重庆市梁平实验中学高中数学+3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)教案+新人教A版必修四
高一数学(3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式)
1 + tan15 (3 ) o ; 1 - tan15
o
(4)tan17°+tan28°+tan17°tan28° tan17° tan28°+tan17°tan28°
3.公式都是有灵性的, 3.公式都是有灵性的,应用时不能生搬 公式都是有灵性的 硬套,要注意整体代换和适当变形. 硬套,要注意整体代换和适当变形.
�
a2 + b2 - 2 cos(a + b) = 2
思考2 思考2:若sinα+cosβ=a,cosα+sinβ= + = , + = b,则sin(α+β)等于什么? 等于什么? , + 等于什么
a2 + b2 - 2 sin(a + b) = 2
思考3 tanα+ 思考3:根据公式 Tα+β,tanα+tanβ 可变形为什么? 可变形为什么? tanα+tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ) + 1 思考4 思考4:在△ABC中,tanA,tanB,tanC ABC中 tanA,tanB, 三者有什么关系? 三者有什么关系? tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 思考5 sinx+cosx能用一个三角函数表 思考5:sinx+cosx能用一个三角函数表 示吗? 示吗? p sin x + cos x = 2 sin(x + ) 4
两角和与差的正弦, 3.1.2 两角和与差的正弦, 余弦,正切公式 余弦,
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (2)
3. 1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式三维目标1.在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.教学过程1、提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请写出。
中，角β是任意角，请思考角α-β中β换成角-β是否可以？②在公式C(α-β)来推导此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C(α-β)cos(α+β)=?结论1、我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C(α+β).③分析观察C(α+β)的结构有何特征？④在公式C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?结论2、因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S(α+β)、S(α-β).⑤公式S(α-β)、S(α+β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C(α-β)、C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)，能否推导出ta n(α-β)=?tan （α+β）=？结论3、由此推得两角和、差的正切公式，简记为T (α-β)、T (α+β).tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+tan(α-β)=.tan tan 1tan tan βαβα+-⑦分析观察公式T (α-β)、T (α+β)的结构特征如何？我们把前面六个公式分类比较可得C (α+β)、S (α+β)、T (α+β)叫和角公式；S (α-β)、C (α-β)、T (α-β)叫差角公式.归纳总结以上六个公式的推导过程，得出以下逻辑联系图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时应注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式 2、应用示例例1 已知sinα=53-,α是第四象限角，求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4π-α)的值.练习：课本课后练习1、2、3、4、题例2 利用和差角公式计算下列各式的值. （1）sin72°cos42°-cos72°sin42°;（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;（3）15tan 115tan 1-+练习：课本课后练习5、6、7、题例3 求证：cosα+3sinα=2sin(6π+α).（两种方法）练习：化简下列各式： （1）3sinx+cosx; （2）2cosx-6sinx.3、课堂小结通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=22b a sin(x+φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题. 4、作业布置习题3.1 A 组7、13(1) (3) (5) (7) (9)。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
二次备课3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二） 【学习目标】1、知识与技能目标理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式，体会三角恒等变换特点的过程；2、过程与方法目标掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及ααcos sin b a +类型的变换3、情感态度与价值观目标：使学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒恒等变化中的作用【学习重点】两角和、差正弦和正切公式的运用；【学习难点】两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.【学习过程】一、复习引入：（1）基本公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (-=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ （2）练习：教材P132面第6题。
思考：怎样求ααcos sin b a +类型？二、讲解新课：例1、化简2cos 6sin x x - 解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？()()132cos 6sin 22cos sin 22sin30cos cos30sin 22sin 3022x x x x x x x ⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭思考：22是怎么得到的？()()222226=+，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于12和32的. 归纳：ba b a b a =++=+ϕϕαααtan )sin(cos sin 22 例2、已知：函数R x x x x f ∈-=,cos 32sin 2)(（1） 求)(x f 的最值。
（2）求)(x f 的周期、单调性。
二次备课 例3．已知A 、B 、C 为△ABC 的三內角，向量)3,1(-=m ，)sin ,(cos A A n = ，且1=∙n m ，（1） 求角A 。
3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式
复习引入
1,两角差与和的余弦公式: 两角差与和的余弦公式:
cos(α ± β ) = cosα cos β sinα sin β
2,诱导公式五: 诱导公式五:
sin ( cos (
π
2 π
2
-α) = cosα -α) = sinα
sin (α + β )
π π π sin 求: α , cos + α , tan(α ) 4 4 4
例3, , π 4 3 (1)α , β ∈ (0, ), cos α = , cos(α + β ) = ) 2 5 5 (2)tan(α + β ) = 3, tan(α β ) = 2 ) 求: tan 2α , tan 2 β
探求新知
= sin α cos β + cos α sin β
sin (α β ) = sin α cos β cos α sin β
sin (α ± β ) = sinα cosβ )
tan α + tan β = 1 tan α tan β
y = 4sin x + 3cos x
y = a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin( x + φ )
其中,cosφ = a a 2 + b2 , sinφ = b a 2 + b2
6 证法1: 证法1: 右边=2(sin π cos α + cos π sin α ) 6 6 1 3 =2( cos α + sin α ) 2 2 =cos α + 3 sin α =左边 1 3 证法2: 证法2:左边=2( cos α + sin α ) 2 2 π π =2(sin cos α + cos sin α ) 6 6 π =2sin( + α ) =右边 6 化为某个角的一个 一个三角函数形式 注:该题将 cos α + 3 sin α 化为某个角的一个三角函数形式 π 即 cos α + 3 sin α = 2sin( + α ) 6
人教版高中数学必修四教案：3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教材分析本节内容是数学4第三章三角恒等变换第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式的第二课时，是在学习了差角的余弦公式的基础上，进一步对差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦和正切公式的探究.本节的六个公式是本章的重要内容，也是三角恒等变换的基础，对三角函数式的化简，求值、三角恒等式的证明等问题起着重要的支撑作用，同时，它又为后面学习倍角公式作铺垫.本节课的重点是公式的推导及公式的简单应用，难点是公式的记忆和灵活应用.通过公式的推导过程，揭示了公式间的联系，加深对公式的理解和记忆.教学中既要有意识地训练学生思维的有序性和对思维过程表述的准确性、简洁性，又要渗透转化、换元、分类讨论的数学思想，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.课时分配本节内容用1课时的时间完成，首先在两角差的余弦公式的基础上，引导学生自主探究得到两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并掌握公式的结构和变形形式.然后，通过例题运用公式解决简单的数学问题.教学目标重点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的探究过程，公式结构及应用.难点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的记忆和灵活应用.知识点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式.能力点：能以两角差的余弦公式为基础，结合诱导公式与同角三角函数关系式，推导出差角、和角的正弦、余弦和正切公式.教育点：经历公式的探究过程，注重知识间的联系，培养学生的探索精神，提高学生的推理能力和运算能力.自主探究点：以两角差的余弦公式为基础，探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的推导方法. 考试点：灵活使用差角、和角的公式进行三角函数式的化简、求值和恒等变形.易错易混点：使用公式时，学生容易在分析角的范围上出错.拓展点：如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式. 教具准备 多媒体课件课堂模式 学案导学一、 引入新课师：同学们，上节课我们学习了差角的余弦公式，请大家首先回顾一下这个公式的形式是怎样的. 生：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. ——同名积，符号反师：由于公式()cos αβ-只可以用来解决与差角的余弦相关的三角变换问题，因而在应用中有很大的局限性，遇到差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦、正切时，公式()cos αβ-就不能直接应用了，因此，我们有必要将公式()cos αβ-作进一步拓广，希望得到两角和与差的三角系列公式.这节课我们就来探究差角的正弦、正切公式及和角的正弦、余弦、正切公式.【设计意图】从熟悉的差角余弦公式出发，让学生意识到进一步探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的意义，是对旧知的扩展，进而引出本节课题，自然流畅.二、探究新知探究一：探究公式()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-.问题：由公式()C αβ-出发，如何推导公式：()cos ?αβ+=【师生活动】师：引导学生从两个方面展开联想：①函数名称的联系；②角的联系，αβ+与αβ-之间的联系.重点指出，要想利用差角的公式得到和角的公式，如果从形式上能将和角变成差角的形式，那就近了一步.生：自主思考，一般得出：①将αβ+转化为()αβ--；②在公式()cos αβ-中，以β-代β. 师生：利用换元的思想推导出()C αβ+，并进一步理解公式间的联系，共同分析对比()C αβ-与()C αβ+两公式的结构形式.()()cos cos cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 即()C αβ+：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-. ——同名积，符号反【设计意图】让学生参与公式的探究过程，加深理解公式间的联系，有利于公式的记忆，培养学生换元的数学思想.探究二：探究公式()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.问题：在公式()C αβ-与()C αβ+的基础上，怎样推导()sin ?αβ+=与()sin ?αβ-=【师生活动】师：我们的目标是求两角和与差的正弦公式，而我们已经知道了相应的余弦公式，那么，一个自然的想法是什么？就是利用余弦公式求正弦公式.如何把()sin αβ+改写成余弦？生：自主探究，从原有知识结构中提取正弦与余弦的关系，将公式推导出来.()()sin cos cos ()cos()cos sin()sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤+=-+=--=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+即()S αβ+：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+. ——异名积，符号同以β-代β得()S αβ-：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-. ——异名积，符号同师生：共同整理推导过程，让学生认识到解决问题的关键是应用诱导公式把正弦化为余弦，体会转化与化归思想方法在解决问题中的重要性，并进一步分析所得公式的结构形式与()C αβ-、()C αβ+的区别.【设计意图】结合旧知，探究新知，既巩固已学知识，又加深理解公式间的联系，同时有利于公式的记忆，培养学生转化与化归的数学思想.探究三：探究公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 问题：怎样用,αβ的正切表示()tan αβ+、()tan αβ-呢？【师生活动】师：由两角和与差的正弦、余弦公式如何探究两角和与差的正切公式？以和角为例，请自主探究.生：自主探究.一般能从同角三角函数的关系式出发进行探究，教师可作个别指导.但是，多数学生可能只是将和角的正弦、余弦公式代入展开而不去化简.()()()sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos sin sin αβααβαβααβααβαβαβ++=→+==+- 师：上述公式是用单角的正、余弦表示和角的正切，那么，通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？引导学生观察思考，当cos cos 0αβ≠时，分式的分子、分母同时除以cos cos αβ，得出和角的正切公式()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-. 师：进一步提出引申思考的问题：在上述公式的推导过程中，角,αβ有什么条件要求吗？除此之外，公式本身还有什么限制吗？生：自主思考，可以得出α、β、αβ+都不等于()2k k Z ππ+∈.师生：指明公式成立的条件，使公式完整.进一步让学生类比思考差角的正切公式的推导，自主得出差角公式，并与和角公式比较，分析结构，帮助记忆.差角的正切公式()T αβ-：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+. 【设计意图】让学生经历探究公式的过程，变老师教为学生学，突出学习的主体地位，有利于理解和掌握新知，训练学生动手动脑相结合的学习习惯.师：依据以上公式的推导过程，请思考差角、和角的6个公式之间有怎样的内在联系？【师生活动】生：自主分析，找出公式间的逻辑关系.师生：在学生自主探究的基础上，师生共同总结公式之间的紧密逻辑关系，并用框图形式表示出来.【设计意图】及时梳理知识，完善知识体系.整体把握公式间的逻辑关系，巩固对公式的理解与掌握，为下一步公式的灵活使用打好基础.三、理解新知公式的结构特点：()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m . ——同名积，符号反()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±. ——异名积，符号同()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 注意：,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 【设计意图】准确把握三组公式，为公式的灵活使用打好基础.四、运用新知例1．已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 分析：利用同角的平方关系22sin cos 1αα+=，求cos α，进而求tan α，再代入公式求值即可. 解：由3sin 5α=-，α是第四象限角，得4cos 5α===， 所以 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- . 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭. 在本题中sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭与 cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭两结果一样，那么，对于任意角α，此等式成立吗？我们能否用第一章的知识证明？变式：如果本例中的条件“α是第四象限角”去掉，结果怎样表述呢？【设计意图】训练学生的解题能力，发现不同题目解题过程的区别与联系.变式中对求解过程的表述上会有更高的要求，培养学生分类讨论的思想方法.巩固练习：（1）已知35sin ,cos 513αβ==-，且α为第一象限角，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.求sin()αβ+和sin()αβ-的值.（2）已知,αβ均为锐角，且4cos 5α=，1tan()3αβ-=，求cos β的值. 答案：（1）3365，6365-； （2. 例2．利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos72sin 42-o o o o；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-o o o o ； （3）1tan151tan15+-oo． 分析：本题的关键在于观察分析待化简求值的三角式的结构特征，再联想具有此特征的有关公式，经过适当变形，再顺用或逆用公式解决.解：（1）由公式()S αβ-，得：()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==o o o o o o o ； （2）由公式()C αβ+，得：()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==o o o o o o o ；（3）由公式()T αβ+及tan 451=o，得：()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15++==+==--o o o o o o o o o ． 巩固练习：（1）cos 44sin14sin 44cos14-o o o o；（2）sin(54)cos(36)cos(54)sin(36)x x x x -++-+o o o o ；（3答案：（1）12-. （2）1. （3）1-. 例3．已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，求sin()4πα+的值. 分析：注意到已知角与待求角之间的关系：()()44ππααββ+=+--，从而把待求角转化为已知角的差的形式，再利用差角的正弦公式求解. 解：3,,4παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ， 3(,2)2παβπ∴+∈，3(,)424πππβ-∈. 3sin()5αβ+=-Q ， 4cos()5αβ∴+=. 12sin()413πβ-=Q ， 5cos()413πβ∴-=-. sin()sin[()()]sin()cos()cos()sin()4444ππππααββαββαββ∴+=+--=+-++-3541263()()51351365=-⨯-+⨯=.巩固练习：（1）已知sin α=，sin()αβ-=，,αβ均为锐角，求sin β的值.答案：2. 【设计意图】使学生掌握把待求角转化为已知角的和与差的形式的变化技巧.让学生在精析精练中，突破重点、难点，体会公式的灵活应用，从而巩固新知，提高能力.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识？主要涉及到哪些数学思想方法？1.知识：①()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m .()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 其中,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 2．思想：转化与化归思想，特殊与一般思想，分类讨论思想.【设计意图】师生共同回忆所学内容，发挥学生学习的主体性，帮助学生记忆公式，梳理知识，培养良好的学习方法.六、布置作业1.阅读教材 P128-131；2.书面作业：必做题：P137 习题3.1 A 组7,8，9，10.选做题：（1）已知3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，512sin 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3(,)44ππα∈，(0,)4πβ∈，求()sin αβ+的值.（2）已知sin α=，sin()αβ-=,αβ均为锐角，求αβ+的值.3．课外思考：化简：（1）1cos 2x x ；（2）sin cos x x -；（3x x ； （4）sin cos a x b x +.【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，准确掌握6个公式后，再做作业.书面作业的布置，是为了训练学生使用差角、和角公式，解决简单的数学问题，在公式的应用中，加深对公式的理解和掌握.课外思考题的设计是为了引导学生探究如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +的式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式.七、教后反思1.本教案的亮点：从学生熟悉的两角差的余弦公式出发，以旧引新，符合学生的认知规律，加强知识间的联系，结构自然顺畅.例题与习题设计恰当，突出本节课的三个知识点(三组公式)，主要选择基础题目，并安排了适当量的随堂练习，帮助学生总结解题方法和技巧，及时巩固新知.2.本节课公式较多，公式的推导、记忆与应用，都用时较多，各校学生基础不同，建议教师对巩固练习题目灵活掌握，但一定要在公式的推导上留给学生足够的时间.3.本节课的弱项：本节课容量较大，课堂上有限的时间不易照顾到对公式的全面应用，有关公式的灵活、变形使用还有待于在后续课堂上加强.八、板书设计。
高中数学3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.2第2课时两角和与差的正切公式课件新人教A版必修四1
T(α－β)
[ 基础自测] 1．思考辨析 (1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( tan α＋tan β (2)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ任意α，β∈R，tan(α＋β)＝ 都成立．( 1－tan αtan β ) )
tan α＋tan β (3)tan(α＋β)＝ 等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)· (1－tan αtan β)． 1－tan αtan β ( )
[自 主 预 习· 探 新 知]
两角和与差的正切公式 名称 两角和 的正切 两角差 的正切 简记 符号 T(α＋β) 公式 tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β _____________ tan(α－β)＝ tan α－tan β 1＋tan αtan β ____________ 使用条件 π α，β，α＋β≠kπ＋2(k∈Z) 且 tan α· tan β≠1 π α，β，α－β≠kπ＋2(k∈Z) 且 tan α· tan β≠－1
第三章
三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 第2课时 两角和与差的正切公式
学习目标：1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正 切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)3.熟悉两 角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)
∵α，β 均为锐角， ∴α＋β∈(0，π)， π ∴α＋β＝4. (2)∵AD⊥BC 且 BD∶CD∶AD＝2∶3∶6， BD 1 ∴tan∠BAD＝AD＝3， CD 1 tan∠CAD＝AD ＝2， tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)
tan∠CAD－tan∠BAD ＝ 1＋tan∠CADtan∠BAD 1 1 2－3 ＝ 1 1 1＋2×3 1 ＝7.]
3[1].1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2课时)
![3[1].1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2课时)](https://img.taocdn.com/s3/m/3a0362798e9951e79b89277a.png)
∴tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17 tan28) =1 tan17tan28 ∴原式=1 tan17tan28+ tan17tan28=1
例3′、△ABC中， 求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
证明： ∵tanA、tanB、tanC 都有意义， ∴tanAtanB≠1. ∴△ABC中没有直角，
o o
1+ tan71o tan26o
(2) -1
1- 3tan75o (2) o 3 + tan75
求下列各式的值：
1 tan 75 (1) 1 tan 75
(2) tan17+tan28+tan17tan28
tan 45 tan 75 解：1原式= tan( 45 75 ) tan 120 3 1 tan 45 tan 75 tan 17 tan 28 2 ∵ tan( 17 28 ) 1 tan17 tan 28
2注意公式的结构，尤其是符号。
( )
补充 练 习
1、化简： (1)tan(α+β)(1- tanαtanβ) tan(α-β)+ tanβ (2) 1- tan(α-β)tanβ 答案: (1)tanα+ tanβ
(2)tanα
2、求值： (1) tan71 - tan26 答案: (1) 1
tan(α+β)=
tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ
变形：
tanα+ tanβ= tan(α+β)(1- tanαtanβ)
tanα- tanβ= tan(α-β)(1+ tanαtanβ)
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二课时)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第1、2课时）学习目标：1、能用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解其内在联系；2、能运用公式解决基本的三角函数式的化简、求值、证明等问题。
学习重点：运用公式进行化简、求值、证明等问题学习难点：用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
一、知识链接：1、cos(α－β)＝2、cos 80cos 35cos10cos 55+ =3、0000cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)_______a a a a -++-+= 二、新课导学 （一）新知探究思考1:由公式C αβ-出发，如何推导出两角和的余弦公式？新知1：对于任意角,αβ有：cos()αβ+=思考2：怎样用两角和与差的余弦公式推导出sin()αβ±？（利用诱导公式来实现正、余弦的互化）新知2：对于任意角,αβ有：sin()αβ+= sin()αβ-=思考3：你能用两角和与差的正、余弦公式及正切函数与正、余弦函数的关系推导出tan()αβ±吗？新知3：tan()αβ+=tan()αβ-=思考4：公式T αβ±中的,αβ依然可以是任意角吗？若不是，你能确定出公式T αβ±中的,αβ的取值范围吗？依据是什么？注意：公式的变形：tan tan αβ±=分析以上6个公式的特点，并记忆。
（二）新知运用 Ⅰ、简单的公式应用1、（A 级）求0000sin 15,sin 75,cos 75,tan 105的值。
2、（A 级）完成课本P 131的练习 第五题 （做在课本上）3、（A 级）求下列各式的值： （1）sin 21cos 39cos 21sin 39+（2 )sin20°cos50°-sin70°cos40°；（3）cos(40)cos 20sin(40)sin(20)-+--（4）0cos(25)sin(35)sin(25)ααα++-+ ； （5）tan17°＋tan28°+tan17°tan28° （6）tan 50tan 20tan 50tan 203--第二课时4、自学课本P129例题3，并完成课本P131的练习2、3、4、7 练习2 （A级）解：练习3 （A级）解：练习4 （A级）解：练习7（B级）解：5、（B级）在△ABC中，若3cos5A=，且5cos13B=，则cos___________C=Ⅱ、凑角思想的应用6、（B级）21tan(),tan(),tan()5444ππαββα+=-=+已知求的值。
高中数学 人教A版必修4 第3章 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
根据 α，β 的任意性，在上面式子中，以－β 代替 β 得
tan α＋tan－β tan α－tan β tan(α－β)＝ ＝ . 1－tan αtan－β 1＋tan αtan β
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.2（二）
问题 2 在两角和与差的正切公式中，α，β，α± β 的取值是任
【典型例题】 例1 求下列各式的值： 3＋tan 15° (1) ；(2)tan 15° ＋tan 30° ＋tan 15° tan 30° . 1－ 3tan 15°
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tan 60° ＋tan 15° 解 (1)原式＝ ＝tan(60° ＋15° ) 1－tan 60° tan 15°
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研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.2（二）
练习 2：求值：tan 20° ＋tan 40° ＋ 3tan 20° tan 40° .
解 方法一 ∵tan 20° ＋tan 40° ＝tan 60° (1－tan 20° tan 40° )，
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∴原式＝tan 60° (1－tan 20° tan 40° )＋ 3tan 20° tan 40° ＝ 3－ 3tan 20° tan 40° ＋ 3tan 20° tan 40° ＝ 3.
3.1.2（二）
探究点一 问题 1
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两角和与差的正切公式的推导
sin α 你能根据同角三角函数基本关系式 tan α＝ ，从两 cos α
角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角 α，β 的正 切值表示 tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？试一试． sinα＋β sin αcos β＋cos αsin β 答 当 cos(α＋β)≠0 时，tan(α＋β)＝ ＝ . cosα＋β cos αcos β－sin αsin β 当 cos αcos β≠0 时，分子分母同除以 cos αcos β，得 tan α＋tan β tan(α＋β)＝ . 1－tan αtan β
高中数学3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式二教案新人教A版必修4
探究点一 两角和与差的正切公式的推导
问题 1 你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝sin α
cos α
，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出
用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？试一试．
探究点二 两角和与差的正切公式的变形公式 两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－
tan α＋tan βtan α＋β＝
tan α－tan β
tan α－β
－1.
答 当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
cos αcos β－sin αsin β
.
当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得
tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
.
根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得
tan(α－β)＝tan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β
.
问题2 在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？
答 在公式T (α＋β)，T (α－β)中α，β，α±β都不能等于k π＋π2(k ∈Z )．
＝tan 120°＝－ 3.。
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)
解:(2)函数 f ( x )
sin( 2 x ) 可将函数y=sinx 2 2 3 图像上所有的点向右平移 个单位长度，得到函数 3 2 2 ) 图象上所 y sin( x )的图象; 再将 y sin( x 3 3 1 有的点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变) ,得 2 2 2 y sin( 2 x ) 到函数 的图象; 最后将 y sin( 2 x ) 3 3 2 的图像上所有点的纵坐标缩短为原来 倍(横坐标不 2 变)得到函数 f(x) 的图象.
四、课时小函数公式,注意公式的灵活运用:
(1)注意已知式子的结构特征, 灵活运用公式(如 逆用公式);
( 2)掌握形如a sin x b cos x(a , b R, ab 0)的式子 如何化为一个角的一种三角函数的形式;
(3)注意知识的综合运用, 如结合同角三角函数的 基本关系式、诱导公式进行转化, 结合三角函数 的图象和性质解决相关问题.
2 6 若f ( x ) sin 2 x sin 2 x , x R. 4 3 4 6 ( 2)函数 f ( x )的图象可由函数 y sin x , x R的图象 经过怎样的平移和伸缩变换得到 ? 2 2
sin( 2 x ) 可将函数y=sinx 方法二:(2)函数 f ( x ) 2 3 1 图象上所有的点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不 2 变) ,得到函数 y sin 2 x 的图象;
2 6 若f ( x ) sin 2 x sin 2 x , x R. 4 3 4 6 (1)求函数 f ( x )的周期及最大值; 2x 2x
2 1 3 解 : (1) f ( x ) cos( 2 x ) sin( 2 x ) 2 2 3 2 3
3,1,2两角和与差的正弦,余弦,正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式[知识探究]1.两角和的余弦公式cos(α+β)= ,简记为C (α+β).思考1: C (α±β)公式有什么共同特征? (余弦在前,正弦在后,符号改变)2.两角和与差的正弦公式S (α+β):sin(α+β)= ;S (α-β):sin(α-β)= .思考2: S (α±β)有何特征?(异名乘,符号同)拓展提升:辅角公式(1)asin x+bcos x=ϕ)（其中tan ϕ=b a,ϕ为辅助角）; ϕ)（其中tan ϕ=a b,ϕ为辅助角）. 3.两角和与差的正切公式T (α+β):tan(α+β)= tan tan 1tan tan αβαβ+-;T (α-β):tan(α-β)= tan tan 1tan tan αβαβ-+. 思考3:使用T (α±β)的条件是什么?(公式T (α±β)只有在α≠π2+k 1π,β≠π2+k 2π,α±β≠π2+k 3π(k 1,k 2,k 3∈Z )时才成立,否则就不成立,这是由正切函数的定义域所决定的) 题型一 三角函数式的化简求值【例1】 (1)cos 105°;(2)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°;(3)sin π12π12; (4)1tan 751tan 75+-. 名师导引:(1)将105°转化为两个特殊角的和或差,直接利用公式求解.(2)先利用诱导公式统一角度再逆用两角和的正弦公式 求解.(3)提取2后将12,逆用公式求解. (4)注意“1”的转化,逆用两角和的正切公式求解.解:(1)原式=cos(60°+45°)=cos 60°cos 45°-sin 60°sin 45°=12×22= (2)原式=sin 14°cos 16°+sin(90°-14°)cos(90°-16°)=sin 14°cos 16°+cos 14°sin 16°=sin(14°+16°)=sin 30°=12.(3)法一 原式=2（12sin π12cos π12） =2（sin π6sin π12-cos π6cos π12）=-2cos （π6+π12）=-2cos π4法二 原式=2（12sin π12π12） =2（cos π3sin π12-sin π3cos π12）=2sin （π12-π3）=-2sin π4 (4)原式=tan 45tan 751tan 45tan 75+-=tan(45°+75°)=tan 120°.题后反思 三角函数式的化简与求值主要是诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和差的正余弦、正切公式的正用、逆用和变形用,观察式子结构特点选取合适公式是解题的关键.转化过程中注意“1”与“tan π4”、“”与“tan π3”、“ 12”与“cos π3”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化. 跟踪训练11:(1)求sin(θ+75°)+cos(θ+45°)cos(θ+15°)的值;(2)(2014遵义四中期末)求tan 20°+tan 40°tan 20° tan 40°的值.解:(1)设α=θ+15°,则原式=sin(α+60°)+cos(α+30°α=（12sin αα）+cos α-12sin α）α =0.(2)原式=tan 60°(1-tan 20° tan 40°)+° tan 40°.题型二 三角函数的条件求值【例2】 已知π2<β<α<34π,cos(α-β)= 1213,sin(α+β)=- 35,求cos 2α的值. 名师导引:(1)寻找角的关系2α=(α+β)+(α-β);(2)借助同角三角函数关系及两角和的余弦公式求解.解:∵π2<β<α<34π,∴-34π<-β<-π2, ∴0<α-β<π4,π<α+β<32π,∴sin(α-β)=513,cos(α+β)=-45. ∴cos 2α=cos[(α-β)+(α+β)]=cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β) =1213×（-45）-513×（-35）=-3365, 即cos 2α=-3365. 题后反思 (1)解决三角函数条件求值问题的关键是寻找已知角与所求角之间的关系,恰当地拆角凑角、合理地选用公式.(2)常见角的变换有α=(α+β)-β、α=β-(β-α)、2α=(α+β)+(α-β)等.跟踪训练21:(2014洛阳期末)已知tan （π4+α）=2,tan(α-β)= 12,α∈（0,π4）,β∈（-π4,0）. (1)求tan α的值;(2)求212sin cos cos ααα+的值; (3)求2α-β的值.解:(1)tan （π4+α）=1tan 1tan αα+-=2,得tan α=13; (2)212sin cos cos ααα+=222sin cos 2sin cos cos ααααα++ =2tan 12tan 1αα++=23; (3)因为tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=tan tan()1tan tan()ααβααβ+---=1, 又α∈（0,π4）,β∈（-π4,0）,得2α-β∈（0, 3π4）,所以2α-β=π4. 题型三 辅角公式的应用【例3】 当函数≤x<2π)取得最大值时,x= .解析:函数为（x-π3）, 当0≤x<2π时,-π3≤x-π3<5π3, 所以当y 取得最大值时,x-π3=π2,所以x=5π6. 答案:5π6题后反思 辅角公式ϕ)(或asin x+bcos x=ϕ))可以将形如 asin x+bcos x(a,b 不同时为零)的三角函数式写成一个角的三角函数式.这样有利于三角函数式的化简求值,更有助于研究三角函数的性质.跟踪训练31:函数f(x)=sin x-cos （x+π6）的值域为( B )(A)[-2,2](C)[-1,1] ] 解析:f(x)=sin x-cos （x+π6）12sin x=32sin （x-π6）,所以函数f(x)的值域为,].故选B.【自主练习】1. 已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,求tan tan αβ的值. 解:∵sin(α+β)=12,∴sin αcos β+cos αsin β=12.①∵sin(α-β)=1 3 ,∴sin αcos β-cos αsin β=13.②由①,②解得sin αcos β=512, cos αsin β=112,∴tantanαβ=sin coscos sinαβαβ=512112=5.2.已知α,β都是锐角,且cos αsin β=12,求α-β的值.解:法一由α,β都是锐角及cos αβ=12,得sin αβ.所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.又由α,β都是锐角,即0<α<π2,0<β<π2,所以-π2<α-β<π2.所以α-β=π4 .法二由α,β都是锐角及cos αβ=12,得sin αβ.cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β1 2,3.（2014清远期末)化简:sin 21°cos 81°-cos 21° sin 81°等于( D )(A)12 (B)-12解析:原式=sin(21°-81°)=-sin 60°故选D. 4.已知α是锐角,sin α=35,则cos （π4+α）等于( B )(D) 解析:因为α是锐角,sin α=35, 所以cos α=45,所以cos （π4+α）×45×35.故选B. 5.sin 255°= .解析:sin 255°=-sin 75°=-sin(45°+30°)=-答案: 6.1tan12tan 72tan12tan 72--= .解析:1tan12tan 72tan12tan 72+-=-()1tan 7212-=-答案:5.已知α+β=45°,求(1+tan α)·(1+tan β)的值. 解: (1+tan α)·(1+tan β )=1+tan αtan β+tan α+tan β=1+tan αtan β+tan(α+β)(1-tan αtan β)=2。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式【知识导航】1.能根据两角差的余弦公式导出并记住两角和与差的正弦、余弦、正切公式,并灵活运用.2.能熟练地把a sin x+b cos x 化为A sin(ωx+φ)的形式. 【知识梳理】和角、差角公式如下表:归纳总结1.一般情况下,sin(α±β)≠sin α±sin β,cos(α±β)≠cos α±cos β,tan(α±β)≠tan α±tan β.2.和差角公式是诱导公式的推广,诱导公式是和差角公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcos α-cos2πsin α=0×cos α-1×sin α=-sin α.当α或β中有一个角是π2的整数倍时,通常使用诱导公式较为方便.3.使用公式时不仅要会正用,还要能够逆用公式,如化简sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β时,不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开,而应采用整体思想,进行如下变形:sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin[(α+β)-β]=sin α.这也体现了数学中的整体原则.4.注意公式的结构特征和符号规律. 对于公式C (α-β),C(α+β)可记为“同名相乘,符号反”;对于公式S(α-β),S(α+β)可记为“异名相乘,符号同”.【做一做1】若tan α=3,tan β=43,则tan(α−β)= ( ) A.-3B.−13C.3D.13解析:tan(α-β)=tan α-tan β=3-431+3×43=1.答案:D【做一做2】sin 75°的值为( ) A . 2-12 B. 2+12C.6-24D.6+24解析:sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=6+24.答案:D【做一做3】cos 75°=.解析:cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=22×32−22×12=6-24.答案:6-24化简a sin α±b cos α(ab≠0)剖析:逆用两角和与差的正弦公式,凑出sinαcosθ±cosαsinθ的形式来化简.a sinα±b cosα= a2+b2a2+b α±a2+bα ,∵a2+b22+a2+b22=1,∴可设cosθ=a2+b sinθ=a2+b则tanθ=b(θ又称为辅助角).∴a sinα±b cosα=2+b2(sinαcosθ±cosαsinθ)= a2+b2sin(α±θ).特别是当b=±1,±3,±3时,θ是特殊角,此时θ取±π,±π,±π.例如,3sinα-33cosα=9+279+27α39+27α=61sinα-3cosα=6sinαcosπ-cosαsinπ=6sin α-π.【例1】求下列各式的值:(1)sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58°;(2) 3sinπ12+cos π12. 分析:本题(1)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解,本题(2)可构造两角和的正弦公式求解.解:(1)原式=sin(360°-13°)cos(180°-32°)+sin(90°-13°)cos(90°-32°) =sin13°cos32°+cos13°sin32°=sin(13°+32°) =sin45°= 22.(2)原式=2 32sin π12+12cos π12 =2 sinπ12cos π6+sin π6cos π12 =2si n π+π=2sin π= 2.反思解答此类题目的方法就是活用、逆用C (α±β),S(α±β)公式,在解答过程中常利用诱导公式实现角的前后统一.【变式训练1】求sin(x+27°)cos(18°-x )-cos(x+27°)·sin(x-18°)的值. 解:原式=sin(x+27°)cos(18°-x )+cos(x+27°)·sin(18°-x ) =sin(x+27°+18°-x )=sin45°=22.题型二给值(式)求值问题【例2】已知cos α=13,α∈ 0,π2 ,sin β=−35,β是第三象限角,求sin(α+β),sin(α−β)的值.分析:求出sin α,cos β的值,代入公式S (α±β)即可. 解:∵cos α=1,α∈ 0,π,∴sin α= 1-cos 2α=23 2. ∵sin β=−3,β是第三象限角, ∴cos β=− 1-sin 2β=−4. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=23 2× -45 +13× -35 =−3+8 215. sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=23 2× -45 −13× -35 =3-8 215.反思分别已知α,β的某一三角函数值,求sin(α±β),cos(α±β),tan(α±β)时,其步骤:(1)利用同角三角函数基本关系式求出α,β其余的三角函数值;(2)代入公式S (α±β),C(α±β),T(α±β)计算即可.【变式训练2】(1)已知sin α=−35,α是第四象限角,则sin π4-α = . (2)已知锐角α,β满足tan(α-β)=13,tan β=12,求角α的值. (1)解析:由sin α=−3,α是第四象限角,得cos α=4,∴si n π-α =sin πcos α-co s πsin α=2×4− 2× -3 =7 2. 答案:7 2(2)解:tan α=tan[(α-β)+β]=tan (α-β)+tan β1-tan (α-β)tan β=13+121-13×12=1.∵α为锐角,∴α=π4.题型三利用角的变换求值【例3】已知cos(α+β)=4,cos(α−β)=−4,3π<α+β<2π,π<α−β<π,求cos 2α的值.分析:解答本题关键是探寻α+β,α-β与2α之间的关系,再利用两角和的余弦公式求解. 解:∵cos(α+β)=4,3π<α+β<2π,∴sin(α+β)=− 1- 4 2=−3. ∵cos(α-β)=−45,π2<α−β<π,∴sin(α-β)= 1- -45 2=35.∴cos2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=45× -45 − -35 ×35=−725. 反思解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来.(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式,如本题. (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一,可根据题目合理地选择拆分方式.【变式训练3】已知α,β∈3π4,π ,sin(α+β)=−35,sin β-π4=1213,求cos α+π4的值.解:∵α,β∈3π4,π ,sinα+β=−35,sin β-π4=1213,∴α+β∈3π2,2π ,β−π4∈π2,3π4,∴cos(α+β)=4,cos β-π=−5.则co s α+π4=cos(α+β)- β-π4=cos(α+β)co s β-π4+sinα+βsin β-π4=45×-513+-35×1213=−5665.题型四易错辨析易错点不能准确判断角的范围致错【例4】已知π<α<α+β<2π,且满足cos α=−12,cos(α+β)=172,求β.错解:∵cosα=−12,cos(α+β)=172,且π<α<α+β<2π,∴sinα=−5,sin(α+β)=−72.∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=22.∵π<α<α+β<2π,∴0<β<π.∴β=π或3π.错因分析:以上错解是由于求β的三角函数值时,函数选择不当所致.由于满足sinβ=2且β∈(0,π)的β有两值,两值的取舍就是个问题,事实上cosβ=−2,故β=3π,只有一值,故应计算角β的余弦值.正解:∵cosα=−12,cos(α+β)=172,且π<α<α+β<2π,∴sinα=−5,sin(α+β)=−7226.∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=−22.∵π<α<α+β<2π,∴0<β<π.∴β=3π.反思此类题目是给值求角问题,一般步骤是:(1)先确定角α的范围,且使这个范围尽量小;(2)根据(1)所得范围来确定求tanα,sinα,cosα中的一个值,尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数;(3)求α的一个三角函数值;(4)写出α的大小.。
§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(二)
sin( ) sin cos cos sin
S
2013-1-9
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
2
§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(二)
二、讲解新课：
sin( ) tan( ) (这里有什么要求?) cos( ) k ( k Z ) 2 sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos cos (又有什么要求?) cos cos sin sin k 2 cos cos cos cos k ( k Z ) 2 tan tan 1 tan tan
2013-1-9 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 13
§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(二)
4 4 例题2.已知 tan , tan( ) , 求 tan 2 . 5 5
解： 2
1.两角和的正切公式:
tan tan tan( ) 1 tan tan
简记为:T(α+β)
用 代替
2.两角差的正切公式:
tan tan tan( ) 1 tan tan
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简记为:T(α-β)
5
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3.
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§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(二) 变形应用
【高中数学】两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.T (α±β)：tan(α±β)，β，α±β≠π2＋k π，k ∈两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈二倍角是相对的，例如，α2是α43α是3α2的二倍角．二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φsin φ＝b a 2＋b 2，cos φ考点一三角函数公式的直接应用[典例](1)已知sin α＝35，αtan β＝－12，则tan(α－β)的值为()A ．－211B.211C.112D ．－112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin (π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为()A ．－229B ．－429C.229D.429[解析](1)因为sin α＝35，α所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.(2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×＝－429.[答案](1)A(2)B[解题技法]应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．[题组训练]1．已知sin α＝13＋cos α，且α，则cos 2α()A ．－23B.23C ．－13D.13解析：选A因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.2．已知sin α＝45，且αsin α________．解析：因为sin α＝45，且αα所以cos α＝－1－sin 2α＝－＝－35.因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以αsin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝－24＋7350.答案：－24＋7350考点二三角函数公式的逆用与变形用[典例](1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________.[解析](1)∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°·tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝3.[答案](1)－12(2)3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)公式的一些常用变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；1±sin αsin α2±cos ；sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[题组训练]1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x ，x ∈0，π2为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .2.已知sin α＝435，则________.解析：由sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，∴3sin ＝435，即＝45.答案：453.化简sin sin sin 2α的结果是________．解析：sin 2α＝1－12cos ααsin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.答案：12考点三角的变换与名的变换考法(一)三角公式中角的变换[典例](2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点－35，－若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．[解析]由角α的终边过点－35，－得sin α＝－45，cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.[答案]－5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝考法(二)三角公式中名的变换[典例](2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解](1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.[解题技法]三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[题组训练]1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos ()A.12B.13C.14D.15解析：选C由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos ＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.2．(2018·济南一模)若＝7210A sin A 的值为()A.35B.45C.35或45D.34解析：选B ∵A A ＋π4∈∴＝－210，∴sin A ＝－π4＝cos π4－sin π4＝45.3．已知sin α＝－45，α∈3π2，2π，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝()A.613B.136C ．－613D ．－136解析：选A ∵sin α＝－45，α∈3π2，2π，∴cos α＝35.又∵sin (α＋β)cos β＝2，∴sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝613.[课时跟踪检测]A 级1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝()A ．1 B.12C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin x ＋1，则cos 2x ＝()A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.3．(2018·山西名校联考)若＝－33，则cos α＝()A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选C cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ＝－1.4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝()A.3B.2C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33.5．若α3cos 2α＝sin 2α的值为()A ．－118B.118C ．－1718D.1718解析：选C由3cos 2α＝3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718.6．已知sin 2α＝13，则cos ()A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选Dcos ＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23.7．已知＝12，α－π2，cos________．解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以＝12cos α＋32sin α＝－12.答案：－128．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cosαsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若＝16，则tan α＝________.解析：tan α＝＋π4＝tanπ41－tan π4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－111．已知tan α＝2.(1)求tan(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．解：(1)∵α，β，∴－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×＝91050.B 级1．(2019·广东五校联考)若4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan2θ＝________.解析：∵4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ，又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14，∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157.答案：1572．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，＝35，则________.解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，＝35，所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π，所以sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725，＝－45，可得cos (A ＋B )＝－2425×＋725×35＝117125.答案：1171253．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝x ∈R.(1)求f(2)若cos θ＝45，θf θ解：(1)－π4＋＝－12.(2)θθ－π3＋θ＝22(sin 2θ－cos 2θ)．因为cos θ＝45，θsin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以θ＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×＝17250.。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)知识点梳理两角和与差的正切公式T (α+β)：tan(α+β)=tan α＋tan β1－tan αtan β ；T (α－β)：tan(α－β)=tan α－tan β1＋tan αtan β． 【预习自我评估】(1) 若tan )4(πα+=31,则tan α=________． .答案-21 (2)求值：75tan 175tan 1-+=________． 答案 －3常考题分类整理题型一 两角和与差的正切公式的正用、逆用、变形用【例1】 (1)若tan α=13,tan(α+β)=12,则tan β=( ) A ．17 B ．16 C ．57 D ．56解析 tan β=tan [(α+β)－α]=tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α=17．答案 A (2)1－3tan 75°3＋tan 75°=________； 解析 原式=1－tan 60°tan 75°tan 60°＋tan 75°=1tan (60°＋75°)=1tan 135°=－1．答案 －1 (3)求值：tan 23°+tan 37°+3tan 23°tan 37°=________．解析∵tan 23°+tan 37°=tan 60°(1－tan 23°tan 37°),∴原式=3－3tan 23°tan 37°+3tan 23°tan 37°=3．答案 3 方法总结 公式T (α±β)的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”的代换：在T (α±β)中,如果分子中出现“1”常利用1=tan π4来代换,以达到化简求值的目的,如3tan α＋31－tan α=3tan )4(απ+；1－tan α1＋tan α=tan )4(απ-． (2)整体变换：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体,常考虑tan(α±β)的变形公式．(3)熟知变换：两角和的正切公式的常见四种变形：①tan α+tan β=tan(α+β)(1－tan αtan β)；②1－tan αtan β=tan α＋tan βtan (α＋β)． 【变式探究1】 求值：(1)1＋tan 15°1－tan 15°； (2)tan 10°+tan 35°+tan 10°tan 35°． 解 (1)1＋tan 15°1－tan 15°=tan 45°＋tan 15°1－tan 15°tan 45°=tan(45°+15°)=tan 60°=3． (2)由tan(α+β)=tan α＋tan β1－tan αtan β得tan α+tan β=tan(α+β)(1－tan αtan β)得tan 10°+tan 35°=tan 45°(1－tan 10°tan 35°) =1－tan 10°tan 35,所以tan 10°+tan 35°+tan 10°tan 35°=1．题型二 条件求值问题【例2】 (1)设tan α,tan β是方程x 2－3x +2=0的根,则tan(α+β)的值为( )A ．－1B ．1C ． －3D ．3解析 由题意知tan α+tan β=3,tan α·tan β=2,所以tan(α+β)=tan α＋tan β1－tan α·tan β=31－2=－3．答案 C (2)已知sin α=12,α为第二象限的角,且tan(α+β)=－3,则tan β的值为( ) A ．33 B ．－33C ． 3D ．－3 解析 ∵α为第二象限角,∴cos α<0,cos α=－32,∴tan α=－33．tan β=tan [(α+β)－α]=tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α=－3＋331＋(－3)·(－33)=－33．答案 A 【变式探究2】 已知sin α＋cos αsin α－cos α=3,tan(α－β)=2,则tan(β－2α)=________． 解析 由条件知sin α＋cos αsin α－cos α=tan α＋1tan α－1=3,则tan α=2,因为tan(α－β)=2,所以tan(β－α)=－2,故tan(β－2α)=tan [(β－α)－α]=tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α=－2－21＋(－2)×2=43．答案 43 题型三 给值求角问题【例3】 (1)在△ABC 中,tan A =13, tan B =－2,则角C =________； 解析 tan(A +B )=tan A ＋tan B 1－tan A tan B =13－21－13×(－2)=－1,∵A +B ∈(0,π),∴A +B =3π4,∴C =π－(A +B )=π4．答案 π4 (2)若α,β均为钝角,且(1－tan α)(1－tan β)=2,求α+β．解 ∵(1－tan α)(1－tan β)=2,∴1－(tan α+tan β)+tan αtan β=2,∴tan α+tan β=tan αtan β－1,∴tan α＋tan β1－tan αtan β=－1.∴tan(α+β)=－1．∵α,β∈),2(ππ,∴α+β∈(π,2π)．∴α+β=7π4． 【变式探究3】 已知α为锐角,且tan(α-β)=3,tan(α+β)=2,则角α等于( )A ．π8B ．38πC ．π4D ．π2解析∵tan 2α=tan [(α+β)+(α－β)]=tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)·tan (α－β)=3＋21－3×2=－1,∴2α=－π4+k π(k ∈Z ),∴α=－π8+12k π(k ∈Z )． 又∵α为锐角,∴α=π2－π8=3π8．答案 B课堂达标训练1．与1－tan 21°1＋tan 21°相等的是( ) A ．tan 66° B ．tan 43° C ．tan 24° D ．tan 20°解析 原式=tan 45°－tan21°1＋tan 45°tan 21°=tan(45°－21°)=tan 24°．答案 C 2．已知A +B =45°,则(1+tan A )(1+tan B )的值为( )A ．不确定B ．1C ．－2D ．2解析 (1+tan A )(1+tan B )=1+(tan A +tan B )+tan A tan B =1+tan(A +B )(1－tan A tan B )+tan A tan B =1+1－tan A tan B +tan A tan B =2．答案 D3．已知tan )2(βα-=13,tan )2(αβ-=－12,则tan α＋β2=________．解析 tan α＋β2=tan[(α－β2)+(β－α2)]=12－131－12×(－13)=17．答案 -17 4．已知A ,B 都是锐角,且tan A =13,sin B =55,则A +B =____ ．答案 π45．求tan 18°＋tan 42°＋tan 120°tan 18°tan 42°tan 60°的值． 解 ∵tan 18°+tan 42°+tan 120°=tan 60°(1－tan 18°tan 42°)+tan 120°=－tan 60°tan 18°tan 42°,∴原式=－1．课后作业1．已知α,β为任意角,则下列等式：①cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β；②sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β；③cos )2(απ+=－sin α；④tan(α－β)=tan α－tan β1＋tan αtan β．其中恒成立的等式有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个解析 ①②③恒成立．答案 B 2．若tan )4(απ+=－2,则tan α的值为( )A ．13B ．3C ．23D ．2 解析 tan(α+π4)=1＋tan α1－tan α=2,解得tan α=3．答案 B 3．A ,B ,C 是△ABC 的三个内角,且tan A ,tan B 是方程3x 2－5x +1=0的两个实数根,则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定解析 ∵tan A +tan B =53,tan A ·tan B =13,∴tan(A +B )=52,∴tan C =－tan(A +B )=－52,∴C 为钝角．答案 C 4．设tan(α+β)=25,tan(β－π4)=14,则tan(α+π4)=________． 解析 tan(α+π4)=tan[(α+β)－(β－π4)]=25－141＋25×14=322．答案 322 5．如果tan α,tan β是方程x 2－3x －3=0两根,则sin (α＋β)cos (α－β)=________． 解析 sin (α＋β)cos (α－β)=sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β=tan α＋tan β1＋tan αtan β=31＋(－3)=－32．答案 －32 6．已知tan α,tan β是方程x 2－3x －3=0的两根,试求sin 2(α+β)－3sin(α+β)cos(α+β)－3cos 2(α+β)的值．解 由已知有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝－3.∴tan(α+β)=tan α＋tan β1－tan αtan β=31－(－3)=34．∴sin 2(α+β)－3sin(α+β)cos(α+β)－3cos 2(α+β)=sin 2(α＋β)－3sin (α＋β)cos (α＋β)－3cos 2(α＋β)sin 2(α＋β)＋cos 2(α＋β)=tan 2(α＋β)－3tan (α＋β)－3tan 2(α＋β)＋1=(34)2－3×34－3(34)2＋1=－3． 7．已知tan α,tan β是方程x 2+33x +4=0的两根,且－π2<α<π2,－π2<β<π2,求α+β的值． 解 由根与系数的关系得tan α+tan β=－33,tan α·tan β=4,∴tan α<0,tan β<0,∴tan(α+β)=tan α＋tan β1－tan αtan β=－331－4=3,又－π2<α<π2,－π2<β<π2,且tan α<0,tan β<0．∴－π2<α<0,－π2<β<0,∴－π<α+β<0,∴α+β=－2π3． 8．在△ABC 中,tan A +tan B +tan C =33,tan 2B =tan A ·tan C ,则∠B 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析 由公式变形得：tan A +tan B =tan(A +B )(1－tan A tan B )=tan(180°－C )(1－tan A tan B )=－tan C (1－tan A tan B ) =－tan C +tan A tan B tan C ．∴tan A +tan B +tan C =－tan C +tan A tan B tan C +tan C =tan A tan B tan C =33． ∵tan 2B =tan A tan C ,∴tan 3B =33．∴tan B =3,B =60°．答案 C9．已知tan α=lg 10a , tan β=lg 1a ,且α+β=π4,则实数a 的值为( ) A ．1 B ．110 C ．1或10 D ．1或110解析∵α+β=π4,∴tan(α+β)=tan α＋tan β1－tan αtan β=1,tan α+tan β=1－tan αtan β,即lg 10a +lg 1a =1－lg 10a ·lg 1a ,1=1－lg 10a ·lg 1a , ∴lg 10a ·lg 1a =0．∴lg 10a =0或lg 1a =0．得a =110或a =1．答案 D 10．已知tan )4(απ+=2,则12sin αcos α＋cos 2α的值为________．答案 23 解析∵tan )4(απ+=2,∴1＋tan α1－tan α=2,解得tan α=13．∴12sin αcos α＋cos 2α=sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α=tan 2α＋12tan α＋1=19＋123＋1=23． 11．已知α,β均为锐角,且tan β=cos α－sin αcos α＋sin α,则tan(α+β)=________． 解析 ∵tan β=cos α－sin αcos α＋sin α=1－tan α1＋tan α．∴tan β+tan αtan β=1－tan α．∴tan α+tan β+tan αtan β=1． ∴tan α+tan β=1－tan αtan β．∴tan α＋tan β1－tan αtan β=1,∴tan(α+β)=1．答案 1 12．已知tan(α－β)=12,tan β=－17,且α,β∈(0,π),求2α－β的值． 解∵tan(α－β)=12,tan β=－17,∴tan α=tan [(α－β)+β]=tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β=)71(211)71(21-⨯--+=13<1．∵α∈(0,π),∴0<α<π4,0<2α<π2．又tan β=－17<0,β∈(0,π),∴π2<β<π,∴－π<2α－β<0．又tan(2α－β)=tan [(α－β)+α] =tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)tan α=12＋131－12×13=1,∴2α－β=－3π4．。
人教a版必修4学案：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)(含答案)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)自主学习知识梳理1．两角和与差的正切公式(1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝__________________. (2)T (α－β)：tan(α－β)＝__________________. 2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝__________________.tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝______________. tan α·tan β＝__________________. (2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝__________________.tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝________________. tan αtan β＝__________________.自主探究根据同角三角函数关系式完成公式T (α＋β)、T (α－β)的推导过程． ∵sin(α＋β)＝__________________. cos(α＋β)＝__________________.∴tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝____________＝_________________________________.∵tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]∴tan(α－β)＝________________＝________________.对点讲练知识点一 化简求值例1 求下列各式的值． (1)1－tan 15°1＋tan 15°；(2)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°.回顾归纳 公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个．变式训练1 求下列各式的值．(1)3＋tan 15°1－3tan 15°；(2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°.知识点二 给值求角例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.回顾归纳 此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解．变式训练2 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求角α＋β.知识点三 三角形中的问题例3 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状．回顾归纳 三角形中的问题，A ＋B ＋C ＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角．变式训练3 已知A 、B 、C 为锐角三角形ABC 的内角．求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .1．公式T (α±β)的适用范围由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )．2．公式T (α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特别注意tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α. 3．公式T (α±β)的变形应用 只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路.课时作业一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( )A.43 B ．－43 C ．－7 D ．－173．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定 5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．tan 10° D.3tan 20°二、填空题6．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.7．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝________.8．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为________．三、解答题9．求下列各式的值． (1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．123456 345678 5678910 7 8 9 10 11 12 9 10 11 12 13 14 11 12 13 14 15 16 579 68 10 100/6=18*37+154+16*33-2 666 5123.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)答案知识梳理1．(1)tan α＋tan β1－tan αtan β (2)tan α－tan β1＋tan αtan β2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βtan (α＋β)(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan βtan (α－β)－1自主探究sin αcos β＋cos αsin β cos αcos β－sin αsin β sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin βtan α＋tan β1－tan αtan βtan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β) tan α－tan β1＋tan αtan β对点讲练例1 解 (1)原式＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝33.(2)∵tan 60°＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°＝ 3.∴tan 20°＋tan 40°＝3(1－tan 20°tan 40°) ∴原式＝3(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40° ＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40° ＝ 3.变式训练1 解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋ 3.(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°·tan 84° ＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°·tan 84°＝tan 120°＝－ 3. 例2 解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2， ∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2， ∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1 ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∴tan(α＋β)＝－1. ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π.∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝7π4.变式训练2 解 由已知得⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33tan α·tan β＝4∴tan α、tan β均为负．∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.∵tan α<0，tan β<0，∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－2π3.例3 解 ∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1， ∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1， ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33，∴tan(A ＋B )＝－33.又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6，∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33，∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33，∴B ＝π6，∴A ＝2π3，∴△ABC 为等腰三角形．变式训练3 证明 ∵A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＋B ＝π－C .∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－tan C .∴tan A ＋tan B ＝－tan C ＋tan A tan B tan C . 即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C . 课时作业1．A 2.C 3.C4．A [tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，∴C 为钝角．]5．A [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10°＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°)＝3×33＝1.]6．1解析 tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α.∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 7．－32解析 ∵tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3， ∴sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β ＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32.8.23解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13.∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23.9．解 (1)原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3. (2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76° ＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.10．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.。
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3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）
一、教学目标
1、理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式，体会三角恒等变换特点的过程；
2、掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及ααcos sin b a +类型的变换。
二、教学重、难点
1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的运用；
2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.
三、教学设想：
（一）复习式导入：（1）基本公式
βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+
βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+
βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+
（2）练习：教材P132面第6题。
思考：怎样求ααcos sin b a +类型？
（二）新课讲授
例1
x x 解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？
)()1cos sin 30cos cos30sin 302x x x x x x x ⎫-==-=-⎪⎪⎭
思考：
=，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于12和的.
归纳：
b a b a b a =++=+ϕϕαααtan )
sin(cos sin 22 例2、已知：函数R x x x x f ∈-=,cos 32sin 2)(
求)(x f 的最值。
（2）求)(x f 的周期、单调性。
例3．已知A 、B 、C 为△ABC 的三內角，向量)3,1(-=m
，)sin ,(cos A A n = ，且1=∙n m ，
求角A 。
（2）若3
sin cos cos sin 2122-=-∙+B B B
B ，求tan
C 的值。
练习：（1）教材P 132面7题
（2）在△ABC 中，B A B A cos cos sin sin ，则△ABC 为（ ）
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．等腰三角形
（2） 的值为
12sin 12cos 3π
π-（ ）
A ． 0
B ．2
C ．2
D ．2- 思考：已知432π
βπ ，1312
)cos(=-βα，53
)sin(-=+βα，求α2sin 三、小结：掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及ααcos sin b a +类型的变换
四、作业：《习案》作业三十一的1、2、3题。