七年级下学期数学探索三角形全等的条件练习题
北师大版七年级数学下册第4.3：探索三角形全等的条件同步测试(有答案)
利用“角边角”“角角边”判定三角形全等全等三角形的判定定理“ASA”1．如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，要使得△AOB≌△DOC，还需补充一个条件，下面补充的条件不一定正确的是（）A．OA＝OD B．AB＝DC C．OB＝OC D．∠ABO＝∠DCO2．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．23．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块4．如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE．求证：BD＝CE．全等三角形的的判定定理“AAS”5．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC6．已知：如图,D是AC上一点,BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F. G，则图中与△FAD全等的三角形是（）.A．△ABF B．△FEB C．△ABG D．△BCD7．如图，已知AD//BC，AD=BC，AC与BD相交于点O ,直线EF经过点O与AD相交于点E，与BC相交于点F，则图中的全等三角形有对，分别是8．如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧．AB∥ED，AB＝CE，BC＝ED．那么AC与CD相等吗？并说明理由．9．如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、点C到直线L的距离分别是2和1，求正方形ABCD的边长？练习：10．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝4，AE＝6，则CH的长为（）A．1 B．2 C．3 D．411．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（）①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④12．如图，已知AB垂直平分CD，AC＝6cm，BD＝4cm，则四边形ADBC的周长为．13．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，垂足为点E，AB＝12cm，则△DEB的周长为cm．14．已知，如图，点D、E分别在AB、AC上，AD＝AE，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，求证：（1）△ABE≌△ACD；（2）△BOD≌△COE．15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD＝BC，∠A＝90°；（1）画出△CBD的高CE；（2）请写出图中的一对全等三角形（不添加任何字母），并说明理由；（3）若AD＝2，CB＝5，求DE的长．16．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，求证：AB＝AD．答案：1．D．2．B．3．B．4．证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，∴∠CAE＝∠BAD．又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE（ASA）．∴BD＝CE．5．A．6．B．7．3，△AOD和△COB,△AOE和△COF，△DOE和△BOF8、解：相等．∵AB∥ED，∴∠B＝∠E，在△ABC和△CED中，∵，∴△ABC≌△CED（SAS），∴AC＝CD．9、解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵AE⊥EF，CF⊥EF，AE＝2，CF＝1，∴∠EAB+∠EBA＝90°，∠EBA+∠CBF＝90°，∴∠EAB＝∠CBF，在△AEB和△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（AAS），∴BF＝AE＝2，BE＝CF＝1，∴AB＝，即正方形ABCD的边长为．10．B．11．A．12．20cm．13．12cm．14．证明：（1）在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS）；（2）∵△ABE≌△ACD，∴AB＝AC，∵AD＝AE，∴BD＝CE，在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（AAS）．15．解：（1）如图所示：（2）△ABD≌△ECB，理由是：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC．∵CE⊥BD，∴∠CEB＝90°，∵∠A＝90°，∴∠CEB＝∠A．在△ABD与△ECB中，，∴△ABD≌△ECB；（3）∵△ABD≌△ECB，∴BE＝AD＝2，BD＝BC＝5，∴DE＝BD﹣BE＝5﹣2＝3．16．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAF＝∠2+∠DAF，即∠BAC＝∠DAE，∵∠2＝∠3，∠AFE＝∠DFC，∴∠E＝∠C，在△ABC与△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AB＝AD．利用“边角边”判定三角形全等全等三角形的判定定理“SAS”1．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC一定全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙2．如图，已知：∠A＝∠D，要使△ABC≌△DCB，只需增加一个条件是（）A．AC＝DB B．BC＝CB C．∠ABC＝∠DCB D．AB＝DC3．如图，AB＝DB，∠1＝∠2，欲证△ABE≌△DBC，则补充的条件中不正确的是（）A．∠A＝∠D B．∠E＝∠C C．∠A＝∠C D．BC＝BE4．下列各组条件，不能判定△ABC≌△A′B′C′的一组是（）A．AC＝A′C′，∠B＝∠B，BC＝B′C B．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AC＝A′CC．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′D．AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C5．如图，AD⊥BC，垂足为D，BD＝DC，则图中全等的三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对6．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠A＝∠D＝90°，给出下列四组条件①AB＝DE，BC＝EF；②AB＝DE，∠B＝∠E；③∠B＝∠E，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF其中，能使△ABC≌△DEF的条件有（请填写所有满足条件的序号）．7．已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．8．如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：CF＝DE．9．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC．求证：DM＝DN．练习10．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE、下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF＝13，EC＝5，求BC的长．12．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．（1）求证：AG＝CE；（2）求证：AG⊥CE．13．如图，AP∥BC，∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的延长线交AP于D．（1）求证：AB＝AD+BC；（2）若BE＝3，AE＝4，求四边形ABCD的面积．答案1．B．2．C．3．C．4．A．5．C．6．①②④．7．证明：∵∠BAE＝∠DAC∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE∴∠CAB＝∠EAD，且AB＝AD，AC＝AE∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠C＝∠E8．证明：∵AE＝BF，∴AE+EF＝BF+EF，即AF＝BE，∵AC∥BD，∴∠CAF＝∠DBE，在△ACF和△BDE中，，∴△ACF≌△BDE（SAS）∴CF＝DE．9．证明：∵AM＝2MB，AN＝2NC，AB＝AC，∴AM＝AN，∵AD平分∠BAC，∴∠MAD＝∠NAD，在△AMD与△AND中，，∴△AMD≌△AND（SAS），∴DM＝DN．10．D．11．（1）证明：在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（SAS），∴∠ACE＝∠DEF，∴AC∥DE；（2）解：∵△ABC≌△DFE，∴BC＝EF，∴CB﹣EC＝EF﹣EC，∴EB＝CF，∵BF＝13，EC＝5，∴EB＝＝4，∴CB＝4+5＝9．12．（1）证明：∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝∠GBE＝90°，BG＝BE，∴∠ABG＝∠CBE，在△ABG和△CBE中，，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG＝CE；（2）证明：如图所示：∵△ABG≌△CBE，∴∠BAG＝∠BCE，∵∠ABC＝90°，∴∠BAG+∠AMB＝90°，∵∠AMB＝∠CMN，∴∠BCE+∠CMN＝90°，∴∠CNM＝90°，∴AG⊥CE．13．（1）证明：延长AE交BC的延长线于M，∵AE平分∠P AB，BE平分∠CBA，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵AD∥BC∴∠1＝∠M＝∠2，∠1+∠2+∠3+∠4＝180°∴BM＝BA，∠3+∠2＝90°，∴BE⊥AM，在△ABE和△MBE中，∴△ABE≌△MBE∴AE＝ME，在△ADE和△MCE中，；∴△ADE≌△MCE，∴AD＝CM，∴AB＝BM＝BC+AD．（2）解：由（1）知：△ADE≌△MCE，∴S四边形ABCD＝S△ABM又∵AE＝ME＝4，BE＝3，∴，∴S四边形ABCD＝12．。
2019年中考数学《探索三角形全等的条件》专题练习含答案
探索三角形全等的条件(Ａ卷)一、选择题:1、下列说法中正确的个数为 ( )(1)所有的等边三角形都全等 (2)两个三角形全等,它们的最大边是对应边(3)两个三角形全等,它们的对应角相等 (4)对应角相等的三角形是全等三角形A.1B.2C.3D.42、下列说法中,错误的是 ( )A.全等三角形的面积相等B.全等三角形的周长相等C.面积相等的三角形全等D.面积不等的三角形不全等3、在△ABC和△A′B′C′，如果满足条件( )，可得△ABC≌△A′B′C′。
A.AB=A′B′,AC=A′C′，∠B=∠B′B.AB=A′B′，BC=B′C′，∠A=∠A′C.AC=A′C′,BC=B′C′，∠C=∠C′D.AC=A′C′，BC=B′C′，∠B=∠B′4.如图1所示,已知AB=CD,AD=CB,AC、BD相交于O,则图中全等三角形有 ( )A.2对B.3对C.4对D.5对O (1)D CB A(2)EDCBA321(3)FEDCBA5、不能使两个直角三角形全等的条件是（）A.一条直角边及其对角对应相等B.斜边和一条直角边对应相等C.斜边和一锐角对应相等D.两个锐角对应相等6、如图2所示，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于D，BC=BD，结果AC=3cm，那么AE+DE=（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm7、如图3所示，已知EA⊥AB，BC∥EA，EA=AB=2BC，D为AB的中点，则下面式子不能成立的是（）A.DE=DCB.DE⊥ACC.∠CAB=30°D.∠EAF=∠ADF8、具备下列条件的两个三角形，可以证明它们全等的是（）A.一边和这边上的高对应相等B.两边和第三边上的中线对应相等C.两边和其中一边的对角对应相等D.直角三角形的叙边对应相等9.△ABC中，AC=5，中线AD=7，,则AB边的取值范围是（）A.1<AB<29B.4<AB<24C.5<AB<19D.9<AB<1910.下列三角形中，能全等的是( )(1)一腰和顶角对应相等的两个等腰三角形； (2)一腰和一个角分别相等的两个等腰三角形；(3)有两边分别相等的两个直角三角形； (4)两条直角边对应相等的两个直角三角形。
2020湘教版七年级数学下册 4.3 探索三角形全等的条件
【解析】因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD， ∠ABC=∠BAD=90°. 因为BF⊥a于点F，DE⊥a于点E， 所以∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°，所以∠FBA=∠EAD. 所以在Rt△AFB和Rt△AED中，因为∠AFB=∠DEA=90°，∠FBA=∠EAD ，AB=DA， 所以△AFB≌△DEA(AAS)， 所以AF=DE=8，BF=AE=5， 所以EF=AF+AE=8+5=13. 答案：13
【规律总结】 由已知说明两三角形全等的一般思路
(1)若已知两边→ (2)若已知一边一角→ 边为角的对边→ 找任找一角角的找另→夹一角A邻A→S边S→AS SAS 边为角的邻边→ 找边的找另第一三邻边角→→SSASSA
找边的对角→ AAS (3)若已知两角→
找夹边→ ASA 找任一角的对边→ AAS
【解析】由BD=CE可得BD+DE=CE+DE即BE=CD，得三边对应相等. 答案：BE=CD或BD=CE
5.如图所示，在△ABC和△EFD中，AD=FC，AB=FE，BC=ED.说明△ABC≌△FED.
【解析】因为AD=FC,所以AD+DC=FC+DC， BC=ED，
即AC=FD，在△ABC和△FED中，AC=FD， AB=FE，
【规范解答】因为AE∥CF，
所以∠AED=∠CFB，
…………………………2分
特别提醒：BE和DF不是△ADE
因为DF=BE， 所以DF+EF=BE+EF，
与△CBF中的对应边.
即DE=BF，…………… 4分
在△ADE和△CBF中，
AE=CF，∠AED=∠CFB ，DE=BF，
所以△ADE≌△CBF(SAS). ……………………6分
北师大版七年级数学下探索三角形全等的条件诊断试题
9. 如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE 于 E 点,AD⊥CE 于 D 点, AD=2.5 cm,DE=1.7 cm,则 BE 的长为( ) A. 0.8 cm B. 1 cm C. 1.5 cm D. 4.2 cm
10. 如 图 ， 点 A 在 DE 上， AC=CE ， ∠1=∠2=∠ 3，则 DE 的长等 于
（ ） A．DC
B．BC
C．AB
D．AE+AC
☆11. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为 D,E,AD,CE 交于点 H.
请你添加一个适当条件:
,使△AEH≌△CEB.
☆12. 如图,在四边形 ABCD 中，E 点在 AD 上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且 BC=CE. 试说明:△ABC ≌ △DEC.
七年级数学学科 4.3.2《探索三角形全等的条件》诊断卡
主备人：周宇 班级：
姓名：
1. 下列条件中,能判定△ABC≌△DEF 的是( )
A. AB=DE,BC=EF,AC=EF
B. ∠A=∠E,AB=EF,∠B=∠D
C. ∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F
D. ∠A=∠D,∠B=∠E,AC=DF
2. 如图，点 A、D、C、E 在同一条直线上，AB∥EF，AB=EF，∠B=∠F，
13. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＋∠D＝180°，AC 平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD. 试说明：(1)△CBE≌△CDF； (2)AB＋DF＝AF.
③∠FAN=∠EAM;④△ACN≌△ABM.其中正确的有( )
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
7. 如图，AC⊥BC，AD⊥DB，下列条件能使△ABC≌△BAD 的有
北师大版七年级下册数学4.3探索三角形全等的条件 同步练习
4.3探索三角形全等的条件同步练习一．选择题1．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AB＝DE，则添加下列条件不能使△ABC≌△DEF成立的是（）A．∠B＝∠E B．∠C＝∠F C．AC＝DF D．BC＝EF2．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，添加下列各组条件后，不能使△ABC≌△DEC 的是（）A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝DC，∠A＝∠DC．∠B＝∠E，∠A＝∠D D．BC＝EC，AC＝DC3．如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是（）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS4．下列条件中，不能确定△ABC的形状和大小的是（）A．AB＝5，BC＝6，AC＝7B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°C．AB＝5，AC＝4，∠B＝45°D．AB＝5，AC＝4，∠C＝90°5．如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，则下列结论中正确的是（）A．E为BC中点B．2BE＝CD C．CB＝CD D．△ABC≌△CDE 6．如图，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC上一点，AD＝AE，BE、CD相交于点M．若∠BAC＝70°，∠C＝30°，则∠BMD的大小为（）A．50°B．65°C．70°D．80°7．如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，下列结论：（1）AB＝AC；（2）∠BAE＝∠CAD；（3）BE ＝DC；（4）AD＝DE．中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48．如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁9．小明发现有两个结论：在△A1B1C1与△A2B2C2中，①若A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，B1C1＝B2C2，且它们的周长相等，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1＝∠A2，A1C1＝A2C2，B1C1＝B2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2．对于上述的两个结论，下列说法正确的是（）A．①，②都错误B．①，②都正确C．①正确，②错误D．①错误，②正确10．如图，点B，C，E在同一条直线上，∠B＝∠E＝∠ACF＝60°，AB＝CE，则与线段BC相等的线段是（）A．AC B．AF C．CF D．EF二．填空题11．如图，点C，F在BE线段上，∠ABC＝∠DEF，BC＝EF，请你添加一个条件，使得△ABC ≌△DEF，你添加的条件是（只需填一个答案即可）．12．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，AC＝AE，且∠CDA＝55°，则∠B ＝度．13．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝100，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为2：3，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为．14．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2cm，BE＝0.5cm，则DE ＝cm．15．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC．若AB＝a，AD＝2BC＝b，M为BD的中点，则CM的长为．三．解答题16．如图，AB∥CD，AB＝CD点E、F在BC上，且BF＝CE．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）求证：AE∥DF．17．如图，在△ABC中，AC＝BC，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E．求证：（1）△ADC≌△BEC；（2）∠DAB＝∠EBA．18．以△ABC的AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AE＝AB，AC＝AD，CE与BD相交于M，∠EAB＝∠CAD＝α．（1）如图1，若α＝40°，求∠EMB的度数；（2）如图2，若G、H分别是EC、BD的中点，求∠AHG的度数（用含α式子表示）；（3）如图3，连接AM，直接写出∠AMC与α的数量关系是．参考答案一．选择题1．解：A、添加∠B＝∠E，可利用AAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；B、添加∠C＝∠F，可利用AAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；C、添加AC＝DF，可利用SAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；D、添加BC＝EF，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；故选：D．2．解：A、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，∠B＝∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；B、已知AB＝DE，再加上条件BC＝DC，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；C、已知AB＝DE，再加上条件∠B＝∠E，∠A＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；D、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，AC＝DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；故选：B．3．解：如图，只要量出AB的长和∠A和∠B的度数，再画出一个三角形DEF，使EF＝AB，∠E＝∠A，∠F＝∠B即可，故选：A．4．解：当AB＝5，BC＝6，AC＝7时，根据SSS，可以得到△ABC是确定的，故选项A不符合题意；当AB＝5，BC＝6，∠B＝45°时，根据SAS，可以得到△ABC是确定的，故选项B不符合题意；当AB＝5，AC＝4，∠B＝45°时，无法确定△ABC，故选项C符合题意；当AB＝5，AC＝4，∠C＝90°时，根据HL，可以得到△ABC是确定的，故选项D不符合题意；故选：C．5．解：在Rt△ABC与Rt△CDE中，，∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），∴CB＝DE，CE＝AC，CD＝AB，△ABC≌△CDE，故选：D．6．解：在△ADC与△AEB中，，∴△ADC≌△AEB（SAS），∴∠B＝∠C，∠AEB＝∠ADC，∵∠BAC＝70°，∠C＝30°，∴∠AEB＝∠ADC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°，∴∠BMC＝∠DME＝360°﹣∠AEB﹣∠ADC﹣∠BAC＝360°﹣80°﹣80°﹣70°＝130°，∴∠BMD＝180°﹣130°＝50°，故选：A．7．解：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，故（1）正确；在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AD＝AE，BE＝CD，∠BAE＝∠CAD，故（2）（3）正确，（4）错误，正确的个数有3个，故选：C．8．解：A．△ABC和甲所示三角形根据SA无法判定它们全等，故本选项错误；B．△ABC和乙所示三角形根据SAS可判定它们全等，故本选项正确；C．△ABC和丙所示三角形根据SA无法判定它们全等，故本选项错误；D．△ABC和丁所示三角形根据AA无法判定它们全等，故本选项错误；故选：B．9．解：在△A1B1C1与△A2B2C2中，，∴△A1B1C1≌△A2B2C2（SSS）；∴①正确．若∠A1＝∠A2，A1C1＝A2C2，B1C1＝B2C2，SSA不可以判定△A1B1C1≌△A2B2C2．∴②错误．故选：C．10．解：∵∠ACE＝∠B+∠CAB＝∠ACF+∠ECF，∠B＝∠E＝∠ACF＝60°，∴∠ECF＝∠BAC，∵AB＝CE，∴△ABC≌△CEF（ASA），∴BC＝EF．故选：D．二．填空题11．解：添加条件AB＝DE可使得△ABC≌△DEF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），添加条件∠A＝∠D可使得△ABC≌△DEF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），添加条件∠ACB＝∠DFE可使得△ABC≌△DEF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），故答案为：AB＝DE或∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE．12．解：∵DE⊥AB，∴∠C＝∠AED＝90°，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴∠EDA＝∠CDA＝55°，即∠CDE＝110°，∴∠BDE＝70°，∴∠B＝90°﹣∠BDE＝90°﹣70°＝20°，故答案为：20．13．解：设BE＝2t，则BF＝3t，因为∠A＝∠B＝90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，∵BF＝AE，AB＝60，∴3t＝100﹣2t，解得：t＝20，∴AG＝BE＝2t＝2×20＝40；情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，∵BE＝AE，AB＝60，∴2t＝100﹣2t，解得：t＝25，∴AG＝BF＝3t＝3×25＝75，综上所述，AG＝40或AG＝75．故答案为：40或75．14．解：∵BE⊥CE，AD⊥CE∴∠E＝∠ADC＝90°∴∠DAC+∠DCA＝90°∵∠ACB＝90°∴∠BCE+∠DCA＝90°∴∠DAC＝∠BCE在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE∴BE＝CD＝0.5（cm），EC＝AD＝2（cm）DE＝CE﹣CD＝1.5（cm），故答案为1.515．解：延长CM交AD于点E，∵AD＝2BC＝b，∴BC＝，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠DEC＝∠BCM，∵M为BD的中点，∴BM＝DM，在△BCM和△DEM中，，∴△BMC≌△DME（AAS），∴CM＝ME，BC＝DE＝，∴AE＝AD﹣DE＝＝BC，∵AC⊥BC，AD∥BC，∴AC⊥AD，∴∠CAE＝90°，∵AC＝＝，∴AB＝CE＝a，∴CM＝ME＝，故答案为：．三．解答题16．证明：（1）∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∵BF＝CE，∴BE＝CF，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）；（2）∵△ABE≌△DCF，∴∠AEB＝∠DFC，∴∠AEF＝∠DFE，∴AE∥DF．17．证明：（1）在△ADC和△BEC中，，∴△ADC≌△BEC（AAS）；（2）∵△ADC≌△BEC，∴∠CAD＝∠CBE，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，∴∠DAB＝∠EBA．18．解：（1）∵∠EAB＝∠CAD＝α，∴∠EAC＝∠BAD，在△ABE和△ACD中，，∴△AEC≌△ABD（SAS），∴∠AEC＝∠ABD，∵∠AEC+∠EAB＝∠ABD+∠EMB，∴∠EMB＝∠EAB＝40°；（2）连接AG，AH，由（1）可得：EC＝BD，∠ACE＝∠ADB，∵G、H分别是EC、BD的中点，∴DH＝CG，在△ACG和△ADH中，，∴△ACG≌△ADH（SAS），∴AG＝AH，∠CAG＝∠DAH，∴∠AGH＝∠AHG，∠CAG﹣∠CAH＝∠DAH﹣∠CAH，∴∠GAH＝∠DAC，∵∠DAC＝α，∴∠GAH＝α，∵∠GAH+∠AHG+∠AGH＝180°，∴∠AHG＝90°﹣α；（3）如图3，连接AM，过点A作AP⊥EC于P，AN⊥BD于N，∵△ACG≌△ADH，∴S△ACG＝S△ADH，EC＝BD，∵EC×AP＝×BD×AN，∴AP＝AN，又∵AP⊥EC，AN⊥BD，∴∠AME＝∠AMD＝，∴∠AMC＝∠AMD+∠DMC＝90°+α，故答案为：90°+α．。
北师大版初中数学七年级下册《4.3 探索三角形全等的条件》同步练习卷(7)
北师大新版七年级下学期《4.3 探索三角形全等的条件》同步练习卷一．选择题（共7小题）1．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上木条的条数为（）A．0根B．1根C．2根D．3根2．如图，已知∠ABD＝∠BAC，添加下列条件不能判断△ABD≌△BAC的条件是（）A．∠D＝∠C B．AD＝BC C．∠BAD＝∠ABC D．BD＝AC3．如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是（）A．∠B＝∠E B．∠BAD＝∠EAC C．∠BAC＝∠EAD D．BC＝ED4．已知a、b、c为三角形的边长，则图2中甲、乙、丙三个三角形和图1中的△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙5．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD交BE于点F，若BF＝AC，则∠ABC等于（）A．45°B．48°C．50°D．60°6．有下列说法：①两个三角形全等，它们的形状一定相同；②两个三角形形状相同，它们一定是全等三角形；③两个三角形全等，它们的面积一定相等；④两个三角形面积相等，它们一定是全等三角形．其中正确的说法是（）A．①②B．②③C．①③D．②④7．如图，在△P AB中，P A＝PB，M，N，K分别是P A，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN ＝AK．若∠MKN＝48°，则∠P的度数为（）A．48°B．66°C．84°D．92°二．填空题（共7小题）8．盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这是利用三角形的性．9．如图，∠1＝∠2，BC＝EC，请补充一个条件：能使用“AAS”方法判定△ABC ≌△DEC．10．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，若要判定△ABE≌△ACD，则需添加条件．（只要求写出一个）11．如图，AB∥FC，E是DF的中点，若AB＝20，CF＝12，则BD＝．12．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF．若AC ＝5，则DF＝．13．如图，∠AOB＝90°，OA＝OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D．已知AC＝6，BD＝4，则CD＝．14．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于．三．解答题（共2小题）15．如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连接EG，EF．（1）求证：BG＝CF．（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．16．探究：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，求证：△ABD≌△CAE．应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DE＝BD+CE．北师大新版七年级下学期《4.3 探索三角形全等的条件》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上木条的条数为（）A．0根B．1根C．2根D．3根【分析】根据三角形的稳定性可得答案．【解答】解：如图所示：要使这个木架不变形，他至少还要再钉上1个木条，故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．2．如图，已知∠ABD＝∠BAC，添加下列条件不能判断△ABD≌△BAC的条件是（）A．∠D＝∠C B．AD＝BC C．∠BAD＝∠ABC D．BD＝AC【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．【解答】解：由题意得，∠ABD＝∠BAC，A、在△ABC与△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（AAS），故A选项能判定全等；B、在△ABC与△BAD中，由BC＝AD，AB＝BA，∠BAC＝∠ABD，可知△ABC与△BAD不全等，故B选项不能判定全等；C、在△ABC与△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（ASA），故C选项能判定全等；D、在△ABC与△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（SAS），故D选项能判定全等；故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是（）A．∠B＝∠E B．∠BAD＝∠EAC C．∠BAC＝∠EAD D．BC＝ED【分析】全等三角形的判定中，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边对应相等．【解答】解：∵AB＝AE，AC＝AD，∴当∠BAD＝∠EAC或∠BAC＝∠EAD，依据SAS即可得到△ABC≌△AED；当BC＝ED时，依据SSS即可得到△ABC≌△AED；当∠B＝∠E时，不能判定△ABC≌△AED．故选：A．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．4．已知a、b、c为三角形的边长，则图2中甲、乙、丙三个三角形和图1中的△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙【分析】首先观察图形，然后根据三角形全等的判定方法（AAS与SAS），即可求得答案．【解答】解：如图：在△ABC和△MNK中，，∴△ABC≌△NKM（SAS）；在△ABC和△HIG中，，∴△ABC≌△GHI（AAS）．∴甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是：乙和丙．故选：B．【点评】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是注意掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．5．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD交BE于点F，若BF＝AC，则∠ABC等于（）A．45°B．48°C．50°D．60°【分析】根据垂直的定义得到∠ADB＝∠BFC＝90°，得到∠FBD＝∠CAD，证明△FDB ≌△CAD，根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB＝∠BEC＝90°，∴∠FBD＝∠CAD，在△FDB和△CAD中，，∴△FDB≌△CDA，∴DA＝DB，∴∠ABC＝∠BAD＝45°，故选：A．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．6．有下列说法：①两个三角形全等，它们的形状一定相同；②两个三角形形状相同，它们一定是全等三角形；③两个三角形全等，它们的面积一定相等；④两个三角形面积相等，它们一定是全等三角形．其中正确的说法是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【分析】根据全等三角形的定义以及性质一一判断即可．【解答】解：①两个三角形全等，它们的形状一定相同，此说法正确；②两个三角形形状相同，它们不一定是全等三角形，此说法错误；③两个三角形全等，它们的面积一定相等，此说法正确；④两个三角形面积相等，它们不一定是全等三角形，此说法错误；综上，正确说法的是①③，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的定义和性质．7．如图，在△P AB中，P A＝PB，M，N，K分别是P A，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN ＝AK．若∠MKN＝48°，则∠P的度数为（）A．48°B．66°C．84°D．92°【分析】由△MAK≌△KBN，推出∠AMK＝∠BKN，由∠BKM＝∠A+∠AMK＝∠MKN+∠BKN，推出∠A＝∠MKN＝48°，推出∠A＝∠B＝48°，由此即可解决问题．【解答】解：∵P A＝PB，∴∠A＝∠B，在△MAK和△KBN中，，∴△MAK≌△KBN（SAS），∴∠AMK＝∠BKN，∵∠BKM＝∠A+∠AMK＝∠MKN+∠BKN，∴∠A＝∠MKN＝48°，∴∠A＝∠B＝48°，∴∠P＝180°﹣2×48°＝84°．故选：C．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（共7小题）8．盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这是利用三角形的稳定性．【分析】在窗框上斜钉一根木条，构成三角形，故可用三角形的稳定性解释．【解答】解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性．故答案为：稳定．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．9．如图，∠1＝∠2，BC＝EC，请补充一个条件：∠A＝∠D能使用“AAS”方法判定△ABC≌△DEC．【分析】已知∠1＝∠2，就是已知∠ACB＝∠DCE，则根据三角形的判定定理AAS即可证得．【解答】解：可以添加∠A＝∠D，理由是：∵∠1＝∠2，∴∠ACB＝∠DCE，∴在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．故答案是：∠A＝∠D．【点评】本题考查了三角形全等的判定，两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．10．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，若要判定△ABE≌△ACD，则需添加条件AD＝AE．（只要求写出一个）【分析】添加条件：AD＝AE，再由已知条件AB＝AC和公共角∠A可利用SAS定理证明△ABE≌△ACD．【解答】解：添加条件：AD＝AE，在△AEB和△ADC中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），故答案为：AD＝AE．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．11．如图，AB∥FC，E是DF的中点，若AB＝20，CF＝12，则BD＝8．【分析】根据平行的性质求得内错角相等，已知对顶角相等，又知E是DF的中点，所以根据ASA得出△ADE≌△CFE，从而得出AD＝CF，已知AB，CF的长，那么BD的长就不难求出．【解答】解：∵AB∥FC，∴∠ADE＝∠EFC，∵E是DF的中点，∴DE＝EF，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（ASA），∴AD＝CF，∵AB＝20，CF＝12，∴BD＝AB﹣AD＝20﹣12＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键在于求证△ADE≌△CFE．12．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF．若AC ＝5，则DF＝5．【分析】根据BE＝CF，求出BC＝EF，根据AAS推出△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质推出对应边相等即可．【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AC＝DF＝5（全等三角形对应边相等）．故答案为：5．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ABC≌△DEF，注意：全等三角形的对应边相等．13．如图，∠AOB＝90°，OA＝OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D．已知AC＝6，BD＝4，则CD＝2．【分析】根据同角的余角相等求出∠A＝∠BOD，然后利用“角角边”证明△AOC和△OBD全等，根据全等三角形对应边相等推知AC＝OD，OC＝BD，则CD＝OD﹣OC．【解答】解：∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∵AC⊥l，BD⊥l，∴∠ACO＝∠BDO＝90°，∴∠A+∠AOC＝90°，∴∠A＝∠BOD，在△AOC和△OBD中，，∴△AOC≌△OBD（AAS），∴AC＝OD＝6，OC＝BD＝4，则CD＝OD﹣OC＝2．故答案是：2．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．14．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于 5.5．【分析】可通过作辅助线，即延长FM到N，使MN＝MF，连接BN，延长MF交BA延长线于E，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而最终可得出结论．【解答】解：如图，延长FM到N，使MN＝MF，连接BN，延长MF交BA延长线于E，∵M是BC中点，∴BM＝CM，∠BMN＝∠CMF，∴△BMN≌△CMF，∴BN＝CF，∠N＝∠MFC，又∵∠BAD＝∠CAD，MF∥AD，∴∠E＝∠BAD＝∠CAD＝∠CFM＝∠AFE＝∠N，∴AE＝AF，BN＝BE，∴AB+AC＝AB+AF+FC＝AB+AE+FC＝BE+FC＝BN+FC＝2FC，∴FC＝（AB+AC）＝5.5．故答案为5.5．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及角、线段之间的转化问题，能够熟练掌握．三．解答题（共2小题）15．如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连接EG，EF．（1）求证：BG＝CF．（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．【分析】（1）求出∠C＝∠GBD，BD＝DC，根据ASA证出△CFD≌△BGD即可．（2）根据全等得出BG＝CF，根据三角形三边关系定理求出即可．【解答】（1）证明：∵BG∥AC，∴∠C＝∠GBD，∵D是BC的中点，∴BD＝DC，在△CFD和△BGD中，∴△CFD≌△BGD，∴BG＝CF．（2）BE+CF＞EF，理由如下：∵△CFD≌△BGD，∴CF＝BG，在△BGE中，BG+BE＞EG，∵由（2）知：GD＝GD，ED⊥GF，∴EF＝EG，∴BG+CF＞EF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线性质，三角形三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．16．探究：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，求证：△ABD≌△CAE．应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DE＝BD+CE．【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA．（2）设∠BDA＝∠BAC＝α，则∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，得出∠CAE ＝∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案．【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS）；（2）设∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；得出∠CAE＝∠ABD是解题关键．。
【同步练习】北师大版2019年 七年级数学下册 探索三角形全等的条件 同步练习(含答案)
北师大版七年级数学下册探索三角形全等的条件同步练习一、选择题1.如图，在△ABC和△DEF中，已有条件AB=DE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEF．不能添加的一组条件是（）A.∠B=∠E,BC=EFB.∠A=∠D,BC=EFC.∠A=∠D,∠B=∠ED.BC=EF,AC=DF2.如图，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（）A．AB=AC B．DB=DC C．∠ADB=∠ADC D．∠B=∠C3.如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠EB．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠DD．∠B=∠E，∠A=∠D4.如图，AE=AF，AB=AC，EC与BF交于点O，∠A=60°，∠B=25°，则∠EOB的度数为（）A．60°B．70°C．75°D．85°5.如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠CB．AD=CBC．BE=DFD．AD∥BC6.已知△AB1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：1①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A.①正确,②错误B.①错误,②正确C.①,②都错误D.①,②都正确7.如图．从下列四个条件：①BC=B′C，②AC=A′C，③∠A′CA=∠B′CB，④AB=A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个D．4个8.如下图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（）A.AB=ACB.∠BAE=∠CADC.BE=DCD.AD=DE9.如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（）A．330°B．315°C．310°D．320°10.如图，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°.其中结论正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题11.如图示,点B在AE上,∠CBE=∠DBE,要使ΔABC≌ΔABD, 还需添加一个条件是__________.（填上你认为适当的一个条件即可）12.如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是．13.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，E、F分别为DB、DC的中点，则图中共有全等三角形对．14.．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是15.如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF是中线，则由可得△AFC≌△AEB．16.如图，AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中BC与B′C′边上的高．（只需填写一个你认为适当的条件）17.如图EB交AC于M,交FC于D,AB交FC于N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（填序号）．18.在平面直角坐标系中,点A（2,0），B（0,4），作△BOC,使△BOC与△ABO全等,则点C坐标为 .三、解答题19.如图，在△AEC中，点D是EC上的一点，且AE=AD，AB=AC，∠1=∠2．求证：BD=EC．20.如图,在△ABC,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD、CE相交于F.求证：AF平分∠BAC.21.如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．22.如图,已知在四边形ABCD中,E是AC上一点,∠1=∠2,∠3=∠4.求证：∠5=∠6．23.如图，已知∠B+∠CDE=180°，AC=CE．求证：AB=DE．24.已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由；(2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由；(3)归纳(1)、(2),请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.25.如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．答案1.B.2.B3.C4.B5.B6.D7.B8.D9.B10.D11.答案为：BC=BD；12.答案为：AE=AB．13.答案为414.答案为：ASA15.答案为：SAS．16.添加∠C=∠C´，可以利用AAS判定其全等；还可添加AC=A′C′，∠CAD=∠C′A′D′等．17.答案为：①②③．18.答案为：（-2,0），（-2,4），（2,4）；19.证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠DAB=∠EAC，在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD=EC．20.证明：∵BD⊥AC,CE⊥AB∴∠ADB＝∠AEC＝90∵∠BAD＝∠CAE,AB＝AC∴△ABD≌△ACE （AAS）∴AE＝AD∵AF＝AF∴△ADF≌△AEF （HL）∴∠BAF＝∠CAF21.证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，∵在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS）．22.证明：∵，∴△ADC≌△ABC（ASA）．∴DC=BC．又∵，∴△CED≌△CEB（SAS）．∴∠5=∠6．23.证明：如图，过E点作EH∥AB交BD的延长线于H，故∠A=∠CEH，在△ABC与△EHC中，∴△ABC≌△EHC（ASA），∴AB=HE，∵∠B+∠CDE=180°，∠HDE+∠CDE=180°∴∠HDE=∠B=∠H，∴DE=HE．∵AB=HE，∴AB=DE．24.解：（1）在△ABC中,∠BAC=90°，∴∠BAD＝90°-∠EAC。
北师大版初中数学七年级下册《4.3 探索三角形全等的条件》同步练习卷(1)
北师大新版七年级下学期《4.3 探索三角形全等的条件》同步练习卷一．选择题（共7小题）1．下列说法正确的是（）A．三角形的三条中线交于一点B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形不一定具有稳定性D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部2．如图AE∥DF，CE∥BF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．∠A＝∠D B．∠E＝∠F C．AB＝BC D．AB＝CD3．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE＝CF，∠B＝∠DEF，请你添加一个合适的条件，使△ABC≌△DEF，其中不正确条件是（）A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠F 4．如图，已知AB＝DE，BE＝CF，添加下列条件中哪一个能使△ABC≌△DEF（）A．∠A＝∠D B．AB∥DE C．BE＝EC D．AC∥DF5．如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是（）A．∠B＝∠E B．∠BAD＝∠EAC C．∠BAC＝∠EAD D．BC＝ED6．如图所示，△ABC的三条边长分别是a，b，C，则下列选项中的三角形与△ABC不一定全等的是（）A．B．C．D．7．如图，AB＝AC，AD＝AE，下列结论错误的是（）A．∠B＝∠C B．BD＝CE C．BE⊥CD D．△ABE≌△ACD 二．填空题（共2小题）8．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是．9．如图所示，AB＝AD，∠1＝∠2，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使△ABC ≌△ADE，则需添加的条件是．三．解答题（共11小题）10．已知：AD是△ABC中BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，求证：△ACD≌△EBD．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，求证：△ABD≌△ACD．12．如图，线段AD、CE相交于点B，BC＝BD．（1）若∠A＝60°，∠ACB＝20°，求∠CDB的度数；（2）若AB＝EB，求证：△ACD≌△EDC．13．已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，AC＝DF．求证：△ABF≌△DEC．14．如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：△AOC≌△BOD．15．已知，如图，AD＝CB，∠1＝∠2．求证：△ADC≌△CBA．16．如图，AB＝CD，AE＝CF，E、F是BD上两点，且BF＝DE．求证：AD＝BC．17．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF，求证：∠ACB＝∠F．18．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且AE＝AD，∠EAD＝∠BAC．（1）求证：∠ABD＝∠ACD；（2）若∠ACB＝62°，求∠BDC的度数．19．如图，已知CA＝CD，AB＝DE，∠A＝∠D，求证：∠BCE＝∠ACD．20．如图，点A、E、F、C在一直线上，DE∥BF，DE＝BF，AE＝CF．求证：AB∥CD．北师大新版七年级下学期《4.3 探索三角形全等的条件》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．下列说法正确的是（）A．三角形的三条中线交于一点B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形不一定具有稳定性D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部【分析】依据三角形角平分线、中线以及高线的概念，即可得到正确结论．【解答】解：A．三角形的三条中线交于一点，正确；B．锐角三角形的三条高都在三角形内部，错误；C．三角形一定具有稳定性，错误；D．三角形的角平分线一定在三角形的内部，错误；故选：A．【点评】本题主要考查了三角形角平分线、中线以及高线的概念，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．2．如图AE∥DF，CE∥BF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．∠A＝∠D B．∠E＝∠F C．AB＝BC D．AB＝CD【分析】依据AE∥DF，CE∥BF，即可得到∠A＝∠D，∠ACE＝∠DBF，根据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，即可得出结论．【解答】解：∵AE∥DF，CE∥BF，∴∠A＝∠D，∠ACE＝∠DBF，∴要使△EAC≌△FDB，还需要AC＝BD，∴当AB＝CD时，可得AB+BC＝BC+CD，即AC＝BD，故选：D．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．3．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE＝CF，∠B＝∠DEF，请你添加一个合适的条件，使△ABC≌△DEF，其中不正确条件是（）A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠F 【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可．【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF，且∠ABC＝∠DEF，∴当AC＝DF时，满足SSA，无法判定△ABC≌△DEF，故B不能；当AB＝DE时，满足SAS，可以判定△ABC≌△DEF，故B可以；当∠ACB＝∠F时，满足ASA，可以判定△ABC≌△DEF，故C可以；当∠A＝∠D时，满足AAS，可以判定△ABC≌△DEF，故D可以；故选：B．【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．4．如图，已知AB＝DE，BE＝CF，添加下列条件中哪一个能使△ABC≌△DEF（）A．∠A＝∠D B．AB∥DE C．BE＝EC D．AC∥DF【分析】根据条件求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理判断即可．【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，∴BC＝EF，当AB∥DE时，∠B＝∠DEF，依据SAS即可得到△ABC≌△DEF；当∠A＝∠D或BE＝EC或AC∥DF时，不能使△ABC≌△DEF；故选：B．【点评】本题全等三角形的判定的应用，全等三角形的5种判定方法中，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．5．如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是（）A．∠B＝∠E B．∠BAD＝∠EAC C．∠BAC＝∠EAD D．BC＝ED【分析】全等三角形的判定中，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边对应相等．【解答】解：∵AB＝AE，AC＝AD，∴当∠BAD＝∠EAC或∠BAC＝∠EAD，依据SAS即可得到△ABC≌△AED；当BC＝ED时，依据SSS即可得到△ABC≌△AED；当∠B＝∠E时，不能判定△ABC≌△AED．故选：A．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．6．如图所示，△ABC的三条边长分别是a，b，C，则下列选项中的三角形与△ABC不一定全等的是（）A．B．C．D．【分析】根据趋势进行的判定定理判断即可．【解答】解：A、根据全等三角形的判定定理（SSS）A选项中的三角形与△ABC全等，B、∵∠C＝180°﹣80°﹣43°＝57°，∴根据全等三角形的判定定理（SAS）B选项中的三角形与△ABC全等；C、∵∠C＝180°﹣80°﹣43°＝57°，∴根据全等三角形的判定定理（AAS）C选项中的三角形与△ABC全等；D、D项中的三角形与△ABC不一定全等；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．7．如图，AB＝AC，AD＝AE，下列结论错误的是（）A．∠B＝∠C B．BD＝CE C．BE⊥CD D．△ABE≌△ACD 【分析】依据SAS即可得判定△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质，即可得到正确结论．【解答】解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠A＝∠A，∴△ABE≌△ACD（SAS），故D选项正确；∴∠B＝∠C，故A选项正确；∵AB﹣AD＝AC﹣AE，∴BD＝CE，故B选项正确；∵∠AEB不一定是直角，∴BE⊥CD不一定成立，故C选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．二．填空题（共2小题）8．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是三角形具有稳定性．【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，故答案为：三角形具有稳定性．【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．9．如图所示，AB＝AD，∠1＝∠2，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使△ABC ≌△ADE，则需添加的条件是AC＝AE或∠B＝∠DA或∠ACB＝∠AED（填对其中一个均可）．【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，∵AB＝AD，∴根据SAS只要添加AC＝AE即可，根据ASA只要添加∠B＝∠D即可，根据AAS只要添加∠C＝∠E即可．故答案为：AC＝AE或∠B＝∠DA或∠ACB＝∠AED【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三．解答题（共11小题）10．已知：AD是△ABC中BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，求证：△ACD≌△EBD．【分析】依据中线的定义，即可得到BD＝CD，再根据SAS即可判定△ACD≌△EBD．【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（SAS）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，求证：△ABD≌△ACD．【分析】根据“SSS”进行证明．【解答】证明：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD．【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．12．如图，线段AD、CE相交于点B，BC＝BD．（1）若∠A＝60°，∠ACB＝20°，求∠CDB的度数；（2）若AB＝EB，求证：△ACD≌△EDC．【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠ABC，再利用等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．（2）首先证明△ABC≌△EBD（SAS），AC＝ED，∠A＝∠E，再证明△ACD≌△EDC（SAS）．【解答】（1）解：∵∠A＝60°，∠ACB＝20°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣20°＝100°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝BDC，∵∠ABC＝∠BCD+∠BDC，∴∠CDB＝∠DCB＝50°．（2）证明：在△ABC和△EBD中，，∴△ABC≌△EBD（SAS），∴AC＝ED，∠A＝∠E，∵AB＝EB，BD＝BC，∴AD＝EC，在△CAD和△DEC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，AC＝DF．求证：△ABF≌△DEC．【分析】根据SAS证明△ABF≌△DEC即可．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，∵AC＝FD，∴AF＝DC，在△ABF和△DEC中，，∴△ABF≌△DEC（SAS）．【点评】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．14．如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：△AOC≌△BOD．【分析】根据角的和差得到∠AOC＝∠BOD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC与△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练全等三角形的判定定理是解题的关键．15．已知，如图，AD＝CB，∠1＝∠2．求证：△ADC≌△CBA．【分析】在△ADC与△CBA中，AC是公共边，根据SAS即可证明△ADC≌△CBA．【解答】证明：在△ADC与△CBA中，∴△ADC≌△CBA（SAS）【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．16．如图，AB＝CD，AE＝CF，E、F是BD上两点，且BF＝DE．求证：AD＝BC．【分析】由“SSS”可证△ABE≌△CDF，可得∠ABD＝∠CDB，由“SAS”可证△ABD ≌△CDB，可得AD＝BC．【解答】证明：∵BF＝DE∴BE+EF＝EF+DF∴BE＝DF在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SSS）∴∠ABD＝∠CDB在△ABD和△CDB中∴△ABD≌△CDB（SAS）∴AD＝BC【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．17．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF，求证：∠ACB＝∠F．【分析】根据全等三角形的判定定理，很容易确定SAS的条件，即证△ABC≌△DEF，进而证明即可．【解答】证明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC．即BC＝EF．在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）．∴∠ACB＝∠F．【点评】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．18．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且AE＝AD，∠EAD＝∠BAC．（1）求证：∠ABD＝∠ACD；（2）若∠ACB＝62°，求∠BDC的度数．【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△ACD，可得∠ABD＝∠ACD；（2）由三角形内角和定理可求∠BDC的度数．【解答】证明：（1）∵∠EAD＝∠BAC∴∠BAE＝∠CAD，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABE≌△ACD（SAS）∴∠ABD＝∠ACD（2）∵AB＝AC，∠ACB＝62°∴∠ABC＝∠ACB＝62°，∴∠BAC＝180°﹣62°﹣62°＝56°∵∠BAO+∠ABO+∠AOB＝180°，∠DCA+∠DOC+∠BDC＝180°∴∠BAC＝∠BDC＝56°【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．19．如图，已知CA＝CD，AB＝DE，∠A＝∠D，求证：∠BCE＝∠ACD．【分析】由“SAS”可证△ABC≌△DEC，可得∠ACB＝∠DCE，则可得结论．【解答】证明：∵CA＝CD，AB＝DE，∠A＝∠D，∴△ABC≌△DEC（SAS）∴∠ACB＝∠DCE∴∠BCE＝∠ACD【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形判定和性质是本题的关键．20．如图，点A、E、F、C在一直线上，DE∥BF，DE＝BF，AE＝CF．求证：AB∥CD．【分析】由“SAS”可证△AFB≌△CED，可得∠A＝∠C，可证AB∥CD．【解答】证明：∵DE∥BF∴∠DEF＝∠BFE∵AE＝CF∴AF＝CE，且DE＝BF，∠DEF＝∠BFE∴△AFB≌△CED（SAS）∴∠A＝∠C∴AB∥CD【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．。
专题4.16 探索三角形全等的条件3(专项练习)-2020-2021学年七年级数学下册基础知识专项讲
1专题4.16 探索三角形全等的条件3（专项练习）一、单选题1．（2021·安徽九年级专题练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，DE AB ⊥于点D ，BC BD =．如果3cm AC =，那么AE DE +=（ ）A ．2cmB ．4cmC ．3cmD ．5cm2．（2021·湖南长沙市一中双语实验中学九年级期末）如图，已知在ABC 和DEF 中，AB DE =，BC EF =，下列条件中不能判定ABC DEF △≌△的是（ ）A ．AC DF =B ．B E ∠=∠C ．AB AC ⊥且ED DF⊥ D ．C F ∠=∠ 3．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，AD BC =，则能直接判断Rt Rt ABD CDB △△≌的理由是（ ）A ．HLB ．ASAC ．SASD ．SSS4．（2021·山东济南市·八年级期末）如图所示，∠C ＝∠D ＝90°，添加下列条件∠AC ＝AD ；∠∠ABC ＝∠ABD ；∠∠BAC ＝∠BAD ；∠BC ＝BD ，能判定Rt∠ABC 与Rt∠ABD 全等的条件的个数是（）2A ．1B ．2C ．3D ．45．（2020·浙江省临海市临海中学八年级期中）下列各组条件中，不能使两个直角三角形全等的是（ ）A ．一条直角边和一锐角分别相等B ．斜边和一锐角分别相等C ．斜边和一条直角边分别相等D ．两个锐角分别相等6．（2019·浙江台州市·八年级期末）用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（ ）A ．HLB ．SSSC ．SASD ．ASA7．（2020·全国八年级课时练习）如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，DE BC ⊥，6AC =，6EC =，60ACB ∠=︒，则ACD ∠等于（ ）A ．45︒B ．30C ．20︒D ．15︒8．（2019·上海外国语大学秀洲外国语学校八年级期中）下列结论中不正确的是（ ） A ．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等B．一锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等3D ．有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等9．（2019·北京海淀区·101中学八年级期中）如图，在ACB ∆的两边上分别取点A ，B 使得CA CB =，将两个全等的直角三角板的直角顶点分别放在点A ，B 处，一条直角边分别落在ACB ∠的两边上，另一条直角边交于点P ，连接CP ，则判定ACP BCP ∆≅∆的依据是（ ）A ．AASB ．ASAC ．SSSD ．HL10．（2020·安徽芜湖市·八年级期末）如图，在∠ABC 中，∠BAC 的平分线AD 和边BC 的垂直平分线ED 相交于点D ，过点D 作DF 垂直于AC 交AC 的延长线于点F ，若AB ＝8，AC ＝5，则CF ＝（ ）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．3二、填空题 11．（2021·江苏南京市·八年级期末）结合如图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：在Rt ABC ∆和Rt DEF ∆中，90C F ∠=∠=︒，ACDF =，_______4Rt ABC Rt DEF ∴∆≅∆．12．（2020·河北唐山市·八年级期末）如图，∠C ＝90°，AC ＝103BC ＝8，AX ∠AC ，点P 和点Q 从A 点出发，分别在线段AC 和射线AX 上运动，且AB ＝PQ ，当点P 运动到AP ＝___________，∠ABC 与∠APQ 全等．13．（2020·吐鲁番市高昌区第一中学八年级月考）在∠ABC 中，AD ∠BC 于D ，要用“HL ”证明Rt∠ADB ∠Rt∠ADC ，则需添加的条件是_____．14．（2020·临邑县第五中学八年级期中）已知：如图，AB ＝CD ，DE∠AC ，BF∠AC ，E ，F 是垂足，AE ＝CF ；则证明∠ABF∠∠CDE 的方法是________（用字母表示）15．（2020·中江县凯江中学校八年级月考）如图，在Rt∠ABC 中，∠C=90︒，AC=12cm ，BC=6cm ，一条线段PQ=AB ，P ，Q 两点分别在线段AC 和AC 的垂线AX 上移动，则当AP= __________时，才能使∠ABC 和∠APQ 全等．16．（2020·蒙阴县高都镇中心学校八年级月考）已知：如图，ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，则________∠ADC ．依据是________，并且BD ＝________，∠BAD=________．517．（2020·泰州市大泗学校）如图，在∠AOB 的两边上，分别取OM ＝ON ，再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分∠AOB 的依据是_____．（填SAS 或AAS 或HL ）18．（2020·扬州市江都区实验初级中学八年级月考）如图，在四边形ABCD 中，B D 90∠∠==︒，AB AD =，ACB 28∠=︒，则DAC ∠=________．19．（2020·浙江台州市·八年级期中）如图,点P 是AOB ∠的角平分线OC 上一点，PN ⊥OB 于点N ，点M 是线段ON 上一点，已知OM=3,ON=4,点D 为OA 上一点，若满足PD=PM,则OD 的长度为________20．（2019·黑龙江哈尔滨市·八年级期中）如图:四边形ABDC 中,CD=BD,E 为AB 上一点,连接DE,且∠CDE=∠B ．若∠CAD=∠BAD=30°,AC=5,AB=3,则EB=______________．6三、解答题21．（2021·西安市浐灞欧亚中学八年级期末）如图：已知AD CB =，CE BD ⊥，AF BD ⊥，垂足分别为点E 、F ，若DE BF =，求证：//AD BC ．22．（2019·广东广州市白云区六中珠江学校八年级期中）如图，AD 为ABC 的高，E 为AD 上一点，连接BE ，已知BE AC =，且ED CD =．（1）求证：ADC BDE ≌；（2）请你判断BE 与AC 的位置关系，并说明理由．23．（2020·云南昆明市·八年级期中）如图，已知：AB ∠BD ，ED ∠BD ，AB ＝CD ，AC＝CE．（1）AC与CE有什么位置关系？（2）请证明你的结论．24．（2020·南京师范大学附属中学江宁分校）如图，在∆ABC 中，AC = BC ，直线l 经过顶点C ，过A ， B 两点分别作l 的垂线AE ，BF ， E ，F 为垂足．AE = CF ，求证：∠ACB = 90︒．25．（2019·全国八年级课时练习）如图，∠ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB和∠CAP的度数．78参考答案1．C【分析】通过HL 判定定理可证Rt∆BDE ∠Rt∆BCE ，得到ED=EC ，即可求解．【详解】在Rt BCE 和Rt BDE △中，BC BD =，BE BE =，∠()Rt Rt HL BCE BDE ≌△△， ∠ED EC =，∠3cm AE DE AE EC AC +=+==．故选：C ．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意:直角三角形全等的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ， SSS ，HL ，全等三角形的对应边相等.2．D【分析】根据三角形全等的判定条件可直接排除选项．【详解】解：A 、若AC DF =，则根据“SSS”可判定ABC DEF △≌△，故不符合题意； B 、若B E ∠=∠，则根据“SAS”可判定ABC DEF △≌△，故不符合题意；C 、若AB AC ⊥且ED DF ⊥，则根据“HL”可判定ABC DEF △≌△，故不符合题意； D 、若C F ∠=∠，则不能判定ABC DEF △≌△，故符合题意；故选D ．【点拨】本题主要考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的条件是解题的关键．3．A【分析】根据全等三角形的判定方法解答．【详解】解：在Rt∠ABD 和Rt∠CDB 中，9AD BC BD DB =⎧⎨=⎩∠Rt∠ABD∠Rt∠CDB （HL ），故选A ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握判定方法．4．D【分析】根据已知条件与全等三角形的判定定理即可分别判断求解．【详解】∠∠C ＝∠D ＝90°，AB=AB ，∠∠AC ＝AD ，可用HL 判定Rt∠ABC 与Rt∠ABD 全等；∠∠ABC ＝∠ABD ，可用AAS 判定Rt∠ABC 与Rt∠ABD 全等；∠∠BAC ＝∠BAD ，可用AAS 判定Rt∠ABC 与Rt∠ABD 全等；∠BC ＝BD ，可用HL 判定Rt∠ABC 与Rt∠ABD 全等；故选：D ．【点拨】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．5．D【分析】依据全等三角形的判定定理进行判断即可．【详解】解：A 、根据AAS 或ASA 都可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意； B 、根据AAS 或ASA 都可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意； C 、根据HL 可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意；D 、判定两个直角三角形是否全等，必须有边的参与，故本选项符合题意；故选：D ．【点拨】考查了直角三角形全等的判定，直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法10 都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．6．A【分析】利用垂直得到90PMO PNO ∠=∠=，再由OM ON =，OP OP =即可根据HL 证明()HL ≌PMO PNO △△，由此得到答案.【详解】∠PM OA ⊥，PN OB ⊥，∠90PMO PNO ∠=∠=．∠OM ON =，OP OP =，∠()HL ≌PMO PNO △△， ∠POA POB ∠=∠，故选：A ．【点拨】此题考查三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，根据题中的已知条件确定对应相等的边或角，由此利用以上五种方法中的任意一种证明两个三角形全等.7．B【分析】利用HL 可证明∠ACD∠∠ECD ，可得∠ACD=∠ECD ，即可得答案．【详解】DE BC ⊥，90DAC DEC ∴∠=∠=︒．在Rt ACD △和Rt ECD △中，6DC DC AC EC =⎧⎨==⎩， ()Rt ACD Rt ECD HL ∴≌，ACD ECD ∴∠=∠．1160ACB ∠=︒，30ACD ∴∠=︒．故选：B ．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定定理有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL 等，注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，当运用SAS 时，角必须是两边的夹角；熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键．8．C【分析】根据三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．逐条排除．【详解】解：A 、一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，符合AAS ，能判定全等；B 、一锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形符合ASA 或AAS ，能判定全等；C 、两锐角对应相等的两个直角三角形，不符合全等判定，不能判定全等；D 、有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形，符合HL ，能判定全等． 故选：C ．【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定方法；判断两个三角形全等，至少应有一条对应边相等参与其中，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．9．D【分析】根据全等三角形的判定定理即可得到结论．【详解】∠∠CAP=∠CBP=90°，∠在Rt∠ACP 与Rt∠BCP 中，AC BC CP CP ⎧⎨⎩＝＝ ， ∠Rt∠ACP∠Rt∠BCP （HL ）．12故选：D ．【点拨】此题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．10．A【分析】连接CD ，DB ，过点D 作DM ∠AB 于点M ，证明∠AFD ∠∠AMD ，得到AF ＝AM ，FD ＝DM ，证明Rt CDF Rt BDM ≌，得到BM ＝CF ，结合图形计算，得到答案．【详解】连接CD ，DB ，过点D 作DM ∠AB 于点M ，∠AD 平分∠F AB ，∠∠F AD ＝∠MAD ，在∠AFD 和∠AMD 中，FAD MADAFD AMD AD AD∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝∠∠AFD ∠∠AMD （AAS ）∠AF ＝AM ，FD ＝DM ，∠DE 垂直平分BC∠CD ＝BD ，在Rt∠CDF 和Rt∠BDM 中，DC DBDF DM =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠CDF ∠Rt∠BDM （HL ）∠BM ＝CF ，∠AB ＝AM +BM ＝AF +MB ＝AC +CF +MB ＝AC +2CF ，∠8＝5+2CF ，解得，CF ＝1.5，故选：A ．13【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质和角平分线的性质等知识，根据已知角平分线以及垂直平分线作出相关辅助线从而利用全等求出是解决问题的关键． 11．AB DE【分析】根据判断两个直角三角形全等的条件“HL”即可填空．【详解】AC 和DF 为直角边．再利用“HL”，可知两个直角三角形的斜边相等即可证明这两个三角形全等．∠填AB=DE ．故答案为：AB=DE ．【点拨】本题考查直角三角形全等的判定条件“HL”，掌握判定直角三角形全等的判定定理是解答本题的关键．12．8或103【分析】分两种情况：∠当AP=BC=8时；∠当AP=CA=103由HL 证明Rt∠ABC∠Rt∠PQA （HL ）；即可得出结果．【详解】∠AX∠AC ，∠∠PAQ=90°，∠∠C=∠PAQ=90°，分两种情况：14∠当AP=BC=8时，在Rt∠ABC 和Rt∠QPA 中，AB PQ BC AP=⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ABC∠Rt∠QPA （HL ）；∠当AP=CA=10时，在∠ABC 和∠PQA 中，AB PQ AP AC =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ABC∠Rt∠PQA （HL ）；综上所述：当点P 运动到AP=8或103∠ABC 与∠APQ 全等；故答案为：8或103【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论，难度适中．13．AB =AC【分析】利用HL 定理可直接得到答案．【详解】解：添加条件：AB=AC ，∠AD∠BC ，∠∠ADB=∠ADC=90°，在Rt∠ABD和Rt∠ACD 中15AD AD AB AC ⎧⎨⎩＝＝， ∠Rt∠ABD∠Rt∠ACD （HL ），故答案为：AB=AC ．【点拨】本题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．14．HL【分析】根据已知条件知∠ABF 和∠CDE 都是直角三角形，所以根据直角三角形全等的判定定理HL 可以证得它们全等．【详解】解：如图，∠DE ∠AC ，BF ∠AC ，AE ＝CF ，∠∠DEC ＝∠BF A ＝90°，AE +EF ＝CF +EF ，即AF ＝CE ．∠在Rt∠ABF 和Rt∠CDE 中，AF CE AB CD=⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ABF ∠Rt∠CDE （HL ）．故答案为：HL ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定．注意，此题属于开放题，也可以根据全等三角形的判定定理SAS 、SSS 证得它们全等．15．6cm 或12cm【分析】由题意易得∠C=∠QAP=90°，AB=QP ，要使∠ABC 与∠APQ 全等，则需AP=CB 或AP=CA ，进而问题可求解．【详解】解：∠AX∠AC ，∠C=90°，∠∠C=∠QAP=90°，16∠AB=QP ，∠要使∠ABC 与∠APQ 全等，则需AP=CB 或AP=CA ，∠AP=6cm 或12cm ；故答案为6cm 或12cm ．【点拨】本题主要考查直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握直角三角形全等的判定与性质是解题的关键．16．ADB △ HL CD CAD ∠【分析】由,AD BC ⊥可得90ADB ADC ∠=∠=︒，结合,AB AC AD AD ==，利用斜边直角边判定两个三角形全等，再利用全等三角形的性质可得结论．【详解】解：,AD BC ⊥90ADB ADC ∴∠=∠=︒，AB AC AD AD ==，，()Rt ADB Rt ADC HL ∴≌，,.BD CD BAD CAD ∴=∠=∠故答案为：ADB △，HL ，CD ，.CAD ∠ 【点拨】本题考查的是直角三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．17．HL【分析】利用判定方法“HL ”证明Rt OMP 和Rt ONP 全等，进而得出答案．【详解】解：由题意知OM ＝ON ，∠OMP ＝∠ONP ＝90°，OP ＝OP ，∠在Rt OMP 和Rt ONP 中，OP OP OM ON=⎧⎨=⎩，17 ∠Rt OMP ∠Rt ONP （HL ），∠∠AOP ＝∠BOP ，∠OP 是∠AOB 的平分线．故答案为：HL ．【点拨】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键．18．62︒【分析】根据HL 证明Rt∠ABC 与Rt∠ADC 全等，进而利用全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余解答即可．【详解】解：在Rt∠ABC 与Rt∠ADC 中AB AD AC AC =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ABC∠Rt∠ADC （HL ），∠∠ACD=∠ACB=28°，∠∠DAC=90°-28°=62°，故答案为：62°．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余．证明∠ABC∠∠ADC 是解题的关键．19．3或5【分析】过点P 作PE∠OA 于点E ，分点D 在线段OE 上，点D 在射线EA 上两种情况讨论，利用角平分线的性质可得PN=PE ，即可求OE=ON=4，由题意可证∠PMN∠∠PDE ，可求OD 的长．【详解】如图：过点P 作PE∠OA 于点E18∠OC 平分∠AOB ，PE∠OA ，PN∠OB∠PE=PN∠PE=PN ，OP=OP∠∠OPE∠∠OPN （HL ）∠OE=ON=4∠OM=3，ON=4∠MN=1若点D 在线段OE 上，∠PM=PD ，PE=PN∠∠PMN∠∠PDE （HL ）∠DE=MN=1∠OD=OE -DE=3若点D 在射线EA 上，∠PM=PD ，PE=PN∠∠PMN∠∠PDE （HL ）∠DE=MN=1∠OD=OE+DE=5故答案为3或5．【点拨】 此题考查全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是解题关键． 20．13【分析】如图，作DM∠AC 于M ，DN∠AB 于N ．首先证明Rt∠DMC∠Rt∠DNB ，推出CM=BN ，∠ADM∠∠ADN ，推出AM=AB ，再证明DE∠AC ，推出∠ADE=∠CAD=∠DAB=30°，推出19AE=DE ，推出∠DEN=60°，在Rt∠ADN 中，可得43，在Rt∠EDN 中，可得DE=DN÷cos30°=83，由此即可解决问题．【详解】如图，作DM∠AC 于M ，DN∠AB 于N.∠∠CAD=∠BAD=30°，DM∠AC 于M ，DN∠AB 于N ，∠DN=DM ，在Rt∠DMC 和Rt∠DNB 中，DC DBDM DN ==⎧⎨⎩ ，∠Rt∠DMC∠Rt∠DNB ，∠CM=BN ，同理可证∠ADM∠∠ADN ，∠AM=AB ，∠AC+AB=AM+CM+AN−BN=2AM=8，∠AM=AN=4，∠∠DCM=∠DBN ，∠∠1=∠2，∠∠CDE=∠2，∠∠1=∠CDE ，∠DE∠AC ，∠∠ADE=∠CAD=∠DAB=30°，∠AE=DE ，∠∠DEN=60°，20 在Rt∠ADN 中43 在Rt∠EDN 中,DE=DN÷cos30°=83， ∠AE=83， ∠EB=AB−AE=3−83=13. 故答案为13. 【点拨】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线.21．见解析【分析】利用已知条件证明∠ADF∠∠CBE ，由全等三角形的性质即可得到∠B=∠D ，进而得出结论．【详解】证明：∠DE=BF ，∠DE+EF=BF+EF ；∠DF=BE ；在Rt∠ADF 和Rt∠BCE 中DF BE AD CB =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ADF∠Rt∠CBE （HL ），∠∠B=∠D ，∠//AD BC ．【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；由DE=BF 通过等量加等量和相等得DF=BE 在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．22．（1）证明见解析；（2）BE AC ⊥，理由见解析． 【分析】（1）由AD 为ABC 的高，证明90ADC BDE ∠=∠=︒，再利用斜边直角边公理证明ADC BDE ≌即可；21（2）由ADC BDE ≌证明：,DAC EBD ∠=∠再利用：90DBE BED ∠+∠=︒，证明：90AEF DAC ∠+∠=︒，从而可得结论．【详解】 证明：（1） AD 为ABC 的高，,AD BC ∴⊥90ADC BDE ∴∠=∠=︒，在Rt ADC 与Rt BDE 中，AC BECD ED =⎧⎨=⎩()ADC BDE HL ∴≌（2）BE AC ⊥， 理由如下：如图，延长BE 交AC 于,F,ADC BDE ≌,DAC EBD ∴∠=∠90BDE ∠=︒，90DBE BED ∴∠+∠=︒，,BED AEF ∠=∠90AEF DAC ∴∠+∠=︒，90AFE ∴∠=︒，.BE AC∴⊥【点拨】22 本题考查的是三角形的高的含义，直角三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，直角三角形的两锐角互余，垂直的定义，掌握以上知识是解题的关键．23．（1）AC ∠CE ；（2）见解析【分析】（（1）根据题意写出结论即可．（2）由条件可证明Rt∠ABC ∠Rt∠CDE ，得到∠ECD ＝∠A ，进一步可得∠ECA ＝90°，可证得结论．【详解】解：（1）AC CE ⊥．（2）证明：AB BD ⊥，ED BD ⊥， 90ABC CDE， 在Rt ABC ∆和Rt CDE ∆中， AB CD AC CE ， Rt ABCRt CDE(HL)， A ECD ∴∠=∠， 90AACB ， 90ECD ACB， 90ACE ∴∠=︒，AC CE ∴⊥．【点拨】本题主要考查直角三角形全等的判定，掌握直角三角形全等的判定方法HL 定理是解题的关键．24．见解析【分析】先利用HL 定理证明∠ACE 和∠CBF 全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC ＝∠BCF ，因为∠EAC ＋ACE ＝90°，所以∠ACE ＋∠BCF ＝90°，根据平角定义可得∠ACB ＝90°．【详解】证明：如图，在Rt ∆ACE 和Rt ∆CBF 中，∠AC = BC ，AE = CF ，23∠Rt ∆ACE ∠ Rt ∆CBF （HL ） ，∠∠EAC = ∠BCF ，∠∠EAC + ∠ACE = 90︒ ，∠∠ACE + ∠BCF = 90︒ ，∠∠ACB = 180︒ - 90︒ = 90︒ ．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．25．80°，50°.【解析】【分析】根据三角形外角与内角的性质及角平分线的性质求出∠ CAB ，再利用直角三角形全等的判定定理，得出∠CAP=∠PAF ，继而求出即可【详解】解：如图所示：延长BA ，作PN∠BD ，PF∠BA,PM∠AC ，设∠PCD = x°∠CP 平分∠ ACD∠∠ACP =∠PCD = x°，PM=PN∠BP 平分∠ ABC∠∠ABP=∠PBC ，PF=PN∠PM=PF∠∠BPC=40°∠∠ABP=∠PBC=∠PCD−∠BPC=（x−40）°∠∠CAB=∠ACD−∠ABC=2x°−2（x−40）°=80°∠PM=PF ，AP=AP ，PF∠BA,PM∠AC∠Rt∠PAF ∠ Rt ∠PAM∠∠CAP=∠PAF=12（180°−∠CAB ）=12 （180°−80°）=50°故本题答案应为：∠CAB=80°，∠CAP=50°24【点拨】三角形内角与外角的性质及角平分线的性质、直角三角形全等的判定都是本题的考点，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.。
七年级数学下册《探索三角形全等的条件》专项练习(含答案)
4.3 探索三角形全等的条件第1题. 如图，M 是AB 的中点，MC =MD ，∠1=∠2，请说明△AMC ≌△BMD 的理由．答案：SAS ．第2题. 如图，90,E F ∠=∠=∠B =∠C ，AE =AF ，△ABE ≌△ACF 吗？说明理由．答案：全等，AAS ．第3题. 如图，∠ADB =∠CBD ，∠A =∠C ，△ABD ≌△CDB 吗？说明理由．答案：全等，AAS ．第4题. 如图，AB =DF ，AC =DE ，BC =FE ，△ABC 和△DFE 全等吗？请说明理由．答案：全等，SSS ．第5题. 如图，C ，D 两点分别在∠EAF 的两边上，且∠ABC =∠ABD ，∠BCE =∠BDF ，请你说明△ABC ≌△ABD 的理由．答案：AAS 或AS A ．ABCDM 1 2ABCEFA BCDA BF CEDADBC EF第6题. 如图，点C ，E ，B ，F 在同一条直线上，AB =DE ，AC =DF ，CE =BF ，△ABC 和△DEF 全等吗？∠A =∠D 吗？请说明理由．答案：全等，SSS ，∠A =∠D （全等三角形的对应角相等）．第7题. 如图，AB =AC ，BD =CD ，请说明△ABD ≌△ACD 的理由．答案：SSS ．第8题. 如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，∠1=∠2，则图中全等三角形有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对答案：D ．第9题. 如图，若AB 平分∠DAC ，要用SAS 条件确定△ABC ≌△ABD ，再需有条件（ ） A ．DB =CB B ．AB =AB C ．AD =AC D ．∠D =∠C答案：C ．第10题. 如图，已知△ABC 中，∠C =90°，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，若AD =BD ，AE =BC ，DE =DC ，则∠AED =（ ） A ．45° B ．60° C ．75° D ．90°答案：D ．AB FCE DABDCA BCDE 1 2ABC DA BC DE第11题. 下列条件中，能判断两个三角形全等的是（ ） A ．有两条边对应相等B ．有三个角对应相等C ．有两角及一边对应相等D ．有两边及一角对应相等答案：C ．第12题. 已知，AB A B =''，A A ∠=∠'，B B ∠=∠'，则△ABC ≌△A 'B C ''的根据是（ ）A ．SASB ．SSAC ．ASAD ．AAS 答案：C ．第13题. 已知AB A B =''，A A ∠=∠'，若△ABC ≌△A 'B C ''，还需条件（ ） A ．B B ∠=∠' B ．C C ∠=∠' C ．AC A C ='' D ．以上均可以 答案：D ．第14题. 如图，AC 、BD 相交于点E ，BE =DE ，AB ∥DC ，那么AE 与CE 的关系是____．答案：相等．第15题. 如图，AB 与CD 相交于点O ，DO =BO ，则需要加______条件（填上一个你认为合适的），可得△DOA ≌△BOC ．答案：AO =OC 或∠A =∠C 或∠B =∠D ．第16题. 在△ABC 和△DEF 中，如果AB =DE ，BC =EF ，只要找出∠________=∠________，就可以得出△______≌△______． 答案：ABC ，DEF ，ABC ，DEF ．A BED CA BCDO第17题. 如图，AD ⊥BC 于D ，BD =CD ．△ABD 和△ACD 全等吗？为什么？答案：全等，SAS ．第18题. 如图，△ABC ≌△A ′B ′C ′，AD 、A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的中线，你能得出AD =A ′D ′吗？答案：能，提示：由△ABC ≌△A ′B ′C ′，得AB =A ′B ′，∠B =∠B ′，BC =B ′C ′，而BD =B ′D ′=12BC =12B ′C ′，则可得△ABD ≌△A ′B ′D ′故AD =A ′D ′．第19题. 木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条．这样做是为什么？答案：提示：根据三角形的稳定性．第20题. 如图，已知∠1=∠2，∠ABC =∠DCB ，那么△ABC 与△DCB 全等吗？为什么？答案：全等，理由ASA 或AAS ．第21题. 如图所示，已知B 点是AC 中点，BE =BF ，AE =CF ，那么△ABE 和△CBF 全等吗？说明理由．答案：全等，理由SSS ．ABD CABCDA ′B ′C ′D ′A BCD1 2AB CFE第22题. 如图，AD ，BE 是两条高，AD =BD ，H 是高AD 与BE 的交点，BH 与AC 相等吗？说明你的理由．答案：∠HBD +∠C =90°，∠CAD +∠C =90°，所以，∠HBD =∠CAD ，显然，∠BDH =∠ADC ，由于AD =BD ，△BDH ≌△ADC （ASA ），所以BH =AC ．第23题. 如图，已知CD AB ⊥，BE AC ⊥，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分BAC ，那么图中全等三角形共有 对． 答案：4第24题. 如图2，某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是 A ．带①去 B ．带②去 C ．带③去D ．带①和②去答案：C第25题. 如图，已知△_的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则与△_全等的三角形是B CDA E H AD BＯCE图2①②③ＡＢＣabc ___ ba _甲_ cb 乙__a丙（A ）只有乙 （B ）只有丙 （C ）甲和乙 （D ）乙和丙 答案：D第26题. 如图，已知：在△ABC 中，F AC 为中点，E AB D EF 为上一点，为延长线上一点，A ACD ∠=∠． 求证：CD AE 平行且等于．答案：证明：A ACD ∠=∠∵AE CD ∴∥A ACD AF CF AFE CFD ∠=∠=∠=∠∵，，∴△AFE ≌△()CFD ASA CD AE =∴CD AE ∴平行且等于第27题. 如图，ABC △中，AB AC =，过点A 作GE BC ∥，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G ．试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．答案：解：.BCF CBD △≌△（注意答案不唯一）.BHF CHD △≌△ .BDA CFA △≌△ 证明.BCF CBD △≌△.AB AC =.ABC ACB ∴∠=∠BD 、CF 是角平分线．11.22BCF ACB CBD ABC ∴∠=∠∠=∠，BCF CBD ∴∠=∠，.BC CB =又.BCF CBD △≌△ 还有答案供参考：.BAE CAG AGF AED △≌△，△≌△AFDCBEAGED F HB C第28题. 如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O．（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．答案：．解：（1）图中有三对全等三角形：△COB≌△COD，△AOB≌△AOD，△ABC≌△ADC．（2）证明△ABC≌△ADC．证明：AC∵垂直平分BD，AB AD=∴，CB CD=．又AC AC=∵，∴△ABC≌△ADC．第29题. 如图，已知AB DC=，AC DB=．求证：A D∠=∠．答案：在△ABC和△DCB中，AB DC=∵，AC DB=，BC CB=，∴△ABC≌△DCB，∴A D∠=∠AB DCOＡＤＢＣ。
专题探索三角形全等的条件(HL)(专项练习)数学七年级下册(北师大版)
专题4.17 探索三角形全等的条件（HL ）（基础篇）（专项练习）一、单选题1．如图，AC BC ⊥，AD BD ⊥，AC AD =，则判定Rt Rt ABC ABD ≌的依据是（ ）A ．SASB ．SSSC ．HLD ．无法确定2．如图，在ABC 中，90C ∠︒＝，DE AB ⊥于点D ，BC BD ＝，若8AC ＝cm ，则AE DE +的值为（ ）A ．7cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm3．下列关于两个直角三角形全等的判定，不正确的是（ ） A ．斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形全等 B ．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 C ．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 D ．两个面积相等的直角三角形全等4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AD ＝BDB ．BD ＝CDC ．⊥BAD ＝⊥CADD ．⊥B ＝⊥C5．如图，AC BC ⊥，AD BD ⊥，垂足分别是C ，D ，AC BD =，32CBA ∠=︒，则CAD ∠等于（ ）A ．32︒B ．58︒C ．24︒D ．26︒6．已知：如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，DB ＝DC ，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为E ，F ，DE ＝DF ．求证：Rt Rt DEB DFC ≌△△．以下是排乱的证明过程： ⊥⊥⊥BED ＝⊥CFD ＝90°， ⊥⊥()Rt Rt DEB DFC HL ≌△△． ⊥⊥DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ⊥⊥在Rt DEB △和Rt DFC △中，DB DC DE DF=⎧⎨=⎩， 证明步骤正确的顺序是（ ） A ．⊥→⊥→⊥→⊥ B ．⊥→⊥→⊥→⊥ C ．⊥→⊥→⊥→⊥D ．⊥→⊥→⊥→⊥7．如图，在ABC 中，BE AC ⊥于点E ，AF 分别交BE ，BC 于点F ，D ，AE BE =，若依据“HL ”说明AEF BEC ≌，则下列所添条件合理的是（ ）A ．EF CE =B ．AFEC ∠=∠C ．BD AD ⊥D ．AF BC =8．如图，AD 是ABC 的高，AD BD 8==，E 是AD 上的一点，BE AC 10==，AE 2=，BE 的延长线交AC 于点F ，则EF 的长为（ ）A ．1.2B ．1.5C ．2.5D ．39．如图，BD=CF ，FD⊥BC 于点D ，DE⊥AB 于点E ，BE=CD ，若⊥AFD=135°，则⊥EDF 的度数为（ ）A ．55°B ．45°C ．35°D ．65°10．如图，在⊥ABC 中， AC ＝BC ，过点 B 作射线 BF ，在射线 BF 上取一点 E ，使得∠CBF ＝∠CAE ，过点C 作射线 BF 的垂线，垂足为点 D ，连接 AE ，若 DE ＝1，AE ＝4 ， 则 BD 的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3二、填空题11．如图，AB BC AD DC ⊥⊥，，请你添加一个条件_______，利用“HL ”，证明Rt Rt ABC ADC ≌．12．如图，在Rt ABC 与Rt DEF △中，90B E ∠=∠=，BF CE =，AB DE =，50A ∠=，则DFE ∠=______．13．如图，点D 、A 、E 在直线m 上AB AC =，90BAC ∠=︒，BD m ⊥于点D ，CE m ⊥于点E ，且BD AE =，若3BD =，5CE =，则DE =___________．14．如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯水平方向的长度AB 与右边滑梯的高度DE 相等．若右边滑梯与地面的夹角55DFE ∠=︒，则ABC ∠的度数为______°．15．如图，四边形ABCD ，连接BD ，AB ⊥AD ，CE ⊥BD ，AB ＝CE ，BD ＝CD ．若AD ＝5，CD ＝7，则BE ＝________．16．Rt ⊥ABC 和Rt ⊥DEF 如图放置，其中⊥ACB ＝⊥DFE ＝90°，AB ＝DE 且AB ⊥DE ．若AC ＝6，EF ＝4，CF ＝3，则BD 的长为______．17．如图，四边形ABCD 中，⊥B ＋⊥D ＝180°，AC 平分⊥DAB ，CM ⊥AB 于点M ，若AM ＝4cm ，BC ＝2.5cm ，则四边形ABCD 的周长为_____cm ．18．如图，在Rt ⊥ABC 中，90C ∠=︒，12cm AC =，6cm BC ，一条线段PQ AB =，P ，Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使⊥ABC 和⊥QPA 全等，则AP =_____．三、解答题19．如图，已知A 、F 、B 、D 在同一直线上，且AF BD =，90C E ∠=∠=︒，AC DE =，BC 与EF 相交于点O ．(1) 求证：ABC DFE △≌△； (2) 若50D ∠=︒，求COF ∠的度数．20．如图，C 、D 分别位于路段A 、B 两点的正北、正南处，现有两车分别从E 、F 两处出发，均以60km/h 的速度沿直线行驶，2小时后分别到达C 、D 两地，休整一段时间后又以原来的速度直线行驶，1小时后同时到达A 、B 两点．(1) 请写出CE 与DF 的数量关系______，AC 与BD 的数量关系______； (2) 由（1）中的结论，试探究CE 与DF 的位置关系，并说明理由．21．如图，已知AD BC 、相交于点O ，AB CD =，AM BC ⊥于点M ，DN BC ⊥于点N ，BN CM =．(1) 求证：ABM DCN △≌△；(2) 试猜想OA 与OD 的大小关系，并说明理由．22．如图，在Rt ABC △和Rt ADE △中，==90?ABF ADE ∠∠，BC 与DE 相交于点F ，且=AB AD ，=AC AE ，连接CD ，EB ．(1) 求证：CAD EAB ∠=∠；(2) 试判断CF 与EF 的数量关系，并说明理由23．如图，在ABC 中，AB AC DE =，是过点A 的直线，BD DE ⊥于D ，CE DE ⊥于点E ；(1) 若B C 、在DE 的同侧（如图1所示）且AD CE =．求证：DAB ECA ∠=∠； (2) 若B C 、在DE 的两侧（如图2所示），其他条件不变，AB 与AC 垂直吗？若垂直请给出证明；若不垂直，请说明理由．24．题提出：学习了三角形全等的判定方法“SSS ”“ SAS ”“ ASA ”“ AAS ”和“HL ”后，某小组同学探究了如下问题：当两个三角形满足两边和其中一边的对角分别相等时，这两个三角形是否全等．初步思考：他们先用符号语言表示了这个问题：在ABC 和DEF 中，AB DE =，AC DF =，B E ∠=∠．然后，对B ∠进行分类，可分为“B ∠是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．深入探究：过程如下，请你将这个小组同学的探究过程补充完整． (1) 第一种情况：当B ∠是直角时，ABC DEF ≅△△．如图1，在ABC 和DEF 中，AB DE =，AC DF =，90B E ∠=∠=︒，根据 ，可以知道ABC DEF ≅△△．(2) 第二种情况：当B ∠是钝角时，ABC DEF ≅△△．如图2，在ABC 和DEF 中，AB DE =，AC DF =，B E ∠=∠，且B ∠，E ∠都是钝角，求证：ABC DEF ≅△△．(3) 第三种情况：当B ∠是锐角时，ABC 和DEF 不一定全等．在ABC 和DEF 中，AB DE =，AC DF =，B E ∠=∠，且B ∠，E ∠都是锐角，请你用尺规在图3中作出DEF ，使DEF 和ABC 不全等．（不写作法，保留作图痕迹） (4) 在（3）中，B ∠与C ∠的大小关系还要满足什么条件，就可以使ABC DEF ≅△△？请根据以上作图过程直接写出结论．参考答案1．C【分析】由图可得公共边相等，所以全等的条件是两个直角三角形的斜边直角边相等． 解：AC BC ⊥，AD BD ⊥，∴在Rt ABC △和Rt △ABD 中，AC ADAB AB=⎧⎨=⎩ ， ∴Rt Rt ABC ABD ≌（HL ）．故选：C ．【点拨】本题考查了三角形全等的判定，解决本题的关键是找到全等的条件． 2．B【分析】由条件可证明Rt CBE Rt DBE ≌，则可求得DE EC =，可求得答案． 解：⊥DE AB ⊥， ⊥90BDE ∠=︒ ⊥90C BDE ∠=∠=︒， 在Rt CBE 和Rt DBE 中，BE BEBC BD=⎧⎨=⎩ ⊥()Rt CBE Rt DBE HL ≌， ⊥CE DE =，⊥8AE DE AE CE AC cm +=+== 故选：B ．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握HL 证全等及边的转换．3．D【分析】此题需用排除法对每一个选项进行分析从而确定最终答案． 解：A 、利用AAS 来判定全等，不符合题意； B 、利用SAS 来判定全等，不符合题意； C 、利用HL 来判定全等，不符合题意；D 、面积相等不一定能推出两直角三角形全等，没有相关判定方法对应，符合题意． 故选：D ．【点拨】此题主要考查对全等三角形的判定方法，常用的判定方法有SSS 、SAS 、AAS 、HL 等．4．A【分析】根据已知和公共边科证明⊥ADB⊥⊥ACD ，则这两个三角形的对应角、对应边相等，据此即可解答．解：⊥AB ＝AC ，AD ＝AD ，AD ⊥BC ， ⊥Rt⊥ADB ⊥Rt⊥ACD （HL ），⊥BD ＝CD ，⊥BAD ＝⊥CAD ，⊥B ＝⊥C （全等三角形的对应角、对应边相等） 故B 、C 、D 一定成立，A 不一定成立． 故选A ．【点拨】本题考查直角三角形全等的判定和性质，解决问题时注意利用已知隐含的条件AD 是公共边．5．D【分析】根据已知条件可以利用HL ，判定Rt Rt ADB BCA △≌△，全等后可得32DAB CBA ∠=∠=︒，再根据直角三角形两个锐角互余，可求得58CAB ∠=︒，进而可求得CAD ∠．解：证明：AC BC ⊥，AD BD ⊥，90D C ∴∠=∠=︒，在Rt ADB 和Rt BCA 中，BD ACAB BA =⎧⎨=⎩， Rt Rt (HL)ADB BCA ∴≌△△，⊥32DAB CBA ∠=∠=︒，在Rt BCA 中，90CAB CBA ∠+∠=︒, ⊥58CAB ∠=︒，⊥583226CAD CAB DAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒, 故选：D ．【点拨】本题考查全等三角形的判断定理，HL 定理，根据已知条件求证Rt Rt ADB BCA △≌△是解题关键．6．B【分析】根据垂直定义得出⊥BED =⊥CFD =90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 解：证明：⊥DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ⊥⊥BED =⊥CFD =90°， 在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，BD CDDE DF =⎧⎨=⎩， ⊥Rt △DEB ⊥Rt △DFC （HL ），即选项B 正确；选项A 、选项C 、选项D 都错误；故选：B ．【点拨】本题考查了垂直定义和全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，两直角三角形全等还有HL ．7．D【分析】根据“HL ”进行判断即可．解：由题意得，AEF △和BEC 中，有一组直角边对应相等，即AE BE =缺少斜边对应相等，即AF BC =，故选：D ．【点拨】此题主要考查了“HL ”的应用，熟练掌握直角三角形的判定方法是解答此题的关键．8．A【分析】先证明Rt ACD ⊥()Rt BED HL ，得CD ED AD AE 6==-=，CAD EBD ∠∠=，再证BE AC ⊥，然后由三角形面积关系求出BF 11.2=，则EF BF BE 1.2=-=．解：AD 是ABC 的高，AD BC ∴⊥，ADC BDE 90∠∠∴==︒，在Rt ACD 和Rt BED 中，AC BE AD BD =⎧⎨=⎩， Rt ACD ∴⊥()Rt BED HL ，CD ED AD AE 826∴==-=-=，CAD EBD ∠∠=，C CAD 90∠∠+=︒，C EBD 90∠∠∴+=︒，BFC 90∠∴=︒，BE AC ∴⊥， ABC 的面积ABD =的面积ACD +的面积，111AC BF AD BD CD AD 222∴⨯=⨯+⨯， AC BF AD BD CD AD ∴⨯=⨯+⨯，即10BF 8886112=⨯+⨯=，BF 11.2∴=，EF BF BE 11.210 1.2∴=-=-=，故选：A ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；证明三角形全等是解题的关键．9．B【分析】由⊥AFD=135°知⊥DFC=45°，根据“HL”证Rt⊥BDE和Rt⊥CFD得⊥BDE=⊥CFD=45°，从而由⊥EDF=180°﹣⊥FDC﹣⊥BDE可得答案．解：⊥⊥AFD=135°，⊥⊥DFC=45°，⊥DE⊥AB，DF⊥BC，⊥⊥DEB=⊥FDC=90°，在Rt⊥BDE和Rt⊥CFD中，⊥BD CFBE CD=⎧⎨=⎩，⊥⊥BDE⊥⊥CFD（HL），⊥⊥BDE=⊥CFD=45°，⊥⊥EDF=180°﹣⊥FDC﹣⊥BDE=45°，故选B．【点拨】考查全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．10．B【分析】连接CE ，过点C 作CM⊥AE 交AE 延长线于M，从而易得⊥CDB ⊥⊥CMA，进而根据全等三角形的性质及题意可得CD＝CM ，进而得到Rt⊥CED ⊥ Rt⊥CEM，然后问题得解．解：如图，连接CE ，过点C 作CM⊥AE 交AE 延长线于M ．CD⊥BF ，CM⊥AM ，∴∠CDB＝∠M＝90︒，∠CBD＝∠CAM ，CB＝AC ，易证⊥CDB ⊥⊥CMA( AAS ) ，∴ CM＝CD ，BD＝AM ，∠M＝∠CDE＝90︒，CE＝CE ，CD＝CM ，∴ Rt⊥CED ⊥ Rt⊥CEM (HL) ，∴ DE＝EM＝1 ，∴ BD＝AM＝AE +EM＝AE +DE＝1+4＝5 ．故选B ．【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．11．AB AD =或BC CD =【分析】根据“HL ”定理内容即可进行解答．解：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等． 由图可知：Rt ABC △和Rt ADC 斜边为公共边，即AC AC =，⊥应添加：AB AD =或BC CD =，故答案为：AB AD =或BC CD =．【点拨】本题主要考查了用“HL ”证明两个直角三角形全等，解题的关键是熟练掌握“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等”．12．40°【分析】根据HL ，可以证明Rt ABC ≌Rt DEF △，则50D A ∠∠==，再根据余角的性质即可求出DFE ∠的度数．解：在Rt ABC ≌Rt DEF △中，AC DF AB DE =⎧⎨=⎩， ⊥Rt ABC ≌()Rt DEF HL △⊥50D A ∠∠==，⊥90E =∠，⊥180180509040DFE D E ∠=-∠-∠=--=，故答案为：40°【点拨】此题主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形两锐角互余的性质． 13．8【分析】根据垂直得到直角三角形，利用HL 判定证明(HL)ADB CEA ∆∆≌，即可得到答案．解：⊥BD m ⊥，CE m ⊥，⊥90BDA CEA ∠=∠=︒，在Rt ADB ∆与Rt CEA ∆中，⊥BD AE AB AC =⎧⎨=⎩， ⊥(HL)ADB CEA ∆∆≌，⊥3BD AE ==，5AD CE ==，⊥8DE AD AE =+=，故答案为：8．【点拨】本题考查直角三角形判定：一条直角边与斜边对应相等三角形全等．14．35【分析】先证明Rt Rt ABC DEF △≌△，得到ABC DEF ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余求出35DEF ∠=︒即可得到答案．解：由题意得90AB DE BC EF BAC EDF ====︒，，∠∠，⊥()Rt Rt HL ABC DEF ≌△△，⊥ABC DEF ∠=∠，⊥55DFE ∠=︒，⊥9035DEF DFE ∠=︒-=︒∠，⊥35ABC ∠=︒，故答案为：35．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，证明Rt Rt ABC DEF △≌△，得到ABC DEF ∠=∠是解题的关键．15．2【分析】根据HL 证明Rt Rt ABD ECD ≌，可得5ED AD ==，根据BE BD ED =-即可求解． 解： AB ⊥AD ，CE ⊥BD ，90BAD CED ∴∠=∠=︒，在Rt △ABD 与Rt ECD △中，AB CE BD CD=⎧⎨=⎩， ∴Rt Rt ABD ECD ≌，AD ＝5，CD ＝7，∴5ED AD ==，BD =CD ＝7，2BE BD ED ∴=-=故答案为：2【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握HL证明三角形全等是解题的关键．16．7【分析】先证明⊥A=⊥D，然后证明Rt⊥ACB⊥Rt⊥DFE得到BC=EF=4，DF=AC=6，即可求出BF=BC-CF=1，则BD=DF+BF=7．解：⊥⊥ACB=90°，⊥⊥A+⊥B=90°，⊥AB⊥DE，⊥⊥B+⊥D=90°，⊥⊥A=⊥D，又⊥⊥ACB=⊥DFE=90°，AB=DE，⊥Rt⊥ACB⊥Rt⊥DFE（HL），⊥BC=EF=4，DF=AC=6，⊥BF=BC-CF=1，⊥BD=DF+BF=7，故答案为：7．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．17．13【分析】过C作CE⊥AD的延长线于点E，由条件可证⊥AEC⊥⊥AMC，得到AE＝AM．证明⊥ECD⊥⊥MBC，由全等的性质可得DE＝MB，BC＝CD，则问题可得解．解：如图，过C作CE⊥AD的延长线于点E，⊥AC平分⊥BAD，⊥⊥EAC＝⊥MAC，⊥CE⊥AD，CM⊥AB，⊥⊥AEC＝⊥AMC＝90°，CE＝CM，在Rt⊥AEC和Rt⊥AMC中，AC=AC，CE=CM，⊥Rt⊥AEC⊥Rt⊥AMC（HL），⊥AE＝AM＝4cm，⊥⊥ADC ＋⊥B ＝180°，⊥ADC ＋⊥EDC ＝180°，⊥⊥EDC ＝⊥MBC ，在⊥EDC 和⊥MBC 中，DEC CMB EDC MBC CE CM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥EDC ⊥⊥MBC （AAS ），⊥ED ＝BM ，BC ＝CD ＝2.5cm ，⊥四边形ABCD 的周长为AB ＋AD ＋BC ＋CD ＝AM ＋BM ＋AE ﹣DE ＋2BC ＝2AM ＋2BC ＝8＋5＝13（cm ），故答案为：13．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握常用的判定方法是解题的关键． 18．12cm 或6cm##6cm 或12cm【分析】当AP ＝12cm 或6cm 时，⊥ABC 和⊥PQA 全等，根据HL 定理推出即可． 解：⊥⊥C ＝90°，AO ⊥AC ，⊥⊥C ＝⊥QAP ＝90°，⊥当AP ＝6cm ＝BC 时，在Rt ⊥ACB 和Rt ⊥QAP 中⊥AB PQ BC AP=⎧⎨=⎩， ⊥Rt ⊥ACB ⊥Rt ⊥QAP （HL ），⊥当AP ＝12cm ＝AC 时，在Rt ⊥ACB 和Rt ⊥P AQ 中AB PQ AC AP =⎧⎨=⎩， ⊥Rt ⊥ACB ⊥Rt ⊥P AQ （HL ），故答案为：12cm 或6cm ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA ，AAS ，SAS ，SSS ，HL ．19．(1) 见分析； (2) 80︒．【分析】（1根据AF BD =，求出AB DF =，运用HL 即可证；（2）结合全等三角形的性质，利用锐角互余和三角形的外角，求解即可．解：（1）证明：AF BD =,AB DF ∴=，90C E ∠=∠=︒，在Rt ABC △与Rt DFE △中，AB DE AC DE =⎧⎨=⎩， ()Rt ABC Rt DFE HL ∴≌ ；（2）()Rt ABC Rt DFE HL ≌，ABC EFD ∴∠=∠，90C E ∠=∠=︒,50D ∠=︒，9040ABC EFD D ∠=∠=-∠=︒，404080COF ABC DFE ∠=∠+∠=︒+︒=︒ ．【点拨】本题考查了全等三角形的证明和性质、直角三角形锐角互余以及三角形的外角；构建线段相等，证明三角形的全等并正确计算时阶梯的关键．20．(1) CE DF AC BD ==， (2) CE DF ∥，理由见分析【分析】（1）根据路程=速度×时间可知，两车速度相同，同时出发，同时到达目的地，则行驶的路程相同，据此即可得到答案；（2）只需要利用HL 证明Rt Rt ACE BDF △≌△，得到=AEC BFD ∠∠，即可证明CE DF ∥．解：（1）解：由题意得，CE DF AC BD ==，，故答案为：CE DF AC BD ==，；（2）解：CE DF ∥，理由如下：在Rt ACE 和Rt BDF △中，AC BD CE DF =⎧⎨=⎩， ⊥()Rt Rt HL ACE BDF △≌△，⊥=AEC BFD ∠∠，⊥CE DF ∥．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，正确理解题意得到CE DF AC BD ==，是解题的关键．21．(1) 见分析 (2) OA OD =，理由见分析【分析】（1）根据HL 可证明ABM DCN △≌△；（2）根据AAS 证明AMO DNO ≌△△可得结论． 解：（1）证明：⊥BN CM =，⊥BN MN MN CM +=+，即CN BM =，⊥AM BC ⊥，DN BC ⊥，⊥90AMB DNC ∠=∠=︒，在Rt ABM 和Rt DCN △中，AB CD BM CN =⎧⎨=⎩， ⊥()Rt Rt HL ABM DCN ≌△△；（2）解：OA OD =，理由如下：⊥ABM DCN △≌△，⊥AM DN =，在AMO 和DNO 中，AOM DNO AMO DNO AM DN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥()AAS AMO DNO ≌△△， ⊥OA OD =．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．22．(1) 见分析 (2) CF EF =，理由见分析【分析】（1）利用“HL ”证明Rt Rt ABC ADE △≌△得∠=∠BAC DAE ，继而知BAC DAB DAE DAB ∠-∠=∠-，据此即可得证；（2）根据三角形全等的判定定理证明ADC ABE △≌△，再证明DFC BFE △≌△，根据全等三角形的性质证明即可．（1）解：在Rt ABC △和Rt ADE △中，==AC AE AB AD⎧⎨⎩ ⊥()Rt Rt HL ABC ADE △≌△，⊥∠=∠BAC DAE ，⊥BAC BAD DAE BAD ∠-∠=∠-∠⊥CAD EAB ∠=∠；（2）在ADC △和ABE △中，===AC AE CAD EAB AB AD ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩⊥()SAS ADC ABE ≅△△⊥,DC BE ACD AEB =∠=∠又⊥Rt Rt ABC ADE △≌△，⊥ACB AED ∠=∠⊥ACB ACD AED AEB ∠-∠=∠-∠⊥DCF BEF ∠=∠在DFC 和BFE △中===DCF BEF DFC BFE DC BE ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩⊥()AAS DFC BFE △≌△，⊥CF EF =．【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、AAS 或ASA 以及直角三角形的HL 以及全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．23．(1) 见分析 (2) AB AC ⊥，理由见分析【分析】(1)由已知条件，利用HL 证明Rt ABD Rt CAE ≌，根据全等三角形的性质即可得解；(2)同(1)，先证Rt ABD Rt CAE ≌，再利用角与角之间的关系求证90BAD CAE ∠+∠=︒，即可证明AB AC ⊥．解：（1）证明：⊥BD DE CE DE ⊥⊥，，⊥90ADB AEC ∠=∠=︒，在Rt ABD △和Rt CAE 中，AB AC AD CE=⎧⎨=⎩， ⊥()Rt ABD Rt CAE HL ≌，⊥DAB ECA ∠=∠；（2）AB AC ⊥，理由如下：同（1）一样可证得Rt ABD Rt CAE ≌，⊥DAB ECA DBA EAC ∠=∠∠=∠，，⊥90CAE ECA ∠+∠=︒，⊥90CAE BAD ∠+∠=︒，即90BAC ∠=︒，⊥AB AC ⊥．【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用HL 证明Rt ABD Rt CAE ≌是解题的关键．24．(1) HL (2) 见分析 (3) 见分析 (4) B C ∠>∠【分析】（1）直接利用HL定理得出Rt⊥ABC⊥Rt⊥DEF即可；（2）先证⊥AGB⊥⊥DHE（AAS），则AG=DH，再证Rt⊥ACG⊥Rt⊥DFH，的⊥C=⊥F，然后由AAS证明⊥ABC⊥⊥DEF即可；（3）以A为圆心、AC长为半径画弧，交BC于F，得钝角三角形DEF，则⊥DEF和⊥ABC 不全等；（4）利用（3）中方法可得出当⊥B≥⊥C时，则⊥ABC⊥⊥DEF．（1）解：⊥⊥B=⊥E=90°，⊥⊥ABC和⊥DEF是直角三角形，⊥AC=DF，AB=DE，⊥Rt⊥ABC⊥Rt⊥DEF（HL），故答案为：HL；（2）明：如图2，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，过点D作DH⊥FE交FE 的延长线于点H．则⊥AGB=⊥DHE=90°，⊥⊥ABC=⊥DEF，⊥⊥ABG=⊥DEH，⊥AB=DE，⊥⊥AGB⊥⊥DHE（AAS），⊥AG=DH，⊥AC=DF，⊥Rt⊥ACG⊥Rt⊥DFH（HL），⊥⊥C=⊥F，又⊥⊥ABC=⊥DEF，AB=DE，⊥⊥ABC⊥⊥DEF（AAS）；（3）：如图3，⊥DEF即为所求；（4）解：⊥B≥⊥C，理由如下：由图3可知，⊥C=⊥AFC=⊥B+⊥BAF，⊥⊥C＞⊥B，⊥当⊥B≥⊥C时，⊥ABC就唯一确定了，则⊥ABC⊥⊥DEF．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、尺规作图以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．。
北师大版七年级下册数学《探索三角形全等的条件》典型例题 含答案
北师大版七年级下册数学《探索三角形全等的条件》典型例题含答案教育专区初中教育数北师大版七年级下册数学《探索三角形全等的条件》典型例题含答案《探索三角形全等的条件》典型例题例1 分析下列结论：（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等（2）有两边和一角对应相等的两个三角形全等（3）判定两个三角形全等，至少需要一对对边应相等（4）三个角对应相等的两个三角形全等（5）三条边对应相等的两个三角形全等其中，正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例2 如图，在ΔABCΔABCΔABC与ΔDCBΔDCBΔDCB中，如果AB=DC,AC=BDAB=DC,AC=BDAB=DC,AC=BD，那么ΔABCΔABCΔABC与ΔDCBΔDCBΔDCB全等吗？如果全等，请指出根据．例3 如图，A、F、C、D在同一直线上，AB⊥BC,DE⊥EF,BCFE,AF=DCAB⊥BC,DE⊥EF,BCFE,AF=DCAB⊥BC,DE⊥EF,BCFE,AF=DC，问ΔABCΔABCΔABC和ΔDEFΔDEFΔDEF能全等吗？如果全等请指出根据．例4 如下图，AB=DC,∠ABC=∠DCBAB=DC,∠ABC=∠DCBAB=DC,∠ABC=∠DCB，那么ΔABCΔABCΔABC≌ΔDCBΔDCBΔDCB吗？例5 如图，AC是∠DAB∠DAB∠DAB的角平分线，且AD=ABAD=ABAD=AB，试说明CD=CBCD=CBCD=CB．例6 如图，OA=OB,OC=OD,∠AOC=∠BODOA=OB,OC=OD,∠AOC=∠BODOA=OB,OC=OD,∠A OC=∠BOD那么，AD=BCAD=BCAD=BC吗？例7 已知：如图，AB=AC,DAB=AC,DAB=AC,D是BC中点，E是AD上任意一点，连接EB、EC，求证：EB=ECEB=ECEB=EC例8 如图，AB=AC,AD=AEAB=AC,AD=AEAB=AC,AD=AE，那么，CD=BECD=BECD=BE吗？例9 如图，AB=CD,ACAB=CD,ACAB=CD,AC和BD交于点O，且AC=BDAC=BDAC=BD，那么，∠B=∠C∠B=∠C∠B=∠C吗？参考答案例1 分析：（1）有两角和一边对应相等，只有两种情况：两角和夹边对应相等、两角和其中一角的对边对应相等，可以根据ASA、AAS判定全等，故（1）正确．（2）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形未必全等，如下图：故（2）错误．在ΔABCΔABCΔABC与ΔABDΔABDΔABD中AB=AB,AC=AD,∠B=∠BAB=AB,AC=AD,∠B=∠BAB=AB,AC=AD,∠B=∠B但显然ΔABCΔABCΔABC与ΔABDΔABDΔABD不全等．（3）观察四个判定三角形全等的条件（包括后面将要学习的HL），每一个都至少要求一对边对应相等，故（3）正确．（4）三个角对应相等的两个三角形未必全等，如下图所示的两个三角形：根据“SSS”，（5）正确．解：选C．例2 分析：在ΔABCΔABCΔABC与ΔDCBΔDCBΔDCB中，由于AB=DC,AC=BDAB=DC,AC=BDAB=DC,AC=BD，BC=CBBC=CBBC=CB，根据三边对应相等，两个三角形全等，可知ΔABCΔABCΔABC≌ΔDCBΔDCBΔDCB．解：ΔABCΔABCΔABC≌ΔDCBΔDCBΔDCB，根据SSSSSSSSS，即AB=DC,AC=DB,BC=CBAB=DC,AC=DB,BC=CBAB=DC,AC=DB,BC=CB．说明：判断两个三角形是否全等，应找其全等应满足的条件．例3 分析：在ΔABCΔABCΔABC和ΔDEFΔDEFΔDEF中，由AB⊥BC,DE⊥EFAB⊥BC,DE⊥EFAB⊥BC,DE⊥EF，可知∠ABC=∠DEF=90°∠ABC=∠DEF=90°∠ABC=∠DEF=90°；由BCFEBCFEBCFE，可知∠ACB=∠DFE∠ACB=∠DFE∠ACB=∠DFE；而由AF=DCAF=DCAF=DC可知AC=DFAC=DFAC=DF，所以根据AASAASAAS，可得ΔABCΔABCΔABC≌ΔDEFΔDEFΔDEF．解：ΔABCΔABCΔABC≌ΔDEFΔDEFΔDEF．根据：因为AB⊥BC,DE⊥EFAB⊥BC,DE⊥EFAB⊥BC,DE⊥EF，所以∠ABC=∠DEF=90°∠ABC=∠DEF=90°∠ABC=∠DEF=90°，又因为BCFEBCFEBCFE，所以∠ACB=∠DFE∠ACB=∠DFE∠ACB=∠DFE，因为AF=DCAF=DCAF=DC，所以AC=AF+FC=DC+FC=DFAC=AF+FC=DC+FC=DFAC=AF+FC=DC+FC=DF所以根据AASAASAAS得，ΔABCΔABCΔABC≌ΔDEFΔDEFΔDEF．说明：这个题也可以根据ASAASAASA来判断，请读者自行试一试．例4 分析：判定两个三角形全等，需要三个条件，已知两个条件：一对边对应相等，一对角对应相等，需要结合图形，寻找第三个条件，一般地，可以从以下几个方面考虑：①公共边②公共角③对顶角④直角．本题中有公共边，可以利用SAS来证明三角形全等，注意三个条件的罗列顺序，第一个是边相等，第二个是角相等，第三个是边相等．解：在ΔABCΔABCΔABC和ΔDCBΔDCBΔDCB中∵{AB=DC(已知)∠ABC=∠DCB(已知)BC=CB(公共边)∵left{begin{matrix}AB=DC(已知) ∠ABC=∠DCB(已知) BC=CB(公共边)end{matrix}ight.∵⎩⎩⎩AB=DC(已知)∠ABC=∠DCB(已知)BC=CB(公共边)∴ΔABCΔABCΔABC≌ΔDCBΔDCBΔDCB（SAS）例5 分析：要说明CD=CBCD=CBCD=CB，只需说明ΔADCΔADCΔADC≌ΔABCΔABCΔABC，而AB=AD,AC=AC,∠DAC=∠BACAB=AD,AC=AC,∠DAC=∠BACAB=AD,AC=AC,∠D AC=∠BAC，所以ΔADCΔADCΔADC≌ΔABCΔABCΔABC．解：在ΔADCΔADCΔADC和ΔABCΔABCΔABC中，因为AD=AB,AC=ACAD=AB,AC=ACAD=AB,AC=AC，且AC平分∠DAB∠DAB∠DAB，即∠DAC=∠BAC∠DAC=∠BAC∠DAC=∠BAC．所以ΔADCΔADCΔADC≌ΔABCΔABCΔABC，根据是SASSASSAS，所以CD=CBCD=CBCD=CB．说明：在两个三角形中，来判断两个三角形的两条边相等，经常用判断这两个三角形全等的办法来判断，但需注意要判断相等的线段必须是这两个三角形的对应边．例6 分析：如果ΔAODΔAODΔAOD≌ΔBOCΔBOCΔBOC，那么AD=BCAD=BCAD=BC．通过在图形中表示已知条件可知，在ΔAODΔAODΔAOD和ΔBOCΔBOCΔBOC中有两对边对应相等，虽然还已知∠AOC=∠BOD∠AOC=∠BOD∠AOC=∠BOD，但是∠AOC∠AOC∠AOC和∠BOD∠BOD∠BOD不是这两个三角形的内角，不能直接利用“SAS”来证明全等，如果能证明∠AOD=∠BOC∠AOD=∠BOC∠AOD=∠BOC，就可以用“SAS”证明ΔAODΔAODΔAOD≌ΔBOCΔBOCΔBOC了．利用等式的性质，易证∠AOD=∠BOC∠AOD=∠BOC∠AOD=∠BOC．解：∵∠AOC=∠BOD∵∠AOC=∠BOD∵∠AOC=∠BOD（已知）∴∠AOC−∠AOB=∠BOD−∠AOB∠AOC−∠AOB=∠BOD−∠AOB∠AOC −∠AOB=∠BOD−∠AOB（等式的性质）即∠AOD=∠BOC∠AOD=∠BOC∠AOD=∠BOC在ΔAODΔAODΔAOD和ΔBOCΔBOCΔBOC中∵{OA=OB(已知)∠AOD=∠BOC(已证)OD=OC(已知)∵left{begin{matrix}OA=OB(已知) ∠AOD=∠BOC(已证) OD=OC(已知)end{matrix}ight.∵⎩⎩⎩OA=OB(已知)∠AOD=∠BOC(已证)OD=OC(已知)∴ΔAODΔAODΔAOD≌ΔBOCΔBOCΔBOC（SAS）∴AD=BCAD=BCAD=BC（全等三角形的对应边相等）例7 分析：本题比较复杂，可以用“综合—分析法”来证明，分析过程如下：（1）结合已知、求证观察图形，图中共有三组基本图形（哪三组？）．（2）看未知，需证EB=ECEB=ECEB=EC，只需证ΔABEΔABEΔABE≌ΔACEΔACEΔACE，或证ΔBEDΔBEDΔBED≌ΔCEDΔCEDΔCED．（3）看已知，AB=AC,DAB=AC,DAB=AC,D是BC中点，可得，BD=CDBD=CDBD=CD，不要忽略图形中隐含的已知条件AE、DE、AD是三对全等三角形的公共边．（4）找需知，只需证得∠BAE=∠CAE∠BAE=∠CAE∠BAE=∠CAE或∠BDE=∠CDE∠BDE=∠CDE∠BDE=∠CDE，即可得到上述两个三角形全等（恰当选择SAS来判定）（5）再看已知，三组对应边对应相等，可以利用SSS来证明ΔABDΔABDΔABD≌ΔACDΔACDΔACD，就得到∠BAE=∠CAE∠BAE=∠CAE∠BAE=∠CAE或∠BDE=∠CDE∠BDE=∠CDE∠BDE=∠CDE证明：∵D∵D∵D是BC中点∴BD=CDBD=CDBD=CD在ΔABDΔABDΔABD和ΔACDΔACDΔACD中∵{AB=AC(已知)BD=CD(已证)AD=AD(公共边)∵left{begin{matrix}AB=AC(已知) BD=CD(已证) AD=AD(公共边)end{matrix}ight.∵⎩⎩⎩AB=AC(已知)BD=CD(已证)AD=AD(公共边)∴ΔABDΔABDΔABD≌ΔACDΔACDΔACD（SSS）∴∠BAE=∠CAE∠BAE=∠CAE∠BAE=∠CAE（全等三角形的对应角相等）在ΔABEΔABEΔABE和ΔACEΔACEΔACE中∵{AB=AC(已知)∠BAE=∠CAE(已证)AE=AE(公共边)∵left{begin{matrix}AB=AC(已知) ∠BAE=∠CAE(已证) AE=AE(公共边)end{matrix}ight.∵⎩⎩⎩AB=AC(已知)∠BAE=∠CAE(已证)AE=AE(公共边)∴ΔABEΔABEΔABE≌ΔACEΔACEΔACE（SAS）∴EB=ECEB=ECEB=EC（全等三角形的对应边相等）例8 分析：本图比较复杂，很难找到证明哪两个三角形全等，故可以采用分解法，将图形分解成ΔABEΔABEΔABE和ΔACDΔACDΔACD 然后用相同的符号标示已知的相等条件，显然它们全等．解：在ΔABEΔABEΔABE和ΔACDΔACDΔACD中∵{AB=AC(已知)∠A=∠A(公共角)AE=AD(已知)∵left{begin{matrix}AB=AC(已知) ∠A=∠A(公共角) AE=AD(已知)end{matrix}ight.∵⎩⎩⎩AB=AC(已知)∠A=∠A(公共角)AE=AD(已知)∴ΔABEΔABEΔABE≌ΔACDΔACDΔACD（SAS）∴CD=BECD=BECD=BE（全等三角形的对应边相等）例9 分析：假如ΔAOBΔAOBΔAOB≌ΔDOCΔDOCΔDOC，那么∠B=∠C∠B=∠C∠B=∠C，但是，已知的两组线段不是这两个三角形的边，为充分利用条件，可以添加辅助线：连接AD，这样易证∠B=∠C∠B=∠C∠B=∠C．解：连结AD在ΔABDΔABDΔABD和ΔDCAΔDCAΔDCA中∵{AB=DC(已知)AD=DA(公共边)AC=BD(已知)∵left{begin{matrix}AB=DC(已知) AD=DA(公共边) AC=BD(已知)end{matrix}ight.∵⎩⎩⎩AB=DC(已知)AD=DA(公共边)AC=BD(已知)∴ΔABDΔABDΔABD≌ΔDCAΔDCAΔDCA（SSS）∴∠B=∠C∠B=∠C∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）。
最新北师大版七年级下册数学培优训练第四章三角形 3探索三角形全等的条件 第3课时
3探索三角形全等的条件第3课时(打“√”或“×”)1．两个等边三角形一定全等．(×)2．两边及其夹角相等的两个三角形全等．(√)3．两边及其一边的对角相等的两个三角形全等．(×)4．有两边和一角相等的两个三角形全等．(×)·知识点1“SAS”判定三角形全等1.(概念应用题)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且AE＝AF，则可直接用“SAS”判断的是(C)A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDFC．△ADE≌△ADF D．△ABD≌△ABC2．(2021·福州台江区模拟)如图，已知AB＝DB，BC＝BE，∠1＝∠2，由这三个条件，就可得出△ABE≌△DBC，依据的判定方法是(B)A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS3．(2021·三明永安模拟)如图，已知AO＝CO，若以“SAS”为依据证明△AOB≌△COD，还要添加的条件是__BO＝DO__．·知识点2三角形全等判定方法的综合应用4．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，∠B＝∠E，添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEC的是(D)A．∠ECB＝∠DCA B．BC＝EC C．∠A＝∠D D．AC＝DC5．(教材开发P104习题T1变式)如图，已知AO平分∠DAE，AD＝AE，AB＝AC，图中全等三角形有(D)A．1对B．2对C．3对D．4对6．(2021·漳州期中)如图，已知CA＝CD，CB＝CE，请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEC，这个条件可以是__AB＝DE(∠ACB＝∠DCE或∠ECB＝∠DCA)__(只需填写一个).7．(2021·百色中考)如图，点D，E分别是AB，AC的中点，BE，CD相交于点O，∠B＝∠C，BD＝CE.求证：(1)OD＝OE；(2)△ABE≌△ACD.【解析】见全解全析1．(2021·福州鼓楼区质检)如图，已知AB＝AC，∠DAB＝∠DAC，那么判定△ABD≌△ACD的依据是(D)A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS2．(2021·福州台江区期中)如图，CD∥BE，点C是AB的中点，不能使△ACD≌△CBE 的是(B)A．CD＝BE B．AD＝CE C．∠A＝∠BCE D．∠D＝∠E 3．(2021·泉州惠安期末)如图，已知AB＝CD，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是(C)A．∠M＝∠N B．MB＝ND C．AM＝CN D．AM∥CN 4．(2021·漳州漳浦期中)如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，D在同一条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是(D)A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BC＝EF 5．(2021·齐齐哈尔中考)如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是__∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE__．(只需写出一个条件即可)6．(2021·龙岩漳平期末)如图，在△ADC与△BDC中，∠1＝∠2，加上一个条件__AD ＝BD__，则可用SAS判定△ADC≌△BDC.7．如图，AB＝CB，BE＝BF，∠1＝∠2，证明：△ABE≌△CBF.【证明】∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠FBE＝∠2＋∠FBE，即∠ABE＝∠CBF，在△ABE 与△CBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ∠ABE ＝∠CBF BE ＝BF，∴△ABE ≌△CBF (SAS).8．如图，在△ABC 和△DEF 中，边AC ，DE 交于点H ，AB ∥DE ，AB ＝DE ，BE ＝CF .(1)若∠B ＝55°，∠ACB ＝100°，求∠CHE 的度数．(2)求证：△ABC ≌△DEF .【解析】见全解全析9．如图(1)，AB ＝7 cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB 垂足分别为A ，B ，AC ＝5 cm.点P 在线段AB 上以2 cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在射线BD 上运动．它们运动的时间为t (s)(当点P 运动结束时，点Q 运动随之结束).(1)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t ＝1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系，请分别说明理由；(2)如图(2)，若“AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”改为“∠CAB ＝∠DBA ”，点Q 的运动速度为x cm/s ，其它条件不变，当点P ，Q 运动到某一处时有△ACP 与△BPQ 全等，求出相应的x 的值．【解析】(1)△ACP ≌△BPQ ，PC ⊥PQ .理由如下：∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴∠A ＝∠B ＝90°，∵当t ＝1时，AP ＝BQ ＝2，∴BP ＝5，∴BP ＝AC ，在△ACP 和△BPQ 中⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BQ ∠A ＝∠B AC ＝BP，∴△ACP ≌△BPQ (SAS)，∴∠C ＝∠BPQ ，∵∠C ＋∠APC ＝90°，∴∠APC ＋∠BPQ ＝90°，∴∠CPQ ＝90°，∴PC ⊥PQ ；(2)①若△ACP ≌△BPQ ，则AC ＝BP ，AP ＝BQ ，可得：5＝7－2t ，2t ＝xt 解得：x ＝2，t ＝1；②若△ACP ≌△BQP ，则AC ＝BQ ，AP ＝BP ，可得：5＝xt ，2t ＝7－2t解得：x ＝207 ，t ＝74 .综上所述，当△ACP 与△BPQ 全等时，x 的值为2或207 .常见的全等三角形变换类型(1)平移型：如图所示，将△ACE 沿直线AC 平行移动AB 的长度，得到△BDF ，则△ACE ≌ △BDF .(2)旋转型：如图①，将△ABC 绕点A 旋转一定的角度得到△ADE ，则△ABC ≌△ADE . 如图②，将△OAB 绕点O 旋转180°得到△ODC ，则△OAB ≌△ODC .(3)翻折型：如图③，将△ABC 沿直线AB 翻折，得到△ABD, 则△ABC ≌△ABD .如图④，将△ABD 翻折得到△ACE ，这两个三角形的∠A 重合，则△ABD ≌△ACE .。
专题探索三角形全等的条件(ASA和AAS)(专项练习)数学七年级下册基(北师大版)
专题4.15 探索三角形全等的条件（ASA 和AAS ）（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．如图，点B ，C ，D 在同一直线上，若A D ∠=∠，AB EC ∥，则下列选项中，不能判定≌ABC DCE 的是（ ）A ．ACB E ∠=∠B ．AB CD =C ． AC DE =D ．BC CE =2．如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，OD ∠BC 于点D ，OD ＝2，∠ABC 的周长为28，则∠ABC 的面积为（ ）A ．28B ．14C ．21D ．73．如图，在ABC 中，过点A 作ABC ∠的平分线的垂线AD 交ABC 内部于点P ，交边BC 于点D ，连结CP ，若ABP ，CDP △的面积分别为4、2，则ABC 的面积是（ ）A ．24B ．12C ．8D ．64．如图，在ABC 与AEF △中，点F 在BC 上，AB 交EF 于点D ．AB AE =，30B E ∠=∠=︒，EAB CAF ∠=∠，80EAF ∠=︒，则FAC ∠=（ ）A ．40︒B ．60︒C ．50︒D ．70︒5．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE EF =，FC AB ∥，若8AB =，6CF =，则BD 的长是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，ABC 的两条高AD 和CE 交于点F ．已知7AB =，3EF EB ==，则CF 的长为（ ），A ．1B ．2C ．32D ．527．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ∥，DAB ∠的平分线交BC 于点E ，DE AE ⊥，若12AD =，8BC =，则四边形ABCD 的周长为（ ）A ．32B ．20C ．16D ．288．如图，AB CD ⊥，且AB CD =，CE AD ⊥，BF AD ⊥，垂足分别为E ，F ，若3BF =，5CE =，52AE =，则EF 的长为（ ）A ．52B ．12C ．2D ．39．如图，甲、乙、丙三个三角形中和ABC ∆全等的图形有（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．乙和丙10．如图，ABC 中，490B C ∠=︒， AB AC =、BM 是AC 边的中线，有AD BM ⊥；垂足为点E 交BC 于点D ．且AH 平分BAC ∠交BM 于N ．交BC 于H ．连接DM ．则下列结论：∠AMB CMD ∠=∠； ∠HN HD =； ∠BN AD =； ∠BNH MDC ∠=∠； 错误的有（ ）个．A ．0B ．1C ．3D ．4二、填空题11．如图，已知AD =AE ，请你添加一个条件，能运用ASA 直接说明∠ADC ∠△AEB ，你添加的条件是 ___________．（不添加任何字母和辅助线）12．如图，在∠ABC 中，点D 为AB 延长线上一点，点E 为AC 中点，过C 作CF //AB 交射线DE 于F ，若BD ＝1，CF ＝5，则AB 的长度为_____．13．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，连接BD ，4AD =，BD CD ⊥，ADB C ∠=∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为______．14．在ABC 中，120A ∠=︒，AB AC m ==，BC n =，CD 是ABC 的边AB 的高，则ACD的面积为______(用含m ，n 的式子表示)．15．∠ABC 中，90AC BC ACB =∠=，，点D 是∠ABC 外一点，连接BD ，CD ，BD AC ∥，点F 是CD 上一点，连接AF ，若2D CAF ∠=∠，179CD CE ==，，则BD 的长为___________．16．如图，图形的各个顶点都在3⨯3正方形网格的格点上．则12∠+∠=______．17．如图，点E 是BC 的中点，AB BC ⊥，DC BC ⊥，AE 平分BAD ∠，下列结论：∠90AED ∠=︒；∠ADE AEB ∠=∠；∠ABCD S AD CE =⋅梯形；∠2AD AE =，四个结论中成立的是__________．18．如图所示，在等腰Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点D 为射线CB 上的动点，AE AD =，且AE AD ⊥，BE 与AC 所在的直线交于点P ，若5AC PC =，则BDCD=_____．三、解答题19．如图，在四边形ABCD 中，已知AB CD ∥，连接BD ，AE AB ⊥交BD 于点E ，CF CD ⊥交BD 于点F ，DE BF =，求证：C ABE DF ≌△△．20．如图，点A 、C 、B 、D 在同一条直线上，BE DF ∥，A F ∠=∠，AB FD =．求证： (1) AE FC =．(2) 若157ACF =︒∠，45EBA ∠=︒，求A ∠的度数．21．如图，四边形ABCD 中，点F 是BC 中点，连接AF 并延长，交于DC 的延长线于点E ，且AB CE ．(1) 求证：ABF ECF △≌；(2) 若AD BC ∥，260B D ∠+∠=︒，求D ∠的度数； (3) 若B D ∠=∠，求证：AD BC =．22．在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M ，N 分别在等边ABC 的,BC CA 边上，且BM CN =，AM ，BN 交于点Q ．求证：60BQM ∠=︒．同学们利用有关知识完成了解答后，老师又提出了下列问题：(1) 若将题中“BM CN =”与“60BQM ∠=︒”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你给出答案并说明理由．(2) 若将题中的点M ，N 分别移动到,BC CA 的延长线上，是否仍能得到60BQM ∠=︒？请你画出图形，给出答案并说明理由．23．如图∠，点C 在线段AB 上（点C 不与A ，B 重合），分别以AC ，BC 为边在AB 同侧作等边∠ACD 和等边∠BCE ，连接AE ，BD 交于点P ．(1) 观察猜想：1.AE 与BD 的数量关系为______；2.∠APD 的度数为______； (2) 数学思考：如图∠，当点C 在线段AB 外时，（1）中的结论∠，∠是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．24．在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1) 当直线MN 处在图1的位置时，填空： ∠ADC △和CEB 的关系是___________；∠线段DE 、AD 和BE 三者之间的大小关系是___________； (2) 当直线MN 处在图2的位置时，求证：DE AD BE =-；(3) 当直线MN 处在图3的位置时，且3BE =，1AD =，直接写出DE 的长．（不需要证明）参考答案1．A【分析】根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可知B ECD ∠=∠，然后结合题意和各个选项，由三角形判定条件即可获得答案．解：∠AB EC ∥，∠B ECD ∠=∠，再结合已知条件A D ∠=∠可知： A. 若ACB E ∠=∠，不能证明两三角形全等，符合题意；B. 若AB CD =，可利用“ASA ”证明≌ABC DCE ，故不符合题意；C. 若AC DE =，可利用“AAS ”证明≌ABC DCE ，故不符合题意；D. 若BC CE =，可利用“AAS ”证明≌ABC DCE ，故不符合题意． 故选：A ．【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定，解题的关键是明确全等三角形的判定方法．2．A【分析】连接OA ，过点O 作OE AB ⊥于点E ，作OF AC ⊥于点F ，则由角平分线的性质定理得：OE =OF =OD =2，再由ABC OAB OBC OCA S S S S =++△△△△即可求得结果．解：连接OA ，过点O 作OE AB ⊥于点E ，作OF AC ⊥于点F ，如图∠BO 平分DBA ∠，OE AB ⊥，OD BC ⊥， 在BOD 和BOE △中， 90OEB ODB OBE OBD BO BO ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠()BOD BOE AAS △≌△， ∠OE =OD =2 同理：OF =OD =2 ∠OE =OF =OD =2∠ABC OAB OBC OCA S S S S =++△△△△ 111222AB OE BC OD AC OF =++ ()12AB BC AC OD =++ =12822⨯⨯ =28 ∠28ABC S =△ 故选：A ．【点拨】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积等知识，关键是根据条件构造适合角平分线性质定理条件的辅助线．3．B【分析】根据ASA 可证ABP DBP ≅，由全等的性质可得，AP DP =，即P 是AD 中点，由等底同高可得，DBPABPS S=，APCDPCSS=，从而计算ABCABPDBPAPCDPCSSSSS=+++，故得出答案．解：由题可得：ABP DBP ∠=∠，BP AD ⊥，90BPA BPD ∴∠=∠=︒，在ABP 与DBP 中， ABP DBP BP BPBPA BPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABP DBP ASA ∴≅，AP DP ∴=，4DBPABPSS∴==，2APCDPCSS==，442212ABCABPDBPAPCDPCSSSS S∴=+++=+++=．故选：B ．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，求等底同高的面积，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．4．A【分析】根据ASA 证明C EAF BA ≌得出AF AC =，C AFC ∠=∠，再由三角形内角和定理即可推出结果．解：∠EAB CAF ∠=∠， ∠80C EAF AB ∠=∠=︒， 在EAF △与BAC 中，E B AE ABEAF BAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠(ASA)BA A C E F ≌， ∠AF AC =， ∠C AFC ∠=∠， ∠30,80A B C B =∠︒=∠︒，∠18070C C AFC B AB =∠=-∠-∠=︒∠︒， ∠18040C AF A C F C =-∠︒-∠=∠︒， 故选：A ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．5．B【分析】根据平行线的性质得出，A FCE ∠=∠，ADE F ∠=∠，根据全等三角形的判定，得出ADE CFE ≌，根据全等三角形的性质得出，AD CF =，根据8AB =，6CF =，即可求出线段BD 的长．解：FC AB ∥，A FCE ∴∠=∠，ADE F ∠=∠，在ADE 和CFE 中，A FCE ADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE CFE AAS ∴≌,6AD CF ∴==，8AB =，862BD AB AD ∴=-=-=，故选：B ．【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质的应用，能判定ADE CFE ≌是解此题的关键．6．A【分析】先根据AEF △的面积算出AE 的长度，再根据全等三角形的知识算出CE 的长度，由CE FE -即可求出CF 的长度．解：CE AB ⊥，90AEC ∴∠=︒，734AE AB EB =-=-=，AD BC ⊥，90ADC ∴∠=︒，又AFE CFD ∠=∠，EAF ECB ∴∠=∠，在BEC 和FEA 中，EAF ECB FEA BEC BE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()BEC FEA AAS ≌△△4AE CE ∴==，431CF CE EF ∴=-=-=，故选：A ．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．7．A【分析】延长AB 、DE 相交于点F ，根据得到DE EF =，AD AF =，再证明DEC FEB △≌△得到DC BF =，从而推算出四边形ABCD 的周长等于2AD BC +解：如下图所示，延长AB 、DE 相交于点F ，DAB ∠的平分线交BC 于点E ，∠DAE FAE ∠=∠，∠DE AE ⊥，90AED AEF ∠=∠=︒∴，∠AE AE =，∠AED AEF ≌△△，∠DE EF =，12AF AD ==，∠AB DC ∥，∠CDE EFB ∠=∠,∠CDE EFB DE EF DEC FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠DEC FEB △≌△，∠DC BF =，∠12AB DC AB BF AF +=+==，∠四边形ABCD 的周长为1212832AD AB BC DC AD AF BC +++=++=++=， 故选：A ．【点拨】本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，构造辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．8．A【分析】先根据余角的性质证明C A ∠=∠，再根据AAS 证明CDE ABF ≌，得出5CE AF ==，最后根据线段的和差即可求解．解：∠AB CD ⊥，CE AD ⊥，BF AD ⊥，∠90ABD ，90CED ∠=︒，90AFB ∠=︒，∠90A D ∠+∠=︒，90C D ∠+∠=︒，CED AFB ∠=∠，∠C A ∠=∠，在CDE 和ABF △中，C A CED AFB CD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()AAS CDE ABF ≌，∠CE AF =，又5CE =，∠5AF =， 又52AE =， ∠52EF AF AE =-=．故选：A ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质等知识，根据AAS 证明CDE ABF ≌是解题的关键．9．D【分析】根据三角形全等的判定方法进行判断：甲图不符合三角形全等的判定方法；乙图可运用SAS 判断；丙图可以用AAS 判定．解：如图所示，甲图，不满足三角形全等的判定的条件；乙图，在ABC ∆和FED ∆中，====50?==BC ED a B E BA EF c ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，(SAS)ABC FED ∆∆≌；丙图，在ABC ∆和MNH ∆中，==72?==50?==M AED B N BC NH a ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，(AAS)ABC MNH ∆∆≌．故选D ．【点拨】此题考查全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的各种方法是解题的关键．10．A【分析】作KC CA ⊥交AD 的延长线于K ．通过证明BHN AHD ABM CAK CDM CDK ≌，≌，≌即可解决问题．解：如图，作KC CA ⊥交AD 的延长线于K ．∠90AB AC BAC =∠=︒，，AH 平分BAC ∠，∠AH BC BH CH ⊥=，，∠AH BH CH ==，∠AD BM ⊥，∠90BHN AEN AHD ∠=∠=∠=︒，∠BNH ANE ∠=∠，∠HBN DAH ∠=∠，∠ASA BHN AHD ≌（）， ∠HN DH BN AD BNH ADH CDK ==∠=∠=∠，，，故∠∠正确，∠90BAM ACK ∠=∠=︒，∠90BAE CAK ∠+∠=︒，∠90BAE ABM ∠+∠=︒，∠ABM CAK ∠=∠，∠AB AC =，∠ASA ABM CAK ≌（）， ∠AMB K AM CK CM ∠=∠==，，∠45DCM DCK CD CD ∠=∠=︒=，，∠SAS CDM CDK ≌（）， ∠CDK CDM K CMD ∠=∠∠=∠，，∠AMB CMD BNH MDC ∠=∠∠=∠，，故∠∠正确．故选：A ．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．11．∠ADC =∠AEB【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．解：添加条件∠ADC =∠AEB ，理由如下：在 ADC AEB 和△△中，===A A AD AE ADC AEB ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩， ∠ADC AEB ≌（ASA ），故答案为：∠ADC =∠AEB ．【点拨】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 12．4【分析】根据CF ∠AB 就可以得出∠A =∠ECF ，∠ADE =∠F ，证明△ADE ∠∠CFE 就可以求出答案．解：∠CF ∠AB ，∠∠ADE =∠F ，∠FCE =∠A ．∠点E 为AC 的中点，∠AE =EC ．∠在∠ADE 和∠CFE 中，ADE F FCE A AE EC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠ADE ∠∠CFE （AAS ）．∠AD =CF =5，∠BD =1，∠AB =AD -BD =5-1=4．故答案为：4．【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，解答时证明三角形全等是关键．13．4【分析】根据垂线段最短得出当DP BC ⊥时，DP 的长度最小，求出ABD CBD ∠=∠，根据角平分线的性质得出AD DP =，即可得出选项．解：如图，过点D 作DE BC ⊥于点E ，当DP D =E 时，DP 最小，∠90BD DC A ∠⊥=︒，，∠9090DEB DEC A BDC ∠∠∠∠==︒==︒，，∠9090C CDE CDE BDE ∠∠∠∠+=︒+=︒，，∠BDE C ∠=∠，又∠ADB C ∠=∠，∠ADB BDE ∠=∠，∠在ABD △和EBD △中A DEB ADB BDE BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠ABD EBD △≌△，∠4DE AD ==，即DP 的最小值为4．故答案为：4．【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点，能知道当DP BC ⊥时，DP 的长度最小是解此题的关键．14．8mn 【分析】过点C 作CD AB ⊥交AB 的延长线于点D ，由90ADC ∠=︒，求得30ACD ∠=︒，得到122m AD AC ==，过点A 作AE BC ⊥交BC 于点E ，证明ACE ACD △≌△，得到122n CD CE BC ===，即可求得ACD 的面积． 解：过点C 作CD AB ⊥交AB 的延长线于点D ，过点A 作AE BC ⊥交BC 于点E ，∠120A ∠=︒，AB AC m ==，∠18060CAD BAC ∠=︒-∠=︒，且CD AB ⊥，∠90ADC ∠=︒，∠9030ACD CAD ∠=︒-∠=︒， ∠122m AD AC ==， ∠120A ∠=︒，AB AC m ==，AE BC ⊥，∠30ACE ACD ∠=∠=︒，60CAE CAD ∠=∠=︒，AC AC =，∠ACE ACD △≌△， ∠122n CD CE BC ===，∠128ACD mn S AD CD =⋅=△， 故答案为：8mn ． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质及含30度角的直角三角形的性质，能够构造辅助线是解决问题的关键．15．8【分析】作AE 的垂直平分线交BC 的延长线于点M ，交AE 于点N ，连接AM ，则AM EM =，设CAF α∠=，则2BDC α∠=，利用AAS 求证ACM CBD ≅，根据全等三角形的性质可得17AM CD ME ===，CM BD =，进而即可求解．解：如图，作AE 的垂直平分线交BC 的延长线于点M ，交AE 于点N ，连接AM ，则AM EM =，MAE MEA ∴∠=∠，设CAF α∠=，则2BDC α∠=，90ACB ∠=︒，90AEC α∴∠=︒-，90MAE MEA α∴∠=∠=︒-，()1802902AME BDC αα∴∠=︒-︒-==∠，BD AC ∥，90ACB CBD ∴=∠=∠︒，90ACM CBD ∠=∠=︒，AC CB =，AMC CDB ∠=∠，ACM CBD ∴≅（AAS ），17AM CD ∴==，CM BD =，AM ME =，17ME MC CE ∴==+，9CE =，1798BD ∴=-=，故答案为：8【点拨】本题考查全等三角形的判定及其性质，解题的关键是作图构造全等三角形，熟练运用全等三角形的判定求证ACM CBD ≅．16．45°##45度【分析】通过证明三角形全等得出∠1=∠3，再根据∠1+∠2=∠3+∠2 即可得出答案． 解：如图所示，由题意得，在Rt △ABC 和Rt △EFC 中，∠90AB EF B EFC BC FC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∠Rt △ABC ∠Rt △EFC （SAS ）∠∠3=∠1∠∠2+∠3=90°∠∠1+∠2=∠3+∠2=90°故答案为：45°【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出∠1=∠3是解题的关键．17．∠∠∠【分析】过E 作EF ∠AD 于F ，由AAS 证明△AEF ∠∠AEB ，得出BE ＝EF ，AB ＝AF ，∠AEF ＝∠AEB ；证出EC ＝EF ＝BE ，由HL 证明Rt △EFD ∠Rt △ECD ，得出DC ＝DF ，∠FED＝∠CED ，由平角定义得出∠AED ＝90°，∠正确；由直角三角形的两个锐角互余，得出∠ADE＝∠AEB ，∠正确；证出AD ＝AF ＋FD ＝AB ＋DC ，得出S 梯形ABCD ＝12（AB ＋CD ）BC ＝AD •CE ，∠正确；只有∠ADE ＝30°时，AD ＝2AE ，∠不正确；即可得出结论．解：过E 作EF ∠AD 于F ，如图，∠AB ∠BC ，DC ∠BC ，AE 平分∠BAD ，∠∠C ＝∠AFE ＝∠DFE ＝∠B ＝90°，∠F AE ＝∠BAE ，在△AEF 和△AEB 中，AE=AE AFE B FAE BAE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，∠∠AEF ∠∠AEB （AAS ），∠BE ＝EF ，AB ＝AF ，∠AEF ＝∠AEB ；∠点E 是BC 的中点，∠EC ＝EF ＝BE ，在Rt △EFD 和Rt △ECD 中，DE DE EF EC =⎧⎨=⎩， ∠Rt △EFD ∠Rt △ECD （HL ），∠Rt △EFD ∠Rt △ECD （HL ），∠DC ＝DF ，∠FED ＝∠CED ，∠∠AEB ＋∠AEF ＋∠FED ＋∠CED ＝180°，∠∠AED ＝12×180°＝90°，∠正确；∠EF ∠AD ，∠∠AEF ＝∠ADE ，∠∠ADE ＝∠AEB ，∠正确；∠AD ＝AF ＋FD ＝AB ＋DC ，S 梯形ABCD ＝12（AB ＋CD ）BC ＝AD •CE ，∠正确； 只有∠ADE ＝30°时，AD ＝2AE ，∠∠不正确；故答案为∠∠∠【点拨】本题考查了梯形的性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．18．27【分析】作EH AC ⊥，交AC 的延长线于H ，利用AAS 证明ACD EHA ≌△△，得AC EH =，DC AH =，再证明()AAS CBP HEP ≌，得PC HP =，从而解决问题． 解：作EH AC ⊥，交AC 的延长线于H ，∠AE AD ⊥，∠=90DAE ∠︒，∠90DAC EAH EAH AEH ∠+∠=∠+∠=︒，∠DAC AEH ∠=∠，∠90ACB H ∠=∠=︒，DA AE =∠()AAS ACD EHA ≌，∠AC EH =，DC AH =，∠AC BC =，∠BC EH =，∠CPB HPE ∠=∠，BCP H ∠=∠，∠()AAS CBP HEP ≌，∠PC HP =，∠5AC PC =，设PC x =，则5AC x =，∠5BC x =，7CD AH x ==，∠2BD x =， ∠2277x D CD x B ==， 故答案为：27．【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．19．见分析【分析】根据AAS 证明ABE CDF ≌．解：证明：∠BF DE =，∠BF EF DE EF +=+，即BE DF =，∠AE AB ⊥，CF CD ⊥，∠90BAE DCF ∠=∠=︒，又∠AB CD ∥∠ABD CDB ∠=∠在ABE 和CDF 中，BAE DCF ABD CDB BE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ABE CDF AAS △△≌． 【点拨】本题考查了三角形全等的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．20．(1) 证明见分析 (2) 112︒【分析】（1）通过条件可证()ASA ABE FDC ≌△△，根据全等三角形的性质得到AE FC =；（2）根据三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和即可得解．解：（1）证明：∠BE DF ∥∠ABE D ∠=∠在ABE 和FDC △中∠A F AB FD ABE D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠()ASA ABE FDC ≌△△ ∠AE FC =（2）解： 由（1）知ABE D ∠=∠∠45EBA ∠=︒∠45D ∠=︒∠ACF ∠是CDF 的一个外角，∠15745112F ACF D =-=︒-︒=︒∠∠∠∠A F ∠=∠∠112A ∠=︒【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．21．(1) 见分析 (2) 130︒ (3) 见分析【分析】（1）由点F 是BC 中点得到BF CF =，由AB CE ，则BAF E ∠=∠，根据根据AAS 即可判定ABF ECF △≌；（2）由AB CE 得到B BCE ∠=∠，由AD BC ∥得到D BCE ∠=∠，则B D ∠=∠，又由260B D ∠+∠=︒，即可得到D ∠的度数；（3）连接AC , 证明()AAS ABC CDA △≌△即可．解：（1）证明：∠点F 是BC 中点，∠BF CF =∠AB CE ，∠BAF E ∠=∠，在ABF △和ECF △中，BAF E AFB EFC BF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()AAS ABF ECF ≌△△． （2）∠AB CE ，∠B BCE ∠=∠，∠AD BC ∥，∠D BCE ∠=∠，∠B D ∠=∠，∠260B D ∠+∠=︒，∠130D B ∠=∠=︒，即D ∠的度数为130︒；（3）连接AC ，∠AB CE ，∠BAC ACD ∠=∠，∠B D ∠=∠，AC CA =，∠()AAS ABC CDA △≌△，∠AD BC =．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．22．(1) 仍是真命题，证明见分析 (2) 仍能得到60BQM ∠=︒，作图和证明见分析【分析】（1）由角边角得出ABM 和BCN △全等，对应边相等即可．（2）由（1）问可知BM =CN ，故可由边角边得出BAN 和ACM △全等，对应角相等，即可得出60BQM ∠=︒．解：(1)∠60BQM ∠=︒∠60QBA BAM ∠+∠=︒∠60QBA CQN ∠+∠=︒∠BAQ CQN ∠=∠在ABM 和BCN △中有BAQ CQN AB BC ABM BCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠ABM BCN ASA ≅△（）∠BM CN =故结论仍为真命题．(2)∠BM =CN∠CM =AN∠AB =AC ，18060120ACM BAN ∠=∠=︒-︒=︒，在BAN 和ACM △中有BA AC BAN ACM AN CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠BAN ACM SAS ≅△（）∠BNA CMA ∠=∠∠60BQM BNA NAQ CMA CAM ACB ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒故仍能得到60BQM ∠=︒，如图所示【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角，有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路．23．(1) ∠AE＝BD；∠60°(2) 上述结论成立．∠APD＝60°，证明见分析【分析】（1）根据已知条件只要证明∠DCB∠∠ACE，即可证明出AE于BD的数量关系，以及∠APD的角度；（2）根据∠ACD，∠BCE均为等边三角形，可知＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，进而可知∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，从而可证∠DCB∠∠ACE（SAS），则DB＝AE，∠CDB＝∠CAE，根据∠DCA＝∠DP A＝60°可证∠APD＝60°．解：（1）解：∠∠ACD和∠CBE都是等边三角形，∠AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，∠∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠DCB=∠DCE＋∠ECB，∠∠DCB=∠ACE，∠∠DCB∠∠ACE，∠AE=BD，∠BDC=∠CAE，又∠∠DOP=∠COA，∠∠APD=∠ACD=60°，故答案是：AE=BD，60°；（2）上述结论成立，∠∠ACD，∠BCE均为等边三角形，∠DC＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，∠∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，在∠DCB和∠ACE中，DC ACDCB ACE CB CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠DCB∠∠ACE（SAS），∠DB＝AE，∠CDB＝∠CAE，如图，设BD与AC交于点O，易知∠DOC＝∠AOP（对顶角相等），∠∠CDB＋∠DCA＝∠CAE＋∠DP A，∠∠DCA＝∠DP A＝60°，即∠APD＝60°．【点拨】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，能够熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．24．(1) ∠ADC CEB ≅；∠DE AD BE =+ (2) 见分析 (3) 2【分析】（1）∠根据同角的余角相等得到CAD BCE ∠=∠，利用AAS 定理证明ADC CEB ≅；∠根据全等三角形的性质得到CE AD =，BE CD =，结合图形得出结论；（2）证明ADC CEB ≅，根据全等三角形的性质得到CE AD =，BE CD =，结合图形证明结论；（3）仿照（2）的作法分别求出CD 、CE ，计算即可．（1）解：∠90ACB ∠=︒，90ACD BCE ∴∠+∠=︒，AD MN ⊥，BE MN ⊥，90ADC CEB ∴∠=∠=︒，90ACD CAD ∴∠+∠=︒，CAD BCE ∴∠=∠，在ADC 和CEB 中，ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADC CEB ∴≅（AAS ），故答案为：ADC CEB ≅；∠由∠可知：ADC CEB ≅，CE AD ∴=，BE CD =，DE DC CE AD BE ∴=+=+，故答案为：DE AD BE =+；（2）证明：90ADC CEB ACB ∠=∠=∠=︒，ACD CBE ∴∠=∠，在ADC 和CEB 中，ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ACD CBE ∴≅（AAS ），CE AD ∴=，CD BE =，DE CE CD AD BE ∴=-=-；（3）解：由（2）可知：ACD CBE ≅，3CD BE ∴==，1CE AD ==，312DE CD CE ∴=-=-=．【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．。
北师大版数学七年级下《探索三角形全等的条件》习题
初中数学试卷《探索三角形全等的条件》习题一、选择题1.如图，AE// DF, AE=DF要使^ EA黄△ FDB需要添加下列选项中的（）A. AB=CD B . EC=BF C. / A=Z D D . AB=BC2.如图，已知/ ABC=/ DCB下列所给条件不能证明^ AB%△ DCB勺是（）DB CA. / A=Z DB. AB=DCC. / ACBh DBCD. AC=BD3.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABC比一个筝形，其中AD=CD AB=CB詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC，BD;② AO=CO=AC;③△ ABD^△ CBD 2其中正确的结论有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4 .如图，点 E, F 在AC 上,AD=BC DF=BE 要使^ AD 阵△ CBE 还需要添加的一个条件是A. / A=Z CB. / D=Z BC. AD// BCD. DF// BE 5 .如图，在下列条件中，不能证明^ABD^△ACD 勺是（）A. BD=DC AB=AC B / ADB4 ADC BD=DC C. / B=Z C, / BAD=/ CAD D / B=Z C,A. BD=CDB. AB=ACC. / B=Z C 7 .如图，在^ ABC^DABAD 中，BC=AD 请你再补充一个条件，使^ ABeABAD 你补充的BD=DC6.如图，已知/ 1=/2,则不一定能使△ABD^ △ ACD 勺条件是D. / BADh CAD条件是（只填一个）8.如图，AD=AB Z C=Z E, / CDE=55 ,则/ ABE=9.如图，有一个直角三角形ABC /C=90° , AC=& BC=3且垂直于AC的射线AX上运动，且PQ=AB问当AP=X10.如图，/ 1 = 7 2.(1)当BC=BD寸，△ AB(C^△ ABD的依据是 ;(2)当/ 3=/4时，4ABe△ ABD的依据是三、解答题11.已知，如图，B、C、D三点共线，ABI BD, ED± CD C是/2,请判断△ ACE的形状并说明理由.、Q两点分别在边AC和过点A,才能使△ ABC^ △ PQA^等.BD上的一点，且AB=CD / 1 =12.已知：如图，AB=CD AD=CB 求证：△ AB%△ CDA13.已知：如图，AD为/ BAC的平分线,且DF,AC于F, / B=90° , DE=DC试问BE与CF 的关系，并加以说明.14.已知：如图，点E、C D A在同一条直线上，AB// DF, ED=AB Z E=Z CPD求证：△ AB黄△ DEF15 .如图，点 A 、C DX B 四点共线，且 AC=DB Z A=Z B, / E=Z F.求证：DE=CFE F参考答案一、选择题1.答案：A解析：【解答】: AE// FD,/ A=Z D, •.AB=CD • .AC=BD在△ AEC^A DFB 中，AE=DF ZA=ZD , AC=DB . EA(C^ △ FDB (SAS ,故选：A.【分析】添加条件 AB=Cg 证明AC=BD 然后再根据 AE// FD,可彳导/ A=Z D,再利用SAS 定 理证明△ EA 黄4FDB 即可.2 .答案：D解析：【解答】A 可利用AAS 定理判定^ ABe ADCEB 故此选项不合题意； 日 可利用SAS 定理判定^ ABC^△ DCB 故此选项不合题意；C 利用ASA 判定△ AB% △ DCB 故此选项不符合题意；D SSA 不能判还& AB(C^ △ DCB 故此选项符合题意；故选：D.[【分析】本题要判定△ ABC^ △ DCB 已知/ ABCW DCB BC 是公共边，具备了一组边对应相 等，一组角对应相等，故添加 AB=CD / ACBhDBC Z A=Z D 后可分别根据 SAS ASA AAS 能判定△ AB 赍△ DCtB 而添加AC=B 诟则不能.3 .答案：D解析：【解答】在^ ABDif△CBD43,AD=CD ■BC, DB=DB・ .△ABN △CBD(SSS,故③正确；ADB=/ CDB在△ AODW ACOD43,AD = CDZADB=ZCDB , OD=OD . .△AO 国△CODC SAS ,••• / AODh COD=90 , AO=OC .-.AC± DB,故①②正确； 故选D【分析】先证明△ ABD^△CBDi:等，再证明△ AODW△ CODi:等即可判断.4 .答案：B解析：【解答】当/ D=Z B 时， 在△ ADF 和4CBE 中AD=BC ND = 4, DF=BE. .△AD 障△ CBE (SAS,故选：B.【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当/D=Z B 时，△ ADF^△ CBE5 .答案：D[ [[解析：【解答】A 、在^ AB/口△ACD^[AD = AD AB 二 AC BD=DC「.△ABN△ACD(SSS,故本选项错误； 日•••在4 AB/口△ ACD^PDB 二DC Z ADB =Z ADC AD 二 AD「.△ABN△ACD(SAS,故本选项错误；C •••在4 AB/口△ ACD^PZBAD=ZCAD ZB=ZC AD 二 AD「.△ABN△ACD(AAS,故本选项错误；D 不符合全等三角形的判定定理，不能推出^AB 况AACDD 故本选项正确；故选D【分析】全等三角形的判定定理有 SAS, ASA AAS, SSS 根据全等三角形的判定定理逐个 判断即可.6 .答案：B解析：【解答】A 、 .一/ 1 = /2, AD 为公共边，若 BD=CD 贝ABN△ ACD ( SAS ; 日••• / 1=/2, AD 为公共边，若 AB=AC 不符合全等三角形判定定理，不能判定^ABID^AACDC / 1=/2, AD 为公共边，若/ B=Z C,则 4ABD^ △ACD(AAS);D / 1=/2, AD 为公共边，若/ BAD4 CAD 则△ ABD^△ ACD(ASA) ; 故选：B.【分析】利用全等三角形判定定理 ASA SAS AAS 对各个选项逐一分析即可得出答案.二、填空题7 .答案：AC=BD (或/ CBA=/ DAB解析：【解答】欲证两三角形全等，已有条件：BC=AD AB=AB所以补充两边夹角/ CBA=/ DABM 可以根据SAS 证明； 补充AC=BD!可以根据SSS 证明.[ [故补充的条件是AC=BD(或/ CBA4DAB .【分析】根据已知条件在三角形中位置结合三角形全等的判定方法寻找条件. 已知给出了一边对应相等，由一条公共边，还缺少角或边，于是答案可得.8.答案：125°解析：【解答】•在△ ADC^n4ABE中r ZC=ZE[ ZA=ZA尻二AB・.△ ADC^△ ABE (AASADCh ABE ••• / CDE=55ADC=125ABE=125【分析】在△ ADCf口△ ABE中，由/ C=Z E, / A=Z A 和AD=AEffi明△ AD(C^ △ ABE,得到/ ADC= /ABE,由/ CDE=55 ,得到/ ADC=125 ,即可求出/ ABE的度数.9.答案：8或3.解析：【解答】①当P与C重合时，AC=AP=8寸，△ BC4AQAF^在Rt △ BC丽Rt △ QA计,”能UC=AP・•.Rt^BC率Rt△ QAC(HL);②当AP=BC=3寸，△ BCA^△ PAQ在Rt △ BC丽Rt △ QA计,|BC=AP・•. Rt △ BC率Rt △ PAQ( HL)【分析】此题要分情况讨论：①当P与C重合时，AC=AP=8寸，△BC*4QAP②当AP=BC=3时，△ BC率△ PAQ10.答案：SAS ASA解析：【解答】(1) •一/ 1 = /2, AB=AB BC=BD. AB登△ABD (SAS;(2) / 1 = /2, AB=AB /3=/4. .△AB登△ ABD (ASA.【分析】(1)因为/ 1 = /2, AB共边，当BC=BD寸，能根据SAS判定△ AB登△ ABD(2)因为/ 1 = Z2, AB共边，当/ 3=/4时，能根据ASA判定△ AB%△ ABD三、解答题11.答案：见解答过程.解析：【解答】•一/ 1=72,•.AC=CE•. AB± BD, ED± CD,在△ ABC^A CDE中，「心CEI AB-CD••.△ ABC^ △ CDE/ ACB=/ CED••• / CED吆ECD=90 ,••• / ACD吆ECD=90 ,/ ACE=90 ,ACE是等腰直角三角形.【分析】由/ 1 = /2可得AC=CE再力口上AB=CD AB± BD, ED! CD可直接证明三角形ABC 与三角形CDE^r等，从而易得三角形ACN等腰直角三角形.12.答案：见解答过程.解析：【解答】证明：在^ ABC^4CDA中，[AB=CDAC=CA,BC=DA・.△ABC^ ^CDA (SSS.【分析】根据“ SS6可判断^ ABe ACDA13.答案：BE=CF解析：【解答】BE=CF理由：.一/ B=90° ,BD± AB..「AD为/ BAC的平分线，且DFL AC,.•.DB=DF在Rt △ BD讶口Rt △ FDC中,|DB=DF•••RtABDE^ RtAFDC(HL.),• .BE=CF【分析】先由角平分线的性质就可以得出DB=DF再证明^ BDE^△ FDC就可以求出结论.14.答案：见解答过程.解析：【解答】证明：.「AB// DF,/ B=Z CPD / A=Z FDE,••• / E=/ CPD/ E=/ B,在△ ABC^A DEF 中，fZE=ZB ][ZA=ZFDE・.△ ABC^ △ DEF (ASA.【分析】首先根据平行线的性质可得/ B=Z CPD /A=/ FDE再由/ E=/CP而得/ E=Z B, 再利用ASA证明△ AB隼△ DEF15.答案：见解答过程解析：【解答】证明：•「AC=DB• .AC+CD=DB+CD即AD=BC在△ AED^A BFC中，信达fZA=ZB[AD=BC・.△ AEN △ BFCDE=CF【分析】根据条件可以求出AD=BC再证明^ AE呼△ BFG由全等三角形的性质就可以得出结论.信达。
北师大七年级数学下4.3《探索三角形全等的条件》习题含详细答案
《探索三角形全等的条件》习题一、选择题1．如图，AE∥DF，AE=DF，要使∥EAC∥∥FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC2．如图，已知∥ABC=∥DCB，下列所给条件不能证明∥ABC∥∥DCB的是（）A．∥A=∥D B．AB=DC C．∥ACB=∥DBC D．AC=BD3．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC∥BD；②AO=CO=AC；③∥ABD∥∥CBD，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使∥ADF∥∥CBE，还需要添加的一个条件是（）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE5．如图，在下列条件中，不能证明∥ABD∥∥ACD的是（）A．BD=DC，AB=AC B．∥ADB=∥ADC，BD=DCC．∥B=∥C，∥BAD=∥CAD D．∥B=∥C，BD=DC6．如图，已知∥1=∥2，则不一定能使∥ABD∥∥ACD的条件是（）A．BD=CD B．AB=AC C．∥B=∥C D．∥BAD=∥CAD二、填空题7．如图，在∥ABC和∥BAD中，BC=AD，请你再补充一个条件，使∥ABC∥∥BAD．你补充的条件是（只填一个）．8．如图，AD=AB，∥C=∥E，∥CDE=55°，则∥ABE=．9．如图，有一个直角三角形ABC，∠C=90°，AC=8，BC=3，P、Q两点分别在边AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，且PQ=AB．问当AP=时，才能使∥ABC和∥PQA全等．10．如图，∥1=∥2．（1）当BC=BD时，∥ABC∥∥ABD的依据是；（2）当∥3=∥4时，∥ABC∥∥ABD的依据是．三、解答题11．已知，如图，B、C、D三点共线，AB∥BD，ED∥CD，C是BD上的一点，且AB=CD，∥1=∥2，请判断∥ACE的形状并说明理由．12．已知：如图，AB=CD，AD=CB．求证：∥ABC∥∥CDA．13．已知：如图，AD为∥BAC的平分线，且DF∥AC于F，∥B=90°，DE=DC．试问BE与CF的关系，并加以说明．14．已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∥E=∥CPD．求证：∥ABC∥∥DEF．15．如图，点A、C、D、B 四点共线，且AC=DB，∥A=∥B，∥E=∥F．求证：DE=CF．参考答案一、选择题1．答案：A解析：【解答】∥AE∥FD，∥∥A=∥D，∥AB=CD，∥AC=BD，在∥AEC和∥DFB中，，∥∥EAC∥∥FDB（SAS），故选：A．【分析】添加条件AB=CD可证明AC=BD，然后再根据AE∥FD，可得∥A=∥D，再利用SAS 定理证明∥EAC∥∥FDB即可．2．答案：D解析：【解答】A、可利用AAS定理判定∥ABC∥∥DCB，故此选项不合题意；B、可利用SAS定理判定∥ABC∥∥DCB，故此选项不合题意；C、利用ASA判定∥ABC∥∥DCB，故此选项不符合题意；D、SSA不能判定∥ABC∥∥DCB，故此选项符合题意；故选：D．【分析】本题要判定△ABC∥∥DCB，已知∥ABC=∥DCB，BC是公共边，具备了一组边对应相等，一组角对应相等，故添加AB=CD、∥ACB=∥DBC、∥A=∥D后可分别根据SAS、ASA、AAS能判定∥ABC∥∥DCB，而添加AC=BD后则不能．3．答案：D解析：【解答】在∥ABD与∥CBD中，，∥∥ABD∥∥CBD（SSS），故③正确；∥∥ADB=∥CDB，在∥AOD与∥COD中，，∥∥AOD∥∥COD（SAS），∥∥AOD=∥COD=90°，AO=OC，∥AC∥DB，故①②正确；故选D【分析】先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断．4．答案：B解析：【解答】当∥D=∥B时，在∥ADF和∥CBE中∥，∥∥ADF∥∥CBE（SAS），故选：B．【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D=∠B时，△ADF≌△CBE．5．答案：D解析：【解答】A、∥在∥ABD和∥ACD中∥∥ABD∥∥ACD（SSS），故本选项错误；B、∥在∥ABD和∥ACD中∥∥ABD∥∥ACD（SAS），故本选项错误；C、∥在∥ABD和∥ACD中∥∥ABD∥∥ACD（AAS），故本选项错误；D、不符合全等三角形的判定定理，不能推出∥ABD∥∥ACD，故本选项正确；故选D【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．6．答案：B解析：【解答】A、∥∥1=∥2，AD为公共边，若BD=CD，则∥ABD∥∥ACD（SAS）；B、∥∥1=∥2，AD为公共边，若AB=AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定∥ABD∥∥ACD；C、∥∥1=∥2，AD为公共边，若∥B=∥C，则∥ABD∥∥ACD（AAS）；D、∥∥1=∥2，AD为公共边，若∥BAD=∥CAD，则∥ABD∥∥ACD（ASA）；故选：B．【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．二、填空题7．答案：AC=BD（或∥CBA=∥DAB）解析：【解答】欲证两三角形全等，已有条件：BC=AD，AB=AB，所以补充两边夹角∥CBA=∥DAB便可以根据SAS证明；补充AC=BD便可以根据SSS证明．故补充的条件是AC=BD（或∥CBA=∥DAB）．【分析】根据已知条件在三角形中位置结合三角形全等的判定方法寻找条件．已知给出了一边对应相等，由一条公共边，还缺少角或边，于是答案可得．8．答案：125°解析：【解答】∥在∥ADC和∥ABE中∥∥ADC∥∥ABE（AAS）∥∥ADC=∥ABE∥∥CDE=55°∥∥ADC=125°∴∠ABE=125°【分析】在∥ADC和∥ABE中，由∠C=∥E，∥A=∥A和AD=AB证明∥ADC∥∥ABE，得到∥ADC=∥ABE，由∥CDE=55°，得到∥ADC=125°，即可求出∥ABE的度数．9．答案：8或3．解析：【解答】①当P与C重合时，AC=AP=8时，△BCA≌△QAP，在Rt△BCA和Rt△QAC中，，∴Rt△BCA≌Rt△QAC（HL）；②当AP=BC=3时，△BCA≌△PAQ，在Rt△BCA和Rt△QAC中，，∴Rt△BCA≌Rt△PAQ（HL）【分析】此题要分情况讨论：①当P与C重合时，AC=AP=8时，△BCA≌△QAP；②当AP=BC=3时，△BCA≌△PAQ．10．答案：SAS、ASA解析：【解答】（1）∵∠1=∠2，AB=AB，BC=BD∴△ABC≌△ABD（SAS）；（2）∵∠1=∠2，AB=AB，∠3=∠4∴△ABC≌△ABD（ASA）．【分析】（1）因为∠1=∠2，AB共边，当BC=BD时，能根据SAS判定△ABC≌△ABD；（2）因为∠1=∠2，AB共边，当∠3=∠4时，能根据ASA判定△ABC≌△ABD．三、解答题11．答案：见解答过程．解析：【解答】∵∠1=∠2，∴AC=CE，∵AB⊥BD，ED⊥CD，在△ABC与△CDE中，，∴△ABC≌△CDE，∴∠ACB=∠CED，∵∠CED+∠ECD=90°，∴∠ACD+∠ECD=90°，∴∠ACE=90°，∴△ACE是等腰直角三角形．【分析】由∠1=∠2可得AC=CE，再加上AB=CD，AB⊥BD，ED⊥CD，可直接证明三角形ABC与三角形CDE全等，从而易得三角形ACE是等腰直角三角形．12．答案：见解答过程．解析：【解答】证明：在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SSS）．【分析】根据“SSS”可判断△ABC≌△CDA．13．答案：BE=CF．解析：【解答】BE=CF．理由：∵∠B=90°，∴BD⊥AB．∵AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC，∴DB=DF．在Rt△BDE和Rt△FDC中，，∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL），∴BE=CF．【分析】先由角平分线的性质就可以得出DB=DF，再证明△BDE≌△FDC就可以求出结论．14．答案：见解答过程．解析：【解答】证明：∵AB∥DF，∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，∵∠E=∠CPD．∴∠E=∠B，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．【分析】首先根据平行线的性质可得∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，再由∠E=∠CPD可得∠E=∠B，再利用ASA证明△ABC≌△DEF．15．答案：见解答过程解析：【解答】证明：∵AC=DB，∴AC+CD=DB+CD，即AD=BC，在△AED和△BFC中，∴△AED≌△BFC．∴DE=CF．【分析】根据条件可以求出AD=BC，再证明△AED≌△BFC，由全等三角形的性质就可以得出结论．。
七年级下学期数学探索三角形全等的条件练习题5.24
24 x3 y5z 12xy5 ( 3 x3 y2) 4
1232 122 124
韩老师教育
2.如图，⊿ AB D≌⊿ EBD， ⊿B DE≌⊿ CDE.
(1) BD是∠ ABE的平分线吗？为什么？
(2) 点 E 平分线段 BC吗？为什么？
(3) DE⊥BC吗？为什么？
A D
B
E
C
[( x 1)(x 2) 2] x
[( 2x y)2 y( y 4x) 8xy] 2x 其中 x 2, y 2 ．
3. 已知： AB DF , AC DE , BE CF ， 那么 AB // DF 吗？．
二、证明 :
1、已知 AB=CD ，BE=DF ，AE=CF，问 AB∥CD 吗？
吗？说明理由。
A
D
E
C B
B F
CE D
6、已知 AC=BD，AE =CF ，BE =DF ，问 AE ∥ CF 吗？
EF
9.如图， △ ABC 中 AB=AC ，AD 点为 BC 的 中线，证明△ ABD ≌ △ACD
A
AC BD
B
D
C
1、
7 、已知∠ E= ∠ F ，∠ 1= ∠ 2 ， AB=CD，问 AE =DF 吗？说明理由。
E
F
10.. 如 图 ： AC 、 BD 相 交 O, 且 AB=DC,AC=BD ，则∠ A= ∠ D ，为 什么 ?
A
D
O
B
C
12
AB
CD
11.如图 A 、C、B、D 在同一直线上， AC=BD ，
AM=CN ， BM=DN ，那么 AM 与 CN ，BM 与 DN 的位置关系怎样？请说明理由。
《探索三角形全等的条件》随堂练习
探索三角形全等的条件练习一、探索三角形全等的条件（第一课时）1. “三月三,放风筝”,如图是小明制作的风筝,他根据DE＝DF,EH＝FH,不用度量,就知道∠DEH＝∠DFH,小明是通过全等三角形的识别得到的结论,请问小明用的识别方法是（用字母表示）2.如图,（1）连接AD后,当AD=_____,AB=_____,BD=_____时可用“SSS”推得△ABD≌△DCA.（2）连接BC后,当AB=________,BC=_______,AC=______时,可推得△ABC≌△DCB.3.如图，已知∠B=∠D，∠1=∠2，∠3=∠4，AB=CD，AD=CB，AC=CA.则△≌△4.判定两个三角形全等，依定义必须满足（）A.三边对应相等B.三角对应相等C.三边对应相等和三角对应相等D.不能确定练习二、探索三角形全等的条件（第二课时）1.如图，因为EA⊥AD，FD⊥AD（已知）所以∠＝∠＝90°（）2. （1）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成 或 （2）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成 或3.如图，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，你能证明△ABD ≌△ACE 吗？⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∠∠∠=∠（公共角）＝（已知）＝（已知） 所以 ≌ （ ）4.如图，已知AC 与BD 交于点O ，AD ∥BC ，且AD ＝BC ，你能说明BO=DO 吗？说明：因为AD ∥BC （已知）所以∠A= ，（ ）∠D= ，（ ）在 中，⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧ 所以 ≌ （ ）所以BO=DO （ ）5.如图，∠B ＝∠C ，AD 平分∠BAC ，你能说明△ABD ≌△ACD ？若BD ＝3厘米，则CD 有多长？解：因为AD 平分∠BAC （ ）所以∠ ＝∠ （角平分线的定义）在△ABD 和△ACD 中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∠∠∠=∠（公共边）＝（已证）＝（已知） 所以△ABD △ACD （ ）所以BD ＝CD （ ）因为BD＝3厘米（已知）所以CD＝＝.练习三、探索三角形全等的条件（第三课时）1.如图,已知AC和BD相交于O,且BO＝DO,AO＝CO,下列判断正确的是（）A.只能说明△AOB≌△CODB.只能说明△AOD≌△COBC.只能说明△AOB≌△COBD.能说明△AOB≌△COD和△AOD≌△COB2.如图，已知AD∥BC，AD=BC，请你思考一下，△ABC与△CDA有什么关系?3.如图，AB=AC，AD=AE，△ABE与△ACD全等吗?请说明理由.4.已知如图,AE＝AC,AB＝AD,∠EAB＝∠CAD,试说明:∠B＝∠D参考答案:练习一、1. SSS2.（1）DA，DC，CA （2）DC，CB，DB3.△ABC ≌△CDA4. A练习二、1.EAB，FDC，垂直的定义2.角边角，ASA；边边角，AAS3.略.4.略.5. 略练习三、1.D2.由AD∥BC得出∠CAD＝∠ACB，因为AD=BC，AC=CA. 用SAS.可推出△ABC≌△CDA.3.全等，理由SAS4.说明过程略.。
2020-2021学年北师大版七年级数学下册 4.3.1探索三角形全等的条件(一) 同步练习题
2020-2021学年北师大版七年级数学下册第四章 4.3.1探索三角形全等的条件(一) 同步练习题A组(基础题)一、填空题1．如图，连接AD后，当AD＝____，AB＝____，BD＝____时，可用“SSS”推得△ABD≌△DCA.连接BC后，当AB＝____，BC＝____，AC＝____时，可用“SSS”推得△ABC≌△DCB.2．在△ABC与△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，AB＝DE，∠BAC＝72°，∠F＝32°，则∠ABC＝____．3．(1)如图，AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，∠BAD＝46°，则∠ACD的度数是____．(2)如图所示，建高楼时常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部都是三角形结构，这是应用了三角形的____．4．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C 作射线OC.由该做法得△MOC≌△NOC的依据是____．二、选择题5．如图，下列四个选项中所指两个三角形全等，其中正确的是( ),①) ,②) ,③) ,④)A．①②B．①④C．②④D．③④6．如图，在△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC与BD相交于点E，若不再添加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加的一个条件是( )A．AC＝DB B．AC＝BC C．BE＝CE D．AE＝DE7．如图，以△ABC的顶点A为圆心，BC的长为半径作弧；再以顶点C为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD，CD.由作法可得：△ABC≌△CDA的根据是( )A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS8．如图，已知AB＝AC.BD＝DC，那么下列结论中不正确的是( )A．△ABD≌△ACD B．∠ADB＝90°C．∠BAD是∠B的一半D．AD平分∠BAC9．如图，线段AD与BC交于点O，且AC＝BD，AD＝BC，则下面的结论中不正确的是( ) A．△ABC≌△BAD B．∠CAB＝∠DBAC．OB＝OC D．∠C＝∠D三、解答题10．如图，点A，C，B，D在同一直线上，AC＝BD，AM＝CN，BM＝DN，试说明：AM∥CN.11．如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.求证：AE∥BF.B组(中档题)一、填空题12．已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x－2，2x－1，若这两个三角形全等，则x＝____．13．如图，五边形ABCDE中有等边三角形ACD，若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，则∠BAE 的度数为____．二、解答题14．(1)如图，AD＝BC，AB＝DC.求证：∠A＋∠D＝180°.(2)如图，已知AD＝BC，OD＝OC，O为AB的中点，说出∠C＝∠D的理由．C组(综合题)15．(1)如图，AB＝AE，BC＝ED，CF＝FD，AC＝AD.求证：∠BAF＝∠EAF.(2)如图，已知线段AB，CD相交于点O，AD，CB的延长线交于点E，OA＝OC，EA＝EC，请说明∠A＝∠C.参考答案2020-2021学年北师大版七年级数学下册第四章 4.3.1探索三角形全等的条件(一) 同步练习题A组(基础题)一、填空题1．如图，连接AD后，当AD＝DA，AB＝DC，BD＝CA时，可用“SSS”推得△ABD≌△DCA.连接BC后，当AB＝DC，BC＝CB，AC＝DB时，可用“SSS”推得△ABC≌△DCB.2．在△ABC与△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，AB＝DE，∠BAC＝72°，∠F＝32°，则∠ABC＝76°．3．(1)如图，AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，∠BAD＝46°，则∠ACD的度数是127°．(2)如图所示，建高楼时常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部都是三角形结构，这是应用了三角形的稳定性．4．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C 作射线OC.由该做法得△MOC≌△NOC的依据是SSS．二、选择题5．如图，下列四个选项中所指两个三角形全等，其中正确的是(C),①) ,②) ,③) ,④)A．①②B．①④C．②④D．③④6．如图，在△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC与BD相交于点E，若不再添加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加的一个条件是(A)A．AC＝DB B．AC＝BC C．BE＝CE D．AE＝DE7．如图，以△ABC的顶点A为圆心，BC的长为半径作弧；再以顶点C为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD，CD.由作法可得：△ABC≌△CDA的根据是(D)A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS8．如图，已知AB＝AC.BD＝DC，那么下列结论中不正确的是(C)A．△ABD≌△ACD B．∠ADB＝90°C．∠BAD是∠B的一半D．AD平分∠BAC9．如图，线段AD与BC交于点O，且AC＝BD，AD＝BC，则下面的结论中不正确的是(C) A．△ABC≌△BAD B．∠CAB＝∠DBAC．OB＝OC D．∠C＝∠D三、解答题10．如图，点A ，C ，B ，D 在同一直线上，AC ＝BD ，AM ＝CN ，BM ＝DN ，试说明：AM ∥CN.解：∵AC ＝BD ， ∴AB ＝CD.在△ABM 和△CDN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，AM ＝CN ，BM ＝DN ，∴△ABM ≌△CDN(SSS)． ∴∠A ＝∠NCD.∴AM ∥CN(同位角相等，两直线平行)．11．如图，点A ，D ，C ，B 在同一条直线上，AD ＝BC ，AE ＝BF ，CE ＝DF.求证：AE ∥BF.证明：∵AD ＝BC ，∴AC ＝BD. 在△ACE 和△BDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BD ，AE ＝BF ，CE ＝DF.∴△ACE ≌△BDF(SSS)， ∴∠A ＝∠B ， ∴AE ∥BF.B 组(中档题)一、填空题12．已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，△DEF 的三边长分别为3，3x －2，2x －1，若这两个三角形全等，则x ＝3．13．如图，五边形ABCDE 中有等边三角形ACD ，若AB ＝DE ，BC ＝AE ，∠E ＝115°，则∠BAE 的度数为125°．二、解答题14．(1)如图，AD ＝BC ，AB ＝DC.求证：∠A ＋∠D ＝180°.证明：连接AC.∵AD ＝CB ，AB ＝CD ，AC ＝CA ， ∴△ABC ≌△DCA. ∴∠BAC ＝∠ACD. ∴AB ∥CD.∴∠BAD ＋∠D ＝180°.(2)如图，已知AD ＝BC ，OD ＝OC ，O 为AB 的中点，说出∠C ＝∠D 的理由．解：∵O 为AB 中点， ∴OA ＝OB.在△BOC 和△AOD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AD ，OC ＝OD ，OB ＝OA ，∴∠C ＝∠D.C 组(综合题)15．(1)如图，AB ＝AE ，BC ＝ED ，CF ＝FD ，AC ＝AD.求证：∠BAF ＝∠EAF.证明：在△ACF 和△ADF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AD ，CF ＝DF ，AF ＝AF ，△ACF ≌△ADF(SSS)． ∴∠CAF ＝∠DAF.在△ABC 和△AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AE ，BC ＝ED ，AC ＝AD ，∴△ABC ≌△AED(SSS)．∴∠CAB ＝∠DAE.∴∠BAF ＝∠EAF.(2)如图，已知线段AB ，CD 相交于点O ，AD ，CB 的延长线交于点E ，OA ＝OC ，EA ＝EC ，请说明∠A ＝∠C.解：连接OE. 在△AOE 和△COE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧QA ＝OC ，EA ＝EC ，OE ＝OE ，∴∠A＝∠C.。
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探索三角形全等的条件
一、填空题:
1. 如图1,已知AC=DB,要使得△ABC ≌△DCB,只需增加的一个条件是________.
B A
C
D
B
A
C
D
B A
(1) (2) (3)
2.如图2,(1)连结AD 后,当AD=_____,AB=_____,BD=_____时可用“SSS ”推得△ABD ≌△DCA. (2)连结BC 后,当AB=________,BC=_______,AC=______时,可推得△ABC ≌△DCB.
3.如图3,△ABC 中,AB=AC,AD 是BC 边上的中线,则∠BDA=_______.
4.如图4,若AB=CD,AD=CB,∠B=25°,则∠D=________°.
A
C
D O
B A
E
C D
B A
C
D
(4) (5) (6) 5.如图5,已知AB ⊥BD 于B,ED ⊥BD 于D,AB=CD,BC=DE,则∠ACE=____°. 二、选择题:
6.在下列各组的三个条件中,不能判定△ABC 与△DEF 全等的是( ) A.AB=DE,∠B=∠E,∠C=∠F B.AC=DF,BC=DE,BA=EF C.AB=EF,∠A=∠E,∠B=∠F D.∠A=∠F,∠B=∠E,AC=DE
7.如图6所示,AB=CD,AC=BD,则下列说法正确的是( )
A.可用“SAS ”证△AOB ≌△DOC
B.可用“SAS ”证△ABC ≌△DCB
C.可用“SSS ”证△AOB ≌△DOC
D.可用“SSS ”证△ABC ≌△DCB 8.如图7,已知AB ∥CF,E 为DF 的中点,若AB=9cm,CF=5cm,则BD 等于( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
B
A
E
F
C
D
B
A
B
A
C
D
(7) (8) (9)
9.如图8,△ABC 是等边三角形, 若在它边上的一点与这边所对的角的顶点的连线恰好将△ABC 分成两个全等三角形,则这样的点共有( ) A.1个 B.3个 C.4个 D.9个
10. 如图9,小民用五根木条钉成如图所示的两个三角形,且AB=AC,BD=CD,若△ABD 为锐角三角形,则△ACD 中的最大角a 的取值范围是( ) A.30°≤a<60° B.45°≤a<60°
C.45°≤a<90°
D.60°≤a<90° 11题图 11．如图，AE AD =，若利用“角边角公理”判定ADC ∆≌AEB ∆，则需要加一个条件为_____________；若利用“角角边公理”判定ADC ∆≌AEB ∆，则需要加一个条件为____________； 若利用“边角边公理”判定ADC ∆≌AEB ∆，则需要加一个条件为__________． 三、解答题:
1．如图，已知BC AD CE AE ==,，ABE ∆≌CDE ∆，吗？为什么？
2．如图，在ABC ∆中，AD BE ⊥于AD CF E ⊥,于F ，且BD CF BE ,=与DC 相等吗？为什么？
3．如图，已知BD AC DC BD AC AB 、,,⊥⊥的交点是E ，并且AB ,21∠=∠与DC 相等吗？为什么？
4．如图，点C 是AB 的中点，BE CD //，且BE CD =，试说明E D ∠=∠
5．如图，已知：CF BE DE AC DF AB ===,,，那么DF AB //吗？．
6．如图，已知C 在BD 上，,,,CF BC CD AC BD AC ==⊥∠A 与∠CFD 有何关系？为什么？
7.如图有四只老鼠在点A 、B 、C 、D ，它们分布情况如图，且AB ∥DC,AF=CE, 聪明的小老鼠哼哼和唧唧分别从B 点,D 点出发沿垂直于AC 的路径BE 、DF 去寻找奶酪, 假设AC 上堆满了奶酪,哼哼和唧唧的速度相同,问它俩谁最先寻找到奶酪?为什么?
B
A
E F
C
D
8.如图,已知∠DCE=90°,∠DAC=90°,BE ⊥AC 于B,且DC=EC, 能否找出与AB+AD 相等的线段,并说明理由.
9.如图所示,∠ABC=90O
，AB=BC ，点D 为AC 边上的一点，分别过点A 、点C 作BD 的垂线，垂足分别为点E 、F ，试确定EF 、CF 、AE 之间的关系，并说明理由。
B
A
E
D
10．如图，AD 为△ABC 的中线，∠1=∠2，∠,3=∠4，则BE+CF>EF,为什么
?
11.已知如图,AD ∥BC,∠1=∠2,∠3=∠4,点E 在DC 上, AD+BC=AB 吗？如果等，请说明理由.
B
A
4
3
E 2
1C
D。