2014高考数学一轮复习练习5-专题训练
2014高考数学一轮汇总训练《数列的综合问题-》理-新人教A版
第五节数列的综合问题[备考方向要明了]考什么怎么考能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.1.以递推为背景，考查数列的通项公式与前n项和公式，如2012年新课标全国T16等．2.等差数列、等比数列综合考查数列的基本计算，如2012年T16，T18等．3.考查数列与函数、不等式、解析几何的综合问题，且以解答题的形式出现，如2012年T19等.[归纳·知识整合]1．数列综合应用题的解题步骤(1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学容，在每个数学容中，各是什么问题．(2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等．(3)求解——分别求解这些小题或这些“步骤”，从而得到整个问题的解答．具体解题步骤如下框图：2．常见的数列模型(1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题．(2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题．(3)递推公式模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推式表达出来，然后通过分析递推关系式求解．[探究] 银行储蓄单利公式及复利公式分别是什么模型？提示：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和a n＝a(1＋rn)，属于等差数列模型．复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和a n＝a(1＋r)n，属于等比数列模型．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为( )A．－4 B．－6C．－8 D．－10解析：选B 由题意知：a23＝a1a4.则(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)，解得a2＝－6.2．已知log2x，log2y,2成等差数列，则M(x，y)的轨迹的图象为( )解析：选A 由于log2x，log2y,2成等差数列，则有2log2y＝log2x＋2，所以y2＝4x.又y＞0，x＞0，故M的轨迹图象为A.3.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x＋y＋z的值为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C 由题意知，第三列各数成等比数列，故x＝1；第一行第五个数为6，第二行第五个数为3，故z＝34；第一行第四个数为5，第二行第四个数为52，故y＝54，从而x＋y＋z＝3.4．等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S4＝________.解析：设数列{a n}的公比为q，∵4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，解得q＝2.∴S4＝1－241－2＝15.答案：152 41 2x yz5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，若1＜S k ＜9(k ∈N *)，则k 的值为________．解析：由S n ＝23a n －13得当n ≥2时，S n ＝23(S n －S n －1)－13，即S n ＝－2S n －1－1. 令S n ＋p ＝－2(S n －1＋p )得S n ＝－2S n －1－3p ，可知p ＝13.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋13是以－23为首项，以－2为公比的等比数列．则S n ＋13＝－23×(－2)n －1，即S n ＝－23×(－2)n －1－13.由1＜－23×(－2)k －1－13＜9，k ∈N *得k ＝4.答案：4等差数列、等比数列的综合问题[例1] 在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n . [自主解答] (1)证明：∵b n ＝log 2a n ， ∴b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1a n＝log 2q 为常数， ∴数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q . (2)∵b 1＋b 3＋b 5＝6，∴b 3＝2. ∵a 1>1，∴b 1＝log 2a 1>0. ∵b 1b 3b 5＝0，∴b 5＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1.∴S n ＝4n ＋n n －12×(－1)＝9n －n 22.∵⎩⎪⎨⎪⎧log 2q ＝－1，log 2a 1＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝16.∴a n ＝25－n(n ∈N *)．在本例(2)的条件下，试比较a n 与S n 的大小． 解：显然a n ＝25－n>0，当n ≥9时，S n ＝n 9－n2≤0，∴n ≥9时，a n >S n .∵a 1＝16，a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，a 6＝12，a 7＝14，a 8＝18，S 1＝4，S 2＝7，S 3＝9，S 4＝10，S 5＝10，S 6＝9，S 7＝7， S 8＝4，∴当n ＝3，4，5，6，7，8时，a n <S n ； 当n ＝1，2或n ≥9时，a n >S n . ——————————————————— 解答数列综合问题的注意事项(1)要重视审题，善于联系，将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来．(2)对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项，前n 项和以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．1．(2013·模拟)已知等差数列{a n }的公差大于零，且a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根；各项均为正数的等比数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足b 3＝a 3，S 3＝13.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n ≤5，b n ，n >5，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .由x 2－18x ＋65＝0，解得x ＝5或x ＝13. 因为d >0，所以a 2<a 4，则a 2＝5，a 4＝13，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，解得a 1＝1，d ＝4.所以a n ＝1＋4(n －1)＝4n －3.因为⎩⎪⎨⎪⎧b 3＝b 1q 2＝9，b 1＋b 1q ＋b 1q 2＝13，又q >0，解得b 1＝1，q ＝3. 所以b n ＝3n －1.(2)当n ≤5时，T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n ＋n n －12×4＝2n 2－n ；当n >5时，T n ＝T 5＋(b 6＋b 7＋b 8＋…b n ) ＝(2×52－5)＋351－3n －51－3＝3n－1532.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n 2－n ，n ≤5，3n－1532，n >5.数列与函数的综合应用[例2] (2012·高考)设函数f (x )＝x2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{}x n .(1)求数列{}x n 的通项公式；(2)设{}x n 的前n 项和为S n ，求sin S n .[自主解答] (1)令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，即cos x ＝－12，解得x ＝2k π±23π(k ∈Z )．由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知，x n ＝2n π－23π(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S n ＝2π(1＋2＋…＋n )－23n π＝n (n ＋1)π－2n π3，所以sin S n ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤nn ＋1π－2n π3. 因为n (n ＋1)表示两个连续正整数的乘积，n (n ＋1)一定为偶数，所以sin S n＝－sin2nπ3.当n ＝3m －2(m∈N*)时，sin S n＝－sin⎝⎛⎭⎪⎫2mπ－43π＝－32；当n＝3m－1(m∈N*)时，sin S n＝－sin⎝⎛⎭⎪⎫2mπ－23π＝32；当n＝3m(m∈N*)时，sin S n＝－sin 2mπ＝0.综上所述，sin S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n＝3m－2m∈N*，32，n＝3m－1m∈N*，0，n＝3m m∈N*.———————————————————解决函数与数列的综合问题应该注意的事项(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化．2．已知函数f(x)＝x2＋x－1，α，β是方程f(x)＝0的两个根(α>β)，f′(x)是f(x)的导数，设a1＝1，a n＋1＝a n－f a nf′a n(n＝1,2，…)．(1)求α，β的值；(2)已知对任意的正整数n，都有a n>α，记b n＝lna n－βa n－α(n＝1,2，…)，求数列{b n}的前n项和S n.解：(1)由方程x2＋x－1＝0解得方程的根为x1＝－1＋52，x2＝－1－52，又∵α，β是方程的两个实根，且α>β，∴α＝－1＋52，β＝－1－52.(2)∵f ′(x )＝2x ＋1，∴a n ＋1＝a n －f a n f ′a n ＝a n －a 2n ＋a n －12a n ＋1＝a 2n ＋12a n ＋1.∵a n >α>β(n ＝1,2,3，…)，且a 1＝1， ∴b 1＝ln 1－β1－α＝ln β2α2＝4ln 5＋12.或b 1＝ln 1－β1－α＝ln1－－1－521－－1＋52＝ln3＋524＝2ln3＋52＝2ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋522＝4ln5＋12b n ＋1＝ln a n ＋1－βa n ＋1－α＝ln a 2n －2βαn －β＋1a 2n －2αa n －α＋1＝lna n －β2－β2－β＋1a n －α2－α2－α＋1＝ln a n －β2a n －α2＝2lna n －βa n －α＝2b n . 即{b n }是以b 1为首项，2为公比的等比数列． 故数列{b n }的前n 项和S n ＝b 11－2n1－2＝(2n－1)·4ln 5＋12＝(2n ＋2－4)ln5＋12. 数列与不等式的综合应用[例3] (2012·高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.[自主解答] (1)当n ＝1时，2a 1＝a 2－4＋1＝a 2－3， ① 当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 3－8＋1＝a 3－7， ② 又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列， 所以a 1＋a 3＝2(a 2＋5)， ③ 由①②③解得a 1＝1.(2)由题设条件可知n≥2时，2S n＝a n＋1－2n＋1＋1，④2S n－1＝a n－2n＋1.⑤④－⑤得2a n＝a n＋1－a n－2n＋1＋2n，即a n＋1＝3a n＋2n，整理得a n＋1＋2n＋1＝3(a n＋2n)，则{a n＋2n}是以3为首项，3为公比的等比数列．所以a n＋2n＝(a1＋2)·3n－1＝3n，即a n＝3n－2n(n>1)．又a1＝1满足上式，故a n＝3n－2n.(3)证明：∵1a n＝13n－2n＝13n·11－⎝⎛⎭⎪⎫23n≤13n·11－23＝3·13n，∴1a1＋1a2＋…＋1a n≤3⎝⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n＝3×13⎝⎛⎭⎪⎫1－13n1－13＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－13n<32.———————————————————数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法，穿根法等．总之这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．3．等比数列{a n}为递增数列，且a4＝23，a3＋a5＝209，数列b n＝log3a n2(n∈N*)．(1)求数列{b n}的前n项和S n；(2)T n＝b1＋b2＋b22＋…＋b2n－1，求使T n>0成立的最小值n.解：(1)∵{a n}是等比数列，设其公比为q，∴⎩⎪⎨⎪⎧a1q3＝23，a1q2＋a1q4＝209，两式相除得，q 1＋q 2＝310，q ＝3或q ＝13， ∵{a n }为递增数列，∴q ＝3，a 1＝281.∴a n ＝a 1qn －1＝281·3n －1＝2·3n －5， ∴b n ＝log 3a n2＝n －5，数列{b n }的前n 项和S n ＝n －4＋n －52＝12(n 2－9n )． (2)T n ＝b 1＋b 2＋b 22＋…b 2n －1＝(1－5)＋(2－5)＋(22－5)＋…＋(2n －1－5)＝1－2n1－2－5n >0，即2n>5n ＋1.∵24<5×4＋1,25>5×5＋1，∴n min ＝5(只要给出正确结果，不要求严格证明).数列的实际应用[例4] (2012·高考)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．[自主解答] (1)由题意得a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4 500－52d . a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d .(2)由(1)得a n ＝32a n －1－d＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32a n －2－d －d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322a n －2－32d －d…＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1a 1－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2. 整理得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－d )－2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－3d )＋2d . 由题意，a m ＝4 000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000.解得d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －2×1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1＝1 0003m －2m ＋13m －2m. 故该企业每年上缴资金d 的值为1 0003m －2m ＋13m －2m时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．——————————————————— 解决数列实际应用问题的方法解等差数列、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列、等比数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列知识求解．这其中体现了把实际问题数学化的能力，即数学建模能力．4．某市2010年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比较首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)解：(1)设中低价房面积形成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n n －12×50＝25n 2＋225n .令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，解得n ≥10.故到2019年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．(2)设新建住房面积形成数列{b n}，由题意可知{b n}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则b n＝400×(1.08)n－1.由题意可知a n>0.85b n，有250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85.当n＝5时，a5<0.85b5，当n＝6时，a6>0.85b6，即满足上述不等式的最小正整数n为6.故到2015年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.1个问题——分期付款问题等比数列中处理分期付款问题的注意事项：(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(最后一次付款没有利息)．(2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可顺利建立等量关系．3个注意——递推、放缩与函数思想的考查(1)数列与解析几何结合时注意递推．(2)数列与不等式相结合时注意对不等式进行放缩．(3)数列与函数相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性).创新交汇——数列的新定义问题1．数列题目中有时定义一个新数列，然后根据定义的新数列所具备的性质解决有关问题．2．解决新情境、新定义数列问题，首先要根据新情境、新定义进行推理，从而明确考查的是哪些数列知识，然后熟练运用归纳、构造、正难则反、分类与整合等方法进行解题．[典例] (2011·高考)若数列A n：a1，a2，…，a n(n≥2)满足|a k＋1－a k|＝1(k＝1,2，…，n－1)，则称A n为E数列．记S(A n)＝a1＋a2＋…＋a n.(1)写出一个满足a1＝a5＝0，且S(A5)>0的E数列A5；(2)若a1＝12，n＝2 000.证明：E数列A n是递增数列的充要条件是a n＝2 011；(3)对任意给定的整数n(n≥2), 是否存在首项为0的E数列A n，使得S(A n)＝0？如果存在，写出一个满足条件的E数列A n；如果不存在，说明理由．[解] (1)0,1,2,1,0是一个满足条件的E 数列A 5. (答案不唯一，0,1,0,1,0也是一个满足条件的E 数列A 5) (2)必要性：因为E 数列A n 是递增数列， 所以a k ＋1－a k ＝1(k ＝1,2，…，1 999)． 所以A n 是首项为12，公差为1的等差数列． 所以a 2 000＝12＋(2000－1)×1＝2 011. 充分性：由于a 2 000－a 1 999≤1，a 1 999－a 1 998≤1，…a 2－a 1≤1，所以a 2 000－a 1≤1 999，即a 2 000≤a 1＋1 999. 又因为a 1＝12，a 2 000＝2 011， 所以a 2 000＝a 1＋1 999.故a k ＋1－a k ＝1＞0(k ＝1,2，…，1 999)，即A n 是递增数列． 综上，结论得证．(3)令c k ＝a k ＋1－a k (k ＝1,2，…，n －1)，则c k ＝±1. 因为a 2＝a 1＋c 1，a 3＝a 1＋c 1＋c 2，…a n ＝a 1＋c 1＋c 2＋…＋c n －1，所以S (A n )＝na 1＋(n －1)c 1＋(n －2)c 2＋(n －3)c 3＋…＋c n －1＝(n －1)＋(n －2)＋…＋1－[(1－c 1)(n －1)＋(1－c 2)(n －2)＋…＋(1－c n －1)]＝n n －12－[(1－c 1)(n －1)＋(1－c 2)(n －2)＋…＋(1－c n －1)]．因为c k ＝±1，所以1－c k 为偶数(k ＝1，…，n －1)． 所以(1－c 1)(n －1)＋(1－c 2)(n －2)＋…＋(1－c n －1)为偶数， 所以要使S (A n )＝0，必须使n n －12为偶数，即4整除n (n －1)，亦即n ＝4m 或n ＝4m ＋1(m ∈N *)．当n ＝4m (m ∈N *)时，E 数列A n 的项满足a 4k －1＝a 4k －3＝0，a 4k －2＝－1，a 4k ＝1(k ＝1,2，…，m )时，有a 1＝0，S (A n )＝0；当n ＝4m ＋1(m ∈N *)时，E 数列A n 的项满足a 4k －1＝a 4k －3＝0，a 4k －2＝－1，a 4k ＝1(k ＝1,2，…，m )，a 4m ＋1＝0时，有a 1＝0，S (A n )＝0；当n ＝4m ＋2或n ＝4m ＋3(m ∈N *)时，n (n －1)不能被4整除，此时不存在E 数列A n ，使得a1＝0，S(A n)＝0.[名师点评]1．本题具有以下创新点：(1)本题为新定义问题，命题背景新颖．(2)命题方式创新，既有证明题，也有探究性问题，同一个题目中多种方式相结合．2．解决本题要注意以下几个问题：对于此类压轴型新定义数列题，首先要有抢分意识，得一分是一分，多尝试解答，仔细分析，认真翻译；其次，要有运用数学思想方法的意识，如构造、分类等．第(1)问中E数列A5的首尾都是0，则必须先增后减或先减后增，或者摆动；第(2)问条件在后边，因此，前推后是证明条件的必要性，不可颠倒，前推后比较容易，应该先证明；第(3)问和第(1)问相呼应，所以在推理时要善于前后联系，善于发现矛盾，从而找到解决问题的突破口．[变式训练]1．已知数列{a n}：a1，a2，a3，…，a n，如果数列{b n}：b1，b2，b3，…b n满足b1＝a n，b k ＝a k－1＋a k－b k－1，其中k＝2,3，…，n，则称{b n}为{a n}的“衍生数列”．若数列{a n}：a1，a2，a3，a4的“衍生数列”是5，－2,7,2，则{a n}为______；若n为偶数，且{a n}的“衍生数列”是{b n}，则{b n}的“衍生数列”是______．解析：由b1＝a n，b k＝a k－1＋a k－b k－1，k＝2,3，…，n可得，a4＝5,2＝a3＋a4－7，解得a3＝4.又7＝a2＋a3－(－2)，解得a2＝1.由－2＝a1＋a2－5，解得a1＝2，所以数列{a n}为2,1,4,5.由已知，b1＝a1－(a1－a n)，b2＝a1＋a2－b1＝a2＋(a1－a n)，….因为n是偶数，所以b n ＝a n＋(－1)n(a1－a n)＝a1.设{b n}的“衍生数列”为{c n}，则c i＝b i＋(－1)i(b1－b n)＝a i＋(－1)i·(a1－a n)＋(－1)i(b1－b n)＝a i＋(－1)i(a1－a n)＋(－1)i·(a n－a1)＝a i，其中i＝1,2,3，…，n.则{b n}的“衍生数列”是{a n}．答案：2,1,4,5 {a n}2．(2012·高考改编)对于项数为m的有穷数列{a n}，记b k＝max{a1，a2，…，a k}(k＝1,2，…，m)，即b k为a1，a2，…，a k中的最大值，并称数列{b n}是{a n}的控制数列．如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{a n}；(2)设{b n}是{a n}的控制数列，满足a k＋b m－k＋1＝C(C为常数，k＝1,2，…，m)．求证：b k＝a k(k＝1,2，…，m)．解：(1)数列{a n}为：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5.(2)证明：因为b k＝max{a1，a2，…，a k}，b k＋1＝max{a1，a2，…，a k，a k＋1}，所以b k＋1≥b k.因为a k ＋b m －k ＋1＝C ，a k ＋1＋b m －k ＝C ， 所以a k ＋1－a k ＝b m －k ＋1－b m －k ≥0，即a k ＋1≥a k . 因此，b k ＝a k .一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1. 等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝8，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8的值( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选D ∵{a n }为等差数列，∴a 7＝a 3＋a 112＝4＝b 7.又{b n }为等比数列，∴b 6·b 8＝b 27＝16.2．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中连续的三项，则数列{b n }的公比为( )A. 2 B ．4 C ．2D.12解析：选C 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 23＝a 1a 7得(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d ，故数列{b n }的公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝2a 1a 1＝2.3．(2013·模拟)满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1 025的最小n 值是( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选C 因为a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，所以a n ＋1＝2a n ，a n ＝2n －1，S n ＝2n －1，则满足S n >1 025的最小n 值是11.4．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月累积的需求量S n (万件)近似地满足关系式S n ＝n90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)，按此预测，在本年度，需求量超过1.5万件的月份是( )A ．5、6月B ．6、7月C ．7、8月D ．8、9月解析：选C 由S n 解出a n ＝130(－n 2＋15n －9)，再解不等式130(－n 2＋15n －9)>1.5，得6<n <9.5．数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2n π3－sin2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( )A ．470B ．490C ．495D ．510解析：选A 注意到a n ＝n 2cos 2n π3，且函数y ＝cos 2πx 3的最小正周期是3，因此当n是正整数时，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝－12n 2－12(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝3n ＋72，其中n ＝1,4，7…，S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3×1＋72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×4＋72＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×28＋72＝3×10×1＋282＋72×10＝470.6．(2013·模拟)在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列； ③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为a n ＝a ·b n＋c (a ≠0，b ≠0,1)的数列一定是等差比数列． 其中正确的判断为( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④解析：选D 若k ＝0时，则a n ＋2－a n ＋1＝0，因为a n ＋2－a n ＋1可能为分母，故无意义，故k 不可能为0，①正确；若等差、等比数列为常数列，则②③错误；由定义知④正确．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2013·模拟)设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．解析：由x 2－x <2nx (n ∈N *)， 得0<x <2n ＋1， 因此知a n ＝2n . 故S 100＝1002＋2002＝10 100.答案：10 1008．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________.解析：依题意得，函数y ＝x 2(x >0)的图象在点( a k ，a 2k )处的切线方程是y －a 2k ＝2a k (x－a k )．令y ＝0得x ＝12a k ，即a k ＋1＝12a k ，因此数列{a k }是以16为首项，12为公比的等比数列，所以a k ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1＝25－k，a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.答案：219．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910(n ∈N *)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)，一共使用了________天．解析：由第n 天的维修保养费为n ＋4910(n ∈N *)元，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n 的值．由题意知使用n 天的平均耗资为3.2×104＋⎝⎛⎭⎪⎫5＋n ＋4910n 2n＝3.2×104n＋n20＋9920，当且仅当3.2×104n ＝n20时取得最小值，此时n ＝800. 答案：800三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≥b n ＋1；②b n ≤M (n ∈N *，M 是常数)的无穷数列{b n }叫“嘉文”数列．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝aa －1(a n －1)(a 为常数，且a ≠0，a ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S na n＋1，若数列{b n }为等比数列，求a 的值，并证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“嘉文”数列．解：(1)因为S 1＝aa －1(a 1－1)＝a 1，所以a 1＝a .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a a －1(a n －a n －1)，整理得a na n －1＝a ，即数列{a n }是以a 为首项，a 为公比的等比数列．所以a n ＝a · a n －1＝a n .(2)由(1)知，b n ＝2×aa －1a n －1a n ＋1＝3a －1a n －2aa －1a n，(*)由数列{b n }是等比数列，则b 22＝b 1·b 3，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2a 2＝3·3a 2＋2a ＋2a 2，解得a ＝13，再将a ＝13代入(*)式得b n ＝3n，故数列{b n }为等比数列，所以a ＝13.由于1b n ＋1b n ＋22＝13n ＋13n ＋22>213n ·13n ＋22＝13n ＋1＝1b n ＋1，满足条件①；由于1b n ＝13n ≤13，故存在M ≥13满足条件②.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“嘉文”数列．11．已知正项数列{a n }，{b n }满足：a 1＝3，a 2＝6，{b n }是等差数列，且对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，试比较2S n 与2－b 2n ＋1a n ＋1的大小．解：(1)∵对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列，且数列{a n }，{b n }均为正项数列，∴a n ＝b n b n ＋1(n ∈N *)．由a 1＝3，a 2＝6得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1b 2＝3，a 2＝b 2b 3＝6，又{b n }为等差数列，即有b 1＋b 3＝2b 2，解得b 1＝2，b 2＝322，∴数列{b n }是首项为2，公差为22的等差数列． ∴数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ＋12(n ∈N *)．(2)由(1)得，对任意n ∈N *，a n ＝b n b n ＋1＝n ＋1n ＋22，从而有1a n＝2n ＋1n ＋2＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2，∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝1－2n ＋2. ∴2S n ＝2－4n ＋2.又2－b 2n ＋1a n ＋1＝2－n ＋2n ＋3，∴2S n －⎝ ⎛⎭⎪⎫2－b 2n ＋1a n ＋1＝n ＋2n ＋3－4n ＋2＝n 2－8n ＋2n ＋3. ∴当n ＝1，n ＝2时，2S n <2－b 2n ＋1a n ＋1；当n ≥3时，2S n >2－b 2n ＋1a n ＋1.12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切正整数n ，点P n (n ，S n )都在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，且过点P n (n ，S n )的切线的斜率为k n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2kn a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)设Q ＝{x |x ＝k n ，n ∈N *}，R ＝{x |x ＝2a n ，n ∈N *}，等差数列{c n }的任一项c n ∈Q ∩R ，其中c 1是Q ∩R 中的最小数，110<c 10<115，求{c n }的通项公式．解：(1)∵点P n (n ，S n )都在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上， ∴S n ＝n 2＋2n (n ∈N *)．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由f (x )＝x 2＋2x 求导可得f ′(x )＝2x ＋2. ∵过点P n (n ，S n )的切线的斜率为k n ， ∴k n ＝2n ＋2.∴b n ＝2k n a n ＝4·(2n ＋1)·4n.∴ T n ＝4×3×41＋4×5×42＋4×7×43＋…＋4×(2n ＋1)×4n.① 由①×4，得4T n ＝4×3×42＋4×5×43＋4×7×44＋…＋4×(2n ＋1)×4n ＋1.②①－②得－3T n ＝4[3×4＋2×(42＋43＋…＋4n )－(2n ＋1)×4n ＋1]＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×4＋2×421－4n －11－4－()2n ＋1×4n ＋1， ∴T n ＝6n ＋19·4n ＋2－169.(3)∵Q ＝{x |x ＝2n ＋2，n ∈N *}，R ＝{x |x ＝4n ＋2，n ∈N *}，∴Q ∩R ＝R . 又∵c n ∈Q ∩R ，其中c 1是Q ∩R 中的最小数，∴c 1＝6. ∵{c n }的公差是4的倍数，∴c 10＝4m ＋6(m ∈N *)． 又∵110<c 10<115，∴⎩⎪⎨⎪⎧110<4m ＋6<115，m ∈N *，解得m ＝27.∴c 10＝114. 设等差数列的公差为d ， 则d ＝c 10－c 110－1＝114－69＝12，∴c n＝6＋(n－1)×12＝12n－6.∴{c n}的通项公式为c n＝12n－6.1．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)．设数列的前n项和为S n，且1a1，1a2，1a4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式及S n；(2)设A n＝1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n，B n＝1a1＋1a2＋1a22＋…＋1a2n－1.当n≥2时，试比较A n与B n 的大小．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由⎝⎛⎭⎪⎫1a22＝1a1·1a4，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．因为d≠0，所以d＝a1＝a.所以a n＝na，S n＝an n＋12.(2)因为1S n＝2a⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋1，所以A n＝1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n＝2a⎝⎛⎭⎪⎫1－1n＋1.因为a2n－1＝2n－1a，所以B n＝1a1＋1a2＋1a22＋…＋1a2n－1＝1a·1－⎝⎛⎭⎪⎫12n1－12＝2a⎝⎛⎭⎪⎫1－12n.当n≥2时，2n＝C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n>n＋1，即1－1n＋1<1－12n，所以，当a>0时，A n<B n；当a<0时，A n>B n.2．已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．(1)分别写出第1年末和第2年末的实际住房面积的表达式；(2)如果第5年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15≈1.6)解：(1)第1年末的住房面积为a ·1110－b ＝1.1a －b (m 2)，第2年末的住房面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1110－b ·1110－b ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11102－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1110＝1.21a －2.1b (m 2)． (2)第3年末的住房面积为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11102－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1110·1110－b ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11103－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102(m 2)，第4年末的住房面积为a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11104－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11103(m 2)，第5年末的住房面积为a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11105－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11103＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11104＝1.15a －1－1.151－1.1b ≈1.6a －6b (m 2)．依题意可知，1.6a －6b ＝1.3a ，解得b ＝a 20，所以每年拆除的旧住房面积为a20 m 2.3．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝kS n ＋2(n ∈N *)，且a 1＝2，a 2＝1. (1)求k 的值和S n 的表达式； (2)是否存在正整数m ，n ，使得S n －m S n ＋1－m <12成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，请说明理由．解：(1)由条件S n ＋1＝kS n ＋2(n ∈N *)，得S 2＝kS 1＋2， 即a 1＋a 2＝ka 1＋2，∵a 1＝2，a 2＝1，∴2＋1＝2k ＋2，得k ＝12.于是，S n ＋1＝12S n ＋2，设S n ＋1＋x ＝12(S n ＋x )，即S n ＋1＝12S n －12x ，令－12x ＝2，得x ＝－4，∴S n ＋1－4＝12(S n －4)，即数列{S n －4}是首项为－2，公比为12的等比数列．∴S n －4＝(－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即S n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n (n ∈N *)．(2)由不等式S n －m S n ＋1－m <12，得4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －m 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1－m <12，即2n4－m －42n4－m －2<12.令t ＝2n(4－m )，则不等式变为t －4t －2<12， 解得2<t <6，即2<2n(4－m )<6.假设存在正整数m ，n ，使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，4－m 为整数，则只能是2n(4－m )＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2n＝2，4－m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧2n＝4，4－m ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2.于是，存在正整数m ＝2，n ＝1或m ＝3，n ＝2， 使得S n －m S n ＋1－m <12成立．由递推公式求通项的7种方法及破解数列中的4类探索性问题一、由递推公式求通项的7种方法 1．a n ＋1＝a n ＋f (n )型把原递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再利用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)．[例1] 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋1n 2＋n ，求a n .[解] 由条件，知a n ＋1－a n ＝1n 2＋n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1，则(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，所以a n －a 1＝1－1n.因为a 1＝12，所以a n ＝12＋1－1n ＝32－1n .2．a n ＋1＝f (n )a n 型 把原递推公式转化为a n ＋1a n ＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a 2＝f (2)，…，a n a n －1＝f (n －1)，累乘可得a na 1＝f (1)f (2)…f (n －1)． [例2] 已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1·a n ，求a n .[解] 由a n ＋1＝n n ＋1·a n ，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，故a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×12×23＝23n .即a n ＝23n. 3．a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)型对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )，比较系数可知t ＝qp －1，可令a n ＋1＋t ＝b n ＋1换元即可转化为等比数列来解决．[例3] 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n .[解] 设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，则t ＝－3.故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)． 令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列． 所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，即a n ＝2n ＋1－3.4．a n ＋1＝pa n ＋q n(其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)型 (1)一般地，要先在递推公式两边同除以qn ＋1，得a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q，引入辅助数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a n qn ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q，再用待定系数法解决； (2)也可以在原递推公式两边同除以pn ＋1，得a n ＋1p n ＋1＝a n p n ＋1p ·⎝ ⎛⎭⎪⎫q p n，引入辅助数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a n p n ，得b n ＋1－b n ＝1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫q pn ，再利用叠加法(逐差相加法)求解． [例4] 已知数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，求a n .[解] 法一：在a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1两边乘以2n ＋1，得2n ＋1·a n ＋1＝23(2n ·a n )＋1.令b n ＝2n·a n ，则b n ＋1＝23b n ＋1，根据待定系数法，得b n ＋1－3＝23(b n －3)．所以数列{b n －3}是以b 1－3＝2×56－3＝－43为首项，以23为公比的等比数列． 所以b n －3＝－43·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，即b n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.于是，a n ＝b n 2n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.法二：在a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1两边乘以3n ＋1，得3n ＋1a n ＋1＝3n a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1. 令b n ＝3n·a n ，则b n ＋1＝b n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1.所以b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，b n －1－b n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，…，b 2－b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322. 将以上各式叠加，得b n －b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n.又b 1＝3a 1＝3×56＝52＝1＋32，所以b n ＝1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n＝1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－2，即b n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－2.故a n ＝b n 3n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.5．a n ＋1＝pa n ＋an ＋b (p ≠1，p ≠0，a ≠0)型这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令a n ＋1＋x (n ＋1)＋y ＝p (a n ＋xn ＋y )，与已知递推式比较，解出x ，y ，从而转化为{a n ＋xn ＋y }是公比为p 的等比数列．[例5] 设数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝3a n －1＋2n －1(n ≥2)，求a n . [解] 设递推公式可以转化为a n ＋An ＋B ＝3[a n －1＋A (n －1)＋B ]，化简后与原递推式比较，得⎩⎪⎨⎪⎧2A ＝2，2B －3A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝1.令b n ＝a n ＋n ＋1.(*)则b n ＝3b n －1，又b 1＝6，故b n ＝6·3n －1＝2·3n，代入(*)式，得a n ＝2·3n－n －1. 6．a n ＋1＝pa rn (p >0，a n >0)型这种类型一般是等式两边取对数后转化为a n ＋1＝pa n ＋q 型数列，再利用待定系数法求解．[例6] 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1a·a 2n (a >0)，求数列{a n }的通项公式．[解] 对a n ＋1＝1a·a 2n 的两边取对数，得lg a n ＋1＝2lg a n ＋lg 1a.令b n ＝lg a n ，则b n ＋1＝2b n ＋lg 1a.由此得b n ＋1＋lg 1a＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋lg 1a ，记c n ＝b n ＋lg 1a，则c n ＋1＝2c n ，所以数列{c n }是以c 1＝b 1＋lg 1a ＝lg 1a为首项，2为公比的等比数列．所以c n ＝2n －1·lg 1a.所以b n ＝c n －lg 1a ＝2n －1·lg 1a －lg 1a＝lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2n －1＝lg a 1－2n，即lg a n ＝lg a 1－2n，所以a n ＝a1－2n.7．a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)型 对于此类递推数列，可通过两边同时取倒数的方法得出关系式[例7] 已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n2a n ＋1，n ＝1,2,3，…，求{a n }的通项公式．[解] ∵a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，∴1a n ＋1＝23＋13a n，∴1a n ＋1－1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1.又1a 1－1＝23， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以23为首项，13为公比的等比数列，∴1a n －1＝23·13n －1＝23n ， ∴a n ＝3n3n ＋2.二、破解数列中的4类探索性问题 1．条件探索性问题此类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探求，或条件增删需确定，或条件正误需判定，解决此类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件，在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意．[例1] 已知数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，其前n 项和S n 满足S n ＋2＋S n ＝2S n ＋1＋1(n ∈N *)；数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＋1＝4b n ＋6(n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝b n ＋2＋(－1)n －1λ·2a n (λ为非零整数，n ∈N *)，试确定λ的值，使得对任意n ∈N *，都有c n ＋1>c n 成立．[解] (1)由已知得S n ＋2－S n ＋1－(S n ＋1－S n )＝1， 所以a n ＋2－a n ＋1＝1(n ≥1)． 又a 2－a 1＝1，所以数列{a n }是以a 1＝2为首项，1为公差的等差数列． 所以a n ＝n ＋1.因为b n ＋1＝4b n ＋6，即b n ＋1＋2＝4(b n ＋2)，又b 1＋2＝a 1＋2＝4， 所以数列{b 2＋2}是以4为公比，4为首项的等比数列． 所以b n ＝4n－2.(2)因为a n ＝n ＋1，b n ＝4n－2， 所以c n ＝4n＋(－1)n －1λ·2n ＋1.要使c n ＋1>c n 成立，需c n ＋1－c n ＝4n ＋1－4n＋(－1)nλ·2n ＋2－(－1)n －1λ·2n ＋1>0恒成立，化简得3·4n －3λ(－1)n －12n ＋1>0恒成立，即(－1)n －1λ<2n －1恒成立，①当n 为奇数时，即λ<2n －1恒成立，当且仅当n ＝1时，2n －1有最小值1，所以λ<1；②当n 为偶数时，即λ>－2n －1恒成立，当且仅当n ＝2时，－2n －1有最大值－2，所以λ>－2，即－2<λ<1.又λ为非零整数，则λ＝－1.综上所述，存在λ＝－1，使得对任意n ∈N *，都有c n ＋1>c n 成立．[点评] 对于数列问题，一般要先求出数列的通项，不是等差数列和等比数列的要转化为等差数列或等比数列．遇到S n 要注意利用S n 与a n 的关系将其转化为a n ，再研究其具体性质．遇到(－1)n型的问题要注意分n 为奇数与偶数两种情况进行讨论，本题易忘掉对n 的奇偶性的讨论而致误．2．结论探索性问题此类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．解决此类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论，在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．[例2] 已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1，且a 2＋a 4＝2a 3＋4，其中n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足：b n ＝na n2n ＋12n ，是否存在正整数m ，n (1<m <n )，使得b 1，b m ，b n成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值，若不存在，请说明理由；(3)令c n ＝1＋n a n，记数列{c n }的前n 项积为T n ，其中n ∈N *，试比较T n 与9的大小，并加以证明．[解] (1)因为a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1， 即(a n ＋a n ＋1)(2a n －a n ＋1)＝0.又a n >0，所以2a n －a n ＋1＝0，即2a n ＝a n ＋1. 所以数列{a n }是公比为2的等比数列．由a 2＋a 4＝2a 3＋4，得2a 1＋8a 1＝8a 1＋4，解得a 1＝2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n(n ∈N *)． (2)因为b n ＝na n2n ＋12n＝n2n ＋1， 所以b 1＝13，b m ＝m 2m ＋1，b n ＝n2n ＋1.若b 1，b m ，b n 成等比数列，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＋12＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2n ＋1，即m 24m 2＋4m ＋1＝n6n ＋3.。
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习单元训练数列(二)
数列（二）(时间：40分钟 满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．在等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )．A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2解析 设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则由题意得a 3＝a 1＋2a 2，所以a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，所以q 2－2q －1＝0，解得q ＝1±2.又q ＞0，因此有q ＝1＋2，故a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2(a 7＋a 8)a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 答案 C2．设{a n }为各项均是正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则 ( )．A.a 4S 4＝a 6S 6 B.a 4S 4>a 6S 6C.a 4S 4<a 6S 6D.a 4S 4≤a 6S 6解析 由题意得q >0，当q ＝1时， 有a 4S 4－a 6S 6＝14－16>0，即a 4S 4>a 6S 6； 当q ≠1时，有a 4S 4－a 6S 6＝a 1q 3(1－q )a 1(1－q 4)－a 1q 5(1－q )a 1(1－q 6)＝q 3(1－q )·1－q 2(1－q 4)(1－q 6)＝q 31＋q 2·1－q1－q 6>0，所以a 4S 4>a 6S 6.综上所述，应选B.答案 B3．(2013·广东六校联考)在等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝8，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8的值为( )．A ．2B ．4C ．8D ．16解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 7＝a 3＋a 112＝4＝b 7.又{b n }为等比数列，∴b 6·b 8＝b 27＝16.答案 D4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且S 10>0，S 11<0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的取值为( )．A ．5B ．6C ．4D ．7解析 由S 10>0，S 11<0，知a 1>0，d <0，并且a 1＋a 11<0，即a 6<0，又a 5＋a 6>0，所以a 5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S 5最大，则k ＝5，选A. 答案 A5．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 6＋a 10为一个确定的常数，则下列各数中也可以确定的是( )．A ．S 6B ．S 11C ．S 12D ．S 13解析 若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p .由a 2＋a 6＋a 10＝3a 6为常数，则a 6为常数，∴S 11＝11×(a 1＋a 11)2＝11a 6为常数．答案 B6．等差数列{a n }共有2n ＋1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项等于( )．A ．145B ．203C ．109D ．29解析 因为等差数列共有奇数项，项数为2n ＋1，所以S 奇＝(n ＋1)a 中，S 偶＝na 中，中间项a 中＝S 奇－S 偶＝319－290＝29. 答案 D7．已知数列{a n }的首项a 1＝1，并且对任意n ∈N *都有a n >0.设其前n 项和为S n ，若以(a n ，S n )(n ∈N *)为坐标的点在曲线y ＝12x (x ＋1)上运动，则数列{a n }的通项公式为( )．A ．a n ＝n 2＋1B ．a n ＝n 2C ．a n ＝n ＋1D ．a n ＝n解析 由题意，得S n ＝12a n (a n ＋1)， ∴S n －1＝12a n －1(a n －1＋1)(n ≥2)． 作差，得a n ＝12(a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1)， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0. ∵a n >0(n ∈N *)，∴a n －a n －1－1＝0， 即a n －a n －1＝1(n ≥2)．∴数列{a n }为首项a 1＝1，公差为1的等差数列． ∴a n ＝n (n ∈N *)． 答案 D8．在等差数列{a n }中，若3a 5＝8a 12>0，S n 是等差数列{a n }的前n 项之和，则S n取得最大值时，n ＝( )．A ．12B ．14C ．16D ．18解析 因为在等差数列中，3a 5＝8a 12，所以5a 5＋56d ＝0，又因为a 5>0，所以a 1>0，d <0且d ＝－576a 1，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝a 1152(157n －5n 2)，当n ＝15.7时，S n 取得最大值，因为n ∈N *，所以S n 取得最大值时n ＝16. 答案 C9．如果函数f (x )对任意a ，b 满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2 012)f (2 011)＝( )．A ．4 016B ．1 004C ．2 008D ．2 012解析 由f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，可得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝2，所以f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2 012)f (2 011)＝2×1 006＝2 012. 答案 D10．定义运算“*”，对任意a ，b ∈R ，满足①a *b ＝b *a ；②a *0＝a ；(3)(a *b )*c ＝c *(ab )＋(a *c )＋(c *b )．设数列{a n }的通项为a n ＝n *1n *0，则数列{a n }为 ( )．A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列解析 由题意知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n *1n *0＝0]n ·1n ＋(n *0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0]1n )＝1＋n ＋1n ，显然数列{a n }既不是等差数列也不是等比数列；又函数y ＝x ＋1x 在[1，＋∞)上为增函数，所以数列{a n }为递增数列． 答案 C二、填空题(每小题5分，共25分)11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则等比数列{a n }的公比为________．解析 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由4S 2＝S 1＋3S 3，得4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)， 即3q 2－q ＝0，又q ≠0，∴q ＝13. 答案 1312．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.解析 由a n ＝2n －7≤0，得n ≤72，即a i ≤0(i ＝1,2,3)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，易得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n －7n ＝n 2－6n .所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋a 5＋…＋a 15＝－2S 3＋S 15＝－2×(－9)＋135＝153. 答案 153 13．数列a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为________． 解析 数列的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910，∴n ＝9，∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0.令x ＝0，得y ＝－9，∴在y 轴上的截距为－9. 答案 －914．在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝________. 解析 ∵3a n ＋1＝S n (n ≥1)，∴3a n ＝S n －1(n ≥2)．两式相减，得3(a n ＋1－a n )＝S n －S n －1＝a n (n ≥2)⇒a n ＋1a n ＝43(n ≥2)⇒n ≥2时，数列{a n }是以43为公比，以a 2为首项的等比数列，∴n ≥2时，a n ＝a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2. 令n ＝1，由3a n ＋1＝S n ，得3a 2＝a 1，又a 1＝1⇒a 2＝13， ∴a n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2(n ≥2)，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝1，13⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2，n ≥2.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝113⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2，n ≥215．(2013·南通模拟)在数列{a n }中，若a 2n －a 2n ＋1＝p (n ≥1，n ∈N *，p 为常数)，则称{a n }为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断： ①若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列； ②{(－1)n }是等方差数列；③若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列． 其中真命题的序号为________(将所有真命题的序号填在横线上)．解析 ①正确，因为a 2n －a 2n ＋1＝p ，所以a 2n ＋1－a 2n ＝－p ，于是数列{a 2n }为等差数列．②正确，因为(－1)2n －(－1)2(n ＋1)＝0为常数，于是数列{(－1)n }为等方差数列．③正确，因为a 2kn －a 2kn ＋k ＝(a 2kn －a 2kn ＋1)＋(a 2kn ＋1－a 2kn ＋2)＋(a 2kn ＋2－a 2kn ＋3)＋…＋(a 2kn ＋k －1－a 2kn ＋k )＝kp ，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列．答案 ①②③。
一轮复习2014届高三数学
个零点 0. 4. [2013·北京卷] “φ＝π”是“曲线 y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )
A．充分而不必要条件
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2014高考数学一轮复习练习4-5选修系列综合测试卷
选修系列4 综合测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t2，y ＝2＋32t(t 为参数)，则其直角坐标方程为( )A.3x ＋y ＋2－3＝0B.3x －y ＋2－3＝0 C ．x －3y ＋2－3＝0 D ．x ＋3y ＋2－3＝0 答案 B解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t2y －2＝32t∴y －2＝3(x －1)，即3x －y ＋2－3＝0.2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，BC ＝10，AC 与BD 交于点O ，过O 点作EF ∥AD ，交AB 于E ，交DC 于F ，则EF ＝( )A.103B.203 C ．10 D ．20 答案 B3．已知函数f (x )＝lg(|x ＋1|＋|x －2|－5)，则函数f (x )的定义域为( ) A ．(－∞，－2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，－3)∪(2，＋∞) C ．(－2,3) D ．(－3,2) 答案 A解析 由题设知：|x ＋1|＋|x －2|>5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2x ＋1＋x －2>5，或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x <2x ＋1－x ＋2>5，或⎩⎨⎧x <1－x －1－x ＋2>5， 解得函数f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．4．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A ．ρcos θ＝2 B ．ρsin θ＝2C ．ρ＝4sin(θ＋π3)D ．ρ＝4sin(θ－π3) 答案 A解析 ρ＝4sin θ的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，ρcos θ＝2的普通方程为x ＝2，圆x 2＋(y －2)2＝4与直线x ＝2显然相切．5．曲线⎩⎨⎧x ＝－2＋5ty ＝1－2t (t 为参数)与坐标轴的交点是( )A ．(0，25)、(12，0)B ．(0，15)、(12，0)C ．(0，－4)、(8,0)D ．(0，59)、(8,0) 答案 B解析 当x ＝0时，t ＝25，而y ＝1－2t ，即y ＝15，得与y 轴的交点为(0，15)；当y ＝0时，t ＝12，而x ＝－2＋5t ，即x ＝12，得与x 轴的交点为(12，0)．6.如图，E ，C 分别是∠A 两边上的点，以CE 为直径的⊙O 交∠A 的两边于点D 、点B ，若∠A ＝45°，则△AEC 与△ADB 的面积比为( )A ．2∶1B ．1∶2 C.2∶1 D.3∶1 答案 A解析 连接BE ，求△AEC 与△ABD 的面积比即求AE 2∶AB 2的值，设AB ＝a ， ∵∠A ＝45°，又∵CE 为⊙O 的直径， ∴∠CBE ＝∠ABE ＝90°， ∴BE ＝AB ＝a ，∴AE ＝2a ， ∴AE 2∶AB 2＝2a 2∶a 2，即AE 2∶AB 2＝2∶1，∴S △AEC ∶S △ABD ＝2∶1.7．直线⎩⎨⎧x ＝1＋2t y ＝2＋t (t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长为( )A.125B.125 5C.95 5D.9510答案 B 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t y ＝2＋t⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5t ×25y ＝1＋5t ×15，把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝2＋t代入x 2＋y 2＝9得(1＋2t )2＋(2＋t )2＝9,5t 2＋8t －4＝0|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(－85)2＋165＝125，弦长为5|t 1－t 2|＝125 5.8．把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 12y ＝t －12B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin t y ＝1sin tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1cos t D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tant y ＝1tan t答案 D解析 xy ＝1，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制． 9.如图，AC 切⊙O 于D ，AO 延长线交⊙O 于B ，BC 切⊙O 于B ，若AD ∶AC ＝1∶2，则AO ∶OB 等于( )A ．2∶1 B ．1∶1 C ．1∶2 D ．2∶1.5 答案A解析 如图所示，连结OD 、OC . ∵AD ∶AC ＝1∶2， ∴D 为AC 的中点． 又∵AC 切⊙O 于点D ， ∴OD ⊥AC .∴OA ＝OC ， ∴△AOD ≌△COD .∴∠1＝∠2，又∵△OBC ≌△ODC ，∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠2＝∠3＝60°，∴OC ＝2OB .∴OA ＝2OB .故选A.10．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝|ad －bc |，则不等式log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 11 x <0的解集为( ) A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(0,1)∪(1,2) 答案 D解析 ∵log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 11 x <0，∴log 2|x －1|<0，∴0<|x －1|<1，∴0<x <1或1<x <2. 11．直线⎩⎨⎧x ＝sin θ＋t sin15°y ＝cos θ－t sin75°(t 为参数，θ是常数)的倾斜角是( )A ．105°B ．75°C ．15°D ．165° 答案 A解析 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin θ＋t sin15°y ＝cos θ－t sin75°⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋t cos75°y ＝cos θ－t sin75°，消去参数t 得，y －cos θ＝－tan75°(x －sin θ)，∴k ＝－tan75°＝tan(180°－75°)＝tan105°，故直线的倾斜角是105°.12．如图，AB 是半圆的直径，点C 、D 在AB 上，且AD 平分∠CAB ，已知AB ＝10，AC ＝6，则AD 等于( )A ．8B ．10C ．210D ．4 5 答案 D解析 如图，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C ＝∠D ＝90°，又∵AC ＝6，AB ＝10，∴BC ＝8，∴cos ∠BAC ＝35，又∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝12∠BAC ，2cos 2∠BAD ＝1＋cos ∠BAC ＝85，∴cos ∠BAD ＝255，又在Rt △ADB 中，AD ＝AB ·cos ∠BAD ＝10×255＝4 5.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝y得到曲线C ′，设曲线C ′上任一点为M (x ，y )，则x ＋23y 的最小值＝________.解 C ：x 2＋y 2＝1 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝y ∴⎩⎨⎧x ＝x ′2y ＝y ′代入C 得∴C ′：x 24＋y 2＝1设椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)则x ＋23y ＝2cos θ＋23sin θ＝4sin(θ＋π6) 则x ＋23y 的最小值为－4.14．(2010·陕西卷，理)不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为________． 答案 {x |x ≥1}解析 令x ＋3＝0得x ＝－3；令x －2＝0得x ＝2.当x ≤－3时，原不等式变为：－x －3＋x －2≥3，解集为Ø.当－3＜x ＜2时，原不等式变为：x ＋3＋x －2≥3，解得x ≥1，∴1≤x ＜2； 当x ≥2时，原不等式变为：x ＋3－x ＋2≥3，解集为R ， ∴x ≥2.综上所述：{x |x ≥1}． 15.如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE ∥AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，PC ＝ED ＝1，P A ＝2.则AC 的长＝________.解析 ∵P A 2＝PC ·PD ，P A ＝2，PC ＝1，∴PD ＝4，又∵PC ＝ED ＝1，∴CE ＝2，∵∠P AC ＝∠CBA ，∠PCA ＝∠CAB ，∴△P AC ～△CBA ，∴PC AC ＝ACAB ， ∴AC 2＝PC ·AB ＝2，∴AC ＝ 2.16．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎨⎧x ＝1＋cos θy ＝－2＋sin θ(θ为参数)没有公共点，则实数m 的取值范围是________．答案 m <0或m >10解析 问题等价于圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝1与直线3x ＋4y ＋m ＝0无公共点，则圆心(1，－2)到直线3x ＋4y ＋m ＝0的距离d ＝|3×1＋4(－2)＋m |32＋42>r ＝1，解得m <0或m >10.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知x 、y 、a 、b ∈R ＋，且a x ＋by ＝1，求x ＋y 的最小值． 解析 ∵x 、y 、a 、b ∈R ＋，a x ＋by ＝1， ∴x ＋y ＝[(x )2＋(y )2]·[(a x )2＋(b y )2]≥(a ＋b )2，当且仅当x ·b y ＝y ·a x ，即：x y ＝ab 时取等号， ∴(x ＋y )min ＝(a ＋b )2. 18．(本小题满分12分)如图，⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于点P ，M 为DC 延长线上一点，MN 为⊙O 的切线，N 为切点，若AP ＝8，PB ＝6，PD ＝4，MC ＝6，求MN 的长．解析 由相交弦定理，P A ·PB ＝PC ·PD ， 即8×6＝PC ·4，得PC ＝12. 又∵MN 为⊙O 切线，∴MN 2＝MC ·MD ＝6×(6＋12＋4)＝132， ∴MN ＝233.19．(本小题满分12分)已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，(t 为参数)，C 2：⎩⎨⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)． (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎨⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t ，(t 为参数)距离的最小值．解析(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：x264＋y29＝1C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝π2时，P(－4,4)、Q(8cosθ，3sinθ)，故M(－2＋4cosθ，2＋32sinθ)C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝55|4cosθ－3sinθ－13|从而当cosθ＝45，sinθ＝－35时，d取得最小值855.20.(本小题满分12分)如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC 的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC.(Ⅰ)求证：FB＝FC；(Ⅱ)求证：FB2＝F A·FD；(Ⅲ)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6cm，求AD的长．解(Ⅰ)∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC.∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC.∵∠EAD＝∠F AB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.(Ⅱ)∵∠F AB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，∴△FBA∽△FDB.∴FBFD＝F AFB，∴FB2＝F A·FD.(Ⅲ)∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠EAC＝120°，∴∠DAC＝12∠EAC＝60°，∠BAC＝60°.∴∠D＝30°.∵BC＝6，∴AC＝2 3.∴AD＝2AC＝43cm.21．(2010·福建理)(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. ①求圆C 的直角坐标方程；②设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |.解析 解法一 ①由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5. ②将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3－22t )2＋(22t )2＝5， 即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. 解法二 ①同解法一．②因为圆C 的圆心为(0，5)，半径r ＝5，直线l 的普通方程为：y ＝－x ＋3＋ 5.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(y －5)2＝5，y ＝－x ＋3＋5得x 2－3x ＋2＝0. 解得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1.y ＝2＋5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)，又点P 的坐标为(3，5)， 故|P A |＋|PB |＝8＋2＝3 2.22．(2010·辽宁卷，理)(本小题满分12分)已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c )2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．解析 证法一 因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，所以(1a ＋1b ＋1b )2≥9(abc )－23.②故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c )2≥3(abc )23＋9(abc )－23又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立． 证法二 因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得 a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ， ①同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac ， ②故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c )2≥ab ＋bc ＋ac ＋31ab ＋31bc ＋31ac ≥6 3. ③ 所以原不等式成立当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．。
交大附中2014版高考数学第一轮复习训练导数及其应用(word版含答案)
上海交通大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练：导数及其应用本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数321(02)3x y x x =-+<<图象上任意点处切线的斜率为k ，则k 的最小值是( ) A ． 1- B ． 0C ． 1D ．12【答案】A 2．曲线12-=x xy 在点（1，1）处的切线方程为( ) A ． 02=--y x B ． 02=-+y x C ． 054=-+y x D ． 054=--y x【答案】B3．曲线()ln f x x x =在点P （1，0）处的切线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是( )A ．22111()()222x y +++=B ．22111()()222x y ++-=C ．22111()()222x y -++=D ．22111()()222x y -+-=【答案】C4．曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0的坐标是( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(-1,-4)或（1,0）D ．(-1,-4) 【答案】B5．设⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=]2,1[2]1,0[)(2x x x x x f ，则⎰2)(dx x f 的值为( )A ．43 B ．54 C ．65 D ．67 【答案】C6．设函数f ′（x ）=x 2+3x －4，则y=f （x+1）的单调递减区间为( )A ．（－4，1）B ．（－5，0）C ．（3,2-+∞）D ．（5,2-+∞）【答案】B7．在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量∆x( )A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不等于零【答案】D8．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为( ) A ．（1-，1） B ．（1-，+∞） C ．（∞-，1-） D ．（∞-，+∞）【答案】B9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又知(ln )'ln 1x x x =+，且101ln eS xdx =⎰，2017S =，则30S 为 ( )A ．33B ．46C ．48D ．50【答案】C 10．曲线3()2f x x x在0p 处的切线平行于直线41yx ，则0p 点的坐标为( ) A ．( 1 , 0 )B ．( 2 , 8 )C ．( 1 , 0 )或(－1, －4)D ．( 2 , 8 )和或(－1, －4)【答案】C11．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为( ) A ．4B ．14-C ．2D ．12-【答案】A12．曲线211y x =+在点P （1，12）处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．-9 B ．-3C ．9D ．15【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则n a =____________【答案】5)21(-n14．函数32x x y -=的单调增区间为 .【答案】2(0,)315．曲线y=3x 2与x 轴及直线x ＝1所围成的图形的面积为 ． 【答案】1 16．xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000= 。
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【答案】解法一：根据题意知，只有点 C 在线段 AD 上某一适当位置，才能使总运费最省， 设 C 点距 D 点 x km, 则 ∵BD=40,AC=50－ x ,∴BC= BD2 CD2 x2 402
又设总的水管费用为 y 元，依题意有： y =3 a (50－x)+5 a x 2 402 (0 x 50)
【答案】1
16． lim f (x0 x) f (x0 ) =
x0
【答案】 f (x0 )
x
三、解答题 (本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2014高考数学一轮复习训练数列的综合应用.
第5讲数列的综合应用阶梯训练能力提升04浴限时规范训练A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 •已知｛a n｝为等比数列•下面结论中正确的是().2 2 2A. a i + a3> 2a2B. a i+ a2> 2a2C.若a i = a3,贝U a i = a2 D .若a3>a i，贝U a4>a2解析设公比为q,对于选项A，当a i<0, q M 1时不正确；选项C,当q=—2 1时不正确；选项D，当a i = 1, q= —2时不正确；选项B正确，因为a i +2 2a2> 2a i a3= 2a2.答案B2. 满足a i= 1, log2a n+1= log2a n+ 1(n€ N ),它的前n 项和为S n，则满足S n>1 025的最小n值是().A . 9 B. 10 C. 11 D. 12解析因为a i= 1, log2a n+ i = log2a n+ 1(n® )，所以a n +1 = 2a n, a n = 2 -,S n= 2n- 1,则满足S n>1 025的最小n值是11.答案C3. (2013威海期中)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批1同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)=2n(n+1)(2n+ 1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是().A . 5年B . 6年C. 7年 D . 8年解析由已知可得第n年的产量a n = f(n)-f(n—1) = 3n2当n= 1时也适合，据题意令a n> 150? n》5.2,即数列从第8项开始超过150,即这条生产线最多生产7年.答案C4. (2013福州模拟)在等差数列｛a n｝中，满足3a4= 7a?,且a i>0, S n是数列｛a n｝前n项的和，若S n取得最大值，则n= ( ).A . 7B . 8 C. 9 D . 10解析设公差为d,由题设3(a1 + 3d) = 7(a1 + 6d),4所以d= —33a1<0.(±解不等式a n>0,即a1 + (n—1) —33a1 >0,37所以*4，则n W 9,当n W 9时，a n>0，同理可得n》10时，a n<0.故当n = 9时，Sn取得最大值.答案C二、填空题(每小题5分，共10分)5. (2012赣州模拟)设关于x的不等式x2—x v2nx(n€ N )的解集中整数的个数为a n,数列｛a n｝的前n项和为S，则S100的值为_________ .解析由x2—x v2nx(n €N ),得0v x v2n+1,因此知a n= 2n.100 2+ 200.S00= 2 = 10 100.答案10 1006. (2013南通模拟)已知a, b, c成等比数列，如果a, x, b和b, y, c都成等a c差数列，贝U x + y= _____ .a+ b b+c 解析赋值法.如令a, b, c分别为2,4,8，可求出x= 2 = 3, y= 2 = 6,x + y= 2.答案2三、解答题(共25分)7. (12分)已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n, S5= 35, a5和a z的等差中项为13.⑴求a n及S n；4⑵令b n = (n € N )，求数列｛b n｝的前n项和T n.解(1)设等差数列｛a n｝的公差为d,因为85= 5a3= 35, a5 + a z = 26,：a i + 2d = 7,所以2ai+ 10d= 26,解得ai= 3, d=2,所以a n= 3 + 2(n—1) = 2n + 1,n n-h 2S n= 3n+ 2 x 2= n + 2n.(2)由(1)知a n= 2n + 1,4 1 1 1所以b n= a2- 1= n n+ 1 = n-n+ 1,=1 —n+ 1 = n+ 1.8. (13分)(2012广东)设数列｛a n｝的前n项和为S,满足2S n = a n+1 —2n+1+ 1, n € N*，且a1, a2 + 5, a3成等差数列.(1) 求a1的值；(2) 求数列｛a n｝的通项公式；丄丄1 3 ⑶证明：对一切正整数n,有a1 + a?+…+a n<2.(1)解当n= 1 时，2a1 = a2 —4+ 1 = a2 —3,当n= 2 时，2(a1+ a2)= a3 —8+ 1 = a3 —7, 又a1, a2 + 5, a3成等差数列，所以◎ + a3= 2(a2 + 5),由①②③解得a 1= 1. ⑵解 T 2S n = a n + i - 2^ i + 1 ,当 n 》2 时，有 2S n -1 — a n — 2 + 1,a n +1 3 a n两式相减整理得a n +1 — 3a n — 2n ,则于 —2尹一1, a n +13 a na 1即+ 2— 2 尹 + 2 .又尹+ 2— 3,知即 a n — 3n — 2n , n — 1 时也适合此式，二 a n — 3n — 2n .丄 _J_⑶证明由（2）得a n —3^^.丄丄 111 1 11 3•-a 1+ 82+-+ a n <1 + 2 2+ 2 3+-+ 2 n — 1+ 2 1 —2n —1<2. B 级 能力突破（时间：30分钟 满分：45分）一、选择题(每小题5分，共10分)1. (2012济南质检)设y —f(x)是一次函数，若f(0)— 1, 且 f(1), f(4), f(13)成等比 数列，贝U f(2) + f(4) + …+ f(2n)等于 ( ).A . n(2n + 3)B . n(n + 4)C . 2n(2n + 3)D . 2n(n + 4)解析 由题意可设f(x) — kx + 1(k M 0),2则(4k + 1) — (k + 1) x (13k + 1),解得 k — 2,2f(2) + f(4)+…+ f(2n) — (2x 2+ 1)+ (2x 4+ 1)+…+ (2x 2n + 1) — 2n 2+ 3n.+ 2是首项为3,公比为2的等比数列, 当n 》2时, 即 3n—2n >2n答案A—2.n2. (20i2四川)设函数f(x)= 2x — cos x , {a n }是公差为8的等差数列，f(a i ) + f@) 2+ •••+ f(a 5) = 5n,则[f(a 3)] — a i a 5 =1 i c2 2B.16nC.8 n0,则必有 a 3—2=0,即 a 3=2(否则若 a 3 — 2>0,则有 a 1—~2 + a 5—2 = a 2—~2n2 2—cos2= n, [f(a 3)] — a i a 5= 16冗，选 D. 答案 D、填空题(每小题5分，共10分) 3. 设曲线y = x n +1( n € N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,令a n =lg X n ,贝u a i + a 2 + a a +-+ a 99的值为 ____________ .解析 由y ' = (n + 1)x (x O N )，所以在点(1,1)处的切线斜率k = n +1,故切线 n方程为 y = (n + 1)(x —1)+ 1,令 y = 0 得 x n = n +1，所以 a i + a 2 + a 3+ • + a 99 1 2 99 1 =lg x i + lg x 2 +••• + lg X 99 = lg(x i •…x 99) = lg2X 3X — X 99*〔 = lg 99*〔=D.^f n 2解析 设g(x) = 2x + sin X,由已知等式得g a i —g a 2—+ ga 5—n =+ a 4 — n = 2 a 3— n >0,注意到g(x)是递增的奇函数，ga3 — 2 >0，g a i —a 5—-ga 5—n,ga i —0,同理 g a 2— 2 + g a 4—~2…+ ga 5—n >0,这与 “g+ g (5-訂=o ”相矛盾，因此a 3 —2>0不可能；同理a 3 — 2< 0也不可能);n 又｛a n ｝是公差为8的等差数列, n n a i + 2X 8= 2, 3 n na i = 4, a 5= 4 , f(a 3) = f 2 = n13>0, g^a i — n )+ g冗ga 2 —n + …答案—2—2.4. (2012江西九校联考)数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若数列｛a n ｝的各项按如下规 律排列：1121231234 1 2 n -1斤2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5，…，n , n ，…， n ，…，有如下运算和结论： 3① a 24= 8；② 数列 a 1, a 2 + a 3, d+ a s + a 6, a ? + a s + a ? + a® …是等比数列；n 2+ n③ 数列 a 1, a 2 + a 3, a 4 + a 5 + a 6, a 7 + a s + a 9 + a 10,…的前 n 项和为 T n = 4 ;5④ 若存在正整数k ,使S k <10, S k +1> 10,则a k = 7.其中正确的结论有 _________.(将你认为正确的结论序号都填上)解析 依题意，将数列｛a n ｝中的项依次按分母相同的项分成一组，第n 组中的 数的规律是：第n 组中的数共有n 个，并且每个数的分母均是n +1,分子由1+ 2 + 3+…+ n n1依次增大到n ,第n 组中的各数和等于n +1 = 2.6(6+ 1) 7(7+ 1)对于①，注意到21 = —2 — <24<—厂 =28,因此数列｛a n ｝中的第24项应 3是第7组中的第3个数，即a 24= 8,因此①正确.对于②、③，设b n 为②、③中的数列的通项，贝U b n =21 n n + 1 n + n 等于2X2 = 4 ，因此②不正确，③正确.62 + 6 1对于④，注意到数列的前 6组的所有项的和等于~~T = 102,因此满足条件 55的a k 应是第6组中的第5个数，即a k = 7,因此④正确.n + 1显然该数列是等差数列, 而不是等比数列，其前n 项和综上所述，其中正确的结论有①③④•答案①③④三、解答题(共25分)5. (12分)已知各项均不相等的等差数列｛a n｝的前四项和为14，且a i，a3，a7恰为等比数列｛b n｝的前三项.(1) 分别求数列｛a n｝，｛b n｝的前n项和S n，T n ；S n T n *(2) 记数列｛ a n b n｝的前n项和为K n，设C n= K n，求证：C n+ 1>C n( n€ N )."4a i + 6d= 14，(1) 解设公差为d，则爲+ 2df = a1(a1 + 6d),解得d=1或d= 0(舍去)，內=2，n(n+ 3)所以a n= n+ 1，S n= 2 .又印=2, d= 1,所以a3= 4,即 4.b2所以数列｛b n｝的首项为b1 = 2,公比q = b1二2，所以b n= 2n, T n= 2n+1-2.(2) 证明因为K n = 2 21+ 3 26+…+ (n+ 1) 2n, ①故2K n = 2 22+ 3 27+-+ n 2n+ (n+ 1) 2n+1, ②①一②得一K n = 2 21+ 22+ 23+-+ 2n-(n+ 1) 2n+1,“SnTn (n+ 3(2n— 1 )二K n = n 2n+，则C n= K n= 2n+1.6n+ J n+ 2=—2^ — >0,所以C n+ 1>C n(n € N ).6. (13分)(2012重庆)设数列｛a n｝的前n项和S满足S+1= a2& + a1,其中a2工0.(1)求证：｛a n｝是首项为1的等比数列；n⑵若a2>—1,求证：Sn<2(a1+ a n),并给出等号成立的充要条件.n + 4 2n+1—1 n + 3 2n- 1C n+1 —C n= 2n+ 2—2n+1证明(1)由◎= a2$ + a i,得a i + a2 = a2a i + a i, 即a2 = a2a i.a2因a2工0,故a i = i,得a i= a2,又由题设条件知Si+2= a2S n +1 + a i, S n+ i= a2S n + a i,两式相减得S n+ 2—S n + i = a2(S n + i - S n),a n+2 即a n+2 = a2a n+1,由a2工0,知a n+10,因此a n+i = a2.a n+1综上，石=a2对所有n€N*成立•从而｛a n｝是首项为1,公比为a2的等比数列.n⑵当n= 1或2时，显然S n= 2(a i + a n)，等号成立.设n》3, a2>— 1 且a2工0,由(1)知，a i = 1, a n= a2—1,所以要证的不等式化为：n1 + a2 + a2+…+ a2—i< 2(1 + a2—i)( n》3),n+ 1即证：1 + a2 + a2+…+ a2< (1 + £)( n》2),当a2= 1时，上面不等式的等号成立.当一i v a2< 1 时，a2— 1 与a2—r—1, (r = 1,2,…，n—1)同为负；当a2> 1 时，a2— 1 与a2—r—1, (r = 1,2,…，n—1)同为正；因此当a2>—1 且a2工1 时，总有(a2—1)(a2—r—1)>0,即a2 + a2—r< 1 + a2, (r =1,2,…，n —1).上面不等式对r从1到n—1求和得2(a2+ a2+…+ a2—1)< (n—1)(1 + a2).n +1由此得 1 + a2 + a2+・・・+ a2< 2 (1 + a2).n综上，当a2 >—1且a2工0时，有S n W 2(a i + a n)，当且仅当n = 1,2或a2= 1时等号成立.1 n。
2014届高考理科数学第一轮复习测试题7
(时间：40分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．(2011·广东广雅中学5月模拟)如图所示，PB ，PD 是半径为5的圆的两条割线，PB ，PD 分别与圆交于点A 、C ，已知P A ＝4，AB ＝2，PC ＝3，则该圆圆心到弦CD 的距离为________．解析 由题意得，P A ·PB ＝PC ·PD ，即4×(4＋2)＝3×(3＋CD )，解得CD ＝5，∴该圆圆心到弦CD 的距离为52－⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝532.答案5322．如图所示，A ，B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D ，E 分别是CA ，CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，则AB ＝________.解析 设BC ＝AD ＝x ，由割线定理，得CA ·CD ＝CB ·CE ，即4(4＋x )＝x (x ＋10)，解得x ＝2，因为AC 是小圆的直径，所以AB ＝AC 2－BC 2＝2 3. 答案 2 33．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝72°，⊙O 过A 、B 两点且与BC 相切于点B ，与AC 交于点D ，连接BD ，若BC ＝5－1，则AC ＝________.解析 由题易知，∠C ＝∠ABC ＝72°， ∠A ＝∠DBC ＝36°，所以△BCD ∽△ACB ，又易知BD ＝AD ＝BC ，所以BC 2＝CD ·AC ＝(AC －BC )·AC ，解得AC ＝2. 答案 24．如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm,4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于D ，则BDDA ＝________.解析 ∵∠C ＝90°，AC 为圆的直径， ∴BC 为圆的切线，AB 为圆的割线，∴BC 2＝BD ·AB ，即16＝BD ·5，解得BD ＝165， ∴DA ＝BA －BD ＝5－165＝95，∴BD DA ＝169. 答案 1695．如图所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，则点A 到直线l 的距离AD 为________．解析 过A 作AD ⊥l 于D ，由AB 是圆O 直径，∴∠ACB ＝90°， 由l 是圆的切线，∴∠ABC ＝∠ACD ，∴△ADC ∽△ACB ，∴AD AC ＝AC AB ，∴AD ＝AC 2AB ＝AB 2－BC 2AB ＝92.答案926．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若PBP A ＝12，PC PD ＝13，则BCAD 的值为________．解析 ∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠P AD ，∴△PCB ∽△P AD ，∴PB PD ＝PC P A ＝BCDA ， ∵PB P A ＝12，PC PD ＝13，∴BC AD ＝66. 答案 667．如图所示，已知AB 是圆O 的直径，AD ＝DE ，AB ＝10，BD ＝8，则sin ∠BCE ＝________.解析 连接BE ，则在△ABD 和△BCE 中，∠ADB ＝∠BEC ＝90°， 且∠ABD ＝∠CBE ，所以∠DAB ＝∠ECB ， 故sin ∠BCE ＝sin ∠DAB ＝BD AB ＝45. 答案 458．如图，⊙O 与⊙P 相交于A 、B 两点，圆心P 在⊙O 上，⊙O 的弦BC 切⊙P 于点B ，CP 及其延长线交⊙P 于D 、E 两点，过点E 作EF ⊥CE ，交CB 的延长线于点F .若CD ＝2，CB ＝22，则由四点B 、P 、E 、F 所确定圆的直径为________．解析 连接PB .∵BC 切⊙P 于点B ，∴PB ⊥BC .又∵EF ⊥CE ，且∠PCB ＝∠FCE ，∴Rt △CBP ∽Rt △CEF ，∴∠EPB ＋∠EFB ＝180°，∴四点B ，P ，E ，F 共圆，又∵EF ⊥CE ，PB ⊥BC ，∴四点B 、P 、E 、F 所确定圆的直径就是PF .∵BC 切⊙P 于点B ，且CD ＝2，CB ＝22，∴由切割线定理得CB 2＝CD ·CE ，∴CE ＝4，DE ＝2，∴BP ＝1.又∵Rt △CBP ∽Rt △CEF ，∴EF BP ＝CECB ，得EF ＝ 2.连接PF ，则在Rt △FEP 中，PF ＝PE 2＋EF 2＝3，即由四点B ，P ，E ，F 确定圆的直径为 3. 答案3二、解答题(共20分)9．(10分)如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°.以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点．连结OD 交圆O 于点M .(1)求证：O 、B 、D 、E 四点共圆； (2)求证：2DE 2＝DM ·AC ＋DM ·AB . 证明 (1)如图，连结OE 、BE ， 则BE ⊥EC又∵D 是BC 的中点， ∴DE ＝BD .又∵OE ＝OB ，OD ＝OD ，∴△ODE ≌△ODB ， ∴∠OBD ＝∠OED ＝90°. ∴D ，E ，O ，B 四点共圆． (2)延长DO 交圆O 于点H . 由(1)知DE 为圆O 的切线，∴DE 2＝DM ·DH ＝DM ·(DO ＋OH )＝DM ·DO ＋DM ·OH ， ∴DE 2＝DM ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC ＋DM ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ， ∴2DE 2＝DM ·AC ＋DM ·AB .10．(10分)(2011·银川模拟)如图，点A 是以线段BC 为直径的⊙O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，点G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F ，连接并延长AF 与CB 的延长线相交于点P .(1)求证：BF＝EF；(2)求证：P A是⊙O的切线．证明(1)∵BE是⊙O的切线，∴EB⊥BC.又∵AD⊥BC，∴AD∥BE.可以得知△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，∴BFDG＝CFCG，EFAG＝CFCG，∴BFDG＝EFAG，又∵G是AD的中点，∴DG＝AG，∴BF＝EF.(2)如图，连接AO，AB.∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.在Rt△BAE中，由(1)得知F是斜边BE的中点，∴AF＝FB＝EF.∴∠FBA＝∠F AB.又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO.∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO＝90°.∴∠EBO＝∠FBA＋∠ABO＝∠F AB＋∠BAO＝∠F AO＝90°，∴P A是⊙O的切线．。
2014届高考数学文一轮复习方案人教A版课程标准卷：滚动基础训练卷63页15套附详细解析
2014届高考数学文一轮复习方案人教A版课程标准卷：滚动基础训练卷63页15套附详细解析45分钟滚动基础训练卷(一) (考查范围：第1讲～第3讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2013·惠州调研] 集合M＝{4，5，－3m}，N＝{－9，3}，若M∩N≠∅，则实数m的值为()A．3或－1 B．3C．3或－3 D．－12．[2013·哈尔滨三中月考] 已知集合A＝{3，a2}，集合B＝{0，b，1－a}，且A∩B＝{1}，则A∪B＝()A．{0，1，3}B．{1，2，4}C．{0，1，2，3}D．{0，1，2，3，4}3．[2012·开封二模] 下列命题中的真命题是()A．∃x0∈R，使得sin x0＋cos x0＝3 2B．∀x∈(0，＋∞)，e x>x＋1C ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0D ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x4．[2012·东北四校一模] 集合⎩⎪⎨⎪⎧x ∈N *⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫12x ∈Z 中含有的元素个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．125．[2012·银川一中一模] 有下列命题： ①设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，则“a ∈M ”是“a ∈N ”的充分不必要条件；②命题“若a ∈M ，则b ∉M ”的逆否命题是：“若b ∈M ，则a ∉M ”；③若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题； ④命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定綈p ：“∀x ∈R ，x 2－x －1≤0”．则上述命题中为真命题的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．②④D ．②③④6．[2012·河北名校俱乐部模拟] “k ＝1”是“函数y ＝sin 2kx －cos 2kx ＋1的最小正周期为π”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．[2012·鹰潭一模] 关于x 的不等式ax 2－2x＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是()A．a<1 B．a≤1C．0<a<1 D．a<08．[2012·豫南九校四联] 在下列四个命题中，其中为真命题的是()A．命题“若x2＝4，则x＝2或x＝－2”的逆否命题是“若x≠2或x≠－2，则x2≠4”B．若命题p：所有幂函数的图象不过第四象限，命题q：所有抛物线的离心率为1，则命题p 且q为真C．若命题p：∀x∈R，x2－2x＋3>0，则綈p：∃x0∈R，x20－2x0＋3<0D．若a>b，则a n>b n(n∈N*)二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是________．10．设全集U＝R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|x2＋3≤4x}，则图中阴影部分所表示的集合是________．图G1－111．[2012·泉州四校二联] 下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分不必要条件的有________个．①若x ∈E 或x ∈F ，则x ∈E ∪F ；②若关于x 的不等式ax 2－2ax ＋a ＋3>0的解集为R ，则a >0； ③若2x 是有理数，则x 是无理数．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．[2012·荆州中学月考] 已知集合A ＝x ∈R ⎪⎪⎪3x ＋1≥1，集合B ＝{x ∈R |y ＝－x 2＋x －m ＋m 2}．若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．13．命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的正实数根，命题q ：方程4x 2＋4(m ＋2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围．14．已知集合A＝{x∈R|log2(6x＋12)≥log2(x2＋3x＋2)}，B＝{x|2x2－3<4x，x∈R}．求A∩(∁R B)．45分钟滚动基础训练卷(二) (考查范围：第4讲～第7讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2012·吉林质检] 下列函数中，在区间(0，1)上为增函数的是()A．y＝log 12x B．y＝1xC．y＝sinx D．y＝x2－x2．函数y＝x＋1－x－1的最大值为()A．2 2 B. 2 C．1 D．43．[2012·吉林一中二模] 已知定义在R上的函数f(x)关于直线x＝1对称，若f(x)＝x(1－x)(x≥1)，则f(－2)＝()A．0 B．－2 C．－6 D．－124．[2012·银川一中月考] 已知定义域为R的函数f(x)在区间(4，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f(x＋4)为偶函数，则()A．f(2)>f(3) B．f(2)>f(5)C ．f (3)>f (5)D ．f (3)>f (6)5．函数y ＝2x －5x －3的值域是{y |y ≤0或y ≥4}，则此函数的定义域为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫52<x ≤72 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫52≤x ≤72 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ≤52或x ≥72 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫52≤x <3或3<x ≤72 6．[2012·昆明二模] 已知函数f (x )＝x 2－|x |，则{x |f (x －1)>0}等于( )A ．{x |x >1或x <－1}B ．{x |x >0或x <－2}C ．{x |x >2或x <0}D ．{x |x >2或x <－2}7．[2012·武昌调研] 函数y ＝f (x )的图象如图G2－1 图G2－1①函数y ＝f (x )的定义域是[－1，5]；②函数y ＝f (x )的值域是(－∞，0]∪[2，4]； ③函数y ＝f (x )在定义域内是增函数； ④函数y ＝f (x )在定义域内的导数f ′(x )>0. 其中正确的是( )A．①②B．①③C．②③D．②④8．[2012·信阳二调] 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则()A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·哈尔滨三中月考] 函数f(x)＝tan x－1＋1－x2的定义域为________．10．已知函数f(x)为R上的偶函数，当x>0时，f(x)＝1x，设a＝f⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，b＝f⎝⎛⎭⎪⎪⎫log212，c＝f(32)，则a，b，c的大小关系为________．11．[2013·保定摸底] 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时f(x)＝e x＋a，若f(x)在R 上是单调函数，则实数a的最小值是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，满足不等式f(x)>－2x的解集为(1，3)，且方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式．13．[2013·珠海模拟] 对于函数f(x)＝a－2(a∈R，b>0且b≠1)．b x＋1(1)判断函数f(x)的单调性并证明；(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？并说明理由．14．已知函数f(x)＝ax2－2x＋1.(1)试讨论函数f(x)的单调性；(2)若13≤a≤1，且f(x)在[1，3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)，求g(a)的表达式．45分钟滚动基础训练卷(三)(考查范围：第4讲～第12讲，以第8讲～第12讲内容为主 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝3x ＋12x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)2．log 318＋log 132＝( )A ．1B ．2C ．4D ．53．[2012·天津卷] 已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a4．[2012·正定中学月考] 函数f(x)＝log a |x|＋1(0<a<1)的图象大致为()图G3－15．某商店按每件80元的成本购进某种商品，根据市场预测，销售价为每件100元时可售出1 000件，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件() A．100元B．110元C．150元D．190元6．有以下程序，若函数g(x)＝f(x)－m在R 上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是()IF x<＝－1THENf(x)＝x＋2ELSEIF x>－1AND x<＝1THENf(x)＝x∧2ELSE f(x)＝－x＋2END IFEND IFPRINT f(x)A．m>1 B．0<m<1C．m<0或m＝1 D．m<07．[2012·哈尔滨师大附中期中] 函数y＝log a(2－ax)在[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是()A．(0，1) B．(1，2)C．(1，2] D．[2，＋∞)8．[2012·山东卷] 设函数f(x)＝1x，g(x)＝－x2＋bx.若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是()A．x1＋x2>0，y1＋y2>0B．x1＋x2>0，y1＋y2<0C．x1＋x2<0，y1＋y2>0D．x1＋x2<0，y1＋y2<0二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·江苏卷] 函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________．10．[2012·银川一中月考] 函数f(x)在R上是奇函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)＝2x(x－1)，则f(x)＝__________________．11．已知函数f(x)＝4cosπx（4x2＋4x＋5）（4x2－4x＋5），对于下列命题：①函数f(x)不是周期函数；②函数f(x)是偶函数；③对任意x∈R，f(x)满足|f(x)|<14.其中真命题是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知关于x 的二次函数f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t .(1)求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；(2)若12<t <34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12内各有一个实数根．13．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a >0且a ≠1)．(1)求f (log 2x )的最小值及相应x 的值；(2)若f (log 2x )>f (1)且log 2f (x )<f (1)，求x 的取值范围．14．[2012·上海闵行区三模] 某药厂在动物体内进行新药试验，已知每投放剂量为m 的药剂后，经过x h 该药剂在动物体内释放的浓度y (mg/L)满足函数y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧－12x 2＋2x ＋5（0<x ≤4），－x －lg x ＋10（x >4）.当药剂在动物体内中释放的浓度不低于4(mg/L)时，称为该药剂达到有效．(1)若m ＝2，试问该药达到有效时，一共可持续多长时间(取整数小时)?(2)为了使在8 h 之内(从投放药剂算起包括8 h)达到有效，求应该投放的药剂量m 的最小值(取整数)．45分钟滚动基础训练卷(四) (考查范围：第4讲～第15讲，以第13讲～第15讲内容为主分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为()A. 2 B．1C．－1 D．02．曲线y＝x3－2x＋1在点(1，0)处的切线方程为()A．y＝x－1 B．y＝－x＋1C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋23．[2012·哈尔滨附中月考] 若函数f(x)的定义域为[a，b]，且b>－a>0，则函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为()A．[a，b] B．[－b，－a]C．[－b，b] D．[a，－a]4．[2012·银川一中月考] 过点(0，1)且与曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线垂直的直线的方程为( )A ．2x －y ＋1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．x －2y ＋2＝05．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，g(x)＝x 2f(x －1)，则函数g(x)的递减区间是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)6．[2012·乌鲁木齐押题卷] 设f(x)为可导函数，且满足 f （1）－f （1－2x ）2x＝－1，则过曲线y ＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－27．设f(x)＝x(ax 2＋bx ＋c)(a≠0)在x ＝1和x ＝－1处有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )A ．(a ，b)B ．(a ，c)C ．(b ，c)D ．(a ＋b ，c)8．[2012·山西四校联考] 设曲线y ＝x n ＋1(n∈N *)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点横坐标为x n，则log2 012x1＋log2 012x2＋…＋log2 012x2011的值为()A．－log2 0122 011 B．－1C．－1＋log2 0122 011 D．1二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·福州质检] 函数f(x)＝x3＋ax(x∈R)在x＝1处有极值，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程是________．10．[2012·课程标准卷] 曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1，1)处的切线方程为________．11．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．[2012·双鸭山一中期中] 某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)为50＜x≤80时，每天售出的件数为P＝105，若要使每天获得的利润最多，销售（x－40）2价格每件应定为多少元？13．已知函数f(x)＝e x(ax2＋x＋1)．(1)设a>0，讨论f(x)的单调性；(2)设a＝－1，证明：对∀x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|<2.14．已知函数f(x)＝e x＋1x－a.(1)当a＝12时，求函数f(x)在x＝0处的切线方程；(2)当a>1时，判断方程f(x)＝0实根的个数．45分钟滚动基础训练卷(五)(考查范围：第16讲～第19讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．cos －20π3的值等于( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－322．[2012·昆明一中一模] 设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．－433．[2012·济南三模] 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f (x )＝sin x cos x ；②f (x )＝2sin x ＋π4；③f (x )＝sin x ＋3cos x ；④f (x )＝2sin2x ＋1.其中“同簇函数”的是( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④4．将函数f (x )＝2cos2x 的图象向右平移π4个单位，再向下平移2个单位，则平移后得到图象的解析式是( )A ．y ＝2sin2x －2B ．y ＝2cos2x －2C ．y ＝2cos2x ＋2D ．y ＝2sin2x ＋25．[2012·吉林模拟] 为了得到函数y ＝3sin x cos x ＋12cos2x 的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移π12个长度单位 B ．向右平移π12个长度单位 C ．向左平移π6个长度单位 D ．向右平移π6个长度单位 6．函数f (x )＝|sin πx －cos πx |对任意的x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 2－x 1|的最小值为( )A.34B ．1C ．2 D.127．[2012·商丘三模] 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)的最小正周期为4π，则对该函数的图象与性质判断错误的是( )A ．关于点－π3，0对称 B ．在0，2π3上递增 C ．关于直线x ＝5π3对称 D ．在－4π3，0上递增 8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2，x ∈R 的部分图象如图G5－1，则( )图G5－1A ．f (x )＝－4sin π8x ＋π4B ．f (x )＝4sin π8x －π4C ．f (x )＝－4sin π8x －π4D ．f (x )＝4sin π8x ＋π4二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·沈阳二模] 已知tan α＝2，则sin （π＋α）－sin π2＋αcos 3π2＋α＋cos （π－α）的值为________． 10．若g (x )＝2sin2x ＋π6＋a 在0，π3上的最大值与最小值之和为7，则a ＝________．11．电流强度I (A)随时间t (s)变化的函数I＝A sin ωt ＋π6(A >0，ω≠0)的部分图象如图G5－2所示，则当t ＝150s 时，电流强度是________A.图G5－2 三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知函数f(x)＝3sin2x－2sin2x.(1)若点P(1，－3)在角α的终边上，求f(α)的值；(2)若x∈－π6，π3，求f(x)的值域．13．[2012·沈阳四校联考] 已知函数f(x)＝2cos x·cos x－π6－3sin2x＋sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)把f(x)的图象向右平移m个单位后，在0，π2上是增函数，当|m|最小时，求m的值．14．已知函数f (x )＝2sin 2π4－x －23cos 2x ＋3.(1)求f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)若f (x )<m ＋2在x ∈0，π6上恒成立，求实数m 的取值范围．45分钟滚动基础训练卷(六)(考查范围：第16讲～第23讲，以第20讲～第23讲内容为主 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2013·河北五校联盟调研] 已知sin(α＋45°)＝45，45°<α<135°，则sin α＝( ) A.25 B ．－25C.7210 D ．－72102．在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.5π63．[2012·银川一中月考] 已知△ABC 的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为32，则这个三角形的周长是( ) A ．18 B ．21 C ．24 D ．154．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332C.3＋62D.3＋3945．[2012·汕头测评] 已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B 等于( )A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°6．[2012·江西师大附中模拟] 下列函数中，周期为π，且在0，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π27．为了得到函数y ＝sin2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos x 3的图象( )A ．横坐标缩短为原来的16(纵坐标保持不变)，再向右平移π3个单位 B ．横坐标缩短为原来的16(纵坐标保持不变)，再向右平移2π3个单位 C ．横坐标伸长为原来的6倍(纵坐标保持不变)，再向左平移2π个单位D ．横坐标伸长为原来的6倍(纵坐标保持不变)，再向左平移2π3个单位 8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＋sin B sin C ＝0，则tan A 的值是( ) A.33 B ．－33C. 3 D ．－ 3 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．已知tan α＝2，计算1cos2α＋tan2α的值为________．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．11．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且满足b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的值；(2)若cos A 2＝255，求sin C 的值．13．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，C ＝π3，c ＝2，求△ABC 的面积．14．在锐角△ABC 中，A ，B ，C 三内角所对的边分别为a ，b ，c .设m ＝(cos A ，sin A )，n ＝(cos A ，－sin A )，a ＝7，且m·n ＝－12. (1)b ＝3，求△ABC 的面积；(2)求b ＋c 的最大值．45分钟滚动基础训练卷(七) (考查范围：第24讲～第27讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量a＝(1，2)，b＝(0，1)，设u＝a ＋k b，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值是()A．－72B．－12C．－43D．－832．已知向量a＝(n，4)，b＝(n，－1)，则n ＝2是a⊥b的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．已知e1，e2是两夹角为120°的单位向量，a＝3e1＋2e2，则|a|等于()A．4 B.114．已知非零向量a ，b ，若a ＋2b 与a －2b互相垂直，则|a ||b |等于( ) A.14B ．4 C.12D ．2 5．已知向量OA→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC→＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－16．已知圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使AB→＝3AD →，E ，F 为另一直径的两个端点，则DE→·DF →＝( ) A ．－3 B ．－4 C ．－8 D ．－67．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，4)，若|b|＝2|a |，则x 的值为( )A ．2B ．4C ．±2D ．±48．已知菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM→·AN →的最大值为( ) A ．3 B ．2 3二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的中点，且BC→＝a ，CA →＝b ，下列结论中正确的是________．①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ； ③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0. 10．若|a |＝2，|b |＝4，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角是________．11．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________． 三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)．(1)试计算a·b 及|a ＋b |的值．(2)求向量a 与b 的夹角的正弦值．13．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，x＝a＋(t2＋1)b，y＝－k a＋1t b，m∈R，k，t为正实数．(1)若a∥b，求m的值；(2)若a⊥b，求m的值；(3)当m＝1时，若x⊥y，求k的最小值．14．[2012·沈阳二模] 已知向量m＝sin2x＋1＋cos2x2，sin x，n＝12cos2x－32sin2x，2sin x，设函数f(x)＝m·n，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若x∈0，π2，求函数f(x)的值域．45分钟滚动基础训练卷(八) (考查范围：第28讲～第30讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n}共有10项，公差为2，奇数项的和为80，则偶数项的和为()A．90 B．95C．98 D．1002．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝32，则a 7＝( )A ．9B ．1C ．2D ．33．已知数列{a n }是等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝2π，则cos(a 2＋a 8)＝( )A ．－12B ．－32 C.12 D.324．[2012·黄冈中学二联] 已知{a n }是等比数列，a 2＝4，a 5＝32，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．8(2n －1) B.83(4n －1) C.163(2n －1) D.23(4n －1)5．[2012·唐山三模] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 7＝21，S 11＝121，则该数列的公差d ＝( )A ．5B ．4C ．3D ．26．[2012·衡阳八中月考] 已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3＝5，a 4a 5a 6＝52，则a 7a 8a 9＝( )A ．10B ．2 2C ．8 D.27．[2012·合肥一中质检] 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3B.S 5S 3C.a n ＋1a nD.S n ＋1S n8．[2012·珠海一中模拟] 设正项等比数列{a n }，若等差数列{lga n }的公差d ＝lg3，且{lga n }的前三项和为6lg3，则{a n }的通项为( )A ．a n ＝nlg3B ．a n ＝3nC ．a n ＝3nD ．a n ＝3n －1二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 50＝________．10．等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若S 2∶S 5＝1∶4，则a 5∶a 9＝________．11．[2012·包头一模] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n ＋1＝|a n －a n －1|(n ≥2)，则该数列前2 013项和等于________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知数列{a n }是首项a 1＝4，公比q≠1的等比数列，S n 是其前n 项和，且4a 1，a 5，－2a3成等差数列．(1)求公比q的值；(2)求T n＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值．13．[2012·河北名校俱乐部模拟] 已知等差数列{a n}满足a4＝6，a6＝10.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设公比大于1的等比数列{b n}的各项均为正数，其前n项和为T n，若a3＝b2＋2，T3＝7，求T n.14．[2012·长春二调] 在等差数列{a n}中，2a1＋3a2＝11，2a3＝a2＋a6－4，其前n项和为S n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n＝1S n＋n，求数列{b n}的前n项和T n.45分钟滚动基础训练卷(九) (考查范围：第28讲～第32讲，以第31讲～第32讲内容为主分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等比数列{a n}中，已知a1a3a11＝8，则a2a8＝()A．4 B．6C．12 D．162．[2012·朝阳一模] 已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n－1(n∈N*)，则a5＝() A．－16 B．16C．31 D．323．[2012·豫东、豫北十校联考] 已知S n是数列{a n}的前n项和，则“S n是关于n的二次函数”是“数列{a n}为等差数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．[2012·惠州三调] 公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝9，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA→＋a 2 012OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 2 012＝( )A ．1 000B ．2 001C ．2 010D ．1 006 6．[2012·东北三校一模] 等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 257．[2012·陕西师大附中三联] 一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴……，如果这个过程继续下去，那么第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂( )A.6（66－1）6－1只 B ．66只C ．63只D ．62只 8．[2012·南阳联考] 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝2，n ∈N ＋，则数列{ba n }的前10项的和为( )A.43(49－1)B.43(410－1) C.13(49－1) D.13(410－1) 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．{a n }为等比数列，公比q ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11－29，则a 1＝________．10．{a n }是首项a 1＝－3，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 013，则n ＝________．11．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么ac ＝________，b ＝________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．[2013·唐山模拟] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝27(8n－1)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设b n ＝log 2a n ，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1.13．[2012·济南模拟] 在数列{a n }中，a 1＝1，并且对于任意n ∈N *，都有a n ＋1＝a n 2a n ＋1.(1)证明数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 为等差数列，并求{a n }的通项公式；(2)设数列{a n a n ＋1}的前n 项和为T n ，求使得T n >1 0002 011的最小正整数n .14．[2012·黄冈模拟] 已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n 且S n ＋1＝32S n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和为T n ，求满足不等式T n<12S n＋2的n值．45分钟滚动基础训练卷(十) (考查范围：第33讲～第36讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是() A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－1，＋∞) D．(0，1)2．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋2y ≤5，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知命题p ：m<0，命题q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0成立．若p 且q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．m <－2B ．m >2C ．m <－2或m >2D ．－2<m <04．已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定 5．[2012·广东卷] 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－66．[2012·金山一中考前测试] 若“p ：x －32－x≥0”，“p 成立”是“q 成立”的充要条件，则满足条件的q 是( )A ．q ：(x －3)(x －2)≤0B ．q ：x －2x －3≤0C ．q ：lg(x －2)≤0D ．q ：|5－2x |≤17．[2012·合肥质检] 已知函数f (x )＝x ＋ax －2(x >2)的图象过点A (3，7)，则此函数的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 8．[2012·东北师大附中月考] 已知O 是坐标原点，点A (－1，－2)，若点M (x ，y )是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的任意一点，且使OA →·(OA →－MA →)＋1m≤0恒成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－∞，0)∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫13，＋∞B ．(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，＋∞ C ．(－∞，0)∪[3，＋∞) D ．(－∞，0]∪[3，＋∞)二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·湖南卷] 不等式x 2－5x ＋6≤0的解集为________．10．[2012·湖北卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是________．11．[2012·长春三调] 如果直线2ax －by ＋14＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝m x ＋1＋1(m >0，m ≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x－a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，那么b a的取值范围是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知关于x 的不等式ax －5x 2－a<0的解集为M ，当3∈M 且5∉M 时，求实数a 的取值范围．。
2014高考数学一轮复习单元练习--函数的应用
2014高考数学一轮复习单元练习--函数的应用I 卷一、选择题1．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】C2．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为( ) A ．240 B ．200C ．180D ．160【答案】B3．函数f (x )＝ln x ＋x －2的零点所在区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】B4．方程sin x ＝|lg x |的根的个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B5．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万和8万，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5公里处B ．4公里处C ．3公里处D ．2公里处【答案】A6．已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ，b ∈R 且a >0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则a －b 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1,1)【答案】B7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8x －8，x ≤1，0，x >1，g (x )＝log2x ，则两函数图象的交点个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 8．函数f (x )＝3cos πx 2－log 12x 的零点的个数是( ) A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D9．函数f (x )＝log2x －1x的零点所在区间为( ) A ．⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2,3)【答案】C10．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( )A ．(1.4,2)B ．(1.1,4)C ．⎝⎛⎭⎫1，32D ．⎝⎛⎭⎫32，2 【答案】D11．对于函数y ＝f (x )，若将满足f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点，则函数f (x )＝2x ＋x 2＋2x －8的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C12．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈__________，第二次应计算__________．以上横线上应填的内容为( )A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0,1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.75)D ．(0,0.05)，f (0.125)【答案】AII卷二、填空题13．若抛物线y＝－x2＋mx－1和两端点为A(0,3)、B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，则m的取值范围为________．【答案】(3，10 3]14．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若某函数f(x)的图象恰好经过n个格点，则称该函数f(x)为n阶格点函数．给出下列函数：①y＝x2；②y＝ln x；③y＝3x－1；④y＝x＋1x；⑤y＝cos x.其中为一阶格点函数的是________(填序号)．【答案】②⑤15．函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则a的取值范围是________．【答案】a>15或a<－116．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________．【答案】2三、解答题17．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？【答案】(1)当0<x ≤100时，p ＝60；当100<x ≤600时，p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x .∴p ＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x ≤600. (2)设利润为y 元，则当0<x ≤100时，y ＝60x －40x ＝20x ；当100<x ≤600时，y ＝(62－0.02x )x －40x ＝22x －0.02x 2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x ≤600. 当0<x ≤100时，y ＝20x 是单调增函数，当x ＝100时，y 最大，此时y ＝20×100＝2 000；当100<x ≤600时，y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6 050，∴当x ＝550时，y 最大，此时y ＝6 050.显然6 050>2 000.所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元．18．某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x ≤40)，根据市场调查，销售量q 与e x 成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．(1)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；(2)若t ＝5，当每公斤蘑菇的出厂价x 为多少元时，该工厂的利润y 最大，并求最大值．【答案】 (1)设日销量q ＝k e x ，则k e 30＝100，∴k ＝100e 30， ∴日销量q ＝100e 30e x ，∴y ＝100e 30(x －20－t )e x(25≤x ≤40)． (2)当t ＝5时，y ＝100e 30(x －25)e x， y ′＝100e 30(26－x )e x， 由y ′>0，得x <26，由y ′<0，得x >26，∴y 在[25,26)上单调递增，在(26,40]上单调递减，∴当x ＝26时，y max ＝100e 4.当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100e 4元．19．如图所示是函数y ＝(12)x 和y ＝3x 2图像的一部分，其中x ＝x 1，x 2(－1<x 1<0<x 2)时，两函数值相等．(1)给出如下两个命题：①当x <x 1时，(12)x <3x 2； ②当x >x 2时，(12)x <3x 2， 试判断命题①②的真假并说明理由；(2)求证：x 2∈(0,1)．【答案】(1)当x ＝－8时，(12)－8＝28＝256,3×(－8)2＝192， 此时(12)－8>3×(－8)2，故命题①是假命题． 又当x ∈(0，＋∞)时，y ＝(12)x 是减函数，y ＝3x 2是增函数，故命题②是真命题． (2)证明：令f (x )＝3x 2－(12)x ， 则f (0)＝－1<0，f (1)＝52>0， ∴f (x )在区间(0,1)内有零点，又∵函数f (x )＝3x 2－(12)x 在区间(0，＋∞)上单调递增，∴x 2∈(0,1)． 20．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)． (1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．【答案】(1)y ＝g (t )·f (t )＝(80－2t )·(20－12|t －10|) ＝(40－t )(40－|t －10|)＝⎩⎪⎨⎪⎧(30＋t )(40－t )， 0≤t <10，(40－t )(50－t )， 10≤t ≤20. (2)当0≤t <10时，y 的取值范围是[1 200,1 225]，在t ＝5时，y 取得最大值为1 225；当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600,1 200]，在t ＝20时，y 取得最小值为600.答 总之，第5天日销售额y 取得最大值为1 225元；第20天日销售额y 取得最小值为600元．21．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B 及CD 的中点P 处，已知AB ＝20 km ，CB ＝10 km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上(含边界)，且与A ，B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为y km.(1)按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO ＝θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式；②设OP ＝x (km)，将y 表示成x 的函数关系式．(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．【答案】(1)延长PO 交AB 于Q ，①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO ＝θ(rad)，则OA ＝AQ cos ∠BAO ＝10cos θ， 所以OB ＝10cos θ． 又OP ＝10－10tan θ，所以y ＝OA ＋OB ＋OP＝10cos θ＋10cos θ＋10－10tan θ， 故所求函数关系式为y ＝20－10sin θcos θ＋10 ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π4． ②若OP ＝x (km)，则OQ ＝(10－x ) (km)，所以OA ＝OB ＝(10－x )2＋102＝x 2－20x ＋200．故所求函数关系式为y ＝x ＋2x 2－20x ＋200 (0≤x ≤10)．(2)选择函数模型①，y ′＝－10cos θ·cos θ－(20－10sin θ)(－sin θ)cos 2θ＝10(2sin θ－1)cos 2θ， 令y ′＝0，得sin θ＝12， 因为0≤θ≤π4，所以θ＝π6． 当θ∈⎣⎡⎭⎫0，π6时，y ′<0，y 是θ的减函数； 当θ∈⎝⎛⎦⎤π6，π4时，y ′>0，y 是θ的增函数，所以当θ＝π6时，y min＝20－10×1232＋10＝(103＋10) (km)．这时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边1033km处．22．某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数，且2≤t≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40)，根据市场调查，销售量q与e x成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．(1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；(2)若t＝5，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的利润y最大，并求最大值．【答案】(1)设日销量q＝ke x，则ke30＝100，∴k＝100e30，∴日销量q＝100e30 e x，∴y＝100e30(x－20－t)e x(25≤x≤40)．(2)当t＝5时，y＝100e30(x－25)e x，y′＝100e30(26－x)e x，由y′>0，得x<26，由y′<0，得x>26，∴y在[25,26)上单调递增，在(26,40]上单调递减，∴当x＝26时，y max＝100e4.当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100e4元．。
2014高考数学一轮复习精品试题附详解阶段滚动检测(六)(人教A版·理)
阶段滚动检测（六）（第一～十一章） （120分钟 150分） 第I 卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(滚动交汇考查)设全集U=R ，集合A={x|2x(x-2)<1},B={x|y=ln(1-x)}，则图中阴影部分表示的集合为( )(A){x|x ≥1} (B){x|x ≤1} (C){x|0<x ≤1} (D){x|1≤x<2} 2.(滚动单独考查)(2012·哈尔滨模拟)已知复数32iz 1i-=+，则z 对应的点所在的象限是 ( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限3.(滚动交汇考查)(2012·广州模拟)下列说法错误的是( ) (A)命题：“已知f(x)是R 上的增函数，若a ＋b ≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”的逆否命题为真命题 (B)“x ＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件(C)若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题(D)命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”，则⌝p ：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”4.(滚动单独考查)已知()1x23,x 0f x x 4x 3,x 0-⎧≥⎪=⎨++<⎪⎩，则方程f(x)=2的实数根的个数 是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)35.(滚动单独考查)定义在R 上的偶函数f(x)在［0，＋∞)上单调递减，且f(12)＝0，则满足f(14log x )＜0的x 的集合为( )(A)(－∞，12)∪(2，＋∞) (B)(12，1)∪(1,2) (C)(12，1)∪(2，＋∞) (D)(0，12)∪(2，＋∞) 6.(滚动单独考查)(2012·杭州模拟)一个空间几何体的三视图及其尺寸如下图所示，则该空间几何体的体积是( )(A)73(B)143(C)7 (D)14 7.(滚动单独考查)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝3π对称．则下列四个函数中，同时具有性质①②的是 ( ) (A)y=sin(x 2＋6π) (B)y ＝sin(2x ＋6π)(C)y=sin|x| (D)y ＝sin(2x －6π)8.(滚动交汇考查)设0<a<2,0<b<1，则双曲线2222x y 1a b－＝的离心率的概率 是( )()()()()1111A B C D 5678第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)9.(滚动单独考查)(2012·福州模拟)若过点A(0，-1)的直线l 与曲线x 2+(y-3)2=12有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是_________.10.(滚动单独考查)(2012·合肥模拟)已知OA 1OB 3OA OB 0===，，，点C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°，设OC mOA nOB =+ (m,n ∈R)，则mn等于_________.11.(滚动单独考查)已知函数f(x)＝9x -m ·3x +m+1对x ∈(0，+∞)的图象恒在x 轴上方，则m 的取值范围是_____________.12.(滚动单独考查)已知函数f(x)＝3x 2＋2x ＋1，若()11f x d x ⎰－＝2f(a)成立，则a ＝__________.13.(2012·南京模拟)如图是一个算法的程序框图，最后输出的W ＝_________.14.为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，那么在这100株树木中，底部周长小于110 cm 的株数是_________.15.下面给出一个“直角三角形数阵”：1411243334816，，， 满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则a 83＝_________.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(滚动交汇考查)(2012·长沙模拟)已知a =(cosx+sinx,sinx),b =(cosx-sinx,2cosx)，设f(x)= a ·b . (1)求函数f(x)的单调增区间；(2)设三角形ABC 的三个角A 、B 、C 所对边分别是a,b,c ，且满足A ,3π==10,求边c. 17.(12分)(滚动单独考查)已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直，M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点，AB=1,AD=2，(1)证明：直线AM ∥平面NEC ； (2)求二面角N —CE —D 的余弦值．18.(12分)(2012·济南模拟)某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响.已知学生小张只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率为0.12，至少选修一门的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积. (1)求学生小张选修甲的概率；(2)记“函数f(x)=x 2+ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率;(3)求ξ的分布列和数学期望.19.(13分)(滚动单独考查)(2012·东城模拟)已知数列{a n }满足a 1=14, a n =()n 1nn 1a 1a 2----(n ≥2,n ∈N).(1)试判断数列{n1a +(-1)n }是否为等比数列，并说明理由; (2)设c n =a n sin ()2n 12-π,数列{c n}的前n 项和为T n.求证：对任意的n∈N *，T n <23.20.(13分)(滚动交汇考查)已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求C 1、C 2的标准方程；(2)请问是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M 、N ，且满足OM ON ⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．21.(13分)(滚动单独考查)已知函数f(x)=e x +2x 2-ax.(1)函数f(x)在区间［0,1］上存在唯一的极值点，求a 的取值范围. (2)若a=3，当x ≥12时，关于x 的不等式f(x)≥52x 2+(b-3)x+1恒成立，试求实数b 的取值范围.答案解析1.【解析】选D.由2x(x －2)＜1得x(x －2)＜0，故集合A ＝{x|0＜x ＜2}，由1－x ＞0得x ＜1，故B ＝{x|x ＜1}，所以A ∩B ＝{x|0＜x ＜1}，所以ðA (A ∩B)＝{x|1≤x ＜2}，即图中阴影部分表示的集合为{x|1≤x ＜2}.2.【解析】选D.()()()()32i 1i 32i 15i 15z i,1i 1i 1i 222----====-++- ∴z 对应的点(1522-，)所在的象限是第四象限. 3.【解析】选C.A 中,∵a+b ≥0,∴a ≥-b. 又函数f(x)是R 上的增函数，∴f(a)≥f(-b),① 同理可得，f(b)≥f(-a)，②由①＋②，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，即原命题为真命题.又原命题与其逆否命题是等价命题，∴逆否命题为真.B 中若x>1，则|x|>1成立；若|x|>1，则x>1或x<-1，故B 正确.若p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个是假命题， 所以C 错误.D 正确.4.【解析】选D.令31－x ＝2，∴1－x ＝log 32.∴x ＝1－log 32.又∵log 32<log 33＝1，∴x ＝1－log 32>0.∴这个实根符合题意.令x 2＋4x＋3＝2，则x 2＋4x ＋1＝0.解得两根x 1＝－2，x 2＝－2，x 1和x 2均小于0，符合题意.5.【解题指南】f(x)是偶函数，则有f(x)=f(|x|)，列不等式求解. 【解析】选D.∵函数f(x)为偶函数，且在［0，＋∞)上单调递减，f(12)＝0，∴14log x ＞12或14log x ＜－12，∴0＜x ＜12或x ＞2.6.【解题指南】三视图复原几何体是四棱台，一条侧棱垂直底面，底面是正方形，根据三视图数据，求出几何体的体积.【解析】选B.三视图复原几何体是四棱台，下底面是边长为2的正方形，一条侧棱长为2，并且垂直底面，上底面是正方形，边长为1. 它的体积是：221142(21.33⨯⨯+=故选B. 7.【解题指南】由题知周期易验证，再根据正弦函数与余弦函数在对称轴处取得最值，验证性质②即可. 【解析】选D.∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2.对于选项D ，又2×3π－62ππ＝，所以x ＝3π为对称轴．8.【解析】选D.由22c 5a>，即222a b 5a >＋，∴b>2a ，在直角坐标系aOb 内作出符合题意的区域如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积 为12×1×12＝14，图中矩形的面积为2，∴由几何概型概率 公式计算得所求的概率为18.9.【解析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x=0，符合题意，此时倾斜角为2π，当直线l 的斜率存在时，设过点A(0，-1)的直线l 方程为：y+1=kx,即kx-y-1=0，当直线l 与圆相切时，=k=数形结合，得直线l 的倾斜角的取值范围是［6π,2π)∪(2π,56π］,综上得，直线l 的倾斜角的取值范围是［6π,56π］. 答案：［6π,56π］10.【解析】|OA |=1，OB 3OA OB 0==，，∴OA ⊥OB ，且∠OBA=30°， 又∵∠AOC=30°，∴OC AB ⊥， ∴()()mOA nOB OB OA 0,+-= ∴22mOA nOB 0-+=,∴3n-m=0， 则m=3n,∴mn=3. 答案：311.【解题指南】令t ＝3x ，转化为关于t 的二次函数的图象恒在t 轴的上方处理.或分离参数m ，利用最值处理恒成立问题.【解析】方法一：令t=3x ,则问题转化为函数f(t)=t 2-mt+m+1对t ∈(1,+∞)的图象恒在t 轴的上方，即Δ=(-m)2-4(m+1)<0或0m121m 1m 0∆≥⎧⎪⎪<⎨⎪-++≥⎪⎩， 解得m<2+. 方法二：令t=3x ,问题转化为m<2t 1t 1+-,t ∈(1,+∞)，即m 比函数y=2t 1t 1+-,t∈(1,+∞)的最小值还小，又y=2t 1t 1+-=t-1+2t 1-+2≥22=+所以答案：【方法技巧】不等式恒成立的三种解法(1)转化为求函数的最值.若函数f(x)在区间I 上有最大值和最小值. 则不等式f(x)>a 在区间I 上恒成立⇔f(x)min >a.不等式f(x)≥a 在区间I 上恒成立⇔f(x)min ≥a.不等式f(x)<a 在区间I 上恒成立⇔f(x)max <a.不等式f(x)≤a 在区间I 上恒成立⇔f(x)max ≤a.(2)分离变量——在同一个等式或不等式中，将主元和辅元分离(常用的运算技巧).(3)数形结合——凡是能与六种基本函数联系起来的相关问题，都可考虑该法.12.【解析】1232111(3x 2x 1)dx (x x x)|4 －－＋＋＝＋＋＝，所以2(3a 2＋2a ＋1)＝4，即3a 2＋2a －1＝0， 解得a ＝－1或a ＝13. 答案：－1或1313.【解析】第一次：T ＝1，S ＝12－0＝1； 第二次：T ＝3，S ＝32－1＝8； 第三次：T ＝5，S ＝52－8＝17， 此时满足S ≥10.所以W ＝S ＋T ＝17＋5＝22. 答案：2214.【解析】底部周长小于110 cm 的频率: 10×0.01+10×0.02+10×0.04=0.7.∴底部周长小于110 cm 的株数为：100×0.7=70. 答案：7015.【解题指南】先根据第1列成等差数列求出第8行第1个数，再根据第8行成等比数列求出a 83.【解析】由题意知，a 83位于第8行第3列，且第1列的公差等于14，每一行的公比都等于12.由等差数列的通项公式知，第8行第1个数为14＋(8－1)×14＝2，a 83＝2×(12)2＝12. 答案：12 【变式备选】 把正整数按下表排列：(1)求200在表中的位置(在第几行第几列)；(2)试求从上到下的第m行，从左至右的第n列上的数( 其中m≥n )；(3)求主对角线上的数列：1、3、7、13、21、…的通项公式 .【解析】把表中的各数按下列方式分组：( 1 )，( 2, 3，4 )，(5, 6，7, 8，9 )，…，(1)由于第n组含有2n-1个数，所以第n组最后一个数是1+3+5+…+(2n-1)=n2.因为不等式n2≥200的最小整数解为n=15 ,这就是说，200在第15组中，由于142=196 ，所以第15组中的第一个数是197，这样200就是第15组中的第4个数，所以200在表中从上至下的第4行，从左至右的第15列上.(2)因为m≥n ，所以第m行上的数从左至右排成的数列是以-1为公差的等差数列，这个数列的首项是第m行的第1个数，即分组数列的第m组最后一个数为1+3+5+…+(2m-1)=m2.即从上至下的第m 行，从左至右的第n列的数为a mn=m2+(n-1)(-1)=m2-n+1.(3)设主对角线上的数列为{a n}，则易知a n为表中从上至下的第n行，从左至右的第n列的数,故a n=a nn=n2+(n-1)(-1)=n2-n+1.16.【解析】(1)∵f(x)=a·b=(cosx+sinx)·(cosx-sinx)+sinx·2cosx =cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x2(22+cos2x cos sin2x)44).4ππ=+π=+由f(x)递增得-2π+2kπ≤2x+4π≤2π+2kπ,即3k x k,88ππ-+π≤≤+πk∈Z.∴f(x)的单调递增区间是［3k8π-+π,k8π+π］,k∈Z.(2)由f(B)=1⇒sin(2B+4π)=2及0<B<π得B=4π,设a b c k,sinA sinB sinC===510k10k 4.342ππ+=⇒=⇒=所以c=ksinC=4sin(A+B)=4(sin cos cos sin)3434ππππ+=17.【解析】以N为坐标原点，NE，ND所在直线分别为x,y轴，建立空间右手直角坐标系，所以A(0，-1，0)，B(0，-1，1)，D(0，1，0)，N(0，0，0)，E(0，0)，C(0，1，1)，M(2，-12，12). (1)设平面NEC的一个法向量为n=(x,y,1)，因为NC=(0，1，1)，NE，0，0)，所以NCn=y+1=0，NE 3x=n=0；所以n=(0,-1,1)，因为311AM ()22=，，，AM n =0，所以AM ⊥n ， 因为AM ⊄平面NEC ， 所以直线AM ∥平面NEC.(2)设平面DEC 的一个法向量为m =(1,y,z), 因为DC =(0,0,1),()DE 3,1,0=- , 所以DC z 0,DE 3y 0===-=；m m 所以()=m.cos ,||||-===〈〉n m n m n m 因为二面角N —CE —D 的大小为锐角，所以二面角N —CE —D 18.【解析】(1)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x,y,z ；依题意得()()()()()()x 1y 1z 0.08,xy 1z 0.12,11x 1y 1z 0.88,--=⎧⎪-=⎨⎪----=⎩解得x 0.4y 0.6,z 0.5=⎧⎪=⎨⎪=⎩所以学生小张选修甲的概率为0.4.(2)若函数f(x)=x 2+ξx 为R 上的偶函数，则ξ=0， ∴P(A)=P(ξ=0)=xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=0.4×0.6×0.5+(1-0.4)(1-0.6)(1-0.5)=0.24,∴事件A 的概率为0.24. (3)依题意知ξ=0，2，则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为E(ξ)=0×0.24+2×0.76=1.52. 19.【解析】(1)由已知()n 1n nn 1a a 1a 2--=--得()()nnn 1n n 1n 11a 2121,a a a -----==-- ()()n nn n 112121a a -+-=-- =-2［()n 1n 111a --+-］.又11a -1=3≠0, 故{n1a +(-1)n }为公比为-2的等比数列. (2)由(1)得n1a +(-1)n =3·(-2)n-1， 所以n1a =3·(-2)n-1-(-1)n , ()()n n 1n1a ,321-=---()n n 2n 1c a sin2-π=()()()n 1n 1nn 1n 11111,32132321----=-=<+--- 所以n n n 111()21232T 1().132312-<=-<-［］［］20.【解题指南】(1)先设出抛物线方程，代入已知点检验，求出C 2的方程，再利用待定系数法求出椭圆的方程；(2)设直线l 的方程为x-1=my ，再根据OM ON ⊥构造含有m 的方程，最后转化为方程解的问题.【解析】(1)设抛物线C 2:y 2=2px(p ≠0),则有2y 2p x=(x ≠0)，据此验证4个点知(3，-、(4，-4)在抛物线上，易求C 2的标准方程为y 2=4x,设C 1：2222x y 1a b+= (a>b>0),把点(-2,0)，2)代入得： 22241a 211a 2b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22a 4,b 1⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴C 1的标准方程为2x 4+y 2=1.(2)假设存在这样的直线l ，过抛物线焦点F(1,0)，设直线l 的方程为x-1=my ，两交点坐标为M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，由22x 1myx y 14-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x,得 (m 2+4)y 2+2my-3=0, ∴y 1+y 2=22m m 4-+,y 1y 2=23,m 4-+ ① x 1x 2=(1+my 1)(1+my 2)=1+m(y 1+y 2)+m 2y 1y 2, ② 由OM ON,⊥得OM ON 0=，即x 1x 2+y 1y 2=0(*)将①②代入(*)式，得22244m 30,m 4m 4--+=++解得m=±12. 所以假设成立，即存在直线l 满足条件，且l 的方程为y=2x-2或y=-2x+2.21.【解题指南】(1)函数f(x)在区间［0,1］上存在唯一的极值点，即方程f ′(x)=0在区间［0,1］上存在唯一的根；(2)分离参数b ，利用最值处理恒成立.【解析】(1)f ′(x)=e x +4x-a, ∵f ′(0)=1-a,f ′(1)=e+4-a,又∵函数f(x)在区间［0，1］上存在唯一的极值点， ∴f ′(0)·f ′(1)<0, ∴1<a<e+4.(2)由f(x)≥()25x b 3x 12+-+, 得e x +2x 2-3x ≥()25x b 3x 12+-+, 即bx ≤e x -12x 2-1,∵x ≥12,∴b ≤x 21e x 12,x-- 令g(x)= x 21e x 12,x--, 则g ′(x)=()x 221e x 1x 12.x --+ 令φ(x)=e x (x-1)- 12x 2+1,则φ′(x)=x(e x -1).∵x≥12,∴φ′(x)>0,∴φ(x)在［12，+ ∞)上单调递增，∴φ(x)≥φ(12)=70, 8>因此g′(x)>0，故g(x)在［12,+∞)上单调递增，则g(x)≥g(12)=121e198,142--=∴b的取值范围是b≤94.。
2014届高考数学一轮复习 第5章《平面向量的数量积及其应用》名师首选学案 新人教A版
学案26 平面向量的数量积及其应用导学目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．自主梳理 1．向量的夹角(1)已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的________．(2)向量夹角θ的范围是________________，a 与b 同向时，夹角θ＝______；a 与b 反向时，夹角θ＝______.(3)如果向量a 与b 的夹角是________，我们说a 与b 垂直，记作________． 2．向量数量积的定义(1)向量数量积的定义：______________________，其中|a |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 在b 方向上的投影．(2)向量数量积的性质：①如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝______________； ②非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔________； ③a·a ＝________或|a |＝________； ④cos〈a ，b 〉＝______________； ⑤|a·b |____|a||b |. 3．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b ＝________；(2)分配律：(a ＋b )·c ＝________________；(3)数乘向量结合律：(λa )·b ＝a ·(λb )＝____________＝λa ·b . 4．向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a·b ＝____________；(2)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔____________； (3)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则|a |＝________________， cos 〈a ，b 〉＝_______________.(4)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________，所以|AB →|＝_____________. 自我检测1．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →＝________.2．已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝________. 3．已知a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，(a ＋λb )⊥b ，则λ＝________.4．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________________．5．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.探究点一 向量的模及夹角问题例1 已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |； (3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．变式迁移1 (1)已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值为________．(2)已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为________．探究点二 两向量的平行与垂直问题例2 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且k a ＋b 的长度是a －k b 的长度的3倍(k >0)．(1)求证：a ＋b 与a －b 垂直； (2)用k 表示a ·b ；(3)求a ·b 的最小值以及此时a 与b 的夹角θ.变式迁移2 设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .探究点三 向量与三角函数的综合应用 例3 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 32x ，sin 32x ， b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4.(1)求a·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．变式迁移3 在三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2sin 2A ＋B2＋cos2C ＝1.(1)求角C 的大小；(2)若向量m ＝(3a ，b )，向量n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ，－b 3，m⊥n ，(m ＋n )·(－m ＋n )＝－16.求a 、b 、c 的值．1．一些常见的错误结论：(1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若a 2＝b 2，则a ＝b ；(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；(4)若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；(5)|a·b |＝|a |·|b |；(6)(a·b )c ＝a (b·c )；(7)若a·b ＝a·c ，则b ＝c .以上结论都是错误的，应用时要注意．2．证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有： (1)要证AB ＝CD ，可转化证明AB →2＝CD →2或|AB →|＝|CD →|.(2)要证两线段AB ∥CD ，只要证存在唯一实数λ≠0，使等式AB →＝λCD →成立即可． (3)要证两线段AB ⊥CD ，只需证AB →·CD →＝0.课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知非零向量a ，b ，若|a |＝|b |＝1，且a ⊥b ，又知(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为________．2．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC ＝________.3．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________． 4．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 上的投影为________．5．设a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，若a·b ＝25，则sin α＝________.6．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________． 7．已知点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是________．8．已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 夹角为3π4，且m·n ＝－1，则向量n ＝__________________.二、解答题(共42分)9．(12分)已知O 为坐标原点且OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，在线段OC 上是否存在点M ，使MA →⊥MB →，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．(14分)已知向量a ＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b ＝(cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ)．(1)求证：a ⊥b ；(2)若存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2＋3)b ，y ＝－k a ＋t b ，满足x ⊥y ，试求此时k ＋t 2t的最小值．11．(16分)已知a ＝(1,2sin x )，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，1，函数f (x )＝a·b (x ∈R )．(1)求函数f (x )的单调递减区间； (2)若f (x )＝85，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值．答案 自主梳理1．(1)夹角 (2)[0，π] 0 π (3)π2a⊥b 2.(1)a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉 (2)①|a |cos 〈a ，e 〉 ②a·b ＝0 ③|a |2a·a ④a·b|a||b |⑤≤ 3.(1)b·a (2)a·c＋b·c (3)λ(a ·b ) 4.(1)a 1b 1＋a 2b 2 (2)a 1b 1＋a 2b 2＝0 (3)a 21＋a 22 a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22(4)(x 2－x 1，y 2－y 1)x 2－x 12＋y 2－y 12自我检测 1．16解析 因为∠C ＝90°，所以AC →·CB →＝0， 所以AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝(AC →)2＋AC →·CB →＝16. 2．2 2 解析 |2a －b |＝2a －b2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝8＝2 2. 3．－12解析 由(a ＋λb )·b ＝0得a·b ＋λ|b |2＝0， ∴1＋2λ＝0，∴λ＝－12.4．y 2＝8x (x ≠0)解析 由题意得AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，又AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2＝0，化简得y 2＝8x (x ≠0)．5．－2解析 合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C (0,0)，A (23，0)，B (3，3)，这样利用向量关系式，求得M ⎝⎛⎭⎪⎫332，12，然后求得MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，所以MA →·MB →＝－2.课堂活动区例1 解 (1)∵(2a －3b )(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a·b －27＝61，∴a·b ＝－6. ∴cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |＝a ＋b2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝16＋2×－6＋9＝13. (3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.变式迁移1 (1) 2 (2)λ<12且λ≠－2解析 (1)∵|a |＝|b |＝1，a·b ＝0， 展开(a －c )·(b －c )＝0⇒|c |2＝c·(a ＋b )＝|c |·|a ＋b |cos θ，∴|c |＝|a ＋b |cos θ＝2cos θ， ∴|c |的最大值是 2.(2)∵〈a ，b 〉∈(0，π2)，∴a ·b >0且a ·b 不同向．即|i |2－2λ|j |2>0，∴λ<12.当a ·b 同向时，由a ＝λb (λ>0)得λ＝－2. ∴λ<12且λ≠－2.例2 解题导引 1.非零向量a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.2．当向量a 与b 是非坐标形式时，要把a 、b 用已知的不共线的向量表示．但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异．解 (1)由题意得，|a |＝|b |＝1， ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0， ∴a ＋b 与a －b 垂直．(2)|k a ＋b |2＝k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝k 2＋2k a ·b ＋1， (3|a －k b |)2＝3(1＋k 2)－6k a ·b .由条件知，k 2＋2k a ·b ＋1＝3(1＋k 2)－6k a ·b ， 从而有，a ·b ＝1＋k24k(k >0)．(3)由(2)知a ·b ＝1＋k 24k ＝14(k ＋1k )≥12，当k ＝1k时，等号成立，即k ＝±1.∵k >0，∴k ＝1.此时cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，而θ∈[0，π]，∴θ＝π3.故a ·b 的最小值为12，此时θ＝π3.变式迁移2 (1)解 因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c ) ＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0.因此tan(α＋β)＝2.(2)解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)， 得|b ＋c |＝sin β＋cos β2＋4cos β－4sin β2＝17－15sin 2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明 由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .例 3 解题导引 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式，向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．解 (1)a·b ＝cos 32x cos x 2－sin 32x sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 32x ＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32x －sin x 22 ＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴cos x >0，∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－32.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1. 变式迁移3 解 (1)∵2sin 2A ＋B2＋cos 2C ＝1，∴cos 2C ＝1－2sin2A ＋B2＝cos(A ＋B )＝－cos C .∴2cos 2C ＋cos C －1＝0. ∴cos C ＝12或－1.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵m ⊥n ，∴3a 2－b 23＝0，即b 2＝9a 2. ①又(m ＋n )·(－m ＋n )＝－16， ∴－8a 2－89b 2＝－16，即a 2＋b 29＝2.②由①②可得a 2＝1，b 2＝9，∴a ＝1，b ＝3. 又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，∴c ＝7. 课后练习区 1．6解析 由(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0得2k －12＝0，∴k ＝6. 2．150°解析 ∵S △ABC ＝12|a ||b |sin∠BAC ＝154，∴sin∠BAC ＝12.又a·b <0，∴∠BAC 为钝角．∴∠BAC ＝150°. 3．120°解析 由(2a ＋b )·b ＝0，得2a·b ＝－|b |2. cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝－12|b |2|b |2＝－12.∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝120°. 4.655解析 因为a·b ＝|a|·|b |·cos〈a ，b 〉， 所以，a 在b 上的投影为|a |·cos〈a ，b 〉 ＝a·b |b |＝21－842＋72＝1365＝655. 5.35解析 ∵a·b ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α＝25，∴1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝25，∴sin α＝35.6．120°解析 设a 与b 的夹角为θ，∵c ＝a ＋b ，c ⊥a ， ∴c·a ＝0，即(a ＋b )·a ＝0.∴a 2＋a·b ＝0. 又|a |＝1，|b |＝2，∴1＋2cos θ＝0.∴cos θ＝－12，θ∈[0°，180°]，即θ＝120°.7．－25 解析 如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形， 且∠B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝BC →·CA →＋CA →·AB →＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A )＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－25.8．(－1,0)或(0，－1)解析 设n ＝(x ，y )，由m·n ＝－1， 有x ＋y ＝－1.① 由m 与n 夹角为3π4，有m·n ＝|m|·|n |cos 3π4，∴|n |＝1，则x 2＋y 2＝1.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－1，∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)．9．解 设存在点M ，且OM →＝λOC →＝(6λ，3λ) (0≤λ≤1)，∴MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)．……………………………………(4分)∵MA →⊥MB →，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，………………………………………………(8分)即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115. ∴M 点坐标为(2,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫225，115. 故在线段OC 上存在点M ，使MA →⊥MB →，且点M 的坐标为(2,1)或(225，115)．………(12分) 10．(1)证明 ∵a·b ＝cos(－θ)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin ()－θ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0.∴a ⊥b .……………………………………………………(4分)(2)解 由x ⊥y 得，x·y ＝0，即[a ＋(t 2＋3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，∴－k a 2＋(t 3＋3t )b 2＋[t －k (t 2＋3)]a·b ＝0，∴－k |a |2＋(t 3＋3t )|b |2＝0.………………………………………………………………(8分)又|a |2＝1，|b |2＝1，∴－k ＋t 3＋3t ＝0，∴k ＝t 3＋3t .…………………………………………………………(10分) ∴k ＋t 2t ＝t 3＋t 2＋3t t＝t 2＋t ＋3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋114. 故当t ＝－12时，k ＋t 2t 有最小值114.………………………………………………………(14分) 11．解 (1)f (x )＝a·b ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2sin x ＝2cos x cos π6－2sin x sin π6＋2sin x＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.…………………………………………………………(5分)由π2＋2k π≤x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋2k π≤x ≤7π6＋2k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋2k π，7π6＋2k π (k ∈Z )．……………………………………………………………(8分)(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3. 又因为2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝85， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝45，………………………………………………………………………(12分)即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝45. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－1＝725.………………………………………………（16分）。
2014高考数学(新人教A版)大一轮复习特训：第5章 数列第3讲 Word版含解析2014高考数学(
第五章 第3讲(时间：45分钟 分值：100分)一、选择题1. 公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 2a 12＝16，则a 5＝( )A. 1 B. 2 C. 4 D. 8答案：A解析：∵a 2a 12＝16，∴a 27＝16，∴a 7＝4＝a 5×22，∴a 5＝1.2. [2013·安徽名校联考]已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝( )A. 1或－12B. －12合不可以期化学教案梦中时时见兄与褐甫抵掌化学教案今故酣嬉笑呼化学教案觉而怛C. 1D. －1或12答案：A解析：设数列的公比为q ，∵a 3＝32，S 3＝92，∴a 1q 2＝32，a 1(1＋q ＋q 2)＝92.两式相除得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0.∴q ＝1或q ＝－12.3. [2013·泉州五校质检]在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前三项的和S 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5的值为( )A. 33 B. 72 C. 84 D. 189答案：C解析：由题意可知该等比数列的公比q ≠1，故可由S 3＝3×(1－q 3)1－q＝21，得q 3－7q ＋6＝0，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)．所以a 3＋a 4＋a 5＝3×(22＋23＋24)＝84，故选C.4. [2013·合肥质检]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则a 10＝( )A. 64 B. 32 C. 16 D. 8答案：B解析：∵a n ＋1a n ＝2n ，∴a n ＋2·a n ＋1＝2n ＋1， 两式相除得a n ＋2a n＝2.∵a 1＝1.∴a 1，a 3，a 5，a 7，a 9构成以1为首项，以2为公比的等比数列，∴a 9＝16.又a 10·a 9＝29，∴a 10＝25＝32.5. [2013·衡阳三联]设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2·a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.334 B.314C.C. 172D.152步行走;“逛答案：B解析：依题意知，a 21q 4＝1，又a 1>0，q >0，则a 1＝1q 2.又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝7，于是有(1q ＋3)(1q －2)＝0，因此有q ＝12，所以S 5＝4(1－125)1－12＝314，选B.6. [2013·湖南重点中学调研]若等比数列{a n }的公比q ＝2，且前12项的积为212，则a 3a 6a 9a 12的值为( )A. 24 B. 26 C. 28 D. 212答案：C解析：由等比数列定义知a 1a 4a 7a 10＝a 3·1q 2a 6·1q 2a 9·1q 2a 12·1q 2＝a 3a 6a 9a 12·128，a 2a 5a 8a 11＝a 3a 6a 9a 12·124，而a 1a 2a 3…a 12＝a 3a 6a 9a 12·128a 3a 6a 9a 12·124a 3a 6a 9a 12＝(a 3a 6a 9a 12)31212＝212，∴(a 3a 6a 9a 12)3＝224，∴a 3a 6a 9a 12＝28. 二、填空题7. 已知等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则等比数列{a n }的公比q ＝________.答案：12解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝10a 4＋a 6＝a 1q 3(1＋q 2)＝54，解得q ＝12.8. [2013·金版原创]设等比数列{a n }的前n 项之和为S n ，已知a 1＝2011，且a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0(n ∈N*)，则S 2012＝________.答案：0解析：本题考查等比数列的基本知识．设公比为q ，则由a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0(n ∈N *)得1＋2q ＋q 2＝0，∴q ＝－1.所以S 2012＝2011×(1－(－1)2012)1＋1＝0.9. [2013·南京模拟]记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *)，已知a m －1a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m ＝________.答案：4解析：因为{a n }为等比数列，所以a m －1a m ＋1＝a 2m ，又由a m －1a m ＋1－2a m ＝0，从而a m ＝2.由等比数列的性质可知前(2m －1)项积T 2m －1＝a 2m －1m，即22m －1＝128，故m ＝4.三、解答题10. [2013·锦州模拟]设S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求a 2的值；(2)若{a n }是等比数列，且a n ＋1<a n (n ∈N *)，试求S n 的表达式．解：(1)由已知得：⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2.∴a 2＝2.(2)设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q 1＝12，q 2＝2(舍去，a n ＋1<a n (n ∈N *))．∵q ＝12，∴a 1＝4.故数列{a n }的前n 项和S n ＝8－23－n (n ∈N *)．11. [2013·湖州模拟]已知等差数列{a n }满足：a 5＝9，a 2＋a 6＝14.(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋qa n (q >0)，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由a 5＝9，a 2＋a 6＝14，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝9，2a 1＋6d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以{a n }的通项a n ＝2n －1.(2)由a n ＝2n －1得b n ＝2n －1＋q 2n －1.当q >0且q ≠1时，S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(q 1＋q 3＋q 5＋…＋q 2n －1)＝n 2＋q (1－q 2n )1－q 2；当q ＝1时，b n ＝2n ，则S n ＝n (n ＋1)． 所以数列{b n }的前n 项和 S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)，q ＝1n 2＋q (1－q 2n)1－q 2，q >0且q ≠1.12. [2013·浙江模拟]已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R )，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，试比较1a 2＋1a 22＋1a 23＋…＋1a 2n 与1a 1的大小．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可知(1a 2)2＝1a 1·1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 从而a 1d ＝d 2，因为d ≠0，所以d ＝a 1＝a . 故通项公式a n ＝na .(2)记T n ＝1a 2＋1a 22＋…＋1a 2n ，因为a 2n ＝2n a ，所以T n ＝1a (12＋122＋…＋12n )＝1a ·12[1－(12)n ]1－12太傅谢安的二弟试卷试题父亲谢允化学教案曾任宣城内史试卷试题谢景仁年幼时谢安还在世化学教案谢安对他有所了解试＝1a [1－(12)n ]．从而，当a >0时，T n <1a 1；当a <0时，T n >1a 1.。
2014届高三数学一轮复习精讲精练：5.4数列的应用
2014届高三数学一轮复习精讲精练：5.4数列的应用（1）证明：由02,1221=++++n n n n n nb b a x b x x aa 的方程是关于的两根得：>n b )1(2112>+=∴+-n b b bn n n}{nb ∴是等差数列（2）由（1）知,822121=+=a a b ,21=∴b∴)1)(1(1>+==-n n n b b an n n又21=a也符合该式，（3）n nn s2124232232+++++=①①—②得点评：本题考查了等差、等比数列的性质，数列的构造，数列的转化思想，乘公比错项相减法求和等。
例2．设数列{}{}nnb a ,满足3,4,6332211======b a b a b a，且数列{}()++∈-N n a an n 1是等差数列，数列{}()+∈-N n b n2是等比数列。
（I ）求数列{}na 和{}nb 的通项公式；（II ）是否存在*N k ∈，使⎪⎭⎫⎝⎛∈-21,0k kb a，若存在，求出k ，若不存在，说明理由。
解：由题意得：)()()(113121--++-+-+=n n n a a a a a a a a )4(0)1()2(6-+++-+-+=n由已知22,4221=-=-b b 得公比21=q()1112142122--⎪⎭⎫⎝⎛⨯=⎪⎭⎫⎝⎛-=-∴n n n b b（2）k k b a k f -=)(k2171928222k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2k17491872242k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---⨯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以当4≥k 时，)(k f 是增函数。
又21)4(=f ， 所以当4≥k 时21)(≥k f ， 又0)3()2()1(===f f f ， 所以不存在k ，使⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0)(k f 。
【反馈演练】1．制造某种产品，计划经过两年要使成本降低36%，则平均每年应降低成本 20% 。
山东省2014年高考数学仿真模拟卷5 理新人教A版
绝密★启用前 试卷类型：A山东省2014年高考仿真模拟冲刺卷（五）理科数学满分150分 考试用时120分钟 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）; 如果事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P（B ）． 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概 率：).,,2,1,0()1()(n k p p C k P k n k kn n =-=-第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中选择一个符合题目要求的选项）1．已知条件2:340p x x --≤；条件22:690q x x m -+-≤ 若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是 （ ）A ．[]1,1-B ．[]4,4-C ．(][),44,-∞-+∞D ．(][),11,-∞-+∞2．已知11xyi i =-+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则x yi +的共轭复数为 （ ）A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i - 3．等差数列{}n a 中，10590,8S a ==，则4a =（ ）A ．16B ．12C ．8D ．64．函数21()ln 2f x x x=-的大致图像是（ ）A B C D5．某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种类为 （ ）A ．600B ．520C ．720D ．360 6．已知函数()f x 是R 上的偶函数，若对于0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当[0,2)x ∈时，)1(log )(2+=x x f ，则)2012()2011(f f +-的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．27．将函数πcos()3y x =-的图象上各点的横坐标伸长到原来2倍（纵坐标不变），再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴是（ ）A ．π9x =B ．π2x =C ．πx =D ．π8x =8．已知α∈R ，则“2a <”是“|2|||x x a -+>恒成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．函数2()31,[1,2]f x x x x =--∈-，任取一点0[1,2]x ∈-，使0()1f x ≥的概率是（ ）A ．23B ．59C ．14D ．4910．函数()f x 的定义域为A ,若存在非零实数t ，使得对于任意()x C C A ∈⊆有,x t A +∈且()()f x t f x +≤，则称()f x 为C 上的t 度低调函数．已知定义域为[)0+∞，的函数()=3f x mx --，且()f x 为[)0+∞，上的6度低调函数，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．(][),01,-∞+∞B ．[)+∞1，C ．(],0-∞D ．[]0,1第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）11．已知圆2210240x y x +-+=的圆心是双曲线2221(0)9x y a a -=>的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为 ．12．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中主视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为 ．13．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为3π，那么3a b+等于 ．14．已知O 是坐标原点，点(1,0)A ，若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩上的一个动点，则||OA OM +的最小值是 ． 15．关于函数()x x x f 2cos 2sin -=有下列命题： ①函数()x f y =的周期为π；②直线4π=x 是()x f y =的一条对称轴；③点⎪⎭⎫⎝⎛0,8π是()x f y =的图象的一个对称中心；④将()x f y =的图象向左平移4π个单位，可得到x y 2sin 2=的图象.其中真命题的序号是_________________.（把你认为真命题的序号都写上）三、解答题（本大题共6小题，共75分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分） 设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =.（Ⅰ）求,a c 的值; （Ⅱ）求sin()A B -的值.17．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，AE ABC ⊥面，DB ∥AE ，且1AC AB BC AE ====，2BD =，F 为CD 中点。
山东省2014届高考数学仿真模拟考试(五)文 新人教A版
绝密★启用前 试卷类型：A山东省2014届高三高考仿真模拟冲刺考试（五）数学（文）试题满分150分 考试用时120分钟 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）; 如果事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P（B ）． 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．直线l1：kx-y-3=0和l2：x+（2k+3）y-2=0互相垂直，则k= （ ） A ．-3 B ．-2C ．12-或-1D ．12或12．300cos 的值是（ ）A ．21B ．21-C ．23D ．23-3．设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i -∈-是纯虚数，则a 的值为（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．34．若a ＞b ＞0，则下列不等式不成立的是 （ ）A ．a b ab +<B ．1122a b >C ．ln ln a b >D ．0.30.3a b<5．执行如图所示的程序框图，若输入8,n S ==则输出的 （ ）A ．49B ． 67C ．89D ．10116．“lg ,lg ,lg x y z成等差数列”是“2y xz=”成立的（ ）A ．充要条件B ．必要非充分条件C ．充分非必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数z=x+y ，则 （ ）A ．max 0z = B ．max 52z =C ．min 52z =D ．max 3z =8．若一个螺栓的底面是正六边形，它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积是 （ ） A ．27312π+B ．9312π+C ．2733πD ．33π9．已知2010120101ln-=a ，2011120111ln -=b ，2012120121ln -=c 则（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>10．函数()(ax y a 13log -+=＞0，且)1≠a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上（其中m ，n ＞0），则n m 21+的最小值等于（ ） A ．16 B ．12C ．9D ．8第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（5小题，每题5分，共25分）11．22,sin sin sin ,,ABC C A B B a C =+==在中则角△ ．12．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a = ．13．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O 为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 ．14．在平面区域()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥=20,y x x x y y x M 内随机取一点P ，则点P 取自圆122=+y x 内部的概率等于__________.15．已知f （1，1）=1，f （m ，n ）∈N*（m 、n ∈N*），且对任意m 、n ∈N*都有： ① f （m ，n+1）= f （m ，n ）+2； ② f （m ＋1，1）=2 f （m ，1）． 给出以下三个结论：（1）f （1，5）=9；（2）f （5，1）=16；（3）f （5，6）=26． 其中正确的个数为 ． 三、解答题（共75分） 16．（本小题满分12分） 已知向量)cos ,(sin ),sin 3,(sin x x n x x m -==，设函数n m x f ⋅=)(．（Ⅰ）求函数()f x 在3[0,]2π上的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，若1)62sin()(=-+πA A f ，7=+c b ，ABC ∆的面积为32，求边a 的长．如图，在直角坐标系xoy 中，有一组底边长为na 的等腰直角三角形n n n A B C （n=1，2，……），底边n nB C 依次放置在y 轴上（相邻顶点重合），点1B 的坐标为（0，b ）．（Ⅰ）若1b =，12a =，24a =，求点12,A A 的坐标；（Ⅱ）若123,,A A A ，……，nA 在同一直线上，求证：数列{}n a 是等比数列．小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X=0就去唱歌，若X<0就去下棋．（Ⅰ）写出数量积X的所有可能取值；（Ⅱ）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC1、AB、BC的中点，且12CC AC．（Ⅰ）求证：CN∥平面AMB1；（Ⅱ）求证：B1M⊥平面AMG．已知中心在原点O ，焦点F1、F2在x 轴上的椭圆E 经过点C （2，2），且抛物线2y =-的焦点为F1．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）垂直于OC 的直线ι与椭圆E 交于A 、B 两点，当以AB 为直径的圆P 与y 轴相切时，求直线ι的方程和圆P 的方程．设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x +=+.（Ⅰ）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数．（i ）判断(1)f ，f ，()b f a 是否成等比数列，并证明()b f f a ≤; （ii ）a 、b 的几何平均数记为G. 称2aba b +为a 、b 的调和平均数，记为H. 若()H f x G ≤≤，求x 的取值范围．文科数学（五）一、选择题二、填空题11．π6 12． 6- 132 14．8π 15．3三、解答题16．解：（Ⅰ）由题意得21cos 23()sin 3cos 22x f x x x x x -==1sin(2)26x π=-+ ………………………………………………………………………3分 令3222262k x k πππππ+≤+≤+,Z k ∈解得：263k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈ 30,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，263x ππ∴≤≤，或7362x ππ≤≤.所以函数()f x 在3[0,]2π上的单调递增区间为2[,]63ππ，73,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………………6分 （Ⅱ）由1)62sin()(=-+πA A f 得：1)62sin()62sin(21=-++-ππA A ,化简得：212cos -=A ,又因为02A π<<，解得：3π=A ………9分 由题意知：32sin 21==∆A bc S ABC ，解得8=bc ，又7=+c b ,所以22222cos ()2(1cos )a b c bc A b c bc A =+-=+-+ 14928(1)252=-⨯⨯+=,故所求边a 的长为5． ……12分17．18．(1) x 的所有可能取值为-2 ,-1 ,0, 1 (2)数量积为-2的只有25OA OA •一种数量积为-1的有15OA OA •,1624263435,,,,OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA •••••六种数量积为0的有13143646,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ••••四种 数量积为1的有12234556,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ••••四种故所有可能的情况共有15种.所以小波去下棋的概率为1715p =因为去唱歌的概率为2415p =,所以小波不去唱歌的概率2411111515p p =-=-=19．解：（Ⅰ）设AB1 的中点为P ，连结NP 、MP ………………………1分∵CM 112AA ，NP 112AA ，∴CM NP， …………2分∴CNPM 是平行四边形，∴CN∥MP …………………………3分 ∵CN ⊄埭 平面AMB1，MP ⊂奂 平面AMB1，∴CN∥平面AMB1…4分（Ⅱ）∵CC1⊥平面ABC ，∴平面CC1 B1 B⊥平面ABC ， ∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC1 B1 B ，∴B1M⊥AG………6分 设：AC=2a ，则122CC a =22Rt ,6MCA AM CM AC a =+=在中△……8分同理，16B M a =………………………………………9分∵ BB1∥CC1，∴BB1⊥平面ABC ，∴BB1⊥AB，222211123,AB B B AB C C AB a ∴=+=+=222111,,AM B M AB B M AM ∴+=∴⊥…………………10分1,.AG AM A B M AMG ⋂=∴⊥又平面 ……………………12分 20．解：（Ⅰ）设椭圆E 的方程为22221(0),x y a b a b +=>>22441,a b +=则① (1)分21y F =-抛物线的焦点为, c ∴=②………２分222a b c =+又 ③由①、②、③得a2=12,b2=6……………3分所以椭圆E 的方程为221126x y +=……………………4分（Ⅱ）依题意，直线OC 斜率为1，由此设直线ι的方程为y=-x+m ，……………5分代入椭圆E 方程，得22342120.x mx m -+-=……6分22221612(212)8(18),18.m m m m ∆=--=-<由得………………7分11(,)A x y 记、22212124212(,),,33m m B x y x x x x -+==则……………8分1212,,22x x y y P ++⎛⎫ ⎪⎝⎭圆的圆心为12r x =-=半径分2121212(),2,24x x x x P y r x x ++==当圆与轴相切时,则2222(212)4,918,339m m m m -==<=±即………………11分当m=3时，直线ι方程为y=-x+3，此时，x1 +x2=4，圆心为（2， 1），半径为2， 圆P 的方程为（x-2）2+（y-1）2=4；…………………12分同理，当m=－3时，直线ι方程为y=-x －3，圆P 的方程为（x+2）2+（y+1）2=4；……………13分。
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专题训练 一、选择题1．(2010·湖南卷改编)已知A ，B 是圆心为C 半径为5的圆上两点，且|AB →|＝5，则AC →·CB →等于( ) A ．－52 B.52 C ．0 D.532 答案 A解析 本题考查向量的数量积的运算．由于弦长|AB |＝5与半径相同，则∠ACB ＝60°⇒AC →·CB →＝－CA →·CB →＝－|CA →|·|CB →|·cos ∠ACB ＝－5·5·cos60°＝－522．已知a ，b 是两个非零向量，给定命题p ：|a ·b |＝|a ||b |，命题q ：∃t ∈R ，使得a ＝t b ，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C 解析 ∵|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|＝|a ||b |， ∴θ＝0°或180°，即a ，b 共线． ∴∃t ∈R ，使得a ＝t b 成立． ∴p 是q 的充分条件．若∃t ∈R ，使得a ＝t b ，则a ，b 共线， ∴|a ·b |＝|a ||b |.∴p 是q 的必要条件． 综上可知，p 是q 的充要条件．3．P 是△ABC 所在平面上一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则P 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 答案 D解析 由P A →·PB →＝PB →·PC →得PB →·(P A →－PC →)＝0.即PB →·CA →＝0.∴PB →⊥CA →.同理 P A →⊥BC→.即P 为垂心 4．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则当(a ＋b )2＝(a －b )2时，该平行四边形为( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．以上都不正确 答案 B解析 数形结合，在平行四边形中，a ＋b ＝AB→＋AD →＝AC →，a －b ＝AB →－AD →＝DB →，由|a ＋b |＝|a －b |，∴|AC→|＝|DB →|，对角线相等的平行四边形为矩形，故选B. 5．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 答案 B解析 OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|⇒|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2⇒AB →·AC→＝0 ∴三角形为直角三角形，故选B 6．(09·重庆理)设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )则C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 C解析 依题意得3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )，3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，3sin C ＋cos C ＝1,2sin(C ＋π6)＝1，sin(C ＋π6)＝12.又π6<C ＋π6<7π6，因此C ＋π6＝5π6，C ＝2π3，选C.7．在△ABC 中，AB →·BC→＝3，△ABC 的面积S ∈[32，32]，则AB →与BC →夹角的取值范围是( )A ．[π4，π3]B ．[π6，π4]C ．[π6，π3]D ．[π3，π2] 答案 B解析 设〈AB →，BC →〉＝α，因为AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos α＝3⇒|AB →|·|BC→|＝3cos α，又S ＝12|AB →|·|BC →|·sin(π－α)＝12·3cos α·sin(π－α)＝32tan α，而32≤S ≤32⇒32≤32tan α≤32⇒33≤tan α≤1⇒π6≤α≤π4.故选B.8．如图所示，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的所在边的中点，若(AB →＋BC →)·(BA →＋AD→)＝0，则四边形EFGH 是( )A ．平行四边形，但不是矩形B ．矩形C ．菱形D ．正方形 答案 B解析 ∵AB→＋BC →＝AC →，BA →＋AD →＝BD →，且(AB →＋BC →)·(BA →＋AD →)＝0， ∴AC →·BD→＝0，即AC →⊥BD →. 又∵E 、F 、G 、H 为四边形ABCD 四边的中点， ∴EH→∥BD →∥FG →，EF →∥AC →∥HG →，故四边形EFGH 为平行四边形且EH →⊥EF →，即为矩形．9．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1、F 2成120°角，且F 1，F 2的大小分别为1和2，则有( )A ．F 1，F 3成90°角B ．F 1，F 3成150°角C ．F 2，F 3成90°角D ．F 2，F 3成60°角 答案 A解析 由F 1＋F 2＋F 3＝0⇒F 3＝－(F 1＋F 2)⇒F 23＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos120°＝1＋4＋4×(－12)＝3⇒|F 3|＝ 3.由|F 1|＝1，|F 2|＝2，|F 3|＝3知，F 1，F 3成90°角． 二、填空题10．已知坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →等于________．答案 －34解析 设A (y 212，y 1)，B (y 222，y 2)，则OA →＝(y 212，y 1)，OB →＝(y 222，y 2)， 又由y 1y 2＝－p 2＝－1.∴OA →·OB →＝(y 212，y 1)·(y 222，y 2)＝14y 21y 22＋y 1y 2 ＝14－1＝－34 三、解答题11．已知向量m ＝(0，－1)，n ＝(cos A,2cos 2C2)，其中A 、B 、C 是△ABC 的内角，且A 、B 、C 依次成等差数列，求|m ＋n |的取值范围．解析 2B ＝A ＋C ，B ＝π3，A ＋C ＝2π3∴0<A <2π3m ＋n ＝(cos A,2cos 2C2－1)＝(cos A ，cos C )|m ＋n |＝cos 2A ＋cos 2C ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2C2＝1＋12[cos2A ＋cos (4π3－2A )]＝1＋12cos (2A ＋π3) π3<2A ＋π3<5π3∴－1≤cos(2A ＋π3)<12∴|m ＋n |∈[22，52)．1．(2010·全国卷Ⅰ)已知圆O 的半径为1，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么P A →·P B →的最小值为( ) A ．－4＋ 2 B ．－3＋ 2 C ．－4＋2 2 D ．－3＋2 2 答案 D解析 设|P A →|＝|P B →|＝x ，∠APB ＝θ，则tan θ2＝1x ，cos θ＝x 2－1x 2＋1，则P A →·P B→＝x 2×x 2－1x 2＋1＝x 4－x 2x 2＋1＝(x 2＋1)2－3(x 2＋1)＋2x 2＋1＝x 2＋1＋2x 2＋1－3≥22－3，当且仅当x 2＋1＝2，即x 2＝2－1时，取“＝”，故P A →·P B →的最小值为22－3，故选D.2．设G 是△ABC 的重心，且(56sin A )GA →＋(40sin B )GB →＋(35sin C )GC →＝0，则B的大小为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60° 答案 D解析 ∵G 为△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，∴56sin A ＝40sin B ＝35sin C ，结合正弦定理有56a ＝40b ＝35c ，∴a ＝57b ，c ＝87b ，由余弦定理有cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∴B ＝60°.3．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝(m ，m2＋sin α)，其中λ，m ，α为实数．若a ＝2b ，则λm 的取值范围是( )A ．[－6,1]B ．[4,8]C ．(－6,1)D ．[－1,6] 答案 A解析 由a ＝2b 得λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝2(m 2＋sin α)，则λm ＝2m －2m ＝2－2m .又从条件中消去λ，4m 2－9m ＋4＝2－(sin α－1)2∈[－2,2]，从而得14≤m ≤2，代入λm ＝2m －2m ＝2－2m ，得λm ∈[－6,1]，故选A.4．(09·天津文，15)若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM→＝16CB →＋23CA →.则MA →·MB→＝________. 答案 －2 解析如图所示．MA →·MB →＝(CA →－CM →)·(CB →－CM →)＝(CA →－16CB →－23CA →)·(CB →－16CB →－23CA →) ＝(13CA →－16CB →)·(56CB →－23CA →)＝518CA →·CB →－29CA →2－536CB →2＋19CB →·CA → ＝718CA →·CB →－29CA →2－536CB →2 ＝718×(23)2×12－29(23)2－536(23)2。