高一年级数学第二学期月考

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高一数学下学期第二次月考试题含解析试题

海淀区首都师范大学附属中学2021-2021学年高一数学下学期第二次月考试题〔含解析〕一、单项选择题〔一共40分，每一小题4分，一共10小题〕 1.函数()1log 1a x f x x x +=+〔01a <<〕的图象的大致形状是〔〕 A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】对x 分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.【详解】()()()log 11log log 101log 0.a a a ax x x f x x x x x x x ⎧--<-+⎪==--<<⎨+⎪>⎩，，，，，应选C ．【点睛】识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进展定性的分析，从而得出图象的上升(或者下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．()2log 2f x x a x =+-零点的近似值时，假如确定零点所处的初始区间为11(,)42，那么a 的取值范围为〔〕 A. (),2-∞B. 5(,)2+∞C. 52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.5(,2)(,)2-∞⋃+∞【答案】C 【解析】试题分析：由零点存在性定理，可知，即，解得．考点：函数零点存在性定理的应用．3.二次函数f 〔x 〕＝x 2+bx +c ，假设对任意的x 1，x 2∈[-1，1]，有|f 〔x 1〕-f 〔x 2〕|≤6，那么b 的取值范围是〔〕 A. []5,5- B. []4,4-C. []3,3-D. []22-,【答案】C 【解析】【分析】由题意得，当x 1，x 2∈[﹣1，1]，函数值的极差不大于6，进而可得答案．【详解】∵二次函数f 〔x 〕＝x 2+bx +c ＝22b x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+c ﹣24b ，对称轴x ＝﹣2b ，①﹣2b＜﹣1即b ＞2时，函数f 〔x 〕在[﹣1，1]递增， f 〔x 〕min ＝f 〔﹣1〕＝1﹣b +c ，f 〔x 〕max ＝f 〔1〕＝1+b +c ，故f 〔﹣1〕﹣f 〔1〕＝﹣2b ，|f 〔1〕﹣f 〔﹣1〕|＝|2b |≤6得23b <≤ ，②﹣2b＞1时，即b ＜﹣2时，|f 〔1〕﹣f 〔﹣1〕|＝|2b |≤6得32b -≤<-， ③当﹣1≤﹣2b ≤1，即﹣2≤b ≤2时，函数f 〔x 〕在[﹣1，-2b ]递减，函数f 〔x 〕在[﹣2b，1]递增，∴|f 〔1〕﹣f 〔﹣2b 〕|≤6，且|f 〔﹣1〕﹣f 〔﹣2b〕|≤6，即|24b +b +1|≤6，且|24b ﹣b +1|≤6，解得：﹣3≤b ≤3，又﹣2≤b ≤2，故b 的取值范围是[]3,3- 应选C ．【点睛】此题考察的知识点是二次函数的图象和性质，纯熟掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题.4.假设集合{1,2,3,4,5}A =，{|3}B x x =<，那么()R A C B =〔〕A. {4,5}B. {3,4,5}C. {1,2,3}D. {1,2}【答案】B 【解析】【分析】先求得R C B ，然后求两个集合的交集.【详解】依题意{}|3R C B x x =≥，故(){}3,4,5R A C B ⋂=，应选B. 【点睛】本小题主要考察补集、交集的概念和运算，属于根底题.5.函数y = 〕 A. 11{|}22x x x ≥≤-或 B. 11,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C. 11(,)22-D. 1{}2【答案】B 【解析】函数有意义，那么：22410140x x ⎧-≥⎨-≥⎩，求解不等式组可得：2141,2x x =∴=±，据此可得函数的定义域为11,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 此题选择B 选项.6.设集合P ＝{m |－1＜m ≤0}，Q ＝{m ∈R |mx 2＋4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，那么以下说法正确的选项是A. P 是Q 的真子集B. Q 是P 的真子集C. P ＝QD. P ∩Q ＝∅【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的恒成立，分类讨论，确定集合Q ，在根据集合之间的关系，即可求解. 【详解】当m ＝0时，－4＜0对任意实数x 恒成立；当m≠0时，由mx 2＋4mx －4＜0对任意实数x 恒成立可得216160m m m <⎧⎨∆=+<⎩，解得－1＜m ＜0．综上所述，Q ＝{m|－1＜m≤0}，所以P ＝Q ，应选C ．【点睛】此题主要考察了一元二次不等式的恒成立问题的求解及集合关系的断定，其中分类讨论求解一元二次不等式的恒成立问题，得到集合Q 是解答的关键，着重考察了分类讨论思想和推理、运算才能，属于中档试题.7.α是第二象限的角，角β终边经过点(sin ,cos )P αα，那么β为第几象限的角： A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】先根据α所在的象限，判断出sin ,cos αα的符号，由此判断出P 点所在象限，进而求得β终边所在象限.【详解】由于α是第二象限角，所以sin 0,cos 0αα><，所以P 在第四象限，故β为第四象限角，应选:D.【点睛】本小题主要考察三角函数在各个象限的符号，属于根底题. 8.131log 4a =，154b=，，那么〔〕 A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D.b c a >>【答案】C【解析】【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比拟32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以c a b >>. 应选：C.【点睛】此题考察利用指、对数函数的单调性比拟大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比拟大小时，注意数值的正负，对于同为正或者者负的情况可利用中间值进展比拟. 9.正实数a ，b 满足2a b +=，那么12a b+的最小值〔〕 A.32B. 3D. 3+【答案】C 【解析】【分析】化简1212112112()2()()(3)222b aa b a b a b a b a b+=+⨯⨯=+⨯+⨯=++，再利用根本不等式求解. 【详解】121211211211()2()()(3)(3(322222b a a b a b a b a b a b +=+⨯⨯=+⨯+⨯=++≥+=+当且仅当1),2(2a b ==时取等. 应选：C【点睛】此题主要考察利用根本不等式求最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.10.如图，A 、B 两点在双曲线4y x=上，分别经过A 、B 两点向坐标轴作垂线段，S 阴影＝1，那么S 1＋S 2等于( )A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A 【解析】【分析】根据反比例函数的解析式可得4xy =，由此求得两个矩形的面积，用总面积减去叠加起来的两个阴影局部的面积，求得12S S +的值. 【详解】∵点A 、B 是双曲线4y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，那么根据反比例函数的图像的性质得两个矩形的面积都等于4k =，所以1244126S S +=+-⨯=，应选A.【点睛】本小题主要考察反比例函数的图像与性质，考察矩形面积的计算，属于根底题. 二、填空题〔一共25分，每一小题5分，一共5小题〕(2,1),(,1)a b x ==-，且a b -与b 一共线，那么x 的值是【答案】2- 【解析】试题分析：a b -(2,2)x =-，由a b -与b 一共线得2(2)x x =--，解得2x =-．考点：向量的一共线．12.假设a 10=12，a m 2，那么m =______．【解析】10521,522a a m ==== 13.如图①是反映某条公交线路收支差额〔即营运所得票价收入与付出本钱的差〕y 与乘客量x 之间关系的图像．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示：给出以下说法：〔1〕图②的建议：进步本钱，并进步票价；〔2〕图②的建议：降低本钱，并保持票价不变；〔3〕图③的建议：进步票价，并保持本钱不变；〔4〕图③的建议：进步票价，并降低本钱．其中所有说法正确的序号是______．【答案】〔2〕〔3〕【解析】【分析】根据题意知图像反响了收支差额y 与乘客量x 的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当0x =的点说明公司的本钱情况，再结合图像进展说明．【详解】根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明了此建议是降低本钱而保持票价不变，故〔2〕正确；由图③看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即一样的乘客量时收入变大，即票价进步了，即说明了此建议是进步票价而保持本钱不变，故〔3〕正确. 故答案为〔2〕〔3〕【点睛】此题考察用函数图像说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进展判断，考察了读图才能和数形结合思想，解题关键是对图形的理解．14.复数2(1+2i)34i-的值是____________.【解析】【分析】利用多项式乘法化简复数的分子，即可得出结果．【详解】复数()234(1+2i)34134i 3434i ii i---+===----．故答案为-1【点睛】此题考察了复数的运算法那么，属于根底题． 15.函数22x y a -=+〔0a >且1a ≠〕恒过定点(),m n ，那么m n +=________________.【答案】5 【解析】【分析】当20x -=时，函数值域与a 没有关系，由此求得恒过的定点(),m n ，并求得表达式的值. 【详解】当20x -=，即2x =时，函数值域与a 没有关系，此时3y =，故函数过定点()2,3，即2m =，3n =，所以235m n +=+=.【点睛】本小题主要考察指数函数横过定点的问题，当指数函数底数为0的时候，01a =，由此求得恒过的定点，属于根底题. 三、解答题〔一共6小题，一共85分〕()2,,21xf x m x R m =+∈+为常数．〔1〕假设()f x 为奇函数，务实数m 的值；〔2〕判断()f x 在R 上的单调性，并用单调性的定义予以证明; 〔3〕求()f x 在(],1-∞上的最小值．【答案】〔1〕1m =-〔2〕函数()f x 在(),-∞+∞上是减函数，证明见解析〔3〕()min 43f x m =+ 【解析】试题分析：〔1〕由x ∈R ，函数()f x 为奇函数，那么()00f =，或者根据奇函数的定义可务实数m 的值；〔2〕利用函数单调性的定义，计算()()12f x f x -，判断其符号正负，即可判断并证明()f x 在R 上的单调性；〔3〕由〔2〕易得()f x 在(],1-∞上的最小值．试题解析：〔1〕法一：由函数()f x 为奇函数，得()00f =即10m +=，所以1m =-法二：因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，即()()0f x f x -+=∴()()22222121212112x x x x f x f x m m m -⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫-+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭ ()2?212?2222220122112x x x x xm m m +⎛⎫=++=+=+= ⎪+++⎝⎭，所以1m =-〔2〕证明：任取12,x x R ∈，且12x x <那么有()()()()()21122112122?2222222121212121?21x x x x x x x x f x f x m m -⎛⎫⎛⎫-=+-+=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭∵12x x <，∴12220x x -<，∴2210x +>，∴1210x +>，()()120f x f x ->，即()()12f x f x >所以，对任意的实数m ，函数()f x 在(),-∞+∞上是减函数〔3〕∵函数()f x 在(),-∞+∞上为减函数， ∴函数()f x 在(],1-∞-上为减函数， ∴当1x =-时，()()min 413f x f m =-=+ 考点：函数的单调性，奇偶性，以及函数的最值17.有一块铁皮零件，其形状是由边长为30cm 的正方形截去一个三角形ABF 所得的五边形ABCDE ，其中8,AF cm =6BF cm =，如下图.如今需要用这块材料截取矩形铁皮DMPN ，使得矩形相邻两边分别落在,CD DE 上，另一顶点P 落在边CB 或者BA 边上.设DM xcm =，矩形DMPN 的面积为2ycm .〔1〕试求出矩形铁皮DMPN 的面积y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；〔2〕试问如何截取〔即x 取何值时〕，可使得到的矩形DMPN 的面积最大？【答案】〔1〕230,024462,24303x x y x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，定义域(0,30]D =〔2〕先在DE 上截取线段934DM cm =，然后过点M 作DE 的垂线交BA 于点P ，再过点P 作DE 的平行线交DC 于点N ，最后沿MP 与PN 截铁皮，所得矩形面积最大. 【解析】【分析】〔1〕分类讨论,当点P 分别落在线段CB 或者线段BA 上.根据矩形面积即可求得y 关于x 的函数解析式及其定义域.〔2〕根据〔1〕由分段函数,结合二次函数的性质可求得面积的最大值.求得取最大值时x 的值,即可知截取矩形的方式.【详解】〔1〕根据题意并结合图形,可知： ①当点P 落在线段CB 上即024x <≤时,30y x =； ②当点P 在线段BA 上,即2430x <≤时,由PQ BFQA FA=, 得4403QA x =-. 于是y DM PM =⋅DM EQ =⋅24623x x =-. 所以230,024462,24303x x y x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩定义域(0,30]D =.〔2〕由〔1〕知,当024x <≤时,0720y <≤；当3040x <≤时,24623y x x =-2493288328833444x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭ 当且仅当934x =时,等号成立. 因此,y 的最大值为28834. 答：先在DE 上截取线段934DM cm =,然后过点M 作DE 的垂线交BA 于点P ,再过点P 作DE 的平行线交DC 于点N ,最后沿MP 与PN 截铁皮,所得矩形面积最大,最大面积为228834cm . 【点睛】此题考察了分段函数在实际问题中的应用,根据二次函数的性质求得最大值,属于根底题.18.函数22()cos sin cos =-+f x x x x x .〔I 〕求12f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值和函数()f x 的最小正周期；〔II 〕求()f x 的单调递减区间及最大值，并指出相应的x 的取值集合.【答案】〔I 〕π；〔II 〕|6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】(Ⅰ)利用二倍角公式,以及两角和的正弦函数,化简函数为一个角的一个三角函数的形式,然后利用正弦函数的周期公式求出最小正周期；(Ⅱ)根据正弦函数函数的图象和性质,即可求函数()f x 的最大值,利用正弦函数的单调性，解不等式可得单调增区间.【详解】〔I 〕()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，2sin 2sin 12663f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭函数()f x 的最小正周期22T ππ==；〔II 〕由〔I 〕知()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数()f x 的最大值为2，相应的x 的集合为|6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭, 3222,62k x k k Z ππππ≤+≤+∈， ∴()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】此题主要考察三角函数的最值,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性,考察计算才能,此类题目的解答,关键是根本的三角函数的性质的掌握纯熟程度.19.解关于x 的不等式()222ax x ax a R -≥-∈. 【答案】当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-；当0a >时，不等式的解集为2{|x x a≥或者1}x ≤-；当20a -<<时，不等式的解集为2{|1}x x a ≤≤-；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a -≤≤.【解析】【分析】将原不等式因式分解化为()()210ax x -+≥，对参数a 分5种情况讨论：0a =，0a >，20a -<<，2a =-，2a <-，分别解不等式．【详解】解：原不等式可化为()2220ax a x +--≥，即()()210ax x -+≥， ①当0a =时，原不等式化为10x +≤，解得1x ≤-，②当0a >时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，解得2x a≥或者1x ≤-， ③当0a <时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭.当21a >-，即2a <-时，解得21x a-≤≤；当21a=-，即2a =-时，解得1x =-满足题意；当21a <-，即20a -<<时，解得21x a ≤≤-. 综上所述，当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-；当0a >时，不等式的解集为2{|x x a≥或者1}x ≤-；当20a -<<时，不等式的解集为2{|1}x x a ≤≤-；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a-≤≤.【点睛】此题考察含参不等式的求解，求解时注意分类讨论思想的运用，对a 分类时要做到不重不漏的原那么，同时最后记得把求得的结果进展综合表述. 20.()42log ,[116]f x x x =+∈，，函数()()()22[]g x f x f x =+．〔1〕求函数()g x 的定义域；〔2〕求函数()g x 的最大值及此时x 的值．【答案】〔1〕[1]4，；〔2〕4x =时，函数有最大值13．【解析】【分析】〔1〕由()f x 的定义域及复合函数的定义域的求解可知，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解不等式可求〔2〕由可求()()()22[]g x f x f x +＝，结合二次函数的性质可求函数g x （）的最值及相应的x ．【详解】解：〔1〕()42log [116]f x x x =+∈，，，()()()22[]g x f x f x +＝．由题意可得，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解可得，14x ≤≤即函数()g x 的定义域[1]4，；〔2〕()42log ,[116]f x x x =+∈，，()()()()222224444[]2log 2log log 6log 6g x f x f x x x x x ∴=+=+++=++设4log t x =，那么[01]t ∈，，而()()226633g t t t t =++=+-在[0]1，单调递增，当1t =，即4x =时，函数有最大值13．【点睛】此题主要考察了对数函数的性质，二次函数闭区间上的最值求解，及复合函数的定义域的求解，此题中的函数()g x 的定义域是容易出错点．21.设:p “关于x 的不等式2504x ax a -++>的解析为R 〞，:q “函数()12x f x x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间()1,2-上有零点〞. 〔1〕假设q 为真，求a 的取值范围；〔2〕假设p q ∧为假，p q ∨为真，求a 的取值范围.【答案】(1)734a -<<.(2)7(,1][3,5)4--⋃. 【解析】试题分析：〔1〕由命题q 为真，那么(1)0(2)0f f -<⎧⎨>⎩，即可求解实数a 的取值范围.〔2〕根据p q ∧为假，p q ∨为真，得,p q 中一真一假，分类讨论即可求解实数a 的取值范围. 试题解析：〔1〕函数()f x 是增函数，所以假设q 为真，那么()()1020f f ⎧-<⎪⎨>⎪⎩，解得734a -<<. 〔2〕假设p 为真，那么25404a a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，即2450a a -+<，解得15a -<<，因为p q ∧为假，p q ∨为真，所以,p q 中一真一假，假设p 真q 假，那么35a ≤<；假设p 假q 真，那么714a -<≤-，综上，a 的取值范围是][7,13,54⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

2024-2025学年湖北省高一年级9月月考数学试题(含答案)

2024-2025学年湖北省高一年级9月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“∃x∈R，x2+x−1=0”的否定为( )A. ∃x∉R，x2+x−1=0B. ∃x∈R，x2+x−1≠0C. ∀x∈R，x2+x−1≠0D. ∀x∉R，x2+x−1=02.已知集合A={x|−3≤x≤1}，B={x||x|≤2}，则A∩B=( )A. {x|−2≤x≤1}B. {x|0≤x≤1}C. {x|−3≤x≤2}D. {x|1≤x≤2}3.下列命题为真命题的是( )A. ∀a>b>0，当m>0时，a+mb+m >abB. 集合A={x|y=x2+1}与集合B={y|y=x2+1}是相同的集合．C. 若b<a<0，m<0，则ma >mbD. 所有的素数都是奇数4.已知−1<a<5，−3<b<1，则以下错误的是( )A. −15<ab<5B. −4<a+b<6C. −2<a−b<8D. −53<ab<55.甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：A={x|0<Δx<2}，B={x|−3≤x≤5}，C={x|0<x<23}，然后他们三人各用一句话来正确描述“Δ”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数;乙：x∈B是x∈A的必要不充分条件;丙：x∈C是x∈A的充分不必要条件.则“Δ”表示的数字是( )A. 3或4B. 2或3C. 1或2D. 1或36.已知不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>3}，则下列结论正确的是( )A. a>0B. c<0C. a+b+c<0D. cx2−bx+a<0的解集为{x|−13<x<1}7.已知m<8，则m+4m−8的最大值为( )A. 4B. 6C. 8D. 108.向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成;赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成;另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是( )A. 赞成A的不赞成B的有9人B. 赞成B的不赞成A的有11人C. 对A，B都赞成的有21人D. 对A，B都不赞成的有8人二、多选题：本题共3小题，共18分。

高一数学第二学期第一次月考试卷

一数学第二学期第一次月考试卷一、选择题：1．若数列{a n }的通项公式是a n =2(n ＋1)＋3，则此数列 ( )(A)是公差为2的等差数列 (B)是公差为3的等差数列(C) 是公差为5的等差数列 (D)不是等差数列2．等差数列{a n }中，若a 2+a 4+a 9+a 11=32，则a 6+a 7= ( )（A ）9 （B ）12 （C ）15 （D ）163．在数列{a n }中，21=a ，1221+=+n n a a ，则101a 的值为（）（A ）49 （B ）50 （C ）51 (D)524．已知△ABC 三边满足ab c b a c b a =-+⋅++)()(，则角C 的度数为（）（A ）60o （B ）90o （C ）120o (D) 150o5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知A=3π ,3=a ，1=b ,则=c （）（A ）1 （B ）2 （C ）13- （D ）3 6．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）27．设｛a n ｝是由正数组成的等比数列，且a 5a 6=81，log 3a 1+ log 3a 2+…+ log 3a 10的值是（）（A ）5 （B ）10 （C ）20 （D ）2或48．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 ( )(A) (B) (C)(D) 9．数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前99项和为（）（A ）1002101- （B ） 992101-（C ）100299- （D ） 99299-10．一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（）（A ）（B ）（C ）（D ）二、填空题：11．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7=35，则a 4= ．12． △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知A=6π ,334=a ，4=b ,则角B= ． 13．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a ，则cosB= ．14．在钝角△ABC 中，已知1=a ，2=b ，则最大边c 的取值范围是．15．设等比数列{n a }的公比为q ，前n 项和为n S ，若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则q 的值为．16．等比数列的前ｎ项的和13+⋅=n n k S ，则ｋ的值为__________．17．在数列{a n }中，若11=a ，)1(321≥+=+n a a n n ，则此数列的通项公式为．ｏ 1 1 ｘｙｏ 1 1 ｘｙｏ 1 1 ｘｙｏ 1 1 ｘｙ。

高一数学第二学期第二次月考试卷

3 2 , 2)( x 0
0) 上
f (x) 分别取得最大值和最小
值.
(1)求 f (x) 的解析式;
(2)在区间 [ 21 , 23 ] 上是否存在 f ( x ) 的对称轴？请说明理由。 44
23．已知定义在 R 上的函数 f ( x ) a sin x b cos x ( 0, a 0, b 0) 的周期为，
5
21. 239 729
22.（1） A
2,T
3,
2
,
这时
f (x)
2 sin(
2
x
)
3
6
3
6
（2） sin( 2 x ) [ 3 ,0], 故 sin( 2 x ) 1
3
6
2
3
6
即在[ 21 , 23 ] 上不存在 f ( x ) 44
23. 解：（1） f ( x )
则 AB AD BC BE CF
．
17．若 tan =2，则 2sin2 －3sin cos =
。
18．若 sin － cos 7 ， ∈（0，π），则 tan =
。
5
三、解答题（共 5 题，每题 12 分，共 60 分）
19．已知角是第三象限角，且 f ( ) sin( ) cos( 2 ) tan( ) tan( ) sin( )
高一数学第二学期第二次月考试卷
本试题分Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷两部分。考试结束后，将答题卡和Ⅱ卷答题纸上交。本
试卷共 150 分，考试时间为 120 分钟。
一、选择题（每小题 5 分，共 65 分）
1． sin(
19

高一数学下学期第二次月考试题含解析试题 2

上高二中2021-2021学年高一数学下学期第二次月考试题〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 的非负半轴重合，终边过点2(1,P ），那么sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭〔〕C. 5-D. 【答案】A 【解析】【分析】由三角函数定义得到cos α,然后由诱导公式即可得到答案.【详解】角α的终边过点()1,2P ，那么cosx r α===那么sin cos 2παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，应选：A【点睛】此题考察三角函数定义和诱导公式的应用，属于根底题.tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心为〔〕A. ,06π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,04π⎛⎫⎪⎝⎭C. ,03π⎛⎫⎪⎝⎭D. ,02π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据正切函数的对称中心为k π,0k Z 2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可求得函数y 图象的一个对称中心．【详解】由题意，令πk π2x 32+=，k Z ∈，解得k ππx 46=-，k Z ∈，当k 2=时，πππx 263=-=，所以函数πy tan 2x 3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心为π,03⎛⎫⎪⎝⎭．应选：C ．【点睛】此题主要考察了正切函数的图象与性质的应用问题，其中解答中熟记正切函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.a ，b 满足||1a =，||2b =，()()28a b a b +⋅-=-，那么a 与b 的夹角为〔〕A.2πB.3π C.4π D.6π 【答案】B 【解析】【分析】将()()28a b a b +⋅-=-变形解出夹角的余弦值，从而求出a 与b 的夹角。

【详解】由()()28a b a b +⋅-=-得2228a a b b -⋅-=-，即22cos 28a a b bθ-⋅-=-又因为1a =， 2b ，=，所以12cos 88θ--=-，所以1cos 2θ=，3πθ= 应选B.【点睛】此题考察向量的夹角，属于简单题。

高一下学期第二次月考数学试题(含答案)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第二学期第二次月考高一年级数学试题满分150 时间：120分钟一、单项选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 以3i 2-的虚部为实部，以23i 2i +的实部为虚部的复数是（）A. 33i - B. 3i + C. 22i -+ D. 22i+【答案】A 【解析】【分析】确定所求复数的实部和虚部，即可得解.【详解】复数3i 2-的虚部为3，复数23i 2i 32i +=-+的实部为3-，故所求复数为33i -，故选：A.2. 下列命题中，正确的是（）A. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B. 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C. 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D. 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱【答案】D 【解析】【分析】根据直棱柱，正棱锥，长方体，正棱柱的结构特征及定义逐一判断即可.【详解】解：对于A ，因为侧棱都垂直于底面的棱柱叫直棱柱，当两个侧面是矩形时，不能保证所有侧棱都垂直于底面，这样的棱柱不是直棱柱，故A 错误；对于B ，侧棱都相等且底面是正多边形的棱锥叫做正棱锥，故B 错误；对于C ，当底面不是矩形时，这样的四棱柱不是长方体，故C 错误；对于D ，因为棱柱的侧棱平行，则相邻两个侧面与底面垂直，可得所有的侧棱与底面都垂直，所以底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱，故D 正确.故选：D .3. 已知ABC V 中，4,30a b A ===°，则B 等于（）A. 60°或120°B. 30°或150°C. 60°D. 30°【答案】A 【解析】【分析】直接利用正弦定理即可得解.【详解】解：ABC V 中，因为4,30a b A ===°，所以B A >，因为sin sin a bA B=，所以sin sin b A B a ==，又0180A <<°°，所以60B =°或120°.故选：A .4. 若复数z 满足()212i z i +=-，则复数z 所对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【详解】解：由题意可得：122iz i -====+ ,据此可知：复数z 所对应的点位于第四象限.本题选择D 选项.5. 已知平面向量,a b rr 满足3,2a b ==r r ，a r 与b r 的夹角为60°,若()a mb a -^r r r ,则实数m 的值为（）A. 1 B.32C. 2D. 3【答案】D 【解析】【详解】,a b r r的夹角为60o ，且3,2a b ==r r ，则·32cos 603a b =´´=o r r ，又由()a mb a -^r r r ，可得()·0a mb a -=r r r ，变形可得2·a ma b=r r r ，即93m =´ ，解可得3m = ，故选D.6. ABC D 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B p=，4C p=，则ABC D 的面积的为A. 2+B.1+C. 2-D.1-【答案】B 【解析】详解】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．7. 已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π【答案】C 【解析】【详解】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==´´==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R p p ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．8. 向量()1,1a =-r ，且向量a r与向量2a b +r r 方向相同，则a b ×r r 的取值范围是（）A. ()1,1- B. ()1,-+µ【C. ()1,+µD. (),1-µ【答案】B 【解析】【分析】根据共线向量定理，结合条件列出方程，即可得到结果.【详解】因向量a r与向量2a b +r r 方向相同，则存在实数,0l l >，使得()2a a bl =+r r r 即()12a bl l -=r r所以12b a l l -=r r，因为()1,1a =-r ，所以22a =r 所以2112ab a l ll l --×=×=r r r 因为0l >，所以1a b ×>-r r故选:B .二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9. 在ABC V 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，则A 可以是（）A.π12B.6p C.π3D.2π3【答案】ABC 【解析】【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求得cos A 的取值范围，可求得角A 的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】在ABC V 中，设内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，因为222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，可得222b c a bc +-³，则2221cos 22b c a A bc +-=³，0πA <<Q ，π03A \<£.故选：ABC.10. 下列命题中错误的有（）A. 若平面内有四点A B C D 、、、，则必有AC BD BC AD +=+uuu r uuu r uuu r uuu r；为B. 若e r为单位向量，且//a e r r ，则a a e =r r r ；C. 3a a a a =r r r r g g ；D. 若a r 与b r 共线，又b r 与c r 共线，则a r 与c r必共线；【答案】BCD 【解析】【分析】利用平面向量的减法化简判断选项A ；由向量共线以及单位向量的性质判断选项B ；由数量积的运算判断选项C ，由向量共线以及零向量的性质判断选项D ．【详解】对于A ，AC BD BC AD -=-uuu r uu uuu r Q u r uuu r ，AC BD BC AD \+=+uuu r uuu r uuu r uuu r，正确；对于B ，e r为单位向量，且//a e r r ，则a a e =±r r r ，错误；对于C ，23a a a a a a =¹r r r r r r g g g ，错误；对于D ，若0b =r r ，则a r 与b r 共线，b r 与c r 共线，而a r 与c r不确定，错误；故选：BCD11. 在四棱锥P ABCD -中，已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，则下列结论中正确的是（）A. 平面PAB ^平面PADB. 平面PAB ^平面PBCC. 平面PBC ^平面PCDD. 平面PCD ^平面PAD【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,PA AB AB AD ^^，且PA AD A Ç=,,PA AD Ì平面PAD ，所以AB ^平面PAD ，又由AB Ì平面PAB ，所以平面PAB ^平面PAD ，所以A 正确；对于B 中，由已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,PA BC AB BC ^^，且PA AB A =I ,,PA AB Ì平面PAB ，所以BC ^平面PAB ，又由BC Ì平面PBC ，所以平面PAB ^平面PBC ，所以B 正确；对于C 中，假设平面PBC ^平面PCD ，过点B 作BE PC ^，可得BE ^平面PCD ，因为CD Ì平面PCD ，所以BE CD ^，又由CD BC ^，且BE BC B =I ，所以CD ^平面PBC ，可得CD PC ^，这与CD PD ^矛盾，所以平面PBC 与平面PCD 不垂直，所以C 不正确；对于D 中，由已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,PA CD AD CD ^^，且PA AD A Ç=,,PA AD Ì平面PAD ，所以CD ^平面PAD ，又由CD Ì平面PCD ，所以平面PCD ^平面PAD ，所以D 正确.故选：ABD.12. 已知函数()sin f x x x =,则下列命题正确的是（）A. 函数π()(0,)2f x x éùÎêúëû的单调递增区间是π0,6éùêúëû；B. 函数()f x 的图象关于点π(,0)6-对称；C. 函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π6；D. 若实数m 使得方程()f x m =在[]02π，上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则1237π3x x x ++=．【答案】ACD 【解析】【分析】根据辅助角公式把函数的关系变形为正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质应用即可判断各选项.【详解】由()sin f x x x =，得()π2sin 3f x x æö=+ç÷èø.对于A ，当π0,2x éùÎêëû时，ππ56π,33x éù+Îêúëû，当πππ332x £+£即π06x ££时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 单调递增区间为π0,6éùêúëû，故A 正确；对于B ，当π6x =-时，ππππsin sin f æöæö-=-+==¹ç÷ç÷èøèø22106636，故B 不正确；对于C ，函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，得到()πsin g x x m æö=++ç÷èø23所得的图象关于y 轴对称，所以πππ(Z)m k k +=+Î32,解得ππ(Z)m k k =+Î6，当0k =时，m 的最小值是π6，故C 正确；对于D ，如图所示，实数m 使得方程()f x m =在[]02π，上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则必有0x =，或2πx =，此时()πsin f x x æö=+=ç÷èø23π3.所以1237π3x x x ++=，故D 正确.故选：ACD.5分，共20分）13. 计算100的结果为______.【答案】1-【解析】【分析】先求出41=-，所以100425´=，代入即可得出答案.)i 1==+，)()221i 12i i 2ù=+==úû，42i 1==-，所以()1004252511´==-=-.故答案为：1-14. 在正四面体A -BCD 中，二面角A -BC -D 的余弦值是_______ .【答案】13【解析】【分析】根据二面角平面角的定义，结合正四面体的性质，找出该角，由余弦定理，可得答案.【详解】如图，取BC 的中点F ，连接AF ，DF ，则AF BC ^，DF BC ^，即AFD Ð为二面角A BC D --的平面角，设正四面体D ABC -的棱长为6，在正ABC V 中，sin 60AF AB==o sin 60DF BD ==o由余弦定理2221cos 23FD FA AD AFD FD FA +-Ð===××.故答案为：13.15. 若向量a r 、b r 满足1a =r ，2b =r ，且a r 与b r 的夹角为3p，则a b -=rr ________．【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律求得2a b -r r的值，进而可求得a b -r r 的值.【详解】由于向量a r 、b r 满足1a =r ，2b =r ，且a r 与b r 的夹角为3p ，则cos 13a b a b p ×=×=r r r r ，()222223a b a ba ab b -=-=-×+=r r r rr r r r Q，因此，a b -=r r .【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的模，考查计算能力，属于基础题.16. ABC V 中60B =o，AC =2AB BC +最大值______．【答案】【解析】【分析】根据余弦定理，列出方程，利用一元二次方程根的判别式，可得答案.详解】设AB c =，AC b =，BC a =，由余弦定理：222cos 2a c b B ac+-=，所以2223a c ac b +-==，设2c a m +=，则2c m a =-，代入上式得227530a am m -+-=，方程有解，所以28430m D =-³，故m £，当m =时，此时a =，c =，符合题意，因此最大值为.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应有文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知三个点A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)．（1）求证：AB uuu r ⊥AD uuu r；（2）要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标．【答案】（1）证明见解析（2）(0，5)【解析】【分析】（1）计算AB AD ×uuu r uuu r得其为0可证；（2）由AB uuu r ＝DC uuu r可得C 点坐标．【小问1详解】证明：A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)．∴AB uuu r ＝(1，1)，AD uuu r＝(－3，3)．【又∵AB uuu r ·AD uuu r ＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB uuu r ⊥AD uuu r .【小问2详解】∵AB uuu r ⊥AD uuu r ，若四边形ABCD 为矩形，则AB uuu r ＝DC uuu r.设C 点的坐标为(x ，y )，则有(1，1)＝(x ＋1，y －4)，∴11,41,x y +=ìí-=î∴0,5.x y =ìí=î∴点C 的坐标为(0，5)．18. 在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，D 是1CC 的中点，F 是1A B 的中点.（1）求证：//DF 平面ABC ；（2）求证：AF BD ^ .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取AB 的中点E ，连接CE 、EF ，证明出四边形CDFE 为平行四边形，可得出//DF CE ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出CE ^平面11AA B B ，可得出CE AF ^，可得出AF DF ^，再证明出1AF A B ^，利用线面垂直的判定定理与性质定理可证得结论成立.【小问1详解】证明：取AB 的中点E ，连接CE 、EF ，如下图所示：在正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，因为E 、F 分别为AB 、1A B 的中点，则1//EF AA 且112EF AA =，D Q 为1CC 的中点，则1CD AA //且112CD AA =，//CD EF \且CD EF =，所以，四边形CDFE 为平行四边形，故//DF CE ，DF ËQ 平面ABC ，CE Ì平面ABC ，因此，//DF 平面ABC .【小问2详解】证明：1AA ^Q 平面ABC ，CE Ì平面ABC ，1CE AA \^，ABC Q V 为等边三角形，E 为AB 的中点，则CE AB ^，1AB AA A Ç=Q ，AB 、1AA Ì平面11AA B B ，CE \^平面11AA B B ，AF ÌQ 平面11AA B B ，则AF CE ^，//DF CE Q ，AF DF \^，1AB AA =Q ，F 为1A B 的中点，则1AF A B ^，1A B DF F =Q I ，1A B 、DF Ì平面1A BD ，AF \^平面1A BD ，BD ÌQ 平面1A BD ，AF BD \^.19. 当实数m 为何值时，复数()()2281532i 8z m m m m -+-+=+在复平面内的对应点满足下列条件：（1）位于第四象限；（2）位于实轴负半轴上（不含原点）；（3）在上半平面（含实轴）．【答案】（1）73m -<<（2）4m =（3）7m £-或4m ≥【解析】【分析】（1）由实部大于0且虚部小于0列出不等式组求解；（2）由实部小于0且虚部等于0列式求解；（3）由虚部大于或等于0列出不等式求解．【小问1详解】要使点位于第四象限，则有228150,3280,m m m m ì-+>í+-<î∴35,74,m m m <>ìí-<<î或∴73m -<<；【小问2详解】要使点位于实轴负半轴上（不含原点），则有228150,3280,m m m m ì-+<í+-=î∴35,74,m m m <<ìí=-=î或∴4m =；【小问3详解】要使点在上半平面（含实轴），则有20328m m +-³，解得7m £-或4m ≥．20. 已知ABC V 的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．【答案】845p ，485p 【解析】【分析】根据旋转体的定义，明确组合体是由同底的两个圆锥组成的，结合圆锥的侧面积和体积公式可得答案.【详解】如图，在ABC V 中，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D .由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，知AC 2＋BC 2＝AB 2，则AC ⊥BC ，∵BC ·AC ＝AB ·CD ，∴CD ＝125，记为r ＝125，那么ABC V 以AB 所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r ＝125，母线长分别是AC ＝3，BC ＝4，所以S 表面积＝πr ·(AC ＋BC )＝π×125×(3＋4)＝845π，V ＝13πr 2(AD ＋BD )＝13πr 2·AB ＝13π×12()52×5＝485π.21. 在锐角三角形ABC V 中，角,,A B C 对边分别为,,a b c2sin 0b A -=．（1）求角B 的大小；（2）若5a c +=，且,a c b >=，求AB AC ×u u u r u u u r的值．的【答案】（1）3B p=；（2）1AB AC ×=uuu r uuu r ．【解析】【分析】（1）利用正弦定理，直接计算求解即可.（2）利用余弦定理，计算求出cos A ，然后，利用向量的内积公式，即可求解.【小问1详解】2sin 0b A -=2sin sin 0A B A -=，因为sin 0A ¹，所以sin B =，又B 为锐角，所以3B p =．【小问2详解】由（1）知，3B p =，因为b =，所以根据余弦定理得2272cos 3a c ac p =+-，整理得2()37a c ac +-=，又5a c +=，所以6ac =，又a c >，所以3,2a c ==，于是222cos 2b c a A bc +-===所以||||cos 21AB AC AB AC A ×===uuu r uuu r uuu r uuu r ．22. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2,CA CB CD BD AB AD ======（1）求证：AO ^平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；（3）求点E 到平面ACD 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）（3【解析】【分析】（1）根据线面垂直判定定理，结合勾股定理和等腰三角形的性质，可得答案；（2）根据异面直线夹角的定义，结合中位线性质和余弦定理，可得答案；（3）根据等体积法，结合三角形面积公式，可得答案.【小问1详解】证明：,,.BO DO AB AD AO BD ==\^Q 则222AO BO AB +=，即1AO =，,,.BO DO BC CD CO BD ==\^Q 则222CO BO BC +=，即CO =，在AOC △中，由已知可得2222,AC AO CO AC =\+=，.AO OC ^BD OC O Ç=Q ，,BD OC Ì平面BCD ，AO \^平面BCD【小问2详解】取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知,ME AB OE DC ////\直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角在OME V 中，111,22EM AB OE DC ====OM Q 是直角AOC △斜边AC 上的中线，11,2OM AC \==222cos 2OE EM OM OEM OE EM +-\Ð==××\异面直线AB 与CD 所成角的大小为；【小问3详解】设点E 到平面ACD 的距离为.h 11,.33E ACD A CED ACDCED V V h S AO S --=\××=××V V Q 在ACD △中，2,CA CD AD ===12ACD S ==\V 而11,12CED AO S ===V，AC CED D AO S h S ×\===V V \点E 到平面ACD。

2024-2025学年高一上学期第二次月考(10月)数学试题

2024级高一数学试题总分：150分时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定为（）x ∀∈R 2210x x -+>A.， B.，x ∀∈R 2210x x -+<x ∀∉R 2210x x -+>C.， D.，x ∃∈R 2210x x -+≥x ∃∈R 2210x x -+≤2.定义集合运算.设，，则集合的真子{},,A B c c a b a A b B ==+∈∈◇{}0,1,2A ={}2,3,4B =A B ◇集个数为（）A.32B.31C.30D.153.设集合，，那么下面的4个图形中，能表示集合到集合且{}02M x x =≤≤{}02N y y =≤≤M N 以集合为值域的函数关系的有（）NA ①②③④ B.①②③C.②③D.②4.已知函数.下列结论正确的是（）()223f x x x =-++A.函数的减区间()f x ()(),11,3-∞- B.函数在上单调递减()f x ()1,1-C.函数在上单调递增()f x ()0,1D.函数的增区间是()f x ()1,3-5.已知函数，则下列关于函数的结论错误的是（）()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩()f xA. B.若，则()()11f f -=()3f x =x C.的解集为 D.的值域为()1f x <(),1-∞()f x (),4-∞6.已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（）()f x []0,1fA.和B.和⎡⎣[]1,0-⎡⎣[]0,1C.和D.和[]1,0-[]1,0-[]1,0-[]0,17.设函数；若，则实数的取值范围是（）()()()4,04,0x x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨--<⎪⎩()()231f a f a ->-a A. B.()(),12,-∞-+∞ ()(),21,-∞-+∞ C. D.()(),13,-∞-+∞ ()(),31-∞-+∞ 8.已知函数满足，则（）()f x ()111f x f x x ⎛⎫+=+⎪-⎝⎭()2f =A. B. C. D.34-343294二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.设集合，集合，若，则实数的值可以为（ {}2280A x x x =--={}40B x mx =-=A B =∅R m ）A. B. C.0 D.12-1-10.已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（）0x <()()240ax x b -+≥A. B.0a >0b <C.的最小值为8 D.的最小值为2a b -1b a +16411.已知，均为正实数.则下列说法正确的是（）x y A.的最大值为22xy x y +128.若，则的最大值为84x y +=22x y +C.若，则的最小值为21y x+=1x y +3+D.若，则的最小值为22x y x y +=-12x y x y +++169三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数______()f x =13.已知函数满足对任意实数，都有成立，()25,1,1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩12x x ≠()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦则实数的取值范围是______a 14.记为，，中最大的数.设，，则的最小值为______.{}max ,,abc a b c 0x >0y >13max ,,y x x y ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；()f x ()()94ff x x =+()f x （2）已知函数.求的解析式；()24212f x x x +=-()f x （3）已知函数满足，求函数的解析式.()f x ()1222f x f x x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭()y f x =16.（本小题满分15分）已知定义在的函数，，满足对，等式()0,+∞()f x ()21f =(),0,x y ∀∈+∞恒成立且当时，.()()()f xy f x f y =+1x >()0f x >（1）求，的值；()1f 14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）若，解关于的不等式：.()21f =x ()()64f x f x +-≤17.（本小题满分15分）已知函数()21,1,1x ax x f x ax x ⎧-++≤=⎨>⎩（1）若，用定义法证明：为递增函数；3a =()f x （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围.x ()22f x x >-a 18.（本小题满分17分）两县城和相距20km ，现计划在县城外以为直径的半圆弧（不含A B AB AB 两点）上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂AB C 对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为4；对城的影响度与所选地点到城A A B 的距离的平方成反比，比例系数为，对城市和城市的总影响度为城市和城市的影响度之和，B K A B A B 记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为，统计调查表明：当C A x C A B y 垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为0.065.AB AB （1）将表示成的函数；y x（2）判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总信影响度最小？若存AB A B 在，求出该点到坡的距离；若不存在，说明理由.A 19.（本小题满分17分）已知集合，其中，由中元{}()12,,2k A a a a k =⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥()1,2,i a Z i k ∈=⋅⋅⋅⋅⋅⋅A 素可构成两个点集和：，.P Q (){},,,P x y x A y A x y A =∈∈+∈(){},,,Q x y x A y A x y A =∈∈-∈其中中有个元素，中有个元素.新定义一个性质：若对任意的，，则称集合具P m Q n G x A ∈x A -∉A 有性质G（1）已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性{}0,1,2,3J ={}1,2,3K =-{}222L y y x x ==-+质，若有，则直接写出其对应的集合、；若无，请说明理由；G P Q （2）集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？A G 2024k =Q （3）试判断：集合具有性质是的什么条件并证明.A G m n =。

高一数学第二次月考试卷(含答案)

高一数学第二次月考试卷班级______姓名________ 命题教师——一、选择题（本题12小题，每题5分，共60分）1、0150tan 的值为（ A ） A.33- B ．33 C ．3- D. 3 2、终边在第一象限和第三象限的平分线上的角的集合为（B ）A 、{}0022545，B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k 4k ，ππαα C 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k 4k 2，ππαα D 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=Z k 4k ，ππαα 3、若54sin -=θ，0tan >θ，则=θcos （ B ） A 、54 B 、53- C 、43 D 、43- 4、角α与角γ的终边相同，且α是第一象限角，1tan =γ，090+=αβ，则βsin =（A ） A.22 B ．22- C ．21 D. 21- 5、已知3)tan(=+απ，则)cos()sin()cos()sin(απαπααπ+-+-+-的值为（B ） A.2 B.-2 C.3 D.-3 6、已知集合{}5,4,3,2,1=A ，{}A y x A y A x y x B ∈-∈∈=,,),(,则B 中所含元素的个数为( D ) A.3 B.6 C.8 D.107、已知)(x f 在R 上是奇函数，且满足)()4(x f x f =+，当)2,0(∈x 时，22)(x x f =，则=)7(f （ A ） A.-2 B.2 C.-98 D.988、函数)23(log 21-=x y 的定义域是 ( D )A 、[)+∞,1B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,32D 、⎥⎦⎤ ⎝⎛1,329、函数)1(log )1(log 22-++=x x y 在定义域上是（ C ）A 、偶函数B 、奇函数C 、增函数D 、减函数10、已知函数)91(,log 2)(3≤≤+=x x x f ，则函数[])()(22x f x f y +=的最大值为（C ） A.6 B.13 C.22 D.3311、设函数)0(,ln 31)(>-=x x x x f ，则)(x f y =（ D ） A.在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1e ，()e ,1内均有零点 B. 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1e ，()e ,1内均无零点 C. 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1e 内有零点，在区间()e ,1内无零点 D. 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1e 内无零点，在区间()e ,1内有零点 12、若方程0)5()2(2=-+-+m x m x 的两根都大于2，则m 的取值范围是（A ）A 、(]4,5--B 、(]4,-∞-C 、()2,-∞-D 、()()4,55,---∞-二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13、设扇形的周长为8cm,面积为42cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 2 。

高一数学月考试题及答案

高一数学月考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 若函数f(x) = 2x + 1，g(x) = x^2 - 2x + 1，则f(g(x))等于A. x^2 + 2x + 1B. 2x^2 - 3x + 2C. 2x^2 + 1D. x^2 - 3x + 33. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=3，a_4=10，则公差d等于A. 2B. 3C. 4D. 54. 函数y=x^2-2x+3的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 55. 圆x^2 + y^2 = 25的圆心坐标是B. (5, 0)C. (0, 5)D. (-5, 0)6. 一个等腰三角形的两边长分别为3和5，那么这个三角形的周长是A. 11B. 13C. 14D. 157. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B等于A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}8. 若sin(α) = 3/5，且α为第一象限角，则cos(α)等于A. 4/5B. -4/5C. 3/5D. -3/59. 函数y=ln(x)的定义域是A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)10. 抛物线y=x^2-4x+3的顶点坐标是A. (2, -1)C. (-2, 1)D. (-2, -1)二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数y=2x-3与x轴的交点坐标为______。

2. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=75，则a_3=______。

3. 已知一个圆的半径为5，圆心到直线x-y+5=0的距离为3，则该圆与直线的位置关系是______。

4. 函数f(x)=x^2-4x+3的对称轴方程为______。

5. 集合{a, b, c}与集合{a, d, e}的并集为______。

甘肃省武威市2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题(含解析)

2023~2024学年度第二学期第二次月考高一数学全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。

4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。

5．本卷主要考查内容：湘教版必修第二册第一章~第四章4.4。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若是纯虚数（其中为虚数单位），则实数（）A ．B ．C ．D ．32．（）A ．BCD ．3．若直线平面，则下列说法正确的是（）A ．l 仅垂直平面内的一条直线B ．l 仅垂直平面内与l 相交的直线C ．l 仅垂直平面内的两条直线D ．l 与平面内的任意一条直线垂直4．已知正六边形ABCDEF ，则（）A ．B ．C ．D ．5．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，，则外接圆的面积为（）A ．B ．C ．D ．6．如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB ，小胡同学先在塔的正西方点C 处测得塔顶的仰角为，然后从点C 处沿南偏东方向前进140米到达点D 处，在D 处测得塔顶的仰角为，则铁塔AB 的高度是（）2(3i)x +i x =3±1±1-cos43cos13sin 43sin13︒︒+︒︒=12cos57︒l ⊥αααααAC BD FD +-=BC AE BE ACABC △6a =3A π=ABC △4π12π16π48π45︒30︒30︒A ．70米B ．80米C ．90米D ．100米7．已知，则（）A ．B ．C ．D ．8．如图所示，在正方体中，E ，F 分别为，AB 上的中点，且，P 点是正方形内的动点，若平面，则P 点的轨迹长度为（）A ．B ．CD ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

高中高一数学下学期第二次月考试题(共8页)

民办(mín bàn)高中2021-2021学年下学期第二次月考高一数学考前须知：1.本卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕，满分是150分，考试时间是是120分钟。

2.在答题之前，先将本人的姓名、准考证号填写上在试题卷和答题卷上。

3.请将答案正确填写上在答题卷上，写在其它地方无效。

4.本次考题主要范围：必修5等第I卷〔选择题 60分〕一、选择题1.数列，，2 ，，…，那么2 B.7 C.192.a，b均为正数，且a+b=1，那么+的最小值为〔〕B.25C.26B.26C.254.等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，那么a12 B.31 C.305.点M〔a，b〕在直线3x+4y=15上，那么 B.3 C.2﹣ax+b＜0的解集为〔1，2〕，那么不等式＜的解集为〔〕A.〔，+∞〕B.〔﹣∞，0〕∪〔，+∞〕C.〔，+∞〕D.〔﹣∞，0〕∪〔，+∞〕7.在以下各函数(hánshù)中，最小值等于2的函数是〔〕A.y=x+B.y=cosx+〔0＜x＜〕C.y=D.y=中，，那么角〔〕A. B. 或者 C. D.9.设公比为〔〕的等比数列的前项和为，假设，，那么〔〕A. -2B. -1C.D.10.的内角的对边分别是，且，假设，那么的取值范围为〔〕A. B. C. D.11.设第一象限内的点满足约束条件假设目的函数的最大值为，那么的最小值为〔〕A. B. C. D.∆为“和12.假设沿着三条中位线折起后可以拼接成一个三棱锥，那么称这样的ABC∆的三个内角分别为，，，那么以下条件不可以确定为“和谐三角形〞，设ABC谐三角形〞的是〔〕A. ；B.C. D.第II卷〔非选择题 90分〕二、填空题的内角(nèi jiǎo)所对的边分别为，假设，那么.ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为、、，且，那么_________.15.假设数列{}n a 中，，那么__________．16.假设实数满足,那么的最大值是_____三、解答题 17.在ABC ∆中，，，.〔1〕求的长；〔2〕求的值.18.等比数列{a n }满足记其前n 项和为〔1〕求数列{a n }的通项公式a n ；〔2〕假设19.数列的前n 项和为nS ，向量,满足条件.〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设函数,数列{}n a 满足条件.①求数列的通项公式；②设数列的前n 项和为.20.在ABC ∆中，内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，，.〔1〕当时，求ABC ∆的面积(miàn jī)；〔2〕求ABC ∆周长的最大值. 21.数列{}n a 中，，，数列中，，其中；〔1〕求证：数列{}n b 是等差数列；〔2〕假设n S 是数列{}n b 的前n 项和，求的值．{}n a 的前项和为n S ,，，是数列的前n 项和．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕求n T ．〔3〕求满足的最大整数n 的值．参考答案1.13.15.17.〔1〕〔2〕【解析(jiě xī)】〔1〕由余弦定理知，,所以.〔2〕由正弦定理得,为锐角, 那么,.18. 【解析】〔1〕设等比数列{a n}的公比为q，因为那么，所以〔2〕，由19.〔1〕；〔2〕①；②.【解析(jiě xī)】〔1〕因为.当时,. 当a .时,, 满足上式, 所以2nn〔2〕①,,即,又是以1为首项,1公差的等差数列..②,两边同乘得,以上两式相减得.20.〔1〕或者；〔2〕6.【解析】〔1〕由条件得：，∴，∴.①时，，，∴，②时，，∴，，∴.∴233S =或者(huòzhě)3. 〔2〕设ABC ∆的外接圆半径为，∴由正弦定理得：，∴，∴周长.∵3A π=，∴，∴，∴，∴，∵20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴∴，∴.21.〔1〕见解析〔2〕【解析】〔1〕根据等差数列定义，即证为常数，将用代人，结合条件112n na a +=-，可得〔2〕先根据等差数列前n 项和得，再利用裂项相消法求和试题解析：解:(1)数列中,,,数列中,,其中.,,═常数,数列是等差数列,首项为1,公差为1,(2) ,即{}n a22.〔1〕；〔2〕；〔3〕1.【解析(jiě xī)】〔1〕∵当2n ≥时，*1145,(2,)n n n S S S n n N +-+=≥∈且，∴，∴，∵，∴，∴数列{}n a 是以为首项，公比为4的等比数列． ∴．〔2〕由〔1〕得：，∴．〔3〕，令，解得：故满足条件的最大正整数n 的值是1．内容总结（1）民办高中2021-2021学年下学期第二次月考高一数学考前须知：本卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕，满分是150分，考试时间是是120分钟（2）②设数列的前项和为.20.在中，内角，，所对的边分别为，，，， .〔1〕当时，求的面积。

2023-2024学年河北省高一下学期第二次月考数学质量检测试题(含答案)

2023-2024学年河北省高一下册第二次月考数学质量检测试题一、单选题1．若复数z 满足()()1i i 2z --=，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】A【分析】根据复数的乘、除法运算可得复数12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足()1i (i)2z --=，可得()()()21i 2i i 12i 1i 1i 1i z +=+=+=+--+，可得复数z 在复平面内对应的点为(1,2)位于第一象限.故选：A.2．一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（）A ．8B ．C ．16D ．【正确答案】C【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的周长即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为2O A ''=，所以O B ''=2OA O A =''=，2OB O B =''=，所以6AB ==，所以原图形的周长为2(26)16⨯+=．故选：C.3．下列说法正确的是（）A ．过空间中的任意三点有且只有一个平面B ．三棱柱各面所在平面将空间分成21部分C ．空间中的三条直线a ，b ，c ，如果a 与b 异面，b 与c 异面，那么a 与c 异面D ．若直线a 在平面α外，则平面α内存在直线与a 平行【正确答案】B【分析】根据不共线的三点可确定平面，即可判断A ；根据分别乘法计数原理即可判断B ；根据异面直线的概念即可判断C ；根据线面关系即可判断D.【详解】A ：当空间中的三点共线时，不能确定平面，故A 错误；B ：三棱柱的3个侧面将空间分成7部分，两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分，所以三棱柱各面所在的平面将空间分成7321⨯=个部分，故B 正确；C ：空间中直线a 、b 、c ，若a 与直线b 异面，b 与c 异面，则a 与c 可能异面，也可能共面，故C 错误；D ：由直线a 在平面α外可知，//a α或a 与α相交.若//a α，则α内存在一条直线与直线a 平行；若a 与α相交，则α内不存在直线与直线a 平行，故D 错误.故选：B.4．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若a π4B =，b =，则A =（）A ．π6B ．π3C ．5π6D ．π6或5π6【正确答案】A【分析】由正弦定理求得sin A ，然后由三角形的性质求得A ．【详解】由正弦定理，得1,sin sin sin 2sin4a b A A B ==，因为a b <，所以A B <，π6A =故选：A.5．已知i 是虚数单位，复数i z a b =+，a ∈R ，b ∈R ，且i 2i -=+-z z ，则3-+z 的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【正确答案】B【分析】根据复数的模长公式可求得1a =-，再利用复数的模长公式可求得3-+z 的最小值.【详解】因为()i ,z a b a b =+∈R ，则()i 1i z a b -=+-，()()2i 21i z a b +-=++-，由i 2i -=+-z z ，解得1a =-，则1i z b =-+，所以，(34i z b -+=-++，因此，34z -+=，当且仅当b =故3-z 的最小值为4.故选：B.6．三角形的三边分别为a ，b ，c ，秦九韶公式S =和海伦公式S =，其中2a b cp ++=，是等价的，都用于求三角形的面积.印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中，给出了四边形的面积公式：若四边形的四边分别为a ，b ，c ，d ，则S =，其中2a b c dp +++=，θ为一组对角的和的一半.已知四边形四条边长分别为2，4，6，8，则四边形最大面积为（）A ．B ．C ．20D ．28【正确答案】B【分析】首先求出p ，依题意可得0πθ<<，sin 0θ>，根据所给公式得到in S θ=，再结合正弦函数的性质计算即可.【详解】不妨设2a =，4b =，6c =，8d =，则2468102p +++==，又易知0πθ<<，sin 0θ>，则S =i n θ==，当sin 1θ=，即π2θ=时，有最大值为故选：B ．7．已知2a = ，b = t ∃∈R ，a tb a b +<+ ，那么向量a 、b的夹角不能是（）A ．π6B ．π4C ．3π4D ．5π6【正确答案】C【分析】设向量a 、b的夹角为θ，则0πθ≤≤，根据a tb a b +<+ 可得出关于t 的二次不等式，根据0∆>求出cos θ的取值范围，结合0πθ≤≤即可得解.【详解】设向量a 、b的夹角为θ，则0πθ≤≤，由a tb a b +<+ 可得()()22a tba b +<+ ，整理可得222220t b ta b a b b +⋅-⋅-< ，即2222cos 2cos 0t b t a b a b b θθ+⋅-⋅-< ，即2cos 10t θθ+--<，因为t ∃∈R ，使得2cos 10t θθ+--<成立，则())228cos 41410θθθ∆=++=+>，解得cos 2θ≠-，因为0πθ≤≤，则3π4θ≠.故选：C.8．如图，圆锥的母线长为6，底面圆的半径为1，PAB 是圆锥的轴截面，一只蚂蚁从点A 出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA 上的一点D ，当蚂蚁的爬行距离最短时，DP 在AB上的投影向量为（）A ．15ABB ．14ABC ．13ABD ．12AB【正确答案】B【分析】将圆锥沿着母线PA 展开为扇形1APA ，设1APA θ∠=，求出θ的值，可知当D 为AP 的中点时，蚂蚁的爬行距离最短，再利用投影向量的定义可求得DP 在AB上的投影向量.【详解】将圆锥沿着母线PA 展开为扇形1APA ，设1APA θ∠=，如下图所示：由题意可得62πθ=，可得π3θ=，又因为1PA PA =，故1APA △为等边三角形，当1A D PA ⊥时，即当D 为AP 的中点时，蚂蚁的爬行距离最短，在PAB 中，取线段AB 的中点O ，连接PO ，因为PA PB =，则PO AB ⊥，所以，AP 在AB上的投影向量为12AO AB =u u u r u u u r ，因为12DP AP = ，故DP 在AB上的投影向量为1124AO AB = .故选：B.二、多选题9．下面关于空间几何体的表述，正确的是（）A ．直角三角形以其一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥B ．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点，这三点的连线都可以构成直角三角形C ．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台D ．从三棱柱的6个顶点中选取4个不共面的点，这4点形成的三棱锥的体积一定是三棱柱体积的13【正确答案】BD【分析】根据旋转体的概念即可判断A ；根据圆锥的结构特征，即可判断B ；根据棱台的概念即可判断C ；根据同底等高的三棱锥与三棱柱的联系，即可判断D.【详解】A ：当直角三角形以斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是两个圆锥的组合体，故A 错误；B ：圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点，这三点的连线都可以构成直角三角形，故B 正确；C ：用平行于底面的一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，故C 错误；D ：从三棱柱的6个顶点中选取4个不共面的点，这4点形成的三棱锥与三棱柱同底等高，所以三棱锥的体积为三棱柱体积的的13，故D 正确.故选：BD.10．以下命题中正确的是（）A ．任意两个复数1z ，2z 满足1212z z z z -≤+B ．任意复数z 满足22||z z =C ．若复数1z ，2z 满足120z z ->，则1z ，2z 互为共轭复数D ．任意两个复数1z ，2z 满足1212z z z z =【正确答案】AD【分析】由复数的几何意义可判断A 正确，再设1i z a b =+，2i,(,,,R)z c d a b c d =+∈，依照选项分别进行复数运算即可判断B 、C 、D.【详解】设两个复数1z ，2z 对应的向量为12,OZ OZ，由向量减法的几何意义，可知1212OZ OZ OZ OZ -≤+ ，A 正确；设i(,R)z a b a b =+∈，则222z a b =+，2222i z a b ab =-+，所以22||z z ≠，故B 错误；设1i z a b =+，2i(,,,R)z c d a b c d =+∈，若12()()i>0z z a c b d -=-+-，则12z z -是实数，所以,b d a c =>，故1z ，2z 不是共轭复数，C 错误；12z z ==12z z ==，D 正确.故选：AD11．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，对于ABC 有如下命题，其中正确的是（）A ．若222a b c +>，则ABC 是锐角三角形B ．若π3A =，a =ABC 的外接圆的面积等于πC ．若ABC 是锐角三角形，则sin cos A B >D ．若cos cos a A b B =，则ABC 是等腰直角三角形【正确答案】BC【分析】根据余弦定理即可判断A ；根据正弦定理，即可判断B ；由题意可得ππ022A B >>->，即可判断C ；根据正弦定理和二倍角的正弦公式计算化简，即可判断D.【详解】A ：由余弦定理，得222cos 02a c b B ac+-=>，得B 为锐角，不能判断ABC 为锐角，故A 错误；B ：设ABC 的外接圆的半径为R，由正弦定理得22sin a R A ==，得1R =，所以其外接圆的面积为2ππR =，故B 正确；C ：若ABC 为锐角三角形，则π2A B +=，且ππ022A B >>->，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，故C 正确；D ：cos cos a A b B =，由正弦定理，得sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或2π2A B =-，即A B =或π2A B +=，则ABC 为等腰三角形或直角三角形，故D 错误.故选：BC.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别是AB ，1CC 的中点，则（）A ．1AC EF∥B ．平面1B EF截此正方体所得截面的周长为2C ．三棱锥1D B EF -的表面积为D ．三棱锥1D B EF -的体积为1【正确答案】BD【分析】根据线线平行的判定定理即可判断A ；如图梯形1EB HF 即为平面1B EF 截此正方体所得的截面，即可判断B ；利用余弦定理和三角形面积公式计算即可判断C ；利用等体积法计算，即可判断D.【详解】A ：如图，连接AC ，1AC ，取AC 的中点O ，连接OF ，因为F 为1CC 的中点，所以1//OF AC ，又EF OF F = ，所以1//EF AC 不成立，故A 错误；B ：如图，记DC 的中点为G ，连接1GC ，则11//EB GC ，取CG 的中点H ，连接FH ，则1//FH GC ，所以1//FH EB ，得四边形1EB HF 为梯形，即为平面1B EF 截此正方体所得的截面，易知11,22EB FB FH EH ====，所以梯形1EB HF B 正确；C ：如图，连接CE ，DB ，由题意知，11EB FB FD ED ===，1DB ==，EF ==在1 B DE中，11EB ED DB ==由余弦定理，得222111155121cos 2105ED EB DB DEB ED EB +-+-∠==-⋅，所以1sin 5DEB ∠=，所以1111sin 2B DE S ED EB DEB =⋅∠同理可得11B EF B DF DEF S S S =，所以三棱锥1D B EF -的表面积为，故C错误；D ：记1BB 的中点为P ，连接AP ，在//AP DF ，取BP 的中点Q ，连接EQ ，FQ ，则//EQ AP ，所以//EQ DF ，所以四边形DFQE 为梯形，由13B QBQ=，得13B DEF B DEF V V --=，所以1111333(12)1132D B EF B DEF B DEF F DEB V V V V ----====⨯⨯⨯⨯⨯=，故D 正确.故选：BD.三、填空题13．已知24a b ==，a b += ，则⋅= a b ______【正确答案】72【分析】根据题意可得2b =，对等式a b += .【详解】由24a b == ，得2b =，由222227a b a a b b +=+⋅+= ，解得72a b ⋅= .故答案为.7214．用一个圆心角为π，半径为4的扇形围成一个圆锥侧面，则圆锥的高是___________.【正确答案】【分析】根据圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长求得半径，进一步根据勾股定理求得高.【详解】扇形的弧长为4πl =，设圆锥的底面圆的半径为r ，根据题意得2π4πr =，解得2r =.=故答案为.15．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线1AA 与直线1BB 的交点为P ，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为___________.【正确答案】3【分析】先确定四棱锥P ABCD -为正四棱锥，则其外接球的球心O 在直线1PO 上，由勾股定理可得半径，结合球的体积公式计算即可求解.【详解】设AC 与BD 相交于点1O ，因为四棱台1111ABCD A B C D -为正四棱台，直线1AA 与直线1BB 的交点为P ，所以P ABCD -四棱锥为正四棱锥，得1PO ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -的外接球的球心O 在直线1PO 上，连接BO ，设该外接球的半径为R ，由11122AB A B ==，11//AB A B ，所以1112,PB BB BO PO ====22211OB O O O B =+，即222(2)(2)R R =+-，解得2R =，则四棱锥P ABCD -外接球的体积为3482ππ33R =.故答案为.82π316．祖暅（gèng ）（5世纪—6世纪），字景烁，祖冲之之子，范阳郡道县（今河北省涞水县）人，南北朝时期的伟大科学家.他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖暅原理”.用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，半径为R 的半球与底面半径和高都为R 的圆柱放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等.若球心到平面α的距离为23R ，则平面α截半球所得的较小部分的几何体的体积等于___________.【正确答案】38π81R 【分析】根据题意中给的原理，结合圆柱、圆锥的体积运算，即可求解.【详解】由题意知，2311ππ33V R R R ⎛⎫== ⎪⎝⎭圆柱，2233111228ππ,ππ3333381V R R R V R R R ⎛⎫⎛⎫=⋅==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭小圆锥大圆锥，所以3331819ππ38181V V V R R R π=-=-=小圆锥圆台大圆锥，所以该平面α截半球所得的较小部分的几何体的体积为：3331198πππ38181V V V R R R =-=-=圆柱圆台.故答案为.38π81R 四、解答题17．已知平面向量()3,4AB =- ，(),BC x y = ，()4,3CD =- .(1)若//BC AD ，求x 与y 之间的关系式；(2)在（1）的条件下，若AC BD ⊥，求x ，y 的值.【正确答案】(1)y x=(2)3x y ==或4x y ==-【分析】(1)应用向量平行坐标运算即得.(2)应用向量垂直坐标运算即得.【详解】（1）因为(3,4)AB =- ，(,)BC x y = ，(4,3)CD =- ，所以(1,1)AD AB BC CD x y =++=++ ,//BC AD,∴(1)(1)y x x y +=+，即y x =.（2）(3,4)AC x y =-+ ，(4,3)BD x y =+- ，AC BD ⊥ ,∴(3)(4)(4)(3)0x x y y -+++-=,y x =,∴3x y ==或4x y ==-.18．在英语中，实数是Real Quantity ，一般取Real 的前两个字母“Re ”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Quantity ，一般取Imaginary 的前两个字母“Im ”表示一个复数的虚部.如：()Re 23i 2+=，()Im 23i 3+=；()Re 3i 0-=，()Im 3i 3-=-.已知复数z 是方程2220x x ++=的解.(1)若()Im 0z >，且2i a b z=-（a ，R b ∈，i 是虚数单位），求i a b +；(2)若()Im 0z <，复数20231i 3it z z +=+，R t ∈，且()1Re 0z <，()1Im 0z >，求t 的取值范围.【正确答案】(1)(2)122t -<<【分析】（1）根据方程和题意可得1i z =-+，利用复数的乘法运算可得220a b b =-+⎧⎨+=⎩，结合复数的几何意义即可求解；（2）根据题意可得1i z =--，由复数的乘方和除法运算可得()1212i 5t t z --+-=，即可求解.【详解】（1）因为z 是方程2220x x ++=的根，解得1i z =-±，Im （z ）0>，∴1i z =-+，∴2i 1ia ab z ==--+，()()()2i 1i 22i a b b b =--+=-+++，∴220a b b =-+⎧⎨+=⎩，解得4,2a b ==-，∴i a b +=；（2） Im （z ）0<，复数20231i 3it z z +=+，R t ∈，且Re （1z ）0<，Im （1z ）0>∴1i z =--，又20233i i i ==-，∴()20231212i i i 12i 12i 5t t t t z --+-+-===-+-+， Re （1z ）0<，Im （1z ）0>∴2051205t t --⎧<⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，解得122t -<<.所以t 的取值范围为122t -<<.19．记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos235cos B B +=.(1)求B ；(2)若3a c =-，1b c =-，求ABC 的面积.【正确答案】(1)π3B =(2)【分析】（1）由二倍角的余弦公式可得出cos B 的方程，解出cos B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）利用余弦定理结合已知条件可求得a 、c 的值，利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积.【详解】（1）解：由cos 235cos B B +=，得22cos 5cos 20B B -+=，解得1cos 2B =或cos 2B =（舍），因为0πB <<，所以π3B =.（2）解：由（1）及余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222b a c ac =+-，又3a c =-，1b c =-，所以()()()222133c c c c c -=-+--，解得8c =，5a =，所以ABC 的面积11sin 58222ABC S ac B ==⨯⨯⨯= .20．无人机在城市管理、农业、地质、气象、电力、抢险救灾、视频拍摄、快递配送等行业应用广泛.在一次城市宣传的取景拍摄中，一架无人机从A 处出发，沿北偏东70°的方向航行)1km -后到达B 处，然后从B 出发，沿北偏东10°的方向航行2km 到达C 处.(1)求A 与C 的距离；(2)如果下次航行直接从A 出发到达Ｃ，应沿什么方向航行？【正确答案】(2)应沿北偏东25 的方向航方向航行【分析】（1）根据题意求出ABC ∠、AB 、BC ，结合余弦定理计算即可求解；（2）根据正弦定理可得sin CAB ∠=.【详解】（1）由题意知，在ABC 中，1807010120ABC ∠=-+= ，1=AB ，2BC =，根据余弦定理，得))22222cos 14216AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠=++=，所以AC =．（2）根据正弦定理可得sin sin AC BC ABC CAB=∠∠，即22sin2s in BC A B BC CA AC∠==∠又,0180BC AC CAB <≤∠≤ ，所以45CAB ∠= ．所以应沿北偏东25 的方向航方向航行即可到达C 处.21．如图，PA 是圆柱的母线，AB 是圆柱的底面圆的直径，点C 是圆柱的底面圆周上异于A ，B 的点，1AC =，BC =，PB =(1)求圆柱的侧面积和体积；(2)若D 是PB 的中点，点E 在线段PA 上，求CE ED +的最小值.【正确答案】(1)侧面积4π侧=S ，体积2π=V .【分析】（1）利用圆柱的侧面积和体积公式即可.（2）将平面ACE 展开到和平面AED 重合，转化为同一平面内线段和的最小值，三点共线时，线段和最小，即可求解.【详解】（1）由已知，2224AB AC BC =+=，2AB =2224PA PB AB =-=，2PA =∴圆柱底面圆的半径12AB r ==，∵母线长2PA =，∴圆柱的高2h PA ==，∴圆柱的侧面积2π2π124πS rh ==⨯⨯=侧，圆柱的体积22ππ122πV r h ==⨯⨯=.（2）如图，延长线段BA 至C '，使得1AC AC '==，连接C E '，易证EAC EAC '≅ ，∴C E CE '=，∴CE ED +=C E ED '+，连接C D '，则当C '，E ，D 三点共线时，C E ED '+最小，即CE ED C E ED C D''+=+≥取AB 中点O ，则O 为底面圆心，连接OD ，∵D 为PB 中点，则OD PA ∥，112OD PA ==，易知PA AB ⊥，∴OD AB ⊥，∴在直角DOC ' 中，()()()()222222125C D OD OC OD OA AC '''=+++=+=∴CE ED +522．如图，半球底面圆的圆心为O （即半球所在球的球心），半径为4.作平行于半球底面的平面得截面圆1O ，以圆面1O 为底面向下挖去一个圆柱1OO （圆柱下底面圆心即半球底面圆的圆心）.若圆柱的内接正四棱柱的底面正方形的边长为x ，体积为V .(1)求出体积V 关于x 的函数解析式，并指出定义域；(2)当x 为何值时，正四棱柱体积最大？最大值是多少？附：0a >，0b >，0c >222a b ab +≥，a b ab +≥a b =时取等）3333a b c abc +≥+，a b c ++≥（当且仅当a b c ==时取等）【正确答案】(1)V x=，定义域为{0x x <<(2)当x =【分析】(1)先设正四棱柱的高为h ,再根据柱体体积公式求解即可；(2)应用基本不等式求正四棱柱体积最大即得.【详解】（1）设正四棱柱的高为h ，则222216()22x h x h =+=+，h08<<，2V x h x ==定义域为{0x x <<，（2）2V x h x ===≤=当22216442x x x ==-，x =时取等，∴当x =。

2023-2024学年江西省南昌市高一下学期第二次月考数学模拟卷(含解析)

2023-2024学年江西省南昌市高一下册第二次月考数学模拟卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1.若cosα3=且π,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则sinα=（）A. B.23- C.13- D.23±【正确答案】B【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】cosα=π,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭，2sin3α∴=-.故选：B．2.下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件()()=f x f x-和()()πf x f x+=的函数是（）A.()sinf x x= B.()sin cosf x x x=⋅C.()cosf x x= D.()22cos sinf x x x=-【正确答案】D【分析】根据给定条件，确定函数()f x的性质，再逐项分析判断作答.【详解】由()()f x f x=-可得()f x是偶函数，由()()πf x f x+=可得()f x是周期为π的周期函数.对于A，()sinf x x=是奇函数，A不符合题意；对于B，1()sin cos sin22f x x x x==是奇函数，B不符合题意；对于C，()cosf x x=是偶函数，周期是2π，C不符合题意；对于D，22()cos sin cos2f x x x x=-=是偶函数，周期为π，D符合题意.故选：D.3.已知ABC的内角,,A B C的对边分别为,,a b c.若ABC的面积为)2224a b c--，则角A=（）A.6πB.3π C.23π D.56π【正确答案】C【分析】利用面积公式和余弦定理可求A .【详解】由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，而三角形面积为1sin 2bc A ，故)22222c 1s 42os in b b c c c A A b bc +---=，整理得到tan A =，而A 为三角形内角，故23A π=.故选：C.4.若将函数()2sin f x x =的图像先向左平移π6个单位长度，再保持纵坐标不变，并将图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数()g x 的图象，则函数()y g x =图像的对称中心可能是（）A.π,012⎛⎫-⎪⎝⎭B.π,06⎛⎫-⎪⎝⎭C.π,03⎛⎫⎪⎝⎭D.π,06⎛⎫⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】首先根据三角函数的变换规则求出()g x 的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】将函数()2sin f x x =的图像先向左平移π6个单位长度得到π2sin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将π2sin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭保持纵坐标不变，图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得到()2sin 2π6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π2π6x k +=，Z k ∈，解得ππ122k x =-+，Z k ∈，所以函数的对称中心为ππ,0122k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈，故符合题意的有π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A5.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40︒方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70︒，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65︒，那么B 、C 两点间的距离是（）A.海里 B.海里C. D.【正确答案】A【分析】如图，由题意可得20AB =海里、45ACB ︒∠=，结合正弦定理计算即可求解.【详解】如图，由题意得，130,105,40202BAC ABC AB ︒︒∠=∠==⨯=海里，得45ACB ︒∠=，在ABC 中，由正弦定理，得sin 30sin 45AB BC ︒︒=⨯=海里.故选：A.6.锐角ABC 的外接圆圆心为О，半径为2，π6ACB ∠=，则AO AB ⋅= （）A.1B.C.2D.【正确答案】C【分析】现根据正弦定理求得2AB =，进而结合外心的性质求解即可.【详解】由正弦定理得，12sin 2222AB R ACB =⋅∠=⨯⨯= ，设AB 中点为D ，连接OD ，OA ，OB ，因为点O 为锐角ABC 的外接圆圆心，所以OA OB =，即OD AB ⊥，所以21cos 22AO AB AO AB BAO AB AD AB ⋅=⋅⋅∠=⋅== .故选：C.7.如图，在ABC 中，12BM BC = ，23NC AC =，直线AM 交BN 于点Q ，则（）A.1233=+ BN BA BC B.AQ QM=C.3BQ QN=D.0QA QB QC ++= 【正确答案】BC【分析】根据共线向量的性质，结合三点共线定理逐一判断即可.【详解】对于A ，因为23NC AC = ，所以2NC AN =，则2133BN BA BC =+ ，故A 错误；对于B 和C ，因为A ，M ，Q 三点共线，由共线定理可知，存在实数λ，使得()()112BQ BM BA BA λλλλ=+-=+- ，设BQ BN μ=，所以()21233BC BA BC BA λμμλ+-=+，所以,2321,3λμμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得1,23,4λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，()1111122222BQ BM B AQ AM AQ A A B A M A BA B ⇒++=++⇒== ，显然AQ QM =成立，因为34BQ BN = ，所以3BQ QN = ，故B ，C 正确；对于D ，因为12BM BC = ，所以M 是BC 的中点，因此2QB QC QM +=，由上可知AQ QM QA QM =⇒=-，2QA QB QC QA QM ++=+ 0QM =≠，故D 错误．故选：BC8.设向量,a b满足1a b a b ==+= ，则()a tb t R -∈ 的最小值为（）A.2B.12C.1D.2【正确答案】A 【分析】根据1a b a b ==+= ，由21a b += 得到12a b ⋅=- ，然后由22222a tb a ta b t b -=-⋅+ ，再结合二次函数的性质求解.【详解】因为1a b a b ==+=，所以21a b += ，即2221a a b b +⋅+= ，即12a b ⋅=- ，所以222223214a tb a ta b t b t t -=-⋅+=++≥ ，所以()a tb t R -∈ 的最小值为2.故选：A本题主要考查平面向量的数量积运算以及模的最值的求法，属于基础题.二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9.已知平面向量()1,2a =-r，()4,b y = ，则正确的有（）A.若//a b，则8y =-B.若a b ⊥，则a 在a b + 方向上的投影向量是()1,0C.若a 与a b + 的夹角为锐角，则y 的取值范围为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.若a，b的夹角为120︒，则3y =【正确答案】AB【分析】对于A ：根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；对于B ：根据向量垂直的坐标表示求出y ，再根据投影向量的定义计算可得；对于C ：依题意可得()0a a b ⋅+> 且a 与a b +不同向，即可得到不等式组，解得即可；对于D ：根据夹角公式得到方程，代入检验即可；【详解】解：因为()1,2a =-r，()4,b y = ，对于A ：若//a b r r，则124y ⨯=-⨯，解得8y =-，故A 正确；对于B ：若a b ⊥，则()1420a b y ⋅=⨯+-⨯= ，解得2y =，所以()4,2b = ，所以()5,0a b += ，所以()5a a b ⋅+= ，5a b += ，所以a 在a b +方向上的投影向量是()()()()1515,01,055a a b a b a b a b⋅+⋅+=⨯=++ ，故B 正确；对于C ：()5,2a b y +=- ，若a 与a b + 的夹角为锐角，则()0a a b ⋅+> 且a 与a b +不同向，即()()15220y ⨯+-⨯->且()2512y -⨯≠⨯-，解得92y <且8y ≠-，故C 错误；对于D ：若a ，b的夹角为120︒，则1cos1202a b a b⋅︒==-⋅，（0y >）整理得21164160y y --=，显然当3y =时，上式不成立，故D 错误；故选：AB 10.已知函数()cos sin f x x x =⋅，下列说法正确的是（）A.4π34f ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.若()()12f x f x =，则()12πZ x x k k =+∈C.()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.函数()f x 的周期为π【正确答案】AC【分析】对于A 项，代入解析式求值即可；对于BCD 项，由()1π3πsin 2,2π2π2221ππsin 2,2π2π222x k x k f x x k x k ⎧-+≤≤+⎪⎪=⎨⎪-+≤≤+⎪⎩，结合大致图象可判断C ，D 选项，画出()f x 大致图象，结合图象可判断B 选项.【详解】对于A项，4π4π4π1cos sin 333224f ⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；因为()1π3πsin 2,2π2π222cos sin 1ππsin 2,2π2π222x k x k f x x x x k x k ⎧-+≤≤+⎪⎪=⋅=⎨⎪-+≤≤+⎪⎩，大致图象如下：由图象可知，()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且周期为2π，故C 正确，D 错误；对于B 项，函数()f x的大致图象如下：由图象可知，()f x 的周期为π2，对称轴为：()πZ 4k x k =∈，若()()12f x f x =，则()12πZ 2k x x k =+∈或()12ππ2Z 42k k x x k +=⋅=∈，所以B 选项错误.故选：AC.11.已知ABC ，点Р是平面上任意一点，且(),AP AB AC λμλμ=+∈R，下列命题正确的是（）A.若点P 为ABC 的重心，则13λμ==B.将1AB λ= ，1ACμ= ，则P 为ABC 的内心C.若1λμ+>，则点Р在ABC 外D.若点P 在ABC 内，则01λμ<<且01λμ<+<【正确答案】ACD【分析】根据平面向量线性表示概念及对三角形内心、重心的理解，逐一分析四个答案结论的真假，可得答案.【详解】若点P 为ABC 的重心，()21113233AP AB AC AB AC ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦ ，即13λμ==，A 选项正确；若1AB λ= ，1AC μ= ，AB AC AP AB A ACC AB =+=+λμ，点Р在角A 的平分线上，但不一定是ABC 的内心，B 选项错误；令1t =+>λμ，()()AP AB AC t AB AC t AB AC AB t AB BC =+=-+=+-=+λμμμμμ，1t >，由向量加法法则可知，点Р在ABC 外，C 选项正确；当P 在ABC 内部时，延长AP 与BC 相交于点D ，则有AP xAD =，01x <<，因为D 点在线段BC 上，所以存在唯一实数()01y y <<，使得()1AD y AB y AC =+-，于是()1AP xy AB x y AC =+-，又(),AP AB AC λμλμ=+∈R，则(),1xy x y λμ==-，由01x <<，01y <<，则01xy <<，()011x y <-<，()1xy x y λμ=-⋅，有01λμ<<，xy x xy x λμ+=+-=，则有01λμ<+<，D 选项正确.故选：ACD.12.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的有（）A.若角A ，B 均为锐角，且sin cos A B >，则ABC 的形状是钝角三角形B.已知a x =，2b =，60B =︒，如果ABC 有两组解，则x的取值范围为2x <<C.ABC 为锐角三角形，满足()()sin sin sin sin sin sin B A B A A C -+=，A C ¹，且1a =，则2cos bA=D.若2π3ABC ∠=，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则2a c +的最小值是3+【正确答案】BCD【分析】对于A ，结合诱导公式可得π2sin sin A B >-⎛⎫⎪⎝⎭，进而根据正弦函数的性质求解即可得到π02C <<，进而判断即可；对于B ，根据sin a B b a <<求解即可；对于C ，由正弦定理可得()()b a b a ac -+=，进而得到21b c =+，进而结合余弦定理化简即可求解；对于D ，根据等面积法可得111a c+=，进而根据基本不等式求解即可.【详解】对于A ，因为角A ，B 均为锐角，且sin cos A B >，所以π2sin sin A B >-⎛⎫⎪⎝⎭，又π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ0,22B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，且sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以π2A B >-，即π2A B +>，即ππ2C ->，即π02C <<，所以ABC 为锐角三角形，故A 错误；对于B ，由ABC 有两组解，所以sin a B b a <<，即22<<x x ，所以23x <<，故B 正确；对于C ，因为()()sin sin sin sin sin sin B A B A A C -+=，由正弦定理得()()b a b a ac -+=，即22b a ac -=，因为1a =，所以21b c =+，所以()22222222221222cos 12c b b b c b cb c a A b c a ac c cbc+=====+-+-++，故C 正确；对于D ，由题意得，ABC ABD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222AB BC ABC AB BD ABD BC BD CBD ⨯⨯∠=⨯⨯∠+⨯⨯∠，即12π1π1πsinsin sin 232323ac c a ⨯=⨯+⨯，即ac c a =+，即111a c+=，所以()11222333c a a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+=+⎪⎝⎭，当且仅当2c a a c =，即1a =，212c =+时，等号成立，所以2a c +的最小值是3+，故D 正确.故选：BCD.三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，()()()sin sin :sin sin :sin sin 4:6:5A B B C C A +++=，则::a b c =_________.【正确答案】3:5:7【分析】根据正弦定理化角为边，进而即可求解.【详解】因为()()()sin sin :sin sin :sin sin 4:6:5A B B C C A +++=，由正弦定理得()()()::4:6:5a b b c c a +++=，设4a b x +=，6b c x +=，5c a x +=，解得32x a =，52x b =，72x c =，所以357::3:5:7222::x x b x a c ==.故答案为.3:5:714.已知()1,2a = ，()1,7b =- ，2c a b =+ ，则c 在a 方向上的投影向量的模长为_______．【正确答案】355【分析】根据向量线性运算的坐标表示求出c的坐标，根据向量投影的概念即可求出c在a方向上的投影向量的模长为cos ,c ac c a a⋅⋅= .【详解】()23,3c a b =+=-，则c 在a方向上的投影向量的模长为cos ,5c a c c a a ⋅⋅=== .故答案为.515.在ABC 中，12sin 13A =，3cos 5B =，则cosC =_______________．【正确答案】3365或6365【分析】利用同角三角函数关系式先求出cos A ，sin B 的值，再利用()()cos cos πcos C A B A B =-+=-+⎡⎤⎣⎦展开求解即可.【详解】在ABC 中，0πB <<，3cos 5B =，所以4sin 5B ==，又0πA <<，123π2πsin sin sin13233A =>==，所以π2π33A <<，所以5cos 13A =±，当5cos 13A =时，()()cos cos πcos C A B A B =-+=-+⎡⎤⎣⎦cos cos sin sin A B A B =-+531243313513565=-⨯+⨯=，当5cos 13A =-时，()()cos cos πcos C A B A B =-+=-+⎡⎤⎣⎦cos cos sin sin A B A B=-+531246313513565骣琪=--´+´=琪桫，故3365或6365.16.已知ABC 内一点P ，满足120APB APC BPC Ð=Ð=Ð=°，且::1:2:3A P B P C P =，若AP AB AC λμ=+，则λμ+=_________.【正确答案】511【分析】延长AP 交BC 于点D ，结合120APB APC BPC Ð=Ð=Ð=°可得PD 为BPC ∠的角平分线，结合::1:2:3A P B P C P =，可得32CD PC BD PB ==，设AP x =，2BP x =，3CP x =，再结合等面积法PBC PCD PBD S S S =+V V V ，可得65x PD =，115xAD =，进而根据平面向量的线性运算求解即可求解.【详解】如图，延长AP 交BC 于点D ，因为120APB APC BPC Ð=Ð=Ð=°，所以60DPC DPB Ð=Ð=°，即PD 为BPC ∠的角平分线，因为::1:2:3A P B P C P =，所以32CD PC BD PB ==，设AP x =，2BP x =，3CP x =，由PBC PCD PBD S S S =+V V V ，得111sin sin sin 222PC PB BPC PC PD DPC PB PD DPB ⋅⋅∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠，即11132sin1203sin 602sin 60222x x x PD x PD ⋅⋅⋅︒=⋅⋅⋅︒+⋅⋅⋅︒，解得65x PD =，所以115xAD AP PD =+=，所以()()5555532111111115121121AP AD AB AB AB AC AB AB D AC B BC ⎛⎫⎡⎤=+=+=+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=，所以311λ=，211μ=，所以511λμ+=.故答案为.511关键点睛：本题关键在于延长AP 交BC 于点D ，延长AP 交BC 于点D ，得到PD 为BPC ∠的角平分线，结合等面积法和角平分线的性质确定AP 与AD 关系、以及CD 与BD 关系，进而结合平面向量的线性运算求解即可.四、解答题17.已知||4a = ，||3b = ，(23)(2)61a b a b -⋅+=.（1）求a 与b的夹角θ；（2）若(1)c ta t b =+-r r r ，且0b c ⋅=，求t 及||c .【正确答案】（1）2=3πθ；（2）35t =，63||5c = .【分析】（1）由向量的数量积定义，代值计算即可；（2）先算出t ，求模，先平方再开方.【详解】（1）因为()()23261a b a b -⋅+=故2244cos 361a ab b θ-⋅-=解得：1cos 2θ=-因为[]0,θπ∈，所以23πθ=.（2）0b c ⋅=则()()10b ta t b ⋅+-= ()210ta b t b ⋅+-=化简得：159t =解得：35t =所以32||||55c a b =+==518.在△ABC 中，内角A,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．（1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值【正确答案】（1）B =60°（2）a c ==【详解】（1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考查三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理19.已知向量()cos ,sin a x x =，()sin ,cos b x x =- ，设()1,0m = ，()0,1n =.（1）是否存在实数x 使得a与b平行，若存在求出x ，若不存在请说明理由；（2）设函数()()()()()2n f a x m a b n a b b ta a b ⎡⎤=⋅+⋅⋅++⋅++⋅+⎣⎦ ，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值与最小值的和为4+t .【正确答案】（1）不存在，理由见解析（2）12【分析】（1）根据平面向量共线的坐标表示求解即可；（2）根据平面向量的数量积的坐标表示求得()f x 解析式，进而根据三角恒等变换化简，再根据正弦函数的图象及性质求得最大值和最小值，再结合题意列方程求解即可.【小问1详解】不存在，理由如下：若a 与b平行，则22cos sin 0x x +=，而22cos sin 1x x +=，相互矛盾，所以不存在x 使得a 与b平行.【小问2详解】因为()cos ,sin a x x =，()sin ,cos b x x =- ，()1,0m = ，()0,1n =，所以()cos sin ,sin cos a b x x x x +=-+，所以()cos sin m a b x x ⋅+=- ，则()()0,cos sin m a b n x x ⋅+⋅=-，所以()()22cos sin cos 2m a b n a b x x x ⋅+⋅⋅+=-=，又()sin cos n a b x x ⋅+=+ ，()()22cos cos sin sinsin cos ta a b t x x x x x x t ⋅+=-++=，则()()22sin cos 12sin cos n a b x x x x ⎡⎤⋅+=+=+⎣⎦，所以()πcos 212sin cos sin 2cos 21214x x x t x x t x f x t ⎛⎫=+++=+++=+++ ⎪⎝⎭，因为π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32πππ,444x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+，所以当ππ244x +=或3π4，即0x =或π4时，()min 2f x t =+，当ππ242x +=，即π8x =时，()max 1f x t =++，由题意得，214t t ++++=+，所以12t =.20.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c =π6B a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求C ；（2）求a b +的最大值.【正确答案】（1）π6C =（2）+【分析】（1）由已知可得π2sin 6c B a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由正弦定理化边为角，化简可求解；（2）由余弦定理可得b ，c 的关系，利用基本不等式即可求解.【小问1详解】由c =π6B a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得π2sin 6c B a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即ππ2sin coscos sin 66c B B a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin cos B c B a +=，()sin sin cos sin sin C B C B A B C +==+，即sin sin cos sin cos cos sin C B C B B C B C +=+，即sin sin cos C B B C =，又(),0,πA C ∈，则sin 0A >，cos C C =，即tan 3C =，所以π6C =.【小问2详解】因为2222cos c a b ab C =+-，所以()(22232a b a b ab =+-=+-+，即()((223222a b a b ab +⎛⎫+-=≤+⋅ ⎪⎝⎭，所以()(264a b +≤=+，所以)1a b +≤=+，当且仅当2a b ==时，等号成立，所以a b +的最大值为.21.已知OAB 的顶点坐标为()()()0,0,2,9,6,3O A B -，点P 的横坐标为14，且OP PB λ=，点Q 是边AB 上一点，且0OQ AP ⋅=.（1）求实数λ的值及点P 的坐标；（2）求点Q 的坐标；（3）若R 为线段OQ (含端点)上的一个动点，试求()RO RA RB ⋅+的取值范围.【正确答案】（1）74λ=-，()14,7P -；（2）()4,3Q ；（3）25,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据()()14,8,3OP PB y y λλ⇒==---即可得解；（2）根据Q 是边AB 上一点满足三点共线，结合0OQ AP ⋅=即可求解；（3）设()4,3R t t ，且01t ≤≤，表示出()RO RA RB ⋅+根据二次函数求取值范围.【详解】（1）设()14,P y ，则()()14,,8,3OP y PB y ==---.由()()14,8,3OP PB y y λλ⇒==---，解得7,74y λ=-=-，所以()14,7P -.（2）设点(),Q a b 则(),OQ a b =，又()12,16AP =-.则由0OQ AP ⋅=，得34a b =①.又点Q 在边AB 上，且()()4,12,6,3AB BQ a b =-=-+，所以12346b a +=--，即3150a b +-=②.联立①②，解得4,3a b ==，所以点()4,3Q .（3）由于R 为线段OQ 上的一个动点，故设()4,3R t t ，且01t ≤≤，则()()()4,3,24,93,64,33RO t t RA t t RB t t =--=--=---，()88,66RA RB t t +=--则()()()22125488366505050,0122RO RA RB t t t t t t t t ⎛⎫⋅+=----=-=--≤≤ ⎪⎝⎭，所以()RO RA RB ⋅+ 的最大值为0，最小值为252-，故()RO RA RB ⋅+ 的取值范围为25,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.22.如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边2BC =，点D ，E ，F 分别在边BC ，AB ，AC 上.（1）当DEF 为等边三角形时，求EF 的最小值；（2）当60BDE CDF ∠=∠=︒时，求EF 的最小值.【正确答案】（11-（21【分析】（1）由题意，设EF DE DF x ===，BDE θ∠=，120CDF θ∠=︒-，且0120θ︒<<︒，可得135BED θ∠=︒-，15CFD θ∠=︒+，在BDE △中，由正弦定理可得()135BD x θ=︒-，在DCF中，由正弦定理可得()15DC x θ=︒+，进而得到31π26x =⎝⎭（2）由题意可得60EDF ∠=︒，75BED ∠=︒，75CFD ∠=︒，设BD m =，则2DC m =-，且02m <<，在BDE △中，由正弦定理可得)1DE m =-，在DCF中，由正弦定理可得)()12DF m =--，进而根据余弦定理可得)1EF =性质求解即可.【小问1详解】在等腰直角三角形ABC 中，斜边2BC =，则45B C ∠==︒∠，因为DEF 为等边三角形，则EF DE DF ==，设EF DE DF x ===，BDE θ∠=，120CDF θ∠=︒-，且0120θ︒<<︒，则135BED θ∠=︒-，15CFD θ∠=︒+，在BDE △中，由正弦定理得sin sin DE BDB BED=∠∠()sin 1352BDθ=︒-，即()135BD x θ=︒-，在DCF 中，由正弦定理得sin sin DF DCC CFD=∠∠()sin 152DCθ=︒+，即()15DC x θ=︒+，所以()()135152BC BD DC x x θθ=+=︒-︒+=，即)1cos 14x θθ++=即31π26x =⎝⎭因为2π03θ<<，所以ππ5π666θ<+<，所以当ππ62θ+=，即π3θ=时，min 1312x ==，所以EF1.【小问2详解】由题意，60BDE CDF ∠=∠=︒，所以60EDF ∠=︒，75BED ∠=︒，75CFD ∠=︒，设BD m =，则2DC m =-，且02m <<，在BDE △中，由正弦定理得sin sin DE BDB BED=∠∠sin 752m=︒，即)212624DE m==，在DCF 中，由正弦定理得sin sin DF DCC CFD=∠∠2sin 7522m -=︒，即)()2122624DF m ==--，所以在DEF 中，由余弦定理得2222cos EF DE DF DE DF EDF =+-⋅⋅∠，即))())())()22222222112121364EF m m m m m m =+--⋅-=⋅-+，即))11EF ==-因为02m <<，所以当1m =时，min 1EF =-.方法点睛：三角形边的问题，常常通过正弦定理、余弦定理求解，而求边的最值问题常常适当设角度，得出所求边的函数关系式，再结合三角函数的图象及性质求解即可.。

2023-2024学年湖州二中高一第二学期数学5月月考数学(含解析)

湖州二中2023学年第二学期5月月考高一数学试卷总分150分考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．计算的结果是（）A ．B ．C ．D ．2．已知为单位向量，则“的夹角为”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知事件相互独立，，则（）A ．0.58B ．0.9C ．0.7D ．0.724．从3名男老师和4名女老师中任选3名老师，那么互斥而不对立的事件是（）A ．至少有一名男老师与都是男老师B ．至少有一名男老师与都是女老师C ．恰有一名男老师与恰有两名男老师D ．至少有一名男老师与至少有一名女老师5．若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为和,侧面积分别为和．若,则（）ABC ．D6．已知圆锥的高为8，底面圆的半径为4，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A ．B ．C ．7．某测量爱好者在城市核心区测量一座国际金融中心摩天大楼时，过国际金融中心摩天大楼底部（当作点）一直线上位于同侧两点分别测得摩天大楼顶部点的仰角依次为，，已知的长度为330米，则金融中心的高度约为（）()221i -2i2i-ii-,a b ,a b 2π3a b -=,A B ()()04,03P A P B ==．．()P A B +=S 甲S 乙1S 2S 2S S =甲乙12SS =100π68π52πCBD Q Q ,A B P 3045ABA ．350米B ．400米C ．450米D ．500米8．在平行四边形中，为的中点，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，则的最小值为（）A ．1B．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

高一数学下学期第二次月考6月试题

二中2021-2021学年下学期第二次月考高一数学试卷〔考试时间是是：120分钟总分：150分〕第一卷 (选择题一共60分)一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1.数列1，43-，95，167-…的一个通项公式是〔〕A.2(1)21nnnan=-- B.2(1)21nnnan=-+C.21(1)21nnnan-=-+ D.21(1)21nnnan-=--2.在∆ABC中，假设sinA：sinB：sinC=3：2：4，那么CosC值为〔〕A.14-B.14 C.23-D.233.当a>b>c时，以下不等式恒成立的是〔〕A.ab>acB.a|c|>b|c|C.(a－b)|c－b|>0D. |ab|<|bc|4.等差数列{}na的前10项和1015S=，那么47a a+等于〔〕A. 3B.6C. 9D. 105.等比数列{}na中,,243,952==aa那么{}na的前4项和为〔〕A． 81 B．120 C．168 D．192，n 是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出以下四个命题： ①假设,,m m αβ⊥⊥那么//αβ； ②假设,,αγβγ⊥⊥那么//αβ； ③假设,,//,m n m n αβ⊂⊂那么//αβ；④假设m ，n 是异面直线，,//,,//,m m n n αββα⊂⊂那么//αβ．其中真命题是〔〕． A.①和②B.①和③C.③和④D.①和④7.一元二次不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，那么ba +的值〔〕 A.10B.－10C.14D.－148. 右图中的三个直角三角形是一个体积为320cm 的几何体的三视图，那么h=〔〕cm A.3B.49.在ABC ∆中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，假设22tan :tan :,A B a b =那么ABC ∆的形状为〔〕A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或者直角三角形D.不能确定 10. 如图，在四边形ABCD 中，AD CD ⊥,10AD =，14AB =, 60BDA ∠=,135BCD ∠=，求BC 的长是〔〕A ．28B ．27C ．26D ．25 11.以下结论正确的选项是〔〕A.当x ＞0且x ≠1时,x x lg 1lg +≥2 B. 当x ＞0时,x x 1+≥2.DCAEPDC BAC.当x ≥2时,x x 1+的最小值是2 D.当0＜x ≤2时,x x 1-无最大值12. 定义：在数列{}n a 中，假设满足d a a a a nn n n =-+++112〔+∈N n ，d 为常数〕，称{}n a 为“等差比数列〞。

高一年级数学第二学期月考

高一年级数学第二学期月考数学试卷2022.03.29一、填空题〔本大题共12小题,每题4分,共48分〕1.在∆ABC 中,334=a ,4=b ,︒=30A ,那么B sin ＝ 2.数列的通项52n a n =-+,那么其前n 项和n S =3.假设等差数列{}n a 的前三项和93=S 且11=a ,那么3a 等于4.在等比数列{}n a 中,假设11a =,418a =,那么该数列的前11项和为 5.如果等差数列{}n a 的第5项为5,第10项为-5,那么此数列的第1个负数项是第项.6.在ABC ∆中,假设2,32,30==︒=AC AB B ,那么ABC ∆的面积是7.在△ABC 中,5,8==AC BC ,三角形面积为12,那么=C 2cos8.某种植物适宜生长在温度为]20,18[C C ︒︒的山区,山区海拔每升高100米,气温下降C ︒55.0,先测得山脚下的平均气温为C ︒22,那么该植物种在山区多高处为宜？设适宜的种植高度为x 米,请转化为数学模型,不求解：9.设{}n a 是公差为正数的等差数列,假设12315a a a ++=,12380a a a =,那么111213a a a ++=10.等差数列}{n a 中,0≠n a ,假设1>m 且0121=+-+-m m m a a a ,2138m S -=,那么m 的值为11.设等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,假设12,,n n n S S S ++成等差数列,那么q 的值为12.数列}{n a 中,n n n a 3)12(⋅-=,那么其前n 项和=n S 〔化为最简形式〕二、解做题〔本大题共5小题,共52分,解答时应写出文字说明、证实过程或演算步骤〕13.〔本小题总分值10分〕设锐角三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,2sin a b A =．〔1〕求B 的大小；〔2〕假设a =,5c =,求b ．14.〔本小题总分值10分〕在锐角ABC △中,cos A =,cos C =3BC =．求：〔1〕ABC △的面积；〔2〕AB 边上的中线CD 的长．15.〔本小题总分值12分〕〔1〕在等差数列}{n a 中,215,23,21-===n n S a d ,求1a 及n . 〔2〕在等比数列}{n a 中,263,2763==S S ,求n a16.〔本小题总分值10分〕等差数列}{n a 和等比数列}{n b ,其中211==b a ,16415==b a , 〔1〕求此两个数列的通项公式n a 和n b ；〔2〕设732-+=n n n b a c ,求数列}{n c 的前n 项和n S .17.〔本小题总分值10分〕正项数列}{n a 的前n 项和为n S ,且*,12N n a S n n ∈+=〔1〕试求数列}{n a 的通项公式；〔2〕设11+=n n n a a b ,数列}{n b 的前n 项和为n B ,求证：21<n B . 江苏省镇江中学2022-2022学年第二学期高一年级月考数学试卷参考答案2022.03.29 1.23 2.n n 21252-- 3.5 4.1024/20475.86.323或7.7/25 8.2055.01002218≤⋅-≤x 9.10510.1011.-212.13)1(3+-+n n13.(1)︒=30B (2)7=b 14.(1)3(2)515.(1)10,31=-=n a (2)22-=n n a16.(1)n n n b n a 2,1=+=(2)n n S n n 46262-+-⋅=17.(1)12-=n a n (2)略。

2023-2024学年湖北省学高一下册2月月考数学试题(含解析)

2023-2024学年湖北省学高一下册2月月考数学试题一、单选题1．已知πcos()63x -=，则πcos cos(3x x +-等于（）A B ．±C ．－1D ．1【正确答案】D【分析】根据两角差的余弦公式以及辅助角公式即可求解.【详解】π1πcos cos()cos cos sin cos 132263x x x x x x ⎛⎫+-=++-⨯= ⎪⎝⎭，故选：D2．已知a ，b ∈R ，则“0ab ≠”的一个必要条件是（）A ．0a b +≠B ．220a b +≠C ．330a b +≠D ．110a b+≠【正确答案】B【分析】利用3,3a b ==-否定ACD 选项，进而得答案.【详解】解：对于A 选项，当3,3a b ==-时，0ab ≠，此时0a b +=，故0a b +≠不是0ab ≠的必要条件，故错误；对于B 选项，当0ab ≠时，220a b +≠成立，反之，不成立，故220a b +≠是0ab ≠的必要条件，故正确；对于C 选项，当3,3a b ==-时，0ab ≠，但此时330a b +=，故330a b +≠不是0ab ≠的必要条件，故错误；对于D 选项，当3,3a b ==-时，0ab ≠，但此时110a b +=，故故110a b+≠不是0ab ≠的必要条件，故错误.故选：B3．函数()()23log 45f x x x =-++的单调减区间是（）A ．(),2∞-B ．()2,∞+C ．()2,5D ．()1,2-【正确答案】C【分析】先求出函数定义域，再根据复合函数单调性的判断法则求解单调区间.【详解】由题：2450x x -++>，()()150x x +-<，解得：()1,5x ∈-，()()23log 45f x x x =-++的减区间，即245y x x =-++的减区间，对称轴为2x =结合二次函数单调性，所以()()23log 45f x x x =-++的减区间()2,5.故选：C此题考查求复合函数的单调区间，需要熟练掌握单调性的讨论方式，易错点在于漏掉考虑定义域，导致出错.4．在平行四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上靠近点C 的三等分点，点F 在BE 上，若13AF x AB AD =+，则x =（）A ．23B ．45C ．56D ．67【正确答案】C【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可.【详解】由题可知()23AE AB AD =+，∵点F 在BE 上，∴()1AF AB AE λλ=+- ，∴2133AF λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 2233AB AD λ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ．∴221333λ-=，12λ=．∴21153326x =+⨯=．故选：C ．5．设(0,)x π∈，则函数()f x =）A．⎡⎣B ．[]0,2C．⎡⎣D ．[)0,2【正确答案】A利用二倍角公式化简函数表达式，再利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.【详解】由(0,)x π∈，则0,22x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以()f x ==sin 2sin 2224x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又,2444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以sin 2242x π⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，所以0sin 242x π⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，所以()0f x ≤<故选：A本题考查了三角恒等变换、求三角函数的值域，考查了基本运算求解能力，属于中档题.6．已知0x >，0y >，且420x y xy +-=，则2x y +的最小值为（）A ．16B ．8+C ．12D ．6+【正确答案】A【分析】由题意得，241x y+=，再根据基本不等式乘“1”法即可得最小值.【详解】由题可知241x y+=，乘“1”得24822(2)82816x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当82x y y x =时，取等号，则2x y +的最小值为16.故选：A7．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，过点,012A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,23B π⎛⎫⎪⎝⎭，当5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()2cos 43g x mf x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为9，则m 的值为（）A ．2B ．52C ．2和52D ．2±【正确答案】B由图可得()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()4sin 26g x m x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭212sin 26x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，令sin 2[0,1]6x t π⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，转化为求2241y t mt =-++的最大值问题.【详解】由已知，43124T πππ=-=，所以2T ππω==，2ω=，又()23f π=，||2ϕπ<，所以sin(2)13πϕ⨯+=，6πϕ=-，故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()()2cos 43g x mf x x π⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭4sin 26m x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭212sin 26x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以220,63x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，sin 2[0,1]6x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，令sin 26x t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则[0,1]t ∈，故2241y t mt =-++，若0m ≤，易得max 1y =，不符合题意；若01m <<，易得2max 129y m =+=，解得2m =±（舍）；若m 1≥，易得max 419y m =-=，解得52m =.故选：B.本题考查已知正弦型函数的最大值求参数的问题，涉及到由图象确定解析式、二次函数最值等知识，是一道有一定难度的题.8．已知平面向量a 、b 、c满足2a b a c ==⋅= ，且12a c a λ+≥- 对任意实数λ恒成立，则1122a b b c ++-的最小值为（）A 31B ．23C 35D ．5【正确答案】B【分析】不等式12a c a c λ+≥- ，两边平方得到关于实数λ的不等式，进而得到2c =，再利用模长公式将1122a b b c ++- 转化为1122a b c b ++- ，再利用不等式a b a b +≥+即可得解.【详解】由12a c a c λ+≥- ，两边平方得22222124a a c c a a c cλλ+⋅+⋅≥-⋅+ 又2a c ⋅=，且12a c a λ+≥- 对任意实数λ恒成立，即22214204c c λλ⋅++-≥ 恒成立，所以221164204c c ⎛⎫∆=-⋅-≤ ⎪⎝⎭ ，即()2240c -≤ ，所以24c =，即2c = .由2a b c ===，知1122a b a b +=+ ，1122b c c b -=-所以11112222a b b c a b c b a c ++-=++-≥+=当且仅当12a b + 与12c b -同向时取等号.故选：B关键点睛：本题考查向量的综合应用，不等式恒成立问题，解题的关键先利用12a c a c λ+≥- 对任意实数λ恒成立，求得2c =，再利用a b a b +≥+ 求最值，考查了转化思想与运算能力.二、多选题9．若函数()22f x +为偶函数，()1f x +为奇函数，且当(0,1]x ∈时，()ln f x x =，则（）A ．()f x 为偶函数B ．()e 1f =C ．141e f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D ．当[1,2)x ∈时，()ln(2)f x x =--【正确答案】ACD【分析】根据题意可得()f x 关于2x =与()1,0对称，再根据对称性满足的等式化简，逐个选项判断即可【详解】对A ，因为函数()22f x +为偶函数，故()()2222f x f x +=-+，故()f x 关于2x =对称.又()1f x +为奇函数，关于原点对称，故()f x 关于()1,0对称.综上，()f x 关于2x =与()1,0对称.关于2x =对称有()()4f x f x =-，关于()1,0对称有()()42f x f x -=--，()()=2f x f x --，故()()22f x f x --=--，即()()=f x f x -，所以()f x 为偶函数，故A正确；对B ，由A ，因为()e 2,3∈，()()()()e 2e e 2ln e 2f f f =--=--=--，故B 错误；对C ，由A ，1114ln 1e e e f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对D ，当[1,2)x ∈时，(]20,1x -∈，故()()()2ln 2f x f x x =--=--，故D 正确；故选：ACD10．设a ，b是互相垂直的单位向量，2AB a b λ=+ ，()1AC a b λ=+- ，下列选项正确的是（）A ．若点C 在线段AB 上，则2λ=B ．若AB AC ⊥，则23λ=C ．当1λ=时，与AB+ D ．当1λ=-时，a 在AC 上的投影向量为1255a b-【正确答案】ABD【分析】对A ：根据向量共线分析运算；对B ：根据向量垂直运算求解；对C ：根据单位向量分析运算；对D ：根据投影向量分析运算.【详解】由题意可得：221,0a b a b ==⋅=r r r r，对A ：若点C 在线段AB 上，则[),1,AB k AC k =∈+∞uu u r uuu r，则()()211a b k a b ka k b λλλ⎡⎤+=+-=+-⎣⎦r r r r r r，可得()12k k λλ=⎧⎨-=⎩，解得2k λ==或1k λ==-（舍去），故A 正确；对B ：由AB AC ⊥，可得()()()()22221221320AB AC a b a b a a b b λλλλλλλ⎡⎤⋅=+⋅+-=+-+⋅+-=-=⎣⎦uu u r uuu r r r r r r r r r ，解得23λ=，故B 正确；对C ：当1λ=时，则2AB a b =+===uu u r r r与AB共线的单位向量是⎫=±⎪⎪⎝⎭，故C 错误；对D ：当1λ=-时，可得()22221,a AC a a b a a b AC ⋅=⋅-=-⋅====r uuu r r r r r r r uuu r 则a 在AC上的投影向量为()2112cos ,555AC a AC AC a AC a a AC a AC AC a bAC a ACAC AC⋅⋅<>====-uuu r r uuu ruuu r r uuu rr r uuu r r uuu r uuu r r ruuu r r uuu ruuu r uuu r ，故D 正确.故选：ABD ．11．某摩天轮共有32个乘坐舱，按旋转顺序依次为1～33号（因忌讳，没有13号），并且每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角均相等，已知乘客在乘坐舱距离底面最近时进入，在min t 后距离地面的高度()()()()sin 0,0,0,2πf t A t B A ωϕωϕ=++>>∈，已知该摩天轮的旋转半径为60m ，最高点距地面135m ，旋转一周大约30min ，现有甲乘客乘坐11号乘坐舱，当甲乘坐摩天轮15min 时，乙距离地面的高度为(75m +，则乙所乘坐的舱号为（）A ．6B ．7C ．15D ．16【正确答案】BD【分析】先由最小正周期求出15πω=，进而由最高点和最低点与地面的距离求出6075A B =⎧⎨=⎩，由甲乘坐摩天轮15min 时，距底面为最大高度，求出3π2ϕ=，得到解析式，令()075f t =+求出0454t =min 或754min ，求出每相邻两个乘坐舱旋转到同一高度的时间间隔，分别求出0454t =min 和754min 时，甲乙相差的乘坐舱个数，得到答案.【详解】由题意得：30T =min ，故2π2ππ3015T ω===，摩天轮最低点距底面13560215-⨯=m ，故13515A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得：6075A B =⎧⎨=⎩，故()π60sin 7515f t t ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由于30T =min ，故甲乘坐摩天轮15min 时，距地面为最大高度，即()π1560sin 157513515f ϕ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭，故()sin π1ϕ+=，因为()0,2πϕ∈，所以()ππ,3πϕ+∈，故5ππ2ϕ+=，解得：3π2ϕ=，故()π3π60sin 75152f t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令()00π3π60sin 7575152f t t ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭()00,30t ∈，解得：0π3πsin 1522t ⎛⎫+=⎪⎝⎭，令0π3ππ2π1524t k +=+，Z k ∈，解得：075304t k =-+，Z k ∈，因为()00,30t ∈，所以()07530,403k +∈-，解得：1k =，此时0454t =令0π3π3π2π1524t k +=+，Z k ∈，解得：045304t k =-+，Z k ∈，因为()00,30t ∈，所以()04530,403k +∈-，解得：1k =，此时0754t =综上：0454t =min 或754min ，每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角为π16，故每相邻两个乘坐舱旋转到同一高度的时间间隔为π1516minπ1615=，当0454t =min 时，乙比甲晚出发45151544-=min ，甲乙相差15441516=个乘坐舱，由于没有13号乘坐舱，故乙在16号乘坐舱，当0754t =min 时，乙比甲早出发75151544-=min ，甲乙相差15441516=个乘坐舱，故乙在7号乘坐舱.故选：BD12．对任意两个非零的平面向量α 和β，定义αβαβββ⋅=⋅，若平面向量a b ､满足0,a b a≥> 与b 的夹角π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且a b 和b a都在集合Z,Z n m n m ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭∣中．给出以下命题，其中一定正确的是（）A ．若1m =时，则1a b b a ==B ．若2m =时，则12a b =C ．若3m =时，则a b的取值个数最多为7D ．若2014m =时，则a b的取值个数最多为220142【正确答案】AC【分析】由新定义可知22||cos ||cos ,||||a b a b a b a b b a a a b bθθ⋅⋅====，再对每个命题进行判断，即可得出结论.【详解】对A ，若1m =时，'22||cos ||cos ,||||a b a b a b a b n b a n a a b bθθ⋅⋅======，两式相乘得2'cos n n θ=⋅，又π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，21cos 12θ∴≤≤，即'112n n ≤⋅≤，'1n n ∴==，即1a b b a ==，故A 正确；对B ，若2m =时，则2||cos 2||a b a n a b b bθ⋅=== ，同理||cos ||2b n b a a θ'==，相乘得到2cos 4nn θ'=，又π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以21cos 12θ≤≤，即1124nn '≤≤，则()',n n 取值(2,1)时符合1124nn '≤≤，此时1a b = ，故B 错误；对C ，若3m =时，则2||cos 3||a b a n a b b bθ⋅===，同理||co |3s |b n b a a θ'==，相乘得2cos 9nn θ'=，又π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，21cos 12θ∴≤≤，1129nn '∴≤≤，又0≥> a b ，得'n n ≥，3,2,3n n '∴==，4,2n n '==，5,6,7,8,9,1n n '==，a b ∴的取值个数最多为7个，故C 正确；对D ，若2014m =时，由上面推导方法可知22014112nn '≤≤，2220142n nn '≥∴≥，n ∴≥214252014n ∴≤≤，a b ∴ 的取值个数最多为2220141425202114-+≠，故D 错误.故选：AC.数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.三、填空题13．210341272(e 1)16lglg254+--+-=__________．【正确答案】5+5【分析】根据指数幂和对数公式计算即可.【详解】210341272(e 1)16lglg254+-+-()()21343411322lg 425⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭92222=++--5=故答案为.5+14．已知平面上不共线的向量,,a b c的夹角两两相等，且a b c == ，则,a b b c +-=__________．【正确答案】π6##30︒【分析】由题可得,,a b c两两的夹角为2π3，根据平面向量数量积的定义，运算律及向量夹角公式即得.【详解】因为平面上不共线的向量,,a b c的夹角两两相等，且a b c == ，,,a b c ∴两两的夹角为2π3，22πcos 32a a a b b ∴⋅=⨯=-，22a c c ab ⋅=⋅=- ，∴()()22222223222a b a c b b a a a a a b c b c a ⋅-⋅+-⋅=+⋅-=-+++=，()2222222222a a b a a ab a a b ⋅+=-⨯++=+=，即a b a +=r r r ，()22222222322b b a bc c ca a a -⋅+=+⨯+=-=，即b c -= ，所以()()23cos ,2a a b b c a b b c a b b c +⋅-+-=+- [],0,πa b b c +-∈ ，所以π,6a b b c +-=.故答案为.π615．函数()1,111,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨⎛⎫+≠⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程2[f (x )]2－(2a ＋3)·f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，则a 的取值范围是________．【正确答案】331,,222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】要使关于x 的方程2[f (x )]2－(2a ＋3)·f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，只需使函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝32、y ＝a 共有五个不同的交点，画出函数的大致图象，利用数形结合可得结果．【详解】由2[f (x )]2－(2a ＋3)·f (x )＋3a ＝0，得[2f (x )－3][f (x )－a ]＝0，∴f (x )＝32或f (x )＝a ．画出函数y ＝f (x )的大致图象，如图，要使关于x 的方程2[f (x )]2－(2a ＋3)·f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，即要使函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝32、y ＝a 共有五个不同的交点，则a 的取值范围是331,,222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故331,,222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．16．对任意实数11,2x y >>，不等式222241(21)(1)x y a y a x +≥--恒成立，则实数a 的最大值为________．【正确答案】不等式222241(21)(1)x y a y a x +≥--恒成立，转化为2224211x y a y x ≤+--，其中11,2x y >>，令()()()()222212112122114211211x x y y x y t y x y x -+-+-+-+=+=+----，两次利用基本不等式即可得出结果.【详解】不等式222241(21)(1)x y a y a x +≥--恒成立，可得转化为2224211x y a y x ≤+--，其中11,2x y >>，令()()()()222212112122114211211x x y y x y t y x y x -+-+-+-+=+=+----≥8=≥=，当且仅当22x y ==时取等号，28a ∴≤，解得a -≤∴实数a 的最大值为.故易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方四、解答题17．已知R a ∈，解关于x 的不等式()2330ax a x +++>．【正确答案】答案见解析【分析】分类讨论求解含参数的一元二次不等式作答即可.【详解】当0a =时，不等式为330x +>，解得1x >-；当0a ≠时，不等式化为()310a x x a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，当a<0时，不等式为()310x x a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，解得31x a -<<-；当0a >时，不等式为()310x x a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，若3a =，不等式为()210x +>，解得1x ≠-；若0<<3a ，解得3x a <-或1x >-；3a >，解得1x <-或3x a>-.综上所述，当a<0时，原不等式的解集是31x x a ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭；当0a =时，原不等式的解集是{}|1x x >-；当03a <≤时，原不等式的解集是3|x x a ⎧<-⎨⎩或}1x >-；当3a >时，原不等式的解集是{|1x x <-或3x a ⎫>-⎬⎭．18．如图所示，在ABC 中，D 是边BC 的中点，E 在边AB 上，2,BE EA AD =与CE 交于点O．(1)若BO x AB y AC =+，求,x y 的值；(2)若6AB AC AO EC ⋅=⋅，求AB AC的值．【正确答案】(1)3,41,4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【分析】（1）由,,E O C 三点共线，以及,,A O D 三点共线结合共线定理得出,x y 的值；（2）由11()23n AO m AB AC AB nAC -=+=+得出,m n ，进而得出2213622AO EC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+ ，结合6AB AC AO EC ⋅=⋅ 得出AB AC的值．【详解】（1）()()BO xAB y AC xAB y BC BA xBA yBA yBC x y BA yBC =+=+-=--+=--+因为12,23BD BC BE BA ==，所以3()2BO x y BE yBC =--+ ，因为,,E O C 三点共线，所以33122x y y --+=①又()2BO x y BA yBD =-++，所以()21x y y -++=②由①②可得，3,41,4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2）设1()2AO mAD m AB AC ==+，()AO AE EO AE nEC AE n AC AE =+=+=+-=1(1)3n n AE nAC AB nAC --+=+ 所以11,231,2n m m n -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1,21,4m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以111(),243AO AD AB AC EC AC AE AB AC ==+=-=-+.22111366)4322AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⎛⎫⋅=⨯+⋅-+=-+⋅+⎪⎝⎭又6AB AC AO EC ⋅=⋅ ，所以2213022AB AC =-+ ，223ABAC= 即3ABAC= 19．已知,42ππα⎛∈⎫- ⎪⎝⎭，且满足26sin sin24αα=+(1)求sin2α的值；(2)若20,,tan tan 602πβββ⎛⎫∈--= ⎪⎝⎭，求αβ+的值．【正确答案】(1)45(2)3π4【分析】（1）由平方关系以及商数关系得出tan 2α=，再由22tan sin22sin cos tan 1ααααα==+求解即可；（2）解方程得出tan 3β=，再由()tan 1αβ+=-以及π,π2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭得出αβ+的值．【详解】（1）当0α=时，sin sin20αα==，不满足26sin sin24αα=+，故0α≠.因为26sin sin24αα=+，所以22sin sin cos 2cos αααα=+.即222sin cos 2cos tan 21sin tan αααααα++==，即2tan tan 20αα--=解得tan 2α=或tan 1α=-（舍）故2222sin cos 2tan 4sin22sin cos sin cos tan 15ααααααααα====++（2）()()2tan tan 6tan 3tan 20ββββ--=-+=，解得tan 3β=或tan 2β=-（舍）.由（1）可知，πtan 2tan14α=>=，则,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，同理可得,42ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即π,π2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()tan tan 5tan 11tan tan 16αβαβαβ++===---因为函数tan y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上为单调函数，所以3π4αβ+=20．已知函数()2sin sin 2cos ,R 662x f x x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（其中)0ω>(1)求函数()f x 的最大值；(2)若对任意R a ∈，函数()(],,y f x x a a π=∈+与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，且关于x 的方程()12f x =在(]0,π上有两不等实数解()1212,x x x x <，求()12sin x x -的值．【正确答案】(1)1(2)4-【分析】（1）根据两和差的正弦公式，结合降幂公式、辅助角公式、正弦型函数最值性质进行求解即可；（2）根据正弦型函数的性质，得出2ω=，再由对称性以及诱导公式得出()12sin x x -的值.【详解】（1）2ππ()sin()sin()2cos,R 662x f x x x x ωωω=++--∈3131cos cos (cos 1)2222x x x x x ωωωωω=++--+1πcos )12sin()126x x x ωωω=--=--，所以函数()f x 的最大值为1；（2）若对任意R a ∈，函数(),(,π]y f x x a a =∈+与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，则()y f x =的周期为π，又由0ω>，得2ππω=，得2ω=．1()2f x =，即4πsi 23n 6x ⎛⎫⎪⎝⎭=- 函数(]πsin 2,60,y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭与34y =的图象如下图所示由对称性可得，122π3x x +=，1ππ20,63x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭因为14πsi 23n 6x ⎛⎫⎪⎝⎭=- ，所以1πc os 26x ⎛⎫= ⎝⎭=-⎪()1211112ππππππsin sin(2)sin (2)sin (2)cos(2362266x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-=-=--=---=--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21．已知函数()()2ln f x a a x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ．(1)若函数()()()ln 233F x f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦有唯一零点，求实数a 的取值范围；(2)若对任意实数3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，对任意[]12,,41x x m m ∈-，恒有()()12ln2f x f x -≤成立，求正实数a 的取值范围．【正确答案】(1)451,2,32⎛⎤⎧⎫-⎨⎬⎥⎝⎦⎩⎭U(2){12a a ≥-【分析】（1）将函数()()()ln 233F x f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦有唯一零点转化成方程()()222320a x a x -+--=有唯一解的问题，对二次项系数进行分类讨论即可；（2）由复合函数单调性可知，函数()()2ln f x a a x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 为[],41m m -上的减函数，将()()12ln2f x f x -≤恒成立转化成()24420am a m -++≥在3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，讨论对称轴与区间的位置关系，求出其在区间3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值，使最小值大于等于0即可求得正实数a 的取值范围.【详解】（1）函数()()2ln ln 233F x a a x a x ⎛⎫=+--+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭有唯一零点，即()22330a a x a x+=-+->①有唯一零点，即()()222320a x a x -+--=有唯一零点，当2a =时，20x -=，解得2x =，符合题意；当2a ≠时，方程为一元二次方程，其()22Δ(23)82(25)a a a =-+-=-当52a =时，Δ0=，方程有两个相等的实数根2x =，符合题意；当52a ≠时，Δ0>，方程有两个不等的实数根12x =，212x a =-；若12x =为①的解，则()2223302a a a +=-⨯+->，解得1a >-；若212x a =-为①的解，则()212330122a a a a a +=-⨯+->--，解得43a >；要使①有唯一实数解，则413a -<≤．综上，实数a 的取值范围为451,2,32⎛⎤⎧⎫-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭U ．（2）函数()2ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中内部函数2y a x =+在[],41x m m ∈-上为减函数，外部函数ln y x =为增函数，由复合函数性质知()2ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为[],41m m -上的减函数，()()max 2ln f x f m a m ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()min 241ln 41f x f m a m ⎛⎫=-=+ ⎪-⎝⎭，不等式()()12ln 2f x f x -≤转化为()()12max ln 2f x f x -≤，即转化为22ln ln ln 241a a m m ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，即()222ln ln 224420224141a a m m am a m a a m m ⎛⎫++ ⎪≤⇒≤⇒-++≥ ⎪ ⎪++--⎝⎭令()()2442g m am a m =-++，3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()min 0g m ≥．二次函数对称轴为411882a m a a+==+，由0a >，开口向上（i ）当407a <≤时，11182a +≥，函数()g m 在3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()()min 14420g m g a a ==-++≥，解得23a ≥，不符合题意，舍去；（ii ）当4475a <<时，3111482a <+<，函数()g m 在311,482a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递减，在11,182a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦上单调递增，()min 11082g m g a ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，即224160a a -+≤，解得1212a -≤+即4125a -≤<；（iii ）当45a ≥时，113824a +≤，函数()g m 在3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min 39344204164g m g a a ⎛⎫==⨯-+⨯+≥ ⎪⎝⎭，解得23a ≥，即45a ≥；综上可知，正实数a 的取值范围{12a a ≥-．关键点点睛：本题第二小问的关键是将“对任意[]12,,41x x m m ∈-，恒有()()12ln2f x f x -≤成立”进行等价转化，只需满足()()12max ln2f x f x -≤，再利用函数()f x 的单调性，即可将问题转化成不等式()24420am a m -++≥在3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立的问题，再讨论二次函数对称轴与区间的位置关系即可求得参数的取值范围.22．已知定义域不为R 的函数()212xxk f x k -=+⋅（k 为常数）为奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若函数()()2π(0),2sin cos20,2g x x x h x x x x λ⎛⎫⎡⎤=>=+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，是否存在实数λ，使得()()g h x f h x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)1k =-(2)存在；12λ<<【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义，代入计算即可得到结果；（2）根据题意，得到函数()h x 的值域，然后根据函数()f x 与()g x 的单调性进行讨论，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得，()()0f x f x -+=，则2201212x xx xk k k k ----+=+⋅+⋅化简得()()()()221210x f x f x k +-=+-=，因为2120x +>，所以210k -=，即1k =±当1k =时，()12211212x x xf x -==-+++，其定义域为R ，不符合题意；当1k =-时，()12211212x x xf x --==---，其定义域为{}0x x ≠，满足题意所以，1k =-（2）因为()2(0)g x x x =>，所以()2sin cos20h x x x λ=+>在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，则必有0x =时，()00h λ=>，当π2x =时，π202h λ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则2λ<，所以02λ<<，()22112sin cos22sin 2sin 2sin 22h x x x x x x λλλλλλλ⎛⎫=+=-++=--++ ⎪⎝⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]sin 0,1∈x ，当102λ<≤时，()2112sin 22h x x λλλλ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，即()[],2h x λλ∈-当122λ<<时，()2112sin 22h x x λλλλ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦单调递增，先增后减，在0x =或π2处取得最小值，且()0h λ=，π22h λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()max 12h x λλ=+，其中()12ϕλλλ=+为对勾函数，在122λ<<上单调递减，2λ<<上单调递增，又()139,22224ϕϕϕ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故()94ϕλ⎤∈⎦综上，()[]0,3h x ∈因为()2112xf x =--在()0,∞+递减，()2g x x =在()0,∞+递增，当[]0,3x ∈时，令()()()k x g x f x =-，则其单调递增，且()()10,20k k <>，则存在()01,2x ∈，使得()00k x =，又()()g h x f h x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦，故()1h x >，所以()min 1h x >当102λ<≤时，()min 1h x λ=<，不符合要求；当122λ<<时，令()01π212h h λλ⎧=>⎪⎨⎛⎫=-> ⎪⎪⎝⎭⎩所以12λ<<，综上，存在()1,2λ∈。

2023-2024学年安徽省淮北市高一下册第二次月考数学试题(含解析)

2023-2024学年安徽省淮北市高一下册第二次月考数学试题一、单选题1．已知()3,1AB =uu u r ，()4,3AC =-- ，则BC =（）A ．()7,4--B ．()7,4C ．()1,4-D ．()1,4【正确答案】A【分析】由向量减法法则计算．【详解】(4,3)(3,1)(7,4)BC AC AB =-=---=--故选：A.2．sin 20cos10sin10sin 70︒︒+︒︒的值是（）A ．14B C ．12D 【正确答案】C【分析】由诱导公式和两角差的余弦公式化简计算.【详解】()1sin 20cos10sin10sin 70cos70cos10sin 70sin10cos 7010cos602︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒-︒=︒=故选：C3．已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．12B C ．23D ．2【正确答案】B【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：1sin sin cos 12θθθ+=，则：3sin cos 12θθ=1cos 2θθ+从而有：sin coscos sin663ππθθ+=，即sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：B.本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.4．在ABC 中，BC BD λ=，且2133AD AB AC =+ ，则λ=（）A ．2B ．3C ．23D ．12【正确答案】B【分析】利用向量线性运算化简已知等式可整理得到3BD BC =，由此可得结果.【详解】()()212121333333AD AB AC AD DB AD DC AD DB DC =+=+++=++，21113333BD DC BC BD ∴==-，3BD BC ∴= ，即3λ=.故选：B.5．6a = ，3b =r ，12a b ⋅=- ，e 是与b 同向的单位向量，则向量a 在向量b上的投影向量是（）A ．4e - B ．4eC ．4-D ．4【正确答案】A【分析】直接由投影向量的公式求解即可.【详解】由题意得：向量a 在向量b 上的投影向量是4e a b e b-⋅=.故选：A.6．已知平面向量a ，b满足a = 2b = ，3a b ⋅=- ，则2a b += （）A ．2B ．4C D ．【正确答案】A【分析】由222244a b a a b b +=+⋅+ 求解.【详解】解：因为a ，b满足a = 2b = ，3a b ⋅=- ，所以222244a b a a b b +=+⋅+ ，()434344=⨯+⨯-+=，所以22a b += ，故选：A7．若cos (1)1α+︒=，则α的一个可能值为（）A ．70︒B ．50︒C ．40︒D ．10︒【正确答案】C【分析】利用同角三角函数关系和诱导公式，以及辅助角公式和二倍角正弦公式化简已知等式，可得cos cos 40α=︒，即可得出答案．【详解】解：cos (1)1α︒=，cos α∴=1sin101=︒==⎝⎭()cos10cos102sin 10302sin 40︒︒==︒+︒︒()cos 9080sin802sin 402sin 40︒-︒︒==︒︒2sin 40cos 40cos 402sin 40︒︒==︒︒，α\的一个可能值为40︒.故选：C ．本题考查利用同角三角函数关系和诱导公式，以及辅助角公式和二倍角正弦公式进行化简，考查计算能力，属于基础题．8．已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示.有下列四个结论：①3πϕ=﹔②()f x 在7,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的最小正周期T π=；④()f x 的图象的一条对称轴为3x π=.其中正确的结论有A ．②③B ．②④C ．①④D ．①②【正确答案】A【分析】利用图象先求出函数解析式，结合所给结论逐个进行验证.【详解】因为()0f =sin ϕ=，由于0ϕπ<<，所以3πϕ=或23π；由于图象最高点在y 轴左侧，所以23ϕπ=，①不正确；因为06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2sin()063ππω+=，解得2,63k k ωππ+=π∈Z ，64k ω=-，令1k =得2ω=，周期为π，③正确；由2222,232k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z 可得,1212k x k k 7πππ-≤≤π-∈Z ，令0k =可得增区间为7,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，②正确；因为3x π=时，24233x ππ+=，所以3x π=不是对称轴，④不正确；故选：A.本题主要考查利用三角函数的图象求解解析式，进而研究函数的性质，明确,ωϕ的求解方法是解题关键，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.二、多选题9．已知向量a 、b不共线，则下列各组向量中，能作平面向量的一组基底的有（）A ．{},2a b a b++ B ．{}2,2a b a b--+ C ．{}3,2a a b+ D ．{},32a b a b-- 【正确答案】ACD【分析】判断每个选项中每组向量是否共线，由此可得出合适的选项.【详解】因为向量a 、b 不共线，对于A 选项，设a b + 、2a b +共线，可设()2a b a b λ+=+ ，可得出21λλ=⎧⎨=⎩，无解，所以，a b + 、2a b +不共线，A 中的向量能作基底，同理可知CD 选项中的向量也可作平面向量的基底，对于B 选项，因为()22a b a b -=--+ ，所以()()2//2a b a b --+，所以{}2,2a b a b --+不能作平面向量的基底．故选：ACD.10．如图所示，已知P ，Q ，R 分别是ABC 三边的AB ，BC ，CA 的四等分，如果AB a =，AC b =，以下向量表示正确的是（）A ．3142QP a b =-- B ．3142QR a b =-+C ．1344PR a b =-+D ．BC a b=-【正确答案】BC【分析】利用平面向量基本定理以三角形法则，对各个选项逐个判断求解即可.【详解】由已知可得BC AC AB b a =-=-，故D 错误；因为P ，Q ，R 分别是ABC 三边的AB ，BC ，CA 的四等分点，由313111()444424QP BP BQ BA BC a b a a b =-=-=---=-- ,故A 错误；131331()444442QR CR CQ AC BC b b a a b =-=-+=-+-=-+，故B 正确；31134444PR AR AP AC AB a b =-=-=-+，故C 正确.故选：BC11．下列说法中不正确的是（）A ．若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角B ．若向量a 与b 不共线，则a 与b都是非零向量C ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c共线D ．“a b = ”的充要条件是“a b = 且a b ∥”【正确答案】ACD【分析】利用向量的相关概念以及数量积运算的概念进行判断.【详解】对于A ，若0a b ⋅<，a 与b 的夹角也可以为π，不一定是钝角，故A 不正确；对于B ，因为0 与任意向量都共线，若向量a 与b 不共线，则a 与b都是非零向量，故B 正确；对于C ，若a 与b 共线，b 与c 共线，0b = ，则a 与c不一定共线，故C 不正确；对于D ，若a b =，则a 与b 是相等向量，则它们模长相等，方向相同，若a b = 且a b ∥，它们不一定是相等向量，故D 不正确.故选：ACD.12．血压(blood pressure ，BP)是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人的收缩压≥140mmHg 或舒张压≥90mmHg ，则说明该成人有高血压．设从未使用抗高血压药的陈华今年45岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t =0)，他的血压p （t ）(mmHg)与经过的时间t （h ）满足关系式ππ()11520sin 63p t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（）A ．当天早晨6～7点，陈华的血压逐渐上升B ．当天早晨9点时陈华的血压为125mmHgC ．当天陈华没有高血压D ．当天陈华的收缩压与舒张压之差为40mmHg 【正确答案】ABD【分析】由已知，根据题意给的函数关系式，可通过赋值计算分别验证选项A 、B 、D ，结合题意对高血压的判定，通过计算即可验证选项C.【详解】由已知，选项A ，当天早晨6～7点，则t ∈[0，1]，π6t+π3∈[ππ32，]，所以函数p（t ）在[0，1]上单调递增，陈华的血压逐渐上升，故该选项正确；选项B ，当t=3时，p （t ）=115+20sin 5π6=125，所以当天早晨9点时陈华的血压为125mmHg ，故该选项正确；选项C 、选项D ，因为p （t ）的最大值为115+20=135，最小值为115-20=95≥90，所以陈华的收缩压为135mmHg ，舒张压为95mmHg ，因此陈华有高血压，故选项C 错误；且他的收缩压与舒张压之差为40mmHg ，故选项D 正确.故选：ABD.三、填空题13．cossin1212ππ=______.【正确答案】14【分析】逆用正弦的二倍角公式直接可求.【详解】111cos sin 2cos sin sin 121221212264πππππ=⨯==.故答案为.1414．已知平面向量(1,2)a = ，(2,)b m =- ，且a //b ，则23a b + ＝．【正确答案】(-4,-8)【详解】由a b∥，然后根据平面向量共线（平行）的坐标表示建立等式即，求出，然后根据平面向量的坐标运算()232(1,2)3(2,4)4,8a b +=+--=--．15．如图，作用于同一点O 的三个力123,,F F F 处于平衡状态，已知1||1F = ，22F = ，1F 与2F 的夹角为23π，则3F 的大小为________．【分析】先根据三力平衡，得到()312F F F =-+，再由向量模的计算公式，即可得出结果．【详解】解：因为123,,F F F 三个力处于平衡状态，所以1230F F F ++=，所以()312F F F =-+ ，所以312F F F =+====故答案为16．如图所示，扇形AOB 的弧的中点为M ，动点,C D 分别在,OA OB 上（包括端点），且OC BD =，2OA =，120AOB ∠=o ，则MC MD ⋅的取值范围______．【正确答案】3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】连接BM 、MA 和OM ，根据题意得到OAMB 为平行四边形，设OC xOA =，其中01x ≤≤，根据向量的运算法则，求得(1)MC x OA OB =-- ，MD OA xOB =--，结合向量的数量积的运算公式，求得2222MC MD x x ⋅=-+，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【详解】如图所示，连接BM 、MA 和OM ，因为120AOB ∠=o 且M 为 AB 的中点，可得OAMB 为平行四边形，所以,OA BM OB AM ==，设OC xOA =，其中01x ≤≤，因为OC BD =，可得(1)AC x OA =- ，BD xOB =-，在MAC △中，可得(1)MC MA AC x OA OB =+=--，在MBD 中，可得MD MB BD OA xOB =+=--，又因为2OA OB ==且120AOB ∠=o ，所以22cos1202OA OB ⋅=⨯=-，所以222[(1)]()(1)(1)MC MD x OA OB OA xOB x OA xOB x x OA OB ⋅=--⋅--=-+---⋅22(1)44(1)(2)222x x x x x x =-⨯+⨯---⨯-=-+，设()2222,[0,1]f x x x x =-+∈，根据二次函数的性质，可得函数()f x 的对称轴为12x =，且在1[0,]2x ∈在()f x 上单调递减，在1[,1]2x ∈在()f x 上单调增，所以当12x =时，函数()f x 取得最小值，最小值为1322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又由()()02,12f f ==，即函数()f x 的最大值为2，所以MC MD ⋅ 的取值范围3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为.3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题17．已知4a = ，8b = ，a 与b的夹角为2π3．(1)求a b + ；(2)当k 为何值时，()()2a b ka b +⊥-【正确答案】(1)(2)7k =-【分析】（1）根据向量数量积定义和运算律可求得2a b + ，进而得到a b + ；（2）由向量垂直可得()()20a b ka b +⋅-=，根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果.【详解】（1）2πcos ,32cos 163a b a b a b ⋅=⋅<>==-，222216326448a b a a b b ∴+=+⋅+=-+= ，a b ∴+= .（2）由()()2a b ka b +⊥-得：()()()()2222121616211280a b ka b k a k a b b k k +⋅-=+-⋅-=---=，解得.7k =-18．已知向量(1,2)a = ，(3,)b x = ，(2,)c y = ，且//a b ，a c ⊥ ．(1)求向量b 、c ；(2)若2m a b =- ，n a c =+，求向量m ，n 的夹角的大小.【正确答案】(1)(3,6)b = ，(2,1)c =-(2)34π【分析】（1）由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求x ，y ，进而可求；（2）设向量m ，n 的夹角的大小为θ．先求出m，n ，然后结合向量夹角的坐标公式可求．【详解】（1）解：因为(1,2)a = ，(3,)b x = ，(2,)c y = ，且//a b ，a c ⊥ ，所以230x -⨯=，220a c y ⋅=+=，所以6x =，1y =-，所以(3,6)b = ，(2,1)c =-；（2）解：设向量m，n 的夹角的大小为θ．由题意可得，()()()22,43,61,2m a b =-=-=--，(3,1)n a c =+=，所以cos||||m nm nθ⋅==因为0θπ≤≤，所以34πθ=．19．如图，在OAB中，P为线段AB上一点，且OP xOA yOB=+uu u r uu r uu u r.()1若AP PB=uu u r uu r，求x，y的值；()2若3AP PB=，4OA=，2OB=，且OA与OB的夹角为60︒，求OP AB⋅的值.【正确答案】()112x y==；()23-.【分析】()1用OA，OB表示出OP，根据平面向量的基本定理得出x，y的值；()2用OA ，OB 表示出OP ，AB ，代入数量积公式计算即可.【详解】解：()1若AP PB=uu u r uu r，则OP OA OB OP-=-uu u r uu r uu u r uu u r，即1122OP OA OB=+，故12x y==.()2若3AP PB=，则33OP OA OB OP-=-uu u r uu r uu u r uu u r，即1344OP OA OB=+，所以()221311344424OA OB OB OA OOP A OA OB B OBA⎛⎫+⋅-=--⋅=⋅+⎪⎝⎭22221131113cos6044223 4244224OA OA OB OB-⋅⋅︒+=-⨯-⨯⨯⨯=-+⨯=-.本题考查平面向量的基本定理，考查向量的数量积运算，属于中档题.20．已知函数()22sin cos24f x x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）当,42xππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x的值域；（2）是否存在实数()2,t∈+∞，使得()f x在()2,t上单调递增？若存在，求出t的取值范围，若不存在，说明理由.【正确答案】（1）()[]2,3f x ∈；（2）不存在，理由见解析.（1）由二倍角公式降幂，再由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得值域；（2）求出函数的单调区间，由2在减区间内部，得结论．【详解】解：（1）∵()22sin cos 24f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1cos 21sin 212sin 223x x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.又∵,42x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦，∴22633x πππ≤-≤，即212sin 233π⎛⎫≤+-≤ ⎪⎝⎭x ，∴()[]2,3f x ∈；（2）由222232k x k πππππ-+≤-≤+()k Z ∈得51212k x ππππ-+≤≤+()k Z ∈，所以()f x 的递增区间是5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈，递减区间是511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈，令0k =，函数在511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，而5112,1212ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即函数在112,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是递减的，故不存在实数()2,t ∈+∞，使得()f x 在()2,t 上递增.本题考查正弦型函数的值域，考查正弦型函数的单调性，解题方法由二倍角公式，两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解．21．已知函数()()()sin 0,04,πf x A x A ωϕωϕ=+><≤≤的部分图象如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)若函数()()g x f x m =-在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求m 的取值范围．【正确答案】(1)()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)[)1,2.【分析】（1）根据图象求出A ，再由过定点()0,1-求出ϕ，再由π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭求出ω；（2）由2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出ππ7π2,666x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的图象与性质分析函数的端点及极值，即可求解.【详解】（1）由图可得，2A =，将点()0,1-的坐标代入解析式可得2sin 1ϕ=-，结合图象可得π2π6k ϕ=-+，Z k ∈，又因为πϕ≤，所以π6ϕ=-．将点π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入解析式可得ππ2sin 0126ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合图象可得ππ2π126k ω-=，Z k ∈，则224k ω=+，Z k ∈，又因为04ω<≤，所以2ω=，故()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，令2π6x t -=，函数()2sin h t t =在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，ππ2sin 166h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，ππ2sin 222h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，7π7π2sin 166h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．若函数()()g x f x m =-在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，故m 的取值范围为[)1,222．已知cos ,sin 44x x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，,cos 44x x b ⎫=⎪⎭ ，()2f x a b =⋅- ，将曲线()y f x =的图象向右平移π3得到函数()y g x =的图象.（1）若1()2f α=，[0,π]α∈，求tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）若不等式2cos (π2)3m x m g x m -⋅-≤+对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）2（2）3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换得()πcos 26x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，转化条件得π1cos 262α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由π26α+的取值范围即可得α，再由两角差的正切公式即可得解；（2）由三角函数的图象变换得()cos 2x g x =，转化条件得2sin sin 30m x m x +≥+对任意x R ∈恒成立，设[]21)3,1(,h t mt mt t ∈-=++，结合二次函数的性质令min ()0h t ≥即可得解.【详解】由题意2()sin cos 24442x x x f x a b =⋅-=--1cos 11π2sin cos sin cos 22222226x x x x x +⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，（1）由1()2f α=得π1cos 262α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又[0,π]α∈，所以ππ2π6263α≤+≤，所以ππ263α+=，解得π3α=，则ππtan tan πππ34tan tan ππ4341tan tan 34α-⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⋅2=-（2）因为将()y f x =的图象向右平移π3得到函数()g x 的图象，所以()3cos cos 262x x g x ππ⎛⎫- ⎪=+= ⎪⎝⎭，所以()π2π2cos s n 2i g x x x --==，所以2cos sin 3m x m x m ≤-+恒成立，原不等式等价于2sin sin 30m x m x +≥+对任意x R ∈恒成立，令sin t x =，[]1,1t ∈-，则230mt mt ++≥在[]1,1t ∈-上恒成立，设[]21)3,1(,h t mt mt t ∈-=++，当0m =时，()30h t =≥成立；当0m <时，()()min 1230h t h m ==+≥，解得32m ≥-，此时302m -≤<；当0m >时，min 1()30242m m h t h ⎛⎫=-=-≥ ⎪⎝⎭，解得12m ≤，此时012m <≤；综上，实数m的取值范围是3,12 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.本题考查了三角恒等变换及三角函数性质的应用，考查了二次函数性质的应用及运算求解能力，属于中档题.。

湖北高一下学期2月月考数学试题(解析版)

一、单选题1．下列命题中正确的是（） A ．第一象限角小于第二象限角 B ．锐角一定是第一象限角 C ．第二象限角是钝角 D ．平角大于第二象限角【答案】B【分析】根据象限角的定义及锐角、钝角及平角的大小逐一分析判断即可得解. 【详解】解：为第一象限角，为第二象限角，故A 错误； 390︒120︒因为锐角，所以锐角一定是第一象限角，故B 正确； 0︒<90<︒因为钝角，平角， 90︒<180<︒180=︒为第二象限角，故CD 错误.480︒故选：B.2．已知，则等于（） cos αcos 2αA ．B ．C ．D 1919-【答案】A【分析】直接利用二倍角的余弦公式，代入，即可求出结果. 2cos 22cos 1αα=-cos α【详解】解：由题可知， cos α. 221cos 22cos 1219αα∴=-=⨯-=故选：A. 3．函数的图象的一条对称轴方程是（） 3πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ． B ．C ．D ．π2x =-π4x =-π8x =πx =【答案】A【分析】利用整体思想直接代入余弦函数对称轴的性质即可求解. 【详解】依题意，由，，得，．ππ2x k +=Z k ∈ππ2x k =-+Z k ∈当时，得. 0k =π2x =-故选：A.4．若，则的值为（） 1tan 3α=-222ππcos sin 332sin cos cos ααααα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+A ．B ．C ．D ． 1035323103-【答案】A【分析】根据三角函数基本关系式的和带入即可求解. 22sin cos =1αα+sin tan cos ααα=【详解】因为， 22sin cos =1αα+所以，22ππcos sin =133αα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又，1tan 3α=-所以原式.222221sin cos tan 1102sin cos cos 2sin cos cos 2tan 13αααααααααα++====+++故选：A. 5．已知，，则角终边所在象限是（） 4sin25θ=-3cos 25θ=θA ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】根据正弦和余弦的背角公式即可求解. 【详解】∵，， 24sin 2sincos02225θθθ==-<227cos cos sin 02225θθθ=-=-<∴终边在第三象限． θ故选：C.6．下列区间为函数的增区间的是（）π2sin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ． B ． C ．D ．ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦3ππ,44⎡⎤-⎢⎣⎦[]π,0-π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】利用整体法求解三角函数的单调递增区间，通过分析只有B 选项满足要求. 【详解】令，， πππ2π2π242k x k -≤+≤+Z k ∈解得：，， 3ππ2π2π44k x k -≤≤+Z k ∈当时，， 0k =3ππ44x -≤≤当时，， 1k =-11π7π44x -≤≤-当时，， 1k =5π9π44x ≤≤故四个选项中，只有B 选项满足要求，故选：B7．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式)()(sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪ ⎭⎝)(f x 为（）A ．B ．)(12sin 26f x x π⎛⎫=+⎪ ⎭⎝)(12sin 26f x x π⎛⎫=-⎪ ⎭⎝C ．D ．)(2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪ ⎭⎝)(2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪ ⎭⎝【答案】D【分析】根据图像直接得到，由周期求，根据时，有最大值，求出.2A =ω6x π=ϕ【详解】由函数的图象得，，即，则， 2A =4113126T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎭⎝2ππω=2ω=∴.)()(2sin 2f x x ϕ=+∵，则.则，得.∵2sin 2266f ππϕ⎛⎛⎫⎫=⨯+=⎪⎪ ⎭⎭⎝⎝sin 13πϕ⎛⎫+=⎪ ⎭⎝232k ππϕπ+=+)(26k k Z πϕπ=+∈，2πϕ<∴当时，，则函数.0k =6πϕ=)(2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪ ⎭⎝故选:D.【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；(3)求φ通常利用函数上的点带入即可求解.8．已知，且，则的值为（） 1sin cos 2αα=+π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 2πsin4αα⎛⎫-⎪⎝⎭A B ． CD ．【答案】B【分析】利用与倍角公式即可求解. 22sin cos 1αα+=22cos 2cos sin =-ααα【详解】依题意， ∵， 1sin cos 2αα=+∴， 1sin cos 2αα-=两边平方可得， 112sin c 4os αα-=∴， 2sin co 4s 3αα=∴， 712sin cos 4αα+=∴． 27(sin cos )4αα+=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴，sin cosαα+∴． cos 2cos )πsin 4αααα==+=⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：B.二、多选题9．下列各式中，值为的是（） 12A ． B ．22cossin 1212ππ-2tan 22.51tan 22.5︒-︒C ．D 2sin15cos15︒︒【答案】BC【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的倍角公式，准确化简，即可求解. 【详解】由余弦的倍角公式，可得A 不正确； 22cossin cos 2cos 1212126ππππ⎛⎫-=⨯==⎪ ⎭⎝由正切的倍角公式，可得，所以B 正确；由正弦的倍2tan 22.51tan 22.5︒-︒212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒=⋅=︒=-︒角公式，可得，所以C 正确； 12sin15cos15sin 302︒︒=︒=，所以D 不正确. ==故选：BC .10．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则具有性质()cos 2f x x =4π()g x ()g x （）A ．最小正周期为B ．图象关于直线对称π2x π=C ．图象关于点对称D ．在上单调递减3,08π⎛⎫⎪⎝⎭0,4π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】AD【分析】先求得的解析式，然后根据三角函数的周期性、对称性、单调性对选项进行分析，()g x 从而确定正确选项.【详解】由题意可得，()ππcos 2cos 2sin242g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以的最小正周期，故A 正确； ()g x 2ππ2T ==因为，所以的图象不关于直线对称，故B 错误；πsin π02g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()g x π2x =因为，所以的图象不关于点对称，故C 错误； 3π3πsin 84g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()g x 3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭因为时，，所以在上单调递减，故D 正确.π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭20,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()g x π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：AD.11．已知（），则（） sin 2(1)cos n θθ=⨯-Z n ∈22sin sin cos 2cos θθθθ+-=A ．B ．0C ．D ．43-34-45【答案】BD【分析】讨论的奇偶，由条件求，根据同角关系将所求表达式化为由表示的形式，代n tan θtan θ入条件可求其值.【详解】由，可得， sin 2(1)cos n θθ=⨯-当为偶数时，得，得，n sin 2cos θθ=tan 2θ=因为． 22222222sin sin cos 2cos tan tan 2sin sin cos 2cos sin cos tan 1θθθθθθθθθθθθθ+-+-+-==++所以，D 正确； 224224sin sin cos 2cos 415θθθθ+-+-==+当为奇数时，得，即， n sin 2cos θθ=-tan 2θ=-此时．B 正确； 22sin sin cos 2cos 0θθθθ+-=故选：BD.12．已知函数，，以下命题中正确的命题是（） ()()sin πf x x =-()cos g x x =-A ．函数的最小正周期为 ()()y f x g x =πB ．函数的最大的值为 ()()y f x g x =2C ．将函数的图象向右平移单位后得函数的图象 ()y f x =π2()y g x =D ．将函数的图象向左平移单位后得函数的图象 ()y f x =π2()y g x =【答案】AD【分析】化简函数的解析式，利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，利用()f x ()()y f x g x =正弦型函数的基本性质可判断AB 选项；利用三角函数图象变换可判断CD 选项. 【详解】函数，．()()sin πsin f x x x =-=-()cos g x x =-所以，1()()sin cos sin 22y f x g x x x x ===所以函数的最小正周期为，故A 项正确； ()()y f x g x =2ππ2T ==函数的最大值为，故B 项错误；()()1sin 22y f x g x x ==12函数的图象向右平移个单位得到的图象，故C 项()()sin πsin f x x x =-=-π2πsin cos 2y x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭错误；函数的图象向左平移个单位得到的图象，故D 项正确．()sin f x x =-π2πsin cos 2y x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭故选：AD.三、填空题13．已知角的终边过点，则________．θ(1,2)-πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】3-【分析】根据正切函数的定义与和差公式即可求解.【详解】依题意， ∵的终边过点， θ(1,2)-∴，tan 2θ=-∴． π1tan tan 341tan θθθ-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭故答案为：.3-14．若函数在闭区间上的最大值为1，则的值为________．()2sin (01)f x x ωω=<<π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω【答案】##0.512【分析】结合正弦函数性质求函数在闭区间的求最大值，列方程求的值()f x π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω【详解】因为，，所以，π03x ≤≤01ω<<ππ033x ωω≤≤<所以，所以， πsin 0sin sin 3x ωω≤≤π02sin 2sin 3x ωω≤≤所以函数在闭区间上的最大值为，()f x π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2sin 3ω所以，故，因此． π2sin13ω=ππ36ω=12ω=故答案为：. 1215．已知，则______. π02x <<πcos 24x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan 2x =【分析】化简已知条件，求得，通过两边平方的方法求得，进而求得1cos sin 2x x -=sin 2x .cos 2,tan 2x x【详解】， πcos 24x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭①， 221(cos sin )cos sin (cos sin )(cos sin )2x x x x x x x x +=-=+-，， π02x <<Q sin cos 0x x ∴+≠化简得①，则，1cos sin 02x x -=>π04x <<π022x <<由，得，21(cos sin )4x x -=3sin 24x =cos 2x =. sin 2tan 2cos 2x x x ∴==16．设常数a 使方程在闭区间上恰有三个不同的解，则实数a 的取sin x x a =[]0,2π123,,x x x 值集合为________．【答案】【分析】利用辅助角公式得到方程的解即为在上直线与三角函数图象的[]0,2πy a =π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭交点，画出图象，数形结合得到当且仅当a =案.【详解】∵， 1πsin 2sin 2sin 23x x x x x a ⎛⎫⎛⎫+==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴方程的解即为在上直线与三角函数图象的交点，[]0,2πy a =π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵， []0,2πx ∈∴， ππ7π,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦画出函数在上的图象，如下：2sin y z =π7π,33z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由图象可知当且仅当. a故答案为：四、解答题 17．求的值．sin 36sin15sin 39cos36cos15sin 39︒︒︒-︒︒+︒【答案】2+【分析】根据题意，由正余弦以及正切的和差角公式，化简计算，即可得到结果. 【详解】解：原式sin(7539)cos 75sin 39cos(7539)sin 75sin 39︒︒︒︒︒︒︒︒-+=--sin 75cos39cos 75sin 39cos 75sin 39cos 75cos39sin 75sin 39sin 75sin 39︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒-+=+-sin 75cos39tan 75cos 75cos39︒︒︒=︒︒=tan 30tan 45tan(3045)1tan 30tan 45︒+=+=︒︒︒︒︒-．2==+18．如图，有一个圆心角为钝角的扇形地块，半径为．现计划在这块地上建一个矩形的游乐m R 场，要求矩形的一条边在半径OA上，则如何设计可使游乐场的面积最大？【答案】当矩形的对角线OM 与半径OA 的夹角为45°时，矩形游乐场的面积最大【分析】先把矩形两边都用三角函数表示,再应用二倍角公式及三角函数值域求最值即可.【详解】因为矩形的一边在OA 上，所以要使矩形的面积最大，O 应为矩形的一个顶点，且与点O 相对的顶点在弧AB上，如图所示设，则在中，，， MOA α∠=Rt MOP A cos OP R α=sin PM R α=所以矩形的面积． 21cos sin sin22S OP PM R R R ααα=⋅=⋅=当时，S 最大，． 45α=︒22max 1(m )2S R =所以当矩形的对角线OM 与半径OA 的夹角为45°时，矩形游乐场的面积最大．19．已知函数的图象过点，，且在区间()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭5π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调． 5ππ,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)求的解析式；()f x (2)设的最小正周期为，在给定的坐标系中作出函数的简图．()f x T ππ(),66f x x T ⎛⎫⎡⎤∈--+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【答案】(1)π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)图见解析【分析】（1）由函数解析式以及图象所过点坐标得出最小正周期，进而求出，由结合ωπ112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭五点作图法，求出，可得函数解析式； ϕ（2）利用五点作图法画出函数图象．【详解】（1）∵，π()sin()0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭∴，．min ()1f x =-max ()1f x =∵的图象过点，，且在区间上单调，()f x 5π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭5ππ,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭∴的最小正周期． ()f x π5π2π1212T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭∴， 2π2Tω==由，得，，，．π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππ22π122k ϕ⨯+=+k ∈Z π2π3k ϕ=+k ∈Z 又，∴．π2ϕ<π3ϕ=故．π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）函数的简图如图所示：ππ(),66f x x T ⎛⎫⎡⎤∈--+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭20．（1）化简：； 2sin cos sin()cos()2sin sin αβαβαβαβ----（2）求证：． 1sin cos sin 1sin cos 1cos θθθθθθ+-=+++【答案】（1）；（2）证明见解析tan()αβ+【分析】（1）根据题意，由正余弦的和差角公式，代入计算，化简即可得到结果；（2）根据题意，由二倍角公式，代入分别计算，即可证明.【详解】（1） 2sin cos sin()2sin cos (sin cos cos sin )cos()2sin sin (cos cos sin sin )2sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ----=--+- sin cos cos sin sin()cos cos sin sin cos()αβαβαβαβαβαβ++==-+．()tan αβ=+（2）证明：左边 222sin cos 2sin 1sin cos 2221sin cos 2sin cos 2cos 222θθθθθθθθθθ++-===+++右边． 22sin cos sin 2sin cos sin 222221cos 2cos 2cos sin cos 2222θθθθθθθθθθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以． 1sin cos sin 1sin cos 1cos θθθθθθ+-=+++21．已知函数. 2()2sin sin sin cos 23f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求的最小正周期；()f x （2）当时，若，求的值.[0,]απ∈()1f α=α【答案】（1）；（2）或. π4π1112π【分析】（1）先将函数解析式化简整理，得到，即可求出最小正周期； 2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）先由，得到，再由，即可确定结果. [0,]απ∈72333πππα≤+≤1sin 232πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】（1） 211()2cos sin sin 222f x x x x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭2211sin 2sin 222x x x x =++sin 222sin 23x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以最小正周期为π（3）因为，所以， 0απ≤≤72333πππα≤+≤又因为，即， ()1f α=1sin 232πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以或，则或. 5236ππα+=136π4πα=1112π【点睛】本题主要考查求三角函数的最小正周期，以及由三角函数值求角的问题，熟记三角函数的图像和性质即可，属于常考题型.22．已知函数22()2sin cos .f x x x x x =+(1)求的图象的对称轴的方程；()f x (2)若关于的方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围． x |()|10a f x a +-=[0,]2x π∈a 【答案】(1)， 122k x ππ=+Z k ∈(2) 13⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）先将解析式化成正弦型函数，然后利用整体代换即可求得对称轴方程.232x k πππ+=+（2）方程有两个不同的实数根转化成图像与有两个交点即可|()|10a f x a +-=()y f x =11y a=-求得实数的取值范围． a【详解】（1）， ()22sin cos 2sin 22sin 23f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭由，，得，． 232x k πππ+=+Z k ∈122k x ππ=+Z k ∈故的图象的对称轴方程为，． ()f x 122k x ππ=+Z k ∈（2）因为，当时，不满足题意；()10a f x a +-=0a =当时，可得．画出函数在上的图象， 0a ≠()11f x a =-()f x 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦或112a <-<101a <-<13a <<．综上，实数a 的取值范围为． 1a <<13⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭。

2022-2023学年全国高中高一下数学人教A版月考试卷(含解析)

2022-2023学年全国高一下数学月考试卷考试总分：110 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个边长为的正方形，则这个平面图形的面积是（）A.B.C.D.2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 已知集合，则（）A.B.C.D.122–√2–√2–√21z =i (i +2)+3z A ={−1,0,1}，B ={x||x|<1}A ∪B ={−1,1}{−1,0,1}{x|−1≤x ≤1}{x|x ≤1}ABCD −A B C D BC Q CC C α//4. 在正方体中，为的中点，为的中点，平面过顶点，且平面，平面，平面平面，则直线与所成角的余弦值为( )A.B.C.D.5. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽丈，长丈尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知斛粟的体积为立方尺，一丈为尺，该粮仓的外接球的体积是立方丈A.B.C.D.7. 在平行四边形中，，，，若，则 A.B.C.D.ABCD −A 1B 1C 1D 1P BC Q CC 1αC α//APQ α∩ABCD =m APQ∩AD =n D 1A 1m n −10−−√1010−−√103–√10−3–√10a b αβa //αb //αa //ba //b a //αb //βα//βa //αa //b b //αα⊥βa ⊥αb ⊥βa ⊥b3451 2.710()π1334π13348π133133−−−√4π133133−−−√48ABCD A =π3AB =3BC =2+3=EC −→−ED −→−0→⋅=BE −→−AC −→−()4−2274−548. 的内角，，的对边分别为，，，且．若的面积为，则的最小值是( )A.B.C.D.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 已知集合，其中为虚数单位，则下列元素属于集合的是( )A.B.C.D.10. 已知，是单位向量，的最小值为，，则下列结论正确的是( )A.，的夹角为或B.，的夹角为C.或D.或11. 在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论中正确的是( )A.若，则B.若，则是等腰三角形C.若，则是直角三角形D.若，则是锐角三角形12. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为△ABC A B C a b c c cos A =(3b −a)cos C △ABC 32–√c 223–√412M ={m |m =,n ∈N}i n i M (1−i)(1+i)1−i 1+i1+i1−i(1−i)2e 1→e 2→|+λ|e 1→e 2→3–√2λ∈R e 1→e 2→π32π3e 1→e 2→2π3|+|=1e →1e 2→3–√|+|=1e →1e 2→3–√2△ABC A B C a b c a >b sin A >sin Bsin 2A =sin 2B △ABC a cos B −b cos A =c △ABC +−>0a 2b 2c 2△ABC 3a的截角四面体，则下列说法正确的是( )A.该截角四面体的表面积为B.该截角四面体的体积为C.该截角四面体的外接球表面积为D.该截角四面体中，二面角的余弦值为卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 在棱长为的正方体中，是的中点，是的中点，是侧面上一点，且平面，则四棱锥外接球的表面积为________.14. 如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，测得点的仰角为，再由点沿北偏东方向走米到位置，测得，则塔的高是________米．15. 命题，是假命题，则实数的取值范围是________.16. 在菱形中，与的夹角为，，则________.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 已知复数满足求 . 18. 的内角，，的对边分别为，，，已知．求；a 73–√a 2232–√12a 3π112a 2A −BC −D 134ABCD −A 1B 1C 1D 1E AA 1F BE P A D A 1D 1PF ⊥DA 1C 1P −A 1B 1C 1D 1AB C C B A 60∘C 15∘10D ∠BDC =45∘AB p :∀x ∈R −ax +a >0x 2a ABCD AB −→−BC −→−120∘|+|=1AB −→−BC −→−⋅=AB −→−AC −→−z |z|=1+3i −z ，(1+i (3+4i )2)22z△ABC A B C a b c 2cos C(a cos B +b cos A)=c (1)C 3–√若，的面积为，求的周长．19. 如图，在中，，分别为，的中点， .试用，表示；若，，，求 . 20. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，，，分别是，的中点.求三棱柱的体积；求证：平面.21. 如图所示，在梯形中，四边形为正方形，且，将沿着线段折起，同时将沿着线段折起，使得，两点重合为点．（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离． 22. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且．求出角的值；若为的中点，，，计算的面积．(2)c =7–√△ABC 33–√2△ABC △ABC D E BC AB =3AD −→−AF −→−(1)AB −→−AC −→−EF −→−(2)AB =2AC =1∠BAC =60∘cos ,AC −→−EF −→−ABC −A 1B 1C 1AB ⊥BC A =A 13–√BC =2AC =4D E A 1C 1BC (1)ABC −A 1B 1C 1(2)E//C 1ABD CDEF ABCD AE =BF =AB =1△ADE AD △BCF BC E F P PAB ⊥ABCD D PBC h △ABC A B C a b c a =c cos B +b 12(1)C (2)D AB CD =3c =4△ABC参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一下数学月考试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】【考点】斜二测画法画直观图平面图形的直观图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的乘除运算【解析】由题意首先求得复数的值，然后结合复数对应的点即可确定其所在的象限．【解答】解：由复数的运算法则可得：，故复数在复平面内对应的点为，所在的象限是第一象限．故选．3.【答案】Cz z =i(i +2)+3=+2i +3i 2=−1+2i +3=2+2i z (2,2)A必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】B【考点】异面直线及其所成的角余弦定理【解析】由线面平行及面面平行可知，直线与所成角即为与所成角（或其补角）．不妨设正方体的棱长为，利用余弦定理求解即可.【解答】解：由线面平行及面面平行可知，直线与所成角即为与所成角（或其补角）．不妨设正方体的棱长为，则，，，在中，，即直线与所成角的余弦值为．故选．5.【答案】D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】此题暂无解析m n AP PQ 2m n AP PQ 2AP =5–√PQ =2–√AQ =3△APQ cos ∠APQ ==−5+2−92××5–√2–√10−−√10m n 10−−√10B此题暂无解答6.【答案】D【考点】球的表面积和体积【解析】本题考查长方体和球体的体积的求法.【解答】解：如图，已知在长方体中，，粮仓高(丈)，长方体的外接球的直径为：，则，所以外接球的体积为 .故选.7.【答案】B【考点】平面向量数量积的运算向量的几何表示【解析】ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =3，AD =4.5，V =10000×2.7×=2710−3A ===2A 1V AB ⋅AD 273×4.5ABCD −A 1B 1C 1D 1(2R =(A =++=33.25=)2C 1)22232 4.521334R =133−−−√4V =π=π43R 3133133−−−√48D根据平面向量的数量积的定义以及平面向量的基本定理求解即可.【解答】解：由，知,所以.故选.8.【答案】B【考点】余弦定理正弦定理两角和与差的正弦公式基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：因为，所以，即 .因为，所以，所以，则因为的面积为，所以，则 . 由余弦定理可得（当且仅当时，等号成立），则 .故选 .二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）+3=EC −→−ED −→−0→=EC −→−34DC −→−⋅BE −→−AC −→−=(−)⋅BC −→−34DC −→−AC −→−=(−)⋅(+)AD −→−34AB −→−AD −→−AB −→−=−+⋅=−2AD −→−234AB −→−214AB −→−AD −→−B c cos A =(3b −a)cos C sin C cos A =3sin B cos C −sin A cos C sin C cos A +sin A cos C =3sin B cos C sin C cos A +sin A cos C =sin(A +C)=sin B sin B =3sin B cos C cos C =13sin C =,22–√3△ABC 32–√ab sin C =ab =3122–√32–√ab =9=+c 2a 2b 2−2ab cos C =+−ab a 2b 223≥ab 43=12a =b c ≥23–√B二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】B,C【考点】复数代数形式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，中，时，；时，；时，；时，，∴．选项中，；选项中，；选项中，；选项中，．故选.10.【答案】A,C【考点】平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角向量的模【解析】根据条件知，的最小值为，这样即可求出，的夹角为或，从而求出的值．【解答】M ={m |m =,n ∈N}i n n=4k(k ∈N)i n =1n=4k +1(k ∈N)i n =i n=4k +2(k ∈N)i n =−1n=4k +3(k ∈N)i n =−i M ={−1,1,i,−i}A (1−i)(1+i)=2∉M B ==−i ∈M 1−i 1+i (1−i)2(1+i)(1−i)C ==i ∈M 1+i 1−i (1+i)2(1−i)(1+i)D (1−i)2=−2i ∉M BC (+λ)e 1→e 2→234e 1→e 2→π32π3|+|e 1→e 2→→→解：设与的夹角为，，是单位向量，且的最小值为的最小值为，，当时，的最小值为，即，与的夹角为或，故正确；错误；或，或，故正确；错误．故选．11.【答案】A,C【考点】正弦定理余弦定理【解析】根据正余弦定理和三角形内角和判断各选项即可.【解答】解：对于，由正弦定理及大边对大角，所以正确；对于，可得或，是直角三角形或等腰三角形，所以错误；对于，由已知及余弦定理可得，化简得，所以正确；对于，由余弦定理可知，，可得角是锐角，但不能得出是锐角三角形，所以错误．故选．12.【答案】A,B,C【考点】柱体、锥体、台体的体积计算e 1→e 2→θ∵e 1→e 2→|+λ|e 1→e 2→3–√2∴(+λ)e 1→e 2→234∴=+2cos θλ+1(+λ)e 1→e 2→2λ2=+1−θ(λ+cos θ)2cos 2λ=−cos θ(+λ)e 1→e 2→21−θ=cos 234cos θ=±12∴e 1→e 2→π32π3A B ∴|+=+2⋅+=1e 1→e 2→|2e 1→2e 1→e 2→e 2→23∴|+|=1e 1→e 2→3–√C D AC A A B A =B A +B =π2△ABC B C a −b =c +−a 2c 2b 22ac +−b 2c 2a 22bc =+a 2b 2c 2C D cos C =>0+−a 2b 2c 22ab C △ABC D AC棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】【解答】解：．题中截角四面体由个边长为的正三角形，个边长为的正六边形构成，故，正确；．∵棱长为的正四面体的高，∴，正确；．如图，∵截角四面体上下底面距离为，∴，∴，∴，∴，∴，∴，正确；．二面角的余弦值为负值，错误.故选．三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】【考点】A 4a 4a S =4×+4×6×=73–√4a 23–√4a 23–√a 2AB a h =a 6–√3V =×⋅⋅(3a)−133–√4(3a)26–√34××⋅a =133–√4a 26–√3232–√12a 3BC a −a =a 6–√6–√326–√3+=a −R 2O ′C 2−−−−−−−−−√−R 2O ′′H 2−−−−−−−−−√26–√3+=a −R 2a 23−−−−−−−√−R 2a 2−−−−−−√26–√3=a −−R 2a 23−−−−−−−√26–√3−R 2a 2−−−−−−√−=+−−a ⋅R 2a 2383a 2R 2a 246–√3−R 2a 2−−−−−−√=R 2118a 2S =4π=πR 2112a 2CD A −BC −D D ABC 41π球内接多面体球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：连接，则平面，平面，，连接，则在上，是的中点，是的中点，是的中点，，点到平面的距离为，则，由正弦定理，得外接圆的半径，四棱锥外接球的半径，则外接球的表面积为.故答案为：.14.【答案】【考点】BD 1B ⊥D 1DA 1C 1∵PF ⊥DA 1C 1∴PF//BD 1E D 1P E D 1∵F BE ∴P E D 1∵E AA 1A =4A 1∴P A 1B 1C 1D 11P ==A 1+1222−−−−−−√5–√△PA 1D 1r ==5–√2×15–√52∴P −A 1B 1C 1D 1R ==+22()52x −−−−−−−−−√414−−−√41π41π106–√解三角形的实际应用【解析】设塔高为米，根据题意可知在中，，，，从而有，在中，，，，，由正弦定理可求，从而可求即塔高【解答】解：设塔高为米，根据题意可知在中，，，，从而有，在中，，，，由正弦定理可得，可得，则故答案为：15.【答案】或【考点】命题的真假判断与应用函数恒成立问题全称命题与特称命题【解析】考虑命题的否定为真，运用判别式不小于，解出即可判断．【解答】解：∵命题，是假命题，∴则命题的否定”，”为真命题，则，解得或.故答案为：或.16.【答案】x △ABC ∠ABC =90∘∠ACB =60∘AB =x BC =x 3–√3△BCD CD =10∠BCD =105∘∠BDC =45∘∠CBD =30∘=BC sin ∠BDC CD sin ∠CBD BC x x △ABC ∠ABC =90∘∠ACB =60∘AB =x BC =x 3–√3AC =x 23–√3△BCD CD =10∠BCD =++=60∘30∘15∘105∘∠BDC =45∘∠CBD =30∘=BC sin ∠BDC CD sin ∠CBD BC ==10=x 10sin 45∘sin 30∘2–√3–√3x =106–√106–√a ≤0a ≥40a p :∀x ∈R −ax +a >0x 2∃x ∈R −ax +a ≤0x 2Δ=−4a ≥0a 2a ≤0a ≥4a ≤0a ≥412【考点】平面向量数量积的运算向量的加法及其几何意义【解析】【解答】解：由题意知，连接，交于点，如图，菱形，，，，，，.设，则，，解得，，，.故答案为：.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】解：已知复数满足, ,设，由,得，∠B =120∘AC BD O ∵ABCD OB =OD AO =CO ∴|+|=AB −→−BC −→−||=1AC −→−AO =12∠ABO =∠B =1260∘∴∠BAO =30∘BO =a AB =2a ∴(2a −=()2a 212)2a =3–√6∴BO =3–√6AB =2×=3–√63–√3∴⋅cos ∠BAC =×1×cos =AB −→−AC −→−3–√330∘1212z |z|=1+3i −z (1+i (3+4i )2)22zz =a +bi(a,b ∈R)|z|=1+3i −z −1−3i +a +bi =0+a 2b 2−−−−−−√+a −1=0−−−−−−√则，解得，所以，则.【考点】复数代数形式的混合运算【解析】本题主要考查了复数运算，以及反函数和对数方程.【解答】解：已知复数满足, ,设，由,得，则，解得，所以，则.18.【答案】解：已知等式利用正弦定理化简得：，整理得：.∵，，∴.又，∴.{+a −1=0+a 2b 2−−−−−−√b −3=0{a =−4b =3z =−4+3i ===3+4i (1+i (3+4i )2)22z 2i(−7+24i)2(−4+3i)24+7i 4−3i z |z|=1+3i −z (1+i (3+4i )2)22zz =a +bi(a,b ∈R)|z|=1+3i −z −1−3i +a +bi =0+a 2b 2−−−−−−√{+a −1=0+a 2b 2−−−−−−√b −3=0{a =−4b =3z =−4+3i ===3+4i (1+i (3+4i )2)22z 2i(−7+24i)2(−4+3i)24+7i 4−3i (1)2cos C(sin A cos B +sin B cos A)=sin C2cos C sin(A +B)=sin C sin C ≠0sin(A +B)=sin C cos C =120<C <πC =π3(2)由余弦定理得，，∴.∵，∴，∴，∴，∴的周长为．【考点】正弦定理余弦定理三角形的面积公式【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据不为求出的值，即可确定出出的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出的值，即可求的周长．【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：，整理得：.∵，，∴.又，∴.由余弦定理得，，∴.∵，∴，∴，∴，∴的周长为．19.【答案】解：∵，为的中点，∴ ，(2)7=+−2ab ⋅a 2b 212(a +b −3ab =7)2S =ab sin C =ab =123–√433–√2ab =6(a +b −18=7)2a +b =5△ABC 5+7–√sin C 0cos C C a +b △ABC (1)2cos C(sin A cos B +sin B cos A)=sin C2cos C sin(A +B)=sin C sin C ≠0sin(A +B)=sin C cos C =120<C <πC =π3(2)7=+−2ab ⋅a 2b 212(a +b −3ab =7)2S =ab sin C =ab =123–√433–√2ab =6(a +b −18=7)2a +b =5△ABC 5+7–√(1)=3AD −→−AF −→−D BC ==+AF −→−13AD −→−16AB −→−16AC −→−−→−1−→−又为的中点，∴，∴ .∵，，，∴，∴，又，则，∴ .【考点】向量在几何中的应用数量积表示两个向量的夹角平面向量数量积的运算【解析】（1）因为，为的中点，所以 .又为的中点，所以，所以 .（2）因为，所以，所以．又，则，故 .【解答】解：∵，为的中点，E AB =AE −→−12AB −→−=−=−+EF −→−AF −→−AE −→−13AB −→−16AC −→−(2)AB =2AC =1∠BAC =60∘⋅=||⋅AB −→−AC −→−AB −→−||cos =1AC −→−60∘⋅=⋅(−+)AC −→−EF −→−AC −→−13AB −→−16AC −→−=−⋅+=−13AC −→−AB −→−16AC 2−→−16==(−2EF −→−2(−+)13AB −→−16AC −→−2136AC −→−AB −→−)2=(+4−4⋅=136AC −→−2AB −→−2AB −→−AC −→−1336||=EF −→−13−−√6cos , =AC −→−EF −→−=−⋅AC −→−EF −→−||||AC −→−EF −→−13−−√13=3AD −→−AF −→−DBC ==+AF −→−13AD −→−16AB −→−16AC −→−E AB =AE −→−12AB −→−=−=−+EF −→−AF −→−AE −→−13AB −→−16AC −→−AB =2,AC =1,∠BAC =60∘⋅=||⋅AB −→−AC −→−AB −→−||cos =1AC −→−60∘⋅=⋅(−+)=−⋅+=−AC −→−EF −→−AC −→−13AB −→−16AC −→−13AC −→−AB −→−16AC 2−→−16==(−2=(+4−4⋅=EF −→−(−+)13AB −→−16AC −→−2136AC −→−AB −→−)2136AC −→−2AB −→−2AB −→−AC −→−1336||=EF −→−13−−√6cos(,)==−AC −→−EF −→−⋅AC −→−EF −→−||||AC −→−EF −→−13−−√13(1)=3AD −→−AF −→−D BC =+−→−1−→−1−→−1−→−∴ ，又为的中点，∴，∴ . ∵，，，∴，∴，又，则，∴ . 20.【答案】解：因为，，，所以，则，又因为侧棱垂直于底面，所以三棱柱的体积为，；证明：取的中点，连接，，因为，分别是，的中点，所以，且，因为，且，所以，且，==+AF −→−13AD −→−16AB −→−16AC −→−E AB =AE −→−12AB −→−=−=−+EF −→−AF −→−AE −→−13AB −→−16AC −→−(2)AB =2AC =1∠BAC =60∘⋅=||⋅AB −→−AC −→−AB −→−||cos =1AC −→−60∘⋅=⋅(−+)AC −→−EF −→−AC −→−13AB −→−16AC −→−=−⋅+=−13AC −→−AB −→−16AC 2−→−16==(−2EF −→−2(−+)13AB −→−16AC −→−2136AC −→−AB −→−)2=(+4−4⋅=136AC −→−2AB −→−2AB −→−AC −→−1336||=EF −→−13−−√6cos , =AC −→−EF −→−=−⋅AC −→−EF −→−||||AC −→−EF −→−13−−√13(1)AB ⊥BC BC =2AC =4AB =23–√=AB ⋅BC =2S △ABC 123–√ABC −A 1B 1C 1V =⋅A =2×=6S △ABC A 13–√3–√(2)AB F DF EF E F BC AB EF//AC EF =AC 12AC//A 1C 1AC =A 1C 1EF//DC 1EF =DC 1EFDC所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，且平面，所以平面.【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，，，所以，则，又因为侧棱垂直于底面，所以三棱柱的体积为，；证明：取的中点，连接，，因为，分别是，的中点，所以，且，因为，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，且平面，EFDC 1E//DF C 1DF ⊂ABD E ⊂C 1ABD E//C 1ABD (1)AB ⊥BC BC =2AC =4AB =23–√=AB ⋅BC =2S △ABC 123–√ABC −A 1B 1C 1V =⋅A =2×=6S △ABC A 13–√3–√(2)AB F DF EF E F BC AB EF//AC EF =AC 12AC//A 1C 1AC =A 1C 1EF//DC 1EF =DC 1EFDC 1E//DF C 1DF ⊂ABD E ⊂C 1ABD E//C ABD所以平面.21.【答案】【考点】直线与平面所成的角平面与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答22.【答案】解：根据，可得，，，，∴．∵，可知．由为的中点，，，可知，平方可得，可得，根据余弦定理可得，可得．上述两式联立可得，∴．【考点】正弦定理两角和与差的正弦公式解三角形E//C 1ABD (1)a =c cos B +b 12sin A =sin C cos B +sin B 12sin(B +C)=sin C cos B +sin B 12sin B cos C +cos B sin C =sin C cos B +sin B 12sin B cos C =sin B 12cos C =120>C <πC =π3(2)D AB CD =3c =4=(+)CD −→−12CA −→−CB −→−=(++2⋅)CD −→−214CA −→−2CB −→−2CA −→−CB −→−=(++2ab cos )3214a 2b 2π3=+−2ab cos C c 2a 2b 216+ab =+a 2b 2ab =10=ab sin C =×10×=S △ABC 12123–√253–√2三角形求面积余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：根据，可得，，，，∴．∵，可知．由为的中点，，，可知，平方可得，可得，根据余弦定理可得，可得．上述两式联立可得，∴．(1)a =c cos B +b 12sin A =sin C cos B +sin B 12sin(B +C)=sin C cos B +sin B 12sin B cos C +cos B sin C =sin C cos B +sin B 12sin B cos C =sin B 12cos C =120>C <πC =π3(2)D AB CD =3c =4=(+)CD −→−12CA −→−CB −→−=(++2⋅)CD −→−214CA −→−2CB −→−2CA −→−CB −→−=(++2ab cos )3214a 2b 2π3=+−2ab cos C c 2a 2b 216+ab =+a 2b 2ab =10=ab sin C =×10×=S △ABC 12123–√253–√2。

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高一年级数学第二学期月考
数学试卷2008.03.29
一、填空题（本大题共12小题，每题4分，共48分）
1.在∆ABC 中，已知3
34=a ，4=b ，︒=30A ，则B sin ＝ 2.已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S =
3.若等差数列{}n a 的前三项和93=S 且11=a ，则3a 等于
4.在等比数列{}n a 中，若11a =，418
a =，则该数列的前11项和为 5.如果等差数列{}n a 的第5项为5，第10项为-5，则此数列的第1个负数项是第项.
6.在ABC ∆中，若2,32,30==︒=AC AB B ，则ABC ∆的面积是
7.在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos
8.某种植物适宜生长在温度为]20,18[C C ︒︒的山区，已知山区海拔每升高100米，气温下降
C ︒55.0，
先测得山脚下的平均气温为C ︒22，那么该植物种在山区多高处为宜？设适宜的种植高度为x 米，请转化为数学模型，不求解：
9.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=
10.等差数列}{n a 中，0≠n a ，若1>m 且0121=+-+-m m m a a a ，2138m S -=，则m 的值为
11.设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为
12.数列}{n a 中，已知n n n a 3)12(⋅-=，则其前n 项和=n S （化为最简形式）
二、解答题（本大题共5小题，共52分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13.（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．
（1）求B 的大小；（2）若a =，5c =，求b ．
14.（本小题满分10分）在锐角ABC △中，已知cos A =，cos C =，3BC =．求：（1）ABC △的面积；（2）AB 边上的中线CD 的长．
15.（本小题满分12分）
（1）在等差数列}{n a 中，已知2
15,23,21-===
n n S a d ，求1a 及n . （2）在等比数列}{n a 中，263,2763==S S ，求n a
16.（本小题满分10分）已知等差数列}{n a 和等比数列}{n b ，其中211==b a ，16415==b a ，
（1）求此两个数列的通项公式n a 和n b ；
（2）设732-+=n n n b a c ，求数列}{n c 的前n 项和n S .
17.（本小题满分10分）已知正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*
,12N n a S n n ∈+=
（1）试求数列}{n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，数列}{n b 的前n 项和为n B ，求证：21<n B . 江苏省镇江中学2007-2008学年第二学期高一年级月考
数学试卷参考答案2008.03.29 1.23
2.n n 21
252--
3.5
4.1024/2047
5.8
6.323或
7.7/25 8.2055.01002218≤⋅-≤x
9.105
10.10
11.-2
12.13)1(3+-+n n
13.(1)︒=30B (2)7=b 14.(1)3(2)5
15.(1)10,31=-=n a (2)2
2-=n n a
16.(1)n n n b n a 2,1=+=(2)n n S n n 46262-+-⋅=
17.(1)12-=n a n (2)略。

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