最新人教版高中数学必修4第三章《两角和与差的正切》示范教案

示范教案整体设计教学分析教材把两角和与差的正切公式从正弦、余弦中分离出来，单独作为一节，这对学生的自主探究学习提供了平台．因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，对其应用学生有了一定的理解，同时对于三角函数变形中，角的变换也有了一定的掌握，因此在本节课的教学中可以充分利用学生的知识迁移，更多地让学生自主学习，独立地推导两角和与差的正切公式，为学生提供进一步实践的机会．也可以说本节并不是什么新的内容，而是对前面所学知识的整合而已．在探究中让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心，培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神．对于公式成立的条件，可以在学生自主推导公式中通过观察、比较、分析、讨论，在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解决．在学习两角和与差的正切公式中，有许多优美的三角恒等式，它可以唤起学生的美感，教学中要注意这种形式上的特点，引导学生欣赏其结构、变形之美．本节作为两角和与差的三角函数的最后一节内容，教学时可以将两角和与差的三角函数公式作一个小结，从分析公式的推导过程入手，探究问题解决的来龙去脉，揭示它们的逻辑关系，使学生更好地用分析的方法寻求解题思路．三维目标1．会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式，能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值及三角恒等证明．2．通过两角和与差的正切公式的推导及运用，让学生从中体会转化与化归的思想方法，培养学生用联系变化的观点观察问题，通过学生的互相交流增强学生的合作能力，加强学生对公式的理解，在公式变形美的熏陶下提高数学审美层次．重点难点教学重点：两角和与差的正切公式的推导及应用．教学难点：两角和与差的正切公式的灵活运用，特别是逆用及变形用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)通过前面的学习，你能否求出tan15°的值？学生很容易转化为30°、45°的正弦、余弦来求．教师进一步提出：能否直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？由此展开新课，探究两角和与差的正切公式．思路2.(直接导入)在研究了和与差角α±β的正弦、余弦与单角α、β的正弦、余弦间的关系后，能否探究出tan(α±β)与tanα、tanβ间的关系？是否与sin(α±β)公式相似？如何推导呢？由此展开新课，揭示课题．推进新课新知探究提出问题(1)利用所学两角和与差正弦与余弦公式很容易求出tan15°的值，那么怎样直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？(2)利用所学两角和与差的公式，对比分析公式Cα－β、Cα＋β、Sα－β、Sα＋β，能否推导出tan(α－β)＝？tan(α＋β)＝？(3)分析观察公式T α－β、T α＋β的结构特征与正、余弦公式有什么不同？(4)前面两角和与差的正、余弦公式是恒等式，和与差的正切呢？活动：教师引导学生观察思考前面我们推出的公式C α－β、C α＋β、S α＋β、S α－β，可以完全让学生自己进行探究tan(α－β)，tan(α＋β)究竟如何，教师只是适时地点拨就行了．通过教师引导学生自然会想到利用同角三角函数关系式化弦为切，通过除以cosαcosβ即可得到，在这一过程中学生很可能想不到讨论cosαcosβ等于零的情况，这时教师不要直接提醒，让学生通过观察验证自己悟出来才有好效果．对cosαcosβ讨论如下：当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβ. 若cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0时，分子分母同除以cosαcosβ，得tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ. 根据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用－β代之，则有tan(α－β)＝tanα＋tan (－β)1－tanαtan (－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ. 由此推得两角和与差的正切公式，简记为“T α－β、T α＋β”．tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ(T α＋β)， tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ(T α－β)． 我们把公式T α＋β、T α－β分别称作两角和的正切公式与两角差的正切公式，并且从推导过程可以知道α、β、α±β有一定的取值范围，即α≠π2＋kπ(k ∈Z )，β≠π2＋kπ(k ∈Z )，α±β≠π2＋kπ(k ∈Z )，这样才能保证tan(α±β)与tanα，tanβ都有意义．教师应留出一定的时间让学生回味、反思探究过程，点明推导过程的关键是：tan(α＋β)→sin(α＋β)，cos(α＋β)→sinα、sinβ、cosα、cosβ→tanα、tanβ.我们学习公式一定要掌握公式成立的条件、公式的形式及公式的作用三个方面：①公式成立的条件是什么？(提示学生从公式的形式和推导过程看)tanα、tanβ、tan(α±β)都有意义，且1±tanαtanβ≠0；②注意公式的形式：公式右边分子是单角α、β正切的和与差，分母是1减(或加)单角α、β正切的积公式，右边分子的符号与公式左边的符号相同，公式右边分母的符号与分子的符号相反；③公式的作用：将复角α±β的正切化为单角α、β的正切形式，用于角的变换．(基本关系式用于三角函数的变形)可用于三角函数的计算、化简、证明．至此，我们学完了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，统一叫做三角函数的和差公式．一般地，我们把公式S α＋β，C α＋β，T α＋β都叫做和角公式，而把公式S α－β，C α－β，T α－β都叫做差角公式．要让学生明晰这六个公式的推导过程，清晰逻辑关系主线．可让学生自己画出这六个框图，通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式．同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用．如两角和与差的正切公式的变形式：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，在化简求值中就经常用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美及数学公式的魅力．对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T α±β处理某些问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(π2－β)，因为tan π2的值不存在，不能应用两角和与差的正切公式，所以改用诱导公式tan(π2－β)＝sin (π2－β)cos (π2－β)＝cosβsinβ来处理．讨论结果：(1)～(4)略．应用示例例 1已知tanα＝2，tanβ＝－13，其中0<α<π2，π2<β<π. (1)求tan(α－β)；(2)求α＋β的值．活动：本例是两角和与差的正切公式的直接运用，教师可让学生独立解决．对于(2)教师要提醒学生注意判断角的范围，这是解这类题目的关键步骤．让学生养成良好的习惯：由三角函数值求角必先找出所求角的范围．解：(1)因为已知tanα＝2，tanβ＝－13，所以tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanα·tanβ＝2＋131－23＝7. (2)因为tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝2－131＋23＝1， 又因为0<α<π2，π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2. 在π2与3π2之间，只有5π4的正切值等于1， 所以α＋β＝5π4. 例 2求下列各式的精确值．(1)tan75°；(2)tan17°＋tan43°1－tan17°tan43°. 解：(1)tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－33＝2＋3； (2)tan17°＋tan43°1－tan17°tan43°＝tan(17°＋43°)＝tan60°＝ 3. 点评：本例体现了对公式全面理解上的要求，要求学生能够从正、反两个角度使用公式，与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更深刻的认识.例 3若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，求tan(α＋π4)的值． 解：因为α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)， 所以tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan (α＋β)－tan (β－π4)1＋tan (α＋β)tan (β－π4) ＝25－141＋25×14＝322. 点评：本题是典型的变角问题，就是把所求角利用已知角来表示，具有一定的拆角技巧，这就需要教师巧妙地引导，让学生亲自动手进行角的变换，使之明白此类变角的技巧，从而培养学生灵活运用公式的能力.例 4已知α＋β＝45°，求(1＋tanα)(1＋tanβ)的值．解：∵α＋β＝45°，∴tan(α＋β)＝tan45°＝1.又∵tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，∴tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)， 即tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.∴原式＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1＋(1－tanαtanβ)＋tanαtanβ＝2.点评：本题是公式的变形应用，当出现α＋β为特殊角时，就可以考虑逆用两角和的正切公式的变形式tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，这个变形式子对我们解题很有用处．解课堂小结本节课主要学习的是：推导了两角和与差的正切公式；研究了公式成立的条件、公式的形式及公式的作用；学习了公式的应用，通过公式的推导，加强了对“转化”数学思想方法的理解，通过例题我们对公式不仅要会正用，还要会逆用，有时还需要适当变形后再用，这样才能全面地掌握公式．作业课本本节习题3—1 A 组1～3 B 组1～3.设计感想1．因为本节内容是两角和与差公式的最后一节，所以本节教案的设计目的既是两角和与差正弦余弦公式的继续，也注意了复习巩固两角和差公式．设计意图在于深刻理解公式的内在联系，学会综合利用公式解题的方法和技巧．因此本节课安排的几个例子都是围绕这个目标设计的，它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用．另外，通过补充的例题，教给学生正用、逆用、变形用公式的方法，培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力．2．对于本节课来说，我们应该本着以学生为主体，教师为主导的原则，让学生充分发挥自己的学习智能，由学生唱好本节的主角．在设计例习题上，也是先让学生审题、独立思考、探究解法，然后教师再进行必要的点评．重在理清思路，纠正错误，点拨解法，争取一题多解，拓展思路，通过变式训练再进行方法提升，开拓题型．备课资料备用习题1．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为( )A ．－1B ．－12C.57D.172．tan30°＋tan15°＋tan15°tan30°的值等于( )A.12B.22C. 2 D ．1 3.tan55°－tan385°1－tan (－305°)tan (－25°)＝________. 4．已知tan110°＝a ，则tan50°的值为________．5．若tanx ＝1－tan20°1＋tan20°，则x ＝________. 6．已知sinα＝－35，cosβ＝513，且α，β的终边在同一象限，求tan(α＋β)的值． 7．若3sinx ＋3cosx ＝23sin(x ＋φ)且φ∈(0，π2)，求tan(φ＋π4)的值． 8．在平面直角坐标系中，点P 在以原点O 为圆心、6为半径的圆上运动，线段OP 与以O 为圆心、2为半径的圆交于R 点，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，过R 作PM 的垂线，垂足为Q ，求∠POQ 的最大值．参考答案：1．D 2.D 3.33 4.a －31＋3a5.25°＋k·180°(k ∈Z )6.6316. 7．分析：如何求φ是本题的关键． 解：∵3sinx ＋3cosx ＝23(32sinx ＋12cosx)＝23(sinxcos π6＋cosxsin π6)＝23sin(x ＋π6)， ∴23sin(x ＋φ)＝23sin(x ＋π6)． 又∵φ∈(0，π2)，∴φ＝π6. ∴tan(φ＋π4)＝1＋tanφ1－t anφ＝1＋331－33＝3＋33－3＝9＋3＋6332－3＝2＋ 3. 8．解：本应考虑点P 在四个象限的情形，由于对称性，可不妨设点P 在第一象限，设∠xOP ＝α，∠xOQ ＝β，则∠POQ ＝α－β，Q(6cosα，2sinα)，tanβ＝2sinα6cosα＝13tanα. 故tan ∠POQ ＝tan(α－β)＝ta nα－tanβ1＋tanαtanβ＝tanα－13tanα1＋13tan 2α＝2tanα3＋tan 2α. 设tan ∠POQ ＝y ，tanα＝t ，则y ＝2t 3＋t 2， 即yt 2－2t ＋3y ＝0.由α是锐角，可知t ＞0，从而y ＝2t 3＋t 2＞0. 又Δ＝4－12y 2≥0，故0＜y ≤33，且当t ＝3时，y ＝33. 故y 的最大值，即tan ∠POQ 的最大值为33.所以∠POQ 的最大值为π6.。