2019年高中数学第一章空间几何体1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积课时作业(含解析)新人教A版
2018-2019学年高中数学 第1章 立体几何初步 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1
4.如图，在直棱柱 ABC－A′B′C′中，底面是边长为 3 的等 边三角形，AA′＝4，M 为 AA′的中点，P 是 BC 上一点，且 由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC′到 M 的最短路线长为 29，设这 条最短路线与 CC′的交点为 N，求： (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 与 NC 的长．
3．一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其中有一 个高为x cm的内接圆柱． (1)求圆锥的侧面积； (2)当x为何值时，圆柱侧面积最大？求出最大值．
解：(1)母线 l＝ 22＋62＝2 10 cm，S 侧面积＝πrl＝π×2×2 10 ＝4 10π cm2； (2)设圆柱的底面半径为 r cm，则2r＝6－6 x，∴r＝2－x3，
[解] 由题意知，S1＝2π·2a· 3a＋2π·(2a)2 ＝(4 3＋8)πa2，5 分 S2＝S1＋πa·(2a)－πa2＝(4 3＋9)πa2.10 分 ∴S1∶S2＝(4 3＋8)∶(4 3＋9)14 分
[规范与警示] (1)挖去圆锥的几何体的表面积去掉了一个 半径为a的圆，但同时增加了一个圆锥的侧面，不要未考 虑到增加的部分． (2)几何体的表面积就是各个面的面积和，一定不要遗漏 掉某个面的面积．
与空间几何体表面积相关的综合题 如图，在△ABC 中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD 是 BC 上的高，沿 AD 把△ABD 折起，使∠BDC＝90°.
(1)证明：平面 ADB⊥平面 BDC； (2)若 BD＝1，求三棱锥 D－ABC 的表面积． (链接教材 P55 练习 T4)
[解] (1)证明：因为折起前 AD 是 BC 边上的高，所以当△ABD 折起后，AD⊥DC，AD⊥DB， 又 DB∩DC＝D，所以 AD⊥平面 BDC， 因为 AD⊂ 平面 ABD，所以平面 ABD⊥平面 BDC. (2)由(1)知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，
高一数学课件—第一章 空间几何体的表面积与体积
4.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示， 则其侧面积等于____6____．
解析 由正视图知，其侧面的底边长为 2，高为 1，故 其侧面积 S＝2×1×3＝6.
5.已知底面半径为 3 cm，母线长为 6 cm 的圆柱，挖 去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求 所得几何体的表面积及体积．
V＝V 圆柱－V 圆锥＝π·r2·AD－13πr2AD ＝π×3× 6－13×π×3× 6 ＝2 6π(cm3).
探究 3 组合体的表面积与体积 例 3 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°， AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面 ABCD 内过点 C 作 l⊥CB，以 l 为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．
解 如题图，在梯形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AD∥BC， AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 (1)柱体、锥体、台体的体积公式之间的内在关系为
V 锥体＝13Sh. (2)在三棱锥 A－BCD 中，若求点 A 到平面 BCD 的距离 h，可以先求 VA－BCD，再由 h＝S△3BVCD求得．这种方法就是用 等体积法求点到平面的距离，其中 V 一般用换顶点法求解， 即 VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，求解的原则是 V 易求， 且△BCD 的面积易求．
A.1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．3∶2
解析 ∵G 为 PB 的中点， ∴VP－GAC＝VP－ABC－VG－ABC ＝2VG－ABC－VG－ABC＝VG－ABC. 又多边形 ABCDEF 是正六边形， ∴S△ABC＝12S△ACD. ∴VD－GAC＝VG－ACD＝2VG－ABC. ∴VD－GAC∶VP－GAC＝2∶1.
高中数学第一章空间几何体1.3.1柱体锥体台体的表面积与体积课件新人教A版
4.(求表面积)(2015大同一中高二(上)月考)圆台的一个底面周长是另一个
底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径
为( A ) (A)7 (B)6
(C)5
(D)3
课堂探究
题型一 空间几何体的表面积
【教师备用】 1.三棱柱、三棱锥、三棱台的侧面展开图各是什么图形? 提示:三棱柱上、下底面是三角形,侧面展开图为矩形;三棱锥各面均是三角 形;三棱台上、下底面是三角形,侧面为梯形. 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是什么? 提示:圆柱的侧面展开图是矩形,圆锥的侧面展开图是扇形;圆台的侧面展开 图是扇环.
【例 1】 (2015 大同一中高二(上)月考)如图,在底面半径为 2 母线长为 4 的圆 锥中内接一个高为 3 的圆柱,求圆柱的表面积.
解:设圆锥的底面半径为 R,圆柱的底面半径为 r,表面积为 S, 则由三角形相似得 r=1, 所以 S 底=2π,S 侧=2 3 π, 所以 S=(2+2 3 )π.
解析:由题中三视图可知,该多面体是棱长为 2 的正方体去掉两个全等的三棱
锥后得到的几何体,因此其表面积为 6×2×2-6× 1 ×1×1+2× 3 ×( 2 )2
2
4
=21+ 3 ,故选 A.
题型二 空间几何体的体积
【例2】 (2015大同一中高二(上)月考)如图,已知正四棱锥 V-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点M,VM是棱锥的高, 若AC=6 cm,VC=5 cm,求正四棱锥V-ABCD的体积.
题后反思 (1)多面体的表面积转化为各面面积之和. (2)解决有关棱台的问题时,常用两种解题思路:一是把基本量转化到直角梯 形中去解决;二是把棱台还原成棱锥,利用棱锥的有关知识来解决. (3)旋转体中,求面积应注意侧面展开图,上下面圆的周长是展开图的弧长.圆 台通常还要还原为圆锥.
1.3.1_柱体、锥体和台体的表面积_课件
圆锥的侧面展开图是扇形 圆锥的侧面展开图是扇形
S 表 = πr + πrl = πr (r + l )
2
2πr
l
r
O
思考6:圆台的侧面展开图的形状有哪些特征？如果圆台的 思考6:圆台的侧面展开图的形状有哪些特征？ 6:圆台的侧面展开图的形状有哪些特征 下底面半径分别为r′ r′、 母线长为l， 上、下底面半径分别为r′、r，母线长为 ，那么圆台的 表面积公式是什么？ 表面积公式是什么？
(2)涂100个需漆: y=0.1×100×100=1000(毫升) 2 答:每个涂漆面积0.1 m 100个需涂漆1000毫升.
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2.一个圆柱形锅炉的底面半径为 1m , 一个圆柱形锅炉的底面半径为 侧面展开图为正方 形，则它的表面积 2 2 为__________ m . 2 +4
π π
3.以直角边长为 的等腰直角三角形的 以直角边长为1的等腰直角三角形的 以直角边长为 一直角边为轴旋转， 一直角边为轴旋转， 所得旋转体的表面 积为____________. 积为 2 +1 π
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分析 (1)花盆外壁的面积= (1)花盆外壁的面积=花盆的侧 花盆外壁的面积 面积+底面积面积+底面积-底面圆孔面积
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解:(1) 15 2 15 20 1.5 2 S = π [( ) + ×15 + ×15] − π ( )
2 2 2 2 2 ≈ 1000(cm ) = 0.1(m ) 2
(
)
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例2：圆台的上、下底面半径分别是 ㎝和20 ㎝，它的侧面展 ：圆台的上、下底面半径分别是10㎝ 开图的扇环的圆心角是180°，求圆台的侧面积。（保留 π ） 。（保留 开图的扇环的圆心角是 ° 求圆台的侧面积。（
《柱体、椎体、台体的表面积与体积》用课件
应用
通过给定的棱台的上、下底面尺 寸和高，可以计算出其表面积和
体积。
04 特殊立体图形的表面积与 体积
球体的表面积与体积
球体的表面积
球体表面积的计算公式为$4pi r^{2}$，其中$r$为球体的半径。这个公式表示 球体表面积是半径的平方与圆周率$pi$的四倍的乘积。
球体的体积
02 椎体的表面积与体积
圆锥体的表面积
01
02
03
公式
圆锥体的表面积 = 圆周率 × 底面半径的平方 + 圆周 率 × 底面半径 × 高
解释
圆锥体的表面积由底面和 侧面组成，底面是一个圆， 侧面是一个曲面，其表面 积由公式计算得出。
应用
在计算圆锥体容器表面积 时，需要考虑容器的材质、 厚度等因素。
圆柱体的体积
公式
V = πr^2h
解释
其中，r是底面圆的半径，h是圆柱的高。
应用
适用于计算圆柱体的体积。
棱柱体的表面积与体积
公式
S = (n+2)ah
应用
适用于计算棱柱体的表面 积。
解释
其中，B是底面积，h是高。
解释
其中，n是棱柱的侧面数量， a是底面边长，h是高。
公式
V = Bh
应用
适用于计算棱柱体的体积。
VS
椭球体的体积
椭球体的体积计算公式为$frac{4}{3}pi abc$，其中$a$、$b$、$c$分别为椭球体 的长半轴、短半轴和高。这个公式表示椭 球体体积是长半轴、短半轴和高的三者的 乘积的四分之三。
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半球体的体积
半球体体积的计算公式为$frac{1}{3}pi r^{2} h$，其中$r$为底面圆的半径，$h$为 半球体的高。这个公式表示半球体体积是底面圆面积的三分之一与半球体高的乘积。
柱体、椎体、台体的表面积与体积(优秀课件)
学习目标：
1.了解柱体、椎体、台体的侧面展开图. 2.掌握柱体、椎体、台体的表面积求法，能运用公 式求柱体、椎体、台体的表面积.
学习重难点：
1.柱体、椎体、台体的表面积公式 2.圆台面积公式的推导.
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
2、 ,求3 此球体的表面积和体积。
分析：长方体内接于球，则由 球和长方体都是中心对称图形 可知，它们中心重合，则长方
体体对角线与球的直径相等。
解：Q 长方体内接于球
球的直径等于长方体的体对角线长
(2 R)2 32 22 ( 3)2 16 R 2
S
4 R2
16 且V
4 3
R3
32 3
练习一
圆柱、圆锥、圆台三者的体积公式之间有什 么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S S V 1 (S
3
SS S)h S 0
V 1 Sh 3
思考6:在台体的体积公式中，若S′=S， S′=0，则公式分别变形为什么？
V 1 (S SS S)h 3
S′=S
S′=0
V Sh
V 1 Sh 3
正方体和长方体是由平面图形围成的多面 体，它们表面积就是各个面的面积的和，也Байду номын сангаас 是展开图的面积。
5 3
4
表面积为：4×3×4+4×5×2=88 求多面体表面积的方法：展成平面图形，求面积。
棱柱的展开图
正六棱柱的侧面展开图是什么？ 如何计算它的表面积？
a h
正棱柱的侧面展开图
棱锥的展开图是三角形。
(新)高中数学第一章空间几何体1_3空间几何体的表面积与体积1_3_1柱体、锥体、台体的表面积与体积学案新人
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积教学目标：1、了解柱体、锥体、台体的表面积的计算方法（不要求记忆公式），掌握其推导过程，并会计算简单组合体的表面积；2、在表面积公式的推导过程中充分调动学生的积极性，渗透转化思想、类比思想，提高学生的分析问题和解决问题的能力。
教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积的计算方法.教学难点：柱体、锥体、台体的表面积的推导过程.【学情调查情境导入】一、学情调查情境导入】复习：斜二测画法画的直观图中，x'轴与y'轴的夹角为____，在原图中平行于x轴或y轴的线段画成与___和___保持平行；其中平行于x轴的线段长度保持_____，平行于y轴的线段长度____________.引入：研究空间几何体，除了研究结构特征和视图以外，还得研究它的表面积和体积.表面积是几何体表面的面积，表示几何体表面的大小；体积是几何体所占空间的大小.那么如何求柱、锥、台、球的表面积和体积呢？二、问题展示合作探究探究1：棱柱、棱锥、棱台的表面积问题：我们学习过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（下图），你觉的它们展开图与其表面积有什么关系吗？结论： 正方体、长方体是由多个平面围成的多面体，其表面积就是________________________，也就是展开图的面积.新知1：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的表面积就是______________________ 试试1：想想下面多面体的侧面展开图都是什么样子，它们的表面积如何计算？探究2：圆柱、圆锥、圆台的表面积问题：根据圆柱、圆锥的几何特征，它们的侧面展开图是什么图形？它们的表面积等于什么？你能推导它们表面积的计算公式吗？新知2：（1）设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，则它的表面积等于________________________，即________________________.（2）设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则它的表面积等于________________________，即（3）________________________. 试试2：圆台的侧面展开图叫扇环，扇环是怎么得到的呢？（能否看作是个大扇形减去个小扇正四棱锥正四棱台 正六棱柱形呢）你能试着求出扇环的面积吗？从而圆台的表面积呢？新知3：设圆台的上、下底面半径分别为r'，r，母线长为l，则它的表面积等________________________，即________________________.反思：想想圆柱、圆锥、圆台的结构，你觉得它们的侧面积之间有什么关系吗？例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S ABC-，求它的表面积.例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长15cm.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(π取3.14,结果精确到1毫升)?三、达标训练巩固提升1. 正方体的表面积是64,则它对角线的长为（）.A.3342162. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是（）.A.122ππ+B.144ππ+C.12ππ+D.142ππ+3. 一个正四棱台的两底面边长分别为m,n()m n>,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为（）.A.mnm n+B.mnm n-C.m nmn+D.m nmn-4. 如果圆锥的轴截面是正三角形,则该圆锥的侧面积与表面积的比是_____________.5. 已知圆台的上、下底面半径和高的比为1︰4︰4,母线长为10,则圆台的侧面积为___________.6.一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长为a，求它的表面积.四、知识梳理归纳总结1. 棱柱、棱锥、棱台及圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式；2.将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题最基本、最常用的方法。
高中数学 第一章 空间几何体 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积教案数学教案
1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
【教学重难点】教学重点：运用公式解决问题教学难点：理解计算公式的由来.【教学过程】（一）情景导入讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→正方体、长方体的表面积计算公式？讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？→圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。
（二）展示目标这也是我们今天要学习的主要内容:1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（三）检查预习1．棱柱的侧面展开图是由，棱锥的侧面展开图是由，梭台的侧面展开图是由，圆柱的侧面展开图是，圆锥的侧面展开图是，圆台的侧面展开图是。
2．几何体的表面积是指，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求、，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求、、、。
3．几何体的体积是指，一个几何体的体积等于。
（四）合作探究面积探究: 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和） 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）体积探究:讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？五）交流展示略（六）精讲精练1. 教学表面积计算公式的推导：① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）② 练习：1.已知棱长为a ，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC 的表面积.(教材P 24页例1)2. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表） 圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r 圆柱底面半径，l 为母线长。
高中数学 第一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积学习目标 1.了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式.2.掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算方法，并能计算简单组合体的表面积和体积(难点).3.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积(重点)．知识点1 柱体、锥体、台体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和．(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式【预习评价】1．一个几何体的平面展开图一定相同吗？其表面积是否确定？提示不同的展开方式，几何体的平面展开图不一定相同；表面积是各个面的面积和，几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定．2．求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，关键是什么？提示求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径．知识点2 柱体、锥体与台体的体积公式【预习评价】1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm ，4 cm ，5 cm ，则长方体的体积为( ) A ．27 cm3B ．60 cm3C ．64 cm3D ．125 cm 3解析 V 长方体＝3×4×5＝60(cm 3)． 答案 B2．棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于________． 解析 V 台体＝13(2＋4＋2×4)×3＝13×3×(6＋22) ＝6＋2 2. 答案 6＋2 2题型一空间几何体的表面积【例1】圆台的母线长为8 cm，母线与底面成60°角，轴截面的两条对角线互相垂直，求圆台的表面积．解如图所示的是圆台的轴截面ABB1A1，其中∠A1AB＝60°，过A1作A1H⊥AB于H，则O1O＝A1H＝A1A·sin 60°＝43(cm)，AH＝A1A·cos 60°＝4(cm)．设O1A1＝r1，OA＝r2，则r2－r1＝AH＝4.①设A1B与AB1的交点为M，则A1M＝B1M.又∵A1B⊥AB1，∴∠A1MO1＝∠B1MO1＝45°.∴O1M＝O1A1＝r1.同理OM＝OA＝r2.∴O1O＝O1M＋OM＝r1＋r2＝43，②由①②可得r1＝2(3－1)，r2＝2(3＋1)．∴S表＝πr21＋πr22＋π(r1＋r2)l＝32(1＋3)π(cm2)．规律方法空间几何体的表面积的求法技巧：(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．【训练1】若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为( ) A.23B ．2 3C. 3D.26解析 所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1，高为22的四棱锥的侧面积之和，如图，四棱锥的侧棱长l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1222＝1，∴以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积：S ＝8×12×1×1×sin 60°＝2 3.故选B. 答案 B题型二 柱体、锥体、台体的体积【例2】 在Rt△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，把△ABC 绕其斜边AC 所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？解 由题意，所形成的几何体为两个圆锥的组合体，如图所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD ， 且BD ＝AB ·BC AC ＝125， 两个圆锥的高分别为AD 和DC ，所以V ＝V 1＋V 2＝13πBD 2·AD ＋13πBD 2·CD＝13πBD 2·(AD ＋CD )＝13πBD 2·AC＝13π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1252×5＝485π. 故所形成的几何体的体积是485π. 规律方法 求几何体体积的常用方法【训练2】 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，∵VA 1－ABD ＝VA －A 1BD ，∴13×12a 2·a ＝13×12×2a ×32·2a ·d . ∴d ＝33a .∴A 到平面A 1BD 的距离为33a .方向1 知三视图求体积(表面积)【例3－1】 (1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积等于( )A ．8π cm 2B ．7π cm 2C ．(5＋3)π cm 2D ．6π cm 2(2)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π解析 (1)此几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱与一个底面半径为1，母线长为2的圆锥组合而成的，故S 表＝S 圆柱侧＋S 圆锥侧＋S 底＝2π×1×2＋π×1×2＋π×12＝7π(cm 2)． (2)由题意，该几何体是由高为6的圆柱截去一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为V ＝12·π·32·6＋π·32·4＝63π，故选B.答案 (1)B (2)B 方向2 割补法求体积【例3－2】 如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E ，F 分别为AA 1，CC 1的中点，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积．解 因为EB ＝BF ＝FD 1＝D 1E ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝52a ，D 1F ∥EB ，所以四边形EBFD 1是菱形． 连接EF ，则△EFB ≌△EFD 1.易知三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－EFD 1的高相等， 故V A 1－EBFD 1＝2V A 1－EFB ＝2V F －EBA 1. 又因为S △EBA 1＝12EA 1·AB ＝14a 2，则V F －EBA 1＝112a 3，所以V A 1－EBFD 1＝2V A 1－EFB ＝2V F －EBA 1＝16a 3.规律方法 组合体体积与表面积的求解策略：(1)首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减；求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．(2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义，以确保不重复、不遗漏.课堂达标1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2πB.1＋2π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π解析 设底面圆半径为r ，母线长为h ，∴h ＝2πr ，则S 表S 侧＝2πr 2＋2πrh 2πrh ＝r ＋h h ＝r ＋2πr2πr＝1＋2π2π. 答案 A2．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A ．5πB ．6πC ．20πD ．10π解析 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.答案 D3．已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为( )A ．9 3B ．92＋934C ．12 2D ．12 3解析 由三视图可知三棱锥的高为22，底面正三角形的高为3，则底面正三角形的边长a 满足32a ＝3，解得a ＝2 3. 又侧棱长为（22）2＋22＝23， 故该正三棱锥是正四面体， 该三棱锥的表面积为：4×34×(23)2＝12 3.故选D. 答案 D4．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________． 解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2.由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，∴r 1r 2＝32. 由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2， 即r 1h 1＝r 2h 2.∴V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 1r 2＝32. 答案 325．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．解析 由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面的四棱柱，棱柱的底面面积S ＝12×(1＋2)×1＝32，棱柱的高为1，故棱柱的体积V ＝32.答案 32课堂小结1．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积． (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和． 2．对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明 (1)等底、等高的两个柱体的体积相同．(2)等底、等高的锥体和柱体的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的柱体的体积是锥体的体积的3倍．(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系(4)求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.基础过关1．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( ) A ．2B ．2 2C ．4D ．8解析 圆台的轴截面如图，由题意知，l ＝12(r ＋R )，S 圆台侧＝π(r ＋R )·l ＝π·2l ·l ＝32π，∴l ＝4. 答案 C2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A ．4πB ．3πC ．2πD ．π解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 答案 C3．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于( )A ．6B ．6πC ．35πD ．65π解析 ∵圆台的母线长为（2－1）2＋22＝5， ∴S 圆台侧＝π(1＋2)·5＝35π. 答案 C4．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m 3.解析 依题意得，该四棱锥底面平行四边形的一边长为2，该边上的高为1. 又依据正视图知该四棱锥高为3. ∴V 四棱锥＝13S ·h ＝13×2×1×3＝2(m 3)．答案 25．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．解析 S 圆柱＝2·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋2π·a2·a ＝32πa 2， S 圆锥＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2，∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1. 答案 2∶16．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析 设新的底面半径为r ，则有13×πr 2×4＋πr 2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r＝7. 答案77．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S 侧．解 由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥V －ABCD .(1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)该四棱锥的两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝42，另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为h 2＝ 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5.因此S 侧＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×42＋12×8×5 ＝40＋24 2.能力提升8．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．18解析 由三视图可知，该多面体为一个棱长为2的正方体在左下角与右上角各切去一个三棱锥，因此该多面体的表面积为6×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12＋12×2×62×2＝21＋ 3.答案 A9．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( ) A ．54B ．54πC ．58D ．58π解析 设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝13πh 1(r2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似知识得r 3r ＝h －h 1h ，∴h ＝32h 1，∴V 原圆锥＝13π(3r )2×h ＝3πr 2×32h 1＝92×12＝54.答案 A10．由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．解析 V ＝V 长方体＋12V 圆柱＝1·1·2＋12(π·12·1)＝2＋π2.答案 2＋π211．如图是一个空间几何体的三视图(俯视图外框为正方形)，则这个几何体的体积为________．解析 空间几何体为正四棱柱内挖空了一个圆柱，如图．∵正四棱柱的底面边长为4，高为3，圆柱的底面半径为1，∴这个几何体的体积为4×4×3－π×12×3＝48－3π.答案 48－3π12．一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积．解 这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．根据图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S ＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12×(2＋4)×3＝11π2＋3 3.13．(选做题)已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？ 解 (1)作圆锥的轴截面，如图所示．因为r R ＝H －x H ，所以r ＝R －RHx ，所以S 圆柱侧＝2πrx ＝2πRx －2πR H x 2(0<x <H )．(2)因为－2πR H<0，所以当x ＝2πR 4πR H＝H 2时，S 圆柱侧最大．故当x ＝H2时，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．。
2019_2020学年高中数学第一章空间几何体1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积课件新人教A版必修2
探究点一 柱体、锥体、台体的侧面积与表面积 [思考探究] 观察下列几何体的展开图：
[类题通法] 求几何体体积的常用方法
[针对训练]
2．设正六棱锥的底面边长为 1，侧棱长为 5，那么它的体积
(1)怎样认识棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积？ 名师指津：①棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是由平行 四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展 开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积． ②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的 底面积的和．
(2)怎样认识旋转体的侧面积与表面积公式？ 名师指津：①求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时， 可直接使用公式．但圆台的表面积公式比较复杂，不要求记忆， 因此，表面积的求解方法是最重要的． ②在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算 以上旋转体的母线长和底面圆的半径长.
解：过点 S 作 SD⊥BC，交 BC 于点 D.
因为 BC＝a，SD＝ SB2－BD2＝
a2－a22＝
3 2 a.
所以 S△SBC＝12BC·SD＝12a× 23a＝ 43a2.
因此，四面体 S-ABC 的表面积 S＝4× 43a2＝ 3a2.
探究点二 柱体、锥体、台体的体积 [思考探究] 观察下面图形，思考如下问题：
提示：正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面体，它们 的表面积就是围成它们的各个面面积的和，也就是展开图的面 积．如图所示．
几何体表面积⇨展开图⇨平面图形面积
(2)北京奥运会的重要前奏是奥运圣火的传递，圣火 由“祥云”火炬承载，传遍五洲四海，弘扬奥林匹 克精神．“祥云”火炬外形是细长的圆台形式，长 72 cm，重 985 克，燃料为丙烷． ①能否计算出“祥云”火炬的外层着色需要覆盖多大的面 积？ 提示：可以，即计算圆台的表面积． ②能否计算其内部能盛装多少液态的丙烷？ 提示：可以，即计算其容积．
高中数学 第一章空间几何体 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积 1.3.2 球的体积和表面
福建省莆田市高中数学第一章空间几何体1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积1.3.2 球的体积和表面积练习（无答案）新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（福建省莆田市高中数学第一章空间几何体1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积1.3.2 球的体积和表面积练习（无答案）新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.1柱体、锥体、台体的表面积和体积一、选择题：1。
如图有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积和体积为（ ）。
正视图 侧视图 俯视图A ．224cm π，312cm πB ．215cm π,312cm πC ．224cm π，336cm πD ．以上都不正确2.如图所示,在三棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q ，且满足A 1P=BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分,则其体积之比为（ )A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1D ．3∶13。
中心角为135°的扇形，其面积为B ，其围成的圆锥的全面积为A ，则A ∶B 为( ）。
A ．11∶8B ．3∶8C ．8∶3D ．13∶8二、填空题：4.已知一个长方形的长和宽分别为2cm 和4cm ，绕其一边所在的直线旋转一周所成的几何体的表面积是_________．5。
已知正三棱锥的侧面积为1832，高为3cm 。
高中数学第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积检测
2018-2019学年高中数学第一章空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积检测新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积检测新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
3。
1 柱体、锥体、台体的表面积与体积［A级基础巩固]一、选择题1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的体积等于（）A．π B．2π C．4π D．8π解析：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π,所以r＝1,所以V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.答案：B2．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ）A．π B.错误! C。
错误! D.错误!解析:设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1,由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知,r,R及圆柱的高的一半构成直角三角形．所以r＝错误!＝错误!.所以圆柱的体积为V＝πr2h＝错误!π×1＝错误!.故选B。
答案：B3．如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1。
2018_2019学年高中数学第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体锥体台体的表面积与体积课件
所以 r＝4.则 h＝4. 故圆锥的体积 V 圆锥＝13πr2h＝634π. 答案：A
[迁移探究 1] (变换条件，改变问法) 将典例 2 中 第(2)题的条件“侧面积是 16 2π”改为“若其体积为 3 π”，求该圆锥的侧面积．
解：设圆锥的底面半径为 r，则高 h＝r，母线 l＝PB
＝ 2r. 由 V 圆锥＝13πr2·h＝13πr3＝ 3π， 得 r＝ 3，母线 l＝ 6.
(3)圆台的上、下底面半径和高的比为 1∶4∶4，若母 线长为 10，则圆台的表面积为( )
A．81π B．100π C．168π D．169π
解析：(1)设圆柱的底面半径为 r，则 S＝πr2，于是 r＝ πS ，底面周长为 2π· πS ，又因为侧面展开图为 正方形，所以母线长 l＝2π· πS ，故圆柱侧面积 S 侧 ＝2πrl＝2π· πS ·2π· πS ＝4πS.故选 A.
解析：形成的几何体是一个圆柱，其底面半径为 2， 母线长为 3，故其侧面积 S＝2π×2×3＝12π.
答案：12π
5．已知棱台的上、下底面面积分别为 4、16，高为 3， 则该棱台的体积为________．
解析：因为 S 上底＝4，S 下底＝16，h＝3. 所以台体＝13(4＋16＋ 4×16)×3＝28. 答案：28
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出．( ) (2) 棱 台 的 侧 面 展 开 图 是 由 若 干 个 等 腰 梯 形 组 成 的．( ) (3)圆台的高就是相应母线的长( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×
2．圆柱底面的半径和圆柱的高都为 2，则圆柱侧面
[变式训练] 某几何体的三视图如图所示(单位： cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
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1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1.已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( B )(A) (B) (C)2π (D)4π解析:由题意,该几何体可以看作是两个底面半径为,高为的圆锥的组合体,其体积为2××π×()2×=π.2.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( D )(A)3π(B)4π(C)2π+4 (D)3π+4解析:由题中三视图知该几何体是底面半径为1,高为2的半个圆柱,故其表面积S=2××π×12+π×1×2+2×2=3π+4.故选D.3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( D )(A)2π(B)4π(C)5π(D)6π解析:由该几何体是圆柱,底面直径为2,高h=2,表面积S=6π.故选D.4.已知正六棱柱的最大对角面的面积为4,互相平行的两个侧面的距离为 2,则这个六棱柱的体积为( B )(A)3 (B)6 (C)12 (D)15解析:设正六棱柱的底面边长为a,高为h,因为正六棱柱的最大对角面的面积为4,互相平行的两个侧面的距离为2,所以2ah=4,a=2,解得a=,h=,故V=Sh=6××()2×sin 60°×=6.故选B.5.某几何体的三视图如图所示,俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是( B )(A)π(B)π(C)6π(D)π解析:该几何体的上方是以2为底面圆的半径,高为2的圆锥的一半,下方是以2为底面圆的半径,高为1的圆柱的一半,其体积为V=+ ×π×22×2=2π+π=π.6.一个圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则该圆台的侧面积为( B )(A)81π (B)100π(C)14π (D)169π解析:设该圆台的上底面半径为r,则其下底面半径为4r,高为4r,结合母线长为10,可求得r=2.故该圆台的侧面积为π(2+8)×10=100π.故选B.7.棱长为a的正方体中,连接相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为( C )(A)(B)(C)(D)解析:棱长为a的正方体中,连接相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体实际上是两个底面相等的正四棱锥,四棱锥的底面是正方形面积的一半,高为正方体高的一半,故八面体的体积为2×××a×a××a=.故选C.8.在三棱锥P ABC中,三条侧棱两两互相垂直,侧棱长为a,则点P到平面ABC的距离为( C )(A)a (B) a (C) a (D) a解析:设点P到平面ABC的距离为h,因为三条侧棱两两垂直,且侧棱长为a,所以AB=BC=AC=a,所以S△ABC=a2,根据=,可得××a3=×a2×h,所以h=a,即点P到平面ABC的距离为a,故选C.9.安庆市石化一中高二上期中)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于 cm3.解析:几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体,底面是直角三角形,直角边长分别为3,4,侧面的高为5,被截取的棱锥的高为3.如图:V=V棱柱-V棱锥=×3×4×5-××3×4×3=24(cm3).答案:2410.若圆锥的侧面积为2π,底面面积为π,则该圆锥的体积为.解析:由题底面半径是1,圆锥的母线为2,则圆锥的高为,所以圆锥的体积为××π=.答案:11.如图所示,△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,则以AB边所在直线为轴,将此三角形旋转一周所得旋转体的表面积S为.解析:在△ABC中,作CD⊥AB交AB于点D,由AC=3,BC=4,AB=5,知AC2+ BC2=AB2,所以AC⊥BC,所以CD=.则以△ABC的AB边所在直线为轴,将此三角形旋转一周所得到的旋转体是两个同底的圆锥,且底面半径r=,母线长分别是3,4,所以S=πr(AC+BC)=π××(3+4)=π.答案:π12.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住,不将纸撕开,则所需纸的最小面积是.解析:如图1为棱长为1的正方体礼品盒,先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形,再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形,如图2所示,由图知正方形的边长为2,其面积为8.答案:813.已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为S,求其内接正四棱柱的体积.解:如图,设等边圆柱的底面半径为r,则高h=2r.因为S=S侧+2S底=2πrh+2πr2=6πr2,所以r=.因为内接正四棱柱的底面是正方形,设其边长为a,则BD=a=2r,所以a=r,所以V=S柱底·h=(r)2·2r=4r3=4·()3=S.即圆柱的内接正四棱柱的体积为S.14.在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.解:将四边形ABCD绕AD旋转一周形成一个被挖去圆锥的圆台,如图所示.设E为圆台上底面的圆心,连接EC,ED,则EA即为圆台的高.因为CD=2,AD=2,∠EDC=180°-∠ADC=45°,则△CED为等腰直角三角形,所以CE=ED=2,AE=4.又AB=5,则BC==5.所以几何体的表面积S=S圆台侧+S圆台下底+S圆锥侧=π×(2+5)×5+π×52+π×2×2=35π+25π+4π=60π+4π,体积V=V圆台-V圆锥=×(22+52+2×5)×4-×22×2=52π-π=.15.一个圆锥底面半径为2 cm,高为6 cm,在其内部有一个内接圆柱.(1)求圆锥的侧面积;(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?并求出侧面积的最大值.解:(1)圆锥的母线长为=2(cm),所以圆锥的侧面积S圆锥侧=π×2×2=4π(cm2).(2)画出圆锥的轴截面如图所示.设圆柱的底面半径为r cm,由题意,知=,所以r=,所以圆柱的侧面积S圆柱侧=2πrx=(-x2+6x)=-[(x-3)2-9],所以当x=3时,S圆柱侧取得最大值,且最大值为6π cm2.16.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( B )(A)+2π(B)(C)(D)解析:由三视图可知,该几何体是一个圆柱与一个半圆锥的组合体,其中圆柱的底面半径为1、高为2,半圆锥的底面半径为1、高为1,所以该几何体的体积为V=××π×12×1+π×12×2=,故选B.17.如图所示,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF=,EF与平面ABCD的距离为2,则该多面体的体积为( D )(A)(B)5 (C)6 (D)解析:法一如图1所示,连接EB,EC,AC,则=×32×2=6.因为AB=2EF,EF∥AB,所以S△EAB=2S△BEF,所以====×=.则V ABCDEF=6+=.法二如图2,设G,H分别为AB,DC的中点,连接EG,EH,GH,则EG∥FB,EH∥FC,GH∥BC,得三棱柱EGH FBC,由题意得=S AGHD×2=×3×3××2=3,=3=3=3×==×3=,则V=+=3+=.法三(补体法)如图3所示,延长EF至点G,使EG=AB=3,连接BG,CG,则多面体BCG ADE为斜三棱柱,其直截面面积为S=3,则=S·AB=9.又平面BCG∥平面ADE,F为EG的中点,连接DF,AF,所以=,所以2+=,即2=9-×3×3×2=3.所以=,所以V=-=.18.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.解析:底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为π×52×4+π×22×8=.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r,则π×r2×4+π×r2×8=r2=,解得r=.答案:19.如图,在三棱柱ABC A 1B1C1的侧棱A1A和B1B上各有一个动点P,Q,且满足A1P=BQ,M是棱CA 上的动点,则的最大值是.解析:设三棱柱ABC A 1B1C1的体积为V,因为侧棱AA1和BB1上各有一动点P,Q满足A1P=BQ,所以四边形PQBA与四边形PQB1A1的面积相等.因为M是棱AC上的点,所以M是C时,四棱锥M PQBA的体积等于三棱锥C ABA 1的体积,为V,所以的最大值是=.答案:20.如图,正方体ABCD A 1B1C1D1的棱长为2,P是BC的中点,点Q是棱CC1上的动点.(1)点Q在何位置时,直线D1Q,DC,AP交于一点,并说明理由;(2)求三棱锥B 1DBQ的体积;(3)若点Q是棱CC1的中点时,记过点A,P,Q三点的平面截正方体所得截面面积为S,求S.解:(1)当Q是棱CC1的中点时,直线D1Q,DC,AP交于一点,理由:延长D1Q、DC交于点O,则QC为△DD1O的中位线,所以C为DO的中点,延长AP、DC交于点O′,则PC为△ADO′的中位线,所以C为DO′的中点,所以点O与点O′重合,所以直线D1Q、DC、AP交于一点.(2)==×(×2×2)×2=.(3)连接AD1、PQ,由(1)知,AD1∥PQ,所以梯形APQD1为所求截面,梯形APQD1的高为=,S=(+2)×=.。