空间连杆机构运动分析未讲

第七章空间连杆机构运动分析第七章空间连杆机构运动分析 (1)7.1空间机构运动分析矩阵法：刚体空间位移矩阵 (2)7.1.1 绕直角坐标轴的旋转 (2)7.1.2 空间旋转矩阵 (3)7.1.2.1 按右手规则绕三维直角坐标轴的一系列旋转表示空间旋转 (3)7.1.2.2 绕空间任意轴u旋转φ角表示空间旋转 (3)7.1.2.3 用欧拉角ψ，θ和φ来描述空间旋转 (4)7.1.3 刚体位移矩阵及其逆 (4)7.1.4 旋转矩阵与位移矩阵的微分 (5)7.1.4.1 旋转矩阵的微分 (5)7.1.4.2 位移矩阵的微分 (6)7.2空间四杆机构运动分析 (7)7.2.1 空间四杆机构RSSR运动分析 (7)7.2.2 习题 (8)7.3空间串联机器人运动分析 (8)7.3.1 3-RPR运动分析 (8)7.3.2 RRRRRR机械手运动分析 (11)7.4空间并联机器人运动分析 (12)7.4.1 6-SPS并联机构的位置分析 (12)7.5参考文献 (13)7.1 空间机构运动分析矩阵法：刚体空间位移矩阵在三维空间中，刚体的总位移可以视为刚体的角位移和刚体上任何适当参考点的线位移这两个基本位移分量的总和。

描述刚体位移有好几种方法，其中较常用的是绕三角坐标轴的一组旋转矩阵、绕空间任意一轴的旋转矩阵和欧拉角旋转矩阵。

下面分别讨论这三种旋转矩阵。

7.1.1 绕直角坐标轴的旋转图表示固连在旋转刚体上的一个定长向量绕z 轴的旋转向量v 在位移前后的所有分量都是以相对固定的x-y 轴参考系来度量。

当向量1v 绕z 轴旋转α角，到达2v 处时，有下列方程（参见邹老师的教材P62）21121121cos sin sin cos x x y y x y z zv v v v v v v v αααα=-=+=(7.1) 把上式写成矩阵的形式，有212121cos sin 0sin cos 001x x y y z z v v v v v v αααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(7.2)上式可缩写成如下的形式，即2,1()[]()z v R v α=(7.3)式中,[]z R α为绕z 轴转α角的旋转矩阵，有,cos sin 0[]sin cos 001z R ααααα-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(7.4)同理，可写出分别绕y 轴和x 轴旋转的矩阵,cos 0sin []010sin 0cos y R βββββ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ (7.5),100[]0cos sin 0sin cos z R γγγγγ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(7.6)7.1.2 空间旋转矩阵空间旋转矩阵可用若干个基本旋转矩阵来表示，其主要有以下三种形式。

7.1.2.1 按右手规则绕三维直角坐标轴的一系列旋转表示空间旋转固连于刚体上的矢量在三维空间内旋转的每个分量是3x3矩阵，空间旋转矩阵可把每个矢量矩阵逐次相乘来求得，即当三个旋转顺序为绕z 旋转α角，绕y 轴转β角，然后在绕x 轴转γ，则始末位置1与2处矢量v 的关系可用下式描述：2,,,11()[][][]()[][]x y z v R R R v R v γβααβγ== (7.7) 式中空间旋转矩阵[]R αβγ为[]c s c c c s c s R s c c s s c c s s s c s s s c s s s c c c αβγαβαββαγαβγαγαβγβγαγαβγαγαβγβγ-⎡⎤⎢⎥=+--⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦(7.8)式中cos c αα=，sin s αα=。

7.1.2.2 绕空间任意轴u 旋转φ角表示空间旋转在图中，(,,)T x y z u u u u =是单位向量。

绕u 轴旋转φ角的运动，可按下列步骤来描述：首先转动刚体，使u 轴平行于z 轴，再以u 的这一暂时位置为转轴旋转φ角，然后把u 轴旋回它原来的位置。

这一完整的旋转过程可用矩阵描述：2,,,,,1,1()[][][][][]()[]()y x z x y u vR R R R Rv R v βγφγβφ--== (7.9) 式中，,[]u R φ称为轴旋转矩阵，它是描述刚体空间有限旋转的最常用的形式之一。

当形成,[]u R φ时，单位向量u 的方向余弦有下列代换：sin ,sin cos cos sin ,cos cos y x zu u u γβγβγβγβ======(7.10)把式(7.10)代入式(7.9)，有22,2[]x x y z x z y u x y z y y z x x z y y z x z u V C u u V u S u u V u S R u u V u S u V C u u V u S u u V u S u u V u S u V C φφφφφφφφφφφφφφφφφφφ⎡⎤-+⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦(7.11)式中，1cos V φφ=-，sin S φφ=，cos C φφ=。

经过适当的分解，式(7.11)可得如下形式：,[][][]cos []sin []u u u u u R P P P Q φφφ=-++ (7.12) 式中[][][]u u u P P I Q -=-(7.13)0[]00z y u z x y x u u P u u u u ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(7.14)222[]x x y x z u x y y y z x z y z z u u u u u Q u u u u u u u u u u ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(7.15)7.1.2.3 用欧拉角ψ，θ和 φ来描述空间旋转y坐标系XYZ 固定在参考构件1上；固连于参考构件2上的坐标系X’Y’Z’是绕轴z 转角ψ而得到；固连于构件3上的坐标系X’’Y’’Z’’是经过两个有序的相对旋转即先绕轴z 转角ψ，再绕轴X’转θ角而得；最后再绕Z’’轴转角φ，完成了刚体的运动。

把上述过程用下列方程表示，有（可证一下，下式是否成立）2,'',',1,,,1,,1()[][][]()[][][]()[]()z x z z x z v R R R v R R R v R v φθψψθφψθφ=== (7.16)式中 ,,[]C C S C S C S S C C S S R S C C C S S S C C C C S S S S C C ψθφψφψθφψφψθφψθψφψθφψφψθφψθθφθφθ---⎡⎤⎢⎥=+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(7.17)7.1.3 刚体位移矩阵及其逆空间旋转矩阵描述了任何一个固连在刚体上的向量的旋转，而这个向量，通常可用刚体上的两个点来表示，其中一个参考点p 位于向量的尾端，而另一个要求解的点q 位于向量的头端。

这样刚体的第一个位置（q 1－p 1）与任意位置（q －p ）之间的关系可用下式来描述：,11()[]()u q p R q p φ-=- (7.18)式中1111()(,,)T x y z p p p p =，1111()(,,)T x y z q q q q =，()(,,)T x y z p p p p =，()(,,)T x y z q q q q =,[]u R φ为空间旋转矩阵，可用三种不同形式表示。

把式(7.18)进一步整理，可得,11[]()u q R q p p φ=-+ (7.19)或,,111,[][]100011[]1u u u q R p R p q q D φφφ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(7.20)式中,[]u D φD 即为4⨯4位移矩阵。

在刚体空间运动方程(7.20)中，有时用某特殊点p 做为参考点，即该点在一个固定轴u 上有两个位置，而刚体就沿着该轴做螺旋运动，也就是说，刚体以线位移du 沿u 滑动，同时又以角φ绕u 轴旋转，式(7.20)可写成,1,111[](()[])1011[]1u u q R p d u R p q q S φφ+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(7.21)式中，[]S 即为有限螺旋位移矩阵。

位移矩阵的逆，用下式很容易求得，设位移矩阵为[]()[]0001R b D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(7.22)式中[]R 为旋转矩阵，()b 为向量，则有 1[][]()[]0001T T R R b D -⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(7.23)7.1.4 旋转矩阵与位移矩阵的微分7.1.4.1 旋转矩阵的微分一个向量()v 的旋转可用矩阵方程式描述为1()[]()v R v = (7.24)式中，[]R 是以下几种可能形式之一表示的平面或空间旋转矩阵，如式(7.4)、(7.5)、(7.6)、(7.8)、(7.11)等。

向量()v 的位置对时间的变化率可通过对式(7.24)微分而得1111()[]()[]()[][]()[]()[]()[]()T v R v R v R R v R v W v R v =+=+=+ (7.25)式中，[][][]T W R R =是空间角速度矩阵。

把式(7.25)对时间求二阶导数，有11111111()[]()[]()[]()[]()[][]()2[]()[]()[]()2[]()[]()T v R v R v R v R v R R v R v R v W v R v R v =+++=++=++ (7.26)式中，[][][]T W R R =是空间角加速度矩阵。

当旋转矩阵,[][]u R R φ=时，可用下述方法求[]W 和[]W 。

由式(7.12)，可确定[]W 为,[][][]u u dW R P dtφφφ==→ (7.27)式中[]u P 由式(7.14)确定。

同样，有 22,2[][][][][][]u u u u u d W R P P P P dtφφφφφ==++→ (7.28)即0[]00z y zx y xu u W u u u u φ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(7.29)222222222222(1)()()[]()(1)()()()(1)x x y z z x z y y x y z z y y z x x x z y y y z x x z u u u u u u u u u W u u u u u u u u u u u u u u u u u u φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ⎡⎤---++⎢⎥=++---⎢⎥⎢⎥--++-⎣⎦(7.30)7.1.4.2 位移矩阵的微分用刚体上一参考点p 和欲求点q 所确定的向量v ，其在运动位置1v 和任意位置v 之间的关系，可用式(7.18)表示 若1111()0()0q p q p -=-=由式(7.25)，可得速度矩阵[]v ()[]()q p W q p -=- (7.31) 由此得[]([])[]00 0 0011q W p W p q q v -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(7.32)式中[]v 就是速度矩阵。