《高等数学》(同济六版)教学课件★第10章.重积分
高等数学同济第六版上册课件10-2二重积分的计算
D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
1 ( )
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
（在积分中注意使用对称性）
1.
计算 I
D
sin y
y
d
，其中区域
D 为曲线 y
x 及直线
y=x 所围成。
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解
y
3x
0
2
3
x2 y2 4 y r 4sin
x
3y
0
1
6
x2 y2 2 y r 2sin
( x2 y2 )dxdy
3 d
r 4sin 2 rdr 15(
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标系计算二重积分
如果积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
其中函数1( x) 、2( x) 在区间 [a,b]上连续.
f ( x, y)d 的值等于以 D 为底，以曲面 z
x
dx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,
则
D
:
y 1
x y
2 2
o
1 x 2x
I
2
dy
1
y2xyd x
2
1
高等数学同济六版第十章课件
取典型小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 看作均匀薄片， 所有小块质量之和
(ξi ,ηi )
•
∆σi
λ→0
o x n 近似等于薄片总质量 M = lim∑ρ(ξi ,ηi )∆σi .
i =1
2、二重积分的定义 、
上的有界函数， 定义 设 f ( x, y)是有界闭区域 D上的有界函数， 将 闭 区 域 D 任 意 分 成 n 个 小 闭 区 域 ∆σ1 ， 个小闭区域， ∆σ 2 , L ∆σ n，其中 ∆σ i 表示第 i 个小闭区域， ， 也表示它的面积， 也表示它的面积， 的面积 在每个 ∆σ i 上任取一点(ξi ,ηi )， 作乘积 并作和
2 2
解 当r ≤ x + y ≤ 1时，< x2 + y2 ≤ ( x + y )2 ≤ 1, 0
故 ln( x + y ) ≤ 0
2 2
ln( 又当 x + y < 1时， x2 + y2 ) < 0,
于是
r ≤ x + y ≤1
∫∫
ln( x + y )dxdy < 0
2 2
三、小结
和式的极限） 二重积分的定义 （和式的极限） （曲顶柱体的体积） 二重积分的几何意义 曲顶柱体的体积）
o
D
x
∫∫ f ( x, y)dσ =∫∫ f ( x, y)dxdy D D
二、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质） 二重积分与定积分有类似的性质）
α 数 性质１ 性质１ 当 ，β为常 ，则
∫∫ [α f ( x, y) + β g( x, y)]dσ
= α∫∫ f ( x, y)dσ + β ∫∫ g( x, y)dσ .
高等数学同济第六版上册课件10-1二重积分的概念
四、曲顶柱体体积的计算
z
设曲顶柱的底为
y 2(x)
D
(
x,
y)
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
y
D
任取 截面积为
平面
截柱体的
o a x0 b x y 1(x)
z y 2(x)
故曲顶柱体体积为
y
b
V D f (x, y) d a A(x)d x
c 1( y)
d
x 1(y)
y c
o
x 2(y)
x
内容小结
1. 二重积分的定义
n
D
f (x, y) d
lim
0 i1
f (i ,i ) i
(d dxdy)
2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)
3. 曲顶柱体体积的计算
二次积分法
思考与练习
1. 比较下列积分值的大小关系:
I2 xy d x d y
为D 的面积, 则
D1 d D d
5. 若在D上 f (x, y) (x, y) , 则
D f (x, y) d D (x, y) d
特别, 由于 f (x, y) f (x, y) f (x, y)
D f (x, y)d D f (x, y) d
6. 设
D 的面积为 ,
则有
cos y sin y 2
0
2
作业
• P136.
•
4(1,2),5(3,4)
D
b
[
2 (x) f (x,y) dy ]d x
a 1( x)
o a x0 b x y 1(x)
高数(同济第六版)下册多元函数的积分学及其应用知识点
第十章多元函数的积分学及其应用一、二重积分1．二重积分的概念�定义：设(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数，“分割、近似、求和、取极限”：01(,)lim (,)n i iii D f x y d f λσξησ→==∆∑∫∫其中：D 为积分区域，(,)f x y 称为被积函数，d σ为面积元素。
�几何意义：当(,)0f x y ≥，(,)D f x y d σ∫∫表示以区域D 为底、以曲面(,)z f x y =为顶的曲顶柱体的体积。
�非均匀平面薄片的质量：(,)DM x y d µσ=∫∫。
2．二重积分的性质�性质1（线性性质）.),(),()],(),([∫∫∫∫∫∫±=±DD D d y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα�性质2（区域具有可加性）如果闭区域D 可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域1D 和2D ,则.),(),(),(21∫∫∫∫∫∫+=D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ�性质3如果在闭区域D 上,σ,1),(=y x f 为D 的面积,则.1σσσ==⋅∫∫∫∫DD d d 几何意义：以D 为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。
�性质4（单调性）如果在闭区域D 上,有),,(),(y x g y x f ≤则.),(),(∫∫∫∫≤DD d y x g d y x f σσ推论1.|),(|),(∫∫∫∫≤DD d y x f d y x f σσ推论2设m M ,分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值和最小值,σ为D 的面积,则.),(σσσM d y x f m D≤≤∫∫这个不等式称为二重积分的估值不等式。
�性质5（积分中值定理）如果函数(,)f x y D 上连续，σ是D 的面积，那么在D 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⋅∫∫。
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
高等数学重积分.pptx
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【例1】
【解】
如图
X—型域
作直线穿越Ω内部
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故
则
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【解】
得交线投影区域
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【解】
如图
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【例4】
【解】
如图示
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【方法Ⅱ】
截面法(切片法)【 “先二后一”】
【“先二后一”法的一般步骤】
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【例3】
【解】
D是Y—型域也可以视X—型域
先求交点
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［法1］
视为X—型域
（计算较繁）
本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！
［法2］
（计算简单）
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【例4】
【解】
X-型
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【例5】
【解】
先去掉绝对值符号，如图
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公式2
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(3)［既非X－型域也非Y－型域］
在分割后的三个区域上分别都是X－型域(或Y—型域)
如图 , 则必须分割.
由二重积分积分区域的可加性得
2.【二重积分的计算步骤可归结为】
①画出积分域的图形，标出边界线方程；
②根据积分域特征，确定积分次序；
③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算.
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(?)
Dz之面积
作业: 同济P164: 4,5
高数(同济第六版)第十章总结
闭区域（左图） 。 将其投影到 xoy 面上确定 0≤ ρ ≤2，0≤ θ ≤2π
同时确定 Jacobi 式为ρ 即： zdV =
2π
0
dθ
2 4 d ρ z ·ρdz 0 ρ2
第十章
第一节 二重积分的概念与性质 1、 黎曼积分法四部得到
重积分
满足极限性质
2、 中值定理：m≤ 第二节
1 δ D
f(x, y)d δ ≤M
二重积分计算法
D
1、 积分思想：将二重积分化为二次积分[ 2、 利用直角坐标：
f(x, y)d δ]
①思想，将范围中的表示为显函数形式次序几分 ②如：先将 D 表示为 X-型 a≤x≤b φ1 (x) ≤y≤ φ2 (x) 则
∂ （x,y ）
xθ yθ 且 J≠0]
③将关于ρ、θ的 D 化成θ-型积分
第三节
三重积分
Z1(x,y)
1、积分源、积分法与二重积分类似 2、利用直角坐标： 如右，确定 Z1(x,y) 、Z2(x,y)，找出 空间立体图形在 xoy 面的投影，将 此化为 X-型或 Y-型， 即： = f x, y, z dV x, y, z dzD来自f(x, y)d δ=
1 10
a b
dx
φ 1 (x) dy φ 2 (x)
③确定图形，确定 D 表示的形式，用顶针法确定另 一个： 如图为方程y = x 2 与方程 y=x 曲线， 阴影为 D，
确定用 X-型，则 0≤x≤10， 用顶针法（图上箭头） ， 箭头从上往下碰到的 线为
1 10
x 2 ≤ y ≤ x，
f x, y, z dV =
1 x dx 0 0
dy
1−x −y 0
高等数学第十章重积分PPT课件
总结词
矩形区域上的重积分计算是重积分中最基础的一种计算方 法。
详细描述
在矩形区域上，可以将积分区域划分为若干个小矩形，然后对每个小矩形进行 积分，最后将所有小矩形的积分结果相加即可得到整个矩形区域的积分值。
公式
$int_{a}^{b}int_{c}^{d}f(x,y)dxdy$
圆形区域上的重积分计算
公式
根据具体情况而定，一般需要通过微分几何和拓扑学知识 进行推导和计算。
03
重积分的应用
重积分在几何学中的应用
80%
计算立体体积
通过重积分可以计算三维空间中 物体的体积，如旋转体、曲面和 不规则体的体积。
100%
计算表面积
重积分可以用来计算封闭曲面或 复杂曲面的表面积，如球面、椭 球面和抛物面等。
化简积分表达式
在计算过程中，尽量化简积分 表达式，以减少计算量。
避免重积分的常见错误
上下限错误
确保上下限的确定是正确的，特别是对于复杂区 域。
公式应用不当
使用不合适的公式可能导致计算错误或无法得出 结果。
积分次序错误
选择错误的积分次序可能导致计算结果不正确。
计算失误
在计算过程中，可能会因为疏忽或笔误导致结果 不准确。
求解流体动力学问 题
重积分在流体动力学中有重要应 用，如计算流体压力、速度和密 度等。
重积分济活动中 涉及到的成本和收益，如生产成 本、销售收入和利润等。
预测经济趋势
通过重积分可以建立经济模型， 预测未来经济趋势和市场变化， 为决策提供依据。
优化资源配置
二重积分的定义
二重积分是计算平面区域上的面积的数学工具，其值等于二元函数在平面区域上的所有点的函数值与该点处面积微元 相乘后累加的总和。
同济六版高数课件青岛大学
同济六版高数教材注重数学基础知识的传授和数学思维的培养，涵盖了高等数学的主要内容，包括极限、导数、微积 分、线性代数、微分方程等。
影响与评价
同济六版高数教材是国内高校应用较为广泛的高等数学教材之一，被广大师生认可和推荐，对于提高学 生的数学素养和思维能力具有积极的作用。
青岛大学高数课程概述
03
第二章：导数与微分
导数定义与性质
01
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线的 斜率，是函数局部变化率的一种度量 。
02
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性 质、乘积法则、商的法则、链式法则 等。
03
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点 处的切线的斜率，即函数值增量与自 变量增量之比在增量趋于0时的极限 。
探讨多元函数在某点附近的变化率，为偏导数和全微 分的研究奠定基础。
偏导数与全微分
偏导数
描述多元函数在某一变量上的变化率，通过偏 导数可研究函数局部性质。
全微分
全面研究多元函数在各变量上的变化，通过全 微分可近似计算函数值的变化。
链式法则
探讨复合函数偏导数的计算方法，简化复杂函数的偏导数计算。
二重积分与三重积分
微分的几何意义
微分在几何上表示函数图像在某一点处的切线的纵坐标增量。
微分的应用
微分在近似计算、误差估计、求极值等方面有重要应用。
04
第三章：不定积分
不定积分定义与性质
不定积分定义
不定积分是微积分中的一个重要概念， 它表示一个函数的原函数或反导数。 给定一个函数f(x)，其不定积分记作 ∫f(x)dx，表示f(x)的一个原函数。
物理应用
定积分在物理中有广泛的应用，例如在计算匀加 速直线运动的路程、变力做功等问题中都会用到 定积分的计算方法。
高等数学同济第六版第10章公式总结
高等数学同济第六版（下册）（第10章）第10章重积分10.1 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念二、二重积分的性质1 性质 1 设、为常数，则2 性质 2 如果闭区域被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。
(可加性)3 性质 3 如果在上，，为的面积，则4 性质 4 如果在上，，则有特殊地，由于又有5 性质 5 设、为分别是在闭区域上的最大值和最小值，是的面积，则有6 性质 6(二重积分的中值定理) 设函数在闭区域上连续，是的面积，则在上至少存在一点，使得10.2 二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分7 型(先后)型(先后)例 4 求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积。
解设这两个圆柱面的方程分别为及由对称性，将其分为8部分在第一卦限中，所求立体的顶为柱面又积分区域则即所求立体的体积为二、利用极坐标计算二重积分8例 5 计算其中是由中心在原点、半径为的圆周所围成的闭区域。
解在极坐标系中，闭区域则例 6 求球体被圆柱面所截得的(含在圆柱面内的部分) 立体的体积。
解由对称性，有在极坐标系中，闭区域则*三、二重积分的换元法10.3 三重积分一、三重积分的概念二、三重积分的计算1 利用直角坐标计算三重积分9 (先一后二)其中，例 1 计算三重积分其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域。
解闭区域则(先二后一)其中，是竖坐标为的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域。
例 2 计算三重积分其中是由椭球面所围成的空间闭区域。
解闭区域则2 利用柱面坐标计算三重积分10 点的直角坐标与柱面坐标的关系为例 3 利用柱面坐标计算三重积分其中是由曲面与平面所围成的闭区域。
解闭区域则*3 利用球面坐标计算三重积分11 点的直角坐标与球面坐标的关系为例 4 求半径为的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积。
解设球面通过原点，球心在轴上，又内接锥面的顶点在原点，其轴与轴重合，则球面方程为，锥面方程为。
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第十章第1节 二重积分的概念与性质
D
D
的 大 小 , 其 中 D是 三 角 形 闭 区 域 , 三 顶 点 各 为 (1,0),
(1,1), (2,0).
y
解 三 角 形 斜 边 方 程 xy2
1
在 D 内 有 1 x y 2 e ,
故 ln x ( y ) 1 ,
D
o 12x
于 是 lx n y ) l (x n y ) 2 ,(
i 1
z zf(x,y)
V kf(k, k)k
3、求和
n
V f(k,k)k
k1
x
4、取极限
n
Vlim 0
f(i,i)i.
2021/6/18
i1
o
•D
y
(i ,i )
i
m 1 k na ( x k)
5
２．求平面薄片的质量
设 有 一 平 面 薄 片 ， 占 有 xo 面 上 y 的 闭 区 域
i 1
i 1
4、取极限 ( m x 1 a , x 2 x , x { n })
n
b
Alim
2021/6/18 0 i1
f(
i )xi
a
f (x)dx
3
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求 和、取极限”的方法，如下动画演示．
2021/6/18
4
步骤如下：
1、分割
n
V Vi
2、 近 似
D
D 1
D 2
性质４ 若 为D的面积，1dd.
D
D
性质５ 若在D上 f(x ,y ) g (x ,y ),
则有 f(x,y)dg (x,y)d.
D
D
特殊地 f(x,y)df(x,y)d.
高等数学第十章重积分
高等数学第十章重积分1. 引言在高等数学中，积分是一个重要的概念。
在之前的学习中，我们学习了定积分和不定积分的概念和性质。
在本章中，我们将进一步学习一种扩展的积分形式，即重积分。
2. 重积分的引入和定义重积分是一种将函数在二维或更高维空间内的区域上进行积分的方法。
它的引入主要是为了解决在二维平面上对非矩形区域进行积分的问题。
在计算重积分之前，我们首先需要定义积分区域。
对于二维平面上的区域，我们可以使用极坐标或直角坐标来描述。
对于更高维的区域，我们则需要使用其他的坐标系。
一般来说，重积分可以分为两类：累次积分和二重积分。
累次积分是指先对一个变量进行积分，然后再对另一个变量进行积分。
而二重积分则是指在一个积分符号下同时对两个变量进行积分。
对于二重积分，我们可以使用迭代积分和换元积分的方法来计算。
迭代积分是将一个二重积分转化为两个累次积分的过程，而换元积分是利用变量替换的方法来简化计算。
3. 重积分的性质重积分具有一些和定积分相似的性质。
例如，重积分具有线性性质和保号性质。
线性性质指的是对于两个函数的重积分，其和函数的重积分等于两个函数分别取重积分后再相加。
保号性质指的是如果函数在积分区域上恒大于等于0，则函数的重积分也大于等于0。
此外，重积分还具有可加性和可积性。
可加性指的是如果一个积分区域可以被分割为多个不相交的子区域，则重积分可以拆分成多个子区域的重积分之和。
可积性指的是如果一个函数在有界闭区域上连续或只有有限个间断点，那么该函数的重积分存在。
4. 重积分的应用重积分在物理学、经济学和几何学等领域中有着广泛的应用。
在物理学中，我们可以使用重积分来计算物体的质心、面积、体积等性质。
在经济学中，我们可以使用重积分来计算市场需求曲线和供给曲线之间的面积，从而得到市场的总需求量和总供给量。
在几何学中，重积分可以用来计算平面和空间中的曲线长度、曲面面积和体积。
例如，我们可以使用重积分来计算球体的体积和球冠的体积。