吉林省长春市普通高中2021届高三数学质量监测一模试题文
吉林省长春市2021届高三上学期第一次模拟考试数学理试题 Word版含解析
长春市2022—2021学年新高三起点调研考试数学试题卷(理科)【试卷综评】本试卷试题主要留意基本学问、基本力量、基本方法等当面的考察，掩盖面广，留意数学思想方法的简洁应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评同学，有利于同学自我评价，有利于指导同学的学习，既重视双基力量培育，侧重同学自主探究力量，分析问题和解决问题的力量，突出应用，同时对观看与猜想、阅读与思考等方面的考查。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题卡上） 【题文】1. 已知集合{1,16,4}A x =，2{1,}B x =，若B A ⊆，则x = A. 0 B. 4- C. 0或4- D. 0或4±【学问点】子集的概念；元素的互异性.A1【答案解析】C 解析：由题可得216x =或24x x =，则4,0,4x =-，又当4x =时，A 集合消灭重复元素，因此0x =或4-. 故选C.【思路点拨】依据B A ⊆分状况对参数的取值进行争辩，进而求出参数的值集合． 【题文】2. 如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则12z z =A. 5B. 3C. 2D. 12【学问点】复数的除法运算；复数模的概念.L4【答案解析】A 解析：由图可知：1z i =，22z i =-，，则122z i z i ==-. 故选A.【思路点拨】利用复数的几何意义、模的计算公式即可得出． 【题文】3. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是A. 3y x = B. ln()y x =- C. xy xe -= D.2y x x=+【学问点】函数奇偶性；函数单调性与函数极值.B4 B3 B12【答案解析】D 解析：由题可知，B 、C 选项不是奇函数，A 选项3y x =单调递增（无极值），而D 选项既为奇函数又存在极值. 故选D.【思路点拨】依据奇函数、存在极值的条件，即可得出结论．【题文】4. 已知向量m 、n 满足||2=m ，||3=n，||-=m n ||+=m nA. B. 3C.D.【学问点】向量的运算；向量的几何意义.F1 F2【答案解析】B解析：由||-=m n 2222||||2226-++=+=m n m n m n 可知，||3+=m n . 故选B.【思路点拨】依据2222||||2226-++=+=m n m n m n ，代入计算即可． 【题文】5. 已知x 、y 取值如下表：x 0 1 4 5 6y1.3 m 3m 5.67.4 画散点图分析可知：y 与x 线性相关，且求得回归方程为ˆ1yx =+，则m 的值（精确到0.1）为 A. 1.5 B. 1. 6 C. 1.7 D. 1.8 【学问点】回归直线.I4【答案解析】C 解析：将 3.2x =代入回归方程为ˆ1yx =+可得 4.2y =，则4 6.7m =，解得 1.675m =，即精确到0.1后m 的值为1.7. 故选C.【思路点拨】将 3.2x =代入回归方程为ˆ1yx =+可得 4.2y =，即可得出结论． 【题文】6. 右图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. 8(3π+B. 8(3π+C. (4π+D. (8π+【学问点】三视图；几何体表面积. G2【答案解析】D 解析：如图所示，该几何体的表面积为半球面积与圆锥侧面积之和，即2148(82S r rl ππππ=⋅+=+=+. 故选D. 【思路点拨】依据已知中的三视图可得：该几何体是一个半球挖去一个圆锥，其表面积由半球面和圆锥的侧面积组成，由三视图求出球和圆锥底面的半径及圆锥的高，进而求出圆锥的母线长，代入面积公式，可得答案．【题文】7. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若420S =，6236S S -=，则该等差数列的公差d =A. 2-B. 2C. 4-D. 4【学问点】数列基本量的求法. D2【答案解析】B 解析：由题意，123420a a a a +++=，345636a a a a +++=， 作差可得816d =，即2d =. 故选B.【思路点拨】由题意，123420a a a a +++=，345636a a a a +++=，作差可得结果. 【题文】8. 函数2()sin ln(1)f x x x =⋅+的部分图像可能是正视图侧视图俯视图OO y x O yxOC D【学问点】函数的图像；函数的奇偶性以及单调性.B4 B3【答案解析】B 解析：由题可知，()f x 为奇函数，且sin x 存在多个零点导致()f x 存在多个零点，故()f x 的图像应为含有多个零点的奇函数图像. 故选B.【思路点拨】由题可知，()f x 为奇函数，且sin x 存在多个零点导致()f x 存在多个零点即可得到结论. 【题文】9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A. 14B. 15C. 16D. 17【学问点】程序框图.L1【答案解析】C 解析：由程序框图可知，从1n =到15n =得到3S <-，因此将输出16n =. 故选C.【思路点拨】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．【题文】10. 若2xa =，b =12log c x =，则“a b c >>”是“1x >”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 【学问点】指、对、幂三种基本初等函数的图像；充要条件.B6 B7 B8A2【答案解析】B 解析：如图可知，“1x >”⇒“a b c >>”，但“a b c >>” /⇒“1x >”，即“a b c >>”是“1x >”的必要不充分条件. 故选B. 【思路点拨】进行双向推断即可.【题文】11. 过抛物线22y px =(0)p >的焦点F 作直线与此抛物线相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，当OB FB ≤时，直线AB 的斜率的取值范围是A. [(0,3]B. (,[22,)-∞-+∞C. (,[3,)-∞+∞D. [(0,22]- 【学问点】抛物线的几何性质；直线与抛物线的位置关系. H7 H8【答案解析】D 解析：由题可知，点B 的横坐标4B px ≤时，满足OB FB ≤，此时22B y -≤≤，故直线AB （即直线FB ）的斜率的取值范围是[(0,22]-. 故选D.【思路点拨】由题可知，点B 的横坐标，结合已知条件，此时B y 的范围，即可求出直线AB （即直线FB ）的斜率的取值范围．【题文】12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足①()(2)0f x f x +-=，②()(2)0f x f x ---=，③在[1,1]-上表达式为[1,0]()1(0,1]x f x x x ∈-=- ∈⎪⎩，则函数()f x 与函数1220()log 0x x g x x x ⎧ ⎪=⎨ >⎪⎩≤的图像在区间[3,3]-上的交点个数为A. 5B. 6C. 7D. 8【学问点】函数的周期性、对称性以及函数图像交点个数.B4 B9【答案解析】B 解析：依据①可知()f x 图像的对称中心为(1,0)，依据②可知()f x 图像的对称轴为1x =-，结合③画出()f x 和()g x 的部分图像，如图所示，据此可知()f x 与()g x 的图像在[3,3]-上有6个交点. 故选B.【思路点拨】先依据①②知函数的对称中心和对称轴，再分别画出f （x ）和g （x ）的部分图象，由图象观看交点的个数．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).【题文】13. 若函数1()f x x x=+，则1()e f x dx =⎰____________.【学问点】定积分. B13【答案解析】212e + 解析：计算可得221111()(ln )22e e x e x dx x x ++=+=⎰.【思路点拨】定积分的简洁应用.【题文】14. 在42()(1)x x x+-的开放式中，2x 项的系数是____________. 【学问点】二项式定理.B4 C3 D1【答案解析】12- 解析：在42()(1)x x x+-的开放式中，2x 项是1332442()()12x C x C x x x⋅-+-=-，故2x 的系数为12-.【思路点拨】利用二项式开放式的通项公式，求出开放式中2x 项的系数即可.【题文】15. 若实数,x y 满足2211y x y x y x -⎧⎪-+⎨⎪+⎩≥≥≤，则22z x y =+的取值范围是___________. 【学问点】线性规划.B4 C3 D1【答案解析】1[,25]2解析：由题可知，可行域如右图，目标函数22z x y =+的几何意义为区域内点到原点结束距离的平方，故z 的取值范围是1[,25]2.【思路点拨】由目标函数22z x y =+的几何意义为区域内点到原点距离的平方即可得解.【题文】16. 底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则半径为R 的球的内接正三棱柱的体积的最大值为__________.【学问点】正棱柱体积的最值问题. G7【答案解析】3R 解析：设三棱柱的高为2t，由题意可得，正三棱柱的体积为23)2V R t t =-，求导可得当3t R =时，V 取得最大值为3R . 【思路点拨】设三棱柱的高为2t ，由题意可得到正三棱柱的体积的解析式，然后求导即可求得答案． 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.【题文】17.（本小题满分10分）在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c a C b -=2cos 2. (1) 求角B ；(2) 若△ABC的面积4S =，4=+c a ，求b 的值. 【学问点】正弦定理与余弦定理；三角形面积. C8 【答案解析】(1) 3B π=(2)解析：(1) 依据正弦定理c a C b -=2cos 2可化为2sin cos 2sin sin B C A C =-，即2sin cos 2sin()sin B C B C C =+-整理得2sin cos sin C B C =，即1cos 2B =，3B π=. （5分） (2) 由△ABC的面积1sin 2S ac B ==3ac =，而4a c +=由余弦定理得b ===.（10分）【思路点拨】(1) 先利用正弦定理把边转化为角，再利用三角形的内角和进行转化化简即可. (2) 由面积公式得到4ac =，与4a c +=联立可得结果.【题文】18.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-. (1) 求数列}{n a 的通项公式；(2) 设2log n n b a ，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .【学问点】数列通项公式；数列前n 项和公式；错位相减法. D3 D4 【答案解析】(1) 2n n a = (2) 1(1)22n n T n +=-⋅+ 解析：(1) 当1n =时，11122a S a ==-，解得12a =当2n ≥时，112222n n n n n a S S a a --=-=--+，有12n n a a -=， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，有2n n a =.（6分）(2) 由（1）知2log 2n n b n ==，有2n n n a b n ⋅=⋅ 212222n n T n =⨯+⨯++⨯①①2⨯，231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯② ①-②，得212222n n n T n +-=+++-⨯整理得1(1)22n n T n +=-⋅+.（12分）【思路点拨】（1）由22n n S a =-⇒12a =，当n ≥2时，1n n n a S S -=-⇒12n n a a -=，从而可知数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，继而可得数列{a n }的通项公式； （2）易求n b ，利用错位相减法即可求得数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 【题文】19.（本小题满分12分） 每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优待，优待方案如下：选择套餐一的客户可获得优待200元，选择套餐二的客户可获得优待500元，选择套餐三的客户可获得优待300元. 依据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.(1) 求某两人选择同一套餐的概率；(2) 若用随机变量X 表示某两人所获优待金额的总和，求X 的分布列和数学期望.【学问点】概率；分布列. K1 K6 【答案解析】(1)1332(2)分布列见解析；775. 解析：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为1111331388228832P =⋅+⋅+⋅=.（4分）(2) 由题意知某两人可获得优待金额X 的可能取值为400，500，600，700，800，1000.111(400)8864P X ==⋅=12136(500)8864P X C ==⋅⋅= 339(600)8864P X ==⋅= 12118(700)8264P X C ==⋅⋅= 121324(800)2864P X C ==⋅⋅= 1116(1000)2264P X ==⋅=（8分）综上可得X 的分布列为：（10分）X400 500 600 700 800 1000P164 664 964 864 24641664X 的数学期望169824164005006007008001000775646464646464EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （12分） 【思路点拨】（1）由题意利用互斥大事加法公式能求出某两人选择同一套餐的概率．（2）由题意知某两人可获得优待金额X 的可能取值．分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．【题文】20.（本小题满分12分）如图所示几何体是正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥111B A BC -后所得，点M 为11AC 的中点. (1) 求证：平面11AC D ⊥平面MBD ；(2) 求平面11A BC 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值. 【学问点】空间平面的垂直关系；二面角.G5 G11 【答案解析】(1)见解析解析：(1) 证明：由于几何体是正方体1111ABCD A B C D -截取三棱锥111B A BC -后所得， 11111111111111111111DA DC DM AC A M C M BA BC AC MBD BM AC AC D MBD A M C M DM BM M AC AC D ⎫⎫=⎫⇒⊥⎪⎬⎪=⎭⎪⎪⎪⎪=⎫⎪⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎪⎬⇒⊥=⎬⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ =⎭⎪⊂⎪⎭平面平面平面平面.（6分） (2) 以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设1DA =， 依题意知，11(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)A B C ， 有111(0,1,1),(1,1,0)A B A C =-=-设平面11A BC 的一个法向量(,,)n x y z =，有11100n A B n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩代入得00y z x y -=⎧⎨-+=⎩，设1x =，有(1,1,1)n =，平面ABCD 的一个法向量(0,0,1)m =，设平面11A BC 与平面ABCD 所成锐二面角大小为α，有3cos 3||||n m n m α⋅==， 所以平面11A BC 与平面ABCD . （12分）【思路点拨】（1）由已知推导出DM ⊥A 1C 1，BM ⊥A 1C 1，从而A 1C 1⊥平面MBD ，由此能证明平面A 1C 1D ⊥平面MBD ．（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A 1BC 1与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．【题文】21.（本小题满分12分）如图，椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点. AF 的最大值是M ，BF 的最小值是m ，满足234M m a ⋅=. (1) 求该椭圆的离心率；(2) 设线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，O 是坐标原点. 记GFD ∆的面积为1S ，OED ∆的面积为2S ，求1222122S S S S +的取值范围. 【学问点】椭圆的离心率；直线和椭圆的综合应用. H5 H8【答案解析】(1)12 (2) 9(0,)41解析：(1) 设(,0)(0)F c c ->，则依据椭圆性质得,,M a c m a c =+=-而234M m a ⋅=，所以有22234a c a -=，即224a c =，2a c =，因此椭圆的离心率为12c e a ==.（4分）(2) 由(1)可知2a c =，b =，椭圆的方程为2222143x y c c+=.依据条件直线AB 的斜率肯定存在且不为零，设直线AB 的方程为()y k x c =+，并设1122(,),(,)A x y B x y 则由2222()143y k x c x y c c=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得 222222(43)84120k x ck x k c c +++-=从而有21212122286,(2)4343ck ckx x y y k x x c k k +=-+=++=++，（6分）所以22243(,)4343ck ckG k k -++. 由于DG AB ⊥，所以2223431443D ckk k ckx k +⋅=---+，2243D ck x k =-+. 由Rt FGD ∆与Rt EOD ∆相像，所以22222222122222243()()943434399()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k k -+++++===+>-+.（10分）令12St S =，则9t >，从而 1222122229114199S S S S t t =<=+++，即1222122S S S S +的取值范围是9(0,)41. （12分）【思路点拨】（1）依据椭圆性质得,,M a c m a c =+=-，结合234M m a ⋅=即可求出离心率；（2）先求出椭圆的方程，然后设直线AB 的方程，再联立转化为关于x 的方程，由Rt FGD ∆与Rt EOD ∆相像可MAC 1DBCD 1A 1得12S S 的表达式，最终求出范围即可. 【题文】22.（本小题满分12分）已知函数2()1xe f x ax =+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若13x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值；(2) 当4a =-时，求函数()f x 的单调区间；(3) 当a 取正实数时，若存在实数m ，使得关于x 的方程()f x m =有三个实数根，求a 的取值范围.【学问点】函数与导数；导数的运算，函数的单调性、极值；函数与不等式. B3 B11 B12【答案解析】(1) 95a =(2) ()f x 的单调增区间是51(1,)22-，15(,1)22+； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,1)22--，5(1,)2++∞；(3) a 的取值范围是(1,)+∞. 解析：(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ （2分）由于13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点. 因此95a =. （4分）(2) 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=，解得512x =±，而12x ≠±. 所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞- 15(,1)22-- 512- 51(1,)22- 15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x ' --++-()f x微小值极大值因此()f x 的单调增区间是51(1,)22-，15(,1)22+； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,1)22--，5(1,)2++∞； （9分） (3) 当a 取正实数时，222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+，令()0f x '=得2210ax ax -+=，当1a >时，解得2212,a a a a a ax x a a--+-==. ()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，但是函数值恒大于零，极大值1()f x ，微小值2()f x ，并且依据指数函数和二次函数的变化速度可知当x →+∞时，2()1x e f x ax =→+∞+，当x →-∞时，2()01xe f x ax=→+. 因此当21()()f x m f x <<时，关于x 的方程()f x m =肯定总有三个实数根，结论成立；当01a <≤时，()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞，无论m 取何值，方程()f x m =最多有一个实数根，结论不成立.因此所求a 的取值范围是(1,)+∞. （12分）【思路点拨】（1）求出导数，由条件1()03f '=，解出a ，并检验是否为极值即可；（2）求出4a =-的函数的导数，令()0f x '=得512x =±，而12x ≠±．再解不等式，求出单调区间；（3）求出导数，令()0f x '=，争辩1a >时的两根．并求出极值，争辩它们的符号，再争辩当01a <≤时，()f x 的单调性，即可得到a 的取值范围．。
吉林省长春市2021届高三数学第一次质量监测一模试题文
吉林省长春市2021届高三数学第一次质量监测（一模）试题 文一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|03,},{|20},A x x x B x x x =<<∈=-Z ≥则集合A B 的元素个数有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 2.若平面向()(),2,,12x ==-a b 且//a b ,则x 的值为1 A.B. 1 C 4 . 4 D. 2--3.函数26sin y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴是 A. 6x π=-B. 0x =C. 6x π=D. |3x π=4.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为2,y x =±则其离心率为5.张老师居住的一条街上,行驶着甲、乙两路公交车,这两路公交车的数目相同,并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校,这两条公交线路对他是一样的,都可以到达学校,甲路公交车的到站时间是6:09,6:19，6:29,6:39，…,乙路公交车的到站时间是6:00,6:10,6:20,6:30,…，则张老师乘坐上甲路公交车的概率是A. 10%B. 50%C. 60%D. 90% 6.1的长方形ABCD 沿对角线BD 折起,得到四面体-A BCD , 则四面体-A BCD 的外接球体积为 A.43π B. 83π C. 4π D. 323π 7.曲线ln y x x =在e x =处的切线的斜率为A. 1B. 2C. 1-D. 2-8.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的 温度有关.经验表明,某种绿茶用85℃的水泡制,再等到 茶水温度降至60℃时饮用,可以产生最佳口感. 为分析 泡制一杯最佳口感茶水所需时间,某研究人员每隔 1min 测量一次茶水的温度,根据所得数据做出如图 所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列哪个函数 模型可以近似地刻画茶水温度y 随时间x 变化的规律 A. ()20y mx n m =+> B. ()0y mx n m =+>C. 0,01)(xy ma a n m a +=>>≠且 D. ()log 0,01a y m x n m a a =+>>≠且9.如图,长方体1111ABCD A B C D -中1,,BB BC P =为11C D 的中点,则异面直线PB 与1B C 所成角的大小为A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°10.已知抛物线()220y px p =>，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在第一象限)，且4,AB FB =则直线l 的倾斜角为 A.6π B. 4π C. 3π D. 23π11.如图,在面积为1的正方形1111A B C D 内做四边形2222,A B C D 使12212,A A A B =1221122122112,2,2,B B B C C C C D D D D A ===以此类推,在四边形2222A B C D 内再做四边形3333A B C D ……，记四边形i i i i A B C D 的面积为1,2,3,,)(i a i n =，则123n a a a a ++++=]4. [1995nA ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ]95. [149nB ⎛⎫- ⎪⎝⎭]1. [1233nC ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ]. 3[132nD ⎛⎫- ⎪⎝⎭12.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()5,f x f x =+当[)2,0x ∈-时()2,(2),f x x =-+当[)03x ∈，时(),,f x x =则(1)(2)(2021)f f f +++=A. 809B. 811C. 1011 C. 1013二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若tan 2,α=则sin 2α= . 14.241log 3log 9+= . 15.若复数z 满足3,z z ⋅=则||z = . 16.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,满足21322n S n n =+,则n a = ; 1C 1D 1A 1B 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D数列11{}n n a a +的前n 项和n T = . 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分17.(12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,PA ⊥底面ABCD ,4PA AB ==,E 为PB 的中点,F 为线段BC 上的动点. (I)求证:平面AEF ⊥平面PBC ; (Ⅱ)求点到平面的距离.18.(12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足1cos 2a b c B +=⋅. (1)求角C ;(Ⅱ)若2,3a b ==,求ABC △外接圆的半径.19.(12分)某小区超市采取有力措施保障居民 正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的 甲类物资的供应,超市对社区居民户每天对甲 类物资的购买量进行了调查,得到了以下频率 分布直方图(如图).(I)估计该小区居民对甲类物资购买量的中位数; (Ⅱ)现将小区居民按照购买量分为两组,即购买量在[)1,3单位:kg )的居民为A 组,购买量在[]3,6 (单位:kg ]的居民为B 组,采用分层抽样的方式从该小区中选出5户进行生活情况调查,再从这5户中随机选出3户,求选出的B 组户数为2的概率.20.(12分)已知椭圆2214y x +=,直线1l y kx =+：分别与x 轴y 轴交于,M N 两点,与椭圆交于,A B 两点.(I)若,AM NB =求直线l 的方程;(Ⅱ)若点P 的坐标为()0,2,-求PAB △面积的最大值.21.(12分)设函数()()ln xf x e a x a =-∈R .(I)当a e =时,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)当0a >时,求证:()()2ln .f x a a -(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4坐标系与参数方程](10分)已知直线l 的参数方程为12x ty t =+⎧⎨=⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为2cos 4sin .ρθθ=+ (I)求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线l 与圆C 相交于,A B 两点,求||.AB 23.[选修4-5不等式选讲](10分) 已知0,0, 4.a b a b >>+=(I)求证22;(Ⅱ)求证:1212223a b +++.长春市2021届高三质量监测()-数学(文科)试题参考答案及评分参考一,选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1. A.【解题思路】{1,2},{|0,2},A B x x x ==<>或所以{2},AB =故选A.2.C 【解题思路】由//,a b 可知212x=-即4x =-,故选C. 3.C 【解想思路】令2,26x k πππ+=+则.26k x ππ=+,故选C.4.B 【解题思路】由渐近线方程可知2222222,1 5.b c c a b b e a a a a a +⎛⎫=====+= ⎪⎝⎭故选B.5.D 【解思路】张老师到达车站在6：00-6:10中是等可能的,故张老师在6:00-6:09到达车站 的概率为90%,故有90%的可能乘坐甲路公交车，故选D6. A 【解题思路】2,BD BD =中点到A,B,C,D 的距离均为1,故球的体积为43π,故选A. 7.B 【解题思路】1ln ,y x '=+当 x = e 时, k = 2 ,故选B. 8.C 由函数图象可知符合条件只有指数函数,故选C9.D 【解题思路】1B C ⊥平面11,ABC D PB ⊂平面11,ABC D 即1,PB B C ⊥故选D 10．C 【解题思路】如图,过A,B 作AA ’,BB ’垂直准线2px =-,垂足为A ’,B’，过B 作AA ’垂线,垂足为C,由抛物线定义知|||,||,3|||||||BF BB AA A F F BF A ''===2|||,|F B AC =所以1cos 2BAC ∠=,3BAC π∠=,所以直线l 倾斜角为3π,故选C.11.B 【解题思路】由图可知11232555,1,,,,,999n n a a a a -⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以其前n 项和为]95[149n⎛⎫- ⎪⎝⎭,故选B. 12.A 【解题思路】由()()5f x f x =+可知()f x 周期为5,由函数图象可知每个周期()()()()()12342,f x f x f x f x f x ++++++++=由 ()()()()12....20212404809,1f f f f +++=+⨯=故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分)13.45【解题思路】2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos 1tan 5ααααααα===++ 14. 0【解题思路】2224222212log 3log log 3log 3log 3log 3092--+=+=+=【解题思路】设(),R ,z a bi a b =+∈有223,||z z a b z ⋅=+==16. 1n a n =+，1122n T n =-+【解题思路】112,1n n n a a S S n -=-==+,所以 11(1)(2)121n n n n =-++++,故1{}1n n a a +的前n 项和1122n T n =-+. 三，简答题17.【答案】(1)因为PA AB =,E 为PB 中点,所以,AE PB ⊥因为PA ⊥平面ABCD,所以,PA BC ⊥由,BC AB ⊥所以BC ⊥平面PAB,所以BC AE ⊥又,BC PB B =所以AE ⊥平面PAB,所以平面AEF ⊥平面PAB. (2)1324443231B PCD A PCD P ACD V V V ---===⨯⋅⋅⨯=142PCDS=⨯=则3V h S ===分) 18. 【答案】(1)由正弦定理知sin si c 1n sin os 2A B C B += 有sin cos cos s i 1in sin s n cos 2BC B C B C B ++=,所以cos 21C =-2,3C π=（6分）222(2)2cos19,c a bab C c =+==-所以2sin c R R C ====(12分)19．【答案】（1）依据面积中位数两侧面积相等可知中位数为3.4; (Ⅱ)依据分层抽样,A 组有2人,设为x ，y ，B 组有3人,设为a ，b ，c从中任选2人,可能的情况为xya 、xyb 、xyc 、xab 、xbc 、xac 、yab 、ybc 、yac 、 abc 共10种情况,其中B 组户数有2户的有xab 、xbc 、xac 、yab 、ybc 、yac 共6 种,因此选出的B 组户数为2的概率为63105=. 20．【答案】(1)设()()1122,,,A x y B x y 联立直线方程与椭圆方程有22141y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩有()224230,k x kx ++-=有12224x x k k +=-+，122424y y k +=+ 所以AB 中点坐标为224,44k k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭,(0)k ≠ 由1,0M k ⎛⎫-⎪⎝⎭(),0,1,N MN 中点坐标为11,22k ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为,AM NB =所以线段MN 的中点与AB 的中点重合,有221241424k k k k ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩解得2k =±(6分) (2)由(1)可知122163|6231|1 PABSx x k =⨯⨯-⨯=++=3,43所以6331PAB S ∆=当k=0时PAB ∆面积最大.(12分) 21.【答案】(1)a e =时，()ln (0),xf e e x x x =->(0)t >()x xef t e '=-易知()x f '为增函数,且()10f '=所以当()0,1x ∈时()(),0,x x f f '<单调递减,当()1,x ∈+∞时()(),0,x x f f '>单调递增.(4分)(2) ()xxaf e x '=-,当0a >时,易知()x f '为()0,+∞上增函数, 当a e >时(),01f e a '=-<；当 a e =时(),10f e a '=-=；当a e <时,0ae af e e e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭而()10,a f a e '=->所以存在()00,,x ∈+∞()0000xae xf x '=-=即00ln ln a x x =- 当()00,x x ∈时()(),0,x x f g '<单调递减, 当()0,x x ∈+∞时()(),0,x x f g '>单调递增: 所以()()00000ln ln 2ln x x x x a af f e a x ax a a a a =-=+--.(12分) 22.【答案】(1)直线l 的普通方程是210x y --=,圆的直角坐标方程是22240x y x y +--=（5分）(2)圆心(1,2)到直线l 的距离d =圆半径r =所以||AB ==（10分） 23.【答案】(1)证明:因为0,0a b >>,2222224a b a b ab+++()2a b +=当且仅当2a b ==时取等号)(5分) (2)因为4a b +=,所以26,a b ++=所以()221111*********a a b ba b a b a b ⎛⎫+++⎛⎫⎛⎫+=+=+++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1132623+=+,)2a b +=时取等号(10分)。
吉林省长春市2021届新高考一诊数学试题含解析
吉林省长春市2021届新高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（π0,0,2A >><ωϕ）的部分图象如图所示，且()()0f a x f a x ++-=，则a 的最小值为（ ）A ．π12B ．π6 C ．π3D ．5π12【答案】A 【解析】 【分析】a 是函数()f x 的零点，根据五点法求出图中零点及y 轴左边第一个零点可得．【详解】 由题意3114126T ππ=-，T π=，∴函数()f x 在y 轴右边的第一个零点为56412πππ+=，在y 轴左边第一个零点是6412πππ-=-，∴a 的最小值是12π．故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性．函数()sin()f x A x ωϕ=+的零点就是其图象对称中心的横坐标．2．已知集合{}1A x x =<，{}1xB x e =<，则（ ） A ．{}1A B x x ⋂=< B ．{}A B x x e ⋃=< C ．{}1A B x x ⋃=< D ．{}01A B x x ⋂=<<【答案】C 【解析】【分析】求出集合B ，计算出A B I 和A B U ，即可得出结论. 【详解】{}1A x x =<Q ，{}{}10x B x e x x =<=<，{}0A B x x ∴⋂=<，{}1A B x x ⋃=<.故选：C. 【点睛】本题考查交集和并集的计算，考查计算能力，属于基础题.3．已知数列{}n a 满足11a =,1n n a a n --=(2n ≥),则数列{}n a 的通项公式n a =( ) A ．()112n n + B ．()1312n n - C ．2n n 1-+ D ．222n n -+【答案】A 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可． 【详解】数列{}n a 满足：11a =，*1(2,)n n a a n n n N --=∈…， 可得11a =212a a -= 323a a -= 434a a -=⋯1n n a a n --=以上各式相加可得：1123(1)2n a n n n =+++⋯+=+， 故选：A ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力． 4．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1ln6,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】结合题意可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数()(),h x g x ,计算最值,即可. 【详解】结合题意可知()f x 为偶函数,且在[)0,+∞单调递减,故()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++可以转换为()()2ln 33f mx x f --≥对应于[]1,3x ∈恒成立,即2ln 33mx x --≤即02ln 6mx x ≤-≤对[]1,3x ∈恒成立即ln 6ln 22x xm m x x +≥≤且对[]1,3x ∈恒成立 令()ln x g x x =,则()[)1ln '1,xg x e x-=在上递增,在(],3e 上递减, 所以()max 1g x e =令()()26ln 5ln ,'0x xh x h x x x+--==<,在[]1,3上递减 所以()min 6ln33h x +=.故1ln3,126m e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦,故选B. 【点睛】本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.5．函数()y f x =，x ∈R ，则“()y xf x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】设()()g x xf x =，若函数()y f x =是R 上的奇函数，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以，函数()y xf x =的图象关于y 轴对称.所以，“()y f x =是奇函数”⇒“()y xf x =的图象关于y 轴对称”；若函数()y f x =是R 上的偶函数，则()()()()()g x xf x xf x xf x g x -=--=-==，所以，函数()y xf x =的图象关于y 轴对称.所以，“()y xf x =的图象关于y 轴对称”⇒“()y f x =是奇函数”.因此，“()y xf x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性的性质判断是解决本题的关键，考查推理能力，属于中等题.6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知1,30a b B ===o ，则A 为( )A ．60oB ．120oC ．60o 或150oD ．60o 或120o【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理可求得sin 2A =，再由角A 的范围可求得角A. 【详解】由正弦定理可知sin sin a b A B =1sin 30=o，解得sin A =，又0180A <<o o ，且>a b ，所以60A ︒=或120︒。
2021届吉林省长春市普通高中高三上学期一模考试数学(文)试卷及答案
- 1 -2021届吉林省长春市普通高中高三上学期一模考试数学（文）试卷★祝考试顺利★ (含答案)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|03,},{|20},A x x x B x x x =<<∈=-Z ≥则集合A B 的元素个数有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2.若平面向()(),2,,12x ==-a b 且//a b ,则x 的值为1 A.B. 1 C 4 . 4 D. 2--3.函数26sin y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴是A. 6x π=-B. 0x =C. 6x π=D. |3x π=4.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为2,y x =±则其离心率为2D. 35.张老师居住的一条街上,行驶着甲、乙两路公交车,这两路公交车的数目相同,并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校,这两条公交线路对他是一样的,都可以到达学校,甲路公交车的到站时间是6:09,6:19,6:29,6:39,…,乙路公交车的到站时间是6:00,6:10,6:20,6:30,…,则张老师乘坐上甲路公交车的概率是A. 10%B. 50%C. 60%D. 90% 6.和1的长方形ABCD 沿对角线BD 折起,得到四面体-A BCD , 则四面体-A BCD 的外接球体积为 A.43π B. 83π C. 4π D. 323π- 2 -7.曲线ln y x x =在e x =处的切线的斜率为 A. 1 B. 2 C. 1- D. 2-8.中国茶文化博大精深.温度有关.经验表明,某种绿茶用85℃的水泡制,茶水温度降至60℃时饮用,可以产生最佳口感. 泡制一杯最佳口感茶水所需时间,某研究人员每隔1min 测量一次茶水的温度,根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况,模型可以近似地刻画茶水温度y 随时间x 变化的规律 A. ()20y mx n m =+> B. ()0y mx n m =+>C. 0,01)(x y ma a n m a +=>>≠且D. ()log 0,01a y m x n m a a =+>>≠且 9.如图,长方体1111ABCD A B C D -中1,,BB BC P =为11C D 的中点,则异面直线PB 与1B C 所成角的大小为A. 30°B. 45°C. 60°10.已知抛物线()220y px p =>,过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在第一象限),且4,AB FB =则直线l 的倾斜角为 A.6π B. 4π C. 3π D. 23π11.如图,在面积为1的正方形1111A B C D 内做四边形2222,A B C D 使12212,A A A B =1221122122112,2,2,B B B C C C C D D D D A ===以此类推,在四边形2222A B C D 内再 做四边形3333A B C D ……,记四边形i i i i A B C D 的面积为1,2,3,,)(i a i n =,则123n a a a a ++++=1C 1D 1A 1B 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D。
吉林省长春市2021届新高考数学一模试卷含解析
吉林省长春市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设a ，b ，c 分别是ABC ∆中A ∠，B Ð，C ∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】C 【解析】试题分析：由已知直线sin 0A x ay c ⋅--=的斜率为，直线sin sin 0bx B y C +⋅+=的斜率为，又由正弦定理得，故，两直线垂直考点：直线与直线的位置关系2．已知非零向量a r ，b r 满足()2a b a ⊥r r ，()2b a b ⊥r r ，则a r 与b r的夹角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量垂直的数量积关系化简，即可由平面向量数量积定义求得a r 与b r的夹角. 【详解】根据平面向量数量积的垂直关系可得()2220a b a a b ⋅=-⋅=r r r r，()2220b a b b a b ⋅=⋅=r r r r，所以222a b b ==⋅r r r，即a b =r r ，由平面向量数量积定义可得22cos ,a b a b=⋅r r r r，所以2cos ,2a b =r r，而[],0,a b π∈r r ， 即a r 与b r 的夹角为4π.故选：B 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，平面向量夹角的求法，属于基础题. 3．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）A ．18B ．24C ．36D ．72【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622a a a aS ++=⨯=⨯可得结果. 【详解】∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，∴163465766636222a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=， 故选C. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题.4．已知全集{},1,2,3,4,U Z A ==()(){}130,B x x x x Z =+->∈，则集合()U A C B ⋂的子集个数为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16【答案】C 【解析】 【分析】先求B.再求U C B ，求得()U A C B ⋂则子集个数可求 【详解】由题()(){}{}130,1x 3,U C B x x x x Z x x Z =+-≤∈=-≤≤∈={}1,0,1,2,3=-, 则集合(){}1,2,3U A C B ⋂=,故其子集个数为328=故选C 【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题 5．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则A B =I （ ） A ．(3,)+∞ B ．(,1)(3,)-∞-+∞UC ．(2,)+∞D ．(2,3)【答案】A 【解析】【分析】计算()(),13,B =-∞-+∞U ，再计算交集得到答案. 【详解】{}()()2230,13,B x x x =-->=-∞-⋃+∞，{}2,A x x x R =>∈，故(3,)A B =+∞I .故选：A . 【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.6．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=r u u u v u u u v u u u v ，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记ii S Sλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．－1 B ．1C ．32-D ．32【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到12312S S S S ==+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11022PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ，根据平面向量基本定理可求得12x y ==，从而可求得结果.【详解】 如图所示：因为EF 是△ABC 的中位线，所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半， 所以12312S S S S ==+， 由此可得22232322322()1216S S S S S S S S S S λλ+=⨯=≤=， 当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立， 所以0PE PF +=u u u r u u u r r，由平行四边形法则可得2PA PB PE +=u u u r u u u r u u u r ，2PA PC PF +=u u u r u u u r u u u r，将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r，所以11022PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ，又已知0PA xPB yPC ++=u u u r u u u r u u u r r ，根据平面向量基本定理可得12x y ==， 从而132122x y +=+=. 故选：D 【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.7．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（ ） AB．C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据复数相等的特征，求出3a 和b ，再利用复数的模公式，即可得出结果. 【详解】因为3(21)ai b a i +=--，所以3,(21),b a a =⎧⎨--=⎩，解得3,31,b a =⎧⎨=⎩则|3|13a bi i +=+==故选：A. 【点睛】本题考查相等复数的特征和复数的模，属于基础题.8．函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果. 【详解】当1x >时，()1ln()f x x x=-，由1,y y x x =-=在()1,+∞递增， 所以1t x x=-在()1,+∞递增又ln y t =是增函数，所以()1ln()f x x x=-在()1,+∞递增，故排除B 、C 当1x ≤时()cos xf x eπ=，若()0,1x ∈，则()0,x ππ∈所以cos t x π=在()0,1递减，而ty e =是增函数所以()cos xf x e π=在()0,1递减，所以A 正确，D 错误故选：A 【点睛】本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.9．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3B ．103C ．113D ．83【答案】B 【解析】由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图：直三棱柱的体积为1 22242⨯⨯⨯=，消去的三棱锥的体积为112212323⨯⨯⨯⨯=， ∴几何体的体积210433V =-=，故选B. 点睛：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此类问题的关键；几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，结合直观图分别求出直三棱柱的体积和消去的三棱锥的体积，相减可得几何体的体积.10．在等差数列{}n a 中，25a =-，5679a a a ++=，若3n nb a =（n *∈N ），则数列{}n b 的最大值是（ ）A ．3-B ．13- C ．1 D ．3【答案】D 【解析】 【分析】在等差数列{}n a 中,利用已知可求得通项公式29n a n =-,进而3293n n b a n =-=,借助()329f x x =-函数的的单调性可知,当5n =时, n b 取最大即可求得结果. 【详解】因为5679a a a ++=，所以639a =，即63a =，又25a =-，所以公差2d =，所以29n a n =-，即329n b n =-，因为函数()329f x x =-，在 4.5x <时，单调递减，且()0f x <；在 4.5x >时，单调递减，且()0f x >.所以数列{}n b 的最大值是5b ，且5331b ==，所以数列{}n b 的最大值是3.故选:D. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易. 11．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为，即命题是错误，则是正确的；在边长为4的正方形内任取一点，若的概率为，即命题是正确的，故由符合命题的真假的判定规则可得答案是正确的，应选答案B 。
吉林省长春市普通高中2021届高三数学质量监测一模试题文.doc
吉林省长春市普通高中 2021 届高三数学质量监测（一模）试题 文一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|03,},{|20},A x x x B x x x =<<∈=-Z ≥则集合A B 的元素个数有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 2.若平面向()(),2,,12x ==-a b 且//a b ,则x 的值为1 A.B. 1 C 4 . 4 D. 2--3.函数26sin y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴是 A. 6x π=-B. 0x =C. 6x π=D. |3x π=4.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为2,y x =±则其离心率为5.张老师居住的一条街上,行驶着甲、乙两路公交车,这两路公交车的数目相同,并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校,这两条公交线路对他是一样的,都可以到达学校,甲路公交车的到站时间是6:09,6:19，6:29,6:39，…,乙路公交车的到站时间是6:00,6:10,6:20,6:30,…，则张老师乘坐上甲路公交车的概率是A. 10%B. 50%C. 60%D. 90% 6.1的长方形ABCD 沿对角线BD 折起,得到四面体-A BCD , 则四面体-A BCD 的外接球体积为 A.43π B. 83π C. 4π D. 323π 7.曲线ln y x x =在e x =处的切线的斜率为A. 1B. 2C. 1-D. 2-8.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的 温度有关.经验表明,某种绿茶用85℃的水泡制,再等到 茶水温度降至60℃时饮用,可以产生最佳口感. 为分析 泡制一杯最佳口感茶水所需时间,某研究人员每隔 1min 测量一次茶水的温度,根据所得数据做出如图 所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列哪个函数 模型可以近似地刻画茶水温度y 随时间x 变化的规律 A. ()20y mx n m =+> B. ()0y mx n m =+>C. 0,01)(xy ma a n m a +=>>≠且 D.log 0,01a y m x n m a a =+>>≠且9.如图,长方体1111ABCD A B C D -中1,,BB BC P =为11C D 的中点,则异面直线PB 与1B C 所成角的大小为A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°10.已知抛物线()220y px p =>，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在第一象限)，且4,AB FB =则直线l 的倾斜角为 A.6π B. 4π C. 3π D. 23π 11.如图,在面积为1的正方形1111A B C D 内做四边形2222,A B C D 使12212,A A A B =1221122122112,2,2,B B B C C C C D D D D A ===以此类推,在四边形2222A B C D 内再做四边形3333A B C D ……，记四边形i i i i A B C D 的面积为1,2,3,,)(i a i n =，则123n a a a a ++++=]4. [1995nA ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ]95. [149nB ⎛⎫- ⎪⎝⎭]1. [1233nC ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ]. 3[132nD ⎛⎫- ⎪⎝⎭12.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()5,f x f x =+当[)2,0x ∈-时()2,(2),f x x =-+当[)03x ∈，时(),,f x x =则(1)(2)(2021)f f f +++=A. 809B. 811C. 1011 C. 1013二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若tan 2,α=则sin 2α= . 14.241log 3log 9+= . 15.若复数z 满足3,z z ⋅=则||z = . 16.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,满足21322n S n n =+,则n a = ; 数列11{}n n a a +的前n 项和n T = . 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题,考生根据要求作答.1C 1D 1A 1B 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D(一)必考题:共60分17.(12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,PA ⊥底面ABCD ,4PA AB ==,E 为PB 的中点,F 为线段BC 上的动点. (I)求证:平面AEF ⊥平面PBC ; (Ⅱ)求点到平面的距离.18.(12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足1cos 2a b c B +=⋅. (1)求角C ;(Ⅱ)若2,3a b ==,求ABC△外接圆的半径.19.(12分)某小区超市采取有力措施保障居民 正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的 甲类物资的供应,超市对社区居民户每天对甲 类物资的购买量进行了调查,得到了以下频率 分布直方图(如图).(I)估计该小区居民对甲类物资购买量的中位数; (Ⅱ)现将小区居民按照购买量分为两组,即购买量 在[)1,3单位:kg )的居民为A 组,购买量在[]3,6 (单位:kg ]的居民为B 组,采用分层抽样的方式从该小区中选出5户进行生活情况调查,再从这5户中随机选出3户,求选出的B 组户数为2的概率.20.(12分)已知椭圆2214y x +=,直线1l y kx =+：分别与x 轴y 轴交于,M N 两点,与椭圆交于,A B 两点.(I)若,AM NB =求直线l 的方程;(Ⅱ)若点P 的坐标为()0,2,-求PAB △面积的最大值.21.(12分)设函数()()ln x f x e a x a =-∈R . (I)当a e =时,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)当0a >时,求证:()()2ln .f x a a -(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4坐标系与参数方程](10分)已知直线l 的参数方程为12x ty t=+⎧⎨=⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为2cos 4sin .ρθθ=+ (I)求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线l 与圆C 相交于,A B 两点,求||.AB 23.[选修4-5不等式选讲](10分) 已知0,0, 4.a b a b >>+=(I)求证22; (Ⅱ)求证:1212223a b +++.长春市2021届高三质量监测()-数学(文科)试题参考答案及评分参考一,选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1. A.【解题思路】{1,2},{|0,2},A B x x x ==<>或所以{2},AB =故选A.2.C 【解题思路】由//,a b 可知212x=-即4x =-,故选C. 3.C 【解想思路】令2,26x k πππ+=+则.26k x ππ=+,故选C.4.B 【解题思路】由渐近线方程可知2222222,1 5.b c c a b b e a a a a a +⎛⎫=====+= ⎪⎝⎭故选B. 5.D 【解思路】张老师到达车站在6：00-6:10中是等可能的,故张老师在6:00-6:09到达车站的概率为90%,故有90%的可能乘坐甲路公交车，故选D6. A 【解题思路】2,BD BD =中点到A,B,C,D 的距离均为1,故球的体积为43π,故选A. 7.B 【解题思路】1ln ,y x '=+当 x = e 时, k = 2 ,故选B. 8.C 由函数图象可知符合条件只有指数函数,故选C9.D 【解题思路】1B C ⊥平面11,ABC D PB ⊂平面11,ABC D 即1,PB B C ⊥故选D 10．C 【解题思路】如图,过A,B 作AA ’,BB ’垂直准线2px =-,垂足为A ’,B’，过B 作AA ’垂 线,垂足为C,由抛物线定义知|||,||,3|||||||BF BB AA A F F BF A ''===2|||,|F B AC =所以1cos 2BAC ∠=,3BAC π∠=,所以直线l 倾斜角为3π,故选C. 11.B 【解题思路】由图可知11232555,1,,,,,999n n a a a a -⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以其前n 项和为]95[149n⎛⎫- ⎪⎝⎭,故选B.12.A 【解题思路】由()()5f x f x =+可知()f x 周期为5,由函数图象可知每个周期()()()()()12342,f x f x f x f x f x ++++++++=由 ()()()()12....20212404809,1f f f f +++=+⨯=故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分) 13.45【解题思路】2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos 1tan 5ααααααα===++14. 0【解题思路】2224222212log 3log log 3log 3log 3log 3092--+=+=+=(),R ,z a bi a b =+∈有223,||z z a b z ⋅=+==16. 1n a n =+，1122n T n =-+【解题思路】112,1n n n a a S S n -=-==+,所以 11(1)(2)121n n n n =-++++,故1{}1n n a a +的前n 项和1122n T n =-+. 三，简答题17.【答案】(1)因为PA AB =,E 为PB 中点,所以,AE PB ⊥因为PA ⊥平面ABCD,所以,PA BC ⊥ 由,BC AB ⊥所以BC ⊥平面PAB,所以BC AE ⊥又,BC PB B =所以AE ⊥平面PAB,所以平面AEF ⊥平面PAB. (2)1324443231B PCD A PCD P ACD V V V ---===⨯⋅⋅⨯=142PCDS=⨯=则3V h S ===分) 18. 【答案】(1)由正弦定理知sin si c 1n sin os 2A B C B += 有sin cos cos s i 1in sin s n cos 2B C B C B C B ++=,所以cos 21C =-2,3C π=（6分）222(2)2cos 19,c a b ab C c =+==-所以2sin c R R C ====分) 19．【答案】（1）依据面积中位数两侧面积相等可知中位数为3.4; (Ⅱ)依据分层抽样,A 组有2人,设为x ，y ，B 组有3人,设为a ，b ，c从中任选2人,可能的情况为xya 、xyb 、xyc 、xab 、xbc 、xac 、yab 、ybc 、yac 、 abc 共10种情况,其中B 组户数有2户的有xab 、xbc 、xac 、yab 、ybc 、yac 共6 种,因此选出的B 组户数为2的概率为63105=. 20．【答案】(1)设()()1122,,,A x y B x y 联立直线方程与椭圆方程有22141y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩有()224230,k x kx ++-=有12224x x k k +=-+，122424y y k +=+ 所以AB 中点坐标为224,44k k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭,(0)k ≠ 由1,0M k ⎛⎫-⎪⎝⎭(),0,1,N MN 中点坐标为11,22k ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为,AM NB =所以线段MN 的中点与AB 的中点重合,有221241424k k k k ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩解得2k =±(6分) (2)由(1)可知12163|62|1 PABSx x =⨯⨯-==3,433所以6331PAB S ∆=当k=0时PAB ∆面积最大.(12分) 21.【答案】(1)a e =时，()ln (0),xf e e x x x =->(0)t >()x xef t e '=-易知()x f '为增函数,且()10f '=所以当()0,1x ∈时()(),0,x x f f '<单调递减,当()1,x ∈+∞时()(),0,x x f f '>单调递增.(4分) (2) ()xxaf e x '=-,当0a >时,易知()x f '为()0,+∞上增函数, 当a e >时(),01f e a '=-<；当 a e =时(),10f e a '=-=；当a e <时,0ae af e e e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭而()10,af a e '=->所以存在()00,,x ∈+∞()0000xae xf x '=-=即00ln ln a x x =- 当()00,x x ∈时()(),0,x x f g '<单调递减, 当()0,x x ∈+∞时()(),0,x x f g '>单调递增: 所以()()00000ln ln 2ln x x x x a af f e a x ax a a a a =-=+--.(12分) 22.【答案】(1)直线l 的普通方程是210x y --=,圆的直角坐标方程是22240x y x y+--=（5分）(2)圆心(1,2)到直线l 的距离d =圆半径r =所以||AB ==（10分）23.【答案】(1)证明:因为0,0a b >>,2222224a b a b ab+++()22a b +=当且仅当2a b ==时取等号)(5分) (2)因为4a b +=,所以26,a b ++=所以()221111*********a a b ba b a b a b ⎛⎫+++⎛⎫⎛⎫+=+=+++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1132623+=+,)2a b +=时取等号(10分)。
2021年吉林省长春市高考数学质量监测试卷(文科)(三)解析版
2021年吉林省长春市高考数学质量监测试卷（文科）（三）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.复数是虚数单位的虚部是A. B. i C. D. 13.已知数列的前n项和为，且，则的值为A. 7B. 13C. 28D. 364.下列函数中，周期为，且在区间单调递增的是A. B. C. D.5.已知向量，满足，，，则A. 2B.C.D.6.设a，b为两条直线，，为两个平面，则下列说法正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则7.曲线在处的切线方程为A. B. C. D.8.如图是某多面体的三视图，其俯视图为等腰直角三角形，则该多面体各面中，最大面的面积为A. B. C. D. 29.某同学掷骰子5次，并记录了每次骰子出现的点数，得出平均数为2，方差为的统计结果，则下列点数中一定不出现的是A. 1B. 2C. 5D. 610.已知直线l：被圆C：截得弦长为2，则ab的最大值为A. B. 2 C. D. 111.已知函数，若方程有且仅有两个不等实根，则实数k的取值范围是A. B. C. D.12.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会国家.根据规划，国家体育场鸟巢成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，如图，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为A. B. C. D.13.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在终边上，则______.14.根据事实；；；；…，写出一个含有量词的全称命题：______ .15.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，且，则双曲线的离心率为______ .16.内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则角B的值为______ ；若，的面积为，则边长b的值为______ .17.已知数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，满足，求数列的通项公式；设，求数列前n项和为18.近年来我国电子商务行业迎来篷勃发展的新机遇，2016年双11期间，某购物平台的销售业绩高达一千多亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对服务的好评率为，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.请完成如下列联表；对服务好评对服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计是否可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关？若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率.k，其中19.如图，三棱锥的底面ABC和侧面PAB都是边长为4的等边三角形，且平面平面ABC，点E为线段PA中点，O为AB中点，点F为AB上的动点.若平面CEF，求线段AF的长；在条件下，求三棱锥与四棱锥的体积之比.20.设函数，求的单调区间；设函数是增函数，求实数a的值.21.已知椭圆的右焦点为F，A、B分别为椭圆的左顶点和上顶点，的面积为求椭圆C的标准方程；过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线AP、AQ分别与直线交于点M、证明：22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为为参数，曲线的极坐标方程为，曲线与相交于A，B两点.求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；求点到A，B两点的距离之和.23.求的解集M；在条件下，设a，b，，证明：，，不能都大于答案和解析【答案】1. D2. D3. B4. C5. C6. C7. D8. B9. D10. D11. B12. B13.14. ，…15.16.17. 解：设公比为q，，由，，可得，即有，解得，所以；由可得，所以18. 解：由题意可得关于商品和服务评价的列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200…分根据表中数据，计算，故可以认为在犯错误的概率不超过的前提下，商品好评与服务好评有关；…分若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为2次，令好评的交易为A，B，C，不满意的交易为a，b，从5次交易中，取出2次的所有取法为，，，，，，，，，，共计10种情况，其中只有一次好评的情况是，，，，，，共计6种，因此，只有一次好评的概率为…分19. 解：因为平面CEF，平面APB，平面平面所以，即F为AB的四等分点，即；在条件下，三棱锥与四棱锥的体积之比为20. 解：的定义域为，，解得，解得且，故的单调增区间为，单调递减区间为，；，定义域为，，若为增函数，则对任意恒成立，若，则故在单调递减，在单调递增，不符合题意，若，则在单调递增，在单调递减，在单调递增，不符题意，若，则在单调递增，在单调递减，在单调递增，不符题意，当时，，此时恒成立；故符合题意；综上所述，为所求．21. 解：，解得，即椭圆C的标准方程为证明：已知点，设直线PQ的方程为，点，直线AP的方程为，直线AQ的方程为，将代入直线AP、AQ方程，可得，已知右焦点F的坐标为，则，联立椭圆和直线PQ的方程，可得，化简得，即，代入上式化简得，因此22. 解：由为参数，消去参数t，可得曲线的普通方程，由，结合，，可得曲线的直角坐标方程；曲线的参数方程为为参数，将其代入到曲线的普通方程中，有，设，分别为A，B两点对应的参数，有，由直线参数的几何意义，到A，B两点的距离之和为：23. 解：原不等式等价于，解得，或，解得，或，解得，综上，原不等式解集为由知，b，，由基本不等式，，，，所以，假设，，都大于1，有，这与矛盾，所以，，不能都大于【解析】1. 解：，，故选：可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的列举法和描述法的定义，元素与集合的关系，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2. 解：因为，所以复数的虚部是故选：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3. 解：因为，所以故选：由已知可得，代入即可直接求解．本题主要考查了由数列的和求解项，属于基础题．4. 解：由周期是，排除B，又由于在区间单调递减函数，排除A；在区间不是单调函数，排除只有满足题意．故选：利用函数的周期排除选项，利用单调性判断求解即可．本题考查三角函数的周期以及函数的单调性的判断，是基础题．5. 解：向量，满足，，，则故选：利用向量的数量积以及向量的模的运算法则化简求解即可．本题考查向量的数量积以及向量的模的运算法则的应用，是基础题．6. 解：对于A：，，则，a与b可能异面；对于B：，，则，b可能在面内；对于C，，，则，满足直线与平面垂直的性质，所以C正确；对于D：，，则，b可能在面内．故选：利用直线与平面的位置关系以及直线与平面垂直的位置关系，判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断与应用，直线与直线以及直线与平面的平行与垂直关系的应用，是中档题．7. 解：求导函数，曲线在处的切线方程为，即故选：求导函数，确定处的切线的斜率，确定切点的坐标，利用点斜式可得结论．本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，属于基础题．8. 解：几何体直观图如图，四个面的面积分别为，故最大面积为故选：画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解各个面的面积，推出结果即可．本题考查三视图求解几何体的面积，是基础题．9. 解：若出现点数6，则，根据方差的计算公式可知，方差大于，若出现点数1，2，5时，则分别有，，，故均可以．所以一定不出现的是点数故选：利用方差的计算公式进行分析求解即可．本题考查了方差的理解和应用，主要考查了方差的计算公式的运用，属于基础题．10. 解：根据题意，圆C：的圆心为，半径，若直线l：被圆C：截得弦长为2，则C到直线l的距离，又由直线l：，则有，变形可得，又由，变形可得，当且仅当时取等号，故ab的最大值为1，故选：根据题意，由直线与圆位置关系可得C到直线l的距离d，结合点到直线的距离公式可得，变形可得，结合基本不等式的性质可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．11. 解：由题意画出函数图象如图，由图可知，要使方程有两个不等的实根，则实数k的取值范围是故选：由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查根的存在性及根的个数判断，考查了数学转化思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．12. 解：设内层椭圆方程为，因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆，可设成，，设切线的方程为，与联立得，，由，则，同理，所以，因此故选：设内层椭圆方程为，外层椭圆设为，设切线的方程为，分别与两个椭圆方程联立，求解，然后求解离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题．13. 解：角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在终边上，则，，故答案为：由题意利用任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，计算求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．14. 解：，…答案不唯一，合情合理即可．根据题意找出规律写出一个命题．本题考查推理，命题，属于基础题．15. 解：焦点到渐近线的距离为b，则，所以故答案为：利用双曲线的简单性质，结合，推出a、b关系，然后求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．16. 解：因为，所以，因为，则，所以，即，因为，所以，由余弦定理得，故故答案为：，由已知结合诱导公式及二倍角公式进行化简可求，进而可求B；然后结合三角形的面积公式及余弦定理可求本题主要考查了和差角公式，二倍角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用，属于中档题．17. 设公比为q，，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比q，进而得到所求通项公式；由对数的运算性质和数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18. 由题意填写列联表即可；根据表中数据计算观测值，对照临界值即可得出结论；用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，是中档题．19. 根据线面平行的性质可知，即F为AB的四等分点，从而可求出所求；在条件下，根据，可求出所求．本题主要考查了线面平行的性质定理，以及锥体的体积的计算，同时考查了空间想象能力和转化能力，属于中档题．20. 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的单调性确定a的值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是中档题．21. 通过三角形的面积求解a，即可得到椭圆方程．设直线PQ的方程为，点，直线AP的方程，直线AQ的方程，将代入直线AP、AQ方程，求出M、N坐标，通过向量的数量积为0，即可得到结果．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22. 直接把参数方程中的参数消去，可得曲线的普通方程，由极坐标与直角坐标的互化公式，可得曲线的直角坐标方程；写出曲线的参数方程，代入曲线的普通方程中，可得关于t的一元二次方程，由根与系数的关系及此时t的几何意义求点到A，B两点的距离之和．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是基础题．23. 通过对x的范围分类讨论，去掉不等式中绝对值的符号，转化为一次不等式进行讨论；通过不等式得出，然后用反证法得出矛盾．本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式的灵活应用，考查运算能力，推理能力，是难题．。
吉林省长春市2021届新高考数学一模考试卷含解析
吉林省长春市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题300:2,80p x x ∃>->，那么p ⌝为（ ）A ．3002,80x x ∃>-≤ B ．32,80x x ∀>-≤ C ．3002,80x x ∃≤-≤ D ．32,80x x ∀≤-≤【答案】B 【解析】 【分析】利用特称命题的否定分析解答得解. 【详解】已知命题0:2p x ∃>，380x ->，那么p ⌝是32,80x x ∀>-≤. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 画出曲线与围成的封闭区域，表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，然后结合图形求解可得所求范围． 【详解】 画出曲线与围成的封闭区域，如图阴影部分所示．表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，设，结合图形可得或，由题意得点A,B 的坐标分别为，∴，∴或，∴的取值范围为．故选D ． 【点睛】解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲线所围成的封闭区域．考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题． 3．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．12πC ．1112πD ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可． 【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位，得到sin 2()sin(22)y x x ϕϕ=+=+， 此时与函数sin(2)6y x π=+的图象重合， 则226k πϕπ=+，即12k πϕπ=+，k Z ∈，∴当0k =时，ϕ取得最小值为12πϕ=，故选：B ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键． 4．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I A ．{}3 B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,7【答案】C 【解析】分析：根据集合{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==可直接求解{3,5}A B =I .详解：{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==Q ,{}3,5A B ∴⋂=,故选C点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn 图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.5．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ）A ．1212,()()p p E E ξξ><B ．1212,()()p p E E ξξC ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<<【答案】A 【解析】分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望. 详解：根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，红球的个数就会出现,1,1m m m -+三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是2,1,,1,2m m m m m --++五种情况，所以分析可以求得1212,()()p p E E ξξ><，故选A.点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果. 6．若圆锥轴截面面积为23，母线与底面所成角为60°，则体积为( ) A ．33π B ．63π C ．233π D ．263π 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥底面圆的半径为r ，由轴截面面积为23可得半径r ，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，由已知，123232r r ⨯⨯=，解得2r =， 所以圆锥的体积2133V r r π=⨯=263π. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.7．函数1()1xxe f x e+=-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】由题意得，函数点定义域为x ∈R 且0x ≠，所以定义域关于原点对称， 且()1111()1111xx x xx x e e e f x f x e e e ----+++-===-=----，所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 故选D.8．已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ） A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y += D ．2214525x y += 【答案】B 【解析】由题意可得c=25，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知， ∠PFF′=∠FPO ，∠OF′P=∠OPF′， 所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′， 由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知， ∠FPO+∠OPF′=90°，即PF ⊥PF′．在Rt △PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=()2222PF 4548FF -=-='，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36， 于是 b 2=a 2﹣c 2=36﹣=16，所以椭圆的方程为2213616x y +=．故选B ．点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在．9．已知a r ，b r ，c r 是平面内三个单位向量，若a b ⊥r r，则232a c a b c +++-r r r r r 的最小值（ ）A B ．C D ．5【答案】A 【解析】 【分析】由于a b ⊥r r，且为单位向量，所以可令()1,0a =r ，()0,1b =r ，再设出单位向量c r 的坐标，再将坐标代入232a c a b c +++-r r r r r中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果．【详解】解：设(),c x y =r ，()1,0a =r ，()0,1b =r ，则221x y +=，从而232+++-=r r r r r a c a b c==≥=故选：A 【点睛】此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题． 10．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -【答案】A 【解析】 【分析】由()1i z i +=得1z ii=+,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数z ,从而可得z 的虚部. 【详解】 因为(1)i z i +=,所以22(1)1111(1)(1)11221i i i i i i z i i i i i --+=====+++-+-, 所以复数z 的虚部为12. 故选A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.11．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =（ ）A B ．14C ．116D ．14或4 【答案】C 【解析】 【分析】对a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解. 【详解】分析知，0m >.讨论：当1a >时，22m m a ma m ⎧=⎨=⎩，所以2m a =，2m =，所以a =01a <<时，22m ma m a m ⎧=⎨=⎩，所以12ma =，14m =，所以116a =.综上，116a =或a = C. 【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养. 12．在311(21)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．7【答案】D 【解析】 【分析】求出3(21)x +展开项中的常数项及含x 的项，问题得解。
2021届吉林省吉林市高三上学期第一次调研考试数学(文)试卷参考答案
22【解析】
（I）当 时, ,.....................................1分
..............................2分
即切线方程为 ............................3分
（II）当 时, .........................4分
则曲线 上的点 处的切线方程为
.............. 5分
设直线 与 相切于点 ,即切线方程为 ............6分
<方法一>即 ............7分
,
..................................9分
所以 ..................................8分
则 ...........................①
.........................②
①-②得： ...........................10分
所以 ..........................12分
18【解析】（1）由题得,
……………………………………………………4分
令 ,得
所以,函数 的对称中心为 …………………………………6分
(2)因为存在 ,使不等式 成立,所以 大于 的最小值………8分
由 ,得 ,
当 ,即 时, 取最小值 ,
所以 ,则 的取值范围为 .……………………………12分
19【解析】
解法二：由 得 ..........................1分
将 代入上式得 ..3分
2021届吉林省吉林市普通高中高三毕业班上学期第一次调研测试数学(文)答案
所以 ,即 ②………………………………………………10分
联立①②,解得 …………………………………………………………………12分
20【解析】
（1）当 时, ....................1分
令 ,解得 , ...........................2分
+
-
+
增
的极小值为 ...........................7分
（2）依题意： ...................9分
又因为 ,所以, ,................................10分
【说明】（1）此处只使用判别式小于等于0加上a>0的不给分；
（2）若使用变量分离的,需要分类讨论,可以酌情给分；
即 即无解。 所以,不存在满足条件的正实数 ...............12分
【说明】（1）此处若结算结果都正确,只结论错误,只扣1分；
（2）此处若计算结果不正切,不给分；
21.【解析】
（1）解法一：将等式 两边都减去 得 .....2分
再除以 得 ,即 ......................4分
........12分
<方法二>即 .............7分
，.........................9分
..................10分
......................................11分
.............12分
所以 ...........................10分
18【解析】（1）由题得,
吉林省吉林市普通中学2021届高三数学毕业班第一次调研测试试题 文
吉林省吉林市普通中学2021届高三数学毕业班第一次调研测试试题文本试卷共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟。
考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。
4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1. 已知集合{1,0,1,2},{|0}A B x x =-=≤，则A B =A. {1,2}B. {1,0}-C. {0,1,2}D. {1}-2. 函数3sin(4)3y x π=+的最小正周期是A. 2πB.2π C.3πD. π3. 已知D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量CD = A ． 12BC BA -+ B ． 12BC BA --C ． 12BC BA -D ． 12BC BA + 4. 已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-；则当0x <时，()f x 等于A. (1)x x --B. (1)x x -C. (1)x x -+D. (1)x x +5. 已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，则1a 的值为A. 4B. 3C. 2D. 16.若cos()23πα+=-cos2α=A ． 23-B ． 13-C ．13D ．237. 已知向量,a b 的夹角为60︒，||1,||2a b ==，则|2|a b -=A. 2B.C.D. 18. 将函数()2sin(2)3f x x π=+图象上的每个点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变;再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，在()g x 图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为A. 12x π=B. 4x π=C. 524x π=D. 24x π=-9. 若函数()(0x f x a a =>且1)a ≠在R 上为减函数，则函数log (||1)a y x =-的图象 可以是10. 在ABC ∆中，4,2,90,AB AC BAC ==∠=︒ D 、E 分别为AB 、BC 中点，则AE CD =A. 4B. 3C. 2D. 611. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1352213()(*)n n S a a a a n N -=++++∈，1238a a a =，则8S =A. 510B. 255C. 127D. 654012. 设函数()f x 的定义域为D ，若满足条件：存在[,]m n D ⊆，使()f x 在[,]m n 上的 值域为[,]km kn （k R ∈且0k >），则称()f x 为“k 倍函数”，给出下列结论：①1()f x x=是“1倍函数”；②2()f x x =是“2倍函数”；③ ()xf x e =是“3倍函 数”. 其中正确的是A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届吉林长春市普通高中高三上质监一数学理试卷
在平面直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.
（1）求曲线 的直角坐标方程；
（2）曲线 的极坐标方程为 ，求 与 的公共点的极坐标.
参考答案
1．B
【解析】
因 ，故复数 对应的点在第二象限，应选答案B．
2．C
【解析】试题分析：由已知 ，则 ，故选C.
考点：集合运算.
【易错点睛】（1）认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件.
（2）注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
（3）防范空集.在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.
3．D
【详解】
试题分析：由已知， 的边长为1， ，所以 ， ，则 ，故A错，
因为 ， 故B,C错
故选Байду номын сангаас.
考点：平面向量数量积运算.
【方法点睛】
平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.
2021届吉林省长春市高三质量检测(四) 数学(文)
绝密★启用前长春市2021届高三质量监测(四)文科数学学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则∁U(A∪B)＝A.{6}B.{1，6}C.{2，3}D.{1，4，5，6}2.复数z＝34ii-+的共轭复数ZA.－4＋3iB.4＋3iC.4－3iD.－4－3i3.如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝3x，y＝(12)x的一个图象是A.①B.②C.③D.④4.若|a|＝25，b＝(1，2)，a//b，则a的坐标可以是A.(－2，4)B.(2，－4)C.(－2，－4)D.(－4，2)5.在第十三届女排世界杯赛中，中国女排以不败战绩夺得冠军，女排精神一直激励着全国人民在各行各业为祖国的腾飞而努力拼搏。
在女排世界杯赛闭幕后，某收视调查机构对某社区内2000名居民收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为100，将数据分组整理后，列表如下：从表中可以得出正确的结论为A.表中m的值为8B.估计观看比赛不低于5场的人数是860人C.估计观看比赛场数的众数为8D.估计观看比赛不高于3场的人数是280人6.下面程序框图，输出的结果为S＝132，则判断框中应填A.i ≥11？B.i ≥10？C.i ≤11？D.i ≤12？7.已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝94，a 4＋a 5＝18，则其前5项的积为 A.64 B.81 C.192 D.2438.某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如图中记录板所示。
根据图中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么误差较小的可能性的估计值是A.0.68B.0.625C.0.587D.0.6159.已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长为3，侧棱长为4，则其外接球的表面积为A.25πB.34πC.68πD.100π10.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝49，a 3＝3a 6，则S n 取最大值时的n 为 A.7 B.8 C.14 D.1511.摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色某摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min 。
吉林省长春市普通高中2021届高三一模语文试题附答案
长春市2021届高三质量监测（一）语文答案1.【答案】D（3 分）【解析】A项于文无据，原文意思是唐代豪侠小说激发了后世武侠小说家的灵感和想象力。
B项原文中是“后世文人”，不是“后人”；“受到赞叹”是《聂隐娘》《虬髯客传》等一小部分唐宋豪侠小说，而非全部；“主要原因”不符合文意，原文中有“不只是因其大快人心的行侠故事，更因其不可多得的‘文采与意想’”的表述。
C项原文信息是“明清文人传游侠，对打斗场面大都点到为止”，但“同时期用白话撰写的话本、章回小说对侠客打斗场面的描写日益生动”。
【命题立意】本题考查学生对文章主要信息的理解能力。
【试题情境】本题属于基础性考查，考查学生对原文内容的理解。
【素养导向】借标志词锁定关键信息的能力。
【能力为重】①快速识别信息的能力,包括表示程度、范围、类别等词语；②对信息源精准定位的能力,包括信息位置、信息内容、信息呈现方式等;③辨别信息题基本特征的能力,核心是辨析命题者对信息语句的组装、嫁接方式、信息有无、真伪、主次、细微差异上设题的能力;④辨别信息的能力,包括对压缩概括、语序变化、句式变化、摘录混编等的判断能力。
【知识为基】①信息类别知识,如题目信息、文本信息等;②文本整体感知层面的观点、论据、结论、层次、句间关系、推断方式等;③文本结构词语、关联词语、概括词语、对象词语等。
2.【答案】C（3 分）【解析】论述类文本中，案例和文献的使用，最主要的是为了增强文章的说服力。
【命题立意】本题考查学生对文章论证方法及论证过程的理解。
【试题情境】本题以语文学科认知情境中“整体与局部关系”为微情境，属于对文本宏观把握的综合性考查。
命题者通过对文本论点、论据和论证三者之间关系的把握，即文本论述内容、论述层次、论证结构、论证方法（举例）以及对文本关键语段观点的分析提炼，实现对“论证”的相关分析，从而有效考查考生的概括分析能力。
【素养导向】由论证过程入手分析论证结构、论证方法、掌握论证逻辑的能力。
吉林省长春市2021届高三数学上学期质量监测试题(一)理(含解析)
吉林省长春市2021届高三数学上学期质量监测试题（一）理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|2}A x x =≥，2{|30}B x x x =-> ，则AB =（ ）A. ∅B. {|3,x x >或x ≤2}-C. {|3,x x >或0}x <D. {|3,x x >或2}x ≤【答案】B 【解析】 【分析】求得集合{|2A x x =≤-或2}x ≥，{|0B x x =<或3}x >，再根据集合的交集运算，即可求解．【详解】由题意，集合{|2}{|2A x x x x =≥=≤-或2}x ≥， 集合2{|30}{|0B x x x x x =->=<或3}x >，所以A B ={|3x x 或2}x ，故选B ．【点睛】本题主要考查了不等式的解法，以及集合的交集运算，其中解答中正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2.复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+， 则z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.已知31()3a =，133b =，13log 3c =，则( )A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】分析每个数的正负以及与中间值1的大小关系.【详解】因为311()()133a <<=，103331>=，1133log 3log 10<=，所以01,1,0a b c <<><，∴c a b <<， 故选：C.【点睛】指数、对数、幂的式子的大小比较，首先确定数的正负，其次确定数的大小（很多情况下都会和1作比较），在比较的过程中注意各函数单调性的使用.4.已知直线0x y +=与圆22(1)()2x y b -+-=相切，则b =( )A. 3-B. 1C. 3-或1D.52【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径来求解.=∴|1|2b +=∴13b b ==-或 故选：C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系中的相切，难度较易；注意相切时，圆心到直线的距离等于半径.5.2021年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2021 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，202X 年编号为 2，…，2021年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线ˆ13.7433095.7y x=+，其相关指数2R0.9817=，给出下列结论，其中正确的个数是( )①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测 2021 年公共图书馆业机构数约为3192个A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】【分析】根据ˆb和2R确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据ˆb的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测2019年公共图书馆业机构数.【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又2R0.9817=趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；由回归方程，当7x=时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确.故选：D.【点睛】回归直线方程中的ˆb的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数2R决定了相关性的强弱，越接近1相关性越强.6.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为512-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A. (35)π-B. 51)πC. 51)πD.(52)π【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角.【详解】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比， 设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ， 则51αβ-=，又2αβπ+=，解得(35)απ=- 【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易.扇形的面积公式：21122S r lr α==，其中α是扇形圆心角的弧度数，l 是扇形的弧长.7.已知,,a b c 为直线，,,αβγ平面，则下列说法正确的是( ) ①,a b αα⊥⊥，则//a b ②,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ③//,//a b αα，则//a b ④//,//αγβγ，则//αβ A. ①②③ B. ②③④ C. ①③ D. ①④【答案】D【解析】 【分析】①可根据线面垂直的性质定理判断；②③④可借助正方体进行判断.【详解】①由线面垂直的性质定理可知垂直同一平面的两条直线互相平行，故正确；②选取正方体的上下底面为αβ、以及一个侧面为γ，则//αβ，故错误；③选取正方体的上底面的对角线为a b 、，下底面为α，则//a b 不成立，故错误；④选取上下底面为αβ、，任意作一个平面平行上底面为γ，则有 //αβ成立，故正确.所以说法正确的有：①④. 故选：D.【点睛】对于用符号语言描述的问题，最好能通过一个具体模型或者是能够画出相应的示意图，这样在判断的时候能更加直观.8.已知数列{}n a 为等比数列，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，且21a =，1016a =，66a b = ，则11S =（ ） A. 44 B. 44- C. 88 D. 88-【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，求得64a =，再利用等差数列的前n 项和公式，即可求解11S 的值，得到答案．【详解】由题意，等比数列{}n a 为等比数列，满足21a =，1016a =，根据等比数列的性质，可得266210116,0a a a a =⨯=>，可得64a =，所以664b a ==，则11111611()11442b b b S +==⨯=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的性质和等差数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.把函数()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin()y x ωϕ=+(0,||)2πωϕ><的图象（部分图象如图所示），则()y f x =的解析式为（ ）A. ()2sin(2)6f x x π=+ B. ()2sin()6f x x π=+ C. ()2sin(4)6f x x π=+D. ()2sin()6f x x π=-【答案】C 【解析】 【分析】由图象可得()01f =，解得6π=ϕ，又由112sin()012ωπϕ⋅+=，解得2ω=，得到2sin(2)6y x π=+，在利用三角函数的图象变换，即可求得，得到答案．【详解】由图象可知，()02sin(0)1f ωϕ=⋅+=，即1sin ||22πϕϕ=<，解得6π=ϕ， 又由112sin()012ωπϕ⋅+=，即111111242sin()0π,01261261211k k Z T πππωπωπω⋅+=∴⋅+=∈<∴<<，解得2ω=，即函数的解析式为2sin(2)6y x π=+，将函数2sin(2)6y x π=+图象上点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin(4)6y x π=+， 所以函数()f x 解析式2sin(4)6y x π=+.故选C ．【点睛】本题主要考查了利用三角函数图象及三角函数的图象变换求解三角函数的解析式，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()0f x f x ++=，当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，则当[4,6]x ∈时，()y f x =的最小值为（ ） A. 8- B. 1-C. 0D. 1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得函数()f x 是以4为周期的周期函数，进而利用[2,0]x ∈-时，函数()f x 的解析式和函数的奇偶性，即可求解[4,6]上的最小值，得到答案． 【详解】由题意知(2)()0f x f x ++=，即(2)()f x f x +=-， 则()()4[(2)2](2)f x f x f x f x +=++=-+=， 所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，又当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，且()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，∴当[4,6]x ∈时，222()(4)(4)2(4)1024(5)1f x f x x x x x x =-=---=-+=--， 所以当5x =时，函数()f x 的最小值为(5)1f =-. 故选B ．【点睛】本题主要考查了函数周期性的判定及应用，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数周期性的判定方法，得出函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11.已知椭圆22143x y +=的右焦点F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为60︒的直线分别交抛物线于,A B （A 在x 轴上方）两点，则||||AF BF 的值为（ ）B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 【分析】利用抛物线的定义和焦点弦的性质，求得1213,3x x ==，进而可求得||||AF BF 的值．【详解】由椭圆22143x y +=，可得右焦点为(1,0)，所以12p =，解得2p =，设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的定义可得1222816sin 6033p p AB x x p =++===，所以12103x x +=， 又由21214p x x ==，可得1213,3x x ==，所以12||31231||123px AF p BF x ++===++. 故选C ．【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，以及抛物线的焦点弦的性质的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12.已知函数21()(2)e x f x x x -=-，若当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为（ ） A. 1mB. 1m <-C. 1m >-D. m 1≥【答案】C 【解析】 【分析】求得函数的导数21()(2)exf x x -'=-，得到函数()f x 的单调性，以及()()1,2f f f 的取值，再由导数的几何意义，即可求解。
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吉林省长春市普通高中 2021 届高三数学质量监测（一模）试题 文一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|03,},{|20},A x x x B x x x =<<∈=-Z ≥则集合A B 的元素个数有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 2.若平面向()(),2,,12x ==-a b 且//a b ,则x 的值为1 A.B. 1 C 4 . 4 D. 2--3.函数26sin y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴是 A. 6x π=-B. 0x =C. 6x π=D. |3x π=4.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为2,y x =±则其离心率为5.张老师居住的一条街上,行驶着甲、乙两路公交车,这两路公交车的数目相同,并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校,这两条公交线路对他是一样的,都可以到达学校,甲路公交车的到站时间是6:09,6:19，6:29,6:39，…,乙路公交车的到站时间是6:00,6:10,6:20,6:30,…，则张老师乘坐上甲路公交车的概率是A. 10%B. 50%C. 60%D. 90% 6.1的长方形ABCD 沿对角线BD 折起,得到四面体-A BCD , 则四面体-A BCD 的外接球体积为 A.43π B. 83π C. 4π D. 323π 7.曲线ln y x x =在e x =处的切线的斜率为A. 1B. 2C. 1-D. 2-8.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的 温度有关.经验表明,某种绿茶用85℃的水泡制,再等到 茶水温度降至60℃时饮用,可以产生最佳口感. 为分析 泡制一杯最佳口感茶水所需时间,某研究人员每隔 1min 测量一次茶水的温度,根据所得数据做出如图 所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列哪个函数 模型可以近似地刻画茶水温度y 随时间x 变化的规律 A. ()20y mx n m =+> B. ()0y mx n m =+>C. 0,01)(xy ma a n m a +=>>≠且 D.log 0,01a y m x n m a a =+>>≠且9.如图,长方体1111ABCD A B C D -中1,,BB BC P =为11C D 的中点,则异面直线PB 与1B C 所成角的大小为A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°10.已知抛物线()220y px p =>，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在第一象限)，且4,AB FB =则直线l 的倾斜角为 A.6π B. 4π C. 3π D. 23π 11.如图,在面积为1的正方形1111A B C D 内做四边形2222,A B C D 使12212,A A A B =1221122122112,2,2,B B B C C C C D D D D A ===以此类推,在四边形2222A B C D 内再做四边形3333A B C D ……，记四边形i i i i A B C D 的面积为1,2,3,,)(i a i n =，则123n a a a a ++++=]4. [1995nA ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ]95. [149nB ⎛⎫- ⎪⎝⎭]1. [1233nC ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ]. 3[132nD ⎛⎫- ⎪⎝⎭12.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()5,f x f x =+当[)2,0x ∈-时()2,(2),f x x =-+当[)03x ∈，时(),,f x x =则(1)(2)(2021)f f f +++=A. 809B. 811C. 1011 C. 1013二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若tan 2,α=则sin 2α= . 14.241log 3log 9+= . 15.若复数z 满足3,z z ⋅=则||z = . 16.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,满足21322n S n n =+,则n a = ; 数列11{}n n a a +的前n 项和n T = . 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必1C 1D 1A 1B 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D须作答.第22-23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分17.(12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,PA ⊥底面ABCD ,4PA AB ==,E 为PB 的中点,F 为线段BC 上的动点. (I)求证:平面AEF ⊥平面PBC ;.18.(12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足1cos 2a b c B +=⋅. (1)求角C ;(Ⅱ)若2,3a b ==,求ABC △外接圆的半径.19.(12分)某小区超市采取有力措施保障居民 正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的 甲类物资的供应,超市对社区居民户每天对甲 类物资的购买量进行了调查,得到了以下频率 分布直方图(如图).(I)估计该小区居民对甲类物资购买量的中位数; (Ⅱ)现将小区居民按照购买量分为两组,即购买量 在[)1,3单位:kg )的居民为A 组,购买量在[]3,6 (单位:kg ]的居民为B 组,采用分层抽样的方式从该小区中选出5户进行生活情况调查,再从这5户中随机选出3户,求选出的B 组户数为2的概率.20.(12分)已知椭圆2214y x +=,直线1l y kx =+：分别与x 轴y 轴交于,M N 两点,与椭圆交于,A B 两点. (I)若,AM NB =求直线l 的方程;(Ⅱ)若点P 的坐标为()0,2,-求PAB △面积的最大值.21.(12分)设函数()()ln xf x e a x a =-∈R .(I)当a e =时,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)当0a >时,求证:()()2ln .f x a a -(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4坐标系与参数方程](10分)已知直线l 的参数方程为12x ty t =+⎧⎨=⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为2cos 4sin .ρθθ=+ (I)求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线l 与圆C 相交于,A B 两点,求||.AB 23.[选修4-5不等式选讲](10分) 已知0,0, 4.a b a b >>+= (I)求证222; (Ⅱ)求证:1212223a b +++.长春市2021届高三质量监测()-数学(文科)试题参考答案及评分参考一,选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1. A.【解题思路】{1,2},{|0,2},A B x x x ==<>或所以{2},AB =故选A.2.C 【解题思路】由//,a b 可知212x=-即4x =-,故选C. 3.C 【解想思路】令2,26x k πππ+=+则.26k x ππ=+,故选C.4.B 【解题思路】由渐近线方程可知2222222,1 5.b c c a b b e a a a a a +⎛⎫=====+= ⎪⎝⎭故选B.5.D 【解思路】张老师到达车站在6：00-6:10中是等可能的,故张老师在6:00-6:09到达车站的概率为90%,故有90%的可能乘坐甲路公交车，故选D6. A 【解题思路】2,BD BD =中点到A,B,C,D 的距离均为1,故球的体积为43π,故选A. 7.B 【解题思路】1ln ,y x '=+当 x = e 时, k = 2 ,故选B. 8.C 由函数图象可知符合条件只有指数函数,故选C9.D 【解题思路】1B C ⊥平面11,ABC D PB ⊂平面11,ABC D 即1,PB B C ⊥故选D 10．C 【解题思路】如图,过A,B 作AA ’,BB ’垂直准线2px =-,垂足为A ’,B’，过B 作AA ’垂 线,垂足为C,由抛物线定义知|||,||,3|||||||BF BB AA A F F BF A ''===2|||,|F B AC =所以1cos 2BAC ∠=,3BAC π∠=,所以直线l 倾斜角为3π,故选C. 11.B 【解题思路】由图可知11232555,1,,,,,999n n a a a a -⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以其前n 项和为]95[149n⎛⎫- ⎪⎝⎭,故选B.12.A 【解题思路】由()()5f x f x =+可知()f x 周期为5,由函数图象可知每个周期()()()()()12342,f x f x f x f x f x ++++++++=由 ()()()()12....20212404809,1f f f f +++=+⨯=故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分)13.45【解题思路】2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos 1tan 5ααααααα===++ 14. 0【解题思路】2224222212log 3log log 3log 3log 3log 3092--+=+=+=(),R ,z a bi a b =+∈有223,||z z a b z ⋅=+==16. 1n a n =+，1122n T n =-+【解题思路】112,1n n n a a S S n -=-==+,所以 11(1)(2)121n n n n =-++++,故1{}1n n a a +的前n 项和1122n T n =-+. 三，简答题17.【答案】(1)因为PA AB =,E 为PB 中点,所以,AE PB ⊥因为PA ⊥平面ABCD,所以,PA BC ⊥ 由,BC AB ⊥所以BC ⊥平面PAB,所以BC AE ⊥又,BC PB B =所以AE ⊥平面PAB,所以平面AEF ⊥平面PAB. (2)1324443231B PCD A PCD P ACD V V V ---===⨯⋅⋅⨯=142PCDS=⨯=则3V h S ===分) 18. 【答案】(1)由正弦定理知sin si c 1n sin os 2A B C B += 有sin cos cos s i 1in sin s n cos 2B C B C B C B ++=,所以cos 21C =-2,3C π=（6分）222(2)2cos 19,c a b ab C c =+==-所以2,sin 33c R R C ====(12分) 19．【答案】（1）依据面积中位数两侧面积相等可知中位数为3.4; (Ⅱ)依据分层抽样,A 组有2人,设为x ，y ，B 组有3人,设为a ，b ，c从中任选2人,可能的情况为xya 、xyb 、xyc 、xab 、xbc 、xac 、yab 、ybc 、yac 、 abc 共10种情况,其中B 组户数有2户的有xab 、xbc 、xac 、yab 、ybc 、yac 共6 种,因此选出的B 组户数为2的概率为63105=. 20．【答案】(1)设()()1122,,,A x y B x y 联立直线方程与椭圆方程有22141y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩有()224230,k x kx ++-=有12224x x k k +=-+，122424y y k +=+ 所以AB 中点坐标为224,44k k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭,(0)k ≠由1,0M k ⎛⎫-⎪⎝⎭(),0,1,N MN 中点坐标为11,22k ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为,AM NB =所以线段MN 的中点与AB 的中点重合,有221241424k k k k ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩解得2k =±(6分) (2)由(1)可知12163|62|1 PABSx x =⨯⨯-==33,433所以63312PAB S ∆=当k=0时PAB ∆面积最大.(12分) 21.【答案】(1)a e =时，()ln (0),xf e e x x x =->(0)t >()x xef t e '=-易知()x f '为增函数,且()10f '=所以当()0,1x ∈时()(),0,x x f f '<单调递减,当()1,x ∈+∞时()(),0,x x f f '>单调递增.(4分) (2) ()xxaf e x '=-,当0a >时,易知()x f '为()0,+∞上增函数, 当a e >时(),01f e a '=-<；当 a e =时(),10f e a '=-=；当a e <时,0ae af e e e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭ 而()10,af a e '=->所以存在()00,,x ∈+∞()0000xae xf x '=-=即00ln ln a x x =- 当()00,x x ∈时()(),0,x x f g '<单调递减, 当()0,x x ∈+∞时()(),0,x x f g '>单调递增: 所以()()00000ln ln 2ln x x x x a af f e a x ax a a a a =-=+--.(12分) 22.【答案】(1)直线l 的普通方程是210x y --=,圆的直角坐标方程是22240x y x y +--=（5分）(2)圆心(1,2)到直线l 的距离d =圆半径r =所以||5AB ==（10分） 23.【答案】(1)证明:因为0,0a b >>,2222224a b a b ab+++()222a b +=当且仅当2a b ==时取等号)(5分) (2)因为4a b +=,所以26,a b ++=所以()221111*********a a b ba b a b a b ⎛⎫+++⎛⎫⎛⎫+=+=+++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1132623+=+,)2a b +=时取等号(10分)。