第5章_连续系统的s域分析

若s0为虚数，得虚指数函数的拉普拉斯变换为：
1 e (t ) , Re s 0 s - j
j t
e
- j t
1 (t ) , Re s 0 s +j
1 (t ) , Re s 0 s
若s0＝ 0，得单位阶跃的拉普拉斯变换为：
第五章 连续系统的s域分析 5.1 拉普拉斯变换 四、常见函数的拉普拉斯变换
0

1


1- e- s g (t - ) ， s - Re 2 s
t
1- e = s
- s

第五章 连续系统的s域分析
四、常见函数的拉普拉斯变换
5.1 拉普拉斯变换
1 j
例：求L[ (t )]
解：L[ (t )] (t )e
0

st
dt e st dt
0
5.2 拉普拉斯变换的性质
1 a
s a
t 1 1 ( 1) f (t ) f ( x)dx F (s) f 1 (0 ) s s n (n) t 1 1 f (t ) ( ) n f ( x)dx n F (s) nm1 f m (0 ) s m 1 s



Fb ( j ) e j t d
1 f (t ) 2



Fb ( j ) e( j )t d
s j
f (t ) 1
j
d ds / j
Fb ( s) e st d s 双边拉普拉斯逆变换(原函数) 2 j j
0

(t ) ( )
1 st e s
例：求L[ (t )]


0
1 s
1 (t ) s
(t ) 1
解：L[ (t )] (t )e st dt 1
0
(t ) 1
' (t ) j
例：求L[ (t )]
解：L[ (t )] (t )e st dt
引言
(1)有些重要信号不存在傅里叶变换， 如：et (t ) 绝对可积条件：

0
f (t ) dt
(2)频域分析：只能求系统的零状态响应，给定初始状态的系统难 以用频域分析方法。 如何解决？？？
本章引入复频率 s = σ+jω，以复指数函数est为基本信号，任意信号 可分解为不同复频率的复指数分量之和。 LTI系统的零状态响应等于输入信号各分量引起响应的积分，且系 统的零输入响应亦可求得。 这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为s域分析。主要 工具是拉普拉斯变换

Fb (s) f (t )est d t
双边拉普拉斯变换(象函数)
下面的问题是： 如何取值才能使f(t)e-t 的积分收敛？？？
第五章 连续系统的s域分析 二、收敛域
5.1 拉普拉斯变换
下面的问题是： 如何选择才能使f(t)e-t 的积分收敛？？？ 使 f(t)拉氏变换存在的的取值范围称为Fb(s)的收敛域。下举例说明 例5.1-1 因果信号f1(t)= et (t) ，求其拉普拉斯变换。 解：F1b (s)
双边拉普拉斯变换(象函数)
第五章 连续系统的s域分析 5.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
Fb ( j )

f (t ) e
( j ) t
dt
Fb (s) f (t )est d t


其傅里叶逆变换为 f (t )e
t
1 2
第五章 连续系统的s域分析 5.1 拉普拉斯变换 四、常见函数的拉普拉斯变换
例5.1-3：求矩形脉冲的象函数
f (t )＝g (t - ) 2

解：信号显然可积，其收敛域为Re[s]>－∞
F(s) L g (t - ) 2
g (t - )e- st dt 02 e- st dt
f1 (t ) F1 ( s )
1 1 s3 s2
Re[s]= > – 2 Re[s]= < – 3 –3<<–2
1 1 f 2 (t ) F2 ( s) s3 s2 1 1 f 3 (t ) F3 ( s) s3 s2
可见:象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。
一、微分方程的变换解 二、系统函数 三、系统的s域框图 四、电路的s域模型 五、拉普拉斯变换与傅里叶变换
第五章 连续系统的s域分析
引言
引言
时域信号分解：将任意信号f(t)分解为基本信号(冲激信号)之和。
f ( ) (t ) d
时域系统分析： 零状态响应：y zs (t )
t
0
α
σ
第五章 连续系统的s域分析 二、收敛域
e ( s )t 解： F2b ( s) e e d t (s )
0
5.1 拉普拉斯变换
例5.1-2 反因果信号 f2(t)= et(-t) ，求其拉普拉斯变换。
t st
0
1 [1 lime ( )t e j t t (s )


0
e( s )t 1 t st e e dt [1 lim e( )t e j t ] t (s ) 0 ( s )
F(s) 1 s
当 时，上式收敛
jω
收敛域：Re[s]=> (因果信号) 如图所示：
1 e (t ) Re[ s ) e
j t
j t
d
1 频域系统分析：零状态响应： y (t ) 2



F ( j ) H ( j ) e
d
等于将无穷多项基本信号分别作用于系统所得的响应取和。
第五章 连续系统的s域分析
引言
频域分析方法存在的问题
e t (t ) 1 j
傅里叶变换 第四章
连续时域 第二章 绪论 第一章
离散时域 第三章
拉普拉斯 变换 第五章
Z变换 第六章
系统函数 第七章
状态变量 第八章
基本概念引导
核心内容
拓宽加深部分
第五章 连续系统的s域分析 主要内容
5.1.拉普拉斯变换:
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 三、单边拉普拉斯变换
5.2. 拉普拉斯变换的性质 5.3. 拉普拉斯逆变换 5.4.复频域分析
5.1 拉普拉斯变换
例4 求下列信号的双边拉氏变换。 t 1 e (t ) Re[ s ] -3t (t) + e-2t (t) s f1(t)= e 1 f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t) e t (t ) Re[s] (s ) f3(t)= e -3t (t) – e-2t (– t) 解：
c j
5.时域微分 f
( n)
(t ) s F (s)
例：求
解：
f (t ) t (t ) 的象函数
st 0
F ( s) te dt
1 st - e t s 1 st - e t s
0


0
1 st e dt s
0
0
1 st - 2e t s
若 Re s 0，则 1 F ( s) 2 s
3.时移特性 f (t t0 ) (t t0 ) est F (s) 7.时域卷积 4.复频移特性 f (t )es t F (s sa )
a
f1 (t ) * f 2 (t ) F1 (s) F2 (s)
2 j 1
c j
复频域卷积
f1 (t ) f 2 (t )
例3 双边信号
5.1 拉普拉斯变换
f (t ) et (t )＋e t (-t )
求其拉普拉斯变换。 解 其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)
jω
仅当>时，其收敛域为 <Re[s]< 的一个带状区域，如图所示。
α 0 β σ
第五章 连续系统的s域分析 二、收敛域
1 t (t ) 2 ， s 0 Re s
第五章 连续系统的s域分析 5.1 拉普拉斯变换 四、常见函数的拉普拉斯变换
第五章 连续系统的s域分析 主要内容
1.线性 a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1F1 (s) a2 F2 (s) 2.尺度变换 f (at ) F ( )
F (s) f (t ) e st d t
0
def
def

简记为
F (s) L[ f (t )]
1 j st f (t ) j F (s) e d s (t ) 2 j
或
f (t ) L [ F (s)]
1
f (t ) F (s)



f ( )h(t )d
基本信号之和f(t)的零状态响应yzs 等于各项基本信号响应h(t)的加权和 频域信号分解：傅里叶变换(级数)将任意信号分解为无穷多项不同 频率虚指数函数之和。
周期信号：f (t )
n
F

n
e
jnt
1 f (t ) 非周期信号： 2

第五章 连续系统的s域分析 5.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
信号的傅里叶变换
F ( j ) f (t ) e