福建师范大学数学专业概率论期末试卷

三、应用题
14、某药厂生产的某种药品，声称对某种疾病的治愈率为 90％。为了检验此治愈率，任 意抽取 100 个该疾病患者进行临床试验，如果其中至少 86 人被治愈，则此药通过检验 。 试 问 ：（ 1）如果该药的实际治愈率只有 80％，则通过检验的可能性有多大？（2）如果 该药的实际治愈率为 90％，则通过检验的可能性有多大？
11、设随机变量 ξ
的密度函数为
p( x)
=
⎧2 ⎨
|
x
|3 ,
⎩ 0,
| x |< 1; 其它.
求 P(ξ < 0.5) 的值和 η＝ξ 2＋2ξ 的分布。
12、设
(ξ
,η
)
的联合密度函数为
p(
x,
y)
=
⎧8, ⎨⎩0,
0 < y < x < C;
其 它.
试 ：（ 1）确定常数 C 的 值 ；（ 2）
+∞
+∞
3、概率公理化定义中的可列可加性：P(∪ An ) = ∑ P( An ) 成立的条件是
。
n=1
n=1
4、已知ξ ~ N (µ,σ 2), 且 Eξ ＝2， P(ξ > 5) = 0.1, 则 P(−1 < ξ < 2) =
。
5、设随机变量ξ ~ B(4, p) 且 P(ξ = 1) = P(ξ = 2) ，则 Eξ =
。
6、设随机变量 ξ 和η 相互独立，其特征函数分别为 fξ (t) 和 fη (t) ， a, b, c 为 常 数 ，
则 aξ + bη + c 的特征函数为
。
⎧ 0,
7、设随机变量 ξ 的分布函数为
F
(x)
=
⎪⎪ ⎨⎪0.5(
0.2, x − 0２. ),
⎪⎩ 1,
x ≤ 0; 0 < x ≤ 1; 1 < x ≤ 2;
=0
, ∀ε
ຫໍສະໝຸດ Baidu
> 0,α
> 0.
一、 填空题
1、从 n 个数1, 2, ⋯, n 中任取 2 个，则其中一个小于 k (1< k < n) ，另一个大
于 k 的概率为
。
2、一个袋子中装有 6 个白球 4 个黑球，不放回地取球 4 次，每次取 1 个球，设 A = {第二次
取到白球}, B = {第四次取到黑球},则 P(B | A) = 。
四．证明题
15 、 设 ξ１， ξ2 ,⋯,ξn ,⋯ 为 独 立 同 分 布 随 机 变 量 列 ， 它 们 均 服 从 参 数 λ 的 指 数 分 布 ，
ηn = min{ξ1,⋯,ξn} 。试证明： （1）
1 E(ηn ) = nλ ;
(2)
lim P(|
n→∞
nαηn
− λ −1 |≥
nαε )
x > 2．
则 P(0 ≤ ξ
≤ 1.5) =
， P(ξ = 0) =
。
8、独立地从 (0, 6) 区间内任取 3 个数，则所取的 3 个数至少有 2 个不大于 5 的概
率 p=
。
9、设随机向量
(ξ
,η)
服从
N
(µ1 ,
µ2
;σ
2 1
,σ
2 2
;
ρ
)
，则
ξ
−
2η
服从
N(
， )。
二、计算题
10、设ξ ,η 相互独立同分布于参数 2 的 Poisson 分布. 求 ：（ 1） P(ξ = 2η). （2） D(2ξ +η ).。
求 η 的边际密度函数；（3）求在η = 0.2 条件下ξ 的条件密度函数 pξ|η (x| y) 。
13、设随机向量
(ξ
,η)
的联合密度函数是
p( x,
y)
=
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
xy
2 +1， 4 0，
−1
< x, y < 其它。
1，
（1）求ξ 与η 的相关系数；（ 3）判断ξ与η 是否相互独立，并说明理由。