安徽省枞阳县钱桥初级中学八年级数学下册 19.3 矩形 菱形 正方形(第2课时)教案 (新版)沪科版
八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19.2菱形19.2.1菱形的性质第2课时菱形的性质的运用课堂
第19章矩形、菱形与正方形19.2.1.2 菱形的性质的运用1．[xx·定州市期末]如图所示的坐标系中，四边形ABCD是菱形，顶点A、B在x轴上，AB＝5，点C在第一象限，且菱形ABCD的面积为20，点A的坐标为(－2，0)，则顶点C 的坐标为( )A．(4，3)B．(5，4)C．(6，4)D．(7，3)2．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD＝80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且BE＝BO，则∠BEO＝____度．3．如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，求阴影部分的面积．4．[xx·沈阳改编]如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作BD 的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E.(1)求证：四边形OCED是矩形；(2)若CE＝1，DE＝2，求菱形ABCD的面积．5．[xx·宁晋县期中]如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，且AE＝AD，∠EAD＝2∠BAE，求∠BAE的度数．6．[xx·岳池县期中]如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AC＝4，BD＝3，求△ADE的周长．7．[沈阳]如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连结EF.求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)∠BEF＝∠BFE.8．如图，在ABCD中，BC＝2AB＝4，点E、F分别是BC、AD的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．9．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP＝BQ.试判断△PDQ的形状，并证明．10．[白云区校级期中]如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E ，∠1＝∠2.(1)若CE ＝1，求BC 的长； (2)求∠BCD 的度数．11．[xx·新疆]如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 的一个动点，点M 、N 分别是AB 、BC 边上的中点，则MP ＋PN 的最小值是( B )A .12B ．1C .2D ．2,参考答案1． C 2． 653．解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8， ∴菱形的面积＝12×6×8＝24.∵O 是菱形两条对角线的交点， ∴阴影部分的面积＝12×24＝12.4．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD ，∴∠COD ＝90°.∵CE ∥OD ，DE ∥OC ，∴四边形OCED 是平行四边形． ∵∠COD ＝90°，∴平行四边形OCED 是矩形． (2)S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝2DE ·CE ＝4.5．解：∵在菱形ABCD 中，AB ＝AD ，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB.设∠BAE＝x，则∠EAD＝2x，∵AD∥BC，∴AEB＝∠EAD＝2x.在△BAE中，∠ABE＝∠AEB＝2x，∴x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，即∠BAE＝36°.6．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB＝90°.∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形．(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝3，∴AO＝2，DO＝1.5，AD＝CD＝AO2＋DO2＝2.5.∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝2.5，DE＝AC＝4，∴△ADE的周长＝AD＋AE＋DE＝2.5＋2.5＋4＝9. 7．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠A＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥CB，∴∠AED＝∠CFD＝90°，∴△ADE≌△CDF.(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB.∵△ADE≌△CDF，∴AB －AE ＝CB －CF ， ∴BE ＝BF ， ∴∠BEF ＝∠BFE .8．解：(1)证明：∵在ABCD 中，AB ＝CD ，BC ＝AD ，∠B ＝∠D .又∵BE ＝EC ＝12BC ，AF ＝DF ＝12AD ，∴BE ＝DF .在△ABE 和△CDF 中，⎩⎨⎧BE ＝DF ，∠B ＝∠D ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF .(2)∵四边形AECF 为菱形，∴AE ＝EC .又∵点E 是边BC 的中点，∴BE ＝EC ，即BE ＝AE . 又∵BC ＝2AB ＝4，∴AB ＝12BC ＝BE ，∴AB ＝BE ＝AE ，即△ABE 为等边三角形，ABCD 的BC 边上的高为2×sin 60°＝3，∴菱形AECF 的面积为2×3＝2 3. 9．解：△PDQ 为等边三角形．证明：∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴AD ＝AB ＝BD ，∠ADB ＝∠ABD ＝∠CBD ＝∠CDB ＝60°. 在△ADP 和△BDQ 中，⎩⎨⎧AD ＝BD ，∠DAP ＝∠DBQ ，AP ＝BQ ，∴△ADP ≌△BDQ ，∴DP ＝DQ ，∠ADP ＝∠QDB . 又∵∠ADB ＝60°，∴∠PDQ ＝60°. ∴△PDQ 为等边三角形．10．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ∥CD ， ∴∠1＝∠ACD . ∵∠1＝∠2， ∴∠ACD ＝∠2， ∴CM ＝DM . ∵ME ⊥CD ，∴CE ＝DE ＝12CD ＝1，∴BC ＝CD ＝2. (2)如答图，连结BD ， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ACD . ∵F 为边BC 的中点，∴CF ＝12CB .∵CE ＝12CD ，∴CE ＝CF .在△MCF 和△MCE 中，⎩⎨⎧CF ＝CE ，∠FCM ＝∠ECM ，CM ＝CM ，∴△FCM ≌△ECM (SAS )， ∴∠CFM ＝∠CEM ＝90°，∴DF⊥BC，∴BD＝CD，∴BC＝CD＝BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD＝60°.11．B【解析】如答图，取AD的中点M′，连结M′N交AC于点P，则由菱形的轴对称性可知M，M′关于直线AC对称，从而PM′＝PM，此时MP＋PN的值最小，而易知四边形CDM′N是平行四边形，故M′N＝CD＝1，于是，MP＋PN的最小值是1，故选B.。
八年级数学下册 第19章 四边形 19.3 矩形、菱形、正方形 19.3.1 矩形教学课件 (新版)
第1课时 矩形的性质
(2)连接 OB. ∵BE＝BF，OE＝OF， ∴BO⊥EF. ∵△AOE≌△COF， ∴OA＝OC. ∴在 Rt△ABC 中，OA＝OB＝OC， ∴∠BAC＝∠ABO. 又∵∠BEF＝2∠BAC， 在 Rt△BEO 中，∠BEF＋∠ABO＝90°， ∴2∠BAC＋∠BAC＝90°， 解得∠BAC＝30°.
第1课时 矩形的性质
[归纳总结] 1.直角三角形斜边上中线的性质是矩形性 质的推论，它只适用于直角三角形，对一般的三角 形不适用，同时注意直角边上的中线不具有这个性 质． 2．直角三角形斜边上的中线的性质说明了斜边上的 中线与斜边的数量关系，又得到了两个等腰三角形， 所以该性质可用来证明线段的倍分关系，也是证明 等腰三角形的基础．
第2课时 矩形的判定
[归纳] 矩形的判定方法（定义）：有一个角是直角的 ___平__行__四__边__形__是矩形.
教学课件
数学 八年级下册 沪科版
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形础自主学习 ► 学习目标1 能根据矩形的定义判定四边形是矩形 1．下列说法正确的是( A ) A．矩形是平行四边形 B．平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有两个角是直角的四边形是矩形
第1课时 矩形的性质
探究问题二 利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半”证明线段的大小关系 例2 如图19－3－3所示，在△ABC中，BE，CF分别是AC， AB边上的高，M，N分别是BC，EF的中点．求证：MN⊥EF.
[解析] 欲证 MN⊥EF，只需证△MFE 中 MF＝ME 即可．利用直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半易得 MF＝ME＝12 BC.
[归纳] 矩形的定义：___有__一__个__角__是__直__角_______的平行四边 形叫做矩形．
八年级数学下册第19章四边形19.3矩形菱形正方形19.3.3正方形课件新版沪科版
19.3.3
四边形
正方形
第19章 四边形
19.3.3
知识目标 目标突破 总结反思
正方形
19.3.3 正方形
知识目标
1．通过归纳理解正方形的概念和性质，能利用正方形的性质 进行计算或证明． 2．通过归纳得出正方形的判定方法，能利用正方形的判定定 理判定四边形是正方形．
19.3.3 正方形
【归纳总结】正方形判定方法的选择：
19.3.3 正方形
总结反思
知识点一
正方形的性质
直角 ，且有一组邻边______ 相等 的平行四 (1)定义：有一个角是______
边形叫做正方形．
相等 ， 直角 ； (2)性质 1： 正方形的四条边都________ 四个角都是________
相等且互相垂直平分 ． 性质 2：正方形的对角线__________________
目标突破
目标一 能利用正方形的性质进行计算或证明
例1
教材补充例题
已知：如图 19－3－10，在正方形 ABCD 中，
点 E，F 分别在 BC 和 CD 上，AE＝AF. (1)求证：BE＝DF； (2)连接 AC，EF 交于点 O，延长 OC 至点 M，使 OM＝OA，连接 EM， FM，求证：四边形 AEMF 是菱形．
19.3.3 正方形
∴∠AOE＝∠AOF. 又∵AO＝AO， ∴△AOE≌△AOF(ASA)， ∴AE＝AF. ∵EF 垂直平分 AD， ∴AE＝ED，AF＝DF， ∴AE＝ED＝DF＝AF， ∴四边形 AEDF 是菱形． 又∵∠BAC＝90°， ∴菱形 AEDF 是正方形．
19.3.3 正方形
判断以下命题的对错： (1)矩形的对角线相等且互相平分．( √ ) (2)矩形的对角线相等且互相垂直．( × ) (3)菱形的对角线相等且互相平分．( × ) (4)菱形的对角线互相垂直且平分．( √ ) (5)正方形的对角线相等且互相平分．( √ ) (6)正方形的对角线互相垂直且平分．( √ ) (7)正方形的对角线相等且互相垂直平分．( √ )
2019年春八年级数学下册第19章四边形19.3矩形菱形正方形19.3.2菱形第1课时菱形的性质课件(新版)沪科版
19.3.2 第1课时 菱形的性质
【归纳总结】 1．菱形的性质： (1)边：四条边都相等，对边平行；(2)角：对角相等，邻角互补； (3)对角线：对角线互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角； (4)对称性：菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的两 条对称轴；(5)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形． 2．菱形的面积： (1)设菱形的一边长为 a，这边上的高为 ha，则 S 菱形＝aha；
性质 2：菱形的对角线_互__相__垂_直__．
19.3.2 第1课时 菱形的性质
顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是什么四边形？小 明同学说：“一定还是菱形．”你同意他的说法吗？请给出理由．
19.3.2 第1课时 菱形的性质
解：不同意，顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是矩形．理由如下：
如图，∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠COD＝90°. ∵E，H，F 分别为 AD，CD，AB 的中点， ∴EH∥AC，EF∥BD， ∴∠1＝∠AOB＝90°，∠2＝∠COD＝90°， ∴∠FEH＝90°. 同理可证：∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°， ∴四边形 EFGH 是矩形．
第19章 四边形
19.3.2 第1课时 菱形的性质
第19章 四边形
19.3.2 第1课时 菱形的性质
知识目标 目标突破 总结反思
19.3.2 第1课时 菱形的性质
知识目标
归纳理解菱形的概念和性质，能利用菱形的性质进行计算或证明．
19.3.2 第1课时 菱形的性质
目标突破
目标 能利用菱形的性质进行计算或证明
19.3.2 第1课时 菱形的性质
总结反思
知识点一 菱形的定义
安徽省枞阳县钱桥初级中学八年级数学下册 19.3《矩形 菱形 正方形》菱形教案 (新版)沪科版
菱形一、教学设计说明本节课的主要内容是菱形的概念和性质。
为了体现新课标的要求，菱形的概念采用了直观操作的探究式教学方法，性质采用了游戏互动和几何证明相结合的探究方法，以学生的发展为本,以教师为主导学生为主体，创设主动、探究、合作的学习氛围，培养学生形象思维、逻辑思维和解决实际问题的能力，培养建模思想。
通过折纸、实践探究使课堂成为有激情和智慧综合生成的过程，让学生从感官到理性、从观察探究到证明应用，由浅入深地了解、理会、应用菱形的知识，通过对数学活动的设计，尽可能调动学生的积极性，让每个学生都参与学习研究，都有表现的机会。
在学生的学习方式上，采取动手实践、自主探究与合作交流相结合的方式，使学习过程直观化、形象化。
二、教学分析1.教学内容分析本节课是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学.八年级.下册》19.2.2节第一课时的内容；作为特殊的平行四边形我们已经研究了矩形的性质和判定，菱形是从边具有特殊性的平行四边形的角度来研究的，运用类比的方法从边、对角线探究菱形的性质，菱形在我们的实际生活中有很多的应用，注意培养学生的应用意识；同时学习菱形的知识还要为后面学习正方形打下好的基础。
2.教学对象分析学生已具备四边形、平行四边形以及矩形的知识，经历了平行四边形、矩形性质的探究应用，有很丰厚的知识基础，学生对本节课的知识的学习有可类比的根据，学生学习起来不会很困难。
三、教学目标知识技能经历探究菱形的概念，菱形的性质及其证明的过程，掌握应用菱形的性质解决问题的方法。
数学思考通过探究活动培养学生动手实践、观察、推理的意识，发展学生的形象思维和逻辑思维能力，寻求解决问题的方法。
找出菱形与四边形、平行四边形、矩形的有关知识之间的区别与联系，培养学生的逻辑推理能力和演绎能力。
解决问题运用菱形的有关知识解决几何证明、计算和实际问题，经历探索、猜想、证明的过程，掌握菱形性质的推导方法，通过菱形性质的应用，积累解决实际问题的经验。
八年级数学下册第19章四边形19.3矩形、菱形、正方形19.3.2菱形教案(新版)沪科版
八年级数学下册第19章四边形19. 3矩形、菱形、正方形19. 3. 2菱形教案（新版）沪科版主备人:求证：AC 丄BD : AC 平分ZBAD 和ZBCD : BD 平分ZABC 和ZADC 。
(7AnXc三.合作探究，解决疑难（15分钟左右）1. 动手操作：如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形纸片？2. 探索菱形的性质。
3. 证明菱形的性质。
已知：菱形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点0,如图， 求证：AC 丄BD : AC 平分ZBAD 和ZBCD : BD 平分ZABC 和ZADC o证明：因为四边形ABCD 是菱形， 所以AB 二AD （菱形的四条边都相等）。
又因为B0二D0,所以AC 丄BD, AC 平分ZBAD 。
同理：AC 平分ZBCD ： BD 平分ZABC 和ZADC.例如图，已知菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，1LDE 丄AB, AB=4・过求：（DZABC 的度数；D⑵对角线AC 的长；/程⑶菱形ABCD 的而积.A/学生分组讨论，合作学习.MEE査学情，不指 导、不提问、不 干扰。
讨论补充记录教学反思19. 3. 2 菱形（2）主备人:4・菱形的判上方法有哪些?5.你能证明这些判左方法吗？试试看，与你的同伴交流一下。
6. 学习例6・7. 完成练习3, 4两题•8. 如图，Z7ABCD 的两条对角线AC 、BD相交于点 0, AB 二5, AC 二8,DB 二6・（1） AC. BD 互相垂直吗？为什么？（2）四边形ABCD 是菱形吗？为什么？四.合作探究，解决疑难（15分钟左右）1.探索菱形常用的判左方法：探究活动一：根据菱形的左义，可得菱形的第一个判左方法：1） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.探究活动二：2） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.探究活动三：3） 有四条边相等的四边形是菱形.2•如图，口 ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点0, AB 二5, AC=8, DB 二6・（1） AC 、BD 互相垂直吗？为什么？（2）四边形ABCD 是菱形吗？为什么？教 学 过 程解:（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以0A 二0C 二4, 0B 二0D 二3・ 因为 AB 二5, AB^OA'+OBl所以ZA0B 二90°，所以AC 丄BD 「 （2）因为四边形ABCD 是平行四边形，AC 丄BD,所以四边形ABCD 是菱形. 五、巩固新知，当堂训练（15分钟） £7 ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点0. （1）若 AB 二AD,则 D ABCD 是 __ 形:随笔，作为 合作探究 的问题进 行合作探 究。
2019年春八年级数学下册第19章四边形19.3矩形菱形正方形19.3.2菱形第1课时菱形的性质课件(新版)沪科版
19.3 矩形、菱形、正方形
19.3.2 菱 形
知识要点基础练
知识点1 菱形的概念 1.平行四边形ABCD满足下列哪个条件就一定是菱形( A ) A.AB=AD B.AB=CD C.AC=BD D.AB⊥AD 2.若菱形的周长为12 cm,则它的边长为 3 cm .
知识要点基础练
∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AD=CD,∠ADP=∠CDP,
������������ = ������������, 在△ADP 和△CDP 中, ∠������������������ = ∠������������������, ������������ = ������������,
∴△ADP≌△CDP( SAS ),∴∠APD=∠CPD, 又∵∠APB+∠APD=180°, ∴∠APB+∠CPD=180°, ∴点 P 为菱形 ABCD 的一个“互补点”.
A.1 C.3
B.2 D.4
综合能力提升练
11.菱形 OACB 在平面直角坐标系中的位置如图所示,( 3,-1 ) .
12.如图,菱形 ABCD 的边长为 1 cm,E 是 AB 的中点,且 DE⊥AB,则 菱形 ABCD 的面积为
3 2
cm2
综合能力提升练
15.如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC=16 cm,BD=12 cm,BE⊥DC 于 点 E,求菱形 ABCD 的面积和 BE 的长.
解:菱形 ABCD 的面积 S= ×16×12=96,
∵AC⊥BD,由勾股定理可得 CD=10, 1 48 ∴2×CD×BE=48,∴BE= 5 , ∴菱形 ABCD 的面积为 96 cm
A.5 C.6.5
B.12 D.13
2019年春八年级数学下册第19章四边形19.3矩形菱形正方形19.3.3正方形课件(新版)沪科版
19.3.3 正方形
[解析] 本例可先证四边形 AEDF 为矩形，再证它是菱形，或先证它是菱形，再证 它是矩形．
19.3.3 正方形
证明：证法一：∵EF 垂直平分 AD， ∴AE＝ED，AF＝DF， ∴∠EAD＝∠ADE，∠FAD＝∠ADF. 又∵∠BAC＝90°，AD 平分∠BAC， ∴∠ADE＝∠EAD＝∠FAD＝∠ADF＝45°， ∴∠EDF＝∠AED＝∠AFD＝90°， ∴四边形 AEDF 是矩形． 又∵AE＝ED， ∴矩形 AEDF 是正方形． 证法二：∵AD 平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD. ∵EF⊥AD，
19.3.3 正方形
【归纳总结】通过证明三角形全等得到边和角相等，是有关四边形 中证明边或角相等的最常用的方法．而正方形的四条边相等、四个 角都是直角为证明三角形全等提供了条件．
19.3.3 正方形
目标二 能判定一个四边形为正方形
例 2 教材补充例题 如图 19－3－11 所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 平分∠BAC，AD 的垂直平分线 EF 分别交 AB，AD，AC 于 点 E，O，F. 求证：四边形 AEDF 是正方形．
19.3.3 正方形
∴∠AOE＝∠AOF. 又∵AO＝AO， ∴△AOE≌△AOF(ASA)， ∴AE＝AF. ∵EF 垂直平分 AD， ∴AE＝ED，AF＝DF， ∴AE＝ED＝DF＝AF， ∴四边形 AEDF 是菱形． 又∵∠BAC＝90°， ∴菱形 AEDF 是正方形．
19.3.3 正方形
19.3.3 正方形
知识点二 正方形的判定
先证明四边形是矩形(或菱形)，再证明四边形是菱形(或矩 形)．
常用方法： (1)有一组邻边相等的矩形是正方形； (2)对角线互相垂直的矩形是正方形； (3)有一个角是直角的菱形是正方形； (4)对角线相等的菱形是正方形．
八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19.1矩形19.1.2矩形的判定第2课时矩形的判定的运用课堂
第19章矩形、菱形与正方形19.1.2.2 矩形的判定的运用1．[上海]已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )A．∠BAC＝∠DCAB．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABDD．∠BAC＝∠ADB2．四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是( )A．AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝90°B．AO＝CO，BO＝DO，AC＝BDC．∠BAD＝∠ABC＝90°，∠BCD＋∠ADC＝180°D．∠BAD＋∠ADC＝180°，∠ABC＝∠ADC＝90°3．如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H.求证：(1)△PHC≌△CFP；(2)四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形．4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，点E、F分别在边AB、BC上，AE＝DF＝DC.(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)当∠FDC与∠EFB满足数量关系____________________时，四边形AEFD是矩形，并说明理由．5．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)求证：四边形ABCD是平行四边形；(3)当OD与AC满足怎样的数量关系时，四边形ABCD是矩形？并说明理由．6．[xx·涵江区期末]如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H.(1)求证：四边形AGPH是矩形；(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．7．[xx·娄星区期末]如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC 上，且DE＝BP＝1.(1)判断△BEC的形状，并说明理由；(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；(3)求四边形EFPH的面积．8．[xx·宽城区期末]如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN ∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证：OE＝OF；(2)若CE＝4，CF＝3，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．参考答案1．C2．C3．证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，AD∥BC.又∵EF∥AB，AD∥GH，∴EF∥CD，BC∥GH，∴∠CPF＝∠HCP, ∠CPH＝∠PCF，∵CP＝CP，∴△PHC≌△CFP；(2)由(1)知AB∥EF∥CD, AD∥GH∥BC，∴四边形PEDH和四边形PFBG都是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形．∴∠D ＝∠B ＝90°， ∴平行四边形PEDH 和平行四边形PFBG 都是矩形． 4．解：(1)证明：∵DF ＝DC ， ∴∠DFC ＝∠C . ∵∠B ＝∠C ， ∴∠DFC ＝∠B ， ∴AE ∥DF . ∵AE ＝DF ，∴四边形AEFD 是平行四边形．(2)当∠FDC ＝2∠EFB 时，四边形AEFD 是矩形．理由如下： ∵2∠DFC ＋∠FDC ＝180°，∠FDC ＝2∠EFB ， ∴2∠DFC ＋2∠EFB ＝180°， ∴∠DFC ＋∠EFB ＝90°， ∴∠DFE ＝180°－90°＝90°. ∵四边形AEFD 是平行四边形， ∴四边形AEFD 是矩形．5．解：(1)证明：∵点O 是AC 的中点，∴OA ＝OC . ∵AE ＝CF ，∴OE ＝OF .∵DF ∥BE ，∴∠OEB ＝∠OFD ， 在△BOE 和△DOF 中，⎩⎨⎧∠OEB ＝∠OFD ，∠BOE ＝∠DOF ，OE ＝OF ，∴△BOE ≌△DOF .(2)∵△BOE ≌△DOF ，∴OD ＝OB .∵OA ＝OC ，∴四边形ABCD 是平行四边形． (3)结论：当OD ＝12AC 时，四边形ABCD 是矩形．理由：∵OD ＝12AC ，OD ＝OB ，∴BD ＝AC .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形．6．解：(1)证明∵AC ＝9，AB ＝12，BC ＝15， ∴AC 2＝81，AB 2＝144，BC 2＝225， ∴AC 2＋AB 2＝BC 2， ∴∠A ＝90°.∵PG ⊥AC ，PH ⊥AB ， ∴∠AGP ＝∠AHP ＝90°， ∴四边形AGPH 是矩形． (2)存在．理由如下： 如答图，连结AP . ∵四边形AGPH 是矩形， ∴GH ＝AP .∵当AP ⊥BC 时，AP 最短． ∴9×12＝15·AP . ∴AP ＝365.7．解：(1)△BEC 是直角三角形． 理由如下：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ADC ＝∠ABP ＝90°，AD ＝BC ＝5，AB ＝CD ＝2， 由勾股定理得CE ＝CD 2＋DE 2＝22＋12＝5， 同理可得BE ＝25， ∴CE 2＋BE 2＝5＋20＝25. ∵BC 2＝52＝25，∴BE 2＋CE 2＝BC 2， ∴∠BEC ＝90°， ∴△BEC 是直角三角形． (2)四边形EFPH 为矩形．证明：∵在矩形ABCD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∴四边形DEBP 是平行四边形， ∴BE ∥DP . 又∵DE ＝BP ， ∴AE ＝CP ，∴四边形AECP 是平行四边形， ∴AP ∥CE ，∴四边形EFPH 是平行四边形． ∵∠BEC ＝90°，∴平行四边形EFPH 是矩形． (3)在Rt △PCD 中，FC ⊥PD ，由三角形的面积公式得PD ·CF ＝PC ·CD ， ∴CF ＝4×225＝455，∴EF ＝CE －CF ＝5－455＝55. ∵PF ＝PC 2－CF 2＝855，∴S 矩形EFPH ＝EF ·PF ＝85.8．解：(1)证明：如答图，∵MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6. ∵MN ∥BC ，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴EO ＝CO ，FO ＝CO ， ∴OE ＝OF .(2)∵∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°， ∵CE ＝4，CF ＝3， ∴EF ＝42＋32＝5， ∴OC ＝12EF ＝52.(3)当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形． 证明：当O 为AC 的中点时，AO ＝CO ， ∵EO ＝FO ，∴四边形AECF 是平行四边形， ∵∠ECF ＝90°，∴平行四边形AECF 是矩形．。
安徽省枞阳县钱桥初级中学八年级数学下册 19.3《矩形 菱形 正方形》正方形教案 (新版)沪科版
正方形教学目标知识技能1．掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别数学思考通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力．解决问题经历探索正方形有关性质的过程．在观察中寻求新知，在探索中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．情感态度通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．教学重点正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．教学难点正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质灵活运用．教学过程教学步骤师生活动设计意图活动一：创设情境导入新课第一步：课堂引入1．做一做：用一X长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？正方形定义：有一组邻边相等．．．．．．并且有一个角是直角．．．．．．．的平行四．．．边形．．叫做正方形．其定义包括了两层意：⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形）⑵有一个角是直角的平行四边形（矩形）2．【问题】正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．从学生的生活实际出发，创设情境，提出问题，激发学生强烈的好奇心和求知欲．学生经历了将实际问题抽象为数学问题的建模过程．通过分析让学生感受到正方形与矩形和菱形、平行四边形的紧密联系；同时，把思维兴奋点集中到要研究的正方形上来，为下面学习新知识创造了良好开所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．归纳、总结正方形的性质：因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，引导学生从角、边、对角线上归纳总结．正方形性质1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形性质2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．活动二：实践探究交流新知第二步：应用举例：例1 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．例2 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．学生在相互转换的过程中获得丰富的感知．在教学中渗透类比思想．不但完成了学习任务，而且还学会了知识之间的有机结合．真正体现了新课程理念中“以人为本，促进学生终身发展” 的教学理念．在教学中引导学生总结归纳，由此达到数学教学的新境界——提升思维品质，形成数学活动三：开放训练体现应用第三步：、随堂练习1、正方形的四条边______，四个角_______，两条对角线________．2、已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．求证：∠AFE＝∠AEF．3、．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD4．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．5．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．体现了教学的连贯性，也体现出数学知识的实用性．学以致用的体验，使学生感受到数学学习是有趣的、丰富的、有价值的．学生审题是解题的关键，通过运用正方形的性质，学会解决简单的实际问题的能力，让学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用，培养学生的应用意识．通过例题和反馈练习实现了知识能力的转化，让学生主动用所学知识和方法寻求解决问题的策略．ABC D EF活动四：反思小结（1）正方形是怎样的平行四边形？有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形；（2）正方形是怎样的矩形？有一组邻边相等的矩形；（3）正方形是怎样的菱形？有一个角是直角的菱形；知识再现：⑴对边平行边⑵四边相等⑶四个角都是直角角正方形⑷对角线相等互相垂直对角线互相平分平分一组对角课后反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环．教学中突出内容本质，渗透思想、方法．培养学生自我反馈、自主发展的意识．附板书设计：。
八年级数学下册 第19章 四边形 19.3 矩形 菱形 正方形
19.3.2 第2课时 菱形的判定
目标突破
目标一 能利用菱形的判定定理证明四边形是菱形
例 1 教材补充例题 如图 19－3－8，点 D 在△ABC 的边 BC 上(与 点 B，C 不重合)，DE∥AC 交 AB 于点 E，DF∥AB 交 AC 于点 F. (1)求证：AE＝DF； (2)若 AD 平分∠BAC，试判断四边形 AEDF 的形状，并说明理由．
∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，即 AC⊥EF. 由(1)知△ADE≌△CBF， ∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB， ∴AE∥CF， ∴四边形 AECF 是平行四边形． 又∵AC⊥EF，∴四边形 AECF 是菱形．
19.3.2 第2课时 菱形的判定
总结反思
知识点一 根据菱形的定义判定菱形
图 19－3－9
19.3.2 第2课时 菱形的判定
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD. ∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°. 同理∠FCB＝90°， ∴∠EAD＝∠FCB. ∴△ADE≌△CBF.
19.3.2 第2课时 菱形的判定
(2)四边形 AECF 是菱形． 理由：如图，连接 AC，
第19章 四边形
19.3.2 第2课时 菱形的判定
第19章 四边形
19.3.2 第2课时 菱形的判定
知识目标 目标突破 总结反思
19.3.2 第2课时 菱形的判定
知识目标
1．通过归纳理解菱形的判定方法，能利用菱形的判定定理判 定四边形是菱形．
2．掌握菱形的性质和判定定理，能综合利用菱形的性质和判 定定理定
【归纳总结】菱形的判定方法：
19.3.2 第2课时 菱形的判定
八年级数学下册教案-19.3 矩形 菱形 正方形10-沪科版
第1课时矩形的性质教学目标：1．使学生证掌握矩形的概念、性质及推论2．提高对矩形的性质在实际生活中的应用能力3．经历探索矩形的性质和推论的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展合理推理能力，主观探索习惯，逐步掌握说理的基本方法教学重点：矩形的定义和性质的理解和掌握教学难点：矩形的性质及推论的综合应用教学方法：引导探究法教学用具：多媒体教学过程：一、复习提问1.什么叫平行四边形？2. 下面平行四边形具有而一般四边形不具有的特征有（1）两组对边平行（2）两组对边相等（3）内角和为360°（4）对角线互相平分（5）外角和为360°（6）两组对角相等二、讲授新课第一环节巧设情境引入课题通过课件演示出活动的平行四边形教具，请学生观察当它的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会形成怎样的特殊图形情况。
进而引入本节课的主题——矩形第二环节讲授新课1、根据演示过程，请学生尝试给矩形下定义定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2、矩形的表示3、请学生举出生活中矩形的例子4、探索矩形的性质既然矩形是特殊的平行四边形，那么它除了具有平行四边形的性质外，还具有什么特性呢？请大家画出一个矩形，分别度量边、角、对角线，探究其特性。
（1）矩形四个角都是直角（2）矩形对角线相等分组讨论，证明矩形的性质1、2根据命题，分析题设和结论，并画图，写成已知、求证（1）已知：如图1，矩形ABCD，求证：∠A=∠B=∠C=∠DD C 证明：由定义，矩形必有一个角是直角，设∠A=90°∵AB∥CD，AD∥BC∴∠B=∠C=∠D=90°即矩形ABCD的四个角都是直角归纳性质1、矩形的四个角都是直角（2）已知：如图2，矩形ABCD，求证：AC=BD证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD=CB，∠DAB=∠CBA=90°∵AB=BA∴△DAB≌△CBA∴AC=BD归纳性质2、矩形的对角线相等第三环节：例题讲解［例1］如图在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4 cm．（1）判定△AOB的形状；（2）求对角线的长。
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1 19.3 矩形 菱形 正方形（第２课时）
教学目的：
1．进一步理解矩形的定义及性质；
2．掌握矩形的判定方法；
3．运用矩形判定方法。
教学重点：
矩形的判定方法及应用
教学难点：
运用矩形判定方法。
教学过程：
一、复习：
1．矩形的角有什么特点呢？
2．矩形的对角线有什么特点呢？
3．
4．含30°角的直角三角形有何性质？
二．新课讲解：
问题：怎样知道一个(平行)四边形是矩形？
方法一：根据定义，引导学生分析思路。
方法二：对角线相等的平行四边形是矩形。
P85例2。
三、例题与练习：课本P85例3，练习1，2
四．小结：
矩形的判定方法(前提，是否为平行四边形。
证明方向，可从边、角、对角线三个方面找寻线索。
)
五、课后习题：课本题4,5，另见《基训》
六、教学反思：可依实际情况安排一节习题课。