用整体思想解中招试题
整体思想来助力(初中数学)
整体思想来助力解与线段的垂直平分线有关的求线段长、求角度或判定线段（角）的数量关系等问题时，一般是运用线段垂直平分线的性质得到线段相等，进而得到角相等，有时需要整体来求，涉及到整体思想的运用.例在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，连接AM，AN．（1）如图2，当AB=AC，△BAC=120°时，试判断△AMN的形状，并证明你的结论；（2）当△AMN是等腰三角形时，请直接写出所有可能的△B与△C的数量关系.分析：（1）猜想△AMN为等边三角形，依据线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理的推论，即可判断出猜想正确；（2）分AM=AN，AM=MN，AN=MN三种情况讨论判断．解：（1）△AMN是等边三角形.证明：因为AB=AC，△BAC=120°，所以△B=△C=12×（180°-120）=30°.因为ME是AB的垂直平分线，所以AM=BM.所以△BAM=△B=30°.所以△AMN=△B+△BAM=60°.同理，△ANM=60°.所以△MAN=180°-△AMN-△ANM=60°=△AMN=△ANM.所以△AMN是等边三角形．（2）△B=△C或△B+2△C=90°或△C+2△B=90°．解析：△当AM=AN时，如图3，过点A作AH△BC于点H，所以MH=NH.因为EM是AB的垂直平分线，所以MA=MB.同理，NA=NC.所以BM=CN.所以BH=CH.所以AB=AC.所以△B=△C．△当AM=MN时，△MAN=△MNA．因为ME是AB的垂直平分线，NF是AC的垂直平分线，所以MA=MB，NA=NC.所以△B=△BAM，△C=△C AN．所以△MAN=△MNA=△C+△CAN=2△C，△AMN=△B+△BAM=2△B．因为△MAN+△AMN+△MNA=180°，所以2△C+2△B+2△C=180°.所以2△C+△B=90°．△当AN=MN时，同△可得△C+2△B=90°．综上，当△AMN是等腰三角形时，△B=△C或△B+2△C=90°或△C+2△B=90°．图3。
中考数学思想方法专题之整体思想
初中数学思想之整体思想整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．一．数与式中的整体思想【例1】 已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( )A ．18B ．12C ．9D ．7【例2】.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab---+的值等于（ ） A.6 B.6- C.125 D.27-【例3】已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想【例4】已知24122x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围是 【例5】已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解为为 【例6】．解方程 22523423x x x x +-=+三．函数与图象中的整体思想【例7】已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数）（1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式四．几何与图形中的整体思想【例8】．如图， 123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=【例9】．如图，菱形ABCD 的对角线长分别为3和4，P 是对角线AC 上任一点（点P 不与A ，C 重合），且PE ∥BC 交AB 于E ， PF ∥CD 交AD 于F ，则图中阴影部分的面积为 ．【例10】．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，AE 平分BAF ∠，试判断AF 与BC CF +的大小关系，并说明理由．【巩固练习】：1．当代数式a -b 的值为3时，代数式2a -2b+1的值是 ( )A ．5B ．6C ．7D ．82．用换元法解方程(x 2+x) 2+2(x 2+x)－1=0，若设y=x 2+x ，则原方程可变形为 ( )A ．y 2+2y+1=0B ．y 2－2y+1=0C ．y 2+2y －1=0D ．y 2－2y －1=03．当x=1时，代数式a x 3+bx+7的值为4，则当x=－l 时，代数式a x 3+bx+7的值为( )A ．7B ．10C ．11D ．124．若方程组31,33x y k x y +=+⎧⎨+=⎩的解x ，y 满足0<x+y<1，则k 的取值范围是 ( ) A ．－4<k<0 B ．－1<k<0 C ．0<k<8 D ．k>－45．(08芜湖)已知113x y -=，则代数式21422x xy y x xy y----的值为_________．6．已知x2－2x－1=0，且x<0，则1xx-=__________．7．如果(a2+b2) 2－2(a2+b2)－3=0，那么a2+b2=_________．8．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需________米．9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__________cm2．10．(07泰州)先化简，再求值：2224124422aa a a a a⎛⎫--÷⎪-+--⎝⎭，其中a是方程x2+3x+1=0的根．11.(08苏州)解方程：()2221160x xx x+++-=．。
整体思想解题
用整体思想解题江苏省 睢宁县 双沟中学 赵光朋（221212）用整体思想解题，就是在解题的过程中从整体上去认识问题、思考问题，在全面考虑问题的条件和结论的基础上，通过分析问题的整体结构，找出某些简捷的解题方法来. 当我们面临一个按常规方法从局部特征入手进行处理不易凑效或计算繁冗的问题时，若能及时调整视角，把问题的全部或部分看成一个整体，对问题进行分析或改造，将有助于优化解题过程简化解题环节.一、计算例1.计算：+-4215）（--3215）（32152+-）（. 分析：直接展开计算，显然麻烦.不妨视215-为一个整体，通过字母替换，则可化繁为简. 解：设x =-215，则125+=x .两边平方，整理得：012=-+x x .所以原式=3234+-+x x x 3)1(22+-+=x x x =3.二、 解方程组例2.解方程组⎩⎨⎧=+=+)2(397)1(42722y x y x . 分析：解此题可用常规的求解方法，但若把y x 97+看成一个整体，再用代入法更为简捷.解：将)1(式变为)3(4)97(3=++y x x ，把)2(代入)3(得)4(5-=x ，把)4(代入)2(得938=y .所以原方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧=-=9385y x . 三、求代数式的值例3.已知18b a -=，2124a a +=，求b a a-的值．（2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题）分析：使用条件直接求b a 、的值，运算量较大，而整体变换可快速求得结果.解：由条件得⎩⎨⎧=+=-1481882a a a b ，所以a a b 12)(82=-，所以b a a -=23. 四、求最大值例4.若实数,,a b c满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.（2010年全国初中数学联合竞赛试题） 分析：容易想到对b 进行讨论，但费时费事，而将b 及a 分别看做一个整体，解方程组，再利用非负数的性质可快速求解. 解：结合条件可列关于b a 、的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+cb a b a 694632，解之，得10618c a +=，15612c b -=.再由非负数的性质得010618≥+c 且015612≥-c ，∴23≤≤-c ，选C五、化简根式例5.化简：2115141075++++. 分析：若把75+看成一个整体，通过对分母的整体变形，可使式子得到简化.解：原式=）（）（75375275++++23231-=+=. 六、求线段长例6.如图，在ABC ∆中，,a BC =b AC =，AC BC 、边上的中线BE AD 、互相垂直，求AB .解析：令BE AD 、交于点O ,要求AB ，可利用勾股定理，解AOB Rt ∆,即,222BO AO AB +=又O 是重心，则OD AO 2=,OE BO 2=,D E 、又分别是BC AC 、的中点，可利用、AOE Rt ∆BOD Rt ∆找到OA OB 和的关系. 设m OD =，n OE =，则m AO 2=，n BO 2=，222BO AO AB +=22)2()2(n m +==）22(4n m +.故只需求出）22(4n m +这一整体的值即可.根据题意，得⎩⎨⎧+=+=222222OE AO AE OD BO BD ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=)2(44)1(44222222n m b m n a ，)2()1(+得)(542222n m b a +=+，即)(452222n m b a +=+，故=2AB 522b a +，所以522b a AB +=. 七、求三角形面积例7.已知三角形的一边中线长为这条边长的一半，且中线长为1，三角形的周长为33+，求此三角形的面积.解析：由已知条件可知三角形为直角三角形，且斜边上的中线长为1，斜边长为2.设两条直角边长为y x 、，则xy S 21=∆，显然只需求出“xy ”这个整体即可.根据题意有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2222332y x y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=+）（）（2413122y x y x ）（）（212-，得3=xy ，故所求三角形面积为2321=xy . 八、求阴影面积例8. 如图，三个圆两两相切，其中两个小圆的内公切线与大圆相交于B A 、两点，若a AB =，求阴影部分的面积S .分析：欲求阴影部分的面积，需求出三个圆的面积，但它们的半径都是未知的，而仔细分析图形特征，从整体入手，不难找出未知与已知之间的关系.解：设321O O O ΘΘΘ、、的半径分别为21r r R 、、，易求21r r R +=，且由切线的性质及相交弦定理的推论，得21222)21r r a ⋅=（，所以221161a r r =，于是22212(r r R S πππ+-=)()()2221221r r r r +-+=ππ=212r r ππ2==⋅2161a 281a . 九、取钱购物例9.有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需150元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需175元；现购甲、乙、丙各1件，共需多少元？解析：设购甲、乙、丙货物各1件，分别需x 元、y 元、z 元，则只要求出z y x ++这一整体即可.由题意得⎩⎨⎧=++=++17510415073z y x z y x ，两个方程三个未知数，不可一一求出，但此方程组可作如下变形：即⎩⎨⎧=++++=++++175)33150()3(2z y x y x z y x y x （）（），易求100=++z y x .故购甲、乙、丙货物各1件，共需100元.十、辨别“难”“易”例10.有100道题，让3名学生做，他们每人做出了道60，这时100道题已经全被解出来了，有的只被1人解出，有的被2人解出，有的则3人全解对了.把只有1人解出的称为“难题”，3人解出的称为“易题”.问这100道题中难题和易题哪一种多,多多少？解析：设x 为难题数，y 为易题数，z 为其它题数，从整体考虑，想法求出“y x -”再作进一步判断即可.由题意得⎩⎨⎧=++=++)2(18023)1(100z y x z y x .三个未知数只有两个方程，消去一元后，只能得到一个二元关系式，无法求出其确定的值.好在本题要求的是y x -，可将2)1(⨯再减去),2(正好可得20=-y x .所以难题比容易题多20道.十一、填写符号例11.试在等式[][][][]56789[][][][]231234=中的八个括号内，适当填入””或““-+使等式成立，那么不同的填法共有＿＿种.分析：如果在括号内逐个填入””或““-+试算，那么即使能填出几种，但很难凑全.现从整体入手，把其中的所有加数相加，所有的减数相加，再进行核算.解：设式中的所有加数和为a ，所有的减数和为b ，则有运算律应有23=-b a .又因b a +是个数的和这到991，故45=+b a .可求11=b ，可见若干个减数的和为11，于是可以一一枚举：=++=++=+=+=+=137128564738111235245236146+++=++=++=++等九种不同的表示法，因此可在原式的相应的数前的括号中填入“－”号,而其余的数前都填”“+号，共有9种不同的填法. 十二、确定三角形个数例12.以三角形的三个顶点和它内部的九个点（共12个点），能把原三角形分割成互不重叠的小三角形的个数是（ ）15)A （ 19)(B 22)(C )(D 不能确定分析：找出一个整体的量——所有分割成的小三角形内角和的总和，接着就是研究每个点所具有的共性——三角形内的n 个点都是若干个小三角形的公共点，且每个点对应一个0360的角（依此点为公共点的三角形对应角的和），以这n 个点为顶点的所有角的和是n 0360.而以原三角形三个顶点的三个内角的和是0180，设一共可以分割成n a 个小三角形，则这n 个小三角形内角和的总和为n a 0180.所有n a 0180=n 0360+0180，即12+=n a n .取9=n 得19=n a ，故选)(B .。
实数(整体思想)备战2023年中考数学考点微专题
考向1.7 实数（整体思想）例 1、（2021·四川内江·中考真题）若实数x 满足210x x --=，则3222021x x -+=__． 【答案】2020解：210--=x x ，21x x ∴=+，21x x -=，3222021x x -+ 2(1)22021x x x =+-+2222021x x x =+-+ 22021x x =-+12021=-+2020=．故答案为：2020．例 2、（2021·江苏苏州·中考真题）已知两个不等于0的实数a 、b 满足0a b +=，则b a a b+等于（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】A解：∵22=b a b a a b ab++，∴()2222==a b ab b a b a a b ab ab+-++， ∵两个不等于0的实数a 、b 满足0a b +=，∴()22-2===-2a b ab b a ab a b ab ab +-+， 故选：A ．例 3、（2021·广东广州·中考真题）已知3m n mnA n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）化简A ；（2）若230m n +-=，求A 的值． 【答案】（1)3m n +；（2）6．解：（1）()())22333m n m n m n mn mnA m n mn nm mn +-⎛⎫=-==+ ⎪⎝⎭；（2）∵230m n +-=，∴23m n +=，∴()3=323=6A m n =+⨯．整体思想的运用形式： （1） 整体降次； （2） 整体求值。
【知识识记与拓展】1、代数式求值中整体思想体现；2、降次中整体思想体现；3、一元次次方程根与系数关系中整体思想体现；一、单选题 1．（2018·山东潍坊·中考真题）|12|=( ) A ．12B 21C ．12D ．12-2．（2021·四川泸州·中考真题）已知1020a =，10050b =，则1322a b ++的值是（ ）A ．2B ．52C ．3D ．923．（2021·四川泸州·中考真题）关于x 的一元二次方程2220x mx m m ++-=的两实数根12,x x ，满足122x x =，则2212(2)(2)x x ++的值是（ ）A ．8B ．16C ． 32D ．16或404．（2020·江苏无锡·中考真题）若2x y +=，3z y -=-，则x z +的值等于（ ） A ．5B ．1C ．-1D ．-55．（2016·四川雅安·中考真题）已知231a a +=，则代数式2261a a +-的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．（2011·辽宁沈阳·中考真题）已知230a a +-=，那么2(4)a a +的值是（ ） A ．9B ．12-C ．18-D ．15-7．（2021·浙江台州·中考真题）已知（a ＋b ）2＝49，a 2＋b 2＝25，则ab ＝（ ）A ．24B ．48C ．12D ．8．（2021·四川自贡·中考真题）已知23120x x --=，则代数式2395x x -++的值是（ ） A ．31B ．31-C ．41D ．41-9．（2020·江苏泰州·中考真题）点(),P a b 在函数32y x =+的图像上，则代数式621a b -+的值等于（ ） A ．5B ．3C ．3-D ．1-10．（2020·重庆·中考真题）已知a +b =4，则代数式122a b++的值为（ ） A ．3B ．1C ．0D ．-111．（2020·贵州遵义·中考真题）已知x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两根，则x 12+x 22的值为（ ） A ．5B ．10C ．11D ．1312．（2019·江苏泰州·中考真题）若231a b -=-，则代数式2463a ab b -+的值为（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．3二、填空题 13．（2019·江苏常州·中考真题）如果20a b --=，那么代数式122a b +-的值是_____． 14．（2019·湖南湘潭·中考真题）若5a b +=，3a b -=，则22a b -=_____． 15．（2017·湖北·中考真题）已知2a ﹣3b=7，则8+6b ﹣4a=_____．16．（2015·江苏扬州·中考真题）若235a b -=，则2622015b a -+=______． 17．（2014·贵州贵阳·中考真题）若0m n +=，则221m n ++=____________.18．（2021·四川绵阳·中考真题）若x y -=34xy =-，则22x y -=_____．19．（2021·四川广安·中考真题）若x 、y 满足2223x y x y -=-⎧⎨+=⎩，则代数式224x y -的值为______．20．（2021·湖南岳阳·中考真题）已知1x x +1x x+=______． 21．（2020·宁夏·中考真题）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为____．22．（2020·湖北·中考真题）已知23x y +=，则124x y ++=______．23．（2020·广东·中考真题）已知5x y =-，2xy =，计算334x y xy +-的值为_________． 24．（2020·四川泸州·中考真题）已知12,x x 是一元二次方程2470x x --=的两个实数根，则2211224x x x x ++的值是_________．25．（2020·山东临沂·中考真题）若1a b +=，则2222a b b -+-=________．26．（2020·四川成都·中考真题）已知73a b =-，则代数式2269a ab b ++的值为_________． 27．（2020·江苏宿迁·中考真题）已知3a b +=，代数式225a b +=，则ab 的值是_____________．三、解答题 28．（2020·北京·中考真题）已知2510x x --=，求代数式(32)(32)(2)x x x x +-+-的值．一、单选题 1．（2021·广东金平·一模）如果代数式4m 2﹣2m +5的值为7，那么代数式2m 2﹣m ﹣3的值为（ ） A ．﹣3B ．3C ．2D ．﹣22．（2021·安徽·三模）已知实数a≠b≠c≠0，且满足c a ＝a ＋4，c b ＝b ＋4，则2a c ＋2b c－16c 的值为（ ） A ．2B ．－2C ．－1D ．13．（2020·江苏泰兴·模拟预测）已知24m n a =+，24n m a =+，m n ≠，则222m mn n ++的值为（ ） A ．16B ．12C ．10D ．无法确定二、填空题 4．（2018·河北·模拟预测）当代数式x 2+3x +5的值为7时，代数式3x 2+9x ﹣2的值是 ___． 5．（2021·广东·珠海市文园中学三模）已知2430x x -+=，则254x x -+=________________． 6．（2021·广东·佛山市华英学校一模）当x ＝3时，px 3+qx +1＝2020，则当x ＝﹣3时，px 3+qx +1的值为_____．7．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）设M x y =+，N x y =-，P xy =．若99M =，98N =，则P =______．8．（2021·安徽·安庆市第四中学二模）实数a ，b 满足a 2+b 2﹣2a ＝0，则4a +b 2的最大值________．9．（2021·山东乳山·模拟预测）若方程2250x x +-=的两个根是1x ，2x 12()x x >，则1211x x -的值为________．10．（2021·福建·模拟预测）已知4x y =-，2xy =，计算22x y +的值为______．11．（2021·贵州黔东南·一模）若实数m 、n 满足21010m m -+=，21010n n -+=，则代数式33m n mn +的值为______．12．（2021·四川邛崃·二模）已知代数式23a a -的值为6，则代数式2926a a -+的值为______． 13．（2021·江苏邗江·二模）若23a b -=22934a ab b -+的值等于________．14．（2021·湖南茶陵·模拟预测）如若21x x +=，则431x x x +++的值为__________．15．（2020·广东斗门·二模）已知实数m ，n 满足20191m n m n +=⎧⎨-=-⎩，则代数式m 2﹣n 2的值为_____．三、解答题 16．（2021·浙江海曙·一模）（1）已知250x x -，求代数式2210x x - （2）化简：226993x x x x x ++---．17．（2020·陕西·西安市第三十一中学模拟预测）阅读材料：“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把()a b +看成一个整体，4()2()((421)()3())a b a b a b a b a b =+-+++-++=+． 尝试应用：（1）把2()a b -看成一个整体，合并2223()5()7()---+-a b a b a b 的结果是_________． （2）已知221x y -=，求2362021--x y 的值． 拓广探索：（3）已知22,25,9-=-=--=a b b c c d ，求()(2)(2)a c b d b c -+---的值．18．（2021·江苏镇江·一模）阅读材料：《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 例如：已知1xy =，求1111x y+++的值． 解：原式11111111xy y y xy x y y y y +=+=+==+++++． 问题解决： （1）已知1xy =． ①代数式221111x y +++的值为_______； ②求证：2021202111111x y +=++．（2）若x 满足22(2021)(2020)4043x x -+-=，求(2021)(2020)x x --的值．19．（2020·四川·正兴中学二模）已知2a b +=，2ab =，求32231122a b a b ab ++和22223a ab b a b ab +++的值．20．（2020·湖北·黄石八中一模）已知25,25,x y =+=-求22x y -的值．一、单选题1．已知221224a b a b +=--，则132a b -的值为（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．4-2．已知a ﹣b=2，则代数式2a ﹣2b ﹣3的值是（ ） A ．1B ．2C ．5D ．7二、填空题3．已知2,33xy x y =-=，则322321218x y x y xy -+=_________． 4．若2a b =+，则代数式222a ab b -+的值为__． 5．若21x x +=，则433331x x x +++的值为_____．6．若实数x 满足2210x x --=，则322742017x x x -+-=_____________．7．已知实数a ，b 满足：211a a +=，211b b+=，则2015a b -|=_____．三、解答题8．先化简，再求值：221121m m m m m m---÷++，其中m 满足：210m m --=.1．B【解析】分析：根据绝对值的性质解答即可． 解：221． 故选B ．【点拨】：此题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 2．C【分析】根据同底数幂的乘法31010010a b ⋅=，可求23a b +=再整体代入即可． 解: ∵1020a =，10050b =，∴2310100102050100010a b a b +⋅==⨯==， ∴23a b +=，∴()()1311233332222a b a b ++=++=+=． 故选：C ．【点拨】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法逆运算，代数式求值，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法法则，与代数式值求法是解题关键．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，先解得2m =或1m =-，再分别代入一元二次方程中，利用完全平方公式变形解题即可． 解：一元二次方程2220x mx m m ++-= 21,2,a b m c m m ===-2122cm x am x ==-= 220m m --= (2)(1)0m m ∴-+=2m ∴=或1m =- 当2m =时，原一元二次方程为2420x x ++=12=24bm ax x +-=-=-， 22221212122)+2((2)(2)()+4=x x x x x x +∴++，221212122=()2x x x x x x ++- 221212212212)+(2)(2)=)(2(4+4x x x x x x x x -∴+++22=2+2(4)424⨯--⨯+32=当1m =-时，原一元二次方程为2220x x +=- 2(2)41240∆=--⨯⨯=-<原方程无解，不符合题意，舍去， 故选：C ．【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，韦达定理等知识，涉及解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4．C【分析】将两整式相加即可得出答案． 解：∵2x y +=，3z y -=-， ∴()()1x y z y x z ++-=+=-， ∴x z +的值等于1-， 故选：C ．【点拨】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．B解：试题分析：∵231a a +=，∴2261a a +-=22(3)1a a +-=2×1﹣1=1．故选B ． 考点：代数式求值；条件求值；整体代入．【分析】由a 2+a -3=0，变形得到a 2=-（a -3），a 2+a =3，先把a 2=-（a -3）代入整式得到a 2（a +4）=-（a -3）（a +4），利用乘法得到原式=-（a 2+a -12），再把a 2+a =3代入计算即可． 解：∵a 2+a -3=0， ∴a 2=-（a -3），a 2+a =3， a 2（a +4）=-（a -3）（a +4） =-（a 2+a -12） =-（3-12） =9． 故选：A ．【点拨】本题考查了整式的混和运算及其化简求值：先把已知条件变形，用底次代数式表示高次式，然后整体代入整式进行降次，进行整式运算求值． 7．C【分析】利用完全平方公式计算即可．解：∵()222249a b a b ab +=++=，2225a b +=， ∴4925122ab -==， 故选：C ．【点拨】本题考查整体法求代数式的值，掌握完全平方公式是解题的关键． 8．B【分析】根据题意，可先求出x 2-3x 的值，再化简()22395=3+53x x x x -++--，然后整体代入所求代数式求值即可． 解：∵23120x x --=， ∴23=12x x -，∴()223395=3+5=312+5=31x x x x -++---⨯-．故选：B ．【点拨】此题考查了代数式求值，此题的关键是代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，得出23=12x x -，是解题的关键． 9．C【分析】把(),P a b 代入函数解析式得32=+b a ，化简得32-=-a b ，化简所求代数式即可得到结果；解：把(),P a b 代入函数解析式32y x =+得：32=+b a ， 化简得到：32-=-a b ，∴()()621=231=221=-3-+-+⨯-+a b a b ． 故选：C ．【点拨】本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子是解题的关键． 10．A【分析】通过将所求代数式进行变形，然后将已知代数式代入即可得解. 解：由题意，得 411132222a b a b +++=+=+= 故选：A.【点拨】此题主要考查已知代数式求代数式的值，熟练掌握，即可解题. 11．D【分析】利用根与系数的关系得到12123,2,x x x x +==-再利用完全平方公式得到222121212()2,x x x x x x +=+-然后利用整体代入的方法计算．解：根据题意得12123,2,x x x x +==-所以2222121212()232(2)13.x x x x x x +=+-=-⨯-=故选：D ．【点拨】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，以及完全平方公式的变形，掌握以上知识是解题的关键． 12．B【分析】先将代数式2463a ab b -+变形后，再整体代入即可得结论． 解：2463a ab b -+()2233a a b b =-+ 23a b =-+()23a b =-- 1=故选B ．【点拨】此题考查代数式的求值，根据代数式的特点将原式变形，再整体代入已知条件是解题的关键． 13．5【分析】将所求式子化简后再将已知条件中2a b -=整体代入即可求值； 解：20a b --=，∴2a b -=，∴()12212145a b a b +-=+-=+=；故答案为5．【点拨】本题考查代数式求值；熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键． 14．15【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．解：∵5a b +=，3a b -=，∴22a b -()()a b a b =+-53=⨯15=故答案为15【点拨】本题考查了平方差公式，能够正确分解因式是解此题的关键．15．-6解：试题分析：∵2a ﹣3b=7，∴8+6b ﹣4a=8﹣2（2a ﹣3b ）=8﹣2×7=﹣6，故答案为﹣6． 考点：代数式求值；整体代入．16．2005解：试题分析：2622015b a -+=()223201510+20152005a b --+=-=故答案为2005考点：代数式的求值17．1解：试题分析：把所求代数式转化成已知条件的形式，然后整体代入进行计算即可得解： ∵m+n=0，∴()22121201011m n m n ++=++=⨯+=+=．考点：1．代数式求值，2．整体思想的应用．18．0【分析】先求出22x y +，再求22x y -的平方，然后再开方即可求出22x y -．解：∴x y -=2()3x y ∴-=，2223x xy y ∴-+=， ∵34xy =-， ∴22332x y ++=，∴2232x y +=， 22222222()()4x y x y x y ∴-=+-9940416=-⨯=， 220x y ∴-=，故答案为：0．【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，等式的灵活变形是本题的关键．19．-6【分析】根据方程组中x +2y 和x -2y 的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可．解：∵x -2y =-2，x +2y =3，∴x 2-4y 2=（x +2y ）（x -2y ）=3×（-2）=-6，故答案为：-6．【点拨】本题主要考查方程组的解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解题关键．20．0【分析】把1x x+=解：10x x+== 故答案为：0．【点拨】本题考查了求代数式的值，涉及二次根式的减法运算，整体代入法是解决本题的关键．21．27【分析】根据题意得出a 2+b 2=15，（b-a ）2=3，图2中大正方形的面积为：（a+b ）2，然后利用完全平方公式的变形求出（a+b ）2即可．解：由题意可得在图1中：a 2+b 2=15，（b-a ）2=3，图2中大正方形的面积为：（a+b ）2，∵（b-a ）2=3a 2-2ab+b 2=3，∴15-2ab=32ab=12，∴（a+b ）2=a 2+2ab+b 2=15+12=27，故答案为：27．【点拨】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．22．7【分析】由23x y +=可得到246x y +=，然后整体代入124x y ++计算即可．解：∵23x y +=，∴()2224236x y x y +=+=⨯=，∴124167x y ++=+=，故答案为：7．【点拨】本题考查了代数式的求值问题，注意整体代入的思想是解题的关键．23．7【分析】将代数式化简，然后直接将5x y +=，2xy =代入即可．解：由题意得5x y +=，2xy =，∴3343()41587x y xy x y xy +-=+-=-=，故答案为：7．【点拨】本题考查了提取公因式法，化简求值，化简334x y xy +-是解题关键．24．2【分析】由已知结合根与系数的关系可得：12x x +=4，12x x ⋅= -7，2211224x x x x ++=()212122x x x x ++，代入可得答案. 解：∵12,x x 是一元二次方程2470x x --=的两个实数根，∴12x x +=4，12x x ⋅= -7，∴2211224x x x x ++=()212122x x x x ++=()2427+⨯- =2，故答案为：2．【点拨】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系，难度不大，属于基础题 25．-1【分析】将原式变形为()()22a b a b b +-+-，再将1a b +=代入求值即可.解：2222a b b -+-=()()22a b a b b +-+-将1a b +=代入，原式=22a b b -+-=2a b +-=1-2=-1故答案为：-1.【点拨】本题考查了代数式求值，其中解题的关键是利用平方差公式将原式变形为()()22a b a b b +-+-.26．49【分析】先将条件的式子转换成a +3b =7，再平方即可求出代数式的值．解：∵73a b =-，∴37a b +=，∴()2222693749a ab b a b ++=+==，故答案为：49．【点拨】本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换． 27．2【分析】根据完全平方公式()2222a b a ab b +=++，代入计算即可得出结果.解：由()2222a b a ab b +=++可得：2352ab =+ 解得：2ab =故答案为2.【点拨】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键. 28．21024x x --，-2【分析】先按照整式的混合运算化简代数式，注意利用平方差公式进行简便运算，再把2510x x --=变形后，整体代入求值即可．解：原式=22942x x x -+-2102 4.x x =--∵2510x x --=，∴251x x -=，∴21022x x -=，∴原式=242-=-．【点拨】本题考查的是整式化简求值，掌握利用平方差公式进行简便运算，整体代入求值是解题的关键．1．D【分析】由代数式4m 2﹣2m +5的值为7，可得到4m 2﹣2m =2，两边除以2得到2m 2﹣m =1，然后把2m 2﹣m =1代入2m 2﹣m ﹣3即可得到答案．解：∵4m2﹣2m+5=7，∴4m2﹣2m=2，∴2m2﹣m=1把2m2﹣m=1代入2m2﹣m﹣3得，2m2﹣m﹣3=1-3=-2．故选D．【点拨】本题考查了代数式求值：先把代数式变形，然后利用整体代入的方法求代数式的值．2．A【分析】由ca＝a＋4，cb＝b＋4，可求出c=a2+4a，c=b2+4b，进而可得a+b=-4，a2=c-4a，b2=c-4b，代入所给代数式求解即可．解：∵ca＝a＋4，cb＝b＋4，∴c=a2+4a，c=b2+4b，∴a2+4a =b2+4b，∴a2-b2=4b-4a，∴(a+b)(a-b)=-4(a-b)，∵a≠b≠c≠0，∴a+b=-4，∵c=a2+4a，c=b2+4b，∴a2=c-4a，b2=c-4b，∴4c ac-＋4c bc-－16c=2+() 416a bc-+-=2+() 4416c-⨯--=2．故选：A【点拨】本题考查了分式的化简求值，因式分解的应用等知识，求出a+b=-4，a2=c-4a，b2=c-4b 是解答本题的关键．3．A【分析】先由已知条件得出m+n的值，再把m2+2mn+n2化成完全平方的形式，再进行计算即可．解：∵24m n a=+，24n m a=+，∴224(4)444()m n n a m a n m n m -=+-+=-=-，即()()4()m n m n m n +-=--，即(4)()0m n m n ++-=，又∵m≠n ，∴m+n+4＝0，即m+n ＝﹣4，∴22222()(4)16m mn n m n ++=+=-=．故选：A ．【点拨】本题考查了因式分解的应用．能通过对已知条件的变形得出m+n 的值是解题的关键．4．4【分析】根据题意确定出x 2+3x 的值，原式变形后代入计算即可求出值．解：由题意得：x 2+3x +5=7，即x 2+3x =2，则3x 2+9x ﹣2=3（x 2+3x ）-2=6-2=4，故答案为：4．【点拨】本题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．8【分析】由题意，先得到243x x -=-，然后整体代入计算，即可得到答案．解：∵2430x x -+=，∴243x x -=-，∴2254(4)5(3)58x x x x -+=--+=--+=；故答案为：8．【点拨】本题考查了求代数式的值，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到243x x -=-，运用整体代入的运算法则进行解题．6．-2018【分析】把x ＝3代入代数式得27p +3q ＝2019，再把x ＝﹣3代入，可得到含有27p +3q 的式子，直接解答即可．解：当x ＝3时， px 3+qx +1＝27p +3q +1＝2020，即27p +3q ＝2019，所以当x ＝﹣3时， px 3+qx +1＝﹣27p ﹣3q +1＝﹣（27p +3q ）+1＝﹣2019+1＝﹣2018． 故答案为：﹣2018．【点拨】此题考查了代数式求值；代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式27p +3q 的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 7．49.25【分析】先分别求出（x +y ）2和（x -y ）2的值，根据完全平方公式展开，再相减，即可求出xy 的值，再得出答案即可．解：∵M =x +y =99，∴两边平方，得（x +y ）2=992，即x 2+y 2+2xy =992①，∵N =x -y =98，∴两边平方，得（x -y ）2=982，即x 2+y 2-2xy =982②，∴①-②，得4xy =992-982=（99+98）×（99-98）=197，∴xy =1974=49.25， 即P =xy =49.25，故答案为：49.25．【点拨】本题考查了完全平方公式和平方差公式，能灵活运用完全平方公式进行计算是解此题的关键，注意：（x +y ）2=x 2+y 2+2xy ，（x -y ）2=x 2+y 2-2xy ．8．8【分析】根据条件变形为222=-b a a ，确定出a 的取值范围，将4a +b 2转化为()239a --+即可．解：∵a 2+b 2﹣2a ＝0，∴()2211a b -+=，2a ＝a 2+b 2，222=-b a a∴()2211b a =--，∵b 2≥0，∴()2110a --≥，∴0≤a ≤2，∴4a +b 2=()()22242639a a a a a a +-=--=--+， ∵-1<0，∴当a <3时，式子的值随a 的增大而增大，∴当2a =时，4a +b 2的最大值为8．故答案为8．【点拨】本题考查代数式的最值问题，将代数式变形，利用完全平方公式配方，利用非负数的性质是解题关键．9【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得1212x x +=- ，1252x x ⋅=- ，然后利用完全平方公式的变形可求出12x x -= 解：∵方程2250x x +-=的两个根是1x ，2x ， ∴1212x x +=- ，1252x x ⋅=- ， ∵()2221212122x x x x x x +=++， ∴2221215212224x x ⎛⎫⎛⎫+=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， ∴()2221212122154122424x x x x x x ⎛⎫-=+-=-⨯-= ⎪⎝⎭ ，∴12x x -=±， ∵12x x >，∴12x x -=∴122121()11252-==-=--x x x x x x． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和 完全平方公式的变形，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．10．12【分析】根据22x y +=（x +y ）2-2xy ，再根据已知条件代入计算即可得出答案．解：∵4x y =-，∴4x y +=，∴()222224412x y x y xy +=+-=-=．故答案为：12．【点拨】本题主要考查了完全平方公式的变式应用，熟练掌握完全平方公式的变式进行计算是解决本题的关键．11．98【分析】由题意得：m 、n 是方程21010x x -=+的两个根，利用跟与系数的关系，得出10m n +=，1⋅=m n ，进而即可求解．解：∵实数m 、n 满足21010m m -+=，21010n n -+=，∴m 、n 是方程21010x x -=+的两个根，∴10m n +=，1⋅=m n ，∴33m n mn +=222()()2mn m n mn m n mn ⎡⎤+=+-⎣⎦=21102198⎡⎤⨯-⨯=⎣⎦，故答案是：98．【点拨】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，把实数m 、n 看作是方程21010x x -=+的两个根，是解题的关键．12．-3【分析】构造等式23a a -=6，同乘以-2后，整体代入计算即可．解：∵23a a -=6，∴22612a a -+=-，∴2926a a -+=9+（-12）=-3，故答案为：-3．【点拨】本题考查了条件等式型的代数式求值，准确构造条件等式，并灵活进行变形，后整体代入是解题的关键．13．2【分析】由23a b -=32a b -=32a b -解：∵23a b -=∴32a b -= ∴22934a ab b -+=23()2a b -=2， 故答案为：2【点拨】本题考查利用完全平方公式求代数式的值，熟练掌握完全平方公式，运用整体代入的思想是解题关键．14．2【分析】利用提公因式分将原式变形为22()1x x x x +++，然后利用整体代入思想代入求解．解：∵21x x +=，∴431x x x +++=22()1x x x x +++=21x x ++=1+1=2．故答案为：2【点拨】本题考查了因式分解的应用，掌握提公因式的技巧把所求多项式进行灵活变形，并利用整体代入思想求解是解题关键．15．-2019【分析】直接利用平方差公式将原式变形得出答案．解：∵实数m ，n 满足20191m n m n +=⎧⎨-=-⎩， ∴m 2﹣n 2＝（m +n ）（m ﹣n ）＝﹣2019．故答案为：﹣2019．【点拨】此题主要考查了平方差公式，根据题目要求正确将原式变形是解题关键．16．（1（2）33x - 【分析】（1）将条件变形后，两边同时乘以2，然后整体代入求值即可；（2）因式分解，约分后转化为同分母分式的减法计算即可．解：.解：（1）由已知得：25x x -=∴原式()225x x =-==（2）原式2(3)(3)(3)3+=-+--x x x x x 333+=---x x x x 33x =-． 【点拨】本题考查了条件型代数式的值，分式的减法，熟练掌握整体变形代入求值，因式分解后约分等技能是解题的关键．17．（1）25()a b -；（2）-2018；（3）6【分析】（1）把2()a b -看做一个整体，合并即可得到结果；（2）原式前两项提取3变形后，将已知等式代入计算即可求出值；（3）原式去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值．解：（1）25()a b -．（2）∵221x y -=，∴2362021--x y()2322021x y =--32021=-2018=-（3）∵22,25,9-=-=--=a b b c c d ，∴()(2)(2)a c b d b c -+---=a-c+2b-d-2b+c=a-d=a-2b+2b-c+c-d=（a-2b ）+（2b-c ）+（c-d ）=2-5+9=6．【点拨】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（1）①1；②证明见解析；（2）2021．【分析】（1）①把xy =1代入221111x y +++，分母提取公因式，约分，再根据分式加法法则计算即可得答案；②由xy =1可得20212021x y =1，同①的方法计算即可得结论；（2）设2021x a -=，2020x b -=，可得1a b -=，利用完全平方公式求出ab 的值即可得答案．解：（1）①∵xy =1， ∴221111x y +++ =22xy xy xy x xy y +++ =()()xy xy x y x y x y +++ =x y x y++ =1．故答案为：1②∵xy =1，∴20212021x y =1， ∴202120211111x y +++ =20212021202120212021202111x y x y x y +++=202120212021202120211(1)1x y x y y +++ =202120212021111y y y +++ =2021202111y y ++ =1．（2）设2021x a -=，2020x b -=，∴1a b -=，∵22(2021)(2020)4043x x -+-=，∴224043a b +=，∴222()2a b a b ab -=+-=4043-2ab =1，解得：ab=2021，∴(2021)(2020)x x --=2021．【点拨】本题考查利用提取公因式法和完全平方公式因式分解及分式的加法，熟练掌握完全平方公式及分式的加法法则是解题关键．19．4； 32【分析】(1)先提取公因式12ab 后，再因式分解即可求解； (2)对分子和分母分别进行因式分解后代入数据即可求解. 解：232232211=(12)122()22++++=+ab a ab a b a b ab a b b ab 再代入数据：2a b +=，2ab =∴原式12442=⨯⨯= 故答案为：4.222222233()()()++++++==+++a ab b a ab b a b ab a b ab ab a b ab a b 再代入数据：2a b +=，2ab =∴原式=22263==2242+=⨯. 故答案为：32. 【点拨】本题考查分式的加减乘除混合运算，运算前先因式分解，熟练掌握运算法则是解决此类题的关键.20．【分析】先把22x y -分解因式，然后把x ，y 的值代入化简即可.解：()()2242585x y x y x y -=+-=⨯=【点拨】本题考查了代数式的运算，运用平方差公式对原式进行因式分解是解题的关键.1．A 【分析】根据221224a b a b +=--，变形可得：()22221121111042a a b b a b ⎛⎫-++++=-++= ⎪⎝⎭，因此可求出1a =，2b =-，把a 和b 代入132a b -即可求解． 解：∵221224a b a b +=-- ∴()22221121111042a a b b a b ⎛⎫-++++=-++= ⎪⎝⎭ 即2(1)0a -=，21(1)02b += ∴求得：1a =，2b =-∴把a 和b 代入132a b -得：131(2)42⨯-⨯-= 故选：A【点拨】本题主要考查了完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式，通过移项对已知条件进行配方是解题的关键．2．A解：试题分析：∵a ﹣b=2，∴2a ﹣2b ﹣3=2（a ﹣b ）﹣3=2×2﹣3=1．故选A ． 考点：代数式求值．3．36【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可．解：∵2,33xy x y =-=，∴原式=()222322336xy x y -=⨯⨯=，故答案是：36．【点拨】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．4．4. 【分析】由2a b =+，可得2a b -=，所求代数式变形后，整体代入即可．解：2a b =+，2a b ∴-=，22222()24a ab b a b ∴-+=-==，故答案为4【点拨】本题考查了代数式求值，利用完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式的结构特征是解答本题的关键．5．4【分析】把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．解：∵21x x +=，∴()43222233313313313()1314x x x x x x x x x x x +++=+++=++=++=+=；故答案为4．【点拨】本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键． 6．﹣2020．解：∵2210x x --=，∴221x x =+，322742017=2(21)-7(21)42017x x x x x x x -+-+++-=242147+42017x x x x +--- =2482024=4(21)82024x x x x --+--=4﹣2024=﹣2020，故答案为﹣2020．7．1．解：试题分析：∵2110a a +=>，2110b b+=>，∴0a >，0b >，∴()10ab a b ++>，∵211a a +=，211b b+=，两式相减可得2211a b a b -=-，()()b a a b a b ab -+-=，[()1]()0ab a b a b ++-=，∴0a b -=，即a b =，∴2015a b -=02015=1．故答案为1． 考点：1．因式分解的应用；2．零指数幂．8．2m m+1，1． 【分析】将分式运用完全平方公式及平方差公式进行化简，并根据m 所满足的条件得出2m =m+1，将其代入化简后的公式，即可求得答案． 解：原式为22m -1m-1m-m +2m+1m÷ =2(m+1)(m-1)m m-(m+1)m-1⨯ =m m-m+1=2m m m-m+1m+1=2mm+1，又∵m满足2m-m-1=0，即2m=m+1，将2m代入上式化简的结果，∴原式=2m m+1==1 m+1m+1．【点拨】本题主要考察了分式的化简求值、分式的混合运算、完全平方公式及平方差公式的应用，该题属于基础题，计算上的错误应避免．。
运用整体思想巧解中考题
运用整体思想巧解中考题作者：张德柱来源：《中学生数理化·中考版》2015年第06期整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养思维的灵活性、敏捷性.整体思想的主要表现形式有整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体构造等.在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、儿何与图形等方面，整体思想都有广泛的应用，因此，每年的中考中出现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用.下面举例说明，以飨读者.一、整体代入例1 （2014.淄博）当x=l时，代数式的值足7，则当x=-l时，这个代数式的值是（）.A.7B.3C.1D.-7分析：把x=l代入代数式求出a、b的关系式，再把x=一l代入进行计算即可得解，，解得时，. 故选C。
评注：本题是直接代入求值的一个基本题型，利用整体思想是解题的关键.此类题首先要观察已知条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用整体代入法即可得解，例2 （2014.黔东南）已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2_m+2 014的值为（）.A.2 012B.2 013C.2 014D.2 015分析：国因为抛物线y=x2-x-l与x轴的一个交点为（m，0），所以把x=m代入方程x2-x-1=0可求得m2一m=l，然后将其整体代入代数式m2-m+2014，故m2一m+2014=1+2014=2015.故选D.评注：本题考查了抛物线与x轴的交点.解题时需注意“整体代入”数学思想的应用，从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，减少计算量.二、整体变形例3 （2014.凉山州）已知解析：此题考查二次根式的混合运算，把所求代数式利用完全平方公式整体变形是解决问题的关键，首先把变形为（X1+X2）2 - 2x1X2，再进一步代入求得数值即可.评注：从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子（或图形）看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的整体变形，从而使代数式的化简与求值计算过程简捷，三、整体加减例4 （2014.兰州）为了求的值____，可令，则，因此，所以，即 1.仿照以上推理计算的值是，解析：根据题目所给的计算方法，设①式两边都乘以3，得②一①得2M=两边都除以2，得，故答案为：评注：本题主要考查学生观察能力及运用整体思想解题的运算能力，利用错位相减法，消掉相同值，是解题的关键.例5已知且，则k的取值范围为（）.A. B. C. D.解析：本题如果解方程，分别求出方程组的解显然比较麻烦，注意到条件“-l评注：运用整体思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析.运用整体思想方法，往往能起到化繁为简化难为易的效果，四、化零为整例6 如图1，∠1+ ∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=____.解析：由于本题无其他任何条件，因而单个角是无法求出的.利用三角形的性质，我们将∠1+ ∠2视为一个整体，那么应与△ABC中的外角相等，同理∠3+∠4，∠5+∠6 分别与∠ABC+∠ACB 的外角相等，利用三角形外角和定理，可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°，本题就迎刃而解了，评注：整体联想待求式各元素之间的关系并正确应用相关性质是解决此类问题的关键.我们在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目的题设与结论中所隐含的信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜，五、整体构造例7如图2，在正方形ABCD中.E为BC边的中点，AE平分，试判断4F与BC+CF的大小关系，并说明理南，解析：证明一条线段等于另外两条线段的和或差，常常用截长法或补短法把问题转化为证明两条线段相等的问题，本题中我们可利用三角形全等将BC+CF转化为一条线段的长，从而达到了解决问题的目的.因E是BC中点，故BE=CE.正方形ABCD中，AB=BC，，过E作连接因AE平分因AE=AE，故△ABE故AH=AB=BC，EH=EB=EC，因EF=EF，故 .故HF=CF故AF=AH+HF=BC+CF评注：本题也可以延长DC至G，使CG=DC，连接EG.易得AF=FG=FC+CG=FC+BC.显然，用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性，有了整体思维的意识，在思考问题时，才能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程.同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功.。
中考数学复习指导：利用整体思想把握解决问题的方向
3
另解
过点 E 作 EH∥FC 交 BC 的延长线于点 H．
注 显然从整体出发，求 BE 的长，计算快速、准确得多． 现行教材中也有许多地方体现了整体处理的思想，如例 6． 例6
3 x + y = 4k + 1 且 0<x＋y<3，求 k 的范围． (1)已知 x + 3y = 3
分析 把两式相加，即得 x＋y＝k＋1， 整体代入即得 k 的范围； (2)已知 y＋2 与 x－3 成正比，且 x＝2 时，y＝6，求 y 与 x 的函数关系式． 分析 这里只需把 y＋2、x－3 当作整体看待即可解； (3)在高 2 米，坡角为 300 的楼梯表面铺地毯，求地毯的面积． 分析 这时同样必须把地毯的长和宽作为整体计算．
4ห้องสมุดไป่ตู้
④×
A + B = 2 ， ∴ A − B = 3
1
例 2 一支队伍 1 千米长，通讯员接到命令后从队伍末尾跑到最前头传达命令后又跑 回队伍的末尾， 此时队伍刚好前进了 1 千米． 如果队伍的速度与通讯员跑步的速度都不变， 求通讯员跑了多少路？ 分析 整个过程是通讯员先追赶到队伍的前头，再相向而行到队伍的末尾，据时间上 的等量关系可列出方程． 设通讯员的速度为 x 千米／小时，队伍的速度为 y 千米／小时，列方程为：
3 15 3 ，得－ <3b< ，⑤ 2 2 2 13 17 ③＋⑤，得－ <2a＋3b< ． 2 2 分析 在上述不等式中，a、b 的值有无限种可能，它并不能象方程组那样消元，所以 这种解法是错误的． 正确解法是把 a＋b、 a－b 都作为一个整体处理， 避免对 a 和 b 的各种情形作具体的讨 论，具体解法如下： 设 2a＋3b＝A(a＋b)＋B(a－b)， 则 2a＋3b＝（A＋B）a＋(A－B)b，
中考数学复习指导：利用整体思想巧解题
点评 (1) x＋y, xy 称为基本对称式，关干 x、y 的对称式求值往往利用 x+y, xy 整体代入求 值; (2)解这类题的一般步骤是: 先分别求出: x+y, xy 的值，然后将所求代数式进行适当的变 形，使之成为只含有 x+y, xy 的式子，最后将 x+y, xy 的值整体代入即可. 三、用整体思想解方程或方程组 例 4 解方程组:
2 5( + y ) − 8( x − 3) = 20, ① 3 20( x − 3) + 5( 2 + y ) = 27.② 3
分析 若先做去括号、去分母等变形，解答过程显得比较繁琐，观察方程组的特点，将
2 2 ( +y ) 与(x﹣3)分别看成整体，整体相减，可消去 ( +y ) . 3 3 1 13 解 ②－①，得，28(x－3)＝7，x－3＝ ，x＝ . 4 4
把 a2+3a+1 看成一个整体，展开后就可以得到一个关于 a2+3a+1 的二次三项式，问题就可以 迎刃而解一了. 解 原式 =(a2+3a+2)( a2+3a+1)+1 =( a2+3a+1)2+2(a2+3a+1)+1 =( a2+3a+1+1)2 =( a2+3a+2)2 =(a+1)2(a+2)2. 点评 对于有括号的多项式，分解因式时，不要急于将括号展开，要仔细观察式子的特 点，有时不去掉括号，直接分解因式反而更方便，如上题，把 a2+3a+1 看成一个整体，整个 多项式的结构就显得清晰和简单.总之， “整体思想”是初中数学中一种非常重要的思想与方 法.在解题过程中灵活利用整体思想，可以开拓解题思路、强化化归能力，提高数学综合素 质.
中考专题复习整体思想
【例4】如图，菱形的对角线长分别为3和 4，p 是对角线上任一点（点p不与A，B重 合），且PE∥BC交于E， PF∥CD交AD 于F，则图中阴影部分的面积 为 ．
【跟踪练习】如图，所有的四边形都 是正方形，所有的三角形都是直角三 角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之 和为__________cm2．
解得
故所求的函数解析式为 y＝2x－13.
规律方法：此题在解方程组时，单独解出 k，m，n 是不可 能的，也涉及不必要的．故将 kn＋m 看成一个整体求解，从而 求得函数解析式，这是求函数解析式的一个常用方法．
在函数中的应用
例 3、已知 y＋m 和 x－n 成正比例，其中 m，n 是常数．
(1)求证：y 是 x 的一次函数； (2)当 y＝－15 时，x＝－1；当 x＝7 时，y＝1.求这个函数 的解析式．
中，令
第一个方程组
容易得到第二个方程组的解
11 x＝ 2 ， 为 y＝－1. 2 11 x＝ 2 ， 答案： y＝－1 2
规律方法：通过整体加减即避免了求复杂的未知数的值， 又简化了方程组(不等式组)，解答直接简便．
例 4：已知 y＋m 和 x－n 成正比例，其中 m，n 是常数． (1)求证：y 是 x 的一次函数； (2)当 y＝－15 时，x＝－1；当 x＝7 时，y＝1.求这个函数的 解析式．
比比谁的速度快？ 1.已知x2-2x-3=0,求2x2-4x的值 2.如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其 直径CD，EF均和x轴垂直，以点O为顶点的 两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图 中阴影部分的面积是_____，求
a 2ab b 2a 2b 7 ab 的值
从一道中考题的解答谈整体思想的运用
由 ：多边形 的外角和青＿５是３６０。，因而本题 还可以运 用整体 的教学 思想 ，直接求得这个多 边 形 的边 数 为 ３６０＋３６＝ｌ０ 因 此 ，本题 应 该 填 ：ｌ０、
初 掌 习 ·策 略 方 法
从 一道 中考 题 的解 答谈 整体 思想 的运 用
周亚 兵
【问题 】一 个 多边 形 的每 一 个 外 角都 是
３６。，则 这 个 多边 形 的 边数 为
【解 析 】这 个 多边 形 的 每 一 个 外 角都 ３６。，则每一 个内 角都 是 １４４。 如果 没这 个多 边形 的边 数 为 ，其 内 角和 可以 表 永为 １４４。·
点 时 ，一 共 走 的 路 程 是 （ ）
Ａ．１４０米 Ｂ．１５０米 Ｃ．１６０米 Ｄ．２４０米
【解 析 】由条件可矢ｕ，，ｊ、华转过 的角度 就 是 ３６０。，即运动路 线 构成 厂多边形 ，其 外 角和 等 于 ３６０。．． 由于他 每次பைடு நூலகம்左转 ２４。。即为所 形成 的 多边形的每个外 角度数 ．昕以这 个多边形 的边 数 为 ３６０＋２４＝１５，因此 ，／Ｊ、华需 左转 ｌ５次 才 可以 到出发点 ．所以他共走了 ｌ５０米 ：选 Ｂ一
【点评 】本题把多边形的外角度数与实际 题桐结合，解决／Ｊ、华所走的路程 题。解答时 ．同 学ｆｆＪ需要 灵活地把实际 Ｊ题抽 象成数学问题
（作者单位 ：江 苏省建 湖县城 南 实验初 中 城 南 校 区 ）
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【反思 】本题 是 ２０１８年湖 南省怀化 市中考 数 学 卷 中的 一道 试题 本题解 答的两种方 法 ，分别从 多边形 内 角和 公式 、多边形 外角和 定理两 个视 角进 行分析 ，灵活直 剐整体的数学 思想 ，建 立 等最 关 系 ．使 得 问 题 逐 步加 以转 化 。 ｍ犁决有 问题时 ， 果将 其 【｛１的相关联 的部分看成 是 个整体 进行思考 ，会使问题 的 解答更为简洁 一
整体思想巧解中考题
整体思想巧解中考题有些数学问题，若单独求解困难，甚至不能解出，或者虽可分别求出局部值，由于其值不止一个，运算既繁琐又易出错．若认真分析题意、仔细观察结构，把将要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作种种整体处理以后，达到顺利而又简捷地解决问题的目的．现以2006年中考题为例说明．一、整体代入例1、（2006天津）已知114a b -=，则2227a ab b a b ab---+的值等于（ ） A ．6 B ．－6 C ．215 D ． 27- 分析：根据条件显然无法计算出a 、b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出ba 11-，再整体代入． 解：2227a ab b a b ab ---+=722121+---a b a b =42742)11(27)11(2⨯---=-----ba b a =6- 评注：在进行条件求值时，我们可以在所求代数式中通过一些代数变形，构造出条件中含有的模型，整体代入，可以简化运算过程．当然，处理这些问题时有时还需对条件同时变形．例2、（2006长沙）先化简再求值：2221412211a a a a a a --÷+-+- ，其中a 满足20a a -= 分析：解：原式=21(2)(2)(1)(1)2(1)a a a a a a a -+-+-+- =(2)(1)a a -+=22a a -- 当a 满足20a a -=时，原式=-2．评注：在化简后也可先求出a 的值为0a =或1a =，不少同学会分两种情况代入，而忽视了本题隐含条件：1a ≠，导致错误．而整体代入则可回避这一问题．二、整体加减例3、（2006山东）已知24221x y k x y k +=⎧⎨+=+⎩，且10x y -<-<，则k 的取值范围为（ ） Ａ．112k -<<- Ｂ．102k << Ｃ．01k << Ｄ．112k << 分析：本题如果解方程，分别求出方程组的解显然比较麻烦，注意到条件“10x y -<-<”，我们只须得到x -y 即可．解：将两方程整体相减，得：k y x 21-=-，所以0211<-<-k ，解得112k <<，选D ．例4、已知实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝1，b 2＋c 2＝2，c 2＋a 2＝2，则ab ＋bc ＋ca 的最小值为（ ）A ．52 B．12+ C ．12- D．12-分析：已知三个方程，三个未知数，因此将三个方程联立成方程组，分别求出a 、b 、c 的值，由于得到的解不唯一，可对各种可能分类代入，比较大小，确定最小值．解：联立方程组得222222122a b b c c a ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩①②③，将三个方程整体相加得25222=++c b a ④，将④分别减去①②③，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±=±=±=222226c b a ，所以23±=ab ，21±=bc ，23±=ac ， 而且这三者中不可能三个都为负，所以ab ＋bc ＋ca最小值为12- D 评注：以上两例采用整体思想解方程组，同时由于得到的方程组的解不唯一，因此ab ＋bc ＋ca 的值也不唯一，须分类讨论，再比较大小．不少同学在解这道题时常考虑运用公式ac bc ab c b a c b a 222)(2222222+++++=++来求最值，其实这是无法解决问题的，因为本题的条件中的a 、b 、c 的值是确定的．三、整体换元例4、（2006年青海中考题）一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面的一段对话，请你阅读后再解答问题．老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：222()8()120x x x x ---+= 学生甲：老师，这个放先去括号，再合并同类项，行吗？老师：这样，原方程可整理为432278120x x x x --++=，次数变成了4次，用现有知识无法解答．同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？学生乙：老师，我发现方程中是整体出现的，最好不要去括号！老师：很好，如果我们把2x x -看成一个整体，用y 表示，即那么原方程就变为28120y y -+=．全体学生：（同学们都特别高兴）嗷，这不是我们最熟悉的一元二次方程吗？！老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程的根是16y =，22y =，那么就有26x x -=或22x x -=-．学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根，13x =，22x =-，32x =，41x =-，嗬，有 这么多根啊！老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法．在这里，使用它最大的秒处在于降低了原方程的次数，这是一种重要的转化方法．全体同学：OK ！换元法真神奇！现在请你用换元法解下列分式方程：2()5()6011x x x x --=-- 解析：本题如果直接去分母，将会出现高次方程，而含有字母的部分都是1x x -，具备换元的条件，可设1x y x =-，则原方程可化为2560y y --= 解这个方程得16y =，21y =- 所以61x x =-，11x x =-- 解得165x =，212x = 评注：本题呈现了新课改要求下的真实的课堂情境，在老师的合理引导下，学生通过自主探索，发现方程的一部分可以看着一个整体，将问题转化为我们熟悉的一元二次方程，学生从这一过程中体会 “换元法”的精妙之处．本题不仅有效考查了学生的阅读理解能力、探索发现的能力，而且启发学生在课堂上应积极主动参与老师的教学活动．同时对教者而言，对“换元法”的教学提供了一个很好的范例，这种教学方式改变了以往的单纯的教师的教和学生被动地学，而是一个师生互动的过程．三、整体观察例5、（2006内江）已知实数x 、y 、a满足：x 、y 、a 的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由． 分析：要判断能否组成三角形，关键是确定三边之间的关系，而条件中给出的是一个含二次根式的等式，整体观察可以发现被开放数之间存在一定的关系可用二次根式的性质来解．解：根据二次根式的性质808030230x y x y x y a x y a +-⎧⎪--⎪⎨--=⎪⎪-++=⎩≥≥，解得354x y a =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以以长为x 、y 、a 的三条线段能组成一个三角形，且是一个直角三角形，其面积为6．评注：本题通过整体观察，发现前两个二次根式的被开方数互为相反数，进而得到x +y -8=0，，0，再利用非负数的性质得到相应方程．四、化零为整例6、（2006韶关）如图1，A ，B ，C ，D 相互外离，它们的半径都是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD，则图中四个扇PB 形（阴影部分）的面积之和等于__________．（结果保留π）分析：由于四边形ABCD 是不规则四边形，根据题设条件，无法求出四个扇形的圆心角，因而从整体上考虑，可以发现四个扇形的圆心角分别是四边形的四个内角，四边形内角和等于360°，可考虑整体求解，从而可求出阴影部分的面积．解：因为四边形内角和等于360°，所以四个扇形圆心角的和为360°，将四个扇形拼在一起得到一个半径为1的整圆，其面积为π．例7、（2006梅州）如图2，两个半圆中，小圆的圆心O '在大O 的直径CD 上，长为4的弦AB 与直径CD 平行且与小半圆相切，那么圆中阴影部分面积等于 ．分析：欲求阴影部分的面积，但两圆的半径未知，在大半圆中，任意移动小半圆的位置，阴影部分面积都保持不变，所以可将小半圆移动至两个半圆同圆心位置（如图3），阴影部分面积等于两个半圆面积的差．解：设切点为H ，连结O H 、O B ，由垂径定理，知2121==AB BH ．又AB 切小半圆于点H ，故，故4222==-BH HO BO ，所以阴影部分面积等于 2222S OB OH π=-=π阴影（）． 评注：在计算不规则图形面积可通过一些等积变换，将不规则图形分割，组合成规则图形，再整体求解．这是计算不规则图形面积最常用的方法．五、整体构造例8、（2006内江阅读并解答下面问题：（1）如图4所示，直线l 的同侧有A 、B 两点，在l 上求作一点P ，使AP +BP 的值最小（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写画法和证明）（2）如图A 、B 两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A 工厂至河堤的距离AC 为1km ，B 工厂到河堤的距离BD 为2km ，经测量河堤上C 、D 两地间的距离为6km ．现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A 、B 两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距C 地多远的地方？（3）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你尝试解决下面问题：若4)9(122+-++=x x y ，当x 为何值时，y 的值最小，并求出这个最小值．分析：本题三个问题有一定的层次，第（1）问来源于课本，可以用轴对称的知识来解，在第（1）问的基础上提出一个应用问题，显得顺理成章，且难度大大降低，解决了（2）之后，问题（3）只要稍加思索，不难发现它与前面问题的联系，同时特别加了“充分展开联想，运用数形结合思想”，很容易想到运用（2）中的模型来解．C 图2解：（1）如图4，点P 为符合要求的点．（2）根据（1）中的作图步骤，确定图中的点P （图5），即污水处理厂应建在点P 管道最短．显然此时△ACP ∽△BDP ，所以AC CP BD PD =，即126CP CP=-，解得CP =2，即污水处理厂应建在距C 地多远2 km 处．（3）构造如图5类似的图形，其中AC =1，BD =2，CD =9，设CP =x ，则PD =9-x ，根据勾股定理，AP ，BP 4)9(122+-++=x x y 的最小值，即求AP +PB 的最小值，过对称点A ＇作A ＇E ∥CD 交BD 延长线于点E ，则A ＇E =CD =9km ，BE =BD +AC =3km ，得A ＇B = （km ），即AP +PB 的最小值为 ，此时根据△ACP ∽△BDP ，可得129CP CP=-，解得CP =3，当x =3时，y 的最小值为 评注：这一道集作图、应用、探究于一体的中考题，尤其是第（3）问，本来是一道有相当难度的竞赛题，但由于前面两问设计了两个有梯度的问题，化解了本题的难度，通过构造几何图形将代数问题整体转化为几何问题，体现了数学建模的思想和数形结合的思想．用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性．布鲁纳指出，掌握基本数学思想和方法能使数学更易于理解和记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”．数学思想方法是数学的精髓，只有掌握了数学思想方法，才算真正掌握了数学．因而，同学们应用数学思想方法武装自己，使自己真正成为数学的主人．。
例析体现整体思想方法的中考试题
１
一
１
一
１ ）‘ １ ＋
・
例 ８（ ２ ０ １ ２ 年云南 ８ ） 若口 一 ｂ ＝ １， 口 一 ｂ ＝ 了 １，
曾炳文 福建省惠安科山中学 （ ３ ６ ２ １ ０ ０ ） 筒解 将 ａ ＋ ６ ＝ ２ ，ａ — ｂ ＝ ５ 整体代入即可求值 ．
整 体 思 想 方法 是 指考 虑 数 学 问题 时 ，不 是着 眼 于 它 的 局部 特征 ，而 是 把 注 意点 和 着 眼 点放 在 问题
的整 体 结构 上 ，通 过 对 其全 面深 刻 的观 察 、思 考 ，
（ ２ ）中学 的证 明常 常涉 及对 等式 或不 等式 的证 明 ，类 似 本题 的证 明接 触 的 少 ，加 上变 量 较 多 ，考 生一 时不 知道 该 如何 证 明 ，有 的考 生 想 用抛物 线 的 定义 来证 明 ， 但又 找 不到定 点和 定直 线造 成失 分 ． 本 题 的实测 难度 值为 ０ ． ２ ５ ７ ，也 说 明这样 的设 问对考 生
．
—ｂ （ ａ — ｂ 来自ａ （ ａ － ｂ ）ａ ｂ （ ａ — ｂ ）ａ ｂ （ ａ － ｂ ）
ａ２
一
ｂ
＋ｂ
６ ｆ 一 ｂ １ ａ ｂ ’
整体代入即可求出结果为 √ ５ ．
评 析 求代 数 式 的值 大致 可分 为三 种 ：一 是直 接
带入 求值 ；二 是 间接 代 入求值 ，就是根 据 已知条件 ， 求未 知数 的值 ， 再 代 入求值 ；三是整 体代 入求 值 ． 本
例３（ ２ ０ １ ２ 年 广 州・ ２ ０ ） 已 知 ＋ ÷ ＝ （ 口 ≠ ｂ ） ，
求 一 的值 ・
从整体 上认识问题的实质 ，把一些表面上看似彼此
九年级数学 巧用 整体思想 妙解方程组剖析 试题
无棣县埕口中学九年级数学 巧用“整体思想〞妙解方程组剖析 解方程组的根本思想是通过代入或者加减到达消元或者降次的目的，而有些方程组假设能根据其详细的构造特征，灵敏运用“整体思想〞这一方法与技巧，不仅可使问题化繁为简，事半功倍，而且有助于培养同学们的创新思维和探究求新的学习习惯，现略举几例解析如下，供同学们参考：例1、解方程组 ： 11)1(2231=-+=+y x y x析解：由①得y x 61=+ 把1+x 看成一个整体，代入②得到1162=-⨯y y解得1=y ，再代入①得到：5=x 从而得到原方程组的解为 ： 15==y x例2、解方程组： 2800=+y x ①%922800%64%96⨯=+y x ②解析：此例假设用“正宗〞的代入或者加减，往往会使解题过程复杂冗长，运算量大，稍有忽略便会前功尽弃，假设能根据方程组的详细特点，灵敏运用“整体思想〞这一方法与技巧，可使问题化繁为简，迅捷获解。
先把方程②化简整理得，2328001624⨯=+y x ③ 注意到方程组的常数项之间的关系，将方程①整体代入③，消去常数2800，得到x 与y 之间的倍数关系，从而很容易求出方程组的解。
将方程①整体代入③，消去常数2800，得到23)(1624⨯+=+y x y x ，整理得y x 7= 代入①消去x 得到：y =350，那么x =7⨯350=2450，所以原方程组的解为： x =2450 y =350例3、解方程组 601720052006=+y x ①601620062005=+y x ②解析：此题数字较大，假设按常规加减，运算量大，费时费功，仔细观察方程组的未知数的系数具有对称轮换的特征，可采用整体相加减，使系数绝对值减小，从而可以得到一个同解的简易方程组，新颖别致，简捷明快。
①+②化简整理得 3=+y x ③①-②化简整理得 1=-y x ④解③④联列方程组得原方程组的解为 ： x =2y =1励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
中考试题中的整体思想
中考试题中的整体思想整体思想是指从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。
利用这种思想方法，常可以化繁为简，化难为易。
近年的数学中考题中有不少题目渗透了整体思想方法，下面举例说明。
一、整体考虑例1：（辽宁本溪）如图，正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内画半圆，则阴影部分的面积为（ ）A ．22214a a -πB ．222a a -πC ．224a a π- D ．22a a -π分析：单独求每一片叶子的面积是较难的，应整体来考虑，事实上，四片叶子的面积是4个半圆面积减去一个正方形的面积，每片叶子的面积都是相等的，四片叶子面积的一半即为所求。
解：S ＝4S 半圆－S 正方形＝4×21×π×2)2(a －a 2＝21πa 2－a 2 阴影S ＝21（21πa 2－a 2）＝22214a a -π，故选（A ）。
二、整体相加 例2：（茂名）、若x 1＋y 2＋z 3＝5，x 3＋y 2＋z 1＝7，则x 1＋y 1＋z 1＝ 。
分析：由已知的两个方程，三个未知数，想单独求每一个未知数的值，显然不可能，应整体来考虑，事实上，两个方程相加后，可以发现，x 1，y1，z 1的系数都为4。
解：已知两个方程相加，得：x 4＋y4＋z 4＝12，两边同除以4，得： x 1＋y 1＋z1＝3 三、整体求解例3：（扬州）如图，两同心圆间的圆环（即图中阴影部分）的面积为16π，过小圆上任一点P 作大圆的弦AB ，则PA PB ⋅的值是（ ）A ．16B ．16πC ．4D ．4π分析：按常规方法去思考，先求出PA 与PB 的值再求PA ·P B 的值，较难。
通过作辅助线，如图，通过平方差公式及等量代换可整体求解。
解：作OC ⊥AB 于C ，连结OP 、OA ，由径定理，可知：AC ＝BC ，PC ＝QC ，设大圆的半径为R ，小圆半径为r ，则π（R 2－r 2）＝16π，所以， R 2－r 2＝16由勾股定理，得AC 2＋OC 2＝R 2 ①PC 2＋OC 2＝r 2 ②①－②，得AC 2－PC 2＝R 2－r 2＝16，即（AC ＋PC ）（AC －PC ）＝16 ③又AC ＋PC ＝BC ＋PC ＝PBAC －PC ＝PA由③得，PA ·P B ＝16，故选（A ）。
中考专题突破 专题一 整体思想
中考专题突破 专题一整体思想1.(2011年江苏盐城)已知a －b ＝1，则代数式2a －2b －3的值是( A )A ．－1B ．1C ．－5D ．52．(2011年浙江杭州)当x ＝－7时，代数式(2x ＋5)(x ＋1)－(x －3)(x ＋1)的值为－6.3．(2011年山东威海)分解因式：16－8(x －y )＋(x －y )2＝(x －y －4)2.4．(2010年湖北鄂州)已知α、β是方程x 2－4x －3＝0的两个实数根，则(α－3)(β－3)＝－6.5．(2011年山东潍坊)分解因式：a 3＋a 2－a －1＝(a ＋1)2(a －1)．6．(2010年江苏镇江)分解因式：a 2－3a ＝a (a －3)；化简：(x ＋1)2－x 2＝2x ＋1.7．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支共需10元，若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一共需5元．解析：设铅笔每支x 元， 日记本y 元，圆珠笔z 元，有：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋2z ＝10 ①9x ＋7y ＋5z ＝25 ②， ②－①得：5x ＋4y ＋3z ＝15 ③， ③－①得：x ＋y ＋z ＝5.8．如图X －1－2，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ，其直径CD 、EF 均和x 轴垂直，以点O 为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和点D 、F ，则图中阴影部分的面积是π2.图X －1－29．(2010年重庆)含有同种果蔬汁但浓度不同的A 、B 两种饮料，A 种饮料重40千克，B 种饮料重60千克．现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合，如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是24千克．解析：设A 果蔬的浓度为x ，B 果蔬的浓度为y ，且倒出部分的重量为a ，有：(40－a )x ＋ay 40＝(60－a )y ＋ax 60， 3(40－a )x ＋3ay ＝2(60－a )y ＋2ax ，120x －3ax ＋3ay ＝120y －2ay ＋2ax ，120x －120y ＝5ax －5ay ，120(x －y )＝5a (x －y )，解得：a ＝24.10．(2011年江苏宿迁)已知实数a 、b 满足ab ＝1，a ＋b ＝2，求代数式a 2b ＋ab 2的值． 解：原式＝ab (a ＋b )＝1×2＝2.11．(2010年福建南安)已知y ＋2x ＝1，求代数式(y ＋1)2－(y 2－4x )的值．解：原式＝y 2＋2y ＋1－y 2＋4x＝2y ＋4x ＋1＝2(y ＋2x )＋1＝2×1＋1＝3.12．(2010年江苏苏州)解方程：(x －1)2x 2－x －1x－2＝0. 解：方法一：去分母，得(x －1)2－x (x －1)－2x 2＝0.化简，得2x 2＋x －1＝0，解得x 1＝－1，x 2＝12. 经检验，x 1＝－1，x 2＝12是原方程的解． 方法二：令x －1x＝t ，则原方程可化为t 2－t －2＝0， 解得t 1＝2，t 2＝－1.当t ＝2时，x －1x＝2，解得x ＝－1. 当t ＝－1时，x －1x ＝－1，解得x ＝12. 经检验，x ＝－1，x ＝12是原方程的解． 13．(2011年四川南充)关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋k ＋1＝0的实数解是x 1和x 2.(1)求k 的取值范围；(2)如果x 1＋x 2－x 1x 2＜－1且k 为整数，求k 的值．解：(1)∵方程有实数根，∴Δ＝22－4(k ＋1)≥0，解得：k ≤0，∴k 的取值范围是k ≤0.(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝k ＋1，x 1＋x 2－x 1x 2＝－2－(k ＋1)，由已知，－2－(k ＋1)＜－1，解得k ＞－2，又由(1)知k ≤0，∴－2＜k ≤0，又∵k 为整数，∴k 的值为－1和0.14．阅读材料，解答问题．为了解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0.我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则原方程可化为y 2－5y ＋4＝0①.解得y 1＝1，y 2＝4.当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，x ＝±2；当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，∴x ＝±5.∴x 1＝2，x 2＝－2，x 3＝5，x 4＝－ 5.解答问题：(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了整体思想的数学思想；(2)用上述方法解方程：x4－x2－6＝0.解：(2)设x2＝y，则原方程化为：y2－y－6＝0.解得：y1＝3，y2＝－2.当y＝3时，x2＝3，解得x＝±3；当y＝－2时，x2＝－2，无解．∴x1＝3，x2＝－ 3.。
七下练测第12招整体思想在解题中的四种应用习题新版新人教版
整体代换在求角度中的应用
2.如图①，CE∥AB，所以∠ACE＝∠A，∠DCE＝∠B，所
以∠ACD＝∠ACE＋∠DCE＝∠A＋∠B.这是一个有用的
结论，借用这个结论，在如图②所示的四边形ABCD内，
引一条和边平行的直线，求∠A＋
∠B＋∠C＋∠D的度数.
【解】如图②，过D作DE∥AB，交BC于E.
和转化为两组同旁内角的度数和，使问题得以解决.
整体代换在解方程组中的应用
− − = ，
3.解方程组：ቐ
−+
＋
= .
− − = ，①
【解】ቐ
−+
＋
= . ②
由①，得4x－5y＝7.③
将③代入②，得4y＋2＝6，解得y＝1.
把y＝1代入③，得x＝3.
【解】因为a－b＝ ，b－c＝ ，
所以a－c＝(a－b)＋(b－c)＝ ＋ .
所以(a－b)2＋(b－c)2＋a－c＝( )2＋( )2＋ ＋ ＝8＋
＋ .
【点方法】
本题利用整体变形思想求值，a－b，b－c可以根据已
知条件直接代入，a－c只有转化为a－c＝(a－b)＋(b－c)＝
− ＝ ，
即ቐ
解得൞
＋ = .
＝ .
＝ ，
所以原方程组的解为൞
＝ .
【点方法】
本题利用整体换元思想，将x－y看成一个整体，用m
表示，将x＋y看成一个整体，用n表示，即将关于x，y的方
程组转化为关于m，n的方程组，使计算简便.
= ，
所以原方程组的解为ቊ
= .
用整体思想解中招试题
用整体思想解中招试题整体思想是中学数学中的一种重要的 思想方法. 运用整体方法解数学试题，可以 避开繁琐的计算，思路简捷明朗.一、求代数式的值1. 将条件式直接代入，再化简例 1. 设 a －b =－2, 求－ab 的值 解: 原式 = － = ( a －b)2 = ( －2)2 =2;2. 将条件式做简单变形，代入化简例2 ⑴ 已知：x 2－x －1 = 0, 则－ x 3 + 2x 2 +2002 的值为____ ;⑵ 当x=1时, 代数式 px3+qx +1 的值为 2001，则当 x = －1时 , px 3 + qx +1 的值为（ ）(A) －199 (B) －2000 (C) －2001 (D) 1999解：⑴ 由 x 2－x －1= 0, 得 x 2－x =1 ，∴－ x 3 + 2x 2 +2002 = － x 3 + x 2 + x 2 + 2002= －x(x 2 －x ) + x 2 + 2002= －x + x 2 + 2002= 1 + 2002 = 2003⑵ 因 x=1时， 代数式 px 3+qx +1 的 值为 2001，∴ p + q +1 = 2001， ∴ p +q = 2000，∴ p （－1）3+ q （－1）+1 =－（ p +q ）+1 =－2000 +1 =1999， 故选（A ）例3 ⑴ 已知x 1－y 1= 3, 则 的值等于___⑵ 先化简，再求值： (－)÷, 其中，a 满足a 2 + 2a －1 = 0,解：⑴ 将条件化为= 3 , ∴ x －y = －3xy, ∴ 原式 == = = =解法2：分子、分母同除以 xy, 然 后将x1－y 1= 3整体代入得原式= = = = ⑵ 由 a 2 + 2a －1 = 0, 得 a 2 + 2a = 1,∴ 原式 = [－] ·= [－ ] · = · = = 1 3.先将待求代数式化简，确定条件变形的方向例4. 已知: 123123＋＋＝＋＋x x ，求）－－（－－225423-÷x x x x 的值． 解：原式＝29223242542322－－）－（－）＝－－－－（－－x x x x x x x x x ÷÷ ＝）－）（＋（－）－（－x x x x x 332223⋅）＋（＝321x - 至此可知， 应将条件式化为含有31+x 的代数式. ∵123123＋＋＝＋＋x x ，即12332＋＋＝＋＋x x , 或 12331)3(＋＋＝＋＋x x - ∴123 311＋＋＝＋－x ， ∴23 31＋＝＋－x ∴原式＝）＋（321x -＝223＋． 评析：本题要依据题目特点，取已知条件倒数得12332++=++x x ，再得1233133++=+-++x x x ，即2311+=+-x ．再整体代入所求式的化简式中．本题有技巧，蛮算可不行！二、解方程 组例5. 方程组的解为 _____ 解： 将 ① 化为 x +y =1 代入 ② 得 2x 2 +1－3 = 0∴ x = ±1 ，从而得方程组的解为三、求线段的长.例6. 如图1，在△ABC中, 已知∠B 和∠C 的平分线相交于点F. 过点F作DE∥BC，交AB于点D, 交AC于点E. 若BD + CE = 9, 则线段DE的长为（）(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6分析：要求线段DE 的长，一般思路是分别求出线段DF、EF的长，而DF、EF未知，所以直接求有困难.从整体考虑：由于BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，DE∥BC，所以∠1=∠2 ，∠2 =∠3 ，∴∠ 1 =∠3 ，∴ DF = DB ，同理EF = EC∴ DE = DF+EF = BD + CE = 9，选（A）.例7. 如图2，在水平宽度为9米，坡度为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要____米解：分析：因台阶的级数及每一级台阶的高和长都未知, 无法计算每级台阶的高，也无法计算每级台阶的长.可从整体考虑：将每级台阶的高都平移到BC上，就可得各级台阶的高度之和为BC，同样，可得各级台阶的长度之和为AC，由AC 已知，高度BC可求.故，所需地毯的总长度等于AC + BC = ( 9+33) （米）四、求几何图形的面积例8. 如图3, ⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离,它们的半径都是1, 顺次连结五圆心得到五边形ABCDE, 则图中五个扇形( 阴影部分) 的面积的和是( )(A)π(B)1.5π(C)2π(D)2.5π解：分析：由于各个扇形的圆心角的度数未知，从而不能分别求出各个扇形的面积.为此，要求阴影部分的面积，就要技巧能够五个阴影部分整体考虑.注意到五边形的内角和为540°，即五个扇形的圆心角的和为540°，又因各个扇形的半径都相等，所以图中阴影部分的面积为×πr2 = 1.5π，选（B）参考习题1. 已知代数式3x2－2x+ 6 的值为8，那么代数式x2－x + 1的值为（）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 42. 已知x2－3x－2 = 0, 那么代数式的值为____3.已知a－2b=2 (a≠1),求－a2 +4ab－4b2的值4. 先化简，再求值：－·, 其中，a满足a2 + 2a－1= 0,附：答案1. B ;2. 2 ;3. 原式= = （a－2b)2 = －;4. 原式= = 1。
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用整体思想解中招试题
整体思想是中学数学中的一种重要的 思想方法. 运用整体方法解数学试题，可以 避开繁琐的计算，思路简捷明朗.
一、求代数式的值
1. 将条件式直接代入，再化简
例 1. 设 a －b =－2, 求
－ab 的值 (宁夏2001）
解: 原式 = － = ( a －b)2 = ( －2)2 =2;
2. 将条件式做简单变形，代入化简
例2 ⑴ 已知：x 2－x －1 = 0, 则－ x 3 + 2x 2 +2002 的值为____ (福州2002) ; ⑵ 当x=1时, 代数式 px3+qx +1 的值为 2001，则当 x = －1时 , px3 + qx +1 的值为（ ） （杭州2001）
(A) －199 (B) －2000 (C) －2001 (D) 1999
解：⑴ 由 x 2－x －1= 0, 得 x 2－x =1 ，
∴－ x 3 + 2x 2 +2002 = － x 3 + x 2 + x 2 + 2002
= －x(x 2 －x ) + x 2 + 2002
= －x + x 2 + 2002
= 1 + 2002 = 2003
⑵ 因 x=1时， 代数式 px 3+qx +1 的 值为 2001，
∴ p + q +1 = 2001， ∴ p +q = 2000，
∴ p （－1）3+ q （－1）+1 =－（ p +q ）+1 =－2000 +1 =1999， 故选（A ）
例3 ⑴ 已知x 1－y 1= 3, 则 的值等于____(天津2002)
⑵ 先化简，再求值： ( －)÷, 其中，a 满足a 2 + 2a －1 = 0, （山西2002）
解：⑴ 将条件化为
= 3 , ∴ x －y = －3xy,
∴ 原式 =
=
= = =
解法2：分子、分母同除以 xy, 然 后将
x
1－y 1= 3整体代入得
原式= = = =
⑵ 由 a 2 + 2a －1 = 0, 得 a 2 + 2a = 1,
∴ 原式 = [－] ·
= [
－ ] ·
= · = = 1 3.先将待求代数式化简，确定条件变形的方向
例4. 已知: 1
23123＋＋＝＋＋x x ，求）－－（－－225423-÷x x x x 的值．（武汉2001) 解：原式＝2
9223242542322－－）－（－）＝－－－－（－－x x x x x x x x x ÷÷ ＝）－）（＋（－）－（－x x x x x 332223⋅）
＋（＝321x - 至此可知， 应将条件式化为含有3
1+x 的代数式. ∵1
23123＋＋＝＋＋x x ，即12332＋＋＝＋＋x x , 或 1233
1)3(＋＋＝＋＋x x - ∴123 311＋＋＝＋－x ， ∴23 3
1＋＝＋－x ∴原式＝）
＋（321x -＝223＋． 评析：本题要依据题目特点，取已知条件倒数得1233
2++=++x x ，再得1233133++=+-++x x x ，即231
1+=+-x ．再整体代入所求式的化简式中．本题有技巧，蛮算可不行！
二、解方程 组
例5. 方程组
的解为 ______(广州2001） 解： 将 ① 化为 x +y =1 代入 ② 得 2x 2 +1－3 = 0
∴ x = ±1 ，
从而得方程组的解为
三、求线段的长.
例6. 如图1，在△ABC中, 已知∠B 和∠C 的平
分线相交于点F. 过点F作DE∥BC，交AB于点D, 交
AC于点E. 若BD + CE = 9, 则线段DE的长为（）
(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6 (河北2002）
分析：要求线段DE 的长，一般思路是分别求出
线段DF、EF的长，而DF、EF未知，所以直接求有
困难.从整体考虑：由于BF平分∠ABC，CF平分
∠ACB，DE∥BC，所以
∠1=∠2 ，∠2 =∠3 ，∴∠ 1 =∠3 ，
∴ DF = DB ，同理EF = EC
∴ DE = DF+EF = BD + CE = 9，选（A）.
例7. 如图2，在水平宽度为9米，坡度为30°
的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要____米
(河北2002）
解：分析：因台阶的级数及每一级台阶的高和长都
未知, 无法计算每级台阶的高，也无法计算每级台阶的长.
可从整体考虑：将每级台阶的高都平移到BC上，就可得各级台阶的高度之和为BC，同样，可得各级台阶的长度之和为AC，由AC 已知，高度BC可求.故，所需地毯的总长度等于AC + BC = ( 9+33) （米）
四、求几何图形的面积
例8. 如图3, ⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离,
它们的半径都是1, 顺次连结五圆心得到五边形ABCDE, 则图
中五个扇形( 阴影部分) 的面积的和是( ) （河南2002)
(A)π(B)1.5π(C)2π(D)2.5π
解：分析：由于各个扇形的圆心角的度数未知，从而不能分别求出
各个扇形的面积.为此，要求阴影部分的面积，就要技巧能够五个阴影部分整体考虑.注意到五边形的内角和为540°，即五个扇形的圆心角的和为540°，又因各个扇形的半径都相等，
所以图中阴影部分的面积为×πr2 = 1.5π，选（B）
参考习题
1. 已知代数式3x2－2x+ 6 的值为8，那么代数式x2－x + 1的值为（）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 （河南2001）
2. 已知x2－3x－2 = 0, 那么代数式的值为____ (四川2001）
3.已知a－2b=2 (a≠1),求－a2 +4ab－4b2的值（2001聊城）
4. 先化简，再求值：－·, 其中，a满足a2 + 2a－1= 0,（山西2001）
附：答案
1. B ;
2. 2 ;
3. 原式= = （a－2b)2 = －;
4. 原式= = 1。