正交异性双材料_型界面裂纹尖端的应力场_张雪霞[1]

文章编号:1673-5196(2011)01-0168-04正交异性双材料 型界面裂纹尖端的应力场张雪霞,崔小朝,杨维阳,赵文彬(太原科技大学应用科学学院,山西太原 030024)摘要:基于复变函数方法给出含两个实应力奇异指数的应力函数,通过满足边界条件,得到两个八元非齐次线性方程组.求解该方程组,确定两个实应力奇异指数和全部系数,得到应力函数的表示式.根据极限唯一性定理推出当特征方程组判别式异号时每种材料裂纹尖端的应力强度因子、应力场的理论解.结果表明,在双材料工程参数满足适当条件下,正交异性双材料 型界面裂纹尖端附近应力有混合型断裂特征,没有振荡奇异性.关键词:界面裂纹;应力强度因子;双材料;正交异性;复变函数方法中图分类号:O346.3;O174.5 文献标识码:AStress field near crack tip of mode- interface oforthotropic heterogeneous double-materialZHANG Xue-x ia,CU I Xiao-chao,YANG We-i yang,ZH AO Wen-bin(S chool of Applied S cien ce,T aiyuan University of Science and Techn ology,T aiyu an 030024,China)Abstract:On the basis of complex function metho d,a str ess function containing tw o real stress singular ex ponents w as given.By means of fulfilling the bo undary condition,tw o systems of no n-ho mog eneous lin-ear equatio ns in8unknow ns w er e obtained.By so lving these equation sy stem s,the tw o real stress singular ex ponents and all coefficients w ere determ ined,so that the ex pression of the str ess function w as obtained. According to the uniqueness theorem of limit,the theoretical so lutions of stress intensity factor and stress field near the crack tip o f each material were derived in the case of dissimilar sig n at the discriminant of the character istic equatio ns.It w as show n by the result that the stress near the crack tip of m ode- interface of or thotropic heterog eneous double-material ex hibited the feature o f mix ed fracture w ithout o scillatory singularity w hen the double-m aterial eng ineering param eters met appro priate conditions.Key words:interface cr ack;stress intensity factor;do uble-material;o rtho tr opic hetero geneity;com plex function metho d结构界面的力学特性与结构材料的强度、损伤及破坏有着密切联系.实践表明,界面裂纹是使不同材料连接结构失效的主要原因.因此,研究两相材料中裂纹等缺陷在界面上产生的应力场有着重要的理论和实际意义.20世纪60年代开始,Rice等[1-3]对于界面裂纹的问题进行大量的研究.结合材料界面裂纹裂尖场应力和位移存在振荡奇异性及裂纹面相互嵌入现象[4-5],这在物理上是不合理的.本文将双材料界面裂纹尖端场问题归结为偏微 收稿日期:2010-05-10基金项目:教育部科学技术研究重点项目(208022)作者简介:张雪霞(1974-),女,山西曲沃人,副教授.分方程边值问题.引入含两个应力奇异指数[5-8]的应力函数,利用边界条件,确定待定系数,推出当特征方程组判别式 1<0, 2>0时每种材料的裂纹尖端应力强度因子,应力场.它们都受到两个应力奇异指数 1, 2的共同影响.当双材料工程参数满足适当条件时,裂纹尖端附近应力没有振荡奇异性.1 力学模型本文讨论平面应力情况下,正交异性双材料界面裂纹尖端场的力学问题.正交异性双材料有一位于界面上长度为2a的裂纹,如图1所示.由弹性力学知识,在纯剪切载荷作用下,不考虑体力时,正交异性双材料的控制方程为[3,7,9]第37卷第1期2011年2月兰 州 理 工 大 学 学 报Jo ur nal of L anzho u U niv ersity of T echno lo gyVo l.37No.1F eb.2011图1 分析模型Fig.1 Analysis model(b 22)j4U j x 4+[2(b 12)j +(b 66)j ] 4U jx 2 y 2+(b 11)j 4U jy 4=0 j =1,2(1)式中:(b 11)j ,(b 12)j ,(b 22)j ,(b 66)j 是每种材料的柔度系数.边界条件为( )1(r, )=( )2(r ,- )=0( r )1(r , )=( r )2(r ,- )=-(2)( )1(r, )=( )2(r, )=0( r )1(r , )=( r )2(r, )=0 (r + )(3)应力、位移连续性条件为( )1(r ,0)=( )2(r ,0)( r )1(r,0)=( r )2(r,0)(u r )1(r,0)=(u r )2(r,0)(u )1(r ,0)=(u )2(r ,0)(4)2 应力函数定义特征方程的判别式为[10]j =[2(b 12)j +(b 66)j (b 11)j ]2-4(b 22)j(b 11)jj =1,2(5)在1<0, 2>0时,特征方程(5)的根为s 1k =(-1)k-1 1+i 1s 1(k+2)=(-1)k-11-i 11> 1>0 (k =1,2)(6a )s 2k =i 2ks 2(k+2)=-i 2k22> 21>0 (k =1,2)(6b )定义双材料工程参数为2(v 11+1)E 11-1 1-2(v 21+1)E 21-12 21+ 21-v 11E 11- 21 22-v 21E 21(7a)g 12=2 1E 11+ 21+ 22E 21h 12=( 21+ 21)2 1E 11+ 21 22 21+ 22E 21(7b)式中:E j 1,E j 2, j 1, j 2, j (j =1,2)为材料的弹性常数.考虑到控制方程和边界条件,选择特殊的应力函数为U j (r, )= 2m=1 2k=1Re [(Ajk, m-i B jk , m )( m +2)( m +1)(z jk -a) m +2]z jk =x +s jk y =r(cos +s jk sin ) (z jk a;j ,k,m =1,2)(8)式中:A jk, ,B jk , 为待定参数.利用应力-应变、应变-位移、应力和应力函数的关系,可以得到用应力函数表示的应力、位移表达式.将应力、位移表达式代入边界、连续性条件(2)和(4),利用r 1和r 2的线性无关性( 1 2),得到A jk, m ,B jk, m (j ,k,m =1,2)的两个8元非齐次线性方程组.利用线性代数知识可以证明,方程组系数矩阵和增广矩阵的秩相等,且其秩等于7.因而每个非齐次线性方程组有解,解含有一个自由未知量,其系数行列式必等于0.考虑在裂纹尖端附近,略去高阶无穷小量,有(g 12h 12 2-8e 12f 12) 2m -4e 12f 12 m -(2e 12-f 12)f 12=0 (m =1,2)(9)m =-12+m (m =1,2)(10)解此一元二次方程,当判别式=4f 12[(2e 12-f 12)g 12h 12 2-4(3e 12-2f 12)e 12f 12]>0(11)时得到两个实根:m =2e 12f 12g 12h 12 2-8e 12f12+(-1)m -1f 12[(2e 12-f 12)g 12h 12 2-4(3e 12-4f 12)e 12f12]g 12h 12 -8e 12f 12 m =1,2(12)对于正交异性双材料II 型界面裂纹问题,只有当双材料工程参数满足条件(11)时,可得到两个实双材料弹性常数 1, 2.从而利用式(10),可以得到两个实应力奇异指数1, 2.3 应力强度因子引入文献[7,11]中所示的应力强度因子.根据极限唯一性定理,当z jk a -和z jk a +时,(K )j169 第1期 张雪霞等:正交异性双材料 型界面裂纹尖端的应力场应取得相同的极限,可以确定自由未知量:a(1)22,m =1-sin m2( 21- 22)f12cos m(13)从而得到应力函数中所含的16个待定系数的表达式及应力强度因子如下:A1k,m=(-1)k-1f12cos m +g12((-1)k-1 1- 1tan m )(1-sin m )4 1f12cos m(14a)B1k,m=(-1)kf12-g12( 1+(-1)k-1 1tan m )](1-sin m )4 1f12cos m(m,k=1,2)(14b)A2k,m =(-1)k(f12+ 2k*g12)(1+sin m )2( 21- 22)f12cos m(15a)B2k,m=(-1)kf12co s m - 2k*g12(tan m )(1+sin m )2( 21- 22)f12co s m(m=1,2;k=1,2;k*=2,1当k=1,2)(15b)(K )1= 2m=1 ( a)1/2- m2= 2m=1(K )1, m(K )1=- 2m=1 ( a)1/2- m g12(1-sin m )2f12co s m=2m=1(K )1,m(16a)(K )2= 2m=1 ( a)1/2- m2= 2m=1(K )2, m(K )2= 2m=1 ( a)1/2- m g12(1+sin m )2f12co s m=2m=1(K )2, m(16b)将上述系数表达式代入式(8),得到满足控制方程和边界条件的应力函数.4 裂纹尖端应力场利用应力-应力函数的关系,得到每种正交异性材料的 型界面裂纹尖端附近(z jk a)的应力表示式.例如对材料2有( x)2=2 m=1(K )2,m(2 )1/2- m121- 221cos m+tan mRe221(z21-a)1/2- m-222(z22-a)1/2- m+2m=1(K )2,m(2 )1/2- m21 2221- 22Re21(z21-a)1/2- m-22(z22-a)1/2- m-(tan m )Im21(z21-a)1/2- m-22(z22-a)1/2- m( y)2= 2m=1(K )2, m(2 )1/2- m121- 22-1cos m+tan mRe1(z21-a)1/2- m-1(z22-a)1/2- m-Im1(z21-a)1/2- m-1(z22-a)1/2- m+2m=1(K )2,m(2 )1/2- m121- 22-Re22(z21-a)1/2- m-21(z22-a)1/2- m+(tan m )Im22(z21-a)1/2- m-21(z22-a)1/2- m( xy)2= 2m=1(K )2, m(2 )1/2- m121- 22Re21(z21-a)1/2- m-22(z22-a)1/2- m-1co s m+tan mIm21(z21-a)1/2- m-22(z22-a)1/2- m-2m=1(K )2,m(2 )1/2- m21 2221- 22(tan m )Re1(z21-a)1/2- m-1(z22-a)1/2- m+Im1(z21-a)1/2- m-1(z22-a)1/2- m(17)同理可得材料1的II(z1k a)的应力表达式.5 应力曲线测定三组正交异性双材料,得到如表1所示的材料性能数据如表1所示.将每种材料的弹性常数代入式(5,6,10,12),得到如表2所示的判别式、双材料弹性常数及应力奇异指数如表2所示.图2给出三组双材料当 /a为常数时,应力 y随极角 的变化关系.从图2可见,应力 y可取得最大值和最小值.众所周知,这个性质对于S-断裂准则和Z-断裂准则是非常重要的.类似地,可得出应力 x, xy在r/a为定值时随极角 的变化关系.170兰州理工大学学报 第37卷表1 三组双材料中每种材料的弹性常数Tab.1 Elasticity constant of each material in three sets of double -materials双材料j =1E 1/GPa E 2/GPa 12 12/GPa j =2E 1/GPa E 2/GPa 12 12/GPa A 材料15090.3311材料27011.40.23 5.3B 材料14010.50.339.2材料260110.238C材料14611.40.339.935材料278160.28表2 双材料性能数据Tab.2 Mechanical properties of double -materials双材料判别式1 2应力奇异指数1 2双材料弹性常数1 2A -7.1255137.9386-0.4182-0.56990.0818-0.0699B-1.638027.7434-0.4627-0.53450.0373-0.0345C-0.378767.9225-0.4312-0.55960.0688-0.0596图2 双材料应力曲线Fig.2 Stress curves of double -materials6 结论本文通过引入新的应力函数,利用复变函数、待定系数方法推出特征方程判别式异号时 型界面裂纹尖端附近的应力强度因子、应力场.在双材料工程参数满足适当条件下,求出实双材料弹性常数 m 和实应力奇异指数 m .裂纹尖端附近的应力有混合型断裂特征,在双材料工程参数满足式(11)时,应力没有振荡奇异性.参考文献:[1] RICE J R,SIH G C.Plane p rob lem s of cracks in dissim ilarmedia [J ].J ou rnal of Applied M ech anics,1965,32(3):418-423.[2] NISIT ANI H ,SAIM OTO A,NOGUCH I H.Analysis of an in -terface crack based on the body force method [J].T rans ac -tions of the Japan S ociety of M echanical Engineers ,1993,59(1):68-73.[3] ZH ANG X S.A central crack at the interface betw een tw o dif -feren t orthotropic media for th e m ode and m od e [J ].En -gineering Fractu re M echanics,1989,33(3):327-333.[4] SUO Z G,H UT CHINS ON J W.Interface crack b etw een tw oelas tic layers [J].International Journal of Fractur e,1990,43(1):1-18.[5] 戴 瑛,嵇 醒.界面端应力奇异性及界面应力分布规律研究[J].中国科学:G 辑,2007,37(4):535-543.[6] 陈 瑛,乔丕忠,姜弘道,等.双材料界面断裂力学模型与实验方法[J].力学进展,2008,38(1):53-61.[7] 杨维阳,张少琴,李俊林,等.正交异性双材料 型界面裂纹问题研究[J ].应用数学和力学,2009,30(5):585-594.[8] M ARSAVINA L,S ADOWS KI T.S tres s in tensity factors foran interface kink ed crack in a b-i material plate loaded normal to the in terface [J ].In ternation al Journal of Fracture,2007,145(3):237-243.[9] CORT EN H T.Fracture mechanics of com posites [M ].NewYork:Academ ic Press,1972:695-703.[10] 杨维阳,李俊林,张雪霞.复合材料断裂复变方法[M ].北京:科学出版社,2005,26-32.[11] ZH ANG Xuex ia,CUI Xiaochao,YANG Weiyang.Crack -tipfield on m ode interface crack of double dissimilar orthotro -pic composite materials [J].Appl M ath M ech Engl Ed,2009,30(12):1489-1504.171 第1期 张雪霞等:正交异性双材料 型界面裂纹尖端的应力场。