4-6 化二次型为标准形
6_2 配方法化二次型为标准形
②将x1, x2,…, xn正交化标准 化为h1, h2,…, hn，令 P=(h1, h2,…, hn), 仍有 P -1AP= 正交必无关 , 即有 P TAP= 因为PT=P -1.
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作业：
P128页 习题四 8， 9
《线性代数》
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现将X=PY代入二次型，得
f ( X ) X T AX
X PY
( PY )T A( PY ) Y T ( PT AP)Y ,
d1 0 0 y1 0 d 0 y2 2 T yn Y Y , 0 0 d y n n
2
(1)就是相应的满秩线性变换，其中的 满秩方阵 P 为
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P 0 0
1 0
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2 3 1
例2 用配方法化下列二次型为标准型．
f ( x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x2 x3
解：f 中不含变量的平方项，但f 中含乘积项x1x2，为使f 出现平 方项可作下列变换：
上式右端除第一外，已不再含x1 ，继续对x２配方得： 4 2 y1 x1 x2 x3 f 2( x1 x2 x3 ) 2 3( x2 x2 x3 ) 3 x3 3 2 2 2 5 2 令 y2 x2 x3 2 3 2( x1 x2 x3 ) 3( x2 x3 ) x3 3 3 x3 y3
第 6章
二次型
一、二次型与二次型的化简 *二、配方法化二次型为标准形 *三、合同变换法化二次型为标准形 四、正交变换化二次型为标准形 五、惯性定律与正定二次型
考研数学二分类模拟247
考研数学二分类模拟247解答题1. 设c＞1及．当n≥2时，．证明：数列{a n}发散．正确答案：证明：反证法．设数列{a n)是收敛的，记．根据极限的四则运算法则，有即，亦即(a-1)2=1-c，与1-c＜0矛盾．因此数列{a n)发散．[考点] 极限、连续及其应用2. 设非负函数f(x)是周期为T(T＞0)的连续函数，证明正确答案：证明：对任意x＞0，必存在某个自然数n，使得nT≤x≤(n+1)T ①由函数的非负性有将代入②得式③前两项同时除以(n+1)T，再结合式①②可得从而得到又由④⑤⑥及夹逼准则，可知即结论成立．注本题去掉f(x)非负的条件，结论仍然成立．证明如下：当f(x)为以T(T＞0)为周期的连续函数时，先考虑x∈[0，T]，则由闭区间上连续函数的有界性知，存在M＞0使得|f(x)|≤M．再由周期性知f(x)在(-∞，+∞)上有界．令g(x)=M-f(x)，则g(x)是以T(T＞0)为周期的非负连续函数，由上面的证明可知即其中以及则由①②③可得[考点] 一元函数微积分3. 证明：．正确答案：证明：当n=1，2时，可直接验证上述等式成立．设n=k-1，k时成立，来证n=k+1时也成立．事实上，有再利用n=k，与n=k-1已有结果，代入整理，即所求．[考点] 一元函数微积分4. 设A是n(n≥2)阶矩阵，证明正确答案：证明：若r(A)=n，则|A|≠0．从而|A*|≠0．于是r(A*)=n．若r(A)=n-1，则A有一个n-1阶子式不等于0．从而A有一个元素的代数余子式不等于0，于是A*≠0．由于|A|=0，则A*A=0，所以r(A*)≤n-r(A)=n-(n-1)=1．而A*≠0，因此r(A*)=1．若r(A)＜n-1，则A的所有n-1阶子式都等于0，从而A*=0．于是r(A*)=0．注1 本例的结论请读者牢记，并灵活运用．注2 若n≥3且r(A*)＜n-1，则r[(A*)*]=0．[考点] 矩阵5. ．正确答案：解：由于故于是[考点] 不定积分、定积分、反常积分6. 给定两个正数a1与b1(a1＞b1)，作出其等差中项与等比中项，一般地，令证明：皆存在且相等．正确答案：证明：由于a1与b1都是正数，显然a n＞0，b n＞0，n=1，2，…．于是有即a n≥b n，n=1，2，…，因此这说明{a n}是递减数列，而{b n}是递增数列．由a n≥b n≥b n-1≥…≥b1及b n≤a n≤a n-1≤…≤a1知{a n}有下界，而{b n)有上界．根据单调有界定理，皆存在．设．对两边取极限，得，于是a=b．[考点] 极限、连续及其应用7. 判断下述n元线性方程组是否有解?有多少个解?其中a≠0，并且当0＜r＜n时，a r≠1．正确答案：解：由于a≠0且当0＜r＜n时，a r≠1，因此a，a2，…，a n是两两不等的非零数．上述方程组的系数行列式为上式右端是范德蒙行列式，由于a，a2，…，a n两两不等，因此这个范德蒙行列式的值不等于0，从而上述线性方程组有唯一解．[考点] 行列式8. 证明不等式正确答案：证明：由于，则需要证明的不等式等价于设函数则由于f"(x)＞0，因此f'(x)单调递增，而f'(0)=0．故当x＜0时，f'(x)＜0，当x＞0时，f'(x)＞0，所以x=0是函数的极小值点，而且是函数f(x)的唯一极值点，因此是唯一的最小值点，从而且上式等号成立当且仅当x=0，因此由此可得[考点] 连续、导数、微分(Ⅰ)9. 求曲线的渐近线．正确答案：解：由于所以x=0为垂直渐近线．[考点] 定积分的应用10. 利用配方法，化二次型为标准型，并写出所作的可逆线性变换．正确答案：解：作线性变换即把二次型化为标准形将线性变换表示成矩阵形式，即x=Cy，其中．因|C|≠0，故所作变换是可逆线性变换．[考点] 二次型11. 设求下列极限：(1)；(2)；(3)．正确答案：解：(1)所以．(2)先考虑由于而不存在(注：此时x是非零常数，y是变量)，所以不存在．同理(3)中的极限也不存在．[考点] 多元函数微分学12. 设，证明：不存在一个函数以f(x)为其导函数．正确答案：证明：反证法．设g'(x)=f(x)，则当x＞0时，；当x＜0时，．由于g(x)在x=0处连续，则即C1=C2=g(0)．因此则这与式①中g'(0)=1矛盾．[考点] 一元函数微积分13. 证明：若f(x)在[a，b]上可导，且f'(a)·f'(b)＜0，则至少存在c∈(a，b)，使f'(c)=0．正确答案：证明：f'(a)·f'(b)＜0，不妨设f'(a)＜0，f'(b)＞0．因为，所以由函数极限存在的保号性可知，，当a＜x＜a+δ1时，，即f(x)-f(a)＜0．同样，，当b-δ2＜x＜b时，f(x)-f(b)＜0．取，于是在(a，a+δ)，(b-δ，b)中，分别有f(x)＜f(a)和f(x)＜f(b)．故f(a)，f(b)不是f(x)在[a，b]中的最小值，则f(x)在[a，b]中的最小值点必在开区间(a，b)内取到，并设为c，则c也是极小值点，进而c为可导的极值点，故f'(c)=0．[考点] 一元函数微积分14. 设A是s×n矩阵，B是l×m矩阵．证明正确答案：证明：对矩阵的前s行作初等行变换，化成，其中J r是r×n 阶梯形矩阵，且r行都是非零行，则r(A)=r．记，再对矩阵C的后l行作初等行变换，化成，其中J t是t×m阶梯形矩阵，且t行都是非零行，r(B)=t．记，最后对矩阵D作一系列两行互换，化成，矩阵M是阶梯形矩阵，有r+t个非零行．因此[考点] 矩阵、向量、方程组15. 设z=z(x，y)是由方程F(x-z，y-z)=0所确定的隐函数，其中F具有连续的二阶偏导数，证明：z xx+2z xy+z yy=0．正确答案：证明：易知F x=F1，F y=F2，F z=-(F1+F2)于是求得由此得到z x+z y=1分别对x与y求偏导数，又得z xx+z yx=0，z xy+z yy=0两式相加即证得z xx+2z xy+z yy=0[考点] 多元函数微积分16. 求函数f=x+y+z在约束条件xyz=a3下的极值(其中x，y，z，a均大于0)．正确答案：解：作拉格朗日函数L(x，y，z，λ)=x+y+z+λ(xyz-a3)对L求偏导数并令它们都等于零，得由前三式得x=y=z，代入第四式得唯一稳定点x=y=z=a．计算可得所以，且A＞0，故点(a，a)为g的极小值点，点(a，a，a)则为极小值点，极小值为3a．[考点] 多元函数微分学判断下列反常积分的敛散性：17. ；正确答案：解：由于(当x→+∞时)，所以，积分收敛．[考点] 不定积分、定积分、反常积分18. ．正确答案：解：由于(当x→+∞时)，所以，积分收敛．[考点] 不定积分、定积分、反常积分19. 设A是s×n阶矩阵，B是l×m阶矩阵，C是s×m阶矩阵．证明正确答案：证明：设r(A)=r，r(B)=t，则A必存在一个r阶子矩阵A1，使得|A1|≠0；则B 必存在一个t阶子矩阵B1，使得|B1|≠0，从而存在一个(r+t)阶子式，因此．[考点] 矩阵20. 设A是n(n≥2)阶矩阵，证明：|A*|=|A|n-1．正确答案：证明：若A=0，则结论显然成立．下设A≠0．由于AA*=|A|E n，因此：若|A|≠0，则|A||A*|=|A|n，即|A*|=|A|n-1．若|A|=0，即r(A)＜n，由结论知，r(A*)＜n．因此|A*|=0，从而结论成立．[考点] 矩阵21. 设A是n(n≥2)阶矩阵，证明：(1)当n≥3时，(A*)*=|A|n-2A；(2)当n=2时，(A*)*=A．正确答案：证明：(1)设n≥3．若|A|≠0，则由上题的结论知，|A*|=|A|n-1．由于A*(A*)*=|A*|E n，因此．若|A|=0，由结论知，r(A*)≤1＜n-1．再由结论知，(A*)*=0．于是结论也成立．(2)设n=2．此时因此[考点] 矩阵。
2019-2020-1《线性代数》期末试卷(A)答案及评分标准
A卷2019-2020-1《线性代数》期末试卷(A)答案及评分标准《线性代数》期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016年1月15日题号一二三四五六七总分本题满分15 15 21 16 12 14 7本题得分阅卷人注意事项：1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共7页。
说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分）1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【 负 】.2.设1352413120101311--=D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.3．设102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，A 为34⨯矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】.4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】.5．设A 是3阶实的对称矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】.6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式=+-|2|1E B 【 -8 】.二、选择题（共5个小题，每小题3分）1. 设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】.(A) 2-； (B) 21-； (C) 1-； (D) 2.2. 矩阵110120001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为【 A 】．(A) 210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (B)210110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (C) 110120001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (D) 110110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【 A 】．(A) ||0A =； (B) ||1A =； (C) A 可逆； (D) A 满秩.4. 设300300026,110,001342A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【D 】．(A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) 1-.5．设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【 B 】．(A) 2=a ； (B) 1=a ； (C) 3=a ； (D) 以上选项都不对.三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1. 若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k . 解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为零的数321，，λλλ，使得0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk ----------2分 整理得：0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得=3+0=+2+20=323211λλλλλλk 由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此0=30122001k ，由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，由此可得 0=+B E A又 02=122010012=+≠--E A----------2分因此 0=B因此可得 5=-a . ----------7分3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且,A B 相似，求a 与t 的值．解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，而易知B 的特征值为 -1,t ,3，因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3t a t a ++=-++⎧⎨-=-⎩ ----------5分 解得12a t ==,. ----------7分四、（共2小题，每小题8分）1．求向量组123410311301,,,217242140⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解：令()123410311301,,,217242140A αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 把A 进行行变换，化为行最简形， ()123410300110~00010000A C ββββ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭----------6分则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=， 故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.----------8分2. 问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共有两个线性无关的特征向量？解：由0=30030412=λλλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ， 要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量， 即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -， ----------6分而114300000A E a -⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此可知0≠a . ----------8分五、问λ为何值时，线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩λλλ无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，则101412261423B ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭λλλ，对其进行行变换，化为行阶梯形：101012320001B λλλ⎛⎫ ⎪→--+ ⎪ ⎪-+⎝⎭，易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解； ----------6分当1=λ时，101101210000B ⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+⎧⎨=-⎩，由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=442442221A ,122~000,000A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故二次型f 的秩为1. ----------4分由0442442221=-------=-λλλλE A ，可得：0，9321===λλλ，当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11-211ξ，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3232-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-，01232ξξ，正交化：[][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==15452--，012222323322ηηηξηξηξη，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3515541552-15452-35，0125132p p ， ----------12分令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，二次型的标准形为：232221321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由. 解：该结论成立。
高等教育自学考试《线性代数(经管类)》题库一
高等教育自学考试《线性代数（经管类）》题库一1. 【单选题】（江南博哥）A.B.C.D.正确答案：B参考解析：2. 【单选题】A. a=-1，b=3，c=0，d=3B. a=-1，b=3，c=1，d=3C. a=3，b=-1，c=1，d=3D. a=3，b=-1，c=0，d=3正确答案：D参考解析：3. 【单选题】A.B.C.D.正确答案：B参考解析：合同矩阵A和B 有相同的秩和正惯性指数，只有B符合且都有一个正惯性指数4. 【单选题】设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件为A. A的行向量组线性相关B. A的行向量组线性无关C. A的列向量组线性相关D. A的列向量组线性无关正确答案：D参考解析：设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件为A的列向量组线性无关5. 【单选题】设α1，α2，α3，线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不可由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k必有()A. α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关B. α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关C. α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关D. α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关正确答案：D参考解析：6. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：7. 【填空题】设A为三阶方阵，且|A|=-2，则|2A|=_____．我的回答：正确答案：参考解析：由|A|=|A T|,则|2A T|=23|A T|=8×(-2)=-16．8. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：9. 【填空题】设实二次型f(x1，x2，x3)=．则f的秩为_______. 我的回答：正确答案：参考解析：10. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】方程组只有零解，说明系数矩阵满秩．11. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】x=k(1，1，1) T12. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】313. 【填空题】设A为3阶方阵，其特征值分别为1，2，3，则|A+2E|=_______．我的回答：正确答案：参考解析：【答案】60|A+2E|=(1+2)X(2+2)X(3+2)=3 X 4 X 5=60．14. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】15. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】16. 【计算题】我的回答：参考解析：17. 【计算题】求向量组=(2，3，1)，=(1，-1，3)，=(3，2，4)的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组表示出来．我的回答：参考解析：18. 【计算题】我的回答：参考解析：19. 【计算题】我的回答：参考解析：20. 【计算题】我的回答：参考解析：21. 【计算题】我的回答：参考解析：线性方程组的增广矩阵22. 【计算题】我的回答：参考解析：23. 【证明题】我的回答：参考解析：高等教育自学考试《线性代数（经管类）》模拟卷(二)1. 【单选题】设A为三阶方阵，其特征值分别为1，-2，-1，则|A+E|= （）A. 0B. 2C. -2D. 12正确答案：A参考解析：2. 【单选题】下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是（）A.B.C.D.正确答案：C参考解析：3. 【单选题】A、B为n阶矩阵，且A～B，则下述结论中不正确的是（）A. λE-A=λE-BB. |A|=|B|C. |λE-A|=|λE-B|D. r(A)=r(B)正确答案：A参考解析：4. 【单选题】A. -EB. EC. DD. A正确答案：B参考解析：5. 【单选题】二次型的秩为A. 1B. 2C. 3D. 4正确答案：D参考解析：6. 【填空题】设向量=(1，1，2，--2)，=(1，1，-2，-4)，=(1，1，6，0)，则向量空间V={β|β=，∈R，i=1，2，3)的维数为_______．我的回答：正确答案：参考解析：6. 【计算题】我的回答：参考解析：7. 【填空题】设二次型)=，则二次型的秩是_______．我的回答：正确答案：参考解析：7. 【计算题】设二次型()=，用正变变换化上述二次型为标准形，并指出二次型的秩及其正定性。
山东省自学考试线性代数(经管类)
线性代数（经管类）综合试题一（课程代码4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。
错选、多选或未选均无分。
1.设D==M≠0，则D1==( B )．A.－2MB.2MC.－6MD.6M2.设A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出B = C，则A 应满足( D )．A. A≠OB. A = OC.|A|= 0D. |A|≠03.设A，B均为n阶方阵，则( A )．A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.当AB=O时，有A=O或B=OD.(AB)-1=B-1A-14.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1= ( B )．A. B.C.D.与，则下列说确的是( B )．A.若两向量组等价，则s = t .B.若两向量组等价，则r()=r()C.若s = t，则两向量组等价.D.若r()= r()，则两向量组等价.6.向量组线性相关的充分必要条件是( C )．A. 中至少有一个零向量B. 中至少有两个向量对应分量成比例C. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示D. 可由线性表示7.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是( C )．A. r与s未必相等B. r + s = mC. r = sD. r + s > m8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( D )．A. Ax = o有解时，Ax = b必有解.B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解.C. Ax = b无解时，Ax = o也无解.D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解.9.设方程组有非零解，则k = ( D )．A. 2B. 3C. -1D. 110.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D )．A. |A|>0B.存在n阶方阵C使A=C T CC.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
6.1二次型及其标准形
0 3 3
见书上例2、例3.
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称为二次型的标准形（或法式）． 例如
f x1, x2 , x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
其中1,2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax,求出A;
2. 求出A的所有特征值1,2 ,,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 ,,n;
4.
将
特征向量
1
,
2
,,
正
n
交化,
单位化,
得
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
记C (cij),则上述可逆线性变换可 记作
x Cy
将其代入 f xT Ax,有
f xT Ax CyT ACy yT CT AC y.
这样问题就演变为如何找出n阶可逆矩阵C使得CT AC 为对角矩阵。
定义：如果对于n阶方阵A和B，存在n阶可逆矩阵P，使
a1n
a2n
,
ann
x1
x
x2
,
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型;
例１ 写出二次型 f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.
6考研基础复习(线性代数)二次型
A = (a ij ) n×n , AT = A .
一、二次型的基本内容
1、二次型及其矩阵表示 、
的矩阵， 对称阵 A 称为二次型 f ( x ) 的矩阵， 的二次型. 二次型 f ( x ) 称为对称阵 A 的二次型.
是实 A 数时， 是实二次型， 为实对称阵. 数时，f ( x ) 是实二次型， 为实对称阵.
（ 定二次型， （负） 正 则称该二次型为正 负） 定二次型， 定二次型的矩阵 A 称为正（负）定矩阵. 称为正（ 定矩阵.
4、二次型和矩阵的正定性及其判别 、
f ( x 1 , L , x n ) = x T Ax ， 如果实二次型
对于任意一组不全为零的实数 x = ( x 1 , L , x n ) T ，都有
二、典型题型分析及举例
例6.6
——题型 ：基本概念题 题型I： 题型
4、二次型和矩阵的正定性及其判别 、
正定； 特征值全正； ② A 正定； 特征值全正； 一切主子式全 > 0 ； 一切顺序主子式全 > 0 ； A 与 E 合同 A 1 正定； 正定； 存在可逆矩阵 C ，使 A = C T C ；
4、二次型和矩阵的正定性及其判别 、
A 正定； 正定；
的矩阵为： 的矩阵为： 二次型的秩为： 二次型的秩为：
， .
二、典型题型分析及举例
例6.2
——题型 ：基本概念题 题型I： 题型
二次型： 二次型：
2 2 2 f ( x1 , x 2 , x 3 ) = 2 x1 + x 2 + x 3 + 2 x1 x 2 + tx 2 x 3
是正定的，那么 t 应满足不等式： 应满足不等式： 正定的， .
线性代数课后答案_习题5和习题6
习题五1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：1）1124-⎛⎫ ⎪⎝⎭；2）123213336⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；3）001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；4）310410482⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭。
并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。
解：1）11(2)(3)24λλλλ-=----，特征值2,3λ= 。
当2λ=时， 1(1,1)η'=- ，故属于2λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。
当3λ=时 ，2(1,2)η'=- ，故属于3λ=的特征向量为 22k η（20k ≠）。
由于线性无关的特征向量个数为2，故可以对角化。
2）123213(1)(9)336λλλλλλ------=+----，特征值0,1,9λ=- 。
当0λ=时， 1(1,1,1)η'=-- ，故属于0λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。
当1λ=-时， 2(1,1,0)η'=- ，故属于1λ=-的特征向量为 22k η（20k ≠）。
当9λ=时， 3(1,1,2)η'= ，故属于9λ=的特征向量为 33k η（30k ≠）。
由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。
3）201010(1)(1)10λλλλλ--=+--，特征值1,1λ=- 。
当1λ=时， 1(0,1,0)η'= ，2(1,0,1)η'=。
故属于1λ=的特征向量为1122k k ηη+（12,k k 不全为零）。
当1λ=-时， 3(1,0,1)η'=- ，故属于1λ=-的特征向量为 33k η（30k ≠）。
由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。
4）2310410(1)(2)482λλλλλ--+=-+-+ ，特征值1,2λ=- 。
当1λ=时， 1(3,6,20)η'=- ，故属于1λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。
当2λ=-时， 2(0,0,1)η'= ，故属于2λ=-的特征向量为 22k η（20k ≠）。
代数第6章
第6章二次型▪主要内容2.3.1.正交变化法化二次型为标准型；合同；正定.一、二次型及其矩阵表示()[]()1212,,,.,,,,,,.T n TTn Tn f x x x x Ax A A A x x x x f A A r A f x Ax ====元二次型其中是二次型的矩阵二次型与是一一对应的对称阵的秩称为二次型的秩.2221122n nd x d x d x +++若二次型中只有平方项,没有交叉项,即形如的二次型称为标准形；若二次型的标准形中平方项的系数只是1,-1,0,则称为规范性.()()()222123123122312312311,,26____.1232,,,,456____.789T f x x x x x x x x x x A f x x x x x x A =++-+=⎡⎤⎣⎦⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭例（）二次型的矩阵（）二次型的矩阵二、合同变换11111221111212211222221222112212,,,,,.n n n n n n n n n nn n n n nn x c y c y c y c c c x c y c y c y c c c x Cy C x c y c y c y c c c x Cy C =+++⎧⎡⎤⎪⎢⎥=+++⎪⎢⎥==⎨⎢⎥⎪⎢⎥⎪=+++⎩⎣⎦=若令即，其中可逆,则称称为坐标变换,若是正交矩阵则称为正交变换1.坐标变换,,.TC C AC B A B AB =若存在可逆矩阵，使得称合同于记为2.合同()()(),,,...TTTTTTTTTTTT TTTx Ax x Cy x Ax Cy A Cy y C ACy y By B C AC B C AC C AC B x x Ax x Cy y y By x Ax y By =========二次型经坐标变换有其中且以为变量的二次型经坐标变换变成了以为变量的二次型二次型合同于二次型1,,,,.T x Cy C AC C AC B -===特别地若是正交变换则此时即经正交变换二次型矩阵不但合同而且相似三、用正交变换化二次型为标准形2221122+:,.Tn nTx Ax x Cy d y d y d yA C C AC =++=Λ定理1：任何二次型都可以通过（配方法）坐标变换化为标准形用矩阵语言描述是任何实对称矩阵一定存在可逆矩阵使得22211221:,.Tn nTx Ax x Qy y y y A Q Q AQ Q AQ λλλ-=+++==Λ定理2：任何二次型都可以正交变换化为标准形用矩阵语言描述是任何实对称矩阵一定存在正交矩阵使得,,,,.p q p q ⎡⎤⎣⎦定理3惯性定理：用坐标变换化二次型为标准形所作的坐标变换不唯一对应的标准形也不唯一但标准形中正平方项的个数负平方项的个数都是不变的称为正惯性指数,称为负惯性指数.1213232,222x Qy f x x x x x x ==-++⎡⎤⎣⎦例求一个正交变换化二次型为标准形.四、正定()[]1212,,,,,,,0,0,,.TTn n n f x x x x Ax x x x x x Ax f A ==≠>元二次型若对任意的均有则称为正定二次型对应的矩阵称为正定矩阵1.定义0,0,,,00TTTTi n f x Ax x x Ax f p n AE C C AC E D A D DA A λ=⇔≠>⇔=⇔=⇔=⇔⇔元二次型正定对任意的均有的正惯性指数即存在可逆使得存在可逆使得的特征值全大于的全部顺序主子式大于2.正定的充要条件1020ii a A >>（）；（）3.正定的必要条件3,423122122301221212210021311224202112A B C D ⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦例下列矩阵中正定的是，，，()()()()2221231223324,,,1,.f x x x x ax x bx x cx abc f =-+-+-⎡⎤⎣⎦≠例设其中证明是正定二次型()15,,,,0,T kA A A A A kA k *-⇒>⎡⎤⎣⎦例正定及他们之间的正系数线性组合仍正定.6,.B n E n E B λλ⎡⎤⎣⎦例设是阶反对称阵是阶单位阵,>0,证明:-是正定矩阵五、等价、相似、合同2101231232007120,456,035,021.:003330050101234A B C D t t A A B A C A D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦例设问取何值（）正定；（）与等价；（）与相似；（）与合同.()()1A E E A -→可行列变换混用的情形：求行列式，求秩.只能用行变换的情形：求逆，线性表出，解方程，求特征向量.。
线代课件§6用配方法化二次型成标准形
4. 配方
最后，我们对每一项进行 配方，得到 $(x-g)^2 = D - g^2$，$(y-f)^2 = D f^2$ 和 $(z-h)^2 = D h^2$。
证明步骤详解
1. 引入配方法
2. 展开式子
这一步是为了将二次型转化为一个更易于处 理的形式，通过引入 $g, f, h$ 和 $D$，使得 二次型可以更容易地被配方。
证明结论总结
• 通过上述的证明过程，我们证明了二次型 $f(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + 2gx + 2fy + 2fz$ 可以被配方法化为标准形 $f(x,y,z) = a(x-g)^2 + b(y-f)^2 + c(z-h)^2 + D$。
05
配方法化二次型成标准形的应 用
配方法简介
01
配方法的定义：通过配方将二次型转化为完全平方的形式 ，从而将其化为标准形的方法。
02
配方法的步骤
03
1. 将二次型中的每一项写成平方项与线性项之和。
04
2. 将二次型中的平方项组合成完全平方项。
05
3. 将二次型中的线性项与完全平方项相加，得到标准形 。
06
配方法的适用范围：适用于任何实数域上的二次型，尤其 在实数域上的一元二次方程求解中有广泛应用。
理解了二次型标准形在解决实际问题 中的应用价值。
对未来研究的展望
深入研究其他化二次型为标准形 的方法，如三角分解法、正交变
换法等。
探索二次型标准形在各个领域的 应用，如物理学、工程学、经济
学等。
进一步研究二次型标准形与矩阵 理论之间的关系，以及其在矩阵 分解和特征值计算等领域的应用。
ch6-8 高等数学知识点小结
第六章知识点小结1.本章概述本章是前面几章的综合应用，用到矩阵、行列式、线性方程组、特征值特征向量、实对称矩阵的相似矩阵等。
本章介绍了二次型及其矩阵表示、二次型的秩、用正交变换化二次型为标准形、用配方法化二次型为标准形、惯性定理、二次型的正定性等。
本章重点：正交变换化二次型为标准形 本章难点：二次型的正定性。
2.二次型的定义（1） （2）矩阵表示 22212111222(,,,)n nn nf x x x a x a x a x =+++121213131,1222n n n na x x a x x a x x --++++定义 含有n 个变量 的二次齐次函数 12,,,n x x x 称为二次型. ()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nn n n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x x x x f212122221112112121,,,,,,Ax x f T =（3）二次型的秩 矩阵A 的秩3.矩阵的合同（1）定义 （2）定理 则称矩阵 A 与B 合同，或称 A 合同于B .设A , B 为n 阶方阵.如果存在可逆矩阵C ，使TB C AC=若矩阵A 与B 合同，则 A 与B 等价，且 ()().R A R B =（1）正交变换化二次型为标准形;,.1A Ax x f T 求出将二次型表成矩阵形式= ;,,,.221n A λλλ 的所有特征值求出 ;,,,.321n ξξξ 征向量求出对应于特征值的特 ();,,,,,,,,,,,,.4212121n n n C ηηηηηηξξξ =记得单位化正交化将特征向量 .,.52211n n y y f f Cy x λλ++== 的标准形则得作正交变换（2）配方法化二次型为标准形1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止， 经过非退化线性变换，就得到标准形;i x i x ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=kk j i j ji i y x yy x y y x ()j i k n k ,,,2,1≠=且 2.若二次型中不含有平方项，但是 ，则先作可逆线性变换0≠ij a )(j i ≠化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.（3）初等变换法化二次型为标准形3.这就得到满秩线性变换 x =Cy 及二次型的标准形 .2.当A 化为对角矩阵时， E 将化为满秩矩阵C ;1.构造2n ×n 矩阵 ，对A 每施以一次初等行变换后，就对 施行一次同种的初等列变换； A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭4.惯性定理定理 设实二次型 的秩为r ，有两个 实满秩变换 x =Cy , x =Pz ，使T f x Ax =22221111p p p p r rf k y k y k y k y ++=++---(0,1,2,,)i k i r >=22221111q q q q r rf z z z z λλλλ++=++---(0,1,2,,)i i r λ>=及 则 p ＝q .5.二次型的正定性定义 设为实二次型. Tf x Ax =1)如果对任何 ,都有f (x ) ＞0,则称 f 为正定二次型, 0x ≠2)如果对任何 ,都有 f (x ) ＜0, 则称 f 为负定二次型, 0x ≠并称对称矩阵A 是正定的, 记作A ＞0 ；并称对称矩阵A 是负定的, 记作A ＜0 .6.正定二次型的判定（1）是正定二次型(或A 是正定矩阵)； （2）A 的n 个特征值全为正； （3）f 的标准形的n 个系数全为正； （4）f 的正惯性指数为 n ； 定理1 若A 是n 阶实对称矩阵,则下列命题等价: T f x Ax =（6）存在可逆矩阵P ，使 ； T A P P =（7）A 的各阶顺序主子式都为正. （5）A 与单位矩阵E 合同（或E 为A 的规范形）； >>。
线性代数第六章
1 2 1
1 2 1
对
A
2
2
0
进行行变换可以得到
0
2
5
，所以二次型的秩为
3．
1 0 6
0 0 17
6.1.1 二次型的基本概念
例题
5
1 2
0
例2
设
A
1 2 0
3
4
，写出矩阵
A
所对应的二次型．
4
2
解： f (x1 ，x2 ，x3 ) 5x12 3x22 2x32 x1x2 8x2 x3 ．
6.1.2 可逆变换
定义
设由变量 y1 ，y2 ，L ，yn 到 x1 ，x2 ，L ，xn 的线性变换为
x1 c 1 y1
1 c
y1 2 L2
c
n
yn
，
1
x2
c
2 y1
1 c y2 2 L2 L
c
n
yn
，
2
xn cn1 y 1 cn y2 2 L cnn yn ，
（6-3）
c11 c12 L
解：由于
f
中没有平方项，但有
x1
x2
项，由此令
x1 x2
y1 y1
y2 y2
， ，即
x3
y3 ，
x1 1 1 0 y1
x2
1
1
0
y2
，
x3 0 0 1 y3
得
f ( y1 y2 )( y1 y2 ) ( y1 y2 ) y3 y12 y22 y1 y3 y2 y3
n
nn
f aij xi xj
aij xi x j
i ，j 1
第六节 用配方法化二次型成标准形
第六节 用配方法化二次型成标准形例1 化二次型2332223121212224x x x x x x x x x f -+++-=为标准形,并求所用的变换矩阵. 2332223121212224x x x x x x x x x f -+++-=）（解 233222322322232122)44)2(x x x x x x x x x x x -+++--+-=（ 2332222321363)2(x x x x x x x -+-+-= 2322321)(3)2(x x x x x --+-=⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=3332232112x y x x y x x x y 令 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=3332232112y x y y x y y y x 即就把 f 化成标准形,32221y y f -=所用线性变换矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100110121C例2 化二次型3231213x x x x x x f ++=解 令⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211y x y y x y y x代入，再配方可得322231213y y y y y y f --+=32222323149)23(y y y y y y ---+= 232323223149)41)21(()23(y y y y y y --+-+= 232322312)21()23(y y y y y -+-+= ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=333223112123y z y y z y y z 令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=333223112123z y z z y z z y 即 .2232221z z z f --=就有所用变换矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10011121110021102301100011011C第七节 正定二次型定理 11 设实二次型 f = x T Ax 的秩为 r , 若有实可逆变换 x = Cy 及 x = Pz 使),0(2222211≠+++=r r r k y k y k y k f 和 ),0(2222211≠+++=r r r z z z f λλλλ则k 1 ,k 2 ,…, k r 中正数的个数与 r λλλ,,,21 中正数的个数相等．定义 9 实二次型 f = x T Ax 称为正定二次型，如果对任何x ≠0 , 都有x T Ax ＞0 . 正定二次型的矩阵称为正定矩阵.定理 12 n 元实二次型 f = x T Ax 为正定的充分必要条件是：它的标准形的n 个系数全为正.证 设可逆变换 x = Cy 使2222211)()(nn y k y k y k Cy f x f +++== 先证充分性 .设 k i > 0 , i = 1 ,2 ,…, n . 任给 x ≠ 0 , 因为 C 是可逆矩阵, ,01≠=-x C y 所以故0)()(2222211>+++==n n y k y k y k Cy f x f 即二次型为正定的. 再证必要性.用反证法. 假设有 k s ≤0 , 则当 y = e s 时，)(s Ce f ,0≤=s k 其中e s 是第 s 个分量为 1 其余分量都为 0 的 n 维向量. ,0≠s Ce 显然这与 f 为正定相矛盾．因而 k i > 0 , i = 1 ,2 ,…, n .推论 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是: A 的特征值全为正．定理13 对称矩阵 A 为正定矩阵的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正. 即.0,,0,011112221121111>=>>nn n n a a a a A a a a a a 例 判别二次型xz xy z y x f 44465222++---=的正定性.解 f 的矩阵为,402062225⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=A各阶顺序主子式,080,0266225,052221121111<-=>=--=<-=A a a a a a故f 是负定二次型.例 设U 为可逆矩阵, ,U U A T =证明AX X f T =是正定二次型. 证 显然,A A T =即.实对称A 令,1Y U X -=则,)()(Y Y UX UX UX U X AX X f T T T T T ====对任,0≠X 因U 可逆,所以,0≠Y故,022221>+++==n T y y y Y Y f即AX X f T =是正定二次型.。
矩阵初等变换化二次型
设 有 二 次 型 ( x1 , x2 , xn ) f
i , j 1
aij xi x j X T AX ,
n
X 定 若 存 在 可 逆 变 换 PY , 使 义 f ( x1 , x2 , xn ) X T AX Y T BY
则称二次型 T AX与二次型 T BY等价 X Y
aij xi x j
2．用矩阵表示
2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n 2 a 21 x 2 x1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n
2 a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n
2 a22 x2 2a23 x2 x3 2a2 n x2 xn
2 an1,n1 xn1 2an1,n xn1 xn 2 ann xn
称为二次型. 当aij是复数时, f称为复二次型 ;
当aij是实数时, f称为 实二次型 .
只含有平方项的二次型 2 2 2 f k1 y1 k2 y2 kn yn 称为二次型的标准形． 例如
2 则二次型为 f ( x1 , x2 , x3 ) x2 2 x1 x3
三、矩阵的合同
定义
设有两个 阶矩阵 和B, 若存在可逆 n A 矩阵P，使B P T AP，则称 与A合同 B
矩阵P称为把 变为B的合同变换矩阵 A
合同矩阵有一下性质： （1）自反性（2）对称性(3) 传递性 定理 设 P 是一个可逆矩阵,若 A 为对称矩阵, 则 B P T AP 也为对称矩阵,且 R( A) R( B)
思 考 题 解 答
x1 y1 y 2 , 解 由于所给二次型不含平 方项, 故令 x 2 y 1 y 2 , x y , 3 3 2 2 2 有 f ( y 1 y 3 ) y 2 y 3 ,
线性代数第6章二次型及其标准形
f ( x1, x2 , x3 ) [ x1, x2 , x3 ]4
5
6
x2
xT
Bx
7 8 9 x3
解 f x12 5 x22 9 x33 6 x1 x2 10x1 x3 14x2 x3
1 3 5 x1
[ x1, x2 , x3 ]3
x2 x3
注：二次型
对称矩阵
定义2： 二次型 f X T AX 把对称矩阵 A称为二次型 f 的矩阵 也把二次型 f 称为对称矩阵 A 的二次型 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩
例1 写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。
1 2 3 x1
an1 x1 an2 x2
a1n xn
a2n xn
ann xn
a11 a12
( x1, x2 ,
,
xn
)
a21
a22
an1
an2
a1n x1
a2
n
x2
ann
xn
a11 a12
1 E A 2 4 2 2 4 2 52 4
4 2 1 4 2 1
所以A的特征值为: 1 2 5, 3 4
1 2 1
2对1
2
5, 解5E
AX
0, 得基础解系为:1
1
解（1）写出二次型 f 的矩阵 (2) 求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量
线性代数第六章
(x1 , x2 , x3 )
T
= (k ,−k ,0 )
T.
例10（1991）考虑二次型 （ ）
f = x + 4 x + 4 x + 2λx1 x2 − 2 x1 x3 + 4 x2 x3
2 1 2 2 2 3
+ 2 a n − 1, n x n − 1 x n 称为二次型 .
二次型可记作 f = x T Ax , 其中 A T = A . A 称 为二次型 f的矩阵 , f称为对称阵 A 的二次型 , 对 称阵 A 的秩称为二次型 f的秩 .
二次型与它的矩阵是一一对应的． 二次型与它的矩阵是一一对应的．
提示： 提示：f = X T 1 (A* )T X = X T 1 A* X = X T A−1 X
A A
合同， 由于 A 与 A−1合同，所以 g ( X ) = X T AX 与
f ( X ) = X T A−1 X 具有相同的规范形 具有相同的规范形.
例5（2003）设二次型 （ ）
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = X T AX = ax12 + 2 x2 − 2 x3 + 2bx1 x3 (b > 0),
3） 个系数全为负。 （3） f 的标准形的n个系数全为负。 （4） f 的负惯性指数为 n 。 ） ，（或 （5） A 与负单位矩阵 E 合同，（或- E 为 A 的规范 ） 与负单位矩阵- 合同，（ 形） （6）存在可逆 矩阵 P ，使 A = − P P ）
T
（7）对称矩阵A为负定的充分必要条件是 : 奇数阶主子 ）
( 2 )任给实二次型 f = ∑ a ij x i x j ( a ij = a ji ), 总
化二次型为标准型
化二次型为标准型二次型是代数学中一个重要的概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在矩阵理论中，我们经常需要将一个给定的二次型化为标准型，以便更好地进行计算和分析。
本文将介绍如何将一个二次型化为标准型的具体步骤和方法。
首先，我们来回顾一下什么是二次型。
在代数学中，二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，通常可以表示为一个对称矩阵的形式。
例如，对于n个变量x1, x2, ..., xn，一个二次型可以表示为以下形式：Q(x) = a11x1^2 + a22x2^2 + ... + annxn^2 + 2(a12x1x2 + a13x1x3 + ... + ann-1,nxn-1xn)。
其中，aij表示对应的系数，对称矩阵的对角线上的元素为二次项的系数，非对角线上的元素为交叉项的系数的一半。
接下来，我们将介绍如何将一个二次型化为标准型。
要将一个二次型化为标准型，我们需要进行以下步骤：1. 对二次型进行配方法，即通过合适的线性变换将二次型化为平方项的和的形式。
2. 通过正交变换将平方项的和的形式化为标准型。
首先，我们来看第一步，即如何通过配方法将二次型化为平方项的和的形式。
对于一个n元二次型Q(x)，我们可以通过合适的线性变换将其化为以下形式：Q(x) = λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... + λnyn^2。
其中，λ1, λ2, ..., λn为二次型的特征值，y1, y2, ..., yn为相应的特征向量。
这个过程就是对二次型进行配方法，将其化为平方项的和的形式。
接下来，我们来看第二步，即如何通过正交变换将平方项的和的形式化为标准型。
对于一个平方项的和的形式，我们可以通过正交变换将其化为标准型。
具体来说，我们可以找到一个正交矩阵P，使得P^TQP为对角矩阵，即将二次型化为标准型。
通过以上两个步骤，我们就可以将一个给定的二次型化为标准型。
这样做的好处在于，标准型更容易进行计算和分析，可以更清晰地展现二次型的性质和特征。
2023考研高等数学全考点精讲-第六讲 二次型
第六讲 二次型【考试要求】1．掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理． 2．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形． 3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法.考点：二次型及其矩阵表示 1.二次型的定义定义含有n 个变量12n x x x ,,,的二次齐次多项式1211(,,,)nnn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑，其中(,1,2,,)ij ji a a i j n ==，称为n 元二次型，简称二次型.2.二次型的矩阵定义 二次型可改写成矩阵向量形式T f =x Ax ，其中12(,,)T n x x x =x ，111212122211n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 为对称矩阵，A 称为二次型f 的矩阵， A 的秩称为二次型f 的秩.注: 二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,f 称为对称矩阵A 的二次型． 【例1】试将二次型221231213(,,)24f x x x x x x x =++表示成矩阵形式.【例2】试求二次型T f =x Ax 的矩阵，其中113322360⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .【例3】设二次型123121323(,,)422f x x x x x x x tx x =−++的秩为2，则t=__________.3.可逆线性变换如果11111221221122221122n nn nn n n nn nx c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =++⋯+⎧⎪=++⋯+⎪⎨⋯⎪⎪=++⋯+⎩（*） 满足1112121222120n n n n nnc c c c c c c c c =≠C ，称（*）为从变量12(,,)T n x x x =x 到12(,,)T n y y y =y 的可逆线性变换，记作=x Cy ，其中C 可逆.注: 若C 为正交矩阵，则称=x Cy 为正交变换.考点：化二次型为标准形 1.标准形定义 如果二次型中只含有变量的平方项，即2221122T n n f d y d y d y ==+++y Ay ，称为二次型f 的标准形. 注：1）二次型f 的标准形的矩阵为对角矩阵；2）二次型f 的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项个数由二次型的秩()r A 唯一确定.2.定理1）n 元二次型(,,,)T n f x x x =12x Ax 经可逆线性变换=x Py （其中P 为可逆阵）后，成为y 的n 元二次型T y By ，其中T =B P AP （与原二次型的矩阵合同）；2）任一个n 元二次型(,,,)T n f x x x =12x Ax ，都可以通过可逆线性变换化为标准形2221122T n n d y d y d y =+++x Ax （其中i d 为实数）；3）任一个n 元二次型(,,,)T n f x x x =12x Ax ，都必存在正交变换=x Qy （Q 为正交矩阵），使得该二次型化为标准形222121122(,,,)n n n f x x x y y y λλλ=+++，其中12,,,n λλλ为实对称矩阵A 的n 个特征值.【例1】（2012）设矩阵1010111001a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪− ⎪−⎝⎭A ，二次型()123(,,)T T f x x x =x A A x 的秩为2.(I)求实数a 的值；(II)求正交变换=x Qy 将f 化为标准形.【例2】已知二次型222123123121323(,,)5222f x x x x x x ax x x x bx x =−++++的秩为2，且(2,1,2)T 是A 的特征向量，那么经正交变换二次型的标准形是_______________.【例3】用配方法将二次型22123121223(,,)244f x x x x x x x x x =+−−化为标准形，并写出所用的可逆线性变换考点：惯性定理、二次型的规范形、合同 1.惯性指数设二次型的标准形为2221122n n f d y d y d y =+++，其中，正平方项的个数称为正惯性指数，用p 表示；负平方项的个数称为负惯性指数，用q 表示.2.惯性定理对一个二次型，虽然选取不同可逆线性变换得到的标准形不唯一,但标准形平方项系数中,正平方项的个数p 和负平方项的个数q 是由原二次型唯一确定的. 事实上，在可逆线性变换下，二次型的秩，正、负惯性指数，正定性都保持不变. 推论：对于二次型的矩阵A ，有()r p q =+A ，即实对称矩阵A 有p q +个非零特征值3.二次型的规范形定义 当标准形中的系数i d 为1，-1或0时,则称其为二次型的规范形. 定理 任一实二次型f 都可经可逆线性变换化为规范形22222121p p r f z z z z z +=+++−−−其中，r 为A 的秩；p 为正惯性指数；r p −为负惯性指数，且规范形唯一【例1】二次型222123123(,,)43f x x x x x x =−+的规范形f =________，秩是_________，正惯性指数是_________，负惯性指数是_________.4.矩阵的合同1）合同的定义：设A与B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵,C使得T=B C AC，则称A与B 合同，记作A B.2）关于合同的命题①任一实对称矩阵合同于一个对角矩阵②实对称矩阵A与B合同⇔T x Ax和T x Bx有相同的正负惯性指数.③实对称矩阵A与B合同⇒()()r r=A B，T A与T B合同，1−A与1−B合同.④实对称矩阵A与B相似⇒A与B合同.【例2】与100002020⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A合同的矩阵是（）(A)119⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(B)122⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦(C)111⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦(D)111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【例3】矩阵1010=0203−⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A B与是否等价、相似、合同？考点：正定二次型、正定矩阵 1.二次型正定（对称矩阵A 正定）定义 设二次型()T f =x x Ax ，如果对任何≠x 0都有()0T f =>x x Ax ，则称f 为正定二次型，并称对称矩阵A 为正定矩阵.2.二次型f 正定（实对称矩阵A 正定）的充要条件()T f =x x Ax 正定⇔对任何≠x 0恒有()0T f =>x x Ax （定义，证f 正定常用）；⇔()T f =x x Ax 的标准形的n 个系数全大于0；⇔A 合同于单位矩阵，即存在可逆矩阵C ,使得T =A C C ； ⇔A 的正惯性指数p 等于其阶数n ；⇔A 的所有特征值都是正数（证f 正定常用）；⇔A 的顺序主子式全大于0（证f 正定常用）. 推论：若A 为正定矩阵，则110()m m m m f a a a −−=+++A A A E （其中i a ≥0且不全为0），1−A ，A *都是正定矩阵.3.二次型f 正定（实对称矩阵A 正定）的必要条件()T f =x x Ax 正定⇒ ①A 是实对称矩阵； ②0,ii a i >∀（常用）；③0>A （常用），从而A 可逆; ④A 中最大的数落在主对角线上.【例1】 下列矩阵为正定的是（ ）(A) 120230002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (B)120240002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (C)120250002−⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦； (D) 200012025⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【例2】 设,A B 均为n 阶正定矩阵，则下列矩阵为正定的有（ ）(A)AB(B)+A B(C)−A B(D)2−A B【例3】21101000k k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 是正定矩阵，则k 满足条件____________. 【例4】设A 是n 阶实对称阵，且332+−=0A A E .试证：A 正定【例5】设A 是n 阶实可逆阵，T =B A A .试证：B 正定。
【指导】线性代数学习指导第六章二次型
【关键字】指导第八章二次型一．内容提要：1. 二次型及其标准形的概念定义1 包含个变量的二次齐次函数称为一个元二次型，简称二次型.若记，则二次型的矩阵形式为，其中A为n阶实对称矩阵，称为二次型的矩阵，A的秩称为二次型的秩.2. 二次型的标准形和规范形定义2 经可逆线性变换所得的只含平方项的二次型称为原二次型的标准形定义3系数为1或0的标准形称为复二次型的规范形；系数为1、-1或0的标准形称为实二次型的规范形.3. 矩阵的合同定义4 设A ，B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵C ，使得则称A与B合同矩阵合同具有以下性质：①反身性：n阶矩阵A与A合同；②对称性：若A与B合同，则B与A合同；③传递性：若A与B合同，B与C合同，则A与C合同4. 化二次型为标准形或规范形（1）经可逆线性变换，原二次型矩阵和新二次型的矩阵合同.（2）任意一个实二次型经可逆线性变换可化为标准形.即：任意一个实对角矩阵都与一个对角阵合同.（3）任意一个实二次型都可经过正交变换化为标准形.定理（惯性定理）任意一实二次型都可经过可逆线性变换化为规范形，且规范形唯一.5. 正定二次型和正定矩阵5.1正定二次型定义5 设为一个实二次型，若对任意一组不全为零的实数实二次型的值（8.19）则称为正定二次型，并称正定二次型的矩阵为正定矩阵.5.2二次型正定的充要条件设n元实二次型，则下列几个条件等价：（1）f为正定二次型；（2）A的特征值全为正；（3）f的正惯性指数为n ；（4）A合同于单位阵E ；（5）存在n阶非奇异矩阵C ，使得A =二． 重点难点1. 二次型及其矩阵表示2. 合同变换与合同矩阵3. 二次型的秩 惯性定理4. 二次型的标准形和规范形5. 用正交变换和配方法化二次型为标准形6. 二次型及其矩阵的正定性 三．学习要求1. 了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换和合同矩阵的概念.2. 了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，掌握正 交变换和配方法化二次型为标准形的方法.3. 理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法. 四．典型题分析例1 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: ．解 二次型矩阵为 ，故的特征值为当时，可得单位特征向量， 当时，可得单位特征向量，当341λλ==时，可得单位特征向量300P⎪=⎪⎝⎭，400P ⎛⎫⎪= ⎪⎪．于是正交变换为且有222212343f y y y y =-+++．例2．判别下列二次型的正定性：(1)2221231213-2-6-422f x x x x x x x =++;(2)22221234121314243919-242-6f x x x x x x x x x x x x =+++++分析 可用顺序主子式方法判断 解(1) f 的矩阵为-2111-6010-4A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,11-20a =<，-211101-6=>，-2111-60-3801-4=<， 故f 为负定．(2) 1-121-130-3209-61-3-619A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1110a =>，1-140-13=>, 1-12-1306029=>,240A =>． 故f 为正定．例3 二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 .分析二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.解 因为2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2. 例4 设,A B 为n 阶正定阵，下列命题正确的是： （A ）若A 合同于B ，则A 相似于B（B ）若A 相似于B ，则A 合同于B (C ）若A 合同于B ，则A 与 B 等价 (D ）若A 与 B 等价，则A 合同于B解 由等价、相似、与合同的定义可知：若A 合同于B ，由于一般矩阵1T C C -≠，故不能推出A 相似于B.反之由A 相似于B ，也不能推出A 合同于B.但A 合同于B 时，则A 与 B 必等价，所以选(C).例5 设矩阵200030001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则A 合同于矩阵解：答案（C ）和矩阵200030001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值有相同正负个数，即由相同的惯性指数所以选(C)例6 对于二次型(),Tf X X AX =其中A 为n 阶实对称矩阵，下述结论中正确的是 （A ）化()f X 为标准形的可逆线性变换是唯一的 (B ）化()f X 为规范形的可逆线性变换是唯一的 (C ）()f X 的标准形是唯一的 (D ）()f X 的规范形是唯一的解 二次型()Tf X X AX =化为标准形或规范形有不同的方法，对应的可逆线性变换也不相同，但正、负惯性指数及非零平方项个数一定是唯一确定的，所以选(D ）例8 设矩阵010010000010012A y ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（1） 已知A 的一个特征值为3，试求y . （2） 求矩阵P ，使()()TAP AP 为对角阵.分析 （1）可将A 的一个特征值3代入方程即可求解y(2) 注意到A 是对称阵，所以2()()TTAP AP P A P =，求出2A 的标准形即可.解 （1）将特征值3代入矩阵A 的特征多项式1001000001012A E y λλλλλ---==--解得2y =(2) 由（1）结果可知因为TA A =，所以2()()TTAP AP P A P =对应于2A 的二次型为 作线性变换：11223344445y x y x y x x y x =⎧⎪=⎪⎪⎨=+⎪⎪=⎪⎩ 即：1122334410000100400150001x y x y X PY x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭将X PY =代入二次型2T X A X ，得 即 矩阵P ，使得例9设n 阶矩阵A 为正定矩阵，试证1A -也是正定矩阵 证明 因A 为正定矩阵，故存在可逆矩阵C ，使得 且1A -依然为对称矩阵，所以1A -也是正定矩阵.五．习题解析习题8.11．写出下列二次型的矩阵.（1）222123123121323(,,)f x x x x x x x x x x x x =+++++（2）12341223(,,,)f x x x x x x x x =-（3）1234135(,,,)246785T f x x x x X X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解1．（1） 111221112211122⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（2） 10002110022100020000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；（3） 51625472675⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解答略2．将二次型表成矩阵形式，并求该二次型的秩.解所以该矩阵的秩为3，也即二次型的秩为3 3．设A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321000000a a a ， B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13200000a a a 证明A 与B 合同，并求可逆矩阵C ，使得 B = T C A C ． 证明4．如果n 阶实对称矩阵A 与B 合同，C 与D 合同，证明A O B O O C O D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与合同. 证明 n 阶实对称矩阵A 与B 合同，所以存在可逆矩阵P ，使T P AP B = C 与D 合同，所以存在可逆矩阵Q ，使TQ CQ D = 故：A O B O O C O D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与合同 习题8.21．用正交变换法化下列实二次型为标准形，并求出所用的正交变换.（1）22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++解（1）200032023A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭解得对应于11λ=的特征向量：1011p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭当22λ=，代入：解得对应的特征向量：2100p ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭当35λ=解得对应的特征向量：3011p ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭再分别单位化，得正交阵：令,X QY =得标准形为22212325,f y y y =++（2）12341234(,,,)22f x x x x x x x x =- 解得特征值12341,1λλλλ====- 当1λ=解得特征向量：121010,0101p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当1λ=-解得特征向量：341010,0101p p -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将34,p p 分别正交化、单位化得正交变换矩阵：0000000Q ⎫⎪⎪⎪⎪⎪= ⎝经正交变换X QY =后得 标准形：22221234f y y y y =+--（3）222123123121323(,,)44448f x x x x x x x x x x x x =++-+-解得特征值1230,9λλλ===当0λ=解得对应的特征向量：12221,001p p -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将12,p p正交化、单位化得12,0ηη⎛⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入39λ=解得对应的特征向量：3122p ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭单位化得：3132323η⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭将特征向量分别正交化单位化得正交变换矩阵：经正交变换X QY =得标准形：239f y =2．已知二次型2221231231223(,,)222f x x x x x x cx x x x =++++的秩为2.(1) 求c;(2) 求一正交变换化二次型为标准形. 解 （1） 代入A满足()2R A =， 解 （2）得特征值 1232,0λλλ=== 当2λ=解得对应的特征向量：12100,101p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当0λ=解得对应的特征向量：311p ⎪=- ⎪⎪⎝⎭将3p单位化得0⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，最后得 正交变换矩阵：3．已知二次型2212323121323(,,)43248f x x x x x ax x x x x x =-+-+经正交变换化为标准形解由题意：A 与B 正交相似，有trA trB = 即：解得：12102,3a a ==-当0222,244243a A -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭代入11λ=解得对应的特征向量：1201p -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭代入26λ=解得对应的特征向量：212521p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭代入36λ=-解得对应的特征向量：32121p ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭将特征向量分别正交化单位化得正交变换矩阵：代入103a =-1不是A 的特征值，故103a =-舍去 注 本题也可利用A 与B 的特征多项式相等，从而同次项系数相等来确定参数.22224. 222444,,.x x ay z bxy xy yz y Q z a b Q ξηζηζ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=2已知二次曲面方程可经正交变换化为椭圆柱面方程求的值与正交矩阵解由题意：A 与B 正交相似，有trA trB = 即：解得：3,1a b == 当10λ=解得对应的特征向量：1101p -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭当21λ=解得对应的特征向量：2111p ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭当34λ=解得对应的特征向量：3121p ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭将特征向量分别单位化得正交变换矩阵：5．用配方法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换.（1）222123123121323(,,)25228f x x x x x x x x x x x x =+++++解最后得标准形：2221235f y y y =+-可逆变换：（2）123121323(,,)5f x x x x x x x x x =-+ 解 令11221233x y y x y y x y =+=-= 代回二次型 得标准形2221235f z z z =-+可逆变换112233*********x z x z x z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）222123123121323(,,)55428f x x x x x x x x x x x x =+++-+解 2212123,,012001f y y X CY C --⎛⎫ ⎪=+== ⎪ ⎪⎝⎭其中解答同（1），略6．在二次型 f （ x 1 ，x 2 ，x 3 ）= 213232221)()()(x x x x x x -+-+- 中，令得 f = 232221y y y ++可否由此认定上式为原二次型f 的标准形且原二次型的秩为3 ？为什么？若结论是否定的，请你将f 化为标准形并确定 f 的秩. 解11011=011---变换矩阵行列式，变换不可逆，所以不能认为上式为原二次型f 的标准形且原二次型的秩为3因为二次型222123122313222222f x x x x x x x x x =++---，用配方法：令：11232231()2y x x x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ 得 本题的另一种解法如下：因为二次型222123122313222222f x x x x x x x x x =++---，其矩阵得特征值1233,0λλλ∴=== 代入123λλ==解得对应的特征向量：12110,110p p --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正交化得：121120,1112ζζ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭代入0λ=解得对应的特征向量：1111p ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭将特征向量分别正交化单位化得正交变换矩阵：标准形：221233f y y =+注意：这两种解法看似答案不一样，但有相同的规范形，所以都正确.7．判断矩阵01111213A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与是否合同.解 矩阵01111213A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与所对应的二次型具有相同的规范形，合同.习题8.31．判定下列实二次型的正定性.（1）2221231231223(,,)23442f x x x x x x x x x x =++-- （2）222123123121323(,,)23222f x x x x x x x x x x x x =---+-+（3）123121323(,,)5f x x x x x x x x x =+- （4）∑∑≤<≤=+nj i jini ixx x112解 （1）231014A ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭各阶顺序主子式为：该实二次型正定（2）解答同理，略 （3） 解答同理 解 （4） 二次型矩阵故A 的特征值全为正，所以A 正定2． a 为何值时， 实二次型222123123121323(,,)(2)22f x x x x a x ax x x x x x x =++++--是正定的.解 运用顺序主子式法判定 解（1）2101020123(2)101A E c +c +c λλλλλλ--=---- 解得特征值：12302λλλ∴===， （2） 可求得B 的特征值：22,(2)k k +由于当B 的特征值都大于0时正定，所以02k k ≠≠-且时，B 正定.习题八 (A)一、填空题1．二次型222123123121323(,,)23246f x x x x x x x x x x x x =+-+-+的矩阵为 .解 易得：A =212113233-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭2．2123123(,,)()f x x x ax bx cx =++二次型的矩阵为 .解 易得：A=22ab bbc ac bc c ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3．已知二次型的矩阵为124214447-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭，则该二次型为 . 解 该二次型为：122212321231213233124(,,)2147488447x x x x x x x x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-=+++-- ⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭4．二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 .解因线性变换112223313y x x y x x y x x=+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩ 不可逆，故222222123122331123121323(,,)()()()222222f x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++-++=++++-得二次型的矩阵为：A =211121121011()2112000R A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→-∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭5．化二次型222123123(,,)43f x x x x x x =+-为规范形 ，所用的可逆线性变换矩阵为 .解 令1122332y x y x y ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 得二次型222123123(,,)43f x x x x x x =+-的规范形222123y y y +-，所用的可逆线性变换矩阵为112⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝6．二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =++的规范形为 . 解 二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =++的矩阵为：A =022*********2⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭求其特征值得：所以规范形为：222123y y y --7．已知实对称矩阵A 与矩阵100012022T X AX ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭合同，则二次型的规范形为 .解 由于实对称矩阵A 与矩阵100012022⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭合同，则对应的二次型有相同的规范形先求实对称矩阵A 与矩阵100012022⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值：故：12313,2λλλ===-， 所以规范形为：222123y y y +-8．已知2221231231223(,,)22f x x x x x x x x ax x =++++正定，则a = .解9．当t 满足 , 2221231231213(,,)4242f x x x x x x tx x x x =---++是负定的.解10．已知二次型222123123121323(,,)222f x x x x ax x x x ax x x x =+++--的正、负惯性指数均为1，则a = . 解由于二次型的正负惯性指数均为1，故f 的秩为2，于是A 的秩也为2，所以0A = 解得：1221a a =-=， 代入 当12a ∴=- 求其特征值得：所以规范形为：2213y y -符合题意，故12a =-2不合题意，故舍去21a =二、单项选择题1. 已知二次型22212312312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为2,则a =( ).(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3解 11022211011011000100200200a a A a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+-→+-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴=选(A)2. 设100020005A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 则下列矩阵中与A 合同的矩阵是( ).(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001 (B)100020001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ (C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--500010002 (D)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300010002 解 A 的特征值两正一负，只有(A)符合题意(A) A 与B 合同 (B) A 与B 等价 (C) A 与B 相似 (D) A 与B 的秩相等 解 根据合同的定义及性质，可知(A),(B),(D)正确，由相似的定义知(C)不正确. 4. 设A, B 都是正定阵, 则( ).(A) AB, A + B 一定都是正定阵 (B) AB 是正定阵, A + B 不是正定阵 (C) AB 不一定是正定阵, A + B 是正定阵 (D) AB, A + B 都不是正定阵 解 选（C ），因为AB 不一定是对称阵5. 下列条件不能保证n 阶实对称矩阵A 为正定的是( ). (A) 1A -正定(B) 二次型f=X T AX 的负惯性指数为零 (C) 二次型f=X T AX 的正惯性指数为n(D) A 合同于单位矩阵解 选(B)，负惯性指数为零也可能是半正定.解 由22212312323123(,,)(2)(23)(3)f x x x x ax x x x x x ax =+-+++++二次型知： 线性变换矩阵的秩为3 选（C ）7. 已知实对称矩阵A 满足A 2-5A+6E=O ,则A ( ).(A) 正定 (B) 半正定 (C) 负定 (D) 不定 解 由实对称矩阵A 满足A 2-5A+6E=O 两边同乘以特征向量X,得A 的特征值为2或3 ，故选(A)8. 已知二次型222123123121323(,,)22248f x x x x x x ax x x x x x =--+++经正交变换化为 222123227f y y y =+-,则a =( ).(A)1 (B) -1 (C) 2 (D) -2 解 由题意可知： 故选(D)9. 下列矩阵合同于单位矩阵的是( ).(A) 121242363⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ (B)101040101-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭(C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛811172121 (D)212134244--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭解 通过计算可知选（C ）10. 设矩阵211112111120A B A B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭与矩阵，则与( ).(A) 合同且相似 (B) 合同但不相似(C) 不合同但相似 (D) 既不合同也不相似 解 根据合同与相似的定义可知选(B)(B)1．已知22082006B a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似于对角阵.（1）求a 的值；（2）求正交变换使二次型X T BX 为标准形.解 先求22082006B a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值：代入二重特征值6λ=解得 0a = 220820006B ⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭代入12λ=-解得对应的特征向量：1120p -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭代入236λλ==解得对应的特征向量：12102,001p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭已 正交，将特征向量分别正交化单位化得正交变换矩阵：标准形： 222123266y y y -++解 （1）先写出222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-二次型的矩阵：513153153~0126330129()2,3A c c R A c ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭=∴= 代入A 解得：1230,4,9λλλ===（2）标准形： 22491y z +=表示椭圆柱面.3. 已知实二次型f=X T AX 中矩阵A 的特征值为1，2，5，A 属于特征值1与2的特征向量分别为12(0,1,1),(1,0,0),TTαα=-=求该二次型.解法1 设A 属于特征值5的特征向量为1323x x x α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，因A 为实对称阵，故13230,0T Tαααα==，即2310x x x -=⎧⎨=⎩，取 3301,11x α⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，构成可逆矩阵()123010,,101101P ααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭计算得：10111200.2011P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因1125P AP -⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，故 解法2 设111213122223132333a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由题意：AX X λ= 得 ：1112131213222323332,0011a a a a a a a a a ===-=-=-=- 令 33a a = 可得200101~2015A a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭由 相似矩阵迹相同得：2283a a +=⇒= 4．设二次型123(,,)f x x x 经正交变换 解 由题意412TA Q Q ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭=220212020-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭5．设A 是n 阶对称矩阵，如果对任一n 维向量X ，都有f=X T AX=0,证明A=O .证明 设()111212122212n n ij n n nn a a a a a a A a a a a ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭，由于A 对称，故ij ji a a = 取()0,1,0,0,(1,2,,)i X i n ε===则0,(1,2,)Ti i ii A a i n εε===再取(0,,0,1,0,,0,1,0,,0)jii j X εε=+=则20Tii ij ji jj ij ji ij X AX a a a a a a a =+++=+== 推出 0ij a =，于是A =O6．设f = T X A X 为n 元实二次型 ，λ与μ 分别为其矩阵A 的最大特征值与最小特征值，证明对任一实n 维向量X ，总有 μT X X ≤T X A X ≤ λT X X ．证明 f = T X A X μT X X =TX EX μ要证对任一实n 维向量X ，总有 μT X X ≤TX A X只需证明对任一实n 维向量X ，()0TX A E X μ-≥ 即 A E μ-半正定 由于存在正交相似变换矩阵Q ，使1111()T T T T n n Q AQ Q A E Q Q AQ Q EQ λλμμμμμμμμμ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⇒-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭显然：11n λμμμμμ--⎛⎫⎪-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭半正定，所以A 与半正定阵合同，故 ()0T X A E X μ-≥ 即对任一实n 维向量X ，总有 μT X X ≤T X A X对任一实n 维向量X ，TX A X ≤λT X X 的情形同理可证7．试证：若A 是n 阶方阵，则 TA A 是半正定矩阵． 证明()0T T T X A AX AX AX =≥TA A ∴是半正定矩阵8．设A 为n 阶实对称矩阵且满足 A A A ++23 = 3 E ，证明A 是正定矩阵．证明 3230A A A E ++-=两边同乘A 的特征向量X, 32(3)0A A A E X ++-=文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.21文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. 由于特征向量非零，所以：3230λλλ++-= 即因为A 为n 阶实对称矩阵，所以其特征值只有实数，故只有1是其特征值，因此A 的特征值都为正，所以A 是正定矩阵.9．设实对称矩阵A 与B 合同，若A 是正定矩阵，证明B 是正定矩阵.证明 因为实对称矩阵A 与B 合同，A 是正定矩阵，所以A 与E 合同,由合同的传递性知，E 与B 合同，所以B 是正定矩阵10．设A 是实对称矩阵．证明：当实数t 充分大时，t E ＋ A 是正定矩阵.证法1 显然 A 是对称矩阵.故存在正交阵Q ，有T Q AQ =Λ 对任意的列向量Y ,有：显然当t 充分大时，()T Y tE Y +Λ为正，即t E ＋ A 与正定矩阵合同，t E ＋ A 是正定矩阵.证法2 设A 的特征值为12,,,n λλλ.因A 是实对称阵，故i λ为实数(1,2,)i n = 取 max{}i i t λ>，则tE A +的特征值(1,2,,)i t i n λ+=全大于0，于是t E ＋ A 是正定矩阵.11．设B 为可逆矩阵，A =B T B , 证明f = T X A X 为正定二次型.证明 f = T X A X =T X B T B X =()TBX BX 又B 为可逆矩阵，,X BX θθ∴∀≠≠有，故f = T X A X ＞0，故f = T X A X 为正定二次型.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
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x1 y1 y2 , x2 y1 y2 , x y , 3 3
代入可得 再配方得
2 2 f 2 y1 2 y2 4 y1 y2 8 y2 y3 ,
2 f 2 y1 y2 2 y2 2 y3 6 y3 . 2 2
基础解系为
1 1 2 , 2 2
单位化，有
1 1 p1 2 . 3 2
对于2 = 1 有
1 2 0 1 2 0 1 2 0 r r E A 2 0 2 0 4 2 0 2 1 , 0 2 1 0 2 1 0 0 0
T 2 1 T 1 1
4 1 2 , 5 5
再单位化，有
1 1 p1 2 , 5 1
对于3 4 , 有
4 1 p2 2 , 45 5
5 2 4 r 4 E A 4 E A 2 8 2 4 2 5
1 1 1 C 0 1 2 . 0 0 1
C 当然是可逆阵 .
例 6.4 化二次型
f x1 , x2 , x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
为标准形，并指出所用的变换矩阵 . 解 在 f 中不含平方项 . 由于含有 x1x2 项，故令
2
0 2
E A
2 0
1
2
A 的特征值为 1 2, 2 1, 3 4. 对于 1 2 有
4 2 0 r 2 E A 2 E A 2 3 2 0 2 2 2 3 2 r 0 4 4 0 2 2
令 z1 2 y1 y3 ,
z2 z3 即 y1 y2 y3 2 y2 2 y3 , 6 y3 ,
1 2 1 2 1 6 z1 z2 z3 . 1 6 2 6 z3 , z3 ,
(1) f 6 x x 5 x 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 ;
2 1 2 2 2 3
(2) f 3 x 3 x 4 x 4 x1 x2 4 x1 x3 .
2 1 2 2 2 3
解
(1) f 的矩阵
2 4 6 A 2 1 2, 4 2 5
f x 2 x 5 x 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
x1 x2 x3 x x 2 x2 x3
2 2 2 3
2 1
2 2
2 3 2
2 x 5 x 6 x2 x3
2 2 2 3
2 2 x1 x2 x3 x2 4 x2 x3 4 x3 , 2
其特征多项式
1 E A
2 4
2
4 2 1
2
4
2
4 1 32 16 4 8 1
3 6 2 15 100 5 4 ,
2
A 的特征值为 1 2 5, 3 4, 对于1 2 5, 有
此式右端除第一项外已不再含 x1 继续配方得
f x1 x2 x3 x2 2 x3 .
2 2
令
y1 x1 x2 x3 , y2 x 2 2 x 3 , y x , 3 3
2 2 y1 y2 , 就把 f 化成标准形
所用变换矩阵为
2 1 1 , 2 2
2 1 p3 1 , 3 2
单位化，有
所用正交变换为 1 5 x1 2 x2 5 x 3 0
2 3 45 y1 2 1 y2 , 45 3 y3 5 2 45 3 4
正定二次型的判定方法 定理 6.1 对称矩阵 A 正定的充分必要条件是 A
的特征值全是正数 . 定理 6.2 对称矩阵正定的充分必要条件是的各阶 顺序主子式为正数，即
a11 0 ,
a11 a21
a12 a22
a11 a1n 0, 0. an1 ann
例 6.1 判定ห้องสมุดไป่ตู้次型的正定性 .
令 A 的其余顺序主子式都大于 0，即
2 t 4 t 2 0, t 2
2 t t t
t
2
2 t 2 t 2 t 1 0, t 2
2 2 2 z1 z2 z3 . 所用变换矩阵为 就把 f 化成标准形
1 1 0 C 1 1 0 0 0 1
1 2 0 0
0 1 2 0
1 6 2 6 1 6
方法 . 配方法就是其中之一 .
例 6.3
2 2 2 f x1 , x2 , x3 x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
化二次型
为标准形，并指出所用的变换矩阵 . 解 由于 f 中含有变量 xj 的平方项，故把含 xj 的项 归并起来，配方可得
1 1 4 1 4 1 r r 0 18 9 0 2 1 , 0 18 9 0 0 0
通解为
基础解系为
x3 1 x1 1 1 x2 2 x3 2 x3 , x 3 x3 1
1 2 1 2 0
1 2 1 2 0
6 1 . 6 1 6 3
二、正定二次型
无论用正交变换还是用一般的可逆变换化二次型为
标准形， 尽管所用的变换不是唯一的， 所得标准形也不 是唯一的， 但同一二次型的标准形中所含平方项的个 数却相同的， 不仅如此，标准形中系数为正数的项的个 数也是相同的 . 定义 6.1 设 f (x) = xTAx ，如果对任何 x ≠ 0， 都有 f (x) > 0 , 则称 f 为正定二次型，并称 A 是正定的 .
例 6.1
用正交变换化二次型
2 2 f x1 , x2 x3 x12 4 x2 x3 4 x1 x2
8 x1 x3 4 x2 x3
为标准形，并指出所用的变换式 .
解 f 的矩阵为
1 2 4 A 2 4 2 , 4 2 1
x1 2 x2 2 x2 x2 1 x2 , x 2 x 2 2 3 单位化，有
通解为
2 1 p2 1 . 3 2
对于3 = 4 有
所用正交变换为
x1 2 y1 1 2 1 x 2 3 2 1 2 y2 , 2 2 1 y x 3 3
2 2 2 将二次型 f 化为 2 y1 y2 4 y3 .
除了用正交变换化二次型为标准形外，还有其他
各阶顺序主子式为
6 6 0,
6 2 2 1
2 0,
6
2 4
2 1 2 2 0, 4 2 5
所以 f 是正定二次型 . (2) f 的矩阵
3 2 2 A 2 3 0, 2 0 4
由于一阶主子式= - 3 < 0 , 可知 f 不是正定二次型 .
通解为
4 2 4 2 1 2 r 5 E A 2 1 2 0 0 0 , 4 2 4 0 0 0
x1 1 x1 0 x2 2 x1 2 x3 2 x1 2 x3 , 1 x 0 x3 3
2 2 2 将二次型 f 化为 5 y1 5 y2 4 y3 .
例 6.2
用正交变换化二次型
2 1 2 2
f x1 , x2 , x3 2 x x 4 x1 x2 4 x2 x3
为标准形，并指出所用的变换式 . 解 f 的矩阵 2 2 0 A 2 1 2 , 0 2 0 其特征多项式 2
例 6.6
确定 t 的取值范围，使二次型
2 2 2 f 2 x1 2 x2 2 x3 2tx1 x2 2tx1 x3 2tx2 x3
为正定二次型 . 解 f 的矩阵
2 t t A t 2 t , t t 2 显然 A 的一阶顺序主子式 |2| = 2 > 0 ,
2 3 2 r 0 1 1 , 0 0 0
通解为
1 1 x x1 2 3 2 x2 x3 1 x3 , x x 1 3 3
基础解系为
1 0 a1 2 , a2 2 . 0 1
先正交化，有
b1 a1 ,
0 1 a b 4 b2 a2 b1 2 2 b b 0 5 0
2 2 0 1 1 0 1 1 0 r r 4 E A 2 3 2 0 1 2 0 1 2 , 0 2 4 0 2 4 0 0 0 通解为 x1 2 x3 2 x2 2 x 3 2 x 3 , x x 1 3 3 单位化，有 2 1 p3 2 , 3 1