【优化指导】2015年高中数学 1.2.2同角三角函数的基本关系课件 新人教A版必修4

＝
＝cos
cos
α α2 2－sin 2 ＋
cos
α α2 2＋sin 2
α α α α 2－sin 2＋cos 2＋sin 2.
π α π ∵a∈0，2，∴2∈0，4.
α α α α ∴cos 2－sin 2＞0.sin 2＋cos 2＞0. α α α α α ∴原式＝cos 2－sin 2＋cos 2＋sin 2＝2cos 2.
1－cos θ2 ＝ 1＋cos θ1－cos θ
1－cos θ ＝ |sin θ| ， sin θ 1－cos θ ∴原式＝ · ＝± 1. 1－cos θ |sin θ|
三角函数式化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减 少函数名称，达到化繁为简的目的． (2) 对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方 式，然后去根号达到化简的目的．
2．做一做 4 3 (1)若 sin α＝5，cos α＝5，则 tan α＝________. sin α 4 解析：tan α＝cos α＝3. 4 答案：3
(2)化简 解析：
1－sin 1－5＝ cos
2
2
π π 5＝cos 5.
π 答案：cos 5 (3)sin2 2 014°＋cos2 2 014°＝________.
1＋2sin αcos α tan α＋1 2．求证： 2 ＝ . sin α－cos2 α tan α－1
sin2 α＋cos2 α＋2sin αcos α 证明：左边＝ sin2 α－cos2 α sin α＋cos α2 sin α＋cos α ＝ 2 ＝ sin α－cos2 α sin α－cos α tan α＋1 ＝ ＝右边，所以原式成立. tan α－1
sin α 4 α＝cos α＝3；
若 α 是第四象限角，则 sin α＜0，tan α＜0， ∴sin α＝－ 1－cos α＝－ sin α 4 tan α＝cos α＝－3.
2
3 4 2 1－ 5 ＝－5，
三角函数式的化简
tan θ－sin θ sin θ 化简： · . 1－cos θ tan θ＋sin θ
利用同角三角函数关系式求值
3 已知 cos α＝－5，求 sin α，tan α 的值． 平方关系 思路点拨： 由cos α确定α所在象限 ――→
商数关系 确定sin α ――→ 求解tan α
3 解：∵cos α＝－5＜0，∴α 是第二、三象限角． 若 α 是第二象限角，则 4 sin α 4 sin α＝ 1－cos α＝5，tan α＝cos α＝－3.
(3)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如 sin 90° 式子 tan 90° ＝cos 90° 不成立． (4)在应用平方关系式求 sin α 或 cos α 时，其正负号是由角 α 所在的象限决定的．
2．同角三角函数的变形公式 学习时，不仅要牢固掌握这两个公式的标准形式，还要掌 握它们的等价变形形式，如： sin2 α ＝ 1 － cos2 α ， sin α ＝ ± 1－cos2 α，cos2 α＝1－sin2 α，cos α＝± 1－ sin2 α，sin α＝ sin α cos α· tan α，cos α＝tan α.它们的应用也极为广泛．
规范解答系列(一) 同角三角函数基本关系的应用
1 (12 分)已知 sin α＋cos α＝3，其中 0＜α＜π，求 sin α－cos α 的值．
【规范思维】第一步，看结论：求 sin α－cos α 的值． 第二步， 想方法： 欲求 sin α－cos α， 可先求(sin α－cos α)2， 再开方． 1 第三步，找联系：由 sin α＋cos α＝3，两边平方，求出 sin αcos α， 进而再求(sin α－cos α)2， 同时注意 sin α－cos α 的符号．
第一章 三角函数
1.2 任意角的三角函数
1.2.2 同角三角函数的基本关系
1．理解同角三角函数的基本关系式．(重点)
2．会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．(难
点)
同角三角函数的基本关系式
1．想一想 同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？
提示：平方关系对任意角都成立，商数关系只有当 α≠kπ π ＋2(k∈Z)时成立．
12 7 1－2×－25＝5.②
4 3 由①②解得 sin α＝5，cos α＝－5. sin α 4 ∴tan α＝cos α＝－3.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或
构造sin2 α＋cos2 α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
1．化简：
π 解：原式＝ . 2 α α 2α 2α ＋ sin 2＋2sin 2cos 2＋cos 2
α α α α 1－2sin 2cos 2＋ 1＋2sin 2cos 20＜α＜ α α 2α 2α sin 2－2sin 2cos 2＋cos 2
【互动探究】 3 3 若将本例中“cos α＝－5”改为“cos α＝5”，又如何求 sin α，tan α 的值呢？ 3 解：∵cos α＝5＞0，cos α≠1，
∴α 是第一、四象限角． 若 α 是第一象限角，则 sin α＞0，tan α＞0， ∴sin α＝ 1－cos α＝
2
3 4 2 1－ 5 ＝5，tan
解析：sin2 2 014°＋cos2 2 014°＝1. 答案：1
1．解读同角三角函数的基本关系
(1)同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角 函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相 同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关 系式成立与角的表达形式无关，如sin2 3α＋cos2 3α＝1. (2)sin2 α是(sin α)2的简写，不能写成sin α2.
三角函数式的证明问题
1＋cos α sin α 求证： ＝ sin α . 1－cos α
思 路 点 拨 ： 思 路 一 ： 平方差公式展开 ―→ 作商 ―→ 结论
平方关系
变形 ――→
通分 平方关系 思 路 二 ： 作差：左－右 ――→ 变形 ――→ 差为0 ―→ 结论
证明：证法一：sin2 α＋cos2 α＝1⇒1－cos2 α＝sin2 α⇒(1－ 1＋cos α sin α cos α)(1＋cos α)＝sin α· sin α⇒ ＝ sin α . 1－cos α 1＋cos α sin2 α－1＋cos α1－cos α sin α 证法二： － sin α ＝ 1－cos α 1－cos αsin α sin2 α－1－cos2 α sin2 α－sin2 α ＝ ＝ ＝0， 1－cos α· sin α 1－cos α· sin α 1＋cos α sin α ∴ ＝ sin α . 1－cos α
【即时演练】 1 已知 0＜α＜π，sin α＋cos α＝5，求 tan α 的值． 1 解：由 sin α＋cos α＝5，①
12 得 sin α· cos α＝－25＜0. 又 0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.
则 sin α－cos α＞0， ∴sin α－cos α＝ sin α－cos α2＝ 1－2sin αcos α ＝
思路点拨： 切化弦 ―→ 构造完全平方 ―→ 用平方关系开方化简
解：∵
tan θ－sin θ ＝ tan θ＋sin θ
sin θ cos θ－sin θ sin θ cos θ＋sin θ 1－cos θ 1＋cos θ 1－cos θ2 sin2 θ
＝ ＝
sin θ－sin θcos θ ＝ sin θ＋sin θcos θ
1 1 2 【规范解答】∵sin α＋cos α＝3，∴(sin α＋cos α) ＝9，可 4 得 sin αcos α＝－9.4 分 ∵0＜α＜π，且 sin αcos α＜0，∴sin α＞0，cos α＜0. ∴sin α－cos α＞0.8 分 17 又(sin α－cos α) ＝1－2sin αcos α＝ 9 ，∴sin α－cos α＝
证明三角恒等式的方法 (1)遵循化繁为简的原则，可以从“左边⇒右边”或从“右
边⇒左边”．
(2)依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同 一个式子． (3) 依据等价转化思想，证明与原式等价的另一个式子成
立，从而推出原式成立． 左边 (4)通过作差或作商证明：左边－右边＝0 或 ＝1. 右边
2
若 α 是第三象限角，则 4 sin α 4 sin α＝－ 1－cos α＝－5，tan α＝cos α＝3.
2
已知三角函数值求其他三角函数值的方法 (1) 已知角 α 的某一种三角函数值，求角 α 的其余三角函数 值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商 数关系． (2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时， 只有一组结果；若角 α所在的象限不确定，应分类讨论，可能 有两组结果．
2
17 3 .12 分
【题后悟道】 利用sin α±cos α与sin αcos α间的关系求值 (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α； (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α. 对sin α－cos α，sin α＋cos α， sin αcos α可以“知一求 二”．