云南沾益县一中2016-2017高二下学期期中考试数学(文)试题 含答案

云南沾益县一中2016--2017高二下学期期中考试数学（文）试题一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合{}{}|13,|2A x x B x x =-≤≤=>，则A B 等于A. {}|23x x <≤B. {}|x 1x ≥-C. {}|2x 3x ≤<D.{}|x 2x > 2.已知i 是虚数单位，则()2i i -的共轭复数为A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+ 3.已知角α的终边经过点()1,1P -，则cos α的值为A. 1B.1-C. 2-D. 24.函数()()lg 12x f x x -=-的定义域是A. ()1,2B. ()()1,22,+∞C. ()1,+∞D.[)()1,22,+∞5.设x 为实数，命题2:,210p x R x x ∀∈++≥，则命题p 的否定是A. 2:,210p x R x x ⌝∃∈++< B. 2:,210p x R x x ⌝∃∈++≤ C. 2:,210p x R x x ⌝∀∈++< D. 2:,210p x R x x ⌝∀∈++≤ 6.按照程序框图（如右图）执行，第3个输出的数是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 67.在空间中，已知,a b 是直线，,αβ是平面，且,,//a b αβαβ⊂⊂， 则,a b 的位置关系是A. 平行B. 相交C. 异面D.平行或异面8.已知平面向量()()2,3,1,a b m ==，且//a b ，则实数m 的值为A. 23-B. 23C. 32- D. 329.若右图是一个几何体的三视图，则这个几何体是A. 三棱锥B. 四棱锥C. 四棱台D.三棱台 10.若函数()()()2f x x x a =-+是偶函数，则实数a 的值为 A.2 B. 0 C. 2- D.2± 11.函数()32x f x x =+的零点所在的一个区间为A. ()2,1--B.()1,0-C. ()0,1D.()1,2 12.函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间是 A. 5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B. 52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C. 5,,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D. 52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13.双曲线229436x y -=的离心率为 . 14.函数23x y a-=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点的坐标为 .15. 设变量,x y 满足约束条件1,10,10,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则目标函数3z x y =+的最大值为 .16. 已知实数1m n +=，则33mn+的最小值为 .三、解答题：（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B Csin cos A a C =. （I ）求C 的值；（II）若c，b =ABC ∆的面积．x时间（分钟）0.003608040201000.002频率/组距0.025图418.（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足：13a =，且1413,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；19．（本小题满分12分）某中学随机抽取50名高二学生调查其每天运动的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图3），其中运动的时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）定义运动的时间不少于1小时的学生称为“热爱运动”，若该校有高一学生1200人，请估计有多少学生“热爱运动”；（Ⅲ）设,m n 表示在抽取的50人中某两位同学每天运动的时间，且已知,[40,60)[80,100]m n ∈⋃，求事件“||20m n ->”的概率.图3图3B 1C 1A 1DCBA20．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为AB 中点． (Ⅰ)求证：BC 1∥平面A 1CD ；(Ⅱ)若四边形CB B 1C 1是正方形，且1A D =求多面体11CAC BD 的体积.21. （本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴的长为4，离心率等于2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值．22.已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=在点处取得1-=x 极大值为2. （Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值21,x x ，都有c x f x f ≤-|)()(|21，求实数c 的最小值．（注：|)()(||)()(|min max 21x f x f x f x f -≤-），参考答案一、选择题： 答案1—5 ACCBA 6---10 CDDBA 11----12 BD 二、填空题： 13、21314、（2，4） 15、7 16、32 三、解答题：（本大题共6小题，共70分） 17．解：（I ）∵A 、C 为ABC ∆的内角，sin cos A a C =知sin 0,cos 0A C ≠≠，结合正弦定理可得：sin cos sin A a A C c C ==-----------------3分⇒tan 3C =,----------------4分 ∵0C π<< ∴6C π=.-----------5分（II ）解法1：∵c =，b =由余弦定理得：227122a a =+-⨯，------------7分 整理得： 220a a +-= 解得：1a =或2a =-（不合舍去）------------9分∴1a =，由1sin 2ABC S ab C ∆=得ABC ∆的面积111222ABC S ∆=⨯⨯=．-----12分【解法2：由c =结合正弦定理得：sin14A C ==，---------6分∵a c <， ∴A C <, ∴cos 14A ==,-------7分 ∴sin sin[()]sin()B AC A C π=-+=+sin cos cos sin A C A C =+11427+=-----------9分 由正弦定理得：sin 1sin b Aa B==，---------------------10分∴ABC ∆的面积11122ABC S ∆=⨯⨯=．----------------------12分】EC 1A 1DCA18. 试题解析：（1）设数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由题可知21134a a a = ， 即()()2331233d d +=+，解得2d =， 则()31221n a n n =+-⨯=+． （2）解：因为11n n nb a a -=，所以1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+ …8分19、解：（1）由20(0.0020.00320.025)1x ⨯+⨯++=得0.017x =；-------2分 （Ⅱ）运动时间不少于1小时的频率为20(0.0020.003)0.1⨯+=，-----3分不少于1小时的频数为12000.1120⨯=，所以该校估计“热爱运动”的学生有120人；------5分（Ⅲ）由直方图知，成绩在[40,60)的人数为50200.0033⨯⨯=人，设为,,A B C ； -6分 成绩在[80,100] 的人数为50200.0022⨯⨯=人，设为,x y .------7分 若,[40,60)m n ∈时，有,,AB AC BC 三种情况；若,[80,100]m n ∈时，只有xy 一种情况；------------------8分若,m n 分别在[40,60),[80,100]内时，则有,,,,,Ax Ay Bx By Cx Cy 共有6种情况.所以基本事件总数为10种，---------------10分事件“||20m n ->”所包含的基本事件个数有6种. ∴P （||20m n ->）=63.105=-----------------------12分 20.（I)证法1：连结AC 1，设AC 1与A 1C 相交于点E ，连接DE ， 则E 为AC 1中点，-------------------------------2分 ∵D 为AB 的中点，∴DE ∥BC 1，------------------4分 ∵BC 1Ë平面A 1CD ，DE Ì平面A 1CD ，------------5分D 1B 1C 1A 1DCBAEH B 1C 1A 1DCBA∴BC 1∥平面A 1CD . -----------------------------6分【证法2：取11A B 中点1D ，连结1BD 和11C D ，-----1分 ∵BD 平行且等于11A D ∴四边形BD 11A D 为平行四边形 ∴11//A D BD -----------------------------------2分 ∵1A D ⊂平面1ACD ，1BD ⊄平面1ACD ∴1//BD 平面1ACD ,---------------3分 同理可得11//C D 平面1ACD -------------4分 ∵1111BD C D D = ∴平面1ACD //平面11BD C 又∵1BC ⊂平面11BD C∴BC 1∥平面A 1CD. ---------------6分】(Ⅱ) 222115AD +A A =A D = 1,A A A D \^------7分又111,//B B BC B B A A ^ 1A A BC \^， 又AD BC B = 1A A \^面ABC --------9分（法一）∴所求多面体的体积V =1111111ABC A B C A ACD B A B C V V V ------------10分111111133ABC ACD A B C AA S AA S BB S ∆∆∆=⨯-⋅⨯-⋅⨯112ABC AA S ∆=⋅⨯21122222=⋅⋅⋅⋅=即所求多面体11CAC BD分 【（法二）过点1A 作111A H B C ⊥于H ，∵平面11BB C C ⊥平面111A B C 且平面11BB C C 平面111A B C 11B C = ∴1A H ⊥平面11BB C C ,-------------10分∴所求多面体的体积V =1111A ACD A ACC V V --+1111133BCD BCC S AA S A H ∆∆=⋅+⋅11114243232=⨯⨯+⨯⨯=分】 21.解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221(0)y x a b a b+=>>--------------------1分由题意22224a b c a c a⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得2,a b =----------------4分所以，椭圆的方程为22142y x +=．---------------5分 （Ⅱ）由椭圆的方程22142y x +=，得(1P ．---------------------6分 由题意知，两直线P A 、PB 的斜率必存在，设P A 的斜率为k ， 则P A的直线方程为(1)y k x =-．--------------------7分由22(1)124y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩得：222(2)2))40k x k k x k +++-=．----8分 设A (x A , y A )，B (x B , y B )，则22212A A k x x k --=⋅=+，---------------------9分同理可得2222B k x k +-=+----------10分则B A x x -=28(1)(1)2B A B A k y y k x k x k -=----=+． 所以直线AB的斜率A BAB A By y k x x -==-为定值．-----------------12分22、解：(1) f′(x)＝3ax 2＋2bx －3.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝2，f′（－1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＋3＝2，3a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以f(x)＝x 3－3x.(2) 令f′(x)＝0，即3x 2－3＝0，得x ＝±1.因为f(－1)＝2，f(1)＝－2，所以当x∈[－2，2]时，f(x)max＝2，f(x)min＝－2.则对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x1、x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤|f(x)max－f(x)min|＝4，所以c≥4.所以c的最小值为4.。