高三数学知识点总复习课后达标检测29

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高三数学课时复习基础训练29

课时活页作业（三十四）[基础训练组]1．设A ＝{(x ，y )|x ，y,1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是()[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞1－x －y ，x ＋(1－x －y )＞y ，y ＋(1－x －y )＞x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞12，y ＜12，x ＜12.[答案] A2．(2016·泉州质检)已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP→的最大值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2[解析] 如图作可行域，z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max＝2.故选D.[答案] D3．(2016·辽宁六校联考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a x ＋y ≥8，x ≥6且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[8,10]B ．[8,9]C ．[6,9]D ．[6,10][解析] 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义．由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10，故选A.[答案] A4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8.5[解析] 由约束条件可画出可行域，平移参照直线2x ＋3y ＋1＝0可知，在可行域的顶点(3,1)处，目标函数z ＝2x ＋3y ＋1取得最大值，z max ＝2×3＋3×1＋1＝10.[答案] B5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800 元B ．2 400 元C ．2 800 元D ．3 100 元[解析] 设生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，每天利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，z ＝300x ＋400y .作出可行域，如图阴影部分所示．作直线300x ＋400y ＝0，向右上平移，过点A 时，z ＝300x ＋400y取最大值，由⎩⎨⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4，∴A (4,4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800. [答案]C6．(2014·高考安徽卷)不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4.[答案] 47．(2016·安徽“江南十校”联考)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0ax ＋y －2≤0y ≥0表示的平面区域的面积为3，则实数a 的值是________．[解析] 作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积S ＝12×(2a ＋2)×2＝3，解得a ＝2. [答案] 28．(2016·郑州质检)若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax －y 取得最小值，则实数a 的取值范围是________．[解析] 画出可行域，如图，直线3x －5y ＋6＝0与2x ＋3y －15＝0交于点M (3,3)，由目标函数z ＝ax －y ，得y ＝ax －z ，纵截距为－z ，当z 最小时，－z 最大．欲使纵截距－z 最大，则－23<a <35.[答案] (－23，35)9．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0x >0y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围． (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．[解]由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0x >0y ≤2作出可行域如图阴影部分所示．(1)z ＝yx 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx 的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(OA 斜率不存在)．而由⎩⎨⎧x －y ＋1＝0y ＝2得B (1,2)，∴k OB ＝21＝2.∴z max 不存在，z min ＝2，∴z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点的两点间距离的平方．因此x 2＋y 2的范围最小为|OA |2(取不到)，最大为|OB |2.由⎩⎨⎧x －y ＋1＝0x ＝0得A (0,1)，∴|OA |2＝(0＋1)2＝1，|OB |2＝(12＋22)2＝5.∴z max ＝5，z 无最小值．故z 的取值范围是(1,5]．10．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w (元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300. 作出可行域．如图所示：初始直线l 0∶2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值．由⎩⎨⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．[能力提升组]11．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C.32D ．2[解析] 利用线性规划作出可行域，再分析求解．在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x 的图象及⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.[答案] B12．(2015·高考重庆卷)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x ＋2y －2≥0x －y ＋2m ≥0，表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1C.43D ．3[解析] 由题意知：平面区域三角形如图所示．∵x ＋y －2＝0斜率k 1＝tan α＝－1(α＝∠ABx )，x ＋2y －2＝0斜率k 2＝tan β＝－12(β＝∠CBx )，x －y ＋2m ＝0斜率k 3＝1，∴∠CAB ＝90°.设∠CBA ＝θ，∴θ＝β－α.∴tan θ＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝－12＋11＋12＝13. ∴tan θ＝tan ∠CBA ＝|CA ||AB |，∴|AB |＝3|CA |，又∵|AB |＝|2＋2m |1＋1且S △ABC ＝12|AC ||AB |＝43，∴m ＝－3或1.又∵x －y＋2m ＝0与x 轴公共点(－2m ，0)，－2m <2，∴m >－1.∴综上可知m ＝1.[答案] B13．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为( )A.32B.45－1C ．22－1D.2－1[解析] 如图，当P 取点(012)，Q 取点(0，－1)时，|PQ |的最小值为32.[答案] A14．(2016·通化一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．[解析] ∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2(y ＋1)x ＋1，而y ＋1x ＋1表示过点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，易知a >0，∴可作出可行域，由题意知y ＋1x ＋1的最小值是14，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0－(－1)3a －(－1)＝13a ＋1＝14⇒a ＝1. [答案] 115．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值．(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解： (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a 2＜2，解得－4＜a ＜2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．。

10高考理科数学总复习试卷第29卷题目及其答案10

2
2
则 P 为棱 B1C1 的中点，其坐标为 P 1，3，2．
sr
设平面 P AB A1 的法向量为 n1 x, y, z ，
sr suur
则
nsr1
gAP suur
0
,
n1gAB 0
x 3y 2z 0
即
2y 0
sr
故 n1 2，0，1
令z 1
……………8 分 ……………11 分
20. （本题满分 14 分）某园林公司计划在一块 O 为圆心, R ( R 为常数，单位为米)为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形 CMDC 区域用于观赏样板地， OCD 区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米 2 元，花木的利润是每平方米 8 元，草皮的利润是每平方米 3 元.
D． 6n 2
第二部分非选择题（110 分）
二、填空题:（本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分）. （一）必做题（9～13 题）：
9．在 1 x3 1 x4 1 x7 的展开式中，含 x 项的系数是 *** ．（用数字作答）
log3 x, x 0,
10．已知函数
f
(x)
1
x
输出 a，i
i = i +1 否
结束 7．位于数轴原点的一只电子兔沿着数轴按下列规则移动：电子兔每次移动一个单位，移动的方向向左
或向右，并且向左移动的概率为
2
，向右移动的概率为
1
（第 5 题图），则电子兔移动五次后位于点
(1,
0)
的概
3
3
率是
4
A．
243
8
B．

精编2018年高考数学理科考点过关习题第四章数列29和答案

考点测试29 数列的概念与简单表示法一、基础小题1．已知数列{a n}的通项公式a n＝1n n＋(n∈N*)，则1120是这个数列的( )A．第8项B．第9项C．第10项D．第12项答案 C解析由题意知1120＝1n n＋，n∈N*，解得n＝10，即1120是这个数列的第10项，故选C.2．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2(a n－1)，则a2等于( ) A．4 B．2C．1 D．－2答案 A解析由S n＝2(a n－1)，得a1＝2(a1－1)，即a1＝2，又a 1＋a 2＝2(a 2－1)，得a 2＝4.3．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1，则数列{a n }的一个通项公式为( )A ．a n ＝n －1B ．a n ＝(n －1)2C ．a n ＝(n －1)3D ．a n ＝(n －1)4答案 B解析 a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1，所以a 2＝0＋1＝1，a 3＝1＋3＝4，a 4＝4＋5＝9，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝(n －1)2.4．设a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则数列{a n }的最大项是( ) A ．107 B ．108 C.8658 D ．109答案 B解析因为a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n －2942＋8658，n ∈N *，所以当n ＝7时，a n 取得最大值108.5．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N 都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( )A.6116 B.259 C.2516 D.3115答案 A解析解法一：令n ＝2,3,4,5，分别求出a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116，故选A.解法二：当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2. 当n ≥3时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2.两式相除得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －12，∴a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116，故选A.6．已知在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝7，若a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2016的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2答案 B解析因为a 1a 2＝2×7＝14，所以a 3＝4；因为a 2a 3＝7×4＝28，所以a 4＝8；因为a 3a 4＝4×8＝32，所以a 5＝2；因为a 4a 5＝8×2＝16，所以a 6＝6；因为a 5a 6＝2×6＝12，所以a 7＝2；因为a 6a 7＝6×2＝12，所以a 8＝2；依次计算得a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，a 12＝6，所以从第3项起，数列{a n }成周期数列，周期为6，因为2016＝2＋335×6＋4，所以a 2016＝6.7．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且有S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧n ＝，2n －n解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝1＋1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋1)－＝2n －1.此时对于n ＝1不成立，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝，2n －n8．数列{a n }满足13a 1＋132a 2＋…＋13n a n ＝3n ＋1，n ∈N *，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，3n ＋1，n ≥2解析当n ＝1时，a 1＝12.因为13a 1＋132a 2＋…＋13n a n ＝3n ＋1，n ∈N *，①所以当n ≥2时，13a 1＋132a 2＋…＋13n －1a n －1＝3n －2.②所以①－②，得a n ＝3n ＋1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，3n ＋1，n ≥2.二、高考小题9．根据下面框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －1答案 C解析由程序框图可知：a 1＝2×1＝2，a 2＝2×2＝4，a 3＝2×4＝8，a 4＝2×8＝16，归纳可得：a n ＝2n ，故选C.10．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0D ．a 1d >0答案 C解析 ∵数列{2 a 1a n }为递减数列，∴2 a 1a n >2a 1a n ＋1，n ∈N *，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1(a n ＋1－a n )<0.∵{a n }为公差为d 的等差数列，∴a 1d <0.故选C.11．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________.答案 12解析由a n ＋1＝1n ，得a n ＝1－1n ＋1， ∵a 8＝2，∴a 7＝1－12＝12，a 6＝1－1a 7＝－1，a 5＝1－1a 6＝2，……，∴{a n }是以3为周期的数列，∴a 1＝a 7＝12.12．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.答案 1 121解析解法一：∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴a 2＝2S 1＋1，即S 2－a 1＝2a 1＋1，又∵S 2＝4，∴4－a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝1.又a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，即S n ＋1＝3S n ＋1，由S 2＝4，可求出S 3＝13，S 4＝40，S 5＝121.解法二：由a n ＋1＝2S n ＋1，得a 2＝2S 1＋1，即S 2－a 1＝2a 1＋1，又S 2＝4，∴4－a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝1.又a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，即S n ＋1＝3S n ＋1，则S n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋12，又S 1＋12＝32，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，∴S n ＋12＝32×3n －1，即S n ＝3n －12，∴S 5＝35－12＝121.13．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．答案 2011解析由已知得，a 2－a 1＝1＋1，a 3－a 2＝2＋1，a 4－a 3＝3＋1，…，a n －a n －1＝n －1＋1(n ≥2)，则有a n －a 1＝1＋2＋3＋…＋n －1＋(n －1)(n ≥2)，因为a 1＝1，所以a n ＝1＋2＋3＋…＋n (n ≥2)，即a n ＝n 2＋n 2(n ≥2)，又当n ＝1时，a 1＝1也适合上式，故a n ＝n 2＋n 2(n ∈N *)，所以1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，从而1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝2011.三、模拟小题14．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )A ．100B ．110C ．120D ．130答案 C解析 {a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120，故选C.15．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( )A ．3(3n －2n )B ．3n ＋2C ．3nD ．3·2n －1答案 C解析⎩⎨⎧a 1＝S 1＝32a 1－，a 1＋a 2＝32a 2－，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，a 2＝9，代入选项逐一检验，只有C符合．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a x ＋2，x ≤2，a 2x 2－9x ＋11，x >2(a >0，且a ≠1)，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，3 C ．(2,3) D ．(1,3)答案 C解析因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，－a＋2<a 2.解得2<a <3，所以实数a 的取值范围是(2,3)．17．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N *)，则该数列的前2017项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2017＝________.答案 2解析由题意可得，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2＝a 1，∴数列{a n }是以4为周期的数列，而2017＝4×504＋1，a 1a 2a 3a 4＝1，∴前2017项的乘积为1504·a 1＝2.18．若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．答案a n ＝⎩⎨⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N *解析 a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，当n ＝1时，a 1＝6；当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝n ＋n ＋，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n n ＋，故当n ≥2时，a n ＝n ＋2n，所以a n ＝⎩⎨⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N *.一、高考大题1．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)因为2S n ＝3n ＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3，当n >1时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n >1，n ∈N *. (2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n >1时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n . 所以T 1＝b 1＝13；当n >1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋，所以3T n ＝1＋，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n 1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n ＝136－2n ＋12×3n －1，所以T n ＝1312－6n ＋34×3n ＝1312－2n ＋14×3n －1.经检验，n ＝1时也适合．综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n ＝1312－2n ＋14×3n －1.2．已知数列{a n }满足a 1＝12且a n ＋1＝a n －a 2n (n ∈N *)． (1)证明：1≤a na n ＋1≤2(n ∈N *)；(2)设数列{a 2n }的前n 项和为S n ，证明：1n ＋≤S nn ≤1n ＋(n ∈N *)．证明 (1)由题意得a n ＋1－a n ＝－a 2n ≤0，即a n ＋1≤a n ，故a n ≤12.由a n ＝(1－a n －1)a n －1，得a n ＝(1－a n －1)(1－a n －2)…(1－a 1)a 1>0. 由0<a n ≤12，得a n a n ＋1＝a n a n －a 2n ＝11－a n ∈，即1≤a na n ＋1≤2.(2)由题意得a 2n ＝a n －a n ＋1，所以a na n ＋1＝1a n ＋1－1a n，S n ＝a 1－a n ＋1.① 由a na n ＋1＝1a n ＋1－1a n和1≤a na n ＋1≤2，得1≤1a n ＋1－1a n≤2，所以n ≤1a n ＋1－1a 1≤2n ，因此1n ＋≤a n＋1≤1n＋2(n∈N*)．②由①②得1n ＋≤Snn≤1n ＋(n∈N*)．二、模拟大题3．已知数列{a n}中，a n＝1＋1a ＋n －(n∈N*，a∈R，且a≠0)．(1)若a＝－7，求数列{a n}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有a n≤a6成立，求a的取值范围．解(1)∵a n＝1＋1a ＋n －(n∈N*，a∈R，且a≠0)．又∵a＝－7，∴a n＝1＋12n－9(n∈N*)．结合函数f(x)＝1＋12x－9的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>a n>1(n∈N*)．∴数列{a n}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.(2)a n＝1＋1a ＋n －＝1＋12n－2－a2.∵对任意的n∈N*，都有a n≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋12x－2－a2的单调性，∴5<2－a2<6，∴－10<a<－8.4．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝4S n－1(n∈N*)．(1)证明：a n＋2－a n＝4；(2)求数列{a n}的通项公式．解(1)证明：∵a n a n＋1＝4S n－1，∴a n＋1a n＋2＝4S n＋1－1，∴a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1.又a n ≠0，∴a n ＋2－a n ＝4.(2)由a n a n ＋1＝4S n －1，a 1＝1，得a 2＝3.由a n ＋2－a n ＝4知数列{a 2n }和{a 2n －1}都是公差为4的等差数列， ∴a 2n ＝3＋4(n －1)＝2(2n )－1，a 2n －1＝1＋4(n －1)＝2(2n －1)－1，∴a n ＝2n －1.5．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1，a 1＝0(舍)． S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2(负值舍去)；同理可得a 3＝3，a 4＝4.(2)因为S n ＝1a 2n ＋a n ，① 所以当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋a n －12，② ①－②得a n ＝12(a n －a n －1)＋12(a 2n －a 2n －1)，所以(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n ＝n .6．在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值．解 (1)当n ≥2时，由题可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n 2a n ，① a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，② ②－①得na n ＝n ＋12a n ＋1－n 2a n ，即(n ＋1)a n ＋1＝3na n ，n ＋1a n ＋1na n＝3， ∴{na n }是以2a 2＝2为首项，3为公比的等比数列(n ≥2)． ∴na n ＝2·3n －2，∴a n ＝2n·3n －2(n ≥2)． ∵a 1＝1，∴a n ＝⎩⎨⎧ 1，n ＝1，2n ·3n －2，n ≥2.(2)a n ≤(n ＋1)λ⇔λ≥a nn ＋1，由(1)可知当n ≥2时，a n n ＋1＝2·3n －2n n ＋，设f (n )＝n n ＋(n ≥2，n ∈N *)，a n n ＝1·1f n ，则f (n ＋1)－f (n )＝n ＋－n 2·3n ＋1<0，∴1f n ＋>1f n (n ≥2)．故n ≥2时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f n 是递增数列．又132·1f ＝13及a 12＝12， ∴所求实数λ的最小值为13.。

高三数学复习课时练29

等差数列及其前n项和1.已知S n为等差数列{a n}的前n项和,a2+a8=6,则S9等于()A.272B.27C.54D.1089=9(a1+a9)2=9(a2+a8)2=27.2.已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10=()A.172B.192C.10D.12公差d=1,S8=4S4,∴8(a1+a8)2=4×4(a1+a4)2,即2a1+7d=4a1+6d,解得a1=12.∴a10=a1+9d=12+9=192.3.已知在每项均大于零的数列{a n}中,首项a1=1,且前n项和S n满足S n S n-1-S n-1S n=2S n S n-1(n∈N*,且n≥2),则a81等于()A.638B.639C.640D.641 〚S n S n-1-S n-1S n=2S n S n-1,可得S n−S n-1=2,∴{n是以1为首项,2为公差的等差数列,故n2n-1,S n=(2n-1)2,∴a81=S81-S80=1612-1592=640,故选C.4.已知数列{a n}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{a n}的前n项和为S n,则使得S n达到最大的n是()A.18B.19C.20D.21 〛1+a3+a5=105⇒a3=35,a2+a4+a6=99⇒a4=33,则{a n}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,S n=-n2+40n,因此当S n取得最大值时,n=20.5.(2016河北衡水中学一模)在等差数列{a n}中,a na2n是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为()A.{1}B.1,12C.12D.0,1,12〚〛.若a na2n=1,则数列{a n}是一个常数列,满足题意;若a na2n =12,设等差数列的公差为d,则a n=12a2n=12(a n+nd),化简得a n=nd,即a1+(n-1)d=nd,化简得a1=d,也满足题意;若a na2n=0,则a n=0,不符合题意.故选B.6.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S10=10,S20=30,则S30=______.S n是等差数列{a n}的前n项和,∴S10,S20-S10,S30-S20也成等差数列.∴2(S20-S10)=S10+(S30-S20).∴S30=60.7.已知在数列{a n}中,a1=1,a2=2,当整数n≥2时,S n+1+S n-1=2(S n+S1)都成立,则S15=______.〚S n+1+S n-1=2(S n+S1)得(S n+1-S n)-(S n-S n-1)=2S1=2,即a n+1-a n=2(n≥2),∴数列{a n}从第二项起构成以2为首项,2为公差的等差数列,则S15=1+2×14+14×132×2=211.8.若数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n+2S n S n-1=0(n≥2),a1=12.(1)求证:1S n成等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.n≥2时,由a n+2S n S n-1=0,得S n-S n-1=-2S n S n-1,所以1S n −1S n-1=2.又1S1=1a1=2,故1S n是首项为2,公差为2的等差数列.(1)可得1S n =2n,∴S n=12n.当n≥2时,a n=S n-S n-1=12n −12(n-1)=n-1-n 2n(n-1)=-12n(n-1).当n=1时,a1=12不适合上式.故a n=12,n=1,-12n(n-1),n≥2.9.(2016全国甲卷,文17)在等差数列{a n}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=[a n],求数列{b n}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.设数列{a n}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3,解得a1=1,d=25.所以{a n}的通项公式为a n=2n+35.(2)由(1)知,b n=2n+35.当n=1,2,3时,1≤2n+35<2,b n=1;当n=4,5时,2≤2n+35<3,b n=2;当n=6,7,8时,3≤2n+35<4,b n=3;当n=9,10时,4≤2n+35<5,b n=4.所以数列{b n}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.〚10.若数列{a n}满足:a1=19,a n+1=a n-3(n∈N*),则数列{a n}的前n项和数值最大时,n的值为()A.6B.7C.8D.9 〚〛a1=19,a n+1-a n=-3,∴数列{a n}是以19为首项,-3为公差的等差数列.∴a n=19+(n-1)×(-3)=22-3n.设{a n}的前k项和数值最大,则有a k≥0,a k+1≤0,k∈N*.∴22-3k≥0,22-3(k+1)≤0.∴193≤k≤223.∵k∈N*,∴k=7.∴满足条件的n的值为7.11.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S10=0,S15=25,则nS n的最小值为______.〚49{a n}的首项为a1,公差为d,则S10=10a1+10×92d=10a1+45d=0,①S15=15a1+15×142d=15a1+105d=25.②联立①②,得a1=-3,d=23,∴S n=-3n+n(n-1)2×23=13n2-103n.令f(n)=nS n,则f(n)=13n3-103n2,f'(n)=n2-203n.令f'(n)=0,得n=0或n=203.当n>203时,f'(n)>0,当0<n<203时,f'(n)<0,∴当n=203时,f(n)取最小值,而n∈N*,则f(6)=-48,f(7)=-49,∴当n=7时,f(n)取最小值-49.12.(2016河南信阳、三门峡一模)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a2<0,且1,a2,81成等比数列,a3+a7=-6.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S nn的前n项和T n取得最小值时n的值.∵a3+a7=-6=2a5,∴a5=-3.∵1,a2,81成等比数列,∴a22=1×81.又a2<0,∴a2=-9.∴等差数列{a n}的公差d=a5-a25-2=-3-(-9)5-2=2.∴a n=a2+(n-2)×2=2n-13.(2)∵S n=n(-11+2n-13)2=n2-12n.∴S nn=n-12.由n-12≤0,解得n≤12.因此,当n=11或n=12时,S nn的前n项和T n取得最小值.13.已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足a3·a4=117,a2+a5=22.(1)求通项公式a n;(2)求S n的最小值;(3)若数列{b n}是等差数列,且b n=S nn+c,求非零常数c.∵数列{a n}为等差数列,∴a3+a4=a2+a5=22.又a3·a4=117,∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两实根.又公差d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13,∴a1+2d=9,a1+3d=13,∴a1=1,d=4.∴通项公式a n=4n-3.(2)由(1)知a1=1,d=4,∴S n=na1+n(n-1)2d=2n2-n=2 n-142−18.∴当n=1时,S n最小,最小值为S1=a1=1.(3)由(2)知S n=2n2-n,∴b n=S nn+c =2n2-nn+c,∴b1=11+c ,b2=62+c,b3=153+c.∵数列{b n}是等差数列,∴2b2=b1+b3,即62+c ×2=11+c+153+c,∴2c2+c=0,∴c=-12(c=0舍去),故c=-12.〚14.已知各项均为正数的等差数列{a n}满足:a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求同时满足下列条件的所有a n的和:①20≤n≤116;②n能够被5整除.∵a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列,∴a1+3d=2(a1+d),a1·(a1+3d)=16,解得a1=2,d=2.∴数列{a n}的通项公式为a n=a1+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n.(2)∵n同时满足:①20≤n≤116;②n能够被5整除,∴满足条件的n组成等差数列{b n},且b1=20,d=5,b n=115,∴项数为115-20+1=20.5∴{b n}的所有项的和为S20=20×20+1×20×19×5=1 350.2又a n=2n,即a n=2b n,∴满足条件的所有a n的和为2S20=2×1 350=2 700.〚〛。

2021届高考数学苏教版一轮总复习29 平面向量的数量积

课时作业29 平面向量的数量积一、选择题1．已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且a ·(a －b )＝2，|a |＝2，则|b |等于( D )A ．2B ．23C ．4D ．2解析：因为a ·(a －b )＝2，所以a 2－a ·b ＝2，即|a |2－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2，所以4－2|b |×12＝2，解得|b |＝2.2．(2020·武昌统考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(2，x )不平行，且满足(a ＋2b )⊥(a －b )，则x ＝( A )A ．－12B ．12C ．1或－12D ．1或12解析：因为(a ＋2b )⊥(a －b )，所以(a ＋2b )·(a －b )＝0，所以|a |2＋a ·b －2|b |2＝0，因为向量a ＝(2,1)，b ＝(2，x )，所以5＋4＋x －2(4＋x 2)＝0，解得x ＝1或x ＝－12，因为向量a ，b 不平行，所以x ≠1，所以x ＝－12，故选A ．3．(2020·山西模拟)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝3，则a 与b 的夹角为( A )A ．π3B ．π6C ．23πD ．π解析：对|a －b |＝3两边平方得a 2－2a ·b ＋b 2＝3，即1－4cos 〈a ，b 〉＋4＝3，解得cos 〈a ，b 〉＝12，〈a ，b 〉＝π3.故选A ．4．(2020·湖南省五市十校联考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·(a －2b )＝0，则|a ＋b |＝( A )A ． 6B ． 5C ．2D ． 3解析：由题意知，a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝1－2a ·b ＝0，所以2a ·b ＝1，所以|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋1＋4＝ 6.故选A ．5．(2020·茂名联考)如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，则AC →·BD →＝( C )A ．2B ．3C ．6D ．12解析：AC →·BD →＝(AB →＋BC →)·(AD →－AB →)＝(AB →＋BC →)·(2BC →－AB →) ＝2|BC →|2＋BC →·AB →－|AB →|2＝8＋2×2×12－4＝6. 6．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，且∠DAB ＝90°，AB ＝2，AD ＝1，若点Q 满足AQ →＝2QB →，则QC →·QD→＝( D ) A ．－109 B ．109 C ．－139D ．139解析：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)．又AQ →＝2QB →，∴Q ⎝⎛⎭⎪⎫43，0，∴QC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－13，1，QD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－43，1，∴QC →·QD →＝49＋1＝139.故选D ． 7．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD →在BA→方向上的投影是( A ) A ．－3 5 B ．－322 C ．3 5D ．322解析：依题意得，BA →＝(－2，－1)，CD →＝(5,5)，BA →·CD →＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|BA →|＝5，因此向量CD→在BA →方向上的投影是BA →·CD →|BA →|＝－155＝－3 5.8．(2020·湖南湘东六校联考)已知向量AB →＝(1,2)，AC →＝(－1,2)，则△ABC 的面积为( D )A ．35 B ．4 C ．32D ．2解析：由题意，得|AB→|＝5，|AC →|＝ 5.设向量AB →，AC →的夹角为θ，则cos θ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝1×(－1)＋2×25×5＝35，所以sin θ＝45，所以S △ABC＝12|AB →||AC →|sin θ＝12×5×5×45＝2，故选D ．9．(2020·河南南阳质检)已知两点M (－1,0)，N (1,0)，若直线3x －4y ＋m ＝0上存在点P 满足PM →·PN →＝0，则实数m 的取值范围是( C )A ．(－∞，－5]∪[5，＋∞)B ．(－∞，－25]∪[25，＋∞)C ．[－5,5]D ．[－25,25]解析：设P (x ，y )，则PM→＝(－1－x ，－y )，PN →＝(1－x ，－y )．由PM →·PN →＝0得x 2＋y 2＝1.因为点P 在直线3x －4y ＋m ＝0上，故圆x 2＋y 2＝1与直线3x －4y ＋m ＝0相交，则圆心(0,0)到直线的距离d ＝|m |32＋42≤1，故m ∈[－5,5]．故选C ．二、填空题10．已知平面向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ⊥(a －2b )，则|a ＋b |解析：∵a ⊥(a －2b )，∴a ·(a －2b )＝0，解得2a ·b ＝1，∴|a ＋b |＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝ 3.11．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )且b 在a 方向上的投影为－3，则向量a 与b 的夹角为2π3.解析：因为b 在a 方向上的投影为－3，所以|b |cos 〈a ，b 〉＝－3，又|a |＝12＋(3)2＝2，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－6，又a ·b ＝3＋3m ，所以3＋3m ＝－6，解得m ＝－33，则b ＝(3，－33)，所以|b |＝32＋(－33)2＝6，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－62×6＝－12，因为0≤〈a ，b 〉≤π，所以a 与b 的夹角为2π3.12．(2019·天津卷)在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝23，AD ＝5，∠A ＝30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则BD →·AE→＝－1.解析：解法1：在等腰△ABE 中，易得∠BAE ＝∠ABE ＝30°，故BE ＝2，则BD →·AE →＝(AD →－AB →)·(AB →＋BE →)＝AD →·AB →＋AD →·BE →－AB →2－AB →·BE →＝5×23×cos30°＋5×2×cos180°－12－23×2×cos150°＝15－10－12＋6＝－1.解法2：在△ABD 中，由余弦定理可得BD ＝ 25＋12－2×5×23×cos30°＝7，所以cos ∠ABD ＝12＋7－252×23×7＝－2114，则sin ∠ABD ＝5714.设BD →与AE →的夹角为θ，则cos θ＝cos(180°－∠ABD ＋30°)＝－cos(∠ABD －30°)＝－cos ∠ABD ·cos30°－sin ∠ABD ·sin30°＝－714，在△ABE 中，易得AE ＝BE＝2，故BD →·AE →＝7×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－714＝－1.13．(2020·河南、河北百校联考)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BD ，∠BCD ＝60°，CB ＝CD ＝23，点M 为BC 边上一动点，则AM →·DM →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤454，18.解析：如图，以点B 为坐标原点，BC ，BA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则B (0,0)，C (23，0)，△BCD 是等边三角形，则D (3，3)，BD ＝23，∠CBD ＝60°.又∠ABC ＝90°，则∠ABD ＝30°，则AB ＝4，A (0,4)．又点M 为BC 边上的一动点，设M (x,0)，x ∈[0,23]，则AM →·DM →＝(x ，－4)·(x －3，－3)＝x 2－3x ＋12＝⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋454，所以当x ＝32时，AM →·DM →取得最小值454，当x ＝23时，AM →·DM →取得最大值18，故AM →·DM →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤454，18.三、解答题14．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．解：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16.(1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3.②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a －2b |＝16 3.(2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )，∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0，∴k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0.∴k ＝－7.即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．15．在△ABC 中，AB ＝2AC ＝6，BA →·BC →＝BA →2，点P 是△ABC 所在平面内一点，则当P A →2＋PB→2＋PC →2取得最小值时，求AP →·BC →的值．解：∵BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B ＝|BA→|2，∴|BC →|·cos B ＝|BA →|＝6， ∴CA →⊥AB →，即A ＝π2.以A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则B (6,0)，C (0,3)，设P (x ，y )，则P A →2＋PB →2＋PC →2＝x 2＋y 2＋(x －6)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＝3x 2－12x ＋3y 2－6y ＋45＝3[(x －2)2＋(y －1)2＋10]∴当x ＝2，y ＝1时，P A →2＋PB →2＋PC →2取得最小值，此时P (2,1)，AP →＝(2,1)，此时AP →·BC →＝(2,1)·(－6,3)＝－9.16．(2019·北京卷)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB→＋AC →|>|BC →|”的( C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若|AB→＋AC →|>|BC →|，则|AB →＋AC →|2>|BC →|2，AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →>|BC →|2，∵点A ，B ，C 不共线，∴线段AB ，BC ，AC 构成一个三角形ABC ，设内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，则由平面向量的数量积公式及余弦定理可知，AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →>|BC →|2，即c 2＋b 2＋2bc ·cos A >c 2＋b 2－2bc ·cos A ，∴cos A >0，又A ，B ，C 三点不共线，故AB→与AC →的夹角为锐角．反之，易得当AB →与AC →的夹角为锐角时，|AB→＋AC →|>|BC →|，∴“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的充分必要条件，故选C ．17．(2020·豫北名校联考)已知O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OA→|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2，则点O ( A ) A ．在过点C 且与AB 垂直的直线上 B ．在∠A 的平分线所在直线上 C ．在边AB 的中线所在直线上 D ．以上都不对解析：由|OA→|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2 得|OA→|2－|OB →|2＝|CA →|2－|BC →|2，所以(OA →＋OB →)·(OA →－OB →)＝(CA →＋BC →)·(CA →－BC →)，即BA →·(OA →＋OB →)＝(CA →＋CB →)·BA →，所以BA →·(OA →＋OB →＋AC →＋BC →)＝2OC →·BA →＝0，所以AB→⊥OC →.故点O 在过点C 且与AB 垂直的直线上． 18．(2019·江苏卷)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE ＝2EA ，AD 与CE 交于点O .若AB →·AC →＝6AO →·EC →，则AB AC 的值是 3.解析：由A ，O ，D 三点共线，可设AO →＝λAD →，则AO →＝λ2(AB →＋AC →)，由E ，O ，C 三点共线可设EO→＝μEC →，则AO →－AE →＝μ(AC →－AE →)，则AO →＝(1－μ)AE →＋μAC →＝13(1－μ)AB →＋μAC →，由平面向量基本定理可得⎩⎪⎨⎪⎧13(1－μ)＝λ2，μ＝λ2，解得μ＝14，λ＝12，则AO →＝14(AB →＋AC →)，EC →＝AC →－AE →＝AC →－13AB →，则6AO →·EC →＝6×14(AB →＋AC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AC →－13AB →＝32⎝⎛⎭⎪⎫23AB →·AC →＋AC →2－13AB →2＝AB →·AC →，化简得3AC →2＝AB →2，则AB AC＝ 3.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

高三数学(理)一轮复习对点训练第29讲复数的概念与运算 Word版含解析.pdf

1.(2012·广东省惠州市第二次调研)已知a为实数，如果z＝a＋1－ai为纯虚数，则实数a等于( B ) A．0 B．－1 C．1 D．－1或0 解析：z＝a＋1－ai为纯虚数，则a＋1＝0，所以a＝－1，故选B. 2.(2012·广东省惠州市高三第二次调研)若(a＋4i)i＝b＋i，其中a，bR，i是虚数单位，则a－b＝( B ) A．3 B．5 C．－3 D．－5 解析：由(a＋4i)i＝－4＋ai＝b＋i，得a＝1，b＝－4，所以a－b＝5，故选B. 3.(2013·南宁市第三次适应性)设复数z的共轭复数为＝1－i(i为复数单位)，则－的值为( D ) A．－i B．i C．－1 D．1 解析：－＝(1－)＝(1－i)·＝1，故选D. 4.(2013·韶关第一次调研)在复平面内，复数＋i3对应的点位于( D ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解析：＋i3＝－i＝，实部为正，虚部为负，所以复数＋i3对应的点位于第四象限，故选D. 5.(2012·武昌区高三5月调研)已知i是虚数单位，复数z＝＋，则|z|＝( C ) A．1 B．2 C. D．2 解析：z＝＋＝＋＝1＋2i，|z|＝，故选C. 6.(2012·济南市高三5月模拟)i是虚数单位，能使得(1＋i)2n＝－2n·i成立的最小正整数是　3　. 解析：由(1＋i)2n＝－2n·i，得(2i)n＝2n·in＝－2n·i，所以in＝－i，即n＝4k＋3，kN，所以最小的正整数为3. 7.(2012·浙江省重点中学协作体第二学期4月联考)复数z＝－ai，aR，且z2＝－i，则a的值为 . 解析：z2＝(－ai)2＝(－a2)－ai＝－i，由对应系数相等得，解得a＝. 8.已知复数z＝，ω＝z＋ai(aR)，当||≤时，求a的取值范围．解析：z＝＝＝1－i， ||＝||≤，所以≤，即(a－1)2＋1≤4，即a2－2a－2≤0，所以a[1－，1＋]． 9.已知复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当实数m为何值时， (1)z为纯虚数； (2)z为实数； (3)z对应的点在复平面的第二象限．解析：(1)z为纯虚数 m＝3. 所以当m＝3时，z为纯虚数． (2)z为实数 m＝－2或m＝－1. 所以当m＝－2或m＝－1时，z为实数． (3)由，得，解得，即－1<m<1－或1＋<m<3. 所以当－1<m<1－或1＋<m<3时，z对应的点在复平面的第二象限．。

高三数学复习知识点总结归纳

高三数学复习知识点总结归纳高三数学复习知识点总结第一、高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。

主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。

第二、平面向量和三角函数。

重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。

第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。

难度比较小。

第三、数列。

数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

第四、空间向量和立体几何，在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

第五、概率和统计。

这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。

第六、解析几何。

这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括：第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。

考生应该掌握它的通法;第二类我们所讲的动点问题;第三类是弦长问题;第四类是对称问题，这也是2008年高考已经考过的一点;第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。

第七、押轴题。

考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。

这是高考所考的七大板块核心的考点。

高三数学单元复习训练题29

山东省新人教版数学高三单元测试29【二项式定理】本卷共100分，考试时间90分钟一、选择题 (每小题4分，共40分)1. 已知1010221052)2(x a x a x a a x x ++++=-- ，则9210a a a a ++++ 的值为( )A ．33-B ．32-C ．31-D ．30- 2. )1()1(4x x +-展开式中x 的系数是（A ）6 （B ）2 （C ）3- （D ）4-3. 设(5n x 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M-N=240，则展开式3x 的系数为（） A ．-150B ．150C ．-500D ．5004. 式子 1 2 3248(2)n nn n n nC C C C -+-++-等于A ．(1)1n --B ．(1)n -C ．3nD ．31n -5. 设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，则01211a a a a ++++的值为（）A. 2-B. 1-C. 1D. 26. 若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（）A.1 B ．1- C ．0 D ．27. 若5(1,a a b +=+为有理数），则a b +=（） A ．45 B ．55 C ．80 D ．708. 若与的展开式中含的系数相等，则实数m 的取值范围是（） A. B.C.D.9. 在6(1)ax -的二项展开式中，若中间项的系数是160，则实数a 的值为A ．2B ． 46．4254D ． 2- 10. 若函数1,10()πcos ,02x x f x x x +-<⎧⎪=⎨<⎪⎩≤≤的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为a ，则621()x -的展开式中常数项为 A.49- B.49 C.203- D.203二、填空题 (共4个小题，每小题4分)11. 若(12)n x +的展开式中3x 的系数2x 的6倍，则=n _____________;12设6655443322106)1()1()1()1()1()1(-+-+-+-+-+-+=x a x a x a x a x a x a a x ，则=3a 。

2019-2020年高三理科数学复习：29高考模拟试卷五新人教A 含答案

2019-2020年高三理科数学复习：29高考模拟试卷五新人教A 含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知实数集R ，集合{|22},M x x =-≤集合{|N x y ==，则R ()M N =ðA.{|01}x x ≤< B .{|01}x x ≤≤ C. {|14}x x <≤ D. {|14}x x ≤≤2. 已知函数3,0()2,0x x x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩,则[(1)]f f -=A ．21B ．2C ．1 D ．1- 3. 某个小区住户共200户,为调查小区居民的7月份用水量,用分层抽样的方法抽取了50户进行调查,得到本月的用水量(单位:m 3)的频率分布直方图如图所示,则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为A.10B.50C.60D.1404. 设βα、为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，且,m n αβ⊂⊂,有两个命题：p ：若//m n ，则//αβ；q ：若m β⊥，则αβ⊥；那么A ．“p 或q ”是假命题B ．“p 且q ”是真命题C ．“非p 或q ” 是假命题D ．“非p 且q ”是真命题 5. 运行如右图所示的程序框图,则输出S 的值为 A.3 B.2- C.4 D.86. 61(2)x x-的展开式中2x 的系数为A.240-B. 240C. 60-D. 60 7. 直线42+=x y 与抛物线12+=x y 所围成封闭图形的面积是A ．310 B ．316 C ．332 D ．3358. 将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移3π个单位，则所得函数图象对应的解析式为 A.1sin()23y x π=- B.sin(2)6y x π=- C.1sin 2y x = D.1sin()y x π=-9.已知,a b >函数()()()f x x a x b =--则函数()()log a g x x b =+的图象可能为10. 已知圆222()()x a y b r -+-=的圆心为抛物线24y x =的焦点,且与直线3420x y ++=相切,则该圆的方程为A.2264(1)25x y -+=B.2264(1)25x y +-= C.22(1)1x y -+= D.22(1)1x y +-= 11. 已知0,0a b >>,且24a b +=,则1ab的最小值为 A.41 B.4 C.21D.2 12. 设()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[,]x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”．若2()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为A. 9(,2]4-- B.[1,0]- C.(,2]-∞- D.9(,)4-+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 已知复数z 满足()21i z i -=+,i 为虚数单位,则复数z = .14. 已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y =,则它的离心率为 .15. 已知某棱锥的三视图如右图所示，则该棱锥的体积为 .16．设变量,x y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,则目标函数1y z x+=的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知锐角ABC ∆中内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，226cos a b ab C +=，且2sin 2sin sin C A B =.（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）设函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=-->，()f x 且图象上相邻两最高点间的距离为π，求()f A 的取值范围.18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为平行四边形，且2AD =，13AB AA ==，60BAD ∠=，E 为AB 的中点.（Ⅰ）证明：1AC ∥平面1EBC ；（Ⅱ）求直线1ED 与平面1EBC 所成角的正弦值.正视图侧视图俯视图A1ADC1D1C1BBE19．（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：31()f x x =,2()5xf x =,3()2f x =，421()21x xf x -=+，5()sin()2f x x π=+，6()cos f x x x =. （Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。

高考数学总复习课时作业29 新人教版

课时作业(29)(第一次作业)1．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°答案 B解析连接A 1D ，DC 1，A 1C 1，∵E ，F 为A 1D ，A 1C 1中点， ∴EF ∥C 1D .∴EF 和CD 所成角即为∠C 1DC ＝45°.2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB 1→，CM →〉的值等于 A.12 B.21015 C.23D.1115答案 B解析分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y，z 轴建系，令AD ＝1， ∴DB 1→＝(1,1,1)， CM →＝(1，－12，0)．∴cos 〈DB 1→，CM 〉＝1－123·52＝1515. ∴sin 〈DB →，CM →〉＝21015.3．(2012·陕西)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35答案 A解析不妨设CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2.由题图知，A 点的坐标为(2,0,0)，B 点的坐标为(0,0,1)，B 1点的坐标为(0,2,1)，C 1点的坐标为(0,2,0)．所以BC 1→＝(0,2，－1)，AB 1→＝(－2,2,1)．所以cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝0×－＋2×2＋－35＝55. 4．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为( )A.12B.32C.35D.45答案 D解析取AC 中点E ，令AB ＝2 分别以EB ，EC ，ED 为x ，y ，z 轴建系B 1(3，0,2)，C (0,1,0)，A (0，－1,0)，D (0,0,2)，DB 1→＝(3，0,0)，DC →＝(0,1，－2)，DA →＝(0，－1，－2)，平面B 1DC 法向量为n ＝(0,2,1)cos 〈DA →，n 〉＝－45∴AD 与面B 1DC 所成的角正弦值为45.5．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为( )A.32B.52C.105D.1010答案 C解析连接A 1C 1交B 1D 1于O 点，由已知条件得C 1O ⊥B 1D 1，且平面BDD 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以C 1O ⊥平面BDD 1B 1.连接BO ，则BO 为BC 1在平面BDD 1B 1上的射影，∠C 1BO 即为所求，OC 1＝12A 1C 1＝12AC ＝22，BC 1＝42＋22＝2 5. 通过计算得sin ∠C 1BO ＝OC 1BC 1＝105. 6．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是 A.63 B.33C.23D.13答案 B解析以正三棱锥O －ABC 的顶点O 为原点，OA ，OB ，OC 为x ，y ，z 轴建系(图略)，设侧棱长为1，则A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)．侧面OAB 的法向量为OC →＝(0,0,1)，底面ABC 的法向量为n ＝(13，13，13)．∴cos 〈OC →，n 〉＝OC →·n|OC →|·|n |＝131·132＋132＋132＝33. 7．正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是________．答案 30°解析如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P (0，－a 2，a2)．则CA →＝(2a,0,0)，AP →＝(－a ，－a 2，a 2)，CB →＝(a ，a,0)．设平面PAC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，则cos 〈CB →，n 〉＝CB →·n |CB →||n |＝a 2a 2·2＝12. ∴〈CB →，n 〉＝60°.∴直线BC 与平面PAC 所成的角为90°－60°＝30°.8．(2011·大纲全国理)己知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于________．答案23解析设面AEF 与面ABC 所成的二面角为θ，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，则△AEF 在面ABC 上的射影是△ABC .在△AEF 中，AE ＝32＋12＝10，AF ＝22＋22＝22，EF ＝－2＋32＝10.△AEF 的面积等于12×22×102－12222＝3112，而△ABC 的面积等于12×32＝92，因此有cos θ＝S △ABC S △AEF ＝311，sin θ＝1－cos 2θ＝211，tan θ＝sin θcos θ＝23，即面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值是23. 9.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．答案 (1,1,1)解析连接AC ，BD 交于O ，连接OE ， cos 〈DP →，AE →〉＝33，∴cos ∠AEO ＝33.又∵OA ＝2，∴OE ＝1，∴E 为(1,1,1)．10．(2012·天津)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC ＝1，PC ＝23，PD ＝CD ＝2.(1)求异面直线PA 与BC 所成角的正切值； (2)证明：平面PDC ⊥平面ABCD ；(3)求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值．解析 (1)如图，在四棱锥P —ABCD 中，因为底面ABCD 是矩形，所以AD ＝BC 且AD ∥BC .故∠PAD 为异面直线PA 与BC 所成的角．又因为AD ⊥PD ，在Rt △PDA 中，tan ∠PAD ＝PDAD＝2. 所以，异面直线PA 与BC 所成角的正切值为2.(2)证明：由于底面ABCD 是矩形，故AD ⊥CD ，又由于AD ⊥PD ，CD ∩PD ＝D ，因此AD ⊥平面PDC ，而AD ⊂平面ABCD ，所以平面PDC ⊥平面ABCD .(3)在平面PDC 内，过点P 作PE ⊥CD 交直线CD 于点E ，连接EB . 由于平面PDC ⊥平面ABCD ，而直线CD 是平面PDC 与平面ABCD 的交线．故PE ⊥平面ABCD ，由此得∠PBE 为直线PB 与平面ABCD 所成的角．在△PDC 中，由于PD ＝CD ＝2，PC ＝23，可得∠PCD ＝30°. 在Rt △PEC 中，PE ＝PC sin30°＝ 3. 由AD ∥BC ，AD ⊥平面PDC ，得BC ⊥平面PDC . 因此BC ⊥PC .在Rt △PCB 中，PB ＝PC 2＋BC 2＝13.在Rt △PEB 中，sin ∠PBE ＝PE PB ＝3913. 所以直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为3913. 11.如右图所示，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12.求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值．解析以A 为坐标原点，BA 、AD 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 建立如图所示的空间直角坐标系，则S (0,0,1)，C (－1,1,0)，D (0，12，0)．∴SC →＝(－1,1，－1)，SD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1.设平面SCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵n ⊥SC →，n ⊥SD →， ∴n ·SC →＝0，n ·SD →＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －z ＝0，y2－z ＝0.解得x ＝z ，y ＝2z .令z ＝1，则n ＝(1,2,1)．又∵平面SAB 的法向量为AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|n |·|AD →|＝0＋1＋06×12＝63.由题意知，二面角为锐角，所以二面角的大小等于两法向量的夹角． ∴所求二面角的余弦值为arccos 63. 12.(2012·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF .(1)求证：BD ⊥平面AED ； (2)求二面角F －BD －C 的余弦值．解析 (1)证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°.又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°. 因此∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ⊂平面AED ，所以BD ⊥平面AED .(2)方法一由(1)知AD ⊥BD ，所以AC ⊥BC . 又FC ⊥平面ABCD ，因此CA ，CB ，CF 两两垂直．以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CB ＝1，则C (0,0,0)，B (0,1,0)，D (32，－12，0)，F (0,0,1)．因此BD →＝(32，－32，0)，BF →＝(0，－1,1)．设平面BDF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·BD →＝0，m ·BF →＝0. 所以x ＝3y ＝3z . 取z ＝1，则m ＝(3，1,1)．由于CF →＝(0,0,1)是平面BDC 的一个法向量，则cos 〈m ，CF →〉＝m ·CF →|m ||CF →|＝15＝55.所以二面角F －BD －C 的余弦值为55. 方法二取BD 的中点G ，连接CG ，FG ，由于CB ＝CD ，因此CG ⊥BD .又FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以FC ⊥BD . 由于FC ∩CG ＝C ，FC ，CG ⊂平面FCG ，所以BD ⊥平面FCG .故BD ⊥FG .所以∠FGC 为二面角F －BD －C 的平面角．在等腰三角形BCD 中，由于∠BCD ＝120°，因此CG ＝12CB .又CB ＝CF ，所以GF ＝CG 2＋CF 2＝5CG . 故cos ∠FGC ＝55. 因此二面角F －BD －C 的余弦值为55. 13．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为2，P 是侧棱AA 1上任意一点． (1)求正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积；(2)判断直线B 1P 与平面ACC 1A 1是否垂直，请证明你的结论； (3)当BC 1⊥B 1P 时，求二面角C －B 1P －C 1的余弦值．解析 (1)VABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ·AA 1＝34×22×2＝2 3. (2)不垂直．建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，设AP ＝a ，则A ，C ，B 1，P 的坐标分别为(0，－1,0)，(0,1,0)，(3，0,2)，(0，－1，a )． AC →＝(0,2,0)，B 1P →＝(－3，－1，a －2)，AC →·B 1P →＝－2≠0，∴B 1P 不垂直AC .∴直线B 1P 不可能与平面ACC 1A 1垂直． (3)BC 1→＝(－3，1,2)，由BC 1⊥B 1P ，得BC 1→·B 1P →＝0. 即2＋2(a －2)＝0，∴a ＝1. 又BC 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面CB 1P .∴BC 1→＝(－3，1,2)是平面CB 1P 的法向量．设平面C 1B 1P 的法向量为n ＝(1，y ，z )，由⎩⎨⎧B 1P →·n ＝0，B 1C 1→·n ＝0，则n ＝(1，3，－23)．设二面角C －B 1P －C 1的大小为α，则cos α＝|BC 1→·n ||BC 1→|·|n |＝64.∴二面角C －B 1P －C 1的余弦值的大小为64.。

(福建专用)高考数学总复习课时规范练29 等比数列及其前n项和文新人教A版-新人教A版高三全册

课时规X练29 等比数列及其前n项和基础巩固组1.已知等比数列{a n}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.D.2.在正项等比数列{a n}中,a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为()A. B.9 C.±9 D.353.(2017某某某某市二模)已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=2,a n+1=S n+1(n∈N*),则S5=()A.31B.42C.37D.474.设首项为1,公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n,则()A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n5.(2017全国Ⅲ)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.86.设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=()A.31B.32C.63D.647.设数列{a n}是首项为a1,公差为-1的等差数列,S n为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.8.(2017)若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=.9.(2017某某,9)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n.已知S3=,S6=,则a8=.10.(2017某某某某二模,文17)在数列{a n}中,a1=,{a n}的前n项和S n满足S n+1-S n=(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式a n以及前n项和S n;(2)若S1+S2,S1+S3,m(S2+S3)成等差数列,某某数m的值.〚导学号24190754〛综合提升组11.(2017某某某某二诊)已知数列{a n}的前n项和为S n,且对任意正整数n都有a n=S n+2成立.若b n=log2a n,则b1 008=()A.2 017B.2 016C.2 015D.2 01412.设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1·a2·a3·…·a n的最大值为.13.已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=,a n b n+1+b n+1=nb n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求{b n}的前n项和.创新应用组14.已知数列{a n}的前n项和为S n,在数列{b n}中,b1=a1,b n=a n-a n-1(n≥2),且a n+S n=n.(1)设=a n-1,求证:{}是等比数列;(2)求数列{b n}的通项公式.答案：1.C∵a3a5=4(a4-1),∴=4(a4-1),解得a4=2.又a4=a1q3,且a1=,∴q=2,∴a2=a1q=.2.B∵a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,∴a2·a48=3.又a1·a49=a2·a48==3,a25>0,∴a1·a2·a25·a48·a49==9.3.D∵a n+1=S n+1(n∈N*),∴S n+1-S n=S n+1(n∈N*),∴S n+1+1=2(S n+1)(n∈N*),∴数列{S n+1}是首项为3,公比为2的等比数列.则S5+1=3×24,解得S5=47.4.D S n==3-2a n,故选D.5.A设等差数列的公差为d,则d≠0,=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,所以S6=6×1+×(-2)=-24,故选A.6.C∵S2=3,S4=15,∴由等比数列前n项和的性质,得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,∴(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故选C.7.-由已知得S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+×(-1)=4a1-6,而S1,S2,S4成等比数列,∴(2a1-1)2=a1(4a1-6),整理,得2a1+1=0,解得a1=-.8.1设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q,由题意知-1+3d=-q3=8,即解得故=1.9.32设该等比数列的公比为q,则S6-S3==14,即a4+a5+a6=14.①∵S3=,∴a1+a2+a3=.由①得(a1+a2+a3)q3=14,∴q3==8,即q=2.∴a1+2a1+4a1=,a1=,∴a8=a1·q7=×27=32.10.解 (1)∵a n+1=S n+1-S n=,∴当n≥2时,a n=.又a1=,∴当n=1时上式也成立.∴a n=,∴S n==1-.(2)由(1)可得:S1=,S2=,S3=.∵S1+S2,S1+S3,m(S2+S3)成等差数列,∴+m=2,解得m=.11.A在a n=S n+2中,令n=1得a1=8,∵a n=S n+2成立,∴a n+1=S n+1+2成立,两式相减得a n+1-a n=a n+1,∴a n+1=4a n,又a1≠0,∴数列{a n}为等比数列,∴a n=8·4n-1=22n+1,∴b n=log2a n=2n+1,∴b1 008=2 017,故选A.12.64由已知a1+a3=10,a2+a4=(a1+a3)q=5,得q=,所以a1=8,所以a1·a2·a3·…·a n=8n·,所以当n=3或n=4时,a1·a2·a3·…·a n取最大值为=26=64. 13.解 (1)由已知,得a1b2+b2=b1,因为b1=1,b2=,所以a1=2.所以数列{a n}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n=3n-1.(2)由(1)和a n b n+1+b n+1=nb n,得b n+1=,因此{b n}是首项为1,公比为的等比数列.记{b n}的前n项和为S n,则S n=.14.(1)证明∵a n+S n=n, ①∴a n+1+S n+1=n+1.②②-①得a n+1-a n+a n+1=1,∴2a n+1=a n+1,∴2(a n+1-1)=a n-1,∴,∴{a n-1}是等比数列.又a1+a1=1,∴a1=,∵首项c1=a1-1,∴c1=-,公比q=.又=a n-1,∴{}是以-为首项,以为公比的等比数列.(2)解由(1)可知==-,∴a n=+1=1-.∴当n≥2时,b n=a n-a n-1=1-.又b1=a1=代入上式也符合,∴b n=.。

高考数学(人教理科)总复习(福建专用)配套训练：课时规范练29 Word版含解析

课时规范练29等差数列及其前n项和一、基础巩固组1.已知等差数列{a n}中,a4+a5=a3,a7=-2,则a9=()A.-8B.-6C.-4D.-22.(2017陕西咸阳二模,理4)《张丘建算经》卷上一题为“今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最后一天织布21尺”,则该女第一天织布多少尺?()A.3B.4C.5D.63.已知在每项均大于零的数列{a n}中,首项a1=1,且前n项和S n满足S n--S n-1=2-(n∈N*,且n≥2),则a81等于()A.638B.639C.640D.6414.已知数列{a n}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{a n}的前n项和为S n,则使得S n取最大值时,n 的值是()A.18B.19C.20D.215.(2017辽宁沈阳质量检测)设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1=1,公差d=2,S n+2-S n=36,则n=()A.5B.6C.7D.86.(2017北京丰台一模,理10)已知{a n}为等差数列,S n为其前n项和.若a2=2,S9=9,则a8=.7.已知在数列{a n}中,a1=1,a2=2,当整数n≥2时,S n+1+S n-1=2(S n+S1)都成立,则S15=.8.一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则该数列的公差d=.9.若数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n+2S n S n-1=0(n≥2),a1=.(1)求证:成等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.〚导学号21500542〛10.S n为等差数列{a n}的前n项和,且a1=1,S7=28.记b n=[lg a n],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{b n}的前1 000项和.二、综合提升组11.若数列{a n}满足:a1=19,a n+1=a n-3(n∈N*),则数列{a n}的前n项和数值最大时,n的值为()A.6B.7C.8D.912.(2017四川广元二诊,理10)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,其中m≥2,则nS n的最小值为()A.-3B.-5C.-6D.-913.数列{a n}是等差数列,数列{b n}满足b n=a n a n+1a n+2(n∈N*),设S n为{b n}的前n项和.若a12=a5>0,则当S n取得最大值时,n的值等于.14.已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足a3·a4=117,a2+a5=22.(1)求通项公式a n;(2)求S n的最小值;(3)若数列{b n}是等差数列,且b n=,求非零常数c.〚导学号21500543〛三、创新应用组15.有两个等差数列{a n},{b n},其前n项和分别为S n和T n,若,则的值为()A. B. C. D.〚导学号21500544〛课时规范练29等差数列及其前n项和1.B解法一:由已知可得-解得a1=10,d=-2,所以a9=10+(-2)×8=-6.解法二:因为a4+a5=a3,所以a3+a6=a3,a6=0,又a7=-2,所以d=-2,a9=-2+(-2)×2=-6.2.C设第n天织布a n尺,则数列{a n}是等差数列,且S30=390,a30=21,∴S30=(a1+a30),即390=15(a1+21),解得a1=5.故选C.3.C由已知S n--S n-1=2-,可得-=2,∴{}是以1为首项,2为公差的等差数列,故=2n-1,S n=(2n-1)2,∴a81=S81-S80=1612-1592=640,故选C.4.C a1+a3+a5=105⇒a3=35,a2+a4+a6=99⇒a4=33,则{a n}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,S n=-n2+40n,因此当S n取得最大值时,n=20.5.D解法一:由题知S n=na1+-d=n+n(n-1)=n2,S n+2=(n+2)2,由S n+2-S n=36,得(n+2)2-n2=4n+4=36,所以n=8.解法二:S n+2-S n=a n+1+a n+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.6.0∵{a n}为等差数列,S n为其前n项和.a2=2,S9=9,解得d=-,a1=,∴a8=a1+7d=0.7.211由S n+1+S n-1=2(S n+S1)得(S n+1-S n)-(S n-S n-1)=2S1=2,即a n+1-a n=2(n≥2),∴数列{a n}从第二项起构成以2为首项,2为公差的等差数列,则S15=1+2×14+2=211.8.5设该等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,等差数列的公差为d.由题意得奇偶偶奇解得偶奇又S偶-S奇=6d,所以d=-=5.9.(1)证明当n≥2时,由a n+2S n S n-1=0,得S n-S n-1=-2S n S n-1,所以-=2.又=2,故是首项为2,公差为2的等差数列.(2)解由(1)可得=2n,∴S n=当n≥2时,a n=S n-S n-1=----=--当n=1时,a1=不适合上式.故a n=--10.解(1)设{a n}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以{a n}的通项公式为a n=n.b1=[lg1]=0,b11=[lg11]=1,b101=[lg101]=2.(2)因为b n=所以数列{b n}的前1000项和为1×90+2×900+3×1=1893.11.B∵a1=19,a n+1-a n=-3,∴数列{a n}是以19为首项,-3为公差的等差数列.∴a n=19+(n-1)×(-3)=22-3n.设{a n}的前k项和数值最大,则有k∈N*.k∵k∈N*,∴k=7.∴满足条件的n的值为7.12.D由S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,得a m=2,a m+1=3,所以d=1,∵S m=0,故ma1+-d=0,故a1=--,∵a m+a m+1=5,∴a m+a m+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=5,解得m=5.∴a1=--=-2,nS n=n--n3-n2,设f(n)=n3-n2,则f'(n)=n2-5n,令f'(n)=0,得n=或n=0,由n∈N*,得当n=3时,nS n取最小值27-9=-9.故选D.13.16设{a n}的公差为d,由a12=a5>0,得a1=-d,a12<a5,即d<0,所以a n=-d,从而可知当1≤n≤16时,a n>0;当n≥17时,a n<0.从而b1>b2>…>b14>0>b17>b18>…,b15=a15a16a17<0,b16=a16a17a18>0,故S14>S13>…>S1,S14>S15,S15<S16,S16>S17>S18>….因为a15=-d>0,a18=d<0,所以a15+a18=-d+d=d<0,所以b15+b16=a16a17(a15+a18)>0,所以S16>S14,故S n中S16最大.故答案为16.14.解(1)∵数列{a n}为等差数列,∴a3+a4=a2+a5=22.又a3·a4=117,∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两实根.又公差d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13,∴通项公式a n=4n-3.(2)由(1)知a1=1,d=4,∴S n=na1+-d=2n2-n=2-∴当n=1时,S n最小,最小值为S1=a1=1.(3)由(2)知S n=2n2-n,∴b n=-,∴b1=,b2=,b3=∵数列{b n}是等差数列,∴2b2=b1+b3,即2=,∴2c2+c=0,∴c=-(c=0舍去),故c=-15.D由题意,知a1+a2+a14+a19=2(a8+a10)=4a9,同理b1+b3+b17+b19=4b10,又,且S n和T n都是关于n的二次函数,∴设S n=kn×3n=3kn2,设T n=kn×(2n+1),a9=S9-S8=3k×17,b10=T10-T9=39k,。

高考数学总复习高效课时作业29 理新人教版

2013年高考数学总复习高效课时作业2-9 理新人教版一、选择题1．(2012年烟台二模)已知 x 0是函数 f (x )＝2x ＋11－x的一个零点，若 x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 解析：易知 f (x )在(1，＋∞)上递增．∵1<x 1<x 0<x 2，f (x 0)＝0，∴f (x 1)<f (x 0)<f (x 2)，即f (x 1)<0，f (x 2)>0.答案：B2．若x 0的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝的解，则x 0属于区间( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 解析：原方程等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫18x ＝x 令f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18x－x 则f (0)＝1＞0 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12－13＞0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝122－12＜0， ∴x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12. 答案：C3．(2011年陕西)方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( )A ．没有根B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根解析：求解方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 的图象如图所示．显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．答案：C4．(2011年福建)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(－2，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：Δ＝m 2－4＞0∴m ＜－2或m ＞2答案：C5．(安徽省“江南十校”2012年3月高三联考)已知函数f (x )＝cos x (x ∈(0，2π))有两个不同的零点 x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根 x 3，x 4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数 m 的值为( )A. 12B ．－12 C.32 D ．－32解析：设两个根依次为 α，β(α<β)．而函数 y ＝f (x )的零点为π2，3π2，则由图象可得：π2<α<β<3π2，α＋β＝2π＝π2＋3π2.∴可求 α＝5π6，∴m ＝cos 5π6＝－32. 答案：D二、填空题6．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N)，则n ＝________．解析：f (2)＝－1＋ln 2<0，f (3)＝2＋ln 3>0，∴n ＝2.答案：27．关于x 的实系数方程x 2－ax ＋2b ＝0的一根在区间[0，1]上，另一根在区间[1，2]上，则2a ＋3b 的最大值为______．解析：令f (x )＝x 2－ax ＋2b ，据题意知函数在[0，1]，[1，2]内各存在一零点，结合二次函数图象可知满足条件： ⎩⎪⎨⎪⎧f （0）≥0f （1）≤0f （2）≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧b ≥0，1－a ＋2b ≤0，4－2a ＋2b ≥0，在直角坐标系中作出满足不等式的点(a ，b )所在的可行域，问题转化为确定线性目标函数：z ＝2a ＋3b 的最优解，结合图形可知当a ＝3，b ＝1时，目标函数取得最大值9.答案：98．(2011年北京)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，（x －1）3，x ＜2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析：当x ＜2时，f ′(x )＝3(x －1)2≥0，说明函数在(－∞，2)上单调递增，函数的值域是(－∞，1)，又函数在[2，＋∞)上单调递减，函数的值域是(0，1]．因此要使方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则0＜k ＜1.答案：(0，1)9．(2011年山东)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________．解析：令y 1＝log a x ，y 2＝b －x ，函数f (x )的零点就是这两个函数图象交点的横坐标，由于直线y 2＝b －x 在y 轴上的截距b 满足3＜b ＜4，结合函数图象，函数f (x )只有一个零点，且n 只能是1或者2或者3.f (1)＝1－b ＜0，f (2)＝log a 2＋2－b ＜1＋2－3＜0，f (3)＝log a 3＋3－b ＞1＋3－4＞0.根据函数零点存在性定理可得，函数f (x )的零点在区间(2，3)内，故n ＝2.答案：2三、解答题10．方程x 3－3x ＝a 有三个实数根，求实数a 的取值范围．解析：设f (x )＝x 3－3x ，则f ′(x )＝3x 2－3，当x ＞1或x ＜－1时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上都递增；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，故f (x )在[－1，1]上递减，所以[f (x )]极大＝f (－1)＝2，[f (x )]极小＝f (1)＝－2，因此欲使直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个交点，只需－2＜a ＜2，即当－2＜a ＜2时，方程x 3－3x ＝a 有三个实数根．11．已知集合P ＝[12，2]，函数y ＝log 2(ax 2－2x ＋2)的定义域为Q . (1)若P ∩Q ≠∅，求实数a 的取值范围；(2)若方程log 2(ax 2－2x ＋2)＝2在[12，2]内有解，求实数a 的取值范围．解析：(1)若P ∩Q ≠∅，则在x ∈[12，2]内，至少有一个值x 使得ax 2－2x ＋2＞0成立，即在x ∈[12，2]内，至少有一个值x 使得a ＞－2x 2＋2x成立．设μ＝－2x 2＋2x ＝－2(1x －12)2＋12，当x ∈[12，2]时，μ∈[－4，12]，∴a ＞－4，所以实数a 的取值范围是{a |a ＞－4}．(2)方程log 2(ax 2－2x ＋2)＝2在[12，2]内有解，则ax 2－2x －2＝0在[12，2]内有解．即在x ∈[12，2]内有值x 使得a ＝2x 2＋2x 成立， μ′＝2x 2＋2x ＝2(1x ＋12)2－12. 当x ∈[12，2]时，μ′∈[32，12]，∴a ∈[32，12]，所以实数a 的取值范围为a ∈[32，12]． 12．设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)＞0，f (1)＞0，求证：(1)a ＞0，且－2<b a <－1；(2)方程f (x )＝0在(0，1)内有两个相异实根.证明：(1)因为f (0)＞0 ，f (1)＞0，所以c ＞0，3a ＋2b ＋c ＞0.由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c ，则a ＋b ＜0，2a ＋b ＞0，∴a ＞0，故－2＜b a＜－1. (2)抛物线f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c 的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a ，3ac －b 23a .在－2<b a <－1的两边同乘以－13，得13<－b 3a <23. 又因为f (0)＞0，f (1)＞0，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a ＝－a 2＋c 2－ac 3a ＜0，所以方程f (x )＝0在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，－b 3a 与⎝ ⎛⎭⎪⎫－b3a ，1内分别有一实根．故方程f (x )＝0，在(0，1)内有两个相异实根．。

2021高考理科数学总复习课标通用版作业：数列课时作业29

B．数列{bn}为等比数列，公比为q2mC．数列{cn}为等比数列 Nhomakorabea公比为q
D．数列{cn}为等比数列，公比为q
解析：根据题意b1＝a1＋a2＋a3＋…＋am，b2＝am＋1＋am＋2＋am＋3＋…＋am＋m，则根据等比数列特点，
＝qm.选项A，B错误．
根据选项数列{cn}为等比数列，则c1＝a1·a2·a3…am，c2＝am＋1·am＋2·am＋3…am＋m，则根据等比数列特点，＝(qm)m＝q .故选D.
答案：B
3．(20xx年福建省××市高三下学期质量检查)已知{an}是等比数列，a1＝1，a3＝2，则＝ ( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：∵{an}是等比数列，a1＝1，a3＝2，∴q2＝＝2，∴ ＝＝q4＝4，故选C.
答案：C
4．(20xx年陕西省××市汉台中学西乡中学高二上学期期末联考)已知正项等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝15，若a1＋2，a2＋5，a3＋13成等比数列，则a10等于 ( )
A．4B．3
C．2 －2D.
解析：∵a1，a3，a13成等比数列，a1＝1，∴a ＝a1a13，
∴(1＋2d)2＝1＋12d，d≠0，解得d＝2.
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
Sn＝n＋ ×2＝n2.
∴ ＝＝
＝n＋1＋－2≥2 －2＝4，
当且仅当n＋1＝时即n＝2时取等号，且取到最小值4，故选A.
A．90 B．91
C．118 D．121
解析：易得1，3，9，27，81满足题意，所以S等于1＋9＋81＝91，选B.
答案：B
10．(20xx年河南省豫南九校下学期高二第一次联考)已知{an}为等差数列，a1 010＝5，a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝5×2 019.若{bn}为等比数列，b1 010＝5，则{bn}类似的结论是 ( )

山东省济宁市高考数学专题复习第29讲等差数列练习新人教A版高三全册数学试题

第二节等差数列[考情展望] 1.运用基本量法求解等差数列的基本量问题.2.在解答题中对所求结论的运算进行等差数列的判断与证明.3.在具体情景中能识别具有等差关系的数列，并会用等差数的性质解决相应问题．一、等差数列1．定义：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)．2．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d . 3．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －1d 2＝n a 1＋a n2.4．a 、b 的等差中项A ＝a ＋b2.证明{a n }为等差数列的方法：(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列； (2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列； (4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn 或S n ＝n a 1＋a n2.二、等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)若m 、n 、p 、q 、k 是正整数，且m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k .(2)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，也是等差数列．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1) ②S 2n －1＝(2n －1)a n .③n 为偶数时，S 偶－S 奇＝n2d ；n 为奇数时，S 奇－S 偶＝a 中．1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18【解析】由题意，公差d ＝a 3－a 2＝2， ∴a 10＝a 2＋8d ＝2＋8×2＝18. 【答案】 D2．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20D ．25【解析】 ∵a 2＝1，a 4＝5，∴S 5＝5a 1＋a 52＝5a 2＋a 42＝51＋52＝15. 【答案】 B3．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22D ．24 【解析】由S 10＝S 11得10a 1＋10×92×(－2)＝11a 1＋11×102×(－2)，解得a 1＝20.【答案】 B4．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________. 【解析】设等差数列公差为d ，则由a 3＝a 22－4，得1＋2d ＝(1＋d )2－4， ∴d 2＝4，∴d ＝±2.由于该数列为递增数列，∴d ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 【答案】 2n －15．(2013·重庆高考)若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝________. 【解析】由题意得该等差数列的公式d ＝9－25－1＝74，所以c －a ＝2d ＝72.【答案】 726．(2013·广东高考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 【解析】法一 a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10,3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝2×10＝20. 法二 a 3＋a 8＝2a 3＋5d ＝10,3a 5＋a 7＝4a 3＋10d ＝2(2a 3＋5d )＝2×10＝20. 【答案】 20考向一 [086] 等差数列的判定与证明在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2，且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值； (2)设b n ＝a n ＋32n(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．【思路点拨】 (1)分别令n ＝2,3求a 2，a 3的值． (2)用定义法，证明b n ＋1－b n 为常数便可．【尝试解答】 (1)∵a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2)． ∴a 2＝2a 1＋4＋3＝－6＋4＋3＝1.a 3＝2a 2＋23＋3＝13.(2)证明：对于任意n ∈N *， ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋32n ＋1－a n ＋32n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )－3]＝12n ＋1[(2n ＋1＋3)－3]＝1，∴数列{b n }是首项为a 1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．规律方法1 用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义.对点训练 (1)已知数列{a n }中，a 1＝1，1a n ＋1＝1a n ＋13，则a 10＝________. (2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.①求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；②求数列{a n }的通项公式．【解析】 (1)由已知1a n ＋1－1a n ＝13，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公差为13的等差数列，又∵a 1＝1，∴1a n ＝1a 1＋13(n －1)＝n ＋23.∴1a 10＝10＋23＝4，∴a 10＝14. 【答案】 14(2)①证明 ∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0， ∴1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．又1S 1＝1a 1＝2，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，以2为公差的等差数列．②由①知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，有a n ＝－2S n ×S n －1＝－12n n －1，又∵a 1＝12，不适合上式，∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －1，n ≥2.考向二 [087] 等差数列的基本运算(1)(2013·课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)(2013·四川高考)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．【思路点拨】 (1)先由S m －1，S m ，S m ＋1间的关系求得a m 和a m ＋1，进而求得公差d ，然后借助S m 及a m 求得a 1及m 的值．(2)先建立首项a 1及公差d 的方程组，解出a 1，d 后求S n 便可．【尝试解答】 (1)∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0， ∴a m ＝S m －S m －1＝2.∵S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1.又S m ＝m a 1＋a m2＝m a 1＋22＝0，∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5. 【答案】 C(2)设该数列的公差为d ，前n 项和为S n .由已知可得． 2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )，所以a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n2.规律方法2 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知三求二，体现了方程思想的应用.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法.对点训练已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝1，a 3＝－3，得1＋2d ＝－3，∴d ＝－2.从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)知a n ＝3－2n ，∴S n ＝n [1＋3－2n ]2＝2n －n 2，由S k ＝－35得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5，又k ∈N *，故k ＝7.考向三 [088] 等差数列的性质及应用(1)(2012·辽宁高考)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求数列{a n }的项数及a 9＋a 10.【思路点拨】 (1)a 4＋a 8＝a 1＋a 11，直接套用S 11＝11a 1＋a 112求解．(2)利用倒序相加法求和得n ，利用等差数列的性质求a 9＋a 10. 【尝试解答】 (1)S 11＝11a 1＋a 112＝11a 4＋a 82＝88.【答案】 B(2)由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，①a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n a 1＋a n2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18. 由a 1＋a n ＝36，n ＝18.∴a 1＋a 18＝36，从而a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.规律方法3 1.在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k 是常用的性质，本例1、2都用到了这个性质.2.掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口.对点训练 (1)已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 【解析】 (1)设这个数列有2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10.(2)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20， ∴S 30－30＝10＋2×10＝30， ∴S 30＝60.【答案】 (1)A (2)60考向四 [089] 等差数列前n 项和的最值在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．【思路点拨】由a 1＝20及S 10＝S 15可求得d ，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号．【尝试解答】法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15， ∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653. 令a n ≥0得n ≤13，即当n ≤12时，a n ＞0；n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130. 法二同法一得d ＝－53.又由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.规律方法4 求等差数列前n 项和的最值常用的方法 1先求a n ，再利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0 求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值.2①利用性质求出其正负转折项，便可求得前n 项和的最值.②利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn A ，B 为常数为二次函数，根据二次函数的性质求最值.对点训练已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．【解】 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5. (2)S n ＝na 1＋n n －12d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2，所以n ＝2时，S n 取到最大值4.规范解答之八等差数列的通项与求和问题——— [1个示范例] ————[1个规范练] ————(12分)(2013·浙江高考)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.【规范解答】 (1)由题意得，a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，由a 1＝10，{a n }为公差为d 的等差数列得，d 2－3d －4＝0，2分解得d ＝－1或d ＝4.3分所以a n ＝－n ＋11(n ∈N *)或a n ＝4n ＋6(n ∈N *).5分 (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d ＜0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，6分所以当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ；8分当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.10分综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.12分【名师寄语】 1.涉及求数列{|a n |}前n 项和的题目，其解题的关键是找到数列{a n }的正负界点，因此借助绝对值的性质，去掉绝对值符号是解题的着眼点.2.要正确区分“|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |”与“a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ”的差异，明确两者间的转换关系，切忌逻辑混乱.(2012·湖北高考)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，易求a 2＝－1，则a 3＝a 2＋d ，a 1＝a 2－d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1－d ，－1＋d －1－d ·－1＝8，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3.或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5，或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7.故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列，不合题设条件．当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n . 当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5.当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n | ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋n －2[2＋3n －7]2＝32n 2－112n ＋10. 当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n >1.。

2021版高考数学(山东新高考版)一轮复习课时规范练29数列求和 Word版含解析

姓名，年级：时间：课时规范练29 数列求和基础巩固组1。

（2019广东广州调研）数列112，314,518,7116,…,(2n-1）+12n,…的前n 项和S n 的值等于( )A 。

n 2+1-12nB 。

2n 2-n+1-12nC.n 2+1-12n -1D 。

n 2-n+1-12n答案A解析该数列的通项公式为a n =（2n —1)+12n ,则S n =［1+3+5+…+(2n-1)]+12+122+…+12n=n 2+1—12n .2。

(2019广东深圳调研)已知函数f (n )={n 2,n 为奇数,-n 2,n 为偶数,且a n =f （n )+f （n+1),则a 1+a 2+a 3+…+a 100等于（ ) A.0 B.100 C.-100 D.10 200a 1+a 2+a 3+…+a 100=12—22—22+32+32—42—42+52+…+992—1002—1001012=-（1+2)+（3+2）-（4+3)+…-（99+100）+(101+100）=—(1+2+…+99+100)+（2+3+…+100+101）=—50×101+50×103=100.故选B .3.(2019河南开封调研)已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1·a n =2n (n ∈N *），则S 2 018等于( ）A 。

22 018—1 B.3×21 009—3C.3×21 009—1 D 。

3×21 008-21=1，a 2=2a 1=2，又a n+2·a n+1a n+1·a n=2n+12n =2，∴a n+2a n=2. ∴a 1,a 3，a 5,…成等比数列；a 2,a 4,a 6，…成等比数列,∴S 2 018=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+…+a 2 017+a 2 018=(a 1+a 3+a 5+…+a 2 017)+（a 2+a 4+a 6+…+a 2018）=1-21 0091-2+2(1-21 009)1-2=3·21 009-3.故选B .4。

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[基础达标]一、选择题1．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)解析：选B.由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4) ＝(0,6，－20)．2．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，AB 的中点为M ，则|CM |等于( )A.534B.532C.532D.132 解析：选C.设M (x ，y ，z )，则x ＝3＋12＝2，y ＝3＋02＝32，z ＝1＋52＝3，即M ⎝⎛⎭⎫2，32，3， |CM |＝ (2－0)2＋⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－0)2＝532. 3．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝1解析：选C.如图，AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)，所以x ＝12，y ＝12.4．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4B.407，－157，4C.407，－2,4 D ．4，407，－15 解析：选B.∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4.又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC →＝(3,1,4)，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧x ＝407，y ＝－157.5．(2014·山东青岛调研)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216B.66C.156D.153解析：选A.如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.由条件知MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝－13(a ＋b ＋c )＋a ＋12c ＝23a －13b ＋16c ，∴MN →2＝49a 2＋19b 2＋136c 2＝2136，∴|MN →|＝216.二、填空题6．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，点Q 在平面yOz 上，则垂足Q 的坐标为________．解析：由题意知点Q 即为点P 在平面yOz 内的射影，所以垂足Q 的坐标为(0，2，3)．答案：(0，2，3) 7．(2014·江苏徐州模拟)给出下列命题：①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；②若a 与b 共面，则a 与b 所在的直线在同一平面内；③若OP →＝12OA →＋13OB →，则P ，A ，B 三点共线．其中不正确命题的序号是__________．解析：只有当向量a ，b 共线反向且|a |＞|b |时成立，故①不正确；当a 与b 共面时，向量a 与b 所在的直线平行、相交或异面，故②不正确；由12＋13≠1知，三点不共线，故③不正确．综上可得①②③均不正确．答案：①②③ 8．(2014·浙江杭州模拟)在空间直角坐标系中，以点A (4,1,9)，B (10，－1,6)，C (x,4,3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为__________．解析：由题意知AB →＝(6，－2，－3)，AC →＝(x －4,3，－6)．又AB →·AC →＝0，|AB →|＝|AC →|，可得x ＝2. 答案：2 三、解答题9．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →，(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．解：∵A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，a ＝AB →，b ＝AC →，∴a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)．(1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 和b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)∵k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8 ＝2k 2＋k －10＝0.则k ＝－52或k ＝2.10．如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算： (1)EF →·BA →； (2)EG 的长；(3)异面直线EG 与AC 所成角的大小．解：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c . (1)EF →·BA →＝(12c －12a )·(－a )＝－12a ·c ＋12a 2＝－14＋12＝14.(2)EG →＝EB →＋BC →＋CG → ＝12AB →＋(AC →－AB →)＋12(AD →－AC →) ＝－12AB →＋12AC →＋12AD →＝－12a ＋12b ＋12c ，∴EG→2＝14(－a ＋b ＋c )2＝14(a 2＋b 2＋c 2－2a·b －2a·c ＋2b·c )＝12， ∴|EG →|＝22，即EG 的长为22.(3)由(2)知，EG →·AC →＝(－12a ＋12b ＋12c )·b＝－12a·b ＋12b 2＋12c·b ＝12，∴cos 〈EG →，AC →〉＝EG →·AC →|EG →|·|AC →|＝1222×1＝22.故异面直线EG 与AC 所成的角为45°.[能力提升]一、选择题1．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四个点，且满足AB →·AC →＝0，AD →·AC →＝0，AD →·AB →＝0，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．无法确定解析：选C.BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →) ＝AC →·AD →－AC →·AB →－AB →·AD →＋AB →2＝AB →2＞0.同理DB →·DC →＞0，CB →·CD →＞0.故△BCD 为锐角三角形．2. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ的值有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则P (x ，y,2)，O (1,1,0)， ∴OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12，y ＋12，1.又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)，而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3，∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1.∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ. 二、填空题3．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是________． ①OM →＝2OA →－OB →－OC →；②OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →；③MA →＋MB →＋MC →＝0；④OM →＋OA→＋OB →＋OC →＝0.解析：∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴MA →＝－MB →－MC →，则MA →、MB →、MC →为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面．答案：③4. 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱BC ，DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则|CE |与|DF |的和的值为________．解析：以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设|CE |＝x ，|DF |＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)．又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，故若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1. 答案：1 三、解答题5. 如图，在棱长为a 的正方体OABC -O 1A 1B 1C 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤a ，以O 为原点建立空间直角坐标系O -xyz .(1)写出点E ，F 的坐标； (2)求证：A 1F ⊥C 1E ；(3)若A 1，E ，F ，C 1四点共面，求证：A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.解：(1)E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)．(2)证明：∵A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )， ∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )，C 1E →＝(a ，x －a ，－a )， ∴A 1F →·C 1E →＝－ax ＋a (x －a )＋a 2＝0，∴A 1F →⊥C 1E →，∴A 1F ⊥C 1E .(3)证明：∵A 1，E ，F ，C 1四点共面， ∴A 1E →，A 1C 1→，A 1F →共面．选A 1E →与A 1C 1→为一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使A 1F →＝λ1A 1C 1→＋λ2A 1E →，即(－x ，a ，－a )＝λ1(－a ，a,0)＋λ2(0，x ，－a ) ＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－aλ1a ＝aλ1＋xλ2－a ＝－aλ2，解得λ1＝12，λ2＝1.于是A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.6. (选做题)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PD⊥平面ABCD ，AD ＝1，AB ＝3，BC ＝4.(1)求证：BD ⊥PC ；(2)设点E 在棱PC 上，PE →＝λPC →，若DE ∥平面P AB ，求λ的值．解：(1)证明：如图，在平面ABCD 内过点D 作直线DF ∥AB ，交BC 于点F ，以D 为坐标原点，DA 、DF 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D -xyz ，则A (1,0,0)，B (1，3，0)，D (0,0,0)，C (－3，3，0)．设PD ＝a ，则P (0,0，a )，BD →＝(－1，－3，0)， PC →＝(－3，3，－a )． ∵BD →·PC →＝3－3＝0，∴BD ⊥PC .(2)由题意知，AB →＝(0，3，0)，DP →＝(0,0，a )，P A →＝(1,0，－a )，PC →＝(－3，3，－a )， ∵PE →＝λPC →，∴PE →＝(－3λ，3λ，－aλ)， DE →＝DP →＋PE →＝(0,0，a )＋(－3λ，3λ，－aλ)＝(－3λ，3λ，a －aλ)．设n ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，P A →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y ＝0，x －az ＝0.令z ＝1，得x ＝a ，∴n ＝(a,0,1)．∵DE ∥平面P AB ，∴DE →·n ＝0，∴－3aλ＋a －aλ＝0，即a (1－4λ)＝0，∵a ≠0，∴λ＝14.。