2013年高考数学(理科)一轮复习课件第68讲：离散型随机变量及分布列

k＝0,1,2，„，m(其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M， N∈N*，称随机变量 X 服从超几何分布，其分布列如下：
X P 0 C0 Cn－0 M N－M Cn N 1 Cn Cn－1 M N－M Cn N „ „ m Cm Cn－m M N－M Cn N
(3)二项分布 一般地，在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X， 在每次试验中事件 A 发生的概率为 p，那么在 n 次独立重复试验
解析：(1)记“所取出的非空子集满足性质 r”为事件 A， 基本事件总数 n＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＝31. 5 5 5 5 5 事件 A 包含的基本事件是{1,4,5}，{2,3,5}，{1,2,3,4}． m 3 事件 A 包含的基本事件数 m＝3，所以 p(A)＝ n ＝31. (2)依题意，ξ 的所有可能取值为 1,2,3,4,5.
解析：(1)由题意，随机变量 X 可能取值为 0,1,2,3， 1 13 8 0 1－ 则 X～B3，3，即 P(X＝0)＝C3· 3 ＝27， 12 4 1 1 1 1－ P(X＝1)＝C3· · 3 ＝9， 3 11 2 2 1 2 P(X＝2)＝C3· · 3 ＝9， 3 1－ 1 3 1 3 P(X＝3)＝C3· ＝27. 3 ∴X 的概率分布列为： 0 1 2 3 X 8 4 2 1 P 27 9 9 27 8 4 2 1 ∴X 的数学期望 E(X)＝0×27＋1×9＋2×9＋3×27＝1.
1．随机变量 (1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母
X，Y，ξ，η„表示．
离散 (2)所有取值可以一一列出的随机变量称为____型随机变量．
(3)随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做
连续 _____型随机变量.
2．离散型随机变量的分布列
一般地，若离散型随机变量ξ)＝1×5＋2×25＋3×25＝25
方法二：(1)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 4 3 2 Ai(i＝1,2,3)，则 P(A1)＝5，P(A2)＝5，P(A3)＝5. ∴该选手被淘汰的概率 4 3 2 101 P＝1－P(A1A2A3)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)＝1－5×5×5＝125. (2)同方法一．

5 16.
考点1 离散型随机变量的分布列的求法 例1：从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一 个． (1)记性质 r：集合中的所有元素之和为 10，求所取出的非空 子集满足性质 r 的概率； (2)记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学 期望 E(ξ)．
n „ Cnpn(1－p)0
1．下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个
是( C )
B.
A.
C.
D.
2．设随机变量 ξ 的分布列为 值为( D ) A．1 9 B.13
1i P(ξ＝i)＝a3 ，i＝1,2,3，则
a的
11 C.13
27 D.13
3．袋中有大小相同的 5 个球，分别标有 1,2,3,4,5 五个号码， 现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和 为随机变量 x，则 x 所有可能取值的个数是( B ) A．5 B．9 C．10 D．25
1 3 C5 5 C2 10 C5 10 5 又 p(ξ＝1)＝31＝31，p(ξ＝2)＝31＝31，p(ξ＝3)＝31＝31， 5 C4 5 C5 1 5 p(ξ＝4)＝31＝31，p(ξ＝5)＝31＝31.
故ξ的分布列为：
ξ P 1 5 31 2 10 31 3 10 31 4 5 31 5 1 31
表示X的分布列．
3．离散型随机变量分布列的性质 pi≥0(i＝1,2，„，n) p1＋p2＋„＋pn＝1 (1)_____________________．(2)_____________________. 4．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 如果随机变量 X 的分布列为
X
P
0
1－p _______
1 (2)ξ 的可能值为 1,2,3，P(ξ＝1)＝P( A1 )＝5； 4 2 8 P(ξ＝2)＝P(A1 A2 )＝P(A1)P( A2 )＝5×5＝25； 4 3 12 P(ξ＝3)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝5×5＝25. ∴ξ 的分布列为 ξ P 1 1 5 2 8 25 3 12 25
4．某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：
ξ
6
7
8
9
10
P 0.1 0.2 0.25 x 0.15
0.7 此射手“射击一次命中环数≥8”的概率为_____.
1 5．某篮运动员在三分线投球的命中率是2，他投球 5 次，恰 5 16 好投进 3 个球的概率_____ (用数值作答)．
3 1 5 解析：C52 ＝
xi，„，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，„，n)的概率P(X＝xi)＝pi， 则表 X x1 x2 „ xi „ xn
P
p1
p2
„
pi
„
pn
称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列．
P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，„，n 有时为了表达简单，也用等式______________________________
考纲要求 1.理解取有限个值的离散型随机 变量及其分布列的概念，了解分 布列对于刻画随机现象的重要 性． 2．理解超几何分布及其导出过 程，并能进行简单的应用． 3．了解条件概率和两个事件相 互独立的概念.
考纲研读 处理有关离散型随机变量的应 用问题，关键在于根据实际问题 确定恰当的随机变量，并明确随 机变量所有可能的取值．离散型 随机变量在某一范围内取值的 概率等于它取这个范围内各个 值的概率之和．注意应用概率之 和为 1 这一性质检验解答是否正 确.
解：方法一：(1)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事 4 3 2 件为 Ai(i＝1,2,3)，则 P(A1)＝5，P(A2)＝5，P(A3)＝5， ∴该选手被淘汰的概率 p＝P( A1 ＋A1 A2 ＋A1A2 A3 ) ＝P( A1 )＋P(A1)P( A2 )＋P(A1)P(A2)P( A3 ) 1 4 2 4 3 3 101 ＝5＋5×5＋5×5×5＝125.
所求的分布列为： ξ P 0 5 126 1 20 63 2 10 21 3 10 63 4 1 126
5 20 10 10 1 112 ∴E(ξ)＝0×126＋1×63＋2×21＋3×63＋4×126＝ 63 .
【互动探究】
2．(2011 年广东广州调研)某商店储存的 50 个灯泡中，甲厂
生产的灯泡占 60%，乙厂生产的灯泡占 40%，甲厂生产的灯泡的 一等品率是 90%，乙厂生产的灯泡的一等品率是 80%. (1)若从这 50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出
考点2 超几何分布
例2：从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛．
(1)求参加辩论比赛的 4 人中有 2 名女生的概率； (2)设ξ为参加辩论比赛的女生人数，求ξ的分布列及数学期望． 解题思路：ξ可能取值为0,1,2,3,4，分别求其对应概率，列表 即可求得． 2 C5· 2 10 C4 解析：(1)P＝ C4 ＝21. 9
解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C，那么 1 P(A)＝P(B)＝P(C)＝6. 1 52 25 P(A· · )＝P(A)P( B )P( C )＝6· ＝216. B C 6
(2)第二小组第 7 次实验成功，前面 6 次实验中有 3 次失败， 每次试验又是相互独立的，因此所求概率为 1 1 3 1 3 · 1－ 3·＝ P＝C6· 3 3

160 3 2 187.
判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两
点： ①是否为 n 次独立重复试验；②随机变量是否为在这 n 次独
P(AB)＝P(A)· (B|A)＝0.6×0.9＝0.54. P 方法二：该商店储存的 50 个灯泡中是甲厂生产的灯泡有 50×60%＝30(个)， 乙厂生产的灯泡有 50×40%＝20(个)， 其中是甲厂生产的一等品有 30×90%＝27(个)， 乙厂生产的一等品有 20×80%＝16(个)， 故从这 50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡， 27 它是甲厂生产的一等品的概率是P＝ ＝0.54. 50
(2)ξ 可能取值为 0,1,2,3,4， 4 C5 5 P(ξ＝0)＝C4＝126， 9 3 1 C5· 4 20 C P(ξ＝1)＝ C4 ＝63， 9
2 2 C5· 4 10 C P(ξ＝2)＝ C4 ＝21， 9 1 3 C5· 4 10 C P(ξ＝3)＝ C4 ＝63， 9 4 C4 1 P(ξ＝4)＝C4＝126. 9
k Cnpk(1－p)n k 中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X＝k)＝______________
－
(k＝0,1,2，„，n)．此时称随机变量 X 服从二项分布．记作 X～
B(n， p)，并称 p 为成功概率．其分布列如下：
X 0 1
－1
„ „
k Ck pk(1－p)n n
－k
„
n
0 1 P Cnp0(1－p)n Cnp1(1－p)n
考点3 二项分布
例3：已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的
1 概率都为—，某植物研究所分2个小组分别独立开展该种子的发芽 3 实验，每次实验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次实验
是失败的．
(1)第一小组做了 3 次实验，记该小组实验成功的次数为 X， 求 X 的概率分布列及数学期望； (2)第二小组进行实验，到成功了 4 次为止，求在第 4 次成功 之前共有 3 次失败的概率．
1