第四章 主观和客观相结合的评价法

”，“ˆ”。 （5） 算子“& a& b ab / [ (1 )(ab)] aˆb [ab (1 )ab] / [ (1 )(1 ab)]
(6)Yager算子“y p
p
ay pb 1 min(1,[(1 a) p (1 b) p]1/ b) aYpb min(1,(ap bp)1/ p) ˆ 和p是参数，当＝1时，y p和Yp分别为g和＋，当 ＝2时，& 、ˆ ˆ，当p=1时，y p 和Yp 分别为 e 、 分别为& 、 ，当p 时，y p 和Yp 分别为 、 。
1 0.95 1 0.85 1 0.38 1 0.40 1 0.70 A x1 x2 x3 x4 x5 0.05 0.15 0.62 0.60 0.30 x1 x2 x3 x4 x5
三 隶属函数的确定 （一）概述 在应用模糊数学的方法解决决策中的问题时，最重要的 是确定隶属函数。由于模糊数学得到了广泛的应用，各行 各业的人们提出了很多的确定方法。 例证法（1972，扎德）：其思路是利用有限个隶属值来 估计整个论语上的模糊集A的隶属函数，这有限个值主要 用询问调查的方法来获得。 统计法（1976）：通过所谓的模糊统计的方法来确定， 模糊统计与普通的概率统计有着本质的区别，但基本的方 法还是很类似的。 解析定义法（1976）：是用微积分的方法来确定——通 过假设隶属函数可微，然后用微分的方法来求得隶属度。 子集比较法（1974，K.S.冯）：其直观意义是取模糊集A
（3）有界算子 “e ”，“”。
a e b max(0, a b 1) a b min(1, a b)
& ˆ”。 “ ”，“ & a b ab / [1 (1 a)(1 b)] ˆb (a b) / (1 ab) a
（4）Einstain算子
第七章 主观和客观相结合的评价方法
案例:足球队旅游景点的选择 某足球队大赛以后准备趁“五一”长假搞一次旅游活动，活动的目的在 于使队员的身心得到放松，同时也增加队员与教练员之间以及队员与队 员之间的沟通。通过俱乐部有关领导及工会的讨论，决定在P1,P2,P3三 个景点中选择一个景点。大家一致认为影响旅游景点选择的有景色、费 用和吃住三个主要因素。 景色 P1 P2 P3 好 非常好 较好 费用 1200 2000 800 吃住 一般 一般 较好
总共m个因素就对应着mn个模糊评语，对应m个评语向量，构成一个总 的评价矩阵R：
r11 r12 L r r22 L 21 R M M rm1 rm 2 L
r1n r2 n M rmn
R是因素论域集（或因素集）U到评语集V的一个模糊关系。 多因素评判要在评语集中综合考虑各因素在总评价中的影响程度的 大小，其影响程度的大小就构成了因素集U上的一个模糊集合A＝ （a1,a2,…,am)，其中ai是ui对模糊集合A的隶属度。它是单因素在总 的评价中的影响程度大小的量度，可以看作是一种权数。 通过对A和R进行模糊变换，将得到一个新的结果向量B。
0.2 0.7 0.1 0 R 0 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.1
经模糊变换得到Y=[0.2,0.4,0.5,0.1]。 这里值得注意的是：在模糊变换的运算中我们的运算符与 原来线性变换中的运算符是不一样的，这里的运算符是取 大与取小运算符。把原来的乘积运算变为现在的取小运算， 把原来的求和运算变为现在的取大运算，上面的例子就是 通过这种运算关系得到的。
r11 r12 L r r L B A o R b1 , b2 ,L , bn a1 , a2 ,L , an o 21 22 M M rm1 rm 2 L r1n r2 n M rmn
式中，B为评语集V上的评价结果，bj ( j 1,2,L , n)为等级v j 对综合评判 所得到的等价模糊集合B的隶属度。得到最终的评判结果后，就可以 对事物进行综合评判了。决策时，往往根据选择评价结果最大隶属原 则：即选择最大的bj所对应的等级作为综合评判的结果。
例1 如给5个人的聪明程度打分，这样给定了一个从论域 X x1 x2 x3 x4 x5 到[0,1]闭区间的映射。设聪明人集合为 A，则有：
x1 : 95, x1 x1 x1 x1
A ( x1 ) 0.95 : 85, A ( x2 ) 0.85 : 38, A ( x3 ) 0.38 : 40, A ( x4 ) 0.40 : 70, A ( x5 ) 0.70
0.95 0.45 0.85 0.95 0.38 0.28 0.40 0.10 0.70 0.90 x1 x2 x3 x4 x5 0.95 0.95 0.38 0.40 0.90 x1 x2 x3 x4 x5
A B

0.95 0.45 0.85 0.95 0.38 0.28 0.40 0.10 0.70 0.90 x1 x2 x3 x4 x5 0.45 0.85 0.28 0.10 0.70 x1 x2 x3 x4 x5
A B 0.95 0.85 0.38 0.40 0.70 x1 x2 x3 x4 x5 0.45 0.95 0.28 0.10 0.90 x1 x2 x3 x4 x5
并定义 为取最大值，定义 为取最小值，则下面给 出模糊集合之间的并、交与余的关系。
A B
Aபைடு நூலகம்
（一）模糊集合的定义
A
A ( x1 )
x1

A ( x2 )
x2
L
A ( xn )
xn

i 1
n
A ( xi
xi
这里的“＋”号并不是代数和的意思，而是“扎德记 xi 号”，显然求和号和分式表示也是一种记号，它表示元素 A ( xi ) 对模糊集A的隶属度为 ，A中共有n个元素。而普通 集合式模糊集合的一种特例如普通集合（a,b,c)可以表示 为隶属度均为1的模糊集合：（1/a,1/b,1/c)。 序偶表示法： A A ( x1 ), x1 , A ( x2 ), x2 , L A ( xn ), xn 向量表示法： A A (x1), A (x2 ), L A (xn ),
现在的决策问题是：综合景色、费用和吃住三个因素，拿一 个更适合本次的旅游。在决策过程中，大家队三个景点反 复进行比较，但发现三个景点中没有一个在三个方面比其 他的都好，也没有一个在三个方面比其他都差。众人为了 这样一个问题争论不休而花上几周的时间做调研又是不值 得的。这里的评价因素既有主观的，又有客观的，所以必 须找到一个有说服力的方法来帮助决策者进行选择。
取大和取小是模糊变换最常用的算子，它因为突出重要因 素而损失过多的信息，使得模糊数学的运算过于贫乏。所 以人们还提出了其他的一些算子，每一种算子的特征是不 同的，可根据不同的情况加以选用。 (1)加乘算子“＋”，“×”。这是普通的加法和乘法。 ˆ ”。 ”，“＋ （2）概率算子 “g
ag b ab ˆ b a b ab a＋
所谓模糊集合A，它是集合： A (A ( x)) / x X ，其 中X为论域， A ( x) 是区间[0,1]中的一个确定的数，称 为点x对A的隶属度。模糊集合也叫模糊集、模糊子集。 其中，论域就是讨论问题的范围。设A是关于论域X的模 糊集，由定义可知，对于A，存在一个函数 ( x) : X 0,1 ， 这个函数称为模糊集合A的隶属函数。隶属函数的引入， 标志着模糊数学的诞生，它是描述模糊性的关键。 （二）模糊集合的表示 模糊集合的表示一般有三种形式：扎德表示法、序偶 表示法、向量表示法。 扎德表示法：若假设给定的是有限论域 X x1, x2 , L , xn 它的模糊集合A可以表示为：
在线与性代数中，我们知道一个变换往往是通过一个列向 量与一个矩阵进行矩阵的乘积运算而得到的，典型的是 Y=AX（矩阵式），还可写成分量式。
这种表示同样可以拓展到模糊关系矩阵中去：设R是模 糊关系矩阵，X是一用向量表示的模糊集合，则称 Y X o R 为模糊变换（也成模糊关系的合成）。例如： X=[0.2,0.5,0.3]
第一节 模糊综合评判
一 模糊集合的概念
对于一个普通的集合A，任一元素x，要么x属于A，要 么不属于A，二者必居其一。这一特征可用一个特征函数 表示为：
1 A( x) 0
x A x A
A(x)即为集合A的特征函数。将特征函数推广到模糊集： 即将在普通集合中只取0，1两个值推广到在模糊集中取 到整个[0,1]区间。
里各元素的平均隶属度。 滤波函数法（1978）：用滤波函数来判别一些形容词如 “高”、“大”的隶属函数。 此外，还有可变模型法（1976）和相对选择法等等。然 而每一种方法都有局限性，目前对于隶属函数的确定问题 尚还没有完全得到解决。不过，对于一般的问题，我们只 要从现有的隶属函数中选全就可以了，这些现成的隶属函 数成果要使用在一般的模糊数学读物中都能找到。 （二）确定隶属函数的实例：模糊统计 关于隶属函数的确定，现在还没有一个完全客观的方法。 很多时候，我们要借助于主观的方法来进行，这是一种实 验确定隶属函数的思路。 模糊统计是确定隶属函数的一种有效方法。这种方法可以 是客观的，也可以是主观的。其过程如下：
这样就确定出一个模糊子集：
A (0.95, x1 ),(0.85, x2 ),(0.38, x3 ),(0.40, x4 ),(0.70, x5 ),
二、模糊集合的运算
我们用一个例子来说明模糊集合之间的主要运算关系。 首先定义模糊集合A、B如下: 我们用一个例子来说明模糊集合之间的主要运算关系。首 先定义模糊集合A，B如下：
（二）模糊综合评判 模糊综合评判是运用模糊变换原理，对某一对象进行全面评价。它能 够解决传统方法难以解决的带有模糊性的决策问题，是在经济、生活、 管理等活动中行之有效的辅助决策方法。这种方法是根据模糊变换的 原理与最大隶属度原则，考虑与被评价事物相关的各个因素，对其所 做的综合性评价，所以交模糊综合评判。其评价的着眼点是所要考虑 的各个因素。在评价时，可将评价结果分成一定的等级。一般是根据 具体问题，以规定的标准来分级。这里所要考虑的因素构成了模糊综 合评判中的几个关键概念：因素集合 U u1, u2 ,L ,和由评价等级 um 构成的评价集合 ，这里的 V称为评语集。需要经模糊矩 V v1, v2 ,L , vn 阵R变换的模糊向量是因素集U上的模糊集合，而变换后的结果Y 则 是V上的模糊集合。 模糊综合评判一般由两个层次组成：即由单因素评判与多因素评判组 成。单因素评判是对因素集U中的每一个单因素 ui (i 1, 2,L , m)做单因 素评价，它是从因素 u i 着眼来确定该因素对评语集中各评语 v j ( j 1,2,L , n) 的隶属度 rij 。也就是说：每个因素ui就对应着n个模 糊评语，写成向量表示就是ui对应的评语向量是 ri (ri1 , ri 2 ,L , rin )
（1）规定一个在论域上可以变动的普通集合S； （2）对任一被调查者（主观）或原始值（客观）如果属于 S就是1，否则就是0； （3）对统计结果进行分组，统计频数； （4）根据频数计算出隶属频率。 四 模糊综合评判 （一）模糊变换 模糊集合可以用向量来表示，这个向量就是模糊向量：
A 1 , 2 , L , n , 其中i是元素xi的隶属度i ( xi ), xi是论域X x1 , x2 , L , xn 中的元素。