山西省临汾市高三下学期模拟考试2数学理 含答案

理科数学测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知i 是虚数单位，20172i3i 1iz =-+，且z的共轭复数为z ，则z z ⋅=（ ） A ．3B ．5C ．5D ．32．已知全集为R ，集合2{|2}A x x x =<,{|lg(+4)1}B x x =<，则()A B =R I ð（ ）A ．[3,2]-B ．[3,6)-C ．[3,0][2,+)-∞UD ．[3,0][2,6)-U3．已知函数1,0()2 , 0x x x f x x ⎧+>⎪=⎨⎪⎩≤，若()2f a <，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3)-∞B ．(,2)-∞C ．(1,2)D ．(0,3)4．已知夹角为θ的向量,a b 满足()2⋅+=a a b ，且||2||2==a b ，则向量,a b 的关系是( ) A ．互相垂直B ．方向相同C ．方向相反D ．成120︒角5．公差不为零的等差数列{}n a 中，367,,a a a 成等比数列，则46a a = （ ）A ．72-B ．73C ．213-D ．1376．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A ．9182π+ B ．9362π+ C ．1818π+ D ．1836π+7．已知α满足2sin()4πα+=，则2tan 12tan αα+=（ ）A ．98 B ．98-C ．3D ．3-8．运行如图所示的程序算法，若输入m 的值为20，则输出的结果为（ ）A ．20B ．10C ．0D ．10-9．随着新政策的实施，海淘免税时代于2016年4月8日正式结束，新政策实施后，海外购物的费用可能会增加.为了解新制度对海淘的影响，某记者调查了身边喜欢海淘的10位朋友，其态度共有两类：第一类是会降低海淘数量，共有4人，第二类是不会降低海淘数量,共有6人.若该记者计划从这10人中随机选取5人按顺序进行采访，则“第一类”的人数多于“第二类”，且采访中“第二类”不连续进行的不同采访顺序有 （ ） A ．3840B ．5040C ．6020D ．720010．若不等式组20200x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥(0)k <所表示的平面区域的面积为4，则21x y z x +=-的取值范围是 （ ）A ．2[2,]5-B ．12[2,]5-C ．12(,0][,)5-∞+∞U D ．12(,2][,)5-∞-+∞U11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M 的中点，O 为坐标原点，2||||2ON NF b -=, 260ONF ∠=︒,12F MF △的面积为23，则该双曲线的方程为 （ ）A ．22142x y -=B ．22144x y -=C ．22182x y -= D ．22184x y -= 12．已知函数3|2|1,0()3+1,0x x f x x x x --⎧=⎨-+<⎩≥，函数ln (1)+,1()2,1x m x g x x x -+>-⎧=⎨+-⎩≤，若方程()()f x g x =恰好有4个实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．3(ln2,)2B ．(ln2,4)C ．(ln3,2)D ．(ln31,1)-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．在讨论勾股定理的过程中，《九章算术》提供了许多整勾股数，如22222222222222251213,6810,72425,81517,2896100+=+=+=+=+=，等等.其中最大的数称为“弦数”，后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若勾股数组中的某一个数m 是确定的奇数(大于1)，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数，称之为“由m 生成的一组勾股数”.则“由17生成的这组勾股数”的“弦数”为 .14．已知抛物线22(0)x py p =->的焦点坐标为(0,3)F -，则直线y x =与抛物线围成的封闭图形的面积为 .15．已知()sin cos f x a x b x =+的最大值为ab ，则4422191a b a b +++的最小值 为 .16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知对于任意正整数n ，都有+3n n a S n +=，若存在正整数0n ，使得020(6)(1)4n m n a --≥，则实数m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 若3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，且A 为锐角． （1）求cos A 的值；（2）当223a b bc+取得最小值时，求cos B 的值．18．(12分)如图，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，CE ⊥平面ABCD ， CE AB =,PD CE λ=(13)λ<<． （1）求证:PE AD ⊥；（2）若二面角P BE D --的余弦值为13，求λ的值．19．(12分)2016年5月20日以来，广东自西北到东南出现了一次明显降雨.为了对某地的降雨情况进行统计，气象部门对当地20日~28日9天内记录了其中100小时的降雨情况，得到每小时降雨情况的频率分布直方图如下：若根据往年防汛经验，每小时降雨量在[75,90)时，要保持二级警戒，每小时降雨量在[90,100)时，要保持一级警戒.（1）若以每组的中点代表该组数据值，求这100小时内每小时的平均降雨量； （2）若从记录的这100小时中按照警戒级别采用分层抽样的方法抽取10小时进行深度分析.再从这10小时中随机抽取3小时，求抽取的这3小时中属于一级警戒时间的分布列与数学期望.20．（12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F 2且P 在椭圆C 上运动，当点P 恰好在直线l :2y x =上时， 12PF F △的面积为223. （1）求椭圆C 的方程； （2）作与l 平行的直线1l ，与椭圆交于,A B 两点，且线段AB 的中点为M ，若12,MF MF 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围.21．（12分）已知函数()ln(21)(21)1f x x m x =---+.（1）若()y f x =在2x =处的切线与直线320170x y -+=垂直，求()y f x =的极值； （2）若函数()y f x =的图象恒在直线1y =的下方. ①求实数m 的取值范围；②求证:对任意正整数1n >，都有4(1)ln[(2)!]5n n n +<.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为12x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t 为参数），以原点为极点，以x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin m ρθ=（m 为常数，且0m ＞），直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）若2AB =，求实数m 的值； （2）若点P 的直角坐标为(1,2)-，且4PA PB ⋅＞，求实数m 的取值范围. 23．（10分）选修4—5不等式选讲已知函数()||f x x m =-(其中m 为常数).（1）若(0)(2)3f f +≤，求实数m 的取值范围； （2）求证：22223614()()(1)(3)a b f f a b++-+≤对任意实数,,a b m 恒成立.理科数学答案与解析1．【答案】C 【解析】20172i 3i 1i z =-+2i(1i)3i i 13i 12i (1i)(1i)-=-=+-=-+-，则12i z =+，故5z z ⋅=. 2．【答案】D 【解析】由条件可得(0,2)A =，则(,0][2,)A =-∞+∞R U ð，而[3,6)B =-, 故()A B =R I ð[3,0][2,6)-U .3．【答案】A 【解析】当0a ≤时，212a <≤成立；当0a >时，由12a +<，故03a <<，综上可知，实数a 的取值范围是(,3)-∞. 4．【答案】C 【解析】由()2⋅+=a a b 可得22+⋅=a a b ，即2||||||cos 2θ+⋅⋅=a a b ， 即42cos 2θ+=，所以cos 1θ=-，即θπ=，所以,a b 方向相反.5．【答案】B 【解析】设{}n a 的公差为(0)d d ≠，由367,,a a a 成等比数列可得2637a a a =，即2111(5)(2)(6)a d a d a d +=++，即1213a d =-，故4613+6713103a d d a d d -==-+. 6．【答案】A 【解析】由三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体，其中半圆柱的底面半径为3，高为1，故其体积为：219(31166)1822V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+. 7．【答案】B 【解析】由2sin()4πα+=可得22(sin cos )αα+=，即1sin cos 3αα+=，平方可得112sin cos 9αα+=，即8sin29α=-，故222sin 1tan 1119cos 2sin 2tan 2sin cos sin 28cos ααααααααα++====-.8．【答案】B 【解析】该框图的运行结果是：20(2019)(1817)(21)010S =+-++-+++-+-=L .9．【答案】B 【解析】“第一类”抽取3人的采访顺序有32324634C C A A 种；“第一类”抽取4人的采访顺序有415465C C A 种，故不同的采访顺序有32324154634465+5040C C A A C C A =. 10．【答案】D 【解析】画出不等式组对应的平面区域如图所示.图中点2(2,0),(,0),(0,2)A B C k-，故阴影部分的面积为12(2)242k⨯--⨯=，解之得13k =-,21x y z x +=-221y x +=+-，设点(,)P x y ,21y m x +=-，则m 的几何意义是点P 与点(1,2)D -连线的斜率.而25DB k =,4DC k =-，由图可知，4m -≤或25m ≥，故z 的取值范围是12(,2][,)5-∞-+∞U .11．【答案】C 【解析】由N 为2MF 的中点，所以1//ON MF ，且11||||2ON MF =，故1260FMF ∠=︒， 2121||||(||||)2ON NF MF MF a -=-=，故2a b =，设双曲线的焦距为2c ，在12MF F △中，由余弦定理可得22212124||||2||||cos60c MF MF MF MF =+-⋅︒21212(||||)||||MF MF MF MF =-+⋅2124||||a MF MF =+⋅,22212||||444MF MF c a b ∴⋅=-=， 12F MF ∴△的面积为2121||||sin 603232MF MF b ⋅⋅︒==， 2222,48b a b ∴===，双曲线的方程为22182x y -=. 12．【答案】D 【解析】当<0x 时，3()3+1f x x x =-+， 则2'()33f x x =-+，由'()0f x =可得1x =-或1x = （舍去）.当<1x -时，'()<0f x ，当10x -<<时， '()>0f x ，故()f x 在(1,0)-上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减.因此，在同一坐标系中画出函数()y f x =与曲线()y g x =的图象如图所示.由图可知，若函数()y f x =与()y g x =恰好有4个公共点，则(0)<1(2)>1g g ⎧⎨-⎩，即<1ln3>1m m ⎧⎨-+-⎩，解之得ln31<<1m -. 13．【答案】145【解析】由217289=，而289144145=+，则这组勾股数中的“弦数”为145. 14．【答案】24【解析】由抛物线的焦点坐标可得6p =，故抛物线方程为212x y =-，把y x =代入抛物线方程可得00x y =⎧⎨=⎩或1212x y =-⎧⎨=-⎩，故直线与抛物线围成的封闭图形的面积为232001212()d ()|2412362x x x x x ----=--=⎰. 15．【答案】17【解析】()sin cos f x a x b x =+)x ϕ+(tan )baϕ=ab ，整理可得22111a b+=，则4422191a b a b +++22222222222211119(9)(9)()1111117b a a b a b a b a b a b =+++=+++=++=≥, 当且仅当2234a b ==时，取得等号，故4422141a b a b +++的最小值为17.16．【答案】11[,]44-【解析】由+3n n a S n += ① 可得+1+1+4n n a S n += ②由②－①可得111n n n a a a ++-+=，即111(1)2n n a a +-=-，由114a S +=可得12a =,111a ∴-=，所以,{1}n a -是首项为1，公比为12的等比数列，所以，1112n n a --=，即1112n n a -=+，所以，1166(6)(1)22n n n n n n a ------=-=，设16()2n n f n --=，则1567(1)()222n n n n n nf n f n ----+-=-=，当70n ->，即07n <<时，()f n 递增，当7<0n -，即>7n 时，()f n 递减，故()f n 的最大值为1(7)(8)64f f ==.故21464m ≤，故实数m 的取值范围是11[,]44-.17．【解析】（1）由3cos 3cos 5sin b C c B a A +=及正弦定理可得23sin cos 3sin cos 5sin B C C B A +=，即23sin()5sin B C A +=，由sin()sin 0B C A +=>可得3sin 5A =，而A 是锐角，所以4cos 5A =.（5分）（2）由余弦定理可得2222282cos 5a b c bc A b c bc =+-=+-，则2222228434855b c bca b b c bc bc bc +-++==-481255bc bc -=≥， 当且仅当2c b =时，2a bc取得最小值125.（9分）此时22222894255b a b b b =+-⨯=，所以a ，∴2222229+4cos 2b b b a c b B ac -+-===（12分）18．【解析】（1）ABCD Q 是正方形，AD CD ∴⊥,PD ⊥Q 平面ABCD ,AD PD ∴⊥， 而,,PD CD D PD CD =⊂I 平面PDCE ,AD ∴⊥平面PDCE ， 又PE ⊂平面PDCE ,PE AD ∴⊥.（6分）（2）如图，以D 为原点，以,,DA DC DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设1AB =，则1CE =,PD λ=.则(0,0,0),(0,0,),(1,1,0),(0,1,1)D P B E λ，(1,0,1)BE =-u u u r ,(1,1,0)DB =u u u r ,(1,1,)BP λ=--u u u r.设平面PBE 和平面DBE 的法向量分别为11112222(,,),(,,)x y z x y z ==n n .由条件可得110BE BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rn n ，即1111100x z x y z λ-+=⎧⎨--+=⎩，令11x =，故1(1,1,1)λ=-n . 同理可得2(1,1,1)=-n .由条件可得1212212||1|cos ,|||||31(1)13λ⋅<>==⋅+-+⋅n n n n n n ，即28+12=0λλ-，解之得=2λ或=6λ分） 19．【解析】（1）这五组数据对应的频率分别为：0.05,0.35,0.3,0.2,0.1.故这100小时的平均降雨量为： 0.05×77.5+0.35×82.5+0.3×87.5+0.2×92.5+0.1×97.5=87.25(mm).（3分） （2）由频率分步直方图可知，属于一级警戒的频率为：(0.04+0.02)×5=0.3, 则属于二级警戒的频率为1－0.3=0.7.所以，抽取的这10个小时中， 属于一级警戒的有3小时，属于二级警戒的有7小时.（6分）从这10小时中抽取3小时，用ξ表示一级警戒的小时数，ξ的取值可能为0,1,2,3.则373107(0)24C P C ξ===,123731021(1)40C C P C ξ===,21373107(2)40C C P C ξ===,333101(3)120C P C ξ===. 所以，ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P724 2140 740 1120则ξ的期望值为：01230.9244040120E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）.（12分） 20．【解析】（1）由222212x y a b y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩可得222224a b x a b =+,2222244a b y a b =+. 根据对称性，不妨设点P 在第一象限，则点P 的坐标为2222(,)44a b a b ++，设椭圆的焦距为2c ，由条件可得221222234c a b ⨯+，即22234abc a b =+， 由椭圆的离心率可得2c ，所以，2212c a =,212a b a -=，所以，2a b ,c b =， ∴3222242b b b ⨯+，解之得1b =，故2a 故椭圆C 的方程为2212x y +=.（6分） （2）设直线1l 的方程为2y x m =+(0)m ≠.由22122x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得2298220x mx m ++-=，由条件可得226436(22)0m m ∆=-->，即33m -<<，所以，30m -<<，或03m <<.设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，则21212822,99m m x x x x -+=-=. 则120429x x m x +==-,0029m y x m =+=.则001200,11y yk k x x ==+-，∴00120011y y k k x x +=++-002021x y x =-2429916181m m m -⨯⨯=-2288116m m =-.当0m ≠时，12288116k k m +=-，且12k k +在(3,0)m ∈-和(0,3)m ∈上的取值范围相同，故只需求12k k +在(0,3)m ∈上的取值范围.而12k k +在9(0,)4m ∈和9(,3)4m ∈上随m 的增大而增大.∴12k k +的取值范围是8(,)(0,)7-∞-+∞U .（12分）21．【解析】（1）由()ln(21)(21)1f x x m x =---+可得2'()221f x m x =--， 由条件可得21'(2)233f m =-=-，即12m =.则3()ln (21)2f x x x =--+,2(23)'()1=2121x f x x x --=---1()2x >， 令'()0f x =可得32x =，当32x >时，'()<0f x ，当1322x <<时，'()>0f x .∴()f x 在3(,+)2∞上单调递减，在13(,)22上单调递增，∴()f x 的极大值为333()ln 2ln 2222f =-+=，无极小值.（4分）（2）①由条件可知：只需()1f x <，即ln(21)(21)0x m x ---<在1(,+)2∞上恒成立.即(21)ln(21)m x x ->-，而12x >,∴210x ->,∴ln(21)21x m x ->-恒成立.令ln(21)()21x g x x -=-，则222ln(21)'()(21)x g x x --=-，令'()0g x =可得12e x +=. 当1122e x +<<时'()0g x >，当12e x +>时，'()0g x <，∴()g x 在11(,)22e +上单调递增，在1(,)2e ++∞上单调递减，故()g x 的最大值为11()2e g e+=,∴1m e >，即实数m 的取值范围是1(,)e +∞.（8分） ②由①可知,25m =时，ln(21)2<215x x --，即2(21)ln(21)5x x --<对任意的12x >恒成立.令21(m )m x *=-∈N ，则2ln 5mm <.2ln1ln 2ln3ln(2)12325n n ++++<++++（）L L ，即212ln1ln 2ln3ln(2)5n n n +++++<（）L ,∴2(21)4(1)ln[(2)!]55n n n n n ++<<.（12分） 22．【解析】（1）曲线C 的极坐标方程可化为22sin m ρρθ=，化为直角坐标系下的普通方程为：222x y my +=，即222()x y m m +-=.直线l 的普通方程为：10x y +-=，而点(0,)m 到直线l的距离为d =由条件可得||2AB =，即2230m m +-=，结合0m >可得1m =.（5分）（2）显然点P 在直线l 上,把12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入222x y my +=并整理可得2(3450t m m +--+=，设点,A B 对应的参数分别为1,t t . 则22(3)4(45)0m m ∆=---+>，解之得1m <-1m .则12|||||||45|4PA PB t t m ⋅==-+>，解之得94m >或14m <.而0m >,∴实数m 的取值范围是9(,)4+∞.（10分）23．【解析】（1）由条件可知(0)(2)|||2|3f f m m +=+-≤，①当0m <时，23m m -+-≤，解之得12m -≥，所以，102m -<≤；②当02m ≤≤时，23m m +-≤，恒成立，所以，02m ≤≤；③当2m >时，23m m +-≤，解之得52m ≤，所以，522m <≤.综上可知，实数m 的取值范围是15[,]22-．（5分）（2）Q (1)(3)f f -+|1||3||(1)(3)|4m m m m =++-+--=≥,∴363609(1)(3)4f f <=-+≤，而222214()()a b a b ++22224559b a a b =+++≥，∴22223614()()(1)(3)a b f f a b++-+≤对任意实数,,a b m 恒成立.（10分）。