2018-2019学年九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 3 正方形的性质与判定《正方形》巩固练习(含解析)(
九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.3正方形的性质与判定教案(新版)北师大版
1.3.1 正方形的性质与判定(1)教学目标知识与技能:了解正方形的有关概念,理解并掌握正方形的性质定理.过程与方法:经历探索正方形有关性质的过程,在观察中寻求新知,在探究中发展推理能力,逐步掌握说理的基本方法.情感态度与价值观:培养合情推理能力和探究习惯,体会平面几何的内在价值.重难点、关键重点:探索正方形的性质定理.难点:掌握正方形的性质的应用方法.关键:把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容.教学准备教师准备:投影仪,制作投影片,补充本节课内容,矩形纸片,活动的菱形框架.学生准备:复习平行四边形、矩形、菱形性质,预习本节课内容.学法解析1.认知起点:已积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识,•在取得一定的经验的基础上,认知正方形.2.知识线索:3.学习方式:采用自导自主学习的方法解决重点,突破难点.教学过程一、合作探究,导入新课【显示投影片】显示内容:展示生活中有关正方形的图片,幻灯片(多幅).【活动方略】教师活动:操作投影仪,边展示图片,边提出下面的问题:1.同学们观察显示的图片后,有什么联想?正方形四条边有什么关系?•四个角呢? 2.正方形是矩形吗?是菱形吗?为什么?3.正方形具有哪些性质呢?学生活动:观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片.进行联想.易知:1.•正方形四条边都相等(小学已学过);正方形四个角都是直角(小学学过).实验活动:教师拿出矩形按左图折叠.然后展开,让学生发现:只要矩形一组邻边相等,这样的矩形就是正方形;同样,教师拿出活动菱形框架,运动中让学生发现:只要菱形有一个内角为90°,这样的特殊菱形也是正方形.教师活动:组织学生联想正方形还具有哪些性质,板书画出一个正方形,如下图:学生活动:观察、联想到它是矩形,所以具有矩形的所有性质;它又是菱形,所以它又具有菱形的一切性质,归纳如下:正方形定义:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形性质:(1)边的性质:对边平行,四条边都相等.(2)角的性质:四个角都是直角.(3)对角线的性质:两条对角线互相垂直平分且相等,•每条对角线平分一组对角.(4)对称性:是轴对称图形,有四条对称轴.【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题,突破难点.二、实践应用,探究新知【课堂演练】(投影显示)演练题1:如图,已知四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于O,MN∥AB,•且分别与OA、OB相交于M、N.求证:(1)BM=CN;(2)BM⊥CN.思路点拨:本题是证明BM=CN,根据正方形性质,可以证明BM、CN所在△BOM与△CON 是否全等.(2)在(1)的基础上完成,欲证BM⊥CN.只需证∠5+∠CMG=90°就可以了.【活动方略】教师活动:操作投影仪.组织学生演练,巡视,关注“学困生”;等待大部分学生练习做完之后,再请两位学生上台演示,交流.学生活动:课堂演练,相互讨论,解决演练题的问题.证:(1)•∵四边形ABCD是正方形,∴∠COB=∠BOM=90°,OC=OB。
新北师大版初中数学九年级上册第1章 特殊平行四边形《第3课 正方形的性质与判定》
请证明你的结论,并与同伴交流.
正方形的判定( 随堂练习1)
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. A
D
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
B
C
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
CG=DG=
1
2 CD,DH=AH=
1
AC
2
∴AE=BE2=BF=CF=CG=DG2=HG=AH
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG
A
E
B
13 2
H
F
D
G
C
∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形
∵∠1=∠2=45°∴∠3=90 °
∴四边形EFGH是正方形
(1)以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什 么图形?先猜一猜,再证明.如果以平行四边形各边 的中点为顶点呢?
例1.如图 1-18,在正方形 ABCD
中,E 为 CD 边上一点,F 为 BC 延长线上一点,且 CE = CF.BE
M
与 DF 之间有怎样的关系?请说明
理由.
解:BE = DF,且 BE⊥DF. 理由如下:
(2)延长 BE 交 DF 于点 M. ∵ △BCE ≌ △DCF,∴ ∠ CBE = ∠ CDF. ∵ ∠ DCF = 90°,∴ ∠ CDF + ∠ F = 90°. ∴ ∠ CBE + ∠ F = 90°. ∴ ∠ BMF = 90°.∴ BE⊥DF.
北师大版九年级数学(上)
第一章 特殊平行四边形
九年级数学上册第一章特殊平行四边形第3节正方形的性质与判定课件(新版)北师大版
∴AE=PE
∴PE+PF=AE+OE=AO=5.
例3:如图,在正方形ABCD中,E为CD上一点, F为BC边延长线上一点,且CE=CF.BE与DF之 间有怎样的关系?请说明理由.
分析:(1)由正方形的性质得到 ∠BCD=∠DCF=90°,BC=CD, 结合CE=CF,可证 △BCE≌△DCF,从而有BE=CF; (2)延长BE交DE于点M,由全等可知 ∠CBE=∠CDF,借助等量代换得到 ∠BMF=90°,从而有BE⊥CF.
2.以正方形ABCD的一边DC向外作等边△DCE,则
∠AEB=__3_0_°_.
解∵四边形ABCD是正方形,△CDE是等 A
D
边三角形
∴∠BCE=90+60=150°,CB=CE
∴∠CEB=15°
同理∠AED=15°
B
∴∠AEB=60-15-15=30°
3.正方形ABCD中,M为AD中点, ME⊥BD于E,MF⊥AC于F,若ME+MF =8cm,则AC=__1_6_c_m___.
性质,所以结论易证.
证明:∵四边形ABCD是正方形 ∴四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=AD , ∵四边形ABCD是正方形 ∴四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D.
证明定理:正方形的对角线相等且互相垂直.
已知ABCD是正方形,AC、BD分别是正方形的两条 对角线,且交于点O,求证:AC=BD,AC⊥BD.
九年级数学上册第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定如何判定正方形北师大版
如何判定正方形一、依据“有一组邻边相等的矩形是正方形”判定例1、如图:已知在ABC △中,AB AC ,D 为BC 边的中点,过点D 作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E 、F 。
若∠A=90°,求证:四边形DFAE 是正方形.分析:由∠AED=∠AFD=∠A=90°,则四边形CEDF 是矩形。
根据BED CFD △≌△,有DE=DF ,根据有一组邻边相等的矩形是正方形,所以四边形CEDF 是正方形证明:因为DE⊥AB,DF⊥AC,所以∠AED=∠AFD=90°,又因为∠A=90°,所以四边形DFAE 为矩形。
因为DE⊥AB,DF⊥AC,∠BED=∠CFD=90°,因为AB=AC ,所以∠B=∠C,因为D 是BC 的中点,所以BD=CD ,所以△BED≌△CFD,所以DE=DF ,所以四边形DFSE 是正方形二、依据“有一个角直角的菱形是正方形”判定例2、如图,在正方形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是各边上的中点,且AE=BF=CG=DH ,求证:四边形EFGH 是正方形分析:首先证明△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DHG,从而得出EH=EF=FG=GH ,即四边形EFGH 是菱形,然后再证明一个角是90°即可证明:在正方形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD ,因为AE=BF=CG=DH ,所以BE=CF=DG=AH ,所以△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DHG,所以EF=FG=GH=EH ,所以四边形EFGH 是菱形,因为△AEH≌△BEF,所以∠AHE=∠BEF,因为∠AEH+∠AHE=90°,所以∠AHE+∠AHE=90°,所以∠HEF=90°,所以四边形EFGH 是正方形 D C BEAF。
2018届九年级数学上册第一章特殊平行四边形第3节正方形的性质与判定练习(含答案)北师大版
2018届九年级数学上册第⼀章特殊平⾏四边形第3节正⽅形的性质与判定练习(含答案)北师⼤版正⽅形的性质与判定⼀、选择题(本⼤题共10⼩题)1.如图,四边形ABCD是正⽅形,延长AB到点E,使AE=AC,则∠BCE的度数是()A.22.5°B.25°C.23° D.20°2.如⼀个四形的两对线互垂直平分且相等那么个四边形是()A.平⾏四边形B.菱形C.正⽅形 D.矩形3.四边形ABCD的对⾓线AC、BD相交于点O,AD∥BC,AD=BC,使四边形ABCD为正⽅形,下列条件中:①AC=BD;②AB=AD;③AB=CD;④AC⊥BD.需要满⾜()A.①②B.②③C.②④D .①②或①④4.如图,正⽅形ABCD的对⾓线AC、BD相交于点O,OA=3,则此正⽅形的⾯积为()A.3B.12C.18D.365.如图,在四边形ABCD中,对⾓线AC、BD相交于点O,若AO=C0=BO=DO,AC⊥BD,则四边形ABCD的形状是()A.平⾏四边形B.矩形C.菱形 D.正⽅形6.已知在正⽅形ABCD中,对⾓线AC与BD相交于点O,OE∥AB交BC于点E,若AD=8cm,则OE的长为()A.3cmB.4cmC.6cmD.8cm7.如图,正⽅形ABCD的边长为x,点E、F分别是对⾓线BD上的两点,过点E、F作AD、AB的平⾏线,则图中阴影部分的⾯积的和为()A.x2B.x2C.x2D.x28.如图,正⽅形ABCD的边长为8,在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5,则四边形EFGH的⾯积是()A.30B.34C.36D.409.如图,E是正⽅形ABCD对⾓线AC上⼀点,EF⊥AB,EG⊥BC,F、G是垂⾜,若正⽅形ABCD周长为a,则EF+EG等于()A. B. C.aD.2a10.已知正⽅形ABCD的⼀条对⾓线长为2,则它的⾯积是()A.2B.4C.6⼆、填空题(本⼤题共6⼩题)11.如图,在正⽅形ABCD中,E为CD边上⼀点,以CE为对⾓线构造正⽅形CMEN,点N在正⽅形ABCD内部,连接AM,与CD边交于点F.若CF=3,DF=2,连接BN,则BN的长为 ______ .12.如图,已知:正⽅形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正⽅形ABCD的边DA、AB、BC、CD上.若正⽅形ABCD的⾯积为16,AE=1,则正⽅形EFGH的⾯积为 ______ .13.如图,将正⽅形纸⽚按如图折叠,AM为折痕,点B落在对⾓线AC上的点E处,则∠CME= ______ .14.如图,BD是△ABC的⾓平分线,DE∥BC,交AB于点E,DF∥AB,交BC于点F,当△ABC满⾜条件 ______ 时,四边形BEDF是正⽅形.15.如图,正⽅形ABCD的边长为4,线段GH=AB,将GH的两端放在正⽅形的相邻的两边上同时滑动,如果G点从A点出发,沿图中所⽰⽅向按A→B→C→D→A滑动到A⽌,同时点H从点B出发,沿图中所⽰⽅向按B→C→D→A→B滑动到B⽌,在这个过程中,线段GH的中点P所经过的路线围成的图形的⾯积为 ______ .16.如图,在正⽅形ABCD中,AB=,点P为边AB上⼀动点(不与A、B重合),过A、P在正⽅形内部作正⽅形APEF,交边AD于F点,连接DE、EC,当△CDE为等腰三⾓形时,AP= ______ .三、解答题(本⼤题共8⼩题)17.已知:P是正⽅形ABCD对⾓线AC上⼀点,PE⊥AB,PF⊥BC,E、F分别为垂⾜.(1)求证:DP=EF.(2)试判断DP与EF的位置关系并说明理由.18.如图,在正⽅形ABCD中,E为对⾓线AC上⼀点,连接EB、ED.(1)写出图中所有的全等三⾓形;(2)延长BE交AD于点F,若∠DEB=140°,求∠AFE的度数.19.已知,在正⽅形ABCD中,E是CB延长线上⼀点,且EB=BC,F是AB的中点,请你将F点与图中某⼀标明字母的点连接成线段,使连成的线段与AE相等.并证明这种相等关系.20.如图,矩形ABCD的对⾓线相交于点O,PB∥AC,PC∥BD,PB、PC相交于点P.(1)猜想四边形PCOB是什么四边形,并说明理由;(2)当矩形ABCD满⾜什么条件时,四边形PCOB是正⽅形.正⽅形的性质与判定练习参考答案⼀、选择题。
北师版九年级数学上册第1章3正方形的性质与判定
2. 常见的中点四边形 (1)任意四边形的中点四边形是平行四边形; (2)平行四边形的中点四边形是平行四边形; (3)矩形的中点四边形是菱形; (4)菱形的中点四边形是矩形; (5)正方形的中点四边形是正方形.
知4-讲
知4-讲
知4-讲
特别提醒 中点四边形的形状实质取决于原四边形两条对角线的
位置关系和数量关系.如两条对角线互相垂直的四边形的 中点四边形的四个角是直角(矩形或正方形);两条对角线 相等的四边形的中点四边形的四条边相等(菱形或正方形).
数学表达式
∵四边形ABCD 是正方形, ∴ CD ∥ AB,AD ∥ BC; AD ⊥ DC,DC ⊥ CB, CB ⊥ BA,BA ⊥ AD; AD=DC=CB=BA
性质
图形
角
四个角都相等, 都等于90°
两条对角线互 对 相垂直平分且 角 相等,每条对 线 角线平分一组
对角
知2-讲
数学表达式
∵四边形ABCD 是正方形, ∴∠ ADC= ∠ DCB= ∠ CBA=∠ BAD =90°
对角线互相平分
对角相等
对角线互相垂直平分,每条 对角线平分一组对角
四个角都 是直角
对角线互相平分且相等
四个角都 对角线互相垂直平分且相等, 是直角 每条对角线平分一组对角
特别提醒
知2-讲
正方形的特殊性质:
1.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角
三角形;两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角
(4)从菱形出发:① 有一个角是直角的菱形是正方形;② 对角线相等的菱形是正方形.
方法点拨
知3-讲
判定正方形的常见思路 :
1.从边上证明.
邻边相等
九年级(初三)数学上册前两章知识点归纳(北师大版)
九年级数学上册前两章知识点归纳(北师大版)(八下前情回顾)※平行四边的定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形.....,平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线...。
※平行四边形的性质:平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
※平行四边形的判别方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
※平行线之间的距离:若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。
这个距离称为平行线之间的距离。
第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
2矩形的性质与判定※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形..。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。
(矩形是轴对称图形,有两条对称轴)※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3正方形的性质与判定正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
(正方形是轴对称图形,有两条对称轴)※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形;邻边相等的矩形是正方形;对角线相等的菱形是正方形;对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图所示):※三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
北师大版九年级数学上册第一章 特殊的平行四边形 正方形的性质
定理 正方形的四个角都是直角,四条边相等. 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系:
韦恩图:
四边形 平行四边形
菱形 正方形 矩形
判一判
根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打“√”.
性质\图形
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等 边
四边相等
√
√√ √
证一证
(1) 已知:如图,四边形 ABCD 是正方形.
求证:正方形 ABCD 四边相等,四个角都是直角.
证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形.
∴∠A = 90°,AB = AD (正方形的定义).
又∵ 正方形是平行四边形, A
D
∴ 正方形是矩形 (矩形的定义),
正方形是菱形 (菱形的定义).
∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°, AB = BC = CD = AD.
解:当点 E 在正方形 ABCD 外部时,如图①, AB=AE,∠BAE=90°+60°=150°.
∴∠AEB=15°. 同理可得∠DEC=15°. ∴∠BEC=60°-15°-15°=30°;
当点 E 在正方形 ABCD 内部时,如图②, AB=AE,∠BAE=90°-60°=30°, ∴∠AEB=75°. 同理可得∠DEC=75°. ∴∠BEC=360°-75°-75°-60°=150°. 综上所述,∠BEC 的大小为 30° 或 150°.
A
D
∵ PB = PC,
∴∠PBC =∠PCB.
∴∠ABC -∠PBC =∠DCB -∠PCB,
即∠ABP =∠DCP.
P
又∵ AB = DC,PB = PC,
B
北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形1.3正方形的性质与判定(教案)
-正方形判定方法的灵活运用:对于不同形状的图形,学生需要能够快速准确地判断其是否为正方形,这需要学生对判定方法有深刻理解和灵活运用。
-正方形性质的应用:在解决实际问题时,学生需要将正方形的性质与问题相结合,找到解题的关键点。
-空间想象能力的培养:对于一些较复杂的几何问题,学生需要具备较强的空间想象能力,这在一定程度上是学生的难点。
3.重点难点解析:在讲授过程中,我会特别强调正方形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分,如判定方法的应用,我会通过举例和比较来帮助大家理解。
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与正方形相关的实际问题,如正方形周长和面积的求解。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作,如用直尺和量角器测量一个正方形的边长和角度,验证其性质。
这些核心素养目标旨在帮助学生全面发展,为今后的学习和生活打下坚实基础,符合新教材对学生能力培养的要求。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-正方形的定义及其性质:这是本节课的核心内容,需要学生深刻理解正方形的定义,即四条边相等且相互平行,四个角都是直角。在此基础上,掌握正方形的性质,如对角线相等、垂直平分等。
-正方形的判定方法:教授学生掌握判定正方形的几种方法,包括边长相等且角度为直角、邻边相等且夹角为直角的矩形、对角线互相垂直平分且相等的平行四边形等,以便在实际问题中正确识别和应用。
-正方形周长和面积的求解:重点讲解正方形周长和面积的公式,以及如何运用这些公式解决具体问题。
举例:正方形ABCD,如何求解其周长和面积?通过强调正方形边长相等的性质,引导学生运用边长乘以4得到周长,边长的平方得到面积。
3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
2019九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 1.3.2 正方形的性质与判定教案 (新版)北师大版
2.《全品学练考》作业手册
板书设计: 正方形的性质和判定(二)
一、 正方形的判定定理
二、中点四边形 教学反思: 1.要创造性的使用教材 在新教材中,课本只是一个载体,因此,本节课教师充分利用这个载体和学生已有的知识、经验, 教学设计不拘泥于教材,由一般到特殊再到一般,符合学生的认知基础和认知规律,体现了新课标的观 念,水到渠成,效果非常好。 2.充分利用现代技术,提高课堂容量 本节课容量较大,但由于采用了电脑辅助教学手段,为学生创建了一个学习情境,通过图形的变换, 使学生很容易发现问题的规律、找出解决方法,并且学生在老师的启发下,一步一步地探索、归纳、学 习,在探索的过程中培养了学生的创新精神和创新意识。 3.注意改进的方面 在小组讨论之前,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了 其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问。
活动内容 3: 学生以数学小组的形式,在众多的特殊四边形(平行四边形,矩 形,菱形,正方形)中选择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四 边形,并验证结论的正确性。 由学生非常熟悉的、常见的特殊四边形得到结论,为后面的知识 形成作好铺垫,并把学习的主动权让给学生,目的在于激发学生的学 习兴趣,使学生真正成为学习的主人;同时让学生再一次体会由一般 到特殊的归纳思想、类比、转化的思想方法,进一步提高学生的合作 交流和数学表达能力。
6.课堂小结
1.本节课重点学习了什么知识,应用了哪些数学思想和方法?
2.通过本节课的学习你有哪些收获?在今后的学习过程中应该怎么 做? 课中作业 自我检测 课后题 第 3 题 课后作业设计: 1.课本 习题 1.8 (修改人: 1-3 题 必做(写作业本上) P12-13 1-11 题(必做) 其余选做 )
九年级数学上册第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定正方形的性质1_1
正方形性质:
A
边: 对边平行;
四边相等(xiāngděng);
角 :四个角都是直角;
B
对角线相等(xiāngděng);
对角线: 对角线互相(hù xiāng)垂直;
对角线互相平分;
每条对角线平分一组对角;
D O
C
对称性:正方形是轴对称图形,也是中心对称图形;
第二十四页,共三十七页。
对边平行且四 条边相等
相等
(xiāngděng)
角
对角相等
四个角都是 直角
四个角都 是直角
P20 对角线互 对角线 相平分
对角线相 等
对角线互相垂 直,每条对角 线平分一组对 角
对角线相等且互 相垂直平分,每 条对角线平分一 组对角
图形的 对称性
中心对称图既是中心对称 既是中心对
形
图形又是轴对 称图形又是轴
随堂练习 P21
(liànxí)
1:如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD 相交(xiāngjiāo)于点O,图中有多少个等腰三角 形?
第二十八页,共三十七页。
P21随堂练习(liànxí)
2:如图,在正方形ABCD中,点F为对角线 AC上一点,连接BF,DF。你能找出图中的 全等三角形吗?选择其中(qízhōng)一对进行 证明.
矩形
(jǔxíng)
菱形
第十九页,共三十七页。
你能给正方形下一个定义吗?
矩形
(jǔxíng)
平行四边形
正方形
菱形
第二十页,共三十七页。
给正方形下个定义(dìngyì)
菱形
平行四边形
正方形
矩形
平行四边形
[推荐学习]2018-2019学年九年级数学上册-第一章-特殊平行四边形全章复习与巩固知识讲解及例题
[推荐学习]2018-2019学年九年级数学上册-第一章-特殊平行四边形全章复习与巩固知识讲解及例题《特殊平行四边形》全章复习与巩固【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1.定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.性质:(1)对边平行且相等;(2)对角相等;邻角互补;做菱形.2.性质:(1)具有平行四边形的一切性质;(2)四条边相等;(3)两条对角线互相平分且垂直,并且每一条对角线平分一组对角;(4)中心对称图形,轴对称图形.3.面积:2对角线对角线高==底菱形⨯⨯S4.判定:(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形;(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形;(3)四边相等的四边形是菱形.要点三、矩形1.定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.性质:(1)具有平行四边形的所有性质;(2)四个角都是直角;(3)对角线互相平分且相等;(4)中心对称图形,轴对称图形.3.面积:宽=长矩形⨯S4.判定:(1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)对角线相等的平行四边形是矩形.(3)有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释:由矩形得直角三角形的性质:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;(2)直角三角形中,30度角所对应的直角边等于斜边的一半.要点四、正方形1. 定义:四条边都相等,四个角都是直角的四边形叫做正方形.2.性质:(1)对边平行;(2)四个角都是直角;(3)四条边都相等;(4)对角线互相垂直平分且相等,对角线平分对角;(5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形;(6)中心对称图形,轴对称图形.3.面积:=S正方形边长×边长=12×对角线×对角线4.判定:(1)有一个角是直角的菱形是正方形;(2)一组邻边相等的矩形是正方形;(3)对角线相等的菱形是正方形;(4)对角线互相垂直的矩形是正方形;(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;(6)四条边都相等,四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形1、已知,△ABC中,∠BAC=45°,以AB为腰以点B为直角顶点在△ABC外部作等腰直角三角形ABD,以AC为斜边在△ABC外部作等腰直角三角形ACE,连结BE、DC,两条线段相交于点F,试猜想∠EFC的度数并说明理由.【答案与解析】解法一:作DH//BE 交EA 延长线于H ,连接CH 易证四边形BEHD 为平行四边形CEH EAB CE=AE CEH=EAB=90HE=BD=AB CEH EAB SAS CH=BE=DH CHE=ABECHD=90EFC=CDH=45⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴≅∴∠∠∴∠∴∠∠在△与△中△△(),解法二:作CG//BE 交AB 的延长线于G ,连接DG , ∵△ABC 与△ACE 都是等腰直角三角形, ∴∠EAB=∠CAE+∠CAB=90°. 又∠AEC=90°,∴AB∥CE.∴四边形BECG 为平行四边形,∴CE=GB,又AE=EC,∴GB=AE.在△BGD与△AEB中,DB=AB,∠DBG=∠BAE=90°,GB=AE,∴△BGD≌△AEB(SAS),∴∠GDB=∠ABE,BE=DG.∵平行四边形BGCE,∴∠ABE=∠AGC,BE=GC,∴∠GDB =∠AGC, GC= DG.∴∠DGC=∠DGA+∠AGC=∠DGA+∠GDB=90°.于是CDG△是等腰直角三角形,所以45∠=∠=.EFC DCG【总结升华】通过做平行线,构造平行四边形,再证明全等,使问题得解.类型二、菱形2、如图,平行四边形ABCD中,A B⊥AC,AB=1,BC5.对角线AC,BD 相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F.(1)证明:当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;(2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等;(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如果能,说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.【思路点拨】(1)当旋转角为90°时,∠AOF=90°,由AB⊥AC,可得AB∥EF,即可证明四边形ABEF为平行四边形;(2)证明△AOF≌△COE即可;(3)当EF⊥BD时,四边形BEDF为菱形,又由AB⊥AC,AB=1,5求得OA=AB,即可得∠AOB=45°,求得∠AOF=45°,则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45°.【答案与解析】(1)证明:当∠AOF=90°时,AB∥EF,又AF∥BE,∴四边形ABEF为平行四边形.(2)证明:四边形ABCD为平行四边形,∴AO=CO,∠FAO=∠ECO,∠AOF =∠CO E.∴△AOF≌△COE∴AF=CE(3)四边形BEDF可以是菱形.理由:如图,连接BF,DE,由(2)知△AOF≌△COE,得OE=OF,∴EF与BD互相平分.∴当EF⊥BD时,四边形BEDF为菱形.在Rt△ABC中,512AC=-=,∴OA=1=AB,又AB⊥AC,∴∠AOB=45°,∴∠AOF=45°,∴AC绕点O顺时针旋转45°时,四边形BEDF为菱形.【总结升华】要证明四边形是菱形,先证明这个四边形是平行四边形,再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.举一反三:【变式】已知:如图所示,BD是△ABC的角平分线,EF是BD的垂直平分线,且交AB于E,交BC于点F.求证:四边形BFDE是菱形.【答案】证明:∵EF是BD的垂直平分线,∴EB=ED,∠EBD=∠EDB.又∵∠EBD= ∠FBD,∴∠FBD=∠EDB,ED∥BF. 同理,DF∥BE,∴四边形BFDE是平行四边形.又∵EB=ED,∴四边形BFDE是菱形.3、在口ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=2AB,点E、F分别是OA、BC的中点.连接BE、EF.(1)求证:EF=BF;(2)在上述条件下,若AC=BD,G是BD上一点,且BG:GD=3:1,连接EG、FG,试判断四边形EBFG的形状,并证明你的结论.【思路点拨】(1)根据平行四边形性质推出BD=2BO,推出AB=BO,根据三线合一定理得出BE⊥AC,在△BEC 中,根据直角三角形斜边上中线性质求出EF=BF=CF即可;(2)根据矩形性质和已知求出G为OD中点,根据三角形中位线求出EG∥AD,EG=1BC,求出2BC,求出BF=EG,BF∥EG,EG=GF,EG∥BC,EG=12得出平行四边形,根据菱形的判定推出即可.【答案与解析】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BD=2BO,∵BD=2AB,∴AB=BO,∵E为OA中点,∴BE⊥AC,∴∠BEC=90°,∵F为BC中点,∴EF=BF=CF,即EF=BF;(2)四边形EBFG是菱形,证明:连接CG,∵四边形ABCD是平行四边形,AC=BD,∴四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AB=CD,AD∥BC,BD=2BO=2OD,∴BD=2AB=2CD,∴OC=CD,∵BG:GD=3:1,OB=OD,∴G为OD中点,∴CG⊥OD(三线合一定理),即∠CGB=90°,∵F为BC中点,∴GF=12BC=12AD,∵E为OA中点,G为OD中点,∴EG∥AD,EG=12AD,∴EG∥BC,EG=12BC,∵F为BC中点,∴BF=12BC,EG=GF,即EG∥BF,EG=BF,∴四边形EBFG是平行四边形,∵EG=GF,∴平行四边形EBFG是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定,矩形性质,菱形性质,三角形的中位线,直角三角形斜边上中线性质,等腰三角形的性质等知识点,主要考查学生综合运用定理进行推理的能力,注意:直角三角形斜边上中线等于斜边的一半.类型三、矩形4、如图1,已知AB∥CD,AB=CD,∠A=∠D.(1)求证:四边形ABCD为矩形;(2)E是AB边的中点,F为AD边上一点,∠DFC=2∠BCE.①如图2,若F为AD中点,DF=1.6,求CF的长度:②如图2,若CE=4,CF=5,则AF+BC= ,AF= .【答案与解析】(1)证明:∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD为平行四边形,∵∠A=∠D,∠A+∠D=180°,∴∠A=90°,∴四边形ABCD为矩形,(2)解:①延长DA,CE交于点G,∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=∠B=90°,AD∥BC,∴∠GAE=90°,∠G=∠ECB,∵E是AB边的中点,∴AE=BE,在△AGE和△BCE中,,∴△AGE≌△BCE(AAS),∴AG=BC,∵DF=1.6,F为AD中点,∴BC=3.2,∴AG=BC=3.2,∴FG=3.2+1.6=4.8,∵AD∥BC,∴∠DFC=∠BCF,∵∠DFC=2∠BCE,∴∠BCE=∠FCE,∵AD∥BC,∴∠BCE=∠G,∴CF=FG=4.8;②若CE=4,CF=5,由①得:AG=BC,CF=FG,GE=CE=4,AG=AD,∴CG=8,AF+BC=AF+AG=FG=CF=5;故答案为:5;设DF=x,根据勾股定理得:CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2,即52﹣x2=82﹣(5+x)2,解得:x=,∴DG=5+=,∴AD=DG=,∴A F=AD﹣DF=;故答案为:..【总结升华】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理的运用;本题有一定难度.举一反三:【变式】如图,O为△ABC内一点,把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG.(1)四边形DEFG是什么四边形,请说明理由;(2)若四边形DEFG是矩形,点0所在位置应满足什么条件?说明理由.【答案】解:(1)四边形DEFG是平行四边形.理由如下:∵D、G分别是AB、AC的中点,∴DG是△ABC的中位线;BC;∴DG∥BC,且DG=12BC;同理可证:EF∥BC,且EF=12∴DG∥EF,且DG=EF;故四边形DEFG是平行四边形;(2)O在BC边的高上且A和垂足除外.理由如下:连接OA;同(1)可证:DE∥OA∥FG;∵四边形DEFG是矩形,∴DG⊥DE;∴OA⊥BC;即O点在BC边的高上且A和垂足除外.5、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4.过点A作AE⊥AB且AB=AE,过点E分别作EF⊥AC,ED⊥BC,分别交AC和BC的延长线与点F,D.若FC=5,求四边形ABDE的周长.【思路点拨】首先证明△ABC≌△EAF,即可得出BC=AF,AC=EF,再利用勾股定理得出AB的长,进而得出四边形EFCD是矩形,求出四边形ABDE 的周长即可.【答案与解析】解:∵∠ACB=90°,AE⊥AB,∴∠1+∠B=∠1+∠2=90°.∴∠B=∠2.∵EF⊥AC,∴∠4=∠5=90°.∴∠3=∠4.在△ABC和△EAF中,∵342BAB AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,,∴△ABC≌△EAF(AAS).∴BC=AF,AC=EF.∵BC=4,∴AF=4.∵FC=5,∴AC=EF=9.在Rt△ABC中,==.∵ED⊥BC,∴∠7=∠6=∠5=90°.∴四边形EFCD是矩形.∴CD=EF=9,ED=FC=5.∴四边形ABDE的周长.【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识,根据已知得出AC=EF=9是解题关键.举一反三:【变式】如图,平行四边形ABCD中,AC=6,BD=8,点P从点A出发以每秒1cm的速度沿射线AC移动,点Q从点C出发以每秒1cm的速度沿射线CA移动.(1)经过几秒,以P,Q,B,D为顶点的四边形为矩形?(2)若BC⊥AC垂足为C,求(1)中矩形边BQ 的长.【答案】解:(1)当时间t=7秒时,四边形BPDQ 为矩形.理由如下:当t=7秒时,PA=QC=7,∵AC=6,∴CP=AQ=1∴PQ=BD=8∵四边形ABCD为平行四边形,BD=8∴AO=CO=3∴BO=DO=4∴OQ=OP=4∴四边形BPDQ为平形四边形,∵PQ=BD=8∴四边形BPDQ为矩形,(2)由(1)得BO=4,CQ=7,∵BC⊥AC∴∠BCA=90°BC2+CQ2=BQ2∴BQ=.类型四、正方形6、如图,D是线段AB的中点,C是线段AB 的垂直平分线上的一点,DE⊥AC于点E,DF⊥BC 于点F.(1)求证:DE=DF;(2)当CD与AB满足怎样的数量关系时,四边形CEDF为正方形?请说明理由.【思路点拨】(1)由CD垂直平分线AB,可得AC=CB,得出∠ACD=∠BCD,再由∠EDC=∠FDC=90°,可证得△ACD≌△BCD,得出CE=CF即可;(2)先证明四边形CEDF是矩形,再证出因此AB=2CD时,四边形CEDF为正方形.【答案与解析】(1)证明:∵CD垂直平分线AB,∴AC=CB.∴△ABC是等腰三角形,∵CD⊥AB,∴∠ACD=∠BCD.∵DE⊥AC,DF⊥BC,∴∠DEC=∠DFC=90°∴∠EDC=∠FDC,在△DEC与△DFC中,,∴△DEC≌△DFC(ASA),∴DE=DF;(2)解:当AB=2CD时,四边形CEDF为正方形.理由如下:∵AD=BD,AB=2CD,∴AD=BD=CD.∴∠ACD=45°,∠DCB=45°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°,∴四边形DECF是矩形.又∵DE=DF,∴四边形CEDF是正方形.【总结升华】此题主要考查线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定、矩形的判定等知识点;熟练掌握正方形的判定,证明三角形全等是解决问题(1)的关键.举一反三:【变式】如图(1),正方形ABCD和正方形CEFG 有一公共顶点C,且B、C、E在一直线上,连接BG、DE.(1)请你猜测BG、DE的位置关系和数量关系?并说明理由.(2)若正方形CEFG绕C点向顺时针方向旋转一个角度后,如图(2),BG和DE是否还存在上述关系?若存在,试说明理由;若不存在,也请你给出理由.【答案】解:(1)BG=DE,BG⊥DE;理由是:延长BG交DE于点H,因为BC=DC,CG =CE,∠BCG=∠DCE所以△BCG≌△DCE,所以BG=DE,∠GBC=∠CDE.由于∠CDE+∠CED=90°,所以∠GBC+∠DEC=90°,得∠BHE=90°.所以BG⊥D E.(2)上述结论也存在.理由:设BG交DE于H,BG交DC于K,同理可证△BCG≌△DCE,得BG=ED,∠KBC=∠KDH.又因为∠KBC+∠BKC=90°,可得∠DKH+∠KDH=90°,从而得∠KHD =90°.所以BG⊥DE.。
最新新编九年级数学上册第一章特殊平行四边形知识点归纳新版北师大
第一章特殊平行四边形1.菱形的性质与判定2.矩形的性质与判定3.正方形的性质与判定菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。
(矩形是轴对称图形,有两条对称轴)※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
(正方形是轴对称图形,有两条对称轴)※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形;邻边相等的矩形是正方形;对角线相等的菱形是正方形;对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示):※梯形定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性质:等腰梯形同一底上的两个内角相等,对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※多边形内角和:n边形的内角和等于(n-2)·180°※多边形的外角和都等于360°※在平面内,一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转前后的图形互相重合,那么这个图开叫做中心对称图形。
※中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段被对称中心平分。
四种特殊四边形的性质边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等对角相等互相平分中心对称矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称中心对称菱形对边平行四条边相等对角相等互相垂直平分且每条对角线平分对角轴对称中心对称正方形对边平行四条边相等四个角都是直角互相垂直平分且相等,每条对角线平分对角轴对称中心对称四种特殊四边形常用的判定方法:平行四边形①两组对边分别平行的四边形②两组对边分别相等的四边形③一组对边平行且相等的四边形④两组对角分别相等的四边形⑤对角线互相平分的四边形矩形①有一个角是直角的平行四边形②有三个角是直角的四边形面积公式: S 平行四边形=底边长×高=ah S 矩形=长×宽=abS 菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 2221对角线边长正==S附:百度文库的资料为什么齐全“百度文库”是百度为网友提供的信息存储空间,是供网友在线分享文档的开放平台。
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 3 正方形的性质与判定 认识正方形素材 (新版)北师大版
认识正方形平行四边形——这是一个漂亮和有用的图形,它使我们记起重量单位,事实上与重量单位一点没有关系。
作两对平行直线,如图1考虑这样形成的四边形ABCD 。
它的边成对平行:CD AB //,AD BC //。
这种四边形称做平行四边形。
图1图2在图2上画着各种不同的平行四边形。
是的,是的,不要奇怪,连菱形、矩形和正方形都是平行四边形。
它们是带有某些补充性质的平行四边形。
菱形——这是一个所有边都相等的平行四边形。
矩形——这是一个所有角都是直角的平行四边形。
那么事实上矩形是不是平行四边形呢?CD AB //和AD BC //对不对(图3)?图3我们回忆一下三条垂直的直线的性质(94页)。
它说,在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线彼此平行。
在矩形ABCD 中,AD AB ⊥,AD CD ⊥,这就是说,CD AB //。
而角A 与B 也都是直角,也即AB BC ⊥,AB AD ⊥.于是就有AD BC //。
由此得到,矩形的边成对平行。
因此,矩形是平行四边形。
正方形是非常有趣的四边形,能够给它几个定义。
1.正方形像菱形一样,所有边都相等,只是还要所有角都是直角。
这就是说,正方形是具有直角的菱形。
2.正方形像矩形一样,所有角都是直角。
只是还要所有边都相等。
这就是说,正方形是所有边都相等的矩形。
3.正方形像平行四边形一样,边成对平行的。
只是还要所有边都相等和所有角都是直角。
这就是说,正方形是所有角都是直角和所有边都相等的平行四边形。
正方形还有一整套有趣的性质。
例如,如果要用给定长度的篱笆围住一个最大面积的四边形区域,那么应当把这区域选成正方形形状。
用纸张的实验能帮助我们更好地学习平行线、垂线和平行四边形。
用纸张的实验在纸上标明两点A和B,随后把纸对折,使得A与B重合。
直线AB与折线相对位置是怎样的?通过折一张纸,去得到一对平行直线和一对垂直直线。
从一张任意形状的纸折叠并且随后剪出一个矩形。
指明在这矩形中哪些边彼此平行或垂直。
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正方形
【巩固练习】
一.选择题
1. 在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H.这样得到的四边形EFGH
中,是正方形的有()
A.1个 B.2个 C.4个 D.无穷多个
2. 将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形,使它形状改变.当∠B=90°时(如图甲),测得对角线BD的长为.当∠B=60°时(如图乙),则对角线BD的长为()
A. B. C.2 D.
3. 如图,正方形ABCD的边长为2,点E在AB边上.四边形EFGB也为正方形,设△AFC的
面积为S,则 ( )
A.S=2 B.S=2.4 C.S=4 D.S与BE长度有关
4. 如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE:EC=2:1,则线段CH的长是()
A.3 B.4 C.5 D.6
5. 如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,
则S1+ S2的值为( )
A.16 B.17 C.18 D.19
6. 如图,四边形ABCD中,AD=DC,∠ADC=∠ABC=90°,DE⊥AB,若四边形ABCD面积为
16,则DE的长为()
A.3 B.2 C.4 D.8
二.填空题
7. 延长正方形ABCD的BC边至点E,使CE=AC,连结AE,交CD于F,那么∠AFC的度数为
______,若BC=4cm,则△ACE的面积等于______.
8. 在正方形ABCD中,E为BC上一点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为F、G,如果
AB=cm,那么EF+EG的长为______.
9. 已知:如图,△ABC中,∠ACB=90°,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,
OE⊥AC,OF⊥AB,点D,E,F分别是垂足,且BC=8 cm,CA=6 cm,则点O到三边AB,AC和BC的距离分别等于______ cm.
10. 如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a
于点F,若DE=4,BF=3,则EF的长为_____.
11. 如图,菱形ABCD的面积为120cm2,正方形AECF的面积为50cm2,则菱形的边长为cm.
12. 如图所示,如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以AE为边作
第三个正方形AEGM,…已知正方形ABCD的面积S1=1,按上述方法所作的正方形的面积依次为S2,S3,…S n(n为正整数),那么第8个正方形面积S8= .
三.解答题
13. 如图,将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中,O是原点,若点A的坐标为(1,),则点C的坐标?
14. 如图,点E是正方形ABCD内一点,△CDE是等边三角形,连结EB、EA,延长BE交边
AD于点F.
(1)求证:△ADE≌△BCE;
(2)求∠AFB的度数.
15. 如图,在边长为4的正方形ABCD中,点P在AB上从A向B运动,连结DP交AC于点Q.
(1)试证明:无论点P运动到AB上何处时,都有△ADQ≌△ABQ;
(2)当点P在AB上运动到什么位置时,△ADQ的面积是正方形ABCD面积的;
(3)若点P从点A运动到点B,再继续在BC上运动到点C,在整个运动过程中,当点P
运动到什么位置时,△ADQ恰为等腰三角形.
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】D;
【解析】在正方形四边上任意取点E、F、G、H,AH=DG=CF=BE,能证明四边形EFGH为正方形,则说明可以得到无穷个正方形.
2.【答案】B;
【解析】解:如图甲,
∵AB=BC=CD=DA,∠B=90°,
∴四边形ABCD是正方形,
连接BD,则AB2+AD2=BD2,
∴AB=AD=1,
如图乙,∠B=60°,连接BD,
∴△ABD为等腰三角形,
∴AB=AD=1,
∴BD=
故选B.
3. 【答案】A;
4.【答案】B
【解析】由题意设CH=xcm,则DH=EH=(9﹣x)cm,
∵BE:EC=2:1,
∴CE=BC=3cm
∴在Rt△ECH中,EH2=EC2+CH2,
即(9﹣x)2=32+x2,
解得:x=4,即CH=4cm.
5.【答案】B;
6.【答案】C;
【解析】如图,过点D作BC的垂线,交BC的延长线于F,利用互余关系可得∠A=∠FCD,又∠AED=∠F=90°,AD=DC,利用AAS可以判断△ADE≌△CDF,∴DE=DF,S四
边形ABCD=S正方形DEBF=16,DE=4.
二.填空题
7.【答案】112.5°,8cm2;
8.【答案】5cm;
【解析】AC=BD=10,EF+EG=5.
9.【答案】2;
10.【答案】7;
【解析】因为ABCD是正方形,所以AB=AD,∠B=∠A=90°,则有∠ABF=∠DAE,又因为
DE⊥、
BF⊥,根据AAS易证△AFB≌△AED,所以AF
=DE=4,BF=AE=3,则EF的长=7.
11.【答案】13.
【解析】因为正方形AECF的面积为50cm2,
所以AC=cm,
因为菱形ABCD的面积为120cm2,
所以BD=cm,
所以菱形的边长=cm.
故答案为:13.
12.【答案】128;
【解析】根据题意可得:第n个正方形的边长是第(n﹣1)个的倍;故面积是第(n
﹣1)个的2倍,已知第一个面积为1;则那么第8个正方形面积S8=27=128.
故答案为128.
三.解答题
13.【解析】
解:作AD⊥轴于D,作CE⊥x轴于E,如图所示:
则∠ADO=∠OEC=90°,
∴∠1+∠2=90°,
∵点A的坐标为(1,),
∴OD=1,AD=,
∵四边形OABC是正方形,
∴∠AOC=90°,OC=AO,
∴∠1+∠3=90°,
∴∠3=∠2,
在△OCE和△AOD中,
,
∴△OCE≌△AOD(AAS),
∴OE=AD=,CE=OD=1,
∴点C的坐标为(﹣,1).
14.【解析】
解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADC=∠B CD=90°,AD=BC.
∵△CDE是等边三角形,
∴∠CDE=∠DCE=60°,DE=CE.
∴∠ADE=∠BCE=30°.
∵AD=BC,∠ADE=∠BCE,DE=CE,
∴△ADE≌△BCE.
(2)∵△ADE≌△BCE,∴AE=BE,
∴∠BAE=∠ABE.
∵∠BAE+∠DAE=90°,∠ABE+∠AFB=90°,∠BAE=∠ABE,
∴∠DAE=∠AFB.
∵AD=CD=DE,∴∠DAE=∠DEA.
∵∠ADE=30°,∴∠DAE=75°,
∴∠AFB=75°.
15.【解析】
(1)在正方形ABCD中,无论点P运动到AB上何处时,
都有
∴△ADQ≌△ ABQ;
(2)△ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的时,
过点Q作QE⊥AD于E,QF⊥AB于F,
则QE=QF
∴
由△DEQ∽△DAP得
解得
∴时,△ADQ的面积是正方形ABCD面积的;
(3)若△ADQ是等腰三角形,则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD
①当点P运动到与点B重合时,由四边形ABCD是正方形知QD=QA 此时△ADQ是等腰三角形;
②当点P与点C重合时,点Q与点C也重合,
此时DA=DQ,△ADQ是等腰三角形;
③如图,设点P在BC边上运动到CP=x时,有AD=AQ
∵
∴
又∵,
∴
∴
∵
∴
即当时,△ADQ是等腰三角形。