马井堂方程与不等式
马井堂-高考数学汇编-第3讲函数与方程及函数的应用(学生)
马井堂-高考数学汇编-专题 1 函数与导数、不等式第3讲 函数与方程及函数的应用一．瞄准高考1.函数的零点(1)三个等价关系：方程f (x )＝0有实根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．(2)函数零点存在性定理：如果函数y ＝f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f (a )f (b )<0,那么函数y ＝f (x )在区间(a ,b )内有零点,即存在c ∈(a ,b ),使得f (c )＝0,这个c 也就是方程f (x )＝0的根．(尤其注意,f (a )f (b )<0是“函数y ＝f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,那么函数y ＝f (x )在区间(a ,b )内有零点”的充分不必要条件)2.函数模型及其应用解决实际应用题,一般先考虑建立函数解析式,将其函数化,然后运用函数的知识解决问题.具体策略是:(1)审:审即审题,首先通过阅读能准确理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步预测所属数学模型,这一步是基础.(2)建:建即建立数学模型,也就是将文字语言转化为数学语言,利用已有的数学知识,建立相应的数学模型.正确进行建“模”是解应用题的关键的一步.(3)解:解即求解数学模型,得到数学结论.解题时,一要充分注意数学模型中元素的实际意义,二要注意优化过程.(4)答:答即将数学结论还原为实际问题的结果.二．解析高考题型一 函数零点的判定例1 已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6.(1)证明：f (x )在其定义域上是增函数；(2)证明：f (x )有且只有一个零点；(3)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不超过14.题型二 函数与方程的综合应用例2 已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象的零点至少有一个在原点的右侧,求实数m 的取值范围.【变式】已知a、b是不全为0的实数,求证：方程3ax2＋2bx－(a＋b)＝0在(0,1)内至少有一个根．题型三函数模型及应用例3某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处,已知AB＝20 km,CB＝10 km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD的区域上(含边界),且与A,B等距离的一点O处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO,BO,OP,设排污管道的总长为y km.(1)按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO＝θ(rad),将y表示成θ的函数关系式；②设OP＝x(km),将y表示成x的函数关系式．(2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂位置,使三条排污管道总长度最短．三．感悟高考1．判断函数的零点,要善于运用“三个转化”,时常将函数的零点问题转化为函数图象与x轴的交点问题,或转化为两个函数图象交点问题．需特别注意的是下面式子是错的：“f(a)f(b)<0⇔函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点”．2．对函数零点的考查,通常以函数为载体判断方程根的个数,或以此为背景求参数的范围,此类问题都是利用数形结合,借助函数图象(复杂函数的图象可用导数工具)加以解决．3．与函数有关的应用题,经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题,也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式,然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.4．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此,必须全面掌握有关的函数知识,并且严谨审题,弄清题目的已知条件,尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析,处理好各种关系,把握问题的主线,运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决．四．备战高考1.若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3,那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是.2.设函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象的交点为(x,y0),若x0所在的区间为(k,k+1)(k∈Z),则k= .3.(2010·福建)函数223,0,()2ln,0x x xf xx x⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为.4.食用油的零售价今年比去年只上涨25%,政府欲使明年比去年上涨10%,则明年比今年降价.5.已知函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈[a,b],且b－a＝1,a,b∈N*,则a＋b＝________.6.已知函数f(x)＝x2－1,g(x)＝a|x－1|.若|f(x)|＝g(x)有两个不同的解,则a= .7.定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时12log(1).[0,1)()1|3|,[1,)x xf xx x+∈⎧⎪=⎨⎪--∈+∞⎩,则关于x的方程f(x)＝a(－1<a<1)的所有根之和S= (用a表示)．8.(2009·山东)若函数f(x)＝a x－x－a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是________．9.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.(1)若f(－1)＝0,试判断函数f(x)的零点个数；(2)若对∀x1,x2∈R,且x1<x2,f(x1)≠f(x2),试证明∃x0∈(x1,x2),使f(x0)=12[f(x1)+f(x2)]成立.10.某生产旅游纪念品的工厂,拟在2010年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算,该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3－x与t＋1成反比例．若不搞促销活动,纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元,每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时,则当年的产量和销量相等．(利润＝收入－生产成本－促销费用)(1)求出x与t所满足的关系式；(2)请把该工厂2010年的年利润y万元表示成促销费t万元的函数；(3)试问：当2010年的促销费投入多少万元时,该工厂的年利润最大？。
马井堂第二十一章代数方程复习
第二十一章《代数方程》复习（两课时）九峰实验学校 肖华明第一课时复习要点：1． 知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式. 理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法。
2． 理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法,理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；学会判断双二次方程的根的个数。
3． 会用“换元法”解特殊的分式方程（组）。
4． 理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念，领会无理方程“有理化”的化归思想. 会解简单的无理方程（方程中只含一个或两个关于未知数的二次根式）。
5． 知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念。
例题1： 判断下列关于x 的方程,哪些是整式方程?这些整式方程分别是一元几次方程?;1523)3(;0814)2(;0121)1(332ax x a x x a x -=+=+=-+ .087)6(;322)5(;3122)4(242=-+--=+=+x x a a x xx x 例题2：解二项方程 是正整数）n b a b ax n ,0,0(0≠≠=+当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根，n ab x -= 当n 为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数， n ab x -±=；如果ab>0，那么方程没有实数根. 例题3：写出关于x 、y 的二元二次方程的一般形式？并指出它的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项？关于x 、y 的二元二次方程的一般形式是：22ax bxy cy dx ey f o +++++=（a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常数，且a 、b 、c 中至少有一个不为零），二次项有：22,,ax bxy cy ，a 、b 、c 分别是它们系数，一次项有,dx ey ，它们的系数分别是d 、e ；f 是这个方程的常数项.例题4：已知下列关于x 的方程：其中无理方程是____________________(填序号). 例题5：写出双二次方程的一般形式？并解下列方程：（1）014924=+-x x （2）024524=-+x x解：双二次方程的一般形式：)0(024≠=++a c bx ax ，（1）、（2）方程省略。
马井堂-数学-高考专题训练三-函数与方程及函数的实际应用
马井堂-数学-高考专题训练三 函数与方程及函数的实际应用班级________ 姓名________ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．(2011·西安五校第一次模拟考试)“a <－2”是“函数f (x )＝ax ＋3在区间[－1,2]上存在零点x 0”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件解析：当a <－2时，由f (x )＝ax ＋3＝0，得x ＝－3a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32⊆[－1,2]；由函数f (x )＝ax ＋3在区间[－1,2]上存在零点x 0，得x 0＝－3a ∈[－1,2]，此时a <－2可能不成立，可能有a ＝3.因此，“a <－2”是“函数f (x )＝ax ＋3在区间[－1,2]上存在零点x 0”的充分非必要条件，故选A.答案：A2．(2011·山东省原创卷八)已知函数f (x )＝(13)x－log 2x ，正实数a ，b ，c成公差为正数的等差数列，且满足f (a )f (b )f (c )<0.若实数x 0是函数y ＝f (x )的一个零点，则x 0与c 的大小关系是( )A ．x 0<cB ．x 0>cC ．x 0≤cD ．x 0≥c解析：如图，在同一平面直角坐标系中分别画出函数g (x )＝(13)x和h (x )＝log 2x 的图象，由题意知0<a <b <c ，故满足f (a )f (b )f (c )<0的情形有如下两种，结合图易知x 0<c.答案：A3．(2011·济宁一模)已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ．f (x 0)>0D ．f (x 0)的符号不确定解析：f (x )在(0，＋∞)上是增函数且f (a )＝0，又0<x 0<a ，所以f (x 0)<0. 答案：B4．(2011·山东省高考调研卷)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ，b ∈R 且a >0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则a －b 的取值范围为( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－∞，1)D ．(－1,1)解析：依题意得f (1)f (2)<0⇔(a ＋b －1)(4a ＋2b －1)<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1<04a ＋2b －1>0a >0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1>04a ＋2b －1<0a >0(不合题意，舍去)，满足不等式组的区域如图阴影部分所示(不包括边界)．令z ＝a －b ，即b ＝a －z .当它经过两直线⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1＝0a ＝0的交点A (0,1)时，－z 取得最大值，即－z max ＝1，即z ≥－1.又不等式组的区域不包括边界，所以z >－1.也就是a －b >－1，故选A.答案：A5．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 4|x |的零点个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：函数周期为2，画出y 1＝log 4|x |与y 2＝f (x )在(0，＋∞)上的大致图象，又y ＝f (x )－log 4|x |为偶函数，可得答案选D.答案：D6．设函数y＝f(x)在区间(a，b)上是连续的，且f(a)·f(b)<0，取x0＝a＋b 2，若f(a)·f(x0)<0，则利用二分法求方程根时取有根区间为() A．(a，b) B．(a，x0)C．(x0，b) D．不能确定解析：利用二分法求方程根时，根据求方程的近似解的一般步骤，由于f(a)·f(x0)<0，则取其对应的端点(a，x0)为新的区间．答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．(2011·聊城模拟(一))若函数f(x)＝e x－a－2x恰有一个零点，则实数a的取值范围是________．解析：令f(x)＝e x－a－2x＝0，得ex＝a＋2x，设y1＝ex，y2＝a＋2x，分别作出y1、y2的图象，观察图象可知a≤0时，两图象只有一个交点．答案：a≤08．(2011·扬州市四星级高中4月联考)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x ＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c由小到大的顺序是________．解析：令y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x3，y4＝－x，图象如图，则a<c<b.答案：a<c<b9．(2011·大联考)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．解析：①高峰时段用电量50及以下部分：50×0.568＝28.4(元)；②高峰时段用电量50～200的部分：150×0.598＝89.7(元)；③低谷时段用电量50及以下的部分：50×0.288＝14.4(元)；④低谷时段用电量50～200的部分：50×0.318＝15.9(元)；∴共用28.4＋89.7＋14.4＋15.9＝148.4(元)．答案：148.410．已知函数f(x)＝a x＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a、b满足2a＝3,3b＝2，则n＝________.解析：f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0就是方程a x ＝－x ＋b 的根．设y 1＝a x ，y 2＝－x ＋b ，故x 0就是两函数交点的横坐标，如图，当x ＝－1时，y 1＝1a ＝log 32<y 2＝1＋b ＝1＋log 32，∴－1<x 0<0，∴n ＝－1.答案：－1三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)．(1)求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)若a ＝3，求方程f (x )＝0的正根(精确到0.01)． 分析：(1)可利用定义证明；(2)利用二分法确定方程的根． 单调性的定义证明增函数→方程的根即函数的零点→二分法求函数零点的近似值解：(1)证明：任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，又a >1，∴ax 2－ax 1>0.又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0.于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0.故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)由(1)知，当a ＝3时，f (x )＝3x＋x －2x ＋1在(－1，＋∞)上为增函数，且在(0，＋∞)上单调递增，因此f (x )＝0的正根至多有一个，以下用二分法求这一正根：由于f (0)＝－1<0，f (1)＝52>0，取[0,1]为初始区间，用二分法逐次计算．列表如下：个端点的近似值0.28就是方程的根的近似值，即原方程的正根是0.28.点评：(1)用二分法求函数零点的近似值时，最好是将计算过程中所得到的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等列在一个表格中，这样可以更清楚地发现零点所在区间．(2)用二分法求函数零点的近似值x 0，要求精确度为ε，即零点的近似值x 0与零点的真值α的误差不超过ε，零点近似值x 0的选取有以下方法：①若区间(a ，b )使|a －b |<ε，则因零点值α∈(a ，b )，所以a (或b )与真值α满足|a －α|<ε或|b －α|<ε，所以只需取零点近似值x 0＝a (或b )；②若区间[a n ，b n ]使|a n －b n |<2ε，取零点近似值x 0＝a n ＋b n 2，则|x 0－α|<12|a n －b n |<ε.12．(13分)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．(1)若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？(2)年销售量关于x 的函数为y ＝3240(－x 2＋2x ＋53)，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？解：(1)由题意得，上年度的利润为(13－10)×5000＝15000万元；本年度每辆车的投入成本为10(1＋x )；本年度每辆车的出厂价为13(1＋0.7x )；本年度年销售量为5000(1＋0.4x )，因此本年度的利润为y ＝[13(1＋0.7x )－10(1＋x )]·5000(1＋0.4x )＝(3－0.9x )·5000(1＋0.4x )＝－1800x 2＋1500x ＋15000(0<x <1)，由－1800x 2＋1500x ＋15000>15000，解得0<x <56，x 在此范围内，本年度的年利润比上年度有所增加．(2)本年度的利润为f (x )＝(3－0.9x )·3240(－x 2＋2x ＋53)＝3240×(0.9x 3－4.8x 2＋4.5x ＋5)．则f ′(x )＝3240(2.7x 2－9.6x ＋4.5)＝972(9x －5)(x －3)，由f ′(x )＝0，解得x ＝59或x ＝3，当x ∈(0，59)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x ∈(59，1)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．∴当x ＝59时，f (x )取极大值f (59)＝20000万元，∵f (x )在 (0,1)上只有一个极大值，∴它是最大值，∴当x ＝59时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．。
马井堂-高考数学汇编-第4讲导数及其应用(学生)
马井堂-高考数学汇编-专题 1 函数与导数、不等式第4讲 导数及其应用一．瞄准高考1、导数的几何意义f ′(x 0)是曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率,曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)=f ′(x 0)(x －x 0)．2、导数运算(1)求导公式:①C ′=0(其中C 为常数)；②(x n )′=nx n -1(n ∈Q)；③(sin x )′=cos x ；④(cos x )′=－sin x ；⑤(ln x )′=1x ,(log a x )′=1x ln a；⑥(e x )′=e x ,(a x )′=a x ln a . (2)导数的四则运算法则:①(u ±v )′=u ′±v ′；②(uv )′=u ′v ＋uv ′； ③⎝⎛⎭⎫u v ′=u ′v －uv ′v 2(v ≠0)．3、导数的应用(1)利用导数判断函数的单调性:若f ′(x )>0(f ′(x )<0),则f (x )单调递增(减);若f (x )是增(减)函数,则导数f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)．(2)求函数的极值:使f ′(x )=0的根x 0不一定是极值点,还必须检验f ′(x )在x =x 0左右两侧的符号,若左正右负则有极大值,左负右正则有极小值．(3)求函数的最值:连续函数在闭区间[a ,b ]上必有最大值、最小值,先求出使方程f ′(x )=0的所有点的函数值,再与端点函数值比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值．二．解析高考题型一 导数的几何意义例1 (2010·湖北卷)设函数f (x )=13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ,其中a ＞0,曲线y =f (x )在点P (0,f (0))处的切线方程为y =1.(1)确定b 、c 的值；(2)设曲线y =f (x )在点(x 1,f (x 1))及(x 2,f (x 2))处的切线都过点(0,2),证明:当x 1≠x 2时,f ′(x 1)≠f ′(x 2)．【变式】已知直线l 与函数f (x )=ln x 的图象相切于点(1,0),且l 与函数g (x )=12x 2＋mx ＋72(m <0)的图象也相切．则m 的值为________．题型二 利用导数探究函数的单调性例2 (2009·安徽卷)已知函数f (x )=x －2x＋a (2－ln x )a >0,讨论f (x )的单调性．【变式】若函数g (x )=e xx 2＋k ,且在区间(2,3)上不单调,则实数k 的取值范围是________．题型三 利用导数求函数的极值和最值例3 已知函数f (x )=12ax 2－2x sin 2α和函数g (x )=ln x ,记F (x )=f (x )＋g (x )． (1)当α=π3时,若f (x )在[1,2]上的最大值是f (2),求实数a 的取值范围； (2)当a =1时,判断F (x )在其定义域内是否有极值,并予以证明；(3)对任意的α∈⎣⎡⎭⎫π6，23π,若F (x )在其定义域内既有极大值又有极小值,试求实数a 的取值范围．【变式】 设函数f (x )=⎪⎪⎪⎪13x 3－12x 2＋2x .对于任意实数x ∈[－1,2],f (x )≤m 恒成立,则m 的最小值为________．题型四 导数的综合应用例4设函数f (x )=x 3＋ax 2＋bx (x >0)的图象与直线y =4相切于M (1,4)．(1)求f (x )=x 3＋ax 2＋bx 在区间(0,4]上的最大值与最小值；(2)是否存在两个不等正数s ,t (s <t ),当x ∈[s ,t ]时,函数f (x )=x 3＋ax 2＋bx 的值域也是[s ,t ]？若存在,求出所有这样的正数s ,t ；若不存在,请说明理由；【变式】第(2)问改为:设存在两个不等正数s ,t (s <t ),当x ∈[s ,t ]时,函数f (x )=x 3＋ax 2＋bx 的值域是[ks ,kt ],求正数k 的取值范围．三．感悟高考1．熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则,是正确进行导数运算的基础．2．解单调性的题目时要注意判断端点能否取到,用导数求单调函数的最值时要注意由极值到最值的过渡．3．本单元重点体现了函数思想及等价转化的思想,在学习过程中应用心体会．利用导数解有关函数的单调性、极值、最值的问题是本节的主要题型,也是高考考查的重点,复习时应引起足够的重视．四．备战高考1. 曲线y =x －x 3在点(－1,0)处的切线与两正坐标轴所围成的图形的面积是 .2. 已知全集I =R,若函数f (x )=x 2－3x ＋2,集合M ={x |f (x )≤0},N ={x |f ′(x )<0},则M ∩(∁I N )等于__________.3. (2010·江西卷)若函数f (x )=ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)=2,则f ′(－1)等于 .4．(2010·镇江模拟)设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x <0时,f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0,且g (－3)=0,则不等式f (x )g (x )<0的解集是 .4. 设a ∈R,若函数y =e x ＋ax ,x ∈R 有大于零的极值点,则a 的取值范围为_________．5. 已知函数f (x )=12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数,则实数m 的取值范围为_________． 6. (2010·扬州模拟)若函数f (x )=13x 3－a 2x 满足：对于任意的x 1,x 2∈[0,1]都有|f (x 1)－f (x 2)|≤1恒成立,则a 的取值范围是____________．7. 给出定义：若函数f (x )在D 上可导,即f ′(x )存在,且导函数f ′(x )在D 上也可导,则称f (x )在D上存在二阶导函数,记f ″(x )=(f ′(x ))′,若f ″(x )<0在D 上恒成立,则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数：①f (x )=sin x ＋cos x ；②f (x )=ln x －2x ；③f (x )=－x 3＋2x －1；④f (x )=x e x .在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数的是________．8. 函数g (x )=ax 3＋2(1－a )x 2－3ax 在区间⎝⎛⎭⎫－∞，a 3内单调递减,则a 的取值范围是________．9. (2010·全国卷)设函数f (x )=x (e x －1)－ax 2.(1)若a =12,求f (x )的单调区间； (2)若当x ≥0时,f (x )≥0,求a 的取值范围．10.已知函数f(x)=2ax－a2＋1x2＋1(x∈R),其中a∈R.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(－1,f(－1))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；(2)当a≠0时,求函数f(x)的单调区间与极值．。
马井堂三角函数知识点总结
第六章 三角函数一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL ,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=xy，余切函数cot α=y x ，定理1 同角三角函数的基本关系式， 倒数关系：tan α=αcot 1,商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α;（Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α; （ Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=s in α（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。
马井堂7.4《数学归纳法解题 沪教版 - 副本
数学归纳法解题数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.1、例题举隅例1、用数学归纳法证明：()()21427310311n n n n ⨯+⨯+⨯+++=+ 例2、用数学归纳法证明：()()()()222222*123421221.n n n n n N -+-++--=-+∈●案例探究［例3］试证明：不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c互不相等时，均有：a n +c n ＞2b n .［例4］在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －21成等比数列. (1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；(3)求数列{a n }所有项的和.●锦囊妙记(1)数学归纳法的基本形式设P (n )是关于自然数n 的命题，若1°P (n 0)成立(奠基)2°假设P (k )成立(k ≥n 0)，可以推出P (k +1)成立(归纳)，则P (n )对一切大于等于n 0的自然数n 都成立.(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知f (n )=(2n +7)·3n +9,存在自然数m ,使得对任意n ∈N ,都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A.30B.26C.36D.62.(★★★★)用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3,n ∈N )第一步应验证( )A.n =1B.n =2C.n =3D.n =4二、填空题3.(★★★★★)观察下列式子：474131211,3531211,2321122222<+++<++<+…则可归纳出_________.4.(★★★★)已知a 1=21,a n +1=33+n n a a ,则a 2,a 3,a 4,a 5的值分别为_________，由此猜想a n =_________.三、解答题5.(★★★★)用数学归纳法证明412+n +3n +2能被13整除，其中n ∈N *.6.(★★★★)若n 为大于1的自然数，求证：2413212111>+++++n n n .7.(★★★★★)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145.(1)求数列{b n }的通项公式b n ;(2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论. 8.(★★★★★)设实数q 满足|q |＜1,数列{a n }满足：a 1=2,a 2≠0,a n ·a n +1=－q n ,求a n 表达式，又如果lim ∞→n S 2n ＜3,求q 的取值范围.（1）2)13()23(741-=-++++n n n ； （2）12)12)(12(1751531311+=+-++⋅+⋅+⋅n n n n 。
2马井堂上海高一上半学期第二章不等式测试卷上
上海高一上半学期第二章不等式测试卷上一．选择题（共10小题）223．已知四个条件，①b＞0＞a ②0＞a＞b ③a＞0＞b ④a＞b＞0，能推出成立的有（）4．设a，b∈R，集合，则b﹣a=（）．7．已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a＜0的解集是（）8．集合P={x|＞0}，Q={x|y=}，则P∩Q=（）210．不等式＜1的解集是（）11．已知a=3x2﹣x+1，b=2x2+x﹣1，则a，b中较大的是．12．不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣，），则a+b等于．13．已知集合M={a，0}，N={x|2x2﹣3x＜0，x∈Z}，如果M∩N≠∅，则a=．14．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，则实数a的值为．三．解答题（共7小题）15．求证：．16．设x＜y＜0，试比较（x2+y2）（x﹣y）与（x2﹣y2）（x+y）的大小．17．已知0＜α﹣β＜，＜α+2β＜，求α+β的取值范围．18．设关于x的不等式x（x﹣a﹣1）＜0（a∈R）的解集为M，不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集为N．（Ⅰ）当a=1时，求集合M；（Ⅱ）若M⊆N，求实数a的取值范围．19．解关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a≤0．20．已知关于x的不等式的解集为M．（1）当a=4时，求集合M；（2）若3∈M且5∉M，求实数a的取值范围．21．设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，求证：a＞0且﹣2＜＜﹣1．上海高一上半学期第二章不等式测试卷上参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）22可化为：或3．（2015春•重庆校级期末）已知四个条件，①b＞0＞a ②0＞a＞b ③a＞0＞b ④a ＞b＞0，能推出成立的有（），∴能推出，∴，因此能推出成立；，∴不能推出，∴，因此能推出能推出4．（2015•上海模拟）设a，b∈R，集合，则b﹣a=（）集合解：根据题意，集合，5．（2014•埇桥区校级学业考试）已知集合A={x|﹣2≤x≤7}，B={x|m+1＜x＜2m﹣1}且B≠∅，，进而则可得，解可得答则可得．7．（2013春•东安区校级期末）已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，则不等2的解集是的解集是，﹣，=﹣，，8．（2015•吉林校级模拟）集合P={x|＞0}，Q={x|y=}，则P∩Q=（）P={x|＞210．（2015•上海模拟）不等式＜1的解集是（）解：不等式＜即为或或二．填空题（共4小题）11．已知a=3x2﹣x+1，b=2x2+x﹣1，则a，b中较大的是a＞b．12．（2014•万州区校级模拟）不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣，），则a+b等于﹣14．，），为方程+=×=13．（2015•张家港市校级模拟）已知集合M={a，0}，N={x|2x2﹣3x＜0，x∈Z}，如果M∩N≠∅，则a=1．＜14．（2015•山东一模）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，则实数a的值为a=1．三．解答题（共7小题）15．（2013•西湖区校级模拟）求证：．：∵和只需证：整理得：16．（2012秋•库尔勒市校级期末）设x＜y＜0，试比较（x2+y2）（x﹣y）与（x2﹣y2）（x+y）的大小．17．（2011春•沙河口区校级期中）已知0＜α﹣β＜，＜α+2β＜，求α+β的取值范围．＜，及＜＜∴（+）（）（，（（，，），）18．（2014•和平区校级三模）设关于x的不等式x（x﹣a﹣1）＜0（a∈R）的解集为M，不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集为N．（Ⅰ）当a=1时，求集合M；（Ⅱ）若M⊆N，求实数a的取值范围．19．（2015春•恩施州期末）解关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a≤0．20．（2014春•纳雍县校级期末）已知关于x的不等式的解集为M．（1）当a=4时，求集合M；（2）若3∈M且5∉M，求实数a的取值范围．时，不等式化为时，不等式为时，时，不等式为21．（2011春•上饶县校级期中）设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，求证：a＞0且﹣2＜＜﹣1．＜＜﹣＞＞﹣＜。
马井堂-高中数学-专题-转化与化归思想
第四讲 转化与化归思想Z 知识整合hi shi zheng he一、转化与化归思想的含义转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法，一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．二、转化与化归的常见方法1．直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题． 2．换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．3．数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．4．等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的目的． 5．特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题的结论适合原问题．6．构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．7．坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径． 8．类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于探求． 9．参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的问题进行解决．10．补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集∁U A 使原问题获得解决，体现了正难则反的原则．命题方向1 特殊与一般的转化例1 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45.[思路探究] 看到a ，b ，c 成等差数列，可联想到等边三角形举特例求解． [解析] 显然△ABC 为等边三角形时符合题设条件，所以cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝cos60°＋cos60°1＋cos60°cos60°＝11＋14＝45.(2)已知f (x )＝33x ＋3，则f (－2018)＋f (－2017)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2019)＝2019.[思路探究] 看到求f (－2018)＋f (－2017)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2019)的值，想到求f (x )＋f (1－x )的值．[解析] f (x )＋f (1－x )＝33x ＋3＋331－x ＋3＝33x ＋3＋3x 3＋3x ＝3x ＋33x ＋3＝1，所以f (0)＋f (1)＝1，f (－2018)＋f (2019)＝1，所以f (－2018)＋f (－2017)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2019)＝2019. 『规律总结』 化一般为特殊的应用(1)常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等． (2)对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案．(3)对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．G 跟踪训练en zong xun lian1．AB 是过抛物线x 2＝4y 的焦点的动弦，直线l 1，l 2是抛物线两条分别切于A ，B 的切线，则l 1，l 2的交点的坐标为(0，－1).[解析] 找特殊情况，当AB ⊥y 轴时，AB 的方程为y ＝1，则A (－2,1)，B (2,1)，过点A 的切线方程为y －1＝－(x ＋2)，即x ＋y ＋1＝0.同理，过点B 的切线方程为x －y －1＝0，则l 1，l 2的交点为(0，－1)．2．已知数列{x n }满足x n ＋3＝x n ，x n ＋2＝|x n ＋1－x n |(n ∈N *)，若x 1＝1，x 2＝a (a ≤1，a ≠0)，则数列{x n }的前2019项和S 2019＝1346.[解析] 根据题意，特殊化可得x 3＝|x 2－x 1|＝|a －1|＝1－a (a ≤1，a ≠0)，则x 1＋x 2＋x 3＝2又因为x n ＋3＝x n ，所以x 4＝x 1，x 5＝x 2，x 6＝x 3，即x 4＋x 5＋x 6＝x 1＋x 2＋x 3＝2.同理，x 7＋x 8＋x 9＝2，x 10＋x 11＋x 12＝2，…，而2019＝673×3，则S 2019＝2×673＝1346.命题方向2 函数、方程、不等式之间的转化例2 已知e 为自然对数的底数，若对任意的x ∈[1e，1]，总存在唯一的y ∈[－1,1]，使得ln x －x ＋1＋a ＝y 2e y 成立，则实数a 的取值范围是( A )A ．[1e，e]B ．(2e，e]C ．(2e ，＋∞)D ．(2e ，e ＋1e)[解析] 设f (x )＝ln x －x ＋1＋a ，当x ∈[1e ，1]时，f ′(x )＝1－x x ≥0，f (x )是增函数，所以x ∈[1e ，1]时，f (x )∈[a －1e ，a ]；设g (y )＝y 2e y ，则g ′(y )＝e y y (y ＋2)，则g (y )在[－1，0)单调递减，在[0,1]单调递增，且g (－1)＝1e <g (1)＝e.因为对任意的x ∈[1e ，1]，存在唯一的y ∈[－1,1]，使得f (x )＝g (y )成立，所以[a －1e ，a ]⊆[0，e]，解得1e≤a ≤e.『规律总结』函数、方程与不等式相互转化的应用(1)函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助．(2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．G 跟踪训练en zong xun lian已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为(－23，1).[解析] 由题意得g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1，对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ φ(1)<0，φ(－1)<0即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0解得－23<x <1.故x 的取值范围是(－23，1)．命题方向3 正难则反的转化例3 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋(m2＋2)x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是( B )A ．(－5，－103)B ．(－373，－5)C ．(－5，－2)D ．(－5，＋∞)[解析] g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2， 若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，所以m ＋4≥2t －3t 恒成立，又t ∈[1,2]，则m ＋4≥21－3×1＝－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.所以函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.『规律总结』转化化归思想遵循的原则(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题． (2)简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．(3)直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，立体几何向平面几何问题转化)．(4)正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．G 跟踪训练en zong xun lian若抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝k (x －3)垂直平分，则k 的取值范围是( D )A ．(－∞，12]B ．(－∞，12)C ．(－12，＋∞)D ．[－12，＋∞)[解析] 设抛物线y ＝x 2上两点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)关于直线y ＝k (x －3)对称，AB 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 21＋x 222.由题设知x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，所以x 1＋x 22＝－12k .又AB 的中点P (x 0，y 0)在直线y ＝k (x －3)上，所以x 21＋x 222＝k (x 21＋x 222)＝k (x 1＋x 22－3)＝－6k ＋12，所以中点P (－12k ，－6k ＋12)．由于点P 在y >x 2的区域内，则－6k ＋12>(－12k )2，整理得(2k ＋1)(6k 2－2k ＋1)<0，解得k <－12.因此当k <－12时，抛物线y ＝x 2上存在两点关于直线y ＝k (x －3)对称，于是当k ≥－12时，抛物线y ＝x 2上存在两点关于直线y ＝k (x ＝3)对称．所以实数k 的取值范围是[－12，＋∞)．故选D ．。
7马井堂基本不等式-基础练习题
基本不等式基础练习题1．若两个正实数x，y满足=1，则x+2y的最小值是．2．已知x＞0，y＞0，且，则2x+3y的最小值为．3．设a＞0，b＞0．若是2a与2b的等比中项，则的最小值为．4．若两正数a，c满足a+2c+2ac=8，则ac的最大值为．5．已知x＞2，则+x的最小值为．6．已知x∈（0，3），则函数y=+的最小值为．7．已知实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+2y的最大值为．8．已知x，y∈R+，且xy2=8，则4x+y的最小值为．9．若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为．10．若正数x，y满足2x+y﹣3=0，则的最小值为．11．已知f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=3，则m+n的最小值是．12．已知a，b都是正实数，函数y=2ae x+b的图象过点（0，1），则的最小值是．13．已知正数x，y满足x+2y=2，则的最小值为．14．已知a＞b＞0，ab=1，则的最小值为．15．设x、y均为正实数，且，则xy的最小值为．16．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是．17．已知x，y∈R*且+=1，则xy的最小值是．18．已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为．19．已知log2x+log2y=1，则x+y的最小值为．20．已知正实数x，y满足（x﹣1）（y+1）=16，则x+y的最小值为．21．已知x，y∈R，且x+2y=1，则2x+4y的最小值是．22．己知x＞0，y＞0，且x+y++=5，则x+y的最大值是．23．若正数x，y满足x+3y=5xy，则x+y的最小值为．24．已知a，b，c，d∈R，且a2+b2=2，c2+d2=2，则ac+bd的最大值为．25．已知x＞0，y＞0，且x+2y=xy，则log4（x+2y）的最小值是．26．在等比数列{an }中，若S7=14，正数a，b满足a+b=a4，则ab的最大值为．27．已知函数f（x）=2x﹣1+1过定点A，且点A在直线l：mx+ny=1（m＞0，n＞0）上，则的最小值是．28．实数x、y满足x2+y2=4，则x+y﹣xy的最大值为．a b参考答案与试题解析一．填空题（共30小题）1．（2015•资阳模拟）若两个正实数x，y满足=1，则x+2y的最小值是8．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据=1可得x+2y=（x+2y）（），然后展开，利用基本不等式可求出最值，注意等号成立的条件．解答：解：∵两个正实数x，y满足=1，∴x+2y=（x+2y）（）=4+≥4+2=8，当且仅当时取等号即x=4，y=2，故x+2y的最小值是8．故答案为：8．点评：本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是“1”的活用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．2．（2013•东莞二模）已知x＞0，y＞0，且，则2x+3y的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把代入可得，2x+3y=（2x+3y）（）=+29，由基本不等式可得答案．解答：解：由题意可得2x+3y=（2x+3y）（）=+29≥2+29=29+6当且仅当，即x=，y=时取等号，故2x+3y的最小值为：故答案为：点评：本题考查基本不等式的应用，把代入原式构造可利用基本不等式的情形是解决问题的关键，属基础题．3．（2015•中山市二模）设a＞0，b＞0．若是2a与2b的等比中项，则的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用等比中项的性质、“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解答：解：由题意知，∴的最小值为4．故答案为：4．点评：本题考查了等比中项的性质、“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．4．（2015•德阳模拟）若两正数a，c满足a+2c+2ac=8，则ac的最大值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：两正数a，c满足a+2c+2ac=8，利用基本不等式的性质可得，化为，解出即可．解答：解：∵两正数a，c满足a+2c+2ac=8，∴，化为，∴≤0，解得，∴ac≤2，当且仅当a=2c=2取等号．∴ac的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，属于基础题．5．（2015•恩施州一模）已知x＞2，则+x的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x＞2，∴+x=+（x﹣2）+2≥=4，当且仅当x=3时取等号．故答案为：4．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．6．（2015•金家庄区模拟）已知x∈（0，3），则函数y=+的最小值为3．考点：基本不等式．专题：函数的性质及应用．分析：利用，当且仅当时取等号，x，y，m，n都为正数．解答：解：∵x∈（0，3），∴函数y=+≥=3，当且仅当，即x=1时取等号．点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．7．（2015•杭州一模）已知实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+2y的最大值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：x+2y=m，则x=m﹣2y代入x2+y2+xy=1，可得3y2﹣3my+m2﹣1=0，利用△≥0，解出即可．解答：解：设x+2y=m，则x=m﹣2y代入x2+y2+xy=1，可得3y2﹣3my+m2﹣1=0，∴△=9m2﹣12（m2﹣1）≥0，解得﹣2≤m≤2，∴x+2y的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、一元二次不等式的解法，属于基础题．8．（2015•衡阳模拟）已知x，y∈R+，且xy2=8，则4x+y的最小值为6．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵xy2=8，∴x=，∵x，y∈R+，∴4x+y=+≥3=6，当且仅当x=，y=4时取等号．∴4x+y的最小值为6．故答案为：6．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．9．（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=1，∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2，当且仅当x2=，即x=±时取等号，故答案为：2点评：本题考查基本不等式，属基础题．10．（2014•德州一模）若正数x，y满足2x+y﹣3=0，则的最小值为3．分析：由题意可知2x+y=3，所以想到把要求最小值的式子分子分母同时乘以3，把分子的3同时换成2x+y，展开后利用基本不等式可求最小值．解答：解：由2x+y﹣3=0，得2x+y=3，又∵x，y为正数，所以=．当且仅当x=y时取等号，因为2x+y﹣3=0，所以此时x=y=1．所以的最小值为3．故答案为3．点评：本题考查了基本不等式的应用，训练了学生灵活变形和处理问题的能力，解答此题的关键是对已知条件的灵活运用，属中档题．11．（2014•阳泉二模）已知f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=3，则m+n的最小值是7．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：计算题．分析：由题意得m＞2，n＞1，（m﹣2）（n﹣1）=4，再由基本不等式得=2≤=，变形可得m+n的最小值．解答：解：∵f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=3，m＞2，n＞1，∴log2（m﹣2）+log2（2n﹣2）=3，log2（m﹣2）2（n﹣1）=3，（m﹣2）2（n﹣1）=8，（m﹣2）（n﹣1）=4，∴=2≤=（当且仅当m﹣2=n﹣1=2时，取等号），∴m+n﹣3≥4，m+n≥7．故答案为：7．点评：本题考查对数的运算性质，基本不等式的应用．考查计算能力．12．（2014•日照一模）已知a，b都是正实数，函数y=2ae x+b的图象过点（0，1），则的最小值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把点（0，1）代入函数关系式即可得出a，b的关系，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵函数y=2ae x+b的图象过点（0，1），∴1=2a+b，∵a＞0，b＞0．∴==3+=，当且仅当，b=时取等号．故答案为．点评：熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．13．（2014•镇江一模）已知正数x，y满足x+2y=2，则的最小值为9．分析：利用“乘1法”和基本不等式即可得出．解答：解：∵正数x，y满足x+2y=2，∴===9，当且仅当x=4y=时取等号．∴的最小值为9．故答案为：9．点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．14．（2014•温州三模）已知a＞b＞0，ab=1，则的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：本题是基本不等式问题，可以利用a＞b＞0得到a﹣b＞0（正数），再利用条件ab为定值将a2+b2转化为（a﹣b）2与ab，化简后，运用基本不等式解决问题．解答：解：∵a＞b＞0，ab=1∴a﹣b＞0∴=当且仅当a﹣b=时取等号故答案为点评：本题主要考查了基本不等式的应用和转化化归的数学思想，注意不等式成立的条件（一正二定三相等）15．（2014•江西一模）设x、y均为正实数，且，则xy的最小值为16．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：将等式左边通分，化简等式后，使用基本不等式，化为关于的一元二次不等式，解出的范围．解答：解：∵x、y均为正实数，且，进一步化简得xy﹣x﹣y﹣8=0．x+y=xy﹣8≥2，令t=，t2﹣2t﹣8≥0，∴t≤﹣2（舍去），或t≥4，即≥4，化简可得xy≥16，∴xy的最小值为16．点评：本题考查基本不等式的应用，体现转化的数学思想，属于基础题．16．（2014•浙江模拟）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是4．考点：基本不等式；简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时取等号）则x+2y的最小值是 4故答案为：4．点评：此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b≥2在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．17．（2014•宿州三模）已知x，y∈R*且+=1，则xy的最小值是8．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由x，y∈R*且+=1，可得（y＞2），代入并利用基本不等式即可得出．解答：解：∵x，y∈R*且+=1，∴（y＞2）∴xy=y==+4=8，当且仅当y=4（x=2）时取等号．∴xy的最小值是8．故答案为：8．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．18．（2014•苏州一模）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式即可得出．解答：解：∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，∴（0＜x＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3﹣3=﹣3，当且仅当x=时取等号．∴x+y的最小值为．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．19．（2014•宝山区二模）已知log2x+log2y=1，则x+y的最小值为2．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由log2x+log2y=1，得出xy=2，且x＞0，y＞0；由基本不等式求出x+y的最小值．解答：解：∵log2x+log2y=1，∴log2（xy）=1，∴xy=2，其中x＞0，y＞0；点评：本题考查了对数的运算性质以及基本不等式的应用问题，解题时应注意基本不等式的应用条件是什么，是基础题．20．（2014•淮安模拟）已知正实数x，y满足（x﹣1）（y+1）=16，则x+y的最小值为8．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式即可得出．解答：解：∵正实数x，y满足（x﹣1）（y+1）=16，∴，∴x+y==8，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y的最小值为8．故答案为：8．点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．21．（2014•重庆三模）已知x，y∈R，且x+2y=1，则2x+4y的最小值是．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：首先判断2x＞0，4y＞0，然后知2x+4y≥2 =，即得答案．解答：解：由2x＞0，4y＞0，∴2x+4y≥2 =．所以2x+4y的最小值为故答案为：．点评：本题考查均值不等式的性质和应用，解题时要注意公式的正确应用．22．（2014•淄博三模）己知x＞0，y＞0，且x+y++=5，则x+y的最大值是4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式转化为一元二次不等式，解出即可．解答：解：∵x＞0，y＞0，且x+y++=5，∴=（x+y）+，令x+y=t＞0，上述不等式可化为t2﹣5t+4≤0，解得1≤t≤4，当且仅当x=y=2时取等号．因此t即x+y的最大值为4．故答案为：4．点评：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法、转化法，属于中档题．专题：常规题型；函数的性质及应用．分析：将x+3y=5xy转化为=1，再由x+y=（x+y），展开后利用基本不等式可求出x+y的最小值．解答：解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴．∴x+y=（x+y）≥．当且仅当，即时取等号，此时结合x+3y=5xy，得∴x+y≥，可知x+y的最小值为．故答案为．点评：本题为2012年浙江文科试题第（9）题的一个变式．容易做错，应注意等号成立的条件；“1”的替换是一个常用的技巧，应学会灵活运用．24．（2014•咸阳二模）已知a，b，c，d∈R，且a2+b2=2，c2+d2=2，则ac+bd的最大值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式即可得出．解答：解：==2，当且仅当a=c=b=d=1时取等号，∴ac+bd的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．25．（2014•荆州模拟）已知x＞0，y＞0，且x+2y=xy，则log4（x+2y）的最小值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据基本不等式求出xy≥8，然后利用对数的基本运算和对数的换底公式进行计算即可．解答：解：∵x＞0，y＞0，且x+2y=xy，∴x+2y=xy，平方得（xy）2≥8xy，解得xy≥8，∴log4（x+2y）=log4（xy），故答案为：点评：本题主要考查基本不等式的应用以及对数的基本计算，考查学生的计算能力．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用等比数列的通项公式和基本不等式即可得出．解答：解：设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q．∵S7=14=+=a4≥a4×（2+2+2+1），∴a4≤2．∵正数a，b满足a+b=a4，∴2≥a4=a+b，解得ab≤1，当且仅当a=b=1时取等号．此时ab的最大值为1．故答案为：1．点评：本题考查了等比数列的通项公式和基本不等式，属于中档题．27．（2014•淮南二模）已知函数f（x）=2x﹣1+1过定点A，且点A在直线l：mx+ny=1（m＞0，n＞0）上，则的最小值是4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用20=1可得函数f（x）=2x﹣1+1过定点A（1，2），由于点A在直线l：mx+ny=1（m＞0，n＞0）上，可得m+2n=1．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵f（1）=20+1=2，∴函数f（x）=2x﹣1+1过定点A（1，2），由点A在直线l：mx+ny=1（m＞0，n＞0）上，∴m+2n=1．∴=（m+2n）=2+=4，当且仅当m=2n=取等号，∴的最小值是4．故答案为：4．点评：本题考查了指数的运性质和基本不等式的性质，属于中档题．28．（2014•宁波模拟）实数x、y满足x2+y2=4，则x+y﹣xy的最大值为．考点：基本不等式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由实数x、y满足x2+y2=4，利用三角函数代换x=2cosθ，y=2sinθ．令t=sinθ+cosθ=（θ∈[0，2π）），，可得2sinθcosθ=t2﹣1．x+y﹣xy=2cosθ+2sinθ﹣4sinθcosθ=，再利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：∵实数x、y满足x2+y2=4，∴可设x=2cosθ，y=2sinθ．则t2=1+2sinθcosθ，可得2sinθcosθ=t2﹣1．∴x+y﹣xy=2cosθ+2sinθ﹣4sinθcosθ=2t﹣2（t2﹣1）=，当且仅当时，x+y﹣xy取得最大值为．故答案为：．点评：本题考查了圆的参数方程、三角函数代换、三角函数基本关系式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了转化方法和计算能力，属于中档题．29．（2014•济南二模）已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的取值范围是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由于直线ax+by=1经过点（1，2），可得a+2b=1．再利用基本不等式和指数的运算性质即可得出．解答：解：∵直线ax+by=1经过点（1，2），∴a+2b=1．∴2a+4b≥==2．当且仅当2a=4b，a+2b=1，即a=，b=时取等号．∴2a+4b的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式和指数的运算性质，属于中档题．30．（2013•石景山区二模）已知正数a，b，c满足a+b=ab，a+b+c=abc，则c的取值范围是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由正数a，b，c满足a+b=ab，利用基本不等式即可得出ab≥4．由a+b+c=abc，变形为即可得出．解答：解：∵正数a，b，c满足a+b=ab，∴，化为，∴，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，∴ab∈[4，+∞）．∵a+b+c=abc，∴ab+c=abc，∴c==．∵ab≥4，∴，∴．∴c的取值范围是．故答案为．点评：恰当变形利用基本不等式的性质和不等式的基本性质是解题的关键．。
马井堂-高三数学椭圆的几何性质1
《椭圆的几何性质》说课稿苏教版《普通高中课程标准实验用书》选修2－1 第二章第2节教学设计依据★奥苏贝尔认知学习理论：能否有效地学习，取决于学生认知结构中已有的观念，其关键是要能在新信息与学习者原有认知结构相关观念之间建立起非人为的实质性联系。
数学学习的过程，就是个体数学认知结构不断完善的过程，建构良好的数学认知结构是以良好的知识结构为前提的。
施教者应向学生呈现一种与个体已有观念有广泛联系的知识。
★《数学课程标准》指出：数学教育要以有利于学生的全面发展为中心；以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为基本点。
下面我从四个方面对这节课的设计做一个说明。
教学内容地位和作用研究椭圆的几何性质是解析几何基本思想的具体体现，也是对用代数方法研究直线的某些性质的一种平行发展，当然也是为即将研究双曲线、抛物线的几何性质奠定基础。
课时设计考虑到对椭圆的性质有较多的拓展，本节内容我把它分成两课时完成，第一课时主要解决范围、对称性、顶点等问题，第二课时完成椭圆的离心率和椭圆性质的简单综合运用教学，将难点分散，学生更容易掌握所学的知识和方法。
教学重点知识点的学习自然是教学重点，但为了向学生呈现一种与他们的已有观念有广泛联系的知识结构，向学生提供有价值的数学知识，还要着眼于椭圆几何性质知识结构的建立，进一步加深对解析几何基本思想的理解。
教学目标★知识与技能：初步理解椭圆的几何性质。
★过程与方法：利用类比、联想等方法，让学生迅速获得椭圆的几何性质的意义。
★情感、态度与价值观：培养学生思维品质，激发学生学习数学的热情。
教学难点椭圆几何性质在整个平面解析几何中的地位以及它的知识构成成分，是本节课的第一个难点。
突破这个难点，学生将获得良好的数学知识结构，有利于后继的双曲线、抛物线的学习。
具体的研究方法，如不等式法（反解法）、三角代换法、对称性、顶点的研究方法等，这些方法的引入及合理运用，是本节课的第二个难点，需要设计相关的问题，调动学生已有的知识，与新知识建立非人为的实质性联系，迅速激活学生的思维，从而达到突破难点和解决问题的目的。
马井堂-最经典高中数学-不等式的性质及解不等式
不等式的性质及解不等式例1 (1)(2018·保定一模)下列三个不等式：①x ＋1x≥2(x ≠0)；②c a <c b (a >b >c >0)；③a ＋m b ＋m >a b (a ，b ，m >0且a <b )，恒成立的个数为( B )A ．3B ．2C ．1D ．0[解析] 当x <0时，①不成立；由a >b >c >0得1a <1b，所以c a <c b 成立，所以②恒成立；a ＋mb ＋m －a b ＝m b －a b b ＋m ，由a ，b ，m >0且a <b 知a ＋mb ＋m －a b >0恒成立，故③恒成立． (2)(2018·衡阳一模)已知一元二次不等式f (x )≤9的解集为{x |x ≤12或x ≥3}，则f (e x )>0的解集为( D ) A ．{x |x <－ln 2或x >ln 3} B ．{x |ln2<x <ln3}C ．{x |x <ln3}D ．{x |－ln2<x <ln3}[解析] 由题意可知，一元二次不等式所对应的二次函数的图象开口向下，故f (x )>0的解集为{x |12<x <3}，又因为f (e x )>0，所以12<e x <3，解得－ln2<x <ln3. 『规律总结』解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．(3)有函数背景的不等式：灵活利用函数的性质(单调性、奇偶性、对称性等)与图象求解．G 跟踪训练en zong xun lian1．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( C )A ．1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0C ．(12)x －(12)y <0D ．ln x ＋ln y >0[解析] 因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(x ＋y )＝ln1＝0，排除D ．故选C ．2．已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( D )A ．1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3 [解析] 根据指数函数的性质得x >y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知选项D 中的不等式恒成立．3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a的取值范围是[解析] 由题意⎩⎨⎧ f a <0，f 2a ＋fa ≤2或⎩⎨⎧ f a ≥0，－f 2a ≤2解得f (a )≥－2，所以⎩⎨⎧ a <0，a 2＋a ≥－2或⎩⎨⎧ a ≥0，－a 2≥－2解得a ≤ 2.。
马井堂-不等式1(教师用)
不等关系与不等式一、知识要点：1．任意两个实数的大小比较： （1）作差法：对任意实数,a b 有b a b a >⇔>-0；b a b a =⇔=-0；b a b a <⇔<-0 （2）作商法： 2．不等式的基本性质：（1）c a c b b a >⇒>>, （2）,a b c d a c >>⇒+>____ （3）bc ac c b a >⇒>>0, （4）,0a b c acbc ><⇒（5）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 （6）b a >，0>ab ⇒________（7）*0,na b n N a >>∈⇒>___ （8）)2,(0≥∈>⇒>>+n N n b a b a n n不等式的基本性质主要用于不等式的证明，也是解不等式的基础。
二、例题讲评：例1．（1）设0x y <<，比较22()()x y x y +-与22()()x y x y -+的大小；（作差法） 例2．已知31<+<-b a ，42<-<b a ，求b a 32+的取值范围。
解：设y b a x b a =-=+,，则)(21y x a +=，)(21y x b -= 于是y x y x y x b a 2125)(23)(32-=-++=+由42,31<<<<-y x ，得2152525<<-x ，122-<-<-y21322529<-<-y x ，即2133229<+<-b a 所以b a 32+的取值范围是)213,29(-三、练习题1．已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是A . 22a b < B.22a b ab < C.220a b-< D.11a b> 2．已知,,,a b c d 为实数，且c d >。
马井堂0-高三数学含绝对值的不等式
高三数学第一轮复习讲义（43）含绝对值的不等式一．复习目标： 1．理解含绝对值的不等式的性质，及其中等号成立的条件，能运用性质论证一些问题；2．会解一些简单的含绝对值的不等式．二．知识要点：1．含绝对值的不等式的性质：①||||||||||a b a b a b -≤+≤+，当 时，左边等号成立；当 0 ab ≥时，右边等号成立．②||||||||||a b a b a b -≤-≤+，当 时，左边等号成立；当 时，右边等号成立．③进而可得：||||||||||a b a b a b -≤±≤+．2．绝对值不等式的解法：①0a >时，|()|()()f x a f x a f x a >⇔><-或；|()|()f x a a f x a <⇔-<<； ②去绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法；③根据绝对值的几何意义，通过数形结合解绝对值不等式．三．课前预习：1．不等式|lg ||||lg |x x x x -<+的解集为 （ ）()A (0,)+∞ ()B (0,1) ()C (1,)+∞()D (1,10) 2．不等式1|21|2x ≤-<的解集为 （ ）()A 13(,0)[1,)22- ()B 13{01}22x x -<<≤≤且 ()C 13(,0][1,)22- ()D 13{01}22x x -<≤≤<且 3．()f x 为R 上的增函数，()y f x =的图象过点(0,1)A -和下面哪一点时，能确定不等式|(1)|1f x -<的解集为{|14}x x << （ ）()A (3,1) ()B (4,1) ()C (3,0) ()D (4,0)4．已知集合{||1|}A x x a =-≤，{||3|4}B x x =->，且A B φ=，则a 的取值范围是 ． 5．设有两个命题：①不等式|||1|x x m +->的解集是R ；②函数()(73)xf x m =--是减函数，如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则实数m 的取值范围是 ．四．例题分析：例1．已知01x <<，01a <<，试比较|log (1)|a x -和|log (1)|a x +的大小．例2．求证：||||||1||1||1||a b a b a b a b +≤+++++．例3．设,,a b c R ∈，已知二次函数2()f x ax bx c =++，2()g x cx bx a =++，且当||1x ≤时，|()|2f x ≤，（1）求证：|(1)|2g ≤；（2）求证：||1x ≤时，|()|4g x ≤．例4．设m 等于||a 、||b 和1中最大的一个，当||x m >时，求证：2||2a b x x +<．五．课后作业： 班级 学号 姓名1．若,a b R ∈，且||||a c b -<，则 （ ）()A ||||||a b c <+ ()B ||||||a b c >- ()C a b c<+ ()D a b c >- 2．若0m >，则||x a m -<且||y a m -<是||2x y m -<的 （ ）()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充要条件 ()D 既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 、()g x ，设不等式|()||()|f x g x a +<(0)a >的解集是M ，不等式|()()|f x g x a +<(0)a >的解集是N ，则集合M 、N 的关系是（ ） ()A N M ≠⊂ ()B M N = ()C M N ⊆ ()D M N ≠⊂ 4．不等式||22x x x x≥++的解集是 ． 5．不等式|4||3|x x a -+-<的解集不是空集，则a 的取值范围是 ．6．若实数,a b 满足0ab >，则①||||a b a +>；②||||a b b +<；③||||a b a b +<-；④||||a b a b +>-．这四个式子中，正确的是 ．7．解关于x 的不等式2||x a a -<（a R ∈）．8．解不等式：（1）2|1121|x x x -+>；（2）|3||21|12x x x +-->+．9．设有关于x 的不等式lg(|3||7|)x x a ++->，（1）当1a =时，解这个不等式；（2）当a 为何值时，这个不等式的解集为R ．10．设二次函数2()f x ax bx c =++对一切[1,1]x ∈-，都有|()|1f x ≤，求证：（1）||1a c +≤；（2）对一切[1,1]x ∈-，都有|2|4ax b +≤．。
马井堂-中考-不等式师生共用讲学稿3
内容：复习专题一（不等式）课型：复习 时间：11年01月学习目标：1.不等式的有关概念2、不等式，不等式组的解法3.不等式的应用基础与巩固：【课前预习】（一）：【知识梳理】1．不等式：用不等号（＜、≤、＞、≥、≠）表示 的式子叫不等式。
2．不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去） ，不等号的 ．（2）不等式的两边都乘以（或除以） ，不等号的 ．（3）不等式的两边都乘以（或除以） ，不等号的方向 ．3．不等式的解：能使不等式成立的 的值，叫做不等式的解．4．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的 ，组成这个不等式的解集．5．解不等式：求不等式 的过程叫做解不等式．6．一元一次不等式：只含有 ，并且未知数的最高次数是 ，系数不为零的不等式叫做一元一次不等式．7．解一元一次不等式易错点：（1）不等式两边部乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变，这是同学们经常忽略的地方，一定要注意；（2）在不等式两边不能同时乘以0．8．一元一次不等式的解法：解一元一次不等式的步骤：① ，② ，③ ，④ ，⑤ （不等号的改变问题）9．求不等式（组）的正整数解或负整数解等特解时，可先求出这个不等式（组）的所有解，再从中找出所需特解．10．一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．11．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的 ，叫做这个一元一次不等式组的解集．12．解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．13．一元一次不等式组的解．（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即这个不等式的解。
（口诀：同大取大，同小取小；大于小的小于大的，取两者之间；大于大的小于小的，无解。
）14.不等式组的分类及解集(a ＜b ）．（二）：【课前练习】1. 下列式子中是一元一次不等式的是（ ）A.-2>-5B.x 2>4C.xy>0D.2x –x< -1 2．下列说法正确的是（ ）A.不等式两边都乘以同一个数，不等号的方向不变；B.不等式两边都乘以同一个不为零的数，不等号的方向不变；C.不等式两边都乘以同一个非负数，不等号的方向不变；D.不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；3. 关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图所示，则a 的取值是（ ）A.0B.－3C.－2D.－14. 不等式2x ≥x+2的解集是_________．5. 把不等式组x+1>0x-10⎧⎨≤⎩的解集表示在数轴上，确的是图中的（ ）探索活动：（一）独立思考-解决问题1、不等式组2133x x +⎧⎨>-⎩≤的解集在数轴上表示正确的是 （ ）【关键词】不等式组的解法2、请你写出一个满足不等式612<-x 的正整数x 的值：____________。
马井堂-20道中考填空题
1123520道填空题1、已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧--0x230a x ＞＞的整数解共有6个，则a 的取值范围是。
解：不等组解为：a ＜x ＜32，不等式x ＜32的6个整数解为：1，0，－1，－2，－3，－4，故－5≤a ＜－42、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和。
现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如下正方形：再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个,正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④.相应矩形的周长如下表所示：若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是＿＿＿＿＿＿＿。
4663、如图6，45AOB ∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1357911，，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为1234S S S S ，，，，． 观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积10S = ．764、已知如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10,0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当ODP ∆是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为____________。
（2，4），（3，4）或（8，4）0 1 3 5 7 9 11 13图65、已知如图，AB 为圆O 的直径，AB=AC ，BC 交圆O 于点D ，AC 交圆O 于点E ，045=∠BAC ，给出以下五个结论：（1）05.22=∠EBC ；（2）BD=DC ；（3）AE=2EC ；（4）EBD ABE ∠=∠2；（5）AE=BC 。
其中正确结论的序号________1，2，4________________。
6、如图，已知双曲线)0(>=x xky 经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k=________。
马井堂-中考--一元二次方程师生共用讲学稿4
内容：复习专题（一元二次方程）课型：复习 时间：11年01月 学习目标：1.一元二次方程的解法2、一元二次方程根的判别式、根与系数的关系3.一元二次方程的应用基础与巩固：【课前预习】（一）：【知识梳理】1. 一元二次方程：只含有一个 ，且未知数的指数为 的整式方程叫一元二次方程。
它的一般形式是 （其中 、 ）它的根的判别式是△= ；当△＞0时，方程有 实数；当△=0时，方程有 实数根；当△＜0时，方程有 实数根；一元二次方程根的求根公式是 、（其中 ）2．一元二次方程的解法：⑴ 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上 的绝对值一半的平方；④化原方程为2(x+m)=n 的形式；⑤如果n 0≥就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。
它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是 2(40)b ac -≥注意：用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化为 。
⑶ 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做 ．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．3．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x 的方程（k 2－1）x 2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a 、b 、c 的值；③求出b 2－4ac 的值；④若b 2－4ac ≥0，则代人求根公式，求出x 1 ,x 2．若b 2－4a ＜0，则方程无解．⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法． （二）：【课前练习】1. 用直接开平方法解方程2(3)8x -=，得方程的根为（ ）A. 3x =+ 1233x x =+=-C. 3x =-D. 1233x x =+=-2. 方程2(1)0x x -=的根是（ ）A ．0B ．1C ．0，－1D ．0，13. 设(1)(2)0x x --=的两根为12x x 、，且1x ＞2x ，则122x x -＝ 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
方程与不等式
(河南08）5.如果关于x的一元二次方程k2x2－(2k＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）
A. k＞－
B. k＞－且k≠0
C. k＜－
D. k≥－且
k≠0
(河南11）13、在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划面积是1800cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程为.
(河南11）解不等式组并把解集在已画好的数轴上表示出来。
(河南08）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，且(1) 求k的值；（2）求的值。
20、（本题满分9分）
(河南08）在暴雨到来之前，武警某部承担了一段长150米的河堤加固任务，加固40米后，接到上级抗旱防汛指挥部的指示，要求加快施工进度，为此，该部队在保证施工质量的前提下，投入更多的兵力，每天多加固15米，这样一共用了3天完成了任务。
问接到指示后，该部队每天加固河堤多少米？
(河南10）20．（9分）为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过1600元的资金再购买一批篮球和排球．已知篮球和排球的单价比为3:2．单价和为80元．
（1）篮球和排球的单价分别是多少元？
（2）若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的篮球数量多于25个，有哪几种购买方案？
(河南11）21. (10分)某旅行杜拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准如下：
人数m 0<m≤100 100<m≤200 m>200 收费标准(元/人) 90 85 75 甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动.已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人．经核算，若两校分别组团共需花费10 800元，若两校联合组团只需花赞18 000元.
(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和赳过200人吗?为什么？
(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人?
(河南09）2.不等式﹣2x<4的解集是【】（A）x>﹣2 （B）x<﹣2 (C) x>2 (D) x<2
(河南09）4.方程2x=x的解是【】（A）x=1 （B）x=0
(C) x1=1 x2=0 (D) x1=﹣1 x2=0
(河南10）2. (10分)某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共l5台.三种家电的进价和售价如下表所示：
(1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案?
(2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13％领取补贴.在(1)的条件下．
如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元?。