材料力学基础14能量法

注意几点
6、欲求的位移和施加的单位力应理解为广义力 和广义位移。
7、若为两点间的相对线位移，则单位力是施加在两 点上的 方向相反的一对单位力，
其作用线与两点的连线重合。 8、若为两截面间的相对转角，则单位力是
施加在两截面上的 方向相反的一对单位力偶；
广义力与广义位移的对应关系
一个力
L
EA
L
EI
L GI p
注意几点
1、施加单位力时所有的外载卸掉，支座保持不动； 2、外载作用下的内力方程与单位力作用下的内力 方程要求正方向与积分区间的严格一致；
3、求位移施加力，求转角施加单位力偶
4、结果为正，说明广义位移与单位力同向； 5、外载作用下分段，单位载荷作用下也必须分成相 应的段数；
杆的应变能
V W P L
2
V FN 2 L 2 EA
由拉压杆件组成的杆系的应变能：
2P
P
2
K
B
1
5
3
D
4
C
V n FN2i Li
i1 2Ei Ai
受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的应变能
x dx
L
q
V dV FN 2( x )dx
L
L 2EA
2、圆截面杆的扭转应变能
m
Tl
GI P
d( l ) FN ( x )dx
EA
d T (x)dx
GI
，
d M (x)dx
，
EI
dV 1 N( x )d( l ) 1 T( x )d 1 M( x )d
2
2
2
V
FN2( x )dx
T 2( x )dx
M 2( x )dx
L 2EA L 2GI p L 2EI
注意 1 以上计算公式仅适用于线弹性材料、
下的集中力P，求此时A支座的约束反力。
A ΔA
a
B
ΔB
A
b
P
§13-7 莫尔积分
设在梁上作用有外力 P1, P2 ,, Pn ,求梁轴线上任一点C处的
挠度 c 。
F1
Fi
Fn
C
一方面：从外力的功看总应变能
在外力作用下，梁的应变能为
M 2( x )dx
V L 2EI
1.0
外载全部卸掉，支座保持不变，在求挠度
能量原理 固体力学中运用功与能有关的基本原理；
能量法 由能量原理发展出来的方法；
能量原理是在总体上从功与能的角度考察变形 体的受力、应力与变形的原理与方法；
是进一步学习固体力学的基础
也是当今应用甚广的有限元法求解力学问题的 重要基础。
能量法的用处 用于求位移
能量法的优点
不管中间过程，只算最终状态 能量是标量，容易计算
圆截面杆的应变能
V W 1 m T 2L
2
2GI p
受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量)
t
A
B
x L dx
V dV T 2( x )dx
L
L 2GI p
3、平面弯曲的应变能
m
Ml
EI
纯弯曲梁的应变能：
V W
1 m
2
M 2L 2EI
横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能
的点沿挠度方向加一单位力 P0 ；1
在单位力的作用下，梁的应变能为
M 2( x )dx
V0 L 2EI
F1
Fi Fn 1.0 C
再将原来一组载荷作用于梁上 。
fc
由于材料服从胡克定律,且变形很小,
外载在梁上作的功仍等于
M 2( x )dx
V L 2EI
由于外载的作用，在C点发生的挠度即为所求 c 。
拉压变形的莫尔积分
1.0 n FNi FNi li
i1 Ei Ai
扭转变形的莫尔积分
1.0 n TNi TNi li
i1 Gi I Pi
如果杆件同时产生拉压、扭转和弯曲变形，要求 在某一方向的广义位移 ;
可在此方向上加一单 位力， 以莫尔积分求出该方向的 广义位移；
1.0 FN ( x )FN ( x )dx M( x )M( x )dx T( x )T ( x )dx
P
45
L
L
2 同种材料，弹性模量E已知。求系统的应变能
2AL
AL
P
3 抗弯刚度EI为常量。求系统的应变能
M
2L/3
4 抗弯刚度EI为常量。 求系统的应变能
P
L/3
2L/3
5 抗弯刚度EI为常量。 求系统的应变能
P
6、已知杆件的抗拉压刚度为EI，在截面的下端与 刚性平面间有一间隙Δ，当A截面处有轴向力P，使
在小变形下的应变能的计算
2 应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加 原理在同种应变能计算中 不能使用。
3 只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上 不做功时，才可应用。
4 应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关；
在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。
例1 图示等截面悬臂梁，E,A,I 已知。在自由端受 集中力P 和集中力偶 M作用。设材料是线弹性的，试计 算梁的应变能。略去剪力的影响.
M=1 C
A
(a)
(b)
4、将千分尺安装在梁上，可以测出安置点所 在位置处的挠度。为了测出图示梁在力P作用 下的挠曲线，就必须将千分尺沿梁的长度方向 逐点安置并测定该点的挠度。用什麽办法可以
不移动千分尺就能够测出该梁的挠曲线？
千分尺
P
5、两根完全相同的悬臂梁在某处用一拉杆连接,在图 a中,将A处支座向上移动距离ΔA时,B处相应上移ΔB。 在图b中,将A处支座放置在水平位置，在B处承受向
δP1
随后作用上第二组力Qj（j=1,2,…,n）
Qj在其相应位移 Qj 上做功为
Pi Q1
Qj
δPi δQ1 δQj
W2
1 2
Q1 Q1
1 2
Q2 Q 2
1 2
Qn Qn
第二组力Qj引起第一组力的作用点的位移 P i
P1
Pi Q1
Qj
δP1 δ’P1
δPi δQ1 δ’Pi
δQj
与此同时，因为Pi力的存在，且已达到终值且值不变；
位移互等定理
例题：装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁， 如图，试用互等定理求解。
A B
a
P
L
A
a
P
L
δ1
R
第一组力： P、R
B
1
a2 6EI
(3l
a)
2
l3 3EI
δ2 X=1
第二组力 X=1
第一组力在第二组力引起的位移上做功
P 1 R 2
Pa 2 ( 3l a ) R l 3
6 EI
W 1
2
P1 P1
1 2
P2 P2
1 2
Pm Pm
1
同时物体上已作用有Qj且其值不变，
Qj在由于Pi引起的Qj作用点沿Qj方向的位移 Q j上做功 Q1 Q 1 Q2 Q 2 Qn Q n W21
两组力所做的总功为：
V2 W1 W2 W21
由于变形能只决定于力与位移的最终值，与加力次 序无关，故有V1=V2，
δ2 δn
相应地物体产生变形δ1，
δ1
δ2，…，δn，
对于线性弹性材料，则变形也将按相同比例β增加；
外力对物体做功，功以应变能储 藏在物体内；
Pi βPi (δi 、Pi)
如果外力在某一中间值βP1， βP2，…，βPn时
各点处的广义位移达到中间值
βδ1，β δ 2，…，β δ n时
δi βδi dβδi
而单位力 P0 1在外载 产生 c 的过程中一直保持为常量，
故单位力在 c上做功
1c
所以梁的总应变能： V总 V0 V 1 c
另一方面：从内力方程看总应变能
如果载荷与单位力同时加在梁上， 梁截面上的弯矩为
M( x)M( x)
梁的总应变能为
V总
[ M ( x ) M ( x )]2 dx
Pi在Qj产生的位移 P i 做功
W12 P1 P 1 P2 P 2 Pm Pm
先加P后加Q时做功总和为：
V1 W1 W2 W12
将加载次序反过来，先加力Q后加力P，Qj在相应
位移 Qj 上做功为：
1 2
Q1 Q1
1 2
Q2 Q 2
1 2
Qn Qn
W2
再加Pi (i=1,2,…,m)力，Pi在其相应位移 Pi 做功
P
M L
2 刚度EI、GIP为常量。 求系统的应变能
P
§13-4 互等定理
考虑两组力P，Q作用于物体;
第一组力有m个载荷P1，P2，…，Pm; 第二组力有n个载荷Q1，Q2，…，Qn。
若先将第一组力Pi（i=1,2,…,m） 单独作用
P1
力做功
W1
1 2
P1 P1
1 2
P2 P2
1 2
Pm Pm
m=Pa
P
A B
C
a
a
M 2( x )dx
V LdV L 2EI
4、剪切
V dV k ( FS )2 dx
L
L 2GA
k 由截面的几何形状决定:
矩形截面:k=1.2； 圆截面: k=10/9；
圆环形截面:k=2；
一般实心截面的细长梁:剪切变形能远小于其弯曲变 形能，通常忽略不计。
1 各杆的抗拉压刚度相等EA相等。求系统的应变能
如果略去变形过程中的动能及其它能量的损失；
由能量守恒原理，杆件的变形能V在数值上应等于 外力做的功W；
V=W 对变形体都适用的普遍原理
弹性固体变形是可逆的；
当外力解除后，弹性体将恢复其原来形状，释放出 变形能而做功。
但当超出了弹性范围，具有塑性变形的固体， 变形能不能全部转变为功，
因为变形体产生塑性变形时要消耗一部分能量， 留下残余变形。
L
EI
1.0c
M ( x )M ( x )dx
L
EI
1.0c
M ( x )M ( x )dx
L
EI
——莫尔积分法又称单位载荷法。
M(x) ：实际载荷引起的弯矩；
M ( x ) ： 单位载荷引起的弯矩。
求转角的莫尔积分
1.0 c
M( x )M ( x )dx
L
EI
在欲求截面处施加一单位力偶
C截面的位移等于Δ时，杆件的应变能为 。
a A
b C
7、直角折轴的抗弯刚度为EI抗扭高度为GIP，在 两个集中力P的作用下，AB杆的应变形能为 。
PL P
a
§13-3 应变能的普遍表达式
一、 克拉贝依隆原理
Pn P2
广义力P1，P2，…，Pn作用 于物体，且设按同一比例系 P1 数β从零增长到终值。
有一增量dβ
力在位移增量上做功 Pi d i
力在位移增量上做总功
dW P11d P2 2 d Pn n d
β从0到1 外力做功
W
( P1 1
Pn n )
1
d
0
1 2
P11
1 2
P2 2
1 2
Pn n
物体的应变能为
V
W
1 2
P11
1 2
P2 2
1 2
Pn n
Байду номын сангаас
克拉贝依隆原理
组合变形时的变形能
V1 W1 W2 W12
V2 W1 W2 W21
W12 W21
P1 P1 P2 P 2 Pm P m Q1Q 1 Q2Q 2 QnQ n
功的互等定理
位移互等定理
设两组力Pi、Qj只有一个力P1、Q1作用于物体，
P1 P1 Q1 Q 1
若 P1 Q1 ，则有
P1 Q 1
C
D
2、欲测定图示梁端截面的转角θA，但只有 测量挠度的仪器，你怎样用改变加载方式的
方法达到此目的？
P
A θA
3、两相同的平面刚架受载如图，下列关系中 正确的是： 。
A：xB(a)=xC(b) B：yC(b)=θB(a) C：yB(a)=yC(b) D：yC(a)=θB(b)
B A
P=1 B C
§13-2 杆件应变能的计算
线弹性条件下，通过外力功求应变能
常力作功：常力 P 沿其方向线位移 l上所作的功
W P L
变力作功：在线弹性范围内，外力 P 与位移 l 间呈 线性关系。
荷载由零缓慢加载到终值； 变形也由零缓慢变化到终值
W P L
2
1、轴向拉伸或压缩
P
L
P
Δl FNl EA
3EI
A
a
P
L
δ1
R B 第二组力在第一组力引起
的位移上做功： 零
功互等定理
δ2
Pa2 ( 3l a ) R l 3 0
X=1 6 EI
3EI
RB
P 2
a2 l2
(3l
a)
1、已知梁在力偶M的单独作用下C截面的挠度为
yc＝3毫米，则在力P单独作用下D截面的转角为
θD=
。
C P=2KN
M=1KNm D
材料力学基础
能量法
强度理论 解决了组合变形的强度问题 组合变形的刚度问题怎么办？
能否避免组合变形的微分方程
弯曲变形 积分法求变形 得到整个挠曲线
能否只求出若干控制点的变形，避免求整 个变形曲线
§13-1 概述 §13-2 杆件应变能的计算 §13-3 应变能的普遍表达式 §13-4 互等定理 §13-7 莫尔积分 §13-5卡氏定理 §13-8 图形互乘法
L
2EI
F1
Fi Fn 1.0 C
δc
两种情况都是构件的总应变能
[ M ( x ) M ( x )]2 dx
V0 V 1.0 c L
2 EI
M 2( x )dx M ( x )M ( x )dx M 2( x )dx
L 2EI
L
EI
L 2EI
V V0
M ( x )M ( x )dx
§13-1 概述
弹性体受拉力P作用，当P从零开始到终值缓慢 加载时，力P在其作用方向上的相应位移也由零 增至终值ΔL；
一方面：力的作用点沿力的方向有位移 力要做功；
另一方面：
P
弹性体因变形而具有做功的能力，
表明杆件内储存了应变能
功能原理
若外力在由零缓慢加载到终值，变形中的每一 瞬间，变形体均处于平衡状态；