课时作业(五十八) 第58讲 参数方程

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参数方程教案

参数方程教案

教学过程 一、复习预习1.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y at x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 不参数) ② 在一般式②中,参数t 不具备标准式中t 的几何意义,若a 2+b 2=1,②即为标准式,此时, | t |表示直线上动点P 到定点P 0的距离;若a 2+b 2≠1,则动点P 到定点P 0的距离是22b a +|t |.直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y at x x sin cos 00 (t 为参数)若P 1、P 2是l 上的两点,它们所对应的参数分别为t 1,t 2,则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是(x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α); (2)|P 1P 2|=|t 1-t 2|;(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ,则 t=221t t + 中点P 到定点P 0的距离|PP 0|=|t |=|221t t +| (4)若P 0为线段P 1P 2的中点,则t 1+t 2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b),半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角,φ∈[0,2π](见图)(2)椭圆 椭圆12222=+by a x (a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆 12222=+by a y (a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数)二、知识讲解考点1. 曲线的参数方程,参数方程与普通方程的互化。

学年高中数学课时作业参数方程化成普通方程北师大版选修_

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课时作业(十五)1.方程⎩⎪⎨⎪⎧x =t +1t ,y =2表示的曲线( ) A .一条直线 B .两条射线 C .一条线段 D .抛物线的一局部答案 B解析 当t>0时,x =t +1t≥2,当t<0时,x =t +1t =-(-t +1-t )≤-2,∴x 有范围限制,∴表示两条射线.选B.2.假设曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =1+cos2θ,y =sin 2θ(θ为参数),那么点(x ,y)的轨迹是( ) A .直线x +2y =2 B .以(2,0)为端点的射线 C .圆(x -1)2+y 2=1 D .以(2,0)和(0,1)为端点的线段答案 D3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =t +1t-1,y =t -1t +1表示的曲线是( )A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线答案 C解析 x +1=t +1t ,y -1=t -1t,两式平方相减,可得(x +1)2-(y -1)2=4.4.曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =sin2θ,y =cos θ-sin θ(θ为参数),那么曲线的普通方程为( )A .y 2=1+xB .y 2=1-x C .y 2=1-x(-2≤y ≤2) D .以上都不对答案 C5.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =|sin θ|,y =cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A .x =1-y 2B .y =1-x 2C .y =±1-x 2D .x 2+y 2=1答案 A6.假设直线y =x -b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =2+cos θ,y =sin θ(θ∈[0,2π))有两个不同的公共点,那么实数b 的取值范围为( ) A .(2-2,1)B .[2-2,2+2)C .(-∞,2-2)∪(2+2,+∞)D .(2-2,2+2)答案 D解析 曲线可化为(x -2)2+y 2=1,表示圆心为(2,0),半径为1的圆,由题意知|2-0-b|2<1,所以2-2<b<2+ 2.应选D.7.点P(1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =t 2,y =2t (其中参数t∈R)上的点的最短距离为( )A .0B .1 C. 2 D .2答案 B解析 方法一:将曲线参数方程化为普通方程为y 2=4x ,如下图. 所以点P(1,0)为该抛物线的焦点.由抛物线定义,得曲线上到P 点距离最小的点为抛物线的顶点.应选B.方法二:设点P 到曲线上的点(x ,y)的距离为d. 由两点间的距离公式,得d 2=(x -1)2+y 2=(t 2-1)2+4t 2=(t 2+1)2.因为t∈R,所以当t =0时,d min 2=1,所以d min =1.应选B.8.(2022·淄博模拟)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =1t,y =1t t 2-1(t 为参数)所表示的曲线是( )答案 D解析 由y =1t t 2-1得t 2y 2=t 2-1,把t =1x 代入,得x 2+y 2=1.由于t 2-1≥0,得t≥1或t≤-1.当t≥1时,得0<x≤1且y≥0;当t≤-1时,得-1≤x<0且y≤0.选D.9.(2022·安徽理)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =t +1,y =t -3(t 为参数),圆C 的极坐标方程是ρ=4cos θ,那么直线l 被圆C 截得的弦长为( ) A.14B .214。

课时作业(二)参数方程(含答案)

课时作业(二)参数方程(含答案)

课时作业(二)参数方程一、选择题1.椭圆4215x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)的焦距为( ) B C D 解析:由椭圆的参数方程知a=5,b=2,∴2c c ==∴=答案:B2.直线23060x tcos y tsin ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ (t 为参数)的倾斜角α等于( )A.30°B.45°C.60°D.135°解析:上述参数方程可化为2,x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴x+y=-2.故它的斜率为-1,倾斜角为135°,故选D.答案:D3.参数方程22211(1))(2t x t t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数化为普通方程是A.x 2+y 2=1B.x 2+y 2=1(除去(0,1)点)C.x 2+y 2=1(除去(-1,0)点)D.x 2+y 2=1(除去(1,0)点)解析:两式平方后相加,得 222242222222121241,11(1)t t t t t x y t t t ⎛⎫--++⎛⎫+=+== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 即x 2+y 2=1,但2211t t -+≠-1,∴x≠-1,故选C. 答案:C4.P 是曲线12x sin cos y sin πθθ=+⎧⎨=-⎩(θ∈[0,2π)是参数)上一点,P 到点Q(0,2)距离的最小值是( )7.0.4A C D 解析:|PQ|2=(sinθ+cosθ)2+(1+sin2θ)2=sin 22θ+3sin2θ+2=2312,24sin θ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 当sin2θ=-1时,|PQ|有最小值为0,故选A.答案:A 5.已知直线l 的参数方程为142x t y t=+⎧⎨=-⎩ (参数t∈R ),圆C 的参数方程为222x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩(参数θ∈[0,2π]),则直线l 被圆C 所截得的弦长为( ) (555)A B C D 解析:由142x t y t =+⎧⎨=-⎩消参数后得普通方程为2x+y-6=0, 由222x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩消参数后得普通方程为(x-2)2+y 2=4,显然圆心坐标为(2,0),半径为2.由于圆心到直线2x+y-6=0的距离为5d ==所以所求弦长为= 故选B.答案:B6.(2010·安徽)设曲线C 的参数方程为2313x cos y sin θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数),直线l 的方程为x-3y+2=0,则曲线C 上到直线l 距离为10的点的个数为( ) A.1B.2C.3D.4解析:化曲线C 的参数方程为普通方程:(x-2)2+(y+1)2=9,圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离3,d ==<直线和圆相交,过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求,又31010>-在直线l 的另外一侧没有圆上的点符合要求,故选B. 答案:B二、填空题7.已知点P 是曲线34x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数,0≤θ≤π)上一点,O 为坐标原点,直线PO 的倾斜角为,4π则P 点坐标是________.解析:∵P 是曲线34x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩上一点,∴P(3cosθ,4sinθ) ∴413sin cos θθ=,∴tanθ=3,4∴sinθ=35,cosθ=45,∴P点坐标为1212,. 55⎛⎫ ⎪⎝⎭答案:1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭8.若P(2,-1)为圆155x cosy sinθθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数且0≤θ≤2π)的弦的中点,则该弦所在的直线方程为________.解析:由155x cosy sinθθ=+⎧⎨=⎩消去θ,得(x-1)2+y2=25,∴圆心C(1,0),∴k CP=-1,∴弦所在的直线的斜率为1,∴弦所在的直线方程为y-(-1)=1·(x-2), 即x-y-3=0.答案:x-y-3=09.在直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程是1y sinx cosθθ=+⎧⎨=⎩(θ是参数),若以O为极点,x轴的正半轴为极轴,则曲线C的极坐标方程可写为________.解析:先将参数方程化为普通方程,再将普通方程化为极坐标方程.将曲线C的参数方程1y sinx cosθθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程为x2+(y-1)2=1,将此方程化为极坐标方程得ρ=2sinθ.这就是曲线C的极坐标方程.答案:ρ=2sinθ三、解答题10.若已知曲线的参数方程为1,1x t y t=+⎧⎨=-⎩求它与圆x 2+y 2=4的交点.解:将曲线的参数方程代入圆的方程得(1+t)2+(1-t)2=4,∴t 2=1,解得t=1或t=-1,分别代入曲线的参数方程,得 121202,20x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ ∴交点的坐标为(0,2)和(2,0).11.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为4cos πθρ⎛⎫-= ⎪⎝⎭曲线C 的参数方程为2x cos y sin αα=⎧⎨=⎩ (α为参数),求曲线C 截直线l 所得的弦长.分析:本题主要考查直线和椭圆的极坐标与参数方程,考查运算求解能力及化归与转化思想.解:由4cos ρπθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可化为直角坐标方程x+y-2=0 ①参数方程为2x cos y sin αα=⎧⎨=⎩ (α为参数)可化为直角坐标方程2214x y += ② 联立①②得两曲线的交点为64(2,0),,,55⎛⎫ ⎪⎝⎭所求的弦长5== 12.已知直线l 经过点M(1,3),且倾斜角为3π,圆C 的参数方程为155x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数).直线l 与圆C 交于P 1,P 2两点,求P 1,P 2两点间的距离.分析:本小题主要考查圆的参数方程、直线与圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.解:解法一:将圆的参数方程化为普通方程,得(x-1)2+y 2=25.直线l的方程为31),y x -=-30.y -+=圆心到直线的距离32d ==,所以12||PP == 解法二:直线的参数方程为1333x tcos y tsin ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即11232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数),将圆的参数方程化为普通方程,得(x-1)2+y 2=25.将直线的参数方程代入圆的普通方程得221325,22t ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即2160.t +-= ∵t 1+t 2=-1t 2=-16,12||t t -===∴P 1,P 2。

参数方程的概念曲线的参数方程》教案(新人教选修

参数方程的概念曲线的参数方程》教案(新人教选修

“参数方程的概念-曲线的参数方程》教案(新人教选修”一、教学目标1. 让学生理解参数方程的概念,了解参数方程与普通方程的区别和联系。

2. 让学生掌握曲线的参数方程的求解方法,能够根据实际问题建立参数方程。

3. 培养学生的数学思维能力,提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学内容1. 参数方程的概念2. 曲线的参数方程的求解方法3. 参数方程的应用三、教学重点与难点1. 教学重点:参数方程的概念,曲线的参数方程的求解方法。

2. 教学难点:参数方程的应用,曲线的参数方程的求解过程。

四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法,引导学生从实际问题中发现参数方程的建立过程。

2. 通过实例讲解,让学生掌握曲线的参数方程的求解方法。

3. 利用数形结合的思想,帮助学生理解参数方程与曲线的关系。

五、教学过程1. 引入:通过一个实际问题,引导学生思考如何用参数方程来表示曲线。

2. 讲解:讲解参数方程的概念,解释参数方程与普通方程的区别和联系。

3. 实例分析:分析一组曲线的参数方程,引导学生掌握求解方法。

4. 练习:让学生尝试求解一些曲线的参数方程,巩固所学知识。

5. 应用:通过一些实际问题,让学生运用参数方程解决实际问题。

6. 总结:对本节课的内容进行总结,强调参数方程的概念和求解方法。

7. 作业布置:布置一些有关参数方程的练习题,巩固所学知识。

六、教学评价1. 评价目标:通过课堂讲解、练习和作业,评价学生对参数方程的概念和曲线的参数方程求解方法的掌握程度。

2. 评价方法:课堂提问、练习解答、作业完成情况。

3. 评价内容:参数方程的概念理解、曲线的参数方程求解方法、实际问题分析与解决能力。

七、教学反思1. 在教学过程中,观察学生对参数方程概念的理解程度,是否能够正确区分参数方程与普通方程。

2. 分析学生在求解曲线参数方程时的困难点,是否能够熟练运用求解方法。

3. 反思教学方法的有效性,是否能够激发学生的学习兴趣,提高学生的参与度。

第58讲(理)

第58讲(理)

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高考总复习( 高考总复习(文、理)
5.某个命题与正整数n有关,若n=λ(λ∈N*)时该命题成立,那么 可推得当n=λ+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,那 么可以推得( )
A.n=6时,该命题不成立 B.n=6时,该命题成立 C.n=4时,该命题不成立 D.n=4时,该命题成立 解析:考虑原命题的逆否命题,选C. 答案:C
k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时,命题也成立,这种证明方法叫做
数学归纳法.
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高考总复习( 高考总复习(文、理)
3.用数学归纳法证明了一个与正整数有关的命题的步骤是: (1)证明当n取第一个值n0时,命题成立; (2)假设n=k(k∈N*,k≥n0)时,命题成立; N 证明当n=k+1时,命题也成立. 在完成了这两个步骤以后,就可以断定命题对从n0开始所有正整数 都成立.
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高考总复习( 高考总复习(文、理)
第五十八讲 数学归纳法及其应用
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高考总复习( 高考总复习(文、理)
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高考总复习( 高考总复习(文、理)
回归课本 1.归纳法 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,叫做归纳法 . 2.数学归纳法 先证明当n取第一个值n0时,命题成立,然后假设当n =k(k∈N*, N
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高考总复习( 高考总复习(文、理)
【典例 2】
用数学归纳法证明:
1 1 1 3n 1+ 2 + 2 +…+ 2 ≥ (n∈N*). 2 3 n 2n+1
[分析]
用数学归纳法证明不等式,设第二步时,用上归纳假设
后,还需应用证明不等式的一般方法(比较法、放缩法等)来证明. [证明] (1)当n=1时,左边=1,右边=1, ∴左≥右,即命题成立

高中数学《参数方程的概念》教案新人教A版选修

高中数学《参数方程的概念》教案新人教A版选修

高中数学《参数方程的概念》教案新人教A版选修一、教学目标:1. 让学生理解参数方程的概念,掌握参数方程的基本形式和特点。

2. 培养学生运用参数方程解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学方程美的欣赏能力,激发学生学习数学的兴趣。

二、教学内容:1. 参数方程的定义和基本形式。

2. 参数方程与直角坐标方程的互化。

3. 参数方程在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点:1. 重点:参数方程的概念,参数方程的基本形式和特点。

2. 难点:参数方程与直角坐标方程的互化,以及参数方程在实际问题中的应用。

四、教学方法:1. 采用问题驱动法,引导学生从实际问题中发现参数方程的必要性。

2. 运用数形结合法,帮助学生直观地理解参数方程的特点。

3. 采用合作学习法,鼓励学生相互讨论,共同探讨参数方程的解题方法。

五、教学过程:1. 导入:通过一个实际问题,引导学生思考如何用数学方法描述物体的运动轨迹。

2. 新课讲解:讲解参数方程的定义、基本形式和特点,举例说明参数方程在实际问题中的应用。

3. 案例分析:分析几个典型的实际问题,让学生学会运用参数方程解决问题。

5. 巩固练习:布置一些练习题,让学生巩固所学知识。

7. 作业布置:布置一些有关参数方程的应用题,让学生课后思考。

六、教学评估:1. 课堂问答:通过提问,了解学生对参数方程概念的理解程度。

2. 练习题:收集学生完成的练习题,评估学生对参数方程的掌握情况。

3. 小组讨论:观察学生在小组讨论中的表现,了解学生的合作能力和解决问题的能力。

七、教学拓展:1. 介绍其他形式的参数方程,如极坐标方程、参数曲线等。

2. 探讨参数方程在其他学科中的应用,如物理学、工程学等。

八、课后反思:2. 学生反思:让学生写下对本节课学习的收获和困惑,以便教师了解学生的学习情况。

九、教学资源:1. 教材:新人教A版选修《高中数学》。

2. 网络资源:有关参数方程的图片、视频和案例。

3. 教具:黑板、粉笔、投影仪等。

2020届一轮复习北师大版参数方程课时作业

2020届一轮复习北师大版参数方程课时作业

2020届一轮复习北师大版 参数方程 课时作业1.(2018·石家庄一模)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =2t(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2+2ρsin θ-3=0.(1)求直线l 的极坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,求|AB |. 解:(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x =t ,y =2t 消去t 得,y =2x , 把⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ代入y =2x ,得ρsin θ=2ρcos θ, 所以直线l 的极坐标方程为sin θ=2cos θ.(2)因为ρ2=x 2+y 2,y =ρsin θ,所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2+2y -3=0,即x 2+(y +1)2=4.圆C 的圆心C (0,-1)到直线l 的距离d =55, 所以|AB |=24-d 2=2955. 2.(2018·石嘴山二模)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x =-1+22t ,y =22t(其中t 为参数).现以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=6cos θ.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若点P 坐标为(-1,0),直线l 交曲线C 于A ,B 两点,求|P A |+|PB |的值.解:(1)由⎩⎨⎧ x =-1+22t ,y =22t 消去参数t ,得直线l 的普通方程为x -y +1=0,又由ρ=6cos θ得ρ2=6ρcos θ, 由⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-6x =0. (2)将⎩⎨⎧ x =-1+22t ,y =22t 代入x 2+y 2-6x =0得t 2-42t +7=0,则t 1+t 2=42,t 1t 2=7>0,所以|P A |+|PB |=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=42.3.若点P (3,b )在曲线(t 为参数)上,则b 的值为( ). A.-5 B.3 C.5或-3 D.-5或3解析:由点P 在曲线上,得+1=3,所以t=±2. 当t=2时,y=b=-5;当t=-2时,y=b=3. 答案:D4.曲线(t 为参数)与x 轴的交点坐标是( ). A.(1,4)B. C.(1,-3) D.解析:令y=0,得t=.将t=代入x=1+t 2,得x=.所以曲线与x 轴的交点坐标为.答案:B5.动点M 做匀速直线运动,它在x 轴和y 轴方向上的分速度分别为3 m/s 和4 m/s,直角坐标系的长度单位是1 m,点M 的起始位置在点M 0(2,1)处,则点M 的轨迹的参数方程是( ).A.(t 为参数,t ≥0)B.(t为参数,t≥0)C.(t为参数,t≥0)D.(t为参数,t≥0)解析:设在时刻t时,点M的坐标为M(x,y),则(t为参数,t≥0).答案:B6.“由方程所确定的点P(x,y)都在曲线C上”是“方程是曲线C的参数方程”的条件.答案:必要不充分7.曲线(t为参数)与圆x2+y2=4的交点坐标为.解析:由题意得12+(sin t+1)2=4,∴(sin t+1)2=3,∴sin t+1=±.又sin t+1≥0,∴sin t+1=,∴交点坐标为(1,).答案:(1,)8.若点E(x,y)在曲线(θ为参数)上,则x2+y2的最大值与最小值分别为.解析:x2+y2=(1+5cos θ)2+(2+5sin θ)2=30+(10cos θ+20sin θ)=30+10sin(θ+α),其中tan α=,α为锐角,故x2+y2的最大值与最小值分别为30+10,30-10.答案:30+10,30-109.已知曲线C的参数方程是(t为参数).(1)判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置关系;(2)已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值.解(1)把点M1的坐标(0,1)代入解得t=0,所以点M1在曲线C上.把点M2的坐标(5,4)代入这个方程组无解,所以点M2不在曲线C上.(2)因为点M3(6,a)在曲线C上,所以解得t=2,a=9,所以a的值为9.10.已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ 的中点.(1)求点M的轨迹的参数方程;(2)将点M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断点M的轨迹是否过原点.解(1)由题意得,P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),则M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α),∴点M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).(2)点M到原点的距离d=(0<α<2π).当α=π时,d=0,故点M的轨迹过坐标原点.★11.已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点,求:(1)x+y的最值;(2)点P到直线x+y-1=0的距离d的最值.解圆的方程可化为(x-3)2+(y-2)2=1,如图所示,过圆心C分别作x轴、y轴的平行线a,b,直线a与圆C 交于点A,由于点P在圆上,连接CP,设∠PCA=θ,过点P分别作a,b的垂线可得点P的坐标为(3+cos θ,2+sin θ).(1)x+y=3+cos θ+2+sin θ=5+sin.所以x+y的最大值为5+,最小值为5-.(2)d=.显然,当sin=1时,d取最大值1+2;当sin=-1时,d取最小值2-1.。

人教版高中数学选修4-5全册课堂学案5-直线的参数方程(课时作业)

人教版高中数学选修4-5全册课堂学案5-直线的参数方程(课时作业)

数学是无穷的科学!- 1 -第二讲 直线的参数方程班级: 姓名: 编号:51.直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x =-1+t 2,y =2-32t ,M 0(-1,2)和M (x ,y )是该直线上的定点和动点,则t 的几何意义是( )A .有向线段M 0M 的数量B .有向线段MM 0的数量C .|M 0M |D .以上都不是2.曲线的参数方程为⎩⎨⎧ x =3t 2+2,y =t 2-1(t 是参数),则曲线是( )A .线段B .双曲线的一支C .圆D .射线3.对于参数方程⎩⎨⎧x =1-t cos 30°,y =2+t sin 30°和⎩⎨⎧x =1+t cos 30°,y =2-t sin 30°,下列结论正确的是( )A .是倾斜角为30°的两平行直线B .是倾斜角为150°的两重合直线C .是两条垂直相交于点(1,2)的直线D .是两条不垂直相交于点(1,2)的直线4.直线)(132为参数t t y tx ⎩⎨⎧+-=+=上对应1,0==t t 两点间的距离是( ) A.1 B.10 C.10 D.225.直线)(2333211为参数t ty tx ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=和圆1622=+y x 交于两点B A ,,则AB 的中点坐标是()A.)3,3(-B.)3,3(-C.)3,3(-D.)3,3(-数学是无穷的科学!- 2 -6.已知直线l 的参数方程为)(6cos 26sin 1为参数t t y t x ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=ππ,则直线l 的倾斜角α为 . 7.在平面直角坐标系xOy 中,若直线⎩⎨⎧=+=)(12:1为参数s s y s x l 与直线)(12:2为参数t t y at x l ⎩⎨⎧-==平行,则常数a 的值为 .8.直线⎩⎨⎧x =t cos θ,y =t sin θ(t 是参数,0≤θ<π)与圆⎩⎨⎧x =4+2cos α,y =2sin α(α是参数)相切,则θ= . 9.直线)(211212为参数t t y t x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=被圆422=+y x 截得的弦长为 . 10.直线⎩⎪⎨⎪⎧ x =2+22t ,y =-3-22t(t 为参数)上到点M (2,-3)的距离为2且在点M 下方的点的坐标是 .11.在直线坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =22t ,y =3+22t(t 为参数),在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ-2cos θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 与y 轴的交点为P ,直线l 与曲线C 的交点为A ,B ,求|P A ||PB |的值.数学是无穷的科学!- 3 -12.如图所示,已知直线l 过点P (2,0),斜率为43,直线l 和抛物线y 2=2x 相交于A ,B 两点,设线段AB 的中点为M ,求:(1)P ,M 间的距离|PM |;(2)点M 的坐标.。

人教版高中数学选修4-5全册课堂学案4-双曲线、抛物线的参数方程(课时作业)

人教版高中数学选修4-5全册课堂学案4-双曲线、抛物线的参数方程(课时作业)

数学是无穷的科学!- 1 -第二讲 双曲线与抛物线的参数方程班级: 姓名: 编号:41.下列不是抛物线y 2=4x 的参数方程的是( )A.⎩⎨⎧x =4t 2,y =4t (t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x =t 24,y =t (t 为参数) C.⎩⎨⎧x =t 2,y =2t (t 为参数) D.⎩⎨⎧x =2t 2,y =2t (t 为参数) 2.方程⎩⎨⎧x =e t +e -t ,y =e t -e -t (t 为参数)的图形是( ) A .双曲线左支 B .双曲线右支 C .双曲线上支D .双曲线下支3.下列双曲线中,与双曲线⎩⎨⎧x =3sec θ,y =tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( ) A.y 23-x 29=1 B.y 23-x 29=-1 C.y 23-x 2=1 D.y 23-x 2=-14.曲线⎩⎨⎧ x =t 2-1,y =2t +1(t 为参数)的焦点坐标是( ) A .(1,0) B .(0,1) C .(-1,0)D .(0,-1) 5.已知某条曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x =12⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a ,y =12⎝ ⎛⎭⎪⎫a -1a (其中a 是参数),则该曲线是( )A .抛物线B .圆C .双曲线D .双曲线的一部分数学是无穷的科学!- 2 -6.点)0,1(p 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22(其中t 为参数,且R t ∈)上的点的最小距离为( )A.0B.1C.2 D .27.设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =t ,y =t 2(t 为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为 .8.如果双曲线⎩⎨⎧x =sec θ,y =6tan θ(θ为参数)上一点P 到它的右焦点的距离是8,那么P 到它的左焦点距离是________.9.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =t +1,y =2t(t 为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =2tan 2θ,y =2tan θ(θ为参数),则直线l 与曲线C 的公共点的坐标为 . 10.已知抛物线的参数方程为⎩⎨⎧x =2pt 2,y =2pt(t 为参数),其中p >0,焦点为F ,准线为l ,过抛物线上一点M 作l 的垂线,垂足为E .若|EF |=|MF |,点M 的横坐标是3,则p = .11.连结原点O 和抛物线2y =x 2上的动点M ,延长OM 到P 点,使|OM |=|MP |,求P 点的轨迹方程,并说明它是何曲线.数学是无穷的科学!- 3 -12.已知抛物线)0,(222>⎩⎨⎧==p t pt y pt x C 为参数:上的点N M ,对应的参数值为21,t t ,且021=+t t ,221p t t -=,求N M ,两点的距离.。

高考数学一轮复习 课时作业(五十八)第58讲 参数方程

高考数学一轮复习 课时作业(五十八)第58讲 参数方程

课时作业(五十八)第58讲参数方程时间/ 45分钟分值/ 80分基础热身1.(10分)[2017·宜春二模]已知直线l的参数方程为(t为参数,0≤φ<π),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=1,直线l与C交于不同的两点P1,P2.(1)求φ的取值范围;(2)以φ为参数,求线段P1P2中点轨迹的参数方程.2.(10分)[2017·沈阳期末]在平面直角坐标系xOy中,倾斜角为α的直线l过点M(-2,-4),以原点O 为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cos θ.(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,且|MA|·|MB|=40,求倾斜角α的值.3.(10分)[2017·新乡二模]已知直线l的参数方程为(t为参数,0≤φ<π),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sin θ.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当φ变化时,求|AB|的最小值.4.(10分)[2017·哈尔滨三模]已知曲线C1的极坐标方程为ρ=1,以极点O为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,曲线C2的参数方程为(t为参数).(1)求曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值;(2)若把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍,纵坐标扩大为原来的倍,得到曲线C'1,设P(-1,1),曲线C2与C'1交于A,B两点,求|PA|+|PB|.能力提升5.(10分)[2018·沈阳模拟]在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两坐标系中取相同的长度单位,已知曲线C的极坐标方程为ρ2=,点A的极坐标为.(1)求曲线C的直角坐标方程和点A的直角坐标;(2)设B为曲线C上一动点,以AB为对角线的矩形BEAF的一边平行于极轴,求矩形BEAF周长的最小值及此时点B的直角坐标.6.(10分)[2018·揭阳模拟]在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数).在以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ+2ρsin θ+1=0.(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)过曲线C1的右焦点F作倾斜角为α的直线l,该直线与曲线C2相交于不同的两点M,N,求+的取值范围.难点突破7.(10分)[2017·南阳四模]在极坐标系中,曲线C1的极坐标方程是ρ=,以极点为原点O,极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的长度单位)的直角坐标系xOy中,曲线C2的参数方程为(θ为参数).(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程;(2)若用,分别代换曲线C2的普通方程中的x,y得到曲线C3的方程,M,N分别是曲线C1和曲线C3上的动点,求|MN|的最小值.8.(10分)[2017·衡水二模]在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数,a>0).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos=-2.(1)设P是曲线C上的一个动点,当a=2时,求点P到直线l的距离的最大值;(2)若曲线C上所有的点均在直线l的右下方,求a的取值范围.课时作业(五十八)1.解:(1)曲线C的极坐标方程为ρ=1,根据ρ2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程为x2+y2=1,将代入x2+y2=1,得t2-4t sin φ+3=0(*),由16sin2φ-12>0,得|sin φ|>,又0≤φ<π,∴φ的取值范围是.(2)设P1(t1cos φ,-2+t1sin φ),P2(t2cos φ,-2+t2sin φ),由(1)中的(*)可知,=2sin φ,∴可得P1P2中点的轨迹方程为φ为参数,<φ<.故线段P1P2中点轨迹的参数方程为φ为参数,<φ<.2.解:(1)直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的直角坐标方程为y2=2x.(2)把直线l的参数方程代入y2=2x,得t2sin2α-(2cos α+8sin α)t+20=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=,根据参数t的几何意义,可得|MA||MB|=|t1t2|==40,所以α=或α=.又因为Δ=(2cos α+8sin α)2-80sin2α>0,所以α=.3.解:(1)由消去t,得x sin φ-y cos φ+2cos φ=0,所以直线l的普通方程为x sin φ-y cos φ+2cos φ=0.由ρcos2θ=8sin θ,得(ρcos θ)2=8ρsin θ,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式,得x2=8y,所以曲线C的直角坐标方程为x2=8y.(2)将直线l的参数方程代入x2=8y,得t2cos2φ-8t sin φ-16=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=-,所以|AB|=|t1-t2|===,当φ=0时,|AB|取得最小值,为8.4.解:(1)易知曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=1,圆心为(0,0),半径为1,曲线C2的普通方程为y=x+2, 圆心到直线的距离d==,所以C1上的点到C2的距离的最小值为-1.(2)伸缩变换为所以C'1:+=1,故C'1:+=1.将C2的参数方程与C'1的方程联立,得7t2+2t-10=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-,t1t2=-,因为t1t2=-<0,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=.5.解:(1)由ρ2=可得ρ2(1+2sin2θ)=3,又x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2,∴曲线C的直角坐标方程为+y2=1,点A的直角坐标为(3,).(2)曲线C的参数方程为(α为参数,α∈[0,2π)),∴设B(cos α,sin α),依题意可得|BE|=3-cos α,|BF|=-sin α,矩形BEAF的周长为2|BE|+2|BF|=6+2-2cos α-2sin α=6+2-4sin, 当α=时,周长取得最小值,为2+2,此时点B的直角坐标为.6.解:(1)∵曲线C1的参数方程为(φ为参数),∴曲线C1的普通方程为+=1.∵ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,∴ρ2-2ρcos θ+2ρsin θ+1=0可化为x2+y2-2x+2y+1=0,即曲线C2的直角坐标方程为(x-1)2+(y+1)2=1.(2)∵曲线C1的右焦点F的坐标为(2,0),∴直线l的参数方程为(t为参数).将直线l的参数方程代入(x-1)2+(y+1)2=1,得t2+2(sin α+cos α)t+1=0,∵直线l与曲线C2相交于不同的两点M,N,∴Δ>0,∴0<α<,设M,N对应的参数分别为t1,t2,则+=-=-=2(sin α+cos α)=2sin,∴<sin≤1,∴2<2sin≤2,因此,+的取值范围为(2,2].7.解:(1)∵C1的极坐标方程是ρ=,∴4ρcos θ+3ρsin θ=24,整理得4x+3y-24=0,∴C1的直角坐标方程为4x+3y-24=0.∵曲线C2的参数方程为(θ为参数),∴C2的普通方程为x2+y2=1.(2)用,分别代换曲线C2的普通方程中的x,y,得到曲线C3的方程为+=1,则曲线C3的参数方程为(α为参数),设N(2cos α,2sin α),则点N到曲线C1的距离d===,其中sin φ=,cos φ=.当sin(α+φ)=1时,d有最小值,∴|MN|的最小值为.8.解:(1)由ρcos=-2,得(ρcos θ-ρsin θ)=-2,化成直角坐标方程,得(x-y)=-2,即直线l的直角坐标方程为x-y+4=0.依题意,设P(2cos t,2sin t),则P到直线l的距离d===2+2cos,当t+=2kπ,k∈Z,即t=2kπ-,k∈Z时,d max=4,故点P到直线l的距离的最大值为4.(2)因为曲线C上所有的点均在直线l的右下方,所以对任意t∈R,a cos t-2sin t+4>0恒成立,即cos(t+φ)+4>0恒成立,所以<4,又a>0,所以0<a<2,故a的取值范围为(0,2).。

2020高考数学总复习第八章解析几何课时作业58课件理新人教A版

2020高考数学总复习第八章解析几何课时作业58课件理新人教A版

即有 4u-3=m⇒u=m+4 3,∴t42+m+1632=m, ∴t2=-14m2+52m-94=-14(m-5)2+4. ∴当 m=5 时,(t2)max=4,即|t|max=2, 即当 m=5 时,点 B 横坐标的绝对值最大.
7.(2019·合肥模拟)若点 O 和点 F 分别为椭圆x92+y82=1 的中心
右两支的交点分别为 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则 x2-x1 的最小值为( A )
A.2 2
B.2
C.4
D.3 2
解析:∵直线 l 与圆相切, ∴原点到直线的距离 d= 1|m+| k2=1, ∴m2=1+k2.
由yx=2-kyx2+=m1, 得(1-k2)x2-2mkx-(m2+1)=0,
则易知||PPFF11||+-||PPFF22||==22aa12,, 解得||PPFF12||==aa11+-aa22,. 在△F1PF2 中,由余弦定理得(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+ a2)·(a1-a2)cos 60°=4c2,
整理得 a21+3a22=4c2, 所以ac221+3ca222=4,即e121+e322=4.
3.已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公 共点,且∠F1PF2=π3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大
值为( A )
43 A. 3
B.2 3 3
C.3
D.2
解析:解法一:设椭圆方程为ax221+by212=1(a1>b1>0),离心率 为 e1,双曲线的方程为ax222-by222=1(a2>0,b2>0),离心率为 e2, 它们的焦距为 2c,不妨设 P 为两曲线在第一象限的交点,F1, F2 分别为左,右焦点,

2021年高考数学一轮复习 参数方程课时作业 文

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2021年高考数学一轮复习 参数方程课时作业 文一、选择题1.参数方程为⎩⎨⎧x =3t2+2,y =t2-1(0≤t≤5)的曲线为( )A .线段B .双曲线的一支C .圆弧D .射线解析:化为普通方程为x =3(y +1)+2, 即x -3y -5=0,由于x =3t2+2∈[2,77], 故曲线为线段.故选A. 答案:A2.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =23cos θ,y =32sin θ(θ为参数)中两焦点间的距离是( )A. 6B.3 C .2 6 D .23 解析:曲线化为普通方程为x212+y218=1,∴c =6,故焦距为2 6. 答案:C3.若直线2x -y -3+c =0与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =5cos θ,y =5sin θ(θ为参数)相切,则实数c 等于( )A .2或-8B .6或-4C .-2或8D .4或-6 解析:将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =5cos θ,y =5sin θ(θ为参数)化为普通方程为x2+y2=5,由直线2x -y -3+c =0与圆x2+y2=5相切,可知|-3+c|5=5,解得c =-2或8. 答案:C4.(xx 年淮南模拟)已知曲线C :⎩⎨⎧x =2cos θ,y =2sin θ(θ为参数)和直线l :⎩⎨⎧x =t ,y =t +b(t 为参数,b 为实数),若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1,则b =( ) A. 2 B .-2 C .0 D .±2解析:将曲线C 和直线l 的参数方程分别化为普通方程为x2+y2=4和y =x +b ,依题意,若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1,只要满足圆心到直线的距离为1即可,得到|b|2=1,解得b =± 2. 答案:D5.已知点P(3,m)在以点F 为焦点的抛物线⎩⎨⎧x =4t2,y =4t (t 为参数)上,则|PF|=( )A .1B .2C .3D .4解析:将抛物线的参数方程化为普通方程为y2=4x ,则焦点F(1,0),准线方程为x =-1,又P(3,m)在抛物线上,由抛物线的定义知|PF|=3-(-1)=4. 答案:D 二、填空题6.已知直线l1:⎩⎨⎧x =1-2t ,y =2+kt(t 为参数),l2:⎩⎨⎧x =s ,y =1-2s(s 为参数),若l1∥l2,则k =________;若l1⊥l2,则k =________.解析:将l1、l2的方程化为直角坐标方程得l1:kx +2y -4-k =0,l2:2x +y -1=0,由l1∥l2,得k 2=21≠4+k1⇒k =4,由l1⊥l2,得2k +2=0⇒k =-1.答案:4 -17.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C1和C2的参数方程分别为⎩⎨⎧x =t ,y =t (t 为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θ,y =2sin θ(θ为参数),则曲线C1与C2的交点坐标为________.解析:曲线C1的普通方程为y2=x(y≥0), 曲线C2的普通方程为x2+y2=2. 由⎩⎨⎧y2=x y≥0,x2+y2=2,⎩y =1,答案:(1,1)8.直角坐标系xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A ,B 分别在曲线C1:⎩⎨⎧x =3+cos θ,y =sin θ(θ为参数)和曲线C2:ρ=1上,则|AB|的最小值为________.解析:消掉参数θ,得到关于x 、y 的一般方程C1:(x -3)2+y2=1,表示以(3,0)为圆心,以1为半径的圆;C2:x2+y2=1,表示的是以原点为圆心的单位圆,|AB|的最小值为3-1-1=1. 答案:1 三、解答题9.已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =sin α,y =cos2 α,α∈[0,2π),曲线D 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π4=- 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程; (2)曲线C 与曲线D 有无公共点?试说明理由. 解析:(1)由⎩⎨⎧x =sin α,y =cos2 α,α∈[0,2π)得x2+y =1,x ∈[-1,1].(2)由ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π4=-2得曲线D 的普通方程为x +y +2=0.⎩x2+y =1解得x =1±132∉[-1,1],故曲线C 与曲线D 无公共点.10.(xx 年高考新课标全国卷Ⅰ)(选修4-4:坐标系与参数方程) 已知曲线C :x24+y29=1,直线l :⎩⎨⎧x =2+t ,y =2-2t(t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ,求|PA|的最大值与最小值.解析:(1)由题知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =2cos θ,y =3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x +y -6=0.(2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为d =55|4cos θ+3sin θ-6|. 则|PA|=d sin 30°=255|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为2255. 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为255. B 组 高考题型专练1.若直线的参数方程为⎩⎨⎧x =1+3t ,y =2-3t(t 为参数),则直线的倾斜角为( )A .30°B .60°C .120°D .150°解析:由直线的参数方程知,斜率k =y -2x -1=-3t 3t =-33=tan θ,θ为直线的倾斜角,所以该直线的倾斜角为150°. 答案:D2.(xx 年东莞模拟)若直线l :y =kx 与曲线C :⎩⎨⎧x =2+cos θ,y =sin θ(参数θ∈R)有唯一的公共点,则实数k =________.解析:曲线C 化为普通方程为(x -2)2+y2=1,圆心坐标为(2,0),半径r =1.由已知l 与圆相切,则r =|2k|1+k2=1⇒k =±33.答案:±333.如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-x =0的参数方程为________.解析:利用直角坐标方程和参数方程的转化关系求解参数方程. 将x2+y2-x =0配方,得⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+y2=14,所以圆的直径为1,设P(x ,y),则x =|OP|cos θ=1×cos θ×cos θ=cos2θ, y =|OP|sin θ=1×cos θ×sin θ=sin θcos θ, 即圆x2+y2-x =0的参数方程为 ⎩⎨⎧x =cos2θ,y =sin θcos θ(θ为参数).答案:⎩⎨⎧x =cos2θ,y =sin θcos θ(θ为参数)4.已知动点P 、Q 都在曲线C :⎩⎨⎧x =2cos t ,y =2sin t(t 为参数)上,对应参数分别为t =α与t =2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点. (1)求M 的轨迹的参数方程;(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.解析:(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α), 因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x =cos α+cos 2α,y =sin α+sin 2α(α为参数,0<α<2π).(2)M 点到坐标原点的距离d = x2+y2=2+2cos α(0<α<2π). 当α=π时,d =0,故M 的轨迹过坐标原点.5.在直角坐标系xOy 中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x -2)2+y2=4. (1)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程. 解析:(1)圆C1的极坐标方程为ρ=2, 圆C2的极坐标方程为ρ=4cos θ. 解⎩⎨⎧ρ=2,ρ=4cos θ得ρ=2,θ=±π3, 故圆C1与圆C2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π3,⎝ ⎛⎭⎪⎫2,-π3.注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)解法一 由⎩⎨⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1,3),(1,-3).故圆C1与C2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x =1,y =t ,-3≤t≤ 3.(或参数方程写成⎩⎨⎧x =1,y =y ,- 3 ≤ y ≤3)解法二 将x =1代入⎩⎨⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ得ρcos θ=1,从而ρ=1cos θ.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x =1,y =tan θ,-π3 ≤ θ ≤π3.t 824242 5EB2 庲 29431 72F7 狷<"40594 9E92 麒 (20670 50BE 傾3€24689 6071 恱。

【与名师对话】2021高考数学课时作业58 文(含解析)北师大版(1)

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课时作业(五十八)一、选择题1.已知某厂的产品合格率为90%,抽出10件产品检查,那么以下说法正确的选项是A.合格产品少于9件B.合格产品多于9件C.合格产品正好是9件D.合格产品可能是9件解析:因为产品的合格率为90%,抽出10件产品,那么合格产品可能是10×90%=9件,这是随机的.答案:D2.从寄存号码别离为1,2,3,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:A.B.C.D.解析:取到卡片的号码为奇数的次数为13+5+6+18+11=53,那么所求的频率为53100=.答案:A3.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书,从中任取1本,掏出的是理科书的概率为解析:记取到语文、数学、英语、物理、化学书别离为事件A、B、C、D、E,那么A、B、C、D、E是彼此互斥的,取到理科书的概率为事件B、D、E的概率的并集.P(B∪D∪E )=P (B )+P (D )+P (E )=15+15+15=35.答案:C4.设集合A =B ={1,2,3,4,5,6},别离从集合A 和B 中随机取数x 和y ,确信平面上的一个点P (x ,y ),咱们记“点P (x ,y )知足条件x 2+y 2≤16”为事件C ,那么C 的概率为解析:别离从集合A 和B 中随机取数x 和y ,取得(x ,y )可能结果有6×6=36种情形,知足x 2+y 2≤16的(x ,y )有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)这8种情形,那么所求概率为P (C )=836=29,应选A.答案:A5.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,那么所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )解析:解法一:(直接法):所取3个球中至少有1个白球的取法可分为互斥的两类:两红一白有6种取法;一红两白有3种取法,而从5个球中任取3个球的取法共有10种,因此所求概率为910,应选D.解法二:(间接法):至少一个白球的对立事件为所取3个球中没有白球,即只有3个红球共1种取法,故所求概率为1-110=910,应选D.答案:D6.考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,那么所得的两条直线彼此平行但不重合的概率等于解析:如图,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,共有C 26·C 26=15×15=225种不同取法,其中所得的两条直线彼此平行但不重合有AC ∥DB ,AD ∥CB ,AE ∥BF ,AF ∥BE ,CE ∥FD ,CF ∥ED ,共12对,因此所求概率为P =12225=475. 答案:D 二、填空题7.甲、乙两人下棋,两人和棋的概率是12,乙获胜的概率是13,那么乙不输的概率是________.解析:“乙不输”包括“两人和棋”和“乙获胜”这两个事件,而且这两个事件是互斥的,故“乙不输”的概率为:12+13=56.答案:568.(2021年济南模拟)一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个,取得两个红球的概率为715,取得两个绿球的概率为115,那么取得两个同颜色的球的概率为________;至少取得一个红球的概率为________.解析:(1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件,取得两个同色球,只需两互斥事件有一个发生即可,因此取得两个同色球的概率为P =715+115=815.(2)由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件,那么至少取得一个红球的概率为P (A )=1-P (B )=1-115=1415.答案:815 14159.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上别离标有1,2,3,4的正四面体,其底面落于桌面,记所得的数字别离为x,y,那么xy为整数的概率是________.解析:将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字x,y记作有序实数对(x,y),共包括16个大体事件,其中xy为整数的有:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),共8个大体事件,故所求概率为816=12.答案:12三、解答题10.甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,假设和为偶数算甲赢,不然算乙赢.(1)假设以A 表示和为6的事件,求P (A ). (2)这种游戏规那么公平吗?说明理由.解:(1)甲、乙各出1到5根手指头,共有5×5=25种可能结果,和为6有5种可能结果.∴P (A )=525=15.(2)和为偶数有13种可能结果,其概率为P =1325>12,故这种游戏规那么不公平.11.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号别离为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球,求掏出的球的编号之和不大于4的概率;(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m ,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n ,求n <m +2的概率.解:(1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的大体事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6个.从袋中掏出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个. 因此所求事件的概率P =26=13.(2)先从袋中随机取一个球,记下编号为m ,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为n,其一切可能的结果(m,n)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.又知足条件n ≥m +2的事件为(1,3),(1,4),(2,4),共3个,因此知足条件n ≥m +2的事件的概率为P 1=316.故知足条件n <m +2的事件的概率为1-P 1=1-316=1316.12.国家射击队的队员为活着界射击锦标赛上取得优良成绩,正在加紧备战,通过近期训练,某队员射击一次命中7~10环的概率如表所示:(1)射中9环或10环的概率; (2)至少命中8环的概率; (3)命中不足8环的概率.解:记事件“射击一次,命中k 环”为A k (k ∈N ,k ≤10),那么事件A k 彼此互斥. (1)记“射击一次,射中9环或10环”为事件A ,那么当A 9,A 10之一发生时,事件A 发生,由互斥事件的加法公式得P (A )=P (A 9)+P (A 10)=+=.(2)设“射击一次,至少命中8环”的事件为B ,那么当A 8,A 9,A 10之一发生时,事件B 发生.由互斥事件概率的加法公式得P (B )=P (A 8)+P (A 9)+P (A 10)=++=.(3)由于事件“射击一次,命中不足8环”是事件B :“射击一次,至少命中8环”的对立事件,即B 表示事件“射击一次,命中不足8环”.∴P (B )=1-P (B )=1-=. [热点预测]13.用茎叶图记录甲、乙两人在5次体能综合测评中的成绩(成绩为两位整数),现乙还有一次不小于90分的成绩未记录,那么甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为解析:由题意,得大体事件总数为10,知足要求的有8个,因此所求概率为810=45,应选C.答案:C14.同时随机掷两颗骰子,那么至少有一颗骰子向上的点数小于4的概率为________. 解析:共有36种情形,其中至少有一颗骰子向上的点数小于4有27种情形,因此所求概率为2736=34.答案:3415.现有7名数理化成绩优秀者,其中A 1,A 2,A 3的数学成绩优秀,B 1,B 2的物理成绩优秀,C 1,C 2的化学成绩优秀,从当选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛.(1)求C 1被选中的概率;(2)求A 1和B 1不全被选中的概率.解:(1)从7人当选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,其一切可能的结果组成的12个大体事件为:(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 2),(A 2,B 2,C 1),(A 2,B 2,C 2),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 2),(A 3,B 2,C 1),(A 3,B 2,C 2).C 1恰被选中有6个大体事件:(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 2,C 1),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 2,C 1),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 2,C 1),因此P (M )=612=12.(2)用N 表示“A 1,B 1不全被选中”这一事件,那么其对立事件N 表示“A 1,B 1全被选中”这一事件,由于N ={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2)},因此事件N 由两个大体事件组成,因此P (N )=212=16,由对立事件的概率公式得P (N )=1-P (N )=1-16=56.。

高中数学 第二章 参数方程 2.1.2 参数方程和普通方程的互化课时提升作业(含解析)新人教A版选修

高中数学 第二章 参数方程 2.1.2 参数方程和普通方程的互化课时提升作业(含解析)新人教A版选修

2017年高中数学第二章参数方程2.1.2 参数方程和普通方程的互化课时提升作业(含解析)新人教A版选修4-4编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2017年高中数学第二章参数方程2.1.2 参数方程和普通方程的互化课时提升作业(含解析)新人教A版选修4-4)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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参数方程和普通方程的互化课时提升作业一、选择题(每小题6分,共18分)1.(2016·常德高二检测)极坐标方程ρ=cosθ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是()A。

圆、直线 B.直线、圆C.圆、圆D.直线、直线【解析】选A.由ρ=cosθ得ρ2=ρcosθ,化为直角坐标方程为x2+y2=x表示圆。

(t为参数)化为普通方程为3x+y+1=0表示直线.2。

(2016·大兴区一模)在方程(θ为参数且θ∈R)所表示的曲线上的点是() A。

(2,—7)B。

C.D。

(1,0)【解析】选C。

cos2θ=1-2sin2θ=1—2x2=y∈[-1,1],所以方程(θ为参数且θ∈R)表示x2=(1—y)(y∈[-1,1])将点代入验证得C适合方程.3。

若x,y满足x2+y2-2x+6y+6=0,必有( )A.1≤x≤3,-5≤y≤-1B。

-1≤x≤3,—5≤y≤-1C.-1≤x≤2,-3≤y≤-1D。

-1≤x≤3,—3≤y≤—1【解析】选B。

由于方程x2+y2—2x+6y+6=0即(x—1)2+(y+3)2=4,所以此圆的参数方程为由于θ∈R,由三角函数的性质,得—1≤x≤3,—5≤y≤-1。

高考数学一轮复习 坐标系与参数方程课时作业58 文 北师大版

高考数学一轮复习 坐标系与参数方程课时作业58 文 北师大版

2012届高考数学一轮复习课时作业58坐标系与参数方程一、选择题1.(2010年湖南卷高考)极坐标方程ρ=cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =-1-t ,y =2+3t (t 为参数)所表示的图形分别是( )A .圆、直线B .直线、圆C .圆、圆D .直线、直线解析:∵ρ=cos θ,∴ρ2=ρcos θ, ∴x 2+y 2=x ,即x 2-x +y 2=0表示圆,∵⎩⎪⎨⎪⎧x =-1-ty =2+3t ,∴消t 后,得3x +y +1=0,表示直线. 故选A. 答案:A2.[2011·安徽卷]在极坐标系中,点 (,)π23到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为A . 2 B解析:极坐标系中的点(2,3π)化为直角坐标系中的点为(1;极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为222x y x +=,即22(1)1x y -+=,其圆心为(1,0),D.答案:D3.(2010年上海卷高考)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =1+2ty =2-t (t ∈R ),则l 的方向向量d 可以是( ) A .(1,2) B .(2,1) C .(-2,1)D .(1,-2)解析:化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =1+2ty =2-t 为一般方程得x +2y -5=0,所以直线l 的斜率为-12,∴方向向量为(-2,1),选C.答案:C4.过点⎝⎛⎭⎪⎫2,π4平行于极轴的直线的极坐标方程是( )A .ρcos θ=4B .ρsin θ=4C .ρsin θ= 2D .ρcos θ= 2答案:C5.曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =1-1t y =1-t 2(t 是参数,t ≠0),它的普通方程是( )A .(x -1)2(y -1)=1 B .y =x x --x2C .y =x1-x2+1D .y =1-x2-1解析:由x =1-1t ,解得t =11-x ,代入y =1-t 2,得y =1-1-x2=x x --x2.答案:B6.直线ρcos θ=2关于直线θ=π4对称的直线方程为( )A .ρcos θ=-2B .ρsin θ=2C .ρsin θ=-2D .ρ=2sin θ解析:∵直线x =2关于直线y =x 的对称直线是y =2, ∴ρsin θ=2. 答案:B 二、填空题7.设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+t ,y =1+3t(t 为参数),直线l 2的方程为y =3x +4,则l 1与l 2间的距离为________.解析:将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =1+t ,y =1+3t (t 为参数)化为普通方程为3x -y -2=0. 由两平行线之间的距离公式可知,所求距离为d =|4+2|-2+32=3105. 答案:31058.[2011·江西卷]若曲线的极坐标方程为θθρcos 4sin 2+=,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系,则改曲线的直角坐标方程为 . 解析:根据已知θθρcos 4sin 2+==,4y 2,42222y x x xy+=+=+∙ρρρ化简可得:所以解析式为:02422=--+y x y x答案:02422=--+y x y x9.[2011·陕西卷]直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A ,B 分别在曲线1C :3cos 4sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)和曲线2C :1ρ=上,则||AB 的最小值为 .解析:曲线1C 的方程是22(3)(4)1x y -+-=,曲线2C 的方程是221x y +=,两圆外离,所以||AB 113-=. 答案:3三、解答题10.(2010年辽宁高考)已知P 为半圆C :⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θy =sin θ,(θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A 的坐标为(1,0),O 为坐标原点,点M 在射线OP 上,线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M 的极坐标; (2)求直线AM 的参数方程.解:(1)由已知,M 点的极角为π3,且M 点的极径等于π3,故点M 的极坐标为(π3,π3).(2)M 点的直角坐标为(π6,3π6),A (1,0),故直线AM 的参数方程可以为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+π6-t ,y =3π6t ,(t 为参数).11.(2010年海南高考)已知直线C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =1+t cos α,y =t sin α(t 为参数),圆C 2:⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =sin θ(θ为参数).(1)当α=π3时,求C 1与C 2的交点坐标;(2)过坐标原点O 作C 1的垂线,垂足为A ,P 为OA 的中点.当α变化时,求P 点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.解:(1)将α=π3代入C 1中.对C 1,C 2消参后联立方程组求交点坐标;(2)对C 1消去参数t 化为普通方程,求出点A 坐标.从而求出点P 坐标,消去参数可得普通方程.(1)当α=π3时,C 1的普通方程为y =3(x -1),C 2的普通方程为x 2+y 2=1.联立方程组⎩⎨⎧y =3x -,x 2+y 2=1,解得C 1与C 2的交点为(1,0)和(12,-32).(2)C 1的普通方程为x sin α-y cos α-sin α=0.A 点坐标为(sin 2α,-cos αsin α),故当α变化时,P 点轨迹的参数方程为: ⎩⎪⎨⎪⎧x =12sin 2α,y =-12sin αcos α(α为参数).P 点轨迹的普通方程为(x -14)2+y 2=116.故P 点轨迹是圆心为(14,0),半径为14的圆.12.以直角坐标系的原点为极点,x 轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的极坐标方程为ρsin(θ-π3)=6,圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =10cos θ,y =10sin θ(θ为参数),求直线l 被圆C 截得的弦长.解:由ρsin(θ-π3)=ρ(12sin θ-32cos θ)=6得ρsin θ-3ρcos θ=12. ∴y -3x =12.∴点C 到直线的距离为d =|0+0+12|3+1=6.∴直线l 被圆截得的弦长为2102-62=16.。

第58讲(理)

第58讲(理)

名师作业·练全能第五十八讲 数学归纳法及其应用班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________一、选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.(2011·四川绵阳)用数学归纳法证明等式:1+2+3+…+n 2=n 4+n 22(n ∈N *),则从n =k 到n =k +1时左边应添加的项为( )A .k 2+1B .(k +1)2C.(k +1)4+(k +1)22D .(k 2+1)+(k 2+2)+(k 2+3)+…+(k +1)2解析:∵n =k 时,等式左边=1+2+3+…+k 2,n =k +1时,等式左边=1+2+3+…+k 2+(k 2+1)+(k 2+2)+…+(k +1)2,∴比较上述两个式子,n =k +1时,等式左边是在假设n =k 时等式成立的基础上,等式的左边加上了(k 2+1)+(k 2+2)+…+(k +1)2,故选D.答案:D2.如果命题P (n )对n =k 成立,则它对n =k +2也成立,且P (n )对n =2时成立,则下列结论中正确的是( )A .P (n )对所有自然数n 成立B .P (n )对所有正偶数n 成立C .P (n )对所有正奇数n 成立D .P (n )对所有大于1的自然数成立解析:由P (n )对n =k 成立,则对n =k +2也成立且P (n )对n =2时成立,得n =4,6,8,…命题成立.答案:B3.用数学归纳法证明“(n +1)(n +2)·…·(n +n )=2n ·1·3·…·(2n -1)”,从“k 到k +1”左端需增乘的代数式为( )A .2k +1B .2(2k +1) C.2k +1k +1D.2k +3k +1解析:当n =1时,显然成立.当n =k 时,左边=(k +1)(k +2)·…·(k +k ),当n =k +1时,左边=(k +1+1)(k +1+2)·…·(k +1+k )·(k +1+k +1)=(k +2)·(k +3)·…·(k +k )·(k +1+k )(k +1+k +1)=(k +1)(k +2)·…·(k +k )·(2k +1)(2k +2)k +1=(k +1)(k +2)·…·(k +k )·2(2k +1).答案:B4.平面上有n 条直线,它们任意两条不平行,任意三条不共点,设k 条这样的直线把平面分成f (k )个区域,则k +1条直线把平面分成的区域数f (k +1)=f (k )+______( )A .k +1B .kC .k -1D .2k解析:在k +1条直线中任取一条记为l ,则依题设l 与另k 条直线必有k 个交点,这k 个交点把l 分成k +1条线段或射线,每一条把它所在的区域分成两部分,故增加了k +1块区域,所以f (k +1)=f (k )+(k +1).答案:A5.对于不等式n 2+n ≤n +1(n ∈N *),某学生的证明过程如下:(1)当n =1时,12+1≤1+1,不等式成立.(2)假设n =k (k ∈N *)时,不等式成立,即k 2+k ≤k +1,则n =k +1时,(k +1)2+(k +1)=k 2+3k +2 <(k 2+3k +2)+(k +2) =(k +2)2=(k +1)+1.∴当n =k +1时,不等式成立.上述证法( )A .过程全都正确B. n =1验得不正确C .归纳假设不正确D .从n =k 到n =k +1的推理不正确解析:n =1的验证及归纳假设都正确,但从n =k 到n =k +1的推理中没有使用归纳假设,而是通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.答案:D6.下面四个结论中,正确的是( )A .式子1+k +k 2+…+k n (n =1,2,…)当n =1时,恒为1B .式子1+k +k 2+…+k n -1(n =1,2…)当n =1时,恒为1+k C .式子11+12+13+…+12n +1(n =1,2,…)当n =1时,恒为11+12+13D .设f (n )=1n +1+1n +2+…+13n +1(n ∈N *),则 f (k +1)=f (k )+13k +2+13k +3+13k +4答案:C二、填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.数列{a n }中,a 1=1,且S n 、S n +1、2S 1成等差数列,则S 2、S 3、S 4分别为________,猜想S n =________.解析:∵S n 、S n +1、2S 1成等差数列,∴2S n +1=S n +2S 1,又S 1=a 1=1,∴2S 2=S 1+2S 1=3S 1=3,于是S 2=32=22-12, 2S 3=S 2+2S 1=32+2=72, 于是S 3=74=23-122, 2S 4=S 3+2S 1=74+2=154, 于是S 4=158=24-123,由此猜想S n =2n -12n -1. 答案:32,74,158 2n -12n -1 8.观察下式:1=12;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72;…,则得出结论:________.解析:各等式的左边是第n 个自然数到第3n -2个连续自然数的和,右边是奇数的平方,故得到结论:n +(n +1)+(n +2)+…+(3n -2)=(2n -1)2.答案:n +(n +1)+(n +2)+…+(3n -2)=(2n -1)29.探索表达式A =(n -1)(n -1)!+(n -2)(n -2)!+……+2·2!+1·1!(n >1且n ∈N *)的结果时,第一步n =________时,A =________.解析:第一步n =2时,A =(2-1)(2-1)!=1.答案:2 110.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n -1=2n -1(n ∈N *)的过程如下: ①当n =1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立.②假设当n =k 时,等式成立,即1+2+22+…+2k -1=2k -1,则当n =k +1时,1+2+22+…+2k -1+2k=1-2k +11-2=2k +1-1, 所以当n =k +1时等式成立.由此可知对任何n∈N*,等式都成立.上述证明的错误是________.解析:上述证明的错误是没有用上归纳假设而是直接应用了等比数列前n项和公式求解.∴证明过程出现错误.答案:没有用上归纳假设而是直接应用了等比数列前n项和求解三、解答题:(本大题共3小题,11、12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.已知数列{a n}中,a n>0(n∈N*),前n项和S n与通项a n满足关系2S n=a n+1a n. 求证:a n=n-n-1.证明:(1)n=1时,a1=S1=12⎝⎛⎭⎫a1+1a1,即a12=1,a1=1(a n>0),结论成立.(2)假设n=k时,结论成立,即a k=k-k-1,则当n=k+1时,a k+1=S k+1-S k=12⎝⎛⎭⎫a k+1+1a k+1-12⎝⎛⎭⎫a k+1a k=12⎝⎛⎭⎫a k+1+1a k+1-12⎝⎛⎭⎪⎫k-k-1+1k-k-1=12⎝⎛⎭⎫a k+1+1a k+1-k即a k+12+2a k+1k-1=0,a k+1=k+1-k(a k+1>0).∴当n=k+1时,结论也成立.由(1)、(2)知,a n=n-n-1对n∈N*都成立.12.设数列{a n}满足a n+1=a n2-na n+1,n=1,2,3,…(1)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想出a n的一个通项公式;(2)当a1≥3时,证明对所有的n≥1,有a n≥n+2.解析:(1)由a1=2,得a2=a12-a1+1=3,由a2=3,得a3=a22-2a2+1=4,由a3=4,得a4=a32-3a3+1=5,由此猜想a n的一个通项公式:a n=n+1(n≥1).(2)证明:用数学归纳法证明:①当n=1时,a1≥3=1+2,不等式成立.②假设当n =k 时不等式成立,即a k ≥k +2,那么,a k +1=a k (a k -k )+1≥(k +2)(k +2-k )+1≥k +3,也就是说,当n =k +1时,a k +1≥(k +1)+2.根据①和②,对于所有n ≥1,都有a n ≥n +2.13.设f (k )是满足不等式log 2x +log 2(3·2k -1-x )≥2k -1(k ∈N *)的自然数x 的个数. (1)求f (k )的解析式;(2)记S n =f (1)+f (2)+…+f (n ),求S n 的解析式;(3)令P n =n 2+n -1(n ∈N ),试比较S n 与P n 的大小.解析:(1)由题意得:⎩⎪⎨⎪⎧ x >0,x <3·2k -1,x ·(3·2k -1-x )≥22k -1.即⎩⎪⎨⎪⎧ x >0,x <3·2k -1,(x -2k -1)(x -2·2k -1)≤0.得2k -1≤x ≤2k , ∴f (k )=2k -2k -1+1=2k -1+1. (2)S n =f (1)+f (2)+…+f (n )=20+21+…+2n -1+n =2n +n -1. (3)S n -P n =2n -n 2.n =1时,21-12>0;n =2时,22-22=0;n =3时,23-32<0;n =4时,24-42=0;n =5时,25-52>0;n =6时,26-62>0.猜想:n ≥5时,S n >P n ,下面对n ≥5时2n >n 2用数学归纳法证明:①当n =5时,已证25>52.②假设n =k (k ≥5)时,2k >k 2,那么2k +1=2·2k >2k 2=k 2+2k +1+k 2-2k -1=(k +1)2+[k (k -2)-1]. ∵k ≥5,∴k (k -2)-1>0,∴(k +1)2+[k (k -2)-1]>(k +1)2.∴2k +1>(k +1)2,即当n =k +1时不等式也成立. 根据①和②,对n ∈N ,n ≥5,2n >n 2,即S n >P n .综上,n =1或n ≥5时,S n >P n ;n =2或n =4时,S n =P n ;n =3时,S n <P n .。

课时作业1:1 参数方程的概念~2 圆的参数方程

课时作业1:1 参数方程的概念~2 圆的参数方程

一 曲线的参数方程1 参数方程的概念2 圆的参数方程一、基础达标1.已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =a +2cos θ,y =2sin θ(θ为参数),曲线C 不经过第二象限,则实数a 的取值范围是( )A.a ≥2B.a >3C.a ≥1D.a <0答案 A解析 ∵曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =a +2cos θ,y =2sin θ.(θ为参数),∴化为普通方程为 (x -a )2+y 2=4,表示圆心为(a,0),半径等于2的圆.∵曲线C 不经过第二象限,则实数a 满足a ≥2,故选A.2.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =2+sin 2 θ,y =sin 2 θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A.y =x -2B.y =x +2C.y =x -2 (2≤x ≤3)D.y =x +2 (0≤y ≤1)答案 C解析 将参数方程中的θ消去,得y =x -2.又x ∈[2,3],故选C.3.若曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =1-1t ,y =1-t 2(t 是参数,t ≠0),它的普通方程是( ) A.(x -1)2(y -1)=1B.y =x (x -2)(1-x )2C.y =1(1-x )2-1D.y =x 1-x 2答案 B解析 由x =1-1t ,得1t=1-x ,由y =1-t 2,得t 2=1-y .∴(1-x )2·(1-y )=⎝⎛⎭⎫1t 2·t 2=1. 整理得y =x (x -2)(1-x )2. 4.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a +t y =b +t (t 为参数),l 上的点P 1对应的参数是t 1,则点P 1与P (a ,b )之间的距离为( )A.|t 1|B.2|t 1|C.2|t 1|D.22|t 1| 答案 C解析 点P 1对应的点的坐标为(a +t 1,b +t 1),∴|PP 1|=(a +t 1-a )2+(b +t 1-b )2=2t 21=2|t 1|.5.若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =1+cos θ,y =2sin θ(θ为参数)经过点⎝⎛⎭⎫32,a ,则a =________. 答案 ±3解析 点⎝⎛⎭⎫32,a 代入曲线方程得cos θ=12,a =2sin θ=±2 1-14=± 3. 6.已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos α,y =1+sin α(α为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρsin θ=1,则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为______. 答案 (-1,1),(1,1)解析 由圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos α,y =1+sin α.可求得其在直角坐标系下的方程为x 2+(y -1)2=1,由直线l 的极坐标方程ρsin θ=1可求得其在直角坐标系下的方程为y =1,由⎩⎪⎨⎪⎧ y =1,x 2+(y -1)2=1可解得⎩⎪⎨⎪⎧x =±1,y =1. 所以直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(-1,1),(1,1).7.已知曲线C :⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =-1+sin θ(θ为参数),如果曲线C 与直线x +y +a =0有公共点,求实数a 的取值范围.解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =-1+sin θ, ∴x 2+(y +1)2=1.∵圆与直线有公共点,则d =|0-1+a |2≤1, 解得1-2≤a ≤1+ 2.二、能力提升8.在直角坐标系下,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+cos α,y =sin α (α为参数).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系下,曲线C 的极坐标方程为( )A.ρcos θ=2B.ρsin θ=2C.ρ=2sin θD.ρ=2cos θ 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x =1+cos α,y =sin α(α为参数).得(x -1)2+y 2=1. 所以曲线C 表示以(1,0)为圆心,以1为半径的圆.选项A 的直角坐标方程为x =2;选项B 的直角坐标方程为y =2;对于选项C ,由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,即x 2+y 2-2y =0,不相符;对于选项D ,由ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ,即x 2+y 2-2x =0,整理得(x -1)2+y 2=1. 所以曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ.故选D.9.直线⎩⎪⎨⎪⎧ x =2+t ,y =-1-t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =3cos α,y =3sin α(α为任意实数)的交点个数为________. 答案 2解析 消参后,直线为x +y =1,曲线为圆x 2+y 2=9,圆心(0,0)到直线的距离为22,小于半径3,所以直线与圆相交,因此,交点个数为2.10.把圆x 2+y 2+2x -4y +1=0化为参数方程为________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+2cos θ,y =2+2sin θ(θ为参数) 解析 圆x 2+y 2+2x -4y +1=0的标准方程是(x +1)2+(y -2)2=4,圆心为(-1,2),半径为2,故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+2cos θ,y =2+2sin θ(θ为参数). 11.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 1:x 2+y 2=4,圆C 2:(x -2)2+y 2=4.(1)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别求圆C 1,C 2的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标;(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程.解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ=2, 圆C 2的极坐标方程为ρ=4cos θ, 由⎩⎪⎨⎪⎧ρ=2,ρ=4cos θ得ρ=2,θ=±π3, 故圆C 1,C 2交点坐标为⎝⎛⎭⎫2,π3,⎝⎛⎭⎫2,-π3. (2)由(1)得,圆C 1,C 2交点直角坐标为(1,3),(1,-3),故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧ x =1,y =t (-3≤t ≤3).12.在以O 为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a 相交于A ,B 两点,若△AOB 是等边三角形,求a 的值.解 由ρ=4sin θ可得x 2+y 2=4y ,即x 2+(y -2)2=4.由ρsin θ=a 可得y =a .设圆的圆心为O ′,y =a 与x 2+(y -2)2=4的两交点A ,B 与O 构成等边三角形,如图所示.由对称性知∠O ′OB =30°,OD =a .在Rt △DOB 中,易求DB =33a , ∴B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫33a ,a , 又∵B 在x 2+y 2-4y =0上,∴⎝⎛⎭⎫33a 2+a 2-4a =0, 即43a 2-4a =0,解得a =0(舍去)或a =3. 三、探究与创新13.已知C (r,0)(r >0),动点M 满足|MC |=r ,根据下列选参数的方法,分别求动点M 的轨迹方程.(1)以x 轴正方向到CM 所成角θ为参数;(2)以x 轴正方向到OM 所成角α为参数.解 (1)如图所示,依题意动点M 的轨迹是以C (r,0)为圆心,r 为半径的圆,设圆和x 轴的正半轴交于A ,OA 为直径.设M (x ,y ),作MN ⊥Ox 于N ,在Rt △MCN 中,|CM |=r ,∠ACM =θ,∴x =ON =OC +CN =r +r cos θ,y =MN =r sin θ.∴动点M 轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x =r (1+cos θ),y =r sin θ(θ为参数).(2)设点M 的坐标为M (x ,y ),OA =2r ,则ON =OA cos α·cos α=2r cos 2 α,NM =OA cos α·sin α=2r sin α·cos α=r sin 2α.∴点M 的轨迹方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x =2r cos 2 α,y =r sin 2α(α为参数).。

2021届高三数学一轮温习《排列与组合》理 新人教B版

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[第58讲排列与组合](时刻:35分钟分值:80分)基础热身1.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种当选出3种,别离种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必需种植,不同的种植方式有( )A.24种B.18种C.12种D.6种2.[2021·温州楠江中学月考] 电视台在直播2021伦敦奥运会时要持续插播5个广告,其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告,要求最后播放的是奥运宣传广告,且2个奥运宣传广告不能连播,那么不同的播放方式有( )A.120 B.48 C.36 D.183.用4种不同的颜色给四棱锥的8条棱涂颜色,要求有公共点的两条棱的颜色不相同,那么不同的涂色方式有( )A.96种B.48种C.24种D.0种4.[2021·银川一中检测] 每位学生可从今年级开设的A类选修课3门,B类选修课4门当选3门,假设要求两类课程中各至少选一门,那么不同的选法共有________种.(用数字作答)能力提升5.[2021·北京通州区模拟] 有1位教师与2名女生2名男生站成一排合影,两名女生之间只有这位教师,如此的不同排法共有( )A.48种B.24种C.12种D.6种6.[2021·绥化一模] 有5盆菊花,其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆,现把它们摆放成一排,要求2盆黄菊花必需相邻,2盆白菊花不能相邻,那么这5盆花的不同摆放种数是( )A.12 B.24 C.36 D.487.[2021·烟台模拟] 用0,1,2,3,4排成无重复数字的五位数,要求偶数字相邻,奇数字也相邻,那么如此的五位数的个数是( )A.36 B.32 C.24 D.208.[2021·安徽卷] 6位同窗在毕业聚会活动中进行纪念品的互换,任意两位同窗之间最多互换一次,进行互换的两位同窗互赠一份纪念品.已知6位同窗之间共进行了13次互换,那么收到4份纪念品的同窗人数为( ) A.1或3 B.1或4C.2或3 D.2或49.[2021·洛阳二模] 从8名女生,4名男生当选出3名参加某公益活动,若是依照性别进行分层抽样,那么不同的抽取方式种数为________(用数字作答).10.[2021·潍坊一模] 某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分派到三个不同的车间.每一个车间至少分派一名员工,且甲、乙两名员工必需分到同一个车间,那么不同分法的种数为________.11.[2021·山西四校联考] 有7名同窗站成一排照相,其中甲必需站在正中间,而且乙、丙两位同窗要站在一路,则不同的站法有________.12.(13分)[2021·广州调研] 有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,假设从20个零件中任意取3个,那么至少有1个一等品的不同取法有多少种?难点突破13.(12分)某中学高三年级共有12个班级,在即将进行的月考中,拟安排12个班主任教师监考数学,每班1人,要求有且只有8个班级是自己的班主任教师监考,那么不同的监考安排方案共有多少种?课时作业(五十八)【基础热身】1.B [解析] 分两步:从白菜、油菜、扁豆3种蔬菜品种当选出2种,有C 23种;再把选出的两个品种与黄瓜种在不同土质的三块土地上,有A 33种,那么不同的种植方式有C 23·A 33=18种,应选B.2.C [解析] 分三步:3个不同的商业广告排列,有A 33种;从2个不同的奥运宣传广告选1个最后播放,有C 12种;把剩下的1个奥运宣传广告插入,有A 13种,那么不同的播放方式有A 33C 12A 13=36种,应选C.3.B [解析] 由已知,给8条棱(即8条直线)涂色,只有异面直线才能涂相同的颜色,可分两个步骤:将8条直线中的异面直线配对,有2种配对方式;给每种配对涂色,有A 44种方式,那么知足题意的不同的涂色方式有2A 44=48种,应选B.4.30 [解析] 从两类选修课选3门,有C 37种;从A 类选修课选3门,有C 33种;B 类选修课4门当选3门,有C 34种;要求两类课程中各至少选一门,那么不同的选法共有C 37-C 33-C 34=30种.【能力提升】5.C [解析] 属“小集团”排列问题,可分为两个步骤:先把2名女生与这位教师看成一个整体,与2名男生一路排列,有A 33种排法;再考虑2名女生之间有A 22种排法,依照分步乘法计数原理,如此的不同排法共有A 33·A 22=12种,应选C.6.B [解析] 相邻问题考虑用捆绑法,距离问题用插空法,分三步排列:2盆黄菊花看成一个整体与1盆红菊花排列,有A 22种;2盆黄菊花之间排列,有A 22种;把2盆白菊花插入,有A 23种,那么这5盆花的不同摆放种数是A 22·A 22·A 23=24,应选B.7.D [解析] 分三个步骤排列:把3个偶数,2个奇数别离看成一个整体排列,有A 22种;3个偶数之间排列,有A 33种排法;2个奇数之间排列,有A 22种排法;其中,0为首项的排列,有A 22·A 22种,那么如此的五位数的个数是A 22·A 33·A 22-A 22·A 22=20种,应选D.8.D [解析] 此题考查组合数等计数原理.任意两个同窗之间互换纪念品共要互换C 26=15次,若是都完全互换,每一个人都要互换5次,也确实是取得5份纪念品,此刻6个同窗总共互换了13次,少互换了2次,这2次若是不涉及同一个人,那么收到4份纪念品的同窗人数有4人;若是涉及同一个人,那么收到4份纪念品的同窗人数有2人,答案为D.9.112 [解析] 由分层抽样,抽取的比例为38+4=14,可得女生抽2人,男生抽1人,那么女生有C 28种抽取方式,男生有C 14种抽取方式,故不同的抽取方式种数为C 28C 14=8×72×4=112. 10.36 [解析] 分两个步骤:先分组,由于甲、乙两名员工必需分到同一个车间,把甲、乙两人看成一个整体,相当于是把4个人分为三组,有C 24种;再把这3组分到3个车间,有A 33种,故不同分法的种数为C 24·A 33=6×6=36种.11.192 [解析] 由于甲必需站中央,故先安排甲,两边一边三人,乙、丙两位同窗要站在一路,那么把乙与丙看成一个整体,有4种站法;乙与丙之间,有A 22种站法;其他4名同窗,有A 44种站法,故不同的站法有4A 22·A 44=4×2×24=192种.12.解:方式一:将“至少有1个是一等品”的不同取法分三类:“恰有1个一等品”,有C 116C 24种;“恰有2个一等品”,有C 216C 14种;“恰有3个一等品”,有C 316种.由分类计数原理,至少有1个一等品的不同取法有C 116C 24+C 216C 14+C 316=1 136(种). 方式二:从20个零件中任意取3个,有C 320种;考虑“至少有1个是一等品”的对立事件“3个都是二等品”,有C 34种,那么至少有1个一等品的不同取法有C 320-C 34=1 136(种). 【难点冲破】13.解:先从12个班主任中任意选出8个到自己的班级监考,有C 812种安排方案,设余下的班主任为A ,B ,C ,D ,自己的班级别离为1,2,3,4,安排班主任A 有3种方式,假定安排在2班监考,再安排班主任B 有3种方式,假定安排在3班监考,再安排班主任C ,D 有一种方式,因此安排余下的4个班主任共有9种方式,因此安排方案共有C 812·9=4 455种.。

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课时作业(五十八)第58讲参数方程
时间/ 45分钟分值/ 80分
基础热身
1.(10分)[2017·宜春二模]已知直线l的参数方程为(t为参数,0≤φ<π),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=1,直线l与C交于不同的两点P1,P
2.
(1)求φ的取值范围;
(2)以φ为参数,求线段P1P2中点轨迹的参数方程.
2.(10分)[2017·沈阳期末]在平面直角坐标系xOy中,倾斜角为α的直线l过点M(-2,-4),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cos θ.
(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,且|MA|·|MB|=40,求倾斜角α的值.
3.(10分)[2017·新乡二模]已知直线l的参数方程为(t为参数,0≤φ<π),以坐标原点O为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sin θ.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当φ变化时,求|AB|的最小值.
4.(10分)[2017·哈尔滨三模]已知曲线C1的极坐标方程为ρ=1,以极点O为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平
面直角坐标系,曲线C2的参数方程为-
(t为参数).
(1)求曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值;
(2)若把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍,纵坐标扩大为原来的倍,得到曲线C'1,设P(-1,1),曲线C2与C'1交于A,B两点,求|PA|+|PB|.
能力提升
5.(10分)[2018·沈阳模拟]在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两坐标系中取相同的长度单位,已知曲线C的极坐标方程为ρ2=,点A的极坐标为.
(1)求曲线C的直角坐标方程和点A的直角坐标;
(2)设B为曲线C上一动点,以AB为对角线的矩形BEAF的一边平行于极轴,求矩形BEAF周长的最小值及此时点B的直角坐标.
6.(10分)[2018·揭阳模拟]在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数).在以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ+2ρsin θ+1=0.
(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)过曲线C1的右焦点F作倾斜角为α的直线l,该直线与曲线C2相交于不同的两点M,N,求+的取值范围.
难点突破
7.(10分)[2017·南阳四模]在极坐标系中,曲线C1的极坐标方程是ρ=,以极点为原点O,极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的长度单位)的直角坐标系xOy中,曲线C2的参数方程为(θ为参数).
(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程;
(2)若用,分别代换曲线C2的普通方程中的x,y得到曲线C3的方程,M,N分别是曲线C1和曲线C3上的动点,求|MN|的最小值.
8.(10分)[2017·衡水二模]在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数,a>0).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos=-2.
(1)设P是曲线C上的一个动点,当a=2时,求点P到直线l的距离的最大值;
(2)若曲线C上所有的点均在直线l的右下方,求a的取值范围.
课时作业(五十八)
1.解:(1)曲线C的极坐标方程为ρ=1,根据ρ2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程为x2+y2=1,
将代入x2+y2=1,得t2-4t sin φ+3=0(*),
由16sin2φ-12>0,得|sin φ|>,又0≤φ<π,
∴φ的取值范围是.
(2)设P1(t1cos φ,-2+t1sin φ),P2(t2cos φ,-2+t2sin φ),由(1)中的(*)可知,=2sin φ,
∴可得P1P2中点的轨迹方程为φ为参数,<φ<.
故线段P1P2中点轨迹的参数方程为φ为参数,<φ<.
2.解:(1)直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的直角坐标方程为y2=2x.
(2)把直线l的参数方程代入y2=2x,得t2sin2α-(2cos α+8sin α)t+20=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=,根据参数t的几何意义,可得|MA||MB|=|t1t2|==40,所以α=或α=.又因为
Δ=(2cos α+8sin α)2-80sin2α>0,所以α=.
3.解:(1)由消去t,得x sin φ-y cos φ+2cos φ=0,
所以直线l的普通方程为x sin φ-y cos φ+2cos φ=0.
由ρcos2θ=8sin θ,得(ρcos θ)2=8ρsin θ,
把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式,得x2=8y,
所以曲线C的直角坐标方程为x2=8y.
(2)将直线l的参数方程代入x2=8y,得t2cos2φ-8t sin φ-16=0,
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,
则t1+t2=,t1t2=-,
所以|AB|=|t1-t2|=-==,
当φ=0时,|AB|取得最小值,为8.
4.解:(1)易知曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=1,圆心为(0,0),半径为1,曲线C2的普通方程为y=x+2,
圆心到直线的距离d==,所以C1上的点到C2的距离的最小值为-1.
(2)伸缩变换为所以C'1:+=1,故C'1:+=1.
将C2的参数方程与C'1的方程联立,得7t2+2t-10=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-,t1t2=-,因为t1t2=-<0,
所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=.
5.解:(1)由ρ2=可得ρ2(1+2sin2θ)=3,又x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2,
∴曲线C的直角坐标方程为+y2=1,点A的直角坐标为(3,).
(2)曲线C的参数方程为(α为参数,α∈[0,2π)),∴设B(cos α,sin α),
依题意可得|BE|=3-cos α,|BF|=-sin α,
矩形BEAF的周长为2|BE|+2|BF|=6+2-2cos α-2sin α=6+2-4sin,
当α=时,周长取得最小值,为2+2,此时点B的直角坐标为.
6.解:(1)∵曲线C1的参数方程为(φ为参数),
∴曲线C1的普通方程为+=1.
∵ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,
∴ρ2-2ρcos θ+2ρsin θ+1=0可化为x2+y2-2x+2y+1=0,
即曲线C2的直角坐标方程为(x-1)2+(y+1)2=1.
(2)∵曲线C1的右焦点F的坐标为(2,0),
∴直线l的参数方程为(t为参数).
将直线l的参数方程代入(x-1)2+(y+1)2=1,
得t2+2(sin α+cos α)t+1=0,
∵直线l与曲线C2相交于不同的两点M,N,∴Δ>0,
∴0<α<,
设M,N对应的参数分别为t1,t2,
则+=-=-=2(sin α+cos α)=2sin,
∴<sin≤1,
∴2<2≤2,
因此,+的取值范围为(2,2].
7.解:(1)∵C1的极坐标方程是ρ=,∴4ρcos θ+3ρsin θ=24,整理得4x+3y-24=0,∴C1的直角坐标方程为4x+3y-24=0.
∵曲线C2的参数方程为(θ为参数),∴C2的普通方程为x2+y2=1.
(2)用,分别代换曲线C2的普通方程中的x,y,得到曲线C3的方程为+=1,则曲线C3的参数方程为
(α为参数),设N(2α,2sin α),则点N到曲线C1的距离
d=-=
-=,其中sin φ=,cos φ=.
当sin(α+φ)=1时,d有最小值,∴|MN|的最小值为.
8.解:(1)由ρcos=-2,得(ρcos θ-ρsin θ)=-2,化成直角坐标方程,得(x-y)=-2,即直线l的直角坐标方程为x-y+4=0.依题意,设P(2cos t,2sin t),则P到直线l的距离
d===2+2cos,当t+=2kπ,k∈Z,即t=2kπ-,k∈Z时,d max=4,故点P到直线l的距离的最大值为4.
(2)因为曲线C上所有的点均在直线l的右下方,所以对任意t∈R,a cos t-2sin t+4>0恒成立,即
cos(t+φ)+4>0其中恒成立,所以<4,又a>0,所以0<a<2,故a的取值范围为(0,2).。

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