一类具有标准发生率的媒介传染病模型的稳定性

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一类具有双线性发生率的SIS传染病模型的稳定性

第３２卷第６期Ｖ１２Ｎｏ６ｏ．．３２１年１月Ｎｏ．０１０１１ｖ２１
文章编号：１７－０５２１）６０１－３６４８８（０１０－０６０
井冈山大学学报（自然科学版）ＪｕｎｌｏｉｇａｇｈｎＵｉｅｓｙｆｔｒｌＳｉｃ）ｏｒａｆＪｇｎｓａｎｖｒｉｕａｃｅｅｎｔＮａｎ
ｏｄｎｒｆｅｅｔｌｅｕｔｎ，ｓｆｃｅｔｃｎｉｏｓａｅｏｔｉｅｏｅｇｏａｓｍｐｏｉｔｂｌｙｏａｈｏｒｉａｙｄｒｎｉｑａｉｓｕｉｎｏｄｔｎｒｂａｄｆｒｔｌｂｌａｙｔｔｓｉｔｆｅｃｆｉａｏｉｉｎｈｃａｉ
情况没有加以阐述；而对于传染病在人口数量较大时往往采用双线性发生率较非线性发生率更容易接近实际情况。综合考虑了上述几种情形之后，在
Ｆｅｄａ提出了一种单种群传染病模型，ｒｍｎｅ并证明了该模型地方病平衡点存在唯一，且是全局渐近稳定的；文【］３讨论了一类具有标准发生率的ＳＩ型传染病模型的全局稳定性：
பைடு நூலகம்
井冈山大学学报（自然科学版）
地方病平衡点全局渐近稳定的充分条件，并进行了数值模拟。关键词：传染病模型；双线性发生率；平衡点；全局稳定性中图分类号：Ｏ２．２１２文献标识码：ＡＤＯ：．６／ｉｎ１７ — ０５２１．．５Ｉ０３９．ｓ．６４８８．１６０１９ｊｓ０００

一类具有标准发生率的SI型传染病模型的全局稳定性

维普资讯
第２０卷第２期
２００８年４月
军
械
工
程
学
院
学
报
Ｖ０．ＯＮｏ２１２．Ａｐ．２０ｒ，０８
ＪｕｎｌｏｒｎｎｅＥｇｎｅｉｇＣｌｇｏｒａｆＯｄａｃｎｉｅｒｎｏｌｅｅ
ｆ：Ｓ１）卢，ｒ一（一
【卢＝
条件。
。
应用微分方程定性理论，给出了该系统地方病平衡点、无病平衡点和总人口消亡平衡点的全局渐近稳定的充分关键词：Ｓ传染病模型；标准发生率；平衡点；全局稳定性Ｉ中图分类号：０７．２１５１文献标识码：Ａ
Ａｂｔａｔ：Ａｎ５ｐｄｍｉｏｅｔｔｎｒｎｉｅｃａｅａｏｌｗＳｉｖｓｉａｅｓｒｃ１ｅｉｅｃｍｄｌｗｉｓａｄａｄｌｃｄｎｅｒｔｓｔｌｏｌｎｅｔｇｔｄ．ｈ
ｆ＝（）卢，？ｒ１ｔＳ一一【卢卅。＝
文章编号：１０２５（０８２— ０２— ４０８— ９６２０）００７０
一
类具有标准发生率的Ｓ型Ｉ传染病模型的全局稳定性
杜艳可，徐瑞
（军械工程学院基础部，河北石家庄０００）５０３
摘要：研究如下一类具有标准发生率的Ｓ型传染病模型Ｉ
项目来源：军队科研计划项目
作者简介：杜艳可（９７１７一），女，硕士，讲师
卢卅，
ｌ㈩
Ｊ
式中：（），ｔ分别为ｔＳｔ，（）时刻易感者和染病者的数

具有饱和发生率的SIRS传染病模型的稳定性_崔倩倩

ＳＩＲＳ型传染病模型如下：
烄ｄＳｄｔ（ｔ）＝ａＡ－１β＋ＳαＩＩ＋δＲ－ｄＳ，烅ｄＳｄｔ（ｔ）＝ｂＡ＋１β＋ＳαＩＩ－（μ＋γ＋ｄ）Ｉ，烆ｄＳｄｔ（ｔ）＝ｃＡ＋γＩ－（δ＋ｄ）Ｒ，
（２）
式（２）中：１β＋ＳαＩＩ为染病者的饱和发生率，ｄ为自然死
亡率系数，μ 为因病死亡率系数，γ 为恢复率系数，δ 为失去免疫率系数，且这里假设参数ｄ、μ、δ、Ａ、β、γ 都是正整数，分别具有一定的生态意义。
地方病平衡点Ｅ＊（Ｓ＊，Ｉ＊，Ｒ＊）在βＡ／［ｄ（１＋αＩ＊）（μ＋ γ＋ｄ）］≤１条件下是全局渐近稳定的。
定理２得证。
４结语
１）本文研究了一类各类都具有常数输入且具有饱和发生率的ＳＩＲＳ传染病模型，由于各类都具有常数输入，因此模型（２）总存在地方病平衡点，不存在无病平衡点，即当感染者具有人口输入时，此类疾病在本地区一直存在，成为流行病，无法消除，且当
衡点，只存在相应于疾病流行的地方病平衡点，可记
为Ｅ＊（Ｓ＊，Ｉ＊，Ｒ＊）。
定理１：模型（２）不存在无病平衡点，总存在地
方病平衡点Ｅ＊（Ｓ＊，Ｉ＊，Ｒ＊），其中
Ｓ＊
＝
（１＋ａＩ＊
）（（μ＋γ＋ｄ）Ｉ＊ βＩ＊
－ｂＡ），
Ｒ＊＝ｃＡδ＋＋γｄＩ＊，且Ｉ＊是方程［－δ（μ＋ｄ）－
证明：由于地方病平衡点Ｅ＊（Ｓ＊，Ｉ＊，Ｒ＊）满足方程（４），则模型（２）等价于下面模型

一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题共3篇

一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题共3篇一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题1一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题随着全球各地出现新型传染病的不断增多，防控传染病的研究成为了热点问题。

传染病模型是目前研究传染病防控的重要手段之一。

其中，SIR模型被广泛应用于传染病的研究中。

本文将从SIR模型的稳定性出发，进行一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题的探讨。

首先，我们介绍一类传染病模型的基本形式。

该模型包括三个部分：易感人群（S）、感染人群（I）和恢复人群（R）。

我们假设人口总数为N，初始时刻t=0时，有s0个易感人群、i0个感染人群和r0个恢复人群。

在接下来的时间内，易感人群可能感染，成为感染人群；感染人群可能恢复，成为恢复人群。

因此，易感人群的人数变化率为-dSI/dt，感染人群的变化率为dSI/dt-dIR/dt，恢复人群的变化率为dIR/dt。

其中，d表示变化速率，I=I(t)、R=R(t)、S=S(t)。

我们可以得到以下方程：dS/dt=-βSI/NdI/dt= βSI/N-γIdR/dt= γI其中，β表示感染人群对易感人群传播病毒的速率；γ表示感染人群从感染状态到康复状态的速率。

当病毒传染率和治愈率确定后，模型的稳定性成为了一个重要的问题。

对于该模型的稳定性分析，我们引入李雅普诺夫函数法，采用线性稳定性分析，得到以下结果：当易感人群初始密度大于R0时，该模型为不稳定模型，传染病会持续地传播；当易感人群初始密度小于R0时，该模型为稳定模型，传染病将最终消失。

其中，R0=βN/γ表示病毒的基本再生数，即每个感染者能将该病毒传染给多少个易感者。

在了解该模型的稳定性后，我们进一步探讨如何最优地控制传染病的传播。

最优控制是指通过合理的控制策略来使系统达到最优状态的问题。

本问题中，最优控制即使得病毒传播最小的控制策略。

我们将控制方案分为两种：一是加强个人防护措施，减少感染率β；二是提高诊治能力，加快病人康复速度γ。

一类具有阶段结构的SIS传染病模型的稳定性

将Ｅ‘代人，可得
ｔ（）＝一（＋）＋一 ‘一２，ｒＥ‘ Ｊ口＋ ‘一（０＋ｂ＋ｃ）＝
３无病平衡点稳定性讨论
定理２当尺。≤ １时，无病平衡点（ｏ０Ｘ，）局部渐近稳定。
一
（＋口
—
对系统（）行无量纲变换，＝，＝Ｙ１进ＸＳｌ
２，＝Ｙ
Ⅳ
，
则＋Ｓ＋，＝１．再将Ｓ＝１一Ｘ一，人代
原系统（）则系统转化为等价形式１，
ｆ＝ｔ一（ｔ＋ｃ）一口Ｘｔｔ＋，垒ｅ（，ｘ，）Ｉ ’＝８ｌ一８ｌ一８一（ｘ０＋ｂ＋ｃＩ垒Ｑ（Ｉ）ｘ，
，＝－一 ‘一 ± ‘ —
，
部渐近稳定。
证
＝
系统在Ｅ‘处的Ｊｅｂ矩阵为ａｏｉ
ＪＥ‘ （）＝
１一
ｉ ±垒２ ± ± ２ ± （
（＋）。
、 ’ 。（一。一一一＋＋） ‘ ‘ ‘ ０）（ｂｃ。＋＋，
目。ｔ，，，ｂ为正常数，ｔ幼年出ｔ，０，ｃ，均ｔ为生率，为幼年死亡率，表示单位时间内幼年成长
２００８年３月４日收到
定１假＝理设
对于系统（）有：３式
乏
，
１系统（）总存在无病平衡点Ｅ（ｏ０）３式ｏＸ，），
年，在不同阶段会表现出不同的特性。近些年来，
分别表示疾病的传染率和恢复率，表示染病者的ｂ

几类传染病模型的稳定性分析

摘要传染病模型是生物数学研究的主要内容，运用传染病动力学知识，建立传染病数学模型，并进行数值模拟，得到传染病的传播规律，分析传染病爆发和流行的主要原因，从而找到预防传染病的最好方法。

本文的主要研究内容如下：首先，建立了一类具有CTL 免疫的乙肝病毒模型，研究分析了该模型的平衡点的动态稳定性，利用谱半径的方法求出基本再生数0R 。

当01R ≤时，通过构造Lyapunov 函数，利用Lassalle 不变性原理验证了系统无病平衡点的局部稳定性；当01R >时，研究分析了系统地方病平衡点的局部渐近稳定性。

再通过选取恰当的参数进行数值模拟验证了理论结果。

其次，研究了一类具有时滞和饱和发生率的乙肝病毒模型，考虑到感染细胞的恢复率，分析确定了疾病是否流行的阈值0R ，通过构造Lyapunov 函数，利用Lassalle 不变集原理证明了当01R <时，对于任意时滞，系统在无病平衡点处是全局渐近稳定的；当01R >时，分析了地方病平衡点的局部渐近稳定性。

再通过选取恰当的参数进行数值模拟验证了理论结果。

最后，研究了一类带有接种的非线性发生率的传染病模型，分析了该模型的平衡点的动态稳定性，得到了疾病流行与否的阈值0R 。

假设所有输入者都是易感者，当01R <时，通过构造Lyapunov 函数，验证了无病平衡点的全局渐近稳定性；当01R >时，利用Hurwitz 判据证明了地方病平衡点的局部渐近稳定性。

再通过选取恰当的参数进行数值模拟验证了理论结果。

关键词：传染病模型，HBV ，时滞，Lyapunov 函数，稳定性ABSTRACTInfectious disease model has been the main content of mathematical biologyresearch, based on the dynamic analysis and numerical simulation can show the process of development of infectious diseases, propagation reveal and prediction of infectious diseases, analysis of the causes of disease outbreaks and the key factors, so as to find the optimal strategy for the prevention and control of infectious disease. The main contents of this paper are as follows:Firstly, a kind of hepatitis B virus model with CTL immunity is established, andthe dynamic stability of the equilibrium point is analyzed, the threshold of disease prevalence is obtained, that is, the basic reproduction number 0R . When 01R ≤, by constructing Lyapunov function, it is proved that the disease -free equilibrium is globally asymptotically stable by using Lassalle invariance principle;When 01R >, the system has a unique endemic equilibrium and is locally asymptotically stable at the local equilibrium point. Then, the theoretical results are verified by numerical simulation with appropriate parameters.Secondly, a class of hepatitis B virus model with delay and saturation incidence isstudied. Considering the recovery rate of infected cells, the threshold of disease is determined 0R , by constructing Lyapunov function, The Hurwitz criterion is used to prove when 01R <, for any delay, the disease -free equilibrium is globally asymptotically stable, at this point the disease died out. When 01R >, the system has a unique endemic equilibrium and is locally asymptotically stable at the local equilibrium point. Then, the theoretical results are verified by numerical simulation with appropriate parameters.Finally, an epidemic model with nonlinear incidence rate is studied,the dynamicstability of the equilibrium point of the model is obtained, the threshold of disease is determined 0R .Assume that all inputs are susceptible, When 01R <, by constructing Lyapunov function, it is proved that the disease -free equilibrium is globally asymptotically stable; When 01R >, the system has a unique endemic equilibrium and is locally asymptotically stable at the local equilibrium point. The theoretical resultsKey words: Infectious disease model, HBV, delay, Lyapunov function, stability目录第一章引言 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 国内外研究现状 (2)1.3 主要研究内容 (4)1.4 知识预备 (5)1.4.1 Hurwitz判据 (5)1.4.2 Lassalle不变性原理 (5)第二章一类具有CTL免疫的乙肝病毒模型的稳定性分析 (7)2.1模型的建立 (7)2.2平衡点和基本再生数 (8)2.3无病平衡点的局部和全局稳定性 (8)2.4地方病平衡点的局部渐近稳定性 (10)2.5数值模拟 (11)2.6 本章小结 (14)第三章具有时滞和饱和发生率的乙肝病毒模型的稳定性分析 (15)3.1模型的建立 (15)3.2平衡点和基本再生数 (16)3.3无病平衡点的局部和全局稳定性 (16)3.4地方病平衡点的局部稳定性 (19)3.5数值模拟 (21)3.6本章小结 (25)第四章带有接种的非线性发生率的传染病模型的稳定性分析 (26)4.1 模型的建立 (26)4.2模型的分析 (26)4.3 无病平衡点的稳定性 (27)I4.3.2 无病平衡点的局部以及全局稳定性 (27)4.4地方病平衡点的局部稳定性 (29)4.5数值模拟 (31)4.6本章小结 (32)结束语 (33)参考文献 (34)攻读硕士学位期间研究成果 (39)致谢II第一章引言1.1 研究背景传染病[1-3]，人类文明的产物，并对人类文明产生了巨大而深刻的影响，比起历史上一些大的战争、暴乱等，传染病的影响可能更甚。

一类具有饱和发生率的SEIS传染病模型全局稳定性研究

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ａｎＳＥＩＳｅｐｉｄｅｍｉｃｍｏｄｅｌｗｉｔｈａｓａｔｕｒａｔｉｏｎｉｎｃｉｄｅｎｃｅｒａｔｅａｎｄｃｏｎｓｔａｎｔｒｅ — ｃｒｕｉｔｍｅｎｔｓｂｏｔｈｆｏｒｔｈｅｓｕｓｃｅｐｔｉｂｌｅｓａｎｄｔｈｅｅｘｐｏｓｅｄｉｎｄｉｖｉｄｕａｌｓｉｓｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ａｆｔｅｒｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ，ｗｅｇｉｖｅｔｈｅｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｆｏｒｔｈｅｂａｓｉｃｒｅｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｎｕｍｂｅｒｏｆｔｈｅｍｏｄｅｌ，ａｎｄｉｔｉｓａｌｓｏｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｔｈｅｍｏｄｅｌｈａｓａｕｎｉｑｕｅｅｎｄｅｍｉｃｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｉｆｔｈｅｂａｓｉｃｒｅｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｎｕｍｂｅｒｉｓｇｒｅａｔｅｒｔｈａｎｕｎｉ — ｔｙ．ＷｉｔｈｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｅｑｕａｔｉｏｎａｎｄＨｕｒｗｉｔｚｃｒｉｔｅｒｉｏｎ，ｔｈｅｌｏｃａｌｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｅｎｄｅｍｉｃｅｑｕｉｌｉｂｒｉ — ｕｍｉｓａｎａｌｙｚｅｄ．Ｕｓｉｎｇｔｈｅｓｅｃｏｎｄａｄｄｉｔｉｖｅｃｏｍｐｏｕｎｄｍａｔｒｉｘｔｈｅｏｒｙ，ｔｈｅｇｌｏｂａｌａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｅｎｄｅｍｉｃｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｉｓａｌｓｏｄｅｒｉｖｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓａｔｕｒａｔｉｏｎｉｎｃｉｄｅｎｃｅ；ｅｐｉｄｅｍｉｃｍｏｄｅｌ；ｅｎｄｅｍｉｃｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ；ｂａｓｉｃｒｅｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｎｕｍｂｅｒ

一类具有年龄结构的传染病模型稳定性分析

瑞典病理学家福克汉切说过：人类的历史即 “ 是疾病的历史 ” 的确，类自诞生之日起，开始．人就了与疾病斗争的历程．染病大流行伴随人类文明传进程而来，并对人类文明产生深刻和全面的影响．
面对猖獗的瘟疫，类很早就开始进行不屈的抗人
阶段的标准发生率的Ｊ，Ｓ５模型．论了模型无病平衡点和地方病平衡点的存在性和全局稳定性．ｓ。讨
给出疾病流行与否的阈值．
关键词：年龄结构；染病模型；分传平衡点；局渐近稳定性全
ＺＨＡＮＧ，ＡＮＧＹｕＷＨｕｉ
（．ＨｒｉＵｉｒｔｏＣｍｍｒｅＨｒｉ１０２，ｈｎ；１ａｎｎｅｓｙｆｏｅｃ，ａｎ５０８Ｃｉａｂｖｉｂ
２ａｂｏｍｌｎｅｓｙａｉ１０２，ｈｎ）．ＨｒｉＮｒａＵｉｒｔ，Ｈｒｎ５０５Ｃｉａｎｖｉｂ
同时，论了模型无病平衡点和地方病平衡点的存讨在性和全局稳定性，给出了疾病流行与否的阈并
值．
１标准接触率的Ｓ，：型ＳＳ模
ｌ￥ｆｌ１ｌ
＝一
一
争．对传染病的研究中发现有些传染病，呼吸在如道支原体感染、日咳、百白喉、痘等，水它们多在儿童中传播，成年人中很少或基本不传播 … ．伤在而寒、副伤寒、吸虫病，血钩端螺旋体病等多在成年人群中传播，因此对具有年龄结构的传染病模型进行

一类具有饱和传染率的SVEIR传染病r模型的定性分析

一类具有饱和传染率的SVEIR传染病r模型的定性分析吴梦媛;孙法国;陈瑶【摘要】建立带有接种的SVEIR传染病模型,得到基本再生数R 0,并讨论平衡点的存在性.通过构造Lyapunov函数及利用LaSalle不变原理,研究连续接种对传染病传播的影响.发现传染病模型的全局稳定性由基本再生数R 0决定,当R 0<1时,无病平衡点全局渐近稳定.当R 0>1时,地方病平衡点全局渐近稳定.接种是控制疾病传播的有效途径.%The SVEIR infectious disease model with vaccination is established,the basic repro-duction number is obtained,and the existence of the equilibrium point is discussed.The effects of continuous vaccination on infectious diseases by constructing Lyapunov function and the La-Salle's invariance principle.It is pointed out that the basic reproduction number R 0 determines the global stability of the epidemic model.When R 0 <1,the disease-free equilibrium is globally asymptotically stable.When R 0 > 1,the endemic equilibrium is globally asymptotically stable. The results show that continuous vaccination is an effective way to control the disease.【期刊名称】《西安工程大学学报》【年(卷),期】2017(031)005【总页数】7页(P706-712)【关键词】连续接种;饱和发生率;基本再生数;全局稳定性【作者】吴梦媛;孙法国;陈瑶【作者单位】西安工程大学理学院,陕西西安 710048;西安工程大学理学院,陕西西安 710048;西安工程大学理学院,陕西西安 710048【正文语种】中文【中图分类】O175利用数学模型来描述传染病的发展动态是一种应用广泛的方法,其中接种是预防和控制疾病传播最有效的方法之一[1-4].文献[5-7]假设个体接种后会具有终身免疫,即终生不会被感染.但对于麻疹、风疹、百日咳等疾病,个体接种后获得的免疫力会逐渐下降,且随着免疫力的丧失,接种者会再次成为易感者,因此需要对个体进行连续接种.文献[8-10]均考虑到免疫丧失这一因素，研究了简单的SIV传染病模型,文章考虑的免疫丧失率为常数.考虑到免疫完全丧失是个逐渐积累的过程,在此基础上,文献[11-15]把免疫的丧失看作一个连续变化的函数进行研究.文献[11]研究了带有接种的SIS传染病模型,结果表明在有限的医疗设施情况下,通过免疫接种来降低阈值R0的值,对未曾接种的易感者以及接种失败者会带来较高的危险.因为随着医疗的发展,对人群进行连续接种也变得普遍,所以在较大程度上解决了文献[11]提出的风险,故考虑连续接种是有必要的.因为人群的密集及疾病的传染力不同,其用到的传染率系数也会发生变化.双线性和标准型是两种典型的传染率,双线性发生率一般针对于人口数量较小、传染性很强的疾病,例如H5N1、SARS、手足口病等,考虑到单位时间内一个病人所能接触到的人口数目是有限的,这样与人口成正比的接触率就不符合实际情况,所以文献[16-18]分别运用不同类型的发生率来建立模型.文献[19]研究了具有接种的SVEIR模型的传染病,由于其未考虑免疫丧失的连续性这一条件,故在以上文献的启发下,本文研究了一类具有饱和发生率的SVEIR传染病模型,并且把免疫的丧失看作一个连续变量来考虑.假设把总人口N(t)分为易感者、接种者、潜伏者、感染者和恢复者5个仓室,分别用S,V,E,I,R表示.在t时刻易感者、接种者、潜伏者、感染者以及恢复者人群的数量分别用S(t),V(t),E(t),I(t)和R(t)表示.根据疾病的传播机理建立式(1)的SVEIR传染病模型：其中:在模型中,Λ表示该人群的常数输入率,且假设输入的都是易感者;μ表示个体的自然死亡率;ξ表示易感者的接种率;V(θ,t)表示在t时刻接种仓室内接种年龄的密度分布,即t时刻接种者仓室里的接种总人口是V(θ,t)dθ.α(θ)表示免疫丧失率,α(θ)=0时表示接种完全有效,这里假设0<α(θ)<1,也就是说接种不是完全有效的,进而需要对接种者进行连续接种;δ表示潜伏者成为感染者的转化率;pγ表示感染者因病毒导致的死亡率;(1-p)γ表示感染者的恢复率,其中0<p<1,其它各项参数均为正常数.利用Volterra积分方程,令系统(1)的第二个方程沿着特征线t-θ=c(c为常数)积分,得其中：考虑到实际意义,只对t>θ≥0进行研究.由文献[20]知系统(1)中的第一个方程式可写为其中：Γ(θ)=ξα(θ)Γ0(θ).模型(1)的动力学性态等价于为了在后面的讨论中方便,做以下的记号:Γ0的生物学意义是接种者在V仓室里的平均时间.接种者以两种方式离开V仓室:自然死亡μ Γ0和免疫力完全丧失1-μΓ0,其中ξ(1-μ Γ0)是由于免疫力丧失进入易感者仓室的人均比率.令N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+V(θ,t)dθ,则满足条件(2)时有≤A-dN,且由此知模型(5)的正向不变集为以下的讨论都是在可行域W中进行.由文献[21]可以求出模型(5)的基本再生数R0=.定理1 模型(5)始终存在一个无病平衡点P0(S0,0,0);当R0>1时,模型(5)在W的内部还存在唯一的地方病平衡点P*(S*,E*,I*).证明很容易看出,模型(5)总存在一个无病平衡点P0=(S0,0,0),其中S0=;地方病平衡点P*(S*,E*,I*)满足方程组由方程组(7)的第2和第3个方程式,得把式(8)带入模型(7)中第1个方程记由表达式知g(I)在[0,+∞)关于I单调递减,且有所以R0<1时,g(I)<0,方程(9)无正解,从而模型(5)仅存在无病平衡点P0;R0>1时,g(I)存在唯一的正解I*.结合式(11)和(12)可知模型(5)在区间上有唯一正平衡点P*=(S*,E*,I*).定理2 当R0<1时,模型(5)的无病平衡点在W上全局渐近稳定;当R0>1时,模型(5)的无病平衡点在W上不稳定.证明方程组(5) 在无病平衡点处的雅克比矩阵为其特征方程为记由根与系数的关系知:当R0>1时,二次函数H(λ)=0至少有一个正实根,故无病平衡点P0不稳定;当R0<1时,二次函数H(λ)=0只存在负实根.假设λ+μ+ξ-exp(-λθ)Γ(θ)dθ=0有正实根.由Γ(θ)和Γ0(θ)的表达式知：这是矛盾的,故式(13)的所有特征根均具有负实部.因此当R0<1时,在W中是局部渐近稳定的.假定(S(t),E(t),I(t))是满足方程组(5)以及初始条件的任意解.考虑函数由g(x)=x-1-lnx≥0(x∈R+)知,则在P0处是正定的.构造Lyapunov函数利用等式则L1关于式(5)的全导数为把Λ=(μ+ξ)S0-Γ(θ)S0dθ带入,得因为ln-+1≤0(当且仅当S(t-θ)=S(t)时等式成立),所以当R0<1时<0,且在其最大不变集W内有唯一解{P0}.由LaSalle不变原理知无病平衡点是全局渐近稳定的. 定理3 当R0>1时,模型(5)的地方病平衡点P*(S*,E*,I*)在W上全局渐近稳定.证明设(S(t),E(t),I(t))是系统(5)的任意正解.考虑正定函数:构造Lyapunov函数:θ.L2关于式(5)的全导数为其中：Λ=+(μ+ξ)S*-Γ(θ)S*dθ, =(μ+δ)E*, δE*=(μ+pγ)I*.由>,+·++≥4和1+lnx-x≤0可知,当且仅当S(t)=S*,E(t)=E*,I(t)=I*和θ=0时等式成立.综上可知≤0,且只有在地方病平衡点P*(S*,E*,I*)处等式成立.在中P*(S*,E*,I*)是唯一的正平衡点,由LaSalle不变原理知在R0>1时地方病平衡点P*是全局渐近稳定的.取疾病的饱和发生率中m=0.001,对此模型进行数值模拟.首先取参数Λ=1,μ=0.02,ξ=0.95,Γ0=0.1,β=0.000 003,δ=0.01,α=1.01,γ=0.000 4.由定理2可知,无病平衡点全局渐近稳定.在图1中,取不同初始值做数值模拟,不难看出无病平衡点是全局渐近稳定的.令β=0.000 3,μ=0.046,ξ=0.05,δ=0.001,其他参数不变,由定理3可知,地方病平衡点全局渐近稳定.在图2中,取不同初始值做数值模拟,易看出地方病平衡点是全局渐近稳定的.本文讨论了接种以及免疫丧失对传染病的影响,给出了基本再生数R0的具体表达式,并且证明当R0<1时无病平衡点全局渐近稳定;当R0>1时地方病平衡点全局渐近稳定.无接种时基本再生数RNV=,通过比较可知R0<RNV.因为基本再生数代表着一个病人在平均患病期内所传染的人数,由两者的大小关系可知接种能够有效减小基本再生数,所以接种是控制疾病传播的有效途径.数值实验说明,通过适当的调整参数,可以得到无病平衡点和地方病平衡点的稳定性.E-mail:****************WU Mengyuan,SUN Faguo,CHEN Yao.An analysis of a SVEIR epidemic model with saturation incidence rate[J].Journal of Xi′an Polytechnic University,2017，31(5)：706-712.【相关文献】[1] HABER M,LONGINI I M,HALLORAN M E.Measures of the effects of vaccination in a randomly mixing population[J].International Journal of Epidemiology,1991,20(1):300-10.[2] SHULGIN B,STONE L,AGUR Z.Pulse vaccination strategy in the SIR epidemicmodel[J].Bull Math Biol,1998,60(6):1123-1148.[3] IANNELLIA M,MARTCHEVAB M X.Strain replacement in an epidemic model with super-infection and perfect vaccination[J].Mathematical Biosciences,2005,195(1):23-46.[4] COUTINHOABREU I V,RAMALHOORTIGAO M.Transmission blocking vaccines to control insect-borne diseases-a review[J].Memorias Do Instituto OswaldoCruz,2010,105(1):1-12.[5] PEI Y Z,LIU S Y,CHEN L S.Two different vaccination strategies in an SIR epidemic model with saturated infections force[J].International Journal of Biomathematics,2012,1(2):147-160.[6] BUONOMO B,D′ONOFRIO A,LACITIGNOLA D.Global stability of an SIR epidemic model with information dependent vaccination[J].Mathematical Biosciences,2008,216(1):9-16. 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一类潜伏期传染的SEIR模型稳定性分析

探索与争鸣221科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATIONDOI：10.16661/ki.1672-3791.2103-5042-3263一类潜伏期传染的SEIR模型稳定性分析①豆中丽(重庆财经学院重庆 401320)摘要：该文以一类具有标准发生率且潜伏期具有传染性的SEIR传染病模型为研究对象，首先通过计算得出决定疾病灭绝或持续存在的基本再生数、模型存在的无病平衡点和地方病平衡点，其次运用LaSalle不变集原理和构造适当的Lyapunov函数，证明当R 0<1时，无病平衡点的局部和全局渐近稳定，此时流行病将会逐渐趋于灭绝而不会大规模爆发。

关键词：基本再生数标准发生率潜伏期 Lyapunov函数全局渐近稳定中图分类号：O175.1 文献标识码：A文章编号：1672-3791(2021)03(b)-0221-03Stability Analysis of SEIR Model for a Class of LatentInfectionDOU Zhongli(Chongqing Finance and Economics College, Chongqing, 401320 China)Abstract : In this paper, we study a class of a standard incidence of SEIR epidemic model of the incubation period is contagious, f irst of all, calculated decision to extinction or persistent disease basic reproductive number of disease-free equilibrium and the endemic equilibrium model, then using the LaSalle invariant set principle and constructing suitable Lyapunov function, proved that, When R o <1, the local and global asymptotic stability of the disease-free equilibrium and the epidemic will gradually become extinct without large outbreaks.Key Words : Basic regeneration number; Standard incidence rate; Incubation period; Lyapunov function; Globally asymptotic stability①基金项目：重庆市教委科技创新项目（项目编号：KJQN201902105）。

一类具有饱和发生率的SEIR模型的稳定性

一类具有饱和发生率的SEIR模型的稳定性杨彩虹;胡志兴【摘要】讨论了一类具有垂直传染与饱和发生率的 SEIR 模型的稳定性，考虑了接种免疫对传染病传播的影响。

通过计算得到模型的基本再生数 R0，证明了当R0≤1时，无病平衡点是局部渐近稳定和全局渐近稳定的。

利用 Hurwitz 判据和第二加性复合矩阵证明了当 R0＞1时，地方病平衡点是局部渐近稳定的，且在一定条件下是全局渐近稳定的。

【期刊名称】《河南科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(038)001【总页数】6页(P78-83)【关键词】垂直传染;饱和发生率;SEIR;稳定性【作者】杨彩虹;胡志兴【作者单位】北京科技大学数理学院，北京 100083;北京科技大学数理学院，北京 100083【正文语种】中文【中图分类】O175传染病严重威胁人类健康，所以对传染病模型的研究越来越得到人们的重视，而且近20年来的研究也取得了显著成果。

比较简单的传染病模型有易感者-患病者(susceptible-infectious，SI)模型、易感者-患病者-康复者(susceptible-infectious-recovered，SIR)模型和易感者-潜伏者-患病者-康复者(susceptible-exposed-infectious-recovered，SEIR)模型等仓室模型。

文献[1-2]对具有饱和感染率、饱和治愈率以及垂直感染的SIR传染病模型进行了研究,这类模型将人口种群分为易感者S、患病者I和康复者R，简称SIR模型，研究发现：系统会出现后向分支和hopf分支，并分析了此类传染病的传播过程和预防治疗方向。

然而现实生活中有些传染病是具有潜伏期的，一般将携带病毒但没有发病的人群记为潜伏者E，对这类传染病可建立SEIR仓室模型。

文献[3]分别对SIR模型和SEIR模型进行了讨论，发现虽然SEIR模型比SIR模型复杂，但研究方法和结果有许多相似之处，而且当具有线性治愈率时，系统仅存在无病平衡点和一个地方病平衡点，当然也存在众多差异。

一类具有标准发生率的SIR传染病模型的全局分析

ＪＭｘ（）一－＃－
ｔＪ（１一一ｒＭ）
＂－２
）
＃］Ｉ
一（＋￡）一（＋６）＜０
ｄｔ（／）一ｒｅ／￣Ｊｖ
一一
＋（＋ｅ］＋６一ｅ卢）（）（
一一
２．）ｒ
手＋）０（ｃ＜
Ｊ＝０垒
Ｄ＝ｆｓＩＩ（，）ｓ≥ ０ ≥ ０ｓＩ１，，十 ≤ ｌ
２平衡点的存在性
＋：一妻： ±
＋ｅ（＋６））一
令系统（）右端等于零易得系统有两个平衡２
由Ｒ＜１可得。
＞０特征方程有两个负，
准发生率的ＳＲ传染病模型。借助再生矩阵求得了模型的基本再生数，讨论了平衡点的存在性Ｉ并
和全局稳定性。
关键词：染病模型；衡点；局稳定性传平全中图分类号：７Ｏ１５文献标识码：Ａ文章编号：０６—７５２１）５０６－０１０３３（０１０－０１２
１模型
点：Ｏ０，。ＳＩＭ（，）Ｍ（，）
建立传染病动力学模型对传染病的流行规律
进行定性定量的研究是一种重要方法。本文研究的是具有标准发生率的ＳＲ模型，（）Ｙ（）Ｉ￡，￡，Ｙ（）分别表示ｔ刻易感者和两类染病者的人￡时

一类具有标准发生率的SIR传染病模型的全局分析

收稿日期：２０１１－０７－０５．，作者简介：徐娟（女，江苏高邮人，在读硕士研究生，助教，研究方向：常微分方程．１９８２－）
６１
第２４卷第５期２０１１年１０月
高等函授学报（自然科学版）（）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｉｈｅｒＣｏｒｒｅｓｏｎｄｅｎｃｅＥｄｕｃａｔｉｏｎＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓｇｐ
ｘｙ２）＝Ａ－μ 烄ｘ ′（ｔｘ－β Ｎｘｙ２烅 ′ ｘ）＝β －μ ｙｙ１－ε ｙ１１（Ｎ ′ ｘ）＝ε ｙ１－μ ｙ２－ｂｙ２２（烆ｙ
因病死亡率， ε 为ｙ１类向ｙ２类的转化率。对系统进行无量纲变换：（）１
其中Ａ为种群输入率，ｂ为 μ 为自然死亡率，
１模型建立传染病动力学模型对传染病的流行规律进行定性定量的研究是一种重要方法。本文研究），），的是具有标准发生率的ＳＩＲ模型，ｘ（ｔｔｙ１（）分别表示ｔ时刻易感者和两类染病者的人ｔｙ２（数，且ｙｙｙ１染病但不具传染力，２具有传染力，１会向ｙ２转化。
［
］
（）（ｄｅｔＪ（Ｍ１）＝［Ｉ＊＋（－ε ］ β μ＋ε μ＋ｂ） β ＊＊）Ｓ２ＳＩ－β － β ）（ ε－（ μ＋ε μ＋ｂ））（＋（＝ β － μ＋ε μ＋ｂ）ｂ ε ＋＋ μ ２） ε（－（ β μ＋ｂ） μ＋ｂ）（ μ＋ε ［－ ε β－（）ｂ＋＋ ε ε μ

一类具有阶段结构的SIRS传染病模型的稳定性

１平衡点的存在性
令系统（）的四个方程右边等于零，而１中从
）（一））Ｔ）＝ｙ一㈩一ｘ
｛１ｔ＝Ｘ一ｙ（）２ｔ＋ｃ２），（）Ｙ（）Ｃ，）Ｂ１ｔｙ（）ｙ（＋，ｔＯ（３
ｌｔ＝ｙ（）２ｔ一Ｔ２ｔ一ｃ２ｔ一２ｔＹ（）１１ｙ（）Ｙ（）ｙ（）ｙ（）２３
一
类具有阶段结构的ＳＲＩＳ传染病模型的稳定性
于宇梅，张秋娟
（大连交通大学理学院，宁大连１６２）辽１０８
摘
要：建立了一类具有阶段结构并且含有出生函数的ＳＲＩＳ传染病模型，通过定性分析，得到了传染病
Ｗｄ＋卢Ｗ＋卢Ｗ８＋２ｄｙ＋２ｄｔ＋卢８＋。ｏ＋２ｙｏ２卢ｔ＋
４ｙｏｔｄ＋４ｔ卢ｙ８＋３ｄｏｙ６＋２ｄ）＋卢ｔ８ｏ（２。／ｙ＋２ｙ）（卢３
北京：科学出版社，０１２０．
Ｈ３＋）ＴＹ＞０（ｄｆ２ｌ
由ＲｕｈＨｒｉ定理可知，方病平衡点ｏｔ— ｕｗｔｚ地
局部渐近稳定的．
是
ＳｔｂｌｔｆＡＲＳＥｐｉｍｉｏｅｔｔｇ－ｔｕｃｕｅａｉｉｙｏＳＩｄｅｃＭｄｌｗｉｈＳａｅＳｒｔｒ
＝
３结论
本文建立了一类具有阶段结构并且含有出生
１ａ２
４
０ａｌａ３

一类具有阶段结构的自治传染病模型的稳定性

统（）１等价于模型
ｆ＝２一ｙ一卢）２（＋）３Ｐｘ，３；【（＋＋）（一一［ａｘ］（２）ｌＢ３－￣ｘ／、
ｌ＝—３一ｔ＋３垒（）（ｏ２ｏ）Ｑ，３；ｘ￣
系统（）３的正向不变集
假设
维普资讯
第３期
程晓云，胡志兴：一类具有阶段结构的自治传染病模型的稳定性
ｔ（ｏ＝１ — ）＋）３ｋ２０ｒＥ）￣（一一口ｘ１一３，Ｊ－＜
将ｋｘ（＋ｘ）＝，ｋａ，代人上式得
程晓云．志兴胡
（京科技大学数学系，京１０８）北北００３摘要：究了一类具有阶段结构的传染病模型，到了各类平衡点存在的阈值条件，研找并讨论
了各平衡点的稳定性．
关键词：传染病模型；平衡点；局部渐近稳定；局渐近稳定；全阈值
示疾病的传染率和恢复率，表示单位时间内幼年成长为成年的转化率，表示染病者的因病死亡率，表示Ｏ／ｄ
自然死亡率，且假设所有参数均为正值．
设总人口 Ⅳ ｜，ｌ且满足方程＝＋＋，Ｓ
＝一
，．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（）２
对模型（）１和方程（）２进行变换，ｘ＝／＝／＝／则概２＝．将－＝：，Ａ（）（）于是系有￣ＳＮ，Ｉ，ｙＮ，Ｎ，概，１％１代１１和２，
此等式显然不成立，矛盾．

一类具有时滞的传染病模型Hopf分支及稳定性分析

第35卷第1期2021年2月南华大学学报(自然科学版)Journal of University of South China(Science and Technology)Vol.35No.1Feb.2021收稿日期:2020-08-24基金项目:湖南省自然科学基金项目(2020JJ4516);湖南省教育厅重点项目(17A181)作者简介:张露露(1996 ),女,硕士研究生,主要从事微分方程方面的研究㊂E-mail:2234472312@㊂∗通信作者:廖茂新(1969 ),男,教授,博士,主要从事微分方程方面的研究㊂E-mail:841139745@DOI :10.19431/ki.1673-0062.2021.01.012一类具有时滞的传染病模型Hopf 分支及稳定性分析张露露,廖茂新∗,邓兴颖(南华大学数理学院,湖南衡阳421000)摘㊀要:研究了一类具有非线性传染率的传染病模型,确定了模型的基本再生数R 0,分析了模型无病平衡点和地方病平衡点的稳定性,以时滞为参数,得到了在地方病平衡点处Hopf 分支存在的条件㊁最后数值模拟以验证结果㊂关键词:Hopf 分支;时滞;平衡点;稳定性中图分类号:O175文献标志码:A文章编号:1673-0062(2021)01-0071-06Hopf Bifurcation and Stability Analysis of Epidemic Modelwith Time DelayZHANG Lulu ,LIAO Maoxin ∗,DENG Xingying(School of Mathematics and Physics,University of South China,Hengyang,Hunan 421001,China)Abstract :It studied an epidemic model with nonlinear infection rate was,determined the basic reproductive number of regenerations for the model,and analyzed the stability of the model disease-free balance point and the local disease balance point.The conditions forHopf bifurcation at the local disease balance point are obtained on the parameter of time delay,numerical simulation to verify the results.key words :Hopf bifurcation;delay;the balance point;stability0㊀引㊀言传染病是一类由病原体或寄生虫引起的一类疾病,部分传染病会长期伴随人类共存,而有些传染病会在有效的防治措施下逐渐消亡㊂[1]在人们与传染病的长期抗争过程中,研究者们逐渐发现,在人体受到感染后,感染初期并不会表现出任何的症状,在一定时间之后,某些症状才回逐步表现出来㊂[2-8]也就是说,在传染病的传播过程中,某时刻种群的变化除受当前状态影响外,也会收到此前时刻的某些因素的影响[9]㊂但在研究初期,研究者们一般未考虑到时间滞后的因素㊂我们在传㊀㊀㊀南华大学学报(自然科学版)2021年2月染病模型中将时滯因素考虑进来,可以更加精准的反应传染病的实际传播机理及传播形态,以帮助我们提出㊁制定更加有效的控制传播范围的措施[10-16]㊂在前人的基础上,本文研究了一类具有时滯和非线性传染率的传染病模型,研究了平衡点的稳定性,及Hopf 分支的存在㊂在传染病模型中引入时滯,用于模拟传染病的潜伏期,利用基本再生数R 0判断疾病在一段时间时间发展后是仍然流行或是最终消亡;发现了在一定的条件下,时滯的引入会导致系统出现周期解,地方病平衡点E ∗处出现Hopf 分支㊂本文在文献[10]的基础上,将传染率kSI1+αI 2改为kS 2I 并引入时滞,得到以下模型:Sᶄ(t )=b -dS (t )-kS 2(t -τ)I (t -τ)+rR (t )Iᶄ(t )=kS 2(t -τ)I (t -τ)-(d +u )I (t )Rᶄ(t )=uI (t )-(d +r )R (t )ìîíïïïï(1)式中:S (t ),I (t ),R (t )分别表示在t 时刻易感染人群㊁已感染人群和恢复人群的数量;k 是比例常数,b 为人口的新增率,d 为人口的自然死亡率,u 是已感染人群的自然恢复率,r 是恢复人群失去免疫力后重新成为易感染人群的比率㊂考虑到生物学意义,系统(1)的初始条件ϕ={ϕ1,ϕ2,ϕ3}满足C +={ϕɪC ([-τ,0]),R 3+},其中R 3+={(S ,I ,R )ɪR 3:S ȡ0,I ȡ0,R ȡ0},ϕi (0)>0,i =1,2,3㊂1㊀稳定性分析及Hopf 分支存在的条件经计算可得系统(1)总有一个无病平衡点E 0=(bd,0,0),当R 0>1时,系统(1)有一正平衡点E ∗=(S ∗,I ∗,R ∗),其中S ∗=d +u k,I ∗=(d +r )(b -dS ∗)d 2+dr +du,R ∗=u d +r I ∗㊂系统(1)总存在一个无病平衡点E 0=(b d,0,0),接下来算基本再生数,由系统(1)可知新增染病者矩阵F 与移出染病者矩阵V 分别为F =[kS 2ˑ(t -τ)]I (t -τ),V =(d +u )I (t ),且F ,V 在无病平衡点E 0处的Jacobi 矩阵分别为F (E 0)=b d,V (E 0)=d +u ,可到基本再生数为R 0=ρ(FV -1)E 0=kS 2(t )d +uE 0=kb 2d 2(d +u )(2)对系统(1)首先分析其在平衡点E 0处的稳定性㊂求得系统(1)的线性化矩阵为A =-d -2kI (t )S (t )e -λτ-kS 2(t )e -λτr2kI (t )S (t )e -λτ-(d +u )+kS 2(t )e -λτu-(d +r )()(3)特征矩阵为B =λI -A =λ+d +2kI (t )S (t )e -λτkS 2(t )e -λτ-r -2kI (t )S (t )e -λτλ+(d +u )-kS 2(t )e -λτ-uλ+(d +r )()(4)㊀㊀定理1:当R 0<1时,无病平衡点E 0是局部渐近稳定的;当R 0>1时,无病平衡点E 0是不稳定的㊂证明:在无病平衡点E 0=(bd,0,0)处的特征方程为B 0=λ+d kS 2(t )e -λτ-r 0λ+(d +u )-kS 2(t )e -λτ-u +fλ+d +r()=(λ+d )[λ+(d +u )-kS 2(t )e -λτ](λ+d +r )=f (λ)27第35卷第1期张露露等:一类具有时滞的传染病模型Hopf分支及稳定性分析令f(λ)=0,得到λ1=-d,λ2=-(d+r)为特征方程的两负根,且有λ3满足λ=kS20e-λτ-d-u(5)令g(λ)=λ-kS20e-λτ+d+u,当R0<1时,假设g(λ)有具有非负实部的根Re(g(λ))=Re(λ)+d+u-e-Re(λ)τkS20cos[Im(λ)τ]=0㊀㊀(6)即Re(λ)=-(d+u)+e-Re(λ)τkS20cos[Im(λ)τ]ɤkS20-(d+u)=(d+u)(R0-1)㊂㊀㊀由于R0<1,则Re(λ)<0,则g(λ)=0的所有根具有负实部,则R0<1时,无病平衡点E0是局部渐进稳定的㊂当R0>1时,g(0)=d+u-kS20=(d+u)(1-R0)<0,又有gᶄ(λ)=1+kS20τe-λτ>0,可知Re(λ)单调递增且有g(0)<0,则必存在一正实数λ0>0,使得g(λ0)=0,因此R0>1时,无病平衡点E0不稳定㊂证毕㊂引理2:当R0>1,τ=0时,正平衡点局部渐进稳定㊂证明:系统在正平衡点E∗处的特征方程为f1(λ)=(λ+d){λ2+(2d+r+u)λ+(d+u)(d+r)+e-λτ[(2kS(t)I(t)-kS2(t))λ+2k(d+r+u)S(t)I(t)-k(d+r)S2(t)]}=(λ+d){λ2+p0λ+p1+e-λτ[(b0-a0)λ-a0p3+b0p4]}其中:p0=2d+r+u,p1=(d+u)(d+r),p3=d+r,p4= d+r+u,a0=kS2(t),b0=2kI(t)S(t)㊂f1(λ)=0,易得λ=-d是方程负实根,其它根由以下方程确定g1(λ)=λ2+p0λ+p1+e-λτ[(b0-a0)λ-a0p3+b0p4](7)当τ=0时方程变为g1(λ)=λ2+p0λ+p1+(b0-a0)λ-a0p3+b0p4㊂利用Routh-Hurwotz准则p0+b0-a0=(2d+r+u)+2kˑ(d+r)(b-dS∗)d2+dr+du㊃S∗-kˑd+uk=(d+r)+2kˑ(d+r)(b-dS∗)d2+dr+du㊃S∗则只需要b-dS∗>0(R0>1)时,p0+b0-a0>0㊂p1-a0p3+b0p4=(d+u)(d+r)+2kˑ(d+r)(b-dS∗)d2+dr+du㊃S∗㊃(d+r+u)-k㊃d+u k㊃(d+r)=2k㊃(d+r)(b-dS∗)d2+dr+du㊃S∗ˑ(d+r+u)只需要b-dS∗>0(R0>1)时,p1-a0p3+b0p4>0㊂由Routh-Hurwotz准则知,方程根具有负实部,因此当τ=0,(R0>1)时,地方病平衡点E∗局部渐进稳定㊂证毕㊂引理3:当p1-a0p3+b0p4>0且p1+a0p3-b0p4<0时,方程具有一对纯虚根ʃiθ(θ>0)㊂证明:当τ>0时,g1(λ)=λ2+p0λ+p1+e-λτ[(b0-a0)λ-a0p3+b0p4],将λ=iθ代入式中,并分离虚实部,得-θ2+p1=(a0p3-b0p4)cosθτ+(a0θ-b0θ)sinθτ-p0θ=(a0p3-b0p4)sinθτ-(a0θ-b0θ)cosθτ(8)ìîíïïïïïï两式平方相加得(-θ2+p1)2+(-p0θ)2=(a0p3-b0p4)2+(a0θ-b0θ)2,化简得θ4+[p20-2p1-(a0-b0)2]θ2+[p21-(a0p3-b0p4)2]=0(9)解得:θ2=-[p20-2p1-(a0-b0)2]+[p20-2p1-(a0-b0)2]2-4㊃[p21-(a0p3-b0p4)2]2(10)要使θ2>0,则要p21-(a0p3-b0p4)2<0㊂证毕㊂由式(8),可得37㊀㊀㊀南华大学学报(自然科学版)2021年2月τk =1θarcsin (-θ2+p 1)(a 0θ-b 0θ)-p 0θ(a 0p 3-b 0p 4)(a 0p 3-b 0p 4)2+(a 0θ-b 0θ)2+2k πθ,k =0,1,2, (11)引理4:d(Re λ)d τλ=i θ,τ=τk>0,其中τk 为式(11)㊂证明:由题意,证明d(Re λ)d τλ=i θ>0即可㊂令g 1(λ)=λ2+p 0λ+p 1+e -λτ(q 1λ+q 2)(12)其中q 1=b 0-a 0,q 2=b 0p 4-a 0p 3㊂式子(12)左右两边关于τ求导2λd λd τ+p 0d λd τ-τe -λτ(q 1λ+q 2)d λd τ-λe -λτ(q 1λ+q 2)+q 1e -λτd λd τ=0(13)可得d λd τ=λe -λτ(q 1λ+q 2)2λ+p 0+e -λτ[q 1-τ(q 1λ+q 2)](14)计算再有d λd τ()-1=2λ+p 0λe -λτ(q 1λ+q 2)+q 1λ(q 1λ+q 2)-τλ=2λ+p 0-λ(λ2+p 0λ+p 1)+q 1λ(q 1λ+q 2)-τλ(15)则有sign{dRe λd τλ=i θ}=sign {Red λd τ()-1λ=i θ}=sign {Re 2λ+p 0-λ(λ2+p 0λ+p 1)λ=i θ+Req 1λ(q 1λ+q 2)λ=i θ}=sign {Re -2θ-i p 0(i θ)2+i θp 0+p 1-i q 1i θq 1+q 2()}=sign {Re(2θ-i p 0)[(θ2-p 1)+i θp 0](θ2-p 1)2+(θp 0)2-i q 1(q 2-i θq 1)q 22+(θq 1)2()}=sign {2θ2-2p 1+p 20(θ2-p 1)2+(θp 0)2-q 21q 22+(θq 1)2}=sign{(2θ2-2p 1+p 20)[q 22+(θq 1)2]-q 21[(θ2-p 1)2+(θp 0)2][(θ2-p 1)2+(θp 0)2][q 22+(θq 1)2]}=sign{2θ2q 22+θ4q 21-2p 1q 22+p 20q 22[(θ2-p 1)2+(θp 0)2][q 22+(θq 1)2]}=sign{q 22(2θ2+p 20-2p 1)+θ4q 21[(θ2-p 1)2+(θp 0)2][q 22+(θq 1)2]}=sign {q 22[2θ2+(d +r )2+(d +u )2]+θ4q 21[(θ2-p 1)2+(θp 0)2][q 22+(θq 1)2]}=1>0证毕㊂㊀㊀由引理2㊁引理3㊁引理4,结合Hopf 分支理论与文献[4,11,16]可得到如下结论:定理2:当p 1-a 0p 3+b 0p 4>0,p 1+a 0p 3-b 0p 4<0,且当R 0>1时,如果τɪ[0,τ0)时,τ0=min(τj ),那么系统(1)的平衡点是局部渐进稳定;如果τ>τ0,那么系统(1)的平衡点是不稳定的,且当τ=τj 时,系统(1)的平衡点经历Hopf 分支㊂2㊀数值模拟前文讨论了时滞对无病平衡点及正平衡点的影响,接下来将通过数值模拟来直观的展示出时滞对系统解的影响㊂取参数b =1,d =0.8,u =0.2,r =0.4,k =4,则系统(1)为47第35卷第1期张露露等:一类具有时滞的传染病模型Hopf 分支及稳定性分析Sᶄ(t )=1-0.8S (t )-4S 2(t -τ)I (t -τ)+㊀㊀㊀0.4R (t )Iᶄ(t )=4S 2(t -τ)I (t -τ)-I (t )Rᶄ(t )=0.2I (t )-1.2R (t )ìîíïïïï(16)此时R 0=254>1,τ=1.3<τ0,系统存在唯一地方病平衡点,且地方病平衡点E ∗是局部渐近稳定的,此时疾病发展为地方病(见图1)㊂在同样参数条件下,选择τ=2.0>τ0时,此时地方病平衡点不再稳定(见图2)㊂图1㊀当τ=1.3<τ0时,模型(16)的正平衡解是渐进稳定的Fig.1㊀The positive equilibrium of (16)was asympomatic stable when τ=1.3<τ图2㊀当τ=2.0>τ0时,模型(16)的正平衡解是不稳定的Fig.2㊀The positive equilibrium of (16)wasn t stable when τ=2.0>τ057㊀㊀㊀南华大学学报(自然科学版)2021年2月3㊀结㊀论本文讨论了一个具有非线性发生率的具有时滞的流行病模型的稳定性,确定了基本再生数R0,由霍尔维兹定理判断了非负平衡点的局部稳定性㊂对于任意时滞,当R0<1时,无病平衡点全局渐进稳定的,即随着时间的推移,疾病最终消亡;R0 >1,时滞不为零时,在一定条件下,E∗不再稳定,系统出现周期解地方病平衡点出现Hopf分支㊂参考文献:[1]LIU Q,JIANG D Q,SHI N Z,et al.Asymptotic behavior of a stochastic delayed SEIR epidemic model with nonlinear incidence[J].Physica A:Statistical mechanics and its ap-plications,2016,462:870-882.[2]李林.经济系统中几个微分方程模型[J].中国科学院研究生院学报,2013,20(3):273-278. 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一类具有标准发生率的媒介传染病模型的稳定性

一类具有标准发生率的媒介传染病模型的稳定性
肖亚男;薛亚奎
【期刊名称】《高师理科学刊》
【年(卷),期】2015(000)003
【摘要】建立并研究了一类具有标准发生率的媒介传染病模型，给出疾病流行与
否的阈值并讨论了平衡点的存在性。

证明了当基本再生数R0＜1时，无病平衡点
是局部渐近稳定的；当R0＞1时，存在唯一的地方病平衡点且是局部渐近稳定的。

并通过计算机数值模拟发现，无病平衡点和地方病平衡点都是全局渐近稳定的。

【总页数】4页(P11-14)
【作者】肖亚男;薛亚奎
【作者单位】中北大学理学院，山西太原030051;中北大学理学院，山西太原030051
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.一类具有标准发生率的SI型传染病模型的全局稳定性 [J], 杜艳可;徐瑞
2.一类具有指数出生和标准发生率的SEIR传染病模型的稳定性分析 [J], 杨红彦;
沈荣涛;曹雪靓
3.一类具有标准发生率和双垂直传播的媒介传染病模型分析 [J], 刘晨;窦霁虹;李玉峰;赵婷婷
4.一类具有饱和发生率的时滞传染病模型稳定性 [J], 刘娟;陈功
5.一类具有分布时滞和非线性发生率的媒介传染病模型的全局稳定性 [J], 杨亚莉;李建全;刘万萌;唐三一
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一类手足口病模型的全局稳定性分析

一类手足口病模型的全局稳定性分析刘俊利;刘文娟【摘要】研究具有隐性传染和隔离措施的手足口病模型,计算模型的基本再生数.结果表明,当基本再生数小于1时,模型仅有唯一的无病平衡点,利用线性化方法和Lyapunov函数方法,讨论无病平衡点的全局渐近稳定性.当基本再生数大于1时,无病平衡点不稳定,模型还存在唯一的地方病平衡点,通过构造合适的Lyapunov函数证明地方病平衡点的全局渐近稳定性.%To study a hand-foot-mouth disease model with recessive infection and quarantine measure,the basic reproduction number is obtained.The result show that when the basic reproduction number is less than unity,there is only the disease free equilibrium,by the linearization and Lyapunov function methods,the global stability of the disease-free equilibrium is discussed.When the basic reproduction number is great than unity,the disease free equilibrium is unstable,there is also an endemic equilibrium,appropriate Lyapunov function is constructed to prove the global stability of the endemic equilibrium.【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》【年(卷),期】2017(030)001【总页数】6页(P29-34)【关键词】手足口病;基本再生数;全局稳定性;Lyapunov函数【作者】刘俊利;刘文娟【作者单位】西安工程大学理学院,陕西西安710048;西安工程大学理学院,陕西西安710048【正文语种】中文【中图分类】O175.1手足口病是由肠道病毒引起的传染病,引发手足口病的肠道病毒有20多种,其中以柯萨奇病毒A16型(Cox A16)和肠道病毒71型(EV 71)最为常见[1-2].患者、隐性感染者、无症状带毒者为主要传染源[3].人群普遍易感,受感后可获得免疫力,主要传染人群为5岁以下儿童.其感染途径包括消化道,呼吸道及接触传播.大部分的患者会伴有食欲不振、恶心、呕吐、头疼等症状,少数人会出现严重症状,甚至导致死亡,还有些患者则不表现任何症状(文中称这一部分为隐性患者).目前缺乏有效治疗药物. 传染病动力学是对传染病进行理论性定量研究的一种重要方法[4-5],对手足口病传播的理论研究,目前已有一些相关的数学模型.文献[6]研究了一个简单的SIR模型来预测沙捞越的手足口病患病人数和疾病的持续时间.文献[7]研究了一类具有隔离且潜伏期及感染期均有传染性的手足口病SEIQR模型,得到了无病平衡点的全局稳定性和地方病平衡点局部稳定的条件.文献[8]研究了手足口病的最优控制策略.文献[9]建立了一个带有隐性传染的手足口病模型,证明了无病平衡点的稳定性,疾病的一致持续性和正平衡点的存在性.文献[10-11]研究了具有周期结构的手足口病模型,表明了隔离措施在疾病控制上有较好的作用.文献[12]建立了具有年龄结构和隔离措施的偏微分方程手足口病模型,讨论了无病平衡态和地方病平衡态的局部渐近稳定性．文献[6-8]中均没有考虑儿童手足口病患病者中的隐性患者,而且只给出了地方病平衡点的局部稳定性分析.文献[9]虽然考虑了隐性患者,但是地方病平衡点的唯一性和稳定性均没有考虑.本文在文献[6-9]手足口病模型的基础上,考虑儿童手足口病的隐性患者,并加入隔离措施,给出模型的全局性态分析.首先给出模型的基本再生数,然后通过线性化方法和Lyapunov函数方法,讨论无病平衡点和地方病平衡点的全局渐近稳定性,所得结论推广了以往文献中的相关结论.设儿童的总人口数量为N(t),把儿童人群分为6个仓室:易感者,潜伏者,显性患者,隐性患者,被隔离者,恢复者,其人口数量分别记为S(t),E(t),I1(t),I2(t),Q(t)和R(t).假设A 为成年人群每年的出生率,βk和β分别为显性患者和隐性患者的传染率,d表示儿童的自然死亡率,σ为儿童从潜伏者到染病者的转化系数,γ1,γ2,γ3分别为显性患者,隐性患者和被隔离者的恢复率,α1,α2,α3分别为显性患者,隐性患者和被隔离者的因病死亡率,p为儿童患者中显性患者所占的比例(0<p<1),q为患病者的隔离率,a为从儿童群体到成人群体的转移率.根据以上假设,得到如下手足口病模型因为总人口N(t)=S(t)+E(t)+I1(t)+I2(t)+Q(t)+R(t),则有因此.则模型(1)的正向不变集为模型(1)总有一个无病平衡点P0=(S0,0,0,0,0,0),其中.根据文献[13]的第3部分,计算得到模型(1)的基本再生数为当R0>1时,模型(1)还存在唯一的地方病平衡点,其中d.本节将利用线性化方法和构造Lyapunov函数来证明平衡点的全局渐近稳定性. 定理1 当R0<1时,无病平衡点P0=(S0,0,0,0,0,0)全局渐近稳定;当R0>1时,无病平衡点P0=(S0,0,0,0,0,0)不稳定.证明对模型(1)在P0=(S0,0,0,0,0,0)处进行线性化,则得到P0=(S0,0,0,0,0,0)处的特征方程为其中显然λ1=-(γ3+α3+d),λ2=λ3=-(a+d)为特征方程(3)的3个特征根.当R0>1时,c3<0,因此方程(3)有正根,故P0=(S0,0,0,0,0,0)不稳定.当R0<1时,c3>0,且,则有c2>ω1ω2,c1c2-c3>(σ+d)ω1ω2-ω1ω2(σ+d)×(1-R0)=ω1ω2R0(σ+d)>0.由Routh-Hurwitz判据知方程(3)的所有特征根均具有负实部,则无病平衡点P0=(S0,0,0,0,0,0)是局部渐近稳定的.由模型(1)得(a+d)S,因此对任意给定的ε>0,存在T>0,当t>T时,有ε.当R0<1时,存在充分小的ε>0,使得当t>T时,构造如下Lyapunov函数则有β[S(t)-(S0+ε)](kI1(t)+I2(t))≤0.记则M1中的最大不变集为{P0},由LaSalle不变集原理[14]得当R0<1时P0=(S0,0,0,0,0,0)是全局渐近稳定的.已知函数g(x)=x-1-lnx≥0(x∈(0,+∞)),即1-x≤-lnx,下面利用此不等式证明地方病平衡点P*的全局稳定性.定理2 当R0>1时,地方病平衡点在Ω\{P0}内全局渐近稳定.证明令,则有令D=a1D1+a2D2+a3D3,其中ai(i=1,2,3)为待定的正常数,得取,得D′|(1)≤0,记则M2中的最大不变集为{P*},由LaSalle不变集原理[14]知当R0>1时,全局渐近稳定.当儿童患者中显性患者所占比例p=1时,即所有患病儿童均为显性患者,文献[7,9,15-17]考虑的模型均是这种情况,此时模型(1)变为如下形式模型(4)的正向不变集为模型(4)总有一个无病平衡点0=(S0,0,0,0,0).模型(4)的基本再生数为.当R0>1时,模型(4)还存在一个地方病平衡点,其中当时,构造如下Lyapunov函数与证明定理1和定理2类似,对模型(4)的平衡点,有如下全局稳定性结论.定理3 当0<1时,无病平衡点0=(S0,0,0,0,0)全局渐近稳定;当0>1时,无病平衡点不稳定,地方病平衡点在{}内全局渐近稳定.本文讨论了具有隐性传染和隔离措施,且显性患者和隐性患者都有传染性的手足口病传染病模型,得到了模型的基本再生数,此基本再生数完全决定了模型的动力学行为.利用特征根方法和Lyapunov函数方法得到了模型的无病平衡点和地方病平衡点的全局渐近稳定性.E-mail:*****************LIU Junli,LIU Wenjuan.Global stability analysis of a class of hand-foot-mouth disease model[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2017,30(1):29-34.【相关文献】[1] WANG Xiaoli,WU Xiaona,JIA Lei,et al.Estimating the number of hand,foot and mouth disease amongst children aged under-five in Beijing during 2012,based on a telephone survey of healthcare seeking behavior[J].BMC Infectious Diseases,2014,14:437.[2] 郑跃杰,王文建.儿童手足口病[J].中华实用儿科临床杂志,2013,28(22):1692-1694.ZHENG Yuejie,WANG Wenjian.Children hand-foot-mouth disease[J].Journal of Applied Clinical Pediatrics,2013,28(22):1692-1694.[3] 赵永男,刘萍,史峻平,等.2008年中国阜阳手足口病爆发的研究调查[J].数学的实践与认识,2009,39(20):86-91.ZHAO Yongnan,LIU Ping,SHI Junping,et al.The research about outbreak of hand,foot and mouth disease in Fu-yang China,in 2008[J].Mathematics in Practice andTheory,2009,39(20):86-91.[4] LIU Junli,JIA Ying,ZHANG Tailei.Existence of periodic solution in eco-epidemic system with impulsive effect[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2014,27(3):315-321.[5] 彭宝洋,刘俊利,刘璐菊.一类具有卡介苗接种的肺结核模型的全局动力学分析[J].纺织高校基础科学学报,2015,28(3):271-275.PENG Baoyang,LIU Junli,LIU Luju.Global dynamics of a tuberculosis model with BCG vaccination[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2015,28(3):271-275.[6] TIING F C S,LABADIN J.A simple deterministic model for the spread of hand,foot and mouth disease (HFMD) in Sarawak[J].Second Asia International Conference on Modelling and Simulation,2008:947-952.[7] 孟新友,向红,朱毓杰,等.一类手足口病SEIQR传染病模型的稳定性分析[J].甘肃科学学报,2012,24(2):42-46.MENG Xinyou,XIANG Hong,ZHU Yujie,et al.Stability analysis of a class of SEIQR epidemic model for hand,foot and mouth diseases[J].Journal of Gansu Sciences,2012,24(2):42-46.[8] YANG Junyuan,CHEN Yuming,ZHANG Fengqin.Stability analysis and optimal control ofa hand-foot-mouth disease (HFMD) model[J].Journal of Applied Mathematics and Computing,2013,41(1):99-117.[9] 马扬军,刘茂省,赵金庆,等.具有隐性传染的手足口病模型分析[J].数学的实践与认识,2012,42(24):205-210.MA Yangjun,LIU Maoxing,ZHAO Jinqing,et al.Analysis of a hand-foot-mouth disease with the recessive infection[J].Mathematics in Practice and Theory,2012,42(24):205-210. [10] LIU Junli.Threshold dynamics for a HFMD epidemic model with periodic transmission rate[J].Nonlinear Dynamics,2011,64(1):89-95.[11] MA Yangjun,LIU Maoxing,HOU Qiang,et al.Modelling seasonal HFMD with the recessive infection in Shandong,China[J].Mathematical Biosciences and Engineering,2013,10(4):1159-1171.[12] 苏细容,刘胜.具有年龄结构和隔离措施的手足口病SEIQR模型[J].科学技术与工程,2009,9(18):5311-5315.SU Xirong,LIU Sheng.Age-structured HFMD Model with Isolation[J].Science Technology and Engineering,2009,9(18):5311-5315.[13] Van den DRIESSCHE P,WATMOUGH J.Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission[J].Mathematical Biosciences,2002,180:29-48.[14] LASALLE J P.The stability of dynamical systems[M].Philaelphia:SIAM,1976:49-78.[15] 王晓红.一类具有潜伏期的SEIR手足口病模型的研究[J].吕梁学院学报,2015,5(3):9-12. WANG Xiaohong.Research for a class of latency HFMD SEIR model[J].Journal of Luliang Higher College,2015,5(3):9-12.[16] 李春.手足口病传播的数学模型与数值模拟[J].郑州轻工业学院学报(自然科学版),2013,28(6):105-108.LI Chun.Mathematical model and numerical simulation of hand foot and mouth diseasespread[J].Journal of Zhengzhou University of Light Industry(Natural Science Edition),2013,28(6):105-108.[17] 黄娜,陈学华.手足口病型传染病的数学模型[J].淮阴师范学院学报(自然科学版),2008,7(4):267-269.HUANG Na,CHEN Xuehua.The mathematical model of infectious disease of HFMDtype[J].Journal of Huaiyin Teachers College(Natural Science Edition),2008,7(4):267-269.。

具有媒体报道和接种传染病模型的局部稳定性分析

具有媒体报道和接种传染病模型的局部稳定性分析丰利香【摘要】研究了一类具有媒体报道和接种的传染病模型,得到了决定传染病流行与否的阈值:基本再生数凡.讨论了模型无病平衡点和地方病平衡点的存在性,利用特征方程得到了平衡点的局部稳定性.当R0＜1时,无病平衡点是局部渐近稳定的;当R0＞1时,地方病平衡点是局部渐近稳定的.【期刊名称】《价值工程》【年(卷),期】2016(035)033【总页数】2页(P194-195)【关键词】传染病;稳定性;基本再生数;Jacobi矩阵【作者】丰利香【作者单位】宁夏理工学院文理学院,石嘴山753000【正文语种】中文【中图分类】R183在流行病学上，利用数学模型来分析和控制传染病已被普遍应用，数学模型可以用来预测一段时期内疾病的发展趋势。

至今，学者们已经利用微分方程建立了许多具有现实意义的数学模型[1-3]。

当今是一个信息化的时代，广播、电视、网络等媒体报道加快了信息的传播。

传染病一旦爆发，由于媒体的宣传和影响，民众便会采取相应的预防措施，例如：戴口罩、勤洗手等。

媒体报道和教育可能减少民众的接触率。

通常使用的线性接触率βSI没有考虑到媒体报道对传染病的影响。

文献[4]中，提出一个模型，考虑到媒体报道，利用新的传播率函数β（I）=βe-mI，分析了媒体报道对疾病传播的影响。

疫苗接种能有效的控制传染病的发生和传播，所以在流行病学的研究中考虑接种的影响，能够使得模型更加接近现实。

文献[5]中，Li，Yang和Zhou提出了一个具有潜伏期和接种的传染病模型，通过数学分析，确定了接种对预防传染病起着非常重要的作用。

本文研究了具有媒体报道和接种的传染病模型，通过特征方程得到了模型平衡点的局部稳定性。

本文建立了一类具有媒体报道和接种的传染病模型，总人群分为三类：易感者（S）、感染者（I）、恢复者（R）。

其传播机制如图1所示，根据传播机制图得如下模型：其中Λ表示新增速率，μ表示自然死亡率，α表示因病死亡率，u表示接种率，γ表示恢复率，β（I）=βe-mI表示在媒体报道下的接触率，系统中的所有参数均为正数。

具有媒体报道的传染病模型稳定性

具有媒体报道的传染病模型稳定性刘俊利;刘璐菊【摘要】研究了一类具有媒体报道和潜伏期的传染病模型，得到了模型的基本再生数。

利用线性化方法和Liapunov 函数，分析了无病平衡点的全局渐近稳定性和正平衡点的局部渐近稳定性。

如果不考虑疾病引起的死亡率，则正平衡点是全局渐近稳定的。

最后，模型的持久性也得以证明。

【期刊名称】《河南科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(037)002【总页数】4页(P88-91)【关键词】媒体报道;全局稳定性;基本再生数;持久性【作者】刘俊利;刘璐菊【作者单位】西安工程大学理学院，陕西西安 710048;河南科技大学数学与统计学院，河南洛阳 471023【正文语种】中文【中图分类】O175.1媒体报道对疾病传播的影响越来越受到人们的关注。

文献[1]考虑了媒体报道对疾病传播和控制的影响，提出形如βe-mISI的发生率。

随后，文献[2]又提出了形式更为合理的发生率。

文献[3]考虑了非光滑媒体因子函数，得到了模型的全局动力学行为。

文献[4]讨论了一个具有疫苗接种和媒体报道的SEIR模型，媒体影响因子函数为分段函数，得到了模型的全局性态。

文献[5]研究了媒体报道对禽流感传播的影响，得到了模型的平衡点的全局稳定性。

文献[6]研究了一个SIVRS模型，疾病的发生率为)SI，m>0，反映了媒体报道对接触率的影响。

文献[7]研究了一个SIS传染病模型，疾病的发生率为，接触率为μ1-μ2f(I)，反映了媒体报道对疾病传播与控制的影响。

文献[8]讨论了两个斑块环境下的一个简单的SIS传染病模型，疾病的发生率与文献[7]相同，研究结果表明：媒体报道可以减少疾病引起的负担，缩短疾病爆发时间。

但文献[7-8]中均没有考虑潜伏期对疾病传播的影响，而对很多传染病而言，潜伏期时间较长，不能忽视。

因此，本文采用文献[7-8]中的疾病发生率，对具有潜伏期的模型进行了研究。

把总人口N(t)分成3个仓室：易感者S(t)，潜伏者E(t)和染病者I(t)。

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Ｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎａｌｙｓｉｓｏｆａｋｉｎｄｏｆｈｏｓｔ — ｖｅｃｔｏｒｅｐｉｄｅｍｉｃｍｏｄｅｌｗｉｔｈｓｔａｎｄａｒｄｉｎｃｉｄｅｎｃｅｒａｔｅ
ｕｎｉｑｕｅｅｎｄｅｍｉｃｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｅｘｉｓｔｓａｎｄｉｓｌｏｃａｌｌｙａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙｓｔａｂｌｅ．Ｔｈｅｎｕｍｅｉｃｒａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓａｙｅｃａｒｒｉｅｄｏｕｔｔｏ
媒介传染病是指由细菌、病毒和原虫等病原体引起的，通过某种生物载体传播的传染性疾病，这种生物载体通常称为传病媒介，它传染该疾病而自身不感染该疾病… ．常见的传病媒介有虫媒（如蚊子、苍蝇和扁虱等）和动物媒介（如水生软体动物和一些野生动物或饲养动物）．疟疾（ｍａｌａｒｉａ）是最典型的媒介传染病，它的传播媒介是蚊子．除此之外，登革热（ｄｅｎｇｕｅ）、圣路易斯脑炎（ＳｔＬｏｕｉｓＥｎｃｅｐｈａｌｉｔｉｓ）、黄热病（ｙｅｌｌｏｗｆｅｖｅｒ）、日本脑炎（ＪａｐａｎｅｓｅＥｎｓａｐｈａｌｉｔｉｓ）和西尼罗河热（ＷｅｓｔＮｉｌｅＦｅｖｅｒ）等媒介传染病也
第３５卷第３ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
２０１５正
高师理科学刊
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅｏｆＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅａｎｄＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖｏ１．３５Ｎｏ．３Ｍａｒ．２０１５
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈｏｓｔ－ｖｅｃｔｏｒ；ｄｙｎａｍｉｃｍｏｄｅｌｉｎｇ；ｂａｓｉｃｒｅｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｎｕｍｂｅｒ；ｅｎｄｅｍｉｃｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙ
ＸＩＡＯＹａ — ｎａｎ．ＸＵＥＹａ — ｋｕｉ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＮｏｒｔｈＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＣｈｉｎａ，Ｔａｉｙｕａｎ０３００５１，Ｃｈｉｎａ）
关键词：媒介传染；动力学系统；基本再生数；平衡点；稳定性
中图分类号：０１７５．１文献标识码：Ａｄｏｉ：１０．３９６９￣．ｉｓｓｎ．１００７ — ９８３１．２０１５．０３．００３
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｈｏｓｔ — －ｖｅｃｔｏｒｅｐｉｄｅｍｉｃｍｏｄｅｌｗｉｔｈｓｔａｎｄａｒｄｉｎｃｉｄｅｎｃｅｒａｔｅｗａｓｆｏｒｍｕｌａｔｅｄａｎｄｓｔｕｄｉｅｄ．Ｔｈｅｔｈｒｅｓｈｏｌｄｉｓｉｄｅｎｔｉｆｉｅｄｗｈｉｃｈｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓｔｈｅｏｕｔｃｏｍｅｏｆｄｉｓｅａｓｅａｎｄｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｔｈｅｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｗａｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．ＴｈｅｍｏｄｅｌｉｓｓｈｏｗｎｔｈａｔｔｈｅｄｉｓｅａｓｅｆｒｅｅｅｑｕｉｌｉｂｉｒｕｍｉｓｌｏｃａｌｌｙｓｔａｂｉｌｉｔｙｗｈｅｎＲ０＜１．ＦｏｒｔｈｅｂａｓｉｃｒｅｐｒｏｄｕｃｔｉｖｅｎｕｍｂｅｒＲｏ＞１．ａ
平衡点的存在性．证明了３基－本再生数Ｒ＂ｏ＜ｌ时，无病平衡点是局部渐近稳定的；当Ｒ０＞１时，存
在唯一的地方病平衡点且是局部渐近稳定的．并通过计算机数值模拟发现，无病平衡点和地方病
平衡点都是全局渐近稳定的．
ｉｆｎｄｔｈｅｄｉｓｅａｓｅｆｒｅｅｅｑｕｉｌｉｂｉｒｕｍａｎｄｅｎｄｅｍｉｃｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｙｅａｇｌｏｂａｌｌｙａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙｓｔａｂｌｅ．
３月
文章编号：１００７ — ９８３１（２０１５）０３－００１ｌ一０４
一
类具有标准发生率的媒介传染病模型的稳定性
肖亚男，薛亚奎
（中北大学理学院，山西太原０３００５１）
摘要：建立并研究了一类具有标准发生率的媒介传染病模型，给出疾病流行与否的阈值并讨论了