3.1.2 瞬时变化率——导数(2)
高中数学第一章导数及其应用1.1.2瞬时变化率--导数学案苏教版选修2
1.1.2 瞬时变化率——导数导数定义求函数的导函数.1．瞬时速度(1)在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为__________．(2)一般地，如果当Δt __________0时，运动物体位移s (t )的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt无限趋近于一个______，那么这个______称为物体在t ＝t 0时的__________，也就是位移对于时间的____________．预习交流1做一做：如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3 s 时的瞬时速度为__________． 2．瞬时加速度一般地，如果当Δt __________时，运动物体速度v (t )的平均变化率v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt无限趋近于一个_______，那么这个________称为物体在t ＝t 0时的_________，也就是速度对于时间的____________．3．导数(1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx无限趋近于一个______A ，则称f (x )在x ＝x 0处______，并称该______A 为函数f (x )在x ＝x 0处的______，记为______．(2)导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的________． (3)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的________，记作________．预习交流2做一做：设函数f (x )可导，则当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于__________．预习交流3做一做：函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是__________．预习交流4利用导数求曲线切线方程的步骤有哪些？预习导引1．(1)平均速度 (2)无限趋近于 常数 常数 瞬时速度 瞬时变化率预习交流1：提示：s (3＋Δt )＝3(3＋Δt )2＝3[9＋6Δt ＋(Δt )2]＝27＋18Δt ＋3(Δt )2.s (3)＝3×32＝27.Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝18Δt ＋3(Δt )2， ∴Δs Δt ＝18＋3Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt→18. 2．无限趋近于0 常数 常数 瞬时加速度 瞬时变化率3．(1)常数 可导 常数 导数 f ′(x 0) (2)斜率 (3)导函数 f ′(x )预习交流2：提示：f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13·f (1＋Δx )－f (1)Δx，当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)，∴原式＝13f ′(1)．预习交流3：提示：∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝(Δx )21＋Δx.∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx →0，即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0. 预习交流4：提示：利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)； (3)将所得切线方程化为一般式．一、求瞬时速度一辆汽车按规律s ＝at 2＋1做直线运动，当汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度为12 m/s ，求a .思路分析：先根据瞬时速度的求法得到汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度的表达式，再代入求出a 的值．1．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2.其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是__________．2．子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出时所用的时间为t 0＝1.6×10－3s ．求子弹射出枪口时的瞬时速度．根据条件求瞬时速度的步骤：(1)探究非匀速直线运动的规律s ＝s (t )；(2)由时间改变量Δt 确定路程改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；(3)求平均速度v ＝ΔsΔt；(4)运用逼近思想求瞬时速度，当Δt →0时，ΔsΔt→v (常数)．二、利用导数的定义求函数的导数已知f (x )＝x 2－3.(1)求f (x )在x ＝2处的导数； (2)求f (x )在x ＝a 处的导数．思路分析：根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键．1．若函数f (x )＝ax －2在x ＝3处的导数等于4，则a ＝__________.2．(1)求函数f (x )＝1x ＋1在x ＝1处的导数；(2)求函数f (x )＝2x 的导数．结合函数，先求出Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，再求ΔyΔx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx →0时，求ΔyΔx 的值，即f ′(x 0)．三、导数的几何意义已知y ＝2x 3上一点A (1,2)，求点A 处的切线斜率．思路分析：为求得过点(1,2)的切线斜率，可以从经过点(1,2)的任意一条直线(割线)入手．1．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为__________．2．已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程．1．导数的几何意义是指：曲线y ＝f (x )在(x 0，y 0)点处的切线的斜率就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值．2．运用导数的几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否是在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处的曲线的切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率．3．若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解．1．若一物体的运动方程为s ＝2－12t 2，则该物体在t ＝6时的瞬时速度为__________．2．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为__________． 3．函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为__________．4．一质点按规律s ＝2t 3运动，则t ＝2时的瞬时速度为__________．5．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)＝__________.答案：活动与探究1：解：∵s ＝at 2＋1，∴s (2＋Δt )＝a (2＋Δt )2＋1＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1.于是Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1－(4a ＋1)＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2，∴Δs Δt ＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2Δt＝4a ＋a ·Δt . 当Δt →0时，ΔsΔt→4a ，依题意有4a ＝12，∴a ＝3. 迁移与应用：1．5 m/s 解析：s (3＋Δt )＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2＝(Δt )2＋5Δt ＋7，所以s (3＋Δt )－s (3)＝(Δt )2＋5Δt ， 故s (3＋Δt )－s (3)Δt＝Δt ＋5，于是物体在3 s 末的瞬时速度，即Δt →0时，ΔsΔt→5(m/s)．2．解：运动方程为s ＝12at 2.∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0·Δt ＋12a ·(Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a ·Δt ，∴Δt →0时，ΔsΔt→at 0. 由题意知a ＝5×105(m/s 2)，t 0＝1.6×10－3(s)，故at 0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.活动与探究2：解：(1)因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－3－(22－3)Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4.(2)因为Δy Δx ＝f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝(a ＋Δx )2－3－(a 2－3)Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .迁移与应用：1．4 解析：由题意知f ′(3)＝4，而f ′(3)＝Δy Δx ＝a (3＋Δx )－2－(3a －2)Δx＝a ，当Δx →0时，ΔyΔx→a ，故a ＝4.2．解：(1)(导数定义法)∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝12＋Δx －12＝－Δx 2(2＋Δx )，∴ΔyΔx＝－12(2＋Δx )，从而Δx →0时，2＋Δx →2，∴f (x )在x ＝1处的导数等于－14.(导函数的函数值法)∵Δy ＝1x ＋Δx ＋1－1x ＋1＝－Δx (x ＋Δx ＋1)(x ＋1)，∴ΔyΔx＝－1(x ＋Δx ＋1)(x ＋1)，从而Δx →0时，Δy Δx →－1(x ＋1)2，于是f ′(1)＝－1(1＋1)2＝－14.(2)∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝2x ＋Δx －2x ，∴Δy Δx ＝2x ＋Δx －2x Δx ＝(2x ＋Δx －2x )(x ＋Δx ＋x )Δx (x ＋Δx ＋x )＝2x ＋Δx ＋x，从而Δx →0时，Δy Δx →1x.活动与探究3：解：设A (1,2)，B (1＋Δx,2(1＋Δx )3)，则割线AB 的斜率为k AB ＝2(1＋Δx )3－2Δx ＝6＋6Δx ＋2(Δx )2，当Δx 无限趋近于0时，k AB 无限趋近于常数6，从而曲线y ＝2x 3在点A (1,2)处的切线斜率为6.迁移与应用：1．x －y －1＝0 解析：∵y ＝14x 2，Δy ＝14(2＋Δx )2－14×22＝Δx ＋14(Δx )2，Δy Δx＝1＋14Δx ， ∴当Δx →0时，Δy Δx →1，即f ′(2)＝1，由导数的几何意义得抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线的斜率为1.∴切线方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0.2．解：因为Δy Δx ＝3(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(3×12－1)Δx＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0. 当堂检测1．－6 解析：Δs Δt ＝s (6＋Δt )－s (6)Δt ＝2－12(6＋Δt )2－(－16)Δt ＝－12Δt －6，∴当Δt →0时，ΔsΔt→－6.2．45° 解析：∵Δy Δx ＝12(1＋Δx )2－2－12×1＋2Δx ＝Δx ＋12(Δx )2Δx ＝1＋12Δx ，当Δx无限趋近于0时，1＋12Δx 无限趋近于1，∴曲线y ＝12x 2－2在点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线斜率为1，∴倾斜角为45°.3．－3 解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，Δy Δx ＝－3，则Δx 趋于0时，ΔyΔx＝－3.∴f (x )在x ＝2处的导数为－3.4．24 解析：Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝2(2＋Δt )3－2×23＝2×[8＋6(Δt )2＋12Δt ＋(Δt )3]－16＝24Δt ＋12(Δt )2＋2(Δt )3， ∴Δs Δt ＝24＋12Δt ＋2(Δt )2，则当Δt →0时，Δs Δt →24. 5．98解析：由题图可知，直线l 的方程为9x ＋8y －36＝0. 当x ＝2时，y ＝94，即f (2)＝94.又切线斜率为－98，即f ′(2)＝－98，∴f (2)＋f ′(2)＝98.欢迎您的下载，资料仅供参考！。
3.1.2-3.1.3 瞬时速度与导数 导数的几何意义全面版
3.“Δx→0”的意义. 剖析:Δx与0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给定的任意 小的正数,但始终有Δx≠0.
题型一
题型二
题型三
题型四
导数的定义
【例1】 已知函数y=f(x)在点x0处可导,试求下列各极限的值.
(1) lim
Δ ������ →0
f(x0-���������x���x)-f(x0);
f(x0+������������xx)-f(x0)=l”.
名师点拨(1)运动的瞬时速度就是路程函数y=s(t)的瞬时变化率.
(2)运动的瞬时加速度就是速度函数y=v(t)的瞬时变化率.
【做一做1】 一质点作直线运动,其位移s与时间t的关系是s=3t-
t2,则质点的初速度为
.
解析:质点的初速度即为s=3t-t2在t=0处的瞬时变化率.
答案:4
1.如何求函数y=f(x)在点x0处的导数? 剖析:(1)求函数值的改变量Δy;
(2)求平均变化率ΔΔ������������; (3)取极限得导数 f'(x0)=Δl���i���m→0 ������������yx.
2.“函数在一点处的导数”“导函数”“导数”三者之间有何区别与联
系?
剖析(1)函数在一点处的导数f'(x0)是一个常数,不是变量. (2)函数的导数是针对某一区间内任意点x而言的.函数f(x)在区间
【做一做4】 曲线y=x2在点(2,4)处的切线的斜率为
.
解析:曲线y=x2在点(2,4)处的切线的斜率就是函数y=x2在x=2处
的导数.
因此其斜率
k= lim
Δ ������ →0
(2+������x)2-22 ������x
第三章 3.1.2瞬时速度与导数
导
数
3.1.2 瞬时速度与导数
学习目标
1.理解从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.
2.了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数.
3.掌握函数在某一点处的导数的定义.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
思考1
答案
瞬时变化率
物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，试求物体在[1,1＋Δt]这
Δs ∴Δ lim ＝ lim (2 t 0＋1＋Δt)＝2t0＋1. → → t 0 Δt Δt 0
则2t0＋1＝9，∴t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
解答
反思与感悟
(1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导
致无从下手解答本题的常见问题. (2)求运动物体瞬时速度的三个步骤 ①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0). Δs ②求平均速度 v ＝ Δt .
f′(100)＝－0.6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的
速度为0.6 μg/(mL· min).
解答
达标检测
1.如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那
么其在1.2 s末的瞬时速度为
A.－4.8 m/s √
C.0.88 m/s 解析
B.－0.88 m/s
Δs ③求瞬时速度，当 Δt 无限趋近于 0 时， Δt 无限趋近于的常数 v 即为 瞬时速度，即 v＝s′(t0).
跟踪训练 2
一质点M按运动方程 s(t) ＝at2＋1做直线运动 ( 位移单位： m，
时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值. 解 质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率.
高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念3.1.2瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1(2021
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3.1。
2 瞬时变化率—导数学习目标：1。
理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)[自主预习·探新知］1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。
当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x处的导数,记作f′（x0）．5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．[基础自测］1．判断正误：(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。
瞬时变化率——导数课件
随着数学与其他学科的交叉融 合，导数的应用将更加深入和 广泛，为解决实际问题提供更 加有效的工具。
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隐函数导数计算
总结词
掌握隐函数的求导方法
详细描述
隐函数的导数可以通过对等式两边同 时求导来获得，注意处理复合变量和 函数之间的关系。
高阶导数计算
总结词
理解高阶导数的概念和计算方法
详细描述
高阶导数表示导数在研究函数的极值、拐点等问题中有重 要应用。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率。
详细描述
在二维平面坐标系中，函数图像上某一点的切线斜率即为该点的导数值。导数可 以用来判断函数在该点的增减性以及变化趋势。
导数与瞬时速度的关系
总结词
导数与瞬时速度之间存在密切联系。
详细描述
在物理和工程领域中，瞬时速度的概念常常用到。瞬时速度可以理解为物体在某一时刻的运动速度，这个速度是 通过物体在该点的加速度与时间的变化率来计算的，而加速度的变化率即为该点的导数。因此，导数可以用来描 述瞬时速度的变化趋势。
要点二
详细描述
在实际问题中，经常需要解决一些优化问题，如最大利润 、最小成本等。通过建立数学模型，将实际问题转化为数 学问题，并利用导数研究函数的性质，可以找到最优解， 为实际问题的解决提供有效的途径。
04
导数的物理意义与经济学意义
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体运动的速度和 加速度，例如自由落体运动中，物体 的速度和加速度可以通过对高度关于 时间的函数求导得到。
导数在其他领域的应用
工程学
在工程学中，导数可以用来描述机械运动的 规律，例如在机械振动中，物体的振动频率 和振幅可以通过对位移关于时间的函数求导 得到。
21-22版：3.1.1 变化率问题~3.1.2 导数的概念（步步高）
学核心素养.
3 随堂演练
PART THREE
1.f(x)＝2x＋1在[1,2]内的平均变化率为
A.0
B.1
√C.2
D.3
解析 f(x)＝2x＋1 在[1,2]上的平均变化率为ΔΔxy＝f22－－1f1＝2.
12345
2.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是
√A.－1
B.1
C.2
D.－2
反思 感悟
求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1). (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1.
跟踪训练1 已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点
B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则
2 题型探究
PART TWO
一、函数的平均变化率
命题角度1 求函数的平均变化率 例1 求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值为 1，哪一点附
3 近的平均变化率最大？
解 在x＝1附近的平均变化率为 k1＝f1＋ΔΔxx－f1＝1＋ΔΔxx2－1＝2＋Δx； 在x＝2附近的平均变化率为 k2＝f2＋ΔΔxx－f2＝2＋ΔΔxx2－22＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均变化率为 k3＝f3＋ΔΔxx－f3＝3＋ΔΔxx2－32＝6＋Δx. 若 Δx＝13，则 k1＝2＋31＝37，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝139， 由于k1<k2<k3，故在x＝3附近的平均变化率最大.
lim
Δt→0
ΔΔst＝Δlitm→0
(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1，
则2t0＋1＝9，∴t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
高二年级-数学-《瞬时变化率(二)》
2.若曲线y＝f(x)上的某一点有切线，是否函数在这个自变量处可导？
例如f (x) 3 x, 在(0, 0)处
y 3 0 x 3 0 1 ，
x
x
(3 x )2
当x 0时，y ，不可导.
x
解题感悟 1.求曲线的切线方程，首先判断给出的点P是否是切点，明确求的 是在点P处的切线还是过点P的切线.
在不引起混淆时，导函数 f (x) 也简称为 f (x)的导数 ．
数学应用
例 1(3) 求函数f(x)=3x2-2x的导数.
解：因为 y 3(x x)2 2(x x) (3x2 2x) 6xx 3(x)2 2x，
所以 y 6xx 3(x)2 2x 6x 2 3x,
x
x
记作 f ( x0 )．
概念理解 1．函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在． 2．在导数的定义中，Δx趋近于0，Δx可正、可负，但不为0，而Δy可能为0.
y
3. x 是函数y＝f(x)对自变量 x在 x 范围内的平均变化率，它的几何意义 是过曲线y＝f(x)上点 (x0 , f (x0 )) 及点 (x0 x, f (x0 x)) 的割线斜率.
4.导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x0及其附近的函数值有关，与Δx 无关.
概念建构
二.导数 f (x0 ) 的几何意义： 曲线y=f(x)在点 P(x0, f (x0 ))处的切线的斜率，如下图
P x0
三.用导数定义求函数y＝f(x)在x0处的导数的步骤：
（1）求函数值的改变量 y f ( x0 x) f (x0 )
(1)求在点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程的步骤：
(2)求过点 P(m, n)处的切线方程的步骤：
高中数学选修1课件：3.1.2导数的几何意义
t0 t t0 2
一般结论
设物体的运动方程是 s=s(t),
物体在时刻 t 的瞬时速度为 v ,
就是物体在 t 到 t+△t 这段时间内,
当△t→0 时平均速度的极限 ，即
v lim s lim st t st
t0 t
内解的：平设均在速[3，度3（.1位]内移的的平单均位速为度m为）v。1，则 △t1=3.1-3=0.1(s) △s1=s(3.1)-s(3)= 0.5g× 3.12-0.5g×32
=0.305g(m)
所以
v1
s1 t1
0.305 g 0.1
3.05 g(m /
s)
同理v2
s2 t2
0.03005 0.01
t 0
t
例２、 y
y f (x)
相交
oP
x
再来一次
y f (x)
y
Q
Q
Q
P
o
x3 x2x1
T
再来一次
x
上面我们研究了切线的斜率问题, 可以将以上的过程概括如下：
设曲线C是函数 y=f(x) 的图象，
在曲线C上取一点 P及P点邻近的任一点
Q(x0+△x,y0+△y) , 过P,Q两点作割线，
h t
v0
gt0
1 2
gt
当t
0时，h
t
v0
gt0
所以
物体在时刻t0处的瞬时速度为v0-gt0.
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在
点x0处的导数的方法是：
(1)求函数的增量 y f x0 x f x0
3.1.2 瞬时变化率(2)瞬时速度与瞬时加速度
v
2
2 (3 t ) 3
1 2
g (6 t ) 3g,
当 t 无限 趋 近于 0 时 , v 无限 趋 近于常数 此即 t 3 秒 时 的 瞬 时时速
结论:
设物体作直线运动所经过的路程 为 s=s(t). 以 t0 为起始时刻，物体在 t 时间内的平均速度为
3.1.2 瞬时变化率 ----瞬时速度与 瞬时加速度
复习
1、平均变化率
一般的，函数
f ( x )在区间上
[ x1 , x 2 ] 的平均变化率为
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
2、如何求切线的斜率?
y
y=f(x)
Q
割 线
T
切线
o
P
x
k PQ
f (x x) f (x) x
普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修)1-1、2-2导数及其应用江苏教育出版社
新课讲解
二、物理意义——瞬时速度
在物理学中，我们学过平均速度v
s
t 平均速度反映了在某一段时间内 运动的快慢程度,那么,如何刻画在 某一时刻运动的快慢程度呢?
实例:
我们去蹦极,假设我们下降的运动 符合方程 s
1 2 gt
2
,请同学们计算
我们从3秒到5秒间的平均速度,如何 计算出在第3秒时的速度,即t=3时的 瞬时速度呢?
s
1 2
1
g t (s表示位移,t表示时间)
,
2
解 : 先 计 算 t 3 到 t 3 t 时间内的平均速度 s t g (3 t )
2
1
g 3
2
f ( t () f (tt00 t ) ) f (ft 0 t 0 ) v 。 v 。 tt t t ss
3.1.2瞬时变化率---导数
s s ff ((tt00 tt)) ff ((tt00)) v 。 v 。 tt tt
s 近似的程度就越好。所以当t0时，比值 t
就是物体在t0时刻的瞬时速度，即
f (t0 t ) f (t0 ) v在t0的瞬时速度 t
解:
v f (t0 t ) f (t0 ) a ． t t
2t 0 x
当t无限趋于0时， a无限趋于2t 0 ,即a 2t 0
H ( 2.1) H ( 2) v 13.59( m / s ) 2.1 2
(2)计算运动员在2s到2+⊿t s(t∈[2,2+⊿t])
内的平均速度。
时间区间 [2，2.1] [2,2.01] [2,2.001] [2,2.0001] [2,2.00001] [2,2.000001] 当△t→0时，
数学运用：
例2 设一辆轿车在公路上作直线运动，假设t s时
v(t ) t 2 3 ，求当 的速度为
t t0 s时轿车的瞬时
加速度．
分析:
1 s s(t0 t ) s(t0 ) 2 g t g (t ) 2 2 __ s s(t0 t ) s(t0 ) 1 v 2 g g ( t ) t t 2
v 可作为物体在t0时刻的速度的近似值， t 越小，
当t 0时
1.曲线在某一点切线的斜率
y
y=f(x)
Q
割 线
T
回顾
P
切线
o
x
k PQ
f ( x x) f ( x) ) x
(当x无限趋限0时, k PQ无限趋限趋近点P处切 斜率)
3.物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度. （即t=t0时速度相对时间的瞬时变化率） 以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过 取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速 度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
2021年高中数学第三章导数及其应用3.1.2瞬时变化率_导数课件11苏教版选修1_1
思维启迪 解析 探究提高
求函数的导数，首先要搞清函数 的结构；若式子能化简，可先化 简再求导．
题型分类·深度剖析
题型二
导数的运算
【例 2】 求下列函数的导数： 思维启迪 解析 (解(23(((())1234∵y))))＝yyyy(y1＝ ＝ ＝ ＝＝s)inyxexsl′ 23nix＋2n·x(＝ lx222n1＋＋x2＋(x＋eπ3x； 1xxx1＋·＝2＋l5，n)π312．xx∴1－)3；′y12；′c＝o＝se4x3lxnx＋2x－3＋ 2πx23e..x·1x＝ex(ln x＋1x)．
线可能有多条．
根底知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
5．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ；
2.曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0) 处的切线〞与“过点P(x0，y0 的切线〞的区别与联系
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
4．基本初等函数的导数公式
(1)(xα)＝ αxα－1 (α 为常数)；
(2)(ax)′＝ axln a (a>0 且 a≠1)；
1
1
(3)(logax)′＝ xlogae ＝ xln a
(a>0，且 a≠1)；
(4)(ex)′＝ ex ； 1
(5)(ln x)′＝ x ；
(6)(sin x)′＝ cos x ；
(3) gfxx′＝ f′xgx－fxg′x
g2x
(g(x)≠0)．
(1)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0) 处的切线是指 P 为切点，切 线 斜 率 为 k ＝ f′(x0) 的 切 线，是唯一的一条切线．
高二数学(人教A版)《3.1.2导数的概念》导学案
§3.1.2导数的概念[自学目标]:1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵；3.会求函数在某点的导数.[重点]: 瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念. [难点]: 导数的概念 [教材助读]:1. 一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是我们称它为函数()y f x =在0x x =处的 记作即： 说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率; (2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-[预习自测]1、一铅球沿斜面自由滚下，其运动方程是2()s t t =（s 的单位：m ，t 的单位：s ）则小球在t=5时的瞬时速度为2、一物体的运动方程是2()1s t t t =-+求物体在3s 末的瞬时速度.上与老师和同学探究解决。
[合作探究 展示点评]探究一：导数的定义例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数.(2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求xy ∆∆,最后求x y x ∆∆→∆0lim探究二：导数的应用例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.[当堂检测]1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.[拓展提升]1、一物体的运动方程是23s t =则在2t =时刻的瞬时速度是（ ）A 、3B 、4C 、7D 、5 2、根据导数的定义求下列函数的导数 （1） 求函数23y x =+在1x =处的导数.(2)求函数1y x=在(0)x a a =≠处的导数.[课后作业]1. 一质点运动的方程为2t 35s -=，则在一段时间[]t 1,1△+内相应的平均速度为 A. 6t 3+△ B. 6t 3+-△ C. 6t 3-△ D. 6t 3--△2. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加△R ，则球的体积增加△y 约等于A.R R 343△πB. R R 42△πC. 2R 4πD. R R 4△π3. 已知函数1x y +=2的图象上一点（1，2）及邻近一点()y 2,x 1△△++，则xy△△等于A. 2B. 2xC. 2+△xD. 2+△2x4. 自变量0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数A. 在区间[]10x ,x 上的平均变化率B. 在0x 处的变化率C. 在1x 处的变化量D. 在区间[]10x ,x 上的导数5.若函数()x f 在a x =处的导数为A ，求()()x2x a f x a f lim0x △△△△--+→。
高中数学第一章导数及其应用1.1.2瞬时变化率——导数课件苏教版选修2-2
St0＋Δt－St0
Δt
无限 趋近 于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的
瞬时速度 ，也就是位移对于时间的瞬时变化率．
(2)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率
vt0＋Δt－vt0
Δt
无限 趋近 于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时
加速度，也就是速度对于时间的瞬＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( ) (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点x＝x0处切 线的斜率．( ) (3)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在．( ) (4)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存 在．( )
ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0 无限趋近
于一个 常数 A，则称f(x)在x＝x0处 可导 ，并
称该 常数 A为函数f(x)在x＝x0处的 导数 ，记作f′(x0)．
(2)导数的几何意义
导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 斜率 ．
2．导函数 若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的 变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．f(x) 在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的 函数值 ．
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
3.1.2瞬时速度与瞬时加速度
班级 姓名学习目标：1、了解在非常短时间内的平均速度、平均加速度十分接近一个时刻的瞬时速度、瞬时加速度；2、了解求瞬时速度和瞬时加速的的方法。
学习重难点：1、瞬时速度和瞬时加速的定义2、求瞬时速度和瞬时加速的的方法。
一、课前自主学习1．设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在t 到t+△t 这段时间内的平均速度为t s ∆∆= ，如果△t 无限趋近于0， ts ∆∆无限趋近于某个常数v 0，这时v 0就是物体在时刻t 的 。
2．设物体运动的速度函数()v t ν=，则物体在t 到△t 这段时间内的平均变化率为t v ∆∆= ，如果△t 无限趋近于0，tv ∆∆无限趋近于某个常数a ，这时a 就是物体在时刻t 的 。
3．已知一动点的运动规律满足等式232s t =-（t 的单位：s ，s 的单位：m ），则t=3s 的瞬时速度是小结：求运动物体在某一时刻的速度，即求瞬时速度的步骤： (1)设非匀速直线运动的规律为：s ＝s (t )；(2) 时间改变量Δt ，位置改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；(3)平均速度v ＝ΔsΔt.二、例题讲解例1：设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设t s 时的速度为3)(2+=t t v ,（1）求t=3s 时轿车的加速度；（2）求t=0t s 时轿车的加速度。
例2：．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系式是23s t t =-。
（1）求此物体的初速度；（2）求此物体在t=2时的瞬时速度；（3）求t=0到t=2的平均速度。
1．一质点沿直线运动的方程为221y x =-+（x 表示时间，y 表示位移），则该质点从12x x ==到的平均速度为2．某物体的运动方程为4134s t =-（t(s)表示时间，s(m)表示位移），则t=5s 时该物体的瞬时速度为 .3．一物体做直线运动，在时刻ts 时，该物体的位移是2182s t =-（单位：m ），则当t=3s 时物体的瞬时速度为 .4. 已知自由落体的运动方程为s ＝12gt 2，求：(1)落体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度； (2)落体在t 0时的瞬时速度；(3)落体在t 0＝2秒到t 1＝2.1秒这段时间内的平均速度； (4)落体在t 0＝2秒时的瞬时速度．5. 若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s) s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 t ≥3 ①29＋3(t －3)20≤t <3 ②. 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度．学习目标：1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的广阔背景，体会导数的思想及内涵; 2.掌握导数的概念.学习重难点：导数的概念.一、课前自主学习1.导数的概念:设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处_____，并称该常数A 为f (x )在x ＝x 0处的_____，记作_______，导数______的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的_______． 2. 求函数y ＝f (x )在x 0处的导数的步骤： ①求函数的增量Δy ＝________________； ②求平均变化率ΔyΔx＝_________________；③当Δx 无限趋近于0时，确定ΔyΔx 无限趋近的常数A ，则___________.3.导函数的概念:若函数f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f(x)的____ __，也简称__ __，记作__ __ 4.)(0x f '与)(x f '之间的关系：5．设函数()f x 可导，则△x 无限趋近于0时，()()xf x f ∆-∆+11无限趋近于二．例题讲解例1. 已知 ()f x =2x +2.（1）求()f x 在x=1处的导数。
苏教版 高中数学选择性必修第一册 瞬时变化率一 导数 课件2
解：（1）s关于t的瞬时变化率就是函数s(t)的导数s′(t)．按定义计算：
s(t d) s(t)
1 a(t 2
d)2
1 at2 2
a(td
1 d2) 2
at
1 ad．
d
d
d
2
当d 0时，at 1 ad at，因此s(t) at． 2
从物理学上看，s关于t的瞬时变化率at就是运动物体的瞬时速度．
d
d
（2）当d趋近于0时，π(2a＋d)趋近于2πa，即圆面积S相对于 r 的
瞬时变化率为2πa，恰为此时圆的周长．
例8在初速度为零的匀加速直线运动中，路程s和时间t的关系为
s s(t) 1 at2 2
（1）求s关于t的瞬时变化率，并说明其物理意义；
（2）求运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率，并说明其物理意义．
d 0
d
1 1 lim 1 d
d 0 d
lim 1 1． d0 1 d
就是平均速度v(t，d) f (t d) f (t) ，在 d 趋近于0时的极限．
d
这个极限记为：lim f (t d) f (t)．
d 0
d
求s=f(t)在t处的瞬时速度的步骤:
(1)求区间[t，t＋d]上的平均速度v(t，d)；
(2)求v(t，d)在d趋于0时的极限值，即为t时刻物体的瞬时 速度v(t)．
例8在初速度为零的匀加速直线运动中，路程s和时间t的关系为
s s(t) 1 at2 2
（2）求运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率，并说明其物理意义．
解：（2）运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率，实际上就是函数
s′(t)= at的导数s′′(t)．按定义计算：
第3课时---瞬时变化率
第3课时 瞬时变化率---导数(2)教学目标：(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念;(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度. 教学重点:瞬时速度与瞬时加速度的定义. 教学难点:瞬时速度与瞬时加速度的求法.一.问题情境: 情境1:(1)什么叫做平均变化率；(2)曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间12[,]x x 上的平均变化率;(3)曲线在一点处的切线的斜率.练习：曲线的方程为21y x =+, 求曲线在点P(1,2)处的切线方程. y=2x 情境2:在物理学中,运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度,它反映了物体在某段时间内运动的快慢程度.那么,如何精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度呢? 情境3:跳水运动员从10m 高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。
假设t 秒后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t 2+6.5t+10,试确定t=2s 时运动员的速度.(1)计算运动员在2s 到2.1s(t ∈[2,2.1])内的平均速度.v 动员在t=2s 时运动员的速度.二.建构数学瞬时速度与瞬时加速度(1)平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度.(2) 位移的平均变化率：tt s t t s ∆-∆+)()(00(3)瞬时速度：当⊿t 无限趋近于0 时，tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度.求瞬时速度的步骤：1.先求时间改变量t ∆和位移改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆(2.1)(2)13.59(/)2.12H H v m s -==-2.再求平均速度ts v ∆∆=3.后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，ts∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率：tt v t t v ∆-∆+)()(00(5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，tt v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率 三.数学运用例1.设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设ts 时的速度为2()3v t t =+，求0t t s =时轿车的瞬时加速度a .(课本例2)例2.火箭发射时位移32()0.2816,s t t t t =++求: (1)第2s 末的瞬时速度;(2)第2s 末的瞬时加速度. 解：(1)50.4/m s ;(2)218.4/m s . 提示2()0.61616v t t t =++,瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率. 例3. 曲线)0)(,(33≠=a a a x y 在点处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为1,6求a . 解：∵在(a,a 3)处切线为y-a 3=3a 2(x-a),令y=0,得切线与x 轴交点(2,03a ),切线与直线x=a 交于(a,a 3),∴曲线)0)(,(33≠=a a a x y 在点处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为S=44111236a a a ⋅⋅=,令S=16,解得a=±1.四.回顾小结本节课主要学习了物体运动的瞬时速度与瞬时加速度的定义，掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近” 瞬时速度与瞬时加速度的过程.运用瞬时速度与瞬时加速度的定义求解瞬时速度与瞬时加速度.充分理解由平均速度的“逼近”转化成瞬时速度与瞬时加速度的过程，培养学生解决实际问题的能力，学会用运动学的观点理解和解决实际问题.充分感受到学习数学的乐趣，体会到数学的研究方法和内在美. 五.导数及其应用作业3答案:1．(1)某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）则它在t ＝2s 时的瞬时速度为 . 答案：物体在t ＝2s 时的瞬时速度为20m/s. (2)已知某物体的运动方程是+=t S 913t , 则当s 3t =时的瞬时速度是 . 4m /s 2. 曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为 . 833. 曲线1x x y 3++=在点)3,1(处的切线方程是 . 41y x =-4. 曲线4x 6x 3x y 23+++=的所有切线中, 斜率最小的切线的方程是 . 提示: 223663(1)3k x x x =++=++, 当1x -=时, 最小值为3,所以当1x -=时, 0y =所求切线过点)0,1(-且斜率为3, 所以切线方程为3 3.y x =+ 5. x 、y 中至少有一个小于0是x+y<0的_____________条件. 必要不充分 6.在抛物线22x y -=上，哪一点的切线处于下述位置？（1）与x 轴平行;（2）平行于第一象限角的平分线;（3）与x 轴相交成45°角. 分析：求抛物线的切线实质就是求函数22x y -=的导数.解： =--∆+-=∆)2()(222x x x y 22x x x ∆-∆-)2(22x x xx x x x y ∆--=∆∆+∆=∆∆,k =2x -. (1)当切线与x 轴平行时，02=-x ，所以在点（0，2）的切线与x 轴平行时.(2)当切线平行于第一象限角的平分线，12=-x ，所以在点（21-，47）的切线平行于第一象限角的平分线.(3)与x 轴相交成45°角，12=-x ，求得点为（21-，47）. 或12-=-x ，求得点为（21，47） 所以在点（21-，47）、（21，47）与x 轴相交成45°角.7．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ．B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且3AF =，求此抛物线的方程. x y 32=导数及其应用作业3班级 姓名1．(1)某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）则它在t ＝2s 时的瞬时速度为 .(2)已知某物体的运动方程是+=t S 913t , 则当s 3t =时的瞬时速度是 . 2. 曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为 .3. 曲线1x x y 3++=在点)3,1(处的切线方程是 .4. 曲线4x 6x 3x y 23+++=的所有切线中, 斜率最小的切线的方程是 .5. x 、y 中至少有一个小于0是x+y<0的_____________条件.6.在抛物线22x y -=上，哪一点的切线处于下述位置？（1）与x 轴平行;（2）平行于第一象限角的平分线;（3）与x 轴相交成45°角.7．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ．B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且3AF =，求此抛物线的方程.。
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内的平均速度.
(3)如何计算运动员在更短时间内的平均速度.
探究结论：
时间区间 [2，2.1] [2,2.01] [2,2.001] [2,2.0001] [2,2.00001] [2,2.000001] 当△t→0时， △t 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 平均速度 -13.59 -13.149 -13.1049 -13.10049 -13.100049 -13.1000049
s 近似的程度就越好. 所以当t0时， t 极限
v 可作为物体在t0时刻的速度的近似值， t 越小，
就是物体在t0时刻的瞬时速度，即
s t
f (t0 t ) f (t0 ) ． t
v |t t
t 0
0
数学运用：
1 2 例1 物体作自由落体运动，运动方程为s＝ gt ， 其中位移单位是m，时间单位是s，g＝10m/2 s2，求
（1）物体在时间区间[2，2.1] s上的平均速度； （2）物体在时间区间[2，2.01] s上的平均速度； （3）物体在t＝2s时的瞬时速度.
分析:
1 s＝s (t0＋t )－s (t0 )＝2 g t＋ g ( t ) 2 2 __ s s (t0＋t )－s (t0 ) 1 v＝ ＝ ＝2 g＋ g ( t ) t t 2
s 1 解: v 2 g g (t ) t 2
__
O s(2) s(2+t)
(1)将 Δ t=0.1代入上式，得: __
v 2.05 g 20.5m / s.
s
(2)将 Δ t=0.01代入上式，得:
__
v 2.005 g 20.05m / s.
__
( 3)当t 0,2 t 2, 从而平均速度v 的极限为： __ s v lim v lim 2 g 20m / s. t 0 t 0 t
s
设物体作直线运动的速度为 v=f(t) ，以 t0 为起始 时刻，物体在t时间内的平均加速度t0 ) v ． a t t
t 越小， a 可作为物体在t0时刻的加速度的近似值， 近似的程度就越好．所以当t0时，极限 就是物体在t0时刻的瞬时加速度，即
高中数学 选修1-1
姓名：吴卫东 邵艳 郭红梅 潘翠萍 单位：江苏省泰兴中学
复习回顾： 曲线上一点P处的切线斜率：
y
Q
P O x
问题情境：
平均速度：物体的运动位移与所用时间的比称为平
均速度.
问题一： 平均速度反映物体在某一段时间段内运动的 快慢程度.那么如何刻画物体在某一时刻运动的快 慢程度？
问题情境：
问题二：
跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程 中，不同时刻的速度是不同的．假设t秒后运动 员相对于水面的高度为h(t)=－4.9t2 ＋ 6.5t＋10, 试确定t＝2s时运动员的速度.
探究活动： (1)计算运动员在2s到2.1s(t∈[2,2.1])内的平 均速度.
(2)计算运动员在2s到（2＋△t）s(t∈[2,2＋△t])
解:
v f ( t t ) f ( t ) 0 0 a ． t t
2t 0 x
当t无限趋于0时， a无限趋于2t 0 ,即a 2t 0
当堂训练： 课本P74-1，2.
回顾反思：
理解瞬时速度和瞬时加速度的定义；
实际应用问题中瞬时速度和瞬时加速度的求解．
v 13.1
该常数可作为运动员在2s时的瞬时速度.
即t＝2s时，高度对于时间的瞬时变化率.
建构数学：
设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)． 以t0为起始时刻，物体在t时间内的平均速度为
tt )) ff ((tt00 ) s f (ft ( 0t0 ． v 。 t tt
v t
v f (t0 t ) f (t0 ) t 0 ． t t
a
t t0
数学运用：
例2 设一辆轿车在公路上作直线运动，假设t s时
2 v ( t ) t 3 ，求当 的速度为
t t0 s时轿车的瞬时
加速度．
分析:
1 s s(t0 t ) s(t0 ) 2 g t g (t ) 2 2 __ s s(t0 t ) s(t0 ) 1 v 2 g g ( t ) t t 2