材料力学基础14能量法
材料力学能量法
限制条件:不适 用于求解动力学 问题如振动、冲 击等
适用范围:适用 于求解线性问题 如弹性、塑性等
限制条件:不适 用于求解非线性 问题如塑性、蠕 变等
材料力学能量法的发展趋势和未来 展望
材料力学能量法的发展趋势
计算方法:发展高效、准确 的数值计算方法
应用领域:拓展应用领域如 航空航天、生物医学等
柱的压缩问题
问题描述:柱在轴向 压力作用下的压缩问 题
应用实例:桥梁、建 筑等结构中的柱在受 压时的变形和破坏
能量法分析:利用能 量法分析柱的受压变 形和破坏过程
结论:能量法在柱的 压缩问题中的应用可 以有效地预测柱的变 形和破坏情况为工程 设计提供依据。
弹性体的振动问题
添加 标题
弹性体振动问题的背景:在工程中弹性体的振动问题非常常见如桥梁、建筑物、机械设备等。
定义和原理
材料力学能量法: 一种研究材料力学 问题的方法通过分 析能量变化来求解 问题。
基本概念:能量、 应力、应变、位移 等。
原理:根据能量守 恒定律材料的变形 和破坏过程中能量 会发生变化通过分 析这些变化可以求 解问题。
应用:广泛应用于 结构分析、优化设 计等领域。
能量法的应用范围
结构力学:分析结构受力、变形和稳定性 材料力学:分析材料应力、应变和断裂 流体力学:分析流体流动、压力和速度 热力学:分析热传导、对流和辐射 电磁学:分析电磁场、电磁波和电磁感应 声学:分析声波传播、反射和吸收
能量法的基本假设
材料是连续、均匀、各向同性的
材料是线弹性的应力与应变成正 比
添加标题
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材料是弹性的满足胡克定律
添加标题
添加标题
材料是各向同性的应力与应变的 关系与方向无关
(材料力学)能量法
l l1
Dl
Dl
Dl
或
1 Vε W F Dl 2 EA(Dl ) 2 2l
Fl (Dl ) EA
F
F
l l1 Dl Dl
F Dl
应变能密度
vε
——杆件单位体积内的应变能
两端受轴向荷载的等直杆,由于其各横截面上 所有点处的应力均相等,故全杆内的应变能是均匀 分布的。 F l l1 F
1 2 M x1 qx1 2
a 1 2 M x2 qax2 qa x2 qa 2 2
因为:
Vε
a
0
2 a M x M 2 x1 2 dx1 dx2 0 2 EI 2 EI
则有
1 2 1 2 qx1 qa a 2 a 2 dx Vε dx1 2 0 0 2 EI 2 EI
1
m
2m2'
m
1m'1
=
3 m
+
' 3m 3
(a)
(b)
(c)
在m作用下,图b无形状改变,且其体积应变同图a, 而对图c,因为:
2 3 0 1
则体积不变,仅发生形状改变(图c) 。
与此对应,图a的体积改变能密度等于图b的应变能密度,
其转向与Me 相同。
三 弯曲应变能
图示纯弯曲梁,弹性范围内的变形有:
M el EI l
或
EI Me l
Me
Me
l
O
(b)
(a)
可见,满足线性关系。
外力功:
1 W M e 2
材料力学第十四章__超静定结构
§14.1 超静定结构概述
整理课件
本节应用能量法求解静不定系统。 应用能量法求解静不定系统,特别是对桁 架、刚架等构成的静不定系统,将更加有效 。 求解静不定问题的关键是建立补充方程。 静不定系统,按其多余约束的情况,可以 分为外力静不定系统和内力静不定系统。
整理课件
支座反力静不定 类型反力静定内力静不定
整理课件
解静不定梁的一般步骤
(4)在求出多余约束反力的基础上,根据静 力平衡条件,解出静不定梁的其它所有支 座反力。 (5)按通常的方法(已知外力求内力、应力 、变形的方法)进行所需的强度和刚度计 算。
整理课件
例:作图示梁的弯矩图 。
整理课件
解:变形协调条件为
A 0
即
MAl2Pl2 10 2 382
A
M10 1
D
P
1
2
(d)
(e)
1 P0 2M E 1 0 M P d I s2 P E 20 2 a (I 1 c
o) s (1 )d P2(a 1 ) 2 E2 I
1102M E102IdsE aI02(1)2d2EaI
上面两式代入 正则方程:
11
X 整理课1件
Pa( 2
)
求出X1后,可得图(C)
解得
MA
3Pl 16
整理课件
3Pl MA 16
11 P
5P
16
整理课件
另解:变形协调条件为
vB 0
即
RBl2
2l Pl2
5l
0
2 386
解得
5P
RB 16
整理课件
5P
5Pl/32
16
3Pl 16
工程力学(静力学与材料力学)习题及答案 -材料力学中的能量法
工程力学(静力学与材料力学)习题第14章 材料力学中的能量法14-1 线弹性材料悬臂梁承受载荷如图所示,εV 为梁的总应变能,B w 、C w 分别为点B 、C 的挠度。
关于偏导数P ε/F V ∂∂的含义,有下列四种论述,试判断哪一个是正确的。
(A )C w ;(B )C w 2;(C )B w +C w ;(D )C w 21。
正确答案是 。
14-2 线弹性材料悬臂梁承受载荷如图所示,其中P P F F =',εV 为梁的总应变能,AB V ε和BC V ε分别为AB 和BC 段梁的应变能,B w 、C w 分别为点B 、C 的挠度。
关于这些量之间的关系有下列四个等式,试判断哪一个是正确的。
(A )C B w w F V +=∂∂P ε; (B )C B w w F V -=∂∂Pε; (C )B AB w F V =∂∂P ε,C BC w F V =∂∂P ε; (D )B AB w F V =∂∂P ε,C w F V =∂∂Pε。
正确答案是 。
14-3 线弹性材料悬臂梁承受载荷如图所示,εV 为梁的总应变能。
关于偏导数P ε/F V ∂∂的含义有下列四种答案,试判断哪一种是正确的。
(A )C w F V 2Pε=∂∂; (B )C w F V 21P ε=∂∂; (C )C w F V 4P ε=∂∂; (D )C w F V 41P ε=∂∂。
正确答案是 。
14-4 线弹性材料平面架承受载荷如图所示,εV 为刚架的总应变能。
关于偏导数P ε/F V ∂∂的含义,有下列四种答案,试判断哪一种是正确的。
(A )点B 铅垂位移与水平位移的矢量和;(B )无意义;(C )点B 沿两载荷合力方向的位移;(D )点B 铅垂位移与水平位移的代数和。
正确答案是 。
习题14-1图 习题14-2图习题14-3图习题14-7图14-5 线弹性材料简支梁承受均布载荷q 如图所示,设εV 为梁的总应变能。
材料力学第8章-能量法
能量原理的应用
能量原理可以应用于弯曲、拉伸、压缩等各种不同的力学问题。通过计算系统的势能和应变能,可以分 析材料的应力分布、变形情况和稳定性。
弹性势能和弹性材料的能量原 理
弹性势能是指弹性材料在外力作用下产生的能量。通过应变能和弹性势能之 间的关系,可以推导出弹性材料的力学性质和变形方程。
弹塑性材料的能量原理
材料力学第8章-能量法
材料力学的能量法是研究材料变形和力学行为的重要方法,它具有广泛的应 用。本章将介绍能量法的基本概念和应用,以及弹性和弹塑性材料的能量原 理。
能量法的基本概念
能量法是一种力学分析方法,通过考虑系统的能量变化,推导出材料的力学 性质和变形行为。能量法的基本概念包括势能和应变能的概念,以及能量守 恒定律。
通过能量法,我们可以分析臂梁在外力作用下的弯曲行为。通过计算和优化梁的几何参数和材料性质, 可以设计出更加稳定和高效的悬臂梁结构。
总结和要点
能量法是一种重要的材料力学分析方法,它通过考虑材料的能量变化,分析 材料的力学性质和变形行为。
对于弹塑性材料,除了考虑弹性势能外,还需要考虑应变能和塑性势能的贡献。能量原理可以用来分析 弹塑性材料的强度和变形行为。
能量法在材料力学中的重要性
能量法是材料力学中的一种基本方法,它可以用来分析各种不同类型的力学问题,包括材料的变形、破 坏和失稳行为。掌握能量法对于研究和设计材料结构至关重要。
应用实例:悬臂梁弯曲问题的分析
材料力学能量法
材料力学能量法材料力学能量法是材料力学中的一种重要分析方法,它通过能量原理来研究材料的力学性能和行为。
能量法在工程应用中具有广泛的意义,可以用于解决各种复杂的材料力学问题。
本文将对材料力学能量法进行详细介绍,包括其基本原理、应用范围和计算方法等内容。
首先,我们来看一下材料力学能量法的基本原理。
能量法是以能量守恒原理为基础的一种力学分析方法,它认为在任何力学系统中,系统的总能量始终保持不变。
在材料力学中,通过能量方法可以方便地求解结构的变形、应力分布和稳定性等问题。
能量法的基本原理为系统的总能量等于外力对系统做功的总和,即系统的内能和外力对系统做功的总和保持恒定。
其次,材料力学能量法的应用范围非常广泛。
它可以用于分析材料的弹性、塑性、断裂等力学性能,也可以用于研究材料的疲劳、蠕变、冷却等行为。
在工程实践中,能量法可以应用于各种材料的设计、优化和性能评估,如金属材料、复合材料、土木工程材料等。
通过能量法分析,可以更好地理解材料的力学行为,为工程设计和材料选型提供科学依据。
最后,我们来介绍一下材料力学能量法的计算方法。
能量法的计算方法主要包括弹性能量法、弹塑性能量法和断裂能量法等。
在应用中,需要根据具体问题选择合适的能量方法,并结合数值计算和实验验证进行分析。
在计算过程中,需要考虑材料的本构关系、加载条件和边界约束等因素,以确保计算结果的准确性和可靠性。
综上所述,材料力学能量法是一种重要的力学分析方法,具有广泛的应用前景和深远的理论意义。
通过能量法分析,可以更好地理解材料的力学性能和行为,为工程实践提供科学依据。
在今后的研究和应用中,我们需要进一步深入理解能量法的基本原理和计算方法,推动其在材料力学领域的发展和应用。
材料力学 能量法
能量法一、变形能(应变能):变形固体在外力作用下由变形而储存的能量“”。
弹性变形能:变形固体在外力作用下产生的弹性变形而储存的能量1、性变形能具有可逆性。
2、塑性变形能不具有可逆性。
二、变形能的计算:利用能量守恒原理能量守恒原理:变形固体在外力作用下产生的变形而储存的能量,在数值上等于外力所作的外力功。
三、能量法:利用功能原理和功、能的概念进行计算的方法。
常见的能量法——功能原理、单位力(莫尔积分)、卡氏定理等。
在卡氏第二定理中应该注意的问题①、Vε——整体结构在外载作用下的线弹性变形能。
②、F i视为变量,结构反力和变形能等都必须表示为F i的函数②、Δi为F i作用点的、沿F i方向的变形③、Δi处要有相应的荷载,当无与Δi对应的F i时,可采用附加力法进行计算。
既先加一沿Δi方向的F i(在所求位移处沿所求位移的方向加上相对应的附加力),求偏导后,在令其为零,结果即为实际荷载作用的位移⑤、结果为正时,说明Δi与F i的方向相同;结果为负时,说明Δi与的F i方向相反。
单位力载荷法注意问题1、此种方法存在两个力系:一个为实际的力系;另一个为单位力系。
2、单位力必须与所求位移相对应:若求线位移——则单位力必须作用在所求点沿所求位移方向加单位的集中力;若求角位移——则单位力必须作用在所求点沿所求位移方向加单位的集中力偶。
2、内力的坐标系必须一致,每段杆的坐标系可自由建立。
莫尔积分必须遍及整个结构。
4、结果为“+”只说明所加的单位力的方向与实际的位移方向相同;“-”只说明所加的单位力的方向与实际的位移方向相反。
材料力学(能量法)
弹性变形阶段
01
外力作用下,材料发生弹性变形,此时外力所做的功全部转化
为应变能储存于材料内部。
塑性变形阶段
02
当外力继续增加,材料进入塑性变形阶段,部分应变能转化为
热能散失到环境中。
断裂破坏阶段
03
当材料达到强度极限时发生断裂破坏,此时储存的应变能迅速
释放并转化为断裂表面的新表面能和其他形式的能量。
非圆截面扭转时的能量可以通过实验或数值模拟等方法进 行计算,以获得准确的能量值。
扭转变形过程中能量转化
弹性变形能
在扭转变形过程中,部分能量以弹性变形能的形式储存在材料中。 当外力去除后,这部分能量可以释放并使材料恢复原状。
塑性变形能
当扭转变形超过材料的弹性极限时,部分能量会以塑性变形能的形 式消耗在材料中。这部分能量不可逆转,导致材料产生永久变形。
压缩过程中能量变化
外力做功
在压缩过程中,外力对杆件做 功,使其产生压缩变形和位移 。外力做功的大小与外力的大 小和杆件的位移成正比。
内力耗能
杆件在压缩过程中,材料内部 会产生应力和应变,从而消耗 能量。内力耗能的大小与材料 的应力-应变关系有关。
弹性势能
杆件在压缩过程中,由于材料 的弹性变形,会储存一定的弹 性势能。弹性势能的大小与材 料的弹性模量和变形量有关。
结构稳定性分析方法
能量准则
通过比较结构失稳前后的能量变 化,判断结构的稳定性。若失稳 后能量降低,则结构不稳定。
平衡路径跟踪法
通过逐步增加荷载或位移,跟踪 结构的平衡路径,观察结构从稳 定到不稳定的转变过程。
特征值分析法
基于结构刚度矩阵和质量矩阵, 求解特征值和特征向量,分析结 构的振动特性和稳定性。
材料力学(单辉祖)第十四章静不定问题分析
求解上式可得
X1
=
1−
π2
π
4⋅ −1
P 2
=
4−π π2 −8
P
,8X2来自=π π−3
2
−1
⋅
PR 4
=
2(π
π2
− 3)
−8
PR
8
27
Example-7
在平面xy内,由k根等直杆组 y
成的杆系,在结点A处用铰连 接在一起,并受到水平载荷P1 和垂直载荷P2的作用。已知各 杆的材料相同,其拉压弹性模
∂X 1
∂X 2
Rϕ
25
Example-6
由对称截面处的约束条件, 可得变形相容性条件
Δ = ∂Uc = 0, θ = ∂Uc = 0
∂X 1
∂X 2
P/2 X2
X1 X3
Rϕ
即
∫ − 1
EI
π 2
0
⎜⎛ ⎝
PR 2
sin
ϕ
−
X 1R(1 −
cos ϕ )
−
X
2
⎟⎞ ⎠
⋅
R(1 −
cosϕ )Rdϕ
F
M (ϕ ) = FR (1− cosϕ ) − FByR sinϕ
π
∫ Δ By
=
∂Vε ∂FBy
=
2
[M
0
(ϕ ) ∂M (ϕ )][EI ]−1Rdϕ
∂FBy
8
Example-1
π
M (ϕ ) = FR (1− cosϕ ) − FByR sinϕ
∫ Δ By
=
∂Vε ∂FBy
=
2
[EI ]−1 ⎡⎣FR (1− cosϕ ) − FBy R sinϕ ⎤⎦ (−R sinϕ ) Rdϕ
工程力学 第14章 材料力学中的能量法 习题及解析
B F P CF P(a)工程力学(静力学与材料力学)习题解答第14章 材料力学中的能量法14-1 线弹性材料悬臂梁承受载荷如图所示,εV 为梁的总应变能,B w 、C w 分别为点B 、C 的挠度。
关于偏导数P ε/F V ∂∂的含义,有下列四种论述,试判断哪一个是正确的。
(A )C w ; (B )C w 2; (C )B w +C w ; (D )C w 21。
知识点:应变能,卡氏定理 难度:难 解答:正确答案是 C 。
解:线性结构的外力功,由克拉贝依隆原理C C B B w F w F W P P 2121+=而 C C B B w F w F W V P P ε2121+==而卡氏第二定理B B w F V =∂∂P ε,C C w F V =∂∂P εC B C B C C B B w w F F F V F F F V F F F V F F F V F V +=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂PPP εP P P εP P P εP P P εP ε 14-2 线弹性材料悬臂梁承受载荷如图所示,其中P PF F =',εV 为梁的总应变能,AB V ε和BC V ε分别为AB 和BC 段梁的应变能,B w 、C w 分别为点B 、C 的挠度。
关于这些量之间的关系有下列四个等式,试判断哪一个是正确的。
(A )C B w w F V +=∂∂P ε; (B )C B w w F V-=∂∂P ε;(C )B AB w F V =∂∂P ε,C BC w F V =∂∂P ε; (D )B AB w F V =∂∂P ε,C w F V=∂∂Pε。
知识点:应变能,卡氏定理 难度:难 解答:正确答案是 A 。
解:沿各自力方向的线位移为正:EIl F EI l F EI l F l EI l F EI l F EI l F w C 48114853)2(2)2(3)2(33P 3P 3P 2P 3P 3P =-'=⋅--'=(↓)习题14-1图习题14-2图C'P F 1x 2x AB2l 2l xPF w(a)EIl F EI l F EI l F EI ll F EI l F EI l F w B 16485242)2)(2(3)2(3)2(3P 3P 3P 2P 3P 3P ='+-='+'+-=(↓) 1P1)(x F x M BC '-=,2P 2P 2)2()(x F x lF x M AB ++'-= EIl F EI x x F EI x M V ll BC BC 48)(2d )(2d 32P 20121P2012ε'='-==⎰⎰EIl F EI l F F EI l F x EI x F x lF EI x M V l l AB AB 4848548)(7d 2])2([2d 32P 3P P 32P 20222P 2P2022ε+'-'=⋅++'-==⎰⎰EI l F EI l F F EI l F V V V AB BC 484856)(32P 3P P 32Pεεε+'-'=+= C B w w EIl F EI l F EI l F EI l F F V F V F F F V F F F V F V +='-+-'=∂∂+'∂∂=∂∂⋅∂∂+∂'∂⋅'∂∂=∂∂4852448533P 3P 3P 3PP εP εP P P εP P P εP ε14-3 线弹性材料悬臂梁承受载荷如图所示,εV 为梁的总应变能。
刘鸿文《材料力学》(第6版)复习笔记和课后习题及考研真题详解-第14~15章【圣才出品】
梁内最大正应力:σ′max=|Mmax|/W=22×103/(141×10-6)Pa=156MPa。
14.2 用力法解题 6.35 和 6.41。 解:(1)用力法解题 6.35 解除支座 C,代之以支反力为 X1,其相当系统如图 14-2-4 所示。
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故由莫尔定理可得
11=
FN FN l EA
M Mdx 5l 2a3 EI EA 3EI
1F =
FN F N l EA
M Mdx 2Fl
EI
EA
将以上两式代入力法方程可得:X1=-Δ1F/δ11=6FlI/(15Il+2a3A)。
故各杆内力:FN1=[(3Il+2a3A)/(15Il+2a3A)]·F,FN2=[6lI/(15Il+2a3A)]·F。
由静力平衡条件可得,在力 F 单独作用下:FN1=F,FN2=0,M1=M2=0。
当在 B 点单独作用一单位力时,有
_
_
FN1=-2,FN2=1
_
AC 段:M1=x(0≤x<a)。
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_
_
BC 段:M2=x+FN1(x-a)=2a-x(a≤x≤2a)。
(3)用力法解题 6.40
图 14-2-3 解除拉杆内力,代之以反力 X1,其相当系统如图 14-2-3 所示。 其力法方程:δ11X1+Δ1F=0。 其中,q 单独作用下,拉杆内力 FN=0。 AB 的弯矩方程:M(x)=-qx2/2,(0≤x≤4)。
_
在 B 点单独作用一单位力时,拉杆内力FN1=1。
1.解除多余约束,并代之以约束力 X1、X2、X3…,得到基本静定系统;
材料力学(刘鸿文)第十四章超静定结构
P
aa
2a
2a
4、作刚架的弯矩图
q=4KN/m B
4m
4m
C
四、静不定综合
1、两根长为L=2米的竖直简支梁,在跨中用一根拉紧的金属丝
相连。左边梁的抗弯刚度为EI1=50KNm2,右边梁的抗弯刚度 为EI2=150KNm2。金属丝的横截面面积为65毫米2,E=70GPa, 求在两梁的跨中施加两个2KN的力后,金属丝内的应力。
a C
D
a
2a
B
8、两个长度相等的悬臂梁之间用一拉杆连接,梁与 杆采用同种材料制成。梁的抗弯截面系数为 WZ=AL/16,惯性矩为IZ=AL2/3。其中:A为杆的 横截面面积;L为梁的长度。求拉杆内的应力。
L
L
P
L/2 L/2
9、L1/L2=2/3,EI1/EI2=4/5。中间夹一刚珠。 求梁内的最大弯矩。
也可以把卡盘处视为多余约束而解除,得到静定基。
9 相当系统
在外载和多余约束作用下的静定基称为相当系统。
R
P
P
M P
10 超静定问题的分析方法
1.位移法: 以未知位移为基本未知量。
列出用位移表示的力的平衡方程
2.力法: 以未知力为基本未知量。
① 变形比较法 ② 力法正则方程 ③ 三弯矩方程
§14–2 变形比较法 原理:
支梁,AB的A端固定,B端自由。加载前两梁在中
点接触,不计梁的自重。求在力P的作用下B端沿作
用力方向的位移。
D
P
A
B
C
15 水平刚性横梁AB上部由杆1和杆2悬挂,下部由 铰支座C支承,如图所示。由于制造误差,使杆1的 长度做短了δ=1.5mm。已知两杆的材料和横截面面 积均相同,且E1=E2=E=200GPa,A1=A2=A。试求 装配后两杆的应力。
材料力学能量法知识点总结
材料力学能量法知识点总结材料力学是工程力学的重要分支之一,研究材料在受力作用下的变形与破坏行为。
能量法是材料力学的基础理论之一,通过利用能量守恒原理,分析和求解材料的力学问题,具有重要的理论和实践价值。
本文将对材料力学能量法的基本概念、原理和应用进行总结。
1. 弹性势能与弹性应变能材料在受力作用下产生的变形能够存储为弹性势能,其中最常用的势能是弹性应变能。
弹性应变能是由于材料的弹性变形而储存的能量,可表示为弹性应变能密度。
2. 弹性势能的计算方法弹性应变能的计算方法主要有两种:一是通过力学平衡方程和材料力学性质的函数关系进行积分计算;二是通过应力-应变关系和应变能密度公式进行计算。
3. 弹性势能的应用弹性势能的应用涉及材料的变形、破裂、接头设计等问题。
通过计算弹性势能可以判断材料是否会发生破裂,并可用于材料的优化设计。
4. 塑性势能与塑性应变能材料在塑性变形时会产生塑性势能,塑性势能是由于材料的塑性变形而储存的能量。
塑性应变能可表示为塑性应变能密度。
5. 塑性势能的计算方法塑性势能的计算方法适用于材料的非弹性变形过程,常用的方法有等效应力法和Mises准则。
通过计算塑性势能可以估计材料在受力作用下的变形程度和破坏形式。
6. 塑性势能的应用塑性势能的应用主要涉及材料的变形、强度分析和塑性成形工艺等问题。
通过计算塑性势能可以评估材料的强度和变形能力,并可用于材料的成形优化。
7. 总势能与变分原理材料受到多种因素的叠加作用时,总势能是各种势能的代数和。
变分原理是能量法的基本原理之一,通过对总势能进行变分,得到材料力学问题的基本方程。
8. 总势能的应用总势能的应用主要涉及材料的稳定性分析和振动问题。
通过计算总势能可以判断材料的稳定性,预测振动频率和振动模式。
9. 耗散能与损伤模型材料在受力作用下会发生能量损耗,产生耗散能。
通过建立耗散能与应变的关系,可以描述材料的损伤行为,并建立损伤模型进行应力-应变分析。
材料力学能量法最经典解析PPT课件
能量法——利用定理求变形
极坐标方程是给一 个角度能够确定一 个挠度。因此该问 题是求任意位置角 的径向变形。
注意2个角度φ和θ的意义。 Φ用于表 示力F作用下任意位置上的弯矩。而θ 是用于表示任意位置的挠度,单位力 作用的位置。摩尔积分应该是对Φ积 分。 Φ在0到360度变化。
能量法——利用定理求变形
能量法——其他
超静定——与拉压杆相关
每根杆都沿杆的方 向线变形,后旋转 到变形后的位置。 变形用作垂线代替。
超静定——与拉压杆相关
此处注意CD杆
变形转换后是 BC杆变形的一 半。
超静定——与拉压杆相关
超静定——与拉压杆相关
广义胡克定律的应用。 每一点的应力状态为
p p
超静定——弯扭相关
此题仍然是有两个变 量,x是所求任意截面 的挠度值,而ξ是任意 截面的弯矩值,摩尔 积分是对ξ积分。
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
此类题目重点是分析圆盘 及2根杆的受力情况及变 形情况。
超静定——弯扭相关
该表达式上课过 程中没有出现过, 但是很容易推导 出来。
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
此题目的重点是分析的方法和思路。由弹簧变 形与力和力矩之间的关系找到变形协调方程求 解超静定问题。
能量法——利用力做功求变形
能量法——利用力做功求变形
应力已知,计算应变能从而得到外力 功,最终获得力作用下的变形。
能量法——利用力做功求变形
能量法——利用力做功求变形
能量法——互等定理
该表达式上课过 程中没有出现过, 但是很容易推导 出来。积分求得 挠曲线后可得到 弯矩方程,进而 计算应变能。
材料力学能量法范文
材料力学能量法范文材料力学能量法是一种分析和计算物体的力学行为的方法,它基于能量守恒定律。
在这种方法中,物体或结构的变形和应力被视为能量的转化和传递过程。
通过确定系统的动能和势能,并将其与外部力和内部能力作为输入参数,可以计算系统的平衡状态和力学性能。
材料力学能量法的应用十分广泛,特别在工程领域中,例如结构分析、疲劳分析、材料强度计算和复杂系统的模拟等。
这种方法的基本原理是通过对物体的动能和势能之间的转化过程的考虑,来得到物体的平衡状态和力学性能。
在材料力学能量法中,物体的动能是由其质量和速度决定的,而势能是由物体的形变和应力分布决定的。
物体的动能包括其线性运动的动能和旋转运动的动能。
线性运动的动能可以通过物体的质量和速度平方的乘积来计算,而旋转运动的动能可以通过物体的惯性矩和角速度平方的乘积来计算。
物体的势能包括其弹性势能和塑性势能。
弹性势能是由物体的形变和应力分布引起的,而塑性势能是由物体在塑性变形时的能量损失引起的。
弹性势能可以通过弹性模量和物体的形变量的乘积来计算,而塑性势能可以通过材料的塑性应变和应力的乘积来计算。
在材料力学能量法中,系统的总能量是系统动能和势能的总和。
根据能量守恒定律,系统的总能量在无外部能量输入的情况下保持不变。
通过计算系统各个部分的动能和势能,可以确定系统的能量平衡状态和力学性能。
材料力学能量法的优点是可以考虑到物体的整体行为,并对动能和势能之间的转化过程进行分析。
它可以用来解决复杂的力学问题,并提供物体的应力和变形的直观理解。
此外,它还可以与其他力学方法相结合,例如有限元分析和基于能量的优化方法。
然而,材料力学能量法也有一些限制。
它通常只适用于小变形和较简单的物体形状,而对于大变形、非线性材料和复杂几何形状的物体,其精确性可能会降低。
此外,对于一些实际工程问题,由于存在其他影响因素,如温度和湿度等,材料力学能量法可能需要进一步修正和扩展。
总之,材料力学能量法是一种重要的力学分析方法,它基于能量守恒定律,通过对系统动能和势能之间的转化过程进行分析,来确定物体的平衡状态和力学性能。
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M L
2 刚度EI、GIP为常量。 求系统的应变能
P
§13-4 互等定理
考虑两组力P,Q作用于物体;
第一组力有m个载荷P1,P2,…,Pm; 第二组力有n个载荷Q1,Q2,…,Qn。
若先将第一组力Pi(i=1,2,…,m) 单独作用
P1
力做功
W1
1 2
P1 P1
1 2
P2 P2
1 2
Pm Pm
L
EA
L
EI
L GI p
注意几点
1、施加单位力时所有的外载卸掉,支座保持不动; 2、外载作用下的内力方程与单位力作用下的内力 方程要求正方向与积分区间的严格一致;
3、求位移施加力,求转角施加单位力偶
4、结果为正,说明广义位移与单位力同向; 5、外载作用下分段,单位载荷作用下也必须分成相 应的段数;
杆的应变能
V W P L
2
V FN 2 L 2 EA
由拉压杆件组成的杆系的应变能:
2P
P
2
K
B
1
5
3
D
4
C
V n FN2i Li
i1 2Ei Ai
受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的应变能
x dx
L
q
V dV FN 2( x )dx
L
L 2EA
2、圆截面杆的扭转应变能
m
Tl
GI P
L
EI
1.0c
M ( x )M ( x )dx
L
EI
1.0c
M ( x )M ( x )dx
L
EI
——莫尔积分法又称单位载荷法。
M(x) :实际载荷引起的弯矩;
M ( x ) : 单位载荷引起的弯矩。
求转角的莫尔积分
1.0 c
M( x )M ( x )dx
L
EI
在欲求截面处施加一单位力偶
W 1
2
P1 P1
1 2
P2 P2
1 2
Pm Pm
1
同时物体上已作用有Qj且其值不变,
Qj在由于Pi引起的Qj作用点沿Qj方向的位移 Q j上做功 Q1 Q 1 Q2 Q 2 Qn Q n W21
两组力所做的总功为:
V2 W1 W2 W21
由于变形能只决定于力与位移的最终值,与加力次 序无关,故有V1=V2,
V1 W1 W2 W12
V2 W1 W2 W21
W12 W21
P1 P1 P2 P 2 Pm P m Q1Q 1 Q2Q 2 QnQ n
功的互等定理
位移互等定理
设两组力Pi、Qj只有一个力P1、Q1作用于物体,
P1 P1 Q1 Q 1
若 P1 Q1 ,则有
P1 Q 1
而单位力 P0 1在外载 产生 c 的过程中一直保持为常量,
故单位力在 c上做功
1c
所以梁的总应变能: V总 V0 V 1 c
另一方面:从内力方程看总应变能
如果载荷与单位力同时加在梁上, 梁截面上的弯矩为
M( x)M( x)
梁的总应变能为
V总
[ M ( x ) M ( x )]2 dx
d( l ) FN ( x )dx
EA
d T (x)dx
GI
,
d M (x)dx
,
EI
dV 1 N( x )d( l ) 1 T( x )d 1 M( x )d
2
2
2
V
FN2( x )dx
T 2( x )dx
M 2( x )dx
L 2EA L 2GI p L 2EI
注意 1 以上计算公式仅适用于线弹性材料、
m=Pa
P
A B
C
a
a
M 2( x )dx
V LdV L 2EI
4、剪切
V dV k ( FS )2 dx
L
L 2GA
k 由截面的几何形状决定:
矩形截面:k=1.2; 圆截面: k=10/9;
圆环形截面:k=2;
一般实心截面的细长梁:剪切变形能远小于其弯曲变 形能,通常忽略不计。
1 各杆的抗拉压刚度相等EA相等。求系统的应变能
§13-1 概述
弹性体受拉力P作用,当P从零开始到终值缓慢 加载时,力P在其作用方向上的相应位移也由零 增至终值ΔL;
一方面:力的作用点沿力的方向有位移 力要做功;
另一方面:
P
弹性体因变形而具有做功的能力,
表明杆件内储存了应变能
功能原理
若外力在由零缓慢加载到终值,变形中的每一 瞬间,变形体均处于平衡状态;
能量原理 固体力学中运用功与能有关的基本原理;
能量法 由能量原理发展出来的方法;
能量原理是在总体上从功与能的角度考察变形 体的受力、应力与变形的原理与方法;
是进一步学习固体力学的基础
也是当今应用甚广的有限元法求解力学问题的 重要基础。
能量法的用处 用于求位移
能量法的优点
不管中间过程,只算最终状态 能量是标量,容易计算
C截面的位移等于Δ时,杆件的应变能为 。
a A
b C
7、直角折轴的抗弯刚度为EI抗扭高度为GIP,在 两个集中力P的作用下,AB杆的应变形能为 。
PL P
a
§13-3 应变能的普遍表达式
一、 克拉贝依隆原理
Pn P2
广义力P1,P2,…,Pn作用 于物体,且设按同一比例系 P1 数β从零增长到终值。
C
D
2、欲测定图示梁端截面的转角θA,但只有 测量挠度的仪器,你怎样用改变加载方式的
方法达到此目的?
P
A θA
3、两相同的平面刚架受载如图,下列关系中 正确的是: 。
A:xB(a)=xC(b) B:yC(b)=θB(a) C:yB(a)=yC(b) D:yC(a)=θB(b)
B A
P=1 B C
拉压变形的莫尔积分
1.0 n FNi FNi li
i1 Ei Ai
扭转变形的莫尔积分
1.0 n TNi TNi li
i1 Gi I Pi
如果杆件同时产生拉压、扭转和弯曲变形,要求 在某一方向的广义位移 ;
可在此方向上加一单 位力, 以莫尔积分求出该方向的 广义位移;
1.0 FN ( x )FN ( x )dx M( x )M( x )dx T( x )T ( x )dx
M=1 C
A
(a)
(b)
4、将千分尺安装在梁上,可以测出安置点所 在位置处的挠度。为了测出图示梁在力P作用 下的挠曲线,就必须将千分尺沿梁的长度方向 逐点安置并测定该点的挠度。用什麽办法可以
不移动千分尺就能够测出该梁的挠曲线?
千分尺
P
5、两根完全相同的悬臂梁在某处用一拉杆连接,在图 a中,将A处支座向上移动距离ΔA时,B处相应上移ΔB。 在图b中,将A处支座放置在水平位置,在B处承受向
注意几点
6、欲求的位移和施加的单位力应理解为广义力 和广义位移。
7、若为两点间的相对线位移,则单位力是施加在两 点上的 方向相反的一对单位力,
其作用线与两点的连线重合。 8、若为两截面间的相对转角,则单位力是
施加在两截面上的 方向相反的一对单位力偶;
广义力与广义位移的对应关系
一个力
3EI
A
a
P
L
δ1
R B 第二组力在第一组力引起
的位移上做功: 零
功互等定理
δ2
Pa2 ( 3l a ) R l 3 0
X=1 6 EI
3EI
RB
P 2
a2 l2
(3l
a)
1、已知梁在力偶M的单独作用下C截面的挠度为
yc=3毫米,则在力P单独作用下D截面的转角为
θD=
。
C P=2KN
M=1KNm D
位移互等定理
例题:装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁, 如图,试用互等定理求解。
A B
a
P
L
A
a
P
L
δ1
R
第一组力: P、R
B
1
a2 6EI
(3l
a)
2
l3 3EI
δ2 X=1
第二组力 X=1
第一组力在第二组力引起的位移上做功
P 1 R 2
Pa 2 ( 3l a ) R l 3
6 EI
P
45
L
L
2 同种材料,弹性模量E已知。求系统的应变能
2AL
AL
P
3 抗弯刚度EI为常量。求系统的应变能
M
2L/3
4 抗弯刚度EI为常量。 求系统的应变能
P
L/3
2L/3
5 抗弯刚度EI为常量。 求系统的应变能
P
6、已知杆件的抗拉压刚度为EI,在截面的下端与 刚性平面间有一间隙Δ,当A截面处有轴向力P,使
§13-2 杆件应变能的计算
线弹性条件下,通过外力功求应变能
常力作功:常力 P 沿其方向线位移 l上所作的功
W P L
变力作功:在线弹性范围内,外力 P 与位移 l 间呈 线性关系。
荷载由零缓慢加载到终值; 变形也由零缓慢变化到终值
W P L
2
1、轴向拉伸或压缩
P
L
P
Δl FNl EA
如果略去变形过程中的动能及其它能量的损失;
由能量守恒原理,杆件的变形能V在数值上应等于 外力做的功W;
V=W 对变形体都适用的普遍原理
弹性固体变形是可逆的;
当外力解除后,弹性体将恢复其原来形状,释放出 变形能而做功。
但当超出了弹性范围,具有塑性变形的固体, 变形能不能全部转变为功,
因为变形体产生塑性变形时要消耗一部分能量, 留下残余变形。