椭球体之密堆积

椭球体之密堆积
1.问题的引出
在讨论金属晶体和部分离子晶体的结构时，我们常把原子或离子看作具有一定大小的球体，金属原子或离子相互结合时，要求彼此间的引力和斥力达到平衡，使得彼此之间相互靠近而占有最小的空间，以便体系能量处于最低状态。

这在球体堆积中就相当于要求球体间相互作最紧密堆积。

因此，我们通常借助球体的密堆积来理解晶体结构。

然而，原子或离子的振动可能具有各向异性，有时需要将其看成椭球体。

下文，我们将考虑等大、刚性椭球体的最密堆积问题。

2.椭球体的最密堆积
椭球体（ellipsoid）的表面在xyz-笛卡儿坐标系中的方程是：x2/ a2+y2/ b2+z2/ c2=1。

其中a、b、c分别为椭球体的半轴长。

这三个数都是固定的正实数，决定了椭球的形状。

如果三个半轴长都是相等的，那么就是一个球（sphere）；如果有两个半轴长是相等的，则是一个椭圆体（spheroid）。

如果a=b>c，则为扁球体（形状类似圆盘）；a=b<c，则为长球体（形状
πabc。

类似雪茄）。

椭圆体的体积V=4
3
图1 椭球体
半轴比定义为α=b/a，β=c/a。

椭球的最长的半轴长与最短的半轴长的比值记为δ，是最重要的半轴比，叫做最大半轴比。

椭球体可以看做是球体的仿射变形（affine deformation）。

球体的密堆积问题已经被讨论
得很充分，在讨论椭球体的密堆积时可以参考球体的密堆积。

为简化问题，先考虑单层椭球体的密堆积，即二维条件下椭圆的紧密填充。

在二维平面上椭圆的最紧密排列（图2（a）），可通过将二维平面上的最紧密排列的圆形（图2（b）或（c））作仿射变形（沿着任意两个互相垂直的方向伸缩）得到。

这种变换可保持填充密度不
变。

由图2（b）也可以计算出，二维平面上，椭圆的空间利用率=
√3a×2b =
√12
=90.69%，
该值与二维平面上，圆形的最密填充率相等。

（a）（b）
（c）
图2 圆和椭圆在二维平面上的最密排列
（a）圆在二维平面的最密排列
（b）（c）椭圆在二维平面的最密排列，均由在平面上作最密排列的圆经过仿射变形得到
下面考虑椭球体在三维空间的最密堆积。

与球不同的是，椭球体并非各向同性，还需要考虑椭球体的取向。

如果，每个椭球体的取向都一致。

这种情况数学家们已经讨论过了。

取向都一致的椭球体的堆积，相当于球体堆积的仿射变换（仿射变换等价于一个线性变换后跟一个平移）。

因此，取向一致的椭球体的最密堆，可以通过对等大球的最密堆积（面心立方最密堆积或六方最密堆积）作仿射变换（沿着任意三个互相垂直的方向伸缩）的方向得到。

根据高斯的一个定理，可以推出取向一致的椭球体的最密堆积的空间占有率∅≈0.7405。

图3 由等大球面心立方密堆积作仿射变换可以得到取向一致的椭球体的最密堆积
但是，如果每个椭球体的取向并不都一致，即一个晶胞包含至少有两种不同取向的椭球体。

这些晶胞在三维空间中周期性平形并置，那么情况将变得不同。

我们还是从等大球的密堆积出发构建等大椭球的密堆积。

等大球的面心立方（fcc）最密堆积（图4），也可以看做是面心正方层的堆垛（图5（a））。

相似地，使椭球体的a、b轴方向分别与面心正方点阵的轴一致，c轴方向垂直于层面，可以构建一个椭球体层（图5（b））。

在这个过程中，我们保持
L=
√1+α2
旋转下一层90°，使该层的椭球体恰好填在第一层形成的空隙之上，这两种层重复无限堆积，这可以看作是一个晶胞包含两个椭球体的晶体堆积。

图4 等大球的面心立方密堆积的晶胞
密排层垂直于体对角线，也可看作垂直于c轴方向的面心正方层的堆垛
图5 (a)等大球的面心立方堆积，也可看作垂直于c轴方向的面心正方层(001)的堆垛。

(b)基于等大球的面心立方堆积的仿射变换得到的椭球体堆积层
由图5（b）可以看出，每个椭球体的配位数为12，在自己所在层与4个椭球体接触，与之上、之下层也各接触4个椭球体。

据此可以来计算出两个相邻层之间的最小距离h。

进一步可以计算出空间占有率
∅=16παβ3ℎL2
因为ℎ=βf(α)，所以垂直于层面的轴的长度可以任意改变而不影响空间占有率的大小。

所以，在下面的讨论中，不妨设β=1，这时椭球体是一个椭圆体（spheroid）。

空间占有率是半轴比α的函数（图6）。

当α=β=1时，表示等大球fcc密堆积。

由图5可以看出，椭球体的空间占有率高于等大球fcc密堆积的空间占有率74.05%。

半轴比α呈倒数的两个椭球体（长球体和扁球体）的空间填充率相等。

当α=√3或1/√3时，空间填充率最大（约0.770 732）。

此时，L=2α，每个椭球体在自己所在层与6个椭球体接触（图7），配位数达到14。

图6 椭球体密堆积的空间占有率与半轴比α的函数关系图
图7 已知的椭球体的最密堆积的层
α=√3（长球体）或1/√3（扁球体）
该层既可以看做是面心的也是三方的
由图6可以发现，当α>√3或α<1/√3时，也就是最大半轴比δ≥√3时，空间占有率仍然是最大值0.70732。

还可以观察到，x=y平面在上述堆积中是一个镜面，所以沿着该平面中一个方向作s≥1的任意大小的的仿射变换可以得到的等大或者拉伸的椭圆的堆积，但是
空间占有率不变。

对于δ=√3的椭球体，沿着x=y线拉伸s倍，得到一个新的椭球体：
δ2=(2+s2+2s4)+2(1+s2)√1−s2+s4
3s2
对于足够大的s，都有新的椭球体的δ≥√3。

因此，通过沿着（√2/2，√2/2，0）方向拉伸图7中的堆积，可以得到堆积密度仍等于0.77032的新的堆积方式，只要δ>√3。

当δ=3时，拉伸得到的堆积如图8所示。

对于长球体和扁球体，垂直视图是一样的。

图8 将图7所示的堆积沿（√2/2，√2/2，0）方向拉伸2.4842倍得到的新的最密堆积
3.小结
椭球体的最密堆积作如下总结：
1)二维。

椭球体在二维平面上的最密堆积可通过等径球在二维平面上的密堆积作仿射变换
得到。

每个椭球体在平面上的配位数为6。

填充密度与等径球相同，均为π/
√12=0.9069
2)三维。

a)每个椭球体取向相同。

取向一致的椭球体的最密堆，可以通过对等大球的最密
堆积（面心立方最密堆积或六方最密堆积）作仿射变换（沿着任意三个互相垂
直的方向伸缩）的方向得到，配位数为12。

空间占有率∅≈0.7405。

b)每个椭球体的取向不都相同。

其最密堆积由两层取向相错90°的，相邻层的
空隙与椭球体恰好对应，拉伸了的面心正方的椭球体层交替堆垛形成。

当δ<
√3时，配位数为12，空间占有率高于0.7405，是α的函数（图6）。

当δ≥√3
时，配位数达到14，空间占有率达到最大，为0.770732，并且沿x=y平面作
拉伸，仍是最密堆积，配位数和空间占有率保持不变。

参考文献
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李水乡, 赵健, 陆鹏,等. 基本三维实体最密填充研究进展[C]// 颗粒材料计算力学研究进展. 2012.
李水乡, 赵健, 陆鹏,等. 基本三维几何体的最高填充率[J]. 科学通报, 2009(06):729-733.。