2011年高三数学复习统计案例部分

优质教育 卓越未来统计案例1.对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y ˆ=a ˆ+b ˆx 中，回归系数bˆ与0的大小关系为 .（填序号） ①大于或小于 ②大于 ③小于 ④不小于答案 ①2.如果有90%的把握说事件A 和B 有关系，那么具体计算出的数据 22.706.(用“＞”,“＜”,“=”填空) 答案 ＞3.对两个变量y 与x 进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r 如下，其中拟合效果最好的模型是 .①模型Ⅰ的相关系数r 为0.98 ②模型Ⅱ的相关系数r 为0.80 ③模型Ⅲ的相关系数r 为0.50 ④模型Ⅳ的相关系数r 为0.25 答案 ①4.下列说法中正确的有：①若r ＞0，则x 增大时，y 也相应增大；②若r ＜0，则x 增大时，y 也相应增大；③若r =1或r =-1，则x 与y 的关系完全对应（有函数关系），在散点图上各个点均在一条直线上 . 答案 ①③基础自测优质教育 卓越未来例1 （14分）调查339名50岁以上人的吸烟习惯与患慢性气管炎的情况，获数据如下：患慢性气管炎未患慢性气管炎总计 吸烟 43 162 205 不吸烟 13 121 134 合计56283339试问：（1）吸烟习惯与患慢性气管炎是否有关？ （2）用假设检验的思想给予证明. （1）解 根据列联表的数据，得到 χ2=))()()(()(2c d b d c a b a bc ad n ++++- 2分=13428356205)1316212143(3392⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=7.469＞6.6356分所以有99%的把握认为“吸烟与患慢性气管炎有关”.9分（2）证明 假设“吸烟与患慢性气管炎之间没有关系”，由于事件A ={χ2≥6.635}≈0.01，即A 为小概率事件，而小概率事件发生了，进而得假设错误，这种推断出错的可能性约有1%.14分例2 一台机器使用时间较长，但还可以使用.它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：转速x (转/秒) 1614128 每小时生产有缺点的零件数y (件）11985（1）对变量y 与x 进行相关性检验；（2）如果y 与x 有线性相关关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？优质教育 卓越未来解 （1）x =12.5,y =8.25,∑=41i i iy x=438，4x y =412.5，∑=412i i x =660，∑=412i iy=291，所以r =)4)(4(42412241241y yx xyx yx i ii ii ii --∙-∑∑∑====)25.272291()625660(5.412438-⨯--=25.6565.25≈62.2550.25≈0.995 4. 因为r ＞r 0.05,所以y 与x 有很强的线性相关关系. （2）yˆ=0.728 6x -0.857 1. （3）要使yˆ≤10⇒0.728 6x -0.857 1≤10, 所以x ≤14.901 3.所以机器的转速应控制在14.901 3转/秒以下.例3 下表是某年美国旧轿车价格的调查资料，今以x 表示轿车的使用年数,y 表示相应的年均价格，求y 关于x 的回归 方程.使用年数x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10年均价格y （美元）2 651 1 943 1 494 1 087765538484290226204解 作出散点图如图所示.优质教育 卓越未来可以发现，各点并不是基本处于一条直线附近，因此，y 与x 之间应是非线性相关关系.与已学函数图象比较，用y ˆ=e a x b ˆˆ 来刻画题中模型更为合理，令zˆ=ln y ˆ，则z ˆ=b ˆx +a ˆ，题中数据变成如下表所示： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z7.8837.5727.3096.9916.6406.2886.1825.6705.4215.318相应的散点图如图所示，从图中可以看出，变换的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程拟合.由表中数据可得r ≈-0.996.|r |＞r 0.05.认为x 与z 之间具有线性相关关系，由表中数据得bˆ≈-0.298,a ˆ≈8.165,所以zˆ=-0.298x +8.165,最后回代z ˆ=ln y ˆ,即y ˆ=e -0.298x +8.165为所求.1.某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计 学习积极性高 18 7 25 学习积极性一般61925优质教育 卓越未来合计2426 50（1）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（2）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？说明理由.解 （1）随机抽查这个班的一名学生，有50种不同的抽查方法，由于积极参加班级工作的学生有18+6=24人，所以有24种不同的抽法，因此由古典概型的计算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是P 1=5024=2512，又因为不太主动 参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是P 2=5019. （2）由2χ统计量的计算公式得2χ=25252624)761918(502⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈11.538，由于11.538＞10.828，所以可以有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系”.2.某个体服装店经营某种服装，一周内获纯利y （元）与该周每天销售这种服装的件数x 之间的一组数据如下：x 3 4 5 6 7 8 9 y66697381899091已知∑=712i i x =280,∑=712i i y =45 309,∑=71i ii yx =3 487,此时r 0.05=0.754.（1）求x ,y ;（2）判断一周内获纯利润y 与该周每天销售件数x 之间是否线性相关，如果线性相关，求出回归直线方程.解 （1）x =71(3+4+5+6+7+8+9)=6, y =71(66+69+73+81+89+90+91)≈79.86.优质教育 卓越未来(2)根据已知∑=712i i x =280,∑=712i i y =45 309,∑=71i ii yx =3 487,得相关系数r =)86.79730945)(67280(86.7967487322⨯-⨯-⨯⨯-≈0.973.由于0.973＞0.754,所以纯利润y 与每天销售件数x 之间具有显著线性相关关系. 利用已知数据可求得回归直线方程为 yˆ=4.746x +51.386. 3.某种书每册的成本费y （元）与印刷册数x （千册）有关，经统计得到数据如下：x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 y 10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15检验每册书的成本费y 与印刷册数的倒数x1之间是否具有线性相关关系，如有，求出y 对x 的回归方程. 解 首先作变量置换，令u =x1,题目所给数据变成如下表所示的10对数据： u 1 0.5 0.33 0.2 0.1 0.05 0.03 0.02 0.01 0.005 y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15然后作相关性检验.经计算得r ≈0.999 8＞0.75，从而认为u 与y 之间具有线性相关关系. 由公式得aˆ≈1.125,b ˆ≈8.973, 所以yˆ=1.125+8.973u , 最后回代u =x1,优质教育 卓越未来可得yˆ=1.125+x973.8, 这就是题目要求的y 对x 的回归曲线方程.回归曲线的图形如图所示，它是经过平移的反比例函数图象的一个分支.一、填空题1.对于独立性检验，下列说法中正确的是 .①2χ的值越大，说明两事件相关程度越大②2χ的值越小，说明两事件相关程度越小③2χ≤2.706时，有90%的把握说事件A 与B 无关④2χ＞6.635时，有99%的把握说事件A 与B 有关答案 ①②④2.工人月工资y （元）依劳动生产率x (千元）变化的回归方程为y ˆ=50+80x ，下列判断正确的是 .①劳动生产率为1 000元时，工资为130元 ②劳动生产率提高1 000元时，工资平均提高80元 ③劳动生产率提高1 000元时，工资平均提高130元 ④当月工资为210元时，劳动生产率为2 000元 答案 ②3.下面是2×2列联表：优质教育 卓越未来y 1 y 2 合计 x 1 a 21 73 x 2 22 25 47 合计b46120则表中a ，b 的值分别为 . 答案 52，744.实验测得四组(x ,y )的值为（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），则y 与x 之间的回归直线方程为 . 答案 yˆ=x +1 5.在一次试验中，当变量x 的取值分别为1,21，31，41时，变量y 的值分别为2，3，4，5，则y 与x 1的回归曲线方程为 .答案 yˆ=x1+1 6.在一次对性别与说谎是否有关的调查中，得到如下数据：说谎 不说谎 合计 男 6 7 13 女 8 9 17 合计141630根据表中数据，得到如下结论中不正确的是 . ①在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关 ②在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关 ③在此次调查中有99.5%的把握认为是否说谎与性别有关 ④在此次调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关 答案 ①②③优质教育 卓越未来7.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科 文科 男 13 10 女720已知P （2χ≥3.841）≈0.05，P （2χ≥5.024）≈0.025.根据表中数据，得到2χ=30202723)7102013(502⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为 . 答案 5%8.为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射后14天的结果如下表所示：死亡 存活 合计 第一种剂量 14 11 25 第二种剂量 6 19 25 合计203050进行统计分析时的统计假设是: . 答案 小白鼠的死亡与剂量无关 二、解答题9.在一次飞机航程中调查男女乘客的晕机情况，其二维条形图如图： （1）写出2×2列联表； （2）判断晕机与性别是否有关？ 解 （1）晕机 不晕机 合计 男 10 70 80 女102030优质教育 卓越未来合计20 90 110（2）2χ=80309020)10702010(1102⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈6.366＞5.024，故有97.5%的把握认为“晕机与性别有关”.10.某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：年收入x (万元） 24466677810年饮食支出 y （万元）0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3（1）根据表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出之间是否具有相关关系；若具有相关关系求出y 与x 的回归直线方程；（2）如果某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出.解 （1）由题意知，年收入x 为解释变量，年饮食支出y 为预报变量，作散点图（如图所示）.从图中可以看出，样本点呈条状分布，年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系，因此可以用回归直线方程刻画它们之间的关系. ∵x =6，y =1.83，∑=1012i i x =406，∑=1012i i y =35.13，∑=101i i iy x=117.7，∴bˆ≈0.172，a ˆ=y -b ˆx =1.83-0.172×6=0.798. 从而得到回归直线方程为yˆ=0.172x +0.798. （2）当x =9时，yˆ=2.346.因此，某家庭年收入9万元，其年饮食支出大约为2.346万元. 11.测得某国家10对父子身高（单位：英寸）如下：优质教育 卓越未来父亲身高（x ） 60 62 64 65 66 67 68 70 72 74 儿子身高（y ）63.665.26665.566.967.167.468.370.170（1）对变量y 与x 进行相关性检验；（2）如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程； （3）如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高. 解 （1）x =66.8，y =67.01，∑=1012i i x =44 794，∑=1012i iy=44 941.93，x y =4 476.268，2x =4 462.24,2y ≈4 490.34,∑=101i i iy x=44 842.4.所以r =)10)(10(102101221012101y yx xyx yx i ii ii ii --∙-∑∑∑====)4.9034493.94144)(4.6224479444(27.4764104.84244--⨯-=748.611672.79≈0.980 4.因为r ＞r 0.05,所以y 与x 之间具有线性相关关系.(2)设回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=.优质教育 卓越未来由=bˆ210121011010x xyx yx i ii ii -∙-∑∑===4.62244794447.762444.84244--=6.17172.79≈0.464 6. x b y aˆˆ-==67.01-0.464 6×66.8≈35.974 7. 故所求的回归直线方程为yˆ=0.464 6x +35.974 7. (3)当x =73英寸时,yˆ=0.464 6×73+35.974 7≈69.9, 所以当父亲身高为73英寸时,估计儿子的身高约为69.9英寸.12.在调查的480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲，分别利用图形和独立性检验的方法来判断色盲与性别是否有关？你所得到的结论在什么范围内有效？ 解 根据题目所给的数据作出如下的列联表：色盲 不色盲 合计 男 38 442 480 女 6 514 520 合计449561 000根据列联表作出相应的二维条形图：从二维条形图来看，在男人中患色盲的比例为48038，要比女人中患色盲的比例5206大. 其差值为520648038-≈0.068，差值较大. 因而，我们可以认为“患色盲与性别是有关的”.优质教育 卓越未来根据列联表所给的数据可以有a =38,b =442,c =6,d =514,a +b =480,c +d =520, a +c =44,b +d =956,n =1 000, 由2χ=))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-=95644520480)442651438(00012⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈27.1.由27.1＞10.828，所以我们有99.9%的把握认为患色盲与性别有关系，这个结论只对所调查的480名男人和520名女人有效.。