高中数学人教A版必修四全优课堂同步课件3.1.2两角和与差正弦、余弦、正切公式
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人教A版高中数学必修四课件第三章3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
S(α＋β)：sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β
.
S(α－β)：sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β
.
前置学习
3．两角互余或互补 π
(1)若 α＋β＝ 2 ，其 α、β 为任意角，我们就称 α、β 互余．例 如：π4－α 与 π4＋α 互余，π6＋α 与 π3－α 互余．
解 ∵α∈0，2π，β∈－2π，0，∴α－β∈(0，π)． ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.
∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝45×7102＋35×－ 102＝
解析
f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－3π.
∴f(x)∈[－2,2]．
前置学习
4．已知锐角
α、β
满足
sin
α＝2 5 5，cos
β＝
1100，则
3π α＋β＝__4___.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
∴cos α＝ 55，sin β＝31010. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
B．－2 5 5
C．
5 5
D．－
5 5
解析 sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝
2 2 (cos
B＋
1－cos2B)
＝
22×
1100＋3
10 10
＝2
高中数学人教A版必修4课件：3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》(第2课时)
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
3.1.3两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
本节课利用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角 函数的求值、化简、计算等体会三角恒等变换特点的过程，
理解推导过程，掌握其应用.并重点学习如何用辅助角公式研
究形如f(x) ＝asinx＋bcosx的性质．注意辅助角的求取要点 和准确性.在解题时首先要学会观察，看题目当中所给的式子 与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个象限.
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
运用两角和与差的正、余弦公式化简、求值要注意灵活进行 三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征 结构后，再运用公式化简、求值．如果题目中存在互余角， 要善于发现和利用． π π π π 例如，化简：sin4－3xcos3－3x－cos6＋3x· sin4＋3x. π π π π 解 原式＝sin4－3xcos3－3x－sin3－3x· cos4－3x π π ＝sin4－3x－3－3x π π ＝sin4－3 π π π π ＝sin 4cos 3－cos 4sin 3 2－ 6 2 1 2 3 ＝ 2 ×2－ 2 × 2 ＝ 4 .
(2)sin(54° －x)cos(36° ＋x)＋cos(54° －x)sin(36° ＋x)；
解
(1)原式＝sin 14° cos 16° ＋sin(90° －14° )· cos(90° －16° )
＝sin 14° cos 16° ＋cos 14° sin 16° 1 ＝sin(14° ＋16° )＝sin 30° ＝2.
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
3.1.3两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
本节课利用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角 函数的求值、化简、计算等体会三角恒等变换特点的过程，
理解推导过程，掌握其应用.并重点学习如何用辅助角公式研
究形如f(x) ＝asinx＋bcosx的性质．注意辅助角的求取要点 和准确性.在解题时首先要学会观察，看题目当中所给的式子 与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个象限.
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
运用两角和与差的正、余弦公式化简、求值要注意灵活进行 三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征 结构后，再运用公式化简、求值．如果题目中存在互余角， 要善于发现和利用． π π π π 例如，化简：sin4－3xcos3－3x－cos6＋3x· sin4＋3x. π π π π 解 原式＝sin4－3xcos3－3x－sin3－3x· cos4－3x π π ＝sin4－3x－3－3x π π ＝sin4－3 π π π π ＝sin 4cos 3－cos 4sin 3 2－ 6 2 1 2 3 ＝ 2 ×2－ 2 × 2 ＝ 4 .
(2)sin(54° －x)cos(36° ＋x)＋cos(54° －x)sin(36° ＋x)；
解
(1)原式＝sin 14° cos 16° ＋sin(90° －14° )· cos(90° －16° )
＝sin 14° cos 16° ＋cos 14° sin 16° 1 ＝sin(14° ＋16° )＝sin 30° ＝2.
高中数学人教A版必修4课件：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
tan32°= ( )
A. 3 m C. 3 (m-1)
B. 3 (1-m) D. 3 (m+1)
【解析】选B.因为28°+32°=60°, 所以tan60°=tan(28°+32°)= tan28＋ tan32＝3，
1tan 28tan 32
因为tan28°·tan32°=m,
所以tan28°+tan32°= 3(1-m).
所以A+B= .
4
【补偿训练】已知tanα ,tanβ 是方程x2+3 3 x+4=0 的两根,且α ,β ∈ ( , ), 则α +β =________.
22
【解析】因为tanα,tanβ是方程x2+3 3x+4=0的两根,
所以
tantan3
30,
tantan40.
3
3
答案: 1
3
【方法技巧】公式T(α ±β )的逆用及变形应用的解题策
略
(1)“1”的代换:在T(α ±β )中,如果分子中出现“1” 常利用1=tan 来代换,以达到化简求值的目的,
4
如 1 1 － ＋ t ta a n n ＝ ta n ( 4 ) ； 3 1 t－ a n t a ＋ n 3 ＝ 3 ta n ( ＋ 4 ） .
【解析】1.选C.由cosα=- 4 且α∈ ( 得 , t a) , nα=
3,
5
所以
tan(
) 4
Байду номын сангаас
3 1 1(43)1
1. 7
2
4
4
2.选B.因为cosB=3 1 0 ,
人教A版高中数学必修四课件：第三章 3.1.2(一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (共30张PPT)
雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。 能够摄取必要营养的人要比吃得很多的人更健康，同样地，真正的学者往往不是读了很多书的人，而是读了有用的书的人。 失去金钱的人损失甚少，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。 相信自己，你能作茧自缚，就能破茧成蝶。 驾驭命运的舵是奋斗。 不会生气的人是愚者，不生气的人乃真正的智者。 第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 在所阅读的书本中找出可以把自己引到深处的东西，把其他一切统统抛掉，就是抛掉使头脑负担过重和会把自己诱离要点的一切。 不可压倒一切，但你也不能被一切压倒。 不论你在什么时候结束，重要的是结束之后就不要悔恨。 生活就像海洋，只有意志将强的人才能到达彼岸。 少一点预设的期待，那份对人的关怀会更自在。 这世间最可依赖的不是别人，而是你自己。不要指望他人，一定要坚强自立。 如果缺少破土面出并与风雪拚搏的气，种子的前途并不比落叶美妙一分。 你一定不要做丑恶的人，但是世态炎凉，你也别太善良！马ห้องสมุดไป่ตู้被人骑，人善被人欺，过于善良就是一种懦弱和无能！ 获致幸福的不二法门是珍视你所拥有的、遗忘你所没有的。 觉得自己做得到和做不到，只在一念之间。 雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。 时间告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。 生活中若没有朋友，就像生活中没有阳光一样。
高中数学人教A版必修4课件：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式, 化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行 约分,解题时要逆用或变用公式. 提醒:在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时,首先 要注意结构是否符合公式特点,其次注意角是否满足要 求.
【变式训练】若tanα=2tan
5
=( )
cos( 3 )
2( 22sin1522cos15)sin(30) 3.
2( 2sin15 2cos15) sin60 3
答案:
2
3
2
3
【方法技巧】解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着 先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形 式,则整体变形,否则进行各局部的变形.
4
4 452521 0
2.选B.因为 s in (x 9 )c o s c o s (x 9 )s in 1 ,
1 4 7
1 4 73
所以 s in (x 9 ) s in (x ) c o sx 1 ,
1 47
2
3
所以cosx=-1 .
3
3.
c o s7 5 c o s1 5 sin1 5 c o s1 5 sin1 5 sin7 5 sin1 5 c o s1 5
【自我检测】
1.cos57°cos12°+sin57°sin12°的值为 ( )
A .0
B .1 2
C . 3 2
D . 2 2
【解析】选D.原式=cos(57°-12°)=cos45°=
2.
2
2.sin75°=________.
【解析】sin75°=sin(30°+45°)
=sin30°cos45°+cos30°sin45° = 1 2 3 2 26.
人教A版高中数学必修四课件：第三章 3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式(二) (共42张PPT)
那些背后说别人坏话的人，请记住，他（她）能说别人坏话，就能在暗地说你坏话！这就是俗话说的， 不怕真小人，就怕伪君子！ 不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。 意志力是人的一条救生索，它可以帮助我们脱离困境，引导我们走向胜利。 珍惜今天的美好就是为了让明天的回忆更美好。 让珊瑚远离惊涛骇浪的侵蚀吗？那无异是将它们的美丽葬送。 让生活的句号圈住的人，是无法前时半步的。 不要因为众生的愚疑，而带来了自己的烦恼。不要因为众生的无知，而痛苦了你自己。 时间告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。 在经过岁月的磨砺之后,每个人都可能拥有一对闪闪发光的翅膀,在自己的岁月里化茧成蝶。
不要对挫折叹气，姑且把这一切看成是在你成大事之前，必须经受的准备工作。 你在学习上这种尝试精神很可贵。 每个人的一生都有许多梦想，但如果其中一个不断搅扰着你，剩下的就仅仅是行动了。
一个人想要平庸，阻拦他（她）的人很少；一个人想要出众，阻拦他（她）的人就很多。那些与周围关系融洽的人，大都很平庸，与周围人 关系紧张的人，大都很出众。人都允许一个陌生人的发迹，却不能容忍一个身边人的晋升，因为同一层次的人之间存在着对比、利益的冲突 ，而与陌生人不存在这方面的问题。 穿着饮食可以因陋就简，而搞学问是不能因陋就简的。 人生，不可能一帆风顺，有得就有失，有爱就有恨，有快乐就会有苦恼，有生就有死，生活就是这样。 萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 世界原本就不是属于你，因此你用不着抛弃，要抛弃的是一切的执着。万物皆为我所用，但非我所属。 成功的秘密在于始终如一地忠于目标。 未经一番寒彻骨，哪得梅花扑鼻香。 用自己的双手去创造生活，用辛勤的汗水实现人生的梦想。
不要对挫折叹气，姑且把这一切看成是在你成大事之前，必须经受的准备工作。 你在学习上这种尝试精神很可贵。 每个人的一生都有许多梦想，但如果其中一个不断搅扰着你，剩下的就仅仅是行动了。
一个人想要平庸，阻拦他（她）的人很少；一个人想要出众，阻拦他（她）的人就很多。那些与周围关系融洽的人，大都很平庸，与周围人 关系紧张的人，大都很出众。人都允许一个陌生人的发迹，却不能容忍一个身边人的晋升，因为同一层次的人之间存在着对比、利益的冲突 ，而与陌生人不存在这方面的问题。 穿着饮食可以因陋就简，而搞学问是不能因陋就简的。 人生，不可能一帆风顺，有得就有失，有爱就有恨，有快乐就会有苦恼，有生就有死，生活就是这样。 萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 世界原本就不是属于你，因此你用不着抛弃，要抛弃的是一切的执着。万物皆为我所用，但非我所属。 成功的秘密在于始终如一地忠于目标。 未经一番寒彻骨，哪得梅花扑鼻香。 用自己的双手去创造生活，用辛勤的汗水实现人生的梦想。
高中数学人教A版必修4课件：3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》(第1课时)
sin cos[
( )] cos[(
) ]
sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
上述公式就是两角和的正弦公式，记作 。
S ( )
那
sin(－ ) ?
3 解：∵sinα＝5，90° <α<180° ， 4 sinα 3 ∴cosα＝－ 1－sin2α＝－5，tanα＝cosα＝－4. 12 又 cosβ＝13，270° <β<360° ， 5 sinβ 5 ∴sinβ＝－ 1－cos β＝－13，tanβ＝cosβ＝－12.
cos(α+β) = cosαcosβ－ sinαsinβ 上述公式就是两角和的余弦公式，记作 。
c( )
cos 75 cos(30 45 )
cos30 cos 45 sin 30 sin 45
思考：如何求
6 2 4
sin( ).
2 2 cos cos sin sin 2 2
1. 掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式．
2．会用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的求值、
化简、计算等．
-β) = cosαcosβ+ sinαsinβ cos( cos(α ) cos cos sin sin .
上述公式就是两角差的余弦公式，记作 在差角的余弦公式中， 时要注意角的变换，如 式形式的选择. 已经学了两角和与两角差的正弦、余弦公式，今天继续推导两角 。
上述公式就是两角差的正弦公式，记作 。
S ( )
新人教A版高中数学必修四 3.1 3.1.2 《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》课件
[研一题]
2π － x ； 3
π π x＋ ＋2sin x－ － 3 3
3cos
(2)tan 12° ＋tan 33° ＋tan 12° tan 33° .
π π π [自主解答] (1)原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos － 3 3 3 π 2π 2π 2cos xsin － 3cos cos x－ 3sin sin x 3 3 3 1 3 3 3 ＝ sin x＋ cos x＋sin x－ 3cos x＋ cos x－ sin x 2 2 2 2
[悟一法]
1．解决此类问题的关键是熟练掌握和差公式的结构特征， 并灵活地正用、逆用、变形用． 2．对于正切公式，要熟悉以下常用的变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)， tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)， tan(α＋β)－tan α－tan β＝tan αtan βtan(α＋β)， tan α＋tan β 1－tan αtan β＝ ， tanα＋β tan α－tan β 1＋tan αtan β＝ . tanα－β
两角和
的余弦 两角差
cos(α＋β)＝ cos cos β－sin αsin β
cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β
的余弦
两角和 的正弦
两角差
的正弦
sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β
[研一题]
[例 2] β 4 α 12 β α 已知 sin(α－ )＝ ，cos( －β)＝－ ，且 α－ 和 －β 分 2 5 2 13 2 2
2019版数学人教A版必修4课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 .pdf
sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β时,不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开,而应
采用整体思想,进行如下变形:sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin
[(α+β)-β]=sin α.这也体现了数学中的整体原则.
4.注意公式的结构特征和符号规律.
对于公式C(α-β),C(α+β)可记为“同名相乘,符号反”;对于公式S(α-β), S(α+β)可记为“异名相乘,符号同”.
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
-1-
M 3.1.2 两角和与差的
正弦、余弦、正切公式
目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
1.能根据两角差的余弦公式导出并记住两角和与差的正弦、余 弦、正切公式,并灵活运用.
2.能熟练地把asin x+bcos x化为Asin(ωx+φ)的形式.
-2-
M 3.1.2 两角和与差的
正弦、余弦、正切公式
目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
和角、差角公式如下表:
名称
公式
=
3-43
1+3×
4 3
=
13.
答案:D
【做一做2】 sin 75°的值为( )
A.
2-1 2
C.
64
2
新课标高中数学人教A版必修四全册课件3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
第十页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例： 例三点 十九分。
讲解范例： 例1. 化简 2 cos x 6 sin x.
思考：
2 2 是怎么得到的？
第十二页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例：
归纳：
a sin b cos a2 b2 sin( )
第十六页，编辑于星期日：十三点 十九分。
练习： 3. 3 cos sin 的值为 ( )
12 12 A. 0 B. 2 C. 2 D. 2
第十七页，编辑于星期日：十三点 十九分。
思考：
已知 3 , cos( ) 12 ,
2
4
13
sin( ) 3 , 求sin 2 .
tan b
a
第十三页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例：
例2. 已知函数f ( x) 2sin x 2 3 cos x, x R.
(1)求f(x)的最值； (2)求f(x)的周期、单调性.
第十四页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例：
例3. 已知A、B、C为△ABC的三内角，
向量 m (1, 3 ), n (cos A,sin A), 且 m n 1.
第五页，编辑于星期日：十三点 十九分。
复习引入 基本公式：
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
第六页，编辑于星期日：十三点 十九分。
复习引入
基本公式：
tan( ) tan tan 1 tan tan
第七页，编辑于星期日：十三点 十九分。
5
第十八页，编辑于星期日：十三点 十九分。
课堂小结
掌握两角和与差的余弦、正弦
讲解范例： 例三点 十九分。
讲解范例： 例1. 化简 2 cos x 6 sin x.
思考：
2 2 是怎么得到的？
第十二页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例：
归纳：
a sin b cos a2 b2 sin( )
第十六页，编辑于星期日：十三点 十九分。
练习： 3. 3 cos sin 的值为 ( )
12 12 A. 0 B. 2 C. 2 D. 2
第十七页，编辑于星期日：十三点 十九分。
思考：
已知 3 , cos( ) 12 ,
2
4
13
sin( ) 3 , 求sin 2 .
tan b
a
第十三页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例：
例2. 已知函数f ( x) 2sin x 2 3 cos x, x R.
(1)求f(x)的最值； (2)求f(x)的周期、单调性.
第十四页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例：
例3. 已知A、B、C为△ABC的三内角，
向量 m (1, 3 ), n (cos A,sin A), 且 m n 1.
第五页，编辑于星期日：十三点 十九分。
复习引入 基本公式：
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
第六页，编辑于星期日：十三点 十九分。
复习引入
基本公式：
tan( ) tan tan 1 tan tan
第七页，编辑于星期日：十三点 十九分。
5
第十八页，编辑于星期日：十三点 十九分。
课堂小结
掌握两角和与差的余弦、正弦
高一数学人教A版必修4课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
第三章 三角恒等变换§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺 04明目标、知重点1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.填要点·记疑点1.两角和与差的正切公式(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝2.两角和与差的正切公式的变形(1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝ .tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝ tan(α＋β)(1－tan αtan β)tan(α＋β)(2)T(α－β)的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)tan(α－β)探要点·究所然情境导学某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山的山顶C处.小山的高BC 约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约为67米，从点A处观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°.求这座电视发射塔的高度.解 设电视发射塔的高CD＝x，∠CAB＝α，在Rt△ABD中，探究点一 两角和与差的正切公式的推导当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得探究点二 两角和与差的正切公式的变形公式思考 两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，这些变形公式在解决某些问题时是十分方便的.请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习.练习：直接写出下列式子的结果：1(2)tan 75°＝；例1 求下列各式的值：(2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.反思与感悟 公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示出第三个.跟踪训练1 求下列各式的值：例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β的值.解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，反思与感悟 此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围.此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解.∴△ABC为等腰钝角三角形.反思与感悟 三角形中的问题，A＋B＋C＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角.跟踪训练3 已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角.求证：tan A ＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C.证明 ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.∴tan A＋tan B＝－tan C＋tan A tan B tan C.即tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C.4当堂测·查疑缺 123BB2.已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )A.1B.2C.－2D.不确定解析 (1＋tan A)·(1＋tan B)＝1＋(tan A＋tan B)＋tan A tan B＝1＋tan(A＋B)(1－tan A tan B)＋tan A tan B＝1＋1－tan A tan B＋tan A tan B＝2.呈重点、现规律(3)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.2.公式T(α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.3.公式T(α±β)的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路.。
人教A版高中数学必修四3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)PPT
解： sin 5 ,sin 10 ,且， （0， ）
5
10
2
cos 1 sin2 2 5 ,cos 1 sin2 3 10
5
10
cos( ) cos cos sin sin
2 5 3 10 5 10 2 5 10 5 10 2
又由已知可得 (0, ),
小试牛刀
1、设
cos
3 5
，
sin
4
5 ，且 13
,
0,
2
，则cos
4
56 ___6_5______;
2、设t tan tan tan tan ,且 5 ，
4
则t ____1______;
3、若 x ，求函数 y sin x 3 cos x
2
2
的最大值和最小值.
2
,
变式 : 在ABC中, A是锐角，且 sin A 5 , 5
sin B 10 , 求角C. 10
分析:由cosC cos (A B) cos( A B)
及例2.结果可得 cos C 2 , 2
又 C (0, ), C 3
4
例7、化简：(1)
3 sin
x
1 cos x
sin( x
f ( x)的周期及最大值;
2
x
6
2
x
3
2
解 : (1) f ( x)
2 2
1 2
sin(2
x
3
)
3 2
cos(2
x
3
)
2 2
sin(2 x
3
)
cos
3
cos(2
x
3
) sin
人教A版高中数学必修四课件：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）
两角和正弦公式： 两角差正弦公式：
两角差余弦公式： 两角和余弦公式：
你能根据正切函数与正弦、余弦函数的关系，从
出发，推导出用任意角
的正切表示
的公式
吗？
1.掌握两角和与差的正切公式.(重点） 2.能够利用公式进行简单的三角函数式的求值 、化简和证明. (重点、难点） zxxk
课堂探究 1两角和与差的正切公式的推导
当
你能用
表示
吗？
称为两角和的正切公式.
类比和角的正切公式，如何推导差角的正切公式？ 称为两角差的正切公式.
两角和与差的正切公式的说明
1.必须在定义域范围内使用上述公式. 2.注意公式的结构，尤其是符号.
Z.xxk
课堂探究 2 两角和与差的正切公式的应用 1.公式的直接应用 例1 求值： 解：
分解为两个特 殊角的和或差来自2.公式的逆用 例2 利用和(差)角公式计算下列各式的值.
3.公式的活用
4.公式的变形应用
1.求下列各式的值.
1.两角和差的正切公式 2.和角与差角正切变形公式 3.公式应用.
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3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）
两角和正弦公式： 两角差正弦公式：
两角差余弦公式： 两角和余弦公式：
你能根据正切函数与正弦、余弦函数的关系，从
出发，推导出用任意角
的正切表示
的公式
吗？
1.掌握两角和与差的正切公式.(重点） 2.能够利用公式进行简单的三角函数式的求值 、化简和证明. (重点、难点） zxxk
课堂探究 1两角和与差的正切公式的推导
当
你能用
表示
吗？
称为两角和的正切公式.
类比和角的正切公式，如何推导差角的正切公式？ 称为两角差的正切公式.
两角和与差的正切公式的说明
1.必须在定义域范围内使用上述公式. 2.注意公式的结构，尤其是符号.
Z.xxk
课堂探究 2 两角和与差的正切公式的应用 1.公式的直接应用 例1 求值： 解：
分解为两个特 殊角的和或差来自2.公式的逆用 例2 利用和(差)角公式计算下列各式的值.
3.公式的活用
4.公式的变形应用
1.求下列各式的值.
1.两角和差的正切公式 2.和角与差角正切变形公式 3.公式应用.
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知识点 2 公式的综合应用 【例 2】 已知函数 f(x)＝Asin (x＋φ)(A>0,0<φ<π)，x∈R 的最 π 1 大值是 1，图象过点 M3，2. (1)求 f(x)的解析式； π 3 12 (2)已知 α，β∈ 0，2 ，且 f(α)＝ ，f(β)＝ ，求 f(α－β)的值． 5 13 思路点拨： (1)由已知求出函数解析中的参数即可； (2)代入函数解析式计算．
π 4．
β
，
sin αcos β－cos αsin β 即 sin(α－β)＝________________. tan α＋tan β 5．tan(α＋β)＝______________________ ， 1－tan αtan β tan α－tan β 1＋tan αtan β tan(α－β)＝__________________________.
解： 2cos 50° ＋sin 20° 2cos 30° ＋20° ＋sin 20° (1) ＝ cos 20° cos 20° 3cos 20° －sin 20° ＋sin 20° ＝ ＝ 3； cos 20°
1 π π π 3 π (2)sin 12－ 3cos 12＝2 sin － cos 2 12 2 12 π π π π π π ＝2cos 3sin 12－sin 3cos 12＝2sin 12－3 π π ＝2sin －4 ＝－2sin 4＝－ 2.
自学导引
cos αcos β＋sin αsin β 1．cos(α－β)＝____________________. (－β) ＋ sinα 2 ． cos(α ＋ β) ＝ cos[α － ______] (－β) ＝ cos αcos______ (－β) ，即 cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β sin______ __________________.
3 ． sin (α ＋ β) ＝ cos
π － 2
(α＋β)
＝ cos
π － 2
α
－
β
sin αcos β＋cos αsin β ，即 sin(α＋β)＝__________________. (α－β)
π ＝cos － 2
1．已知函数
4 (1)若 sin x＝ ，求函数 f(x)的值； 5 (2)求函数 f(x)的值域．
π f(x)＝2sinx＋6－2cos
π x，x∈2，π.
解：
π 4 (1)∵sin x＝5，x∈2，π， 3 3 1 ∴cos x＝－5，f(x)＝2 sin x＋ cos x－2cos x＝ 3sin x－cos 2 2 4 3 x＝5 3＋5. 3 π 1 (2)f(x)＝ 3sin x－cos x＝2 sin x－ cos x＝2sinx－6， 2 2 π π π π 5π 1 ∵2≤x≤π，∴3≤x－6≤ 6 ，2≤sin x－6≤1， ∴函数 f(x)的值域为[1,2]．
自主探究 1 能把 sin (α＋β)cos α－ [sin (2α＋β)－sin β]化简成不含角 α 的 2 三角函数式吗？
【答案】能．化简过程如下： 1 sin(α＋β)cos α－ [sin(2α＋β)－sin β] 2 1 ＝sin(α＋β)cos α－ [sin(α＋β＋α)－sin(α＋β－α)] 2 1 ＝sin(α＋β)cos α－ [sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－sin(α＋ 2 β)cos α＋cos(α＋β)· sin α] ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]＝sin β.
典例剖析 知识点 1 化简或求值 【例 1】 求下列各式的值： 2cos 50° ＋sin 20° π π (1) ；(2)sin － 3cos . cos 20° 12 12 思路点拨： (1)把 50° 化为 30° ＋20° ，再利用两角和的余弦公式计算； (2)形如 asin θ＋bsin θ 的式子， 可配凑成 a2＋b2sin(θ＋φ)的形 式．
预习测评 1． 在△ABC 中， 若 cos Acos B>sin Asin B， 则此三角形是( A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不是锐角三角形
)
【答案】C
2.(2014 年佛山阶段考)化简
3 A. 2
=( D. 3
)
B.1
C.2
【答案】D
3．在△ABC 中，已知 tan A，tan B 是方程 3x2＋8x－1＝0 的两 根，则 tan C＝________.
【答案】2
4．tan 20° ＋tan 40° ＋ 3 tan 20° · tan 40° 的值是________．
【答案】 3
要点阐释 1．两角差的余弦公式是本章所有公式的基础，其他公式都是 在此基础上利用诱导公式和同角三角函数之间的关系推导出来 的．它们之间的逻辑关系如下所示：
2． 公式 C(α±β)与 S(α±β)中的 α， β 是任意角， 但公式 T(α±β)中的 α， π β 应使式子有意义，即公式 T(α±β)中的 α，β 及 α＋β 都不等于 kπ＋ 2 (k∈Z)，当不能使用公式 T(α±β)时，应改用诱导公式或其他方法． 3．要善于应用公式的变形： tan α＋tan β tan (α＋β)＝ 的变形为 1－tan αtan β tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β tan(α－β)＝ 的变形为 1＋tan αtan β tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．