上海市高考数学模拟试卷(2)(含解析)
上海市浦东新区2021届新高考数学考前模拟卷(2)含解析
上海市浦东新区2021届新高考数学考前模拟卷（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25B ．2C ．72D ．3【答案】B 【解析】 【分析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【详解】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.2FA AS =Q ，13SASF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=， 由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB p TS p∴==. 故选：B . 【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.2．已知点2F 为双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的右焦点，直线y kx =与双曲线交于A ，B 两点，若223AF B π∠=，则2AF B V 的面积为（ ） A ．22 B ．23C ．42D ．43【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形，设1122,AF r AF r ==，得222121242cos3c r r r r π=+-，求出12r r 的值，即得解.【详解】设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ， 由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形， 所以122AF F AF B S S =V V ，123F AF π∠=.设1122,AF r AF r ==，则222221212121242cos 3c r r r r r r r r π=+-=+-，又122r r a -=.故212416rr b ==， 所以12121sin 4323AF F S r r π==V . 故选：D 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．函数()cos2xf x x =的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】先根据()f x 是奇函数，排除A ，B ，再取特殊值验证求解. 【详解】因为()()cos2cos2xxf x x x f x --=-==--，所以()f x 是奇函数，故排除A ，B ， 又()1cos20f =<， 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.4．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=u u u r u u u r（ ）A ．1233BA BC +u uu r u u u rB ．5799BA BC +u uu r u u u rC ．11099BA BC +u u ur u u u r D ．2799BA BC +u uu r u u u r【答案】B 【解析】 【分析】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，将13BQ BA AQ BA AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,AC BC BA=-u u u r u u u r u u u r代入化简即可. 【详解】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2()3BA BC BA AQ =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r1233BA BC =+-⨯u u ur u u u r 13AC u u u r 1257()3999BA BC BC BA BA BC =+--=+u uu r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.5．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）A B ．1C ．2D ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，可得z ，然后利用复数模的概念，可得结果. 【详解】由题可知：()()()22212221111i i i i i z i i i i --===++-- 由21i =-，所以1z i =+所以z ==故选：A 【点睛】本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题. 6．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-；（4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R⌝∀∈都有210x ->，是错误的； （2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．7．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A ．227B ．15750C ．289D ．337115【答案】C 【解析】 【分析】将圆锥的体积用两种方式表达，即213V r h π==23(2)112r h π，解出π即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，则213V r h π=，又2233(2)112112V L h r h π≈=， 故23(2)112r h π213r h π≈，所以，11228369π≈=. 故选：C. 【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力. 8．设f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->>B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->> C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>【答案】D 【解析】 【分析】利用()f x 是偶函数化简()3log 0.3f ，结合()f x 在区间()0,∞+上的单调性，比较出三者的大小关系. 【详解】()f x Q 是偶函数，()3331010log 0.3(log )(log )33f f f ∴=-=， 而0.30.4310log 12203-->>>>，因为()f x 在(0,)+∞上递减， 0.30.4310(log )(2)(2)3f f f --∴<<，即0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f --<<．故选:D 【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.9．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π-【答案】C 【解析】 【分析】根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积. 【详解】由几何体的三视图可得，几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2高为2的棱柱，故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积，即21V 122222ππ=••-•••=-，故选C. 【点睛】本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据几何体的结构求出其体积.10．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（ ） A ．12B ．35C ．25D ．310【答案】D 【解析】 【分析】根据分步计数原理，由古典概型概率公式可得第一次检测出B 类产品的概率，不放回情况下第二次检测出A 类产品的概率，即可得解.【详解】A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，则第一次检测出B 类产品的概率为35； 不放回情况下，剩余4件产品，则第二次检测出A 类产品的概率为2142=； 故第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为3135210⨯=；故选：D. 【点睛】本题考查了分步乘法计数原理的应用，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题. 11．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 考点：程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案． 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S i 是否继续循环 循环前 1 1/ 第一圈3 2 是 第二圈7 3 是 第三圈15 4 是 第四圈31 5 否 故最后当i ＜5时退出， 故选B ． 12．设1,0(){2,0xx x f x x ≥=<，则((2))f f -=（ ）A ．1-B ．14C ．12D ．32【答案】C 【解析】试题分析：()21224f --==Q ，()()11112114422f f f ⎛⎫∴-===-= ⎪⎝⎭．故C 正确． 考点：复合函数求值．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市杨思中学2025届高考仿真模拟数学试卷含解析
上海市杨思中学2025届高考仿真模拟数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 2．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ） A ．0.2 B ．0.5 C ．0.4 D ．0.83．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙4．设复数z 满足|3|2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)M a b ，则M 不可能为（ ）A ．3)B ．(3,2)C ．(5,0)D ．(4,1)5．某程序框图如图所示，若输出的120S =，则判断框内为（ ）A ．7?k >B ．6?k >C ．5?k >D ．4?k >6．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．154C ．265D ．157．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-8．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 和2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为（ ）A ．20x ±=B 20x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=9．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ）A ．35B ．36C ．45D ．54 10．抛物线()220y px p =>的准线与x 轴的交点为点C ，过点C 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，使得A 是BC 的中点，则直线l 的斜率为（ ）A ．13±B ．223±C ．±1D ． 3±11．已知(,)a bi a b R +∈是11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1- B ．12- C ．12 D ．1 12．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，222AB DC AD ===，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合为点F ，则三棱锥F DCE -的外接球的体积是（ ）A ．68πB ．64π C ．32π D ．23π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市高考数学二模试卷(解析版)
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设，是两个不同的平面，直线，则“对内的任意直线，都有”是“αβm ⊂αβl m ⊥l α⊥β”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是( ) {a n }a 1>0q ∈(‒1,0)A. 数列的最大项为 B. 数列的最小项为{a n }a 1{a n }a 2C. 数列为严格递增数列D. 数列为严格递增数列{a n a n +1}{a 2n ‒1+a 2n }3. 某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水W t W =f(t)‒f(b)‒f(a)b ‒a[a,b]治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示则下.列正确的命题是( )A. 在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱 [t 1,t 2]B. 在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱 t 2C. 在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标t 3D. 甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强[0,t 1][t 1,t 2][t 2,t 3][t 1,t 2]4. 已知定义在上的函数，对于给定集合，若，，当时都有R f(x)A ∀x 1x 2∈R x 1‒x 2∈A f(x 1)，则称是“封闭”函数已知给定两个命题：‒f(x 2)∈A f(x)A .：若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数； P f(x){1}f(x){k}(k ∈N ∗)：若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数． Q f(x)[a,b](a,b ∈N ∗)f(x){ab}则下列判断正确的为( )A. 对，对B. 不对，对C. 对，不对D. 不对，不对P Q P Q P Q P Q 二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5. 已知集合，集合，则 ． A ={x|‒2<x <0}B ={x|0≤x ≤1}A ∪B =6. 在复平面内，点对应的复数，则______． A(‒2,1)z |z +1|=7. 若不等式的解集为，则实数等于______ ．|x ‒a|<2(a ∈R)(‒1,t)t 8. 在中，，，，将绕边旋转一周，所得到几何Rt △ABC ∠B =90°AB =2CB =3△ABC AB 体的体积为______ ．9. 已知随机变量服从正态分布，若，则______． X N(2,1)P(X ≤a ‒2)=P(X ≥2a +3)a =10. 若，则 ______ ．x 8=a 0+a 1(x ‒1)+⋯+a 8(x ‒1)8a 3=11. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______．f(x)=x 3y =f(x)(0,0)12. 若函数的最小值为，则常数的一个取值为______ ． f(x)=sin (x +φ)+cosx ‒2φ13. 某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程单位：万千米对应维修保养费用x()y(单位：万元的四组数据，这四组数据如表： )行驶里程万千米x/1245维修保养费用万元 y/ 0.50 0.90 2.302.70若用最小二乘法求得回归直线方程为，则估计该款汽车行驶里程为万千米时y =0.58x +a 6的维修保养费是______ ．14. 已知单位向量，若对任意实数，恒成立，则向量的夹角的最小值为a ,b x |x ⃗a ‒⃗b|≥32a ,b ______ ．15. 不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点x l N(x N ,0)(x N ≠0)C x 2‒y 2b 2=1(b >0)A，关于对称，中点的横坐标为，若，则的值为______ ．B l AB M x M x N =4x M b 16. 对于一个有穷正整数数列，设其各项为，，，，各项和为，集合Q a 1a 2…a m S(Q){(i,j)|，中元素的个数为，对所有满足的数列，则的最a i >a j 1≤i <j ≤m}T(Q)S(Q)=100Q T(Q)大值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分。
2020年上海市高考数学仿真试卷(二) (含答案解析)
2020年上海市高考数学仿真试卷（二）一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 已知向量a ⃗ =(2,1)，a ⃗ +b ⃗ =(1,k)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则实数k =( )A. 12B. −2C. −7D. 32. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么这两个几何体的体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，命题P ：A ，B 的体积不相等，命题Q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，P 是Q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 如果双曲线x 2m−y 2n=1(m >0,n >0)的渐近线方程渐近线为y =±12x ，则双曲线的离心率为( )A. 54 B. 32 C. √54D. √524. 已知点A(1,1)，B(2,1)，C(1,2)，若λ∈[−1,2]，μ∈[2,3]，则|λAB⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是( ) A. [2,10]B. [√5,√13]C. [1,5]D. [2,√13]二、填空题（本大题共12小题，共54.0分） 5. 集合{a,b}的子集个数为________个．6. 若线性方程组的增广矩阵为(12c 120c 2)的解为{x =1y =3，则c 1+c 2=______7. 若，则________．8. 若行列式∣∣∣∣x−1−2∣∣∣a 301∣∣∣∣∣∣∣的展开式的绝对值小于6的解集为(−1,2)，则实数a 等于______． 9. 已知椭圆x 2m−2+y 210−m =1的焦点在x 轴上，焦距为4，则m 等于____. 10. 已知(2+ax)(1+x)5的展开式中x 2的系数为15，则展开式中所有项的系数和为________． 11. 若圆锥的侧面积是底面积三倍，则其母线与底面角的大小为 (结果用反三角函数表示)。
2020年上海市高考数学模拟试卷和答案(2)(4月份)
2020年上海市高考数学模拟试卷（2）（4月份）一、填空题（共12小题，每小题4分，满分54分）1．（4分）若集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x||x|≤1，x∈R}，则A ∩B＝．2．（4分）若函数，，则f（x）+g（x）＝．3．（4分）若sinα＝且α是第二象限角，则＝．4．（4分）若函数f（x）＝（x≥0）的反函数是f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集为．5．（4分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是单调递减的，且f（1）＝0，则使f（x）＜0的x的取值范围是．6．（4分）已知f（x）＝2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，则实数ω的最大值为．7．（5分）设P是曲线（θ为参数）上的一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹的普通方程为．8．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D，若在其12条棱中随机地取3条，则这三条棱两两是异面直线的概率是（结果用最简分数表示）9．（5分）若函数最大值记为g（t），则函数g（t）的最小值为．10．（5分）如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B 3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记m i＝•（i＝1，2，3，…，10），则m1+m2+…+m10的值为．11．（5分）设函数f（x）＝（其中a＞0，a≠1），若不等式f（x）≤3的解集为（﹣∞，3]，则实数a的取值范围为．12．（5分）已知n∈N*，从集合{1，2，3，…，n}中选出k（k∈N，k ≥2）个数j1，j2，…，j k，使之同时满足下面两个条件：①1≤j1＜j2＜…j k≤n；②j i+1﹣j i≥m（i＝1，2，…，k﹣1），则称数组（j1，j2，…j k）为从n个元素中选出k个元素且限距为m的组合，其组合数记为．例如根据集合{1，2，3}可得．给定集合{1，2，3，4，5，6，7}，可得＝．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．3π+4D．2π+4 14．（5分）过抛物线y2＝8x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（）A．有且只有一条B．有两条C．有无穷多条D．必不存在15．（5分）若z∈C，则“|Rez|≤1，|Imz|≤1”是“|z|≤1”成立的条件．（）A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要16．（5分）对于正实数α，记Mα是满足下列条件的函数f（x）构成的集合：对于任意的实数x1，x2∈R且x1＜x2，都有﹣α（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜α（x2﹣x1）成立．下列结论中正确的是（）A．若f（x）∈M α1，g（x）∈Mα2，则f（x）•g（x）∈B．若f（x）∈M α1，g（x）∈Mα2且g（x）≠0，则∈C．若f（x）∈M α1，g（x）∈Mα2，则f（x）+g（x）∈D．若f（x）∈M α1，g（x）∈Mα2且α1＞α2，则f（x）﹣g（x）∈三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）在锐角△ABC中，sinA＝sin2B+sin（+B）sin（﹣B）．（1）求角A的值；（2）若＝12，求△ABC的面积．18．（14分）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm．（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？19．（14分）某企业参加A项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润10（a﹣）万元（a＞0），A项目余下的工人每年创造利润需要提高0.2x%．（1）若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a的取值范围．20．（16分）教材曾有介绍：圆x2+y2＝r2上的点（x0，y0）处的切线方程为，我们将其结论推广：椭圆＝1（a＞b＞0）上的点（x0，y0）处的切线方程为，在解本题时可以直接应用，已知：直线x﹣y+＝0与椭圆E：＝1（a＞1）有且只有一个公共点；（1）求a的值；（2）设O为坐标原点，过椭圆E上的两点A、B分别作该椭圆的两条切线l1、l2，且l1与l2交于点M（2，m），当m变化时，求△OAB面积的最大值；（3）在（2）的条件下，经过点M（2，m）作直线l与该椭圆E 交于C、D两点，在线段CD上存在点N，使成立，试问：点N是否在直线AB上，请说明理由．21．（18分）已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，S n＝a n•a n+1（n∈N*）（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）设数列{b n}满足：b n＝，且（b k b k+1+b k+1b k+2+…+b n b n+1）＝，求正整数k的值；（3）若m、k均为正整数，且m≥2，k＜m．在数列{c k}中，c1＝1，＝，求c1+c2+…+c m．2020年上海市高考数学模拟试卷（2）（4月份）答案与解析一、填空题（共12小题，每小题4分，满分54分）1．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y＝，得到x﹣1≥0，解得：x≥1，即A＝{x|x≥1}，由B中不等式变形得：﹣1≤x≤1，即B＝{x|﹣1≤x≤1}，则A∩B＝{1}，故答案为：{1}．2．【分析】容易求出f（x），g（x）的定义域，求交集便可得出f（x）+g（x）的定义域，并可求得f（x）+g（x）＝．【解答】解：；解得，0≤x≤1；∴（0≤x≤1）．故答案为：．3．【分析】由θ是第二象限角，及sinθ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosθ的值，进而确定出tanθ的值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出tan的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把tan 的值代入计算，即可求出值．【解答】解：∵α是第二象限角，且sinα＝，∴cosα＝﹣＝﹣，tanα＝﹣，∴tanα＝＝﹣，即3tan2﹣8tan﹣3＝0，解得：tan＝﹣（不合题意，舍去．因为α是第二象限角，是第一象限或第三象限角，tan＞0）或tan＝3，则tan（）＝＝＝．则＝2．故答案为：2．4．【分析】由y＝f（x）＝（x≥0），求出f﹣1（x）＝x3，x≥0，由此能求出不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集．【解答】解：设y＝f（x）＝（x≥0），则x＝y3，x，y互换，得f﹣1（x）＝x3，x≥0，∵f﹣1（x）＞f（x），∴，∴x9＞x，∴x8＞1，解得x＞1．∴不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集为{x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．5．【分析】根据f（x）在（﹣∞，0]上是单调递减的，f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，得当x＜0时，f（x）＜0的x的取值范围是（﹣1，0），再根据函数为偶函数在（0，+∞）上为增函数，得到当f（x）＜0＝f（1）时，0＜x＜1，最后结合f（0）＝﹣f（0）＝0，得到x的取值范围．【解答】解：首先，当x＜0时，根据f（x）在（﹣∞，0]上是单调递减的所以f（x）＜0＝f（﹣1），可得﹣1＜x＜0又∵偶函数图象关于y轴对称∴在（﹣∞，0]上是单调递减的偶函数f（x）在（0，+∞）上为增函数因为f（1）＝0，所以当f（x）＜0时，0＜x＜1而f（0）＝﹣f（0）＝0所以使f（x）＜0的x的取值范围是（﹣1，1）故答案为：（﹣1，1）6．【分析】由条件利用正弦函数的单调性可得ω•≤，由此求得实数ω的最大值．【解答】解：∵f（x）＝2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，∴ω•≤，求得ω≤，则实数ω的最大值为，故答案为：．7．【分析】由sec2θ﹣tan2θ＝1，可得曲线的方程为2x2﹣y2＝1，设P （x0，y0），M（x，y），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程．【解答】解：曲线（θ为参数），即有，由sec2θ﹣tan2θ＝1，可得曲线的方程为2x2﹣y2＝1，设P（x0，y0），M（x，y），可得，代入曲线方程，可得2x02﹣y02＝1，即为2（2x）2﹣（2y）2＝1，即为8x2﹣4y2＝1．故答案为：8x2﹣4y2＝1．8．【分析】正方体ABCD﹣A1B1C1D，在其12条棱中随机地取3条，先求出基本事件总数，再求出这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，由此能求出这三条棱两两是异面直线的概率．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D，在其12条棱中随机地取3条，基本事件总数n＝＝220，这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数m＝8，∴这三条棱两两是异面直线的概率是p＝＝＝．故答案为：．9．【分析】化简sinx+＝sinx+3+﹣3，从而可得0≤sinx+3+﹣3≤，区间[0，]的中点值为，故讨论t与的大小，从而求得g（t）＝f max（x）＝，从而求值．【解答】解：∵sinx+＝sinx+3+﹣3，∵﹣1≤sinx≤1，∴2≤sinx+3≤4，∴3≤sinx+3+≤，∴0≤sinx+3+﹣3≤，∴g（t）＝f max（x）＝，∴当t＝时，函数g（t）有最小值为；故答案为；．10．【分析】以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建立直角坐标系，可得B 2（3，），B3（5，），C3（6，0），求出直线B3C3的方程，可设P i（x i，y i），可得x i+y i＝6，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．【解答】解：以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建立直角坐标系，可得B 2（3，），B3（5，），C3（6，0），直线B 3C3的方程为y＝﹣（x﹣6），可设P i（x i，y i），可得x i+y i＝6，即有m i＝•＝3x i+y i＝（x i+y i）＝18，则m1+m2+…+m10＝18×10＝180．故答案为：180．11．【分析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．【解答】解：a＞0，且a≠1，设函数f（x）＝，若不等式f（x）≤3的解集是（﹣∞，3]，当x≥1时，|x2﹣2x|≤3，可得﹣3≤x2﹣2x≤3，解得1≤x≤3；当x＜1，即x∈（﹣∞，1）时，a x≤3，不等式恒成立可得1＜a≤3．综上可得1＜a≤3．∴实数a的取值范围为：（1，3]．故答案为：（1，3]．12．【分析】由题意得即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合，即可得出结论．【解答】解：由题意得即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合．于是若从{1，3，5，7}中任选3个均符合要求则有个，若选{2，4，6}也满足条件；另外还有{1，3，7}，{1，3，6}，{1，4，7}，{1，5，7}，{2，5，7}均满足条件，故＝4+1+5＝10，故答案为：10．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【分析】由三视图可知：该几何体是一个半圆柱．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个半圆柱．∴该几何体的表面积＝π×12+π×1×2+2×2＝4+3π．故选：C．14．【分析】设出AB的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个数．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（2，0），若l无斜率，则l方程为x＝2，显然不符合题意．若l有斜率，设直线l的方程为：y＝k（x﹣2），联立方程组，消元得：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，∴．故选：B．15．【分析】设z＝x+yi，由|x|≤1，|y|≤1，可得|z|，充分性不成立；反之成立．【解答】解：设z＝x+yi，由|x|≤1，|y|≤1，则|z|＝，故充分性不成立；由，则x2+y2≤1，所以|x|≤1，|y|＜1，即必要性成立．故选：B．16．【分析】由题意知，从而求得．【解答】解：对于﹣α1（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜α1（x2﹣x1），即有，令，则﹣α＜k＜α，若，即有﹣α1＜k f＜α1，﹣α2＜k g＜α2，所以﹣α1﹣α2＜k f+k g＜α1+α2，则有，故选：C．三、解答题（共5小题，满分76分）17．【分析】（1）根据两角和差的正弦公式便可以得出＝，从而可由得出，这样即可得到A＝；（2）可由及便可得出的值，这样根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，＝＝＝＝；又A为锐角；∴；（2）；∴；∴＝．18．【分析】（1）笼具的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积；（2）求出笼具的表面积即可，笼具的表面积包括圆柱的侧面，上底面和圆锥的侧面．【解答】解：（1）设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h 1，则2πr＝24π，解得r＝12cm．h1＝cm．∴笼具的体积V＝πr2h﹣＝π×（122×30﹣×122×16）＝3552π≈11158.9cm3．（2）圆柱的侧面积S1＝2πrh＝720cm2，圆柱的底面积S2＝πr2＝144πcm2，圆锥的侧面积为πrl＝240πcm2．故笼具的表面积S＝S1+S2+S3＝1104πcm2．故制造50个这样的笼具总造价为：元．答：这种笼具的体积约为11158.9cm3，生产50个笼具需要元．19．【分析】（1）根据题意，列出不等式10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，求解即可；（2）求出x的范围，得出不等式10（a﹣）x≤10（1000﹣x）（1+0.2x%），整理可得a≤++1恒成立，根据x的范围，可知在定义域内函数为减函数，当x＝400时，函数取得最小值．【解答】解：设调出x人参加B项目从事售后服务工作（1）由题意得：10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2﹣500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）由题知，0＜x≤400，从事第三产业的员工创造的年总利润为10（a﹣）x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10（1000﹣x）（1+x）万元，则10（a﹣）x≤10（1000﹣x）（1+0.2x%）所以ax﹣≤1000+2x﹣x﹣x2，所以ax≤+1000+x，即a≤++1恒成立，因为0＜x≤400，∴++1≥++1＝5.1，所以a≤5.1，又a＞0，所以0＜a≤5.1，即a的取值范围为（0，5.1]．20．【分析】（1）将直线y＝x+代入椭圆方程，得到x的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a的值；（2）设切点A（x1，y1），B（x2，y2），可得切线l1：x1x+2y1y＝2，l2：x2x+2y2y＝2，再由M代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB的方程为x+my＝1，运用点到直线的距离公式和直线与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，求得△OAB 的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）设C（x3，y3），D（x4，y4），N（x0，y0），由直线y＝k（x ﹣2）+m代入椭圆方程x2+2y2＝2，运用韦达定理，由题意可得，可得＝，求得N的坐标，代入切点弦AB 的方程，计算即可判断．【解答】解：（1）将直线y＝x+代入椭圆方程x2+a2y2＝a2，可得（1+a2）x2+2a2x+2a2＝0，由直线和椭圆相切，可得△＝12a4﹣4（1+a2）•2a2＝0，解得a＝（由a＞1）；（2）设切点A（x1，y1），B（x2，y2），可得切线l1：x1x+2y1y＝2，l2：x2x+2y2y＝2，由l1与l2交于点M（2，m），可得2x1+2my1＝2，2x2+2my2＝2，由两点确定一条直线，可得AB的方程为2x+2my＝2，即为x+my＝1，原点到直线AB的距离为d＝，由消去x，可得（2+m2）y2﹣2my﹣1＝0，y1+y2＝，y1y2＝﹣，可得|AB|＝•＝•＝，可得△OAB的面积S＝d|AB|＝•，设t＝（t≥1），S＝＝≤，当且仅当t＝1即m＝0时，S取得最大值；（3）设C（x3，y3），D（x4，y4），N（x0，y0），由直线y＝k（x﹣2）+m代入椭圆方程x2+2y2＝2，可得（1+2k2）x2+4k（m﹣2k）x+2（m﹣2k）2﹣2＝0，即有x3+x4＝﹣，x3x4＝，由线段CD上存在点N，使成立，可得＝，化为x0＝，代入韦达定理，化简可得x0＝，y0＝k（x0﹣2）+m＝k（﹣2）+m＝，由x0+my0＝+＝＝1．即有N在直线AB上．21．【分析】（1）通过S n＝a n a n+1，利用a n+1＝S n+1﹣S n整理得a n+2﹣a n＝2，进而可知数列{a n}是首项、公差均为1的等差数列；（2）通过（1）可知b n＝，进而可知b n b n+1＝•，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论；（3）通过＝及a n＝n分别计算出、、、的表达式，进而累乘化简，利用二项式定理计算即得结论．【解答】（1）证明：∵S n＝a n a n+1，∴a n+1＝S n+1﹣S n＝a n+1a n+2﹣a n a n+1，整理得：a n+2﹣a n＝2，又∵a1＝1，a2＝＝2，∴数列{a n}的通项公式a n＝n，即数列{a n}是首项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知b n＝＝2n﹣2（n+1）＝，∴b n b n+1＝•＝•，∴b k b k+1+b k+1b k+2+…+b n b n+1＝（++…+）＝••＝•（1﹣），又∵（b k b k+1+b k+1b k+2+…+b n b n+1）＝，即•＝，解得：k＝2；（3）解：∵c1＝1，＝，a n＝n，∴＝，＝（﹣1）•（m＞k，m≥2），∴c2＝＝（﹣1），c3＝•＝（﹣1）2，c4＝••＝（﹣1）3•＝（﹣1）3••，…c k＝（﹣1）k﹣1••，显然当m＝1时满足上式，即c m＝（﹣1）m﹣1••，∴c1+c2+…+c m＝[﹣+…+（﹣1）m﹣1•]＝[]＝•＝．。
2023-2024高考模拟压轴卷(二) 数学试卷(含答案解析)
2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（二）本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码､考场号､座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点()06,P y 在焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>上，若152PF =，则p =（ ）A.3B.6C.9D.122.电影《孤注一郑》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（ ）A.6人B.9人C.12人D.18人3.已知0a b c >>>，则下列说法一定正确的是（ ）A.a b c >+ B.2a bc <C.2ac b >D.2ab bc b ac+>+4.已知向量()()2,3,1,2a b =-=- ，则a b + 在a b - 方向上的投影向量为（ ）A.816,1717⎛⎫-⎪⎝⎭ B.1220,1717⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.1220,1717⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.2020,1717⎛⎫- ⎪⎝⎭5.已知某正六棱柱的体积为（）A.18+B.18+C.24+D.24+6.已知甲､乙两地之间的路线图如图所示，其可大致认为是()()cos 03πf x x x =……的图像.某日小明和小红分别从甲､乙两地同时出发沿着路线相向而行，当小明到达乙地时，小红也停止前行.若将小明行走轨迹的点记为(),a b ，小红行走轨迹的点记为(),c d ，且满足3π2ac +=，函数()2g a bd =-，则()g a 的一个单调递减区间为（）A.4π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.π5π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.4π8π,33⎛⎫⎪⎝⎭D.()2π,3π7.已知椭圆22:1(09,)9x y C m m m+=<<∈Z 的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上但不在坐标轴上，且12PF F 是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为78，则m =（ ）A.4B.5C.6D.88.已知函数()()e eln e 1xmf x m x x=++-的定义域为()0,∞+，若()f x 存在零点，则m 的取值范围为（）A.1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B.(]0,eC.10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦D.[)e,∞+二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1232i,4i z z =+=-，则（ ）A.12z z +的虚部为-1B.1243z z -是纯虚数C.12z z 在复平面内所对应的点位于第一象限D.214iz z =+10.已知()7270127(43)13(13)(13)x a a x a x a x -=+-+-++- ，则（ ）A.4945a =B.77141ii a==-∑C.136024622a a a a +++=+D.613135722a a a a +++=-11.设()M x 是定义在*N 上的奇因函数，是指x 的最大奇因数，比如：()()33,63M M ==，()81M =，则（ ）A.对()()*,212k M k M k ∈-N …B.()()2M k M k =C.()()()1263931M M M +++= D.()126363M +++= 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}2450,{}A xx x B x x m =-->=>∣∣，若0m =，则()A B ⋂=R ð__________；若A B ⋃=R ，则m 的取值范围为__________.13.某校拟开设“生活中的数学”“音乐中的数学”“逻辑推理论”“彩票中的数学”和“数学建模”5门研究性学习课程，要求每位同学选择其中2门进行研修，记事件A 为甲､乙两人至多有1门相同，且甲必须选择“音乐中的数学”，则()P A =__________.14.定义：对于函数()f x 和数列{}n x ，若()()()10n n n n x x f x f x +-+='，则称数列{}n x 具有“()f x 函数性质”.已知二次函数()f x 图像的最低点为()0,4-，且()()121f x f x x +=++，若数列{}n x 具有“()f x 函数性质”，且首项为1的数列{}n a 满足()()ln 2ln 2n n n a x x =+--，记{}n a 的前n 项和为n S ，则数列52n n S ⎧⎫⎛⎫⋅-⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）公众号《全元高考》，且()2tan tan tan b B a B A B =-+.已知函数()在 ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，其中c =（1）求C ；（2）求a 2+b 2的取值范围.16.（15分）ln x f x x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）讨论()f x 的最值；（2）若1a =，且()e x k xf x x-…，求k 的取值范围.17.（15分）在如图①所示的平面图形中，四边形ACDE 为菱形，现沿AC 进行翻折，使得AB ⊥平面ACDE ，过点E 作EF ∥AB ，且12EF AB =，连接,,FD FB BD ，所得图形如图②所示，其中G 为线段BD 的中点，连接FG .（1）求证：FG ⊥平面ABD ；（2）若2AC AD ==，直线FG 与平面BCD，求AB 的值.18.（17分）某汽车销售公司为了提升公司的业绩，现将最近300个工作日每日的汽车销售情况进行统计，如图所示.（1）求a 的值以及该公司这300个工作日每日汽车销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）以频率估计概率，若在所有工作日中随机选择4天，记汽车销售量在区间[200,250)内的天数为X ，求X 的分布列及数学期望；公众号《全元高考》公众号《全元高考》（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：抽奖区有,A B 两个盒子，其中A 盒中放有9张金卡､1张银卡，B 盒中放有2张金卡､8张银卡，顾客在不知情的情况下随机选择其中一个盒子进行抽奖，直到抽到金卡则抽奖结束（每次抽出一张卡，然后放回原来的盒中，再进行下次抽奖，中途可更换盒子），卡片结果的排列对应相应的礼品.已知顾客小明每次抽奖选择两个盒子的概率相同，求小明在首次抽奖抽出银卡的条件下，第二次从另外一个盒子中抽奖抽出金卡的概率.19.（17分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左顶点为A ，直线1:2l y x =-与C 的一条渐近线平行，且与C 交于点B ，直线AB 的斜率为13.（1）求C 的方程；（2）已知直线()2:28l y x m m =+≠与C 交于,P Q 两点，问：是否存在满足EA EP EP EQ EA EQ ⋅=⋅=⋅ 的点()00,E x y ？若存在，求2200x y -的值；若不存在，请说明理由.数学（二）一､选择题1.A 【解析】由抛物线的定义可知15622p PF =+=，解得3p =.故选A 项.2.B 【解析】设中年人抽取x 人，青少年抽取y 人，由分层随机抽样可知20080,48036480x ==36y，解得15,6x y ==，故中年人比青少年多9人.故选B 项.3.D 【解析】当3,2,1a b c ===时，a b c =+，且2ac b <，故A ，C 项错误；因为0a b >>，0a c >>，所以2a bc >，故B 项错误；()()()20ab bc b ac b c a b +-+=-->，故D 项正确.故选D项.4.C 【解析】由题意得()()1,1,3,5a b a b +=--=- ，则a b + 在a b - 方向上的投影向量为2()()1220(),1717||a b a b a b a b +⋅-⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，故选C 项.5.D 【解析】设该正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，其外接球的半径为R，易知34ππ3R =，则R ==①26h ⋅⋅=②，联立①②，因为h ∈Z ，解得1,4a h ==，所以正六棱柱的表面积212624S ah =⋅+=.故选D 项.6.A 【解析】依题意得cos ,cos cos 3πcos 22a a b a d c ⎛⎫===-=- ⎪⎝⎭，且03π,03π3π,2a a⎧⎪⎨-⎪⎩…………解得03πa ……，则()2cos 2cos2cos 2cos 1222a a a g a a =+=+-，令cos 2at =，则[]1,1t ∈-，因为2221y t t =+-在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递减，在区间1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，所以()g a 在区间4π8π0,,2π,33⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内单调递减.故选A 项.7.B 【解析】依题意得126PF PF +=，设12F F n =，不妨设点P 在第一象限，则112PF F F n ==，则26(06)PF n n =-<<，故222122(6)7cos 28n n n PF F n ∠+--==或()22221(6)7cos 268n n n PF F n n ∠+--==-，解得4n =或2411n =，又2,2n m m ⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭Z 9，所以4,5n m ==.故选B 项.8.C 【解析】由题意得0m >，令()0f x =，则()ln ln ee ln e eln x mx x m x +++=+.令()e e x g x x =+，易知()g x 单调递增，所以()()ln ln g x m g x +=，即ln ln x m x +=，即ln ln m x x =-.令()ln h x x x =-，则()1xh x x'-=，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,x ∞∈+时，()()0,h x h x '<单调递减，又()11h =-，当0x →时，()h x ∞→-，所以ln 1m -…，解得10em <….故选C 项.二､多选题9.BC 【解析】127i z z +=+的虚部为1，故A 项错误；124311i z z -=为纯虚数，故B 项正确；()()1232i 4i 145i z z =+-=+，其在复平面内所对应的点()14,5位于第一象限，故C项正确；24i 14i i iz -==--=，144z +=+，故D 项错误.故选BC 项.10.AC 【解析】依题意得()77(43)[313]x x -=+-，所以4347C 33527a =⨯=⨯=945，故A 项正确；令13x =，得03a =，令0x =，得7704i i a ==∑，所以777143i i a ==-∑，故B 项错误；令23x =，得7012345672a a a a a a a a =-+-+-+-①，又7012345674a a a a a a a a =+++++++②，由①+②可得77135024642222a a a a ++++==+，故C 项正确；同理，由②-①得136135722a a a a +++=-，故D 项错误.故选AC 项.11.ABD 【解析】由题意得()()2M k M k =，故B 项正确；()()()2,2121M k M k k M k k k =-=-……，故A 项正确；516312363632632+++++=⨯=⨯ ，所以()()123636363M M ++++== ，故D 项正确；()()()()1263[1M M M M +++=+ ()()][()()36324M M M M ++++++ ()][()6213631M M =+++++()()()1023121M M M ⎤⎡++=++⎦⎣ ()()][()()33124M M M M ++++++ ()108642030]222222M ==+++++=614136514-=-，故C 项错误.故选ABD 项.三､填空题12.()50,14x x ∞⎧⎫<--⎨⎬⎩⎭… 【解析】集合{1A xx =<-∣或54x ⎫>⎬⎭，所以R A =ð504B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭….若A B ⋃=R ，结合数轴可知1m <-，故m 的取值范围为(,1)∞--.13.925【解析】若甲､乙两人的选课都不相同则共有1243C C 4312=⨯=种；若甲､乙两人的选课有1门相同，则共有2114432C C C 24+=种.故()225512249C C 25P A +==.14.-5112【解析】由题意知()24(0)f x ax a =->，又()()()12121f x f x a x x +-=+=+，所以1a =，则()24f x x =-.由题意得()()2ln 2ln 2ln2n n n n n x a x x x +=+--=-，由()()()10n n n n x x f x f x +-+='，得()()1n n n n f x x x f x +='-，即2214422n n n n n nx x x x x x +-+=-=，又()()2211222,222n n n n nnx x x x x x +++-+=-=，所以()()21212222n n n n x x x x ++++=--，则1122ln 2ln 22n n n nx x x x ++++=--，即12n n a a +=，故{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12,21n n n n a S -==-.令n n c S =.()552122n n n ⎛⎫⎛⎫-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()111822n n nc c n -+-=-⋅-，故当8n …时，1n n c c +<，当9n …时，1n n c c +>，故()9min 5112n c c ==-.四､解答题15.解：（1）因为()()tan tan πtan A B C C +=-=-，所以2tan tan tan b B a B C=+，由正弦定理得sin 2tan sin tan tan B BA B C==+()2sin cos 2sin cos sin cos cos sin sin B C B CB C B C B C ==++2sin cos sin B C A因为sin 0,sin 0A B ≠≠，所以2cos 1C =，则1cos 2C =，又()0,πC ∈，所以π3C =.（2）由余弦定理得223a b ab =+-，因为222a b ab +…，所以22222222,22a b a b a b ab a b +++-+-=…即226a b +….当且仅当a b ==.又223a b ab +=+，且0ab >，所以223a b +>.综上，22a b +的取值范围为(]3,6.16.解：（1）由题意得()f x 的定义域为()0,∞+，()11,ax f x a x x-=-='当()0,0,a x ∞∈+…时，()0f x '<，所以()f x 在区间()0,∞+内单调递减，无最值；当0a >时，令()0f x '=，得1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '<单调递减，当1,x a ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '>单调递增.故当1x a =时，()f x 取得最小值，且最小值为11ln f a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，无最大值.综上，当0a …时，()f x 无最值；当0a >时，()f x 的最小值为1ln a +，无最大值.（2）当1a =时，由()e x k xf x x -…，得e ln x k xx x x--…，整理得2e ln x k x x x x +-…，即2ln e x x x x xk +-….令()2ln e x x x x xh x +-=，则()h x '()()()2221ln 1e ln e e x xx x x x x x x +---+-=()()ln 1e x x x x --=，由（1）知，当1a =时，()ln f x x x =-的最小值为()110f =>，即ln 0x x ->恒成立，所以当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增；当()1,x ∞∈+时，()()0,h x h x '<单调递减.故当1x =时，()h x 取得最大值()21e h =，即2e k …，故k 的取值范围为2,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.17.（1）证明：连接CE 交AD 于点O ，连接GO .在菱形ACDE 中，CE AD ⊥，因为AB ⊥平面,ACDE CE ⊂平面ACDE ，所以CE AB ⊥，又,,AB AD A AB AD ⋂=⊂平面ABD ，所以CE ⊥平面ABD .因为,G O 分别为,BD AD 的中点，所以1,2GO AB GO =∥AB ，又1,2EF AB EF =∥AB ，所以GO EF ∥，所以四边形GOEF 为平行四边形，所以FG ∥EO ，所以FG ⊥平面ABD .（2）解：在菱形ACDE 中，因为AC AD =，所以ACD 和ADE 都是正三角形，取ED 的中点H ，连接AH ，则AH AC ⊥，又AB ⊥平面ACDE ，所以,AB AC AB AH ⊥⊥，即,,AB AC AH 两两垂直.以A 为坐标原点，,,AB AC AH 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2(0)AB a a =>，则1(0,2,0),(2,0,0),(,,2C B a D F a G a ⎛- ⎝则()2,2,0,(0,1BC a CD =-=-，30,,2FG ⎛= ⎝ .设平面BCD 的法向量为(),,m x y z =，则220,0,m BC ax y m CD y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 取1z =，则m ⎫=⎪⎪⎭.记直线FG 与平面BCD 所成角为θ，则||sin |cos ,|||||FG m FG m FG m θ⋅=〈〉===解得1a =，即AB 的值为2.18.解：（1）依题意得(0.0010.0020.00320.006)50 1.a ++++⨯=解得0.004a =.所求平均数为250.1750.15125⨯+⨯+⨯0.21750.32250.22750.05150+⨯+⨯+⨯=.（2）依题意得14,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()4425605625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()314142561C 55625P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭()222414962C ,55625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()33414163C 55625P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭()41145625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭X 01234P 25662525662596625166251625故()14455E X =⨯=.（3）设“选到A 盒”为事件1A ，“选到B 盒”为事件2A ，，摸到金卡”为事件1B ，，摸到银卡”为事件2B ，因为12,B B 是对立事件，所以()119121*********P B =⨯+⨯=.()()2191.20P B P B =-=由题意得()()1212P A P A ==，所以()()()12122P A B P A B P B ==∣()()()2112111102,9920P B A P A P B ⨯==∣则()()2212819P A B P A B =-=∣∣.故所求的概率89123791091045P =⨯+⨯=.19.解：（1）易知C 的一条渐近线方程为y x =，则a b =.设(),2B t t -，又(),0,0A a a ->，直线AB 的斜率为13，所以213t t a -=+，解得62a t +=，则62,22a a B ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入222x y a -=中，解得4a =.故C 的方程为2211616x y -=.（2）因为EA EP EP EQ ⋅=⋅ ，所以()0EP EA EQ ⋅-= ，即0EP QA ⋅=，所以PE AQ ⊥，同理可得,AE PQ EQ AP ⊥⊥.设()()1122,,,P x y Q x y ，联立221,16162.x y y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩整理得2234160x mx m +++=，由题意知()22Δ1612160m m =-+>，且8m ≠，解得m <-m >8m ≠，所以21212416,33m m x x x x ++=-=.过点A 与2l 垂直的直线的方程为122y x =--，设该直线与C 的右支交于另一点H ，联立221,161612,2x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩整理得238800x x --=，解得203x =或4x =-（舍去）.所以2016,33H ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为(1122016,33PH AQ x y x ⎛⎫⋅=---⋅+ ⎪⎝⎭)22121220801644333y x x x x y ⋅=+----(122121220801642333y y x x x x x =+---+()()1212)225(1m x m x m x x -++=--+()()()22128016164802)54233333m m x x m m m m +⎛⎫++--=-⨯-+⋅-+- ⎪⎝⎭222216580168801603333333m m m m m m m -=--+++--=所以PH AQ ⊥，同理可证QH AP ⊥.又AH PQ ⊥，所以H 与E 重合.因为H 在C 上，所以220016x y -=.故存在点E 满足EA EP EP EQ EA EQ ⋅=⋅=⋅ ，且220ij x y -的值为16.。
2020年上海市高考数学模拟试卷(2)(4月份)(附答案详解)
2020年上海市高考数学模拟试卷（2）（4月份）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 3πB. 4πC. 3π+4D. 2π+42.过抛物线y2=8x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线()A. 有且只有一条B. 有两条C. 有无穷多条D. 必不存在3.若z∈C，则“|Rez|≤1，|Imz|≤1”是“|z|≤1”成立的条件．()A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要4.对于正实数α，记Mα是满足下列条件的函数f(x)构成的集合：对于任意的实数x1，x2∈R且x1<x2，都有−α(x2−x1)<f(x2)−f(x1)<α(x2−x1)成立．下列结论中正确的是()A. 若f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2，则f(x)⋅g(x)∈Mα1⋅α2B. 若f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2且g(x)≠0，则f(x)g(x)∈Mα1α2C. 若f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2，则f(x)+g(x)∈Mα1+α2D. 若f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2且α1>α2，则f(x)−g(x)∈Mα1−α2二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若集合A={x|y=√x−1,x∈R}，B={x||x|≤1,x∈R}，则A∩B=______．6.若函数f(x)=1−√x，g(x)=√1−x+√x，则f(x)+g(x)=______．7.若sinα=35且α是第二象限角，则cot(α2−π4)=______．8.若函数f(x)=√x3(x≥0)的反函数是f−1(x)，则不等式f−1(x)>f(x)的解集为______．9.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(−∞,0]上是单调递减的，且f(1)=0，则使f(x)<0的x的取值范围是______ ．10. 已知f(x)=2sinωx(ω>0)在[0,π3]单调递增，则实数ω的最大值为______． 11. 设P 是曲线{x =√22secθy =tanθ(θ为参数)上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为______．12. 如图，已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D ，若在其12条棱中随机地取3条，则这三条棱两两是异面直线的概率是______(结果用最简分数表示)13. 若函数f(x)=|sinx +23+sinx +t|(x,t ∈R)最大值记为g(t)，则函数g(t)的最小值为______．14. 如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…P 10，记m i =AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (i =1,2,3,…,10)，则m 1+m 2+⋯+m 10的值为______．15. 设函数f(x)={a x ,x <1|x 2−2x|,x ≥1(其中a >0，a ≠1)，若不等式f(x)≤3的解集为(−∞,3]，则实数a 的取值范围为______．16. 已知n ∈N ∗，从集合{1,2,3,…,n}中选出k(k ∈N,k ≥2)个数j 1，j 2，…，j k ，使之同时满足下面两个条件：①1≤j 1<j 2<⋯j k ≤n ； ②j i+1−j i ≥m(i =1,2,…,k −1)，则称数组(j 1,j 2,…j k )为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m 的组合，其组合数记为C n (k,m).例如根据集合{1,2,3}可得C 3(2,1)=3.给定集合{1,2,3,4,5,6,7}，可得C 7(3,2)=______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 在锐角△ABC 中，sinA =sin 2B +sin(π4+B)sin(π4−B)．(1)求角A 的值；(2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12，求△ABC 的面积．18.某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm．(1)求这种“笼具”的体积(结果精确到0.1cm3)；(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？19.某企业参加A项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润)万元(a>0)，A项目余下的工人每年创造利润需要提高0.2x%．10(a−3x500(1)若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B项目从事售后服务工作？(2)在(1)的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围．20. 教材曾有介绍：圆x 2+y 2=r 2上的点(x 0,y 0)处的切线方程为x 0x +y 0y =r 2，我们将其结论推广：椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的点(x 0,y 0)处的切线方程为x 0xa 2+y 0yb 2=1，在解本题时可以直接应用，已知：直线x −y +√3=0与椭圆E ：x2a2+y 2=1(a >1)有且只有一个公共点； (1)求a 的值；(2)设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线l 1、l 2，且l 1与l 2交于点M(2,m)，当m 变化时，求△OAB 面积的最大值；(3)在(2)的条件下，经过点M(2,m)作直线l 与该椭圆E 交于C 、D 两点，在线段CD 上存在点N ，使|CN||ND|=|MC||MD|成立，试问：点N 是否在直线AB 上，请说明理由．21. 已知各项不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，S n =12a n ⋅a n+1(n ∈N ∗)(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设数列{b n }满足：b n =2a n −2a n+1，且n →∞lim(b k b k+1+b k+1b k+2+⋯+b n b n+1)=1384，求正整数k 的值；(3)若m、k均为正整数，且m≥2，k<m.在数列{c k}中，c1=1，c k+1c k =k−ma k+1，求c1+c2+⋯+c m．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由三视图可知：该几何体是一个半圆柱． ∴该几何体的表面积=π×12+π×1×2+2×2=4+3π． 故选：C ．由三视图可知：该几何体是一个半圆柱．本题考查了三视图的有关计算、圆柱的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.【答案】B【解析】解：抛物线的焦点坐标为(2,0)， 若l 无斜率，则l 方程为x =2，显然不符合题意． 若l 有斜率，设直线l 的方程为：y =k(x −2)，联立方程组{y 2=8xy =k(x −2)，消元得：k 2x 2−(4k 2+8)x +4k 2=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∴x 1+x 2=4k 2+8k 2=9，∴k =±2√105． 故选B ．设出AB 的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个数． 本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，属于中档题．3.【答案】B【解析】解：设z =x +yi ，由|x|≤1，|y|≤1，则|z|=√x 2+y 2≤√2，故充分性不成立；由|z|=√x 2+y 2≤1，则x 2+y 2≤1，所以|x|≤1，|y|<1，即必要性成立． 故答案为：B ．设z =x +yi ，由|x|≤1，|y|≤1，可得|z|≤√2，充分性不成立；反之成立． 本题考查了不等式的性质、复数的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】C【解析】解：对于−α1(x 2−x 1)<f(x 2)−f(x 1)<α1(x 2−x 1)， 即有−α<f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<α，令f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1=k ，则−α<k <α，若f(x)∈M α1,g(x)∈M α2，即有−α1<k f <α1，−α2<k g <α2， 所以−α1−α2<k f +k g <α1+α2， 则有f(x)+g(x)∈M α1+α2， 故选C ． 由题意知−α<f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<α，从而求得．本题考查了函数的性质的判断与应用．5.【答案】{1}【解析】解：由A 中y =√x −1，得到x −1≥0， 解得：x ≥1，即A ={x|x ≥1}，由B 中不等式变形得：−1≤x ≤1，即B ={x|−1≤x ≤1}， 则A ∩B ={1}， 故答案为：{1}．求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，找出两集合的交集即可． 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．6.【答案】1+√1−x(0≤x ≤1)【解析】解：f(x)=1−√x,g(x)=√1−x +√x ； 解{x ≥01−x ≥0得，0≤x ≤1； ∴f(x)+g(x)=1+√1−x(0≤x ≤1)．故答案为：1+√1−x(0≤x ≤1)．容易求出f(x)，g(x)的定义域，求交集便可得出f(x)+g(x)的定义域，并可求得f(x)+g(x)=1+√1−x ．考查函数定义域的概念，清楚f(x)+g(x)的定义域为f(x)和g(x)定义域的交集．7.【答案】2【解析】解：∵α是第二象限角，且sinα=35， ∴cosα=−√1−sin 2α=−45，tanα=−34， ∴tanα=2tanα21−tan 2α2=−34，即3tan 2α2−8tan α2−3=0，解得：tan α2=−13(不合题意，舍去．因为α是第二象限角，α2是第一象限或第三象限角，tan α2>0)或tan α2=3， 则tan(α2−π4)=tan α2−tanπ41+tan α2tanπ4=3−11+3=12.则cot(α2−π4)=2． 故答案为：2．由θ是第二象限角，及sinθ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosθ的值，进而确定出tanθ的值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出tan α2的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把tan α2的值代入计算，即可求出值．此题考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．8.【答案】{x|x >1}【解析】解：设y =f(x)=√x 3(x ≥0)， 则x =y 3，x ，y 互换，得f −1(x)=x 3，x ≥0， ∵f −1(x)>f(x)，∴x 3>√x 3，∴x 9>x ，∴x 8>1，解得x >1．∴不等式f −1(x)>f(x)的解集为{x|x >1}．故答案为：{x|x >1}．由y =f(x)=√x 3(x ≥0)，求出f −1(x)=x 3，x ≥0，由此能求出不等式f −1(x)>f(x)的解集．本题考查不等式的解集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质、反函数性质的合理运用．9.【答案】(−1,1)【解析】解：首先，当x <0时，根据f(x)在(−∞,0]上是单调递减的 所以f(x)<0=f(−1)，可得−1<x <0 又∵偶函数图象关于y 轴对称∴在(−∞,0]上是单调递减的偶函数f(x)在(0,+∞)上为增函数 因为f(1)=0，所以当f(x)<0时，0<x <1 而f(0)=−f(0)=0所以使f(x)<0的x 的取值范围是(−1,1) 故答案为：(−1,1)根据f(x)在(−∞,0]上是单调递减的，f(−1)=−f(1)=0，得当x <0时，f(x)<0的x 的取值范围是(−1,0)，再根据函数为偶函数在(0,+∞)上为增函数，得到当f(x)<0=f(1)时，0<x <1，最后结合f(0)=−f(0)=0，得到x 的取值范围．本题以函数奇偶性为例，考查了用函数的性质解不等式，属于基础题．解题时应该注意函数单调性与奇偶性的内在联系，是解决本题的关键．10.【答案】32【解析】解：∵f(x)=2sinωx(ω>0)在[0,π3]单调递增，∴ω⋅π3≤π2， 求得ω≤32，则实数ω的最大值为32， 故答案为：32．由条件利用正弦函数的单调性可得ω⋅π3≤π2，由此求得实数ω的最大值． 本题主要考查正弦函数的增区间，属于基础题．11.【答案】8x 2−4y 2=1【解析】解：曲线{x =√22secθy =tanθ(θ为参数)，即有 {secθ=√2x tanθ=y， 由sec 2θ−tan 2θ=1，可得曲线的方程为2x 2−y 2=1， 设P(x 0,y 0)，M(x,y)，可得{2x =x 02y =y 0，代入曲线方程，可得2x 02−y 02=1，即为2(2x)2−(2y)2=1，即为8x 2−4y 2=1． 故答案为：8x 2−4y 2=1．由sec 2θ−tan 2θ=1，可得曲线的方程为2x 2−y 2=1，设P(x 0,y 0)，M(x,y)，运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程．本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】255【解析】解：正方体ABCD −A 1B 1C 1D ，在其12条棱中随机地取3条，基本事件总数n =C 123=220，这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数m =8， ∴这三条棱两两是异面直线的概率是p =m n=8220=255．故答案为：255．正方体ABCD −A 1B 1C 1D ，在其12条棱中随机地取3条，先求出基本事件总数，再求出这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，由此能求出这三条棱两两是异面直线的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正方体的结构特征、等可能事件概率计算公式的合理运用．13.【答案】34【解析】解：∵sinx +23+sinx =sinx +3+23+sinx −3， ∵−1≤sinx ≤1， ∴2≤sinx +3≤4， ∴3≤sinx +3+23+sinx ≤92， ∴0≤sinx +3+23+sinx −3≤32， ∴g(t)=f max (x)={t,t ≥3432−t,t <34，∴当t =34时，函数g(t)有最小值为34； 故答案为；34．化简sinx +23+sinx =sinx +3+23+sinx −3，从而可得0≤sinx +3+23+sinx −3≤32，区间[0,32]的中点值为34，故讨论t 与34的大小，从而求得g(t)=f max (x)={t,t ≥3432−t,t <34，从而求值．本题考查了对勾函数的应用及分段函数的应用，同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想．14.【答案】180【解析】解：以A 为坐标原点，AC 1所在直线为x 轴建立 直角坐标系，可得B 2(3,√3)，B 3(5,√3)，C 3(6,0)，直线B 3C 3的方程为y =−√3(x −6)， 可设P i (x i ,y i )，可得√3x i +y i =6√3， 即有m i =AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3x i +√3y i=√3(√3x i +y i )=18，则m 1+m 2+⋯+m 10=18×10=180． 故答案为：180．以A 为坐标原点，AC 1所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得B 2(3,√3)，B 3(5,√3)，C 3(6,0)，求出直线B 3C 3的方程，可设P i (x i ,y i )，可得√3x i +y i =6√3，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．15.【答案】(1,3]【解析】解：a >0，且a ≠1，设函数f(x)={a x ,x <1|x 2−2x|,x ≥1，若不等式f(x)≤3的解集是(−∞,3]，当x ≥1时，|x 2−2x|≤3，可得−3≤x 2−2x ≤3，解得1≤x ≤3； 当x <1，即x ∈(−∞,1)时，a x ≤3，不等式恒成立可得1<a ≤3． 综上可得1<a ≤3． ∴实数a 的取值范围为：(1,3]． 故答案为：(1,3]．利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．16.【答案】10【解析】 【分析】本题考查进行简单的合情推理，考查学生的计算能力，正确转化是关键．由题意得C 7(3,2)即从定集{1,2,3,4,5,6,7}中选出3个元素且限距为2的组合，即可得出结论．【解答】解：由题意得C 7(3,2)即从定集{1,2,3,4,5,6,7}中选出3个元素且限距为2的组合． 于是若从{1,3,5,7}中任选3个均符合要求则有C 43=4个，若选{2,4,6}也满足条件；另外还有{1,3,7}，{1,3,6}，{1,4,7}，{1,5,7}，{2,5,7}均满足条件，故C 7(3,2)=4+1+5=10，故答案为10．17.【答案】解：(1)在△ABC 中，sinA =sin 2B +sin(π4+B)sin(π4−B)=sin 2B +(√22cosB +√22sinB)(√22cosB −√22sinB) =sin 2B +12(cos 2B −sin 2B)=sin 2B +12(1−2sin 2B)=12，又A 为锐角， ∴A =π6；(2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos π6=12， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=8√3， ∴S △ABC =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin π6=12×8√3×12=2√3．【解析】本题考查两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数的基本关系，已知三角函数值求角，以及向量数量积的计算公式，三角形的面积公式，属于基础题．(1)根据两角和与差的正弦函数公式可得sin(π4+B)sin(π4−B)=12(1−2sin 2B)，从而可由sinA =sin 2B +sin(π4+B)sin(π4−B)得出sinA =12，这样即可得到A =π6；(2)由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12及A =π6可得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值，这样根据三角形的面积公式即可求出△ABC 的面积．18.【答案】解：(1)设圆柱的底面半径为r ，高为ℎ，圆锥的母线长为l ，高为ℎ1，则2πr =24π，解得r =12(cm)． 又ℎ1=√202−122=16(cm)．∴笼具的体积V =πr 2ℎ−13πr 2ℎ1=π×(122×30−13×122×16)=3552π≈11153.3(cm 3).(2)圆柱的侧面积S 1=2πrℎ=720πcm 2， 圆柱的底面积S 2=πr 2=144πcm 2，圆锥的侧面积为πrl=240πcm2．故笼具的表面积S=S1+S2+S3=1104πcm2．故制造50个这样的笼具总造价为：1104π×50×8104=1104π25元．答：这种笼具的体积约为11158.9cm3，生产50个笼具需要1104π25元．【解析】本题考查了圆柱，圆锥的表面积和体积计算，属于基础题．(1)笼具的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积；(2)求出笼具的表面积即可，笼具的表面积包括圆柱的侧面，上底面和圆锥的侧面．19.【答案】解：设调出x人参加B项目从事售后服务工作(1)由题意得：10(1000−x)(1+0.2x%)≥10×1000，即x2−500x≤0，又x>0，所以0<x≤500.即最多调整500名员工参与B项目的售后服务工作．(2)由题知，0<x≤400，从事B项目的售后服务工作的员工创造的年总利润为10(a−3x500)x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000−x)(1+1500x)万元，则10(a−3x500)x≤10(1000−x)(1+0.2x%)所以ax−3x2500≤1000+2x−x−1500x2，所以ax≤2x2500+1000+x，即a≤2x500+1000x+1恒成立，因为0<x≤400，∴2x500+1000x+1≥2×400500+1000400+1=5.1，所以a≤5.1，又a>0，所以0<a≤5.1，即a的取值范围为(0,5.1]．【解析】(1)根据题意，列出不等式10(1000−x)(1+0.2x%)≥10×1000，求解即可；(2)求出x的范围，得出不等式10(a−3x500)x≤10(1000−x)(1+0.2x%)，整理可得a≤2x 500+1000x+1恒成立，根据x 的范围，可知在定义域内函数为减函数，当x =400时，函数取得最小值．考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值．20.【答案】解：(1)将直线y =x +√3代入椭圆方程x 2+a 2y 2=a 2，可得(1+a 2)x 2+2√3a 2x +2a 2=0， 由直线和椭圆相切，可得 △=12a 4−4(1+a 2)⋅2a 2=0， 解得a =√2(由a >1)； (2)设切点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 可得切线l 1：x 1x +2y 1y =2， l 2：x 2x +2y 2y =2， 由l 1与l 2交于点M(2,m)，可得 2x 1+2my 1=2，2x 2+2my 2=2，由两点确定一条直线，可得AB 的方程为2x +2my =2， 即为x +my =1，原点到直线AB 的距离为d =√1+m 2， 由{x +my =1x 2+2y 2=2消去x ，可得(2+m 2)y 2−2my −1=0， y 1+y 2=2m2+m 2，y 1y 2=−12+m 2， 可得|AB|=√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2⋅√8(1+m 2)(2+m 2)2=2√2(1+m 2)2+m 2， 可得△OAB 的面积S =12d|AB|=√2⋅√1+m 22+m2， 设t =√1+m 2(t ≥1)， S =√2t1+t 2=√2t+1t≤√22，当且仅当t =1即m =0时，S 取得最大值√22；(3)设C(x 3,y 3)，D(x 4,y 4)，N(x 0,y 0)，由直线y =k(x −2)+m 代入椭圆方程x 2+2y 2=2， 可得(1+2k 2)x 2+4k(m −2k)x +2(m −2k)2−2=0， 即有x 3+x 4=−4k(m−2k)1+2k 2，x 3x 4=2(m−2k)2−21+2k 2，由线段CD 上存在点N ，使|CN||ND|=|MC||MD|成立，可得x 0−x 3x4−x 0=x 3−2x 4−2，化为x 0=2(x 3+x 4)−2x 3x 44−(x 3+x 4)，代入韦达定理，化简可得x 0=2km+1−m 21+km，y 0=k(x 0−2)+m =k(2km+1−m 21+km −2)+m =m−k 1+km，由x 0+my 0=2km+1−m 21+km+m 2−km 1+km=1+km1+km =1．即有N 在直线AB 上．【解析】(1)将直线y =x +√3代入椭圆方程，得到x 的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a 的值；(2)设切点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得切线l 1：x 1x +2y 1y =2，l 2：x 2x +2y 2y =2，再由M 代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB 的方程为x +my =1，运用点到直线的距离公式和直线与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，求得△OAB 的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；(3)设C(x 3,y 3)，D(x 4,y 4)，N(x 0,y 0)，由直线y =k(x −2)+m 代入椭圆方程x 2+2y 2=2，运用韦达定理，由题意可得|CN||ND|=|MC||MD|，可得x 0−x 3x 4−x 0=x 3−2x 4−2，求得N 的坐标，代入切点弦AB 的方程，计算即可判断． 本题考查直线和椭圆的位置关系的判断，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及切线的方程的运用，同时考查直线和椭圆相交的弦长公式和三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题．21.【答案】(1)证明：∵S n =12a n a n+1，∴a n+1=S n+1−S n =12a n+1a n+2−12a n a n+1， 整理得：a n+2−a n =2， 又∵a 1=1，a 2=2S 1a 1=2，∴数列{a n }的通项公式a n =n ，即数列{a n }是首项、公差均为1的等差数列； (2)解：由(1)可知b n =2a n −2a n+1=2n−2(n+1)=12n+2， ∴b n b n+1=12n+2⋅12n+3=125⋅14n ，∴b k b k+1+b k+1b k+2+⋯+b n b n+1=125(14k +14k+1+⋯+14n)=125⋅14k ⋅1−14n−k+11−14=13⋅123+2k (1−14n+1−k )，又∵n →∞lim(b k b k+1+b k+1b k+2+⋯+b n b n+1)=1384，即13⋅123+2k =1384，解得：k =2； (3)解：∵c 1=1，c k+1c k=k−mak+1，a n =n ，∴c k+1c k=k−mk+1，c kc k−1=(−1)⋅m−(k−1)k(m >k,m ≥2)，∴c 2=c2c 1=(−1)m−12，c 3=c 3c 2⋅c 2c 1=(−1)2(m−2)(m−1)3×2，c 4=c 4c 3⋅c 3c 2⋅c 2c 1=(−1)3⋅m(m−1)(m−2)(m−3)4×3×2×1=(−1)3⋅1m⋅C m 4，…c k =(−1)k−1⋅1m ⋅C m k，显然当m =1时满足上式，即c m =(−1)m−1⋅1m ⋅C 11，∴c 1+c 2+⋯+c m =1m[C m 1−C m 2+⋯+(−1)m−1⋅C m m ]=1m [C m 0−C m 2+C m 3−C m 4+⋯+(−1)m ⋅C m m −1−1] =1m ⋅(1−1)m −1−1=1m．【解析】(1)通过S n =12a n a n+1，利用a n+1=S n+1−S n 整理得a n+2−a n =2，进而可知数列{a n }是首项、公差均为1的等差数列；(2)通过(1)可知b n =12n+2，进而可知b n b n+1=125⋅14n ，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论； (3)通过c k+1c k=k−mak+1及a n =n 分别计算出c 2c 1、c 3c 2、c 4c 3、c nc n−1的表达式，进而累乘化简，利用二项式定理计算即得结论．本题考查数列的通项及前n 项和，考查累乘法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
2022年上海市宝山区高考数学二模试卷+答案解析(附后)
2022年上海市宝山区高考数学二模试卷1.设集合，，则______ .2.如果函数是奇函数，则______.3.若线性方程组的增广矩阵为，解为，则______ .4.方程在上的解集是__________.5.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为______.6.若一组数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差______.7.已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是______.8.已知P是双曲线上的点，过点P作双曲线两渐近线的平行线，，直线，分别交x轴于M，N两点，则______.9.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，，则______.10.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统简称系统和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，则______.11.知直线与直线互相平行且距离为等差数列的公差为d，且，，令…，则的值为______.12.已知D，E分别是边AB，AC的中点，M是线段DE上的一动点不包含D，E两点，且满足，则的最小值为______.13.若a，b，c，d都是实数，且，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件14.已知，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. 如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B. 过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直C. 平面不垂直平面，但平面内存在直线垂直于平面D. 若直线l不垂直于平面，则在平面内不存在与l垂直的直线15.关于函数和实数m，n的下列结论中正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则16.设函数，其中，若a，b，c是的三条边长，则下列结论中正确的是( )①对一切都有；②存在，使，，不能构成一个三角形的三条边长；③若为钝角三角形，则存在，使A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③17.在长方体中，，，点E是棱AB上的点，求异面直线与EC所成角的大小；求点C到平面的距离．18.某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①；②；③以上三式中p，q，A，B均为常数．为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？若，，求出所选函数的解析式注：函数的定义域是，其中表示1月份，表示2月份，⋯⋯，以此类推，为保证果农的收益，打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？19.已知函数当时，求满足的x的取值范围；若的定义域为R，又是奇函数，求的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明．20.已知是椭圆C的两个焦点坐标，是椭圆C上的一个定点，A，B是椭圆C上的两点，点M的坐标为求椭圆C的方程；当A，B两点关于x轴对称，且为等边三角形时，求AB的长；当A，B两点不关于x轴对称时，证明：不可能为等边三角形．21.已知无穷数列的前n项和为，且满足，其中A、B、C是常数．若，，，求数列的通项公式；若，，，且，求数列的前n项和；试探究A、B、C满足什么条件时，数列是公比不为的等比数列．答案和解析1.【答案】【解析】解：，，故答案为：集合B为简单的二次不等式的解集，解出后，利用数轴与A求并集即可．本题考查集合的基本运算，属基本题，注意等号．2.【答案】【解析】解：根据题意，函数，当时，，而函数为奇函数，则；故答案为：根据题意，求出时的函数值，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．3.【答案】16【解析】【分析】本题考查增广矩阵，属于基础题．根据题意，进行求解即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则，故答案为4.【答案】【解析】【分析】可化为，即，从而求解．本题考查了二倍角公式，属于基础题．【解答】解：可化为；即；，；或；故答案为：5.【答案】【解析】解：正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1如图：过S作平面ABC，为底面正三角形的高，且，棱锥的高，三棱锥的体积故答案是过S作平面ABC，根据正三棱锥的性质求的高SO，代入体积公式计算．本题考查了正三棱锥的性质及体积计算，解题的关键是利用正三棱锥的性质求高．6.【答案】【解析】解：数据2，3，7，8，a的平均数为5，，解得，故答案为：根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解．本题主要考查平均数和方差的公式，属于基础题．7.【答案】【解析】解：画可行域如图，画直线，平移直线过点时z有最大值1；平移直线过点时z有最小值；则的取值范围是，则的取值范围是，故答案为：根据步骤：①画可行域②z为目标函数纵截距③画直线，平移可得直线过A或B时z有最值即可解决．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．8.【答案】4【解析】解：双曲线两渐近线的斜率为，设点，则，的方程分别为，，所以M，N坐标为，，，又点P在双曲线上，则，所以故答案为：求出渐近线的斜率，设出P的坐标，推出MN的坐标，然后转化求解即可．考查双曲线的渐近线的性质．考查分析问题解决问题的能力．9.【答案】【解析】解：由，，，可得，即有，由可得，由于，所以A为锐角，则，故答案为：由三角形的余弦定理可得c，再由正弦定理可得，由三角形的边角关系可得本题考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10.【答案】【解析】解：由题意得，，解得，故答案为：由对立事件及独立事件性质知，即可解得．本题考查了对立事件及独立事件性质的应用，属于基础题．11.【答案】52【解析】解：由两直线平行可知，由两平行直线间的距离公式得，因为，所以，解得或，因为，所以，所以，所以，所以…故答案为：利用直线平行的性质可得，利用两平行直线间的距离公式可得，由等差数列的性质可得的通项公式，从而即可求解的值．本题主要考查等差数列的前n项和，等差数列的通项公式，平行直线的性质以及两平行直线间的距离公式，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】【解析】解：由于M是DE上的一动点不包含D，E两点，且满足，所以，且，所以，当且仅当，时取故答案为：通过向量的基本定理，推出，利用基本不等式求解表达式的最小值．考查平面向量的线性运算，基本不等式的应用，考查计算能力．13.【答案】B【解析】解：由，，相加可得：，反之不成立，比如：，，，，，则“”是“”的必要不充分条件．故选：由，，相加可得，反之不成立．即可判断出结论．本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】B【解析】解：正方体中，直线、直线都平行于平面ABCD，而直线与相交，A不正确；如图，直线l是平面的斜线，，点P是直线l上除斜足外的任意一点，过点P作于点A，则直线OA是斜线l平面内射影，直线l与直线OA确定平面，而平面，则平面平面，即过斜线l一个平面垂直于平面，因平面的一条斜线在此平面内的射影是唯一的，则直线l直线OA确定的平面唯一，所以过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直，B正确；如果平面内存在直线垂直于平面，由面面垂直的判断知，平面垂直于平面，因此，平面不垂直平面，则平面内不存在直线垂直于平面，C不正确；如图，在正方体中，平面ABCD为平面，直线为直线l，显然直线l垂直于平面，而平面内直线AB，CD都垂直于直线l，D不正确．故选：举特例说明判断A；由平面的基本事实及线面垂直的性质推理判断B；推理说明判断C；举例说明判断D 作答．本题考查空间直线与平面的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．15.【答案】C【解析】解：，，所以，函数为偶函数，任取，由于函数和函数都是增函数，则，，，所以，函数在区间上是增函数，由于该函数为偶函数，则，对于A选项，取，，，则，则，A选项错误；对于B选项，，则，，即，B选项错误；对于C选项，，则，，所以，C选项正确；对于D选项，取，，则，，即，此时，，D选项错误．故选考查函数的奇偶性，可知该函数是个偶函数，并考查函数在区间上的单调性，然后利用偶函数的性质结合该函数在上的单调性对各选项进行验证．本题考查了函数的奇偶性、单调性及转化思想，由为偶函数得到，是解答本题的关键，属于中档题．16.【答案】D【解析】解：①，b，c是的三条边长，，，，，，当时，，①正确．②令，，，则a，b，c可以构成三角形，但，，却不能构成三角形，②正确．③，，若为钝角三角形，则，，，根据根的存在性定理可知在区间上存在零点，即，使，③正确．故选：①利用指数函数的性质以构成三角形的条件进行证明．②可以举反例进行判断．③利用函数零点的存在性定理进行判断．本题考查的知识点较多，考查函数零点的存在性定理，考查指数函数的性质，以及余弦定理的应用，属中档题．17.【答案】解：在线段CD上取靠近点D的三等分点F，连结AF，，由平面几何的知识易知，故或其补角即为异面直线与EC所成角，由于，故为等边三角形，，即异面直线与EC所成角为如图所示，利用等体积法，，设点C到平面的距离为h，则，即，解得，即点C到平面的距离为【解析】首先平移直线找到异面直线所成的角，然后计算其大小即可；利用等体积法转化顶点即可求得点面距离．本题主要考查异面直线所成的角的求解，点面距离的计算，等体积法的应用，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．18.【答案】解：应选，①是单调函数且不具有先升后降再升的特点，②同样不具有先升后降再升的特点，③有多个单调递增区间和减区间；由，，所以解得：，；所以，所以，当时，需采用外销策略，则此时，即，又，由函数得在内，，得或，即或，即或，又表示1月份，故应在1月份、6月份、7月份、8月份、9月份采用外销策略．【解析】根据每个函数的特点及市场中价格的走势可知选择③；根据，，求出A，B的值，再根据解出x的值即可．本题考查了根据实际问题选择函数类型，也考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题．19.【答案】解：由题意，，化简得…分解得…分所以…分，如果是其它答案得5分已知定义域为R，所以，…分又，…分所以；…分对任意，，，可知…分因为，所以，所以，因此在R上递减．…分【解析】由题意可得从中解得，解此指数不等式即可求得x的取值范围；由，可求得a，可求得b，从而可得的解析式；利用单调性的定义，对任意，，，再作差，最后判断符号即可．本题考查指数不等式的解法，考查函数奇偶性的应用，考查函数单调性的判断与证明，属于综合题，难度大，运算量大，属于难题．20.【答案】解：依题意设椭圆的标准方程为，因为是椭圆C的两个焦点坐标，是椭圆C上的一个定点，所以，解得，所以椭圆C的方程为：；设，，因为为等边三角形，所以，又点在椭圆上，所以，消去得，，解得或，当时，；当时，证明：根据题意可知，直线AB斜率存在，设直线AB：，，，AB中点为，联立消去y得，由得到，①所以，，所以，又，如果为等边三角形，则有，所以，即，化简，②由②得，代入①得，化简得，不成立，故不能为等边三角形．【解析】依题意设椭圆的标准方程为，根据条件列出方程组，待定系数法求解即可；根据对称性设，，由等边三角形可得，结合A点在椭圆上可得，求解可得AB的长；采用反证法，即如果为等边三角形，则有，从而推出矛盾，可判断不可能为等边三角形．本题考查了椭圆的标准方程，椭圆的性质以及直线与椭圆的综合，属于难题．21.【答案】解：，，，，，当时，，解得；当时，，整理，得，，，，，，，当时，，解得，当时，整理，得，，，是首项为，公差为的等差数列，若数列是公比为q的等比数列，①当时，，由，得恒成立，与数列是等比数列矛盾；②当，时，，，由恒成立，得对于一切正整数n都成立，或或0，，事实上，当，或或0，时，，时，，得或数列是以为首项，以为公比的等比数列．【解析】利用公式，结合等比数列的性质能求出数列的通项公式．利用公式，结合题设条件进行因式分解，得到是等差数列，由此能求出数列的前n项和设数列是公比为q的等比数列，分别讨论当，，时的情况，由此入手能够求出结果．本题考查数列的通项公式和数列的前n项和的求法，探究A、B、C满足什么条件时，数列是公比不为的等比数列，对数学思维能力要求较高，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．。
2023-2024学年上海市高考数学模拟试题(二模)含解析
2023-2024学年上海市高考数学模拟试题（二模）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若():1,2x α∈，[]:0,2x β∈，则α是β的______条件．【正确答案】充分非必要【分析】判断集合()1,2和[]0,2之间的关系，即可判断出答案.【详解】由于()1,2是[]0,2的真子集，故α是β的充分非必要条件，故充分非必要2.若34(sin )(cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan θ的值为__________．【正确答案】34-【详解】分析：由纯虚数的概念得305405sin cos θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，结合221sin cos θθ+=可得解.详解：若34sin cos 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，则305405sin cos θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，又由221sin cos θθ+=，可得34sin cos 55θθ==-.所以sin 3tan cos 4θθθ==-.故答案为34-.点睛：本题主要考查了纯虚数的概念及同角三角函数的基本关系，属于基础题.3.已知幂函数f（x）的图象经过点（2，4），则f（x）为______函数．（填奇偶性）【正确答案】偶【分析】根据幂函数的概念设出()f x 的解析式()f x x α=，然后代点求出α，再用函数奇偶性定义判断奇偶性．【详解】因为函数()f x 是幂函数，所以可设()f x x α=，又f（2）=4，即2a=4，解得a=2，∴()2f x x =，∴()()22()f x x x f x -=-==，∴f（x）为偶函数．故答案为偶．本题主要考查了幂函数的基本概念，以及利用定义法判定函数的奇偶性，其中解答中熟记幂函数的基本概念，熟练应用函数奇偶性的定义判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.若双曲线经过点，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的方程是________．【正确答案】2219x y -=【分析】利用渐近线方程为13y x =±，设双曲线的方程是229x y λ-=，代入点即可求解【详解】根据渐近线方程为13y x =±，设双曲线的方程是229x y λ-=，因为双曲线过点，所以9219λ=-=，所以双曲线的方程为2219x y -=故2219x y -=5.已知命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题：①M 的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素；③M 中有P 的元素；④存在x M ∈，使得x P ∉；其中真命题的序号是________（将正确的序号都填上）.【正确答案】①④【分析】从命题的否定入手．【详解】命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，则命题：“非空集合M 的元素不都是集合P 的元素”是真命题，说明集合M 中至少有一个元素不属于集合P ，或者M 中就没有集合P 中的元素，因此②③错误，①④正确．故答案为①④．本题考查真假命题的理解，对一个假命题，可从反面入手，即它的否定为真命题入手，理解起来较方便．6.一个袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，用X 表示取出的3个球中最大编号，则()E X =______．【正确答案】4.5【分析】求出X 可能取值和概率，再根据()E X 公式进行计算即可.【详解】从中任取3个球，共有()123，，，()124，，，()125，，，()134，，，()135，，，()145，，，()234，，，()235，，，()245，，，()345，，10中情况，所以X 可能取值为345，，，()1310P X ==，()3410==P X ，()635105===P X ，所以()1339345101052E X =⨯+⨯+⨯=.故答案为.4.57.函数tan(42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅= ____.【正确答案】6【详解】试题分析：由图可知(2,0)A ，(3,1)B ，∴()(5,1)(1,1)6OA OB AB +⋅=⋅=.考点：正切型函数的图象与平面向量的数量积运算.【方法点睛】本题主要考查了正切型函数的图象与平面向量的数量积运算，属于中档题.本题解答的关键观察图象发现,A B 分别是函数tan(42y x ππ=-y 轴右侧的第一个零点和函数值为1的点，即可求得,A B 的坐标，进而求得向量(),OA OB AB +的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.8.如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的3倍，那么圆锥侧面积和球的表面积的比值为______．【正确答案】32【分析】设球的半径为r ，则圆锥的高为3r ，取圆锥的轴截面ABC ，其中A 为圆锥的顶点，设球心为O ，作出图形，分析可知ABC 为等边三角形，求出AB ，利用圆锥的侧面积公式以及球体的表面积公式可求得结果.【详解】设球的半径为r ，则圆锥的高为3r ，取圆锥的轴截面ABC ，其中A 为圆锥的顶点，设球心为O，如下图所示：设圆O 分别切AB 、AC 于点E 、D ，则D 为BC 的中点，由题意可得OD OE r ==，3AD r =，则322AO AD OD r r r OE =-=-==，又因为OE AB ⊥，所以，π6BAD ∠=，同理可得π6CAD ∠=，所以，π3BAC ∠=，又因为AB AC =，故ABC为等边三角形，故π3sin 32AD AB ===，所以，圆锥的侧面积为2ππ6πAB BD r ⨯⨯=⨯=，因此，圆锥侧面积和球的表面积的比值为226π34π2r r =.故答案为.329.已知某产品的一类部件由供应商A 和B 提供，占比分别为110和910，供应商A 提供的该部件的良品率为910，供应商B 提供的该部件的良品率为710．若发现某件部件不是良品，那么这个部件来自供应商B 的概率为______（用分数作答）【正确答案】2728【分析】利用全概率公式，条件概率公式求解即可.【详解】设“某件部件不是良品”为事件A ，“这个部件来自供应商B ”为事件B ，()11932810101010100P A =⨯+⨯= ，()93271010100P AB =⨯=，()()()2728P AB P B A P A ∴==.故272810.已知()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，函数()y f x =，x ∈R 的最小正周期为π，将()y f x =的图像向左平移π02ϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的值是______．【正确答案】π8##1π8【分析】由周期求出ω，即可求出()f x 的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根据对称性得到ϕ的值.【详解】 ()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，函数()y f x =的最小正周期为2ππT ω==，2ω∴=，π()sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将()y f x =的图像向左平移ϕ个单位长度，可得πsin 224y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，根据所得图像关于y 轴对称，可得ππ2π42k ϕ+=+，Z k ∈，解得ππ28k ϕ=+，Z k ∈，又π02ϕ<<，则令0k =，可得ϕ的值为π8．故π8．11.如图，椭圆的中心在原点，长轴1AA 在x 轴上．以A 、1A 为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、1D 、1C 四点，且112CD AA =．椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设AEECλ=，当2334λ≤≤时，双曲线的离心率的取值范围为______．e ≤≤【分析】由题意设()()1,0,,0A c A c -，则可设,,,22c c D h C h ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据向量的共线求得E 点坐标，代入双曲线的方程22221x y a b-=，结合离心率化简可得2221e e λλ+=-，求出λ的表达式，结合条件可列不等式，即可求得答案.【详解】设()()1,0,,0A c A c -，则设,,,22c c D h C h ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(其中c 为双曲线的半焦距，h 为C .D 到x 轴的距离)，AE EC λ= ，则AE EC λ∴= ，即(,)()2,E E E E x c y h x cy λ--+=，()()˙22,1211E E c c c y h x λλλλλλ-+-∴===+++，即E 点坐标为()()2,211c h λλλλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，设双曲线的方程为22221x y a b -=，将c a e =代入方程，得222221e x y c b-=①，将(,)2c C h ，E ()()2,211c h λλλλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭代入①式，整理得2˙2222222)()121,(1441e h e h b b λλλλ--=-+=+，消去22h b ，得2221e e λλ+=-，所以22213122e e e λ-==-++，由于2334λ≤≤.所以22331324e ≤-≤+，故2710,e e ≤≤≤≤e ≤≤12.将关于x 的方程()2sin 2π1x t +=（t 为实常数，01t <<）在区间[)0,∞+上的解从小到大依次记为12,,,,n x x x ，设数列{}n x 的前n 项和为n T ，若20100πT ≤，则t 的取值范围是______．【正确答案】1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【分析】先根据三角函数的周期性得出12,x x 满足的关系，然后再根据12,x x 的对称性可得结果.【详解】由()2sin 2π1x t +=得()1sin 2π2x t +=，则方程()2sin 2π1x t +=的解即为函数()sin 2πy x t =+图象与直线12y =交点的横坐标，因为函数()sin 2πy x t =+的周期为πT =，所以135,,x x x 是以x 1为首项，π为公差的等差数列，246,,,x x x 是以x 2为首项，π为公差的等差数列，所以201234201210()90π100πT x x x x x x x =+++++=++≤ ，所以12πx x +≤，令π2π=π()2x t k k ++∈Z 得πππ=242k t x +-，因为[)0,x ∈+∞，所以[)2ππ,x t t +∈+∞，由函数()sin 2πy x t =+图象的对称性知，x 1与2x 对应的点关于函数()sin 2πy x t =+图象的某条对称轴对称，因为01t <<，所以当π0π6t <≤，即106t <≤时，可知x 1与2x 对应的点关于直线ππ=42t x -对称，此时满足12πx x +≤成立；当π5ππ66t <≤，即1566t <≤时，可知x 1与2x 对应的点关于直线3ππ=42t x -对称，此时由123πππ2x x t +=-≤得12t ≥，所以1526t ≤≤；当5πππ6t <<，即516t <<时，可知x 1与2x 对应的点关于直线5ππ=42t x -对称，此时不满足12πx x +≤；综上，106t <≤或1526t ≤≤.故答案为.1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦思路点睛：涉及同一函数的不同自变量值对应函数值相等问题，可以转化为直线与函数图象交点横坐标问题，结合函数图象性质求解.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）13.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】试题分析：运用两直线平行的充要条件得出l 1与l 2平行时a 的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．解：∵当a=1时，直线l 1：x+2y ﹣1=0与直线l 2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．14.已知平面α，β，直线l ，若αβ，l αβ⋂=，则A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l 的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直【正确答案】D【详解】选D.由α⊥β，α∩β＝l ，知：垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A 不正确；垂直于直线l 的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B 不正确；垂直于平面β的平面与l 的关系有l ⊂β，l ∥β，l 与β相交，故C 不正确；由平面垂直的判定定理知：垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直，故D 正确．15.已知抛物线()220y px p =>上一点()()1,0M m m >到其焦点的距离为5，双曲线2221x y a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为（）A.13B.14C.19D.12【正确答案】A【分析】由152p+=得抛物线方程，M 在抛物线上求得M 坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线AM 平行可得答案.【详解】根据题意，抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，则点M 到抛物线的准线2px =-的距离也为5，即152p +=，解得8p =，所以抛物线的方程为216y x =，则216m =，所以4m =，即M 的坐标为14（，），又双曲线2221x y a-=的左顶点(),0A a -，一条渐近线为1y x a =，而41AM k a =+，由双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则有411a a =+，解得13a =.故选：A16.已知函数()y f x =是定义域在R 上的奇函数，且当0x >时，()()()230.02f x x x =--+，则关于()y f x =在R 上零点的说法正确的是（）A.有4个零点，其中只有一个零点在()3,2--内B.有4个零点，其中只有一个零点在()3,2--内，两个在()2,3内C.有5个零点，都不在()0,2内D.有5个零点，其中只有一个零点在()0,2内，一个在()3,+∞【正确答案】C【分析】解法一：先研究0x >时，零点的情况，根据()()23y x x =--零点的情况，以及函数图象的平移，即可得出0x >时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案；解法二：求解方程()0f x =，也可以得出0x >时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案.【详解】解法一：根据对称性可以分三种情况研究(1)0x >的情况，()f x 是把抛物线()()23y x x =--与x 轴交点为()()2,0,3,0向上平移了0.02，则与x 轴交点变至()2,3之间了，所以在()2,3之间有两个零点；(2)当0x <时，()()()230.02f x x x =-++-，根据对称性()3,2--之间也有两个零点(3)()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以有五个零点.解法二：(1)直接解方程()()230.020x x --+=的两根也可以得两根为52x =，都在()2,3之间；(2)当0x <时，()()()230.02f x x x =-++-，根据对称性()3,2--之间也有两个零点(3)()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以有五个零点.故选：C.方法点睛：先求出0x >时，零点的情况.然后根据奇函数的性质，即可得出答案.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17.2020年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利．某市积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收，某商家统计了7个月的月广告投入x （单位：万元）与月销量y （单位：万件）的数据如表所示：月广告投入x /万元1234567月销量y /万件28323545495260（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明，并求y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）的结论，预计月广告投入大于多少万元时，月销量能突破70万件．（本题结果均按四舍五入精确到小数点后两位）【正确答案】（1）0.99r =，线性相关程度相当高；75151ˆ147yx =+.（2）当月公告投入大于9.04万元时，月销售量能突破70万件.【分析】（1）利用相关系数的公式求得r 的值，得出相关性相当高，再求得ˆb和ˆa 的值，即可求得回归直线的方程；（2）结合（1）中的回归方程，根据题意列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：由表格中的数据，可得1(1234567)47x =⨯++++++=，1(28323545495270)437y =⨯++++++=，77722111()28,()820,()()150ii i i i i x x y y x x y y ===-=-=--=∑∑∑，可相关系数为7()0.99ix x y y r --==∑，所以y 与x 的线性相关程度相当高，从而用线性回归模型能够很好地拟合y 与x 的关系，又由71721()()7514(ii ii x x y y r x x ==--==-∑∑，可得75151ˆˆ434147a y bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为75151ˆ147yx =+.【小问2详解】解：要使得月销售量突破70万件，则7515170147x +>，解得2269.0425x >≈，所以当月公告投入大于9.04万元时，月销售量能突破70万件.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，90,ACB PA ∠=⊥ 平面,1,ABCD PA BC AB F ===是BC 的中点.（1）求证:DA ⊥平面PAC ；（2）试在线段PD 上确定一点G ,使//CG 平面PAF ,并求三棱锥A CDG -的体积.【正确答案】（1）证明见解析；（2）112.【分析】（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以90ACB DAC ∠=∠= ，所以DA AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，则,PA DA ⊥又AC PA A ⋂=，故DA ⊥平面PAC .（2）取PD 的中点为G ，构造平行四边形，可证得//CG 平面PAF .此时，高为PA 的一半，所以体积为1111111332212A CDG G ACD ACD V V S h --∆∴==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=.【小问1详解】因为四边形ABCD 是平行四边形，90,,ACB DAC DA AC PA ∴∠=∠=∴⊥⊥ 平面ABCD ,DA ⊂平面ABCD ，,PA DA ∴⊥又,AC PA A DA =∴⊥ 平面PAC ，【小问2详解】设PD 的中点为G ，连接,AG CG ，在平面PAD 内作GH PA ⊥于点H ,则//GH AD ，且12GH AD =,由已知可得////FC AD GH ,且12FC AD GH ==,连接FH ，则四边形FCGH 为平行四边形，//,GC FH FH ∴⊂ 平面,PAF CG ⊄平面PAF ,//CG ∴平面PAF ,G ∴为PD 的中点时,//CG 平面PAF ,设S 为AD 的中点,连接GS ,则//GS PA ,且11,22GS PA PA ==⊥ 平面ABCD ,GS ∴⊥平面ABCD ,11111··11332212A CDG G ACD ACDV V SGS --∴===⨯⨯⨯⨯=.19.甲、乙两地相距1004千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以1元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/小时）的立方成正比，比例系数为2，固定部分为a 元()0a >．（1）把全部运输成本y 元表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【正确答案】（1）(]()2100420,120a y v v v ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭（2）答案见解析【分析】（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本可变部分和固定部分组成，可求得全程运输成本以及函数的定义域；（2）对210042a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求导，分两种情况讨论单调性，从而可求得最小成本时对应的速度.【小问1详解】由题意得，每小时运输成本为()32a v +,全程行驶时间为1004v小时，所以全部运输成本(]()3210042001004(2),12a y v v v a v v ⎛⎫+⎪=∈+ ⎝=⎭；【小问2详解】由（1）知210042a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求导得3224100441004a v a y v v v -⎛⎫'=-+=⨯ ⎪⎝⎭，令30,40y v a '=-=，解得v =，120<，即304120a <<⨯时，0v <<，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝<⎭'递减；120v <≤，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝>⎭'递增，此时，当v =，y有最小值；120≥，即34120a ≥⨯时，0120v <≤，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝<⎭'递减；此时，当120v =，y 有最小值.综上，为了使全部运输成本最小，当304120a <<⨯时，汽车应以v =千米/小时行驶；当34120a ≥⨯时，汽车应以120v =千米/小时行驶.20.已知A B 、是平面内的两个定点，且8AB =，动点M 到A 点的距离是10，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，若以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系.（1）试求P 点的轨迹C 的方程;（2）直线()40R mx y m m --=∈与点P 所在曲线C 交于弦EF ，当m 变化时，试求AEF △的面积的最大值.【正确答案】（1）221259x y +=（2）15【分析】（1）根据几何关系将距离转化为10PA PB +=，结合椭圆定义即可求解；（2）先判断直线过定点且斜率不能为0，则三角形的底为定值，即求三角形的高12y y -的最大值，联立直线与椭圆方程，将斜率转化为三角形式，结合三角公式化简，用基本不等式求解即可.【小问1详解】以AB 为x 轴，AB 中垂线为y 轴，则()()4,0,4,0A B -，由题意得，108PA PB PA PM AB +=+==＞，所以P 点的轨迹是以,A B 为左右焦点，长轴长为10的椭圆，设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，所以22221028a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得534a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以P 点的轨迹C 的方程为221259x y +=【小问2详解】由40mx y m --=得()4y m x =-过定点()4,0B ，显然0m ≠，联立()224,1259y m x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得2297225810,Δ0y y m m ⎛⎫++-=>⎪⎝⎭恒成立.所以12227272925925m my y m m+=-=-++，212228181925259m y y m m =-=-++，所以12y y -===因为m 为直线斜率，所以令tan ,tan 0,m θθ=≠所以22122290tan 90tan 125tan 925tan 9sin y y θθθθθ-==⋅++2222290sin 190sin 19015.99cos 25sin sin 916sin sin 416sin sin θθθθθθθθθ=⋅=⋅=≤=+++当且仅当916sin ,sin θθ=即3sin ,4θ=时1215,4max y y -=()115815.24AEF max S =⨯⨯=△思路点睛：圆锥曲线的面积最值问题多采用直线与圆锥曲线联立方程组，运用韦达定理结合基本不等式计算的方法，本题为简化计算，还可以采用三角换元，将直线斜率与三角函数巧妙联系从而更快求解。
2024年上海市高考高三数学模拟试卷试题及答案详解
2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。
上海市2022届高考模拟卷(二)数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 已知为数列的前项和，且满足，则（ ）A．B．C．D．2. 已知某班英语兴趣小组有4名男生和3名女生，从中任选2人参加该校组织的英语演讲比赛，则恰有1名女生被选到的概率是（ ）A．B．C．D．3.若二项式展开式中第4项为常数项，则n =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．34.已知数列满足，若，则（ ）A．B．C ．1D ．25. 设集合，，则（ ）A．B．C．D．6. “”是“直线与直线垂直”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．不充分也不必要条件7.如图，在平行四边形中，为对角线的交点，点为平行四边形外一点，且，，则A．B．C．D．8.函数的图象（部分图象如图所示），则其解析式为A．B．C．D．9.已知，若正数满足，则下列不等式可能成立的是（ ）A．B．C．D．10. 已知函数，，若，，则的可能取值为（ ）A．B．C．D．上海市2022届高考模拟卷(二)数学试题(2)上海市2022届高考模拟卷(二)数学试题(2)三、填空题四、解答题11. 已知函数为定义在R 上的单调函数，且.若函数有3个零点，则a 的取值可能为（ ）A ．2B．C ．3D．12. 如图是2018年10月—2019年10月中国钢铁同比增速及日均产量统计图，则下列陈述中正确的是（）A ．2019年6月同比增速最大B ．2019年3月—5月同比增速平稳C ．2019年10月钢材总产量约10264万吨D ．2019年8月钢材总产量比2019年9月钢材总产量低13.函数的最小正周期是__.14. 直线与曲线恰有2个公共点，则实数的取值范围为________.15. 已知，，且向量与的夹角为，则__________．16. 已知椭圆C ：的右焦点为，点M 是椭圆C上异于左、右顶点，的任意一点，且直线与直线的斜率之积为.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线与直线相交于点N ，且点E 是线段的中点，，求∠EFM 的值.17. 已知数列满足：.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，若对于任意的正整数，恒成立，求及实数的取值范围.18.如图，斜四棱柱的底面为等腰梯形，且，点在底面的射影点在四边形内部，且.(1)求证：平面⊥平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.19. 已知公差非零的等差数列的前n项和为，且，，成等比数列，且，数列满足，.（1）求数列和的通项公式；（2）设数列满足，求证：.20. 已知函数．(1)当时，证明：；(2)数列的前项和为，且；（ⅰ）求；（ⅱ）求证：．21. 已知点A，B分别为椭圆的左、右顶点，过左焦点的直线l与椭圆C交于P、Q两点，当直线l与x轴垂直时，．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线，的斜率分别为，求证：为定值．。
上海市静安区、青浦区2025届高三第二次模拟考试数学试卷含解析
上海市静安区、青浦区2025届高三第二次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题： ①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为213； ③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上. 其中所有正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a 、b 、c ，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=，则（ ） A ．max372a c+-=B ．max372a c-+=C ．min372a c+-= D ．min372a c-+=4．已知函数()(),12,1x e x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根，则正数m 的取值范围为（ ）A ．()1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭B ．(]1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(]1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭5．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ） A ．±1B ．()31±-C ．()31±+D ．5±7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A ．51-B ．2C ．3D ．58．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，(5)c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>9．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A ．56B ．72C ．88D ．4010．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3578122()3()66a a a a a ++++=，则14S = A ．56 B ．66 C ．77D ．7811．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -12．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=，则AOB ∠的最小值为（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市六校2025届高考仿真模拟数学试卷含解析
上海市六校2025届高考仿真模拟数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A ．2?B ．103C ．10?D ．222．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( )A ．16163π+B ．8163π+C ．32833π+ D ．321633π+ 3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且443S a =+，则2a =( ) A ．2-B ．1-C ．1D ．24．如图在一个60︒的二面角的棱有两个点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱AB ，且2,4AB AC BD ===，则CD 的长为（ ）A ．4B ．25C ．2D ．235．已知33a b ==，且(2)(4)a b a b -⊥+，则2a b -在a 方向上的投影为（ ）A ．73B ．14C ．203D ．76．集合{2,0,1,9}的真子集的个数是（ ） A ．13B ．14C ．15D ．167．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ） A ．[1,2]-B ．[3,2]-C ．2,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[2,2]-8．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了9．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 以上说法正确的是（ ） A ．③④B ．①②C ．②④D ．①③④11．已知集合{}22|A x y x ==-，2{|}10B x x x =-+≤，则A B =( ) A ．[12]-， B ．[2]-， C ．(2]-，D ．2,2⎡-⎣12．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届上海市高三高考模拟2数学试题(解析版)
2020年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学模拟试卷（2）考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，在试卷上作答一律不得分3.答卷前，务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名､班级､准考证号. 一､填空题(本大题共有12题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分1.若集合{}|A x y x R ==∈，{}|1,B x x x R =≤∈，则A B I =________.【答案】{}1 【解析】 【分析】求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，找出两集合的交集即可．【详解】解：由A 中y =10x -…， 解得：1x …，即{|1}A x x =…， 由B 中不等式变形得：11x -剟，即{|11}B x x =-剟， 则{1}A B ⋂=， 故答案为：{1}．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.若函数()1f x =，()g x =，则()()f x g x +=__________．【答案】1+(01)x ≤≤ 【解析】 分析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得()(),f x g x 定义域，取交集得到()()f x g x +的定义域，将()(),f x g x 解析式相加可得所求结果.【详解】Q ()f x 定义域为：{}0x x ≥；()g x 定义域为：{}01x x ≤≤()()f x g x ∴+的定义域为{}01x x ≤≤()())1101f x g x x ∴+==≤≤故答案为)101x ≤≤【点睛】本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失. 3.若3sin 5α=且α是第二象限角，则cot 24απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________.【答案】2 【解析】 【分析】由α是第二象限角，及sin α的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α的值，进而确定出tan α的值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出tan 2α的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把tan2α的值代入计算，即可求出值．【详解】解：αQ 是第二象限角，且3sin 5α=，4cos 5α∴=-，3tan 4α=-，22tan32tan 412tan ααα∴==--，即23tan8tan 3022αα--=， 解得：1tan23α=-或tan 32α=， 因为α是第二象限角，2α是第一象限或第三象限角，tan 02α∴> tan32α∴=则tantan31124tan 241321tan tan 24απαπαπ--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+．则1cot 224tan 24απαπ⎛⎫-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭． 故答案为：2．【点睛】此题考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，属于中档题．4.若函数())0f x x =≥的反函数是()1f x -,则不等式()()1f x f x ->的解集为______.【答案】{}|1x x > 【解析】 【分析】由())0f x x =≥求出反函数，直接解不等式即可.【详解】设())0y f x x ==≥,则3x y =,x ,y 互换,得()13f x x -=,0x ≥,,∵()()1fx f x ->,∴3x >9x x >,∴81x >,解得1x >. ∴不等式()()1fx f x ->的解集为{}|1x x >.故答案为:{}|1x x >.【点睛】本题主要考查了反函数，不等式的解，属于容易题.5.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减，且(1)0f =，则使得()0f x <的实数x 的取值范围是________. 【答案】(1,1)- 【解析】 【分析】先由题意，得到函数()f x 在()0,∞+上单调递增，(1)(1)0f f -==；再由函数单调性，即可求出结果. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 又(1)0f =，所以(1)(1)0f f -==， 所以当0x >时，由()0f x <得：01x <<；当0x ≤时，因为函数单调递减，由()0f x <可得：10x -<≤； 综上，使得()0f x <的实数x 的取值范围是(1,1)-. 故答案为(1,1)-【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性即可，属于常考题型. 6.已知()2sin (0)f x x ωω=>在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则实数ω的最大值为______ 【答案】32【解析】 【分析】根据正弦函数的单调区间,结合函数在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,即可求得ω的最大值. 【详解】设()sin g x x =,()2sin (0)f x x ωω=> 因为(0)2sin 00f == ()f x 且0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,()sin g x x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 所以32ππω⋅≤即32ω≤所以ω的最大值为32故答案为:32【点睛】本题考查了正弦函数单调性的简单应用,由函数单调性求参数的最值,属于中档题.7.设P是曲线(2tan x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为_____． 【答案】22841x y -= 【解析】 【分析】由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1，设P （x 0，y 0），M （x ，y ），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程． 【详解】曲线（θ为参数），即有sec tan yθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1， 设P （x 0，y 0），M （x ，y ）， 可得0022x x y y =⎧⎨=⎩，代入曲线方程，可得2x 02﹣y 02＝1，即为2（2x ）2﹣（2y ）2＝1， 即为8x 2﹣4y 2＝1． 故答案为8x 2﹣4y 2＝1．【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．8.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -,若在其12条棱中随机地取3条,则这三条棱两两是异面直线的概率是______(结果用最简分数表示)【答案】255【解析】 【分析】12条棱随机取出3条，利用组合数确定基本事件总数，再求出三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，利用古典概型求解.【详解】正方体1111ABCD A B C D -,在其12条棱中随机地取3条, 基本事件总数312220n C ==,这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数8m =, ∴这三条棱两两是异面直线的概率是8222055m p n ===. 故答案为:255. 【点睛】本题主要考查了正方体的结构特点，异面直线，古典概型，属于中档题. 9.若函数()()2sin ,3sin f x x t x t R x=++∈+最大值记为()g t ,则函数()g t 的最小值为______.【答案】34【解析】 【分析】化简2sin 3sin y x x=++，利用对勾函数求值域，分类讨论t 与值域中点的大小，即可写出最大值()g t .【详解】∵22sin sin 333sin 3sin x x x x+=++-++, ∵1sin 1x -≤≤, ∴2sin 34x ≤+≤,∴293sin 33sin 2x x ≤++≤+,∴230sin 333sin 2x x ≤++-≤+, ∴()()max 3,433,24t t g t f x t t ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩,∴当3t 4=时,函数()g t 有最小值为34;故答案为34. 【点睛】本题主要考查了对勾函数的应用及分段函数的应用，同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想，属于难题．10.如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,,P P P L ，记2i i M AB AP =⋅u u u u v u u u v（1,2,,10i =L ），则1210M M M L +++=________.【答案】180 【解析】 【分析】以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得2B，3B ，3(6,0)C ，求出直线33B C 的方程，可设(i i P x ，)i yi i y += 【详解】解：以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得2B，3B ，3(6,0)C ， 直线33B C的方程为6)y x =-， 可设(i i P x ，)i yi i y +=即有23i i i i M AB AP x =⋅=u u u u r u u u r)18i i y =+=，则12101810180M M M ++⋯+=⨯=． 故答案为：180．【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.设函数2,1()(0,1),2,1xa x f x a a x x x ⎧<⎪=>≠⎨-≥⎪⎩若不等式()3f x ≤的解集为(],3,-∞则实数a 的取值范围为___________. 【答案】(]1,3 【解析】 【分析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．【详解】0a >，且1a ≠，设函数21()21x a x f x x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，若不等式()3f x …的解集是(-∞，3]，当1x …时，2|2|3x x -…，可得2323x x --剟，解得13x 剟； 当1x <，即(,1)x ∈-∞时，3x a …，不等式恒成立可得13a <…． 综上可得13a <…．∴实数a 的取值范围为：(1，3]．故答案为：(1，3]．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 12.已知*n N ∈，从集合{}1,2,3,,n L 中选出k （k ∈N ,2k ≥）个数12,,,k j j j L ，使之同时满足下面两个条件：①121k j j j n ≤<<≤L ； ②1i i j j m +-≥（1,2,,1i k =-L ），则称数组()12,,k j j j L 为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m组合，其组合数记为(),k m nC . 例如根据集合{}1,2,3可得()2,133C =.给定集合{}1,2,3,4,5,6,7，可得()3,27C =______.【答案】10 【解析】 【分析】由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合，即可得出结论．【详解】解：由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合．于是若从{1，3，5，7}中任选3个均符合要求则有344C =个，若选{2，4，6}也满足条件；另外还有{1，3，7}，{1，3，6}，{1，4，7}，{1，5，7}，{2，5，7}均满足条件，故(3,2)741510C =++=， 故答案为：10．【点睛】本题考查进行简单的合情推理，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于难题．二､选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）的A. 3πB. 4πC. 24π+D. 34π+【答案】D 【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为21π12π12+223π+42⨯+⨯⨯⨯⨯= ,选D.14.过抛物线28y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（ ） A. 有且只有一条 B. 有两条C. 有无穷多条D. 必不存在【答案】B 【解析】 【分析】设出AB 的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个数． 【详解】解：抛物线的焦点坐标为(2,0)， 若l 无斜率，则l 方程为2x =，显然不符合题意．若l 有斜率，设直线l 的方程为：(2)y k x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程组28(2)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，消元得：2222(48)40k x k x k -++=，∴2122489k x x k ++==，∴k =故选：B ．【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，属于中档题．15.若z C ∈，则“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”成立的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要【答案】B 【解析】 【分析】设z x yi =+，由||1x …，||1y …，可得||z …，充分性不成立；反之成立．【详解】解：设z x yi =+，由||1x …，||1y …，则||z =由||1z ，则221x y +…，所以||1x …，||1y …，即必要性成立． 所以“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”必要不充分条件. 故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质、复数的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.对于正实数α,记M α是满足下列条件的函数()f x 构成的集合:对于任意的实数12,x x R ∈且12x x <,都有()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-成立.下列结论中正确的是( ) A. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα⋅⋅∈ B. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈且()0g x ≠,则()()12M f x g x M αα∈ C. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα++∈D. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈()2g x M α∈且12αα>,则()()12f x g x M αα--∈ 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意知2121()()f x f x x x αα--<<-，从而求得．【详解】解：对于()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-, 即有()()()2121f x f x x x αα--<<-,令()()()2121f x f x k x x -=-, 则k αα-<<,若()1f x M α∈,()2g x M α∈, 即有11f k αα-<<,22g k αα-<<, 所以1212f g k k αααα--<+<+, 则有()()12f x g x M αα++∈, 故选：C .【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．三､解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.在锐角△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-．（1）求角A 的值；（2）若12AB AC ⋅=u u u r u u u r，求△ABC 的面积． 【答案】（1）6A π=；（2）【解析】试题分析：（1）将等式2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-左边利用两角和与差的正弦公式展开后，再利用同角三角函数之间的关系可得定值12，进而得6A π=；（2）由cos 126AB AC AB AC π⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r，可得AB AC =u u u r u u u r，进而可得△ABC 的面积.试题解析：（1）在△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-2sin (cos sin cos )2222B B B B B =++- 2221sin (cos sin )2B B B =+-221sin (12sin )2B B =+-12=又A 为锐角，∴6A π=．（2）cos 126AB AC AB AC π⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴AB AC =u u u r u u u r，∴111sin 2622ABCS AB AC π∆==⨯=u u u r u u u r 考点：1、利用两角和与差的正弦公式；2、平面向量数量积公式.18.某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24cm π，高为30cm ，圆锥的母线长为20cm .（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.13cm ）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？ 【答案】（1）11158.9；（2）110425π【解析】 【分析】（1）根据“笼具”的构造，可知其体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，即可求出； （2）求出“笼具”的表面积，即可求出50个“笼具”的总造价．【详解】设圆柱的底面半径为r ，高为h ；圆锥的母线长为l ，高为1h ， 根据题意可知：（1）224r ππ=，12r =cm ，116h ==cm ，所以“笼具”的体积2211355211158.93V r h r h πππ=-=≈cm 3．（2）圆柱的侧面积12720S rh ππ==cm 2，圆柱的底面积22144S r ππ==cm 2，圆锥侧面积3240S rl ππ==cm 2，所以“笼具”的表面积为1104π cm 2，故造50个“笼具”的总造价：4110450811041025ππ⨯⨯=元． 答：这种“笼具”的体积约为11158.9 cm 3，生产50个“笼具”的总造价为110425π元. 【点睛】本题主要考查简单组合体的体积和表面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 19.某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元（0a >），A 项目余下的工人每人每年创造利图需要提高0.2%x（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）500；（2）(0,5.1]. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出不等式10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，求解即可； （2）求出x 的范围，得出不等式310(500x a -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+，整理可得210001500x a x ≤++恒成立，根据x 的范围，可知函数在定义域内为减函数，当400x =时，函数取得最小值． 【详解】设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作 （1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤．即最多调整500名员工从事第三产业． （2）由题知，0400x <≤，从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500xa x -万元， 从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元， 则310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+， 所以23110002500500x ax x x -≤+--2x ，的所以221000500x ax x ≤++，即210001500x a x≤++恒成立， 因为0400x <≤， 所以210002400100011 5.1500500400x x ⨯++≥++=， 所以 5.1a ≤，又0a >，所以0 5.1a <≤， 即a 的取值范围为(0,5.1]．【点睛】考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值．20.教材曾有介绍：圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=．我们将其结论推广：椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用．已知，直线0x y -=与椭圆()222:11x E y a a+=>有且只有一个公共点.（1）求a 的值；（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点()2,M m ．当m 变化时，求OAB ∆面积的最大值；（3）在（2）条件下，经过点()2,M m 作直线l 与该椭圆E 交于C 、D 两点，在线段CD 上存在点N ，使CN MCND MD=成立，试问：点N 是否在直线AB 上，请说明理由.【答案】（1）a =2）2（3）见解析 【解析】 【分析】（1）将直线y ＝x x 的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a 的值；（2）设切点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得切线1l ,22x xy y 12+=,CN MC ND MD =，再将M 代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB 的方程为x+my ＝1，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得△OAB 的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠u u u v u u u v ，且CM λMD u u u u v u u u u v =-，于是CD0x λx x 1λ+=+，向量坐标化，得C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=，将()CN λND λ0,λ1=>≠u u u v u u u v 代入椭圆方程，结合()D D D x ,y 、()00N x ,y在椭圆上，整理化简得222x y 1ay x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，即N 在直线AB 上.【详解】（1）联立2211x 20(1)a a ⎛⎫+++=> ⎪⎝⎭，整理得(2214120a a ⎛⎫-⋅+⋅=⇒= ⎪⎝⎭依题意Δ0=，即()11A x ,y （2）设()22B x ,y 、11x xy y 12+=,于是直线1l 、2l 的方程分别为()M 2,m 、CN MC ND MD = 将11x my 10+-=代入1l 、2l 的方程得22x my 10+-=且x my 10+-=所以直线AB 的方程为()222210m 2y 2my 10x y 12x my +-=⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩ 联立1221y y m 2=-+ 显然Δ0>，由1y ，2y 是该方程的两个实根，有1222my y m 2+=+，ΔOAB121S y y 2=-面积()()()()222121222222m 1121S y y 4y y 142m 2m 12m 1+⎡⎤=+-==≤⎣⎦+++++ 即22C C x y 12+=当且仅当m 0=时，“=”成立，S取得最大值2（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠u u u v u u u v ，且CM λMD u u u u v u u u u v=-于是C D 0x λx x 1λ+=+，即C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=又22222222C D DD C D x x x y 1y λy 1λ222⎛⎫+=⇒+-+=- ⎪⎝⎭，C D C D C D C D x λx x λx y λy y λy 1121+λ1λ1+λ1λ+-+-⇒⋅⋅+⋅=-- 00001x 2y m 1x my 102⇒⋅⋅+=⇒+-=， ()()()()()f 2,j f 1,j f 1,j 12f 1,j 48j 4j 1,2,,n 1=++=+=+=-L ，即N 在直线AB 上.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系的判断，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及切线的方程的运用，同时考查直线和椭圆相交的三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题． 21.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，112n n n S a a +=⋅（*n N ∈） （1）求证：数列{}n a 是等差数列； （2）设数列{}n b 满足：122n n a a n b +-=，且()11211lim 384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞+++=L ，求正整数k 的值； （3）若m 、k 均为正整数，且2m ≥，k m <，在数列{}k c 中，11c =，11k k k c k mc a ++-=，求12m c c c +++L . 【答案】（1）见解析（2）2（3）1m【解析】 【分析】（1）通过112n n n S a a +=，利用11n n n a S S ++=-整理得22n n a a +-=，进而可知数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列；（2）通过（1）可知212n n b +=，进而可知151124n n nb b +=g ，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论； （3）通过11k k k c k m c a ++-=及n a n =分别计算出21c c 、32c c 、43c c 、1n n c c -的表达式，进而累乘化简，利用二项式定理计算即得结论．【详解】（1）证明：112n n n S a a +=Q ，111211122n n n n n n n a S S a a a a +++++∴=-=-，整理得：22n n a a +-=，又11a =Q ，12122S a a ==， ∴数列{}n a 的通项公式n a n =，即数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知122(1)21222n n a a n n n n b +--++===，123511112224n n n n n b b +++∴=⋅=⋅， 1121511111()2444k k k k n n k k n b b b b b b +++++∴++⋯+=++⋯+ 151111412414n k k-+-=⋅⋅-321111(1)324k n k ++-=⋅-， 又Q 11211lim()384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞++⋯+=，即3211132384k +⋅=， 解得：2k =； （3）解：11c =Q ，11k k k c k mc a ++-=，n a n =， ∴11k k c k m c k +-=+，1(1)(1)(,2)k k c m k m k m c k---=-⋅>…， 2211(1)2c m c c -∴==-， 232321(2)(1)(1)32c c m m c c c --=⋅=-⨯， 3343424321(1)(2)(3)1(1)(1)4321m c c c m m m c C c c c m---=⋅⋅=-⋅=-⋅⋅⨯⨯⨯， ⋯11(1)k kk m c C m-=-⋅⋅， 显然当1m =时满足上式 12m c c c ∴++⋯+1211(1)m m m m m C C C m-⎡⎤=-+⋯+-⋅⎣⎦ 02314(1)111m mmm m m m m C C C C C C m ⎡⎤+⋯+--=⎢⎥-+-⎣-+⎦⋅1(11)11m m --=⋅- 1m=． 【点睛】本题考查数列的通项及前n 项和，考查累乘法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
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高考数学模拟试卷（2）一、选择题：1．复平面上有圆C：|z|=2，已知（z1≠﹣1）是纯虚数，则复数z1的对应点P（）A．必在圆C上B．必在圆C内部 C．必在圆C外部 D．不能确定2．一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是（）A．B．C．D．3．已知p：方程x2+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，b是整数，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．有一个各条棱长均为α的正四棱锥，现用一张正方形的包装纸将其完全包住，不能裁剪，可以折叠，那么包装纸的最小边长为（）A．（1+）a B． a C． a D．（+）a二、填空题：5．方程表示椭圆，则a∈．6．已知（﹣）n的展开式中二项式系数之和为512，且展开式中x3的系数为9，常数a 的值为．7．下列函数中周期是2的函数是①y=2cos2πx﹣1②y=sinπx+cosπx③④y=sinπxcosπx．8．函数y=3x+1（﹣1≤x＜0）的反函数是．9．已知集合A={x|﹣2＜x＜5}，B={x|p+1＜x＜2p﹣1}，A∪B=A，则实数p的取值范围是．10．已知E、F分别是三棱锥P﹣ABC的棱AP、BC的中点，PC=10，AB=6，AB与PC所成的角为60°，则EF= ．11．设|z1|=5，|z2|=2，|z1﹣|=，求= ．12．某人有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根，求他发现用完一盒时另一盒还有r根（1≤r≤n）的概率．13．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，试用、、表示= ．14．若关于x的不等式＜x+a的解是x＞m，试求m的最小值为．15．设点P到点（﹣1，0）、（1，0）距离之差为2m，到x、y轴的距离之比为2，求m的取值范围．16．已知椭圆4x2+y2﹣8kx﹣4ky+8k2﹣4=0（k为参数），存在一条直线，使得此直线被这些椭圆截得的线段长都等于，求直线方程．三、解答题：17．斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为 b，侧棱AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°角，求此三棱柱的侧面积和体积．18．已知在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c向量，，且m⊥n．（I）求角C的大小．（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．19．已知z是复数，z+2i与均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai）2在复平面上对应点在第一象限．（Ⅰ）求z的值；（Ⅱ）求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R．（1）若函数f（x）的最小值是f（﹣1）=0，求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，f（x）＞x+k在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，试求k的取值范围；（3）若a＞0，f（x）为偶函数，实数m，n满足mn＜0，m+n＞0，定义函数F（x）=，试判断F（m）+F（n）值的正负，并说明理由．21．若数列{a n}前n项和为S n（n∈N*）（1）若首项a1=1，且对于任意的正整数n（n≥2）均有，（其中k为正实常数），试求出数列{a n}的通项公式．（2）若数列{a n}是等比数列，公比为q，首项为a1，k为给定的正实数，满足：①a1＞0，且0＜q＜1②对任意的正整数n，均有S n﹣k＞0；试求函数f（n）=的最大值（用a1和k表示）22．已知椭圆及圆的方程分别为和x2+y2=r2，若直线AB与圆相切于点A，与椭圆有唯一的公共点B，若a＞b＞0是常数，试写出AB长度随动圆半径变化的函数关系式|AB|=f （x），并求其最大值．参考答案与试题解析一、选择题：1．复平面上有圆C：|z|=2，已知（z1≠﹣1）是纯虚数，则复数z1的对应点P（）A．必在圆C上B．必在圆C内部 C．必在圆C外部 D．不能确定【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的几何意义可知圆C为以原点为圆心、2为半径的圆，设z1对应的点为（x，y），把整理出最简形式，根据复数是一个纯虚数，得到复数的实部等于0，虚部不等于0，据此可知点P轨迹．【解答】解：由|z|=2可知圆C为以原点为圆心、2为半径的圆，设z1对应的点为（x，y），则===，∵（z1≠﹣1）是纯虚数，∴x2+y2﹣1=0，且y≠0，∴点P的轨迹为以原点为圆心、1为半径的圆，除掉点（±1，0），∴复数z1的对应点P必在圆内部，故选B．2．一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【分析】由关系式a n+1=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n（n∈N*），根据点与直线之间的位置关系，我们不难得到，f（x）的图象在y=x上方．逐一分析不难得到正确的答案．【解答】解：由a n+1=f（a n）＞a n知：f（x）的图象在y=x上方．故选：A．3．已知p：方程x2+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，b是整数，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】29：充要条件．【分析】我们先论证命题q：a，b是整数成立时，命题p：x2+ax+b=0有且仅有整数解是否成立，即命题q⇒命题p的真假，再论证命题p：x2+ax+b=0有且仅有整数解时，命题q：a，b是整数成立时是否成立，即判断命题p⇒命题q的真假，然后根据弃要条件的定义易得到答案．【解答】解：a，b是整数时，x2+ax+b=0不一定有整数解，即命题p⇒命题q为假命题，若x2+ax+b=0有且仅有整数解，由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）我们易判断a，b是整数．即命题p⇒命题q为真命题，故p是q的充分不必要条件故选：A．4．有一个各条棱长均为α的正四棱锥，现用一张正方形的包装纸将其完全包住，不能裁剪，可以折叠，那么包装纸的最小边长为（）A．（1+）a B． a C． a D．（+）a【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据题设，用一张正方形的包装纸将其完全包住，近似于将正四棱锥的表面展开图重新折回．因此，首先要将四棱锥的四个侧面沿底面展开，观察展开的图形易得出包装纸的对角线处在什么位置是，包装纸面积最小，进而获得问题的解答．【解答】解：将正四棱锥沿底面将侧面都展开如图所示：当以PP′为正方形的对角线时，所需正方形的包装纸的面积最小，此时边长最小．设此时的正方形边长为x则：（PP′）2=2x2，又因为，∴，解得：．故选C．二、填空题：5．方程表示椭圆，则a∈．【考点】K3：椭圆的标准方程．【分析】由椭圆的标准方程可以确定a的范围．【解答】解：∵表示椭圆，∴，∴；故答案为：．6．已知（﹣）n的展开式中二项式系数之和为512，且展开式中x3的系数为9，常数a 的值为16 ．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】根据（﹣）n的展开式中二项式系数之和为512，，得到2n=512，求出了n的值，求出二项展开式的通项，令x的指数为3求出r的值代入通项求出展开式中x3的系数，解出字母a的值，得到结果．【解答】解：因为（﹣）n的展开式中二项式系数之和为512，所以2n=512解得n=9所以（﹣）9的展开式的通项为令得r=8所以展开式中x3的系数为所以所以a=16故答案为16．7．下列函数中周期是2的函数是②③①y=2cos2πx﹣1②y=sinπx+cosπx③④y=sinπxcosπx．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角公式，和角的三角函数公式分别化简，再利用周期公式可求．【解答】解：对于①y=cos2πx，∴；对于，∴；对于；对于④，∴；故答案为②③8．函数y=3x+1（﹣1≤x＜0）的反函数是y=log3x﹣1，（1≤x＜3）．【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点；4R：反函数．【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域；将y=3x+1看做方程解出x，然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可，注意原函数的定义域为﹣1≤x＜0．【解答】解：由y=3x+1解得：x=﹣1+log3x∵﹣1≤x＜0，∴1≤y＜3∴函数y=3x+1（﹣1≤x＜0）的反函数是y=﹣1+log3x（1≤x＜3）故答案为：y=log3x﹣1，（1≤x＜3）．9．已知集合A={x|﹣2＜x＜5}，B={x|p+1＜x＜2p﹣1}，A∪B=A，则实数p的取值范围是p ≤3 ．【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．【分析】由题意，由A∪B=A，可得B⊆A，再由A={x|﹣2＜x＜5}，B={x|p+1＜x＜2p﹣1}，分B=∅，B≠∅两类解出参数p的取值范围即可得到答案【解答】解：由A∪B=A，可得B⊆A又A={x|﹣2＜x＜5}，B={x|p+1＜x＜2p﹣1}，若B=∅，即p+1≥2p﹣1得p≤2，显然符合题意若B≠∅，即有p+1＜2p﹣1得，p＞2时，有解得﹣3≤p≤3，故有2＜p≤3综上知，实数p的取值范围是p≤3故答案为p≤310．已知E、F分别是三棱锥P﹣ABC的棱AP、BC的中点，PC=10，AB=6，AB与PC所成的角为60°，则EF= 7或．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】取PB的中点H，由题意可得EH=3，HF=5，∠EHF=60°或120°，由余弦定理EF=，运算求得结果．【解答】解：取PB的中点H，则由E、F分别是三棱锥P﹣ABC的棱AP、BC的中点，PC=10，AB=6，AB与PC所成的角为60°可得EH=3，HF=5，∠EHF=60°或120°．△EHF中，当∠EHF=60°时，由余弦定理可得 EF==，当∠EHF=120°时，EF==7．故答案为：7或．11．设|z1|=5，|z2|=2，|z1﹣|=，求= 2±i ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】设 z1=5（cosα+isinα），z2=2（cosβ+isinβ），求得、以及z1﹣，再根据条件求得cos（α+β）的值，可得 sin（α+β）的值，再利用复数三角形式的运算法则求得的值．【解答】解：由题意得，可设 z1=5（cosα+isinα），z2=2（cosβ+isinβ），=5[cosα﹣isinα]=5[cos（﹣α）+isin（﹣α）]，=2（cosβ﹣isinβ）=2[cos（﹣β）+isin（﹣β）]，z1﹣=（5cosα﹣2cosβ）+i （5sinα+2sinβ）．再由|z1﹣|=，可得（5cosα﹣2cosβ）2+（5sinα+2sinβ）2=13，化简可得 cos（α+β）=．再由同角三角函数的基本关系可得 sin（α+β）=±．故==×[cos（﹣α﹣β）+isin（﹣α﹣β）]=×[cos （α+β）﹣isin（α+β）]=×[±i]=2±i故答案为：2±i．12．某人有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根，求他发现用完一盒时另一盒还有r根（1≤r≤n）的概率．【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】根据题意，一共抽了 2n﹣r 根，这么多次抽取动作中，有n次都是操作在A盒上，n﹣r次操作在B盒上，且最后一次一定操作在A盒所有的抽法共有22n﹣r种，用完一盒时另一盒还有r根的抽法有2C2n﹣r﹣1n﹣r种由古典概型的概率公式求出概率．【解答】解：根据题意，一共抽了 2n﹣r 根，这么多次抽取动作中，有n次都是操作在A盒上，n﹣r次操作在B盒上，且最后一次一定操作在A盒所以，所有的抽法共有22n﹣r种，用完一盒时另一盒还有r根的抽法有2C2n﹣r﹣1n﹣r种由古典概型的概率公式得他发现用完一盒时另一盒还有r根（1≤r≤n）的概率为．故答案为．13．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，试用、、表示=．【考点】M2：空间向量的基本定理及其意义．【分析】先画图，理解题意，再根据向量的加法法则和减法法则，将所表示向量用已知向量表示，即可得到结论．【解答】解： ====故答案为：14．若关于x的不等式＜x+a的解是x＞m，试求m的最小值为．【考点】7I：不等式的综合．【分析】先作出y=的图象，y=x+a的图象斜率为1，在曲线上方的直线部分为不等式的解集，利用图象，即可求m的最小值．【解答】解：先作出y=的图象，y=x+a的图象斜率为1，在曲线上方的直线部分为不等式的解集∵解集为x＞m（取不到等号）∴只能是过A点斜率为1的直线把A点的坐标代入y=x+a得a=0.5再将y=x+0.5与y=联立解得x=﹣0.5（舍）或1.5即求出了交点C（1.5，2）由数形结合可知m最小值为故答案为15．设点P到点（﹣1，0）、（1，0）距离之差为2m，到x、y轴的距离之比为2，求m的取值范围．【考点】KA：双曲线的定义；KC：双曲线的简单性质．【分析】先设点P的坐标为（x，y），然后由点P到x、y轴的距离之比为2得一元一次方程，再由点P到点（﹣1，0）、（1，0）距离之差为2m，满足双曲线定义，则得其标准方程，最后处理方程组通过x2求得m的取值范围．【解答】解：设点P的坐标为（x，y），依题设得，即y=±2x，x≠0因此，点P（x，y）、M（﹣1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|﹣|PN||＜|MN|=2∵||PM|﹣|PN||=2|m|＞0∴0＜|m|＜1因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上，故．将y=±2x代入，并解得≥0，因为1﹣m2＞0，所以1﹣5m2＞0，解得，即m的取值范围为．16．已知椭圆4x2+y2﹣8kx﹣4ky+8k2﹣4=0（k为参数），存在一条直线，使得此直线被这些椭圆截得的线段长都等于，求直线方程y=2x±2 ．【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系．【分析】先判断出椭圆4x2+y2﹣8kx﹣4ky+8k2﹣4=0（k为参数）表示中心在直线y=2x上，长轴长和短轴长分别为4，2的一族椭圆，判断出符和条件的直线需要与直线y=2x平行，设出直线方程，先利用一个特殊的椭圆与直线方程联立求出直线的方程，在证明对于所以的椭圆都满足条件．【解答】解：椭圆4x2+y2﹣8kx﹣4ky+8k2﹣4=0（k为参数）可化为，所以4x2+y2﹣8kx﹣4ky+8k2﹣4=0表示中心在直线y=2x上，长轴长和短轴长分别为4，2的一组椭圆，而所求的直线与这组椭圆种的任意椭圆都相交，若所求的直线l与直线y=2x不平行，则必定存在椭圆与直线l不相交，于是，设所求直线的方程为y=2x+b因为此直线被这些椭圆截得的线段长都等于，则直线y=2x+b与椭圆所得到弦长为，由得8x2+4by+b2﹣4=0得[（x1+x2）2﹣4x1x2]•5=5即解得b=±2设直线y=2x+2与圆4x2+y2﹣8kx﹣4ky+8k2﹣4=0（k为参数），相交所得的弦长为d，则由得8x2+（8﹣16k）x+8k2﹣8k=0所以d2=[（x1+x2）2﹣4x1x2]•5=5[（2k﹣1）2﹣4（k2﹣8k）]=5所以直线y=2x+2与椭圆4x2+y2﹣8kx﹣4ky+8k2﹣4=0（k为参数）相交所得的弦长为．同理可证，对任意k∈R，椭圆4x2+y2﹣8kx﹣4ky+8k2﹣4=0（k为参数）与直线y=2x﹣2相交所得弦长为．．三、解答题：17．斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为 b，侧棱AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°角，求此三棱柱的侧面积和体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】（1）先判断斜三棱柱ABC﹣A′B′C′的三个侧面的形状，分别求出面积再相加，即为斜三棱柱的侧面积．（2）斜三棱柱的体积等于底面积乘高，因为底面三角形是边长为a的正三角形，面积易求，所以只需求出高即可，利用所给线线角的大小即可求出．【解答】解：（1）∵侧棱AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°角，∴三棱柱的三个侧面中，四边形ABBA和ACCA是有一个角是45°，相邻两边长分别为a，b 的平行四边形，第三个侧面是边长分别为a，b的矩形．∴（2）过A1作A1O垂直于底面ABC，交底面ABC于O点，作A1D⊥AB，交AB于D点，连接DO，由题意，则AD=，A1D=，∴AO=，A1O=∴V=×a=18．已知在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c向量，，且m⊥n．（I）求角C的大小．（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．【考点】HQ：正弦定理的应用；HS：余弦定理的应用．【分析】（1）先根据两向量互相垂直等价于二者的数量积等于0，可得到关于cosC的方程，进而得到答案．（2）先表示出sin（A﹣B）的表达式，再由正弦和余弦定理将角的关系转化为边的关系后代入即得答案．【解答】解：（I）由m•n=0得，即1+cosC﹣2（1﹣cos2C）=0；整理得2cos2C+cosC﹣1=0解得cosC=﹣1（舍）或因为0＜C＜π，所以C=60°（Ⅱ）因为sin（A﹣B）=sinAcosB﹣sinBcosA由正弦定理和余弦定理可得代入上式得又因为，故所以．19．已知z是复数，z+2i与均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai）2在复平面上对应点在第一象限．（Ⅰ）求z的值；（Ⅱ）求实数a的取值范围．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】（I）利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件即可得出．（II）利用复数的运算法则和几何意义即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设z=x+yi（x，y∈R），又z+2i=x+（y+2）i，且为实数，∴y+2=0，解得y=﹣2．∴===，∵为实数，∴=0，解得x=4．∴z=4﹣2i（Ⅱ）∵复数（z+ai）2=[4+（a﹣2）i]2=16﹣（a﹣2）2+8（a﹣2）i=（12+4a﹣a2）+（8a ﹣16）i，∴，解得2＜a＜6．即实数a的取值范围是（2，6）．20．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R．（1）若函数f（x）的最小值是f（﹣1）=0，求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，f（x）＞x+k在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，试求k的取值范围；（3）若a＞0，f（x）为偶函数，实数m，n满足mn＜0，m+n＞0，定义函数F（x）=，试判断F（m）+F（n）值的正负，并说明理由．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；36：函数解析式的求解及常用方法；3R：函数恒成立问题．【分析】（1）由已知a﹣b+1=0，且﹣=﹣1，解二者联立的方程求出a，b的值即可得到函数的解析式．（2）将f（x）＞x+k，在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，转化成k＜x2+x+1在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，问题变为求x2+x+1在区间[﹣3，﹣1]上的最小值问题，求出其最小值，令k 小于其最小值即可解出所求的范围．（3）f（x）是偶函数，可得b=0，求得f（x）=ax2+1，由mn＜0，m+n＞0，可得m、n异号，设m＞0，则n＜0，故可得m＞﹣n＞0，代入F（m）+F（n），化简成关于m，n的代数式，由上述条件判断其符号即可．【解答】解：（1）由已知a﹣b+1=0，且﹣=﹣1，解得a=1，b=2，∴函数f（x）的解析式是f（x）=x2+2x+1；（2）在（1）的条件下，f（x）＞x+k，即k＜x2+x+1在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，由于函数y=x2+x+1在区间[﹣3，﹣1]上是减函数，且其最小值为1，∴k的取值范围为（﹣∞，1）；（3）∵f（x）是偶函数，∴b=0，∴f（x）=ax2+1，由mn＜0知m、n异号，不妨设m＞0，则n＜0，又由m+n＞0得m＞﹣n＞0，F（m）+F（n）=f（m）﹣f（n）=am2+1﹣（an2+1）=a（m2﹣n2），由m＞﹣n＞0得m2＞n2，又a＞0，得F（m）+F（n）＞0，∴F（m）+F（n）的值为正．21．若数列{a n}前n项和为S n（n∈N*）（1）若首项a1=1，且对于任意的正整数n（n≥2）均有，（其中k为正实常数），试求出数列{a n}的通项公式．（2）若数列{a n}是等比数列，公比为q，首项为a1，k为给定的正实数，满足：①a1＞0，且0＜q＜1②对任意的正整数n，均有S n﹣k＞0；试求函数f（n）=的最大值（用a1和k表示）【考点】8I：数列与函数的综合．【分析】（1）先根据，（其中k为正实常数），求出S n=﹣a n（n≥2），然后利用a n=S n﹣S n﹣1进行求解，注意验证首项；（2）先求出f（n+1），然后根据条件判定f（n+1）﹣f（n）的符号，从而确定f（n）的单调性，从而求出最大值．【解答】解：（1）∵，（其中k为正实常数），∴S n=﹣a n（n≥2）∴当n≥2时a n=S n﹣S n﹣1=﹣a n+a n﹣1即，a2=﹣∴（2）f（n）=f（n+1）==∵a1＞0，且0＜q＜1对任意的正整数n，均有S n﹣k＞0∴f（n+1）﹣f（n）=﹣＜0∴f（n）关于n是一个单调递减的函数，最大值为．22．已知椭圆及圆的方程分别为和x2+y2=r2，若直线AB与圆相切于点A，与椭圆有唯一的公共点B，若a＞b＞0是常数，试写出AB长度随动圆半径变化的函数关系式|AB|=f （x），并求其最大值．【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．【分析】先设A（x0，y0），则过A的圆的切线方程为x0x+y0y=r2，将其与椭圆方程联立，得一一元二次方程，由△=0，整理后即可得|AB|=f（r），求f（x）最大值时使用均值定理，注意等号成立的条件．【解答】解：设A（x0，y0），则过A的圆的切线方程为x0x+y0y=r2，代入，得（）x2﹣x+﹣a2b2=0由△=0即（）2=4（）（﹣a2b2）整理可得（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=a2+b2﹣﹣r2∴∵+x2≥2=2ab∴f（x）≤=a﹣b（当且仅当x=时取等号）f（x）的最大值为a﹣b。