07级《数学分析》本科期终试题A答案
2007年试卷及参考答案 数值分析
2007年试卷参考答案一、 实际问题---数学模型---数值方法---计算结果；误差：a.建立数学模型过程：模型误差，参数误差；、b.选择数值方法过程：截断误差；c.计算过程：舍入误差，传播误差；二、Newton 插值多项式：001001201001012()()[,]()[,,]()()()01(,)25(,,)6n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x f x x f x x x =+-+--===-代入牛顿插值公式N n(x)=由上可知，两种方法得到的插值多项式是一样的，那么他们的余项也相同。
012'''()()()()()6f R x x x x x x x ξ=--- 三、（不考）四、五、A=104441044410⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,D=diag(10,10,10),L=000400440⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭,U=044004000--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;Jacobi 迭代方法 0][11)()1(≥-=∑≠=+k x a b a x n ij j k j ij i ii k i , . 1123121313121[134()]101[254()]101[114()]10k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-+⎪⎩收敛性由|()|0D L U λ-+=给出 Gauss —Seidle 迭代方法 ][11)(11)1()1(∑∑+=-=++--=n i j k j ij i j k j ij i ii k i x a x a b a x ,n i ,,2,1 =. ， 1123112131113121[134()]101[254()]101[114()]10k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-+⎪⎩收敛性由|()|0D L U λ--=给出六、不考七、八、euler 法 1(,)m m m m y y h f x y +=+ 那么有1 1.5m m y y +=，0(0)1y y ==2 2.25y =改进erler 法 111[(,)(,)]2m m m m m m h y y f x y f x y +++=++ 那么有135m m y y +=，0(0)1y y == 225 2.789y == 精确解为e ，由上可知，改进法更接近，收敛速度更快。
数学分析期末试卷A答案
通化师范学院考试试题参考答案及评分标准试卷代号（数学—001—A ） 考试科目：数学分析I考试专业：数学与应用数学、信息与计算科学 考试年级：大一 考试学期：秋季学期本参考答案共（3）页………………………………………………………………………………………………………一、填空题（每小题2分，共10分）1.0,1； 2．1； 3．dx x x x x )2cos 22sin 2(2+； 4．t a b cot -； 5．]23,(-∞或)23,(-∞. 二、单项选择题（每小题2分，共10分）1.C;2.A;3.D;4.B;5.D三、判断题 （每小题2分，共10分，在对的后面划∨，在错的后面划×）1. ∨；2. ∨；3. ×；4. ×；5. ∨四、计算题（每小题5分，共20分）1.求极限)122(lim n n n n ++-+∞→.解:)112(lim )122(lim n n n n n n n n n ++-+-+=++-+∞→∞→ .011lim 121lim =++-+++=∞→∞→n n n n n n （5分）2.求极限2132lim 31x x x x -→+∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 解:2132lim 31x x x x -→+∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭2311332332lim 13131x x x e x x --→+∞⎧⎫+⎪⎪⎡⎤⎛⎫=+⋅=⎨⎬ ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭⎪⎪⎩⎭. （5分）3.设,)2(sin x x y =其中0>x ,求y '.解:()())sin 2ln (cos )2(2ln sin sin 2ln sin 2ln sin xx x x x x x e e y x x x x x +⋅='⋅='='. （5分） 4.设x x x f sin )(3=,求)()2009(x f .解:令3)(,sin )(x x v x x u ==.由于)2sin()()(πn x x u n +=,)4(0)(,6)(,6)(,3)()('''''2'≥====n x v x v x x v x x v n . （1分） 应用莱布尼茨公式)2009(=n 得++++=)22008sin(3)22009sin()(1200923)2009(ππx C x x x x f )22006sin(6)22007sin(63200922009ππ+++x C x xC x x x x x x x sin 200720082009cos 200820093sin 20093cos 23⨯⨯-⨯⨯-⨯+=（4分）五、证明题（每小题10分,共50分）1.用“N -ε”定义证明11lim =+∞→n n n . 证明:对任给0>ε,要使 ε<+=-+1111n n n ， 只须11->εn .令11+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ,（5分）则当N n >时有ε<-+11n n .因此11lim =+∞→n n n .（5分） 2.用“δε-”定义证明424lim 22=--→x x x . 证明:由于当2≠x 时,2424242-=-+=---x x x x ,（2分） 故对任意给定的0>ε,只要取εδ=,（4分）则当δ<-<20x 时有ε<---4242x x .这就证明了.424lim 22=--→x x x (4分) 3.根据柯西准则叙述lim ()x f x →+∞不存在的充要条件,并应用它证明lim cos x x →+∞不存在.证明:(1)设函数()f x 在()U +∞内有定义,则lim ()x f x →+∞不存在的充要条件是:存在某个 00ε>,对于任何正数0M >,总存在,()x x U '''∈+∞,有,x x M '''>,但是0)()(ε≥''-'x f x f .（4分）(2) 取012ε=,对任意正数0M >,取1][+=M n 及2x n π'=,22x n ππ''=+ ,则 ,x x M '''>,但0|()()||cos cos ||cos 2cos(2)|12f x f x x x n n πππε''''''-=-=-+=>. 所以,lim cos x x →+∞不存在.（6分） 4.证明:)0()(≠+=a b ax x f 在),(+∞-∞上一致连续.证明:任给0>ε,由于,)()(''''''x x a x f x f -=-故可选取a εδ=,（5分）则对任 何),(,'''+∞-∞∈x x ,只要δ<-'''x x ,就有ε<-)()('''x f x f .这就证得b ax x f +=)(在),(+∞-∞上一致连续.（5分）5.设)(x f 为],[b a 上二阶可导函数,0)()(==b f a f ,并存在一点),(b a c ∈使得0)(>c f .证明至少存在一点),(b a ∈ξ,使得0)(<''ξf .证明:因为)(x f 在],[b a 上二阶可导⇒)(x f 在],[],,[b c c a 上均二阶可导,由拉格朗日中值定理推得存在,,11c a <<ξξ使,0)()()(1>--='ac a f c f f ξ 存在,,22b c <<ξξ使.0)()()(2<--='c b c f b f f ξ（6分） 而)(x f '在),(],[21b a ⊂ξξ可导,同样推得.0)()()(1212<-'-'=''ξξξξξf f f （4分）。
人大2007年数学分析真题
2007数学分析试题：（请将答案做再答题纸上，再试题上做题无效）（本试卷共六道大题，满分150分）一、（本题满分20分）设()f x 在∞（0，）内可导，并且存在p ＞0使得()lim p x f x x →+∞=1. (1) 对任何1＞|δ|＞0，求极限lim x →+∞[(1)]()p f x f x p x δδ+-； (2) 求二次极限0l i m δ→l i m x →+∞[(1)]()p f x f x p xδδ+-； (3) 若'()f x 单增，证明对任何h ＞0，x ∈(0,)+∞，只要x -h ∈(0,)+∞，就有()f x -()f x h -≤'()hf x ≤()f x h +-()f x ；(4) 证明：lim x →+∞'1()p f x px -=1.二、（本题满份25分）设直线y =ax (0＜a ＜1)与抛物线y =2x 在第一象限所围成的平面图形的面积为1s ，y =ax ，y =2x 与直线x =1所围成的平面图形的面积为2s .(1) 试确定a 的值使得1s +2s 达到最小,并求出最小值；(2) 求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积；(3) 用定积分表示该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的侧面积(不必求出它的值).（1） 设p ∈(0,1)，将()f x =cos px 在[,]ππ-展开为以2π为周期的傅立叶级数；（2）利用11x+的麦克老林展开式，证明：p ∈(0,1)时， 1101p x dx x -+⎰=0(1)nn p n ∞=-+∑； （3）证明：p ∈(0,1)时，1101p px x dx x --++⎰= sin p π．四、（本题满分20分）证明边长分别为,,,a b c d 的凸边形中，当,a b 边的夹角α满足cos α=22222()a b c d ab cd +--+， 并且,c d 的夹角γ满足α+γ=π时，该四边形的面积最大，并且最大面积为 S =1()sin 2ab cd a +．五、（本题满分20分）设 [,]a b ⨯[,)c +∞={(,)x y |,a x b c y ≤≤≤<+∞}，(,)f x y 定义在[,]a b ⨯[,)c +∞上．(1) 叙述含参变量x 的无穷限广义积分()I x ＝(,)c f x y dy +∞⎰在[,]a b 上一致收敛的柯西原理；(2) 叙述函数级数1()n n x μ+∞=∑在[,]a b 上一致收敛的柯西原理； (3) 证明：()I x ＝(,)c f x y dy +∞⎰在[,]a b 上一致收敛的充要条件是对任何发散+∞的数列1{}n n A +∞=，(,1,2,...)n A c n >=，函数项级数11(,)n n A A n f x y dy -+∞=∑⎰在在[,]a b 上一致收敛，其中0A =c ．设V 是空间二维单连通的有界区域，其边界∑是简单光滑曲面，点00,0,0()P x y z ∈V .u =(,,)u x y z 在_V =V ⋃∑上具有连续偏导数,在V 内具有二阶连续偏导数,且满足22u x ∂∂+22u y ∂∂+22uz ∂∂=0.(1) 证明:0lim t +→214t πtudS ∑⎰⎰=00,0,0()u x y z ,其中t ∑是含在V 内的球面222000()()()x x y y z z -+-+-=2t ()0t >; (2) 设_n =(,,)n x y z 为t ∑上点(,,)p x y z 处的 外 法 向 量,0000{,,}r p p x x y y z z ==--- ,r r =,证明:1tu dS r n∂∂∑⎰⎰ ;(3) 设_n =(,,)n x y z 为 ∑上点(,,)p x y z 处的 外 法 向 量, 0000{,,}r p p x x y y z z ==--- ,r r =,计算积分21c o s (,)1[]4r n u u dSr r n π∂+∂∑⎰⎰ .。
2007级高等数学下册A卷试题答案
高等数学下册试题（A1）卷
6.L为 ，直线y=x围成区域的边界， 为连续函数，则 =答( D )
（A） ；（B） ；
（C） ；（D） 。
7.流速场 ，则流过球面的流 量值
（A）0（B） （C） （D）1答( A )
8.断 的收敛性，下列说法正确的是
（A） 此级数收敛。（B） 此级数收敛。
（C） 级数发散。（D）以上说法均不对。答( D )
二、填空题(本大题分8小题,每小题3分,共24分)
1、函数项级数 在 内的和函数是。
2、设 ，则 =。56
3、设 ，则
4、已知幂级数 的收敛区间为[-4，4]，
幂级数 的收敛区间为为。 。
5、由二重积分的几何意义得到 =。
大题
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
六、（本题6分)设
， =
七、（本题6分)、求由方程 所确定的隐函数 的极值点。
解：
， 解得： ，代入原方程得 求得驻点 和
由于， 故 为极小点，
由于， 故 为极大点，
6、设 由z= 与平面z=2围成闭区域，把I= 化为直角坐标系下的三次积分为。
7、设F(x,y)可微，如果曲线积分 与路径无关，
则 应满足条件。
（D） ＋
说明：1.试题须用碳素墨水钢笔集中填在方格内，答题纸另附并装订于后，字迹须工整清晰；2.试题须经教研室或系（部）领导认真审核并签署本人代号；3.学生只须在第一页试题纸上填写姓名等
东华理工大学2007—2008学年第2学期
高等数学下册试题（A2）卷
五、（本题6分)证明极限 不存在。
07数分B第二学期期末试题解答（A卷）
¶u ¶y
-
2z
¶z ¶y
+
4y
=
0
…………
8
ï ïî
¶¶yz
=
2xy
+
ln
y
分 将 x = 2, y = 1, u = 1, z = 1代入得 ¶u = 2, ¶z = 4 ………… 10 ¶y ¶y
1
三、
ò ò I = 2 1dy 3-2y2 ( y2 - x)dx
0
y2
2
4
ò= 1(18y - 9y - 9)dy 0
24
=5
………… 3 分 ………… 6 分 ………… 8 分
四、设所求点为
(
x 0
,
y 0
,
z 0
)
，曲面在此点的法向量为
n
=
{y 0
,
x 0
,-1}
………… 3 分
由题设 n //{1,3,1}，故
y 0
=
x 0
=
-1
131
得
x
0
=
-3 ，
y
0
………… 2 分 ………… 3 分 ………… 4 分
………… 5 分
选择折线路径：(0,0) ® (t,0) ® (t,-t),则有
ò
()
I=
t , -t
(0 , 0)
(x2 y3
+
2x5
+ ky)dx + [xf
(xy) + 2y]dy
ò= (t , -t) (x2 y3 + 2x5 + ky)dx + [x(x2 y2 + k) + 2y]dy (0 , 0)
2007年河南省专升本真题高数(及答案)
2007年河南省专升本真题高数(及答案)2007年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试 《高等数学》试卷 题号 一 二 三 四 五 六 总分 核分人 分数一. 单项选择题（每题2分，共计50分）在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后 面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分.1.集合}5,4,3{的所有子集共有 （ ）A. 5B. 6C. 7D. 82.函数x x x f -+-=3)1arcsin()(的定义域为（ ）A. ]3,0[B. ]2,0[C. ]3,2[D. ]3,1[3. 当0→x 时，与x 不等价的无穷小量是 ( )A.x 2B.x sinC.1-x eD.)1ln(x +4.当0=x 是函数xx f 1arctan)(= 的 （ ）A.连续点B. 可去间断点C.跳跃间断点D. 第二类间断点5. 设)(x f 在1=x 处可导，且1)1(='f ，则hh f h f h )1()21(lim 0+--→的值为（ ）A.-1B. -2C. -3D.-4 6.若函数)(x f 在区间),(b a 内有0)(,0)(<''>'x f x f ，则在区间),(b a 内，)(x f 图形 （ ）A ．单调递减且为凸的B ．单调递增且为凸的C ．单调递减且为凹的D ．单调递增且为凹的7.曲线31x y +=的拐点是 （ ） A. )1,0( B. )0,1( C. )0,0( D. )1,1(8.曲线2232)(x x x f -=的水平渐近线是 （ ） A. 32=y B. 32-=y C. 31=y D. 31-=y9. =⎰→42tan limxtdt x x （ ）A. 0B.21C.2D. 1 10.若函数)(x f 是)(x g 的原函数，则下列等式正确的是 （ ）A.⎰+=C x g dx x f )()(B. ⎰+=C x f dx x g )()(C.⎰+='C x f dx x g )()(D. ⎰+='C x g dx x f )()(11.⎰=-dx x )31cos( （ ）A.C x +--)31sin(31B. C x +-)31sin(31C. C x +--)31sin(D. C x +-)31sin(312. 设⎰--=xdt t t y 0)3)(1(，则=')0(y （ ）A.-3B.-1C.1D.3 13. 下列广义积分收敛的是 （ ）A.⎰+∞1x dxB. ⎰+∞1x dxC.⎰+∞1x x dxD. ⎰10xx dx 14. 对不定积分⎰dx xx 22cos sin 1，下列计算结果错误是 （ ）A. C x x +-cot tanB. C xx +-tan 1tanC. C x x +-tan cotD. C x +-2cot15. 函数2x y =在区间]3,1[的平均值为（ ）A. 326B. 313 C. 8 D. 416. 过Oz 轴及点)4,2,3(-的平面方程为 （ ） A. 023=+y x B. 02=+z y C. 032=+y x D. 02=+z x17. 双曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-014322y z x 绕z 轴旋转所成的曲面方程为 （ ）A.143222=-+z y x B. 143222=+-z y x C.143)(22=-+z y x D. 14)(322=+-z y x 18.=+-→→xy xy y x 93lim 00 （ ）A.61 B. 61- C.0 D. 极限不存在19.若y x z =，则=∂∂)1,(e yz （ ）A. e1B. 1C. eD. 020. 方程 132=-xz y z 所确定的隐函数为),(y x f z =，则=∂∂xz（ ）A. xz y z 322-B. y xz z 232-C. xz y z 32-D. yxz z23-21. 设C 为抛物线2x y =上从)0,0(到)1,1( 的一段弧，则⎰=+Cdy x xydx 22（ ）A.-1B.0C.1D.222.下列正项级数收敛的是 （ ）A. ∑∞=+2131n nB. ∑∞=2ln 1n n nC. ∑∞=22)(ln 1n n nD. ∑∞=21n nnn 23.幂级数∑∞=++01)1(31n n n x 的收敛区间为 （ ）A.)1,1(-B.)3,3(-C. )4,2(-D.)2,4(-24. 微分x e y y y x cos 23-=+'+''特解形式应设为=*y （ ） A. x Ce x cos B. )sin cos (21x C x C e x +- C. )sin cos (21x C x C xe x +- D. )sin cos (212x C x C e x x +- 25.设函数)(x f y =是微分方程x e y y 2='+''的解，且0)(0='x f ，则)(x f 在0x 处（ ）A.取极小值B. 取极大值C.不取极值D. 取最大值二、填空题（每题2分，共30分）26.设52)(+=x x f ，则=-]1)([x f f _________.27.=∞→!2lim n nn ____________. 28.若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=02203)(4x ax x e x f x ，，在0=x 处连续，则=a ____________. 29.已知曲线22-+=x x y 上点M 处的切线平行于直线15-=x y ，则点M得分 评卷人的坐标为 ________30.设12)(-=x e x f ，则 =)0()2007(f _________31.设⎩⎨⎧+-=+=12132t t y t x ，则==1t dx dy__________ 32. 若函数bx ax x f +=2)(在1=x 处取得极值2，则=a ______，=b _____33. ='⎰dx x f x f )()( _________ 34．⎰=-121dx x _________35.向量k j i a ρρρρ-+=43的模=||a ρ________ 36. 已知平面1π：0752=+-+z y x 与平面2π：01334=+++mz y x 垂直，则=m ______37.设22),(y x xy y x f +=+，则=),(y x f ________ 38.已知=I ⎰⎰-21220),(y ydx y x f dy ，交换积分次序后，则=I _______39.若级数∑∞=11n n u 收敛，则级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1111n n n u u 的和为 _______ 40.微分方程02=+'-''y y y 的通解为________三、判断题（每小题2分，共10分） 你认为正确的在题后括号内划“√”，反之划“×”. 41.若数列{}n x 单调，则{}n x 必收敛.( )42.若函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f ≠，则一定不存在),(b a ∈ξ，使0)(=ξ'f . ( )43.1sin sin lim cos 1cos 1lim sin sin lim -=-=+-======+-∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x 由洛比达法则. ( )44.2ln 23102ln 02≤-≤⎰-dx e x .( )45.函数),(y x f 在点),(y x P 处可微是),(y x f 在),(y x P 处连续的充分条件.( )四、计算题（每小题5分，共40分）46．求x x x sin 0lim +→.得分评卷人得分 评卷人47.求函数3211x x x y +-⋅=的导数dxdy. 48.求不定积分⎰++dx x e x )]1ln([2.49.计算定积分dx x ⎰π+02cos 22 .50.设)3,sin (2y x y e f z x =，且),(v u f 为可微函数，求dz . 51．计算⎰⎰Ddxdy x 2，其中D 为圆环区域：4122≤+≤y x .52．将242xx-展开为x 的幂级数，并写出收敛区间. 53．求微分方程0)2(22=--+dx x xy y dy x 的通解. 五、应用题（每题7分，共计14分） 54. 某工厂欲建造一个无盖的长方题污水处理池，设计该池容积为V 立方米，底面造价每平方米a 元，侧面造价每平方米b 元,问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低？55. 设平面图形D 由曲线x e y =,直线e y =及y 轴所围成.求： （1）平面图形D 的面积;(2) 平面图形D 绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.六、证明题（6分）56.若)(x f '在],[b a 上连续，则存在两个常数m 与M ，对于满足b x x a ≤<≤21的任意两点21,x x ，证明恒有)()()()(121212x x M x f x f x x m -≤-≤-.2007年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试(答案)一1解：子集个数D n ⇒==8223。
2007年专升本高等数学(二)A参考答案及评分标准
《高等数学（二）》试卷（A ）参考答案及评分标准1.求曲12+=x xe y 在点)1,0(的切线方程和法线方程2. 解：x x xe e x y 22)(+='， （1分）2)0(='y （1分）切线方程：12+=x y （2分） 法线方程：121+-=x y （2分） 3. 12+=x e y x, 求)(x y '. 解：)1ln(2121ln 2+-=x x y （3分） )121(12122+-+='x xx e y x （3分）4. 求微分方程x e y y y 252=+'+''的通解. 解：1）052=+'+''y y y特征方程为 0522=++r r ，解为 i r 21±-= （2分）通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x+=- （2分）2）设特解为 xAe y =*，代入 求得 41=A （1分） 故原方程通解为 x xe x C x C e y 41)2sin 2cos (21++=- （1分）5. 设函数()y y x =由方程2022=-⎰-y t dt e xy 确定，求微分dy .解：2220y y xyy y e -''+-= （4分） dx xyey dy y 222-=- （2分）6. 求极限)cot 11(lim 20x x x x -→.解： )cot 11(lim 20x xx x -→xx xx x x s i n c o s s i n l i m 20-=→ （2分）30cos sin limx xx x x -=→ （2分）313sin lim 20==→x x x x （2分） 7. 确定级数∑∞=13!sin n n nn 的收敛性.解： !!sin 33n n n n n ≤， （1分） 由比值判别法判断，级数∑∞=13!n n n 收敛 （3分）由比较判别法判断原级数绝对收敛 （2分） 8.计算定积分20x ⎰.解： 设t x sin 2=，2cos dx tdt = （1分）2sin 2222204sin 2cos x tx t tdt π==⋅⎰⎰（1分）2204s i n 2t d t π=⎰（2分）202(1cos4)t dt ππ=-=⎰ （2分）9. 确定幂级数111n nn x na∞-=∑收敛半径及收敛域，其中a 为正常数. 解： a a a nn n 1l i m1==+∞→λ （2分）收敛半径为 a R = （1分）当a x =时，级数发散 （1分）当a x -=时，级数收敛 （1分） 故收敛域为 ),[a a - （1分）10. 求⎰++-dx x x x x )1(322. 解：1123)1(3222++-=++-x x x x x x x （3分） C x x x dx x x x x +-+-=++-⎰arctan )1ln(ln 3)1(3222 （3分）11. 求解微分方程x e x y y sin cos -=+'. 解： 1) 0cos =+'x y yx d xydycos -= （1分） C x y ~s i n ln +-= （1分） x Ce y sin -= （1分） 2) x e x u y sin )(-= （1分） x x xe x u e x u y sin sin cos )()(---'='x x e e x u x y y s i ns i n )(c o s --='=+', 解得，()u x x C =+ （1分） 故 x e C x y sin )(-+= （1分）四、综合题：（本题共4个小题，总分30分）1. (本题7分) 将函数x y arctan =展开为麦克劳林级数.解：∑∞=-=+='022)1(11n nn x x y （3分） ∑∞=++-==01212)1(a r c t a n n n n xn x y （3分） ]1,1[-∈x （1分） 2. (本题7分)计算n →∞+++解：2214121222222+≤++++++≤+n n nn n n nn n （3分）由limlim1n n →→== （3分）可得1n →∞+++= （1分）3. (本题8分)设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-=0,0,cos )()(x a e x xxx x f xϕ，其中()x ϕ具有二阶导数，且1)0(=ϕ，0)0(='ϕ，1)0(=''ϕ，(1) 确定a 的值，使)(x f 在0=x 处连续； (2) 求)(x f '.解：（1）0lim ()1x f x a -→=+ （1分）()11cos lim ()lim x x x xf x xϕ++→→-+-=0()(0)1cos lim (0)00x x x x x ϕϕϕ+→--⎡⎤'=+=+=⎢⎥⎣⎦， （1分） 于是，当1-=a 时，)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f （1分） （2） 当0x >时，2(()sin )(()cos )'()x x x x x f x xϕϕ'+--=， （1 分） 当0x <时， '()x f x e = （1分）当 0x =时，已知()x ϕ具有二阶导数，且1)0(=ϕ，0)0(='ϕ，1)0(=''ϕ，由2()cos (0)()cos (0)lim lim x x x xf x xx f xxϕϕ+++→→---'==0()sin ()(0)sin (0)1lim lim 22222x x x xx x xx x ϕϕϕϕ++→→'''''+-⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦=1 （1分）11lim )0(0=-='-→-xe f x x （1分）因为(0)(0)1f f -+''==，所以'(0)1f =.由此得2(()sin )(()cos ),0()1,0,0x x x x x x x x f x x e x ϕϕ'+--⎧>⎪⎪'==⎨⎪<⎪⎩（1分）4.(本题8分)设)(x f 在),1[+∞具有连续导数，且满足方程⎰=+-x dt t f t x f x 1221)()1()(，求)(x f .解： 0)()1()()(222=+-'+x f x x f x x xf （1分）记 )(x f y =，易见 1)1(=y （1分） y x x y x )12(22+-='dx xx x y dy 2212+-= （2分） C xx x y ~1ln 2ln +--= （1分） xx xx x e xC Cey 121ln 2---== （1分） 由1)1(=y 可知，1=C （1分）综合可得 xx e xy 121-= （1分）。
南开大学2007年数学分析试题解答
=
lim
n→∞
n k =1
1 n
⋅
1
1 +
k
=
1 1 dx = ln 2 . 01+ x
n
∫ (2) +∞1 − e−t sin tdt = ______
0t
∫ ∫ +∞
解答：将原积分拆成两部分，注意到
sin t dt
=
π
+∞
，只需计算 e−t
sin t dt
.
0t
2
0
t
∫ 令
I (α )
=
+∞
e−αt
注：也可用对 z3 类似方法，分别对 x3, y3 利用函数奇偶性和对称分析。本人第一次采用的方
法是利用广义球极坐标变换硬算，发现几乎算不下去而放弃此法。对于这类"定义域"和被积 函数很整齐对称的问题，我们应该养成一种好习惯。即首先应观察问题能不能利用对称性、 奇偶性化简问题，然后再考虑利用何种方法计算。不假思索的死算、硬算容易跌入下层！
∫ ∫ B( p, q) = 1 x p−1(1 − x)q−1dx ， Γ( p) = +∞ x p−1e−xdx ( p > 0, q > 0 )
0
0
π
∫ 令 x = sin2 t ，可得其等价形式 B( p, q) = 2 2 sin2 p−1 t cos2q−1 tdt 0
它们之间有如下关系：
南开大学 2007 年数学分析试题解答
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本科数学分析试题及答案
本科数学分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是有界函数？A. f(x) = sin(x)B. f(x) = e^xC. f(x) = x^2D. f(x) = 1/x2. 函数f(x) = x^3在区间(-1, 1)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数3. 极限lim (sin(x))/x 当x→0的值是：A. 1B. -1C. 0D. 不存在4. 以下哪个选项是Riemann积分的基本性质？A. 加法性质B. 可加性C. 可乘性D. 线性5. 函数f(x) = |x|在x=0处的导数是：A. 1B. -1C. 0D. 不存在6. 如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么：A. 它在该区间上一定有最大值和最小值B. 它在该区间上一定可导C. 它在该区间上一定可积D. 它在该区间上一定有界7. 以下哪个序列是发散的？A. 1, 1/2, 1/3, ...B. 1, 2, 4, 8, ...C. -1, 1, -1, 1, ...D. 2, 2, 2, ...8. 函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的最大值是：A. 0B. 1C. 2D. 49. 如果一个函数在区间[a, b]上可积，那么：A. 它在该区间上一定连续B. 它在该区间上一定有界C. 它的反函数在[a, b]上可积D. 它的绝对值在[a, b]上可积10. 以下哪个选项是Cauchy收敛准则的一个结果？A. 如果序列的部分和有界，则序列收敛B. 如果序列的项趋于0，则序列收敛C. 如果序列的项趋于一个极限，则序列收敛D. 如果序列的任意子序列都收敛，则序列收敛二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x=2处的值为______。
12. 如果函数f(x)在点x=a处可导，那么极限lim (f(x) - f(a))/(x - a) 当x→a的值是______。
07级A卷参考答案
离散数学2007级A卷试题参考答案一、填空题（每小题2分，共20分）1．┐p∧q 2．┐∃x(F(x)∧G(x))3．(F(a)∨F(b)∨F(c))→(G(a)∧G(b)∧G(c)) 4．f是双射的5．2 6．<a3>=<e, a3, a6, a9>7．(a∧b)∨c≥c 8．79．2 10．n-1二、判断题（每小题2分，共20分，正确的划√，错误的划×）1．×2．√3．√4．√5．×6．×7．×8．×9．×10．√三、计算题（每小题5分，共15分）1．M2∧M4∧M5∧M62． I={<<2,2>,<2,2>>, <<2,4>,<2,4>>, <<4,2>,<4,2>>, <<4,4>,<4,4>> } R⊆I3． 2m=2n-2=2*2+2*3+1*4+(n-5)*1=9+n解出n=11，m=10，t=11-5=6。
四、证明题（共45分）1．(8分)设集合D,E,F∈P(B) (1分)(1) 证明对称差运算具有可结合性(4分)(D⊕E)⊕F＝((D⊕E)∩～F)∪(～(D⊕E)∩F)＝[((D∩～E)∪(～D∩E))∩～F]∪[～((D∩～E)∪(～D∩E))∩F]＝(D∩～E∩～F)∪(～D∩E∩～F)∪[～(D∩～E)∩～(～D∩E)∩F]＝(D∩～E∩～F)∪(～D∩E∩～F)∪[(～D∪E)∩(D∪～E)∩F] 但：[(～D∪E)∩(D∪～E)∩F]＝[(～D∩D)∪(E∩D)∪(～D∩～E)∪(E∩～E)]∩F＝[φ∪(D∩E)∪(～D∩～E)∪φ]∩F＝(D∩E∩F)∪(～D∩～E∩F) 故：(D⊕E)⊕F ＝((D⊕E)∩～F)∪(～(D⊕E)∩F)＝(D∩～E∩～F)∪(～D∩E∩～F)∪(D∩E∩F)∪(～D∩～E∩F) 同理：D⊕(E⊕F)＝((D⊕E)∩～F)∪(～(D⊕E)∩F)＝(D∩～E∩～F)∪(～D∩E∩～F)∪(D∩E∩F)∪(～D∩～E∩F) 因此，(D⊕E)⊕F＝D⊕(E⊕F)所以对称差运算具有结合性。
2007-2008a(参考答案)
华东政法大学2007-2008学年第一学期期末考试商学院07级各专业《高等数学》A 卷参考答案一、填空题（每题2分，共20分）(1) e(2) 0(3) -2(4) 0(5) 3(6) C x F +-)(c o s(7) xdy x dx yxy y ln 1+- (8) ⎰⎰ee y dx y xf dy ),(10(9 ) 1/2 (10) 222-。
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，每小题2分，共20分）(1) C (2) B (3) D (4) A (5) A (6) B (7) C （8）A （9）C （10）A三、计算题（每小题6分，共30分）1、解：x x xf x x dt t tf x x x x F 2)(0)(00lim lim )(lim 20→→→=⎰= （3分）2/)(lim 0x f x →= 02/)0(==f （5分）所以当0=x 时，F （x ）在x=0处连续。
（6分）2、解：)111111(1lim )21111(lim 1nn n n n n n n n +++++=++++∞→∞→ n n i n i n 111lim 1∑=∞→+= （2分） ⎰+=1011dx x （4分）2ln |)1ln(10=+=x （6分）3、解：323552x x y -= 0)'52(332351310'＝令x x x x y -=-=，所以x=1是函数的稳定点。
X=0是函数的不可导的点，这两点是可能的极值点。
在0)('),0,(>-∞x f ,0)('),1,0(<x f ,0)('),,1(>∞x f所以函数的单调区间增区间为)0,(-∞),1(∞，单调递减区间为)1,0(在点x=0处，函数取得极大值0； 在点x=1处，函数取得极小值－3。
（3分）)12()'(''3239101310+==--x x y x x 令,0''=y 则x=-1/2，则在0)(''),,(21<--∞x y ，0)(''),,(21>+∞-x y ，因此，函数在区间),(21--∞内凸，在),(21+∞-内凹。
07-08数学分析答案
07-08数学分析答案暨南⼤学考试试卷⼀、单选题（每⼩题2分, 共8分）1. 设{}n a 为⼀数列, 且lim 0.n n a →∞=以下结论中不成⽴的是（ b ）.(a) 存在正数,M 使对⼀切正整数n 有||n a M ≤;(b) 若存在正整数0,N 使当0n N >时有0,n a < 则lim 0n n a →∞<;(c) 任取{}n a 的⼦列{},k n a 则lim 0k n k a →∞=;(d) lim ||0n n a →∞=.2. 设变量α是当0x x →时的⽆穷⼩量, 则下列结论（ c ）成⽴.(a) α是⼀个很⼩的数; (b) α可取任意⼩数;(c) 当0x x →时, sin αα为α的⾼阶⽆穷⼩量; (d) sin αα与α是当0x x →时的等价⽆穷⼩.3. 设11,1(),1x x x f x e x --≤?=?>?, 则1x =是f 的（ c ）.(a) 连续点; (b) 可去间断点; (c) 跳跃间断点; (d) 第⼆类间断点. 4. 设()||f x x =, 则对曲线()y f x =成⽴以下结论（ d ）.⼆、填空题（每空1.5分, 共15分）1. 设(1){1|1,2,}2nn S n -=+=, 则 inf S = 1/2 , sup S = 5/4 .2. sin limx xx→∞= 0 .3. 令1(),1f x x=+ 则f 在1x =处带有佩亚诺型余项的泰勒公式为 2231111 1(1)(1)(1)(1)(1)((1))2222n nnn f x x xo x+=--+-++--+- 4. 设2()1(3),(3)xf x x x =+>-+ 则函数f 的严格递增区间为（-3,3） ,极值点为x = 3 , 最⼤值为 13/12 , 其对应的曲线的渐近线为1 3.y x ==-⽔平渐近线和竖直渐近线5. 函数y 的严格凹区间为 (0,) +∞, 其对应的曲线的拐点为(0,0)三、判断题（若正确的命题请给予证明,错误的命题请举出反例并作必要的说明）（每⼩题6分, 共12分）设12,[,]x x a b ∈，则2212121212121212()()()2(),f x f x x x x x x x x x x x a b x x -=-=+?-≤+?-≤+- 所以，对任给的0,ε>取,2()a b εδ=+则当12,[,]x x a b ∈且12x x δ-<时，就有12()()f x f x ε-<,故()f x 在[,]a b 上⼀致连续.2. 设函数f 在0x 点可导, 则f ⼀定在0x 的某邻域内可导. 解：此命题是错误的.举⼀个反例如下: 2()(),f x x D x =其中()D x 为狄利克雷函数.因为()(0)()0, ( 0) 0f x f xD x x x -=→→-故f 在0x =可导.取01ε=,对0x =的任意δ邻域(不论正数δ多⼩),任取0(0,),x U δ∈00,x ≠存在有理数列{}n x 和⽆理数列{}n x '，满⾜0();n x x n →→∞0()n x x n '→→∞，但220(),()()0n n n f x x x n f x =→→∞'=200x ≠，故f 在0x =的任意δ邻域均不连续，所以f 不可导.四、计算题（每⼩题5分, 共45分）（1）设21ln(1),2y xarctgx x 2=-+ 求y '.解: y '=21()(ln(1)2xarctgx x 2''-+=22222111()(1)1()21arctgx x x x x x2''+??-?+++222111221()21arctgx x x x x x 2=+?-++2=+-++（2）设22()(1)u x y x =+（其中()u u x =为可微函数），求dy .解：222222()()ln(1)()ln(1)22((1))()(()ln(1))u x u x x u x x dy d x d e ed u x x ++=+==+22()2222(1)[()(l n (1))l n (1)(())]u x x u x d x x d u x =++++ 22()2222(1)[()l n (1)()()].1u x x x u x x u x u x dx x'=++++（3）设函数()y y x =是由参数⽅程33cos sin x ty t==所确定, 求dy dx 及24t d y π=. 解：32 32(sin )3sin cos sin tan (cos )3cos (sin )cos dy dy t t t tdt t dx dx t t t tdt'?====-=-'?-； 222324(tan )sec 1所以224t d y dx π==（4）设21,0(),xx x x f x e x ?++≥?=?解：当0x >时，()()21,()2,()0(3);k f x x f x f x k '''=+=≡≥当0x <时，()()(1).k x f x e k ≡≥ 当0x =时，由左右导数定义可求得(0)(0)(0)1,f f f +-'''===⽽当2k ≥时,()(0)k f 不存在,整理后得21, >0,()1, =0,, <0,x x x f x x e x ?+?'=2, >0, (), =0,, <0,x x f x x e x ??''=不存在当3n ≥时,()()()()0(0),()(0),(0)k k x k f x x f x e x f =>=<不存在.2. 求极限（1）222lim()21222n nnnn n n n→∞++++++;解:因为22222222222212222121n n n n nlim lim 222n n n n n n n n →∞→∞==++, 所以由迫敛性,得2221lim().212222n nnn n n n n →∞+++=+++（2）20ln(1)cos lim 1x x x xe tgx →+++;解:因为函数在0x =连续,故2200ln(1)cos ln(10)cos001lim 1.11010x x x x e tgx e tg →+++++===+++（3）011lim()1x x x e →--;解:这是⼀个∞-∞型不定式极限,通分后化为0型的极限,即000011111lim()lim lim lim .1122x x x x x x x x x x x x x e x e e x e xe x e xe e xe →→→→----====--+-+（4）12sin 0lim(1)xx x →+;解:这是⼀个1∞型不定式极限.作恒等变形211ln(1)2sin sin (1)x xx其指数部分的极限201limln(1)sin x x x →+是00型不定式极限,可先求得220012101lim ln(1)lim 0,sin cos 1x x x x x x x →→?++===从⽽得到120sin 0lim(1)1.xx x e →+==（5）2221lim()1n n n n →∞-+.解:先求函数极限22222221(1)1lim()lim ,11(1)x x x x x x x x x→∞→∞--=++ 由于2222111lim(1)lim 1(1)x x x xx e x→∞→∞--==-且221lim(1)x x e x →∞+=,故 2222222211lim(1)11lim()11lim(1)x x x x x x x x e x e e x→∞→∞→∞--===++,由归结原则,可得222211lim()1n n n n e →∞-=+.五、证明题（第1、2⼩题每题6分, 第3⼩题8分,共20分）1. ⽤N ε-定义证明222312222231515621n n n n n n n n n n n n ++++-=≤=----，所以，任给0,ε>取6[]1,N ε=+则当n N >时，有222312,n n n nε++-<-故22231lim 2.n n n n n →∞++=-2. 设2()1xf x x =+, ⽤εδ-定义证明函数f 连续. 解:易见函数定义域为,R 任取0,x R ∈不妨设01,x x -<0000222200()(1)()()11(1)(1)x x xx x xf x f x x x x x ---=-=++++001x x xx ≤-?-00000(1)(1(1))x x x x x x x x ≤-+?<-++?200(1),x x x ≤-+ 故对任给0,ε>取20min{1,},(1)x εδ=+则当0x x δ-<时,0()(),f x f x ε-<即()f x 在0x 点连续.由0x 的任意性知, f 在R 上连续.3. 设函数g 在闭区间[,](0)a b a b <<上连续, 在开区间(,)a b 内可导, ()0,g a <()0,g b <且存在(,)c a b ∈使()0.g c > 证明: ⾄少存在⼀点(,)a b ξ∈使()()0.g g ξξξ'+=证明:因为函数g 在闭区间[,][,](0)a c a b a b ?<<上连续,且()0,g a <()0,g c > 由零点定理知,存在1(,),a c η∈使得1()0.g η=同理, 因为函数g 在闭区间[,][,](0)c b a b a b ?<<上连续,且()0,g c >()0,g b <由零点定理知,存在2(,),c b η∈使得2()0.g η=构造12[,]ηη上的辅助函数()()G x xg x =,易见()G x 在闭区间12[,]ηη上连续,在开区间12(,)(,)a b ηη?上可导,且111222()()0,()()0,G g G g ηηηηηη====由罗尔定理,可得⾄少存在⼀点12(,)(,),a b ξηη∈?使得()0G ξ'=,即。
07学期大学数学试卷(A卷)(附答案).docx
华南农业大学期末考试试卷A卷评分标准（参考）2007学年第一学期考试科目：大学数学一、选择题：【把所选的代码A、B、C、D之一填入（）内】（每小题3分，共15分）设0=（1,0」）心=（1丄0）心=（220）°4=（2丄1）,则向量组久如心皿共有C ）个极大无关组。
二、填空题：（每小题3分，共15分）6、吧（―畑占=——Q_'-2 4、7、 1 (-1 2)= -1 2<3 > <-3 6>1、函数cos手的-个原函数是（B)°2、3、4、A、7t • 7tX—sin ——B、2 . 7TX—sin ——7t 2C、兀.71X--- sin2设/（兀）在兀。
处可导，则lim /（兀+3山）-/（兀。
）=（△AT OD、）。
A、3/U)B、-3/z(x0)C、在［3 3］上满足拉格朗日定理的条件的是（c、y = ln(x-l)2曲线y = ln（l-x2）在区间（OJ）内A.单调增加XL是凸的B、)°B、D、D、C、单调增加.且是凹的D、y=|3兀|y = x6)o单调减少II是凸的单调减少且是凹的2 • 7TX--- sin —7t 25、X、3 B、4 C、58、设A 是三阶方阵且|內二丄，"是A 对应的伴随矩阵，则行列式1(34)-*-2A*|的值16 2710、函数y = x-ln(l + x)的极小值点为 x 二()三、计算题：(每小题6分，共36分)11、 求极限lim(l + 2x)AoXT Ol+x1 ・解:方法1 lim(l + 2兀)x =lim(l + 2兀尸 ............. 2分X->0XT ()丄2=lim(l + 2x)2工 lim(l + 2x)......................... 4 分 XT OXT O——ln(l+2x) lim —ln(l+2x) lim(l + 2x) x = lime x= e x ^ x x->0x->0其中 lim 出ln(l + 2x) = lim h(1+ 2'V )+limln(l + 2x) = lim二一=2 ......................... 5分 x —>0 兀 XT ()兀 JVT O大一>()]+ 2x1+x所以 lim(l + 2x) A=e 2 ................................ 6分A->012、设sin(x+y-z)二 z + x ,—o ox dy解：方法1 sin(x+y-z) = z + x 两边对兀求偏导，得cos(x+y-z)(l-^) = ^ + l ................................... 2 分ox dx解得主=cos(x+)一 z)-1 ................... 3 分 dx l + cos(x+ y-z)丄丫lim(l + 2x)2x -\=e 2XT O............................ 6分l+x方法2为sin(x+y-z) = z + x两边对y求偏导，得cos(x + y - z)(l -— ............................................. 5 分ay ay解得 3z = cos(x +y-z) ................................ § 分dy l + cos(x+y-z)方法 2 令F(x,y,z) = sin (兀+y_z)_z_兀， .................. 1 分则 F x =cos(x+y-z) — 1, F y =cos(x+y - z), F z =-cos(x+y-z)-l, .............................. 4 分 从而主-坨=cos(Hy-z)-l ......................... 井dx F 二 l + cos(x+y-z)dz F 、, cos(x +y-z) dy F. l + cos(%+y-z)1 0_1 1 ,且E 为三阶单位阵，求（E-AY [O0 31-10 10 014、计算解：令\fx = r,则兀=尸 ................ 2分I e <x dx= I e f 2tdt = 2 f tde 1 ....................................... 4 分 Jo Jo J 013、已知 A= -1 解：・・・(E — AE)~ 1 0-10 10 ................................. 2分0 -2 0 01 "I -11 0 0~0 1-1 1 00 1 -2 -I 0 1"I -1 0 1 0 o -0 1 0 -1 2 -1 _0 0 1 0 1-1-1 0 1 0 o - 0 1 -1 -1 1 01 0 1j0 0 02 — -r0 1 0 -12-i_0 0 11— -i0 (E-A)_, = -1 0 2 -12 -1 1 -11............................... 6分=2 te f15、计算二重积分fJ xydxdy,其中D是由直线y = x与抛物线^ = r所围成的区域。
2007级a卷
(c )多项式与有理式(d)无理数与正数的不尽方根
以上概念中具有同一关系的有（）
(A)（a）(B)（b）
(C)（a）与（b）(D)（a）、(b)与（d）
5、在下列定义中，属于发生定义的是（）
(A)有一个角是直角的平行四边形，叫做矩形。
(B)如果 ，那么 叫做 的立方根。
（C）有理数和无理数统称为实数。
(D)在平面上，射线绕它的端点旋转所成的图形叫做角。三、简答Fra bibliotek：(每小题8分)
1、数学语言和板书的运用要符合那些要求？
2、建构主义数学教育理论的主要观点是什么？
3、简述发现法数学教学的优点？
4、简述培养学生运算能力的基本途径？
5、如何确定一节课的难点？
6、写出“函数的奇偶性”一节课的教学目标、教学重点和难点
数学教育概论3邯郸学院2009-2010学年第一学期
2007级数学与应用数学专业本科期末考试试卷（A）
一、
1、通常意义下，数学三大特点是指、、.
2、中学数学教学内容包括概念、法则、性质、公式、公理、定理等，以及由此内容所反映出来的。
3、如果一个概念的外延是另一个概念外延的子集，这两个概念间的关系
是关系或关系。
4、启发的方式多种多样，有、、等
5、《全日制年制义务教育数学课程标准》指出，数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画，逐步抽象概括形成方法和理论，并进行的过程
6、“有理数和无理数统称实数”用的是定义方式
二、单选题：(每小题3分)
1、《三角形中位线定理的应用》课的课型是( )；
(A)新知课(B)复习课(C)讲评课(D)练习课
2、类比推理是（）
(A)由特殊到一般的推理(B)由一般到特殊的推理
2007年专升本高等数学(二)A参考答案及评分标准
(A）当 p < 1 时，发散 (C) 当 p > 1 时，条件收敛
5. 若 y = x sin x ， y = sin x 分 别 为 非 齐 次 线 性 方 程 y + py + qy = f ( x ) 的 解 ， 则
y = ( x + 1) sin x 为下列方程中（ B ）的解：
9. 求
x2 - x + 3 dx . x( x 2 + 1)
（3 分）
x 2 - x + 3 3 2x + 1 解： = x( x 2 + 1) x x 2 + 1 x2 - x + 3 dx = 3 ln x - ln( x 2 + 1) - arctan x + C 2 x( x + 1)
10. 求解微分方程 y + y cos x = e 解： 1) y + y cos x = 0
(1) 确定 a 的值，使 f ( x ) 在 x = 0 处连续； (2) 求 f ( x ) . 解： （1） lim- f ( x ) = 1 + a
x 0
（1 分）
x
lim+ f ( x ) = lim+
0 x 0
j ( x ) - 1 + 1 - cos x x
= lim+
x 0
j ( x ) - j (0) 1 - cos x + = j (0) + 0 = 0 ， x x
(A） y + py + qy = 0 (C) y + py + qy = f ( x ) （B） y + py + qy = 2 f ( x ) (D) y + py + qy = xf ( x )
2007年北京师范大学数学分析高等代数试题参考解答
2
dx
a+b
∫
2 | f ′(t)|dt +
b
∫ dx
x
| f ′(t)|dt
a
x
a+b
a+b
2
2
∫ =
a+b
∫
2 | f ′(t)|dt
t
∫
dx +
b
∫ | f ′(t)|dt
b
dx
a
a
a+b 2
t
3
∫ ≤ b−a
a+b 2
| f ′(t)|dt
+
b
−
a
∫
b
∫ | f ′(t)|dt = b − a
∂2 u ∂x2
+
∂2 u ∂y2
=
0化为平面极坐标下的
方程.
解，x = r cos θ, y = r sin θ.
∂u ∂r
=
∂u ∂x
∂x ∂r
+
∂u ∂y
∂y ∂r
=
∂u ∂x
cos θ +
∂u ∂y
sin θ
∂u ∂θ
=
∂u ∂x ∂x ∂θ
+
∂u ∂y ∂y ∂θ
=−r
∂u ∂x
sin
θ
+
∫ | f ( a + b ) ≤ | f (x)| + |
x
| f ′(x)|dx|
2
a+b
2
两边在[a,
b]上积分.∫ab
|
f
(
a+b 2
)|dx
2007年数学分析
南京航空航天大学2007年数学分析1、计算1lim ()x xx x e →+∞+.（12分） 2、求和221(1)2(1)nn n n ∞=--∑.（12分） 3、设lim 0n n a →+∞=，按“N ε-”定义证明12lim 0n n a a a n →+∞+++=.（12分） 4、计算cos(ln )x dx ⎰.（12分） 5、计算x y x y D dxdy e -+⎰⎰，其中D 是由直线2x y +=，0x =及0y =所围区域. （12分）6、证明：若函数()f x 在区间[),a +∞上连续，且lim ()x f x A →+∞=（有限数），则()f x 在区间[),a +∞上一致连续. （12分）7、设函数()f x 在点0x =处可导，证明：函数()f x 在点0x =处可导当且仅当下列之一成立： i (0)0f ≠； ii (0)0f =且(0)0f '=.（13分）8、设22()1n x S x n x=+，则 i 函数序列{}()n S x 在(),-∞+∞内一致收敛； ii ()n d S x dx ⎧⎫⎨⎬⎩⎭在(),-∞+∞内不一致收敛； iii 极限运算与求导运算不能交换顺序，即lim()lim ()n n n n d d S x S x dx dx →+∞→+∞≠.（13分） 9、讨论函数22220,(,)0,0.x y f x y x y +≠=⎨⎪⎪⎪+=⎩在原点()0,0的连续性、偏导数存在性和可微性. （13分）10、设函数ϕ和ψ具有二阶连续导数.()()u x at x at ϕψ=-++，找出22u t ∂∂与22u x∂∂的关系. （13分） 11、证明22(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++-在整个XY 平面上是某个函数的全微分，并找出一个原函数.若有力场22(2cos cos )(2sin sin )F x y y x i y x x y j =++-， 求质点在此力场内沿椭圆22143x y +=从点():2,0A -移动至点(:B 时，场力所做的功. （13分）12、将函数()2xf xπ-=在[]0,2π上展开成Fourier级数，求出该级数在[]0,2π上的和.并问该级数在[]0,2π上是否一致收敛于它的和函数，为什么？（13分）。
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- 1 - 系(部： 专业： 年级： 学生姓名： 学号：
密 封 线
安康学院2008 — 2009学年第一学期
期末考试07级本科《数学分析》试题答案（A 卷）
一、 填空题
1.
38 , 2. )
()
()(),(q p q p q p B +ΓΓΓ= , 3 )1(xy e xy + 4. ydx+xdy 5. 0)]()([lim 0
||||=-→T s T S D f T 上有界，
在， 6. 2
R m π 7. π2
2a 8.dx y x f dy
y
y
⎰⎰1
),( 9. ⎰⎰⎰π
θθθ201
01
2
),sin ,cos (r rdz z r r f dr d 10. 0
二、选择题
1．D ， 2. A , 3. A , 4. D ， 5. C 三、计算题
1. 分）（分）（分）122223220223(22x
y x y y x dx dz x
y x y dx dy dx dy y dx dy x y x dx
dy
y x dx dz --+=∴--=⇒=+--+= 4
3(21
213(,2
1
),(,2110--+--===
=+=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰e e du e dv dudv e dxdy e
v u J y x v y x u v
v
v
u V v
u D
y
x y x 分）分）
，则令
3 由Green 公式 原式+ dy m x e dx my x e x
BA
x )cos ()sin (-+-⎰
-
- (2分)
⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂
--∂∂=D x x d my y e y m y e x σ
)sin ()cos ( (2分)
⎰⎰=
=D
a m d m 82
πσ (2分) 而
⎰=-+-0)cos ()sin (dy m y e dx my y e x
x A
B
⎰=-+-∴2
8
)cos ()sin (ma dy m y e dx my y e x
x B
A π
(2分)
分）分）
（分）
原式由高斯公式知：
2(5
6
3sin 33()(3:4520
2
4
222R dr r d d dxdydz z y x R
v
πφϕθπ
π
==++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
四 证明题
1
分）
在原点不可微。
不存在。
而分）
分）
同理可得证：4(lim
lim
2()0,0()0,0()0,0()0,0(4.(0)0,0(,0)0,0(.0)
0,0()0,0(lim 2
200
2
2
0f y x y
x dz
z y
x y x y f x f f y x f dz z f f x
f x f x x y x x ∴∆+∆∆∆=-∆∆+∆∆∆=
∆-∆--∆+∆+=-∆==∴=∆-∆+→→→∆ρρρ
2
分）（），，（分）），，（），使
，，中，至少存在一点（：在证：由积分中值定理知5)0,0,0(3
4
lim 34),,(lim 5(34,),,(030
3
f f dv z y x f V V f dv z y x f V V
V
πζηξπρπρζηξζηξρρ==
∴=∆∆=→→⎰⎰⎰⎰⎰⎰
- 2 -
密
封
线。