高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程导学案无答案新人教A版
高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程知识导航学案新人教A版必修106
4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程4.1.2 圆的一般方程知识梳理1.到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.2.当圆心与半径确定后,圆就唯一确定了.3.设圆的圆心为C(a,b),圆的半径为r,则圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,当圆的圆心在坐标原点时,圆的方程为x 2+y 2=r 2.4.方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.(1)当D 2+E 2-4F=0时,方程表示一个点,该点的坐标为(2,2E D --). (2)当D 2+E 2-4F<0时,方程不表示任何图形. (3)当D 2+E 2-4F>0时,方程表示的曲线为圆,它的圆心坐标为(2,2E D --),半径等于2422F E D -+. 5.圆的标准方程与一般方程各有特点:圆的标准方程指出圆心与半径,几何特征明显;圆的一般方程表明圆的代数特征明显,是一种特殊的二元二次方程.(1)x 2、y 2项系数相等;(2)没有xy 项.6.求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是:(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;(2)根据条件列出关于a,b,r 或D,E,F 的方程组;(3)解出a,b,r 或D,E,F,代入标准方程或一般方程.知识导学要学好本节内容,可从回顾确定直线的要素——两点(或者一点和斜率)确定一条直线的基础上,回顾确定圆的几何要素——圆心位置和半径入手.要求圆的标准方程,只需求出圆心坐标和半径.若借助于弦心距、弦、半径之间的关系或三角形外接圆的相关性质,可大大简化求解的过程与难度.圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0中也含有三个参数,必须具备三个独立的条件才能确定一个圆.在用待定系数法求圆的方程时,要注意结合题目的条件先选择好圆的方程,再确定参数.要注意圆的一般方程与标准方程的互化.疑难突破1.确定圆的方程的方法有哪些？剖析:①直接法:根据已知条件,直接求出圆心坐标和圆的半径,进而写出圆的方程.②待定系数法:实际上是求a 、b 、r 或D 、E 、F 三个字母系数值,故需要三个独立条件.只要把三个独立条件化为三个方程,就可求值.求圆的方程的步骤:①设出所求方程(要根据题意选择所求方程的形式);②列方程组;③解方程组,求出待定系数;④把解出的待定系数代回所设方程.2.点和圆有几种位置关系？分别是什么？剖析:一旦在坐标平面上确定一个圆之后,平面就被圆分成三个部分,即圆上的点,圆内的点及圆外的点,那么如何判断点与圆的这三种位置关系呢？可有两种方法:(1)将所给的点M 与圆心C 的距离跟半径r 比较:若|CM|=r,则点M 在圆C 上;若|CM|>r,则点M 在圆外;若|CM|<r,则点M 在圆内.(2)可利用圆的方程来确定点M(m,n)在圆上,则(m-a)2+(n-b)2=r 2,或m 2+n 2+Dm+En+F=0(D 2+E 2-4F>0);点M(m,n)在圆外,则(m-a)2+(n-b)2>r 2,或m 2+n 2+Dm+En+F>0(D 2+E 2-4F>0);点M(m,n)在圆内,则(m-a)2+(n-b)2<r 2,或m 2+n 2+Dm+En+F<0(D 2+E 2-4F>0).由于圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹(或集合),所以判定点与圆的位置关系的依据是圆的定义.由于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2⇔22)()(b y a x -+-=r;圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(24)2()2(2222F E D E y D x -+=-+-, 所以,也可直接利用圆的方程判断点与圆的位置关系.。
高中数学 4.1 圆的方程教案 新人教A版必修2
第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程三维目标：知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
教学过程：1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）： ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。
最新人教版高中数学必修二第四章圆与方程第一节第1课时圆的标准方程
第四章 圆 与 方 程 4.1 圆 的 方 程 4.1.1 圆的标准方程圆的标准方程圆心为C(x 0，y 0)，半径为r 的圆的标准方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，特别地，圆心在原点时，圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2．(1)如果圆的标准方程为(x ＋x 0)2＋(y ＋y 0)2＝a 2(a ≠0)，那么圆的圆心、半径分别是什么？ 提示：圆心为(－x 0，－y 0)，半径为|a|.(2)如果点P(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，那么x 20 ＋y 20 ＝r 2，若点P 在圆内呢？圆外呢？提示：若点P 在圆内，则x 20 ＋y 20 ＜r 2；若点P 在圆外，则x 20 ＋y 20 ＞r 2.1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”) (1)圆的标准方程由圆心、半径确定．( √ ) (2)方程(x －a)2＋(y －b)2＝m 2一定表示圆．( × )(3)原点在圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2上，则x 20 ＋y 20 ＝r 2.( √ ) 提示：(1)如果圆的圆心位置、半径确定，圆的标准方程是确定的． (2)当m ＝0时，表示点(a ，b).(3)原点在圆上，则(0－x 0)2＋(0－y 0)2＝r 2，即x 20 ＋y 20 ＝r 2. 2．圆(x －1)2＋y 2＝3的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(－1，0)，3B ．(1，0)，3C ．()－1，0， 3D ．()1，0 ， 3【解析】选D.根据圆的标准方程可得，(x －1)2＋y 2＝3的圆心坐标为(1，0)，半径为 3 . 3．到原点的距离等于 3 的点的坐标所满足的方程是________．【解析】设点的坐标为(x ，y)，根据到原点的距离等于 3 以及两点间的距离公式，得（x －0）2＋（y －0）2＝ 3 ，两边平方得x 2＋y 2＝3，是半径为 3 的圆． 答案：x 2＋y 2＝3类型一 圆的标准方程的定义及求法(数学抽象、数学运算)1．以点(2，－1)为圆心，以 2 为半径的圆的标准方程是( ) A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝ 2 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝ 2【解析】选C.由题意，圆的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝2. 2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，3)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．x 2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝1【解析】选C.由题意，设圆的标准方程为x 2＋(y －b)2＝1，由于圆过点(1，3)，可得1＋(3－b)2＝1，解得b ＝3，所以所求圆的方程为x 2＋(y －3)2＝1.3．已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( ) A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25【解析】选C.圆C 的圆心坐标C(6，8)，则OC 的中点坐标为E(3，4)，半径|OE|＝32＋42＝5，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.4．圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程为________． 【解析】方法一(几何性质法)：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a). 因为该圆经过A ，B 两点，所以|CA|＝|CB|，所以（2a ＋3－2）2＋（a ＋3）2 ＝（2a ＋3＋2）2＋（a ＋5）2 ， 解得a ＝－2，所以圆心为C(－1，－2)，半径长r ＝10 . 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.方法二(待定系数法)：设所求圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，由题设条件知，⎩⎨⎧a －2b －3＝0，（2－a ）2＋（－3－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，解得a ＝－1，b ＝－2，r ＝10 (负值舍去)， 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.方法三(几何性质法)：线段AB 的中点的坐标为(0，－4)， 直线AB 的斜率k AB ＝－3＋52＋2 ＝12， 所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝－2，所以弦AB 的垂直平分线的方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0. 又圆心是直线2x ＋y ＋4＝0与直线x －2y －3＝0的交点， 所以圆心坐标为(－1，－2)，所以圆的半径长r ＝（2＋1）2＋（－3＋2）2 ＝10 ， 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 答案：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝101．直接法求圆的方程圆的方程由圆心、半径决定，因此求出圆心和半径即可写出圆的标准方程． 2．待定系数法求圆的方程(圆心(a ，b)、半径为r)特殊位置 标准方程 圆心在x 轴上 (x －a)2＋y 2＝r 2 圆心在y 轴上 x 2＋(y －b)2＝r 2 与x 轴相切 (x －a)2＋(y －b)2＝b 2 与y 轴相切(x －a)2＋(y －b)2＝a 23.利用圆的性质求方程求圆的方程时，可以利用圆的性质求圆心、半径，如弦的垂直平分线过圆心，过切点垂直于切线的直线过圆心等．类型二点与圆的位置关系的判断(数学抽象、数学运算)1．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A．在圆外 B．在圆内C．在圆上 D．不确定【解析】选A.把P(m，5)代入x2＋y2＝24，得m2＋25>24，所以点P在圆外．2．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3，2)满足( )A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外【解析】选C.因为(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，所以点P(3，2)在圆内．3．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．【解析】因为点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋12＝m，所以m＝10.则圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.答案：(x＋2)2＋y2＝10.4．已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．【解析】由题意知，点A在圆C上或圆C的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，所以2a＋5≥0，所以a≥－52.因为a≠0，所以a的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞).【思路导引】1.将点P的坐标代入圆的方程，看方程的等于号变成了什么符号，然后进行判断．2．验证点P与圆心的距离与半径之间的关系．3．将点的坐标代入圆的方程，解方程即可得出m的值，进而得方程．4．不在圆的内部，即在圆上或圆外．点与圆位置关系的判断与应用(1)位置关系的判断：①几何法：判断点到圆心的距离与半径的大小；②代数法：将点的坐标代入圆的方程左边，判断与r 2的大小． (2)位置关系的应用：代入点的坐标，利用不等式求参数的范围．【补偿训练】1.若点(3，a)在圆x 2＋y 2＝16的内部，则a 2的取值范围是( ) A ．[0，7) B ．(－∞，7) C ．{7}D ．(7，＋∞)【解析】选A.由点在圆的内部，得9＋a 2<16得a 2<7，又a 2≥0，所以0≤a 2<7. 2．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1【解析】选D.因为点(2a ，a －1)在圆的内部，所以d ＝（2a ）2＋（a －2）2 ＝4a 2＋a 2－4a ＋4 ＝5a 2－4a ＋4 ＜ 5 ， 解得－15 ＜a ＜1，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1 .3．若点A(a ＋1，3)在圆C ：(x －a)2＋(y －1)2＝m 外，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，5) C ．(0，5)D ．[0，5]【解析】选C.由题意，得(a ＋1－a)2＋(3－1)2>m ，即m<5， 又由圆的方程知m>0，所以0<m<5.类型三 与圆有关的最值问题(数学抽象、数学运算)角度1 与几何意义有关的最值问题【典例】已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求x 2＋y 2的最值．【思路导引】首先由条件观察x 、y 满足的条件，然后分析x 2＋y 2的几何意义，求出其最值． 【解析】由题意知，x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取得最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d ＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12 ＝32 ，最小距离为1－12 ＝12.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为94，14.1．本例条件不变，试求yx的取值范围．【解析】设k＝yx，变形为k＝y－0x－0，此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率，由k＝yx，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即|－k|k2＋1≤12，解得－33≤k≤33.即yx的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.2．本例条件不变，试求x＋y的最值．【解析】令y＋x＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值．当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有|－1－b|2＝12，解得b＝±22－1，即最大值为22－1，最小值为－22－1.角度2 距离的最值问题【典例】1.设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A．6 B．4 C．3 D．2【解析】选B.|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径长．因为圆的圆心为(3，－1)，半径长为2，所以|PQ|的最小值为3－(－3)－2＝4.2．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2，3)到圆上的点的距离的最大值为________．【解析】由题意知，点M在圆O内，O为圆心，MO的延长线与圆O的交点到点M(2，3)的距离最大，最大距离为（2－3）2＋（3－4）2＋5＝5＋ 2 .答案：5＋ 2【思路导引】1.转化为圆心到直线x＝－3的距离减去半径；2．转化为M到圆心的距离加半径．1．与圆有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题．(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－abx＋lb在y轴上的截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题．2．求圆外一点到圆的最大距离和最小距离的方法采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值或最小值．1．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )A．2 B．1＋ 2 C．2＋22D．1＋2【解析】选B.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x－y＝2的距离为 2 ，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2 .2．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )A．2 B．1 C．0 D．－1【解析】选B.x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0，0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为(14－13)2＝1.3．如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求yx的最大值和最小值．【解析】方法一：如图，当过原点的直线l与圆(x－2)2＋y2＝3相切于上方时yx最大，过圆心A(2，0)作切线l的垂线交于B，在Rt△ABO中，OA＝2，AB＝ 3 .所以切线l的倾斜角为60°，所以yx的最大值为 3 .同理可得yx的最小值为－ 3 .方法二：令yx＝n，则y＝nx与(x－2)2＋y2＝3联立，消去y得(1＋n2)x2－4x＋1＝0，Δ＝(－4)2－4(1＋n2)≥0，即n2≤3，所以－ 3 ≤n≤ 3 ，即yx的最大值和最小值分别为 3 ，－ 3 .【补偿训练】1.已知圆C的圆心为C(x0，x)，且过定点P(4，2).(1)求圆C的标准方程．(2)当x为何值时，圆C的面积最小？求出此时圆C的标准方程．【解析】(1)设圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x)2＝r2(r≠0).因为圆C过定点P(4，2)，所以(4－x0)2＋(2－x)2＝r2(r≠0).所以r2＝2x2－12x＋20.所以圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x)2＝2x2－12x＋20.(2)因为(x－x0)2＋(y－x)2＝2x2－12x＋20＝2(x－3)2＋2，所以当x＝3时圆C的半径最小，则圆C的面积最小．此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.2．已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝14，求（x－2）2＋（y－3）2的取值范围．【解析】（x－2）2＋（y－3）2可以看成圆上的点P(x，y)到A(2，3)的距离．圆心C(0，1)到A(2，3)的距离为d＝（0－2）2＋（1－3）2＝2 2 ，由图可知，圆上的点P(x ，y)到A(2，3)的距离的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12 .即（x －2）2＋（y －3）2 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12 .。
高中数学 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程教案 新人教A版必修2(2021年整理)
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圆的标准方程课时教学目标1.知识与技能目标：回顾圆的几何要素,在平面直角坐标系中探索并掌握圆的标准方程；会根据已知条件求圆的标准方程；能准确判断点与圆的位置关系。
2.过程与方法目标：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力和解决问题的能力，将几何问题转化为代数问题,渗透数形结合的思想，注意培养学生观察，分析和解决问题的能力.3。
情感与态度目标：树立学好数学的自信心，培养学生主动探究,合作交流。
教学重点、难点重点:圆的标准方程的推导步骤；掌握并会求圆的标准方程。
难点：根据具体条件正确写出圆的标准方程．教具投影仪，幻灯片教师教学活动设计设计意图（一）引入展示生活中平面图形为圆的实物在平面直角坐标系，两点确定一条直线,一点和倾斜角也确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆呢？确定圆的几何条件：圆心（定位置) 半径（定大小）(二）自学探究：阅读课本118页由生活实物感知圆.类比于确定一条直线位置的几何要素，引导学生明确确定圆的几何要素。
问题：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？探索研究:确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为C(a ,b ），半径为r.（其中a 、b 、r 都是常数,r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点,观察圆的图形，圆上的点M （x ，y ）与圆心C(a ,b ）的距离有什么关系？ 圆心C 是定点，圆周上的点M 是动点，它们到圆心距离都相等且等于定长｜CM ｜=r 圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
高二数学必修二第四章《圆与方程》4.1圆的方程导学案
高二数学必修二第四章《圆与方程》4.1圆的方程导学案高二数学必修2 第四章圆与方程第四章圆与方程§4.1圆的方程§4.1.1圆的标准方程(1)【学习目标】1.能根据圆心、半径写出圆的标准方程.2.利用圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系.【学习重点】求圆的标准方程.【学习难点】根据不同的已知条件，判断点与圆的位置关系.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第118-119页，完成自主学习)1.已知两点(2,5),(6,9)A B -,求它们之间的距离?若已知(3,8),(,)C D x y -,求它们之间的距离.2.图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？3.具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆心和半径分别确定了圆的_______和_______.4.我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,在平面内确定圆的条件是什么?5.在平面直角坐标系中，若一个圆的圆心(,)C a b ,半径为r (其中,,ab r 都是常数, 0r >)，圆的标准方程为__________________________________.6.当圆心在原点时,圆的标准方程是_________________ .思考：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=中,只要求出___、___、___,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中____是圆的定位条件,_____是圆的定形条件.二、合作探究例1:写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上.推广：设点00(,)M x y ，圆的方程为222()()x a y b r -+-=.1，M 在圆上?2200()()x a y b -+- 2r ；2，M 在圆外?2200()()x a y b -+- 2r ；3，M 在圆内?2200()()x a y b -+- 2r ；例2:圆的一条直径的两个端点分别是(2,0),(2,2)A B -，求圆的标准方程,并判断点(0,0),C (2,2)D -与该圆的位置关系推广:已知圆的一条直径的端点分别是1222(,),(,),A x y B x y 求证此圆的方程是1212()()()()0.x x x x y y y y --+--=三、达标检测1.写出下列各圆的标准方程.(1) 圆心在原点，半径是3；(2) 圆心在(3,4)C(3) 经过点(5,1)P ，圆心在点(8,3)C -；2.写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) 22(1)6x y -+= (2) 22(1)(2)9x y ++-= (3) 22(2)(3)3x y -++=3.已知圆心在点(3,4),C --且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点12(,0),(1,1),P P -- 3(3,4)P -和圆的位置关系.四、学习小结1.圆的标准方程 .2.求圆的标准方程的方法有：高二数学必修2 第四章圆与方程§4.1.1圆的标准方程(2)【学习目标】会用待定系数法求圆的标准方程.【学习重点】掌握求圆的标准方程的思路方法.【学习难点】领会用数形结合求圆的标准方程的思想.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第119-120页，完成自主学习)1.圆的定义是什么？2.圆的标准方程是怎样的？3.点M(x 0,y 0)与圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的关系的判断方法：(1)当点M(x 0,y 0)在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时,点M 的坐标_____方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.(2)当点M(x 0,y 0)不在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时,点M 的坐标______方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.(3)用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为：1°点到圆心的距离大于半径?点在圆外?_________________.2°点到圆心的距离等于半径?点在圆上?_________________.3°点到圆心的距离小于半径?点在圆内?_________________.二、合作探究例1：ABC ?的三个顶点的坐标分别是(5,1),(2,8),(7,3)A B C --,求它的外接圆的方程.例2：求经过点(1,1)A ，(2,2)B -，且圆心在直线:10l x y -+=上的圆的标准方程.三、达标检测1.写出下列各圆的标准方程：(1) 圆心在y 轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程；(2)圆心在x 轴上，半径长为1，且过点(2,1)的圆的方程.2.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,求圆C 的标准方程.3.求经过两点(1,4),(3,2)A B -且圆心在y 轴上的圆的方程.四、学习小结1.确定圆的方程主要方法是_____________法,即列出关于a 、b 、r 的方程组,求a 、b 、r 或直接求出圆心(a ,b )和半径r ,一般步骤为：1°根据题意,设所求的圆的标准方程________________；2°根据已知条件,建立关于__________________的方程组；3°解方程组,求出___________的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.2.思想方法总结：高二数学必修2 第四章圆与方程§4.1.2圆的一般方程(1)【学习目标】能用圆的一般方程确定圆的圆心、半径.【学习重点】把握圆的一般方程的代数特征,能根据已知条件待定方程中的系数,,D E F .【学习难点】根据已知条件选择待定圆的标准方程或一般方程.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第121-122页，完成自主学习)1.写出圆心为(,)a b ,半径为r 的圆的标准方程_______________________________.2.将以(,)C a b 为圆心, r 为半径的圆的标准方程展开并整理得________________.3.如果2222,2,D a E b F a b r =-=-=+-，得到方程____________________,这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.4.思考：能不能说方程220x y Dx Ey F ++++=所表示的曲线一定是圆呢?二、合作探究1.222()()x a y b r -+-=中0r >时表示___ _；0r =时表示____________；2.把式子220x y Dx Ey F ++++=配方得_________________________________.(ⅰ)当2240D E F +->时,表示以_________为圆心,_____________ _为半径的圆；(ⅱ)当2240D E F +-=时,方程只有实数解x =______y =______,即只表示__________；(ⅲ)当2240D E F +-<时,方程______(有或没有)实数解,因而它_________________.方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线_________（一定或不一定）是圆；但圆的方程都能写成_________________的形式,只有当_____________时,它表示的曲线才是圆. 我们把形如220x y Dx Ey F ++++=表示圆的方程称为圆的_________方程.3.圆的一般方程形式上的特点：(1)x 2和y 2的系数_______且________. (2)没有_________这样的二次项.例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.(1) 224441290x y x y +-++= (2) 2220x y by ++=例2:求过三点(0,0),(1,1),(4,2)O M N 的圆的一般方程,并求圆的半径长和圆心坐标.三、达标检测1.判断下列方程(1) 2260x y y +-=（2）222460x y x y +-+-=（3）224220200x y mx my m +-++-=能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.2.ABC ?的三个顶点分别为(1,5),(2,2),(5,5)A B C ---，求其外接圆的一般方程.四、学习小结用待定系数法求圆的方程的步骤是：1.____________________________________________2._____________________________________________3._____________________________________________高二数学必修2 第四章圆与方程§4.1.2圆的一般方程(2)【学习目标】掌握圆的一般方程及其特点，会由圆的方程求出圆心、半径会用待定系数法求圆的一般方程.【学习重点】圆的一般方程的特征和求圆的一般方程.【学习难点】用相关点法求轨迹方程.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第122-123页，完成自主学习)1.将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆心坐标和半径：（1）222220(0);(2)22420.x y my m x y ax ++=≠++-=2.圆C ：222440x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离_____d =.二、合作探究例：已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.三、达标检测1.求以(1,1)A -为圆心，且经过点(0,1)B 的圆的一般方程.2.若(5,0),(1,0),(3,3)A B C --三点的外接圆为圆M ,求圆M 的方程，若点(,3)D m 在圆M 上，求m 的值.３.求圆心在直线230x y --=上，且过点(5,2),(3,2)A B -的圆的方程.４.已知点P 在圆的C ：2286210x y x y +--+=上运动，求线段OP 的中点坐标M 的轨迹方程.四、学习小结相关点法求轨迹方程的步骤：1._______________________________________________________;2._______________________________________________________;3._______________________________________________________;4._______________________________________________________;。
高中数学人教版必修二：4.1.1圆的标准方程导学案设计(无答案)
数学必修2§4.1.1《圆的标准方程》导学案学习目标1、能理解圆的标准方程的特点以及求出过程；2、会判定平面内点和圆的位置关系；3、会根据条件求圆的标准方程.重点难点重点是判断平面内点和圆的位置关系以及求圆的标准方程。
难点是会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
学习方法数形结合情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
学习过程一、知识链接初中关于圆的知识：1.圆的概念：平面内到的距离等于的点的轨迹称为圆，定点是，定长是。
2. 确定了圆的位置，确定了圆的大小.所以，要确定一个圆，只需要确定圆的和即可。
二、自主学习我们知道，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线.并且在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？这就是我们这节课所要学习的内容.（1）探究圆的标准方程：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r（其中a、b、r都是常数，r>0）.设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是： ,由两点间的距离公式，点M适合的条件可以表示为，化简得： (1)若点M（x，y）在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标适合方程(1)；反之，若点M（x，y）的坐标适合方程（1），这说明点M与圆心的距离是r，即点M在圆心为A 的圆上.所以我们把方程（1）称为圆心为A （a ，b ），半径为r 的圆的标准方程.思考：圆的方程具有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1、写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上？温馨提示：可以从计算点到圆心的距离入手。
（2）探究点和圆的位置关系：判断点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：设圆心为A(a,b)，则d MA =，（1）点在圆外时，d r , 则2200()()x a y b -+->2r ；（2）点在圆上时，d r , 则 2200()()x a y b -+- =2r ；（3）点在圆内时，d r , 则2200()()x a y b -+-<2r 。
高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程检测新人教A版必修2(2021年整理)
2018-2019学年高中数学第四章圆与方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程检测新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第四章圆与方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程检测新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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4.1.1 圆的标准方程[A级基础巩固]一、选择题1．已知圆(x－2)2＋（y＋8)2＝（－3）2，下列说法正确的是( )A．圆心是(2,－8)，半径长为－3B．圆心是（－2，8)，半径长为3C．圆心是（2，－8),半径长为3D．圆心是(－2，8)，半径长为－3解析:由圆的标准方程（x－a)2＋(y－b）2＝r2，知圆心是（2,－8)，半径长不可能是负数，故为3.答案：C2．圆x2＋y2＝1的圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离是（)A．5 B．3 C．4 D．2解析：圆x2＋y2＝1的圆心为（0，0），所以d＝错误!＝5。
答案:A3．点（1,1)在圆(x－a）2＋(y＋a）2＝4的内部,则a的取值范围是( )A．（－1，1）B．(0,1）C．(－∞，－1）∪（1，＋∞）D．a＝±1解析：若点（1,1)在圆的内部,则(1－a)2＋（1＋a)2<4，化简得a2〈1，因此－1<a<1,故选A。
答案：A4．圆(x－1）2＋（y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )A．2 B．1＋错误!C．2＋错误!D．1＋2错误!解析：圆(x－1）2＋（y－1)2＝1的圆心为（1，1），圆心到直线x－y＝2的距离为错误!＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋错误!.答案：B5．圆的标准方程为(x－5）2＋(y－6）2＝a2（a＞0)．若点M(6，9)在圆上，则a的值为（) A。
高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程学案无答案新人教A版必修22
4.1 圆的标准方程【目标】 1.掌握圆的定义及标准方程；2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程．【预习学案】1、圆的定义：1．圆的标准方程2.点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，半径为r，则点在圆内⇔；点在圆上⇔；点在圆外⇔3、点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系如何判断？思考：从圆的标准方程所含的参数上，你能分析出求圆的标准方程需要几个条件吗？【课内探究一】点与圆的位置关系例1 写出圆心为A(2，－3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，－7)，M2(－5，－1)是否在这个圆上．练习1 已知点A(1,2)在圆C：(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2的内部，求a的取值范围．【课内探究二】求圆的标准方程例2 △ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)．求它的外接圆的方程．例3、已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．练习2 在平面直角坐标系中，求与x轴相交于A(1,0)和B(5,0)两点且半径为5的圆的标准方程．【课内探究三】圆的标准方程的应用例4 已知隧道的截面是半径为 4 m的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，一辆宽度为3 m，高为3.5 m的货车能不能驶入这个隧道？【课外作业】一、基础过关1、(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为________．2、圆心是O(－3,4)，半径长为5的圆的方程为3．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是________．4．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．5．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为______________．6．圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2，－2)，则此圆的方程是____________________．7．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为______________________．8、圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．9．圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋2y－3＝0对称的圆的方程是________________．10．求满足下列条件的圆的方程：(1)经过点P(5,1)，圆心为点C(8，－3)；(2)经过点P(4,2)，Q(－6，－2)，且圆心在y轴上．二、能力提升11．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过第________象限．12．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于第________象限．13、求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线x－y＝0截得的弦长为27的圆的方程。
高中数学教案 必修2教案 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程
圆的标准方程教案教学目标(1)在理解推导过程的基础上，掌握圆的标准方程的形式特点，理解方程中各个字母的含义，能合理应用平面几何中圆的有关性质，结合方程解决圆的有关问题．(2)理解掌握圆的切线的求法．包括已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线等．教学重点和难点重点：圆的标准方程的理解、应用；圆的切线方程．(已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线)．难点：从圆外一点引切线，求切线方程，已知切线斜率求切线．教学过程设计(一)导入新课，教师讲授．同学们，前面我们研究了直线(特殊的曲线)的方程及其有关问题，今天我们研究圆及与圆有关的问题．什么是“圆”．想想初中我们学过的圆的定义．“平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆”．定点就是圆心，定长就是半径．根据圆的定义，我们来求圆心是c(a,b)，半径是r的圆的方程．(启发引导学生推导)．设 M(x,y)是圆上任意一点，圆心坐标为(a,b)，半径为r．则│CM│=r,两边平方． (x-a)2+(y-b)2=r2,我们得到圆的标准方程，这就是圆心为C(a,b)，半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程．如果圆的圆心在原点．O(0,0)．即a=0．b=0．这时圆的方程为．下面我们用大家学过的向量知识再来推导一下圆的方程．设M(x,y)是圆上任意一点，过圆心C(a,b)，作x轴的平行线与圆交于A、B两点，则A点坐标为(a-r,b)，B点坐标为(a+r,b)，=(x-(a-r),y-b)、=(x-(a+r),y-b)，M为圆上一点，AM⊥BM，·=0．[x-(a-r)][x-(a+r)]+(y-b)2=0,整理得．(x-a)2+(y-b)2=r2．例1．求以C(1，3)为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程．解：已知圆心C(1，3)，现在来求圆的半径r，因圆心到切线的距离等于半径，例2图7-37是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度．[师生共同分析思路]如图，先确定有关各点的坐标，A(-10,0)、B(10,0)、P(0,4)，再找出圆拱所在圆的方程，设这圆的圆心为(0,b)，半径为r，则圆的方程为x2+(y-b)2=r2，由，A、B、P这些已知点，选A、P或B、P代入圆的方程，可以求出b和r，这样，这个圆的方程就为已知．P2点为圆上一点，满足圆的方程，P2的坐标为(-2,y2)，把x=-2代入圆的方程，求出y2，∴A2P2的长度为y2．。
【人教A版】：4.1.1圆的标准方程精品导学案
【⼈教A版】：4.1.1圆的标准⽅程精品导学案第四章圆与⽅程4.1 圆的⽅程4.1.1 圆的标准⽅程学习⽬标1.会推导圆的标准⽅程.2.能运⽤圆的标准⽅程正确地求出其圆⼼和半径.3.掌握圆的标准⽅程的特点,能根据所给有关圆⼼、半径的具体条件准确地写出圆的标准⽅程.4.体会数形结合思想,初步形成代数⽅法处理⼏何问题能⼒.能根据不同的条件,利⽤待定系数法求圆的标准⽅程.学习过程⼀、设计问题,创设情境前⾯我们已经学习过直线⽅程,初中也学习过圆的⼀些知识,请同学们思考:问题1:在平⾯直⾓坐标系中,两点能确定⼀条直线,⼀点和直线的倾斜⾓也能确定⼀条直线.那么在平⾯直⾓坐标系中确定⼀个圆的⼏何要素是什么呢?问题2:根据前⾯我们所学的直线⽅程的知识,应该怎样确⽴圆的⽅程呢?⼆、学⽣探索,尝试解决若设圆的圆⼼坐标为A(a,b),半径为r(其中a,b,r都是常数,r>0),试求圆的⽅程.三、信息交流,揭⽰规律1.在直⾓坐标系中,当与确定后,圆就唯⼀确定了,因此,确定圆的基本要素是.2.在平⾯直⾓坐标系中,若⼀个圆的圆⼼A(a,b),半径长为r,则圆的标准⽅程为.推导的步骤是.若点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,则点M的坐标就适合⽅程,即;反之,若点M的坐标适合⽅程,这就说明与的距离为r,即点M在圆⼼为A的圆上.3.圆⼼在坐标原点,半径为r的圆的⽅程为.4.若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2内,则满⾜条件;若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2外,则满⾜条件;同理,若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内,则满⾜条件;若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2外,则满⾜条件.5.△ABC外接圆的圆⼼即为外⼼,即的交点.四、运⽤规律,解决问题6.写出下列各圆的标准⽅程:(1)圆⼼在原点,半径为3.(2)圆⼼为(2,3),半径为.(3)经过点(5,1),圆⼼在(8,-3).7.根据圆的⽅程写出圆⼼和半径:(1)(x-2)2+(y-3)2=5;(2)(x+2)2+y2=(-2)2.8.写出圆⼼为A(2,-3),半径长等于5的圆的⽅程,并判断点M1(5,-7),M2(-,-1)是否在这个圆上.总结规律:(试总结如何判断“点与圆的位置关系”)9.△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的⽅程.总结规律:(试总结如何根据题设条件求圆的标准⽅程,是⽤的什么⽅法?)10.已知圆⼼为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆⼼C在直线l:x-y+1=0上,求圆⼼为C的圆的标准⽅程.总结规律:(试总结如何根据题设条件求圆的标准⽅程,是⽤的什么⽅法?)五、变练演编,深化提⾼同学们仿照上述例题,⾃⼰试着编⼏道写、求圆的标准⽅程,或判断点与圆的位置关系的题⽬.六、信息交流,教学相长(请同学们把你编写的较为典型的题⽬选⼏个写在下⾯)七、反思⼩结,观点提炼1.圆的标准⽅程:(x-a)2+(y-b)2=r22.求圆的标准⽅程的⽅法:待定系数法.3.要求⼀个圆的标准⽅程,需要三个条件:圆⼼的横坐标、纵坐标和半径.4.点与圆的位置关系:点在圆上,点在圆外,点在圆内.参考答案三、1.圆⼼半径圆⼼和半径2.(x-a)2+(y-b)2=r2建系、设点、列式、化简(x0-a)2+(y0-b)2=r2点M 圆⼼3.x2+y2=r24.r2(x0-a)2+(y0-b)2r25.△ABC三边垂直平分线四、6.(1)x2+y2=9(2)(x-2)2+(y-3)2=5(3)(x-8)2+(y+3)2=257.(1)圆⼼(2,3),半径(2)圆⼼(-2,0),半径28.圆的⽅程为(x-2)2+(y+3)2=25把点M1(5,-7)坐标代⼊圆的⽅程:(5-2)2+(-7+3)2=9+16=25所以点M1(5,-7)在圆上.把点M2(-,-1)坐标代⼊圆的⽅程:(--2)2+(-1+3)2=13+4≠25,所以点M2(-,-1)不在圆上.9.设所求圆的⽅程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则:解得所求圆的⽅程为(x-2)2+(y+3)2=25.10.(1)利⽤圆的标准⽅程(x-a)2+(y-b)2=r2,只要能构造三个⽅程求出a,b,r便可.(2)确定⼀个圆只需确定圆⼼位置与半径⼤⼩.圆⼼为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),由于圆⼼C与A,B两点的距离相等,所以圆⼼C 在线段AB的垂直平分线m上,⼜圆⼼C在直线l 上,因此圆⼼C是直线l与直线m的交点,半径长等于|CA|或|CB|.解法⼀:设所求的圆的标准⽅程为(x-a)2+(y-b)2=r2,将点A(1,1)和B(2,-2)代⼊得⼜圆⼼在l:x-y+1=0上,所以a-b+1=0.联⽴⽅程组解得a=-3,b=-2,r=5.所以所求的圆的标准⽅程为(x+3)2+(y+2)2=25.解法⼆:因为A(1,1)和B(2,-2),所以线段AB的中点坐标为(,-),直线AB的斜率为k AB==-3,故线段AB的垂直平分线⽅程为y+(x-),即x-3y-3=0.由解得因此圆⼼C的坐标为(-3,-2),半径r=|AC|==5,所以所求的圆的⽅程为(x+3)2+(y+2)2=25.点评:⽐较解法⼀与解法⼆,不难看出解法⼆直接明了,思路明确,易于理解,⽽解法⼀则笼统,较繁.圆的⼏何性质的运⽤使圆的⽅程的求解运算简单、⽅便、快捷,这也是解析⼏何中以形助数的精髓,在以后的解题中要注意应⽤.教师个⼈研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能⼒和学校整体的教研实效，是摆在每⼀个学校⾯前的⼀项重要的“校本⼯程”。
高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程学案无答案新人教A版
4.1.2圆的一般方程【学习目标】1.掌握圆的一般方程的满足的条件 2.会根据已知条件求圆的一般方程；3.能准确判断点与圆的位置关系【新课探究】思考1:把圆的标准方程展开后，将得到怎样的一般形式的方程？思考2：给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它表示怎样的曲线？小结1：※方程圆的一般方程。
其中圆心坐标（）半径为思考3观察圆的一般方程，你能归纳出圆的一般方程的特点吗？思考4、解题时选取圆的标准方程与圆的一般方程的已知条件各是什么？【应用探究一】:圆的一般方程的认识例1、判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？若是求出圆的圆心和半径。
22+-++=x y x y(1)444129022+-++=(2)44412110x y x y(3)x2＋y2＋2ax＝0.例2、若方程222x y mx y m m++-++=表示圆2250求（1）实数m的取值范围；（2）圆心坐标与半径。
【应用探究二】:待定系数法求圆的方程例3、已知三角形ABC顶点得坐标为A（4，3），B（5，2），C（1，0），求三角形ABC外接圆的方程。
并写出圆心坐标和半径。
小结2：用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤：（1）（2）（3）例4、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A 在圆上()22++=运动，求线段AB的中点M的x y14轨迹方程。
小结3：求轨迹方程的步骤：【课后作业】1． 圆22226430x y x y ++--=的圆心坐标和半径分别为（ ）A ． 319,124⎛⎫ ⎪⎝⎭－和B ．()32－C ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ． 3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭－2．已知圆()2222210x y ax y a +--+-=（0<a <1）则原点O 在（ ）A.圆内B.圆外C.圆上D.圆上或圆外3．若圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是（ ）A.0x y -=B.0x y +=C.220x y +=D. 220x y -=4．若22(1)20x y x y λλλ++-++=表示圆，则λ的取值范围是：（ ）A ．0λ>B ．115λ≤≤C ．1λ>或15λ<D ．R λ∈5．在方程220x y Dx Ey F ++++=中，若224D E F =>，则圆的位置满足：（ ） A ．截两坐标轴所得弦的长度相等；B ．与两坐标轴都相切；C ．与两坐标轴相离；D ．上述情况都有可能。
2020学年高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程学案新人教A版必修2
4.1.1圆的标准方程一、学习目标知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
二、学习重点、难点：学习重点: 圆的标准方程学习难点: 会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
三、使用说明及学法指导:1、先阅读教材118—120页，然后仔细审题，认真思考、独立规范作答。
2、不会的，模棱两可的问题标记好。
3、对小班学生要求完成全部问题，实验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上四、知识链接：1．两点间的距离公式？2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径.五、学习过程：(自主探究)A问题1阅读教材118页内容，回答问题已知在平面直角坐标系中，圆心A的坐标用（a，b）来表示，半径用r来表示，则我们如何写出圆的方程？问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1：1写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9(3) 222()()x a y a ++=例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
问题3点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么？例3△ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例4已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.注：比较例3、例4可得出△ABC 外接圆的标准方程的两种求法：1.根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.2.根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.六、达标检测1、已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？2、求圆心C在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。
高中数学 第4章 圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程教材梳理素材 新人教A版必修2
4.1.1 圆的标准方程疱丁巧解牛知识·巧学一、圆的定义及标准方程当圆的圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.在直角坐标系中，圆心A 的坐标为(a ，b)，半径为r 的圆就是集合P={M||MA|=r}.上述圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.其中当圆的圆心在坐标原点时，标准方程就成为x 2+y 2=r 2.要点提示 当圆心为原点时，方程化为x 2+y 2=r 2.由于方程的右端r 2>0，故当右端小于0或等于0时不是圆的方程.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2中有三个参数a 、b 、r ，只要求出a 、b 、r ，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件.二、点与圆的位置关系给出点M(x 0,y 0)和圆C ：(x-a)2+(y-b)2=r 2，通过比较点到圆心的距离和半径的大小关系，得到：(1)若点M 在圆C 上，则有(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2；(2)若点M 在圆C 外，则有(x 0-a)2+(y 0-b)2>r 2；(3)若点M 在圆C 内，则有(x 0-a)2+(y 0-b)2<r 2.方法点拨 判断一个点与圆的位置关系，除了应用数形结合外，还可以通过方程来判断.只需将该点的坐标代入圆的标准方程左侧，若结果等于r 2，则点在圆上;若结果大于r 2，则点在圆外;若结果小于r 2，则点在圆内.问题·探究问题1 过两点能作多少个圆？过不共线的三点呢？确定一个圆需具备哪些条件？探究:若以这两点连线为弦，则可作无数个圆；若以这两点作为一个圆的直径的两个端点，则可确定一个圆.过不共线的三点，能且仅能作一个确定的圆.所以确定一个圆，需要知道圆的圆心与半径.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.问题2 如果一个动点P 与两个定点A 、B 的距离的平方和为122，A 、B 两点间的距离为10，你能判断出动点P 的轨迹吗？探究:判断P 点的轨迹形状，可以从其方程入手，这就需要先建立直角坐标系.由题意，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系,则A(-5,0)，B(5,0)，设动点P(x ，y)，则|PA|2+|PB|2=122,得x 2+y 2=36.所以可以判断P 点的轨迹是一个半径为6的圆.典题·热题例1 根据下列条件，求圆的方程.(1)圆心在直线5x-3y=8上，且圆与坐标轴相切，求此圆方程;(2)已知圆心C(2，-1)，且截直线y=x-1所得的弦长为22，求圆C 的方程.思路解析：对于(1)可用标准方程与待定系数法解答；对于(2)，由于已知圆心，故只需求出半径，根据垂径定理：弦长的一半与弦心距、半径组成一个直角三角形，故半径可求.解：(1)设所求圆的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=r 2，因为圆与坐标轴相切，故圆心满足x 0-y 0=0或x 0+y 0=0.又圆心在直线5x-3y=8上，所以5x 0-3y 0=8.解方程组⎩⎨⎧=-=-835,00000y x y x 或⎩⎨⎧=-=+.835,00000y x y x 解得⎩⎨⎧==4,400y x 或⎩⎨⎧-==.1,100y x圆心坐标为(4,4)或(1，-1)，所以可得半径r=4或r=1.所以所求圆的方程为(x-4)2+(y-4)2=16或(x-1)2+(y+1)2=1.(2)由已知可设所求圆的半径为r ，圆心到直线y=x-1的距离为d ，则 d=2)1(1|1)1(2|22=-+---.因为直线y=x-1被圆截得的弦长为22，所以222d r -=，所以r 2=4，故所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.深化升华 本题两个题目所给条件均与圆心和半径有关，故都利用了圆的标准方程求解.此外，平面几何性质的应用使得解法简便了许多.所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用,从确定圆的圆心与半径入手解决.例2 求经过两点A(-1,4)、B(3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程.思路解析：思路一是先设出圆的标准方程，而后用待定系数法求出圆心坐标和半径.思路二是抓住圆的性质及题目的特点，由线段AB 的垂直平分线及y 轴求出圆心坐标，进一步得其半径，由此列式可得.解：法一:设圆心C(a ，b)，∵圆心在y 轴上，∴a=0.设圆的标准方程为x 2+(y-b)2=r 2.∵该圆经过A 、B 两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-222222)2(3)4()1(rb r b ⇒⎩⎨⎧==.10,12r b 所以圆的方程是x 2+(y-1)2=10. 法二：线段AB 的中点为(1,3)，k AB =21)1(342-=---， ∴弦AB 的垂直平分线方程为y-3=2(x-1),即y=2x+1.由⎩⎨⎧=+=,0,12x x y 得⎩⎨⎧==.1,0y x 故点(0,1)为所求圆的圆心.由两点间距离公式得圆半径r=10,所求圆的方程为x 2+(y-1)2=10.深化升华 使用待定系数法求圆的方程是数学中常用的一种方法，例如确定二次函数的解析式、求直线等.由于圆的标准方程中含有三个待定系数a 、b 、r ，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，也即根据三个独立条件，列出三个方程，解方程组得三个待定系数，即求出圆心和半径，从而得到圆的方程.待定系数法是求圆的方程的最常用的方法，它的一般步骤是：先设方程，再列式，最后求解.例3 求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点A(5，2)和点B(3，-2)的圆的方程.思路解析：因为条件与圆心有直接关系，因此设圆的标准方程即可解决问题.利用圆心在弦的垂直平分线上及已知直线上，由两直线的交点得出圆的圆心，再由两点间距离公式得圆的半径，从而写出圆的方程.解：法一：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=.r b)-(-2a)-(3,r b)-(2a)-(50,3-b -2a 222222解得⎪⎩⎪⎨⎧===.10r 1,b 2,a∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.法二：∵圆过A(5，2)、B(3，-2)两点，∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上.线段AB 的垂直平分线方程为y=21-(x-4). 设所求圆的圆心坐标为C(a ，b)，则有⎪⎩⎪⎨⎧--==).4(21b 0,3-b -2a a 解得⎩⎨⎧==1.b 2,a ∴C(2，1)，r=|CA|=10)12()25(22=-+-.∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.深化升华 本题介绍了几何法求圆的标准方程：利用圆心在弦的垂直平分线上或者两圆相切时两圆心连线经过切点，可得到圆心满足的一条直线方程，结合其他条件可确定圆心，利用两点间距离公式可求得半径，从而可得圆的标准方程.其实求圆的标准方程就是求出圆心坐标与圆的半径，有时借助于弦心距、弦半径之间的关系计算，可大大简化计算的过程与难度.如果用待定系数法求圆的方程时，确定圆的方程需要三个独立条件.“选标准、定参数”是解题的基本方法.其中，选标准是根据已知条件选择恰当的圆的方程的形式，进而确定其中三个参数.。
高中数学 第4章 圆与方程 4.1 4.1.1 圆的标准方程学案(含解析)新人教A版必修2-新人教A
第四章4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程学习目标核心素养1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点)2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点)3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点)通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学学科素养．1．圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示．(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆．思考：平面内确定圆的要素是什么？[提示]圆心坐标和半径．2. 点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，半径为r.d与r的大小点与圆的位置d<r 点P在圆内d＝r 点P在圆上d>r 点P在圆外1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是( )A.(－2，3)，1 B．(2，－3)，3C.(－2，3)， 2 D．(2，－3)，2D[由圆的标准方程可得圆心为(2，－3)，半径为 2.]2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是( )A.x2＋y2＝2B.x2＋y2＝4C.(x－2)2＋(y－2)2＝8D.x2＋y2＝2B[以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.]3．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A.在圆外B．在圆内C.在圆上D．不确定A[∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．]4．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．(x＋2)2＋y2＝10[因为点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋12＝m，∴m＝10.即圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.]求圆的标准方程【例1】求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．思路探究：法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上，设出圆心坐标，根据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；法三：借助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求方程．[解] 法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由已知条件知⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋（－1－b ）2＝r 2，（－1－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，a ＋b －2＝0，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝4.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法二：设点C 为圆心，∵点C 在直线x ＋y －2＝0上， ∴可设点C 的坐标为(a ，2－a ). 又∵该圆经过A ，B 两点， ∴|CA |＝|CB |.∴（a －1）2＋（2－a ＋1）2＝（a ＋1）2＋（2－a －1）2， 解得a ＝1.∴圆心坐标为C (1，1)，半径长r ＝|CA |＝2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法三：由已知可得线段AB 的中点坐标为(0，0)，k AB ＝1－（－1）－1－1＝－1，所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1，所以AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x －0)， 即y ＝x .则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即圆心为(1，1)，圆的半径为（1－1）2＋[1－（－1）]2＝2， 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.确定圆的方程的方法：确定圆的标准方程就是设法确定圆心C (a ，b )及半径r ，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a ，b ，r 的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二、法三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．[跟进训练]1．求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；(2)圆心在y 轴上，半径为5，且过点(3，－4)；(3)以点A (3，－2)，B (－5，4)为直径两端点的圆的方程． [解] (1)r 2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝8.(2)设圆心为C (0，b )，则(3－0)2＋(－4－b )2＝52， ∴b ＝0或b ＝－8，∴圆心为(0，0)或(0，－8)，又r ＝5， ∴圆的标准方程为x 2＋y 2＝25或x 2＋(y ＋8)2＝25. (3)|AB |＝（3＋5）2＋（－2－4）2＝10. ∴半径r ＝5. 又圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3－52，－2＋42，即(－1，1).所以圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝25.点与圆的位置关系【例2】 已知圆心为点C (－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P 1(－1，0)，P 2(1，－1)，P 3(3，－4)和圆的位置关系．[解] 因为圆心是C (－3，－4)，且经过原点， 所以圆的半径r ＝（－3－0）2＋（－4－0）2＝5， 所以圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝25.因为|P 1C |＝（－1＋3）2＋（0＋4）2＝4＋16＝25<5， 所以P 1(－1，0)在圆内；因为|P 2C |＝（1＋3）2＋（－1＋4）2＝5， 所以P 2(1，－1)在圆上；因为|P 3C |＝（3＋3）2＋（－4＋4）2＝6>5， 所以P 3(3，－4)在圆外．1．判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断． 2．灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．[跟进训练]2．已知点A (1，2)不在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围． [解] 由题意，点A 在圆C 上或圆C 的外部， ∴(1－a )2＋(2＋a )2≥2a 2， ∴2a ＋5≥0，∴a ≥－52.∵a ≠0，∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52， 0∪(0，＋∞).与圆有关的最值问题 [探究问题]1．怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离？[提示] 可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值．2．若点P (x, y )是圆C ：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1上的任一点，如何求点P 到直线x －y ＝0的距离的最大值和最小值？[提示] 可先求出圆心(2，－2)到直线x －y ＝0的距离，再将该距离加上或减去圆的半径1，即可得距离的最大值和最小值．【例3】 已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求x 2＋y 2的最值．思路探究：首先观察x 、y 满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，求出其最值． [解] 由题意知x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O (0，0)到圆心C (－1，0)的距离d ＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.因此x 2＋y 2的最大值和最小值分别为94和14.1．本例条件不变，试求y x的取值范围． [解] 设k ＝y x ，变形为k ＝y －0x －0，此式表示圆上一点(x, y )与点(0, 0)连线的斜率， 由k ＝yx，可得y ＝kx ，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d ≤r ，即|－k |k 2＋1≤12，解得－33≤k ≤33. 即y x的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 2．本例条件不变，试求x ＋y 的最值．[解] 令y ＋x ＝b 并将其变形为y ＝－x ＋b ，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y 轴上的截距的最值．当直线和圆相切时在y 轴上的截距取得最大值和最小值，此时有|－1－b |2＝12，解得b ＝±22－1，即最大值为22－1，最小值为－22－1. 3．本例条件不变，求圆上点P 与A (－3，0)、B (0，－3)所围成的三角形的面积的最大值和最小值．[解] |AB |＝（－3）2＋（－3）2＝3 2. 圆心(－1，0)到直线AB ：y ＝－x －3的距离为d ＝22＝2，∵圆(x ＋1)2＋y 2＝14的半径为12，∴点P 到直线AB 的距离的最大值和最小值分别为2＋12，2－12.∴S △PAB 的最大值和最小值分别为： (S △ABP )max ＝12×32×⎝⎛⎭⎪⎫2＋12＝12＋324，(S △PAB )min ＝12×32×(2－12)＝12－324.与圆有关的最值问题的常见类型及解法： (1)形如u ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为过点(x, y )和(a, b )的动直线斜率的最值问题．(2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋l b截距的最值问题． (3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x, y )到定点(a, b )的距离的平方的最值问题．1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a ，b ，r 的方程组求a ，b ，r 或直接求出圆心(a ，b )和半径r .另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．2．判断点(x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的关系的方法： 假设点(x 0，y 0)与圆心的距离为d ，则d ＞r ⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔在圆外； d ＝r ⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔在圆上； d ＜r ⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔在圆内．3．与圆有关的最值问题，常借助于所求式的几何意义，利用数形结合的思想解题，渗透着直观形象的数学素养．1．圆心为(0，4)，且过点(3，0)的圆的方程为( ) A.x 2＋(y －4)2＝25 B ．x 2＋(y ＋4)2＝25 C.(x －4)2＋y 2＝25D ．(x ＋4)2＋y 2＝25A [由题意，圆的半径r ＝（0－3）2＋（4－0）2＝5，则圆的方程为x 2＋(y －4)2＝25.]2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )A.－1 B．1C.3 D．－3B[圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1，2).由条件知，(－1，2)适合于方程3x＋y＋a＝0，所以－3＋2＋a＝0解得a＝1，故选B.]3．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________．(x＋2)2＋y2＝4[由题意知，圆心是(－2，0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.]4．点(5a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________．[0，1)[由于点在圆的内部，所以(5a＋1－1)2＋(a)2＜26，即26a＜26，又a≥0，解得0≤a＜1.]5．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求△ABC的外接圆方程．[解] 易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，即r＝5，所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.。
高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程导学案无答案新人教A版必修2
4.1.2圆的一般方程自学导读：问题1： 圆的标准方程是 ，圆心坐标是 ，半径是 ， 问题2：把圆的标准方程展开，得 ，令-2a=D,-2b=E,a 2+b 2-r 2=F ,结论：任何一个圆可以写成下面的形式x 2+y 2+Dx+Ey+F=0问题3：是不是任何一个形如x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线都是圆呢？把方程: x 2+y 2+Dx+Ey+F=0配方可得：（1）当D 2+E 2-4F>0时，表示以（ ， ）为圆心，以（ ）为半径的圆 （2）当D 2+E 2-4F=0时，方程只有一组解x = 2-D， y = 2-E ，表示一个点（ ， ）.（3）当D 2+E 2-4F<0时，方程无实数解，所以不表示任何图形.新课：1:圆的一般方程的定义： 2：圆的一般方程的特点：x 2与y 2系数相同并且不等于0，没有xy 这样的二次项，D 2+E 2-4F>0 练习 判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径(1) x 2+2y 2-6x +4y -1=0 (2) x 2+y 2-3xy +5x +2y =0 (3) x 2+y 2-2x +4y -4=0(4) x 2+y 2-12x +6y +50=0 (5) 2x 2+2y 2-12x +4y =03：例题讲解阅读第122页例4、例5完成下列习题 1、求经过三点（0,0），（2，-2），（4,0）的圆的方程小结：求圆的方程的方法2、如图，已知点P 是圆x 2+y 2=16上的一个动点，点A 是x 轴上的一个定点，坐标为（12,0），当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的方程是什么？小结：求轨迹方程的方法三、自学检测1.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长：① x 2+y 2-6x=0 ② x 2+y 2+2by=0 ③ x 2+y 232=02..判断下列方程分别表示什么图形：① x 2+y 2=0 ② x 2+y 2-2x+4y-6=0 ③ x 2+y 2+2ax-b 2=0课本第123页练习1.2.3四、巩固训练课本第124页习题4.1 A 组 1.、2、3、4五、拓展延伸课本第124页习题4.1 B 组 2、3课堂小结（1）圆的一般方程的定义及特点（2）圆的一般方程与圆的标准方程的联系（3）用待定系数法，求圆的一般方程（4）用相关点法，求点的轨迹方程22224()()224D E D E F x y +-+++=。
高中数学 第四章4.1.1圆的标准方程导学案 新人教A版必修2
高中数学第四章4.1.1圆的标准方程导学案新人教A版必修24.1.1 圆的标准方程一、圆的标准方程活动与探究1写出下列各圆的标准方程．(1)圆心在点(2,3)，半径为2；(2)经过点P(5,1)，圆心在点C(8，－3)．迁移与应用1．若圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径分别为( )A．(－1,5)， 3 B．(1，－5)， 3C．(－1,5),3 D．(1，－5),32．已知两点P1(4,9)和P2(6,3)，求以P1P2为直径的圆的方程．根据圆的标准方程，若已知圆心坐标与半径，可直接写出圆的标准方程；若已知圆的标准方程，可直接写出圆心坐标和半径．二、点与圆的位置关系活动与探究2已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与直线x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5,6)．求圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？迁移与应用1．点A(－2,3)与圆(x＋3)2＋(y－1)2＝9的位置关系是( )A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定2．若点M(5a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26的外部，则实数a的取值范围是________．点与圆的位置关系的判断方法：(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较．(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外；②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．三、求圆的标准方程活动与探究3已知一个圆经过两个点A(2，－3)和B(－2，－5)，且圆心在直线l：x－2y－3＝0上，求此圆的方程．迁移与应用1．过A(2，－3)，B(－2，－5)两点且面积最小的圆的标准方程为________．2．已知圆被x轴平分，且过点A(5,2)和B(3，－2)，求圆的标准方程．求圆的标准方程可用以下两种方法求解：(1)待定系数法：设出圆的标准方程，根据条件求出方程中的参数．(2)利用圆的几何性质求出圆的圆心坐标与半径，从而得到圆的标准方程．当堂检测1．圆心为(－2，－1)，半径为4的圆的标准方程是( )A．(x－2)2＋(y－1)2＝16 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝16C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝162．圆(x＋2)2＋(y－9)2＝4的圆心到直线3x＋4y－15＝0的距离是( )A．1 B．2 C．3 D．53．点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是( )A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．与a的值有关4．圆心为点C(－2,1)，并且过点A(2，－2)的圆的标准方程为________________．5．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程是____________．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．。
高中数学 第四章 圆与方程 4.1 4.1.2 圆的一般方程学案 新人教A版必修2
4.1.2 圆的一般方程目标定位 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般式方程.3.体验求曲线方程(点的轨迹)的基本方法，概括其基本步骤.自 主 预 习1.圆的一般方程的定义(1)当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为D 2＋E 2－4F2.(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.(3)当D 2＋E 2－4F <0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形. 2.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则其位置关系如下表：位置关系 代数关系点M 在圆外 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0 点M 在圆上 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＝0 点M 在圆内x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F <01.判断题(1)方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的是一个圆.(×)(2)点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，满足x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.(√) (3)给出圆上三个点的坐标时，用一般方程求圆的方程.(√)(4)二元二次方程Ax 2＋By 2＋Cxy ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是A ＝B ≠0，C ＝0，D 2＋E 2－4F ＞0.(√)提示 (1)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，当D 2＋E 2－4F ＜0时，不表示任何几何图形，当D 2＋E 2－4F ＞0时，表示以点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆.2.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A.(2，3) B.(－2，3) C.(－2，－3)D.(2，－3)解析 －D 2＝2，－E2＝－3，∴圆心坐标是(2，－3).答案 D3.方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A.以(a ，b )为圆心的圆 B.以(－a ，－b )为圆心的圆 C.点(a ，b )D.点(－a ，－b )解析 原方程可化为：(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0.所以它表示点(－a ，－b ). 答案 D4.圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0的直径为3，则m 的值为________. 解析 因(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－m ，∴r ＝5－m ＝32，∴m ＝114.答案114类型一 圆的一般方程的概念【例1】 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径. (1)2x 2＋y 2－7y ＋5＝0； (2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0； (3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0； (4)2x 2＋2y 2－5x ＝0.解 (1)∵方程2x 2＋y 2－7y ＋5＝0中x 2与y 2的系数不相同，∴它不能表示圆. (2)∵方程x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0中含有xy 这样的项. ∴它不能表示圆.(3)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝－5，∴它不能表示圆.(4)方程2x 2＋2y 2－5x ＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －542＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫542，∴它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0为圆心，54为半径长的圆. 规律方法 二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，应满足的条件是：①A ＝C ≠0，②B ＝0，③D 2＋E 2－4AF >0.【训练1】 如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的范围是________. 解析 由题意可知(－2)2＋12－4k >0， 即k <54.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，54类型二 求圆的一般方程【例2】 已知△ABC 的三个顶点为A (1，4)，B (－2，3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径. 解 法一 设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，∵A ，B ，C 在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 法二 设△ABC 的外接圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵A 、B 、C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，（4－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝5，即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 法三 ∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形. ∴圆心是线段BC 的中点， 坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5.∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25. 展开得一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 规律方法 应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .【训练2】 已知A (2，2)，B (5，3)，C (3，－1)，求三角形ABC 的外接圆的方程. 解 设三角形ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即三角形ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0. 类型三 求动点的轨迹方程(互动探究)【例3】 等腰三角形的顶点是A (4，2)，底边一个端点是B (3，5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么. [思路探究]探究点一 直接法求轨迹方程的一般步骤是什么？ 提示 求轨迹方程的一般步骤： ①建系：建立适当的平面直角坐标系；②设点：用(x ，y )表示轨迹(曲线)上任一点M 的坐标； ③列式：列出关于x ，y 的方程； ④化简：把方程化简为最简形式；⑤证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.因为除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，所以步骤⑤可以不写，如果有特殊情况，可适当予以说明.探究点二 动点的轨迹与轨迹方程有什么区别与联系？提示 (1)求动点的轨迹往往是先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时会根据已知条件先判断出轨迹图形，然后再由图形求方程.(2)“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围.解 设另一端点C 的坐标为(x ，y ).依题意，得|AC |＝|AB |.由两点间距离公式，得（x －4）2＋（y －2）2＝（4－3）2＋（2－5）2， 整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4，2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A 、B 、C 为三角形的三个顶点，所以A 、B 、C 三点不共线.即点B 、C 不能重合且B 、C 不能为圆A 的一直径的两个端点.因为点B 、C 不能重合，所以点C 不能为(3，5). 又因为点B 、C 不能为一直径的两个端点，所以x ＋32≠4，且y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1).故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3，5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A (4，2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3，5)和(5，－1)两点. 规律方法 求与圆有关的轨迹问题常用的方法.①直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.②定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.③相关点法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程.【训练3】 已知直角△ABC 的两个顶点A (－1，0)和B (3，0)，求直角顶点C 的轨迹方程. 解 法一 设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线， 所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3. 且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·yx －3＝－1， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1).法二 △ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，设顶点C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.由勾股定理得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2， 即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1).[课堂小结]1.圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，来源于圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程.3.对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.1.方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围为( ) A.k ≤12B.k ＝12C.k ≥12D.k <12解析 方程表示圆⇔1＋1－4k >0⇔k <12.答案 D2.若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2>4F )表示的曲线关于直线y ＝x 对称，那么必有( ) A.D ＝E B.D ＝F C.E ＝FD.D ＝E ＝F解析 方程所表示的曲线为圆，由已知，圆关于直线y ＝x 对称，所以圆心在直线y ＝x 上，即点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2在直线y ＝x 上，所以D ＝E .故选A.答案 A3.圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________. 解析 圆心(1，2)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为|3×1＋4×2＋4|32＋42＝3. 答案 34.求过三点A (0，5)，B (1，－2)，C (－3，－4)的圆的方程. 解 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为点A ，B ，C 在圆上，把它们的坐标依次代入上面的方程，整理得到关于D ，E ，F 的三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧5E ＋F ＋25＝0，D －2E ＋F ＋5＝0，3D ＋4E －F －25＝0，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，F ＝－15. 于是得到所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －2y －15＝0.基 础 过 关1.已知圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0，则圆心坐标，半径的长分别是( ) A.(2，－1)，3 B.(－2，1)，3 C.(－2，－1)，3D.(2，－1)，9解析 圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9. 故其圆心坐标为(2，－1)，半径的长为3.答案 A2.若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A.－2或2 B.12或32 C.2或0D.－2或0解析 由圆的方程得圆心坐标为(1，2).再由点到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22，解得a＝2或a ＝0. 答案 C3.当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A.x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B.x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C.x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 D.x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析 直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0，得C (－1，2). ∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5， 即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0. 答案 C4.方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________. 解析 由表示圆的条件知a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)＞0， 即3a 2＋4a －4＜0，解得－2＜a ＜23.答案 －2＜a ＜235.点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，则动点M 的轨迹方程是________.解析 设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ，又P (x 0，y 0)在圆上，∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4. 答案 x 2＋y 2＝46.设圆的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0， (1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若此圆的一条弦AB 的中点为P (3，1)，求直线AB 的方程.解 (1)将x 2＋y 2－4x －5＝0配方得：(x －2)2＋y 2＝9.∴圆心坐标为C (2，0)，半径为r ＝3. (2)设直线AB 的斜率为k .由圆的几何性质可知：CP ⊥AB ， ∴k CP ·k ＝－1.又k CP ＝1－03－2＝1，∴k ＝－1.∴直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)，即：x ＋y －4＝0.7.已知一曲线是与两个定点O (0，0)、A (3，0)距离的比为12的点的轨迹，求出曲线的方程.解 在给定的坐标系中，设M (x ，y )是曲线上的任意一点，点M 在曲线上的条件是|MO ||MA |＝12.由两点的距离公式，上式用坐标表示为 x 2＋y 2（x －3）2＋y 2＝12. 两边平方并化简，得曲线方程x 2＋y 2＋2x －3＝0. 将方程配方，得(x ＋1)2＋y 2＝4.∴所求曲线是圆心C (－1，0)，半径为2的圆(如图).能 力 提 升8.圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14 解析 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则圆心在直线上，求得a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14，ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14，故选A. 答案 A9.已知两点A (－2，0)，B (0，2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( ) A.3－ 2B.3＋ 2C.3－22D.3－22解析 l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1，0)到l 的距离d ＝|3|2＝32，∴AB 边上的高的最小值为32－1. ∴S min ＝12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.答案 A10.光线从点A (1，1)出发，经y 轴反射到圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4的最短路程等于________.解析 ∵A (1，1)关于y 轴对称点为A ′(－1，1)， ∴所求的最短路程为|A ′C |－2，|A ′C |＝62＋62＝6 2. ∴所求的最短路程为62－2. 答案 62－211.动点M 到点A (2，0)的距离是它到点B (8，0)的距离的一半，求： (1)动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹.解 (1)设动点M (x ，y )为轨迹上任意一点，则点M 适合的条件可表示为 （x －2）2＋y 2＝12（x －8）2＋y 2平方后再整理，得x 2＋y 2＝16. 可以验证，这就是动点M 的轨迹方程.(2)设动点N 的坐标为(x ，y )，M 的坐标是(x 1，y 1). 由于A (2，0)，且N 为线段AM 的中点， 所以x ＝2＋x 12，y ＝0＋y 12.所以有x 1＝2x －2，y 1＝2y .① 由(1)知，M 是圆x 2＋y 2＝16上的点， 所以M 的坐标(x 1，y 1)满足x 21＋y 21＝16.② 将①代入②整理，得(x －1)2＋y 2＝4.所以M 的轨迹是以(1，0)为圆心，2为半径的圆.探 究 创 新12.已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆. (1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3，4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围.解 (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9， ∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1＞0， 由二次函数的图象解得－17＜t ＜1.(2)由(1)知r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167，∴当t ＝37∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1时，r max ＝477，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13492＝167.(3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)·(4t 2)＋16t 4＋9＜0时， 点P 恒在圆内，∴8t 2－6t ＜0，∴0＜t ＜34，即t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34.。
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1
4.1.1 圆的标准方程
一、温故互查：
1、两点间距离公式： 2．（1）在平面直角坐标系中，如何确定一条直线呢？
（2）在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
首先回忆一下初中讲过的一个圆最基本要素是 和 二、设问导读
1、如图，在直角坐标系中，圆心点A 的位置用坐标(a ,b ) 表示，半径r 的大小等于圆上任意一点M (x , y )与圆心
A (a ,b ) 的距离．符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？
2.则点M 、A 间的距离为：=MA ___________________________________________ 即：
把这个方程称为圆心为A (a , b )，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程 【结构分析】圆的标准方程是一个____元____次方程.
减号 r 是________ 平方
222)()(r b y a x =-+- b 是_______________
a 是_______________ y x ,的系数都是____
探究一 探究圆的标准方程
1. 写出下列圆的圆心坐标和半径。
方程 圆心坐标 半径 方程 圆心坐标 半径
6)1()4(122=-+-y x ）（ __________ ________ 8)3(422=-+y x ）（ __________ ________ 4)4()1(222=++-y x ）（ __________ ________ 222)3(5-=+y x ）（ __________ ________ 9)2(322=++y x ）（ ___________ _________ 222)(6a y a x =+-）（ ___________ ________
总结： 特别地，当)0,0(),(=b a 时，圆的方程变为________________________ 2. 根据下列条件，写出圆的标准方程。
(1) 圆心在)1,2(A ，半径长为4； __________________________ (2) 圆心在)4,3(-A ，半径长为5； __________________________ (3) 圆心在)2,3(--A ，半径长为5； __________________________
(4)经过点P(5,1)，圆心点C(8,3-) _________________________________
探究二 如何确定点与圆的位置关系？
点00(,)x y 在圆222()()(0)x a y b r r -+-=>上等价于 ；
点00(,)x y 在圆222()()(0)x a y b r r -+-=>内部等价于 ； 点00(,)x y 在圆222()()(0)x a y b r r -+-=>外部等价于 ．
1. 写出以点A(2,3-)为圆心，5为半径的圆的标准方程，并判断点M(5,7-)，N(2,1-)，P(10,9-)与该圆的位
置关系．
2. 已知点(41,2)P a a +在圆22(1)1x y ++=上，求a 的值．
探究三 圆的标准方程的求解
阅读第119页例2、例3，完成下列练习
1.在平面直角坐标系中，求与x 轴相交于A(1,0)和B(5,0)两点且半径为5的圆的标准方程.
三、自学检测：
课本第120页练习1、2、3、4 四、巩固训练：
1．圆22(8)(8)10x y ++-=的圆心和半径分别为( )
A ．(8,8),10-
B ． (8,8),10-
C ． (8,10-
D ． (10-2．已知一圆的圆心为点A(2,3-)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是( ).
A ．=++-2
2
)3()2(y x 13 B ．=-++2
2
)3()2(y x 13 C ．=++-2
2
)3()2(y x 52 D ．=-++2
2
)3()2(y x 52
3．直线230x y ++=将圆22()(5)3x a y -++=平分，则a =（ ）。
A ．13
B ．7
C ．-13
D ．以上答案都不对 4．圆心是(2,3)C -，且经过原点的圆的方程为( )．
A ．22(2)(3)13x y ++-=
B ．22(2)(3)13x y -++=
C ．22(2)(3)13x y ++-=
D ．22(2)(3)13x y -++=五、拓展延伸：
已知点(3,5)(7,2)A B 、．(1)求以AB 为直径的圆C 的标准方程；(2)已知点5
(3,)2
P -，若点Q 在圆C 上，求||PQ 的
最大值和最小值．
222
()()x a y b r
-+-=。