2019年新课标Ⅰ卷高考数学(理)押题预测卷
高考原创押题卷（二）数学理科试题含答案解析
高考原创押题卷（二）数学(理科)时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{x ∈N |y ＝5－x }，A ＝{x ∈N *|x －4<0}，B ＝{2，4}，则(∁U A )∪B ＝( )A ．{2}B ．{4}C ．{2，4，5}D ．{0，2，4，5} 2．已知i 是虚数单位，直线2x ＋y ＋2＝0在x 轴、y 轴上的截距分别为复数z (1－i)的实部与虚部，则复数z 的共轭复数为( )A.12－32iB.12＋32i C ．－12－32i D ．－12＋32i 3．若双曲线E ：x 22m －2－y 2m ＝1(m >1)的焦距为10，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±916xC ．y ＝±34xD ．y ＝±43x4．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝126，a 4＋a 10＝40，则2S n ＋30n 的最小值为( )A ．610＋1B ．20 C.412D ．195．在《九章算术》中有这样一个问题：某员外有小米一囤，该囤的三视图如图21所示(单位：尺)，已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3.1，则该囤所储小米斛数约为( )图21A ．459B ．138C ．115D ．1036．已知某班某个小组8人的期末考试物理成绩的茎叶图如图22所示，并用图23所示的程序框图对成绩进行分析(其中框图中的a 表示小组成员的物理成绩)，则输出的A ，B 值分别为( )图22图23A ．76，37.5%B ．75.5，37.5%C ．76，62.5%D ．75.5，62.5% 7．已知在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝23，∠ACB ＝120°，AA 1＝4，则该三棱柱外接球的体积为( )A.162π3 B ．642π C ．32π D.642π38．p ：∃x 0∈R ＋，x 0ln x 0＋x 20－ax 0＋2<0为假命题的一个充分不必要条件为( )A ．a ∈(0，3)B ．a ∈(－∞，3]C ．a ∈(3，＋∞)D ．a ∈[3，＋∞) 9．已知a ＝2π⎠⎛024x －x 2d x ，实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≥0，x －2y ＋2≥0，2x －y －4≤0，则z ＝x 2＋y 2＋ay 的取值范围为( )A .⎣⎡⎦⎤254，8B .⎣⎡⎦⎤315，2129C .⎣⎡⎦⎤8，2129D .⎣⎡⎦⎤315，810．若函数f(x)对定义域内任意x ，都有f(x)＋f(－x)＝0，且对定义域内任意x 1，x 2，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则称函数f(x)为“优美函数”．下列函数中是“优美函数”的是( )A ．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋11－e x ，x ≠0，0，x ＝0 B ．f(x)＝ln (3x ＋9x 2＋1)C ．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x>0，0，x ＝0，－x 2＋2x ＋1，x<0 D ．f(x)＝tan x11．已知函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图24所示，则关于函数g(x)＝－2A sin 2(ωx 2＋φ2＋A)，下列说法正确的是( )图24A ．g(x)的单调递增区间为（2k π3，2k π3＋2π9，k ∈Z ） B ．直线x ＝－5π18是曲线y ＝g (x )的一条对称轴C ．将函数f (x )图像上所有的点向左平移π6个单位长度，即可得到函数y ＝g (x )的图像D ．若函数g (x ＋m )为偶函数，则m ＝k π＋π3，k ∈Z12．已知函数y ＝(x －2)e x ＋1＋x 2－2x ＋a 恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，e 2＋1] B ．(－∞，e 2＋1) C ．(e 2＋1，＋∞) D ．(e 2，＋∞)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知二项式(ax ＋1)7展开式的各项系数和为128，(ax ＋1)7＝a 0＋a 1(ax ＋3)＋a 2(ax ＋3)2＋…＋a 7(ax ＋3)7，则a 4＝________．14．已知在△DEF 中，DE ＝2，EF ＝3，∠DEF ＝60°，M 是DF 的中点，N 在EF 上，且DN ⊥ME ，则DN →·DF →＝________．15．已知直线2x ＋y －2＝0与x 轴的交点是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线C 的焦点F ，P 是抛物线C 上一点，以P 为圆心，|PF |为半径的圆截x 轴所得的弦长为2，则圆P 的方程为________________．16．已知数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前40项和为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，b c ＝sin C －sin B －sin A cos Bsin A cos C －sin B .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，△ABC 是锐角三角形，求4S △ABCc ＋3c 的取值范围．18．(本小题满分12分)中国某文化研究机构为了解国人对中国传统戏剧的态度，随机抽取了68人进行调查，相关的数据如下表所示：不喜爱 喜爱 总计 五十岁以上(含五十岁) 10 b 22 五十岁以下(不含五十岁)c 4 46 总计521668(1)求2×2 (2)从喜爱传统戏剧的16人中随机抽取3人，设3人中五十岁以下(不含五十岁)的人数为X ，求X 的分布列与数学期望． 附：P (K 2≥k 0)0.10 0.05 0.010 0.001 k 02.7063.8416.63510.828公式： K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）(n ＝a ＋b ＋c ＋d )．19．(本小题满分12分)在如图25所示的四棱锥P - ABCD 中，△P AB 是边长为4的正三角形，平面P AB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，BC ＝2，∠ADC ＝60°，E 是CD 的中点．(1)求证：BE ⊥PC ；(2)求二面角A -PD -C 的正弦值．图2520．(本小题满分12分)已知A ，B 分别是离心率为32的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点与右顶点，右焦点F 2到直线AB 的距离为25－155.(1)求椭圆E 的方程；(2)过M (0，2)作直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，O 为坐标原点，求△OPQ 的面积的最大值．21．(本小题满分12分)函数f (x )＝a (x －1)ln(x －1)＋(bx ＋1)(x －1)＋a ＋1(a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )的图像在点(2，f (2))处的切线方程为x －y ＋1＝0，求实数a ，b 的值； (2)已知b ＝1，当x >2时，f (x )＞0，求实数a 的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 和极坐标系中，极点与原点重合，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 过点(1，1)，倾斜角α的正切值为－34，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线l与曲线C的位置关系，若直线l与曲线C相交，求直线l被曲线C截得的弦长．23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－1|－|2x－3|.(1)若f(x)≥m对0≤x≤3恒成立，求实数m的取值范围；(2)若f(x)的最大值为M，a，b∈R＋，a＋2b＝Mab，求a＋2b的最小值．参考答案·数学(理科)高考原创押题卷（二）1．D [解析] 由题知U ＝{0，1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，∴∁U A ＝{0，4，5}，∴(∁U A )∪B ＝{0，2，4，5}，故选D.2．B [解析] 由题知，直线2x ＋y ＋2＝0在x 轴、y 轴上的截距分别为－1，－2，所以z (1－i)＝－1－2i ，所以z ＝－1＋2i 1－i ＝－（1＋2i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝12－32i ，故复数z 的共轭复数为12＋32i ，故选B.3．C [解析] 由题知a 2＝2m －2，b 2＝m ，c ＝5，所以c 2＝2m －2＋m ＝25，解得m ＝9，所以a ＝4，b ＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，故选C.4．B [解析] 设公差为d ，由题知126＝S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5，解得a 5＝14，由2a 7＝a 4＋a 10＝40，得a 7＝20，所以d ＝a 7－a 52＝3，所以a 1＝a 5－4d ＝2，所以S n ＝32n 2＋12n ，所以2S n ＋30n＝3⎝⎛⎭⎫n ＋10n ＋1.令y ＝x ＋10x ，该函数在(0，10)上单调递减，在(10，＋∞)上单调递增，所以当n ＝3时，2S n ＋30n ＝20，当n ＝4时，2S n ＋30n ＝412，故2S n ＋30n 的最小值为20，故选B.5．C [解析] 由三视图知，该粮囤是由一个底面半径为3、高为6的圆柱和一个等底、高为2的圆锥组成的组合体，其体积为3.1×32×6＋13×3.1×32×2＝186(立方尺)，所以该囤所储小米斛数约为186÷1.62≈115，故选C.6．A [解析] 由程序框图，知输出的A 表示本小组物理成绩的平均值，B 表示本小组物理成绩大于或等于80分的人数占小组总人数的百分比，故A ＝55＋63＋68＋74＋77＋85＋88＋988＝76，B ＝38×100%＝37.5%，故选A.7．D [解析] 设该三棱柱的外接球的半径为R ，底面所在截面圆的半径为r ，由正弦定理，知2r ＝AB sin 120°＝2332＝4，所以r ＝2，所以R ＝r 2＋⎝⎛⎭⎫AA 122＝22＋22＝22，所以该三棱柱外接球的体积V ＝4πR 33＝4π×（22）33＝642π3，故选D.8．A [解析] 由题知綈p ：∀x ∈R ＋，x ln x ＋x 2－ax ＋2≥0是真命题，即a ≤ln x ＋x ＋2x对x ∈R＋恒成立．设f (x )＝ln x ＋x ＋2x (x >0)，∴f ′(x )＝1x ＋1－2x 2＝（x ＋2）（x －1）x 2，当0<x <1时，f ′(x )＜0，当x >1时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝3，∴a ≤3，故选A.9．B [解析] 令y ＝4x －x 2＝4－（x －2）2，∴(x －2)2＋y 2＝4(y ≥0)，∴⎠⎛024－（x －2）2d x 表示直线x ＝2，x 轴以及以(2，0)为圆心、2为半径的圆围成的14圆的面积，∴a ＝2π⎠⎛024－（x －2）2d x ＝2，∴目标函数z ＝x 2＋y 2＋2y ＝x 2＋(y ＋1)2－1表示可行域内点(x ，y)与点M (0，－1)之间距离的平方减去1.作出可行域如图中阴影部分所示，过M 作直线x ＋2y －4＝0的垂线，垂足为N ，由图知，N 在线段AB上，MN ＝|－2－4|12＋22＝65， ∴z min ＝⎝⎛⎭⎫652－1＝315.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，2x －y －4＝0，得C ⎝⎛⎭⎫103，83，∴MC ＝⎝⎛⎭⎫1032＋⎝⎛⎭⎫83＋12＝2213，∴z max ＝⎝⎛⎭⎫22132－1＝2129，∴z 的取值范围为315，2129，故选B .10．B [解析] 依题意，“优美函数”是奇函数，且在定义域上是增函数．对选项A ，定义域为R ，∀x ∈R 且x ≠0，f (－x )＝e －x ＋11－e －x ＝e x ＋1e x －1＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，∵f (－1)＝e －1＋11－e －1>0＞f (1)＝e ＋11－e ，∴f (x )在定义域内不是增函数，故A 不是“优美函数”；对选项B ，∵9x 2＋1>9x 2，∴9x 2＋1>|3x |，∴9x 2＋1＋3x >|3x |＋3x ≥0，∴f (x )的定义域为R ，f (x )＋f (－x )＝ln(3x ＋9x 2＋1)＋ln[－3x ＋9（－x ）2＋1]＝ln[(3x ＋9x 2＋1)(－3x ＋9x 2＋1)]＝ln[9x 2＋1－(3x )2]＝ln 1＝0，∴该函数是奇函数，∵f ′(x )＝3＋18x29x 2＋13x ＋9x 2＋1＝39x 2＋1＞0，∴该函数在R 上是增函数，∴该函数是“优美函数”；对选项C ，∵f ⎝⎛⎭⎫－14＝－⎝⎛⎭⎫－142＋2×⎝⎛⎭⎫－14＋1＝716＞f ⎝⎛⎭⎫14＝⎝⎛⎭⎫142＋2×14－1＝－716，∴该函数在R 上不是增函数，故该函数不是“优美函数”；对选项D ，由y ＝tan x 的图像知，该函数在定义域上不单调，故不是“优美函数”．故选B.11．C [解析] 由图知A ＝3，f (0)＝3sin φ＝332，∴sin φ＝32，∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴ωπ18＋π3＝π2，∴ω＝3，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3.∵g (x )＝－2A sin 2ωx 2＋φ2＋A ＝A cos(ωx ＋φ)＝3cos （3x ＋π3）.令2k π－π≤3x ＋π3≤2k π，k ∈Z ，解得2k π3－4π9≤x ≤2k π3－π9，k ∈Z ，∴g (x )的单调递增区间为（2k π3－4π9），（2k π3－π9），k ∈Z ，故A 错；∵g ⎝⎛⎭⎫－5π18＝3cos3×⎝⎛⎭⎫－5π18＋π3＝0，∴直线x ＝－5π18不是曲线y ＝g (x )的对称轴，故B 错；∵将f (x )的图像向左平移π6个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y ＝3sin3⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝3sin π2＋⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，故C 正确；∵g (x ＋m )＝3cos3(x ＋m )＋π3＝3cos3x ＋3m ＋π3为偶函数，∴3m＋π3＝k π，k ∈Z ，∴m ＝k π3－π9，k ∈Z ，故D 错．故选C. 12．B [解析] 由题知，方程(x －2)e x ＋1＋x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的解，即方程(x －2)e x＋1＝－x 2＋2x －a 恰有两个解．设g (x )＝(x －2)e x ＋1，φ(x )＝－x 2＋2x －a ，则函数y ＝g (x )的图像与y ＝φ(x )的图像恰有两个交点．因为g ′(x )＝e x ＋1(x －1)，当x <1时，g ′(x )＜0，当x >1时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以当x ＝1时，g (x )取得最小值g (1)＝－e 2.因为φ(x )＝－x 2＋2x －a ＝－(x －1)2－a ＋1，所以当x ＝1时，φ(x )取得最大值φ(1)＝1－a ，则1－a >－e 2，所以a <1＋e 2，故选B.13．－280 [解析] 令x ＝1，得(a ＋1)7＝128，解得a ＝1，∴(ax ＋1)7＝(x ＋1)7＝ [－2＋(x＋3)]7，∴a 4＝C 47×(－2)3＝－280. 14.92 [解析] 设EN →＝λEF →，∴DN →＝EN →－ED →＝λEF →－ED →.EM →＝12(ED →＋EF →)．∵DN ⊥ME ，∴DN →·EM →＝12(ED →＋EF →)·(λEF →－ED →)＝12[(λ－1)EF →·ED →＋λ|EF →|2－|ED →|2]＝12[(λ－1)×2×3×12＋λ×32－22]＝0，解得λ＝712，∴DN →·DF →＝712EF →－ED →·(EF →－ED →) ＝712|EF →|2－1912ED →·EF →＋|ED→|2 ＝712×32－1912×2×3×12＋22＝92. 15．x 2＋y 2＝1或(x －2)2＋(y ±22)2＝9 [解析] 由题知F (1，0)，故抛物线C 的焦点在x 轴上，设抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝1，所以p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .设P (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0，根据抛物线的定义，知|PF |＝1＋x 0，圆心P 到x 轴的距离为|y 0|，由垂径定理，得(1＋x 0)2＝y 20＋12，即(1＋x 0)2＝4x 0＋1，解得x 0＝0或x 0＝2.当x 0＝0时，y 0＝0，|PF |＝1，圆P 的方程为x 2＋y 2＝1；当x 0＝2时，y 0＝±22，|PF |＝3，圆P 的方程为(x －2)2＋(y ±22)2＝9.16.7（240－1）15 [解析] 由题设知a 2－a 1＝1①， a 3＋a 2＝2②， a 4－a 3＝22③，a 5＋a 4＝23，a 6－a 5＝24，a 7＋a 6＝25，a 8－a 7＝26，a 9＋a 8＝27，a 10－a 9＝28，a 11＋a 10＝29，a 12－a 11＝210，…，a 38－a 37＝236，a 39＋a 38＝237，a 40－a 39＝238，∴②－①得a 1＋a 3＝1，③＋②得a 4＋a 2＝3×2，同理可得a 5＋a 7＝24，a 6＋a 8＝3×25，a 9＋a 11＝28，a 10＋a 12＝3×29，…，a 37＋a 39＝236，a 38＋a 40＝3×237，∴a 1＋a 3，a 5＋a 7，a 9＋a 11，…，a 37＋a 39是首项为1，公比为24，项数为10的等比数列，a 2＋a 4，a 6＋a 8，a 10＋a 12，…，a 38＋a 40是首项为6，公比为24，项数为10的等比数列，∴数列{a n }的前40项和为1－16101－16＋6（1－1610）1－16＝7（240－1）15.17．解：(1)由b c ＝sin C －sin B －sin A cos B sin A cos C －sin B 及正弦定理，得b c ＝c －b －a cos Ba cos C －b ，即c 2－bc －ac cos B ＝ab cos C －b 2，2分 由余弦定理，得c 2－bc －ac ·a 2＋c 2－b 22ac ＝ab ·a 2＋b 2－c 22ab－b 2，整理得c 2＋b 2－a 2＝bc ，4分 ∴cos A ＝c 2＋b 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，5分∵0<A <π，∴A ＝π3.6分(2)由正弦定理，得2sin π3＝b sin B ＝csin C ，∴b ＝43sin B ，c ＝43sin C ，8分 ∴4S △ABC c ＋3c ＝4×12c bc sin π3＋3c ＝3(b ＋c )＝4(sin B ＋sin C )＝4sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝4sin B ＋sin 2π3cos B －cos 2π3sin B ＝4332sin B ＋12cos B ＝43sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6.10分由(1)知B ＋C ＝2π3，∴C ＝2π3－B ＜π2，∴π6<B <π2，∴π3<B ＋π6<2π3，∴32<sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6≤1，∴6<43sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6≤43，∴4S △ABCc ＋3c 的取值范围为(6，43].12分18．解：(1)由题知b ＝22－10＝12，c ＝52－10＝42.由2×2列联表中的数据，得K 2＝68×（10×4－42×12）252×16×22×46≈17.388＞6.635，4分∴有99%的把握认为喜爱传统戏剧与年龄有关． 5分(2)X 的可能取值为0，1，2，3，6分P (X ＝0)＝C 312C 316＝1128，P (X ＝1)＝C 212C 14C 316＝3370，P (X ＝2)＝C 112C 24C 316＝970，P (X ＝3)＝C 34C 316＝1140，9分∴X 的分布列为X 0 1 2 3 P11283370970114010分∴E (X )＝0×1128＋1×3370＋2×970＋3×1140＝34.12分19．解：(1)证明：设AB 的中点为F ，连接PF ，EF ，BE ，FC ，设FC ∩BE ＝O ， ∵△P AB 是边长为4的正三角形，∴PF ⊥AB ，BF ＝2. ∵平面P AB ⊥平面ABCD ，∴PF ⊥平面ABCD ， ∵BE ⊂平面ABCD ，∴PF ⊥BE .2分∵E 是CD 的中点，底面ABCD 是平行四边形，BC ＝2， ∴EF ∥BC ，AB ∥CD ，BF ＝BC ，∴四边形BCEF 是边长为2的菱形，∴BE ⊥FC . ∵FC ∩PF ＝F ，∴BE ⊥平面PFC . 又PC ⊂平面PFC ， ∴BE ⊥PC .5分(2)由(1)知，PF ＝23，PF ⊥平面ABCD ，四边形BCEF 是边长为2的菱形，∠FBC ＝60°，BE ⊥FC ，∴OB ＝OE ＝3，OC ＝OF ＝1.以O 为原点，过O 作PF 的平行线为z 轴，以OC ，OB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则C (1，0，0)，F (－1，0，0)，E (0，－3，0)，P (－1，0，23)，∴F A →＝CE →＝(－1，－3，0)，∴A (－2，－3，0)，CD →＝2CE →＝(－2，－23，0)，∴D (－1，－23，0)，∴AD →＝(1，－3，0)，DP →＝(0，23，23).7分设平面P AD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AD →＝x 1－3y 1＝0，m ·DP →＝23y 1＋23z 1＝0， 令y 1＝1，则x 1＝3，z 1＝－1，∴m ＝(3，1，－1)．设平面PCD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝－2x 2－23y 2＝0，n ·DP →＝23y 2＋23z 2＝0，令y 2＝1，则x 2＝－3，z 2＝－1，∴n ＝(－3，1，－1)，9分 ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－3×3＋1×1－1×（－1）（－3）2＋12＋（－1）2×（3）2＋12＋（－1）2＝－15，11分设二面角A -PD -C 的平面角为θ，则sin θ＝1－⎝⎛⎭⎫－152＝265， ∴二面角A -PD -C 的正弦值为265.12分20．解：(1)由题知，e ＝c a ＝32，∴c ＝32a ，∴b ＝a 2－c 2＝12a ，∴A ⎝⎛⎭⎫0，a 2，B (a ，0)，F 2⎝⎛⎭⎫32a ，0， ∴直线AB 的方程为x ＋2y －a ＝0， ∴32a －a 12＋22＝25－155，解得a ＝2，∴b ＝1，∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.4分(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，显然直线l 的斜率一定存在，故设直线l 方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程x 2＋4y 2－4＝0，整理得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0， 由Δ＝(16k )2－4×12(1＋4k 2)>0，得k 2>34，x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2，7分∴|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋k 2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫－16k 1＋4k 22－4×121＋4k 2＝4（1＋k 2）（4k 2－3）（1＋4k 2）2，原点O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2，9分 ∴S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝44k 2－3（1＋4k 2）2，设t ＝4k 2－3，则4k 2＝t 2＋3，t >0， ∴S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤42t ·4t＝1，当且仅当t ＝4t ，即k ＝±72时，取等号，11分∴△OPQ 的面积的最大值为1.12分21．解：(1)f (x )的定义域为(1，＋∞)，f ′(x )＝a ln(x －1)＋a ＋2bx ＋1－b ，由题知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2b ＋1＋a ＋1＝3，f ′（2）＝a ＋4b ＋1－b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1.4分 (2)当b ＝1时，f (x )＝a (x －1)ln(x －1)＋(x ＋1)(x －1)＋a ＋1， 当x >2时，由f (x )＞0，知f （x ）x －1＝a ln(x －1)＋a ＋1x －1＋x ＋1＞0，设g (x )＝a ln(x －1)＋a ＋1x －1＋x ＋1(x >2)，∴g ′(x )＝ax －1－a ＋1（x －1）2＋1＝x 2＋（a －2）x －2a （x －1）2＝（x －2）（x ＋a ）（x －1）2.7分当a ≥－2时，－a ≤2，g ′(x )＞0，∴g (x )在区间(2，＋∞)上是增函数， ∴g (x )＞g (2)＝a ＋1＋2＋1≥0，解得a ≥－4， ∴a ≥－2；9分当a <－2时，－a >2，当2<x <－a 时，g ′(x )＜0，当x >－a 时，g ′ (x )＞0， ∴g (x )在区间(2，－a )上是减函数，在区间(－a ，＋∞)上是增函数， ∴g (x )min ＝g (－a )＝a ln(－a －1)＋a ＋1－a －1－a ＋1＝a ln(－a －1)－a ，由题知g (x )min ＝a ln(－a －1)－a ＞0，即ln(－a －1)<1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <－2，－a －1<e ，解得－e －1<a <－2.11分综上所述，实数a 的取值范围为(－e －1，＋∞)． 12分22．解：(1)由题知tan α＝－34＜0，0<α<π，∴π2<α<π，sin α＝－34cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得⎝⎛⎭⎫－34cos α2＋cos 2α＝1，解得cos α＝－45， ∴sin α＝35，∴直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－45t ，y ＝1＋35t (t 为参数).3分由ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，得ρ＝4sin θ＋4cos θ，即ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，由ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，得x 2＋y 2－4x －4y ＝0， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＝0.5分(2)∵12＋12－4×1－4×1＝－6<0，∴点(1，1)在圆x 2＋y 2－4x －4y ＝0内部， ∴直线l 与曲线C 相交.7分设直线l 与曲线C 的交点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，将⎩⎨⎧x ＝1－45t ，y ＝1＋35t(t 为参数)代入x 2＋y 2－4x －4y ＝0，整理得t 2＋25t －6＝0，∴t 1＋t 2＝－25，t 1t 2＝－6，∴|MN |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝⎝⎛⎭⎫－252－4×（－6）＝21515，故直线l 被曲线C 截得的弦长为21515.10分23．解：(1)∵f (x )＝|x －1|－|2x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≤1，3x －4，1<x <32，2－x ，x ≥32， ∴f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，32上是增函数，在区间⎝⎛⎭⎫32，＋∞上是减函数，∵f (0)＝－2，f (3)＝－1， ∴当0≤x ≤3时，f (x )min ＝f (0)＝－2，则m ≤－2. 5分 (2)由(1)知，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝12， ∴a ＋2b ＝12ab ，∴2b ＋4a＝1，∴a ＋2b ＝(a ＋2b )⎝⎛⎭⎫2b ＋4a ＝8＋2⎝⎛⎭⎫a b ＋4ba ≥8＋2×2ab ×4ba＝16， 当且仅当4b a ＝ab ，即a ＝2b ＝8时，a ＋2b 取得最小值16.10分。
2019年江西金太阳教育泄露天机高考押题卷 理科数学(一) 教师版
绝密 ★ 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学（一）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合1{|24}4x A x =≤≤，{|22}B y y x x ==--，则A B =（ ） A ．{2} B ．{0}C ．[2,2]-D ．[0,2]【答案】B 【解析】由1244x ≤≤，得22x -≤≤，即[2,2]A =-， 由22y x x =--，得2x =，所以0y =，所以{0}B =，所以{0}A B =．故选B ．2．若复数z 满足(1)42z i i -=+，则z =（ ） A ．25 B 17C ．5D ．17【答案】C【解析】由(1)42z i i -=+，得42124iz i i +-==-，所以34z i =-，所以5z =． 3．从[6,9]-中任取一个m ，则直线340x y m ++=被圆222x y +=截得的弦长大于2的概率 为（ ）A ．23B ．25C ．13D ．15【答案】A【解析】2，当弦长大于2时，圆心到直线l 的距离小于1，即||15m <，所以55m -<<，故所求概率5(5)29(6)3P --==--． 4．《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作，在《算经》中有一题：某女子善于织布，一天比一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（ ） A ．47尺 B ．1629尺 C ．815尺 D ．1631尺 【答案】B【解析】本题可以转为等差数列问题：已知首项15a =，前30项的和30390S =，求公差d ． 由等差数列的前n 项公式可得，30293052390d ⨯⨯+=，解得1629d =． 5．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的半径为3，则制作该手工制品表面积为（ ）A ．5πB ．10πC ．125π+D ．2412π+【答案】D【解析】由三视图可知，该手工制品是由两部分构成，每一部分都是相同圆锥的四分之一， 且圆锥的底面半径为3，高为4，故母线长为5，故每部分的表面积为11112436591262424πππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+，故两部分表面积为2412π+．6．从某中学抽取100名学生进行阅读调查，发现每年读短篇文章量都在50篇至350篇之间，频率分布直方图如图所示，则对这100名学生的阅读量判断正确的为（ ）A ．a 的值为0.004B ．平均数约为200C ．中位数大约为183.3D ．众数约为350此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号【答案】C【解析】由(0.00240.00360.00600.00240.0012)501a +++++⨯=，解得0.0044a =，故A 错； 由A 可知，0.0044a =，所以平均数为0.002450750.0036501250.0060501750.004450⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯2250.0024502750.001250325186+⨯⨯+⨯⨯=，故B 错误；居民月用电量在[50,150)的频率为：(0.00240.0036)500.3+⨯=， 居民月用电量在[150,200)的频率为：0.0060500.3⨯=， ∴这100户居民月用电量的中位数大约为0.50.315050183.30.3-+⨯≈，故C 正确； 由频率分布直方图可知，众数大约为175，故D 错误． 7．已知252(231)(1)ax x x++-的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（ ） A ．10- B ．7-C ．10D ．9【答案】D【解析】令1x =，则有56(1)0a -=，所以1a =， 又52(1)1x-展开式的通项为21015(1)k k k k T C x -+=-，令4k =，则常数项为45210C =， 令5k =，则常数项为5511C -=-，故展开式的常数项为1019-=．8．已知双曲线C 的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且双曲线的渐近线方程为3y x =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．3或322D ．2或33【答案】D【解析】当双曲线的焦点在x 轴上时，设C 的方程为22221(0,0)x ya b a b-=>>，则其渐近方程为b y x a =±，所以3b a =22222213b c a e a a-==-=，所以2e =； 当双曲线的焦点在y 轴上时，设C 的方程为)0,0(12222>>=-b a ay b x ，则其渐近方程为x b a y ±=，所以3=b a ，所以31=a b ，所以22a b =222aa c -=3112=-e ，所以23e ． 9．已知正项数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，且有223526324002a a a a +=-，2410S S =，则第2019项的个位数为（ ） A ．1 B ．2 C ．8 D ．9【答案】C【解析】由223526324002a a a a +=-，得223355232400a a a a ++=，即()23532400a a +=，又0n a >，所以53a a +=180，从而180)421=+q q a （，由2410S S =，得)(10214321a a a a a a +=+++，即)(92143a a a a +=+，所以())(921221a a q a a +=+，所以92=q ，又0q >，所以3q =，代入180)421=+q q a （，得21=a ，所以()()5045042018422019232331881a =⨯=⨯⨯=⨯，故其个位数为8．10．已知函数2()f x x ax =+的图象在12x =处的切线与直线20x y +=垂直．执行如图所示的程序框图，若输出的k 的值为15，则判断框中t 的值可以为（ ）A ．1314B ．1415C ．1516D ．1617【答案】B【解析】()2f x x a '=+，则()y f x =的图象在12x =处的切线斜率112()k f a '==+， 由于切线与直线20x y +=垂直，则有1()(1)12a -+=-，则1a =， 所以2()(1)f x x x x x =+=+，所以111()1f k k k =-+，所以111(1)()223S =-+-++11)1(k k -+，由于输出的k 的值为15，故总共循环了15次，此时1111115(1)()()223151616S =-+-++-=，故t 的值可以为1415． 11．已知函数)2,0)(sin(2)(πϕωϕω<>+=x x f 在]32,2[ππ-上至少存在两个不同的21,x x 满足4)()(21=x f x f ，且函数)(x f 在]12,3[ππ-上具有单调性，)0,6(π-和π127=x 分别为函数)(x f 图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）A ．函数)(x f 图象的两条相邻对称轴之间的距离为4πB ．函数)(x f 图象关于直线3π-=x 对称C ．函数)(x f 图象关于点)0,12(π-对称D ．函数)(x f 在)2,6(ππ上是单调递减函数【答案】D【解析】由于函数()f x 在[,]312ππ-上具有单调性，所以5123122T πππ+=≤，即512ππω≤，所以512≤ω，又由于函数)(x f 在]32,2[ππ-上至少存在两个不同的21,x x 满足4)()(21=x f x f ，所以27326T πππ+=≥，即726ππω≥，所以127ω≥，故有121275ω≤≤， 又(,0)6π-和712x π=分别为函数()f x 图象的一个对称中心和一条对称轴， 所以2174126k T ππ+=+，k Z ∈，所以2(21)3k ω+=，k Z ∈，所以2ω=， 故()2sin(2)f x x φ=+， 又(,0)6π-为函数()f x 图象的一个对称中心，所以2()6k πφπ⨯-+=，k Z ∈， 所以3ππϕ+=k ，Z k ∈，又2πϕ<，所以3πϕ=，所以)32sin(2)(π+=x x f ． 由于函数)(x f 的周期为π，所以相邻两条对称轴之间的距离为2π，故A 错误； ()23f π-≠±，且()012f π-≠，故B ，C 错误；由于函数)(x f 的单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ127,12k k ，Z k ∈，当0=k 时，得其中的一个单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ127,12，而⊂)2,6(ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ127,12，故D 正确． 12．已知函数()f x 在(0,1)恒有()2()xf x f x '>，其中()f x '为函数()f x 的导数，若,αβ为锐角三角形的两个内角，则（ ）A ．)(sin sin )(sin sin 22βααβf f >B ．)(cos sin )(sin cos 22βααβf f >C ．)(cos cos )(cos cos 22βααβf f >D ．)(cos sin )(cos sin 22βααβf f >【答案】B【解析】令2()()f x g x x=，则243()2()()2()()x f x xf x xf x f x g x x x ''--'==， 由于(0,1)x ∈，且()2()xf x f x '>，所以()0g x '>，故函数()g x 在(0,1)单调递增． 又βα,为锐角三角形的两个内角，则022ππαβ>>->，所以1sin sin()02παβ>>->， 即0cos sin 1>>>βα，所以)(cos )(sin βαg g >，即ββαα22cos )(cos sin )(sin f f >， 所以)(cos sin )(sin cos 22βααβf f >．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2019高考数学押题卷及答案解析
山东省2019年高考数学押题试卷考试范围：学科内综合，第二轮复习用卷。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
参考公式：锥体的体积公式：V=3Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）：如果事件A 、B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈-<≤-=N x x M x,2110log 11的真子集的个数是 （ ）A ．902B ．9022-C ．9121-D ．1290-2．已知点A （2,3），B （5,4），C （7,10），若AP →＝AB →＋λAC →（λ∈R ），则当点P 在第三象限时，λ的取值范围是 （ ） A ．（-1，0） B ．（-1，+∞） C ．（0，1） D ．（-∞，-1）3．设a 、b 、c 、d ∈R ，若a ＋b ic ＋d i为实数，则 （ ）A ．bc ＋ad ≠0B ．bc -ad ≠0C ．bc -ad ＝0D ．bc ＋ad ＝04．等比数列{}n a 前项的积为n T ，若156a a a 是一个确定的常数，那么数列789,,T T T ,10T 中也是常数的项是 （ ） A ．7TB ．8TC ．9TD ．10T5．（理）已知（2x 2 - x p ）6的展开式中常数项为2027，那么正数p 的值是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（文）如果函数f(x)=⎩⎨⎧>-≤1111x x 则不等式()0xf x ≤的解集为 （ ） A ．[]1,1-B ．[]()1,01,-+∞C ．()()1,,1+∞-∞-D ．()()0,1,1-∞-6．已知函数()()1x xf x k a a -=--()0,1a a >≠为奇函数,且为增函数, 则函数x y a k =+的图象为（ ）7．抛物线y x C 2:2=的焦点为F ，过C 上一点),1(0y P 的切线l 与y 轴交于A ，则AF =（ ） A ．1B ．12C ．2D ．148．如果执行右面的程序框图，输出的A 为 （ ） A ．2047 B ．2049 C ．1023 D ．10259．已知函数f(x)=)(23R c b a cx bx x ∈++、、的图象如图所示，则下列关于b 、c符号判断正确的是（）A ．b<0 c<0 B ．b>0 c<0 C ．b<0 c>0 D ．b>0 c>010．（理）如图在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 1，F 1分别是线段A 1B 1，A 1C 1的中点，则直线BE 1与AF 1所成角的余弦值是 （ ）A ．3010 B ．12 C ．3015 D ．1510（文）一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，则这个几何体最多可由这样的正方体组成的个数为 （ ）A ．12个B ．13个C ．14个D ．18个11．已知抛物线22y px =(0)p >与双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为（ ） A1B1C．2D．2+12．（理）已知函数1()lg ()2x f x x =-有两个零点21,x x ，则有 （ ） A ．021<x x B ．121=x x C ．121>x x D ．1021<<x x （文）已知函数f (x )=|lg x |.若0<a<b,且f (a )=f (b ),则如结论中错误的是 （ ） A ．0<a<1 B ．b>1 C ．ab=1 D ．2a b +≥第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
(完整word版)2019年高考全国卷Ⅰ数学试题解读
2019年高考全国卷Ⅰ数学试题解读蚌埠市教育教学创新研究会 杨培明 杨 熙每年高考后,一些“有才”的数学老师会说:“今年高考数学容易,所有的题目我都讲过了”.今年高考后依然如此,这些职业吹牛的“有才”老师,是不可能有进步的.2019年高考已落下帷幕,2019年的高考数学势必会给高中数学教学,尤其是高三数学迎考带来很大的冲击,也给许多希望进步的老师和学生,提出了一些值得深思的问题.一.小题真的大题化吗？[例1]:(2019年全国Ⅰ卷(理科)第10题,(文科)第12题)已知椭圆C 的焦点F 1(-1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A 、B 两点,若|AF 2|=2|F 2B|,|AB|=|BF 1|,则C 的方程为( ) (A)22x +y 2=1 (B)32x +22y =1 (C)42x +32y =1 (D)52x +42y =1本题(客观题,小题)与如下高考解答题(大题),不仅同构,而且难度相当. (2010年辽宁高考理科第20题)设椭圆C:22a x +22b y =1(a>b>0)的左焦点为F,过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点,直线l 的倾斜角为600,AF =2FB . (Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)如果|AB|=415,求椭圆C 的方程.[官方解析]:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意知y 1>0,y 2<0; (Ⅰ)直线l 的方程为y=3(x+c),其中c=22b a -;联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=222222)(3ba y a xbc x y 得(3a 2+b 2)y 2-23b 2cy-3b 4=0(不易想到消x 得关于y 的方程),解得y 1=2223)2(3b a a c b ++,y 2=2223)2(3b a a c b +-(易想到利用韦达定理,不联系下一步,不知为何要解出y 1,y 2),因为AF =2FB ,所以-y 1=2y 2,即-2223)2(3ba a cb ++=2⋅2223)2(3ba a cb +-,得离心率e=ac =32;(Ⅱ)因为|AB|=211k+|y 1-y 2|,所以32⋅222334ba ab +=415,由ac =32得b=35a,所以45a=415,得a=3,b=5,椭圆C 的方程为:92x +52y =1.难道小题真的大题化吗？如果按照官方解析求解例1,则真的就是“小题大做”,即使得到正确结果,由于用时过长,也造成潜在失分.我们知道客观题只要结果,无需过程.因此,小题快解是应对高考的首要问题.多年的实践证明:利用高考数学母题,可达到小题快解之目的.我们在《2019年高考数学押题密卷(六套卷)》(见母题网、百度文库和豆丁网等网站,以下简称《六套卷》)的第三卷(理科)中,我们给出: (《六套卷》第三卷(理科)第10题)过双曲线C:43622y x -=1的右焦点F 的直线与其右支交于A,B 两点.若|AF|=m,|BF|=n,则nm 11+=( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 [母题]:设圆锥曲线(双曲线需同支)中,共线焦半径分别为r,R,通径为L,则r1+R1=L4.[解析]:由母题:nm 11+=22ba =3.故选(C). 利用上述母题,可给例1的绝妙解答. [解析]:由|AF 2|=2|F 2B|和||12AF +||12BF =22ba ⇒|F 2B|=ab 432,|AF 2|=ab 232;又由|AB|=|BF 1|⇒ab 232+2⋅ab 432=2a ⇒22a b =32.故选(B).根据上述母题,可妙解所有焦点分焦点弦比的问题,如:1.(2010年全国Ⅰ高考试题)已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D,且BF =2FD ,则C 的离心率为 .2.(2010年全国Ⅱ高考试题)已知椭圆C:22a x +22b y =1(a>b>0)的离心率为23,过右焦点F 且斜率为k(k>0)的直线与C 相交于A 、B 两点.若AF =3FB ,则k=( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)2高考数学母题不是解决某道试题的特殊技巧、方法和结论,而是解决一类试题的核心结论和本质方法.举例如下:[例2]:(《六套卷》第二卷(理科)第15题)如图,已知双曲线C:22ax -22b y =1的右焦点为F,以原点O 为圆心,|OF|为半径的圆O 与双曲线C 的一条渐近线相交于点B,若BF 的中点A 在双曲线C 的另一条渐近线上,则双曲线C 的两条渐近线夹角是 . [母题]:若双曲线C:22a x -22b y =1的右焦点为F,则以原点O 为圆心,|OF|为半径的圆O 与双曲线C 的渐近线相交于点的横坐标=±a.[解析]:由母题知,B(-a,b),又F(c,0)⇒BF 的中点A(2a c -,2b );由点A(2a c -,2b )在y=ab x 上⇒2b =ab ⋅2a c -⇒ac=2⇒ab=3⇒∠AOF=3π⇒双曲线C 的两条渐近线夹角=3π.利用上述母题,可快解:(2019年全国Ⅰ卷(理科)第16题)已知双曲线C:22a x -22b y =1的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点.若A F 1=AB ,B F 1⋅B F 2=0,则双曲线C的离心率为 .[解析]:由母题知,B(a,b),又F 1(-c,0)⇒BF 1的中点A(2c a -,2b );由点A(2c a -,2b )在y=-ab x ⇒2b =ab⋅2a c -⇒e=ac =2.对比以上两题:①由同一个母题生成;②所有条件相同;③解题程序同构,两题的契合度之高,令人称奇.利用高考数学母题预测高考试题不仅是可能的,可操作的,而且是有规律的.如:试题出处2019年全国Ⅰ卷(文理科)第5题《六套卷》第二卷(文科)第8题真题再现函数f(x)=2cossinxxxx++在[-π,π]的图像大致为( )已知函数f(x)=xx sin1-,则y=f(x)在(-π,0)∪(0,π)上的图像是( )解法母题[母题]:着意使用排除法.可妙解给定的函数图像选择题,常用手段有:取值排除、奇偶排除和凸凹排除.试题解答[解析]:由y=cosx+x2是偶函数,y=sinx+x是奇函数⇒f(x)是奇函数;排除(A)(D);又f(π)>0,排除(B)(C).故选(D).[解析]:由y=1是偶函数,y=x-sinx是奇函数⇒f(x)是奇函数;排除(B)(D);又f(2π)>0,排除(C).故选(A)对比分析两题为同一个方法母题的子题,且解题步骤完全同构,函数模型相似.试题出处2019年全国Ⅰ卷(文科)第11题《六套卷》第四卷(理科)第13题,(文科)第15题真题再现∆ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-41,则cb=( )(A)6 (B)5 (C)4 (D)3在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2-a2=21c2,则BAtantan= .结论母题[母题]:三角平方差公式:sin2α-sin2β=sin(α-β)sin(α+β).试题解答[解析]:由asinA-bsinB=4csinC⇒sin2A-sin2B=4sin2C⇒sin(A-B)sin(A+B)=4sin2C⇒sin(A-B)=4sinC⇒tanB=5153⇒cb=)sin(sin4BAB-=ABA coscotsin4-=6.故选(A).[解析]:由b2-a2=21c2⇒sin2B-sin2A=21sin2C⇒sin(B-A)sin(B+A)=21sin2C⇒2sin(B-A)=sin(B+A)⇒BAtantan=31对比分析两题为同一个结论母题的子题,由结论母题,可给出高考试题的另类解法.二.不能创新传统数学吗？数学具有严格的逻辑体系,中学数学的传统内容已有上千年的历史,已形成完备成熟的体系,对中学数学的创新可能吗？即使可以创新,难度之大可想而知;高考数学母题具有创新学习方法、打造高考利器、科学预测试题、革新中学教学、优化学科体系和助推素质教育等六大基本功能.[例3]:(2019年全国Ⅰ卷(理科)第18题)如图,直四棱柱ABCD-A1B2C3的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=600,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(Ⅰ)证明:MN∥平面C1DE;(Ⅱ)求二面角A-MA1-N的正弦值.立体几何是最成熟、历史最悠久的数学分支之一,空间向量的引入给立体几何带来了一片生机,研究可得:[母题]:解决立体几何试题:①充分利用长方体模型的定位功能,把题中的几何体放置于长方体中,不仅可充分体现几何体中的线面位置关系,而且有利于建立空间直角坐标;②灵活利用母题:“若平面α与坐标轴分别交于点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则平面α的法向量为m =(a1,b1,c1),特别的,若平α平行于某坐标轴,则平面α法向量的对应坐标为0”.直接写出平面的法向量(但要绕出过程),即可达到会解快解.[解析]:(Ⅰ)取AD 的中点F,则BF ∥DE,NF ∥AA 1,且NF=2,由BM ∥AA 1,且BM=2⇒NF ∥BM,且NF=BM ⇒MN ∥BF ⇒MN ∥DE ⇒MN/∥平面C 1DE;(Ⅱ)分别以直线BD 、AC 为x 、y 轴建立空间直角坐标系,则A(0,-3,0),A 1A(0,-3,4),M(1,0,2),N(-21,-23,2);设平面AMA 1的法向量m =(x,y,z)(平面AMA 1在x 轴上的截距为1,在y 轴上的截距为-3,且平面AMA 1∥z 轴,先由母题可写出m =(3,-1,0),再绕出解题过程),由m ⋅1AA =0,m ⋅AB =0⇒m =(3,-1,0),同理可得平面A 1MN 的法向量n =(-1,3,1)(平面A 1MN 在x 轴上的截距为-1,在y 轴上的截距为33,在z 轴上的截距为1)⇒cos<m ,n >=515⇒二面角A-MA 1-N 的正弦值=510.立体几何试题的统一解法的上述母题在《六套卷》第二卷(理科)第18题中给出. (《六套卷》第二卷(理科)第18题)如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面ACC 1A 1是菱形, ∠ACB=900,点A 1在平面ABC 内的射影D 是AC 的中点. (Ⅰ)证明:AC 1⊥A 1B;(Ⅱ)若∠DA 1B=600,求二面角A 1-AB-C 的余弦值.[解析]:(Ⅰ)在长方体中作出三棱柱ABC-A 1B 1C 1,由A 1D ⊥平面ABC ⇒A 1D ⊥BC ⇒BC ⊥A 1D,又∠ACB=900⇒BC ⊥AC ⇒BC ⊥平面ACC 1A 1⇒BC ⊥AC 1⇒AC 1⊥BC;又在菱形ACC 1A 1中,AC 1⊥A 1C ⇒AC 1⊥平面A 1BC ⇒AC 1⊥A 1B;(Ⅱ)以AC 1与A 1C 的交点O 为坐标原点,OA 1与OC 1分别为x,y 轴建立空间直角坐标系,设OA 1=2a,BC=h,则A(0,-23a,0),A 1(2a,0,0),C(-2a,0,0),B(-2a,0,h),B 1(0, 23a,h)⇒D(-a,-3a,0)⇒D A 1=(-3a,-3a,0),B A 1=(-4a,0,h);由∠DA 1B=60⇒cos<D A 1,B A 1>=21⇒h=42a;设平面A 1AB 的法向量m =(x,y,z),由m ⋅1AA =0,m ⋅BA 1=0⇒m =(6,-2,3);同理可得平面ABC的法向量n =(3,1,0)⇒cos<m ,n >=1122⇒二面角A 1-AB-C 的余弦值=1122.对于立体几何问题,母题①的思想具有普遍性,可妙解立体几何问题;母题②的方法可快求成角,距离;预测试题中的几何体恰是高考试题中几何体被平面ABC 1D 1截得的下半部分,两题的契合度之高,令人称奇.[例4]:(《六套卷》第一卷(文科)第20题)定圆C 的圆心的坐标为(3,0),半径为4,圆P 以动点P(a,b)为圆心,与直线x=-5相切且平分圆C 的周长. (Ⅰ)求动点P 的轨迹G 的方程;(Ⅱ)当b ≠0时,过点Q(a,0)作斜率为-ba 的直线,交轨迹G 于A 、B 两点,求证:PA ⊥PB.解析几何也是最成熟、历史最悠久的数学分支之一,针对抛物线,研究可得:[母题]:抛物线试题的统一解,就是巧设抛物线上的一点:①观察系数,先巧设抛物线方程中有平方项的变量;②代入抛物线方程中,求另一变量,即得点的坐标,标准是该点的纵、横坐标不含分母;A 、P 、B 三点共线⇔PA ∥PB ,即把A 、P 、B 三点共线,转化为坐标中的系数关系,从而为解决过一点的直线与抛物线交于两点的问题提供了有力手段.[解析]:(Ⅰ)由圆C:(x-3)2+y 2=16,圆P:(x-a)2+(y-b)2=(a+5)2,两圆方程相减得两圆公共弦方程:2(3-a)x-2by+b 2-10a-18=0;又由圆P 平分圆C 的周长⇒公共弦过圆心C(3,0)⇒b 2=16a ⇒动圆P 的圆心P 的轨迹方程:y 2=16x;(Ⅱ)设A(n 2,4n),B(m 2,4m),则k QA =an n -24=-ba ,k QB =am m -24=-ba⇒an 2+4bn-a 2=0,am 2+4bm-a 2=0⇒m 、n 是方程at 2+4bt-a 2=0⇒m+n=-a b 4,mn=-a ⇒m 2+n 2=2216a b +2a=a 216+2a ⇒k PA k PB =an bn --24⋅am b m --24=22222)()()(416a n m a mn b n m b mn ++-++-=22222216161616a a a a a +--++-=-1⇒PA ⊥PB.根据抛物线问题的统一解法母题,可巧解:(2019年全国Ⅰ卷(理科)第19题)已知抛物线C:y 2=3x 的焦点为F,斜率为23的直线l 与C 的交点为A,B,与x 轴的交点为P.(Ⅰ)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (Ⅱ)若AP =3PB ,求|AB|.[解析]:设A(3a 2,3a),B(3b 2,3b)(a>0)⇒k AB =ba +1=23⇒a+b=32;直线AB:y-3a=23(x-3a 2)⇒P(3a 2-2a,0);(Ⅰ)|AF|+|BF|=(3a 2+43)+(3b 2+43)=3(a+b)2-6ab+23=4⇒ab=-367⇒a 2-32a-367⇒l:y=23x-87;(Ⅱ)AP =3PB⇒a=-3b ⇒b=-31,a=1⇒|AB|=3134.预测试题是作斜率为-ba 的直线,交轨迹G(抛物线:y 2=16x)于A 、B 两点;而高考试题则是斜率为23的直线l 与C(抛物线:y 2=3x)的交点为A,B,条件相同决定解法同构.导数是高等数学的基础,也是高考的重点,许多高考导数试题具有高等数学背景,如何恰当的引伸高中导数,并用高中导数解决呢？(Ⅰ)求证f(x)的导函数f '(x)在区间(0,2π)上单调递增;(Ⅱ)若f(x)>ax 在区间(0,2π)内恒成立,求a 的取值范围.[母题]:①若f(x)在区间D 上连续可导,且f '(x)在区间D 上单调递增,则当x 0∈D 时,f(x)≥f '(x 0)(x-x 0)+f(x 0),当且仅当x=x 0时,等号成立;②若f(x)在区间D 上连续可导,且f '(x)在区间D 上单调递减,则当x 0∈D 时,f(x)≤f '(x 0)(x-x 0)+f(x 0),当且仅当x=x 0时,等号成立. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=sinx+63x ⇒f '(x)=cosx+22x ⇒f ''(x)=-sinx+x ⇒f '''(x)=-cosx+1≥0⇒f ''(x)在区间(0,2π)上单调递增⇒f ''(x)>f ''(0)=0⇒f '(x)在区间(0,2π)上单调递增;(Ⅱ)由f '(x)在区间(0,2π)上单调递增，且f(x)在x=0处的切线方程为:y=x ⇒f(x)>x ⇒a 的取值范围是（-∞,1].(非正规解题过程,只为揭示试题背景,另一母题可绕出标准解题过程).利用母题,可妙解:(2019年全国Ⅰ卷(文科)第20题)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f '(x)为f(x)的导数. (Ⅰ)证明:f '(x)在区间(0,π)存在唯一零点;(Ⅱ)若x ∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a 的取值范围. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=2sinx-xcosx-x ⇒f '(x)=cosx+xsinx-1⇒f ''(x)=xcosx ⇒f '(x)在区间(0,2π)上单调递增,在区间(2π,π)上单调递减,且f '(0)=0,f '(2π)=2π-1>0,f '(π)=-2⇒f '(x)在区间(0,π)存在唯一零点;(Ⅱ)由f(0)=f(π)=0,f '(x)在区间(0,2π)上单调递增，且f(x)在x=0处的切线方程为:y=0所以,f(x)≥ax ⇔a ≤0,故a 的取值范围是(-∞,0].(非正规解题过程,只为揭示试题背景,另一母题可绕出标准解题过程).两题不仅均以含三角函数的超越函数为模型,而且两题函数均过原点,因此两题第(Ⅱ)问的背景相同(生成于同一个母题),解法同构;若高考试题第(Ⅱ)问的条件x ∈[0,π],改为预测试题第(Ⅱ)问的条件x ∈(0,2π),两题第(Ⅱ)问是否一样？三.高考数学命题创新路在何方？高考数学命题的创新是势在必行,问题是创新之路在何方？解读2019年高考全国Ⅰ卷数学试题,可领悟到:1.着意于数学本质的创新[例6]:(《六套卷》第一卷(理科)第7题,(文科)第8题)如图所示是求数列{a n }:a n =2n -1通项a n 的程序框图(算法流程图),图中空白框中应填入的内容为( )(A)S=S+k (B)S=2S-1 (C)S=2S+1 (D)S=2S [母题]:对求数列{a n }:a n =f(n)通项a n 的程序框图,处理框中应填入的内容为f(n+1)与f(n)之间的递推关系.[解析]:由a n =2n-1⇒a n+1=2n+1-1=2(a n +1)-1⇒a n+1=2a n +1.故选(C).程序框图是高考数学的一个考点,常见题型是求输出的结果,即使出现填充程序框图的问题,大多是填充判断框型,较少出现填充处理框型,更没有出现过求数列通项的填充处理框型问题,而求数列的通项,恰是程序框图的本质之一;着意于数学本质的创新,是命制高考数学试题的一个重要方向.高考数学母题是数学本质的最有效的工具.理解该母题,才能把握下面:2019年全国Ⅰ卷(理科)第8题,(文科)第9题,进而秒杀该题.(2019年全国Ⅰ卷(理科)第8题,(文科)第9题)右图是求212121++的程序框图,图中空白框中应填入( ) (A)A=A+21 (B)A=2+A1 (C)A=A211+ (D)A=1+A21[解析]:令a n =A+⋅⋅⋅++2121,则a n+1=na +21.故选(A).两题不仅为同一个方法母题的子题,解题方法一样(均是建立a n+1与a n 的递推关系),而且两题均为首创.2.立足于数学综合的创新[例7]:(2019年全国Ⅰ卷(文理科)第22题)在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221411t t y t t x ,(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为2ρcos θ+3ρsin θ+11=0.(Ⅰ)求C 和l 的直角坐标方程. (Ⅱ)求C 上的点到l 距离的最小值.本题不仅综合了“极坐标系与参数方程”内的主要内容,而且还结合了三角代换:sin θ=212t t +,cos θ=2211tt +-,tan θ=212t t -、辅助角公式和三角函数的有界性,正是与三角代换的结合,不仅构造了本题的难点(难在消去参数t),还呈现了本题的创新点.立足于数学综合的创新,是命制高考数学试题的又一个重要方向.[母题]:三角代换:sin θ=212tt +,cos θ=2211tt +-,tan θ=212t t -(见《专家讲座》[例013]);化参数方程为普通方程的本质是消去参数,常用方法有:①代入法:就是从参数方程组中的其中一个方程中解出参数,然后代入另一个方程中;②三角法:就是灵活运用三角等式,消去参数;③整体法:就是根据参数方程组中参数式的结构特征,构造等式,整体消去参数.[解析]:(Ⅰ)由C:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221411t t y t t x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=22212211tty t t x ⇒x 2+42y =(2211t t +-)2+(212t t +)2=1(x ≠-1);由l:2ρcos θ+3ρsin θ+11=0⇒2x+3y+11=0;(Ⅱ)设C 上的点P(cos θ,2sin θ)⇒点P 到l 的距离d=77|2cos θ+23sin θ+11|=77|4sin(θ+6π)+11|≥7,当θ=-32π时,d min =7⇒C 上的点到l 距离的最小值=7.上述母题是在《六套卷》第四卷(文理科)第22题中给出的. (《六套卷》第四卷(文理科)第22题)已知曲线C 1:⎩⎨⎧==θθsin 3cos y x (θ为参数),曲线C 2:⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 21cos 21y x (α为参数).(Ⅰ)化曲线C 1、C 2的方程为普通方程,并说明他们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若曲线C 3:⎩⎨⎧+-==t y t x 1(t 为参数)和曲线C 2相交于A 、B 两点,点P 是曲线C 1上的动点,使确定点P 使ΔABP 的面积S 取得最大值. [解析]:(Ⅰ)由C 1:⎩⎨⎧==θθsin 3cos y x ⇔x 2+32y =1⇒C 1是焦点在y 轴上的椭圆;由C 2:⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 21cos 21y x ⇔(x-1)2+(y-1)2=2⇒C 2是以M(1,1)为圆心,半径r=2的圆;(Ⅱ)由C 3:⎩⎨⎧+-==t y tx 1⇔x-y-1=0⇒点M 到C 3的距离d 1=22⇒|AB|=6;设P(cos θ,3sin θ)⇒点P 到C 3的距离d=22⋅|cos θ-3sin θ-1|=22|2sin(θ-6π)+1|⇒当θ=32π时,d max =223⇒P(-21,33),S max =233.两题的设问方式相同,结构同构,第(Ⅰ)问均是三种方程的互化,尤其第(Ⅱ)问的本质均是利用椭圆的参数方程,求椭圆的一点到直线距离的最小值,或最大值.3.着重于数学应用的创新[例8]:(2019年全国Ⅰ卷(理科)第21题)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X. (Ⅰ)求X 的分布列；(Ⅱ)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,P i (i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i 时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则P 0=0,P 8=1,P i =aP i-1+bP i +cP i+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c= P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(i)证明:{P i+1-P i }(i=0,1,2,…,7)为等比数列; (ii)求P 4,并根据P 4的值解释这种方案的合理性.今年高考数学试题,让人“震惊”的是:一改以往延续了18年全国Ⅰ卷解答题的布局,转而概率竟然成为压轴题,这本身就是一种大的变革;第21题压轴题源于实际,充分体现了数学的应用性与重要性,融概率与数列于一身,呈现了综合应用的创新性,该类试题曾经常出现在大学自主招生考试中,如:(2011年清华大学保送生考试试题)甲、乙等4人相互转球,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者将球等可能地传给另外3人中的任何一人.(Ⅰ)经过2次传球后,球在甲、乙手中的概率各是多少？(Ⅱ)经过n 次传球后,球在甲手中的概率记为P n (n=1,2,…),试求出P n+1与P n 的关系式,并求P n 的表达式及∞→n lim P n .[解析]:(Ⅰ)“经过2次传球后,球在甲手中”=“第二次传球时,甲外的其余3人之一将球传给甲”⇒球在甲手中的概率=31;球在乙手中的概率有两种解法:(法一)“经过2次传球后,球在乙手中”=“第一次转球,球不在乙手中,且第二次传球传给乙”⇒球在乙手中的概率=32×31=92;(法二)第二次传球,球不在甲手中的概率=1-31,而球在乙及其他2人手中的概率相等=31(1-31)=92;(Ⅱ)“经过n+1次传球后,球在甲手中”=“经过n 次传球后,球不在甲手中,且第n+1次传球传给甲”⇒P n+1=31(1-P n )⇒P n =41[1-(-31)n-1]⇒∞→n limP n =41.该题源于转球模型:[母题]:(传球模型)对于任意一个由N 个点组成的网络,如果对于这N 个点中的任意一个点都与另外的N-1个点相连,那么从其中任意一个点A 出发,每次都等概地选择一条道路到达另外一点,则求经i 步后又回到点A 的概率P i =11)1()1()1(----+-i i i N N n .[解析]:设P i 为从点A 出发经i 步后又回到点A 的概率,则P 0=1,P 1=0.又第i-1步不在点A 而在另外N-1个点上的概率为1-P i-1,从而第i 步回到点A 的概率为11-N (1-P i-1)⇒P i =11-N (1-P i-1)⇒P i =11)1()1()1(----+-i ii N N n .利用母题及其解题方法,可解第21题压轴题:[解析]:(Ⅰ)X 的所有可能取值为-1,0,1;且P(x=-1)=(1-α)β,P(x=1)=α(1-β)⇒P(x=0)=1-P(x=-1)- P(x=1)=αβ+(1-α)(1-β),所以X 的分布列为:(Ⅱ)(i)由α=0.5,β=0.8⇒a=P(X=-1)=0.4,b=P(X=0)=0.5,c=P(X=1)=0.1⇒P i =0.4P i-1+0.5P i +0.1P i+1⇒ Pi+1-P i =4(P i -P i-1),又因为P 1-P 0=P 1≠0⇒{P i+1-P i }(i=0,1,2,…,7)为公比为4,首项为P 1的等比数列; (ii)由(i)得:P i+1-P i -P 1×4n-1⇒P 8=P 1+(P 2-P 1)+(P 3-P 2)+…+(P 8-P 7)=3148-P 1;由P 8=1⇒3148-P 1=1⇒P 1=1438-利用数列的思想方法求概率;三由于文字过多,且读一遍未必能理解题意,因此,读懂这道题就是一个难点.同类的大学自主招生试题还有:1.(2002年上海交通大学保送生考试试题)A,B 两人轮流掷一个骰子,第一次由A 先掷,若A 掷到一点,下次仍由A 掷,若A 掷不到一点,下次换B 掷,对B 同样适用规则,如此依次投掷,记第n 次由A 掷的概率为A n . (Ⅰ)求A n+1与A n 的关系; (Ⅱ)求∞→n lim A n .[解析]:(Ⅰ)第一次由A 先掷⇒A 1=1;“第n+1次由A 掷”=“第n 次由A 掷,且第n+1次由A 掷”+“第n 次由B 掷,且第n+1次由A 掷”⇒A n+1=61A n +(1-61)(1-A n )⇒A n+1=-32A n +65; (Ⅱ)(法一)由A n+1=-32A n +65⇒A n+1-21=-32(A n -21)⇒A n -21=21(-32)n-1⇒A n =21+21(-32)n-1⇒∞→n lim A n =21;(法二)设∞→n lim A n =x ⇒∞→n lim A n+1=x 由A n+1=-32A n +65⇒∞→n lim A n+1=-32∞→n lim A n +65⇒x=-32x+65⇒x=21⇒∞→n lim A n =21.2.(2011年“华约”自主招生试题)投掷一枚硬币(正反等可能),记投掷n 次不连续出现三次正面向上的概率为P n . (Ⅰ)求P 1,P 2,P 3和P 4;(Ⅱ)写出P n 的递推公式,并指出单调性; (Ⅲ)∞→n lim P n 是否存在？有何统计意义.[解析]:(Ⅰ)P 1=P 2=1,P 3=1-(21)3=87,P 4=(第4次出现反面向上,其概率为21,且前3次不连续出现三次正面向上,其概率为P 3)21P 3+(第4次出现正面向上,除去第3,2次出现正面向上,第1次出现反面向上)21P 3-(21)4=P 3-(21)4=1613;(Ⅱ)P n =(第n 次出现反面向上)21P n-1+(第n 次出现正面向上,除去第n-1,n-2次出现正面向上,第n-3次出现反面向上) 21P n-1-(21)4P n-4⇒P n =21P n-1+21P n-1-(21)4P n-4⇒P n =P n-1-161P n-4(n ≥5);由P n =P n-1-161P n-4⇒P n <P n-1⇒{P n }单调递减;(Ⅲ)由{P n }单调递减,且P n >0⇒∞→n lim P n 存在;由P n =P n-1-161P n-4⇒∞→n lim P n =∞→n lim P n-1-161∞→n lim P n-4⇒∞→n lim P n =0;其统计意义是:当n →∞时,P=0,即当投掷次数充分大时,不连续出现三次正面向上的事件是小概率事件.广泛的应用性是数学的本质属性,2019年全国Ⅰ卷充分体现了“着重于数学应用的创新”:除第21题压轴题外还有4题,文理第4题均以著名的“断臂维纳斯”雕像为例,命制应用题;理科第6题以我国古代典籍《周易》中描述事物变化的“卦”为背景设置了排列组合题,体现了数学原理和方法在解决问题中的价值和作用;理科第15题，引入非常普及的篮球运动,以其中比赛的预估和比赛场次的提出问题;文科第17题以商场服务质量管理为背景,设计了统计应用问题.数学应用问题不仅每年必考,而且难度有逐年加大之趋势,2016年、2017年理科应用问题都为第19题,2018年理科应用问题是第20题,而今年移到了21题压轴题,其难度与用意不言而喻.2019年全国Ⅰ卷不仅提高了应用题的数量,而且加大了应用题的难度.可能受新课标的影响,新的高中教材删除的内容,如“三视图、线性规划等”没有出现在今年的高考试题中.总之,整套试题基本体现了由“以能力立意”过渡到“以素养立意”命题,试题难度虽有所上升,但其在高校选拔中的特殊地位和作用仍是不可替代,为今后的教学指明了方向.。
押第1题 集合(新高考)(解析版)--2023年新高考数学临考题号押题
押新高考卷1题集合考点3年考题考情分析集合2022年新高考Ⅰ卷第1题2022年新高考Ⅱ卷第1题2021年新高考Ⅰ卷第1题2021年新高考Ⅱ卷第2题2020年新高考Ⅰ卷第1题2020年新高考Ⅱ卷第1题高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的新高考试题，均考查集合间的交集、并集和补集的基本运算．可以预测2023年新高考命题方向将继续围绕集合间的基本关系展开命题．1.集合有n 个元素，子集有n 2个，真子集有12-n 个，非空真子集个数为22n -个.2.{}B x A x x B A ∈∈=且 ，{}B x A x x B A ∈∈=或 3.{}Ax U x x A C U ∉∈=且1．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题）若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N ⋂=（）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð，故选：B.5．（2020·新高考Ⅰ卷高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（）A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}【答案】C【分析】根据集合并集概念求解.【详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U 故选：C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.6．（2020·新高考Ⅱ卷高考真题）设集合A={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B ⋂=（）A ．{1，3，5，7}B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{1，2，3，5，7，8}【答案】C【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【详解】因为A {2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，所以{}2,3,5A B = 故选：C【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.。
押题预测卷02-决胜2024年高考数学押题预测模拟卷(新高考九省联考题型)含答案
决胜2024年高考数学押题预测卷02数 学（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若(12i)(32i)2i z ---=+，则z =（ ）A 33i - B. 33i+ C. 33i-+ D. 33i--2．已知向量(2,0),(a b ==-r r，则a r 与()a b -r r 夹角的余弦值为（ ）A. B. 12-C.123． “直线1sin 102x y q +-=与cos 10x y q ++=平行”是“π4q =”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．若()62345601234561x a a x a x a x a x a x a x -=++++++，则246a a a ++=（ ）A. 64B. 33C. 32D. 315．公元656年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的“开立圆术”.祖暅在求球的体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，介于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为“祖暅原理”.3D 打印技术发展至今，已经能够满足少量个性化的打印需求，现在用3D 打印技术打印了一个“睡美人城堡”.如图，其在高度为h 的水平截面的面积S 可以近似用函数()()2π9S h h =-，[]0,9h Î拟合，则该“睡美人城堡”的体积约为（ ）A. 27πB. 81πC. 108πD. 243π.6.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为a b c ､､，若()()()sin sin sin sin a c A C b A B +-=-，且c =2ba -的取值范围为（ ）A. ()1,2-B. ö÷øC. æççèD. (-7．已知正实数,,a b c 满足2131412,3,4a b c a b c a b c a b c+++=-=-=-，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. a b c<<C. a c b<< D. b a c<<8．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12π3F PF Ð=，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则22122212313e e e e +++的最小值是（ ）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（ ）A. 数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的第70百分位数是8.5B. 若随机变量()()2~2,10.68X N P x s>=，，则()230.18P x £<=C. 设A B ，为两个随机事件，()0P A >，若()()P BA PB =∣，则事件A 与事件B 相互独立D. 根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到2 4.712=c ，依据0.05a =的卡方独立性检验()0.05 3.841=x ，可判断X 与Y 有关且该判断犯错误的概率不超过0.0510．若函数2222()2sin log sin 2cos log cos f x x x x x =×+×，则（ ）A. ()f x 的最小正周期为pB. ()f x 的图象关于直线4x p=对称C. ()f x 的最小值为1-D. ()f x 的单调递减区间为2,24k k p p p æö+ç÷èø，k ZÎ11．设函数()f x 的定义域为R ，()f x 为奇函数，(1)(1)f x f x +=-，(3)1f =，则（ ）A ()11f -= B. ()(4)f x f x =+C. ()(4)f x f x =-D.181()1k f k ==-å三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分..12．已知集合{}24A x x =-<<，122x B x ìü=>íýîþ，则A B =I ______________.13．已知A 为圆C ：()22114x y +-=上动点，B 为圆E ：()22134x y -+=上的动点，P 为直线12y x =上的动点，则PB PA -的最大值为______________.14.已知数列{}n a 的通项公式为122311,3+==++×××++n n n n a S a a a a a a n ，若对任意*N n Î，不等式()432n n S n l +<+恒成立，则实数l 的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系.16．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为平行四边形，2,90AB AD ABD Ð===o ，矩形BDEF 所在平面与底面ABCD 垂直，M 为CE 的中点.的（1）求证：平面BDM P 平面AEF ；（2）若平面BDM 与平面BCF CE 与平面BDM 所成角的正弦值.17．已知函数()()ln 1f x x a x a =--ÎR .（1）若曲线()y f x =在点(1,0)处的切线为x 轴，求a 的值；（2）讨论()f x 在区间(1,)+¥内极值点的个数；18．已知抛物线：22y x =，直线:4l y x =-，且点,B D 在抛物线上．（1）若点,A C 在直线l 上，且,,,A B C D 四点构成菱形ABCD ，求直线BD 的方程；（2）若点A 为抛物线和直线l 的交点（位于x 轴下方），点C 在直线l 上，且,,,A B C D 四点构成矩形ABCD ，求直线BD 的斜率．19．若无穷数列{}n a 的各项均为整数．且对于,,i j i j *"Î<N ，都存在k j >，使得k j i j i a a a a a =--，则称数列{}n a 满足性质P ．（1）判断下列数列是否满足性质P ，并说明理由．①n a n =，1n =，2，3，…；②2n b n =+，1n =，2，3，…．（2）若数列{}n a 满足性质P ，且11a =，求证：集合{}3∣n n a *Î=N 为无限集；（3）若周期数列{}n a 满足性质P ，请写出数列{}n a 的通项公式（不需要证明）．决胜2024年高考数学押题预测卷02数 学（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2019年高考数学仿真押题试卷(十九)(含答案解析)
专题19 高考数学仿真押题试卷（十九）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合[1A =-，1]，，则(AB = )A ．(0,1)B ．(0，1]C ．(1,1)-D ．[1-，1]【解析】解：(0,1)B =；．【答案】A ．2．已知z 的共轭复数是z ，且为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】解：设，，∴，∴，解得：322x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，复数z 在复平面内对应的点为3(,2)2-，此点位于第四象限．【答案】D ．3．已知向量(1,3)a =，||3b =，且a 与b 的夹角为3π，则|2|(a b += )A ．5B C ．7D ．37【解析】解：由题可得：向量(1,3)a =，||2a =，所以，所以，．【答案】B ．4．已知函数，若，则实数a 的取值范围是( )A ．[2-，1]B ．[1-，2]C ．(-∞，2][1-，)+∞D ．(-∞，1][2-，)+∞【解析】解：函数，在各段内都是减函数，并且01e -=，，所以()f x 在R 上递减，又，所以，解得：21a -剟， 【答案】A ．5．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值．执行该程序框图，则输出的(n )A ．50B ．53C ．59D ．62【解析】解：【方法一】正整数n 被3除余2，得32n k =+，k N ∈； 被8除余5，得85n l =+，l N ∈； 被7除余4，得74n m =+，m N ∈； 求得n 的最小值是53．【方法二】按此歌诀得算法如图， 则输出n 的结果为按程序框图知n 的初值为1229，代入循环结构得，即输出n 值为53． 【答案】B ．6．已知函数，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【解析】解：，将函数()f x 的图象向左平移m 个单位长度后，得到函数的图象，又所得到的图象关于y 轴对称，所以，即6m k ππ=+，k Z ∈，又0m >，所以当0k =时，m 最小为6π． 【答案】A ．7．已知命题p ：函数21()21x x f x -=+是定义在实数集上的奇函数；命题q ：直线0x =是13()g x x =的切线，则下列命题是真命题的是( ) A ．p q ∧B ．q ⌝C ．()p q ⌝∧D ．p ⌝【解析】解：，即()f x 是奇函数，故命题p 是真命题，函数的导数，当0x =时，()g x '不存在，此时切线为y 轴，即0x =，故命题q 是真命题，则p q ∧是真命题，其余为假命题， 【答案】A ．8．已知双曲线的渐近线与相切，则双曲线的离心率为(= )A ．2B C D 【解析】解：取双曲线的渐近线by x a=，即0bx ay -=． 双曲线22221(x y a b-= 0a >，0)b >的渐近线与相切，∴圆心(2,0)到渐近线的距离d r =， ∴1=，化为2b c =，两边平方得，化为2234c a =．∴c e a =【答案】D ．9．我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个1c 键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音c 的频率正好是中音c 的2倍．已知标准音1a 的频率为440Hz ，那么频率为的音名是( )A ．dB ．fC ．eD ．#d【解析】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比1122．故从g 起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为1122q -=由，解得7n =，频率为的音名是(#d )， 【答案】D ． 10．函数的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：当0x <时，，0x e >，所以()0f x >，故可排除B ，C ；当2x =时，f （2）230e =-<，故可排除D ． 【答案】A ．11．利用Excel 产生两组[0，1]之间的均匀随机数：(a rand = )，(b rand = )：若产生了2019个样本点(,)a b ，则落在曲线1y =、y =和0x =所围成的封闭图形内的样本点个数估计为( ) A ．673B ．505C ．1346D ．1515【解析】解：由曲线1y =、y =和0x =所围成的封闭图形的面积为，所以，则落在曲线1y =、y 0x =所围成的封闭图形内的样本点个数估计为，【答案】A ．12．已知点P 为直线:2l x =-上任意一点，过点P 作抛物线的两条切线，切点分别为1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，则12(x x = )A ．2B ．24pC ．2pD ．4【解析】解：不妨设(2,0)P -，过P 的切线方程设为(2)y k x =+， 代入抛物线方程得，又0k ≠，故124x x =．【答案】D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若整数x 、y 满足不等式组，则y z x =的最小值为 12． 【解析】解：整数x 、y 满足不等式组的可行域如图：三角形区域内的点(2,1)A 、(2,2)B 、(2,3)C 、(1,2)D ，AO 连线的斜率是最小值．则y z x =的最小值为：12． 故答案为：12．14．已知椭圆的焦点为1F 、2F ，以原点为圆心、椭圆的焦距为直径的O 与椭圆C 内切于点P ，则12PF F S= ．【解析】解：椭圆的焦点为1F 、2F ，以原点为圆心、椭圆的焦距为直径的O 与椭圆C内切于点P ， 可得1b c ==， 所以．故答案为：1．15．定义在R 上的函数()f x 满足，若，且(2)2gl n =-，则1()2g ln = ． 【解析】解：根据题意，，则，变形可得，，又由122ln ln =-，且，则，则；故答案为：4．16．已知O 是锐角ABC ∆的外接圆圆心，A 是最大角，若，则m 的取值范围为．【解析】解：由O 是锐角ABC ∆的外接圆圆心， 则点O 为三角形三边中垂线的交点， 由向量投影的几何意义有：，则， 所以则，由正弦定理得：，所以，所以2sin m A =， 又[3A π∈，)2π，所以m ∈2)，故答案为：，2)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在平面四边形ABCD 中，已知34ABC π∠=，AB AD ⊥，1AB =．（1）若AC ABC ∆的面积；（2）若，4AD =，求CD 的长．【解析】解：（1）在ABC ∆中，，，解得BC ，∴．（2），∴，∴在ABC∆中，，∴，，∴CD=18．在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人．现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，作检测成绩数据分析．（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；（2）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；（3）如果规定成绩不低于130分为特别优秀，现已知语文特别优秀占样本人数的5%，语文、数学两科都特别优秀的共有3人，依据以上样本数据，完成列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．参考公式：参考数据：【解析】解：（1）由于总体有明显差异的两部分构成，所以采用分层抽样法，由题意知，从示范性高中抽取（人)，从非示范性高中抽取（人)；（2）由频率分布直方图估算样本平均数为：，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分为92.4；（3）由题意知，语文特别优秀学生有5人，数学特别优秀的学生有（人)，且语文、数学两科都特别优秀的共有3人，填写列联表如下；计算，所以有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．19．已知点(0,2)P，点A，B分别为椭圆的左右顶点，直线BP交C于点Q，ABP∆是等腰直角三角形，且35PQ PB=．（1）求C的方程；（2）设过点P 的动直线l 与C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点．当MON ∠为直角时，求直线l 的斜率． 【解析】解：（1）由题意ABP ∆是等腰直角三角形，则2a =，(2,0)B ， 设点0(Q x ，0)y ，由35PQ PB =，则065x =，045y =，代入椭圆方程解得21b =，∴椭圆方程为2214x y +=．（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，令l 的方程为2y kx =+， 则1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 则22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得， ∴△，解得234k >， ，，当MON ∠为直角时，1OM ON k k =-，，则，解得24k =，即2k =±，故存在直线l 的斜率为2±，使得MON ∠为直角． 20．如图，在直三棱柱中，ABC ∆是等腰直角三角形，1AC BC ==，12AA =，点D 是侧棱1AA 的上一点．（1）证明：当点D 是1AA 的中点时，1DC ⊥平面BCD ； （2）若二面角1D BC C --，求AD 的长．【解析】解：（1）证明：由题意：BC AC ⊥且1BC CC ⊥，，BC ∴⊥平面11ACC A ，则1BC DC ⊥． 又D 是1AA 的中点，AC AD =，且90CDA ∠=︒，，同理．，则1DC DC ⊥，1DC ∴⊥平面BCD ；（2）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 设AD h =，则(1D ，0，)h ，(0B ，1，0)，1(0C ，0，2)．由条件易知CA ⊥平面1BC C ，故取(1m =，0，0)为平面1BC C 的法向量． 设平面1DBC 的法向量为(n x =，y ，)z ， 则n BD ⊥且1n BC ⊥，，，∴，取1z =，得．由，解得12h =，即12AD =．21．已知函数在0x x =处取得极小值1-．（1）求实数a 的值； （2）设，讨论函数()g x 的零点个数．【解析】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，，函数在0}x x =处取得极小值1-，∴，得01,1a x =-⎧⎨=⎩当1a =-时，()f x lnx '=，则(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '> ()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，1x ∴=时，函数()f x 取得极小值1-， 1a ∴=-（2）由（1）知，函数，定义域为(0,)+∞，，令()0g x '<，得0x <令()0g x '>，得x >()g x在上单调递减，在)+∞上单调递增，当x ()g x 取得最小值2eb -， 当02e b ->，即2eb >时，函数()g x 没有零点； 当02e b -=，即2eb =时，函数()g x 有一个零点；当02eb -<，即02e b <<时，g （e ）0b =>，g g ∴（e ）0<存在1x ∈)e ，使1()0g x =，()g x ∴在)e 上有一个零点1x设，则，当(0,1)x ∈时，()0h x '<，则()h x 在(0,1)上单调递减，()h x h ∴>（1）0=，即当(0,1)x ∈时，11lnx x>-， 当(0,1)x ∈时，，取{m x min b =，1}，则()0m g x >，，∴存在2(m x x ∈，，使得2()0g x =，()g x ∴在(m x 上有一个零点2x ，()g x ∴在(0,)+∞上有两个零点1x ，2x ，综上可得，当2eb >时，函数()g x 没有零点； 当2eb =时，函数()g x 有一个零点； 当02eb <<时时，函数()g x 有两个零点． 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足，点B 的轨迹为2C ．（1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）设点C 的极坐标为(2,)2π，求ABC ∆面积的最小值．【解析】解：（1）曲线1C 的参数方程为为参数），∴曲线1C 的普通方程为，∴曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=．设B 的极坐标为(,)ρθ，点A 的极坐标为0(ρ，0)θ， 则||OB ρ=，0||OA ρ=，002cos ρθ=，0θθ=，，08ρρ∴=，∴82cos θρ=，cos 4ρθ=，2C ∴的极坐标方程为cos 4ρθ=（2）由题意知||2OC =，，当0θ=时，S ABC 取得最小值为2． [选修4-5：不等式选讲]． 23．已知函数的最小值为t ．（1）求实数t 的值； （2）若，设0m >，0n >且满足，求证：．【解析】解：（1），显然，()f x 在(-∞，1]上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，（1）2=-，2t ∴=-， 证明（2），，由于0m >，0n >，且1122m n+=，，当且仅当22n mm n=，即当12n =，1m =时取“=”， 故。
2019年高考数学仿真押题试卷(十三)(含解析)
欢迎下载！1专题13 高考数学仿真押题试卷（十三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则(AB = )A ．{|2}x x -B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x <D ．{|2}x x【解析】解：{|1}A x x =>，；．【答案】C ．2．若复数z 满足(1)1z i i +=+，则||(z = ) A ．i -B ．1i -C ．2D．1【解析】解：由(1)1z i i +=+，得，z i ∴=-，则||1z =．【答案】D ．3．经统计，某市高三学生期末数学成绩，且，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是( )欢迎下载！2A ．0.35B ．0.65C ．0.7D ．0.85【解析】解：学生成绩X 服从正态分布2(85,)N σ，且，，∴从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是0.35．【答案】A ．4．若x ，y 满足约束条件101010x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩，则2z x y =+的最小值是( )A ．5-B ．4-C ．0D ．2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由2z x y =+得平移直线，由图象可知当直线经过点(2,1)A --时，直线2y x z =-+的截距最小， 此时z 最小．将(2,1)A --的坐标代入目标函数2z x y =+， 得4z =-．即2z x y =+的最小值为4-； 【答案】B ．5．某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球O的球面上，则球O的体积是( )A．82πB．43πC ．12πD．323π【解析】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2．把该三棱锥补形为正方体，则正方体对角线长为．∴该三棱柱外接球的半径为3．体积．【答案】B．6．将函数的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象的一个对称中心为()A．(12π，0)B．(4π，0)C．(3π，0)D．(2π，0)【解析】解：将函数的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为，令26x kππ-=，求得212kxππ=+，k Z∈，故函数的对称中心为(212kππ+，0)，k Z∈，【答案】A．欢迎下载！ 37．函数的图象在点(1，f（1）)处的切线在y轴上的截距为() A．e B．1 C．1-D．0【解析】解：由，得1 ()f xax'=+，则f'（1）1a=+，又f（1）a=，∴函数的图象在点(1，f（1）)处的切线方程为，取0x=，可得1y=-．∴函数的图象在点(1，f（1）)处的切线在y轴上的截距为1-．【答案】C．8．刘徽《九章算术商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为()A．3πB．3πC．3πD．4π【解析】解：由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球；由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1，∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1，欢迎下载！ 4欢迎下载！5∴长方体的对角线为3， ∴外接球的半径为3， ∴外接球的体积为．【答案】B ． 9．已知函数，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后关于y 轴对称，则下列结论中不正确的是( ) A ．56πϕ=B ．(,0)12π是()f x 图象的一个对称中心C ．()2f ϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴【解析】解：由题意可知56πϕ=， 故，．【答案】C ．10．已知5辆不同的白颜色和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有( ) A ．1880B ．1440C ．720D ．256【解析】解：由题意可知，白颜色汽车按3，2分为2组，先从5辆白色汽车选3辆全排列共有35A 种，欢迎下载！6再将剩余的2辆白色汽车全排列共有22A 种，再将这两个整体全排列，共有22A 种，排完后有3个空， 3辆不同的红颜色汽车抽空共有33A 种， 由分步计数原理得共有有种，【答案】B ．11．已知数列：依它的前10项的规律，这个数列的第2019项2019a 满足( )A ．2019110aB ．201910a >C ．20191010a <<D ．20191110a < 【解析】解：将此数列分组为12()(11，13)(21，22，14)(31，32，23，1)4⋯第n 组有n 个数，设数列的第2019项2019a 在第n 组中，由等差数列前n 项和公式可得：，解得：64n =，则前63组共，即2019a 在第64组的第3项，即，【答案】B ． 12．已知抛物线的焦点为F ，点0(M x ，22)是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =截得的弦长为3||MA ，若||2||MA AF =，则||(AF = ) A ．32B ．1C ．2D ．3【解析】解：如图，圆心M 到直线2p x =的距离0||2pd x =-，⋯① 圆M 的半径||r MA =，，⇒221||4d MA =，⋯② ||2||MA AF =，③由①②③可得0x p =，或04p x =，欢迎下载！7，2p ∴=或4．∴022p x =⎧⎨=⎩或041p x =⎧⎨=⎩，．【答案】B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，点F 是CD 的中点，记BE a =，AC b =，用a ，b 表示AB ，则AB = 2133a b -+ ．【解析】解：由图可知：，①，②联立①②解得：，【答案】2133a b -+．14．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽⋯⋯，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组来表示，设(,)x y是阴影中任意一点，则2z x y=+的最大值为15+．【解析】解：由题意可知：2z x y=+与相切时，切点在上方时取得最大值，如图：可得：22121+，解得，2z x y=+的最大值为：15+．【答案】15+．15．已知，1C与2C相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则12r r为7225．【解析】解：设两圆的公切线为7y x t=+，即70x y t-+=，已知圆心1(2,2)C，2(1,1)C--，设1C，2C到公切线的距离为1d，2d，欢迎下载！8可得，，由于公切线在两圆的同侧，，即|3|15t+=，可得12t=或18-，当12t=时，；当18t=-时，1272 25r r=．综上可得127225r r=．【答案】7225．16．在各项均为正数的等比数列{}na中，318a a-=，当4a取最小值时，则数列{}2n na的前n项和为．【解析】解：各项均为正数的等比数列{}na中，首项为1a，公比设为(0)q q>，由318a a-=，即2118a q a-=，(0q>且1)q≠，整理得1281aq=-，所以，令，可得，当03q<<时，()0f q'>，()f q递增；当3q>时，()0f q'<，()f q递减，可得3q=时，()f q取得极大值，且为最大值，则，数列{}2n na的前n项和为，欢迎下载！9欢迎下载！10，两式相减可得，化简可得． 【答案】．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a n =-． （1）求证{1}n a +为等比数列；（2）数列{}n b 满足，求{}n b 的前n 项和n T ．【解析】（1）证明：由2n n S a n =-．2n 时，，化为：，1n =时，1121a a =-，解得11a =． 112a ∴+=．{1}n a ∴+为等比数列，首项为2，公比为2．（2）解：由（1）可得：12n n a +=．，{}n b ∴的前n 项和， ，相减可得：，整理为：．18．某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元)7 89 1112 13销量()y kg120 118 112 110 108 104（1）已知销量与单价之间存在线性相关关系求y关于x的线性回归方程；（2）若在表格中的6种单价中任选3种单价作进一步分析，求销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的分布列和期望．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，ˆˆa y bx=-．【解析】解：（1），．，．y∴关于x的线性回归方程为；（2）6种单价中销售量在[110，118]内的单价种数有3种．∴销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的取值为0，1，2，3，，，，．ξ∴的分布列为：ξ 0 1 2 3欢迎下载！11P120920920120期望为．19．如图四棱锥P ABCD-中，平面PAD⊥平面ABCD，PA BC⊥，BC CD⊥，4AB=，2BC CD==，AD BD=．（1）求证：平面PBD⊥平面PAD；（2）若AB与平面PBD所成的角的正弦值为22，求二面角C PB D--的余弦值．【解析】证明：（1）BC CD⊥，4AB=，2BC CD==，AD BD=．，，AD BD∴⊥，四棱锥P ABCD-中，平面PAD⊥平面ABCD，PA BC⊥，BC CD⊥，BC∴⊥平面PAB，BC⊂平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⋂平面PAB PA=，PA∴⊥平面ABCD，PA BD∴⊥，，BD∴⊥平面PAD，BD⊂平面PAD，∴平面PBD⊥平面PAD．解：（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设AP a=，则(0A，4，0)，(0B，0，0)，(0P，4，)a，(1D，1，0)，(0BA=，4，0)，(0BP=，4，)a，(1BD=，1，0)，设平面PBD的法向量(n x=，y，)z，欢迎下载！12欢迎下载！13则，取1x =，得(1n =，1-，4)a，AB与平面PBD所成的角的正弦值为22， ，解得82a =，∴(1n =，1-，32)， (1BC =，0，0)，(0BP =，4，82)， 设平面PBC 的法向量(m x =，y ，)z ，则，取3z =，得(0m =，22-，3)，设二面角C PB D --的平面角为θ，则． ∴二面角C PB D --的余弦值为17．20．已知椭圆上的动点P 到其左焦点的距离的最小值为1，且离心率为12． （1）求椭圆的方程；欢迎下载！14（2）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，Q 是椭圆C 的左顶点，若，试证明直线l 经过不同于点Q 的定点．【解析】（1）解：由已知可得，222112a c c a a bc -=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a =，3b =，∴椭圆的方程22143x y +=；（2）证明：由，得QA QB ⊥，设直线AB 方程为y kx m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得．△．，．由题意，(2,0)Q -，则，，由QA QB ⊥，得，∴，即，，即72m k =-或2m k =-．当72m k =-时，满足△0>，此时直线方程为：，过定点2(,0)7；当2m k =-时，满足△0>，此时直线方程为：，过定点(2,0)，不合题意．综上，直线l 经过不同于点Q 的定点2(,0)7．21．已知函数，a R∈．（1）当0a=时，求()f x在点(1，f（1）)处的切线方程；（2）当0x>时，()f x是否存在两个极值点，若存在，求实数a的最小整数值；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）函数导数，当0a=时，，f（1）1 2=，，f'（1）1e=+，即在点1(1,)2处的切线斜率1k e=+，则对应的切线方程为即．（2）当0x>时，若()f x存在两个极值点，则()0f x'=有两个不同的解，即，有两个根，即1xe ax+=有两个不同的根，设()1xh x e=+，()xh x e'=，设切点(,1)mm e+，则()mh m e'=，即过原点的切线方程为，即当0x=，0y=时，，设，则，即()g m在(0,)+∞上为减函数，g（1）10=>，g（2），∴当(1,2)m∈时，()0g m=，即当ma e>时，1xy e=+和y ax=有两个交点，欢迎下载！15欢迎下载！16(1,2)m ∈，2(,)m e e e ∴∈，∴当3a =时，3y x =与()h x 没有交点，当4a =时，3y x =与()h x 有两个交点，即当0x >时，()f x 是存在两个极值点，此时最小的a 的整数值为4(二)选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的参数方程为为参数），曲线2C 的极坐标方程为．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若点P 、Q 分别为曲线1C 及曲线2C 上任意一点，求||PQ 的最小值及此时P 的坐标．【解析】解：（1）因为，∴，①2+②2得2213xy +=，即1C 的普通方程为2213x y +=，曲线2C 的极坐标方程为，，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得2C 的直角坐标方程为：150x y +-=．（2）设直线l 与2C 平行，且与曲线1C 相切，设l 方程为0x y C ++=，联立l 与1C 的方程消去欢迎下载！17y 得：，③因为l 与曲线1C 相切，故△，解得：2C =，或2c =．2C 的方程为：150x y +-=∴当2C =-时，设切点为P ，过P 作2C 的垂线，垂足为Q ，则此时||PQ 最小，且此时，||PQ 值等于l 与2C 的距离，．将2C =-代入③得，32x =，．即P点坐标为3(2，1)2．综上，点P 、Q 分别为曲线1C 及曲线2C 上任意一点，则||PQ 的最小值为132，此时P 点坐标为3(2，1)2． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数．（1）当1a =时，求不等式()f x x -的解集； （2）若2()1f x a +恒成立，求a 的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）1a =时，，即，不等式()f x x -即为23x x -⎧⎨-⎩或或13x x ⎧⎨--⎩，即有3x -或11x -<或13x ， 则为3x -或13x -，所以不等式的解集为{|3x x -或13}x -； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数()f x 的值域为[3-，3]，欢迎下载！18若2()1f x a +恒成立，则，即231a +，解得2a或2a -．∴实数a 的取值范围是(-∞，2][2-，)+∞．。
2019年高考数学(浙江专版)精选模拟卷4含答案(详细解析版)
押题卷 4
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．【2019 年 1 月浙江省普通高中学业水平仿真】全集 U={1，2，3，4，5，6}，集合 A={1，2，5}，集合 B={3，
【答案】C
【解析】
由已知条件每位市民使用移动支付的概率都为 p，看做是独立重复事件，
满足 X～B（10，p），
=6,
则 p=0.6
故选：C
8．【浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019 届高三第一次联考】已知三棱锥
的所有棱长为 是底
面
内部一个动点 包括边界 ，且 到三个侧面 ， ， 的距离 ， ， 成单调递增的等差数
4，5}，则（∁UA）∩B 等于 A．{4} B．{3，4} C．{2，3，4}
D．{3}
【答案】B
2．【浙江省温州九校 2019 届高三第一次联考】双曲线
A．
B．
【答案】C
【解析】
C．
D．
，则双曲线 的焦点坐标为（ ）
由方程 则 c2=a2+b2=25，即
表示双曲线，焦点坐标在 y 轴上，可知， ，
故双曲线的焦点坐标为：
，
故选：C．
3．【浙江省“七彩阳光”联盟 2019 届高三期初联考】i 是虚数单位，复数 满足 （）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，则 为
，则 故选 4．【湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019 届高三上期末】“斗拱”是 中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体.在立柱顶、额枋和 檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱，拱与拱之间垫 的方形木块叫斗.如图所示， 是“散斗”（又名“三才升”）的三视图，则它的体积为（ ）
2024年高考数学临考押题卷01(全解全析)(新高考通用)
2024年高考数学临考押题卷01（新高考通用）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若2i23ia +-为纯虚数，R a ∈，则=a （）A ．3B ．4C ．-3D ．-4【答案】A【分析】由复数除法运算化简复数，结合复数是纯虚数列方程解出参数a 即可.【详解】因为()()()2i 23i 2634i2i 23i 1313a a a a ++-+++==-为纯虚数，所以260340a a -=⎧⎨+≠⎩，解得3a =.故选：A.2．已知平面向量()1,3a x x =--- ，()1,2b x =+ ，4a b ⋅=- ，则2a b + 与b 的夹角为（）A ．π3B ．π4C ．2π3D ．3π4【答案】B【分析】根据题意，由平面向量数量积的坐标运算可得=1x -，再由平面向量的夹角公式代入计算，即可得到结果.【详解】()()()()41123412,2a b x x x x a ⋅=-⇒-+-+=-⇒=-⇒=- ，()()0,222,2b a b =⇒+=，(2)cos2,|2|||a b ba b ba b b+⋅∴〈+〉==+r rrr rrr rr2,[0,π]a b b〈+〉∈r rrQ，.π2,4a b b∴+=．故选：B3．甲、乙、丙、丁4人参加活动，4人坐在一排有12个空位的座位上，根据要求，任意两人之间需间隔至少两个空位，则不同的就座方法共有（）A．120种B．240种C．360种D．480种【答案】C【分析】先假设每个人坐一个位置相当于去掉4个位置，再将4个人中间任意两个人之间放入2个空位，此时空位一共还剩2个，再将这两个空位分一起和分开插入4人之间和两侧空位，即可得解.【详解】先假设每个人坐一个位置相当于去掉4个位置，再将4个人中间任意两个人之间放入2个空位，此时空位一共还剩2个，若将这两个空位连在一起插入4人之间和两侧空位，有5种放法；若将这两个空位分开插入4人之间和两侧空位，有2522A10A=种放法，故不同的就座方法共有()44A510360⨯+=种.故选：C.4．已知点()4,4M在抛物线C：22y px=（0p>）上，F为C的焦点，直线MF与C的准线相交于点N，则NF=（）A．203B．103C．152D．154【答案】B【分析】代点计算可得抛物线方程，即可得焦点纵坐标与准线方程，即可得直线MF的方程，求出两直线交点，即可得N点坐标，结合两点距离公式即可得解.【详解】由()4,4M，有1624p=⨯，即2p=，即抛物线C：24y x=，则()1,0F，准线方程为：=1x-，故()4:141MFl y x=--，整理得44:33MFl y x=-，令=1x -，则448333y =--=-，即81,3N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则103NF ==.故选：B.5．已知ABC 的内角, , A B C 的对边分别为, , ,a b c 若面积()22,3a b c S +-=则sin C =（）A ．2425B ．45C ．35D ．725【答案】A【分析】先利用余弦定理的变形：2222cos a b c ab C +-=，结合三角形的面积公式in 12s S ab C =，可把条件转化为：4cos 43sin C C +=，再根据同角三角函数的基本关系和三角形中sin 0C >，可求得sin C .【详解】因为in 12s S ab C =，所以()221sin 23a b c ab C +-=22223a b c ab +-+=，又由2222cos c a b ab C =+-⇒2222cos a b c ab C +-=，所以12cos 2sin 23ab C abab C +=⇒4cos 43sin C C +=.所以4cos 3sin 4C C =-⇒()()224cos 3sin 4C C =-⇒2216cos 9sin 24sin 16C C C =-+⇒()22161sin 9sin 24sin 16C C C -=-+所以225sin 24sin 0C C -=，又因为在ABC 中，sin 0C ≠，所以24sin 25C =.故选：A6．某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为32.25g/m ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为32.21g/m ，第n 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量n r 满足函数模型0.25010()3n tn r r r r +=+-⋅（t ∈R ，*n ∈N ），其中0r 为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，1r 为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n 为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过30.65g/m 时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（）（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）A ．12B ．13C ．14D ．15【分析】由题意，根据指数幂和对数运算的性质可得0.25(1)2.250.043n n r -=-⨯，由0.65n r ≤，解不等式即可求解.【详解】由题意知30 2.25g/m r =，31 2.21g/m r =，当1n =时，0.251010()3t r r r r +=+-⨯，故0.2531t +=，解得0.25t =-，所以0.25(1)2.250.043n n r -=-⨯．由0.65n r ≤，得0.25(1)340n -≥，即lg 400.25(1)lg 3n -≥，得4(12lg 2)114.33lg 3n +≥+≈，又*n ∈N ，所以15n ≥，故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次．故选：D7．记数列{}n a 的前n 项积为n T ，设甲：{}n a 为等比数列，乙：2n n T ⎧⎫⎨⎩⎭为等比数列，则（）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用等比数列通项公式、等比数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解.【详解】若{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则11n n a a q -=，(1)12(1)211n n n n n n T a q a q-+++-== ，于是(1)12()22n n n n n T a q -=，(1)111211(1)12()222()22n n n n n n n n n n n T a qa q T a q ++++-==⋅，当1q ≠时，12n a q ⋅不是常数，此时数列2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等比数列，则甲不是乙的充分条件；若2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，令首项为1b ，公比为p ，则112n n n T b p -=，112(2)n n T b p -=⋅，于是当2n ≥时，112112(2)22(2)n n n n n T b p a p T b p ---⋅===⋅，而1112a T b ==，当1b p ≠时，{}n a 不是等比数列，即甲不是乙的必要条件，所以甲是乙的既不充分也不必要条件.8．设202310121011a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，202510131012b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列关系正确的是（）A ．2e a b <<B ．2e b a<<C ．2e a b <<D ．2e b a <<【答案】B【分析】由题意可得10121ln 2023ln(210111)ln(1)10111011a ==⨯++、10131ln 2025ln(210121)ln(1)10121012b ==⨯++，构造函数1()(21)ln(1)(21)[ln(1)ln ](1)f x x x x x x x=++=++->、2()ln(1)(0)2xh x x x x =+->+，利用导数讨论两个函数的单调性可得a b >、2e b >，即可求解.【详解】10121ln 2023ln(210111)ln(1)10111011a ==⨯++，10131ln 2025ln(210121)ln(1)10121012b ==⨯++，设函数1()(21)ln(1)(21)[ln(1)ln ](1)f x x x x x x x=++=++->，则2111121()2ln(1)2ln (21)()2ln(1)()111f x x x x x x x x x x'=+-++-=+-⋅+++，设22()2ln(1)(01)1x xg x x x x+=+-<<+，则22()0(1)x g x x '=-<+，所以()g x 在(0,1)上单调递减，且()(0)0g x g <=，即()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上单调递减，则(1011)(1012)f f >，即ln ln a b >，所以a b >.设2()ln(1)(0)2x h x x x x =+->+，则22214()01(1)(1)(2)x h x x x x x '=-=>++++，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，且1()(0)0h h x>=，即21(21)ln(1)2112()2ln(1)ln(1)012121212x f x xx x x x x x x++--+-=+-==>++++，得()2f x >，所以(1012)2f >，即ln 2b >，解得2e b >.综上，2e b a <<.故选：B【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。
2023-2024学年全国甲卷高考数学(理)押题模拟试题(含答案)
2023-2024学年全国甲卷高考数学（理）押题模拟试题第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A．14B．74．某公司对2022年的营收额进行了统计，并绘制扇形统计图如图所示，在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约（）A．该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为B．该公司在华东地区的营收额比西南地区､东北地区及湖北省的营收额之和还多C．该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的三倍还多D．该公司2022年营收总额约为30800万元．．C ．．．数列{}n a 中，log 2)(N )n a n n *=+∈，定义：使12k a a a ⋅⋅⋅ 为整数的数k (N )k *∈叫做期盼数，则区间[1,2023]内的所有期盼数的和等于（2023B 2024C ．2025D ．．已知0w >，函数(π3sin 24f wx ⎛⎫+- ⎪⎝⎭在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则的取值范围是（）A ．//BD 平面11CB DC ．1D C 与1AC 共面11．若存在[)1,x ∞∈+，使得关于AB=B．四边形A．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a ，b 满足个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，计分．[选修4-4：坐标系与参数方程][选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()2f x x =-+a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．设ABI θ∠=，则BAI ∠在ABI △中，由正弦定理得，π因为,H F 分别是11,DD CC 的中点，所以//HF AB ，且=HF AB ，（1分）（2）①设(4,)(0)P t t ≠，则PA k 联立方程226234120x y t x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩，得21．【详解】（1）由题意，(f 所以ln 3ax x+=有两个不相等正根，即记函数()3ln h x x x x =-，则h 令()0h x '=，得2e x =，令(h x '要使3ln a x x x =-有两个不相等正根，则函数由图知20e a <<，故实数a 的取值范围（2）函数()f x 定义域为()(0,,f '+∞当0a ≤时，()0f x ¢>，()f x 在(0,+当0a >时，若0x a <<时，()0f x '<计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【详解】（1）当0x ≤时，()2342f x x x x =--=-+，解()10f x ≥，即4210x -+≥，解得2x ≤-；当02x <≤时，()2322f x x x x =-+=+，解()10f x ≥，即2210x +≥，解得4x ≥，无解；当2x >时，()2342f x x x x =-+=-，解()10f x ≥，即4210x -≥，解得3x ≥.（4分）综上所述，不等式()10f x ≥的解集为(][),23,-∞-+∞ .（5分）（2）由（1）可知，()24,022,0242,2x x f x x x x x -≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩.当0x ≤时，()422f x x =-+≥；当02x <≤时，()222f x x =+>；当2x >时，()426f x x =->，（7分）所以函数()f x 的最小值为2，所以2m =，所以2a b c ++=.（8分）由柯西不等式可得，()()()()222222231114a b c a b c a b c ++=++++≥++=，（9分）当且仅当23a b c ===时，等号成立.所以()22234a b c ++≥，所以22243a b c ++≥。
2024年新高考数学押题密卷(一)(原卷版)
2024年新高考数学押题密卷（一）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}1,2,3,4,6U =，{}1,2A =，{}2,4,6B =，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}1,2,4,6B ．{}1,2,3C ．{}1D ．{}1,2,3,62．已知两条不同的直线,m n ，,,αβγ表示三个不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．//,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒，B ．αγβγα⊥⊥⇒，与β平行或相交C ．//,//,//m n m n αβαβ⊥⇒D ．,,////m n m n αββγαβ⋂=⋂=⇒3．已知一组数据：12，16，22，24，25，31，33，35，45，若去掉12和45，将剩下的数据与原数据相比，则（）A ．极差不变B ．平均数不变C ．方差不变D ．上四分位数不变4．设圆()()22:2136C x y -+-=和不过第三象限的直线:l 430x y a +-=，若圆C 上恰有三点到直线l 的距离为3，则实数=a （）A ．2B ．4C ．26D ．415．在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W （单位：平方米）的计算公式是()()44W =+⨯+长宽，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（）A ．10000B ．10480C ．10816D ．108186．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，则能使同时满足条件π,66A b ==的三角形不唯一的a 的取值范围是（）A ．()36,B ．()3,+∞C ．()0,6D ．()0,37．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：()222210x y a b a b-=>>的右焦点为)F，P 为C 上一点，以OP 为直径的圆与C 的两条渐近线相交于异于点O 的M ，N 两点.若65PM PN ⋅=，则C 的离心率为（）AB C ．32D 8．定义{}{},,max ,,min ,,,a a b b a ba b a b b a b a a b≥≥⎧⎧==⎨⎨<<⎩⎩，对于任意实数0,0x y >>，则2211min max 2,3,49x y x y ⎧⎫⎧⎫+⎨⎨⎬⎬⎩⎭⎩⎭的值是（）AB C D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设α，β是关于x 的方程220x px q ++=的两根，其中p ，R q ∈.若2i 3(i α=-为虚数单位)，则（）A ．2i 3β=+B ．38p q +=C ．6αβ+=-D ．αβ+=10．已知函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>），则下列说法正确的是（）A ．若1ω=，则5π,06⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的图像的对称中心B ．若()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则ω的最小值为2C ．若()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则203ω<≤D ．若()f x 在[]0,2π上恰有2个零点，则11171212ω≤≤11．设()f x 是定义在R 上的可导函数，其导数为()g x ，若()31f x +是奇函数，且对于任意的x ∈R ，()()4f x f x -=，则对于任意的k ∈Z ，下列说法正确的是（）A ．4k 都是()g x 的周期B ．曲线()y g x =关于点()2,0k 对称C ．曲线()y g x =关于直线21x k =+对称D ．()4g x k +都是偶函数第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
押题预测卷01-决胜2024年高考数学押题预测模拟卷(新高考九省联考题型)含答案
决胜2024年高考数学押题预测卷01数 学（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知1i z =+，则1z z =+（ ）A. 13i 55- B. 1355i + C. 31i 55- D. 31i55+2．已知向量()2,3a =r，()1,b x =-r ，则“()()a b a b +^-r r r r ”是“x =的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3．已知集合{}2log 1A x x =£，{}2,2x B y y x ==£，则（ ）A. A B BÈ= B. A B AÈ= C. A B B=I D.R B C A R=È)(4．从正方体八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（ ）A. 每个面都是等边三角形B. 每个面都是直角三角形C. 有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形D. 有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形5．已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()fx 的最小值为（ ）A. eB. C. D. 2e6．已知反比例函数ky x=（0k ¹）的图象是双曲线，其两条渐近线为x 轴和y 轴，两条渐近线的夹角为π2，将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线y x =±.已知函数1y x x =+的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线y =和y 轴，则该双曲线的离心率是（ ）B. 的7．已知2sin sin a b -=2cos cos 1a b -=，则()cos 22a b -=（ ）A. 18-C. 14D. 78-8．已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x ¢，若函数()31f x +和()2f x ¢+均为偶函数，且()28f ¢=-，则()20231i f i =¢å的值为（ ）A. 0B. 8C. 8- D. 4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()sin()(0,0π)f x x w j w j =+><<的最小正周期为π，且函数()f x 的图象关于直线π12x =-对称，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的图象关于点2π,03æöç÷èø对称B. 函数()f x 在区间5π0,12æöç÷èø内单调递增C. 函数()f x 在区间ππ,42æö-ç÷èø内有恰有两个零点D. 函数()f x 的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数()cos 2g x x =的图象10．已知A 、B 是椭圆22132x y =＋的左、右顶点，P 是直线x =上的动点（不在x 轴上），AP 交椭圆于点M ，BM 与OP 交于点NA. 23PA PB k k ×= B. 若点(P ，则:12AOM POM S S △△＝C. OP OM ×uuu r uuuu r是常数 D. 点N 在一个定圆上11．已知四棱锥P -ABCD 是正方形，PA ^平面ABCD ，1AD =，PC 与底面ABCD ，点M 为平面ABCD 内一点，且(01)AM AD l l =<<，点N 为平面PAB 内一点，NC =，下列说法正确的是（ ）A. 存在l 使得直线PB 与AM 所成角为π6B. PAB ^平面PBMC. 若l =，则以P 为球心，PM 为半径的球面与四棱锥P ABCD -各面的交线长为D. 三棱锥N ACD -三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其60%分位数为___________.13.如图，“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形生成的.将等边三角形每条边三等分，以每条边三等分的中间部分为边向外作正三角形，再将每条边的中间部分去掉，这称为“一次分形”；再用同样的方法将所得图形中的每条线段重复上述操作，这称为“二次分形”；L .依次进行“n 次分形”（*N n Î）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.若将边长为1的正三角形“n 次分形”后所得分形图的长度不小于120，则n 的最小值是______.（参考数据：lg 20.3010»，lg30.4771»）14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:4O x y +=，若正方形ABCD 的一边AB 为圆O 的一条弦，则||OC 的最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数2()e ()x f x x ax a =--．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求实数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间．16.生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；（2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人.记X 为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为1x ，2x ，3x ，4x ，其方差为21s ；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为1y ，2y ，3y ，4y ，其方差为22s ；1x ，2x ，3x ，4x ，1y ，2y ，3y ，4y 的方差为23s .写出21s ，22s ，23s 的大小关系.（结论不要求证明）17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，//AD BC ，AB BC ^．点M 在棱PB 上，2PM MB =，点N 在棱PC 上，223PA AB AD BC ====．（1）若2CN NP =，Q 为PD 的中点，求证：//NQ 平面PAB ；（2）若直线PA 与平面AMN 所成角的正弦值为23，求PN PC 的值．18．已知抛物线C ：22y px =（05p <<）上一点M 的纵坐标为3，点M 到焦点距离为5.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点()1,0作直线交C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线1l 与2l ，1l 与2l 相交于点D ，过点A 作直线3l 垂直于1l ，过点B 作直线4l 垂直于2l ，3l 与4l 相交于点E ，1l 、2l 、3l 、4l 分别与x 轴交于点P 、Q 、R 、S .记DPQ V 、DAB V 、ABE V 、ERS △的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S .若12344S S S S =，求直线AB 的方程.19．给定正整数3N ³，已知项数为m 且无重复项的数对序列A ：()()()1122,,,,,,m m x y x y x y ×××满足如下三个性质：①{},1,2,,i i x y N Î×××，且()1,2,,i i x y i m ¹=×××；②()11,2,,1i i x y i m +==×××-；③(),p q 与(),q p 不同时在数对序列A 中.（1）当3N =，3m =时，写出所有满足11x =的数对序列A ；（2）当6N =时，证明：13m £；（3）当N 为奇数时，记m 的最大值为()T N ，求()T N .决胜2024年高考数学押题预测卷01数 学（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2024年新高考数学押题试卷2(含解析答案)
2024年新高考数学押题试卷（二）注意事项：1．答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动、先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i ⋅z =5-2i ，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．设 的取值范围为（）A ={x ∈-2<x <3}，Z B ={x 4x -a ≥0}，且A B ={12}，则，a A ．(0,1]C ．(0,4B ．(0,1)]D ．(0,4) 3．为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学四年级100名学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，绘制如下频率分布直方图.根据此图，下列结论中错误的是（）A ．x =0.015B ．估计该小学四年级学生的一分钟跳绳的平均次数超过125C ．估计该小学四年级学生的一分钟跳绳次数的中位数约为119D ．四年级学生一分钟跳绳超过125次以上优秀，则估计该小学四年级优秀率为35%ππ24．若α∈4⎫⎛-,- ⎪⎝⎭3π12，且cos 2α+cos 2⎛+2α⎫=- ⎪⎝，则tan α=（⎭）C ．-B ．-A ．23D ．-5．设，为双曲线C ：的左、右焦点，Q 为双曲线右支上一点，点P （0，2）．当1F 2F 2213xy -=1QF PQ+取最小值时，的值为（ ） 2QFA B CD22+6．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．153103256257．对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的.若这样{}n a M n n a M ≤{}n a 的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，下列结论正确的是（ ） M {}n a {}n a n n S A ．若，则数列是无界的 B ．若，则数列是有界的 1n a n={}n a sin n a n n ={}n a C ．若，则数列是有界的D ．若，则数列是有界的 ()1nn a =-{}n S 212n a n =+{}n S8．如图，中，，为的中点，将沿折叠成三棱锥ABC A 90BAC ∠=︒AB AC ==D BC ABC A AD ，则当该三棱锥体积最大时它的外接球的表面积为（ ）A BCD -A ．B ．C ．D ．π2π3π4π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
最新高考押题预测密卷数学试题 全国通用有答案 (3)
第6题图俯视图保密★启用前 试卷类型：A最新高考押题预测密卷数学试题第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}ln A x y x =|=，集合{}2,1,1,2B =--，则A B =A.(1,2)B.{}1,2C.{}1,2--D.(0,)+∞2.若(4i)i i a b +=+其中,a b ∈R ，i 是虚数单位，则a b - = A.3B.5C.3-D.5-3.设0.32a =，20.3b =，2log (0.3)(1)x c x x =+>，则,,a b c 的大小关系是 A.a b c << B.b a c << C.c b a << D.b c a <<4.不等式2311x x +≥-的解集是 A.[4,)-+∞ B.(4,)-+∞ C.[4,1)- D.(,4](1,)-∞-+∞5.“1a =”是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件6.一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形， 该四棱锥的体积等于B.C.D.7.袋中有4个形状大小一样的球，编号分别为1,2,3,4，从中任取2个球，则这2个球的编 号之和为偶数的概率为 A.16 B.23 C.12 D.138.已知等比数列}{n a 满足：354321=++++a a a a a ，122524232221=++++a a a a a ，A则54321a a a a a +-+-的值是A.2B.9C.4D.149.设函数3()f x x =+sin x ，若02θπ≤≤时, (cos )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数 m 的取值范围是A.(0,1)B.(,0)-∞C.1(,)2-∞ D.(,1)-∞10.当n *∈N 且2n ≥时，24112225n p q -++++=+(其中p 、q 为非负整数，且05q ≤≤，则q 的值为 A.0 B.1 C.3 D.与n 有关第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.将正确答案填在答题卷上对应题号 的横线上.11.若下框图所给的程序运行结果为20S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是 .12.函数()37ln f x x x =-+的零点位于区间(,1)()n n n +∈N ，则n = . 13.已知锐角三角形的边长分别为2、4、x ，试求x 的取值范围 . 14.对于函数321()(2)3f x x ax a x b =-+-+，若()f x 有六个不同的单调区间，则a 的取值范围为 .15.（文科做②；理科从①②两小题中任意选作一题） ①（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线π()6θρ=∈R 截圆π2cos()6ρθ=- 的弦长是 .②(不等式选做题)关于x 的不等式|||1|1x a x ---≤在R 上恒成立（a 为常数），则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16.(本大题满分12分)在ABC ∆中，已知45ABC ∠=，AB =，D 是BC 边上的一点，5,3AD DC ==，求AC 的长.17. (本大题满分12分)A 、B 两个口袋，A 袋中有6张卡片，其中1张写0，2张写1，3张写有2；B 袋中7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2，从A 袋中取1张卡片，B 袋中取2张卡片，共3张卡片， 求：（1）取出的3张卡片都写0的概率； （2）取出的3张卡片数字之积是4的概率； （3）取出的3张卡片数字之积的数字期望.18.(本大题满分12分)如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点．（1）求证：//AF 平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；（3）求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值．19.(本大题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)n n S a λλ=+-，其中λ是不等于1-和0的常数.ABCDEF（1）证明：数列{}n a 是等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f λ=，数列{}n b 满足111,()3n n b b f b -==（n *∈N ，且2n ≥），求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T . 20.(本大题满分13分)已知函数()sin f x ax b x =+，当3x π=时，()f x 取得极小值3π. （1）求,a b 的值；（2）设直线:()l y g x =，曲线:()S y f x =.若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件： ①直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点；②对任意x ∈R 都有()()g x f x ≥.则称直线l 为曲线S 的“上夹线”.试证明：直线:2l y x =+为曲线:sin S y ax b x =+“上夹线”.21.(本大题满分14分)一直线过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且交抛物线于,A B 两点，C 为抛物线准线的一点（1）求证：ACB ∠不可能是钝角；（2）是否存在这样的点C ，使得ABC ∆为正三角形？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题：1～5. BBBDA ； 6～10. ADCDA. 二、填空题：11.8k >； 12.2; 13.1t ≤<； 14.(1,2)； 15. ①2；②[]0,2. 三、解答题：16.解：在ABD ∆中，由正弦定理得sin 22sin 5AB B ADB AD ∠∠===∴3ADB π∠=或23π，①若3ADB π∠=，则23ADC π∠=，ADC ∆中，由余弦定理得222cos 49AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=2 ∴7AC =，②若23ADB π∠=，则3ADC π∠=，ADC ∆中，由余弦定理得222cos 19,AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=2∴AC =17.（文科）（1）每颗骰子出现的点数都有6种情况，∴基本事件总数为3666=⨯个.记“点),(y x P 在直线1-=x y 上”为事件A ，A 有5个基本事件：)}5,6(),4,5(),3,4(),2,3(),1,2{(=A ， .365)(=∴A P（2）记“点),(y x P 满足x y 42<”为事件B ，则事件B 有17个基本事件: 当1=x 时，;1=y 当2=x 时，2,1=y ；当3=x 时，3,2,1=y ；当4=x 时，;3,2,1=y 当5=x 时，4,3,2,1=y ；当6=x 时，4,3,2,1=y ．.3617)(=∴B PF HG EMDCBA（理科）解：（1）设事件A 表示：“取出的3张卡片都写0”2427C 11()6C 21P A =⋅=（2）设事件B 表示：“取出的3张卡片数字之积是4”2112122277C C C 234()6C 6C 63P B =⋅+⋅=（3）设取出的3张卡片数字之积为随机变量ξ，则ξ可取0，2，4，82327C 1537(0)(1)66C 42P ξ==+⋅-=； 111227C C 22(2)6C 63P ξ==⋅= 11121222C C C 234(4)6C 6C 63P ξ==⋅+⋅=； 222C 31(8)6C 42P ξ==⋅= 24863634263E ξ=⋅+⋅+⋅=18.解（1） 证法一：取CE 的中点G ，连FG BG 、．∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且12GF DE =． ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴//AB DE ，∴//GF AB ．又12AB DE =，∴GF AB =．∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG ． ∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴//AF 平面BCE ．证法二：取DE 的中点M ，连AM FM 、． ∵F 为CD 的中点，∴//FM CE ．∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴//DE AB ． 又12AB DE ME ==， ∴四边形ABEM 为平行四边形，则//AM BE ． ∵FM AM ⊄、平面BCE ，CE BE ⊂、平面BCE ， ∴//FM 平面BCE ，//AM 平面BCE ． 又FMAM M =，∴平面//AFM 平面BCE ．∵AF ⊂平面AFM ，∴//AF 平面BCE ．（2）证：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥． ∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE AF ⊥． 又CDDE D =，故AF ⊥平面CDE ．∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE ． ∵BG ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE ．（3）平面CDE 内，过F 作FH CE ⊥于H ，连BH ∵平面BCE ⊥平面CDE ，∴FH ⊥平面BCE ∴FBH ∠为BF 和平面BCE 所成的角设22AD DE AB a ===，则2sin 45FH CF==2BF a ==，Rt FHB ∆中，sin FH FBH BF ∠==∴直线BF 和平面BCF 19.（1）证明：∵(1)n n S a λλ=+-∴11(1)(2)n n S a n λλ--=+-≥∴1n n n a a a λλ-=-+，即1(1)n n a a λλ-+= 又1λ≠-且0λ≠，∴11n n a a λλ-=+ 又11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，1λλ+为公比的等比数列.（2）解：由（1）知：()1q f λλλ==+∴111()(2)1n n n n b b f b n b ---==≥+故有1111111n n n n b b b b ---+==+，∴1111(2)n n n b b --=≥∴数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，1为公差的等差数列， ∴2(1)53()22n n n n nT n n *-+=+=∈N20.解：（1）∵()sin f x ax b x =+，∴()cos f x a b x '=+而由已知得：10233a b a ⎧+=⎪⎪⎨ππ⎪⋅+=-⎪⎩∴1,2a b ==-此时()2sin f x x x =-，∴()12cos f x x '=-，当(0,)3x π∈时，()0f x '<，当(,)32x ππ∈时，()0f x '>∴当3x π=时，()f x取得极小值3π-即1,2a b ==-符合题意（2）由()12cos 1f x x '=-=，得cos 0x =当2x π=-时，cos 0x =，此时1222y x π=+=-+，22sin 22y x x π=-=-+12y y =，∴(,2)22ππ--+是直线l 与曲线S 的切点当2x 3π=时，cos 0x =，此时1222y x 3π=+=+，22sin 22y x x 3π=-=+ 12y y =，∴(,2)223π3π+也是直线l 与曲线S 的切点∴直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点对任意x ∈R ，()()(2)(2sin )22sin 0g x f x x x x x -=+--=+≥即()()g x f x ≥，因此直线:2l y x =+为曲线:2sin S y x x =-“上夹线”21.解：设1122(,),(,),(,)2pA x yB x yC m -，直线AB 方程为2p x ty =+由222p x ty y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2220y pty p --=，则212122,y y pt y y p +==-∴2212122,4p x x pt p x x +=+=（1）11(,)2p CA x y m =+-，22(,)2pCB x y m =+- ∴2()0CA CB pt m ⋅=-≥∴,CA CB <>不可能为钝角，故ACB ∠不可能是钝角 （2）假设存在点C ，使得ABC ∆为正三角形 由（1）得：线段AB 的中点为2(,)2pM pt pt +①若直线AB 的斜率不存在，这时0t =，(,),(,)22p pA pB p -，点C 的坐标只可能是(,)2p p -，由CM AB =，得：2p p =，矛盾，于是直线AB 的斜率必存在 ②由CM AB ⊥，得：1CM AB k k ⋅=-，即21122pt m p p t pt -⋅=-++∴32m pt pt =+，∴3(,2)2pC pt pt -+2(CM p t =+22(1)AB p t =+由CM =，得：t =，∴(,)2p C -±故存在点(,)2pC -±，使得ABC ∆为正三角形。
高考数学-黄金押题预测卷乙卷理数2之02考试版
2023年高考押题预测卷02高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一A ．优秀B ．良好 4．平面向量A ．B ．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（A ．B ．6.已知正项等比数列中，（ ） A ．31B ．327.如图，A ，B ，C 是正方体的顶点，的主视图、左视图的面积都是||2,||2,()a b a b a ==-⊥ 5π12π320232cos 2x -2-{}n aA ． 8.函数A ．奇函数，且最小值为第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线与抛物线有共同的焦点，且点到双曲线的渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为______.[1,5]()sin 2f x x =⋅C 28x y =F F C C14．写出一个同时满足下列三个性质的函数__________．①若，则；②；③在上单调递减．每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）某市决定利用两年时间完成全国文明城市创建的准备工作，其中“礼让行人”是交警部门主扲的重点工作之一．“礼让行人”即当机动车行经人行横道时应当减速慢行，遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．如表是该市某一主干路口电子监控设备抓拍的今年1-6月份机动车驾驶员不“礼让行人”行为的人数统计数据．月份123456不“礼让行人” 33 36 40 39 45 53(1)请利用所给的数据求不“礼让行人”人数与月份之间的经验回归方程，并预测该路口今年11月份不“礼让行人”的机动车驾驶员人数（精确到整数）；(2)交警部门为调查机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年的关系，从这6个月内通过该路口的机动车驾驶员中随机抽查了100人，如表所示：不“礼让行人” 礼让行人驾龄不超过3年 18 42 驾龄3年以上436依据上表，能否有95%的把握判断机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年有关?并说明理由．独立性检验临界值表：()f x =0xy >()()()f x y f x f y +=()()f x f x =-()f x (0,)+∞y x ),121(,y ^^^N x x a x b ∈≤≤+=∑∑==---=n i i i i ix x y yx x 1_21^)())((b0.10 0.05 0.010 0.005 0.0012.7063.841 6.635 7.879 10.82818．（12分）如图1，在Rt △ABC 中，，，E ，F 都在AC 上，且，，将△AEB ，△CFG 分别沿EB ，FG 折起，使得点A ，C 在点P 处重合，得到四棱锥P -EFGB ，如图2. (1)证明：.(2)若M 为PB 的中点，求钝二面角B -FM -E 的余弦值.20.（12分）在直角坐标系xOy 中，已知点，，直线AD ，BD 交于D ，且它们的斜率满足：． (1)求点D 的轨迹C 的方程；(2)设过点的直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，直线OP 与OQ 分别交直线 于点M ，N ，是否存在常数，使，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．αx αAB BC ⊥212AC AB ==::3:4:5AE EF FC =EB FG ∥EF PB ⊥(2,2)A -(2,2)B 2AD BD k k -=-(0,2)1y =-λO N OPQ M S S λ=21．（12分）已知函数．(1)若，证明：． (2)若，且，证明：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：. （1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取得最大值时直线的直角坐标方程.()2()e 1,(0,)x f x a x x x =-+-∈+∞0a =()sin f x x >1a =()()0f m f n '==2m n <xOy 1C 1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩αO x 2C ρθ=1C 2C ():0l y kx k =>1C O A 2C O B OA OB +l。
最新高考押题预测密卷理科数学试题 全国通用有答案 (1)
保密★启用前 试卷类型：A最新高考押题预测密卷理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1．集合{|lg 0}M x x =>，2{|9}N x x =≤，则MN =（ ）A ．(1,3)B ．[1,3)C ．(1,3]D ．[1,3]2. 已知复数(1)z i i =+ (为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为-2,x =则抛物线的方程是( ) A.28y x = B. 28y x =- C. 24y x =- D. 24y x =4.如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（ ）A. πB. 2)π+C.D. 2)+5.已知向量(1,1)a =-，(3,)b m =，//()a a b +，则m =（ ）A ． 2B ．2-C ．3-D ．3 6.设随机变量ξ服从正态分布(3,4)N ，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则a =（ ）A ． 3B ．53 C ．5 D ．737．在△ABC 中，已知b ＝4 ，c ＝2 ，∠A＝120°，则a = （ ）A ．2B ．6C ．2 或6D ．278．函数,),(D x x f y ∈=若存在常数C ，对任意的,1D x ∈存在唯一的D x ∈2使得,)()(21C x f x f =则称函数)(x f 在D 上的几何平均数为C ．已知],2,1[,)(3∈=x x x f则函数3)(x x f =在[1,2]上的几何平均数为（ ） A ．2 B ．2 C ．4 D ．22二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．在等差数列{}n a 中，有67812a a a ++=，则此数列的前13项之和为 . 10．62)x-展开式中，常数项是 . 11．执行如图的程序框图，那么输出S 的值是 . 12.已知集合A B C 、、，A ={直线}，B ={平面}，C A B =． 若,,a A b B c C ∈∈∈，给出下列四个命题： ①//////a b a c c b ⎧⇒⎨⎩ ②//a ba c cb ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ③//a b ac c b ⎧⇒⊥⎨⊥⎩④//a ba c c b⊥⎧⇒⊥⎨⎩ 其中所有正确命题的序号是 .13．设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数32z x y =-的最小值为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）若直线的极坐标方程为cos()4πρθ-=，曲线C ：1ρ=上的点到直线的距离为d ，则d 的最大值为 .15.(几何证明选讲选做题) 如图圆O 的直径6AB =,P是AB 的延长线上一点,过点P 作圆O 的切线,切点为C ,连接AC ,若30CPA ∠=︒,则PC = .三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分） 已知()sin()1f x A x ωϕ=++ ，（x R ∈，其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图像上一个最低点为2(,1)3M π- （1）求()f x 的解析式； （2）当[0,]12x π∈时，求()f x 的值域． 17．(本小题满分13分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。
2024年新课标Ⅰ卷高考数学考前押题试卷附答案解析
2024年新课标Ⅰ卷高考数学考前押题试卷（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}{}{3,Z ,06A x x n n B x x ==∈=≤≤，则A B = （）A ．{1,2}B ．{3,6}C ．{0,1,2}D ．{0,3,6}2．若角α的终边位于第二象限，且1sin 2α=，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．12B ．12-CD．3．双曲线2221(0)y x m m-=>的渐近线方程为2y x =±，则m =（）A ．12B ．22CD ．24．已知在ABC 中，点D 在边BC 上，且5BD DC = ，则AD =（）A ．1566AB AC + B ．1566AC AB +uuur uu u r C ．1455AB AC + D ．4155AB AC+ 5．函数()21ex x f x -=的图象大致为（）A．B．C ．D．6．三个相同的圆柱的轴线123,,l l l ，互相垂直且相交于一点O ，底面半径为1.假设这三个圆柱足够的长，P 同时在三个圆柱内（含表面），则OP 长度最大值为（）A ．1B．2C．D．27．甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（）A ．209277B ．210277C ．211277D ．2122778．已知数列{}n a 的前n 项和为n S，且()1142,N 2n n n n n a a *-=+≥∈，若11a =，则（）A ．202431,2S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．20243,22S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．202452,2S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．20245,32S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数12,z z ，下列结论正确的有（）A ．若120z z ->，则12z z >B ．若2212z z =，则12=z z C ．1212z z z z ⋅=⋅D ．若11z =，则12i z +的最大值为310．如图，点,,A B C 是函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象与直线32y =相邻的三个交点，且ππ,0312BC AB f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，则（）A ．4ω=B ．9π182f ⎛⎫=⎪⎝⎭C ．函数()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．若将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ的最小值为π2411．已知椭圆22143x y +=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,P Q 两点，则（）A ．2PF Q △的周长为4B ．1PF 的取值范围是[]1,3C ．PQ 的最小值是3D ．若点,M N 在椭圆上，且线段MN 中点为()1,1，则直线MN 的斜率为34-第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x ：，①()()()1212f x x f x f x =；②当()0,x ∈+∞时，()f x 为增函数；③()f x 为R 上偶函数.13．甲、乙两选手进行围棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，采用三局两胜制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了两局的概率为．14．若关于x 的方程()2e e x xx a x +=存在三个不等的实数根，则实数a 的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．15．已知函数()e xf x =．(1)求曲线()y f x =在0x =处的切线l 与坐标轴围成的三角形的周长；(2)若函数()f x 的图象上任意一点P 关于直线1x =的对称点Q 都在函数()g x 的图象上，且存在[)0,1x ∈，使()()2e f x x m g x -≥+成立，求实数m 的取值范围．16．为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1．(1)根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA 与1BB 12AB AC A B ===，1AC BC ==(1)证明：平面11A ABB ⊥平面ABC ；(2)若点N 在棱11A C 上，求直线AN 与平面11A B C 所成角的正弦值的最大值．18．已知,A B 是椭圆22:14x E y +=的左，右顶点，点()(),00M m m >与椭圆上的点的距离的最小值为1.(1)求点M 的坐标.(2)过点M 作直线l 交椭圆E 于,C D 两点（与,A B 不重合），连接AC ，BD 交于点G .（ⅰ）证明：点G 在定直线上；（ⅱ）是否存在点G 使得CG DG ⊥，若存在，求出直线l 的斜率；若不存在，请说明理由.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足23n n S a +=；数列{}n b 满足121n n b b n ++=+，其中11b =.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)对于给定的正整数()1,2,,i i n = ，在i a 和1i a +之间插入i 个数12,,,i i ii c c c ，使1,i i a c ，21,,,i ii i c c a + 成等差数列.（i ）求11212212n n n nn T c c c c c c =+++++++ ；（ii ）是否存在正整数m ，使得21123123m m m m b a m b T +-++---恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由.1．D【分析】利用交集的定义即可求解.【详解】依题意，}{}{{}3,Z 060,3,6A B x x n n x x ⋂==∈⋂≤≤=.故选：D.2．D【分析】根据已知条件利用诱导公式确定πsin cos 2αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据角α所属象限确定cos α=-，即可求解.【详解】由诱导公式有：πsin cos 2αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为角α的终边位于第二象限，则cos 2α=-，所以πsin cos 22αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：D.3．D【分析】借助渐近线的定义计算即可得.【详解】由题意可得21m =，又0m >，故2m =.故选：D.4．A【分析】根据向量的线性运算即可.【详解】在ABC 中，BC AC AB =-，又点D 在边BC 上，且5BD DC =，则()55156666AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，故选：A.5．A【分析】利用导数判断函数的单调性即可得到函数的大致图象.【详解】易知R x ∈，因为()()12ex x x f x --'=，令()0f x '=，得0x =，或2x =，则()(),02,x ∞∞∈-⋃+时，()0f x '<，()0,2x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在(),0∞-和(2,)+∞上单调递减，在()0,2上单调递增，所以选项A 符合题意,故选：A.6．B【分析】根据给定条件，构造以线段OP 为体对角线的长方体，再求出OP 的最大值.【详解】令直线123,,l l l 两两确定的平面分别为,,αβγ，显然,,αβγ两两垂直，把三个圆柱围成的几何体等分为8个部分，由对称性知，考查其中一个部分，当线段OP 在平面α或β或γ内时，1OP =，当线段OP 不在,,αβγ的任意一个内时，线段OP 可视为一长方体的体对角线，要OP 最长，当且仅当此长方体为正方体，其中一个表面正方形在α内，对角线长为1，边长即正方体的棱长为22，体对角线长为22所以OP 长度最大值为2.故选：B 7．B【分析】先根据古典概型得出一轮游戏中，甲得3分、1分、0分的概率.进而求出三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的概率，以及事件三轮比赛中，事件甲乙均有得3分的概率.即可根据条件概率公式，计算得出答案.【详解】用(),a b 分别表示甲、乙两人投掷一枚骰子的结果，因为甲、乙两人每次投掷均有6种结果，则在一轮游戏中，共包含6636⨯=个等可能的基本事件.其中，甲得3分，即a b >包含的基本事件有()()()()()()()()()()()()()()()2,1,3,1,3,2,4,1,4,2,4,3,5,1,5,2,5,3,5,4,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5，共15个，概率为1553612p ==.同理可得，甲每轮得0分的概率也是512，得1分的概率为16.所以每一轮甲得分低于3分的概率为57111212p -=-=．设事件A 表示甲至少有一轮比赛得3分，事件B 表示乙至少有一轮比赛得3分，则事件A 表示经过三轮比赛，甲没有比赛得分为3分.则()333377C 1212P A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()37138511121728P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.事件AB 可分三类情形：①甲有两轮得3分，一轮得0分，概率为221355125C 1212576P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②甲有一轮得3分，两轮得0分，概率为212355125C 1212576P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；③甲有一轮得3分，一轮得0分，一轮得1分，概率为33355125A 12126144P ⨯⨯⨯==.所以()12312512525175576576144288P AB P P P =++=++=175288=，所以()()()175210288|13852771728P AB P B A P A ===.故选：B ．8．A【分析】先对1n a)22n ≥+≥()*21N n n ≥-∈，进而()()()()211111223212232121n a n n n n n n ⎛⎫≤<=-≥ ⎪----⎝⎭-，应用裂项相消法即可求解.【详解】因为11a =，则211402na a =+>，即20a >，结合()1142,N 2n n nn n a a *-=+≥∈，可得0n a >，则()221112422222n n n n n n a a a --⎛⎫⎛⎫-==+≥+≥ ⎝⎝，)22n≥+≥()22n≥，22，…()22n≥，()21n≥-()()21212n n n+-=-≥，当1n=1=()*21Nn n≥-∈，所以()()()()211111223212232121na nn n n nn⎛⎫≤<=-≥⎪----⎝⎭-，所以()1111111113131112335232122122212 nS an n n n⎛⎫⎛⎫<+-+-+⋅⋅⋅+-=+-=-<⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，故202432S<，因为0na>，所以202412202411S a a a a=++⋅⋅⋅+>=，所以2024312S<<．故选：A．【点睛】数列与不等式结合，关键是看能不能求和，不能的要对通项公式进行放缩后进行. 9．BCD【分析】利用特殊值判断A选项；由复数的运算判断BCD.【详解】若复数122i,1iz z=+=+，满足12z z->，但这两个虚数不能比大小，A选项错误；若2212z z=，则2212z z-=，即()()1212z z z z+-=，得12z z=或12z z=-，所以12=z z，B选项正确；设()11111i R,z a b a b=+∈，()22222i R,z a b a b=+∈，则()()()()12112212121221i i iz z a b a b a a b b a b a b⋅=++=-++，12||z z⋅==12||||z z==，所以1212z z z z⋅=⋅，C选项正确；若11z=，得22111a b+=，有111a-≤≤，111b-≤≤，则12i3z+===≤，1b=时取等号，则12i z +的最大值为3，D 选项正确.故选：BCD.10．ACD【分析】令()f x =,,A B C x x x 根据π3BC AB -=求得4ω=，根据π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得()f x 的解析式，再逐项验证BCD 选项.【详解】令()()sin 2f x x ωϕ=+得，π2π3x k ωϕ+=+或2π2π3x k ωϕ+=+，Z k ∈，由图可知：π2π3A x k ωϕ+=+，π2π+2π3C x k ωϕ+=+，2π2π3B x k ωϕ+=+，所以1π2π3C B BC x x ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，1π3B A AB x x ω=-=⋅，所以π12π2π33BC AB ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以4ω=，故A 选项正确，所以()()sin 4f x x ϕ=+，由π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且π12x =-处在减区间，得πsin 03ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π3k ϕ-+=+，Z k ∈，所以4π2π3k =+ϕ，Z k ∈，所以()4π4ππsin 42πsin 4sin 4333f x x k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，9π9ππ1sin 8232f ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误.当ππ,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π5ππ42π333x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为sin y t =-在5ππ,2π33t ⎛⎫∈+ ⎝⎭为减函数，故()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位得()πsin 443g x x θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，（0θ<时向右平移，0θ>时向左平移），()g x 为偶函数得ππ4π32k θ+=+，Z k ∈，所以ππ244k θ=+，Z k ∈，则θ的最小值为π24，故D 正确.故选：ACD.11．BCD【分析】利用椭圆的定义可判定A ，利用焦半径公式可判定B ，利用椭圆弦长公式可判定C ，利用点差法可判定D.【详解】由题意可知椭圆的长轴长24a =，左焦点()11,0F -，由椭圆的定义可知222221148PF Q C PF QF PQ PF QF PF QF a =++=+++== ，故A 错误；设()()1122,,,P x y Q x y ，11142PF x ===+，易知[][]112,242,6x x ∈-⇒+∈，故B 正确；若PQ 的斜率存在，不妨设其方程为：y kx k =+，联立椭圆方程()2222221438412043x y k x k x k y kx k ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩，则2122212284341243k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以223334343PQ k k ===+>++，若PQ 的斜率不存在，则其方程为=1x -，与椭圆联立易得3PQ =，显然当PQ 的斜率不存在时，min 3PQ =，故C 正确；设()()3344,,,M x y N x y ，易知()()()()2233343443342244143043143x y x x x x y y y y x y ⎧+=⎪+-+-⎪⇒+=⎨⎪+=⎪⎩34343434343434PQ y y y y y y k x x x x x x +-+⇒⋅=-=⋅+-+，若MN 中点为()1,1，则3443324PQ x x y y k +=+=⇒=-，故D 正确.故选：BCD12．()2f x x =（答案不唯一）【分析】利用基本初等函数的性质，逐一分析各性质即可得解.【详解】由性质①可联想到幂函数，由性质②可知该幂函数的指数大于0，由性质③可考虑将该幂数函数的自变量加上绝对值，或指数为偶数，或指数为分式形式且分子为偶数，综上，可考虑()()0af x x a =>或()af x x =（a 为正偶数）或()nm f x x =（n 为偶数，0nm>），不妨取2a =，得()2f x x =.故答案为：()2f x x =（答案不唯一）.13．35##0.6【分析】根据题意，设甲获胜为事件A ，比赛进行两局为事件B ，根据条件概率公式分别求解()P A 、()P AB 的值，进而计算可得答案．【详解】根据题意，设甲获胜为事件A ，比赛进行两局为事件B ，()P A 122221220C 3333327=⨯+⨯⨯⨯=，22224()C 339P AB =⨯⨯=，故4()1239(|)20()20527P AB P B A P A ====．故答案为：35．14．1e ,e ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【分析】0x =不是方程的根，当0x ≠时，变形为e e x x x a x =-，构造()e ex x xf x x =-，0x ≠，求导得到函数单调性，进而画出函数图象，数形结合得到答案.【详解】当0x =时，()e 0xx a x +=，2e 1x =，两者不等，故0不是方程的根，当0x ≠时，e ex x xa x =-，令()e ,0xg x x x =≠，则()()2e 1x x g x x ='-，当0x <，01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，且当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >，画出()e ,0xg x x x=≠的图象如下：令()e xxh x =，0x ≠，则()1e xxh x ='-，当0x <，01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，且当0x <时，()0h x <，当0x >时，()0h x >，画出()e xxh x =，0x ≠的函数图象，如下：令()e e x x x f x x =-，0x ≠，则()()()22e 11e 11e e x x x x x x f x x x x -⎛⎫-=-=-+ ⎝'⎪⎭，由于2e 10ex x x +>在()(),00,∞∞-⋃+上恒成立，故当0x <，01x <<时，()0f x '<，()e e x xxf x x =-单调递减，当1x >时，()0f x '>，()e ex x xf x x =-单调递增，其中()11e ef =-，从()(),g x h x 的函数图象，可以看出当x →-∞时，()f x ∞→+，当0x <且0x →时，()f x ∞→-，画出函数图象如下，要想e ex x xa x =-有三个不同的根，则1e ,e a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭.故答案为：1e ,e ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题或函数零点，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.15．(1)2(2)(,∞--【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程,进而求得l 与x 轴的交点与y 轴的交点，计算可得结果；（2）根据对称性求函数()g x 的解析式，将问题转化为存在[)0,1x ∈，使2e e 2e x x x m ---≥成立，构造函数()2e e 2e x xF x x -=--，转化为函数的最值问题并求解.【详解】（1）由()e x f x =，得()()01,e xf f x '==，所以切线l 的斜率(0)1k f '==.所以切线l 的方程为1y x -=，即1y x =+.令0x =，得1y =，令0y =，得=1x -，所以切线l 与x 轴交于点(1,0)-，与y 轴交于点(0,1)，所以切线l 与坐标轴围成的三角形的周长为112+=.（2）设(,)Q x y ，则(2,)P x y -，由题意知(2,)P x y -在()f x 的图象上，所以2e x y -=，所以()2e xg x -=.由()()2e f x x m g x -≥+，得()()2e f x g x x m --≥，即2e e 2e x x x m ---≥，因为存在[)0,1x ∈，使()()2e f x x m g x -≥+成立，所以存在[)0,1x ∈，使2e e 2e x x x m ---≥成立，设()2e e 2e x x F x x -=--，则()2e e 2e x xF x -='+-，又()2e 0F x ≥'=，当且仅当1x =时等号成立，所以()F x 单调递增，所以当[)0,1x ∈时，()(1)2e F x F <=-，可得2e m <-，即实数m 的取值范围是(,2e).∞--16．(1)67（分钟）(2)分布列见解析；期望为1【分析】（1）根据平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和求解；（2）依题意求出随机变量ξ的分布列，并利用数学期望公式求解.【详解】（1）由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，日均阅读时间的平均数为：300.15500.25700.3900.21100.167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）（2）由题意，在[60，80），[80，100），[100，120]三组分别抽取3，2，1人ξ的可能取值为：0，1，2则304236C C 1(0)C 5P ξ===2142363(1)5C C P C ξ===1242361(2)5C C P C ξ===所以ξ的分布列为：ξ012P153515()1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=17．(1)证明见解析(2)427【分析】（1）利用等腰三角形的性质作线线垂直，结合线段长度及勾股定理判定线线垂直，根据线面垂直的判定与性质证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面角结合基本不等式求最值即可.【详解】（1）取棱1A A 中点D ，连接BD ，因为1AB A B =，所以1BD AA ⊥因为三棱柱111ABCA B C -，所以11//AA BB ，所以1BD BB ⊥，所以BD =因为2AB =，所以1AD =，12AA =；因为2AC =，1A C =22211AC AA A C +=，所以1AC AA ⊥，同理AC AB ⊥，因为1AA AB A = ，且1AA ，AB ⊂平面11A ABB ，所以AC ⊥平面11A ABB ，因为AC ⊂平面ABC ，所以平面11A ABB ⊥平面ABC ；（2）取AB 中点O ，连接1AO ，取BC 中点P ，连接OP ，则//OP AC ，由（1）知AC ⊥平面11A ABB ，所以OP ⊥平面11A ABB 因为1AO 平面11A ABB ，AB ⊂平面11A ABB ，所以1OP A O ⊥，OP AB ⊥，因为11AB A A A B ==，则1A O AB⊥以O 为坐标原点，OP ，OB ，1OA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,1,0)A -，1A，1(0,B ，(2,1,0)C -，可设点(N a =，()02a ≤≤，()110,2,0A B =，(12,1,A C =-，(AN a =，设面11A B C 的法向量为(,,)n x y z =，得1110202n A B yn A C x y ⎧⋅==⎪⎨⋅==-⎪⎩ ，取x =0y =，2z =，所以n =设直线AN 与平面11A B C 所成角为θ，则sin cos ,n AN n AN n AN θ⋅=<>=⋅=若0a =，则21sin 7θ=，若0a≠，则42sin 7θ==，当且仅当4a a=，即2a =时，等号成立，所以直线AN 与平面11A B C427.18．(1)()3,0；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）存在，【分析】（1）设()00,P x y ，利用两点间距离公式得PM =然后根据330,22m m ≤分类讨论求解即可；（2）（ⅰ）设直线()()1122:3,,,,l x ty C x y D x y =+，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理得121265y y ty y +=-，写出直线AC ，BD 的方程，进而求解即可；（ⅱ）由题意点G 在以AB为直径的圆上，代入圆的方程求得4,33G ⎛± ⎝⎭，写出直线AC 的方程，与椭圆联立，求得点C 的坐标，进而可得答案.【详解】（1）设()00,P x y 是椭圆上一点，则220044x y +=，因为()022PM x =-≤≤，①若min 30,12m PM <≤=，解得0m =（舍去），②若min3,12m PM >=，解得1m =（舍去）或3m =，所以M 点的坐标位()3,0.（2）（ⅰ）设直线()()1122:3,,,,l x ty C x y D x y =+，由22314x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224650t y ty +++=，所以12122265,44t y y y y t t +=-=++，所以121265y y ty y +=-，①由216800t ∆=->，得t >t <，易知直线AC 的方程为()1122y y x x =++，②直线BD 的方程为()2222y y x x =--，③联立②③，消去y ，得()()()()121212221211212552221x y ty y ty y y x x x y ty y ty y y ++++===--++，④联立①④，消去12ty y ，则()()12212155265526y y y x x y y y -+++==---++，解得43x =，即点G 在直线43x =上；（ⅱ）由图可知，CG DG ⊥，即AG BG ⊥，所以点G 在以AB 为直径的圆上，设4,3G n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22443n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3n =±，即4,3G ⎛ ⎝⎭.故直线AC的方程为)2y x =+，直线AC 的方程与椭圆方程联立，得291640x x +-=，因为2A x =-,所以412929C x ⎛⎫=-⋅-= ⎪⎝⎭，所以C y =故l MC k k ==19．(1)()1*1,3n n n a b n n -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭N (2)（i ）323223n nn T +=-⨯；（ii ）存在，1m =【分析】（1）根据,n n S a 的关系式可得{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，再根据121n n b b n ++=+可分别对{}n b 的奇数项和偶数项分别求通项公式可得()1*1,3n n n a b n n -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭N ；（2）（i ）利用定义可求得新插入的数列公差()231n nd n =-+，求得23nk n nc =并利用错位相减法即可求出323223n nn T +=-⨯；（ii ）求得1211132313123m m m m m m b a m m m b T ++-+-+=+-+---，易知对于任意正整数m 均有1131313m m m m +-+<≤-+，而1113n n a -⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，所以不是数列{}n a 中的项；又()*n b n n =∈N ，分别对其取值为1132,313m mm m +-+=-+时解方程可求得1m =.【详解】（1）由23n n S a +=①，当2n ≥时，1123n n S a --+=②，①-②得()11120.23n n n n n a a a a a n --+-=∴=≥，当1n =时，11123,1a a a +=∴=，{}n a ∴是首项为1，公比为13的等比数列，故()1*13n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，由121n n b b n ++=+③.由11b =得22b =，又1223n n b b n +++=+④.④-③得22n n b b +-=，{}n b 的所有奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列：所有偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列.得()()()*212n 11221,2122,n n b n n b n n b n n -=+-⨯=-=+-⨯=∴=∈N .综上可得()1*1,3n n n a b n n -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭N ；（2）（i ）在n a 和1n a +之间新插入n 个数12,,,n n nn c c c ，使121,,,,,n n n nn n a c c c a + 成等差数列，设公差为n d ，则()()111123321131nn n n n n a a d n n n -+⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===-+-++，则111122(1)2,33(1)33(1)23n nnk n n nk n n n n k k n n n n c a kd c n n --=+⎛⎫=+=-∴=-⋅= ⎪++⎝⎭∑.112122122122333n n n nn nn T c c c c c c ⎛⎫=+++++++=+++ ⎪⎝⎭⑤则23111223333n n n T +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭ ⑥⑤-⑥得：21111112111233332211333333313n n n n n n n n n T +++⎛⎫-⨯ ⎪+⎛⎫=+++=-=-⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭，所以可得323223n nn T +=-⨯（ii ）由（1）()1*1,3n n n a b n n -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭N ，又323223n nn T +=-⨯，由已知1211132313123m m m m m m b a m m m b T ++-+-+=+-+---，假设11313m mm m +-+-+是数列{}n a 或{}n b 中的一项，不妨设()()()()1*130,,113313m m mm k k m k m k m +-+=>∈∴--=-⋅-+N ，因为()*10,30mm m -≥>∈N ，所以13k <≤，而1113n n a -⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，所以11313m mm m +-+-+不可能是数列{}n a 中的项.假设11313m mm m +-+-+是{}n b 中的项，则*k ∈N .当2k =时，有13m m -=，即113m m -=，令()()()111123,13333m m m m m m m m f m f m f m ++---+=+-=-=，当1m =时，()()12f f <；当2m ≥时，(1)()0,(1)(2)(3)(4)f m f m f f f f +-<<>>> ，由()()110,29f f ==知1113m m +-=无解.当3k =时，有10m -=，即1m =.所以存在1m =使得113313mm m m +-+=-+是数列{}n b 中的第3项；又对于任意正整数m 均有1131313m m m m +-+<≤-+，所以4k ≥时，方程11313m mm k m +-+=-+均无解；综上可知，存在正整数1m =使得21123123m m m m b a m b T +-++---是数列{}n b 中的第3项.【点睛】关键点点睛：求解是否存在正整数m ，使得21123123m m m m b a m b T +-++---恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项时，关键是限定出1131313m mm m +-+<≤-+，再对数列{}n a 的取值范围进行限定可得不是数列{}n a 中的项，再由{}n b 只能取得正整数可知只需讨论113213mm m m +-+=-+或3有无解即可求得结论.。
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2019年高考押题预测卷01【新课标Ⅰ卷】
理科数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合M ={x |–1≤x ≤2}，N ={y |y =2x
}，则M ∩N = A ．（0，2]
B ．（0，2）
C ．[0，2]
D ．[2，+∞）
2．复数z 满足（i –2）z =4+3i ，则|z |= A ．3 B ．3
C ．5
D ．5
3．己知sin α35=
，则sin （π
2
-2α）= A ．45 B ．725 C ．725
-
D ．45
-
4．在等差数列{a n }中，a 8101
2
a =+1，则数列{a n }的前11项和S 11=
A ．8
B ．16
C ．22
D ．44
5．已知某三棱锥的三视图均为腰长为2的等腰直角三角形，如图所示，则该几何体的表面积为
A ．6
B ．6+23
C ．4+42
D ．83
6．执行如图所示的程序框图，若输入n =10，则输出的S 的值是
A ．910
B ．
1011
C ．1112
D ．922
7．在区间[,]44
ππ
-
上随机取一个数x ，则sin2x 的值介于0到3之间的概率为 A ．3
4 B ．
23
C ．12
D ．13
8．在正数x 、y 之间插入数a ，使x ，a ，y 成为等差数列，又在x ，y 之间插入数b 、c ，且x ，b ，
c ，y 成等比数列，则有
A ．a 2
≤bc
B ．a 2
>bc
C ．a 2
=bc
D ．a 2
≥bc
9．如图，在四棱锥P –ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱AP ⊥平面ABCD ，AB =1，3AP =，点
M 在线段BC 上，且AM ⊥MD ，则当△PMD 的面积最小时，线段BC 的长度为
A 3
B 32
C ．2
D ．32
10．如图，四棱锥P –ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，M 、N 分别为线段PC 、PB 上一点，若PM ∶
MC =
3∶1，且AN ∥平面BDM ，则PN ∶NB =
A ．4∶ 1
B ．3∶1
C ．3∶2
D ．2∶1
11．设函数4
1
()lg(12)1f x x x
=+-
+，则使得f （3x –2）<f （–4）成立的x 的取值范围是 A ．2
(1)3
-， B ．2(2)3
-，
C ．2()3
-∞-，
D ．2
()(2)3
-∞-+∞U ，，
12．已知函数f （x ）=2x 3
–（6a +3）x 2
+12ax +16a 2
（a <0）只有一个零点x 0，则a 的取值范围为
A ．（–∞，1
2-） B ．（1
2-，0）
C ．（–∞，3
2
-）
D ．（3
2
-，0）
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：
次数 2 3 4 5 人数
20
15
10
5
则平均每人参加活动的次数为_________．
14．已知数列{a n }是等差数列，且a 2+a 6+a 7+2a 10=15，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 13=_________．
15．已知正方形ABCD 的边长为2，P 为平面ABCD 内一点，则（PA PB +u u u r u u u r
）•（PC PD +u u u r u u u r ）的最
小值为_________．
16．已知函数y =3sin （2x π4+
）的图象向左平移φ（0<φπ
2
<）个单位长度后，所得函数图象关于原点成中心对称，则φ的值是_________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2
B +sin 2
C –2sin B sin C =sin 2
A ．
（1）求角A 的大小；
（2）若△ABC 的面积S =1，当a 最小时，求2
2
2
a b c ++的值． 18．（本小题满分12分）
如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=o ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，2DE =．M 为线段BF 上一点，
且DM ⊥平面ACE ．
（1）求BM 的长；
（2）求二面角A DM B --的余弦值的大小． 19．（本小题满分12分）
在全国第五个“扶贫日”到来之前，某省开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量．A 镇有基层干部60人，B 镇有基层干部60人，C 镇有基层干部80人，每人都走访了若干贫困户，按照分层抽样，从A ，B ，C 三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，[5，15），[15，25），[25，35），[35，45），[45，55]，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求这40人中有多少人来自C 镇，并估计A ，B ，C 三镇的基层干部平均每人走访多少贫困户；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从A ，B ，C 三镇的所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、，椭圆C 的离心率为1
2
，且
椭圆C 过点3(1,)2
-． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线l 过椭圆C 的左顶点M ，且与椭圆C 的另一个交点为N ，直线2NF 与椭圆C 的另一个交点为P ，若1PF MN ⊥，求直线l 的方程． 21．（本小题满分12分）
已知()e x
f x -=（e 为自然对数的底数），()
g x =ax （a ∈R ）． （1）当a =1时，求函数()()()
h x f x g x =+的极小值；
（2）当t ≥0时，关于t 的方程f （–t –1）+ln （t +1）–e=g （t ）有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围．
请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4–4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为222
22x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）．以原点O 为极
点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为()2
6cos sin 14ρρθθ=+-．
（1）写出圆C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦长AB ． 23．（本小题满分10分）选修4–5：不等式选讲
已知函数()|21|2|3|f x x x =++-． （1）求不等式()7f x x ≤的解集；
（2）若关于x 的方程()||f x m =存在实数解，求实数m 的取值范围．。