5.3《直线与平面的夹角》
2.5.3直线与平面的夹角教学设计一等奖
2.5.3直线与平面的夹角广西梧州市苍海高级中学 蒙先彩一、教学目标：理解直线与平面的夹角的概念，掌握利用空间向量求解直线与平面的夹角的方法和步骤。
二、教学重难点重点：掌握直线与平面的夹角的求解方法和步骤难点：推导直线和平面的夹角与直线的方向向量和平面的法向量的夹角关系。
三、教学过程：（一）复习回顾:直线与直线的夹角及二面角的向量求法。
线线角cos θ= 二面角cos θ= （二）合作探究1、直线与平面夹角的概念平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角． 如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角为__ __ 如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角为_______ 由此可得,直线与平面夹角的范围是________. 2、直线与平面夹角的求法空间中，直线与平面的夹角由直线的方向向量与平面的法向量的夹角确定． 设平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为s ，直线l 与平面α所成的角为θ. 当0≤〈n ，s 〉≤π2时，θ＝ 当π2<〈n ，s 〉≤π时，θ＝ 即sin θ＝ 3、例题讲解''’''’33ABCD A B C D F A D FCA C θ-'与平面ABCD 的夹角的例在空间直角坐标系中有单位正方体，求对角线例变式：题目条件保持不变，若是的正中点，弦值求直线与平面.例4 在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’，E ，F 分别是的B ’C ’,A ’D ’中点，求直线AC 与平面ABEF 的夹角θ的正弦值.x例4变式：题目条件保持不变，求直线AC 与平面B ’CD ’的夹角的正弦值.小结：向量法求直线与平面的夹角的步骤。
4.课堂练习（1）如图，已知三棱椎P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．求SN 与平面CMN 所成角的大小．（2）（2017北京理科16改编）在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 为线段PB 的中点，PD//平面MAC ,PA =PD求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值。
《直线与平面的夹角》 导学案
《直线与平面的夹角》导学案一、学习目标1、理解直线与平面夹角的定义。
2、掌握直线与平面夹角的求法。
3、能够运用直线与平面夹角的知识解决相关问题。
二、学习重难点1、重点（1）直线与平面夹角的定义。
（2）直线与平面夹角的求法。
2、难点（1）如何寻找直线在平面上的射影。
（2）运用空间向量求直线与平面的夹角。
三、知识回顾1、直线的方向向量：如果表示非零向量\（＼overrightarrow{a}＼）的有向线段所在直线与直线\（l\）平行或重合，则称向量\（＼overrightarrow{a}＼）为直线\（l\）的一个方向向量。
2、平面的法向量：如果表示非零向量\（＼overrightarrow{n}＼）的有向线段所在直线垂直于平面\（＼alpha\），则称向量\（＼overrightarrow{n}＼）为平面\（＼alpha\）的一个法向量。
四、新课导入在日常生活中，我们经常会遇到直线与平面相交的情况，比如斜插入地面的旗杆与地面所成的角。
那么如何来定量地描述直线与平面所成的角呢？这就是我们今天要学习的直线与平面的夹角。
五、知识讲解1、直线与平面夹角的定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
特别地，如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；如果一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是\（0^｛＼circ}＼）的角。
2、直线与平面夹角的范围直线与平面夹角的范围是\（0^｛＼circ}，90^｛＼circ}＼）3、直线与平面夹角的求法（1）几何法①作出直线在平面内的射影，找到斜线与射影所成的角。
②通过解三角形求出该角。
（2）向量法①若直线的方向向量为\（＼overrightarrow{a}＼），平面的法向量为\（＼overrightarrow{n}＼），直线与平面所成的角为\（＼theta\），则\（＼sin\theta ＝｜＼cos\langle\overrightarrow{a}，＼overrightarrow{n}＼rangle| ＝＼dfrac{｜＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow{n}｜｝｛｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{n}｜｝＼）②求出\（＼cos\langle\overrightarrow{a}，＼overrightarrow{n}＼rangle\）的值，再根据直线与平面夹角的范围，求出\（＼sin\theta\）的值。
高中数学第二章空间向量与立体几何2.5.3直线与平面的夹角10121数学
12/13/2021
• [证明] 解法1：(1)连接OC，因为OA＝OC，
D是AC的中点，所以AC⊥OD．
• 又PO⊥底面⊙O，AC 底面⊙O，所以 AC⊥PO，因为OD，PO是平面POD内的两 条相交直线，所以AC⊥ 平面POD，而AC
12/13/2021
设平面 ADE 法向量 n2＝(x2，y2，z2)， 则 n2·D→E＝n2·A→D＝0 解得：n2＝(1,0， 2) 设平面 ABD 与平面 ADE 夹角为 θ，
cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝1＋4×0＋32＝
3 2
∴平面 ABD 与平面 ADE 的二面角平面角为π6.
5.3直线与平面的夹角
12/13/2021
• 1．共面直线的夹角 • 当 角两中条，直范线围在l1与__l2_共_面_[0_，时_π2_]，__我__们内把的两角条叫直作线两交直
线的夹角． • 2．异面直线的夹角 • 当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取
一点A作AB∥l2，我们把直线l1与直线AB的夹 角叫作异面直线l1和l2的夹角．
12/13/2021
4．平面夹角的概念 在两个平面所成的二面角的平面角中，称范围在 ___[_0_，__π2_]____ 内的角为两个平面的夹角． 5．平面夹角的求法 设平面 α 与平面 β 的法向量分别为 n1 与 n2，两平面的夹角为 θ.当 0≤〈n1，n2〉≤π2时，θ＝_〈__n_1_，__n_2_〉___；当π2<〈n1，n2〉≤π 时，θ＝_π_－__〈__n_1，__n__2〉_．即 cosθ＝|_c_o_s〈__n_1_，__n_2_〉_.|
5.3直线与平面的夹角
第二章 空间向量与立体几何第五节 夹角的计算第11课时 5.3直线与平面的夹角【课堂互动】新知1 直线与平面垂直例1. 如图，在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形,平面VAD ⊥底面 证明：AB ⊥平面VAD ；笔记：新知2直线与平面的夹角例2在棱长为a 的正方体''''ABCD A B C D -求直线AD 与平面'B EDF 所成的角，笔记：【堂中精炼】3. 对空间任意两个向量b a o b b a //),(,≠A ．=B ．-=C ．λ=D ．λ= 4．已知向量与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为 （ ）A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°5. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，C 1D 1的中点，则A 1B 1与平面A 1EF 所成角的正切值为（ ） A ．2 B ．C ．1D ．6空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC>的值是（ ） A21 B 22 C －21 D 0 7. 如果与直线l 共线的非零向量与平面α的法向量所成的角为θ，那么直线l 与平面α所成的角则为8若00≤θ<900，则直线l 与平面α所成的角为900-θ；若900≤θ≤1800，则直线l 与平面α所成的角为点睛：由,0=⋅得AB VA ⊥，又A B A ⊥，因而AB 与平面VAD内两条相交直线VA ，AD 都垂直 ∴AB ⊥平面VAD点睛：设AB 是平面α的斜线，且,B BC α∈是斜线AB在平面α内的射影，则斜线AB 与平面α所成的角为arccos AB BCAB BC∙∙。
x【反馈测评】1、若直线l 的方向向量),2,0,1(=平面α的一个法向量),4,0,2(--=n 则( ) A 、l //α B 、l ⊥α C 、l ⊂α D 、l 与α斜交 2、异面直线a 、b 所成的角为θ，a 、b 与平面α都平行，b ⊥平面β，则直线a 与平面β所成的角（ ）A ．与θ相等B ．与θ互余C ．与θ互补 D ．与θ不能相等．3、在正方体ABCD —A 'B 'C 'D '中，BC '与截面BB 'D 'D 所成的角为 （ ）A ．3π B ．4π C ．6πD ．arctan24若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A取最小值时，x 的值等于（ ） A 19 B 78-C 78D 14195、直线与平面的夹角的范围为_________________________.6、若直线l 的方向向量),1,3,2(-=平面α的一个法向量),1,0,4(=n 则直线l 与平面α所成角的正弦值等于________________________. 7、如图，在三棱锥P —ABC 中，PA=PB=PC=BC ， 且2π=∠BAC，则PA 与底面ABC 所成角为. 8. 设AB 是平面α的斜线，且,B BC α∈是斜线AB 在平面α内的射影，则斜线AB与平面α所成的角为 .9. 如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1 ，底面边长为a ，侧棱长为2a（I ）建立适当的坐标系，并写出点A 、B 、 A 1、C 1 的坐标；（II ）求AC 1与侧面ABB 1A 1 所成的角。
北师大版高中数学选修2-1教案：2.5.3直线与平面的夹角
重难点：直线与平面的夹角 的概念与向量算法
提炼的课题
直线与平面的夹角的概念与向 量算法
教学手段运用
教学资源选择
Ppt课件
教 学过程
环节
学生要解决的问题或任务
教师教与 学生 学
设计意图
一线面角的定义：
二线面角的取值范围：
三线面角的向量算法：
例3已知E,F分别是正方体 的棱（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量 问题优势，培养探索精神。
学情分析
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方 体几何的相关知识,上次课已经学习了直线的方向向 量和平面的法向量，所以本节课是通过举例来求空间的距离和角。我们可以将空间中的有关距离和角的问 题，转化为空间向量的数量积来解决。
单元（章节）课题
北师大版选修2- 1第二章空间向量与立体几何
本节课题
§5.3直线与平面的夹角
课标要求
能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
三维目标
（1）知识与技能：能用向量方法解决线线、线面与 面面的夹角的计算问题.
（2）过程 与方法：在解 决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。
（1）A1D与EF所成角的大小；
（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；
（3）二面角 的大小。
解：设正方体棱长为1，以 为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz
（1）
A1D与EF所成角是
（2） ,
（3） , ，
二面角 的正弦值为
课堂检测内容
课本46页练习
课后作业布置
课本47页习题2-5 3, 4
《直线与平面的夹角》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教】
知识梳理
题型一 用定义求线面角
【例1】在正四面体ABCD中，E为棱AD中点，连CE，求CE和平面BCD所成角 的正弦值． [思路探索] 可作出线面角，在三角形中解出．
解 如图，过A、E分别作AO⊥平面BCD， EG⊥平面BCD，O、G为垂足． ∴AO＝2GE，AO、GE确定平面AOD，连结 GC，则∠ECG为CE和平面BCD所成的角．
知识梳理
【例 3】(12 分)如图所示，正三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面边长为 a，侧棱 长为 2a，求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成角的正弦值．
审题指导 建立坐标系，用 sin θ＝|cosφ|＝求线面角．
知识梳理
【题后反思】 (1)用向量法可避开找角的困难，但计算繁琐，所以注意 计算上不要失误． (2)在求已知平面的法向量时，若图中有垂直于平面的直线时，可直接 确定法向量；当图中没有垂直于平面的直线时，可设出平面法向量的 坐标，用解不定方程组的方法来确定法向量．
知识梳理
公式cos θ＝cos θ 1 ·cos θ 2的理解 由0≤cos θ 2 ≤1，∴cos θ≤cos θ 1 ，从而θ1≤θ.在公式中，令θ 2 ＝90°，则cos θ＝cos θ 1 ·cos 90°＝0. ∴θ＝90°，即当AC⊥BC时，AC⊥AO. 此即三垂线定理，反之若θ＝90°，可知θ2＝90°，即为三垂线定理的逆 定理，即三垂线定理及逆定理可看成此公式的特例．
知识梳理
∵M 为 DC 的中点，∴CM＝12a
∴BM＝
a42＋a2＝
5 2a
又 ME＝12PD＝12a，∴BE＝ 54a2＋14a2＝ 26a
知识梳理
∴在 Rt△BME 中
cos∠MBE＝BBME ＝
2.5.3《直线与平面的夹角》课件(北师大版选修2-1)
【解析】建立如图所示空间直角坐标系，设棱长为2，则
E(2,0,1),F(2,1,0),A(2,0,0),C(0,2,0), ∴EF=(0,1,-1),A1A=(0,0,-2),AC=(-2,2,0).
1.（5分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB、C1D1的
中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为( (A) 6
2 2
1 2 , 2 = 2 2 2
∴OA为平面BOC的法向量，∴cos〈OA,OD〉=
设直线OD与平面OBC的夹角为θ，
则sinθ=
2 ,∴θ= π . 4 2
二、填空题（每题5分，共10分）
4.正四棱锥S—ABCD中，O为顶点在底面上的投影，P为侧棱SD 的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC的夹角是______. 【解析】
正弦值等于______. 【解题提示】通过平面ABC的法向量转化求解.
【解析】
答案：
4.（15分）正方体ABCD-A1B1C1D1中，求面对角线A1B与对角面 BB1D1D的夹角. 【解题提示】应用传统定义法或向量法求解.
【解析】
一、选择题（每题5分，共15分）
1.若直线l的方向向量与平面α 的法向量的夹角等于150°,则
直线l与平面α 的夹角等于( (A)150° (B)60° ) (D)50°
(C)30°
【解析】选B.l与平面α的夹角等于150°-90°=60°.
【解析】
2
) (D) 2
(B) 6
3
(C) 6
4
【解析】 111
2.（5分）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为 2 ，底面三角
形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的大小是_______.
直线与平面夹角的求法
直线与平面夹角的求法直线与平面之间的夹角是几何学中一个基本的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将介绍几种常见的求解直线与平面夹角的方法，并探讨它们的优缺点。
1. 向量法向量法是求解直线与平面夹角最常用的方法之一。
我们可以将直线看作一个向量，平面看作一个法向量，两者的夹角可以通过它们的点积来求解。
具体来说，设直线的方向向量为$vec{a}$，平面的法向量为$vec{n}$，则直线与平面的夹角$theta$满足以下公式：$$cos theta = frac{vec{a}cdot vec{n}}{|vec{a}|cdot|vec{n}|}$$其中，$cdot$表示点积运算，$|vec{a}|$和$|vec{n}|$分别表示向量$vec{a}$和$vec{n}$的模长。
向量法的优点在于简单易懂，适用于各种情况。
但它也有一些缺点，比如需要计算向量的模长和点积，计算量较大，而且需要注意向量的方向。
2. 坐标法坐标法是另一种常用的求解直线与平面夹角的方法。
它利用了向量法的思想，但是将向量的运算转化为坐标的运算，更加方便实际计算。
具体来说，我们可以将直线表示为一般式方程：$$ax+by+cz+d=0$$其中，$(a,b,c)$是直线的方向向量，$d$是常数。
平面则可以表示为点法式方程：$$Ax+By+Cz+D=0$$其中，$(A,B,C)$是平面的法向量，$D$是常数。
将直线的方向向量和平面的法向量分别表示为向量$vec{a}=(a,b,c)$和$vec{n}=(A,B,C)$，则它们的夹角$theta$满足以下公式：$$cos theta = frac{|vec{a}cdot vec{n}|}{|vec{a}|cdot|vec{n}|}=frac{|ax+by+cz|}{sqrt{a^2+b^2+c^2}cdotsqrt{A^2+B^2+C^2}}$$坐标法的优点在于计算简单，无需考虑向量的方向。
2.5.3《直线与平面的夹角》课件,(北师大版选修2-1)
【解析】选C.直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角的补
角为60°.线面角是这个角的余角.
3.（2010·全国Ⅰ改编）正方体ABCD—A1B1C1D1中,BB1与平面
ACD1夹角的余弦值为( （A） 2
3 （C）2 3
)
（B） 3
3 （D） 6 3
【解析】选D.以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线 为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
解得AC=2 2，
所以AB2+AC2=8+8=16=BC2，即AB⊥AC，又PA⊥平面ABCDE，所
以PA⊥AB，
又PA∩AC=A,所以AB⊥平面PAC，又AB∥CD，
所以CD⊥平面PAC，又因为CD 平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PAC. (2)由(1)知AB，AC，AP两两相互垂直，
分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴建立
(1)求证：平面PCD⊥平面PAC； (2)求直线PB与平面PCD夹角的大小； (3)求四棱锥P-ACDE的体积.
【解题提示】（1）根据所给数据，通过计算证明AB⊥AC；
（2）利用空间向量求线面角；（3）先判断出四边形ACDE的 形状，并求出其面积，再根据PA⊥平面ABCDE得高即为PA，从 而可求体积. 【解析】（1）因为∠ABC=45°，AB=2 2，BC=4， 所以在△ABC中，由余弦定理得：
建立如图直角坐标系.
答案：
三、解答题（每题8分，共16分） 7.如图所示，四面体S—ABC中，SA、SB、SC两两垂直，
∠SBA=45°,∠SBC=60°,M为AB的中点，求：
（1）BC与平面SAB的夹角；
（2）SC与平面ABC夹角的正弦值.
【解析】（1）∵SA、SB、SC两两垂直， ∴SC⊥面SAB.
直线与面的夹角的正弦值公式
直线与面的夹角的正弦值公式
嘿，朋友们！咱来聊聊直线与面的夹角的正弦值公式呀！那就是sinθ = cos<n,l>，这里的θ就是直线与平面的夹角，<n,l>表示平面的法向量和直线的方向向量的夹角。
比如说呀，有个平面像一块平平的板子，而直线就像一根直直的小棍儿，它们之间就有个夹角需要我们去研究。
（这不就像我们走路，有时候要拐个弯嘛！）
咱看个具体例子哈，有个平面，法向量是(1,2,-1)，直线的方向向量是(2,-1,3)，那我们先求这两个向量的点积，再除以它们模的乘积，就能得到cos<n,l>的值，然后再取绝对值，最后求出正弦值。
（哇塞，是不是感觉像在解开一个小谜团呀！）你说有趣不有趣！（嘿嘿，是不是很有意思呢！）这样我们就能知道直线和平面夹角的相关信息啦，这在很多几何问题中可重要了呢！（就像我们生活中的关键钥匙一样重要呢！）。
直线与平面夹角 课件
B x B1 A O A1 z D1
C1
y D
C
因为A1 (0,0,1),C(1,1,0),所以A1C (1,1,1)
3 从而 cos s, n . 3 | s || n | 故 s, n , 2 A1 所以A1C与平面ABCD的夹角 sn
A
n
s
B
C
当
2
s, n 时, s, n
2
综上所述
当0 s, n
当
2
时,
2
s, n ；
s, n 时, s, n 。 2 2
例1、如图，在空间直角坐标系中有单位 正方体ABCD-A1B1C1D1，求对角线A1C 与平面ABCD的夹角 的正弦值.
5.3 直线与平面的夹角
定义：
平面外一条ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线与它在该平面内的投
影
A 的夹角叫作该直线与此平面的夹角 .
B
C
特别地:
(1)如果一条直线与一个平面平行或在平面 内, 我们规定这条直线与平面的夹角为 0.
(2)如果一条直线与一个平面垂直, 我们规定 这条直线与平面的夹角为 2 .
直线与平面夹角的取值 范围 : [0， ]. 2
直线AB与平面的夹角 和该直线的方向向量 s, 与该平面的法向量 n的夹角 s, n 是什么关系?
A
B
C
情形一：直线的方向向量与平面的法向量同时 指向平面（或背离平面）
空间几何中直线与平面的夹角关系
空间几何中直线与平面的夹角关系在空间几何中，直线与平面是两个基本的几何元素。
研究直线与平面的夹角关系是我们理解空间几何的重要一步。
本文将探讨直线与平面的夹角概念、计算方法以及相关性质。
首先，我们来定义直线与平面的夹角。
直线与平面的夹角可以理解为直线在平面上的投影与平面的法线之间的夹角。
具体而言，设直线L的方向向量为d，平面P的法线向量为n，则直线L与平面P的夹角定义为它们的方向向量d和法线向量n的夹角θ。
接下来，我们将讨论如何计算直线与平面的夹角。
在空间几何中，计算夹角的方法可以利用向量的内积。
设直线L的方向向量为d，平面P的法线向量为n，则直线L与平面P的夹角θ可以通过以下公式计算得出：θ = arccos(|d·n| / ||d|| ||n||)其中，d·n表示向量d和向量n的内积，||d||和||n||分别表示向量d和向量n的模。
这个公式是根据向量的内积和模的定义推导得出的，能够准确计算直线与平面的夹角。
除了计算夹角，直线与平面的夹角还有一些重要的性质。
首先是直线与平面的夹角与法线的夹角是互补角的关系。
也就是说，直线L与平面P的夹角θ与直线L在平面P上的投影线与平面P的法线的夹角是互补角，即θ + φ = 90°。
这个性质可以通过向量的投影和内积的性质进行推导。
另外一个重要的性质是直线与平面的夹角与平面的倾斜角相等。
平面的倾斜角定义为该平面与水平面之间的夹角。
因此，直线L与平面P的夹角θ与平面P与水平面的夹角是相等的。
这个性质可以通过夹角的定义和平面的倾斜角的定义进行证明。
最后，我们将讨论直线与平面的夹角在实际问题中的应用。
直线与平面的夹角在机械工程、建筑工程等领域有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们需要确定建筑物的屋面倾斜角度，就可以利用直线与平面的夹角来计算。
在机械制造中，机械零件的装配和调整也需要考虑直线与平面的夹角。
总之，直线与平面的夹角关系是空间几何研究的重要内容。
高中数学 同步教学 直线与平面的夹角 二面角及其度量
题型一
题型二
题型三
题型四
用定义法求直线与平面所成的角
【例 1】 已知∠BOC 在平面 α 内,OA 是平面 α 的一条斜线,若
∠AOB=∠AOC=60°,OA=OB=OC=a,BC= 2, 求与平面所成
角的大小.
分析:解答本题可找出点A在平面内射影的位置,作出线面角,然后
解三角形求出线面角.
所有直线所成角中最小的角.
【做一做2】 已知一条直线与平面的夹角为30°,则它和这个平面
内所有直线所成角中最小的角为(
)
A.30° B.60° C.90° D.150°
答案:A
3.二面角的定义及表示方法
(1)平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做
半平面.
(2)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;这条
A. B. C. D.
2 3
3
2
解析:如图,设 BC 的中点为 E,底面正三角形 BCD 的中心为 O,连接
AE,DE,则∠AEO 就是二面角 A - BC - D 的平面角.在 Rt△AOE
中,AE=
答案:B
3
,
2
=
3
, 则cos∠AEO=
6
1
3
= .
1
2
3
4
5
5.设a=(0,1,1),b=(1,0,1)分别是平面α,β的两个法向量,则锐二面角α l - β的大小是(
∵A1B⊥B1C,
∴ 1 ·1 = 0, ∴ = 2.
题型一
题型二
题型三
题型四
设 n=(x,y,z)是平面 A1ABB1 的一个法向量,
则 n·1 1 = −4 + 2 = 0.
高中数学同步教学课件 直线与平面的夹角
∴cos∠C1DC＝
2＝ 2
22，
2
又0°≤∠C1DC≤90°，∴∠C1DC＝45°.
1234
4.若平面 α 的一个法向量为 n＝(－ 3，1,1)，直线 l 的一个方向向量为 a
1 ＝( 3，1,1)，则 l 与 α 所成角的正弦值为__5___.
由题设l与α所成的角为θ，
可得 sin θ＝|cos〈n，a〉|＝||nn|·|aa||
反 思 感 利用线面角定义，求线面角即求斜线与它在平面内的射影 悟
所成的角，所以找该斜线在平面内的射影是关键，而要找
射影关键是找垂线，所以求线面角的关键是找平面的垂线.
跟踪训练 1 在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与
25 平面BCD1所成角的正弦值等于___5___.
＝
－
|－3＋1＋1| 32＋1＋1×
32＋1＋1＝15.
1234
五
课时对点练
基础巩固
1.已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉
＝－ 1 ，则l与α所成的角为 2
√A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
设 l 与 α 所成的角为 θ，则 sin θ＝|cos〈m，n〉|＝12. 又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.
(5)代入公式sin
θ＝|cos〈a，n〉|＝
|a·n| |a||n|
；(6)回归几何问题.
例 3 如图，已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，
AB⊥AC，PA＝AC＝
1 2
AB，N为AB上一点，AB＝4AN，
M，S分别为PB，BC的中点.
(1)证明：CM⊥SN；
5.3直线与平面的夹角
则A1B与平面A1B1CD的夹角是30°.
求直线与平面的夹角的方法与步骤
思路一：找直线在平面内的投影，充分利用面与面垂直的性
识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值).
思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式
向量求直线与平面的夹角的基本步骤：
(1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量A→B；
( A.
2 4
)
B.
2 3
C.
6 3
D.
3 2
解析 建系如图，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1
C1(0,1,1)，A(1,0,0)，
∴B→C1＝(－1,0,1)，A→C1＝(－1,1,1)，A→1B＝(0,1,－1)，A→1D＝(－
∴A→C1·A→1B＝1－1＝0，A→C1·A→1D＝1－1＝0.
(3)求平面的法向量n；
→
(4)计AB| →
.
|n|·|AB|
跟踪训练1 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面A PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点. 求EB与平面ABCD夹角的余弦值.
解 取CD的中点M，则EM∥PD， 又∵PD⊥平面ABCD， ∴EM⊥平面ABCD， ∴BE在平面ABCD上的投影为BM， ∴∠MBE为BE与平面ABCD的夹角，如图建立空间直角坐 设PD＝DC＝1， 则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，
(2)设 AB＝ 2BC，求 AC 与平面 AEF 夹角的正弦值.
解 ∵AB＝ 2BC，∴a＝ 2，A→C＝( 2,－1,0)，
A→E＝
22，－1，0，E→F＝0，12，12.
设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，
一般式直线与平面的夹角
一般式直线与平面的夹角在三维空间中，直线和平面是几何学中常见的基本对象。
直线可以由一般式方程表示，而平面可以由一般式方程或点法式方程表示。
当直线与平面相交时，它们之间的夹角就成为我们要讨论的焦点。
我们来回顾一下一般式直线和平面的定义和方程形式。
一般式直线的方程形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C是直线的方向向量的分量，D是直线的常数项。
一般式平面的方程形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C是平面的法向量的分量，D是平面的常数项。
要计算一般式直线和平面的夹角，我们首先需要找到它们的方向向量和法向量。
对于一般式直线，它的方向向量可以由直线的系数A、B、C得到，即方向向量为(A, B, C)。
对于一般式平面，它的法向量可以由平面的系数A、B、C得到，即法向量为(A, B, C)。
接下来，我们需要计算方向向量和法向量的点积。
点积的计算公式为：A·B = |A||B|cosθ，其中A·B表示点积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示向量A和向量B之间的夹角。
当直线和平面相交时，直线的方向向量和平面的法向量一定不垂直。
因此，我们可以通过计算它们的点积来求得它们之间的夹角。
具体而言，直线和平面的夹角θ可以由以下公式计算得到：θ =arccos(|A·B| / (|A||B|))。
通过上述公式，我们可以计算直线和平面之间的夹角。
这个夹角可以有以下几种情况：1. 直线与平面平行：当直线和平面的夹角为0度时，它们是平行的。
在这种情况下，直线和平面没有交点。
2. 直线与平面垂直：当直线和平面的夹角为90度时，它们是垂直的。
在这种情况下，直线和平面有无数个交点，形成一条直线。
3. 直线与平面相交：当直线和平面的夹角在0度和90度之间时，它们相交于一个点。
在这种情况下，直线和平面有且只有一个交点。
需要注意的是，上述讨论是基于理想情况下的直线和平面，即它们是无限延伸的。
2022年《直线与平面的夹角》教学优秀教案1
直线与平面的夹角一、教学目标1.知识目标：①学生理解掌握直线和平面所成的角定义及定义的合理性；②学生初步掌握求直线和平面所成角的方法和步骤。
2.能力目标：培养学生的概括能力和探索创新能力。
3.思想目标：学生进一步内化化归的数学思想方法。
二、教学重点1.直线和平面所成的角的定义的生成；2.求直线和平面所成的角的方法步骤；3.初步掌握公式及公式的应用。
三、教学难点求直线和平面所成的角的方法步骤四、教学方法问题探索法及启发式讲授法五、教学过程〔一〕、复习提问1.直线和平面的位置关系有哪几种？〔1〕直线在平面内〔2〕直线和平面平行〔3〕直线和平面相交2.平面的斜线及斜线在平面内的射影的定义：〔二〕问题引入：如图，怎样刻画不同斜线与相对同一 平面的位置呢？ 〔三〕问题探讨：1.探索发现-------探讨仰角概念的实质2.猜 想 平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中最小的角.3.证明猜测：如图：OA 是平面的一条斜线，A 为斜足，，B 是垂足，AC 为平面内的任意一条与AB 不重合的直线，直线OA 与AB 与AC 所成的角为.猜测：证明：不妨设，过O 作交AC 于点C ， 那么在中，有，同理在中，， 设，那么在中，，所以， 由于，所以， 故：.4.重要结论：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中最小的角.〔四〕直线和平面所成的角1.斜线和平面所成的角的概念一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角2.规定：(1)如果直线和平面垂直，就说直线和平面所成的角是直角.(2)如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成角是的角. 强调：(1)直线和平面所成的角的范围是： .(2)定义 直线和平面所成角的可行性及合理性.(3)理解公式中三个角的真正含义，明确是这三个角中的最大的角. 〔五〕例题精讲：例1：在单位正方体中，试求直线与平面所成的角. 解：由正方体的性质可知，， 所以在平面ABCD 内的射影为BD . 由直线和平面所成角的定义， 那么为与平面所成的角在中，，所以直线与平面所成的角为. 强调：(1)求直线和平面所成的角的步骤是先作再证后求.(2)求直线和平面所成的角的关键是作〔找〕斜线在平面内的射影. 变式：在单位正方体中，求直线与截面所成的角. 简解：过作交于点O ，易知：， 所以为直线在平面内的射影. 由直线和平面所成角的定义，所以 即为直线与截面所成的角.在中，可知.例2：如图，AB为平面的一条斜线，B为斜足，，O为垂足，BC为内的一条直线，，求斜线AB和平面所成的角.所成的角.因为，所以.六、课堂小结1.直线和平面所成角的定义及其合理性.2.初步掌握求直线和平面所成角的方法步骤：(1)作〔找〕出角；(2)证明〔认定〕角；(3)〔在三角形中〕求出角.。