分式方程1
15.3_分式方程(1)
方程两边同乘以（20+v）（20-v） ，得
100(20 v) 60 20 v）, （
解得 分式方程的解. v=5. 检验：将v=5代入分式方程，左边=4=右边，所以v=5是原
在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数学思想方
法：转化的数学思想（化归思想）.
1 10 解分式方程： 2 . x 5 x 25
∴x=-1
当x=-1时，x-1≠0. 答案：-1
5.（菏泽·中考）解方程：x 1 x 1 .
2x 3
【解析】原方程两边同乘以 6x， 得 3(x+1)=2x·(x+1), 整理得2x2-x-3=0,
解得 x 1 或 x 3 ,
经验证知它们都是原方程的解，故原方程的解为 x 1 或 x 3.
式方程时一定要代入原分式方程或最简公分母进行检验.
【例题】
解分式方程的思路：
去分母
分式方程
整式方程
解分式方程的一般步骤:
1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则 整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的 解，必须舍去. 4.写出原方程的解.
解：方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得： x+5=10 解得 x=5
检验：
将x=5代入x-5，x2-25得其值都为0，相应的分式 无意义.所以x=5不是原分式方程的解. ∴原分式方程无解. 为什么会产 生无解？
为什么方程会产生无解？
产生的原因:分式方程两边同乘一个零因式后,所得的根
是整式方程的根,而不是分式方程的根.所以我们解完分
专题01 分式和分式方程(1)解析版
专题01 分式和分式方程（1）考点1：分式的定义1．下列各式是分式的是（）A．B．C．2y D．【答案】A【解析】A、是分式，故本选项符合题意；B、是多项式，故本选项不符合题意；C、是单项式，故本选项不符合题意；D、是单项式，故本选项不符合题意．故选：A．2．下列各式x+y，，，，中，是分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】，是分式，共2个，故选：A．3．下列式子中是分式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A、它的分母中不含有字母，是整式，故本选项不符合题意；B、它的分母中不含有字母，是整式，故本选项不符合题意；C、它是分式，故本选项符合题意；D、它是分数，故本选项不符合题意；故选：C．4．下列各式中，是分式的是（）A．x B．C．D．+1【答案】B【解析】的分母中含有字母，属于分式，x、、+1的分母中不含有字母，属于整式．故选：B．5．下列各式：，，，其中分式有_______．【答案】3个．【解析】，，的分母中含有字母，属于分式．共有3个分式．6．在有理式﹣π，中，分式有_______个．【答案】3．【解析】分式有，，，共3个，7．在代数式中，分式有2个．【答案】2．【解析】，的分母中含有字母，是分式．8．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如＝＝+＝1+，＝＝a﹣1+，则和都是“和谐分式”．（1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是：_______（填序号）；①；②；③；④（2）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝．（3）应用：已知方程组有正整数解，求整数m的值．【答案】见解析【解析】（1）①＝，故是和谐分式；②＝，故不是和谐分式；③＝，故是和谐分式；④＝，故是和谐分式；故答案为①③④；（2）＝＝＝，故答案为；（3）解方程组得，∵方程组有正整数解，∴m＝﹣1或﹣7．考点2：分式有意义的条件1．若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≤3B．x＜3C．x＜3且x≠0D．x≠3【答案】D【解析】由题意得：3﹣x≠0，解得：x≠3，故选：D．2．代数式中的x取值范围是（）A．x B．x C．x D．x【答案】C【解析】由题意得，2x﹣1≠0，解得，x≠，故选：C．3．若分式有意义，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a＝2C．a≠﹣2D．a＝﹣2【答案】C【解析】由题意得：a+2≠0，解得：a≠﹣2，故选：C．4．要使分式有意义，x的取值是（）A．x≠2B．x≠﹣2C．x≠±2D．x≠±2且x≠﹣1【答案】B【解析】由题意可知：x+2≠0∴x≠﹣2故选：B．5．若分式有意义，则x的取值范围是_______．【答案】x≠3．【解析】要使分式有意义，必须x﹣3≠0，解得：x≠3，6．若分式在实数范围内有意义，则x满足的条件是_______．【答案】x≠2．【解析】由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，7．若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．【答案】x≠5．【解析】由题意得，x﹣5≠0，解得，x≠5，8．若式子无意义，求代数式（y+x）（y﹣x）+x2的值．【答案】见解析【解析】∵式子无意义，∴3y﹣1＝0，解得y＝，原式＝y2﹣x2+x2＝y2＝（）2＝．考点3：分式的值为零的条件1．若分式的值为0，则x的值是（）A．±2B．﹣2C．0D．2【答案】D【解析】∵分式的值为0，∴x2﹣4＝0，2x+4≠0，解得，x＝2，故选：D．2．若分式的值为0，则x的值是（）A．0B．1C．2D．﹣1【答案】B【解析】分式的值为0，则x﹣1＝0，且2x≠0，解得：x＝1．故选：B．3．若分式的值为0，则x的值为（）A．0B．﹣2C．4D．4或﹣2【答案】C【解析】由分式的值为零的条件得x﹣4＝0且x+2≠0，解得：x＝4，故选：C．4．分式的值为0，则x的值为（）A．﹣1或2B．2C．﹣1D．﹣2【答案】B【解析】依题意，得x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1）＝0且|x|﹣1≠0．解得x＝2或x＝﹣1且x≠±1．所以x＝2符合题意．故选：B．5．分式的值等于0，则x＝_______．【答案】﹣2．【解析】根据题意，得x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）＝0且x﹣2≠0．所以x+2＝0．所以x＝﹣2．6．当x＝﹣3时，分式的值为零．当x≠时，分式有意义．【答案】﹣3；．【解析】分式的值为零，则，解得x＝﹣3；分式有意义，则1﹣2x≠0，解得x≠．7．分式的值为0时，x＝2．【答案】2．【解析】∵分式的值为0，∴2x2﹣8＝0，x+2≠0，解得，x＝2，8．若a，b为实数，且＝0，求3a﹣b的值．【答案】见解析【解析】∵＝0，∴，解得，∴3a﹣b＝6﹣4＝2．故3a﹣b的值是2．考点4：分式的值1．若分式的值为正数，则x的取值范围是（）A．x＞B．x＜C．x≥D．x取任意实数【答案】A【解析】∵分式的值为正数，∴x2+5＞0，2x﹣1＞0，解得：x＞．故选：A．2．已知的值等于0，则x的大小为（）A．1B．2C．±2D．﹣2【答案】D【解析】∵的值等于0，∴x2﹣4＝0且（x﹣2）（x﹣1）≠0，解得：x＝﹣2．故选：D．3．若分式的值为整数，则整数m可能值的个数为（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】分式的值为整数，∴m﹣1＝±1，±2，±4，解得：m＝2，0，3，﹣1，5，﹣3，则整数m可取的值的个数是6个．故选：C．4．已知a＝2016，则代数式的值为（）A．2016B．2015C．D．【答案】C【解析】＝＝，当a＝2016时，原式＝，故选：C．5．若分式的值是负整数，则整数m的值是_______．【答案】3．【解析】原式＝＝﹣1+，由题意可知：m﹣4＝﹣1，∴m＝3，6．若分式的值为正数，x的取值范围是_______．【答案】x＞．【解析】∵分式的值为正数，∴，解得x＞．7．已知x，y，z都不为0，且，则式子的值为_______．【答案】．【解析】①﹣②，得2x﹣4z＝0，∴x＝2z．把x＝2z代入①，得8z﹣3y﹣3z＝0．解得y＝z．把x＝2z，y＝z代入式子＝＝．8．若x为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的x的值之和．【答案】见解析【解析】＝＝，∵x为整数，且的值也为整数，∴x﹣2的值为﹣4，﹣2，﹣1，1，2或4．∴x的值为：﹣2，0，1，3，4或6，经检验，当x＝﹣2时，原式分母为0，不符合题意，故舍去．∴0+1+3+4+6＝14．∴所有符合条件的x的值之和为14．考点5：分式的基本性质1．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）A．不变B．缩小3倍C．扩大3倍D．扩大9倍【答案】C【解析】＝＝3×，即如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值扩大3倍，故选：C．2．下列化简正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】A.＝＝，故本选项符合题意；B.≠，故本选项不符合题意；C.＝﹣，故本选项不符合题意；D.＝＝﹣，故本选项不符合题意；故选：A．3．若把分式中的x，y都缩小2倍，则分式的值（）A．扩大2倍B．不变C．缩小2倍D．缩小4倍【答案】B【解析】根据题意，得x和y的值都缩小2倍，即＝＝，显然分式的值不变．故选：B．4．若把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）A．扩大3倍B．扩大9倍C．不变D．缩小3倍【答案】C【解析】把分式中的x和y都扩大3倍，则分式变为，而＝，所以把分式中的x和y都扩大3倍，分式的值不变．故选：C．5．若分式的值为5，则x、y扩大2倍后，这个分式的值为_______．【答案】5．【解析】根据题意，得新的分式为＝＝5．6．把分式的x和y都扩大3倍，分式的值_______．【答案】扩大3倍．【解析】＝＝，即分式的值扩大3倍，7．若把分式中的x和y都扩大两倍，则分式的值_______．【答案】不变．【解析】分式中的x，y都扩大两倍，那么分式的值不变，即＝，8．填空：＝＝（a≠0，b≠0）．【答案】见解析【解析】＝＝（a≠0，b≠0）．故答案为：a，ab2．考点6：约分1．分式可化简为（）A．x﹣y B．C．x+y D．【答案】C【解析】原式＝＝x+y．故选：C．2．计算的结果为（）A．﹣a2B．﹣a C．a D．a2【答案】B【解析】原式＝﹣＝﹣a，故选：B．3．下列约分正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A、＝x4，故原题计算错误；B、＝1，故原题计算错误；C、＝，故原题计算错误；D、＝，故原题计算正确；故选：D．4．已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（）A．a﹣b﹣1B．a+b﹣1C．﹣a+b+1D．﹣a﹣b+1【答案】C【解析】原式＝||＝||＝|a﹣b﹣1|，由数轴可得，a﹣b＜0，原式＝﹣（a﹣b﹣1）＝﹣a+b+1．故选：C．5．小丽在化简分式＝时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的代数式应该是x2﹣2x+1．【答案】x2﹣2x+1．【解析】∵＝＝，∴*部分为：（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，6．化简：＝_______．【答案】．【解析】＝．7．化简：＝_______．【答案】【解析】原式＝＝．8．约分：（1）；（2）．【答案】见解析【解析】（1）原式＝＝；（2）原式＝＝．。
沪科版七年级数学下册分式方程(第1课时)
五、课堂小结 1．分式方程的概念． 2．解分式方程的基本思想和一般步骤． 3．解分式方程产生增根的原因．
100
的时间为＿20＿ ＿v 小时，逆流航行60千米所用时间
60
为＿20＿＿v 小时。
100 60 20 v 20 v
像这样，分母中含有未知数的方程 叫做分式方程.
以前学过的分母里不含有未知数的 方程叫做整式方程.
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
(1) x 2 x 23
4 3 7 xy
x 5 x2 25
方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得
x+5=10. 解得x=5.
为什么产 生增根？
检验：将x=5代入原分式方程，发现这时x-5 和x2-25的值都为0，相应分式无意义.所以 x=5不是原分式方程的解.
所以原分式方程无解.
在去分母时，两边同乘一个含未知数的整 式，是否为０事先不知道，以致导致出现分母 为０的现象，因此，解分式方程必须检验.
解分式方程，如何检验？
解分式方程时应进行如下检验：将整式方程 的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 ０，则整式方程的解是原分式方程的解，否则， 这个解不是原分式方程的解.
解分式方程
例1 解分式方程 2 3
x3 x
解: 方程的两边同乘 x(x-3),得
①
2x=3x-9
分式方程 转 化
整式方程
程的解．原方程无解． 一化二解三检验
解分式方程的思路是：
人教版八年级数学上册1分式方程
分式方程
课题引入
现在回到本章引言中的问题。
为解决引言中提出的问题，我们得到了方程
90
30+
=
60
.
30−
①
方程①的分母中含未知数，像这样分母中含未知数的方程叫做分式
方程。我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母
中。
思考
如何解分式方程①？
我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，但是分式方程的分母中
为多少?
【分析】这里的字母，s表示已知数据，设提速前列车的平均速
度为 /ℎ,那么提速前列车行驶s
s
所用时间为________ℎ，
s + 50
提速后列车的平均速度为______
/ℎ,
+ 50
50)所用时间为___________ℎ。
+
提速后列车行( +
根据行驶时间的等量关系可以列出方程。
a是分式方程的解
整式方程
最简公分母为0
a是分式方程的解
课题引入
例4. 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成
1
总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程
3
全部完成.哪个队的施工速度快?
1
【分析】甲队1个月完成总工程的 ，设乙队单独施工1个月能完成总
3
1
1
6
工程的 ，那么甲队半个月完成总工程的______，乙队半个月完成总
解：方程两边乘( − 1)( + 2),得
( + 2) − ( − 1)( + 2) = 3
解得
=1
检验，当 = 1时，( − 1)( + 2) = 0,
分式方程（一）教案
5.4.1 分式方程（一）教学设计
2、甲、乙两班参加植树活动，已知乙班每小时比甲班多种3棵树，甲班种62棵树所用的时间与乙班种68棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?
课堂小结 1.利用分式方程模型解决实际问题:
问题情境---提出问题---建立分式方程模型---解
决问题
2. 列分式方程的一般步骤小节由同学们
讨论，教师只
是顺势把学生
的话进行一个
归纳总结。
关注学生从现实
生活中发现并提
出数学问题的能
力，关注学生能
否尝试用不同方
法寻求问题中数
量关系，并用分
式方程表示，能
否表达自己解决
问题的过程。
板书
5.4.1 分式方程(一)
1、利用分式方程模型解决实际问题
2、列分式方程的一般步骤
例题
变式。
16.3.1 分式方程(一)
班 级 主编教师 学习目 标 牛奋军 姓 名 刘保峰 课 题 16.3.1 分式方程（一） 2010 年 01 月 18 日 审核教师 印制时间
能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想．会解分式方程
学习 请仔细阅读课本 P31～P34． 指导与 1、分式方程有什么特征？2、解分式方程一般步骤是什么？3、解分式方程为什么必须检验？ 要求 学习重 理解“实际问题”──分式方程模型的过程，建立分式方程的“建模”方法． 难点
4．若分式方程
2( x a) 2 的解为 x 3 ，则 a 的值为__________． a ( x 1) 5
1 3x 1 3 2x x
5 ． 解 分 式 方 程
学 习 测 评
， 去 分 母 后 所 得 的 方 程 是 C. 1 2(3x 1) 6 x D. 1 6 x 2 6 x
你预习好了吗？
1．下列关于 x 的方程，是分式方程的是（a、b 为常数） A.
2 x 3 x 3 5 6
（
） D.
( x 1) 2 1 x 1
B.
x 1 3 Байду номын сангаас 7a
x a b x C. a b a b
4 2x x5 3 6 2． x ___时， 当 的值与 的值相等． 若 与 3． 互为相反数， x 的值为 ______ 则 4 x x x 1 x4
（
）A. 1 2(3x 1) 3
2
B. 1 2(3x 1) 2 x
6．化分式方程 （ ）
1 3 4 2 0 为 整 式 方 程 时 ， 方 程 两 边 必 须 同 乘 4x 4 x 1 1 x
分式方程(1)
2. 课本第53页练习第2题
一个两位数, 个位数字比十位数字大 1， 1 个位、十位数字的和与这个两位数比值是 , 5 求这个两位数.
设什么？ 列方程用的相等关系是什么？ 求得方程的解后,还要做什么?
一个两位数，个位数字比十位数字大1，个位、十位数字 1 的和与这个两位数比值是 ，求这个两位数. 5
20 24
20 x
乙
x+1
24 x 1
根据问题中的相等关 系，得：
24 20 x 1 x
2、一个两位数的个位数字是4,如果把个位数字与十位 数字对调,那么所得的两位数与原来的两位数的比值 是 7, 原两位数字的十位字是几?
4
原两位数的 十位、个位
改变后的两位数的
十位、 个位
x
原两位数
4
4
x
学数学 → 用数学 ←
“问题” 是数 学的“心脏” ! ! !
让我们从实际问 题开始今天的学习 !
1、甲、乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工一 件，已知乙加工24件服装所用时间与甲加工20件服装 所用 （件/天） （件） （天）
甲
x
分母中含有未知数的方程叫做 分式方程。
下列方程中，不是分式方程的是（
( A) ( B) (C ) ( D) 2 3 x x2 3 2x 1 5 x 7 2x 1 3 5 3 4 5x 1 x 5
C ）
小试牛刀：
• 判断以下式子是否是分式方程:
，
(1)
，
，
2 x4 x 1 3
分式方程：分母中含有未知数
分式方程通过去分母化为熟悉的
方程（如一元一次方程）
解分式方程一定要检验
分式方程(1)
4.当m为何值时， 解分式方程
2 mx 2 0 x2 x 4
会产生增根？
变形4.当m为何值时， 解分 式方程
2 mx 2 0 x2 x 4
有根？
小 结: 1、整式方程、分式方程的概念； 2、解分式方程；（注意检验） 3、增根及增根产生的原因； 4、体会数学转化的思想方法。
解分式方程
x 1 5x 9 +1 x 1 x2 1
1 3 1 x 1、如果 x 2 2 x 有增根,那么增根
为
.
2、如果方程
x+1
x-2
-
6 x2-2x
= 0 有增根，
那么增根为________。
议一议,启迪思维
1.当m为何值时，关于x的方程：
2 mx 0 x2 2 x
解下列分式方程：
x x 11 2 x1 x 1
你能 说明解 分式方 5x 4 2x 5 1 2 0 程的思 2x 4 3x 6 2 想与一 x－ 2 x + 2 16 般步骤 (3) － = 2 吗？ x + 2 x－6
x －4
化、解、验
1.什么叫分式方程？ 2.解分式方程的思路与步骤是：
再 见!
1）会产生增根? 2）没有解.
x3 m 2.若关于x的方程 x 1 x 1
会产生增根，试求常数m的值.
3.若关于x的方程
k－1 1 k－5 － 2 = 2 2 x －1 x －x x + x
有增根-1，试求常数k的值.
变形3.若关于x的方程
k－1 1 k－5 － 2 = 2 2 x －1 x －x x + x
分式方程 去分母 （化） 检验 整式方程
8.5分式方程(1)
6
62
（2）解整式方程 （3）检验：整式方程的 根是否为原方程的根。
3、产生增根的原因
2 x 1 2 x 3 3 x
解:方程两边同时乘以x—3, 得 2—x =－1－2（ x—3）
隐含条件：
分式方程的解不能 取那些使分母值为 零的x的值。 这里“x≠3”
转化成整式方程后， 限制条件取消了！x的 取值范围扩大了！ 若解出的整式方程的解 恰好是原方程未知数取 值范围之外的值（即使 得分式方程中的某个分 母为0），就出现了增 根。
(3)
x5 x 9 2 4
(4)
x( x 1) 1 x 1
2.解分式方程 x
x 200 如何解 480 480 20 ?
，
4800 4800 200 你又如何解 ? y y 20
类比解一元一次方程,我们可以将分式方程中 的分母去掉,转化成整式方程来解,只要在方程 两边同时乘以最简公分母.
§8.5 分式方程
问题1：
一个两位数个位数字是4,如果把个位数字和 十位数字对调,那么所得的两位数与原来的两
位数的比值为
7 .若设原两位数的十位 4
数字为 x, 则可得方程:
1.分式方程:分母中含有未知数的方程.
判断以下式子是否是分式方程:
，
(1)
，
，
2 x4 x 1 3
(2)
3 2 0 x x2
能出现增根；所以解分式方程一定要检验！
解之得:
X=3
增根：变形后的整式方程的根使得
分式方程中的最简公分母等于零，这 种根为分式方程的增根
x2 x2 16 2 解分式方程： x 2 x 2 x 4
例2：当a为何值时，方程
5.5分式方程1
式方程，正确的是（ Ｃ ） B. x 4 2 A. x 4 2．
C. x 4(x 3) 2 D. x 4( x 3) 2
例2
解分式方程
2x 1 2 x 3 3x
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整 式方程的过程中出现的不适合于原方 程的根. 使分母值为零的根 产生的原因:分式方程两边同乘以一个 零因式.
分式方程： 方程中只含有分式或整式,
且分母含有未知数的方程.
找一找：
巩
固
定
义
1. 下列方程中属于分式方程的有
（ ① ③ ）; ① 2 x 1 3x 1 x
x 1 y 1 ② 2x 1 3 4
④ x2 +2x-1=0
4 3 ③ 7 x y
2x 3 2、已知分式 x 2 1 ,当x
想一想
2
解分式方程容易犯的错误主要有： • (1)去分母时，原方程整式部分漏乘 即每一项都需乘以最简公分母。
• (2)增根不舍掉.
必须检验
当m为何值时，去分母解方程： 2 mx 0 没有解. 会产生增根? x2 2 x 解：两边同时乘以 ( x 2)得
2 mx 0
若有增根，则增根是 x 2. 若方程没有解，则 x 2 把 x 2代入得：
2 2m 0
m 1
反思：分式方程产生增根，也就是使分母等于0. 将原分式方程去分母后，代入增根.
时,分式有意义.
≠±1
Xx 的 x 2(x 3)2
最简公分母是 2x(x―3)2 .
x 3 2 例1 解分式方程 2x 3 7
1．在方程的两边都乘以公分母，约去 分母化成整式方程． 2．解整式方程． 3．验根． （可代入原方程，或代入公分母。）
《分式方程(1)》教案
第十五章分式15.3分式方程第1课时一、教学目标（一）学习目标1．了解分式方程的概念．2．会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想．3．了解解分式方程根需要进行检验的原因．（二）学习重点解分式方程的基本思路和解法．（三）学习难点解分式方程过程中产生增根的原因及如何验根.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）分母中含__未知数____的方程叫做分式方程．（2）解分式方程的基本思路：利用“__去分母_”法将分式方程化为整式方程．2．预习自测（1）在下列方程中，关于x的分式方程有()①215x＝3＋216x，②xp＝xp，③2(1)1xx--＝1，④xm－nm＝xn(m，n为非零常数)，⑤7x＋+19x，⑥xm＋yn＝1(m，n为非零常数)．A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点】分式方程的定义【解题过程】解：①④⑥分母中没有未知数，不是分式方程；⑤不是等式，所以不是分式方程；②③是方式方程．故选B．【思路点拨】分母中含未知数的方程叫做分式方程【答案】B．（2）若x＝3是分式方程2ax-－12x-＝0的根，则a的值是()A．5 B．－5 C．3 D．－3【知识点】分式方程的有关概念【解题过程】解：把x＝3代入分式方程求得a=5．故选A．【思路点拨】利用分式方程的解求a．【答案】A．（3）把分式方程2x＋4＝1x转化为一元一次方程时，方程两边需同乘()A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4)【知识点】分式方程的解法．【数学思想】化归思想【解题过程】解：方程两边同乘以x(x＋4)，可以转化为一元一次方程．故选D．【思路点拨】方程两边同乘以最简公分母．【答案】D．（4）方程211xx-+＝0的解是()A．x＝1或－1 B．x＝－1 C．x＝0 D．x＝1【知识点】分式方程的解法．【解题过程】解：左边约分可得x-1=0，则x＝1，经检验x＝1是原分式方程的解.【思路点拨】先去分母，化为整式求解.【答案】D．（二）课堂设计1．知识回顾（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程．（2）解一元一次方程的步骤：①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1．如何解一元一次方程：211 3332x xx-++=-.解：去分母，得18x＋2(2x－1)＝18－3(x＋1)．去括号，得18x＋4x－2＝18－3x－3移项，得18x＋4x＋3x＝18－3＋2.合并同类项，得25x＝17.系数化为1，得x ＝1725.2．问题探究探究一 分式方程的概念.●活动① 整合旧知，探究分式方程的概念.问题1：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？分析：设水流的速度为v 千米/时.(1)轮船顺流航行速度为________千米/时，逆流航行速度为________千米/时；(2)顺流航行100千米的时间为________小时；逆流航行60千米的时间为________小时；(3)根据题意可列方程为______________________________.师生活动: (1) 20+v 20-v ；(2) v +20100 v -2060；(3)v +20100=v -2060 追问1：所列方程与方程2157146x x ---=相比有什么不同？ 归纳：像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.追问2：分式方程与整式方程的区别在哪里？通过观察发现这两种方程的区别在于未知数是否在分母上.未知数在_____的方程是分式方程.未知数不在分母的方程是____方程.师生活动：分母、整式.追问3：你能再写出几个分式方程吗？【设计意图】让学生在观察和思考的过程中，发现并概括出分式方程的本质特征，了解分式方程的概念，认识其本质属性——分母中含有未知数.探究二 探索分式方程的解法●活动① 大胆操作，探究新知识问题2：你能尝试解分式方程：100602020v v =+- 吗？师生活动：学生独立思考，并尝试解这个方程，全班交流分式方程的解法．【设计意图】让学生在已有的知识经验基础上，尝试解分式方程．●活动② 集思广益，得出分式方程的解法问题3：这些解法有什么共同特点？师生活动：学生讨论之后，教师总结，上述解法依据虽不同，但解分式方程的基本思想是一致的，即将分式方程转化为整式方程．教师再次提问：思考：（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？（4）这样做的依据是什么？学生思考后总结：（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了；（2）利用等式的性质2可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母．【设计意图】通过探究活动，学生探索出解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，并知道解决问题的关键是去分母.●活动③追问 你得到的解v =5 是分式方程的100602020v v=+-解吗？ 【设计意图】让学生知道检验分式方程的解的方法-----将未知数的值代入原分式方程的两边，看左右两边的值是否相等.探究三 分析增根产生的原因 ●活动① 增根产生的原因例1 解分式方程：2110525x x =-- 【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以最简公分母（x +5）(x -5)，转化为整式方程．【解题过程】解：两边都乘以最简公分母（x +5）(x -5)得x ＋5 ＝10解得x ＝5，问题：x =5是原分式方程2110525x x =--的解吗？该如何验证呢？ 小结：x ＝5 是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解，是增根．产生的原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．检验的方法主要有两种：（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．检验：当x ＝5时，(x －5)(x ＋5)＝0，因此x ＝5不是原分式方程的解，原分式方程无解． 师生总结：基本思路：将分式方程化为整式方程一般步骤：（1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验．注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验． 练习：解分式方程：233x x=-． 【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以最简公分母x (x －3)转化为整式方程，解整式方程得解，再检验．【解题过程】解：两边都乘x (x －3)，得2x ＝3x －9解得x ＝9检验：当x ＝9时，x (x －3)≠0.所以，原分式方程的解为x ＝9【答案】x ＝9【设计意图】让学生了解分式方程增根的原因，明白解分式方程必须检验.●活动2例2 解分式方程：()()31112x x x x -=--+ 【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以最简公分母(x －1)(x ＋2)转化为整式方程，解整式方程得解，再检验．【解题过程】解：方程两边乘(x －1)(x ＋2)，得x (x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝3. 解得x ＝1， 检验：当x ＝1时，(x －1)(x ＋2)＝0，因此x ＝1不是原分式方程的解．所以，原分式方程无解.【答案】无解练习：解方程：-2++2x x 24=14x - 【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，结果要检验．【解题过程】解： 方程的两边同乘x 2－4，得(x －2)2＋4＝x 2－4，解得x ＝3.检验：当x ＝3时，x 2－4≠0，所以x ＝3是原方程的解．【答案】x ＝3.【设计意图】让学生按照规范的步骤和格式解分式方程，在积累解题经验的同时，体会化归思想和程序化思想.●活动3例3 当m 为何值时，关于x 的方程223+242mx x x x =--+的解小于零． 【知识点】 分式方程的解法，不等式的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，又因为方程的解小于零 ，所以转化为不等式，解不等式得结果.【解题过程】解：方程两边都乘以(x ＋2)(x －2)，得2(x ＋2)＋mx ＝3(x －2)，整理，得(1－m )x ＝10，解得x ＝101-m. ∵方程的解小于零，∴101-m <0且101-m ≠－2. 解得m >1且m ≠6.【答案】m >1且m ≠6.练习： 已知关于x 的分式方程111x k k x x +-=+-的解为负数，则k 的取值范围是___________． 【知识点】 分式方程的解法，不等式的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，又因为方程的解为负数 ，所以转化为不等式，解不等式得结果.【解题过程】解：去分母，得(x－1)(x＋k)－k(x＋1)＝x2－1.整理，得x＝1－2k.依题意，得12121kk＜0ì-ïí-贡ïî, 解得k＞12且k≠1.【答案】k＞12且k≠1.【设计意图】解题时让学生注意原方程分母不为零的这一隐含条件.3. 课堂总结知识梳理（1）分母中含未知数的方程叫做分式方程.（2）解分式方程的基本思想：把分式方程“转化”为整式方程，再利用整式方程的解法求解. （3）解分式方程的方法及一般步骤：①去分母，方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；——化整②解这个整式方程；——解整③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．——验根重难点归纳（1）解分式方程的基本思想；（2）解分式方程的方法及一般步骤；（3）解分式方程过程中产生增根的原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．（三）课后作业基础型自主突破1．下列方程是分式方程的是()A. x－15＋34＝1 B.3p＋2x＝3 C.1x－1＝2 D.x＋2x－x＋33【知识点】分式方程的定义【思路点拨】分母中含未知数的方程叫做分式方程.【解题过程】解：A、B分母中没含有未知数，不是分式方程；D不是等式，所以不是分式方程；C是分式方程．故选C．【答案】C．2．解分式方程1101x+=-，正确的结果是（）A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．无解【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解题过程】解：去分母得：1+x﹣1=0，解得：x=0，经检验x=0是分式方程的解，故选A【答案】A.3．将分式方程231-11xx x=--去分母，得到正确的整式方程是()A.1－2x＝3 B．x－1－2x＝3 C.1＋2x＝3 D．x－1＋2x＝3 【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以(x－1)．【解题过程】解：去分母得：x－1－2x＝3，故选B【答案】B.4．当a＝________时，关于x的方程12325x ax a+-=-+的解为x＝0.【知识点】分式方程的解【思路点拨】把x＝0代入分式方程可求解．【解题过程】解：把x＝0代入分式方程得0123025aa+-=-+，则a+5= -2(2a-3), 得a＝15【答案】1 5 .5．若式子12x-和32+1x的值相等，则x＝________．【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】列分式方程，去分母，解整式方程可得．【解题过程】解：12x-=32+1x，去分母得：2x+1=3（x-2），解得x=7，经检验x=7是原方程的解.【答案】76．解分式方程413x x-= -【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】把分式方程转化成整式方程,求出整式方程的解，再代入x(x﹣3)进行检验即可．【解题过程】解：方程两边都乘以最简公分母x(x﹣3)得：4x﹣(x﹣3)=0，解得：x=﹣1，经检验：x=﹣1是原分式方程的解故答案为：x=﹣1．【答案】x=﹣1．能力型师生共研7．若关于x的方程3333x m mx x++=--的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜92B．m＜92且m ≠32C．m＞﹣94D．m＞﹣94且m≠﹣34【知识点】分式方程的解、分式方程解法.【数学思想】化归思想.【思路点拨】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案．【解题过程】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=292m-+，∵关于x的方程3333x m mx x++=--的解为正数，∴﹣2m+9＞0，解得：m＜92，当x=3时，x=292m-+=3，解得：m=32，故m的取值范围是：m＜92且m≠32．故选B．【答案】B．8．若关于x的方程2222x mx x++=--无解，则m的值是______.【知识点】分式方程的解、分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】去分母把分式方程转化成整式方程，再利用分式方程无解，把增根代入整式方程，进而得出答案．【解题过程】解：去分母，得2－x－m＝2x－4，即3x＝6－m.∵方程无解，∴x＝2.把x＝2代入3x＝6－m，得m＝0.【答案】0．探究型多维突破9．小明解方程121xx x--=的过程如下：解：方程两边同乘x得1－(x－2)＝1，①去括号得1－x－2＝1，②合并同类项得－x－1＝1，③移项得－x＝2，④解得x＝－2，⑤∴原方程的解为x＝－2.⑥请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．【知识点】分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】按照解分式方程的步骤检查得出答案．【解题过程】解：小明的解法有三处错误：步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥前少“检验”步骤．正确解法是：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝x，去括号，得1－x＋2＝x，移项，得－x－x＝－2－1，合并同类项，得－2x＝－3，两边同除以－2，得x＝3 2.经检验，x＝32是原方程的解．所以原方程的解是x＝3 2.10．请你仔细观察下述材料：方程1111123x x x x-=-+--的解为x＝1；方程1111134x x x x-=----的解为x＝2；方程11111245x x x x-=-----的解为x＝3；….(1)请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并写出这个方程的解；(2)根据(1)中所得的结论，写出一个解为x＝－5的分式方程．【知识点】分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】观察总结规律，要从整体和部分两个方面入手，防止片面地总结，得出错误结论．【解题过程】解：(1) 方法一：分式方程中的四个分母都可看作是未知数与一个整数的差，这四个整数左边两个连续，右边两个连续，左右两边不连续，但只间隔一个整数，每个分式的分子都是1，方程的解正好是中间被省略的那个整数，即1111(2)(1)(1)(2)x n x n x n x n-=------+-+，方程的解是x＝n(n为整数)．方法二：第(1)问的规律方程也可以写成：1111(1)(3)(4)x n x n x n x n-=---+-+-+，此时，方程的解应为x＝n＋2(n为整数)．(2)将x＝－5代入上式，可得所求分式方程为11117+6+4+3 x x x x-=-+.自助餐1．下列关于x 的方程中,是分式方程的是( ) A. 23356x x ++-= B. 137x x a -=-+ C. x a b x a b a b-=- D. 2(1)11x x -=- 【知识点】 分式方程的定义【思路点拨】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断．【解题过程】解：A.方程分母中不含未知数，故不是分式方程；B.方程分母含字母a ，但它不是表示未知数，也不是分式方程；C.方程的分母中不含表示未知数的字母，不是分式方程；D.方程分母中含未知数x ，是分式方程.故选D.【答案】D ．2．分式方程21221-93+3x x x -=-的解为( ) A ．3 B ．－3 C ．无解 D ．3或－3【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】依据解分式方程的步骤可得．【解题过程】去分母得12－2(x ＋3)＝x －3，解得x ＝3.经检验，当x ＝3时，x 2－9＝0，即x ＝3不是原分式方程的解，故原方程无解．故选C .【答案】C .3．当a ＝________时，关于x 的方程2111ax a x -=--的解与方程43x x-=的解相同． 【知识点】方程的解、分式方程解法.【数学思想】化归思想 【思路点拨】先解分式方程43x x -=，再把它的解代入另一个分式方程可得结果． 【解题过程】解：由方程43x x -=得x －4＝3x ，解得x ＝－2.当x ＝－2时，x ≠0，所以x ＝－2是方程43x x -=的解．又因为方程2111ax a x -=--的解与方程43x x-=的解相同，因此x ＝－2也是方程2111ax a x -=--的解．这时221121a a --=---，解得a ＝17. 当a ＝17时，a －1≠0，故a ＝17满足条件． 【答案】17. 4．若关于x 的分式方程2233x m x x -=--无解，则m 的值为_______. 【知识点】方程的解、分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】先去分母得整式方程，再把增根代入整式方程可得结果．【解题过程】解：方程两边都乘x －3，得x －2(x －3)＝m 2.∵原方程无解，∴x ＝3.把x ＝3代入x －2(x －3)＝m 2，得m ＝±3.【答案】±3.5. 解分式方程：21344-12142x x x x +=-+- 【知识点】分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】方程两边同时乘以（2x +1）（2x -1），即可化成整式方程，解方程求得x 的值，然后进行检验，确定方程的解． 【解题过程】解：原方程即132(21)(21)2121x x x x x +=-+-+-， 两边同时乘以(2x +1)(2x −1)得：x +1=3(2x −1)−2(2x +1)，x+1=6x −3−4x −2，解得：x =6.经检验：x =6是原分式方程的解。
八年级数学 16.3.1 分式方程(一)教案 人教新课标版
16.3.1 分式方程（一）教学目标1．知识与技能能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想．2．过程与方法经历探索分式方程概念的过程，探索“实际问题”建立模型的方法．3．情感、态度与价值观培养从实际问题抽象、概括分式方程的数学化思想，体会数学的应用价值．重难点、关键1．重点：理解“实际问题”──分式方程模型的过程．2．难点：建立分式方程的“建模”方法．3．关键：分析实际问题中的量与量之间的关系，正确把握“建模”思想．教学准备教师准备：投影仪，将有关材料（含补充材料）制作成投影片．学生准备：复习一元一次方程解法，预习本节课内容．学法解析1．•认知起点：本节课是在学习了整式方程“建模”以及解法的前提下进行学习的，学生对应题已经经历了几次的认识．2．知识线索：3．学习方式：采用先回顾已学过的一元一次方程概念、解法、建模，•然后利用本章引言中的问题引入，理解分式方程化归成整式方程这一本质思想．教学过程一、回顾交流，情境导入【问题提出】1．前面我们已经学过了哪些方程？是怎样的方程？如何求解呢？教师活动：提问，引导学生回忆旧知识．（提问个别学生）学生活动：思考后回答：（1）前面已经学过了一元一次方程．（2）一元一次方程是整式方程．（3）•一元一次方程解法步骤是：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化一．2．（显示投影片1）一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，•它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，•江水的流速为多少？思路点拨：这是一道实际建模型的题目，但是又是我们过去熟悉的模型的演变，•在设出江水的流速为v千米/时，可列出顺流航速（20+v）千米/时，逆流航速（20-v）•千米/时，抓住“时间相等”建横模型100602020v v=+-．【活动方略】教师活动：操作投影片，分析问题情境，帮助学生回顾原有的方程模型，迁移到现有问题中去．学生活动：共同参与到老师的分析中去，发现所得到的模型是一种新的方程．教师引出定义：上面的方程分母含有字母，也就是说左右两边都出现了分式，我们把这样的方程称为分式方程．教师提问：分式方程与整式方程的区别在哪里？学生活动：通过观察，容易得到这两种方程的区别在于未知数是否在分母．未知数在分母的方程是分式方程．未知数不在分母的方程是整式方程．教师活动：叙述提问，前面我们已经学过了一元一次方程的解法，但是分式方程中分母含有未知数，你又该如何解这个方程呢？学生活动：与同伴交流后，有部分学生会想到将分式方程化归到我们熟悉的整式方程的思路．师生共识：应用数学化归思想，可以通过“去分母”将分式方程转化成整式方程．师生实践：10060 2020v v=+-①去分母：方程两边都乘以最简公分母（20+v）（20-v）得：100（20-v）=60（20+v）②解得：v=5教师提问：观察方程①、②中的v的取值范围相同吗？学生活动：①由于是分式方程v≠±20，而②是整式方程v可取任何实数，数的范围在去分母的过程中扩大了．【适时点评】教师抓住学生的认知盲区，说明解分式方程可能产生“增根”（解释），因此必需注意检验，检验方程是将求出的根（如v=5），代入方程，左边等于右边，•使等式仍然成立的根是方程根否则是增根．介绍简便方法是将根代入分式中使每一个分母不为零则是方程根．只要有一个为零，这个根就是增根．二、随堂练习，巩固深化【课堂演练】（教师板书）解下列分式方程． 22361.(1,)111312.2(1)22x x x x x x x x x +==+--+++==-+-是增根原方程无解 【活动方略】 教师活动：板书课堂演练，组织学生演练，引导学生观察根的情况，验证、归纳验根的方法． 学生活动：课堂演练： 1．解：方程两边都乘以（x+1）（x-1）得：2（x-1）+3（x+1）=6解得：x=1检验：当x=1时（x+1）（x-1）=0所以x=1是增根，原方程无解．2．解：方程两边都乘以（x+2）（x-2）得（x+3）（x-2）+（x+1）（x+2）=2（x 2-4）整理得：4x+4=0解得：x=-1检验：当x=-1时x 2-4≠0，所以，原方程的根是x=-1．【师生共识】归纳小结：（1）解分式方程的关键是如何转化成整式方程来解，•转化的方法是在方程两边都乘以最简公分母，从而去掉分母．（2）由于转化过程中同乘了含有未知数的一个整式，•因而可能使未知数的取值范围扩大，容易造成增根，所以解分式方程一定要验根．（3）验根的方法是把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，•使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．三、阅读理解，以练促思【指导阅读】教师指导学生阅读课本P32～P34．思考下列问题．1．课本P35“练习”解方程的（1）（2）（3）（4）．2．【探研时空】有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，•分别收取小麦9 000kg和15 000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3 000kg，分别求这两块试验田每公顷的产量．（设第一块试验田每公顷的产量为xkg，列式为9000150003000 x x=+）四、课堂总结，发展潜能1．解分式方程的基本思路，是把分式方程转化为整式方程来解，•即把方程两边同时乘以各分母的最简公分母，从而约去分母，化为整式方程，然后再解整式方程．2．解分式方程的一般步骤：（1）在方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根． 3．用一个整式（各分式的最简公分母）去乘分式方程的两边时，•有可能产生增根，因此要验根，验根的方法有两种：（1）代入原分式方程检验，即把约去分母变为整式方程后求得的根，•代入原方程中去直接检验；（2）代入所乘的整式（即最简公分母）检验它的值是否为零，•即把求得的整式方程的根，代入变形时所乘整式，如果不使所乘的整式为零，就是原方程的根，否则就是增根．五、布置作业，专题突破1．课本P38“习题16．3”第1题中（1）（3）（5）（7）题；第2（1）题．2．选用课时作业设计．六、课后反思。
人教版八年级数学上册分式方程第一课时可化为一元一次方程的分式方程教学课件
3把分式方程 x 2 1 化为整式方程得x 2 1；
x2 2x
4把分式方程 1
x2 1
2（xx1）
1 化为整式方程时， 4（x 1）
两边应同时乘以8（x2 1）（x 1）（x 1）。
做一做 当堂练习
1.方 程 3-x2的 解 是 x___ 1___.
x 2.函 数 y
x
中 ， 自 变 量x的 取 值 范 围
分母，得80(x-3）=60(x+3). 解这个整式方程，得x=21.
所以轮船在静水中的速度为21千米/时.
探究分式方程的解法
2、概 括 上述解分式方程的过程，实质上是将
方程的两边乘以同一个整式，约去分母， 把分式方程转化为整式方程来解.所乘的 整式通常取方程中出现的各分式的最简公 分母.
请你动手做一做：
代入原方程检验法和代入最简公分母检验法. 如例1中的x=1，代入x2－1＝0，可知x=1是原分式方程的增根.
(2)代入最简公分母检验时，看最简公分母的 轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.
提问：你还能举出一个类似的例子吗？ 上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.
课堂小结
解分式方程的注意点：
（1）去分母时，先确定最简公 分母；若分母是多项式，要进行因 式分解；
（2）去分母时，不要漏乘不含 分母的项；
（3）最后不要忘记验根。
•分式方程的主要特征：
（1）含有分式 ； （2）分母中含有未知数。
你还能举出一个 分式方程的吗？
例题讲解与练习
辨析：判断下列各式，哪个是分式方程？
(1)
示范教案一3.4.1 分式方程(一)
第六课时●课 题§3.4.1 分式方程（一） ●教学目标（一）教学知识点1.通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义.2.通过观察，归纳分式方程的概念. （二）能力训练要求1.体会到分式方程作为实际问题的模型，能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义.（三）情感与价值观要求在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力.●教学重点能根据实际问题的数量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义. ●教学难点能根据实际问题中的等量关系列出分式方程. ●教学方法尝试——归纳相结合教科书中提供了多个实际问题，教师鼓励学生尝试，利用具体情境中的数量关系列出分式方程，归纳分式方程的定义.●教具准备 投影片三张第一张：小麦试验田问题，（记作 §3.4.1 A ） 第二张：电脑网络培训问题，（记作§3.4.1 B ） 第三张：几何问题，（记作§3.4.1 C ） ●教学过程Ⅰ.创设情境，引入新课［师］在这一章的第一节《分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题.打开课本.当时，我们设原计划每月固沙造林x 公顷，那么原计划完成一期工程需要x2400个月，实际完成一期工程用了302400+x 个月.根据题意，可得方程x 2400－302400+x =4.（1）我们说x 2400，302400+x 分母中含有字母，我们现在知道它们是不同于整式的代数式——分式.可是，我们也是第一次遇到这样的方程，它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型.接下来，我们再来看几个这样的例子. Ⅱ.讲授新课列出刻画现实世界的数学模型——方程. ［师］（出示投影片§3.4.1 A ）［生］涉及到三个基本量：总产量，每公顷试验田的产量，试验田的面积.其中总产量=每公顷试验田的产量×试验田的面积.［师］你能找出这一问题的所有等量关系吗？［生］第一块试验田的面积=第二块试验田的面积. （a ）［生］还有一个等量关系是：第一块试验田每公顷的产量+3000 kg=第二块试验田每公顷的产量 （b ）［师］我们接着回答下面的问题：如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg ，那么第二块试验田每公倾的产量是多少 kg 呢？［生］根据等量关系（b ），可知第二块试验田每公顷的产量是（x +3000） kg.［生］根据题意，利用等量关系（a ），可得方程：x 9000=300015000+x .（2） ［师］x 9000,300015000+x 的实际意义是什么呢？ ［生］它们分别表示第一块试验田和第二块试验田的面积.［师］有没有别的方法列出方程呢？同学们可以以小组为单位讨论，交流.我们看哪一个组思维最敏捷.［生］根据等量关系（a ），我们可以设两块试验田的面积都为x 公顷，那么x9000表示第一块试验田每公顷的产量，x15000表示第二块试验田每公顷的产量，根据等量关系（b ）可列出方程：x 9000+3000=x15000（3）［生］由题意，可知：实际参加活动的人数=原定人数×2倍. （c ）［生］还有一个等量关系为：原计划每个同学平均分摊的费用=实际每个同学平均分摊的费用+4元. （d ）［师］同学们已经过审题，找到了题中的等量关系，接下来该干什么呢？ ［生］设出未知数，列出方程，将具体实际的问题转化为数学模型.［师］你很棒！下面同学们就分组来完成刚才这位同学所说的，你有几种列方程的方法呢？讨论后，各小组可选代表回答上面的问题.y 300人；实际参加活动的每个同学平摊（y －4）元，那么实际参加活动的人数为4480-y 人，根据题意，利用等量关系（c ），得方程：2×y 300=4480-y .（5）［师］上面两个组的回答都很精彩，祝贺他们.（鼓掌）从同学们的表现不难看出，用方程这样的数学模型刻画现实世界的情境，同学们掌握得很好.下面我们再来用方程来解决一个几何问题，刻画一个几何模型.（出示投影片§3.4.1 C ）ED =SR =正方形SPQR 的边长，△ASR 的高AE 可表示为AD 与正方形边长的差.由SR ∥BC ，可得△ASR ∽△ABC ，于是有：BC SR =ADAE （相似三角形对应高的比等于相似比）.所以可设正方形的边长为x ，由BC SR = AD AE 得：a x 2=hx h -.（其中a 、h 为常数）（6）［师］你还能找出图中的相似三角形吗？你还能用它的性质列出方程吗？同学们可以在小组内讨论、交流.［生］从上图中可知SPQ R 是正方形，所以R Q ⊥BC ，又因为AD ⊥BC ，所以AD ∥R Q ，△ADC ∽△R QC.可得RQ AD =CQCD.即RQ AD =RQ CD BC2121-.所以，设内接正方形的边长为2x ，根据题意，得x h 2=xa a -.（a 、h 为常数）.（7） ［师］你们表现得真棒！ 观察方程：x 2400－302400+x =4（1） x 9000=300015000+x（2） x 9000+3000=x15000（3） x 300－4=x2480（4） 2×y 300=4480-y（5）x h 2=xa a -（其中a 、h 是常数）（7）上面所得到的方程有什么共同特点？［生］不难发现方程中的未知数都含在分母中，不是一元一次方程.［师］是的.这就是我们今天要认识的一种新的方程——分式方程即分母中含有未知数的方程.方程（6）是什么方程？［生］方程（6）中，分母不含未知数，它是一元一次方程. Ⅲ.随堂练习1.已知鱼塘中有x 千克鱼，每千克鱼的捕捞费用是x+102000元.现从鱼塘中捕捞101千克鱼花了捕捞费用200元，求x 满足的方程.分析：题中的等量关系是：101千克鱼×每千克鱼的捕捞费用=200元.解：x 满足的方程是：101×x+102000=200.2.补充练习某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1∶4，那么应抽调的管理人员数x 满足怎样的方程？解：抽调管理人员x 人后，管理人员有（40－x ）人，销售人员有（80+x ）人，则x x +-8040=41.Ⅳ.课时小结这节课我们从现实情境问题中建立方程这一重要的数学模型，认识了一种新的方程——分式方程.Ⅴ.课后作业 1.习题3.62.预习下一部分——分式方程的解法. Ⅵ.活动与探究如右图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC =120 mm,高AD =80 mm ，要把它加工成矩形零件PQMN ，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，并求PN =2PQ 时，PN 的长是多少？［过程］由于PQMN 是矩形，所以AE ⊥PN ，这样△APN 的高可写成AD —ED =AD －PQ ，又PN ∥BC ，因此△APN ∽△ABC ，于是可找到PN 与已知条件的关系. 图3－3［结果］设PQ =x mm ，则PN =2x mm.PN ∥BC →△APN ∽△ABC →BC PN =ADAE， 即1202x =8080x - 160x =9600－120x , x =7240=3472所以PN =2x =6874（mm ）。
人教版八年级数学上册：1分式方程课件
例1 解方程
2 3
x3 x
解:方程两边乘x(x-3),得
2x=3(x-3)
解得
x=9
检验: 当x=9时,
x(x-3)= 54 ≠0
∴原分式方程的解为x= 9.
例2 解方程
x
x
1
1
x
3
1
x
2
解:方程两边乘(x-1)（x+2），得
x(x + 2)(x - 1)(x + 2)= 3
解得 x=1
检验: 当x=1 时, (x-1) (x+2)=0，因此x=1不是 原分式方程的解. ∴ 原分式方程无解
练习
1 3 1x
x2
2x
u解分式方程容易犯的错误有：
(1)去分母时，先确定最简公分母；若分 母是多项式，要进行因式分解；
(2) 去分母时，不要漏乘不含分母的项． (3)约去分母后，分子是多项式时， 要 注意添括号．(因分数线有括号的作用） (4)增根不舍掉。
思考题
已知关于 x 的方程
xm x 1
解：设他第一次每小时加工x个，第二次每小时加 工2.5x个，则
1500 1500 18 x 2.5x
分式方程在实际在应用
例3、、一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，
学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车
从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍行
进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15
• 把x=1代入上式，则k=-1 • 把x=-1带入上式，k值不存在
∴当k=-1，原方程有增根。
若关于x的方程，x2 4x a 1 有增根，求a的值。
x3
若方程
初中数学 分式方程导1
课题：分式方程1学习目标：1．使学生理解分式方程的意义．2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．3．了解解分式方程解的检验方法．学习重点：(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想学习难点：检验分式方程解的原因学习过程：一、自主学习：1.概念：分式方程：分母中含有 的方程叫分式方程。
2.练习：判断下列各式哪个是分式方程．（1）5x y += （2）2253x y z +-= （3）1x （4）05y x =+ 3. 看课本例题回答问题：轮船顺流航行的速度为 千米/时；逆流航行的速度为 千米/时，顺流航行 100千米所用的时间为 小时，逆流航行 60 千米所用的时间为 小时。
由两次航行所用时间相等，可列方程100602020v v=+- 二、合作探究1、观察课本生解题过程，思考：方程100602020v v=+-和()()100206020v v -=+中 V 的取值范围相同吗？所以对上题中的解 v=5 必须检验。
检验：将 v=5 代入原方程中，左边= 4，右边=4 ，左边 =右边，因此 v=5 是原方程的解。
注意：分式方程必须检验2、解方程：2110525x x =--小结：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此检验时常将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解，是原分式方程的增根三、学以致用1、解方程：（1）1223x x =+ （2）21133x x x x =+++（3）22411x x =-- （4）22510x x x x-=+-（5）572x x =- （6）11322x x x-=---四、能力提升：1、若关于 x 的分式方程1011m x x x --=--有增根， 则m 的取值是? 点拨：把分式方程进行转化，然后找到有可能的增根，代入。
分式方程一
分式方程一分式方程是数学中一种常见的方程，它由两个或多个未知数组成，当给定一定数据时，通过求解该方程可以得到未知的量的正确值。
本篇文章将讨论分式方程的具体形式，以及如何解决这类方程。
分式方程可以分为两类：一次分式方程和二次分式方程。
一次分式方程是当未知数由一个变量组成时，通常用一个方程来描述该变量的取值范围。
例如：若x为未知变量，则可以用方程x^2+2x+1=0来表示，其中x的解是-1和-1/2。
二次分式方程是当未知数由两个或多个变量组成时，通常用多个方程来描述该变量的取值范围。
例如：若x和y为未知变量，则可以用方程x^2+2xy+y^2=1和x^2+2xy-y^2=2来表示，其中x的解是-3和3/2，y的解是-1/2和1。
解决分式方程的方法主要有以下几种：一、简单代数计算：在解决一次分式方程时，通过简单的代数计算，可以得到未知数的解。
如上面例子中，给定方程x^2+2x+1=0，可以通过将x^2+2x+1=0带入一元二次方程的标准形式 ax^2+bx+c=0，计算出x的解为-1和-1/2。
二、分段函数图像：在解决一次分式方程时，考虑多个点，可以画出一段函数图像，此时可以通过拟合图像，来确定未知数的解。
如上面例子中，给定方程x^2+2x+1=0，考虑多个点，如(0,1), (1,0), (-1,2)，可以画出一段函数图像，此时可以通过拟合图像，来确定x 的解为-1和-1/2。
三、分解因式：当处理二次分式方程时，可以考虑分解因式的方法。
将给定的二次方程分解成独立的一元二次方程，然后依次计算，可以求出未知数的解。
如上面例子中，给定方程x^2+2xy+y^2=1和x^2+2xy-y^2=2，可以将这两个方程分别分解成一元二次方程，然后依次计算，可以求出x的解为-3和3/2，y的解为-1/2和1。
综上所述，分式方程是数学中一种常见的方程，它可以分为两类：一次分式方程和二次分式方程，而解决分式方程的方法也有多种，如简单代数计算、分段函数图像和分解因式等。
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巩固练习
1、下列关于X方程是分式方程的是 (
)
2 (3) y x 3
x (1) 2 5
1 x 1 (4) 5 x 2
5 (2) 2 x
2 (5) 1+3(x-2)=7-x (6) y 1 y
m x mx (8) 1 a a
y (7) y 3 3
第三章
分 式
3.4 分式方程（一）
学习目标
1、掌握分式方程的概念。 2、会列分式方程表示实际问题中的等量关系。 3、总结出列分式方程应用题的一般步骤
自主学习
自学课本86---87页的内容，完成下列问题： 1、总结出分式方程的概念 2、完成两个引例的填空 3、列出87页做一做题目中的方程 时间：五分钟
捐款总额 捐款人 数 人均捐款额 第一次 4800元 第二次 5000元
x
X+20
4800 x
5000 x 20
4800 x
5000 〓 x 20
新知归纳2
列分式方程应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出研究对象，建立等量关系。
2.设:选择恰当的未知数,注意单位。 （可利用列表化难为易） 3.列:根据等量关系正确列出方程。
巩固练习
5、已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船 在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米 所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米
?
顺流所用时间＝逆流所用时间
解：设此江水每小时的流速是x千米。
72 48 20 x 20 x
巩固练习
3、某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备 没有及时到位，只好先用人工装运，6h完成了一 半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，1h 完成了后一半任务。如果设单独采用机械装运xh 可以完成后一半任务，那么x满足怎样的方程？
巩固练习
4、根据联合国《2003年世界投资报告》指出， 中国2002年吸收外国投资额达到530亿美元，比 上一年增加了13%。设2001年我国吸收外国投资 额为x亿美元，请你写出x满足的方程。你能写出 几个方程？其中哪一个是分式方程？
2
某单位将沿街的一部分房屋出租,每间房屋的租金 第二年比第一年多500元,所有房屋的租金第一年为 9.6万元,第二年为10.2万元. （2）你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多 少吗？ 解：设第一年每间房屋的租金是x元。
所有房屋的租金 每间房屋的租金 房屋的间数 96000 第一年 x 96000 x 102000 第二年 x+500 102000 x 500
展示释疑
某单位将沿街的一部分房屋出租,每间房屋的租金第 二年比第一年多500元,所有房屋的租金第一年为9.6
万元,第二年为10.2万元.
（1）你能找出这一情境中的所有等量关吗？ 第二年每间房屋的租金 =第一年每间房屋的租金 +500元 第一年出租的房屋间数=第二年出租的房屋间数
所有出租房屋的租金 出租房屋间数＝ 每间房屋的租金
2
合作交流 1
1、有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用 原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000 kg和15000kg。已知第一块试验田每公顷的产量 比第二块少3000kg，分别求出这两块试验田每公 顷的产量。
(1) 设第一块试验田每公顷的产量为xkg，则第二 ) 块试验田每公顷的产量为 ( x 3000 kg；
102000 96000 由此可得方程 500 x x
本节课你学到了什么？
什么叫分式方程？
分母中含有未知数的方程叫分式方程
◎根据实际问题的数量关系列出分式方程
巩固练习
1、一个正多边形的每个内角都是172°，求它的 边数n满足的分式方程。
巩固练习
2、“退耕还林还草”是在我国西部实施的一 项重要生态工程。某地规划退耕面积共69000 公顷，退耕还林与退耕还草的面积比为5︰3。 设退耕还林的面积为x公顷，那么x满足怎样的 分式方程？
(2) 根据题意，可得方程
9000 15000 x x 3000
。
合作交流 2
2、从甲地到乙地有两条路可以走：一条全长 600 km普通公路，另一条是全长 480km 的高速 公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比 普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙 地的所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所 需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到 乙地所需要的时间？
高速公路 路程 480km 速度 时间 路程 600 km
普通公路 速度 时间
480 x
x
600 2x
2x
（1）、你能发现这个问题中的等量关系吗？ 走高速公路的速度= 走普通公路的速度- 45 （2）、你能根据等量关系列出分式方程吗？
480 600 45 x 2x
合作交流 3
3、为了帮助遭受自然灾害 地区重建家园，某 学校号召同学们自愿捐款。第一次捐款总额为 4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款 人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好 相等。如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足 怎样的方程？
96000 102000 由此可得方程 x x 500
变式延伸 进行重构
（3）根据这一情境你还能提出什么问题？你能自己 列出方程解决你提出的问题吗？
一共有多少间出租房？
解：设一共有x间出租房。 所有房屋的租金 房屋的间数 每间房屋的租金 第一年 第二年 96000 102000 x x
96000 x 102000 x
预习检测
1、观察左右两边的方程，它们有什么不同？
x 2( x 3) 5 x 4
x 2( x 3) 1 2 3
分母中不含未知数
9000 15000 x x 3000 480 600 45 x 2x
分母中含有未知数
一元一次方程
分式方程
新知归纳1
分式方程的定义：