2016高考数学二轮复习微专题强化练习题：28几何证明选讲

第一部分 三 28一、填空题1．(文)如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠ACB ＝70°，CF 是△ABC 的边AB 上的高，FP ⊥BC 于点P ，FQ ⊥AC 于点Q ，则∠CQP 的大小为________．[答案] 50°[解析] 由PF ⊥BC ，FQ ⊥AC ，得C 、Q 、F 、P 四点共圆，所以∠CQP ＝∠CFP ＝∠B ＝180°－(∠A ＋∠C )＝180°－(60°＋70°)＝50°.(理)如图，已知P A 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B 、C 两点，AC ＝3，∠P AB ＝30°，则线段PB 的长为________．[答案] 1[解析] 因为P A 是圆O 的切线，∠P AB ＝30°，由弦切角定理可得∠ACB ＝∠P AB ＝30°，而∠CAB ＝90°，∠ABC ＝60°，所以AB ＝12BC ，又因为AC ＝3，所以AB ＝1，BC ＝2，∠PBA ＝120°，所以∠APB ＝∠P AB ＝30°，∴PB ＝AB ＝1.2．(文)如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF FB BE ＝4 2 1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．[答案]72[解析] 设BE ＝a ，则AF ＝4a ，FB ＝2a ，根据相交弦定理：DF ·FC ＝AF ·FB ，则2＝8a 2，∴a 2＝14，由切割线定理：EC 2＝BE ·AE ＝7a 2，∴EC 2＝74，∴EC ＝72.(理)(2014·湖南理，12)如图，已知AB 、BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．[答案] 32[解析] 本题考查勾股定理、相交弦定理．设线段AO 交BC 于点D ，延长AO 交圆于另外一点E ，则BD ＝DC ＝2，在三角形ABD 中由勾股定理可得AD ＝1，由相交弦定理可得BD ·DC ＝AD ·DE ，∴DE ＝2，则直径AE ＝3⇒r ＝32，故填32.3．(2015·湖北理，15)如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC ＝3PB ，则ABAC＝________.[答案] 12[解析] 设PB ＝a ，则BC ＝3a ，由P A 2＝PB ·PC 可得P A ＝2a ；又因为△P AB ∽△PCA ， 所以由P A PC ＝AB CA 可解得AB AC ＝12. 故本题正确答案为12.4．(文)如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若P A ＝3，PD DB ＝9 16，则PD ＝________，AB ＝________.[答案] 95，4[解析] 由于PD DB ＝9 16，设PD ＝9a ，则DB ＝16a ，根据切割线定理有P A 2＝PD ·PB 有a ＝15，所以PD ＝95，在直角△PBA 中，AB 2＝PB 2－AP 2＝16，所以AB ＝4.(理) (2015·重庆理，14)如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若P A ＝6，AE ＝9，PC ＝3，CE ED ＝2 1，则BE ＝________.[答案] 2[解析] 此题主要考查切割线定理，属于简单题型．由切割线定理知P A 2＝PC ·PD ，易得PD ＝12，故CD ＝PD －PC ＝9，因为CE ED ＝2 1，故CE ＝6，ED ＝3.由相交弦定理可得AE ·EB ＝CE ·ED ，又因为AE ＝9，CE ＝6，ED ＝3，易得EB ＝2.5．(文)(2015·广东理，15)如图，已知AB 是圆O 的直径，AB ＝4，EC 是圆O 的切线，切点为C ，BC ＝1.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD ＝________.[答案] 8[解析] 本题考查直线与圆、直角三角形的射影定理，属于中档题．如下图所示，连接OC ，因为OD ∥BC ，又BC ⊥AC ，所以OP ⊥AC ，又O 为AB 线段的中点，所以OP ＝12BC ＝12，在Rt △OCD 中，OC ＝12AB ＝2，由直角三角形的射影定理可得OC 2＝OP ·OD ，所以OD ＝OC 2OP ＝2212＝8.(理)在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且AE ＝12EB ，连接DE 、AC ，若AC与DE 相交于点F ，△AEF 的面积为1cm 2，则△AFD 的面积为________cm 2.[答案] 3[解析] ∵AB ∥CD ，∴△AEF ∽△CDF ， ∴DF FE ＝DCAE ＝3，S △AFD S △AFE ＝DF FE＝3，S △AFD ＝3S △AFE ＝3cm 2. 6．(文)如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC ．过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为________．[答案] 83[解析] 如图所示：∵AE 为圆的切线，∴AE 2＝BE ·ED ， 设BE ＝x ，∴36＝x (5＋x )， x 2＋5x －36＝0，∴x ＝4. ∵AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC ，又∠EAB ＝∠ACB ，∴∠EAB ＝∠ABC ，∴AE ∥BC ， 又EB ∥AC ，∴四边形BCAE 为平行四边形， ∴BC ＝AE ＝6，AC ＝BE ＝4， ∵△DFB ∽△AFC ， ∴BD AC ＝BF FC ，∴54＝6－FC FC ，∴FC ＝83. (理)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD 于D ，BD 与外接圆交于点E ，已知DE ＝5，则△ABC 的外接圆的半径为________．[答案] 10[解析] 利用切割线定理和正弦定理求解．因为CD 是圆的切线，所以∠BCD ＝∠BAC ＝60°，所以DB ＝3DC ．又由切割线定理可得DC 2＝DE ×DB ＝53DC ，则DC ＝53，所以BC ＝2DC ＝10 3.在直角三角形ABC 中，由正弦定理可得2R ＝AB ＝BC sin A ＝10332＝20，所以△ABC 的外接圆的半径R ＝10.二、解答题7. (2015·辽宁葫芦岛市一模)如图，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，证明：(1)BE ＝EC ； (2)AD ·DE ＝2PB 2.[证明] (1)连接AB ，AC ．由题设知P A ＝PD ，故∠P AD ＝∠PDA ．因为∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA ，∠P AD ＝∠BAD ＋∠P AB ，∠DCA ＝∠P AB ， 所以∠DAC ＝∠BAD ，因此BE ＝EC ． (2)由切割线定理得P A 2＝PB ·PC ．因为P A ＝PD ＝DC ，所以PD 2＝(PD －BD )·2PD ，∴PD ＝2BD ，∴DC ＝2PB ，BD ＝PB ． 由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ， 所以AD ·DE ＝2PB 2.8．(文)(2014·沈阳市质检)如图，△ABC 内接于圆O ，AD 平分∠BAC 交圆O 于点D ，过点B 作圆O 的切线交直线AD 于点E .(1)求证：∠EBD ＝∠CBD ； (2)求证：AB ·BE ＝AE ·DC ．[解析] (1)∵BE 为圆O 的切线， ∴∠EBD ＝∠BAD ，又∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ， ∴∠EBD ＝∠CAD ．又∵∠CBD ＝∠CAD ，∴∠EBD ＝∠CBD ．(2)在△EBD 和△EAB 中，∠E ＝∠E ，∠EBD ＝∠EAB ， ∴△EBD ∽△EAB ，∴BE AE ＝BD AB ，∴AB ·BE ＝AE ·BD ，又∵AD 平分∠BAC ，∴BD ＝DC ， 故AB ·BE ＝AE ·DC ．(理)(2014·唐山市二模)如图，E 是圆O 内两弦AB 和CD 的交点，过AD 延长线上一点F 作圆O 的切线FG ，G 为切点，已知EF ＝FG .求证：(1)△DEF ∽△EAF ； (2)EF ∥CB ．[分析] (1)欲证△DEF ∽△EAF ，可证两个三角形有两内角对应相等，亦可证两个三角形有两边对应成比例，夹角对应相等，由已知条件，FG 、F A 分别是圆的切线、割线及EF ＝FG 可知两个三角形有两条边对应成比例，关键是其夹角相等，而夹角是公共角，第一问获证．(2)欲证EF ∥CB ，由圆想到可证角相等(同位角、内错角)，注意利用圆的有关角的性质和(1)的结论．[解析] (1)由切割线定理得FG 2＝F A ·FD ． 又EF ＝FG ，所以EF 2＝F A ·FD ，即EF F A ＝FD EF .因为∠EF A ＝∠DFE ，所以△DEF ∽△EAF .(2)由(1)得∠FED ＝∠F AE . 因为∠F AE ＝∠DAB ＝∠DCB ， 所以∠FED ＝∠BCD ，所以EF ∥CB ．9．(文) (2015·洛阳市质量监测)如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，ADE 是⊙O 的割线，C 是⊙O 外一点，且AB ＝AC ，连接BD ，BE ，CD ，CE ，CD 交⊙O 于F ，CE 交⊙O 于G .(1)求证：BE ·CD ＝BD ·CE ； (2)求证：FG ∥AC ．[证明] (1)由已知得∠ABD ＝∠AEB ，而∠BAD ＝∠EAB ， ∴△ABD ∽△AEB ，所以BD BE ＝AB AE ＝ADAB ，又AB ＝AC ，所以BD ·AE ＝AB ·BE ， ① 且AC AE ＝ADAC，又∠CAD ＝∠EAC ，∴△ADC ∽△ACE ， 所以DC CE ＝ACAE ，即DC ·AE ＝AC ·CE . ②由①②两式相除可得BE ·CD ＝BD ·CE . (2)由△ADC ∽△ACE 得，∠ACD ＝∠AEC ， 又D ，F ，G ，E 四点共圆，∴∠GFC ＝∠AEC ，因此∠GFC ＝∠ACD ，所以FG ∥AC ．(理)(2015·河南八市质量监测)已知BC 为圆O 的直径，点A 为圆周上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点A 作圆O 的切线交BC 的延长线于点P ，过点B 作BE 垂直P A 的延长线于点E .求证：(1)P A ·PD ＝PE ·PC ； (2)AD ＝AE .[证明] (1)因为AD ⊥BP ，BE ⊥AP ，所以△APD ∽△BPE ， 所以AP BP ＝PDPE ，所以AP ·PE ＝PD ·PB ，又因为P A ，PB 分别为圆O 的切线和割线， 所以P A 2＝PB ·PC ，所以AP PE ＝PCPD ，所以P A ·PD ＝PE ·PC ．(2)连接AC ，DE ，因为BC 为圆O 的直径，所以∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC ，因为AP PE ＝PCPD ，所以AC ∥DE ，所以AB ⊥DE ，又因为BE ⊥AP ，AD ⊥PB ， 所以A ，D ，B ，E 四点共圆且AB 为直径， 又因为AB ⊥DE ，所以AD ＝AE .10．圆的两条弦AB 、CD 交于点F ，从F 点引BC 的平行线和直线DA 的延长线交于点P ，再从点P 引这个圆的切线，切点是Q .求证：PF ＝PQ .[分析] 要证PF ＝PQ ，因为PQ 为圆的切线，∴PQ 2＝P A ·PD ，故只须证PF 2＝P A ·PD ，观察图形及条件可以发现，PF 与P A 在△APF 中，PF 与PD 在△EPD 中，若能证得这两个三角形相似，则问题获解，由于两个三角形有公共角∠APF ，只须再找一角相等即可．由圆的几何性质不难证得∠AFP ＝∠ADF ，故△APF ∽△FPD ．[证明] 因为A 、B 、C 、D 四点共圆， 所以∠ADF ＝∠ABC ．因为PF ∥BC ，所以∠AFP ＝∠ABC ，所以∠AFP ＝∠ADF . 又因为∠APF ＝∠FPD ，所以△APF ∽△FPD ，所以PF P A ＝PDPF ，所以PF 2＝P A ·PD ．因为PQ 与圆相切，所以PQ 2＝P A ·PD ． 所以PF 2＝PQ 2，所以PF ＝PQ .11．(文)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B 、E 、F 、C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值． [解析] (1)因为CD 为△ABC 外接圆的切线， 所以∠DCB ＝∠A ， 由题设知BC F A ＝DC EA，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A ．因为B 、E 、F 、C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ， 故∠EF A ＝∠CFE ＝90°，所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连接CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B 、E 、F 、C 四点的圆的直径为CE ， 由DB ＝BE ，有CE ＝DC ， 又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而CE 2＝DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.(理)(2014·唐山市一模)如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD ⊥OE 于D ，割线EC 交圆O 于B 、C 两点．(1)证明：O 、D 、B 、C 四点共圆；(2)设∠DBC ＝50°，∠OBC ＝30°，求∠OEC 的大小．[分析] (1)由EA 、EC 分别为切线和割线，可利用切割线定理，由EA 为切线，AD ⊥EO ，在Rt △EOA 中可利用射影定理，这样可得到边的比例关系式．要证O 、D 、B 、C 四点共圆，只需证明对角互补或外角等于内对角，结合条件与结论可考虑证明三角形相似，即△BDE ∽△OCE .(2)给出∠DBC 与∠OBC 的大小，欲求∠OEC 的大小，由外角定理∠OEC ＝∠DBC －∠BDE ，由OB ＝OC 知∠OBC ＝∠OCB ，沟通两者的桥梁是(1)的结论，∠BDE ＝∠OCB ，于是获解．[解析] (1)连接OA 、OC ，则OA ⊥EA ．由射影定理得EA 2＝ED ·EO . 由切割线定理得EA 2＝EB ·EC ， 故ED ·EO ＝EB ·EC ，即ED EB ＝EC EO，又∠OEC ＝∠OEC ，所以△BDE ∽△OCE ， 所以∠EDB ＝∠OCE .因此O ，D ，B ，C 四点共圆．(2)因为∠OEC ＋∠OCB ＋∠COE ＝180°，结合(1)得 ∠OEC ＝180°－∠OCB －∠COE ＝180°－∠OBC －∠DBE ＝180°－∠OBC －(180°－∠DBC )＝∠DBC －∠OBC ＝20°.12．(文) (2015·江西质量监测)如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AD ·AB ＝AE ·AC ．(1)求证：B ，C ，D ，E 四点共圆；(2)若三角形ABC 是边长为3的正三角形，且AD ＝1，求B ，C ，D ，E 四点所在圆的半径．[解析] (1)因为AD ·AB ＝AE ·AG ，所以AD AC ＝AE AB， 所以△ADE ∽△ACB ，所以∠ADE ＝∠ACB ，又∠ADE ＋∠BDE ＝180°，所以∠ACB ＋∠BDE ＝180°，所以B ，C ，D ，E 四点共圆．(2)依题意：BCED 是等腰梯形，且高为3，设B ，C ，D ，E 四点所在圆的半径为r ， 则r 2－14＋r 2－94＝3， 解得r ＝213，∴B ，C ，D ，E 四点所在圆的半径为213. (理)(2015·唐山市一模)如图，圆周角∠BAC 的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .(1)求证：BC ∥DE ；(2)若D ，E ，C ，F 四点共圆，且AC ＝BC ，求∠BAC ．[解析] (1)证明：因为∠EDC ＝∠DAC ，∠DAC ＝∠DAB ，∠DAB＝∠DCB ，所以∠EDC ＝∠DCB ，所以BC ∥DE .(2)解：因为D ，E ，C ，F 四点共圆，所以∠CF A ＝∠CED ，由(1)知∠ACF ＝∠CED ，所以∠CF A ＝∠ACF .设∠DAC ＝∠DAB ＝x ，因为AC ＝BC ，所以∠CBA ＝∠BAC ＝2x ，所以∠CF A ＝∠FBA ＋∠F AB ＝3x ，在等腰△ACF 中，π＝∠CF A ＋∠ACF ＋∠CAF ＝7x ，则x ＝π7，所以∠BAC ＝2x ＝2π7. [方法点拨] 这一部分主要命题方式是将圆的有关角、比例线段或圆内接四边形和三角形相似结合，求角，求线段长等，注意依据条件和结论选择思维方向，如：①给出切线时，常作辅助线是作过切点的半径，考虑方向是切割线定理，直角三角形射影定理、弦切角与圆周角的互化等；②给出平行线时，主要考虑角的关系及三角形相似；③有关圆的问题，求线段长时，常考虑相交弦定理、切割线定理、射影定理、垂径定理；④证明比例线段，主要通过三角形相似．。