二元函数的极限与连续
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第二节 二元函数的极限与连续性
一、二元函数的极限 二、二元函数的连续性 三、总 结
一、二元函数的极限
定义 1 内有定义， 设函数 z = f ( x , y ) 在 N ( p0 , δ ) 内有定义 ，
∧ ∧
P( x, y) 是 N ( p0 , δ ) 内的任意一点， 内的任意一点， 如果存在一个确定 的常数 A ，点 P( x, y) 以任何方式趋向于定点 p0 ( x0 , y0 ) 时，函数 z = f ( x , y ) 都无限地趋近于 A ，则称常数 A 为函数 z = f ( x , y ) 当 P → P0 （或 x → x 0 ， y → y 0 ） 时的极限， 时的极限， lim f ( x, y ) = A 记为： 记为： p → p 或 lim f ( x , y ) = A
1 (1 + 2 ) 2 x + y
=1
例5
xy + 1 − 1 解 原式 = lim x → 0 xy( xy + 1 + 1) y→ 0 1 = lim x →0 xy + 1 + 1 y→ 0 1 = . 2
xy + 1 − 1 . 求 lim x →0 xy y→0
确定极限不存在的方法： 确定极限不存在的方法： 不存在的方法
但两者不相等， 但两者不相等，此时也可断言 f ( x , y ) 在点
P0 ( x0 , y0 ) 处极限不存在． 处极限不存在．
例6 讨论函数
xy , x2 + y2 ≠ 0 x2 + y2 f ( x, y) = 0, x2 + y2 = 0
趋向于(0,0)时极限是否存在 时极限是否存在. 在P(x,y)趋向于 趋向于 时极限是否存在 解 取 y = kx xy k kx 2 lim 2 = 2 = lim 2 2 2 x →0 x + y x →0 x + k x 1+ k2 y→ 0 y = kx 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 其值随 的不同而变化， 极限不存在． 的不同而变化
二、二元函数的连续性
内有定义， 定义 3： 设函数 z = f ( x , y ) 在 N ( p0 , δ ) 内有定义， 若 x → xy y→
lim f ( x, y ) = f ( x0 , y0 )
0 0
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， 则称函数 z = f ( x, y ) 在
连续。 点 p0 ( x0 , y0 ) 处连续。
x→ 0 y→0
1 ( x + y ) sin 2 x + y2
解
lim
x→ 0 y→0
1 ( x + y ) sin 2 =0 2 x + y
例4 求
lim
x→ ∞ y→∞
1+ x + y x2 + y2
2
2 2
2
解
lim
x→ ∞ y→∞
1+ x + y 2 2 x + y
=
lim
x→ ∞ y→∞
f1 ( p1 ) ≤ f 2 ( p2 ) ,则存在 Q( x, y ) ∈ D ,使得 f (Q ) = k
三、小结
多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性） 注意趋近方式的任意性） 任意性
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
（1） 令 P ( x , y ) 沿 y = kx 趋向于 P0 ( x 0 , y 0 ) ， ） 若
有关，则可断言极限不存在； 极限值与 k 有关，则可断言极限不存在；
） 找两种不同趋近方式， 存在， （2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x , y )存在，
x → x0 y → y0
0
x → x0 y → y0
或 ( x , y )→( x 0 , y0 )
lim
f ( x, y ) = A
内有定义， 定义 2 设函数 z = f ( x , y ) 在 N ( p0 , δ ) 内有定义，如果对 于任意给定的正数ε ，总存在正数δ ，使得对于适合不
0 < ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ 的一切点 P ( x , y ) ， 都 等式 有 | f ( x , y ) − A |< ε 成 立 ， 则 称 常 数 A 为 函 数 时的极限， z = f ( x , y ) 当 P → P0（或 x → x 0 ，y → y 0 ）时的极限， lim f ( x , y ) = A 记为 p → p0 或 lim f ( x , y ) = A
如果函数 上每一点 定义 4：如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上每一点 都连续， 上连续。 都连续，则称它在区域 D 上连续。
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理 ） 在有界闭区域D上连续， 如果二元函数 z = f ( x, y ) 在有界闭区域D上连续， 则在D上至少取得它的最大值和最小值各一次． 则在D上至少取得它的最大值和最小值各一次． （２）有界性定理 在有界闭区域D 如果二元函数 z = f ( x, y ) 在有界闭区域D上连 则在D上一定有界． 续，则在D上一定有界． （３）介值定理 在有界闭区域D上连续， 如果二元函数 z = f ( x, y ) 在有界闭区域D上连续， 若存在数Ｋ， Ｋ，使得 任给 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ∈ D ，若存在数Ｋ，使得 1
x → x0 y → y0
∧
说明： 说明：
的方式是任意的； （1）定义中 P → P0 的方式是任意的； ） （2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x , y ); ）
x → x0 y → y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． ）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例1 求 解
lim
x→ 0 y→ 2
sin( xy ) x
lim
x→ 0 y→ 2
sin( xy ) x
=
lim
xy → 0
sin( xy ) ⋅ lim y =1×2=2. × xy y→ 2
例2 求
lim
x→ 0 y →1
1 x+ y
解
lim
x→ 0 y →1
1 1 = =1 x+ y 0 +1
例3 求
lim
一、二元函数的极限 二、二元函数的连续性 三、总 结
一、二元函数的极限
定义 1 内有定义， 设函数 z = f ( x , y ) 在 N ( p0 , δ ) 内有定义 ，
∧ ∧
P( x, y) 是 N ( p0 , δ ) 内的任意一点， 内的任意一点， 如果存在一个确定 的常数 A ，点 P( x, y) 以任何方式趋向于定点 p0 ( x0 , y0 ) 时，函数 z = f ( x , y ) 都无限地趋近于 A ，则称常数 A 为函数 z = f ( x , y ) 当 P → P0 （或 x → x 0 ， y → y 0 ） 时的极限， 时的极限， lim f ( x, y ) = A 记为： 记为： p → p 或 lim f ( x , y ) = A
1 (1 + 2 ) 2 x + y
=1
例5
xy + 1 − 1 解 原式 = lim x → 0 xy( xy + 1 + 1) y→ 0 1 = lim x →0 xy + 1 + 1 y→ 0 1 = . 2
xy + 1 − 1 . 求 lim x →0 xy y→0
确定极限不存在的方法： 确定极限不存在的方法： 不存在的方法
但两者不相等， 但两者不相等，此时也可断言 f ( x , y ) 在点
P0 ( x0 , y0 ) 处极限不存在． 处极限不存在．
例6 讨论函数
xy , x2 + y2 ≠ 0 x2 + y2 f ( x, y) = 0, x2 + y2 = 0
趋向于(0,0)时极限是否存在 时极限是否存在. 在P(x,y)趋向于 趋向于 时极限是否存在 解 取 y = kx xy k kx 2 lim 2 = 2 = lim 2 2 2 x →0 x + y x →0 x + k x 1+ k2 y→ 0 y = kx 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 其值随 的不同而变化， 极限不存在． 的不同而变化
二、二元函数的连续性
内有定义， 定义 3： 设函数 z = f ( x , y ) 在 N ( p0 , δ ) 内有定义， 若 x → xy y→
lim f ( x, y ) = f ( x0 , y0 )
0 0
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， 则称函数 z = f ( x, y ) 在
连续。 点 p0 ( x0 , y0 ) 处连续。
x→ 0 y→0
1 ( x + y ) sin 2 x + y2
解
lim
x→ 0 y→0
1 ( x + y ) sin 2 =0 2 x + y
例4 求
lim
x→ ∞ y→∞
1+ x + y x2 + y2
2
2 2
2
解
lim
x→ ∞ y→∞
1+ x + y 2 2 x + y
=
lim
x→ ∞ y→∞
f1 ( p1 ) ≤ f 2 ( p2 ) ,则存在 Q( x, y ) ∈ D ,使得 f (Q ) = k
三、小结
多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性） 注意趋近方式的任意性） 任意性
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
（1） 令 P ( x , y ) 沿 y = kx 趋向于 P0 ( x 0 , y 0 ) ， ） 若
有关，则可断言极限不存在； 极限值与 k 有关，则可断言极限不存在；
） 找两种不同趋近方式， 存在， （2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x , y )存在，
x → x0 y → y0
0
x → x0 y → y0
或 ( x , y )→( x 0 , y0 )
lim
f ( x, y ) = A
内有定义， 定义 2 设函数 z = f ( x , y ) 在 N ( p0 , δ ) 内有定义，如果对 于任意给定的正数ε ，总存在正数δ ，使得对于适合不
0 < ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ 的一切点 P ( x , y ) ， 都 等式 有 | f ( x , y ) − A |< ε 成 立 ， 则 称 常 数 A 为 函 数 时的极限， z = f ( x , y ) 当 P → P0（或 x → x 0 ，y → y 0 ）时的极限， lim f ( x , y ) = A 记为 p → p0 或 lim f ( x , y ) = A
如果函数 上每一点 定义 4：如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上每一点 都连续， 上连续。 都连续，则称它在区域 D 上连续。
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理 ） 在有界闭区域D上连续， 如果二元函数 z = f ( x, y ) 在有界闭区域D上连续， 则在D上至少取得它的最大值和最小值各一次． 则在D上至少取得它的最大值和最小值各一次． （２）有界性定理 在有界闭区域D 如果二元函数 z = f ( x, y ) 在有界闭区域D上连 则在D上一定有界． 续，则在D上一定有界． （３）介值定理 在有界闭区域D上连续， 如果二元函数 z = f ( x, y ) 在有界闭区域D上连续， 若存在数Ｋ， Ｋ，使得 任给 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ∈ D ，若存在数Ｋ，使得 1
x → x0 y → y0
∧
说明： 说明：
的方式是任意的； （1）定义中 P → P0 的方式是任意的； ） （2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x , y ); ）
x → x0 y → y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． ）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例1 求 解
lim
x→ 0 y→ 2
sin( xy ) x
lim
x→ 0 y→ 2
sin( xy ) x
=
lim
xy → 0
sin( xy ) ⋅ lim y =1×2=2. × xy y→ 2
例2 求
lim
x→ 0 y →1
1 x+ y
解
lim
x→ 0 y →1
1 1 = =1 x+ y 0 +1
例3 求
lim