f(x, y) - L| < ε 成立，则称数 L 是函数 f 在点 (x₀, y₀) 处的极限。
二、二元函数求极限的基本思路在计算二元函数的极限时，通常可以通过代入法、夹逼准则和极限运算法则来进行分析。
接下来，我们将分别讨论这三种方法的具体应用。
1. 代入法代入法是二元函数求极限中最基本的方法。
当二元函数在某一点(x₀, y₀) 处连续时，可以通过代入点的方法直接求出该点处的极限值。
例如，对于函数 f(x, y) = x² + y²，在点 (1, 2) 处的极限可以直接代入得到 f(1, 2) = 1² + 2² = 5。
2. 夹逼准则夹逼准则在二元函数求极限中经常用到。
当我们难以直接代入点进行计算时，可以通过构造夹逼函数来确定极限的存在性。
夹逼准则主要基于以下原理：若存在两个二元函数 g(x, y) 和 h(x, y)，使得对于所有点 (x, y) 来说，g(x, y) ≤ f(x, y) ≤ h(x, y) 成立，且 g(x, y) 和 h(x, y) 在点 (x₀, y₀) 处的极限都存在且相等，则函数 f(x, y) 在点 (x₀, y₀) 处的极限也存在且等于 g(x₀, y₀) = h(x₀, y₀)。
3. 极限运算法则极限运算法则是二元函数求极限中的重要工具。
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二、二元函数的连续性
内有定义， 定义 3： 设函数 z = f ( x , y ) 在 N ( p0 , δ ) 内有定义， 若 x → xy y→
lim f ( x, y ) = f ( x0 , y0 )
0 0
， 则称函数 z = f ( x, y ) 在
连续。 点 p0 ( x0 , y0 ) 处连续。
但两者不相等， 但两者不相等，此时也可断言 f ( x , y ) 在点
P0 ( x0 , y0 ) 处极限不存在． 处极限不存在．
例6 讨论函数
xy , x2 + y2 ≠ 0 x2 + y2 f ( x, y) = 0, x2 + y2 = 0
趋向于(0,0)时极限是否存在 时极限是否存在. 在P(x,y)趋向于 趋向于 时极限是否存在 解 取 y = kx xy k kx 2 lim 2 = 2 = lim 2 2 2 x →0 x + y x →0 x + k x 1+ k2 y→ 0 y = kx 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 其值随 的不同而变化， 极限不存在． 的不同而变化
（1） 令 P ( x , y ) 沿 y = kx 趋向于 P0 ( x 0 , y 0 ) ， ） 若
有关，则可断言极限不存在； 极限值与 k 有关，则可断言极限不存在；
） 找两种不同趋近方式， 存在， （2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x , y )存在，
x → x0 y → y0
0
x → x0 y → y0
或 ( x , y )→( x 0 , y0 )
lim
f ( x, y ) = A
内有定义， 定义 2 设函数 z = f ( x , y ) 在 N ( p0 , δ ) 内有定义，如果对 于任意给定的正数ε ，总存在正数δ ，使得对于适合不
0 < ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ 的一切点 P ( x , y ) ， 都 等式 有 | f ( x , y ) − A |< ε 成 立 ， 则 称 常 数 A 为 函 数 时的极限， z = f ( x , y ) 当 P → P0（或 x → x 0 ，y → y 0 ）时的极限， lim f ( x , y ) = A 记为 p → p0 或 lim f ( x , y ) = A
lim
x→ 0 y→ 2
sin( xy ) x
lim
x→ 0 y→ 2
sin( xy ) x
=
lim
xy → 0
sin( xy ) ⋅ lim y =1×2=2. × xy y→ 2
例2 求
lim
x→ 0 y →1
1 x+ y
解
lim
x→ 0 y →1
1 1 = =1 x+ y 0 +1
例3 求
lim
x → x0 y → y0
∧
说明： 说明：
的方式是任意的； （1）定义中 P → P0 的方式是任意的； ） （2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x , y ); ）
x → x0 y → y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． ）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例1 求 解
x→ 0 y→0
1 ( x + y ) sin 2 x + y2
解
lim
x→ 0 y→0
1 ( x + y ) sin 2 =0 2 x + y
例4 求
lim
x→ ∞ y→∞
1+ x + y x2 + y2
2
2 2
2
解
lim
x→ ∞ y→∞
1+ x + y 2 2 x + y
=
lim
x→ ∞ y→∞
f1 ( p1 ) ≤ f 2 ( p2 ) ,则存在 Q( x, y ) ∈ D ,使得 f (Q ) = k
三、小结
多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性） 注意趋近方式的任意性） 任意性
(1 + 2 ) 2 x + y
=1
例5
xy + 1 − 1 解 原式 = lim x → 0 xy( xy + 1 + 1) y→ 0 1 = lim x →0 xy + 1 + 1 y→ 0 1 = . 2
xy + 1 − 1 . 求 lim x →0 xy y→0
确定极限不存在的方法： 确定极限不存在的方法： 不存在的方法
如果函数 上每一点 定义 4：如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上每一点 都连续， 上连续。 都连续，则称它在区域 D 上连续。
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理 ） 在有界闭区域D上连续， 如果二元函数 z = f ( x, y ) 在有界闭区域D上连续， 则在D上至少取得它的最大值和最小值各一次． 则在D上至少取得它的最大值和最小值各一次． （２）有界性定理 在有界闭区域D 如果二元函数 z = f ( x, y ) 在有界闭区域D上连 则在D上一定有界． 续，则在D上一定有界． （３）介值定理 在有界闭区域D上连续， 如果二元函数 z = f ( x, y ) 在有界闭区域D上连续， 若存在数Ｋ， Ｋ，使得 任给 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ∈ D ，若存在数Ｋ，使得 1
第二节 二元函数的极限与连续性
一、二元函数的极限 二、二元函数的连续性 三、总 结
一、二元函数的极限
定义 1 内有定义， 设函数 z = f ( x , y ) 在 N ( p0 , δ ) 内有定义 ，
∧ ∧
P( x, y) 是 N ( p0 , δ ) 内的任意一点， 内的任意一点， 如果存在一个确定 的常数 A ，点 P( x, y) 以任何方式趋向于定点 p0 ( x0 , y0 ) 时，函数 z = f ( x , y ) 都无限地趋近于 A ，则称常数 A 为函数 z = f ( x , y ) 当 P → P0 （或 x → x 0 ， y → y 0 ） 时的极限， 时的极限， lim f ( x, y ) = A 记为： 记为： p → p 或 lim f ( x , y ) = A