现代接触动力学1

其中i I 为刚体的惯性张量,i l 代表所有作用在刚体i 上的力之与,包括主动力矩之与ei l 与理想约束力矩之与ri l 。

动量力矩方程就是相对一个确定的参考点而建立的。

通常这个参考点取为刚体的质心。

如果参考点变动,式(２、4)中所有的量必须相应地改变。

虽然理想约束力与力矩由于运动方向正交而不影响物体的运动,但就是她们却出现在动量与动量守恒方程中。

虚功原理则指出理想约束力与力矩的虚功为零。

即1()0prr r i i i i i W f r l s δδδ==+=∑(2、25)在静平衡状态下主动力的虚功也为零,0==eW W δδ,这个关系式能被用于确定静平衡的条件。

拉格朗日形式的达朗伯原理相应于动力学问题的虚功原理,利用式(2、23)与(２.２4)求解r i f 与ri l ,并将它们带入式(2、25)中得1(()())0pe e ii i i i i i i i i i i rm a f s I a I l δδωω=-++-=∑ (2.26)用广义坐标上式可转化为111(,)(,,)(,,)(()()())0pppT T T T T T e T eTii Ti Rii Ri Tii i Rii i Rii i i Ti i Ri i i i i M t y k t y y q t y y y J m J J I J y J m a J I a J I J f J l δωω===++++-+=∑∑∑ (2.2７)由y δ的任意性可导出完整约束多刚体系统的运动微分方程(,)(,,)(,,)M t y y k t y y q t y y ≠+=(2.28) 其中ff RM ⨯∈为对称正定的质量矩阵,fR k ∈代表广义的陀螺力、离心力与科氏力,fR q ∈代表主动作用力。

利用广义坐标,动量与动量矩守恒定律也可用分块矩阵形式加以描述为e r M J y k q q +=+(2.2９) 其中P P P P R I I E m E m diag M 6611},,,,{⨯∈= ——质量与转动惯量分块对角矩阵;f P TT RP T R T TP T T R J J J J J ⨯∈=611],,,,,[ ——全局雅克比矩阵;P TT RP T R T TP T T R l k k k k 611],,,,,[∈= ——陀螺力,离心力,科氏力; P eT P eT eT P eT e R l l f f q 611],,,,,[∈= ——主动作用力与力矩; P rT P rT rT P rT r R l l f f q 611],,,,,[∈= ——约束作用力与力矩。

牛顿- 欧拉方程式(2.29)中出现的约束作用力与力矩rq 可通过左乘全局雅克比矩阵rJ 而消除,因为根据达朗伯原理可导出0=•r Tq J。

左乘矩阵T J 后,牛顿-欧拉方程式(2、2９)变成运动方程式(２、28)。

简洁的运动方程式以及上述的推导只适用于完整约束力多刚体系统。

对于一般的约束方程与速度有关的非完整约束多刚体系统运动学微分方程可写为),(),,(f R z y z y t v y∈=(2.30)动力学微分方程类似于(2、28),即),,,,(),,(),,(),(f g R M R q k z z y t q z y t k zy t M g g g 〈∈∈=+•⨯ (2、3１)2、3 多刚体系统计算软件与求解过程多刚体系统的建模通常就是借助于计算机来实现的。

这里只简单地介绍一些斯图加特大学B所开发的计算机软件。

在软件包NEWMOD(参见Ｅｂerhard Nee ｒpasc ｈ 19９6)中,简单的基本元素诸如坐标系统,支座与刚体等能通过交互界面直观地描述,见图2.3。

系统的若干基本元素在软件包N ＥＷMOD 中被装配在一起,然后输入到自动生成运动微分方程的符号推导软件包NEWEUL(参见E ｂｅr ｈard 1979)中,为便于应用求解常微分方程组的标准软件,f 个二阶微分方程组被转化为f 2个一阶微分方程组11(,)(,)()()xxf x t f x t y y y v y M q k z M q k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦或者 (2、32)通过对时间积分可获得广义位置与速度在离散时间点上的数值,动画显示软件包如NＥWANIM(参见[Kb ｅrha ｒd1９94])可形象地表示这些数值结果,展示系统的运动过程。

运动微分方程亦可进一步地用于分析,比如导出的带有符号的运动微分方程可运用计算机代数系统软件包MAP ＬE 进行线性化。

用软件系统MATL ＡＢ还可为线性化的系统配置控制器。

2.4 简单的多刚体系统示例运动方程的推导可通过示例加以说明。

一个质量为 M ,标号为1的刚体在一个倾斜角为β的光滑斜面上向下滑动,见图2、24;另一个摆长为L ,质量为m ,标号为2的单摆围绕着刚体1的质心以角速度ω匀速转动,该系统只有一个自由度,广义坐标可选为][s y =,矢径列阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0sin sin cos cos ,0sin cos 21t L s t L s r s s r ωβωβββ(2.33)雅克比矩阵为0,0,0sin cos 21212121======⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==R R T T R R T T J J J J J J J J ββ(２、34)由式与可得相对速度与相对加速度⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==0sin cos ,0,0cos sin ,022121t t L a a t t L v v ωωωωωω (2、３５)主动作用力只有重力⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=00,0021mg f Mg f e e(2.３6)根据式(2.27),运动方程中式(２、28)出现的各项一次变为111222T TT T T T M J m J J m J M m =+=+(2.3７))sin sin cos (cos 222βωβωωt t mL a J k T T +-=⨯=(2、38)1122()sin T e T eT T q J f J f M m g β=+=+ (2、３9)运动方程为ββωβωωsin )()sin sin cos (cos )(2g m M t t mL s m M +=+-+(2、４0)设初始条件0)0(,0)0(==ss ,参数 21/819,10,15,50,2,8s g s m L kg m kg M ⋅=-==⋅===-ωβ 通过求解微分方程式(２.4０),图(2.5)展示广义位移s 与广义速度s随时间的变化规律。

图2、6动画显示该系统的运动过程。

在图2、6中不同的时间的运动状态重叠在一幅图中,以便于对整体的运动有更清晰的直观认识。

尽管这个例子与第５章中 5.６节所举例的带有接触的多体系统瞧上去十分类似,然而约束的本质却大相径庭。

这里刚体1与斜面的约束就是双面约束,不仅刚体1不可能脱离斜面,而且斜面也允许承受拉应力。

而在5、6节中所讨论的接触问题则涉及单面约束,刚体1允许脱离斜面,并且在刚体1与斜面的接触过程中,斜面不允许承受拉应力。

３ 线性有限元法有限元法可瞧作为求解偏微分方程的数值计算方法。

其基本原理就是将几何形状复杂的求解域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元的组合体。

尽管现代有限元法起源于结构力学,但如今它已在许多计算领域内如流体力学、热传导、空气动力学中得到广泛的应用。

接触问题源于固体力学。

计算接触问题时通常就是先引进固体力学中线弹性理论的基本方程,然而讨论求解这些基本方程的近似解法,最后常用加权余量法与积分弱解形式建立可解的线性方程组。

由于几何形体常离散成几种基本类型的单元的组合体,人们只需要对这几种基本的单元进行分析,建立单元刚度矩阵与质量矩阵,再考虑单元的应力、应变以及边界条件,然后将所有的结构单元组装在一起。

接触问题总就是非线性的,然而线性有限元的许多部分可以直接地或通过修正运用于非线性有限元计算。

这一章介绍的线性有限元法将作为非线性有限元法的基础。

３、1 弹性理论基础连续体力学与弹性理论中一些基本概念对理解所研究的偏微分方程就是必不可少的。

许多专著如[Ｃhad ｗｉck 1976]与对[Gurt ｉn 198１]此有着详细地论述。

一些有限元法书籍如[Ｂu ｒn ｅtt 1987］、[Ｂat ｈe 1990]与[Rad ｄy 1993]对此也有着简要地说明。

本书在符号与结构上则就是借用[Altenbac ｈ A ｌtenbach 19９4]与[Ｐa ｐａdopou ｌos １９9６ｂ]贵弹性力学的描述。

在弹性力学中应力、应变以及本构关系至关重要。

图示意一个承受主动作用力与支座约束反力的物体以及所选择的坐标系。

主动作用力可分为集中力、面力与体力。

集中力3x x 在物体内任一点P 取法线方向为n 的微元面积A ∆,如果在面积微元A ∆上作用有内力f ∆,令A ∆趋于零,则得作用于P 点处法线为n 的面元上的柯西应力矢量,即AfA ∆∆=→∆0limσﻩ(3.1)在P 点的领域内取出一个四面体微元,其中三个面的外法线方向与坐标轴反向,斜面的外法线方向为n ,由四面体上力的平衡条件可推导出n Tσ= (3.２) 其中33⨯∈RT 为柯西应力张量。

对角元素ii T 称为法向应力,非对角元素ij T 为剪应力。

由式(3.2)可计算P 点处任一法线上的应力矢量,因此P 点的应力状态由T 唯一确定。

尽管描述应力状态的物理量T 就是唯一的,但T 的表述则与坐标系有关。

通过坐标变换,可找到唯一的一个主坐标系,在主坐标系里,所有的剪应力为零。

对静力学问题,在任意点P 的领域内取出无限小的正六面体微元,利用力的平衡方程导出333323213123232221211313212111b x T x T x T b x T x T x T b x T x T x T -=∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂ (3、３)其中b 为作用在微元上的体力。

应用爱因斯坦求与约定,上式可简写为)3,2,1,(=-=∂∂j i b x T i jij(3、4)对于动力学问题,把惯性力uρ-当作体力,则可由式(3.３)导出运动微分方程i i ii j ijub dtu d b x T ρρ+-=+-=∂∂22 (3.５)其中ρ为密度,u 为位移向量。

运用动量矩方程可导出ji ij T T =(3.6)因此应力张量就是对称的,只有６个独立的元素 。

式(３.6)用矩阵形式可表达为T T T= (3.7)为描述物体的变形,观察物体在空间所占的构形就是有益的,见图 3.2。