解三角形选择填空部分
2023年中考数学必考特色题型讲练【选择题】必考重点10 解三角形
【填空题】必考重点10 解三角形解三角形是指已知三角形的部分边和角，求出三角形中其他未知的边和角。
通常利用勾股定理、相似三角形的性质或者锐角三角函数的边角关系进行求解，是江苏省各地市中考的必考点，考查形式多样，既有选择题、填空题，也会考查解答题，选择和填空考查时，难度中等或者偏难，综合题考查时难度中等。
接此类题目时，要善于运用勾股定理、相似三角形的对应边成比例的性质求三角形的边长，能够运用锐角三角函数的基本知识进行边角互化，从而解出三角形。
【2022·江苏南通·中考母题】如图，B 为地面上一点，测得B 到树底部C 的距离为10m ，在B 处放置1m 高的测角仪BD ，测得树顶A 的仰角为60︒，则树高AC 为___________m （结果保留根号）．【考点分析】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用—仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．【思路分析】在Rt ADE △中，利用tan 10∠===AE AE ADE DE AE =1m 即为AC 的长．【2022·江苏常州·中考母题】如图，在四边形ABCD 中，90A ABC ∠=∠=︒，DB 平分ADC ∠．若1AD =，3CD =，则sin ABD ∠=______．【考点分析】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造直角三角形求解．【思路分析】过点D 作BC 的垂线交于E ，证明出四边形ABED 为矩形，BCD △为等腰三角形，由勾股定理算出DE BD【2022·江苏南通·中考母题】如图，点O 是正方形ABCD 的中心，AB =Rt BEF △中，90,︒∠=BEF EF 过点D ，,BE BF 分别交,AD CD 于点G ，M ，连接,,OE OM EM ．若1,tan 3=∠=BG DF ABG ，则OEM △的周长为___________．【考点分析】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理，综合性较强，能够作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．【思路分析】连接BD ，则BD 过正方形ABCD 的中心点O ，作FH ⊥CD 于点H ，解直角三角形可得BG＝AG ＝13AB ，然后证明△ABG ≌△HFD （AAS ），可得DH ＝AG ＝13AB ＝13CD ，BC ＝HF ，进而可证△BCM ≌△FHM （AAS ），得到MH ＝MC ＝13CD ，BM ＝FM ，然后根据等腰三角形三线合一求出DF ＝FM ，则BG ＝DF ＝FM ＝BM ＝出OM 、EM 和OE 即可解决问题．【2022·江苏无锡·中考母题】△ABC 是边长为5的等边三角形，△DCE 是边长为3的等边三角形，直线BD 与直线AE 交于点F ．如图，若点D 在△ABC 内，∠DBC =20°，则∠BAF ＝________°；现将△DCE 绕点C 旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF 长度的最小值是________．【考点分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【思路分析】利用SAS 证明△BDC ≌△AEC ，得到∠DBC=∠EAC =20°，据此可求得∠BAF 的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB =60°，推出A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上，当BF 是圆C 的切线时，即当CD ⊥BF 时，∠FBC 最大，则∠FBA 最小，此时线段AF 长度有最小值，据此求解即可．1．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边4AB =，6BC =，若不改变矩形ABCD A 在x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D 始终在y 轴的正半轴上随之上下移动，当点A 移动到某一位置时，点C 到点O 的距离有最大值，则此时点A 的横坐标为______ ．2．（2022·江苏·阳山中学一模）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，有一个锐角为60°，AB ＝4，若点P 在线段AB上（不与点A 、B 重合），且30PCB ∠=︒，则CP 的长为______．3．（2022·江苏·无锡市天一实验学校三模）如图，平面内几条线段满足10AB BC ==．AB 、CD 的交点为E ，现测得AD BC ⊥，AD DE =，3tan 4DAE ∠=，则CD 的长度为___________．4．（2022·江苏苏州·二模）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，5AB =，4BC =．将ABC 绕点A 旋转得AB C ''△，连接B C '，B ′B ，则B CB '△面积的最大值为________．5．（2022·江苏镇江·二模）如图，在等腰直角△ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 在△ABC 内部，连接BD 、CD ，将△BDC 绕点C 逆时针旋转90°得到△AEC ，点M 在边AE 上，若=90BDC ∠︒，24AC CD ==，则线段BM 的最小值为______．6．（2022·江苏苏州·一模）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，2AC =，点P 是边AB 上的一动点．A B C ABC ''△△≌，将A B C ''△绕点C 按逆时针方向旋转，点E 是边A C '的中点，则PE 长度的最小值为______．7．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4AC BC ==．矩形DEFG 的顶点D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AB 上，若3tan 4DEC ∠=，则当EC ＝______时，矩形DEFG 面积的最大值＝______．8．（2022·江苏南通·二模）某校航模小组打算制作模型飞机，设计了如图所示的模型飞机机翼图纸，图纸中AB CD ∥，均与水平方向垂直．根据图中数据，机翼外缘CD 的长为______cm ．（结果取整数，参考sin 270.45︒≈，cos270.89︒≈，tan 270.51︒≈）9．（2022·江苏·靖江市教师发展中心二模）如图，AB BC ⊥，5AB =，点E 、F 分别是线段AB 、射线BC 上的动点，以EF 为斜边向上作等腰Rt DEF △，90D ∠=︒，连接AD ，则AD 的最小值为______．10．（2022·江苏泰州·二模）如图，在等边ABC 外侧作直线AD ，点C 关于直线AD 的对称点为M ，连接CM ，BM ．其中BM 交直线AD 于点E ．若60120CAD <∠<︒︒，当3BE =，4ME =时，则等边ABC 的边长为______．11．（2022·江苏·无锡市河埒中学二模）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 是CD 边上的一点，连接BP ，以BP 为一边在正方形内部作45PBQ ∠=︒，过点A 作AE BP ∥，交BQ 的延长线于点E ，则BP BE ⋅=______．12．（2022·江苏宿迁·二模）如图，在ABC 中，21530AC A B =∠=︒∠=︒，，，则ABC 的面积为_______．13．（2022·江苏常州·二模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3sin 5B =．D 是边BC 的中点，点E 在AB 边上，将BDE △沿直线DE 翻折，使点B 落在同一平面内点F 处，线段FD 交边AB 于点G ，若FD AB ⊥时，则AE BE=______．14．（2022·江苏南京·一模）如图Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，点P 为BC 上任意一点，连接P A ，以P A ，PC 为邻边作平行四边形P AQC ，连接PQ ，则PQ 的最小值为 _____．15．（2022·江苏常州·模拟预测）如图，正方形ABCD 的边长是3．BP CQ =，连接AQ 、DP 交于点O ，并分别与边CD 、BC 交于点F 、E ，连接AE ，下列到结论：①DF CE =；②2OQ OA OF =⋅；③AOD OECF S S ∆=四边形；④222AO OE BC +=；⑤当1BP =时，1an 136t OAE ∠=，其中正确结论是：__．16．（2022·江苏·无锡市天一实验学校二模）如图，将两块三角板OAB （∠OAB =45°）和三角板OCD （∠OCD =30°）放置在矩形BCEF 中，直角顶点O 重合，点A 、D 在EF 边上，AB =6．（1）若点O 到BC ，则点O 到EF 的距离为_________；（2）若BC =3AD ，则△OCD 外接圆的半径为_________．17．（2022·江苏·苏州草桥中学一模）如图，将Rt ACB 绕斜边AB 的中点O 旋转一定的角度得到Rt FAE ，已知3AC =，2BC =，则cos CAE ∠=________．18．（2022·江苏徐州·二模）如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点D ，E ，F 分别是边BC ，AB ，AC 边上的动点，则DEF 周长的最小值是______．19．（2022·江苏南通·一模）如图，△ABC 中，90ACB ∠=，3sin 5B =，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转，得△DCE ，点D ，点E 分别与点A ，点B 对应，边CE ， DE 与边AB 相交，交点分别为点F ，点G ，若32AF BF =，则EG BC的值为_________．20．（2022·江苏无锡·一模）如图，在四边形ABCD 中，AD CD ==6CB AB ==，90BAD BCD ∠=∠=︒，点E 在对角线BD 上运动，⊙O 为△DCE 的外接圆，当⊙O 与AD 相切时，⊙O 的半径为__________；当⊙O 与四边形ABCD 的其它边相切时，其半径为__________．21．（2022·江苏无锡·一模）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，D 是BC 的中点，连接AD ，过点C 作CF ⊥AD 交AB 于F ，则△ABD 的面积为______，BF ＝______．22．（2022·江苏无锡·一模）一个含30度角的三角板和一个含45度角的三角板按如图所示的方式拼接在一起，经测量发现，AC =CE AB 中点O ，连接OF .∠FCE 在∠ACB 内部绕点C 任意转动(包括边界)，则CE 在运动过程中扫过的面积为____；在旋转过程中，线段OF 的长度最小时，两块三角板重叠部分的周长为____．23．（2022·江苏·靖江市实验学校一模）在△ABC 中，∠BAC ＝120°，D 为BC 的中点，AE ＝6，把AD 绕点A 逆时针旋转120°，得到AF ，若CF ＝7，∠ACF ＝∠AEC ，则AC ＝________．24．（2022·江苏连云港·一模）如图，在矩形ABCD 和Rt BEF △中，6,5,4AB BC BE BF ====，将BEF △绕着点B 顺时针旋转，连接,CE AF ，当BCE ∠最大时，ABF △的面积为___________．25．（2022·江苏·常州市武进区前黄实验学校一模）如图，矩形ABCD中，3AB=，4BC=，点E是矩形ABCD对角线AC上的动点，连接DE，过点E作EF DE⊥交BC所在直线与点F，以DE、EF为边作矩形DEFG，当92DEFGS=矩形时，则AE长为______．【填空题】必考重点10 解三角形解三角形是指已知三角形的部分边和角，求出三角形中其他未知的边和角。
解三角形经典练习题集锦(附答案)
解三角形一、选择题1．在△ABC 中，若030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．Atan 13．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150二、填空题1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。
2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。
3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。
4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则 C =_____________。
5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。
三、解答题1.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。
三角函数、解三角形 选择填空题(江苏高考版)含答案
7、已知 ， ，其中 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
8、若 的外接圆半径为2，且 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
9、已知函数 ， ，则下列结论正确的是（）
A． 的图象关于点 对称B． 的图象的一条对称轴是
C． 在 上递减D． 在 值域为
【答案】BC
10．已知sin( ﹣ )＝ ，则sin(2 ＋ )＝
A． ＝2B．
C． 在( ，0)上单调递增D． 在(0，2 )上有3个极小值点
答案：AC
解析：因为 ， ，所以 ，故B错；因为 在[0，2 ]上有且仅有4个零点，故A对；易知 ，画出草图可知，在( ，0)上单调递增，故C正确；在(0，2 )上有2个极小值点，故D错．综上选AC．
13.已知cos( )= ,a∈(0, )，则sina =______________
答案：
14.在平面直角坐标系xOy中，设A(1，0)，B(3，4)，向量 ＝x ＋y ，x＋y＝6，则| |的最小值为()
A. 1B. 2C. D. 2
答案：D
15.已知α＋β＝ (α>0，β>0)，则tanα＋tanβ的最小值为( )
A. B. 1C.－2－2 D.－2＋2
答案：D
16.若函数f(x) ＝cos2x＋sinx，则关于f(x)的性质说法正确的有( )
31．若向量 ， 满足| － |＝ ，则 的最小值为．
【答案】－
【考点】平面向量的综合应用
【解析】法一：由题意，| － |2＝ 2＋ 2－2 ≥－2 －2 ＝－4 ，即3≥－4 ，则 ≥－ ．
法二：由题意， ＝ ≥－ | － |2＝－ ，所以 的最小值为－ ．
八年级上册数学 三角形填空选择专题练习(解析版)
八年级上册数学 三角形填空选择专题练习（解析版）一、八年级数学三角形填空题（难）1．若△ABC 三条边长为a ，b ，c ，化简：|a -b -c |-|a +c -b |=__________．【答案】2b-2a【解析】【分析】【详解】根据三角形的三边关系得：a ﹣b ﹣c ＜0，c +a ﹣b ＞0，∴原式=﹣(a ﹣b ﹣c )﹣(a +c ﹣b )=﹣a +b +c ﹣a ﹣c +b =2b ﹣2a ．故答案为2b ﹣2a【点睛】本题考查了绝对值得化简和三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，据此解答即可.2．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。
【答案】45︒【解析】【分析】根据三角形内角与外角的关系可得2M MAB ∠∠∠=+由角平分线的性质可得MAB MAO ∠∠=根据三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=︒易得∠M 的度数。
【详解】在ABM 中，2∠是ABM 的外角∴2M MAB ∠∠∠=+由三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=︒∵BOA 90∠=︒∴OBA OAB 90∠∠+=︒∵MA 平分BAO ∠∴BAO 2MAB ∠∠=由三角形内角与外角的关系可得12BAO BOA 90BAO ∠∠∠∠∠+=+=︒+ ∵12∠∠=∴2290BAO ∠∠=︒+又∵2M MAB ∠∠∠=+∴222M 2MAB 2M BAO ∠∠∠∠∠=+=+∴90BAO 2M BAO ∠∠∠︒+=+2M 90∠=︒M 45∠=︒【点睛】本题考查三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和。
解三角形高考题汇编
解三角形一、选择题1.若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足4)(22=-+c b a ，且C=60°，则ab 的值为A ．34 B ．348- C ． 1 D ．32 2.在ABC ∆中，D 是边AC 上的点，且BD BC BD AB AD AB 2,32,===，则C sin 的值为A ．33 B.63 C.36 D.663.在ABC ∆中,C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤．则A 的取值范围是A ．（0，6π] B ．[ 6π，π） C ．（0，3π] D ．[ 3π，π） 4.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，a A b B A a 2cos sin sin 2=+，则=ab（A） （B） （C（D5.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ） ABCD6.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A.B. 2C. 12D. 12-7.在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 8 ．已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34-9.在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =10 ．在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56π 11．在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A.12πB.6π C.4π D.3π二、填空题：1.在相距2千米的B A ,两点处测量目标C ，若0060,75=∠=∠CBA CAB ，则C A ,两点之间的距离是 千米。
高考数学《解三角形》一轮复习练习题(含答案)
高考数学《解三角形》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222b c a bc +=+，则角A 的大小为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 2．ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cos =c b A ，则ABC 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形3．在ABC 中，c =1b =，30B ∠=︒，则ABC 的面积等于（ ）AB C D4．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若2,30a b C ===，则c 的值为（ ）A ．1BC D ．5．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin cos 1B C B C A +-+=，则A =（ ）．A ．π6B ．5π6 C ．π3D ．2π36．在ABC 中，1,2,60a c B ===︒，则b =（ ）A ．1B ．2CD 7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos (cos cos )C a B b A c +=，若ABC.则ab 的最小值为（ ） A ．13B ．16C ．19D ．1128．已知抛物线E ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点A 是抛物线E 的准线与坐标轴的交点，点P 在抛物线E 上，若30PAF ∠=，则sin PFA ∠=（ ）A ．12B C D 9．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是S =a ，b ，c 是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若sin 2sin cos C A B =，且224b c +=，则ABC 面积S 的最大值为（ ）A B C D10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设()(222b c a bc +=+，且sin B A =，则sin C =（ ）A ．12B C D 11．在锐角△ABC 中，()222S a b c =--，2a =，则△ABC 的周长的取值范围是（ ）A ．(]4,6B ．(4,2⎤⎦C ．(6,2⎤⎦D ．(2⎤⎦ 12．在ABC 中，9AB AC ⋅=，()sin cos sin A C A C +=，6ABCS =，P 为线段AB 上的动点，且CA CBCP x y CACB=⋅+⋅，则21x y +的最小值为（ ）A ．116+B ．116C ．1112D ．1112二、填空题13．在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为___________海里.14．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2,1,30a b B ===︒，则A =_________.15．正四棱锥S ABCD -的底面边长为a ，侧棱长为2a ，点P ，Q 分别在BD 和SC 上，并且:1:2=BP PD ，//PQ 平面SAD ，则线段PQ 的长为__________．16．已知三棱锥A BCD -的各棱长都相等，2AP PD =，Q 为AC 上一点，且BQ QP +的最________ 三、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足πsin()cos 6⎛⎫+=- ⎪⎝⎭a A C b A ．(1)求角A ；(2)若3,5a b c =+=，求ABC 的面积．18．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12331,sin 23S S S B -+==． (1)求ABC 的面积； (2)若2sin sin 3A C =，求b ．19．在①()2223sin 2a cb B ac +-=且4B π>；②sin 31cos b A a B =-；③sin sin sin sin B C a A C b c +=--这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． 问题：在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且__________． (1)求B ；(2)若D 为边AC 的中点，且3,4==a c ，求中线BD 长．20．如图，扇形OMN 的半径为3，圆心角为3π，A 为弧MN 上一动点，B 为半径上一点且满足23OBA π∠=.(1)若1OB =，求AB 的长；(2)求△ABM 面积的最大值.21．如图，在边长为1的正三角形ABC 中，O 为中心，过点O 的直线交边AB 与点M ，交边AC 于点N ．(1)用AB ，AC 表示AO ； (2)若34AM =，求AN 的值； (3)求22OM ON +的最大值与最小值．22．在①2cos cos cos a A b C c B =+；②tan tan 33tan B C B C +=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知______． (1)求角A 的大小；(2)若ABC 3G 为ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且2AN NB =，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分。
八年级数学上册三角形填空选择专题练习(解析版)
八年级数学上册三角形填空选择专题练习（解析版）一、八年级数学三角形填空题（难）1．若△ABC三条边长为a，b，c，化简：|a-b-c|-|a+c-b|=__________．【答案】2b-2a【解析】【分析】【详解】根据三角形的三边关系得：a﹣b﹣c＜0，c+a﹣b＞0，∴原式=﹣(a﹣b﹣c)﹣(a+c﹣b)=﹣a+b+c﹣a﹣c+b=2b﹣2a．故答案为2b﹣2a【点睛】本题考查了绝对值得化简和三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，据此解答即可.2．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1=40°，∠2=50°，那么∠ 3的度数等于______________．【答案】12°【解析】等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是108°，则∠3=360°-60°-90°-108°-∠1-∠2=12°．点睛：本题考查的是多边形的内角，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．3．如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，三角板XYZ的两条直角边XY、XZ改变位置，但始终满足经过B、C两点．如果△ABC中，∠A＝52°，则∠ABX＋∠ACX=_________________．【答案】38°【解析】∠A＝52°，∴∠ABC+∠ACB=128°，∠XBC+∠XCB=90°，∴∠ABX＋∠ACX=128°-90°=38°.4．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝_____．【答案】115°．【解析】【分析】根据三角形的内角和定理得出∠ABC+∠ACB=130°，然后根据角平分线的概念得出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和定理即可得出∠BOC的度数．【详解】解；∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∵∠B和∠C的平分线交于点O，∴∠OBC＝12∠ABC，∠OCB＝12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝12×（∠ABC+∠ACB）＝12×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°，故答案为：115°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线的概念，关键是求出∠OBC+∠OCB的度数．5．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________度．【答案】360 °【解析】如图所示，根据三角形外角的性质可得，∠1+∠5=∠8，∠4+∠6=∠7，根据四边形的内角和为360°，可得∠2+∠3+∠7+∠8=360°，即可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.点睛：本题考查的知识点：（1）三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和； （2）四边形内角和定理：四边形内角和为360°．6．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，a ，b 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0，c 为奇数，则c=_____．【答案】7【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c 的取值范围，再根据c 是奇数求出c 的值．【详解】∵a ，b 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0，∴a ﹣7=0，b ﹣1=0，解得a=7，b=1，∵7﹣1=6，7+1=8，∴68c <<，又∵c 为奇数，∴c=7，故答案为7．【点睛】本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．7．已知一个三角形的三边长为3、8、a，则a的取值范围是_____________．【答案】5＜a＜11【解析】【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得8-3＜a＜8+3，再解即可．【详解】解：根据三角形的三边关系可得：8-3＜a＜8+3，解得：5＜a ＜11，故答案为：5＜a＜11．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．8．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．【答案】360°．【解析】【分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．【详解】由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，故答案为360°．【点睛】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝_____度．【答案】45【解析】【分析】根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°．【详解】∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）∴∠EAF=∠DBF，在Rt△ADC和Rt△BDF中，CAD FBDBDF ADCBF AC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BD=AD，即∠ABC=∠BAD=45°．故答案为45．【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．10．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=__．【答案】40°【解析】【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠6+∠7的度数，进而得出答案．【详解】如图所示：∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°，∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，∴∠6+∠7=140°，∴∠5=180°-（∠6+∠7）=40°．故答案为40°．【点睛】主要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解题关键．二、八年级数学三角形选择题（难）11．如图，∠ABC =∠ACB ，BD 、CD 分别平分△ABC 的内角∠ABC 、外角∠ACP ，BE平分外角∠MBC 交 DC 的延长线于点 E ，以下结论：①∠BDE =12∠BAC ；② DB⊥BE ；③∠BDC +∠ACB= 90︒；④∠BAC + 2∠BEC = 180︒ .其中正确的结论有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】D【解析】【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、判断即可．【详解】① ∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，∴∠ACP=2∠DCP，∠ABC=2∠DBC，又∵∠ACP=∠BAC+∠ABC，∠DCP=∠DBC+∠BDC，∴∠BAC=2∠BDE，∴∠BDE =12∠BAC∴①正确；②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=12∠ABC+12∠MBC=12×180°=90°，∴EB⊥DB，故②正确，③∵∠DCP=∠BDC+∠CBD，2∠DCP=∠BAC+2∠DBC，∴2(∠BDC+∠CBD)=∠BAC+2∠DBC，∴∠BDC=12∠BAC，∵∠BAC+2∠ACB=180°，∴12∠BAC+∠ACB=90°，∴∠BDC+∠ACB=90°，故③正确，④∵∠BEC=180°−12(∠MBC+∠NCB)=180°−12(∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC)=180°−12(180°+∠BAC)∴∠BEC=90°−12∠BAC，∴∠BAC+2∠BEC=180°，故④正确，即正确的有4个，故选D【点睛】此题考查三角形的外角性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，解题关键在于掌握各性质定理12．已知如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠BAC=60°，BO、AO分别平分∠ABC 和∠BAC，求∠BCO的大小（）A．35°B．40°C．55°D．60°【答案】A【解析】分析:先根据三角内角和可求出∠ACB=180°-50°-60°=70°,根据角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等可得:点O到AB和BC的距离相等,同理可得:点O到AC和BC的距离相等,然后可得: 点O到AC和BC的距离相等,再根据角平分线的判定可得:OC平分∠ACB,所以∠BCO =12∠ACB=35°.详解: 因为∠ABC=50°,∠BAC=60°,所以∠ACB=180°-50°-60°=70°,,因为BO，AO分别平分∠ABC和∠BAC,所以点O到AB和BC的距离相等,同理可得:点O到AC和BC的距离相等,所以点O到AC和BC的距离相等,所以OC平分∠ACB,所以∠BCO =12∠ACB=35°.点睛:本题主要考查三角形内角和和角平分线的性质和判定,解决本题的关键是要熟练掌握三角形内角和性质和角平分线的性质和判定.13．如图，在△ABC中，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点．若∠A＝60°，则∠BMN的度数为( )A．45°B．50°C．60°D．65°【答案】B【解析】分析：过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NG=NF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出MN平分∠BMC，然后根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角的三等分求出∠MBC+∠MCB的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠BMC的度数，从而得解．详解：如图，过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，∵∠ABC 的三等分线与∠ACB 的三等分线分别交于点M 、N ，∴BN 平分∠MBC ，CN 平分∠MCB ，∴NE=NG ，NF=NG ，∴NE=NF ，∴MN 平分∠BMC ，∴∠BMN=12∠BMC ， ∵∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−60°=120°，根据三等分,∠MBC+∠MCB=23 (∠ABC+∠ACB)=2 3×120°=80°. 在△BMC 中,∠BMC=180°−(∠MBC+∠MCB)=180°−80°=100°. ∴∠BMN=12×100°=50°； 故选：B.点睛：本题考查了三角形的内角和定理：三角形内角和为180°；角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.熟记性质和定理是解本题的关键.14．如图将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若120∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒【答案】C【解析】【分析】 先根据三角形外角的性质求出∠BEF 的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．【详解】如图，∵∠BEF 是△AEF 的外角，∠1=20︒，∠F=30︒，∴∠BEF=∠1+∠F=50︒，∵AB∥CD，∴∠2=∠BEF=50︒，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．∠的度数15．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则3等于（）A．50°B．30°C．20°D．15°【答案】C【解析】【分析】根据平行和三角形外角性质可得∠2=∠4=∠1+∠3，代入数据即可求∠3．【详解】如图所示，∵AB∥CD∴∠2=∠4=∠1+∠3=50°，∴∠3=∠4-30°=20°，故选C.16．在下列图形中，正确画出△ABC的AC边上的高的图形是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】△ABC的AC边上的高的就是通过顶点B作的AC所在直线的垂线段，根据定义即可作出判断．【详解】解：△ABC的AC边上的高的就是通过顶点B作的AC所在直线的垂线段．根据定义正确的只有C．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的高线的定义，理解定义是关键．17．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【解析】分析：根据多边形的内角和公式计算即可.详解：.答:这个正多边形的边数是9.故选A.点睛：本题考查了多边形，熟练掌握多边形的内角和公式是解答本题的关键.18．一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．【详解】解：设这个多边形的边数为n，则有（n-2）180°=900°，解得：n=7，∴这个多边形的边数为7．故选B．【点睛】本题考查了多边形内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键.19．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠DFB=∠CGE；③∠ADC=∠GCD；④CA平分∠BCG;其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】【分析】根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB．又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；④无法证明CA平分∠BCG，故错误；③∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°﹣135°﹣90°=135°，∴∠DFB=45°=∠CGE，∴∠CGE=2∠DFB，∴∠DFB=∠CGE，故正确．故选C．点睛：本题主要考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．20．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为()A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(n﹣2)×180°=720°，然后解方程即可．【详解】设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°．解得n=6.故选C.【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键.。
上海初三数学25.3解直角三角形(2)
25.3 解直角三角形（2）一、填空题:1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，则b=______，c=_______．2. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=8，b=6，则c=_______，tanA=______．3. 已知：cos A －12＝0，则锐角∠A ＝__________.4. 在等腰三角形ABC 中，已知：∠B ＝∠C ＝30°，BC ＝4，则BC 边上的高为__________．5. 在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝2BC ，则sin A 的值是 .6. 已知：一个菱形的周长为16 cm ，一个锐角为60°，则两条对角线的长为 ．7. 在△ABC 中，AD ＝BD ＝3，CD ＝1，AD 是BC 边上的高，那么∠BAC ＝________.8. △ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝4，则△ABC 的面积是________．二、选择题:9. 菱形ABCD 的对角线AC=6，BD=8，∠ABD=α，则下列结论正确的是（ ）A ．sin α=45B ．cos α=35C ．tan α=43D ．sin α=3510. 如图，钓鱼竿AC 长6米，露出水面的鱼线BC 长32米，某钓者想看看鱼钓上的 情况，把鱼竿AC 转动到AC ′的位置，此时露出水面的鱼线B ′C ′长33米，则鱼竿转过的角度是（ ）A ．60°B ．45°C ．15°D ．90°三、简答题：11. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=32，AC=4，求∠A ，∠B 和BC ．12. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，∠BAC 的平分线AD=1633，求∠B 的度数及BC ，AB 的长度．四、拓展题：13. 已知：如图，在ABC △中，AD 是边BC 上的高，E 为边AC 的中点，14BC =，12AD =，4sin 5B =．求（1）线段DC 的长；（2）tg EDC ∠的值．14. 一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°， ∠E ＝45°，∠A＝60°，AC ＝10，试求CD 的长．AE C D B25.3 解直角三角形(2)1.c=82.10；433. 60°4.35.56.4和 75° 8.49.D 10.C 11.∠B=60°，∠A=30°， ∠B=30°，BC=AB=16 13. CD=5， 12tan EDC=5∠ 14.。
中考数学专题 解直角三角形含答案
4、在 ABC 中， C 1350 ,a 2,b 2 求：①c 的长 ②sinA 的值 ③求 AB 边上的高 h
5、如图 8，在 ABC 中，已知 C 900 , AC 6 3,BAC 的平分线 AD=12，求 ABC 其余各边的长，各角的度数和 ABC 的内切圆的半径的长。
6、如图 9，要测铁塔的高 AB，从与铁塔底部在同一水平直线上的 C、D 两处，用测 角仪器测得铁塔顶 B 的仰角分别为 300 和 450 ，C、D 间距离为 14 米，测角仪器的
2
A、 ＞600
B、 ＜600
C、 ＞300
D、 ＜300
13、若 00＜ ＜1800，且 cos 3 ，则角 的度数是：
2
A、300
B、600
C、1500
D、300 或 1500
14、在 ABC 中， A 900 ，AD⊥BC，若 AB＝2AC，则 BC 与 DC 之间的关系为：
A、BC=2DC
A、12, 3 3
B、12, 3
C、 4 3, 3 3
D、 4 3, 3
11、若 , 互为补角，那么以下四个关系式中，不一定成立的是：
A、 sin sin ＞0
B、cos -cos ＞0
C、 sin sin ＝0
D、cos ＋cos ＝0
12、 是直角三角形的一个锐角， cos ＞ 1 则：
为：
A、16 和 9
B、9 和 16
C、16 和 12
D、12 和 16
三、解答题
1、已知 00＜ ＜1800，00＜θ ＜1800，且 cos 3 ,sin 1 ，
2
2
求 tg ctg 的值。
2、 RtABC 中， C ＝900，c=17，内切圆半径 r＝3，求两条直角边 a、b。
专题06三角函数与解三角形选择填空题(解析版)
大数据之十年高考真题（2011-2020）与最优模拟题（新课标文科）
专题06三角函数与解三角形选择填空题
本专题考查的知识点为：三角函数与解三角形，历年考题主要以选择填空题题型出现，重点考查的知识点为：三角函数的性质、正弦定理和余弦定理，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以三角函数的性质，三角变换为重点较佳.
1．【2020年全国1卷文科07】设函数f(x)=cos (ωx +π6)在[−π,π]的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）
A ．10π9
B ．7π6
C ．4π3
D ．3π2 【答案】C
【解析】
由图可得：函数图象过点(−4π9,0)，
将它代入函数f (x )可得：cos (−
4π9⋅ω+π6)=0 又(−4π9,0)是函数f (x )图象与x 轴负半轴的第一个交点，
所以−4π9⋅ω+π6=−π2，解得：ω=32
所以函数f (x )的最小正周期为T =
2πω=2π32=4π3 故选：C。
高考数学解三角形选择填空专题练习(含答案)
高考数学解三角形选择填空专题练习一、选择题1．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，60B =︒，4a =，其面积S =则c =（ ）A ．15B ．16C ．20D ．2．在ABC △中，1a =，π6A ∠=，π4B ∠=，则c =（ ）A B C D 3．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1cos 2b a Cc =+，则角A 为（ ）A ．60︒B ．120︒C ．45︒D ．135︒4．ABC △中A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 其面积2224a b c S +-=，则中C 的大小是（ ）A ．30︒B ．90︒C ．45︒D ．135︒5．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ，cos cos 2b A a B +=，则ABC △的外接圆面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π6．如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点的距离为（ ）A ．B ．mC ．mD ．m 27．在ABC △中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 所对的边，若cos 4cos a C c A =-，π3B =，a =，则cosC =（ ）A ．14B C D8．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足2cos cos cos b B a C c A =+，若b 则a c +的最大值为（ ）A ．B ．3C ．32D ．99．在ABC △中，若22tan tan A a B b =，则ABC △的形状是（ ） A ．等腰或直角三角形 B ．直角三角形 C ．不能确定D ．等腰三角形10．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4442222a b c c a b++=+，若C 为锐角，则sin B A +的最大值为（ ）AB 1C D11．已知锐角ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2B A =，则sin a Ab的取值范围是（ ）A ．⎝⎭B ．⎝⎭C ．12⎛ ⎝⎭D ．12⎫⎪⎪⎝⎭12．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A 是B 和C 的等差中项，0AB BC ⋅>，a =，则ABC △周长的取值范围是（ ）A ．⎝⎭B ．⎭C ．⎝⎭D ．⎝⎭二、填空题13．在ABC △中，3AB =，4AC =，3BC =，D 为BC 的中点，则AD =__________．14．在ABC △中，三个内角A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别是a ，b ，c ，若()2sin cos 2sin cos b C A A C +=-，且a =ABC △面积的最大值是________．15在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．16．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A 、B 、C 成等差数列，b ABC △面积的取值范围是__________．参考答案 1．【答案】C【解析】由三角形面积公式可得11sin 4sin 6022ABC S ac B c ==⨯⨯⨯︒=△据此可得20c =．本题选择C 选项． 2．【答案】A【解析】由正弦定理sin sin a bA B =可得π1sinsin 4πsin sin 6a Bb A ⨯===，且()()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=--=由余弦定理可得c =，故选A ． 3．【答案】A【解析】1cos 2b a C C =+，1sin sin cos sin 2B A C C ∴=+，()1sin sin cos cos sin sin cos sin 2A C A C A C A C C +=+=+，1cos sin sin 2A C C =，1cos 2A =，60A =︒，故选A ．4．【答案】C【解析】∵ABC △中，1sin 2S ab C =，2222cos a b c ab C +=-，且2224a b c S +-=，∴11sin cos 22ab C ab C =，即tan 1C =，则45C =︒．故选C ． 5．【答案】D【解析】由cos cos 22sin sin sin b A a B a b cR A B C+====⎧⎪⎨⎪⎩，可得1sin cos sin cos B A A B R +=， 所以()1sin A B R +=，即1sin C R=，又cos C ，所以1sin 3C =，所以3R =，所以ABC △的外接圆面积为24π36πs R ==．故选D ． 6．【答案】A【解析】在ABC △中，50m AC =，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒，即30ABC ∠=︒，则由正弦定理sin sin AB ACACB ABC=∠∠，得50sin 2m 1sin 2AC ACB AB ABC ∠===∠，故选A ．【解析】由余弦定理知，222222422b a c b c a a c ab bc +-+-⋅=-⋅，即4b =，由正弦定理知43πsin sin 3A =，解得sin A =，因为a b <，所以π4A =，()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+=，故选D ． 8．【答案】A【解析】2cos cos cos b B a C c A =+，则2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+， 所以()2sin cos sin sin B B A C B =+=，1cos 2B =，π3B =．又有2222231cos 222a cb ac B ac ac +-+-===，将式子化简得223a c ac +=+，则()()2233334a c a c ac ++=+≤+，所以()2134a c +≤，a c +≤A ． 9．【答案】A【解析】由正弦定理有2222tan 4sin tan 4sin A R AB R B=，因sin 0A >，故化简可得 sin cos sin cos A A B B =，即sin2sin2A B =，所以222πA B k =+或者22π2πA B k +=+，k ∈Z ．因A ，()0,πB ∈，()0,πA B +∈，故A B =或者π2A B +=，所以ABC △的形状是等腰三角形或直角三角形．故选A ． 10．【答案】A 【解析】4442222a b c c a b++=+ 444222222222222a b c a c b c a b a b ∴++--+=，即()2222222a b c a b +-=，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得2222cos a b c ab C +-=，代入上式，222224cos 2a b C a b ∴=，解得cos C ∴= C 为锐角，πA B C ++=，π4C ∴=，3π4B A =-，3π0,4A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()3πsin sin 4B A A A A ϕ⎛⎫∴=-=+≤ ⎪⎝⎭1tan 3ϕ=，故选A ．【解析】∵2B A =，∴sin sin22sin cos B A A A ==， 由正弦定理得2cos b a A =，∴12cos a b A =，∴sin sin 1tan 2cos 2a A A Ab A ==．∵ABC △是锐角三角形，∴π02π022π0π32A B A C A <⎧⎪⎪⎪⎨<<=<<=-<⎪⎪⎪⎩，解得ππ64A <<，tan 1A <<11tan 22A <<．即sin a A b的值范围是12⎫⎪⎪⎝⎭，故选D ． 12．【答案】B【解析】∵A 是B 和C 的等差中项，∴2A B C =+，∴π3A =， 又0AB BC ⋅>，则()cos π0B ->，从而π2B >，∴π2π23B <<，∵21sin sin s s 3πin in a b c A B C ====，∴sin b B =，2πsin sin 3c C B ⎛⎫==-⎪⎝⎭， 所以ABC △的周长为2πsin sin 3π6l a b c B B B ⎛⎫⎛⎫=++=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又π2π23B <<，π2π5π366B <+<，1sin 26πB ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭l <<．故选B ． 13．【答案】2【解析】在ABC △中，根据余弦定理，可得2223341cos 2339B +-==⨯⨯，在ABD △中，根据余弦定理，可得222331413232294AD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以AD =． 14．【解析】()2sin cos 2sin cos b C A A C +=-，()()cos 2sin cos sin cos 2sin 2sin b A C A A C A C B ∴=-+=-+=-， 则2sin cos b B A -=，结合正弦定理得2cos sin a A A -=，即tan A =，2π3A ∠=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，化简得22122b c bc bc +=-≥，故4bc ≤，11sin 422ABC S bc A =≤⨯=△15．【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin601sin60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得ac a c =+，111a c+=， 因此()11444559c a a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9． 16．【答案】⎝⎦【解析】∵ABC △中A ，B ，C 成等差数列，∴π3B =．由正弦定理得2sin sin sin sin 3a cb A C B ===，∴2sin a A =，2sinc C =，∴12πsin sin sin 23ABC S ac B A C A A ⎛⎫===- ⎪⎝⎭△21331cos2sin sin cos sin22242AA A A A A A A ⎫-=+==+⎪⎪⎝⎭3πsin2246A A A ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭， ∵ABC △为锐角三角形，∴π022ππ032A A <<<-<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得ππ62A <<．∴ππ5π2666A <-<，∴1πsin 2126A ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭π26A ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，故ABC △面积的取值范围是⎝⎦．。
解三角形经典练习题集锦
解三角形一、选择题1.在厶ABC 中，若C 900,a 6, B 300，则c b等于（解三角形2. _______________________________________________ 在厶ABC 中，若a2 b2 bc c2,则A ________________________ 。
3. _____________________________________________________ 在厶ABC 中，若b 2, B 30°, C 135°,则a _____________________ 。
4. 在厶ABC 中，若si nA : sin B : si nC 7 : 8 : 13，贝UC ___________ 。
°5. 在厶ABC中，AB .、6 2, C 30°，则AC BC的最大值是。
三、解答题一、选择题1. 在厶ABC 中，A: B: C 1:2:3，则a:b:c 等于（）A. 1: 2:3 B . 3:2:1 C . 1: .3:2 D . 2^ 3 :12. 在厶ABC中，若角B为钝角，则si nB si nA的值（）A.大于零B.小于零C.等于零D .不能确定3. 在厶ABC中，若A 2B，则a等于（）A . 2b si nAB . 2b cos AC . 2bsi nBD . 2b cosB4. 在厶ABC 中，若Ig si nA Ig cos B Ig sin C Ig 2，则△ ABC的形状是（）A.直角三角形 B .等边三角形 C .不能确定 D .等腰三角形A B a b7.在厶ABC中，若tan ，则△ ABC的形状是（）2 a b形或直角三角形、填空题A. 1B. 1C. 2.3D. 2.32. 若A ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）1A. sin AB. cosA C . tanA D .- tan A3. 在厶ABC中，角A, B均为锐角，且cos A sinB,则厶ABC的形状是（）A.直角三角形 B .锐角三角形 C •钝角三角形 D .等腰三角形4. 等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为600，则底在锐角△ ABC中，求证sin A sin B sinC cosA cosB cosC。
解三角形习题
一、选择题1．在△ABC 中，已知2B ＝A ＋C ，则B ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3 D.323．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－223 B.223 C ．－63 D.634．在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( )A ．a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sinC B ．a ＝b ⇔sin 2A ＝sin 2B C.asin A ＝b ＋c sin B ＋sin CD ．正弦值较大的角所对的边也较大5．在△ABC 中，a ＝bsin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题6．(2015·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________． 7．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝4∶3∶5，则2sin A －sin B sin C ＝________． 8．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则AB 边上的高是________． 三、解答题9．在△ABC 中，若acos A ＝bcos B ，试判断△ABC 的形状．10．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a 、b 及△ABC 的内切圆半径．1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若3a ＝2b ，则2sin2B －sin2Asin2A 的值为( )A.19B.13 C ．1 D.722．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________． 3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C.A 级 基础巩固 一、选择题1．(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．在△ABC 中，已知acos A ＋bcos B ＝ccos C ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 3．在△ABC 中，有下列结论：①若a2＞b2＋c2，则△ABC 为钝角三角形； ②若a2＝b2＋c2＋bc ，则∠A 为60°；③若a2＋b2＞c2，则△ABC 为锐角三角形； ④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ∶b ∶c ＝1∶2∶3. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( ) A.31010 B.1010 C ．－1010D ．－310105．在△ABC 中，若2cos Bsin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 二、填空题6．在△ABC 中，若(a ＋c)(a －c)＝b(b ＋c)，则∠A ＝________．7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．8．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边长之比为8∶5，则这个三角形的面积是________． 三、解答题9．在△ABC 中，已知sin2 B －sin2 C －sin2 A ＝3sin Asin C ，求B 的度数．10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B)＝1 (1)求角C 的度数； (2)求AB 的长． B 级 能力提升1．在△ABC 中，sin2 A 2＝c －b2c ，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形2．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________． 3．如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．一、选择题1．已知三角形的三边长分别是a ，b ，a2＋b2＋ab ，则此三角形中最大的角是( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150° 2．在△ABC 中，有下列关系式： ①asin B ＝bsin A ； ②a ＝bcos C ＋ccos B ； ③a2＋b2－c2＝2abcos C ； ④b ＝csin A ＋asin C. 一定成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( ) A.32 B.3 C ．2 3 D ．24．锐角三角形ABC 中，sin A 和cos B 的大小关系是( ) A ．sin A ＝cos B B ．sin A ＜cos B C ．sin A ＞cos B D ．不能确定5．在△ABC 中，b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆面积为( ) A.1963 B.196π3 C.493 D.49π3 二、填空题6．若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________．7．(2015·北京卷)在△ABC 中， a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________．8．(2016·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________. 三、解答题9．在△ABC 中，已知sin2 B －sin2 C －sin2 A ＝3sin Asin C ．求B 的度数． 10．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A. (1)求AB 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4.B 级 能力提升1．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( )A.1010B.105C.31010D.552．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________． 3．(2016·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C(acos B ＋bcos A)＝c. (1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．一、选择题1．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改成10°，则斜坡长为( ) A ．1 B ．2sin 10° C ．2cos 10° D ．cos 20°2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 m B.1523mC ．15 3 mD ．45 m3．甲骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．6 kmB ．3 3 kmC ．3 2 kmD ．3 km4．设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是100 m ，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝30°，则A 、B 两点的距离为( ) A ．40 m B ．50 m C ．60 m D ．70 m5．两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于2 2 km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东30°，灯塔B 在观察站C 南偏东60°，则A 、B 之间的距离为( ) A ．2 km B ．3 km C ．4 km D ．5 km 二、填空题6．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的________．7．已知A ，B ，C 三地，其中A ，C 两地被一个湖隔开，测得AB ＝3 km ，B ＝45°，C ＝30°，则A 、C 两地的距离为________．8．在△ABC 中，若b ＝2，B ＝30°，C ＝135°，则a ＝________． 三、解答题9．要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距 3 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．10．如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1°)?1．如图所示，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A—C—B 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10 km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走(结果精确到0.1 km；参考数据；2≈1.41，3≈1.73)()A．3.4 km B．2.3 kmC．5 km D．3.2 km2．如图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________海里/时．3.如图所示，港口B在港口O正东方向120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向，且在港口B北偏西30°方向上．一艘科学家考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OA方向以20海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口B出发，以60海里/时的速度驶向小岛C，在C 岛装运补给物资后给考察船送去．现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，则快艇驶离港口B后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？一、选择题1．某人向正东走了x km 后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km ，结果离出发点恰好 3 km ，那么x 的值是( )A. 3 B ．2 3 C ．3 D ．23或 3 2．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( ) A.4003 mB.40033mC.2033mD.2003m3．在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，如果船从岸边A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为( ) A.π4 B.π3 C.π6 D.512π4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是( ) A ．1002米B ．400米C ．2003米D ．500米5．在△ABC 中，A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 二、填空题6．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.7. 一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬得10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行可回到它的出发点，那么x ＝________cm.8.如图所示，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 位于北偏东α，前进m 海里后在B 处测得该岛位于北偏东β，已知该岛周围n 海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件__________时，该船没有触礁危险．三、解答题9．甲船在A 处，乙船在A 的南偏东45°方向，距A 有9海里的B 处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？ 10．如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北15°的方向上，行驶5 km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD(精确到1 m)．B 级 能力提升1．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( ) A ．200 m B ．300 m C ．400 m D ．100 3 m2．一架飞机在海拔8 000 m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________m.3．我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面C 和D 处，已知CD ＝6 km ，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面点B 处时，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°(如图所示)，求我炮兵阵地到目标的距离．第一章解三角形 1.2 应用举例第3课时三角形中的几何计算A 级 基础巩固 一、选择题1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，a ＝5，b ＝4，cos C ＝45，则△ABC 的面积是( )A ．8B ．6C ．4D ．22．在△ABC 中，三边a ，b ，c 与面积S 的关系式为a2＋4S ＝b2＋c2，则角A 为( ) A ．45° B ．60° C ．120° D ．150°3．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( ) A.12 B.32 C.3 D ．2 34．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C 等于( )A. 3 B ．－ 3 C ．－2 3 D ．－25．在△ABC 中，已知b2－bc －2c2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( ) A.152 B.15 C ．2 D ．36．△ABC 中，下述表达式：①sin(A ＋B)＋sin C ； ②cos(B ＋C)＋cos A 表示常数的是________． 7．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，则该三角形的周长为________． 8．在△ABC 中，若A ＝60°，b ＝16，此三角形的面积S ＝2203，则a 的值为________． 三、解答题9．某市在进行城市环境建设时，要把一个三角形的区域改造成一个公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为70 m ，90 m ，120 m ，这个区域面积是多少？10．在△ABC 中，c ＝22，a>b ，tan A ＋tan B ＝5，tan A ·tan B ＝6，试求a ，b 及△ABC 的面积． .B 级 能力提升1．在△ABC 中，若cos B ＝14，sin C sin A ＝2，且S △ABC ＝154，则b 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a ＝23，c ＝22，1＋tan A tan B ＝2cb ，则角C 的值为________．3．已知△ABC 的面积为1，tan B ＝12，tan C ＝－2，求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的面积．。
解三角形高考真题(二)
解三角形高考真题(二)解三角形高考真题（二）一．选择题（共7小题）1．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积（）A．3 B． C． D．32．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．3．（2014•新课标Ⅱ）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．14．（2014•广东）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件5．（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 6．（2014•浙江）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP与平面ABC所成的角）．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是（）A． B． C． D．7．（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）8．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于．9．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于．10．（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c= ；sinA= ．11．（2014•新课标Ⅰ）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN= m．12．（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）13．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．14．（2014•湖北）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B= ．三．解答题（共26小题）15．（2015•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．16．（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．17．（2015•湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．18．（2015•新课标Ⅱ）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．19．（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．20．（2015•新课标Ⅰ）已知a，b，c分别是△ABC 内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．21．（2015•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．22．（2015•陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．23．（2015•新课标Ⅱ）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．24．（2015•四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．25．（2015•安徽）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．26．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．27．（2014•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）若sinA=，求△ABC的面积．28．（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．29．（2014•广东）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则= ．30．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．31．（2014•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．32．（2014•北京）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．33．（2014•陕西）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．34．（2014•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．35．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．36．（2014•陕西）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB 的值．37．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．38．（2014•安徽）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A+）的值．39．（2014•辽宁）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．40．（2014•新课标Ⅱ）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．解三角形高考真题（二）参考答案一．选择题（共7小题）1．C；2．D；3．B；4．A；5．B；6．D；7．A；二．填空题（共7小题）8．1；9．2；10．2；；11．150；12．60；13．﹣；14．或；三．解答题（共26小题）ol,u15．；16．；17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．2；30．；31．；32．；33．；34．；35．；36．；37．；38．；39．；40．；。
数学八年级上册 三角形填空选择专题练习(解析版)
数学八年级上册三角形填空选择专题练习（解析版）一、八年级数学三角形填空题（难）∠=，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线1．在ABC中，BACα∠的度数为______.(用含α的代数式表示)交边BC于点E，连结AD，AE，则DAE【答案】2α﹣180°或180°﹣2α【解析】分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，进而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°－a，再根据角的和差关系进行计算即可．解：有两种情况：①如图所示,当∠BAC⩾90°时，∵DM垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠BAD，同理可得，∠C=∠CAE，∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°−α，∴∠DAE=∠BAC−(∠BAD+∠CAE)=α−(180°−α)=2α−180°；②如图所示,当∠BAC<90°时，∵DM垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠BAD，同理可得，∠C=∠CAE，∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°−α，∴∠DAE=∠BAD+∠CAE−∠BAC=180°−α−α=180°−2α.故答案为2α−180°或180°−2α.点睛：本题主要考查垂直平分线的性质.根据题意准确画出符合题意的两种图形是解题的关键.2．△ABC的两边长为4和3，则第三边上的中线长m的取值范围是_______．【答案】1722m<<【解析】【分析】作出草图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，然后根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之和小于第三边求出AE的取值范围，便不难得出m的取值范围．【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，AD DEADB EDCBD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE=AB，∵AB=3，AC=4，∴4-3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，∴1722m<<．故答案为：1722m<<．【点睛】本题主要考查倍长中线法构造全等三角形和三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握倍长中线法构造全等三角形.3．如图，在∆ABC中，∠A=80︒，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC 与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠A7BC与∠A7CD的平分线相交于点A8，得∠A8，则∠A8的度数为_________.. 【答案】516 【解析】 【分析】 利用外角等于不相邻的两个内角之和，以及角平分线的性质求∠A 1=12∠A ，再依此类推得，∠A 2=212∠A ，……，∠A 8= 812∠A ，即可求解. 【详解】解：根据三角形的外角得：∠ACD=∠A+∠ABC.又∵∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，∴1111222A ABC A ABC ∠+∠=∠+∠ ∴∠A 1=12∠A 依此类推得，∠A 2= 212∠A ，……，∠A 8= 812∠A=180256⨯=516 故答案为516. 【点睛】 本题考查三角形外角、角平分线的性质，解答的关键是弄清楚角之间的关系..4．一机器人以0.3m/s 的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为__s ．【答案】160.【解析】试题分析：该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用360°除以45°，即可求得正多边形的边数，即可求得周长，利用周长除以速度即可求得所需时间．试题解析：360÷45=8，则所走的路程是：6×8=48m ，则所用时间是：48÷0.3=160s．考点：多边形内角与外角．5．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为__cm．【答案】22【解析】【分析】底边可能是4，也可能是9，分类讨论，去掉不合条件的，然后可求周长.【详解】试题解析：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm．故填22．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答.6．如果一个n边形的内角和是1440°，那么n=__．【答案】10【解析】∵n边形的内角和是1440°，∴(n−2)×180°=1440°，解得：n=10.故答案为：10.7．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠A=60°，则∠BFC=______．【答案】120【解析】【分析】根据角平分线的定义可得出∠CBF=12∠ABC、∠BCF=12∠ACB，再根据内角和定理结合∠A=60°即可求出∠BFC的度数．【详解】∵∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∴∠CBF=12∠ABC，∠BCF=12∠ACB．∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=120°，∴∠BFC=180°﹣（∠CBF+BCF）=180°﹣12（∠ABC+∠ACB）=120°．故答案为120°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，根据角平分线的定义结合三角形内角和定理求出角的度数是解题的关键．8．如图，△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC交AB、AC于E、F，若△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，O到AB的距离为4cm，△OBC的面积_____cm2．【答案】242cm．【解析】【分析】由BE=EO可证得EF∥BC，从而可得∠FOC=∠OCF，即得OF=CF；可知△AEF等于AB+AC，所以根据题中的条件可得出BC及O到BC的距离，从而能求出△OBC的面积．【详解】∵BE=EO，∴∠EBO=∠EOB=∠OBC，∴EF∥BC，∴∠FOC=∠OCB=∠OCF，∴OF=CF；△AEF等于AB+AC，又∵△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，∴可得BC=12cm，根据角平分线的性质可得O到BC的距离为4cm，∴S△OBC=12×12×4=24cm2．考点：1．三角形的面积；2．三角形三边关系．9．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=__．【答案】40°【解析】【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠6+∠7的度数，进而得出答案．【详解】如图所示：∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°，∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，∴∠6+∠7=140°，∴∠5=180°-（∠6+∠7）=40°．故答案为40°．【点睛】主要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解题关键．10．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°．【答案】30【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠PBC=20°，∠PCM=50°，根据三角形外角性质即可求出∠P的度数.【详解】∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠PBC=20°，∠PCM=50°，∵∠PBC+∠P=∠PCM，∴∠P=∠PCM-∠PBC=50°-20°=30°，故答案为：30【点睛】本题考查及角平分线的定义及三角形外角性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，熟练掌握三角形外角性质是解题关键.二、八年级数学三角形选择题（难）11．图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A8=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A10=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（）A．1440 B．1800 C．2880 D．3600【答案】C【解析】【分析】本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了．【详解】解：依题意可知，二环三角形，S＝360度；二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度；二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度；…∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度．故选：C．【点睛】本题考查了多边形的内角和，本题可直接根据S的度数来找出规律，然后根据规律表示出二环十边形的度数．12．如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M、N分别是BA、CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∠F的度数为（）A．120°B．135°C．150°D．不能确定【答案】B【解析】【分析】先根据∠1+∠2=90°得出∠EAM+∠EDN的度数，再由角平分线的定义得出∠EAF+∠EDF的度数，根据AE⊥DE可得出∠3+∠4的度数，进而可得出∠FAD+∠FDA的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∴∠EAF+∠EDF=12×270°=135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°．故选B．【点睛】本题查的是三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．13．在多边形内角和公式的探究过程中，主要运用的数学思想是（）A．化归思想B．分类讨论C．方程思想D．数形结合思想【答案】A【解析】【分析】根据多边形内角和定理：（n-2）·180（n≥3）且n为整数）的推导过程即可解答．【详解】解：多边形内角和定理：（n-2）·180（n≥3）且n为整数），该公式推导的基本方法是从n 边形的一个顶点出发引出（n-3）条对角线，将n边形分割为（n-2）个三角形，这（n-2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和，体现了化归思想．故答案为A．【点睛】本题主要考查了在数学的学习过程应用的数学思想，弄清推导过程是解答此题的关键.14．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连结CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（）A．15 B．20 C．25 D．30【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用中线分的三角形的两个图形面积相等，便可找到答案【详解】解：根据等底同高的三角形面积相等，可得∵F是BE的中点，S△CFE＝S△CFB＝5，∴S△CEB＝S△CEF+S△CBF＝10，∵E是AD的中点，∴S△AEB＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC，∵S△CEB＝S△BDE+S△CDE∴S△BDE+S△CDE＝10∴S△AEB+S△AEC＝10∴S△ABC＝S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC＝20故选：B．【点睛】熟悉三角形中线的拓展性质：分其两个三角形的面积是相等的，这样便可在实际问题当中家以应用.15．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和定理以及三角形角平分线的定义可得∠BOC=90°+12∠1，再结合三角形外角性质可得∠ECD=∠OBC+∠2，从而可得∠BOC=90°+∠2，据此即可进行判断.【详解】∵BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ， ∴∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12∠ACB ， ∵∠ABC+∠ACB+∠1=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠1， ∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ）=12（180°-∠1）=90°-12∠1， ∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（90°-12∠1）=90°+12∠1， ∵∠ACD=∠ABC+∠1，CE 平分∠ACD ， ∴∠ECD=12∠ACD=12（∠ABC+∠1）， ∵∠ECD=∠OBC+∠2， ∴∠2=12∠1，即∠1=2∠2， ∴∠BOC=90°+12∠1=90°+∠2， ∴①④正确，②③错误，故选C.【点睛】 本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线等知识，熟练掌握相关的性质及定理、运用数形结合思想是解题的关键.16．已知：如图，D 、E 、 F 分别是△ABC 的三边的延长线上一点，且AB =BF ，BC =CD ，AC =AE ，ABC S ∆=5cm 2，则DEF S ∆的值是（ ）A ．15 cm 2B ．20 cm 2C ．30 cm 2D ．35 cm 2【答案】D【解析】【分析】 连接AD ，BE ，CF ．根据等底同高的两个三角形面积相等，得到所有小三角形面积都等于△ABC 的面积，故△DEF 的面积等于7倍的△ABC 面积，即可得出结果．【详解】连接AD ，BE ，CF ．∵BC =CD ，∴S △ACD =S △ABC =5，S △FCD =S △BCF ．同理S △AEB =S △ABC =5，S △AED =S △ACD =5；S △AEB =S △BEF =5，S △BFC =S △ABC =5；∴S △FCD =S △BCF =5，∴S △EFD =7 S △ABC =35（cm 2）．故选D ．【点睛】本题是面积及等积变换综合题目，考查了三角形的面积及等积变换，本题有一定难度，需要通过作辅助线，运用三角形中线等分三角形的面积才能得出结果．17．如图：在△ABC 中，G 是它的重心，AG ⊥CD ，如果32BG AC ⋅=，则△AGC 的面积的最大值是（ ）A ．3B ．8C ．43D ．6 【答案】B【解析】分析：延长BG 交AC 于D ．由重心的性质得到 BG =2GD ，D 为AC 的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AC =2GD ，即有BG =AC ，从而得到AC 、GD 的长．当GD ⊥AC 时，△AGC 的面积的最大，最大值为：12AC •GD ，即可得出结论． 详解：延长BG 交AC 于D ．∵G是△ABC的重心，∴BG=2GD，D为AC的中点．∵AG⊥CG，∴△AGC是直角三角形，∴AC=2GD，∴BG=AC．∵BG•AC=32，∴AC=32=42，GD=22．当GD⊥AC时，．△AGC的面积的最大，最大值为：12AC•GD=142222⨯⨯=8．故选B．点睛：本题考查了重心的性质．解题的关键是熟知三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍．18．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于215°，则∠BOD的度数为()A．20°B．35°C．40°D．45°【答案】B【解析】【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．【详解】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°=4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=505°，∵五边形OAGFE内角和=（5-2）×180°=540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，∴∠BOD=540°-505°=35°，故选：B．【点睛】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．19．一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】D【解析】 试题解析：设这个多边形的边数为n ，由题意可得：（n-2）×180°=1260°，解得n=9，∴这个多边形的边数为9，故选D ．20．已知直线m n ，将一块含45︒角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 交于点D .若125∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．60︒B ．65︒C ．70︒D ．75︒【答案】C【解析】【分析】 先求出∠AED=∠1+∠B=25°+45°=70°，再根据平行线的性质可知∠2=∠AED=70°．【详解】设直线n 与AB 的交点为E 。
人教版数学八年级上册三角形填空选择专题练习(解析版)
人教版数学八年级上册三角形填空选择专题练习〔解析版〕一、八年级数学三角形填空题〔难〕1 .在^ABC中,NBAC = a,边AB的垂直平分线交边BC于点D,边AC的垂直平分线交边BC于点E,连结AD, AE,那么ZDAE的度数为.〔用含a的代数式表示〕【答案】2a - 180°或180° - 2a【解析】分两种情况进行讨论,先根据线段垂直平分线的性质,得到N8=N84〕, NC=NCAE,进而得到N8AD+NC4E=N8+NC=180.- a ,再根据角的和差关系进行计算即可.解：有两种情况：①如下图,当Z 84>90.时,：.DA=DB ,：.ZB=ZBAD ,同理可得,9/CAE ,：.ZB/4D+ZC^E=ZB+ZC=180°-a ,,NDAE=N84J(N8AO+NC4£)=a-(18(r-a)=2a-180.；②如下图,当Z 84:<90.时,：.DA=DB ,：.ZB=ZBAD ,同理可得,9/CAE ,,NB4D+NC4E=N8+NC=180°-a ,,ND4E=N8AD+NC4E-N84c=1800-a-a=180°-2a.故答案为2a-180°或180°-2a.点睛：此题主要考查垂直平分线的性质.根据题意准确画出符合题意的两种图形是解题的关键.2 .如图,在aABC中,NB=50° ,三角形的外角NDAC和NACF的平分线交于点E,那么【解析】如图,:AE平分NDAC , CE平分NACF ,1 1/. Z 1=-Z DAC , N 2= — N ACF , 2 21 , 、/. Z 1+Z 2=- ( Z DAC+Z ACF ),2又；Z DAC+Z ACF= ( 180°-Z BAC ) + ( 180°-Z ACB ) =360°- ( Z BAC+Z ACB ),且Z BAC+Z ACB=1800-Z ABC=180°-50°=130°rZ 1+Z 2=- ( 360°-130° ) =115° , 2在仆ACE 中,N E=180°- ( Z 1+Z 2 ) =180°-115<>=65<>.3.如图,在平面直角坐标系xOy中点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动点M在第二象限,且MA平分NBAO,做射线MB,假设N1=N2,那么NM的度数是.【解析】【分析】根据三角形内角与外角的关系可得N2 = NM + /MAB由角平分线的性质可得NMAB = /MAO根据三角形内角和定理可得NOBA + /OAB + NBOA = 180°易得NM的度数.【详解】在^ABM中,N2是^ABM的外角・・・/2 = ^M + ^MAB由三角形内角和定理可得NOB A+NOAB + /BOA = 180°・・• 4OA = 90°・,./OBA + /OAB = 90.・・• MA平分NBAO・•・ ^BAO = 2^MAB由三角形内角与外角的关系可得/I+N2 = NBAO+/BOA = 90.+/BAO'：Z\ = Z2,2^2 = 90° + ^BAO又•••/2 = NM + /MAB・•・ 2/2 = 2^M+2^MAB = 2^M + 4AO/. 90°+/BAO = 2ZM + NBAO2^M = 90°/M = 45.【点睛】此题考查三角形外角的性质,即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和.4.如图,BA和CA分别是AA8C的内角平分线和外角平分线,是乙4/.的角平分线,C4是的角平分线,8%是的角平分线,CA,是N&CO的角平分线,假设乙4| = a ,那么N&0]8 =【答案】严【解析】【分析】根据角平分线的定义可得NA出O^NABC, NA】CD=,NACD,再根据三角形的一个外角 2 2等于与它不相邻的两个内角的和可得NACD=NA+NABC, NA】CD=NA】BC+NA],整理即可得解,同理求出NAz,可以发现后一个角等于前一个角的L,根据此规律即可得解.2【详解】AiB是NABC的平分线,AiC是NACD的平分线,1 1N Ai.BC二一N ABC , N AiCD= - N ACD t 2 2又：NACD=NA+NABC, ZAiCD=Z AiBC+Z A-一(N A+N ABC ) = - N ABC+N Ai ,2 21N Ai=—N A,2•.1 Z Ai=a .同理理可得NA2=L/ Ai= —a , Z A3=— Z A2= a f 2 2 2 2-aN A2oi8= ^2O T7,故答案为皆万.【点睛】此题主要考查的是三角形内角和定理,熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,角平分线的定义是解题的关键.5 .某多边形内角和与外角和共1080.,那么这个多边形的边数是.【答案】6【解析】V多边形内角和与外角和共1080°,,多边形内角和=1080°-360°=720°,设多边形的边数是n ,(n-2)xl80°=720° ,解得n=6.故答案为6.点睛：先根据多边形的外角和为360,求出其内角和,再根据多边形内角和定理即可求出多边形的边数.6 .a、b、c 为AABC 的三边,化简：|a+b - c|-|a - b - c| + |a - b+c|=.【答案】3a-b-c【解析】【分析】根据三角形的三边关系判断绝对值内式子的正负,然后利用绝对值的性质去掉绝对值,再去括号合并同类项即可.【详解】解：,:Q、b、C为△ABC的三边,A a^b>Cy u-b〈c, a+c>b9 a+b-c>09 a-〃-cVO, a-b+c>0,.*• \a+b-c\-\a-b-cMa-b+c\=3+〃-c)+3»- c)+(a-b+c)=a+b・c+(U〞 c+a-b+c=3a-〃-c.故答案为:3a-b-c.【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系定理和利用绝对值的性质进行化简,利用三角形的三边关系得出绝对值内式子的正负是解决此题的关键.7 .如图,在△ ABC中E是BC上的一点,EC=2BE,点D是AC的中点,设△ ABC、△ ADF、△BEF 的面积分别为S AABC।S AADF,S ABEF,且S AABC=12,那么S AADF-S ABEF=.【答案】2【解析】由D是AC的中点且S AABC=12,可得S&WO=1X12=6；同理EC=2BE即2 2EC= —BC ,可得S MBE = —X 12 = 4 ,又S SBE - S MBF =^SBEF.^AABD ~^^ABF =^AADF等量代换可知S«ADF-S ABEF=28 .如图,ZABC中,AD是BC边上的高,点E在线段BD上,且AE平分NBAC,假设ZB=40°f ZC=78% 那么NEAD=° .【解析】【分析】根据三角形内角和定理求得NBAC,再由AE平分NBAC,可求得N EAC,最后由Z ADC=90°t Z C=78\ 可求得N DAC,即N EAD 可求.【详解】解：V ZB=40° , ZC=78°AZ BAC=1800 -ZB-ZC=62°•••AE 平分N BAC,Az EAC= —Z.BAC = 31, 2♦.•AD是BC边上的高AZ ADC=90°A ZDAC=900 -78° =12°/. Z EAD=Z EAC- Z DAC=19°故答案为：19..【点睛】此题考查三角形内角和定理；三角形角平分线性质.9.如图,ZA=50° , ZABO=28" , ZACO=32° ,贝IJ/BOC='【解析】"4=50.,Z A8O=28° , Z 470=32.,根据三角形外角的性质可得Z BDC=Z 4+N >A8O=78O , Z B0C=Z BDC+Z >460=110° .10.如下图,在四边形ABCD中,AD_LAB, N C=110.,它的一个外角N ADE=60.,那么N B 的大小是.【答案】40.【解析】【分析】根据外角的概念求出NADC的度数,再根据垂直的定义、四边形的内角和等于360.进行求解即可得.【详解】V ZADE=60°r/. ZADC=120°#V ADI AB ,,N DAB=90° ,,ZB=3600 - ZC - ZADC - NA=40° ,故答案为40° .【点睛】此题考查了多边形的内角和外角,掌握四边形的内角和等于360.、外角的概念是解题的关键.二、八年级数学三角形选择题(难)11.如图,ZABC=ZACB, BD、CD分别平分^ABC的内角NABC、外角NACP , BE平分外角NMBC交DC的延长线于点E,以下结论：®ZBDE=- ZBAC ：②DB_LBE：- 2@ZBDC+ ZACB= 90°：④NBAC + 2NBEC = 180..其中正确的结论有()A・1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】D【解析】【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、判断即可. 【详解】① VBD. CD分别平分aABC的内角NABC、外角NACP, ,NACP=2NDCP, NABO2NDBC, 又,: NACP=NBAC+NABC, NDCP=NDBC+NBDC,AZBAC=2ZBDE,1AZBDE=-ZBAC 2・••①正确；②;BD、BE分别平分^ABC的内角NABC、外角NMBC,1 1 1•\NDBE=NDBC+NEBC二一ZABC+-ZMBC=-xl80° =90° , 2 2 2AEB1DB.故②正确,③•••/DCP=NBDC+NCBD, 2NDCP=NBAC+2NDBC, Z. 2 (ZBDC+ZCBD) = ZBAC+2ZDBC.1,NBDC二一NBAC,2V ZBAC+2ZACB=180° ,①N1=2N2 f②NB0O3N2 ,③NBOC=90.+/1 ,④NBOC=90°+/2 正确的选项是( )A. ®®③B. ®〔3〕〔4〕C.①④D.①②④【答案】c【解析】【分析】根据三角形内角和定理以及三角形角平分线的定义可得NBOC=9(r+L N1,再结合三角形2外角性质可得NECD=NOBC+N2,从而可得NBOC=9(T+N2,据此即可进行判断.【详解】VBO , CO 分别平分NABC , ZACB ,1 1/• ZOBC=- ZABC , ZOCB=-ZACB ,2 2•/ ZABC+ZACB+Z1=18O° ,/• ZABC+ZACB=18O°-Z1 ,・・.NOBC+NOCB=； ( ZABC+ZACB ) =[ ( 1800-Z1 ) =90°-^ Z1 ,/. ZBOC=180°-ZOBC-ZOCB=180°- ( 90°-- Z1 ) =90°+- Z1 ,2 2V ZACD=ZABC+Z1 , CE 平分NACD ,AZECD=- ZACD=- ( ZABC+Z1 ), 2 2VZECD=ZOBC+Z2 ,AZ2=-Z1,即N1=2N2,,ZBOC=90°+- Zl=90°+Z2 , 2・•.①④正确,②③错误,应选C.【点睛】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线等知识,熟练掌握相关的性质及定理、运用数形结合思想是解题的关键.14 .如图.为AA8C内一点,NA4C = 70.,N3PC = 120°, 8.是NABP的平分线,CE 是Z43的平分线,80与CE交于尸,那么〔〕【答案】c【解析】NBAC = 70°, ZBPC = 120°,,Z ABC+Z ACB=110°f Z PBC+Z PCB=60° ,/. Z ABP+Z ACP=(Z ABC+Z ACB)-(Z PBC+Z PCB)=110o-60o=50o f8.是NAB尸的平分线,CE是NACP的平分线,AZ FBP+Z FCP=- (Z ABP+Z ACP)=ix50° = 25°； 2 2/. Z FBC+Z FCB=Z FBP+Z FCP+Z PBC+Z PCB=25o+60°=85°z/. ZBFC = 180°- ( Z FBC+Z FCB ) =180°-85o=95°.应选c.点睛：此题主要考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义,根据图形正确找出角与角之间的数量关系是解题的关键.15 .如图,己知48〃CD,直线48, 8被8c所截,E点在8c上,假设Nl=45.,Z2 =【答案】D【解析】【分析】由平行线的性质可求得NC,在4CDE中利用三角形外的性质可求得N3.【详解】解：・・・AB〃CD,AZC=Z1 = 45%VZ3是aCDE的一个外角,,Z3= NC+N2=45°+35°=80°,应选：D.【点睛】此题主要考查平行线的性质,掌握平行线的性质和判定是解题的关键,即①两直线平行Q 同位角相等,②两直线平行=内错角相等,③两直线平行=同旁内角互补,@a〃b, b〃c=a〃c.16 .正多边形的一个外角等于40,那么这个正多边形的边数为〔〕A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数,即可求得边数.【详解】正多边形的一个外角等于40,且外角和为360',那么这个正多边形的边数是：360 +40 =9,应选D .【点睛】此题主要考查了多边形的外角和定理,熟练掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键.17 .假设一个凸多边形的内角和为720.,那么这个多边形的边数为〔〕A. 4 B, 5 C. 6 D. 7【答案】C【解析】【分析】设这个多边形的边数为n,根据多边形的内角和定理得到〔n - 2〕xl80°=720° ,然后解方程即可. 【详解】设这个多边形的边数为n ,由多边形的内角和是720.,根据多边形的内角和定理得〔n - 2 〕180°=720°.解得n=6.应选C.【点睛】此题主要考查多边形的内角和定理,熟练掌握多边形的内角和定理是解答此题的关键.18 .如图,在△ ABC中,N ABC的平分线与N ACB的外角平分线相交于D点,Z A=50°,那么Z D=〔〕A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°【答案】C【解析】根据角平分线的定义和三角形的外角的性质即可得到N D=lz A.2解：•「N ABC的平分线与N ACB的外角平分线相交于D点,1 1..N 1=— N ACEt N 2二—N ABC,2 2又N D=Z 1 - N 2, Z A=Z ACE - Z ABC,・•, Z D=iz A=25°.2 应选c.19.三角形的两边分别为1和4,第三边长为整数,那么该三角形的周长为〔〕A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差,而小于两边之和〞,求得第三边的取值范围：再根据第三边是整数,从而求得周长.【详解】设第三边为X,根据三角形的三边关系,得：4-l<x<4+l,即3<x<5,•・・x为整数,,x的值为4.三角形的周长为1+4+4=9.应选C.【点睛】此题考查了三角形的三边关系.关键是正确确定第三边的取值范围.20.如图,把三角形纸片ABC沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE外部时,那么NA与Nl、N2之间的数量关系是〔〕B. 3ZA = 2(Z1-Z2)D. ZA = Z1-Z2根据折叠的性质可得NA 』NA,根据平角等于180.用N1表示出NADA ,,根据三角形的一 个外角等于与它不相邻的两个内角的和,用N2与NA ,表示出N3,然后利用三角形的内角 和等于180.列式整理即可得解. 【详解】如下图：VAA'DE 是4ADE 沿DE 折叠得到,,ZA z =ZA,又•••NADA'=18O0-N1, N3=NA'+N2,VZA+ZADA z +Z3=180%即 NA+180°-Nl+NA4N2=180°,整理得,2NA=N1-N2.应选A.【点睛】考查了三角形的内角和定理以及折叠的性质,根据折叠的性质,平角的定义以及三角形的 一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,把Nl 、N2、NA 转化到同一个三角形 中是解题的关键. A. 2ZA = Z1-Z2c. 3ZA = 2Z1-Z2 【答案】A【解析】【分析】。
解三角形练习题
解三角形练习题一．单选题1. 已知△ABC中，，B=60°，A=45°，则b=（）A．2 B．C．D．2. 在△ABC中，若a=7，b=3，c=8，则其面积等于（）A．12 B．C．28 D．3. 在△ABC中，已知a=2bcosC，那么这个三角形一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形4. 在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为（）A．B．C．D．5. 在△ABC中，若a2+b2=c2-ab，则角C=（）A．30°B．150°C．45°D．135°6. 在△ABC中，若b=6，c=10，B=30°，则解此三角形的结果为（）A．无解B．有一解C．有两解D．一解或两解7. 在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，] B．[，π）C．（0，] D．[，π）8. 在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）A．B．C．D．9. 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，，A+C=2B，则sinA=（）A．B．C．D．10. 在△ABC中，若C=90°，a=6，B=30°，则b-c等于（）A．1 B．-1 C．D．11. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A=，b=1，△ABC的面积为，则c的值为（）A．1 B．2 C．D．12. 在锐角△ABC中，a=1，b=2，则边c满足的关系是（）A．1＜c＜B．C．1＜c＜D．＜c＜3二．填空题13. △ABC中，若a=5，b=3，，则c=___________．14 已知在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边长．若B=45°，c=2，b=2，则角A=___________．15. D、C、B在地面同一直线上，DC=100米，从D、C两地测得A的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于___________．米．16. 在△ABC中，2B=A+C，且b=2，则△ABC的外接圆的半径R=___________．三．主观题17. 在中，角、、所对应的边分别为、、，且满足．（I）求角的值；（Ⅱ）若，求的值．18. 在ΔABC中，角A，B，C的对应边分别为a,b,c，且．（1）当A=30°时，求a的值；（2）当a=2，且△ABC的面积为3时，求△ABC 的周长．19. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．20. △ABC中，是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若=4，，求的值。
《解三角形》测试卷
《解三角形》测试卷高中数学必修5第一章《解三角形》测试卷一.选择题(每题5分,共60分)1. 在ABC中,根据下列条件解三角形,其中有2个解的是( )A . b=10,A=,C=B .a=60,c=48,B=C .a=7,b=5,A=80D .a=14,b=16,A=2. 在ABC中,,则B等于( )A. B. C. D. 以上答案都不对在3. ABC中,,则三角形的最小内角是( )A. B.C.D.以上答案都不对4. 在ABC中,A =,b=1,面积为,求的值为( )A. B. C. ２ D.5. 在△ABC中,三边长AB=7,BC=5,AC=6,则的值为( )A. 19B. -14C. -18D. -196. A.B是△ABC的内角,且,,则的值为( )A. B.C.D.7. ABC中,a=2,A=,C=,则ABC的面积为( )A. B. C. D.8. 在中,,则是( )A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形9. 已知ABC中, AB=1,BC=2,则角 C的取值范围是( )A. B. C. D.10. 在ABC中,若,那么ABC是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形11. 若以2,3,为三边组成一个锐角三角形,则的取值范围是( )A.1_lt;__lt;5B. C. D.12. 在ABC中,三边a,b,c与面积s的关系式为则角C 为( )A. B.C.D.二.填空题(每题4分,共16分)13. 三角形两条边长分别为3cm,5cm,其夹角的余弦是方程的根,则三角形面积为14. 在ABC中,a比b长2,b比c长2,且最大角的正弦是,则ABC面积为15. ABC中,(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则角A=16. ABC中,=。
2023年中考数学解直角三角形填空题专项练习
2023学年中考数学解直角三角形填空题专项练习第一部分：知识点精准记忆一.锐角三角函数的概念：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c.正弦：sinA ＝∠A 的对边斜边＝a c ；余弦：cosA ＝∠A 的邻边斜边＝b c ；正切：tanA ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝a b；二.特殊角的三角函数值：在直角三角形中，由已知元素求其余未知元素的过程叫做解直角三角形.(或b ＝c 2－a 2在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．(2)坡角与坡度坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫坡度(坡比)，用字母i 表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角．i ＝tanα＝h l．(3)方位角方位角一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向所成的角(一般指锐角)，通常表示成北(南)偏东(西)几度．2.解直角三角形的常见模型及辅助线的作法：（1）母子型及其变形（2）背靠背型及其变形1、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为．2、如图，先锋村准备在坡角为α=30°山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为______ 米．3、如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角∠A=．4、如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为米（用含α的代数式表示）．5、如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为米．6、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，AC=6，CD=5，则sin A等于________．7、如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠BAC=0.75，则墙高BC=______米．8、如图，从坡上建筑物AB观测坡底建筑物CD．从A点测得C点的俯角为45°，从B点测得D点的俯角为30°．已知AB的高度为10m，AB与CD的水平距离是OD=15m，则CD的高度为m（结果保留根号）9、如图，从一艘船的点A处观测海岸上高为41m的灯塔BC（观测点A与灯塔底部C在一个水平面上），测得灯塔顶部B的仰角为35°，则观测点A到灯塔BC的距离为．（精确到1m）【参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7】10、4月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的俯角为45°．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是米．11、如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为．12、在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．则BC的长．13、如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=．14、如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是 cm．15、从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD 是．16、如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C 的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为__________米．17、某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B 处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP=__________海里．18、如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，≈1.732）19、全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外，如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为___米．(参考数据：tan78°12′≈4.8)20、如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为 m（结果保留根号）21、如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为1:，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从A到B所经过的路程为米．22、如图，李明在一块平地上测山高，现在B出测得山顶A的仰角为30°，然后再向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为60°，那么山高AD为米．23、如图，为测量某塔AB的高度，在离塔底部10米处目测其塔顶A，仰角为60°，目高1.5米，则求该塔的高度为米.（参考数据：≈1.41，≈1.73）24、如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）25、如图，已知小岛B在基地A的南偏东30°方向上，与基地A相距10海里，货轮C在基地A的南偏西60°方向、小岛B的北偏西75°方向上，那么货轮C与小岛B的距离是海里．26、如图，小明在A时测得某树的影长为2 m，B时又测得该树的影长为8 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_________m.27、如图，小明从路灯下，向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE是2米，如果小明的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度AB是米．28、轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是海里．29、如图，一幢大楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌CD．小明在山坡的底部A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB垂直于视线AD，AB=20米，AE=30米，则这块宣传牌CD的高度为_ _．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）．。
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解三角形1、在ABC △中，角AB C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1,a b c ===则B = ．2、已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆ ．3. 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆ ．11．已知ABC △中，角AB C ，，的对边分别为a b c ，，，且1a =，4B π=，2ABCS = ，则b =10．ABC △中,三边之比::2:3:4a b c =，则最大角的余弦值等于A.41 B.87 C .12-D.41-2、已知在ABC △中，10,45,30,c A C ︒︒===求,a b 和B 的值__________3、在ABC △中，1,,3BC B π=∠=当ABC △的面积为3时，=∠C tan4、在ABC △中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 .5、设ABC △中，tan A tanB AtanB +，sin Acos A =，则此三角形是________三角形6、在ABC △中，若cos cos A bB a=，则ABC △的形状是.( ) A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等边三角形7、在ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A14 B 34C 4D 38、若ABC △的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC △( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形已知,,a b c 分别是ABC △的三个内角,,A B C 所对的边，若1,2a b A C B ==+=,则sin C = .在ABC △中,若2a =,7b c +=,1cos 4B =-,则b =___________.设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且11,2,cos 4a b C ===,则sin B =____10、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）A.185 B.43C.23D.8711、设A 是ABC △中的最小角，且11cos +-=a a A ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≥B ．1a >-C ．13a -<≤D ．0a >12、在Rt △ABC 中，2C π∠=,且,,A B C 所对的边,,a b c 满足a b cx +=，求实数x 的取值范围_________.13、已知ABC △中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c =75A ∠=o ，则b = ( )A.2 B ．4＋．4—14、已知ABC △中，3sin 4cos 6,3cos 4sin 1A B A B +=+=，则C 的大小是 （ ）（A ）6π（B ）56π （C ）6π或56π （D ）3π或23π15、在ABC △中，已知60A =，1b =，ABCS ∆，则s i n s i n s i na b cA B C++=++_______.16、在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若()222tan ac b B +-=,则角B的值为（ ） A.6πB.3π C.6π或56πD.3π或23π1．设,,a b c 分别是ABC △的三个内角,,A B C 所对的边，则()2ab bc =+是2A B =的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件17、设ABC △的内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，3cos()cos 2A CB -+=，2b ac =，求B 的大小__________。
18、在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22ab -，sin C B =，则A =（ ）（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150 19、在ABC △中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且s i n cos 3cos s i n A C A C =b 的值为________20、在ABC △中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,,a b c 成等差数列，30B ∠=︒，ABC ∆的面积为32，则b =（A ）12 （B ）1 （C ）22（D ）221、ABC △的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值_________22、在ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ（C ）(0,]3π（D ）[,)3ππ23、在钝角ABC △中，已知1,2a b ==，则最大边c 的取值范围是____________。
24、在ABC △中，已知)sin()()sin()(2222B A b a B A b a -+=+-，判定ABC △的形状为____________．25、如果满足60C ∠AB =，12C A =，C k B =的ABC △恰有一个，那么k 的取值范围是（ ） A ．38=k B ．120≤<k C ．12≥k D ．120≤<k 或38=k26、如果111ABC ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（）A ．111ABC ∆和222ABC ∆都是锐角三角形 B ．111ABC ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111ABC ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111ABC ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形27、在ABC △中，若,tan lg tan lg tan lg 2C A B +=则B 的取值范围是___________28、在ABC △中，,,a b c 分别是,,A B C 所对应的边，2C π=，则c ba +的取值范围是（ ） A ．（1,2） B ．)2,1( C ．]2,1[ D ．]2,1(29、在ABC △中，已知222sin sin sin sin sin A B B C C =++，则A 等于 A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π7．在ABC △中，,,a b c 分别是三内角,,A B C 的对边，且22sin sin (sin sin )sin A C A B B -=-，则角C 等于（ ） A ．6πB ．3πC ．56π D ．23π30、在ABC △中，已知2C B =，则bc的取值范围是_________ 31、在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边长，若()(sin sin sin )3sin a b c A B C a B +++-=，则C =_______.32、在锐角ABC △中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 ，AC 的取值范围为 .33、在ABC △中，tan tan tan 0A B C ++>，则ABC △是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.任意三角形3．在ABC △中，已知,,A B C 成等差数列，则2tan2tan 32tan 2tan CA C A ++的值为__________已知ABC ∆,则其最大角的余弦值为_________.34、在ABC △中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若23C π=，c =，则( ) A ．a b > B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定35、设G 是ABC △的重心，且(56sin )(40sin )(35sin )0A GA B GB C GC ++=，则B 的大小为( )A ．45°B ．60°C ．30°D ．15°12．ABC △中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，重心为G ，若03aGA bGB cGC ++=，则A = 。
36、在ABC △中，22sin cos 1A B +=，则cos cos cos A B C ++的最大值为A ．54BC ．1D ．3237、,E F 是等腰直角ABC △斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ ）A.1627 B. 23 C. 3 D. 3438、如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等. 设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则232311coscossinsin3333αααααα++-=____________ .39、给出下列四个命题: ①若sin 2sin 2A B =,则ABC △是等腰三角形 ②若sin cos A B =,则ABC △是直角三角形 ③若222sin sin sin 2A B C ++<,则ABC △是钝角三角形 ④若cos()cos()cos()1A B B C C A ---=,则ABC △是等边三角形.以上命题正确的是( )A 、①②B 、①④C 、③④D 、②③ 11． 在ABC △中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,且ca bC B +-=2cos cos ,则角B 的大小为41、在不等边ABC △中，a 为最大边，如果222ab c <+，则A 的范围是_____________.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若()()a b c a b c ab +-++=,则角C =_________.42、设,,A B C为三角形的三内角,且方程2(sin sin )(sin sin )(sin sin )0B A x A C x C B -+-+-=有等根，那么角B（ ）A ．60B ︒> B ．60B ︒≥ C ．60B ︒<D ．60B ︒≤在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C = （ ）A ．725B ．725-C ．725±D ．2425在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin<+,则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形.B ．直角三角形.C ．钝角三角形.D ．不能确定设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =______43、在ABC △中，cos()sin()2A B A B -++=，则ABC △的形状是（ ） A.等边三角形 B.等腰钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.锐角三角形44、己知,A C 是锐角ABC △的两个内角，且t a n ,t aA C 是方程210(0,x p x p p +-=≠且)p R ∈，的两个实根，则tan()A C +=_______，tan ,A tan C 的取值范围分别是_______和_______，p 的取值范围是__________45、在锐角三角形ABC △，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，6cos ,b aC a b+=则tan tan tan tan C CA B+=_____在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222ab c +=,则cos C 的最小值（ ）A ．2B ．2C ．12D ．12-1．在直角三角形中，两锐角为A 和B ，则sin sin A B ⋅( )（A ）有最大值21和最小值 （B ）有最大值21但无最小值 （C ）既无最大值也无最小值 （D ）有最大值1但无最小值已知1,2,3a a a +++是钝角三角形的三边，则a 的取值范围是 . 14．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若222b c a b c +=-，4AC AB ⋅=-且，则ABC ∆的面积等于 ．. 16．给出下列命题：①在ABC △中，若A B <，则B A sin sin <； ②将函数)32sin(π+=x y 图象向右平移3π个单位，得到函数x y 2sin =的图象；③在△ABC 中，若2=AB ，3=AC ，∠3π=ABC ，则ABC △必为锐角三角形；④在同一坐标系中，函数x y sin =的图象和函数2xy =的图象有三个公共点； 其中真命题是 （填出所有正确命题的序号）。