11应力与应变理论

图11-1 面力、 内力和应力
一 应力的概念
若将截取的下半部分放入空间坐标系Oxyz 中，并 使截面F 的法线方向N 平行于y 轴（图11-1 b）， 则全应力S 在三个坐标轴上的投影称为应力分量， 它们是ζy、ηyx、η yz 。 在变形体内各点的应力情况一般是不同的。对于 任一点而言，过Q 点可以作无限多的切面，在不 同方向的切面上，Q 点的应力是不同的。仅用某 一个切面的应力不足以全面表示该点的应力情况。 为了全面表示一点的应力情况，下面引入点的应 力状态的概念。
这个物理量被定义为张量，可用矩阵表示
Pij 所带的下标数目是2 个，称为二阶张
量。张量是满足一定的坐标转换关系的 分量所组成的集合，它的重要特征是在不同的坐标系中分量之间可 以用一定的线性关系来换算。上式为二阶张量的判别式。
三、张量和应力张量
3、张量的基本性质 张量具有以下一些基本的性质： 1) 张量不变量 张量的分量一定可以组成某些函数f (Pij ) ，这些函数值与 坐标轴无关，它不随坐标而改变，这样的函数，叫做张量不变量。二阶 张量存在三个独立的不变量。 2) 张量可以叠加和分解 几个同阶张量各对应的分量之和或差定义为另一 个同阶张量。两个相同的张量之差定义为零张量。 3) 张量可分为对称张量、非对称张量、反对称张量 若张量具有性质Pij= Pji，就叫对称张量；若张量具有性质Pij=−Pji，且当i=j 时对应的分量为0， 则叫反对称张量；如果张量Pij≠Pji，就叫非对称张量。任意非对称张量可 以分解为一个对称张量和一个反对称张量。 4) 二阶对称张量存在三个主轴和三个主值 如果以主轴为坐标轴，则两个 下角标不同的分量均为零，只留下两个下角标相同的三个分量，叫作主 值。
简记为
上式称为应力边界条件。
三、张量和应力张量
1 角标符号和求和约定 成组的符号和数组用一个带下角标的符号表示， 这种符号叫角标符号。用角标符号表示物理量在坐标系中的分量，可以 使冗长繁杂的公式在形式上变得简洁明了。如直角坐标系的三根轴x、y、 z，可写成x1、x2、x3，用角标符号简记为xi (i＝1,2,3)；空间直线的方向 余弦l、m、n 可写成lx 、ly、lz，简记为li (i＝x、y、z)。如果一个坐标系 带有m 个角标，每个角标取n 个值，则该角标符号代表着 个元素，例 如ζij (i,j = x,y,z) 就包含有9 个元素,即9 个应力分量。 在运算中，常遇到n 个数组各元素乘积求和的形式，例如：
第十一章
应力与应
变理论
塑性成形是利用金属的塑性，在外力作用下使其成形的一 种加工方法。作用于金属的外力可分为两类： 1 作用在金属表面上的力，称为面力或者接触力，它可以 是集中力，一般情况下是分布力。 面力可以分为作用力、反作用力和摩擦力。作用力是由塑 性加工设备提供的，用于使金属坯料发生塑性变形。反作 用力是工具反作用于金属坯料的力。一般情况下，作用力 与反作用力互相平行，并组成平衡力系。摩擦力是金属在 外力作用下产生塑性变形时，在金属与工具的接触面上产 生阻止金属流动的力。该力的存在往往引起变形力的增加， 对金属的塑性成形往往是有害的。 2 作用在金属物体每个质点上的力，称为体积力。体积力 是与变形力内各质点的质量成正比的力，如重力、磁力和 惯性力等。
左式整理得
图11-5 主平面上的应力
四、主应力、应力张量不变量和应力椭球面
上式是一齐次线性方程组，l, m，n 为未知数，其解为应力主轴方向。 此方程组的一组解为l = m = n = 0 ，但由解析 m, n 不能同时为零，必须寻求非零解。为了求得非零解，只有满 足齐次线性方程组式的系数组成的行列式等于零的条件，即
二、直角坐标系中一点的应力状态
设在直角坐标系Oxyz 中有一承受任意力系的变形体，过变形体内任意点Q 切取 一六面体作为单元体，其棱边分别平行于三坐标轴。在互相垂直的微分面上的全 应力都可以按坐标轴方向分解成一个正应力和两个切应力分量，这样，在三个互 相垂直的微分面上就有三个正应力分量和六个切应力分量，共计9 个应力分量，
ij
若过一点的三个互相垂直的微分面上的九个应力分量已知，则借助静力平 衡条件，该点任意方向上的应力分量可以确定。
二、直角坐标系中一点的应力状态
如图11-3 所示，设过Q 点任一斜切面的法线N 与三个坐标轴的方向余弦 为l，m，n，l=cos(N,x); m=cos(N,y); n=cos(N,z)。 若斜微分面ABC 的面 积为dF，微分面OBC(x 面)、OCA(y 面)、OAB(z面)的微分面积分别为 dFx、dFy、dFz，则各微分面之间的关系为： dFx=ldF；dFy= mdF； dFz=ndF 又设斜微分面ABC 上的全应力为S， 它在三坐标轴方向上的分量为Sx 、 Sy 、Sz，由静力平衡条件ΣPx = 0 ，得： 整理得：
第一节 应力空间
一 应力的概念
在外力的作用下，变形体内各质点就会产生相互作用的力，称为内力。单位面 积上的内力称为应力。 图11-1a 在F 面上围绕Q 点取一很小的面积ΔF ，该小面积上内力的合力为ΔP ， 则定义 为截面F 上Q 点的全应力。全应力S 是一个矢量，可以分解成两个分量，垂直于 截面的正应力σ 和平行于截面的切应力η。显然有
三、张量和应力张量
4、应力张量 设受力物体内一点的应力状态在xi(i=x,y,z)，坐标系中的九 个应力分量为ζij(i,j=x,y,z)，当xi坐标系转换到另一坐标系xk(k=x’,y’,z’)， 其应力分量为ζkr(k,r= x’,y’,z’)， ζij与ζkr之间的关系符合数学上张量之定 义，即存在线性变换关系式，即有： ζkr= ζijlkilrj(i,j=x,y,z; k,r= x’,y’,z’) 因此，表示点应力状态的九个应力分量构成一个二阶张量，称为应力张 量，可用张量符号ζij表示，即
展开行列式，整理后得
上式可写成 令
即应力状态特征方程
四、主应力、应力张量不变量和应力椭球面
2、应力张量不变量 对于一个确定的应力状态，主应力只有一组值， 即主应力具有单值性。由此，上式中的系数J1、J2、J3 也应是单值的， 而不随坐标系而变。由此得出重要结论：尽管应力张量的各分量随坐 标而变，但组成的函数值是不变的，所以将J1、J2、J3 称为应力张量 第一、第二、第三不变量。 如果取三个主方向为坐标轴，并用1、2、3 代替x, y, z，这时应力张量 可写为
ηxy 表示x 面上平行于y 轴的切应力分量。将9 个应力分量写成矩阵的形式为：
图11-2 直角坐标 系中单元体的应 力分量
二、直角坐标系中一点的应力状态
应力分量有正、负号，确定方法为：当单元体的外法线指向坐标轴正向的 微分面叫做正面，反之为负面。在正面上指向坐标轴正向的应力分量取正 号，指向相反方向的取负号。负面上的应力分量则相反。按此规定，正应 力分量以拉为正，以压为负。 由于单元体处于静力平衡状态，故绕单元体各轴的合力矩等于零，由此导 出切应力互等定理： 实际上，一点的应力状态中的9 个应力分量只有6个是互相独立的，它们组 成对称的应力张量σ
五、主切应力和最大切应力
与斜微分面上的正应力一样，切应力也随斜微分面的方位而改变。使切 应力数值达到极大值的平面称为主切应力平面，其上所作用的切应力称 为主切应力。经分析，在主轴空间中，垂直一个主平面而与另两个主平 面交角为45° 的平面就是主切应力平面，如图11-7 所示。该面上的主切 应力为
为了省略求和记号Σ ，可以引入如下的求和约定：在算式的某一项中， 如果有某个角标重复出现，就表示要对该角标自1 到n 的所有元素求和。 根据这一约定，上式可简记为： 上述重复出现的角标叫哑标，而在用角标表示的算式中有不重复出现的 角标，称为自由标。自由标不包含求和的意思，但可以表示该等式代表 的个数。在一个等式中，要分清哑标和自由标。
图11-3任意斜切微分面上的应力 用角标符号简记为 显然，全应力
二、直角坐标系中一点的应力状态
斜微分面上的正应力ζ 为全应力S 在法线N 方向的投影，它等于S x , S y, S z在 N 方向上的投影之和，即： 斜切微分面上的切应力为：
所以，已知过一点的三个正交微分面上9 个应力分量，可以求出过该点任 意方向微分面上的应力，也就是说，这9 个应力分量可以全面表示该点应 力状况，亦即可以确定该点的应力状态。 如果质点处于受力物体的边界上，则斜切微分面ABC 即为变形体的外表面， 其上的表面力（外力）T 沿三坐标轴的分量为Tx 、Ty 、Tz ，其值为
在主轴坐标系中斜微分面上的正应力和切应力为
因此，应力张量的三个不变量为
四、主应力、应力张量不变量和应力椭球面
3、应力椭球面
四、主应力、应力张量不变量和应力椭球面
4、主应力图 受力物体内一点的应力状态可用作用在单元体上的主应力 来描述，只用主应力的个数及符号来描述一点的应力状态的简图称为主 应力图。其表示出主应力的个数及正负号，并不表明作用应力的大小。 主应力图共有9种(图11-6)，其中三向应力状态的四种，两向应力状态的 三种，单向应力状态的两种。 在两向和三向主应力图中，各向主应力符号相同时，称为同号主应力图， 符号不同时称为异号主应力图，根据主应力图，可定性比较某一种材料 采用不同的塑性成形工序加工时塑性和变形抗力的差异。
三、张量和应力张量
2、张量的基本概念 有些简单的物理量，只需要一个标量就可以表 示，如距离、时间、温度等。有些物理量是空间矢量，如位移、速 度和力等，需要用空间坐标系中的三个分量来表示。更有一些复杂 的物理量，如应力状态、应变状态，需要用空间坐标系中的三个矢 量，即9 个分量才能完整地表示，这就需要引入张量的概念。 张量是矢量的推广，可定义为由若干个当坐标系改变时满足转换关 系的所有分量的集合。广义地说，绝对标量就是零阶张量，其分量 数目为 ；矢量就是一阶张量，有 个分量；应力状态、应变 状态是二阶张量，有 个分量。
它们是 xx, yy, zz, xy, 态，如图11-2 所示。