z第15章波动

y
12
波动方程不仅表示波射线上给定点的振动情况， 波动方程不仅表示波射线上给定点的振动情况，某 时刻波形，初位相及比原点落后的相位， 时刻波形，初位相及比原点落后的相位， 还反映了振动状态的传播，波形的传播，能量的传播， 还反映了振动状态的传播，波形的传播，能量的传播， 由
t x y = Acos2 ( − ) +ϕ0 π T λ
l
r FN
∆N F σ = lim ∆ → ∆ S 0 S l − l0 ∆l ε = =
l0 l0
胡克定律 σ =Y ε 比例系数Y称为杨氏模量 比例系数 称为杨氏模量
∆Fτ
A
B
β
B′
∆Fτ
3
二、剪切应变 切应力
∆τ F τ = lim ∆ → ∆ S 0 S
BB′ ∆x dx lim = lim = = tgβ 切应变 γ = AB →0 AB ∆y →0 ∆y dy
一维平面简谐波的波动方程
∂2 y 1 ∂2 y = 2 2 ∂x u ∂t 2
15.4 波动方程与波速
取小质元 a b = d x 体积为 d V = s d x 质量为 d m =ρ s d x 设质元被拉伸形变： 设质元被拉伸形变：
x
dx
x+dx
16
v F
v F
a
y
b
y+dy
v v F +dF
定义角波数
k=
2 π
y(x,t) = Acos(ω −kx+ϕ0) t
沿负方向传播的波的方程
λ
=
ω
u
8
同一振动状态X处比0处超前t=x/u
x y(x,t) = Acosωt + +ϕ0 u
例：
y(x,t) =r cos(ω +kx+ϕ0) A t 定义 波矢 k r r r ξ(r,t) = Acos(ω −k ⋅ r +ϕ0) t
π T 2 y = Acosω − x 2 λ
11
K K K K K K
t0 = T 波形恢复原样 而在一个 T 内波形向右移动了 λ ∴ T 这个物理量从时间 上反映了波的周期性
y
O
t =T / 4
t =0
t =2 / 4 T
t =3 / 4 T
t
3、x , t 都变 、 表示波射线上不同质点在不同时刻的位移 ----行波 行波
y(cm) 0.5
13
0 y(cm) u=4m/s 0.5 -0.5
1
2 3
4
t(s)
0 -0.5
4
8 12
x(m)
例2 正向波在t =0时的波形图 波速u=1200m/s 求：波函数和波长
y (cm)
t =0时 u M 10
14
0.05
x 解： 设 y = Acos[ω(t − ) +φ0] 0 u 由图 A= 0.10(cm )
r A ξ(r,t) = cos(ω ±kr +ϕ0) t r
x y(x,0) = Acosω +ϕ0 u x x y(0, ) = Acosω +ϕ0 u u
{
“+” 会聚球面波 “--” 发散球面波
二、 波函数的物理意义
看出t或 每增加 每增加T或 相位重复出现 相位重复出现， 看出 或x每增加 或λ,相位重复出现，反映了时间和空间的周期 性。
例1： ： 已知：图示为波源（x=0处）振动曲线 已知：图示为波源（ 处 且波速u=4m/s, 方向沿 轴正向 方向沿x轴正向 轴正向. 且波速 时波形曲线（ 求：t=3s时波形曲线（大致画出） 时波形曲线 大致画出） 解：
第15章 机械波 15章
波动 波动
1
一定的扰动的传播（一定运动形态的传播过程） 一定的扰动的传播（一定运动形态的传播过程） 机械波
{
电磁波 微观粒子波动性） 概率波（微观粒子波动性）
r ∆Fτ
15.1
弹性体 弹性形变
一截面为 ∆S 细棒受力如图
r ∆F
r ∆FN
r ∆F
l0
2
r FN
一、拉伸与压缩 正应力 线应变
x每增加λ，y不变 ∴反映了波的空间周期性
y
t0时刻的波形 ------ t0 时刻各点振动周相 不同
当 ϕ0 = 0 1） t0= 0 ）
T 2） t0 = ） 4
T 3） t0 = ） 2
π 2 y = Acos− x ------ t=0 时各质点的位移 λ π T 2 y = Acosω − x 4 λ
15.3
一维平面简谐行波
一、一维平面简谐波函数
r y = y(r,t)
7 ----- 波函数
轴正向传播， 设一维平面简谐波以相速 u 沿 x 轴正向传播， t 时刻波形如图
y
O
u
P
x
x ∆t = u
O 点的振动位移为 P 点的振动位移为
y(0,t) = Acos(ω +ϕ0) t
( op = x )
得
u=
T
ρ
简谐波在介质中以速度u=20m/s自左向右传播， 自左向右传播， 例3．一平面 简谐波在介质中以速度 ． 自左向右传播 已知在传播路径上的某点Ａ的振动方程为y=3cos(4πt- π) 19 已知在传播路径上的某点Ａ的振动方程为 π ,另一点Ｄ在Ａ右方 处，(1)若取 轴方向向左，并以Ａ 另一点Ｄ 右方9m处 若取x轴方向向左 另一点 若取 轴方向向左，并以Ａ 点为坐标原点，试写出波动方程，并求出Ｄ点的振动方程． 点为坐标原点，试写出波动方程，并求出Ｄ点的振动方程． (2)若取 轴方向向右，以Ａ点左方 米处的Ｏ点为 坐标原 若取x轴方向向右 点左方5米处的 点为x坐标原 米处的Ｏ 若取 轴方向向右， 重新写出波动方程及Ｄ点的振动方程。 点，重新写出波动方程及Ｄ点的振动方程。 y x u
x y(x,t) = Acosωt − +ϕ0 u
t x y(0,0) = y(x, x) = Acos[ϕ ] 或 y(x,t) = Acos 2 − +ϕ0 0 π T λ u
x y(x,t) = Acosωt − +ϕ0 u
T1 x
α2
d y α si α ≈ tg 1 = n 1 |x d x d y d y d2 y T( |x+dx − |x ) = ρ dx 2 |x d x d x d t
x+dx
x
d y d( ) ρ d2 y d x = d x T d2 x t
t
∂2 y ρ ∂2 y ∂2 y 1 ∂2 y = 2 ∂ x T ∂ 2 对比 ∂ 2 = u2 ∂ 2 t x t
1、当 x 一定时 例: x = x0 = 常数 、 一定时,
9
x y = Acosωt − +ϕ0 u
令常数
x0 y = Acosωt − ++ϕ 1 T
t每增加T，y不变
6
ω = 2 /T π
ω λ = vλ = T 2 π
λ
~ π ν =1/ λ 波数：k = 2 波数： λ
相速： 相速：
波面： 把某一时刻振动相位相同的各点的轨迹叫波面， 波面： 把某一时刻振动相位相同的各点的轨迹叫波面， 波前: 波前 把该时刻最前面的波面叫波前 波线： 波线：波的传播方向 各向同性介质， 各向同性介质，波 线与 波面垂直 平面波： 球面波： 平面波： 球面波：
2
∂y F =Ys ∂x
17
纵波波速 u = 1 横波波速 u2 = 三维情况： 三维情况：
Y
ρ
G
Y为杨氏模量 为杨氏模量 G为剪切模量 为剪切模量
2
ρ
∂2 ∂ ∂ 2 式中 ∇ = ∆ = + 2 + 2 =∇⋅∇ 称为 拉普拉斯算子 2 ∂x ∂y ∂z
1 ∂ξ ∇ ξ − 2 2 =0 u ∂t 2 2
π (1)波动方程为： y = 3cos(4 t −π + 波动方程为： 波动方程为
πx
5
)
14 π 振动方程为： 振动方程为： yD =3cos(4 t − π ) 5 A D (2) O =5 A m 9m 5 yo =3cos[4 (t + ) −π] =3cos(4 t) π π y 20 u πx y =3cos4 t − π A D o 5 x 14 π yD = 3cos(4 t − π ) 5m 9m 5
一、机械波的产生和传播 1、机械波产生的条件演示 1）波源 、机械波产生的条件演示 ） 2. 横波：演示 横波： 纵波： 纵波：演示 2）媒质 ） 共性： 共性：波动性
5
二、 常用的概念
周期： 周期： T 波长： 波长： λ 波速： 波速： u = (时间 频率： ν =1/T 时间)频率 时间 频率： 空间频率： 空间频率：
例 4 ： 某质点作简谐振动， 周期为2 ｓ ， 振幅为0.06ｍ ， 开始计时 某质点作简谐振动 ， 周期为 2 振幅为 0 06 ｍ 20 ｔ＝0 质点恰好处在负向最大位移处， （ｔ＝ 0 ） ，质点恰好处在负向最大位移处， 求 （ １ ） 该质点的振 动方程； 此振动以速度ｕ＝ ｍ／ｓ沿 轴正方向传播时， ｕ＝2 动方程；（２）此振动以速度ｕ＝2 ｍ／ｓ沿ｘ轴正方向传播时， 形成的一维简谐波的波动方程； 该波的波长． 形成的一维简谐波的波动方程；（３）该波的波长． 解：（１）振动方程 ：（１ cos（ ｔ／２ y＝0.06cos（２πｔ／２＋π） cos cos（ ｔ＋π ＝0.06cos（πｔ＋π） cos （ＳＩ） （２ ）波动方程，以该质点的平衡位置为坐标原点，振 波动方程，以该质点的平衡位置为坐标原点， 动的传播速度方向为坐标轴正方向． 动的传播速度方向为坐标轴正方向． y＝0.06cos［π（ｔ－ｘ／ｕ）＋π］ ＝ ［ （ｔ－ｘ／ｕ）＋π cos［ ）＋π ＝0.06cos［π（ｔ－ｘ／ 2）＋π］ （ＳＩ） cos ）＋ （３）波长 λ＝ｕT＝４（ｍ） ＝ｕT